Fluidos Reales Los fluidos se definen como aquellas sustancias que son incapaces de resistir esfuerzos cortantes. Cuando sometemos un cuerpo slido (cristalino) a la accin de un sistema de esfuerzos cortantes, experimenta una deformacin bien definida; por el contrario, los fluidos se deforman continuamente bajo la accin de los esfuerzos cortantes. De una forma muy general, podemos clasificar los fluidos de acuerdo con la relacin existente entre el esfuerzo cortante aplicado y la velocidad de deformacin que se produce en el fluido en: Fluidos newtonianos: aquellos fluidos en los que el esfuerzo cortante es directamente proporcional a la velocidad de deformacin. Muchos fluidos comunes, tales como el agua, el aire, el aceite, la gasolina, etc., se comportan como fluidos newtonianos en condiciones normales. Fluidos no-newtonianos: clasifican una gran variedad de fluidos en los que el esfuerzo cortante no es directamente proporcional a la velocidad de deformacin. Tambin existen muchos fluidos comunes que exhiben un comportamiento no-newtoniano; como ejemplo citaremos la pasta de dientes, la pintura, las mermeladas, la salsa mayonesa, las arenas movedizas, las suspensiones coloidales en general, las gelatinas, el lquido senovial, la sangre, etc FLUIDOS REALES

Los fluidos reales se distinguen de los ideales (condicionados, o de laboratorio) en que poseen una cierta viscosidad, es decir, un rozamiento interior que origina tensiones tangenciales entre los filetes fluidos. Cuando un elemento de fluido se mueve respecto a los elementos contiguos, este movimiento es obstaculizado por la existencia de esfuerzos tangenciales o cortantes que tienden a disminuir la velocidad relativa del elemento considerado con respecto a los elementos contiguos. Entonces se dice que el fluido es viscoso, y el fenmeno recibe el nombre de viscosidad. Podemos considerar la viscosidad como una especie de rozamiento interno en los fluidos, en virtud del cual aparecen esfuerzos cortantes sobre la superficie de un elemento de fluido en movimiento relativo respecto al resto del fluido. Tanto los lquidos como los gases presentan viscosidad, aunque los primeros son mucho ms viscosos que los segundos. El rozamiento en el movimiento de los fluidos se cuantifica a travs del concepto de viscosidad, de acuerdo a la Ley de Newton:

Donde n es el coeficiente de viscosidad, y recibe el nombre de coeficiente de viscosidad absoluta o dinmica y representa el cociente entre el esfuerzo tangencial o cortante y el gradiente transversal de velocidad

En el sistema internacional (m.k.s.), la unidad de viscosidad es elpascal segundo (Pa s), que no recibe nombre especial. Sin embargo, esa unidad es poco utilizada, ya que corrientemente se emplea la unidad correspondiente al sistema cegesimal (c.g.s.), la baria segundo (dyn/cm2) s, que recibe el nombre de poise (P). La relacin existente entre ambas unidades es

1 pascal segundo (Pa s) = 10 poise (P) = 1000 cP Frecuentemente se utilizan submltiplos del poise, principalmente el centipoise (cP) para los lquidos y el micropoise ( P) para los gases. La fluidez, se define como el recproco de la viscosidad. Obviamente, el coeficiente de fluidez tiene como valor el inverso del de viscosidad, y su unidad en el sistema c.g.s. es el poise recproco (P-1), que recibe el nombre de rhe (del griego, rhein=fluir). En las ecuaciones de la dinmica de los fluidos viscosos aparece frecuentemente el cociente el cociente de viscosidad dinmica o absoluta y la densidad del fluido. Dicho cociente recibe el nombre de coeficiente de viscosidad cinemtica y se le designa por v

de modo que su unidad en el sistema m.k.s. es el m2/s, que no recibe ningn nombre particular y que es poco utilizada. Por el contrario, se emplea corrientemente la unidad correspondiente al sistema c.g.s., esto es, el cm2/s, que recibe el nombre de Stokes (St). Otro modo de expresar la viscosidad es mediante la llamada viscosidad relativa, definida

como el cociente entre la viscosidad absoluta de un fluido y la de otro que se toma como referencia, medidas ambas a la misma temperatura. Los movimientos de circulacin de los fluidos se pueden dividir en dos tipos: 1. Movimientos laminares, o de Poiseuille, que son flujos regulares en los que la masa fluida esta formada por filetes yuxtapuestos, perfectamente individualizados, en los que las superficies libres son lisas y unidas; en realidad slo se dan en algunos casos muy particulares o en fluidos muy viscosos; el nmerode Reynolds en flujos por el interior de tubos es inferior a 2.000. 2. Movimientos turbulentos, o hidrulicos, en los que los filetes lquidos se entrecruzan no conservan su individualidad; las superficies libres son turbulentas y estriadas, y son los movimientos que con ms frecuencia se presentan en la prctica.

Si en cada punto de una masa fluida en movimiento turbulento se miden las velocidades instantneas, se observa que estas varian en magnitud y direccin sin ninguna regularidad, con una frecuencia a veces muy grande, pero no se apartan jamas de un valor medio, alrededor del cual oscilaran ms o menos rpidamente; otro tanto sucede con las presiones. Los valores medios, de velocidades y presiones, definen un rgimen ficticio que se conoce como movimiento medio, o rgimen de Bazin, siendo sus caractersticas las que normalmente aparecen en las formulas practicas de Hidrulica. Mediante este modelo, el movimiento de un fluido en cualquier tipo de rgimen, laminar o turbulento, puede asimilarse al de un fluido perfecto, salvo en las zonas prximas a las paredes, en que la existencia de elevados gradientes de velocidad, aun en fluidos de pequea viscosidad, hacen que se manifiesten en gran manera las fuerzas de viscosidad; a esta regin se la conoce como capa lmite. Ley de Poiseuille El caudal total que circula por un cilindro de radio R y longitud L sometido a una diferencia de presiones p1 p2 es:

La velocidad mediav media del fluido vale:

La velocidad mxima es doble que la media. Uniones entre circuitos: La presin y el caudal son equivalentes al potencial elctrico y la intensidad de corriente en los circuitos elctricos. La ley de Poiseuille es similar a la de Ohm (I = V/R):

en donde Rf es la resistencia al flujo, igual a:

Unin en serie:

La resistencia total es la suma de las resistencias de los conductos: Rf = Rf,1 + Rf,2.

Unin en paralelo:

La inversa de la resistencia total es la suma de las inversas de las resistencias de los circuitos:

Nmero de Reynolds El nmero el nmero de Reynolds (Re)establece un criterio de semejanza dinmica entre dos corrientes fluidas, es una magnitudadimensional definida como:

Cuando Re 2000, cualquier turbulencia que se produzca ya no decae. Dos flujos a los que corresponda un mismo valor del nmero deReynolds exhibirn un mismo aspecto, en trminos de las variablesadimensionales, en unas escalas de longitudes y tiempo apropiadas; decimos entonces, que sus movimientos son semejantes Por ser adimensional presenta el mismo valor en cualquier sistema coherente de unidades el nmero de Reynolds puede ser interpretado como la razn existente entre las fuerzas de inercia y las de viscosidad. Cuando el nmero de Reynolds es elevado, aqullas predominan sobre stas; cuando es bajo, ocurre lo contrario.

Fuerzas de arrastre

La fuerza de arrastre, la que produce un fluido a un objeto en su seno, es una combinacin de la fuerza de inercia y de la de rozamiento. Para nmero de Reynolds bajos, domina la de rozamiento y para altos, la de inercia.

La fuerza de arrastre podemos escribirla como:

en donde f(Re) es una funcin del nmero de Reynolds. Para objetos grandes, la fuerza inercial es la dominante y definimos el coeficiente de arrastre como:

siendo A el rea del objeto. Ley de Stokes Para los objetos muy pequeos domina la fuerza de rozamiento. La ley de Stokes nos da dicha fuerza para una esfera:

en donde r es el radio de la esfera. Cuando una disolucin precipita, la velocidad de sedimentacin est determinada por la ley de Stokes y vale:

La ecuacin de Navier-Stokes. Si a las ecuaciones de Euler,vlida solamente para los fluidos ideales se aaden las que ocasiona la viscosidad, se obtienen las ecuaciones de Navier-Stokes en su forma ms simplificada, una ecuacin del movimiento que aplicable a los fluidos reales. Para ello, reescribiremos la ecuacin de Euler, aadiendo al segundo miembro la densidad de fuerza viscosa; esto es

que es la ecuacin de NAVIER-STOKES Para el caso de un fluido incompresible ,

Se reduce a.

Si tenemos en cuenta la identidad

muy empleada en el Clculo Vectorial Diferencial, veremos que la ecuacin de NavierStokes para el flujo incompresible se reduce a la ecuacin de Euler, adems de en el caso trivial de que en los casos siguientes: a) En los flujos irrotacionales e incompresibles sin manantiales ni sumideros, por ser:

b) Cuando el flujo consiste en una rotacin uniforme de una masa fluida como un todo, ya que entonces es

y v=0 (como antes), de modo que

La ecuacin de Navier-Stokes y la ecuacin de continuidad constituyen un sistema de cuatro ecuaciones (escalares) simultneas que, en principio, podran resolverse para las cuatro incgnitas vx, vy y vz, si no fuese por la naturaleza no lineal y la complejidad de las ecuaciones. Desde luego, las dificultades matemticas de la integracin de ese sistema de ecuaciones diferenciales son muy considerables y slo se han resuelto para unos pocos casos particularmente sencillos

Los fluidos se definen como aquellas sustancias que son incapaces de resistir esfuerzos cortantes. Cuando sometemos un cuerpo slido (cristalino) a la accin de un sistema de esfuerzos cortantes, experimenta una deformacin bien definida; por el contrario, los fluidos se deforman continuamente bajo la accin de los esfuerzos cortantes. De una forma muy general, podemos clasificar los fluidos de acuerdo con la relacin existente entre el esfuerzo cortante aplicado y la velocidad de deformacin que se produce en el fluido en: Fluidos newtonianos: aquellos fluidos en los que el esfuerzo cortante es directamente proporcional a la velocidad de deformacin. Muchos fluidos comunes, tales como el agua, el aire, el aceite, la gasolina, etc., se comportan como fluidos newtonianos en condiciones normales. Fluidos no-newtonianos: clasifican una gran variedad de fluidos en los que el esfuerzo cortante no es directamente proporcional a la velocidad de deformacin. Tambin existen muchos fluidos comunes que exhiben un comportamiento no-newtoniano; como ejemplo citaremos la pasta de dientes, la pintura, las mermeladas, la salsa mayonesa, las arenas movedizas, las suspensiones coloidales en general, las gelatinas, el lquido senovial, la sangre, etc FLUIDOS REALES Los fluidos reales se distinguen de los ideales en que poseen una cierta viscosidad, es decir, un rozamiento interior que origina tensiones tangenciales entre los filetes fluidos. Cuando un elemento de fluido se mueve respecto a los elementos contiguos, este movimiento es obstaculizado por la existencia de esfuerzos tangenciales o cortantes que tienden a disminuir la velocidad relativa del elemento considerado con respecto a los elementos contiguos. Entonces se dice que el fluido es viscoso, y el fenmeno recibe el nombre de viscosidad. Podemos considerar la viscosidad como una especie de rozamiento interno en los fluidos, en

virtud del cual aparecen esfuerzos cortantes sobre la superficie de un elemento de fluido en movimiento relativo respecto al resto del fluido. Tanto los lquidos como los gases presentan viscosidad, aunque los primeros son mucho ms viscosos que los segundos El rozamiento en el movimiento de los fluidos se cuantifica a travs del concepto de viscosidad, de acuerdo a la Ley de Newton:

Donde n es el coeficiente de viscosidad, y recibe el nombre de coeficiente de viscosidad absoluta o dinmica y representa el cociente entre el esfuerzo tangencial o cortante y el gradiente transversal de velocidad En el sistema internacional (m.k.s.), la unidad de viscosidad es el pascal segundo (Pa s), que no recibe nombre especial. Sin embargo, esa unidad es poco utilizada, ya que corrientemente se emplea la unidad correspondiente al sistema cegesimal (c.g.s.), la baria segundo (dyn/cm2) s, que recibe el nombre de poise (P). La relacin existente entre ambas unidades es 1 pascal segundo (Pa s) = 10 poise (P) = 1000 cP Frecuentemente se utilizan submltiplos del poise, principalmente el centipoise (cP) para los lquidos y el micropoise ( P) para los gases. La fluidez, se define como el recproco de la viscosidad. Obviamente, el coeficiente de fluidez tiene como valor el inverso del de viscosidad, y su unidad en el sistema c.g.s. es el poise recproco (P-1), que recibe el nombre de rhe (del griego, rhein=fluir). En las ecuaciones de la dinmica de los fluidos viscosos aparece frecuentemente el cociente el cociente de viscosidad dinmica o absoluta y la densidad del fluido. Dicho cociente recibe el nombre de coeficiente de viscosidad cinemtica y se le designa por v

de modo que su unidad en el sistema m.k.s. es el m2/s, que no recibe ningn nombre particular y que es poco utilizada. Por el contrario, se emplea corrientemente la unidad correspondiente al sistema c.g.s., esto es, el cm2/s, que recibe el nombre de Stokes (St). Otro modo de expresar la viscosidad es mediante la llamada viscosidad relativa, definida como el cociente entre la viscosidad absoluta de un fluido y la de otro que se toma como referencia, medidas ambas a la misma temperatura. Los movimientos de circulacin de los fluidos se pueden dividir en dos tipos: 1. Movimientos laminares, o de Poiseuille, que son flujos regulares en los que la masa fluida esta formada por filetes yuxtapuestos, perfectamente individualizados, en los que las superficies libres son lisas y unidas; en realidad slo se dan en algunos casos muy

particulares o en fluidos muy viscosos; el nmerode Reynolds en flujos por el interior de tubos es inferior a 2.000. 2. Movimientos turbulentos, o hidrulicos, en los que los filetes lquidos se entrecruzan no conservan su individualidad; las superficies libres son turbulentas y estriadas, y son los movimientos que con ms frecuencia se presentan en la prctica.

Si en cada punto de una masa fluida en movimiento turbulento se miden las velocidades instantneas, se observa que estas varian en magnitud y direccin sin ninguna regularidad, con una frecuencia a veces muy grande, pero no se apartan jamas de un valor medio, alrededor del cual oscilaran ms o menos rpidamente; otro tanto sucede con las presiones. Los valores medios, de velocidades y presiones, definen un rgimen ficticio que se conoce como movimiento medio, o rgimen de Bazin, siendo sus caractersticas las que normalmente aparecen en las formulas practicas de Hidrulica. Mediante este modelo, el movimiento de un fluido en cualquier tipo de rgimen, laminar o turbulento, puede asimilarse al de un fluido perfecto, salvo en las zonas prximas a las paredes, en que la existencia de elevados gradientes de velocidad, aun en fluidos de pequea viscosidad, hacen que se manifiesten en gran manera las fuerzas de viscosidad; a esta regin se la conoce como capa lmite. Ley de Poiseuille El caudal total que circula por un cilindro de radio R y longitud L sometido a una diferencia de presiones p1 p2 es: La velocidad media vmedia del fluido vale: La velocidad mxima es doble que la media.

Uniones entre circuitos: La presin y el caudal son equivalentes al potencial elctrico y la intensidad de corriente en los circuitos elctricos. La ley de Poiseuille es similar a la de Ohm (I = V/R): en donde Rf es la resistencia al flujo, igual a:

Unin en serie:

La resistencia total es la suma de las resistencias de los conductos: Rf = Rf,1 + Rf,2.

Unin en paralelo: La inversa de la resistencia total es la suma de las inversas de las resistencias de los circuitos:

Nmero de Reynolds El nmero el nmero de Reynolds (Re)establece un criterio de semejanza dinmica entre dos corrientes fluidas, es una magnitud adimensional definida como: Cuando Re 2000, cualquier turbulencia que se produzca ya no decae. Dos flujos a los que corresponda un mismo valor del nmero de Reynolds exhibirn un mismo aspecto, en trminos de las variables adimensionales, en unas escalas de longitudes y tiempo apropiadas; decimos entonces, que sus movimientos son semejantes Por ser adimensional presenta el mismo valor en cualquier sistema coherente de unidades el nmero de Reynolds puede ser interpretado como la razn existente entre las fuerzas de inercia y las de viscosidad. Cuando el nmero de Reynolds es elevado, aqullas predominan sobre stas; cuando es bajo, ocurre lo contrario.

Fuerzas de arrastre La fuerza de arrastre, la que produce un fluido a un objeto en su seno, es una combinacin de la fuerza de inercia y de la de rozamiento. Para nmero de Reynolds bajos, domina la de rozamiento y para altos, la de inercia. La fuerza de arrastre podemos escribirla como: en donde f(Re) es una funcin del nmero de Reynolds. Para objetos grandes, la fuerza inercial es la dominante y definimos el coeficiente de arrastre como: siendo A el rea del objeto. Ley de Stokes Para los objetos muy pequeos domina la fuerza de rozamiento. La ley de Stokes nos da dicha fuerza para una esfera: en donde r es el radio de la esfera.

Cuando una disolucin precipita, la velocidad de sedimentacin est determinada por la ley de Stokes y vale:

La ecuacin de Navier-Stokes. Si a las ecuaciones de Euler,vlida solamente para los fluidos ideales se aaden las que ocasiona la viscosidad, se obtienen las ecuaciones de Navier-Stokes en su forma ms simplificada, una ecuacin del movimiento que aplicable a los fluidos reales. Para ello, reescribiremos la ecuacin de Euler, aadiendo al segundo miembro la densidad de fuerza viscosa; esto es que es la ecuacin de NAVIER-STOKES Para el caso de un fluido incompresible , se reduce a Si tenemos en cuenta la identidad muy empleada en el Clculo Vectorial Diferencial, veremos que la ecuacin de Navier-Stokes para el flujo incompresible se reduce a la ecuacin de Euler, adems de en el caso trivial de que en los casos siguientes: a) En los flujos irrotacionales e incompresibles sin manantiales ni sumideros, por ser b) Cuando el flujo consiste en una rotacin uniforme de una masa fluida como un todo, ya que entonces es y v=0 (como antes), de modo que La ecuacin de Navier-Stokes y la ecuacin de continuidad constituyen un sistema de cuatro ecuaciones (escalares) simultneas que, en principio, podran resolverse para las cuatro incgnitas vx, vy y vz, si no fuese por la naturaleza no lineal y la complejidad de las ecuaciones. Desde luego, las dificultades matemticas de la integracin de ese sistema de ecuaciones diferenciales son muy considerables y slo se han resuelto para unos pocos casos particularmente sencillos.

10. GASES Y FLUIDOS REALES En captulos anteriores estudiamos las consecuencias de la Primera y Segunda Ley y los mtodos analticos para aplicar la Termodinmica a sistemas fsicos. De ahora en ms usaremos esos mtodos para estudiar varios sistemas de inters. Las aplicaciones comprenden: el clculo de un conjunto de propiedades en funcin de otro conjunto, y la determinacin de condiciones de equilibrio en diversas situaciones. Estos son el nico tipo de resultados que podemos obtener en Termodinmica.

Vamos a estudiar la ecuacin de estado de un gas real y mostraremos como usarla para predecir un conjunto de propiedades de una sustancia a partir de otras propiedades conocidas. De esta forma ilustraremos un aspecto de la Termodinmica: el empleo de las relaciones entre las variables de estado que resultan de consecuencia de la Primera y la Segunda Ley para calcular un conjunto de propiedades del sistema a partir de otras propiedades que se han medido. La ecuacin de estado de un gas real La Fig. 10.1 representa en forma cualitativa la ecuacin de estado emprica de un gas real, por medio de curvas isotermas de presin vs. volumen. En ella se aprecian varias caractersticas comunes a todos los gases. gas lquido + vapor lquido PC p V TC T>TC TTC T 0 es aquella en la cual la temperatura del gas disminuye en una expansin de Joule-Thomson.10. Gases y fluidos reales 91 Por encima de la temperatura de inversin TJ T el gas no se puede enfriar mediante una expansin de esta clase (algunos valores de TJ T son 621 K para nitrgeno y 202 K para hidrgeno). Observando la figura se ve tambin que hay una presin mxima por encima de la cual no puede haber enfriamiento de Joule-Thomson, sea cual fuere la temperatura. Esta presin se indica con una lnea de puntos en la figura, y es de unas 380 Atm para nitrgeno y 164 Atm para hidrgeno. A medida que se reduce la presin de un gas real su comportamiento se aproxima a la idealidad, o sea lim ( ) p 0 pv RT = (10.18)

como se puede ver, por ejemplo, de la ec. (10.7). Si queremos informacin acerca del segundo coeficiente virial B a partir de medidas de p

- V - T debemos entonces trabajar a presiones moderadamente altas, para que la desviacin desde la idealidad en la que estamos interesados sea suficientemente grande y la podamos medir con precisin. La situacin es completamente diferente en cuanto al coeficiente de Joule-Thomson. De la ec. (10.16) vemos que lim pp cBT dB dT = +

0 (10.19) de manera que hay efecto Joule-Thomson an en el lmite de presiones muy bajas, donde el comportamiento del gas es de otras formas ideal. Adems, el coeficiente de Joule-Thomson da informacin directa acerca del segundo coeficiente virial. En cambio, para conseguir dicha informacin por medio de mediciones de p - V - T hay que determinar pequeas diferencias entre cantidades del mismo orden de magnitud como ( pv ) y ( ) RT , lo que hace difcil obtener resultados precisos. Por este motivo el coeficiente de Joule-Thomson es muy importante para el estudio de los coeficientes viriales. El coeficiente de Joule es semejante en algunos aspectos al coeficiente de Joule-Thomson, pero es de menor importancia. Uno de los motivos por los cuales es as es que cuando p tambin 2 . Esto lo puede verificar fcilmente el lector calculando para la ecuacin virial. 0 , y lo hace como p 0,

Los ejemplos precedentes muestran que las propiedades termodinmicas de un fluido simple se pueden determinar si se conoce la ecuacin de estado y una de las capacidades calorficas como funcin de la temperatura. El potencial qumico de un fluido puro Ya dijimos que el potencial qumico de una sustancia pura es igual a su funcin de Gibbs molar. Puesto que para una sustancia pura p T Fig. 10.3. Curva de inversin de Joule-Thomson para un gas real. T J-T >0