Física. Unidad 2

Evidencia de aprendizaje. Uso de las leyes de Newton y la ley de la Gravitación Universal.

Titulo:

Evidencia de aprendizaje. Uso de las leyes de Newton y la ley de la Gravitación Universal

Introducción

Para conseguir la órbita geoestacionaria de los satélites, la distancia a la que se ha de situar estos

sobre el ecuador de la tierra es de 35.806Km, sin embargo el satélite no está realmente fijo en el

espacio, si no que viaja una velocidad elevada, unos 11,000 Km/h. a esa velocidad el satélite

circunda la tierra describiendo una circunferencia una vez cada 24horas, es decir, en el mismo

tiempo que tarda la tierra en girar sobre su propio eje, produciéndose en consecuencia la sensación

de que el satélite esta inmóvil en el espacio aunque, en realidad, tanto el punto determinado en la

Tierra como el satélite viajan a gran velocidad.

El movimiento circular uniforme es un movimiento a lo largo de una circunferencia de radio r con una

celeridad constante v. Aun cuando la celeridad se mantiene constante, la aceleración no es nula

porque la dirección del vector velocidad varía continuamente.

Según la ecuación: a=v 2−v1t 2−t 1 , hay aceleración siempre que el vector velocidad varié en magnitud o

en dirección.

En el caso del movimiento circular uniforme, la aceleración se denomina aceleración centrípeta

porque en todo momento está dirigida hacia el centro de la circunferencia. Así, al moverse el cuerpo

varia la dirección de la aceleración. La magnitud de dicha aceleración está relacionada con la

celeridad v y con el radio r por la expresión

a= v2

r

Notemos que v2/r tiene unidades de una aceleración: [V2/r]= (m/s)2 / m = m/s2.1

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Como la celeridad v es constante, la distancia s que recorre el cuerpo a lo largo de la circunferencia

es un tiempo t viene dada por

s=vt

Modelo Teórico

Órbita Geoestacionaria

La orbita Geo síncrona es la órbita alrededor de la tierra descrita por un satélite artificial con un

periodo exactamente igual al periodo de rotación de la Tierra sobre su eje, es decir 23horas, 56

minutos, 4.1 segundos. Si la órbita esta inclinada con respecto al plano ecuatorial, el satélite visto

desde la Tierra parecerá trazar un camino en forma de ocho una vez cada 24 horas. Si la órbita esta

en plano ecuatorial y es circular, el satélite parecer estar estacionario. Esto se denomina orbita

estacionaria u órbita geoestacionaria y ocurre a una altitud de 35900km. La mayoría de los satélites

de comunicaciones están en orbitas geoestacionarias con tres o más de ellos situados alrededor de

la órbita para dar cobertura mundial.

Figura 1. Modelo de una órbita geoestacionario.

Las órbitas geoestacionarias son útiles debido a que un satélite parece estático respecto a un punto

fijo de la Tierra en rotación. El satélite orbita en la dirección de la rotación de la Tierra, a una altitud

de 35,786 km. Esta altitud es significativa ya que produce un período orbital igual al período de

rotación de la Tierra, conocido como día sideral.2

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Para que la órbita sea geoestacionaria el periodo orbital del satélite ha de ser el mismo que el

periodo sidéreo de la rotación terrestre (23horas, 56 minutos).

Movimiento circular de una partícula

Aceleración centrípeta en MCU

La aceleración centrípeta se calcula como la velocidad tangencial al cuadrado sobre el radio o cómo

la velocidad angular por la velocidad tangencial:

(1)

Frecuencia

La frecuencia mide la cantidad de vueltas que se dan en un período de tiempo (normalmente un

segundo). La unidad más común es el Hertz. Un Hertz equivale a una vuelta en un segundo (1 / s).

(2)

Período

El período mide el tiempo que se tarde en dar una vuelta completa y se mide en segundos. Es la

inversa de la frecuencia.

(3)

De la misma forma la frecuencia se puede calcular como la inversa del período.

Ley Gravitación universal

La constante de gravitación universal es una constante física obtenida de forma empírica, que

determina la intensidad de la fuerza de atracción gravitatoria entre los cuerpos. Se denota por G y

aparece tanto en la Ley de gravitación universal de Newton como en la Teoría general de la

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relatividad de Einstein. La medida de "G" fue obtenida implícitamente por primera vez por Henry

Cavendish en 1798. Esta medición ha sido repetida por otros experimentadores con diversas

mejoras y refinamientos.

Aunque "G" fue una de las primeras constantes físicas universales determinadas, debido a la

extremada pequeñez de la atracción gravitatoria el valor de "G" se conoce hoy sólo con una

precisión de 1 parte entre 10.000, siendo una de las constantes conocidas con menor exactitud. Su

valor aproximado es 6.67384 × 10−11 N·m2/kg2

La velocidad orbital de un satélite, es aquella que debe tener para su órbita sea estable y ha de

cumplirse que la fuerza gravitacional que la tierra sea la fuerza centrípeta.

Fc =Fg

mv2

r=G

mTm

r2 (4)

Donde

G = La constante de la gravitación universal

mT = Masa de la tierra

m = Masa del satélite

r = El radio de la órbita media (Radio de la tierra más la altura de la órbita geoestacionaria)

Despejando:

V orvital=√GmTr (5)

Desarrollo

1. del movimiento de un cuerpo en una órbita circular alrededor de la Tierra.

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Para describir el movimiento de un cuerpo en una órbita circular alrededor de la tierra, nos

apoyaremos en el estudio del movimiento circular uniforme.

Donde La aceleración centrípeta se calcula con la ecuación (1):

La velocidad del objeto está dada por:

v=2πrT

La Frecuencia

El Período

2. Descripción del movimiento del satélite en órbita alrededor de la Tierra, suponiendo que la

Tierra es redonda y que la órbita es circular.

El movimiento de un satélite artificial que gira alrededor de la Tierra su poniendo que la tierra es

redonda y la órbita es circular

Describe un las siguientes formulas

Aceleración Centrípeta

ac=v2

r5

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Donde r es el radio y este está dado por

Radio= Radio de la tierra + altura del satélite

La Frecuencia

El Período

Velocidad lineal

v=2πrT

Velocidad Angular

ω= vr

3. Modelado del movimiento del sistema Tierra-satélite usando las leyes de Newton y la ley

de la Gravitación Universal.

Para el modelado del movimiento del sistema Tierra-satélite usando las leyes de newton y la ley

de la gravitación universal.

Debemos comprender la fuerza gravitacional entre dos partículas con masas m1 y m2,

separadas por una distancia r, es una fuerza de atracción que tiene una magnitud dada por:

Donde G = 6.672 x 10-11 Nm2/kg2.

Esta es la ley de gravitación de Newton.

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Ahora un satélite de masa m que se mueve en una órbita circular alrededor de la Tierra a

velocidad constante v y a una altitud h sobre la superficie del planeta.

Puesto que la única fuerza externa sobre el satélite es la gravedad, la cual actúa hacia el centro

de la Tierra, se tiene que

Combinando esto con la segunda ley de Newton se obtiene que

Recordando que r es el radio y es igual al Radio de la tierra más altura del satélite r = (RT + h) .

Podemos despejar la velocidad v quedando:

Puesto que el satélite recorre una distancia de 2πr, el periodo se puede calcular

T=2πrv

La velocidad angula ω= 2π/ T

Modelado de un satélite artificial en una órbita geoestacionaria usando las leyes de

Newton y la ley de la Gravitación Universal

Para calcular el modelo del movimiento de un satélite orbitando alrededor de la Tierra,

necesitamos algunos datos:

La masa de la tierra

La constante de la gravitación universal

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La velocidad angular del satélite

La masa de la tierra es igual a

mT = 5.9736 x 1024

El periodo del satélite es igual al periodo de la órbita geoestacionaria

T = 24 horas = 86400 seg.

La velocidad angula ω= 2π/ T

ω= 2π/ 86400 =7.272 x 10-5

El radio de la órbita media es la suma del radio de la tierra en el ecuador es de 6378 km y la

altura de la órbita geoestacionaria

r = 6378 Km + 35786Km = 42164 Km = 4.2164 × 107 m

La constante de la gravitación universal G = 6.67384 × 10−11 N·m2/kg2

La velocidad lineal del satélite es:

v=2πrT

=2π (4.2164 x107)

86400=26.4924 x10

7

86400=3066.35m / s

La aceleración centrípeta está dada por la formula ac=−ω2r , donde ω=2πT

sustituyendo los

valores encontraremos el valor de la aceleración centrípeta es.

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ac=( 2πT )2

r=4 π2 rT2

=4 π2(4.2164 x 107)

(86400)2= 1.6645 x109

7.46496 x109=0.2229m /s2

Con estos datos podemos modelar el comportamiento del satélite en una órbita geoestacionario.

Simulación del Modelo

Modelo del movimiento de un satélite orbitando alrededor de la Tierra y considerando las leyes de

newton y la ley de la Gravitación Universal usando el programa Tracker

Figura 2. Modelo de la Simulación del satélite.

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4. Dispositivos mecánicos para el movimiento del satélite.

Los sistemas de propulsión posibles para satélites son los mismos sistemas de cohete, en todas

las variantes conocidas, empleándose aquí con mayor profusión pero generalmente con mucha

menor potencia y más precisión en la fuerza. Hay que tener en cuenta que en órbita, el satélite flota

ingrávido pero sigue teniendo masa y es necesario corregir órbitas, cambiar de posición para enfocar

instrumentos u orientarse. Así que con poco empuje es posible moverlo, hacerlo girar, etc., salvo los

cambios acusados de órbita, que necesitan motores de mayor empuje o, menores, pero de más

prolongado funcionamiento.

Para el caso de los satélites geoestacionarios, por ejemplo, el mantenimiento de su posición viene

a suponer al año un total acumulado de incremento de velocidad de unos 50 m/seg de correcciones.

5. Elaboración de un mapa mental de la implementación del proyecto en lo que se refiere al

Uso de las leyes de Newton y la ley de la Gravitación Universal (considera la descripción

del movimiento de un cuerpo en una órbita circular alrededor de la Tierra, la descripción

del movimiento del satélite en órbita alrededor de la Tierra, suponiendo que la Tierra es

redonda y que la órbita es circular, y el modelado del movimiento del sistema Tierra-

satélite usando las leyes de Newton y la ley de la Gravitación Universal, dispositivos

mecánicos para el movimiento del satélite).

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Órbita Geoestacionaria

h= 35,786 km

v Velocidad

BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAPHYFowler, W. A. (2000). Dinamica: Mecanica para Ingenieria. Mexico: pearson Educacion.

Hewitt, P. G. (2004). Fisica Conceptial. Mexico: Pearson Educacion.

Wilson, J. D. (2003). Fisisca. Mexico: Pearson Educacion.

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SatéliteRT=6378 Km

Fuerza

Fm = 1kg

MT=5.9736 x 1024