Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1...

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1

ELECTROMAGNETISMO

◊ INTRODUCIÓN

● MÉTODO

1. En xeral:a) Debúxanse as forzas ou vectores intensidade de campo que actúan sobre o sistema.b) Calcúlase cada forza ou vector intensidade de campo.c) Calcúlase a resultante polo principio de superposición.d) Aplícase a 2ª lei de Newton (lei Fundamental da Dinámica)

∑F = m · a

e) No caso de campos conservativos (campo electrostático)(e.1) Calcúlanse os potenciais nos puntos de orixe A e destino B.(e.2) Calcúlase o traballo das forzas do campo

WA→B = - (E B – E A) = E A – E B = q (VA – VB)

(e.3) Se non hai variación de enerxía cinética o traballo necesario dunha forza exterior é:

W(exterior) = -W(campo)

2. Nos problemas de campo electrostático de cargas puntuais ou esféricas:a) Cálculo do vector intensidade de campo electrostático nun punto creado por unha soa carga:

A intensidade do campo electrostático E creado por unha carga puntual Q nun punto situado a unha distancia r é igual á forza eléctrica FE que exercería a carga Q sobre a unidade de carga posi-tiva situada nese punto.

E = FE / q

Sendo q a carga de proba situada no punto. Se substituímos FE pola expresión da lei de Coulomb, queda:

E⃗ =F⃗ E

q=

KQ · q

r 2 u⃗ r

q=E⃗ =K

Q

r 2 u⃗ r

(a.1) Determínase a distancia r entre a carga Q (situada no punto 1) que crea ocampo e o punto 2.

◦ Se os datos son as coordenadas (x₁, e₁) e (x₂, e₂) dos puntos, a distanciar₁₂ entre eles é:

r 12=|⃗r 12|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)

2

• Se trátase de puntos nun triángulo, a altura h calcúlase:

h = L · sen α

• E se o triángulo é equilátero, a distancia d desde o punto medio O aun vértice A pódese calcular como

d= L /2cos30 ̊

(a.2) Determínase o vector unitario a partir do vector de posición do punto2 respecto ao punto 1 onde se atopa a carga Q que crea o campo.

◦ Se os datos son as coordenadas dos puntos, o vector de posición r₁₂é:

r⃗ 12=Δ r⃗ =r⃗ 2−r⃗ 1=(x 2−x 1) i⃗+(y 2−y 1) j⃗

O vector unitario será:

hL

α

L

30°

h

d

L / 2

O

A


u⃗ r=Δ r⃗|Δ r⃗ |

• En caso de coñecer o ángulo α que forma o vector r₁₂ co eixe X horizontal, o vector unita-rio calcúlase coa expresión:

u = cos α i + sen α j

(a.3) Calcúlase o vector intensidade de campo coa ecuación:

E⃗ =KQr 2 u⃗ r

Sen esquecer escribir as unidades (N/C) no resultado.(a.4) Calcúlase o módulo do vector intensidade de campo sen esquecer escribir as unidades.

b) Cálculo do vector intensidade de campo electrostático nun punto creado por varias cargas:A intensidade de campo electrostático nun punto debido a varias cargas puntuais é a suma vecto-rial das intensidades de campo electrostático creadas por cada carga coma se as outras non estive-sen.(b.1) Debúxanse os vectores forza ou intensidade de campo electrostático producidos no punto

por cada unha das cargas, e debúxase tamén o vector forza ou campo resultante, que é a suma vectorial deles (principio de superposición).

(b.2) Calcúlanse cada un dos vectores forza ou intensidade de campo creados polas cargas, do mesmo xeito que se indicou no apartado anterior, aínda que ás veces non é necesario repetir cálculos porque se poden deducir os resultados a partir do primeiro, á vista da simetría da situación.

(b.3) Calcúlase o vector forza ou intensidade de campo electrostático resultante no punto como a suma vectorial das forzas ou intensidades de campo electrostático producidas por cada carga, aplicando o principio de superposición.

(b.4) Analízase o resultado comparándoo co esbozo debuxado.(b.5) Calcúlase o módulo do vector forza ou intensidade de campo resultante sen esquecer

escribir as unidades.

c) Cálculo do vector forza electrostática sobre unha carga q nun punto creado por varias cargas:A forza electrostática FE entre dúas cargas, Q e q, puntuais ou esféricas (condutoras ocas ou maci-zas, ou illantes cunha distribución homoxénea de carga) separadas unha distancia r réxese pola lei de Coulomb:

F⃗ =KQ · q

r 2 u⃗ r

Realízase de forma análoga á do campo electrostático, usando a expresión da forza no canto da in-tensidade de campo, e tendo en conta que as unidades son newtons (N).

d) Cálculo do traballo necesario para desprazar unha carga q entre dous puntos.Supoñendo que a carga parte do repouso e que chega a B con velocidade nula, o traballo da forza resultante é nulo, e o traballo da forza exterior será igual e de signo contrario ao traballo das for-zas do campo:

W' = - WA→B

O traballo que fan as forzas do campo conservativo é igual ao valor da carga q que se despraza pola diferenza de potencial entre os puntos de partida A e chegada B:

WA→B = - (E B – E A) = E A – E B = q (VA – VB)

O potencial electrostático nun punto situado a unha distancia r dunha carga puntual Q é o traba-llo que fai a forza electrostática cando a unidade de carga positiva trasládase desde a súa posición ata o infinito:


V=W r →∞

q=∫

r

∞F⃗ E

qd r⃗ =∫

r

∞

KQ

r 2 u⃗ r d r⃗ =∫r

∞

KQ

r 2 dr=[−KQr ]r

∞

=KQr

O potencial electrostático nun punto debido a varias cargas puntuais é a suma dos potenciais elec-trostáticos creados por cada carga coma se as outras non estivesen.

V = ∑ V

(d.1) Para o punto de partida calcúlanse as distancias entre o punto no que hai que calcular o potencial e os puntos nos que se atopan as cargas, se non se calcularon antes.

(d.2) Calcúlase o potencial no punto producido por cada carga Q, coa ecuación:

V=KQr

(d.3) Súmanse os potenciais producidos por cada carga nese punto.(d.4) Repítese o proceso para o punto de chegada.(d.5) Calcúlase o traballo das forzas do campo.

WA→B = q (VA – VB)

(d.6) E explícase que o traballo das forzas exteriores é de signo contrario.

3. Nos problemas de campo magnético creado por correntes rectilíneas.Lei de Biot e Savart: O campo magnético B creado a unha distancia r por un condutor rectilíneo polo

que circula unha intensidade de corrente I vale B=μ 0· I

2 π⋅r e é circular arredor do fío. O sentido do

campo magnético é o de peche da man dereita cando o polgar apunta no sentido da corrente.a) Cálculo do vector intensidade de campo magnético nun punto creado por varias correntes

rectilíneas:A intensidade de campo magnético nun punto debido a varias intensidades de corrente eléctrica é a suma vectorial das intensidades de campo magnético creadas por cada corrente coma se as ou-tras non estivesen.(a.1) Debúxanse os vectores intensidade de campo magnético producidos no punto por cada

unha da correntes, e debúxase tamén o vector campo resultante, que é a suma vectorial deles (principio de superposición).

(a.2) Calcúlanse cada un dos vectores intensidade de campo magnético creados pola correntes

usando a lei de Biot e Savart: B=μ 0· I

2 π⋅r, aínda que ás veces non é necesario repetir cálculos

porque se poden deducir os resultados a partir do primeiro, á vista da simetría da situación.(a.3) Calcúlase o vector intensidade de campo magnético resultante no punto como a suma

vectorial das intensidades de campo magnético producidas por cada corrente, aplicando o principio de superposición.

(a.4) Analízase o resultado comparándoo co esbozo debuxado.(a.5) Calcúlase o módulo do vector forza ou intensidade de campo resultante sen esquecer

escribir as unidades.b) Cálculo da forza magnética sobre un condutor exercida por unha ou varias correntes rectilíneas:

Lei de Laplace: A forza magnética que exerce un campo magnético B sobre un tramo l de condutorrectilíneo polo que circula unha intensidade de corrente I é: FB = I (l × B)(b.1) Calcúlase a intensidade do campo magnético resultante sobre o fío como se indica no

apartado anterior.(b.2) Aplícase a lei de Laplace para calcular a forza magnética.

4. Nos problemas de movemento de cargas nun campo magnético constante.Lei de Lorentz

FB = q (v × B)

A forza magnética é perpendicular á velocidade, polo que non realiza traballo. A aceleración só ten compoñente normal aN = v² / R. Como non hai aceleración tanxencial, o módulo da velocidade é cons-


tante. Como q, v e B son constantes, tamén o será a aceleración normal e o raio R de curvatura, polo que a traxectoria será circular se a partícula entra perpendicularmente ao campo.a) Se só actúa a forza magnética, FB, ao aplicar a 2ª lei de Newton queda

F B=|q|⋅|v⃗|⋅|B⃗|⋅senφ=m⋅a=m⋅aN=m⋅v 2

R

Se a dirección da velocidade é perpendicular ao campo magnético,

|q|⋅v ⋅B=m⋅v 2

R⇒ R= m⋅v

|q|⋅B

b) Para calcular o período T úsase a expresión do movemento circular uniforme:

v= 2π⋅RT

Para a frecuencia f, a inversa do período T: f = 1 /Tc) Se hai un campo electrostático que anule a desviación producida polo campo magnético:

(c.1) Faise un debuxo para determinar a dirección e sentido da forza magnética. A dirección do campo magnético tómase perpendicular ao papel usando unha cruz × se o campo entra no papel ou un punto · se sae. A dirección da forza eléctrica é a mesma e o sentido, oposto. O sentido do campo eléctrico depende da carga.

(c.2) Aplícase a lei de Lorentz:

FB + FE = q (v × B) + q · E = 0

● RECOMENDACIÓNS

1. Farase unha lista cos datos, pasándoos ao Sistema Internacional se non o estivesen.

2. Farase outra lista coas incógnitas.

3. Debuxarase un esbozo da situación, procurando que as distancias do esbozo sexan coherentes con ela.Deberase incluír cada unha das forzas ou das intensidades de campo, e a súa resultante.

4. Farase unha lista das ecuacións que conteñan as incógnitas e algún dos datos, mencionando á lei ou principio ao que se refiren.

5. En caso de ter algunha referencia, ao terminar os cálculos farase unha análise do resultado para ver se é o esperado. En particular, comprobar que os vectores campo electrostático teñen a dirección e o sentido acorde co esbozo.

6. En moitos problemas as cifras significativas dos datos son incoherentes. Resolverase o problema su-poñendo que os datos que aparecen cunha ou dúas cifras significativas teñen a mesma precisión que o resto dos datos (polo xeral tres cifras significativas), e ao final farase un comentario sobre o as cifrassignificativas do resultado.

● ACLARACIÓNS

Os datos dos enunciados dos problemas non adoitan ter un número adecuado de cifras significativas, ben porque o redactor pensa que a Física é unha rama das Matemáticas e os números enteiros son números «exactos» (p. ex. a velocidade da luz: 3·10⁸ m/s cre que é 30000000000,0000000000000000000... m/s)ou porque aínda non se decatou de que se pode usar calculadora no exame e parécelle máis sinxelo usar 3·10⁸ que 29907920458 m/s).Por iso supuxen que os datos teñen un número de cifras significativas razoables, case sempre tres ci-fras significativas. Menos cifras darían resultados, en certos casos, cunha incerteza desmedida. Así que cando tomo un dato como c = 3·10⁸ m/s e reescríboo como:Cifras significativas: 3


c = 3,00·10⁸ m/sO que quero indicar é que supoño que o dato orixinal ten tres cifras significativas (non que as teña enrealidade) para poder realizar os cálculos cunha incerteza máis pequena que a que tería nese caso. (3·10⁸ m/s ten unha soa cifra significativa, e unha incerteza relativa do 30 %. Como as incertezas adói-tanse acumular ao longo do cálculo, a incerteza final sería inadmisible. Entón, para que realizar os cálculos? Cunha estimación sería suficiente).

◊ PROBLEMAS

● CAMPO ELECTROSTÁTICO

1. Dúas cargas eléctricas de 3 mC están situadas en A(4, 0) e B(-4, 0) (en metros). Calcula:a) O campo eléctrico en C(0, 5) e en D(0, 0).b) O potencial eléctrico nos mesmos puntos C e D.c) O traballo para trasladar q' = -1 mC desde C a D.Datos: K = 9·10⁹ N·m²·C⁻²; 1 mC = 10⁻³ C (P.A.U. Xuño 09)Rta.: a) EC = 1,03·10⁶ j N/C; ED = 0; b) VC = 8,43·10⁶ V; VD = 1,35·10⁷ V c) W(ext.) = -5,1·10³ J

Datos Cifras signiffativas: 3Posición da carga Q₁ rA = (4,00, 0) mPosición da carga Q₂ rB = (-4,00, 0) mPosición do punto C rC = (0, 5,00) mPosición do punto D rD = (0, 0) mValor da carga situada no punto A Q₁ = 3,00 mC = 3,00·10⁻³ CValor da carga situada no punto B Q₂ = 3,00 mC = 3,00·10⁻³ CValor da carga que se traslada q = -1,00 mC = -1,00·10⁻³ CConstante eléctrica K = 9,00·10⁹ N·m²·C⁻²InfógnitasIntensidade do campo electrostático nos puntos C e D EC, ED

Potencial electrostático nos puntos C e D VC, VD

Traballo para trasladar unha carga de -1 mC desde C a D WC→D

Outros símbolosDistancia entre dous puntos A e B rAB

EfuafiónsIntensidade do campo electrostático nun punto creado por unha carga pun-tual Q situada a unha distancia r

E⃗=K Qr 2 u⃗r

Principio de superposición E⃗ A=∑ E⃗ A i

Potencial electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situadaa unha distancia r V=K

Qr

Potencial electrostático nun punto debido a varias cargas V = ∑ VTraballo que fai a forza do campo cando se move unha carga q desde un punto A até outro punto B


Solufión:

a) Faise un debuxo cos vectores intensidade de campo electrostático creadopor cada carga e a suma vectorial, que é o vector campo E resultante.Para o punto C(0, 5):As distancias entre os puntos AC e BC son as mesmas:

r AC=r BC=|⃗r C−r⃗ A|=√ (0 [m ]−(−4,00 [m ]))2+(5,00 [m ]−0 [m ])2=6,40 m

A intensidade de campo electrostático no punto C, debida á carga de 3 mCsituada no punto A, é:

C

EC

r BC

EB→CEA→C

B AD

EA→D EB→D


A intensidade de campo electrostático no punto C(0, 5) debida á carga de 3 mC situada no punto B é si-métrica á do punto A:

EB→C = (4,11·10⁵ i + 5,14·10⁵ j) N/C

Polo principio de superposición, a intensidade de campo electrostático resultante no punto C(0, 5) é a sumavectorial das intensidades de campo de cada carga:

EC = EA→C + EB→C = (-4,11·10⁵ i + 5,14·10⁵ j) [N/C] + (4,11·10⁵ i + 5,14·10⁵ j) [N/C] = 1,03·10⁶ j N/C

Análise: A dirección do campo resultante é vertical cara arriba, como se ve no debuxo.

Para o punto D(0, 0):Como as distancias AD e BD son as mesmas e as cargas situadas en A e en B son iguais, os vectores inten-sidade de campo electrostático creados polas cargas en A e en B son opostos (mesmo valor e dirección perosentido contrario como se ve no debuxo) polo que a súa resultante é nula.

ED = 0

b) Os potenciais no punto C(0, 5) debidos a cada carga son iguais e valen:

V B→C=V A→C=V 1=9,00·109 [N·m2·C−2] 3,00 ·10−3 [C ](6,40 [m ])

=4,22 ·106 V

O potencial electrostático dun punto debido á presenza de varias cargas, é a suma alxébrica dos potenciais debidos a cada carga.

VC = VA→C + VB→C = 2 · V₁ = 2 · 4,22·10⁶ [V] = 8,43·10⁶ V

Analogamente para o punto D(0, 0)

V B→D=V A→D=V 2=9,00·109 [N·m2· C−2]3,00 ·10−3 [C ](4,00 [m ])

=6,75 ·106 V

VD = VA→D + VB→D = 2 · V₂ = 2 · 6,75·10⁶ [V] = 13,5·10⁶ V

c) O traballo que fai a forza do campo é

WC→D = q (VC – VD) = -1,00·10⁻³ [C] · (8,43·10⁶ – 13,5·10⁶) [V] = 5,1·10³ J

Supoñendo que salga e chegue con velocidade nula, o traballo que hai que facer é:

W(exterior) = -W(campo) = -5,1·10³ J

2. Tres cargas de +3 μC están situadas equidistantes entre se sobre unha circunferencia de raio 2 m. Cal-cula:a) O potencial eléctrico no centro da circunferencia.b) O vector campo eléctrico no mesmo punto.c) O traballo para traer unha carga q' = 1 μC desde o infinito ao centro da circunferencia.Dato: K = 9·10⁹ N·m²·C⁻² (P.A.U. Xuño 12)Rta.: a) V = 4,05·10⁴ V; b) EO = 0; c) W(ext.) = 4,05·10⁻² J

Datos Cifras signiffativas: 3Valor de cada carga Q = 3,00 μC = 3,00·10⁻⁶ CRadio da circunferencia R = 2,00 mValor da carga que se traslada q = -1,00 μC = 1,00·10⁻⁶ CConstante eléctrica K = 9,00·10⁹ N·m²·C⁻²InfógnitasPotencial electrostático no centro da circunferencia VO

Intensidade do campo electrostático no centro da circunferencia EO

Traballo para trasladar unha carga de 1 μC desde o infnito ao centro W∞→O

Outros símbolos


Datos Cifras signiffativas: 3Distancia entre dous puntos A e B rAB

Efuafións

Lei de Coulomb (aplicada a dúas cargas puntuais separadas unha distancia r) E⃗=K Qr 2 u⃗r

Principio de superposición F⃗ A=∑ F⃗ A i

Potencial electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a unha distancia r V=K

Qr

Potencial electrostático de varias cargas V = ∑ VTraballo que fai a forza do campo cando se move unha carga q desde un punto A ata outro punto B


Solufión:

a) Os potenciais no centro O da circunferencia debidos a cada carga son iguais porque tanto as cargas comoas distancias ao centro son iguais. Valen:

V C→O=V B→O=V A→O=V =9,00·109 [N·m2 ·C−2] 3,00·10−6 [C](2,00 [m ])

=1,35·104 V

O potencial electrostático dun punto debido á presenza de varias cargas, é a suma alxébrica dos potenciais debidos a cada carga.

VO = VA→O + VB→O + VC→O = 3 · V = 3 · 1,35·10⁴ [V] = 4,05·10⁴ V

b) Faise un debuxo cos vectores intensidade de campo electrostático creado por cadacarga e a suma vectorial que é o vector campo E resultante.Ao ser iguais as tres cargas e estar á mesma distancia do centro da circunferencia, ostres vectores intensidade de campo electrostático son simétricos e a súa resultante énula:

EO = 0

Se queres realizar os cálculos:A intensidade de campo electrostático no centro O da circunferencia, debida á carga de 3 μC situada no punto A é:

E⃗ A→O=9,00·109 [N·m2 ·C−2] 3,00·10−6 [C](2,00 [m ])2

(− i⃗ )=−6,75 ·103 i⃗ N /C

A intensidade de campo electrostático no centro O da circunferencia, debida á carga de 3 μC situada no punto B é:

E⃗ B→O=9,00·109 [N·m2· C−2]3,00 ·10−6 [C ](2,00 [m ])2

(cos(−60 °) i⃗+sen(−60°) j⃗)=(3,38 ·103 i⃗−5,85·103 j⃗) N /C

Por simetría, a intensidade de campo electrostático no centro O da circunferencia, debida á carga de 3 μC situada no punto C é:

EC→O = 3,38·10³ i + 5,85·10³ j N/C

Polo principio de superposición, a intensidade de campo electrostático resultante no punto O é a suma vec-torial das intensidades de campo de cada carga:

EO = EA→O + EB→O + EC→O = (-6,75·10³ i) + (3,38·10³ i – 5,85·10³ j) + (3,38·10³ i + 5,85·10³ j) = 0 i + 0 j

c) O traballo que fai a forza do campo é

W∞→O = q (V∞ – VO) = 1,00·10⁻⁶ [C] · (0 – 4,05·10⁴) [V] = -4,05·10⁻² J


W(exterior) = -W(campo) = 4,05·10⁻² J

A

B

C


3. Tres cargas eléctricas puntuais de 10⁻⁶ C atópanse situadas nos vértices dun cadrado de 1 m de lado. Calcula:a) A intensidade do campo e o potencial electrostático no vértice libre.b) Módulo, dirección e sentido da forza do campo electrostático sobre unha carga de -2·10⁻⁶ C

situada no devandito vértice.c) O traballo realizado pola forza do campo para trasladar a devandita caga desde o vértice ao centro

do cadrado. Interpreta o signo do resultado.Dato: K = 9·10⁹ N·m²·C⁻² (P.A.U. Set. 13)Rta.: a) E = 1,72·10⁴ N/C, diagonal cara a fóra; V = 2,44·10⁴ V; b) |F| = 0,03444 N, diagonal cara ao cen-

tro; c) WE = 0,02746 J

Datos Cifras signiffativas: 3Lado do cadrado l = 1,00 mValor da carga situada no punto A(0, 0) m QA = 1,00·10⁻⁶ CValor da carga situada no punto B(1,00, 0) m QB = 1,00·10⁻⁶ CValor da carga situada no punto C(0, 1,00) m QC = 1,00·10⁻⁶ CValor da carga situada no punto D(1,00, 1,00) m QD = -2,00·10⁻⁶ CConstante eléctrica K = 9,00·10⁹ N·m²·C⁻²InfógnitasIntensidade do campo electrostático no punto D ED

Potencial electrostático no punto D VD

Traballo do campo ao levar a carga desde D ao centro do cadrado G WD→G



E⃗=K Qr 2 u⃗r



Qr



Solufión:

a) Faise un debuxo das cargas e de cada un dos vectores cam-po e da suma vectorial que é o vector campo E resultante.As distancias BD e CD valen a lonxitude do lado:

rBD = rCD = l = 1,00 m

A distancia AD é a lonxitude da diagonal do cadrado

r AD=|r⃗ AD|=√(1,00 [m ])2+(1,00 [m ])2=1,41 m

Elíxese un sistema de referencia coa orixe en cada carga, to-mando o eixe X horizontal, positivo cara á dereita e o eixe Yvertical, positivo cara arriba.O vector unitario uCD do punto D tomando como orixe o pun-to C é o vector i unitario do eixe X.O vector unitario uBD do punto D tomando como orixe o pun-to B é o vector j unitario do eixe Y.O vector unitario uAD do punto D tomando como orixe o punto A é:

u⃗AD=r⃗ AD

|⃗r AD|=(1,00 i⃗+1,00 j⃗) [m ]

1,41 [m ]=0,707 i⃗+0,707 j⃗

D

EC→D

C

BA

EB

→D

E A→D

E D


A intensidade de campo electrostático no punto D, debida á carga de 1 µC situada no punto A é:

E⃗ A→D=9,00· 109 [N·m2 C−2]· 1,00·10−6 [C](1,41 [m ])2

(0,707 i⃗+0,707 j⃗)=(3,18 ·103 i⃗+3,18 ·103 j⃗) N /C

A intensidade de campo electrostático no punto D, debida á carga de 1 µC situada no punto B é:

E⃗ B→D=9,00·109 [N·m2 C−2]· 1,00 ·10−6 [C ](1,00 [m ])2

j⃗=9,00·103 j⃗ N /C

Por analoxía, a intensidade de campo electrostático no punto D, debida á carga de 1 µC situada no punto C é:

EC→D = 9,00·10³ i N/C

Aplicando o principio de superposición,

ED = ∑ E→D = EA→D + EB→D + EC→D

ED = (3,18·10³ i + 3,18·10³ j) [N/C] + (9,00·10³ j) [N/C] + (9,00·10³ i) [N/C] = (1,22·10⁴ i + 1,22·10⁴ j) N/C

Análise: O vector intensidade de campo eléctrico resultado do cálculo é diagonal cara arriba e cara á dereita, coherente co debuxo que se fxo.

O valor do campo é:

|E⃗D|=√(1,22·104 [N /C ])2+(1,22·104 [N /C])2=1,72 ·104 N /C

Xeneralizando o resultado para calquera sistema de referencia,

|ED | = 1,72·10⁴ N/C. O campo vai na dirección da diagonal, cara a fóra.

Os potenciais electrostáticos no punto D debidos ás cargas en C e B son iguais e valen:

V B→D=V C→D=9,00· 109 [N·m2 C−2] 1,00·10−6 [C ](1,00 [m ])

=9,00 ·103 V

O potencial electrostático no punto D debido á carga en A vale:

V A→D=9,00·109 [N·m2 C−2] 1,00·10−6 [C ](1,41 [m ])

=6,36·103 V

O potencial electrostático nun punto debido á presenza de varias cargas, é a suma alxébrica dos potenciais debidos a cada carga.

VD = VA→D + VB→D + VC→D = 6,36·10³ [V] + 2 · 9,00·10³ [V] = 2,44·10⁴ V

b) Como a intensidade do campo electrostático nun punto é a forza sobre a unidade de carga positiva colo-cada nese punto, podemos calcular a forza electrostática sobre a carga de -2 µC a partir do vector intensi-dade de campo electrostático:

F = q · E = -2,00·10⁻⁶ [C] (1,22·10⁴ i + 1,22·10⁴ j) [N/C] = (-2,44·10⁻² i – 2,44·10⁻² j) N

Xeneralizando o resultado para calquera sistema de referencia,

|F | = |q | · |E | = 2,00·10⁻⁶ [C] · 1,72·10⁴ [N/C] = 3,44·10⁻² N.

A forza vai na dirección da diagonal, cara ao centro do cadrado, porque a carga é negativa.

c) O traballo que fai a forza do campo cando se traslada a carga q = -2 µC desde o vértice D ao centro G do cadrado é

WD→G = q (VD – VG)

Falta calcular o potencial electrostático no punto G situado no centro do cadrado de forma análoga a como se fxo antes.A distancia de cada vértice ao centro do cadrado é a metade da diagonal:

rAG = rBG = rCG = 1,41 [m] / 2 = 0,707 m

Os potenciais electrostáticos no punto G debidos ás cargas en A, B e C son iguais e valen:


V A→G=V B→G=V C→G=V=9,00 ·109 [N·m2 ·C−2] 1,00·10−6 [C](0,707 [m ])

=1,27·104 V

O potencial electrostático en G é a suma alxébrica dos potenciais debidos a cada carga.

VG = VA→G + VB→G + VC→G = 3 · V = 3 · 1,27·10⁴ [V] = 3,82·10⁴ V

O traballo da forza do campo é

WE = WD→G = q (VD – VG) = -2,00·10⁻⁶ [C] · (2,44·10⁴ – 3,82·10⁴) [V] = 2,76·10⁻² J

O traballo é positivo porque o sentido da forza (cara ao centro do cadrado) e o do desprazamento son iguais.

4. Tres cargas de -2, 1 e 1 µC están situadas nos vértices dun triángulo equilátero e distan 1 m do centrodo mesmo.a) Calcula o traballo necesario para levar outra carga de 1 µC desde o infinito ao centro do triángulo.b) Qe forza sufrirá a carga unha vez que estea situada no centro do triángulo?c) Razoa se nalgún punto dos lados do triángulo pode existir un campo electrostático nulo.Dato: K = 9·10⁹ N·m²·C⁻² (P.A.U. Xuño 16)Rta.: a) W = 0; b) F = 0,02740 N cara á carga negativa

Datos Cifras signiffativas: 3Valor da carga situada no punto A Q₁ = -2,00 µC = -2,00·10⁻⁶ CValor da carga situada no punto B Q₂ = 1,00 µC = 1,00·10⁻⁶ CValor da carga situada no punto C Q₃ = 1,00 µC = 1,00·10⁻⁶ CDistancia das cargas ao centro do triángulo r = 1,00 mValor da carga que se traslada q = 1,00 µC = 1,00·10⁻⁶ CConstante eléctrica K = 9,00·10⁹ N·m²·C⁻²InfógnitasTraballo para levar unha carga de 1 µC do infnito ao centro do triángulo. W∞→O

Forza sobre a carga no centro do triángulo FOutros símbolosDistancia entre dous puntos A e B rAB

Efuafións

Lei de Coulomb (aplicada a dúas cargas puntuais separadas unha distancia r) E⃗=K Qr 2 u⃗r



Qr



Solufión:

a) O traballo W da forza do campo cando se leva unha carga q desde o infnito ata o centro O do triángulo é:

W∞→O = q (V∞ – VO)

Para calcular o potencial electrostático no centro O do triángulo, calcúlanse cada un dos potenciais creadosnese punto por cada carga situada nos vértices e de seguido súmanse.A ecuación do potencial V electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a unha dis-tancia r é:

V=KQr

O potencial electrostático no centro O do triángulo debido a a carga de -2 µC situada no punto A a 1 m de distancia vale:


V A→O=9,00·109 [N·m2 ·C−2]−2,00 ·10−6 [C ](1,00 [m ])

=−1,80·104 V

Os potenciais electrostáticos no centro O do triángulo debidos ás cargas de 1 µC situadas nos puntos B e C son iguais porque tanto as cargas como as distancias ao centro son iguais. Valen:

V B→O=V C→O=9,00·109 [N·m2 ·C−2] 1,00·10−6 [C](1,00 [m ])

=9,00·103 V

O potencial electrostático dun punto debido á presenza de varias cargas é a suma alxébrica dos potenciais debidos a cada carga.

VO = VA→O + VB→O + VC→O = -1,80·10⁴ [V] + 9,00·10³ [V] + 9,00·10³ [V] = 0

O potencial electrostático no infnito é nulo por defnición.O traballo que fai a forza do campo cando se leva unha carga de 1µC desde o infnito ata o centro O do triángulo é:

W∞→O = q (V∞ – VO) = 1,00·10⁻⁶ [C] · (0 – 0) [V] = 0

Supoñendo que a carga salga e chegue con velocidade nula, o traballo que hai que facer é:

W(exterior) = -W(campo) = 0

b) Faise un esquema no que se debuxan os vectores forza electrostática exercida so-bre a carga que está no centro.Debúxase un vector por cada carga, tendo en conta o sentido. As forzas exercida po-las cargas nos puntos B e C son de repulsión (porque as cargas son do mesmo signo)pero a forza realizada pola carga en A é de atracción e vale o dobre que unha dasoutras.Debúxase o vector suma vectorial que é o vector forza F resultante.Como os vectores forza creados polas cargas en B e C son domesmo valor, as súas compoñentes verticais anúlanse e a re-sultante estará dirixida cara ao vértice A.Calcúlanse cada unha das forzas entre as cargas situadas nosvértices e a carga situada no centro coa lei de Coulomb.

F⃗=K Q⋅qr2u⃗r

A forza electrostática sobre a carga de 1 μC situada no centro O do triángulo, debida á carga de- 2 μC situa-da no punto A é:

F⃗ A→O=9,00· 109 [N·m2 ·C−2]−2,00 ·10−6 [C ]·1,00· 10−6 [C ](1,00 [m ])2

(− i⃗ )=0,01840 i⃗ N

(O vector unitario u é un vector cuxa dirección é a da liña A → O e o sentido é desde a carga que exerce a forza (A) cara a carga que a sofre (O): neste caso é o vector unitario horizontal en sentido negativo –i)A forza electrostática sobre a carga de 1 μC situada no centro O do triángulo, debida á carga de 1 μC situa-da no punto B é:

F⃗ B→O=9,00·109 [N·m2· C−2] 1,00·10−6 [C]· 1,00·10−6 [C](1,00 [m ])2

(cos(−60 °) i⃗+sen (−60°) j⃗ )=(4,50·10−3 i⃗−7,79 ·10−3 j⃗) N

(Cando se coñece o ángulo α que forma o vector u co eixe X horizontal, o vector unitario calcúlase coa ex-presión: u = cos α i + sen α j)A forza electrostática sobre a carga de 1 μC situada no centro O do triángulo, debida á carga de 1 μC situa-da no punto C é simétrica á exercida pola carga que se atopa no punto B:

FC→O = 4,50·10⁻³ i + 7,79·10⁻³ j N

(O vector ten a mesma compoñente horizontal, e a compoñente vertical é do mesmo valor pero de signo contrario).

A

B

C

O

A

B

C

O-60°


Polo principio de superposición, a forza electrostática resultante sobre a carga de 1 μC situada no centro O do triángulo é a suma vectorial das forzas exercidas por cada carga:

F = FA→O + FB→O + FC→O = (18,0·10⁻³ i) + (4,5·10⁻³ i – 7,8·10⁻³ j) + (4,5·10⁻³ i + 7,8·10⁻³ j) = 0,02740 i N

Análise: Coincide co debuxo pois as compoñentes verticais anúlanse e só queda a compoñente horizontal en sentido positivo.

c) Non. En ningún punto dos lados do triángulo pode existir un campo electrostático nulo.No centro do lado BC anúlanse as forzas debidas ás cargas situadas nos vértices B e C, pero a forza da car-ga de -2 µC situada en A queda sen contrarrestar.Calquera outro punto dese lado estaría máis cerca dunha das cargas verti-cais, e nese caso, a compoñente vertical dunha delas sería maior que a ou-tra e non se anularían.Nos outros lados as forzas da carga situada en A e a do outro vértice sem-pre sumarían e tampouco se anularían. O debuxo representa forza no cen-tro do lado BA.

5. Dadas tres cargas puntuais q₁ = 10⁻³ µC en (-8, 0) m, q₂ = –10⁻³ µC en (8, 0) m e q₃ = 2·10⁻³ µC en (0, 8) m. Calcula:a) O campo e o potencial eléctricos en (0, 0)b) A enerxía electrostática.c) Xustifica que o campo electrostático é conservativo.Datos: 1 µC = 10⁻⁶ C; K = 9·10⁹ N·m²·C⁻² (P.A.U. Set. 07)Rta.: a) EO = 0,282 i – 0,282 j N/C; VO = 2,25 V; b) E = -5,63·10⁻¹⁰ J

Datos Cifras signiffativas: 3Valor da carga situada no punto 1 q₁ = 10⁻³ µC = 1,00·10⁻⁹ CValor da carga situada no punto 2 q₂ = -10⁻³ µC = -1,00·10⁻⁹ CValor da carga situada no punto 3 q₃ = 2·10⁻³ µC = 2,00·10⁻⁹ CPosición do punto 1 r₁ = (-8,00, 0) mPosición do punto 2 r₂ = (+8,00, 0) mPosición do punto 3 r₃ = (0, 8,00) mPosición do punto 4 onde hai que calcular o campo e potencial r₄ = (0, 0) mConstante eléctrica K = 9,00·10⁹ N·m²·C⁻²InfógnitasIntensidade do campo electrostático no punto (0, 0) E₄Potencial electrostático no punto (0, 0) V₄Enerxía electrostática EOutros símbolosDistancia entre dous puntos A e B rAB


E⃗=K Qr 2 u⃗r

Principio de superposición E⃗ A=∑ E⃗A i


Qr

Potencial electrostático nun punto debido a varias cargas V = ∑ VEnerxía potencial electrostática dunha interacción entre dúas cargas Q e q situadas a unha distancia r una da outra.

E p=q ·V =KQ · q

rEnerxía potencial electrostática dun conxunto de cargas E = ∑E = ½∑E

Solufión:

a) A intensidade de campo electrostático debida á carga de 1 no punto 4 é:

A

B

C

O


E⃗ 1→4=9,00· 109 [N·m2 ·C−2]· 1,00·10−9 [C ](8,00 [m ])2

i⃗=0,141 i⃗ N /C

A intensidade de campo electrostático debida á carga 2 no punto 4 é a mesma,

E₂→₄ = 0,141 i N/C

A intensidade de campo electrostático debida á carga 3 no punto 4 é:

E⃗ 3→4=9,00· 109 [N·m2 ·C−2] · 2,00 · 10−9 [C ](8,00 [m ])2

(− j⃗)=−0,282 j⃗ N /C

A intensidade de campo electrostático no punto 4 é, polo principio de superposición:

E₄ = E₁→₄ + E₂→₄ + E₃→₄ = 0,282 i – 0,282 j N/C

O seu módulo vale:

|E⃗ 4|=√((0,282 [N /C ])2+(0,282 [N /C])2)=0,398 N /C

Os potenciais no punto 4 debidos a cada carga valen:O potencial electrostático debido á carga 1:

V 1→4=9,00· 109 [N·m2 ·C−2] 1,00·10−9 [C ](8,00 [m ])

=1,13 V

O potencial electrostático debido á carga 2 é oposto, xa que a carga 2 vale o mesmo que a carga 1 pero é ne-gativa e atópase á mesma distancia:

V₂→₄ = -1,13 V

O potencial electrostático debido á carga 3 é o dobre que o da carga 1, xa que a carga 3 vale o dobre e atópase á mesma distancia:

V₃→₄ = 2,25 V

O potencial electrostático do punto 4 é:

V₄ = V₁→₄ + V₂→₄ + V₃→₄ = 1,13 V – 1,13 V + 2,25 V = 2,25 V

b) A enerxía potencial de cada interacción entre dúas cargas vén dada pola expresión:

E p i=K Q · qr

A enerxía total electrostática é a suma das enerxías do tres interaccións: 1↔2; 2↔3 e 1↔3.

E1↔ 2

=9,00·109 [N·m2 ·C−2] 1,00·10−9 [C] ·(−1,00 ·10−9) [C]16,00 [m ]

=−5,63 ·10−10 J

E2↔ 3

=9,00·109 [N·m2 ·C−2] (−1,00·10−9) [C]· 2,00·10−9 [C]

√(8,00 [m ])2+(8,00 [m ])2=−15,9 ·10−10 J

E1↔ 3

=9,00·109 [N·m2 ·C−2] 1,00·10−9 [C] ·2,00·10−9 [C]

√(8,00 [m ])2+(8,00 [m ])2=15,9 ·10−10 J

E = E₁↔₂ + E₂↔₃ + E₁↔₃ = -5,63·10⁻¹⁰ J

Análise: Se se calculase a enerxía total como a suma das enerxías potenciais do tres cargas, o resultado daría o dobre, porque estaríanse contando as interaccións dúas veces. Por exemplo a interacción 1 ↔ 2 aparece no cál-culo da enerxía potencial da carga 1 e tamén no cálculo da enerxía potencial da carga 2.

c) O campo de forzas electrostático é conservativo porque o traballo que realizan as forzas do campo ao mover unha carga entre dous puntos é independente do camiño seguido e só depende dos puntos inicial e fnal. Neste caso pódese defnir unha función escalar chamada potencial V asociada ao campo de forzas vectorial de modo que o traballo entre eses puntos é igual a variación da enerxía potencial entre eses dous puntos. Como o potencial electrostático é igual á enerxía potencial da unidade de carga.


WA→B = –∆E = q (VA – VB)

6. En dous dos vértices dun triángulo equilátero de 2 cm de lado sitúanse dúas cargas puntuais de +10 µC cada unha. Calcula:a) O campo eléctrico no terceiro vértice.b) O traballo para levar unha carga de 5 µC desde o terceiro vértice ata o punto medio do lado

oposto.c) Xustifica por que non necesitas coñecer a traxectoria no apartado anterior.Datos: K = 9·10⁹ N·m²·C⁻²; 1 µC = 10⁻⁶ C (P.A.U. Xuño 08)Rta.: a) EC = 3,90·10⁸ N/C, na bisectriz cara ao exterior; b) W(ext.) = 45,0 J

Datos Cifras signiffativas: 3Valor de cada carga fxa Q = 10,0 µC = 1,00·10⁻⁵ CLonxitude do lado do triángulo equilátero L = 2,00 cm = 0,02040 mValor da carga que se despraza q = 5,00 µC = 5,00·10⁻⁶ CConstante eléctrica K = 9,00·10⁹ N·m²·C⁻²InfógnitasVector intensidade do campo eléctrico no terceiro vértice EC

Traballo para levar 5 µC desde C o terceiro vértice ata o punto D medio do lado oposto

WC→D



E⃗=K Qr 2 u⃗r



Qr



Solufión:

a) Sitúanse as cargas nos vértices A e B do lado horizontal e faise un debuxo de cada undos vectores intensidade de campo e da suma vectorial que é o vector campo resultanteno punto C que é o outro vértice.O vector unitario do punto C, uAC respecto de A é:

u⃗AD=cos60º i⃗ +sen 60º j⃗=0,500 i⃗+0,866 j⃗

A intensidade de campo electrostático ECA no punto C debida á carga de 10 μC situadaen A é:

E⃗CA=9,00·109 [N·m2 ·C−2] 1,00 ·10−5 [C](0,02040 [m ])2 (0,500 i⃗+0,866 j⃗)=

=(1,13·108 i⃗+1,95 ·108 j⃗) N /C

Por simetría, a intensidade de campo electrostático ECB en C debida á carga de 10 μC situada en B é:

ECB = (–1,13·10⁸ i + 1,95·10⁸) j N/C

O campo resultante en C debido a ambas as cargas (principio de superposición) é:

EC = (–1,13·10⁸ i + 1,95·10⁸ j) [N/C] + (1,13·10⁸ i + 1,95·10⁸ j) [N/C] = 3,90·10⁸ j N/C

Análise: O campo resultante do cálculo é vertical, coherente co debuxo que se fxo.

Unha resposta xeral independente de como se elixiron os vértices sería: O campo eléctrico no terceiro vér-tice vale 3,90·10⁸ N/C e está dirixido segundo a bisectriz do ángulo cara ao exterior do triángulo.

E CA

EC

A B

C

EC

B

2cm

D


b) Os potenciais no punto C debidos a cada carga valen:

V CA=V CB=9,00 ·109 [N·m 2·C−2 ]1,00 ·10−5 [C ](0,02040 [m ])

=4,50·106 V

O potencial electrostático no punto C é:

VC = VCA + VCB = 2 · 4,50·10⁶ [V] = 9,00·10⁶ V

Chamando punto D ao centro do lado AB, os potenciais no punto D debidos a cada carga valen:

V DA=V DB=9,00 ·109 [N·m2· C−2]1,00 ·10−5 [C ](0,01040 [m ])

=9,00 ·106 V

O potencial electrostático no punto D é:

VD = VDA + VDB = 2 · 9,00·10⁶ [V] = 1,80·10⁷ V

O traballo realizado polas forzas do campo electrostático cando se move unha carga q = 5 µC desde o puntoC ao D é a diminución da enerxía potencial entre os puntos C e D:

WC→D = q (VC – VD) = 5,00·10⁻⁶ [C] · (9,00 ·10⁶ – 1,80·10⁷) [V] = –45,0 J

O traballo necesario para mover unha carga q = 5 µC desde o punto C ao D, supoñendo que chegue a D coamesma velocidade que tiña en C, é:

W(exterior) = –W(campo) = 45,0 J

c) A forza electrostática é unha forza conservativa e o traballo que realiza é independente do camiño segui-do para ir dun punto a outro.

7. Dúas cargas puntuais iguais q = 1 µC están situadas nos puntos A(5, 0) e B(-5, 0). Calcula:a) O campo eléctrico nos puntos C(8, 0) e D (0, 4)b) A enerxía para trasladar unha carga de -1 µC desde C a D.Datos: 1 µC = 10⁻⁶ C, K = 9·10⁹ N·m²·C⁻². As coordenadas en metros. (P.A.U. Set. 06)Rta.: a) EC = 1,05·10³ i N/C; ED = 2,74·10² j N/C; b) ΔE = 8,81·10⁻⁴ J

Datos Cifras signiffativas: 3Valor da carga situada no punto A QA = 1,00 µC = 1,00·10⁻⁶ CValor da carga situada no punto B QB = 1,00 µC = 1,00·10⁻⁶ CPosición do punto A rA = (5,00, 0,00) mPosición do punto B rB = (-5,00, 0,00) mPosición do punto C rC = (8,00, 0,00) mPosición do punto D rD = (0,00, 4,00) mConstante eléctrica K = 9,00·10⁹ N·m²·C⁻²InfógnitasVector intensidade do campo eléctrico nos puntos C e D EC, ED

Enerxía para levar unha carga de -1 µC desde C ata D WC→D



E⃗=K Qr 2 u⃗r



Qr



Enerxía potencial electrostática dunha carga q nun punto A E A = q · VA


Solufión:

a) Faise un debuxo das cargas e cada un dos vectores intensidade de campo e da suma vectorial que é o vec-tor campo resultante en cada punto.Punto C

Cálculo de distancias:

rAC = (8,00, 00) [m] – (5,00, 0,00) [m] = 3,00 m

rBC = (8,00, 00) [m] – (-5,00, 0,00) [m] = 13,00 m

A intensidade de campo electrostático no punto C debida á carga de 1 μC situada en A é:

E⃗ A→C=9 ·109 [N·m2 ·C−2] 1,00 · 10−6 [C ](3,00 [m ])2

i⃗=1,00 · 103 i⃗ N /C

A intensidade de campo electrostático no punto C debida á carga de 1 μC situada en B é:

E⃗B→C=9·109 [N·m2 ·C−2] 1,00·10−6 [C](13,0 [m ])2

i⃗=53,3 i⃗ N /C


EC = ∑ E = EA→C + EB→C

EC = 1,00·10³ i [N/C] + 53,3 i [N/C] = 1,05·10³ i N/C

Análise: O resultado é coherente co debuxo que se fxo.

Punto D.Cálculo de distancias:

r BD=r AD=√(5,00 [m ])2+(4,00 [m ])2=6,40 m

O vector unitario do punto D, uAD respecto de A é:

u⃗AD=u⃗ AD=r⃗ AD

|r⃗ AD|= (−5,00 i⃗ +4,00 j⃗) [m ]

√(−5,00 [m ])2+(4,00 [m ])2=−0,781 i⃗ +0,625 j⃗

A intensidade de campo electrostático no punto D debida á carga de 1 μC situada en A é:

E⃗ A→D=9,00 ·109 [N·m2 ·C−2] 1,00 ·10−6 [C](6,40 [m ])2 (−0,781 i⃗+0,625 j⃗)=(−1,71 ·102 i⃗+1,37102 j⃗ ) N /C

Por simetría, a intensidade de campo electrostático no punto D debida á carga de 1 μC situada en B é:

EB→D = 1,71·10² i + 1,37·10² j N/C

O campo resultante en D debido a ambas as cargas (principio de superposición) é:

ED = (–1,71·10² i + 1,37·10² j ) [N/C] + (1,71·10² i + 1,37·10² j ) [N/C] = 2,74·10² j N/C

Análise: A forza resultante do cálculo é vertical, coherente co debuxo que se fxo.

B A

DE

B→DE

A→D

ED

r BD

O

B CA

EB→C E

A→C

EC

O



V A→C=9,00 ·109 [N·m2 ·C−2] 1,00·10−6 [C ](3,00 [m ])

=3,00· 103 V

V B→C=9,00·109 [N·m2 ·C−2] 1,00·10−6 [C](13,00 [m ])

=6,92·102 V

O potencial electrostático do punto C é:

VC = VA→C + VB→C = 3,00·10³ [V] + 6,92·10² [V] = 3,69·10³ V

Os potenciais no punto D debidos a cada carga valen:

V A→D=V B→D=9,00 ·109[N m2 C−2] 1,00 · 10−6[C ](6,40 [m ])

=1,41 ·103 V

O potencial electrostático do punto D é:

VD = VA→D + VB→D = 1,41·10³ [V] + 1,41·10³ [V] = 2,81·10³ V

A enerxía que hai que comunicarlle a unha carga q = –1 µC para movela desde o punto C ao D é a varia-ción de enerxía potencial desde o punto C ao D, supoñendo que chegue a D coa mesma velocidade que tiñaen C.

ΔEC→D = q · VD – q · VC = q (VD – VC) = –1,00·10⁻⁶ [C] · (2,81 ·10³ – 3,69·10³) [V] = 8,81·10⁻⁴ J

8. Tres cargas puntuais de 2 µC sitúanse respectivamente en A(0, 0), B(1, 0) e C(1/2, √3/2). Calcula:a) O campo eléctrico nos puntos D(1/2, 0) e F(1/2, 1/(2√3))b) O traballo para trasladar unha carga q'= 1 µC de D a F.c) Con este traballo, aumenta ou diminúe a enerxía electrostática do sistema?Datos: As coordenadas en metros, K = 9·10⁹ N·m²·C⁻²; 1 µC = 10⁻⁶ C (P.A.U. Xuño 07)Rta.: a) ED = -2,40·10⁴ j N/C; EF = 0; b) WD→F (exterior) = –WD→F (campo) = 7·10⁻⁴ J

Datos Cifras signiffativas: 3Valor da carga situada no punto A QA = 2,00 µC = 2,00·10⁻⁶ CValor da carga situada no punto B QB = 2,00 µC = 2,00·10⁻⁶ CValor da carga situada no punto C QC = 2,00 µC = 2,00·10⁻⁶ CCarga da partícula que se despraza q = 1,00 µC = 1,00·10⁻⁶ CPosición do punto A rA = (0, 0) mPosición do punto B rB = (1,00, 0) mPosición do punto C rC = (1/2, √3/2) = (0,500, 0,866) mPosición do punto D rD = (0,500, 0) mPosición do punto F rF = (1/2, 1/(2√3)) = (0,500, 0,289) mConstante eléctrica K = 9,00·10⁹ N·m²·C⁻²InfógnitasIntensidade do campo electrostático no punto D ED

Intensidade do campo electrostático no punto F EF

Traballo para levar q desde D ata F WD→F



E⃗=K Qr 2 u⃗r



Qr

Potencial electrostático nun punto debido a varias cargas V = ∑ V


EfuafiónsTraballo que fai a forza do campo cando se move unha carga q desde un punto A até outro punto B


Solufión:

a) A intensidade de campo electrostático no punto D debida á carga situada no punto A é:

E⃗ A→D=9,00 ·109 [N·m2 ·C−2]· 2,00 ·10−6 [C](0,500 [m ])2 i⃗=7,20 ·104 i⃗ N /C

A intensidade de campo electrostático no punto D debida á carga situada no punto B é oposta,

EB→D = -7,20·10⁴ i N/C

A intensidade de campo electrostático no punto D debida á carga situadano punto C é:

E⃗ C→D=9,00·109 [N·m2· C−2]· 2,00·10−6 [C ](0,866 [m ])2

(− j⃗)=−2,40·104 j⃗ N /C

A intensidade de campo electrostático no punto D é, polo principio de su-perposición:

ED = EA→D + EB→D + EC→D = -2,40·10⁴ j N/C

As distancias dos puntos A, B e C ao punto F valen todas o mesmo,

r BF=r AF=√(0,500 [m ])2+(0,289 [m ])2=0,577 m

r CF=√(0,500 [m ]−0,500 [m ])2+(0,289 [m ]−0,866 [m ])2=0,577 m

Os módulos dos vectores campo creados en F polas cargas (iguais) situadasnos puntos A, B e C son iguais. Ao estar situados simetricamente, a súa re-sultante é nula.

E⃗ A→F=9,00· 109 [N·m2 ·C−2]· 2,00·10−6 [C ]

(0,577 [m ])2 (0,500 i⃗ +0,289 j⃗0,577 )=(4,68 ·104 i⃗ +2,70· 104 i⃗ ) N /C

Por simetría

EB→F = –4,68·10⁴ i + 2,70·10⁴ j N/C

E⃗C→F=9,00· 109 [N·m2 ·C−2] · 2,00· 10−6 [C ]

(0,577 [m ])2(− j⃗)=−5,40·104 j⃗ N /C

O campo resultante no punto F, polo principio de superposición é:

EF = EA→F + EB→F + EC→F = (4,68·10⁴ i + 2,70·10⁴ j) + (–4,68·10⁴ i + 2,70·10⁴ j) – 5,40·10⁴ j = 0

b) Os potenciais no punto D debidos a cada carga valen:

V A→D=V B→D=9,00 ·109 [N·m2· C−2]2,00 ·10−6 [C ](0,500 [m ])

=3,60 ·104 V

V C→D=9,00·109 [N·m2· C−2]2,00 ·10−6 [C ](0,866 [m ])

=2,08 ·104 V

O potencial electrostático do punto D é:

VD = VA→D + VB→D + VC→D = 2 · 3,60·10⁴ [V] + 2,08·10⁴ [V] = 9,28·10⁴ V

Os potenciais no punto F debidos a cada carga valen:

V A→F=V B→F=V C→F=9,00 ·109 [N·m2· C−2]2,00 ·10−6 [C ](0,577 [m ])

=3,12 ·104 V

QB

QA

EB→F

FE

A→F

EC→F

QC

QB

QA E

B→D

D

EA→D

EC→D

QC


O potencial electrostático do punto F é:

VF = VA→F + VB→F + VC→F = 3 · 3,12·10⁴ [V] = 9,35·10⁴ V

O traballo que fai a forza do campo é

WD→F = q (VD – VF) = 1,00·10⁻⁶ [C] · (9,28·10⁴ – 9,35·10⁴) [V] = –7·10⁻⁴ J

Análise: Ao restar dous números tan próximos, pérdense cifras signifcativas ⇗.


W(exterior) = -W(campo) = 7·10⁻⁴ J

c) Nun campo conservativo, o traballo das forzas do campo é igual e de sentido contrario á variación da enerxía potencial.

WA→B = –∆E = q (VA – VB)

Como o traballo das forzas do campo electrostático é negativo, a enerxía potencial do sistema aumenta.

9. Unha carga q de 2 mC está fixa no punto A(0, 0), que é o centro dun triángulo equilátero de lado 3√3 m. Tres cargas iguais Q están nos vértices e a distancia de cada carga Q a A é 3 m. O conxunto está en equilibrio electrostático. Calcula:a) O valor de Q .b) A enerxía potencial de cada carga Q.c) A enerxía posta en xogo para que o triángulo rote 45° arredor dun eixe que pasa por A e é

perpendicular ao plano do papel.K = 9·10⁹ N·m²·C⁻² (P.A.U. Xuño 11)Rta.: a) Q = -3,46 mC; b) E = 2,07·10⁴ J; c) ΔE = 0

Datos Cifras signiffativas: 3Valor da carga situada no punto A q = 2,00 mC = 0,002400 CLonxitude do lado do triángulo L = 3√3 m = 5,20 mDistancia do centro do triángulo a cada vértice d = 3,00 mPosición do punto A rA = (0, 0) mÁngulo xirado polo triángulo θ = 45°Constante eléctrica K = 9,00·10⁹ N·m²·C⁻²InfógnitasValor da carga Q que se atopa en cada un dos vértices QEnerxía potencial de cada carga Q EEnerxía necesaria para rotar o triángulo 45° arredor dun eixe perpendicular ΔEOutros símbolosDistancia entre dous puntos A e B rAB

Efuafións

Lei de Coulomb: forza entre dúas cargas puntuais Q e q a unha distancia r F⃗=K Q⋅qr2u⃗r


Enerxía potencial electrostática dun par de cargas puntuais Q e q a unha distan-cia r E p=K

Q⋅qr

Enerxía potencial electrostática dunha carga puntual Q sometida á acción de va-rias cargas q a distancias r dela.

E pQ=12∑ K

Q⋅q i

r i

Traballo dunha forza F constante cando o seu punto de aplicación desprázase Δr WF = F · Δr

Solufión:

a) Faise un debuxo das cargas e de cada un dos vectores forza electrostática de dous dotres cargas iguais Q e da carga central q sobre a terceira carga Q. F C

DFBD

3 mA

C

D

FA

D

3√3 m

B

http://web.educastur.princast.es/proyectos/fisquiweb/Apuntes/Apuntes2Fis/CifrasErrores.pdf


A forza electrostática FAD da carga q situada no punto A sobre a carga Q no punto D é, en función da carga Q descoñecida:

F⃗ A→D=9,00·109 [N·m2 ·C−2] 0,002400 [C]· Q(3,00 [m ])2

j⃗=2,00· 106 Q j⃗ N

A forza electrostática FB→D que exerce a carga Q situada no punto B sobre a carga Q no punto D é, en fun-ción da carga Q descoñecida:

F⃗ B→D=9,00·109 [N·m2· C−2] Q ·Q(5,20 [m ])2

(cos120º i⃗+sen120º j⃗)=(−167 i⃗ +289 j⃗)·106 Q2 [N]

Por simetría, a forza electrostática FC→D que exerce a carga Q situada no punto C sobre a carga Q no punto D é,

FC→D = (167 i + 289 j)·10⁶ Q² [N]


FD = FA→D + FB→D + FC→D = 0

A forza resultante é nula porque a carga en D está en equilibrio. As compoñentes x das forzas anúlanse. Para as compoñentes y:

(2,00 + 289 Q + 289 Q) Q ·10⁶ = 0

Q=−2,00C(2⋅289)

=−0,003446 C=−3,46 mC

b) A enerxía potencial de cada carga é a suma das enerxías potenciais de todos os pares de carga que lle afecten:

E Q = ∑E

E D = E CD + E BD + E AD

Ep Q=9,00·109 [N·m2· C−2]·(2 (−3,46·10−3 [C ])2

(5,20 [m ])+2 ·10−3 [C ]·(−3,46· 10−3 [C ])

(3,00 [m ]) )=2,08 ·104 J

c) A enerxía potencial da disposición de cargas é a suma das enerxías potenciais de todos os pares de car-gas ou, o que é o mesmo, a metade da suma das enerxías potenciais de todas as cargas (porque neste caso cada interacción cóntase dúas veces)

Ep A=3·(9,00·109 [N·m2 ·C−2]· 2·10−3 [C]·(−3,46 ·10−3 [C ])(3,00 [m ]) )=−6,24 ·104 J

Ep=12 (Ep A+3 · E p Q)=0

Como ao xirar 45°, as distancias relativas non cambian, a enerxía da nova disposición é a mesma, e a ener-xía total requirida é cero.

ΔE = E' T – E T = 0

10. Dúas cargas puntuais iguais de +2 μC atópanse nos puntos (0, 1) m e (0, -1) m. Calcula:a) O vector campo e o potencial electrostático no punto (-3, 0) m.b) Calcula o traballo necesario para trasladar unha carga de +3 μC desde o infinito ao citado punto.Se no punto (-3, 0) m abandónase unha carga de -2 μC e masa 1 g:c) Calcula a súa velocidade na orixe de coordenadas.DATO: K = 9·10⁹ N·m²·C⁻² (P.A.U. Set. 14)Rta.: a) E = -3,42·10³ i N/C; V = 1,14·10⁴ V; b) W(ext.) = -W(campo) = 0,03442 J; c) v = 9,92 i m/s

Datos Cifras signiffativas: 3Valores das cargas fxas Q = 2,00 µC = 2,00·10⁻⁶ CPosicións das cargas fxas: A rA = (0, 1,00) m


Datos Cifras signiffativas: 3B rB = (0, -1,00) m

Posición do punto C rC = (-3,00, 0) mValor da carga que se traslada desde o infnito q₁ = 3,00 µC = 3,00·10⁻⁶ CCarga que se despraza ata a orixe q₂ = -2,00 µC = -2,00·10⁻⁶ CMasa da carga que se despraza ata a orixe m = 1,00 g = 1,00·10⁻³ kgVelocidade inicial no punto C (suponse) vC = 0Posición do punto D polo que pasa a carga que se despraza rD = (0, 0) mConstante eléctrica K = 9,00·10⁹ N·m²·C⁻²InfógnitasVector campo electrostático no punto C EC

Potencial electrostático no punto C VC

Traballo necesario para trasladar 3 μC desde o infnito ao punto C W∞→C

Velocidade que terá a carga de -2 μC ao pasar polo punto D vD


Efuafións

Lei de Coulomb (aplicada a dúas cargas puntuais separadas unha distancia r) F⃗=KQ⋅qr2u⃗r



Qr



Enerxía potencial electrostática dunha carga nun punto A E A = q · VA

Enerxía cinética E = ½ m · v²Principio da conservación da enerxía entre dous puntos A e B (E + E)A = (E + E)B

Solufión:

a) Faise un debuxo das cargas e cada un dos vectores intensidade de campo electrostático e da suma vecto-rial que é o campo EC resultante.Cálculo de distancias:

r AC=r BC=√(3,00 [m ])2+(1,00 [m ])2=3,16 m

O vector unitario do punto C, uAC respecto de A é:

u⃗AC=r⃗ AC

|r⃗ AC|=(−3,00 i⃗−1,00 j⃗ ) [m ]

3,16 [m ]=−0,949 i⃗−0,316 j⃗

A intensidade de campo electrostático no punto C debido á carga de +2 µC situada en A é:

E⃗ A→C=9,00· 109 [N·m2 ·C−2] 2·10−6 [C](3,16 [m ])2

(−0,949 i⃗−0,343 j⃗)=(−1,71 ·103 i⃗ – 5,69·102 j⃗ ) N /C

Por simetría,

EB→C = (-1,71·10³ i + 5,69·10² j) N/C


EC = EA→C + EB→C = (-1,71·10³ i – 5,69·10² j [N] + (-1,71·10³ i + 5,69·10² j) [N] = -3,42·10³ i N/C

Análise: O campo resultante do cálculo é horizontal cara á esquerda, coherente co debuxo que se fxo.

O potencial no punto C debido a cada carga vale o mesmo, porque a distancia é a mesma (están situadas si-metricamente) e o valor da carga tamén é o mesmo.

V C=V A→C+V B→C=2 ·V A→C=2·9,00 ·109 [N·m2 ·C−2] 2,00·10−6 [C ](3,16 [m ])

=1,14 ·104 V

EA→C

EC

A

B

DC

EB→C


b) O traballo realizado polas forzas do campo electrostático cando se move unha carga q₁ = +3 µC desde o infnito ata o punto C é a diminución da enerxía potencial entre os puntos ∞ e C. Como se toma o infnito como orixe de potencial, V∞ = 0,

W∞→C = q₁ · (V∞ – VC) = 3,00·10⁻⁶ [C] · (0 – 1,14·10⁴) [V] = –0,03442 J

O traballo necesario para mover unha carga q = +3 µC desde o infnito ata o punto C, supoñendo que che-gue a C coa mesma velocidade que tiña no infnito, é:

W(exterior) = –W(campo) = 0,03442 J

c) Como a forza electrostática é unha forza conservativa a enerxía mecánica consérvase.

(E + E)C = (E + E)D

½ m vC² + q · VC = ½ m vD² + q · VD

O potencial no punto D debido a cada carga vale o mesmo, porque a distancia é a mesma (están situadas si-metricamente) e o valor da carga tamén é o mesmo.

V D=2 · V A→D=2·9,00 ·109 [N·m2 ·C−2] 2,00· 10−6 [C ](1,00 [m ])

=3,60 ·104 V

Aplicando o principio de conservación da enerxía

-2,00·10⁻⁶ [C] · (-1,14·10⁴ [V]) = (1,00·10⁻³ [kg] · vD²) / 2 + (-2,00·10⁻⁶ [C]) · (3,60·10⁴ [V])

vD = 9,92 m/s

Como a velocidade é un vector, hai que deducir a dirección e sentido.Aínda que o valor da intensidade de campo electrostático resultante e a aceleración na orixe é cero, polo valor da intensidade de campo calculado no punto C (-3, 0) [m] e o feito de que pase pola orixe, pódese de-ducir que a aceleración ten a dirección do eixe X en sentido positivo. Se un móbil parte do repouso, e a ace-leración ten dirección constante, o movemento será rectilíneo na liña da aceleración. Por tanto a dirección da velocidade é a do eixe X en sentido positivo

vD = 9,92 i m/s

11. Dúas cargas puntuais negativas iguais, de -10⁻³ µC, atópanse sobre o eixe de abscisas, separadas unha distancia de 20 cm. A unha distancia de 50 cm sobre a vertical que pasa polo punto medio da liña que as une, colócase unha terceira partícula (puntual) de +10⁻³ µC de carga e 1 g de masa, inicial-mente en repouso. Calcula:a) O campo e potencial eléctrico creado polas dúas primeiras na posición inicial da terceira.b) A velocidade da terceira carga ao chegar ao punto medio da liña de unión entre as dúas primeiras.Datos: 1 µC = 10⁻⁶ C, K = 9·10⁹ N·m²·C⁻² (só se considera a interacción electrostática) (P.A.U. Xuño 04)Rta.: a) E = 67,9 N/C vertical cara ao eixe de abscisas. V = -35,3 V; b) v = -0,017 j m/s

Datos Cifras signiffativas: 3Valor da carga situada no punto A QA = -1,00·10⁻³ µC = -1,00·10⁻⁹ CValor da carga situada no punto B QB = -1,00·10⁻³ µC = -1,00·10⁻⁹ CValor da carga situada no punto C QC = 1,00·10⁻³ µC = 1,00·10⁻⁹ CMasa da partícula que se despraza m = 1,00 g = 1,00·10⁻³ kgVelocidade inicial no punto C vC = 0Posición do punto A rA = (-0,100, 0) mPosición do punto B rB = (0,100, 0) mPosición do punto C rC = (0, 0,500) mPosición do punto D rD = (0, 0) mConstante eléctrica K = 9,00·10⁹ N·m²·C⁻²InfógnitasIntensidade do campo electrostático no punto C EC

Potencial electrostático no punto C VC

Velocidade que terá ao pasar polo punto D vD




E⃗=K Qr 2 u⃗r



Qr

Potencial electrostático nun punto debido a varias cargas V = ∑ VEnerxía potencial electrostática dunha carga nun punto A E A = q · VA


Solufión:

a) Faise un debuxo das cargas e de cada un dos vectores intensidade de campo electrostáti-co e da suma vectorial que é o vector EC intensidade de campo resultante.Cálculo de distancias:

r AC=r BC=√(0,100 [m ])2+(0,500 [m ])2=0,510 m

O vector unitario do punto C, uAC respecto de A é:

u⃗AC=r⃗ AC

|r⃗ AC|=(0,100 i⃗ +0,500 j⃗ ) [m ]

0,510 [m ]=0,196 i⃗ +0,981 j⃗

A intensidade de campo electrostático no punto C debida á carga de -1 nC situada en A é:

E⃗ A→C=9,00 ·109 [N·m2 ·C−2]·−1,00·10−9 [C](0,510 [m ])2

(0,196 i⃗+0,981 j⃗)=(−6,79 i⃗ –33,9 j⃗) N /C

Por simetría,

EB→C = (6,79 i – 33,9 j) N/C


EC = EA→C + EB→C = (-6,79 i – 33,9 j) [N/C] + (6,79 i – 33,9 j) [N/C] = -67,9 j N/C

Análise: A forza resultante do cálculo é vertical cara abaixo, coherente co debuxo que se fxo.

O potencial no punto C debido a cada carga vale o mesmo, porque a distancia é a mesma (están situadas si-metricamente) e o valor da carga tamén é o mesmo.

V C=2 ·V A→C=2·9,00·109 [N·m2 ·C−2]−1,00 ·10−9 [C](0,510 [m ])

=−35,3 V

b) Como a forza electrostática é unha forza conservativa, e é a única que hai que ter en conta (e moito máisintensa que a gravitacional), a enerxía mecánica consérvase.

(E + E)C = (E + E)D

½ m vC² + q · VC = ½ m vD² + q · VD

O potencial no punto D vale:

V D=2 · V A→D=2·9,00 ·109 [N·m2 ·C−2]−1,00·10−9 [C](0,100 [m ])

=−180 V

1,00·10⁻⁹ [C] · (-35,3 [V]) = ½ 1,00·10⁻³ [kg] · vD² + 1,00·10⁻⁹ [C] · (-180 [V])

vD = 0,017 m/s

Como a velocidade é un vector, hai que deducir a dirección e sentido.

EA→C

EC

B

EB→C

C

DA


Aínda que o valor da forza resultante e a aceleración na orixe é cero, polo valor da forza calculado no pun-to C e o feito de que pase pola orixe, pódese deducir que a aceleración ten sido na dirección do eixe Y e en sentido negativo. Se un móbil parte do repouso, e a aceleración ten dirección constante, o movemento será rectilíneo na liña da aceleración. Por tanto a dirección da velocidade é a do eixe Y en sentido negativo

vD = -0,017 j m/s

12. Tres cargas eléctricas de +1 μC, están nos puntos A(-1, 0), B(0, 2) e C(0, -2) (metros). Calcula en D(0, 0) e en F(2, 0):a) O campo eléctrico.b) O potencial eléctrico.c) Se en D(0, 0) colócase unha terceira carga q´ de +1 μC e de 10 g de masa, sometida só á acción

electrostática das outras tres, calcula a velocidade coa que chega ao punto F(2, 0)K = 9·10⁹ N·m²·C⁻²; 1 μC = 10⁻⁶ C (P.A.U. Xuño 10)Rta.: a) ED = 9,0·10³ i N/C; EF = 2,6·10³ i N/C; b) VD = 1,8·10⁴ V; VF=9,4·10³ V; c) v = 1,31 m/s

Datos Cifras signiffativas: 3Valor da carga situada no punto A QA = 1,00 µC = 1,00·10⁻⁶ CValor da carga situada no punto B QB = 1,00 µC = 1,00·10⁻⁶ CValor da carga situada no punto C QC = 1,00 µC = 1,00·10⁻⁶ CMasa da partícula que se despraza m = 10,0 g = 1,00·10⁻² kgCarga da partícula que se despraza q = 1,00 µC = 1,00·10⁻⁶ CVelocidade inicial no punto D vD = 0Posición do punto A rA = (-1,00, 0) mPosición do punto B rB = (0, 2,00) mPosición do punto C rC = (0, -2,00) mPosición do punto D do que sae rD = (0, 0) mPosición do punto F ao que chega rF = (2,00, 0) mConstante eléctrica K = 9,00·10⁹ N·m²·C⁻²InfógnitasIntensidades do campo electrostático nos puntos D e F ED, EF

Potenciais electrostáticos nos puntos D e F VD, VF

Velocidade que terá ao pasar polo punto F vF



E⃗=K Qr 2 u⃗r



Qr



Solufión:

a) Faise un debuxo das cargas e cada un dos vectores intensidade decampo electrostático e da suma vectorial que é o vector ED intensidadede campo resultante.A intensidade de campo electrostático no punto D debido á carga de+1 µC situada en A é:

E⃗ A→D=9,00·109 [N·m2 ·C−2]· 1,00 ·10−6 [C](1,00 [m ])2

i⃗=9,00·103 i⃗ N /C

EA→D

ED

B

EB→D

C

DA

EC→D


A intensidade de campo electrostático no punto D debido á carga de +1 µC situada en B é:

E⃗B→D=9,00 ·109 [N·m2· C−2]· 1,00 ·10−6 [C ](2,00 [m ])2 i⃗=2,25 ·103 i⃗ N /C

Por simetría,

EC→D = 2,25·10³ j N/C


ED = EA→D + EB→D + EC→D = 9,00·10³ i N/C

Análise: O vector intensidade de campo resultante do cálculo é horizontalcara á dereita, coherente co debuxo.

A intensidade de campo electrostático no punto F debido á carga de +1µC situada en A é:

E⃗ A→F=9,00 · 109 [N·m2 ·C−2]· 1,00·10−6 [C ](3,00 [m ])2

i⃗=1,00·103 i⃗ N /C

Para calcular os campos debidos ás cargas en B e en C, faise antes o cálculo de distancias:

r CF=r BF=√(2,00 [m ])2+(2,00 [m ])2=2,83 m

O vector unitario do punto F, uBF respecto de B é:

u⃗BF=r⃗ BF

|r⃗ BF|=(2,00 i⃗−2,00 j⃗) [m ]

2,83 [m ]=0,707 i⃗−0,707 j⃗

A intensidade de campo electrostático no punto F debido á carga de +1 µC situada en B é:

E⃗B→F=9,00·109 [N·m2 ·C−2]· 1,00 ·10−6 [C](2,83 [m ])2 (0,707 i⃗−0,707 j⃗)=(795 i⃗ – 795 j⃗) N /C

Por simetría,

EC→F = (795 i + 795 j) N/C


EF = EA→F + EB→F + EC→F = 2,59·10³ i N/C

Análise: O vector intensidade de campo resultante do cálculo é horizontal cara á dereita, coherente co debuxo.

b) Os potenciais no punto D debidos a cada carga valen:

V C→D=V B→D=9,00·109 [N·m2· C−2]1,00 ·10−6 [C ](2,00 [m ])

=4,50·103 V

V A→D=9,00·109 [N·m2 ·C−2] 1,00·10−6 [C](1,00 [m ])

=9,00·103 V


VD = VA→D + VB→D + VC→D = 9,00·10³ [V] + 2 · 4,50·10³ [V] = 1,800·10⁴ V

Os potenciais no punto F debidos a cada carga valen:

V C→F=V B→F=9,00· 109 [N·m2 ·C−2] 1,00·10−6 [C ](2,83 [m ])

=3,18· 103 V

V A→F=9,00· 109 [N·m2 ·C−2] 1,00·10−6 [C ](3,00 [m ])

=3,00· 103 V

O potencial electrostático no punto F é:

VF = VA→F + VB→F + VC→F = 3,00·10³ [V] + 2 · 3,18·10³ [V] = 9,36·10³ V

EF

B

C

FA

EC→F

EB→F

EA→F



(E + E)F = (E + E)D

½ m vF² + q · VF = ½ m vD² + q · VD

(1,00·10⁻² [kg] / 2) · vF² + 1,00·10⁻⁶ [C] · 9,36·10³ [V] = 1,00·10⁻⁶ [C] · 1,800·10⁴ [V]

A velocidade no punto F vale:

vF = 1,31 m/s

Como a velocidade é un vector, temos que deducir a dirección e sentido.Pola dirección e sentido do vector intensidade de campo nos puntos D e F, pódese deducir que a acelera-ción está na dirección do eixe X e en sentido positivo. Se un móbil parte do repouso, e a aceleración ten di-rección constante, o movemento será rectilíneo na liña da aceleración. Por tanto a dirección da velocidade é a do eixe X e o sentido positivo

vF = 1,31 i m/s

13. Dúas cargas eléctricas de +8 μC están situadas en A(0, 0,5) e B(0, -0,5) (en metros). Calcula:a) O campo eléctrico en C(1, 0) e en D(0, 0)b) O potencial eléctrico en C e en D.c) Se unha partícula de masa m = 0,5 g e carga q = -1 μC sitúase en C cunha velocidade inicial de 10³

m/s, calcula a velocidade en D.Datos: K = 9·10⁹ N·m²·C⁻², 1 μC = 10⁻⁶ C. Nota: só interveñen forzas eléctricas. (P.A.U. Set. 12)Rta.: a) EC = 1,03·10⁵ i N/C; ED = 0; b) VC = 1,29·10⁵ V; VD = 2,88·10⁵ V; c) vD = -1,00·10³ i m/s

Datos Cifras signiffativas: 3Valor da carga situada no punto A QA = 8,00 µC = 8,00·10⁻⁶ CValor da carga situada no punto B QB = 8,00 µC = 8,00·10⁻⁶ CPosición do punto A rA = (0, 0,500) mPosición do punto B rB = (0, -0,500) mPosición do punto C rC = (1,00, 0,00) mPosición do punto D rD = (0,00, 0,00) mMasa da partícula que se despraza m = 0,500 g = 5,00·10⁻⁴ kgCarga da partícula que se despraza q = -1,00 µC = -1,00·10⁻⁶ CVelocidade inicial no punto C vC = 1,00·10³ m/sConstante eléctrica K = 9,00·10⁹ N·m²·C⁻²InfógnitasIntensidades do campo electrostático nos puntos C e D EC, ED

Potenciais electrostáticos nos puntos C e D VC, VD

Velocidade que terá ao pasar polo punto D vD



E⃗=K Qr 2 u⃗r



Qr



Solufión:


a) Faise un debuxo das cargas e de cada un dos vectores inten-sidade de campo electrostático e da suma vectorial que é ovector ED intensidade de campo resultante.Cálculo de distancias:

r AC=r BC=√(0,500 [m ])2+(1,00 [m ])2=1,12 m

O vector unitario do punto C (1, 0), uAC respecto ao punto A é:

u⃗AC=r⃗ AC

|r⃗ AC|=(1,00 i⃗−0,500 j⃗) [m ]

1,12 [m ]=0,894 i⃗−0,447 j⃗

A intensidade de campo electrostático no punto C debido á carga de +8 µC situada en A é:

E⃗ A→C=9,00· 109 [N·m2 ·C−2] · 8,00· 10−6 [C ](1,12 [m ])2

(0,894 i⃗−0,447 j⃗ )=(5,15 ·104 i⃗−2,58 ·104 j⃗) N /C

Por simetría, a intensidade de campo electrostático no punto C debido á carga de +8 µC situada en B é:

EB→C = (5,15·10⁴ i + 2,58·10⁴ j) N/C

Aplicando o principio de superposición, o campo electrostático no punto C é

EC = EA→C + EB→C = 1,03·10⁵ i N/C

Análise: O vector intensidade de campo resultante do cálculo é horizontal cara á dereita, coherente co debuxo.

A intensidade de campo electrostático no punto D (0, 0) debido á carga de +8 µC situada en A é:

E⃗ A→D=9,00·109 [N·m2 ·C−2]· 8,00·10−6 [C](0,500 [m ])2

(− j⃗)=−2,88 ·105 j⃗ N /C

Por simetría, o campo no punto D debido á carga situada en B é

EB→D = 2,88·10⁵ j N/C


ED = EA→D + EB→D = 0 N/C

Análise: Como as distancias e as cargas son iguais, e están situadas simetricamente, a resultante tenque ser nula.


V A→C=V B→C=9,00 ·109 [N·m2 ·C−2] 8,00·10−6 [C ](1,12 [m ])

=6,44 ·104 V

O potencial electrostático no punto C é a suma de ambos:

VC = VA→C + VB→C = 2 · 6,44·10⁴ [V] = 1,29·10⁵ V

Os potenciais no punto D debidos a cada carga valen:

V A→D=V B→D=9,00 ·109 [N·m2· C−2]8,00 ·10−6 [C ](0,500 [m ])

=1,44 ·105 V


VD = VA→D + VB→D = 2 · 1,44·10⁵ [V] = 2,88·10⁵ V


(E + E)C = (E + E)D

½ m vC² + q · VC = ½ m vD² + q · VD

(5,00·10⁻⁴ [kg] / 2) · (1,00·10³ [m/s])² + (-1,00·10⁻⁶ [C]) · 1,29·10⁵ [V] == (5,00·10⁻⁴ [kg] / 2) · vD² + (-1,00·10⁻⁶ [C]) · 2,88·10⁵ [V]

A

EB→D

BD C

EA→D

EA→C

EC

A

B

D C

EB→C


A velocidade que terá ao pasar polo punto D será:

vD = 1,00·10³ m/s

Análise: A velocidade é practicamente a mesma pero un pouco maior xa que a carga negativa é acelerada en sentido contrario ao campo eléctrico.Como a velocidade é un vector, temos que deducir a dirección e sentido.Pola dirección e sentido do vector intensidade de campo entre os puntos C e D, pódese deducir que a acele-ración está na dirección do eixe X e en sentido positivo (as cargas negativas sofren unha forza de sentido oposto ao campo). A única posibilidade de que a carga que sae do punto C pase polo punto D é que inicial-mente se estivese movendo no sentido negativo do eixe X. Por tanto a dirección da velocidade é a do eixe Xe o sentido negativo

vD = -1,00·10³ i m/s

14. Unha carga puntual Q ocupa a posición (0, 0) do plano XY no baleiro. Nun punto A de o eixe X o po-tencial é V = -100 V e o campo eléctrico é E = -10 i N/C (coordenadas en metros):a) Calcula a posición do punto A e o valor de Q .b) Determina o traballo necesario para levar un protón desde o punto B(2, 2) ata o punto A.c) Fai unha representación gráfica aproximada da enerxía potencial do sistema en función da

distancia entre ambas as cargas. Xustifica a resposta.Dato: Carga do protón: 1,6·10⁻¹⁹ C; K = 9·10⁹ N·m²·C⁻² (P.A.U. Set. 11)Rta.: a) rA = (10,0, 0) m; Q = -1,11·10⁻⁷ C; b) W = -4,05·10⁻¹⁷ J

Datos Cifras signiffativas: 3Posición da carga Q rO = (0, 0) mPotencial no punto A V = -100 VCampo eléctrico no punto A E = -10,0 i N/CPosición do punto B rB = (2,000, 2,000) mCarga do protón qₚ = 1,60·10⁻¹⁹ CConstante eléctrica K = 9,00·10⁹ N·m²·C⁻²InfógnitasPosición do punto A rA

Valor da carga Q QTraballo necesario para levar un protón de B a A WB→A


Efuafións

Campo eléctrico creado por unha carga puntual Q a unha distancia r E⃗=K Qr 2 u⃗r

Potencial electrostático dun un punto que dista unha distancia r dunha carga Q V=KQr

Traballo que fai a forza do campo cando se move unha carga q desde un punto Aata outro punto B


Enerxía potencial electrostática dunha carga q nun punto A E A = q · VA

Solufión:

a) Substitúense os datos nas ecuacións do campo

E⃗=K Qr 2 u⃗r

−10,0 i⃗ [N /C ]=9,00 · 109 [N·m2 ·C−2] Qr 2

u⃗r

Tomando só o módulo, queda:


10,0 [N /C]=9,00 ·109 [N·m2 ·C−2]|Q|r 2

Substitúese tamén na ecuación de potencial electrostático:

V=K Qr

−100 [V ]=9,00 · 109 [N·m 2·C−2 ]Qr

Como na ecuación do campo aparece o valor absoluto da carga |Q|, aplicamos valores absolutos á ecuación do potencial, que queda:

100 [V ]=9,00 ·109 [N·m2 ·C−2]|Q|r

Resólvese o sistema

{10,0=9,00 ·109|Q|r 2

100=9,00 · 109 |Q|r

Dividindo a segunda ecuación entre a primeira, obtense

r = 10,0 m

Despexando o valor absoluto da carga |Q| da segunda ecuación:

Q = 1,11·10⁻⁷ C

O potencial é negativo, por tanto a carga debe ser negativa:

Q = -1,11·10⁻⁷ C

Como a intensidade do campo electrostático no punto é negativa, Er = -10,0 i (N/C), o punto ten que estar no semieixe positivo:

rA = (10,0, 0) m

b) O traballo que fai a forza do campo é


A distancia do punto B á carga Q é:

r OB=√(2,00 [m ])2+(2,00 [m ])2=2,83 m

O potencial no punto B vale:

V B=9,00·109 [N·m2· C−2]|−1,11·10−7 [C]|2,83 [m ]

=−353 V

O traballo da forza do campo é


WA→B = q (VA – VB) = 1,60·10⁻¹⁹ [C] · (-353 – (-100) ) [V] = -4,05·10⁻¹⁷ J

Supoñendo que salga e chegue con velocidade nula, o traballoque hai que facer é:

W(exterior) = -W(campo) = 4,05·10⁻¹⁷ J

c) A enerxía potencial de dúas cargas vén dada pola expresión:

Ep=q · V=K Q · qr

É inversamente proporcional á distancia entre ambas as cargas.Como as cargas son de signo oposto a enerxía potencial é nega-tiva e aumenta coa distancia ata ser nula a unha distancia inf-nita.

15. Dúas láminas condutoras con igual carga e signo contrario están colocadas horizontalmente e separa-das 5 cm. A intensidade do campo eléctrico no seu interior é 2,5·10⁵ N·C⁻¹. Unha micropinga de aceitecuxa masa é 4,90·10⁻¹⁴ kg, e con carga negativa, está en equilibrio suspendida nun punto equidistante de ambas as placas.a) Razoa cal das dúas láminas está cargada positivamente.b) Determina a carga da micropinga.c) Calcula a diferenza de potencial entre as láminas condutoras.Dato: g = 9,8 m·s⁻² (P.A.U. Set. 15)Rta.: b) q = 1,92·10⁻¹⁸ C; c) ΔV = 1,25·10⁴ V

Datos Cifras signiffativas: 3Intensidade do campo eléctrico |E| = 2,50·10⁵ N/CDistancia entre as láminas condutoras d = 5,00 cm = 0,05040 mMasa da micropinga m = 4,90·10⁻¹⁴ kgValor do campo gravitacional terrestre g = 9,80 m/s²InfógnitasCarga da micropinga qDiferenza de potencial entre as láminas condutoras ΔVEfuafiónsForza sobre unha carga puntual q nun campo electrostático uniforme E FE = q · EValor da forza peso P = m · gDiferencia de potencial nun campo eléctrico constante ΔV = |E| · d

Solufión:

a, b) Peso:

P = m · g = 4,90·10⁻¹⁴ [kg] · 9,80 [m·s⁻²] = 4,80·10⁻¹³ N

Cando a micropinga alcanza o equilibrio, a forza eléctrica equilibra á forza peso.

FE = q · E = 4,80·10⁻¹³ N

Carga eléctrica:

q=F E

E= 4,80·10−13 [N /C]

2,5·105 [N ]=1,92·10−18 C

Análise: A carga eléctrica da micropinga é só lixeiramente maior que a do electrón. Corresponde á de 1,92·10⁻¹⁸ C / 1,6·10⁻¹⁹ C = 12 electróns. Este resultado parece razoable.A forza eléctrica está dirixida cara arriba, en sentido contrario ao peso. Como a carga da micropinga é ne-gativa, o campo eléctrico debe estar dirixido cara abaixo: a lámina superior é a positiva e a inferior a nega-tiva.

0 2 4 6 8 10

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0r (m)

EP (

fJ)


c) A diferenza de potencial vale:

ΔV = |E| · d = 2,50·10⁵ [N/C] · 0,05040 [m] = 1,25·10⁴ V

16. Unha esfera metálica de masa m = 8 g e carga q = 7 μC, colga dun fío de 10 cm de lonxitude situado entre dúas láminas metálicas paralelas de cargas iguais e de signo contrario. Calcula:a) O ángulo que forma o fío co vertical se entre as láminas existe un campo electrostático uniforme

de 2,5·10³ N/C.b) A tensión do fío nese momento.c) Se as láminas descárganse, cal será a velocidade da esfera ao pasar pola vertical?Dato: g = 9,8 m/s² (P.A.U. Xuño 14)Rta.: a) α = 12,6°; b) T = 0,08042 N; c) v = 0,217 m/s

Datos Cifras signiffativas: 3Masa da esfera m = 8,00 g = 8,00·10⁻³ kgCarga da esfera q = 7,00 μC = 7,00·10⁻⁶ CLonxitude do fío L = 10,0 cm = 0,100 mValor do campo eléctrico E = 2,50·10³ N/CValor do campo gravitacional terrestre g = 9,80 m/s²InfógnitasÁngulo que forma o fío coa vertical αTensión do fío TVelocidade da esfera ao pasar pola vertical vEfuafiónsForza sobre unha carga puntual q nun campo electrostático uniforme E FE = q · EValor da forza peso P = m · gEnerxía potencial da forza peso E = m · g · hEnerxía cinética E = ½ m · v²

Solufión:

a) No enunciado non se especifca nin a dirección nin o sentido do campo electrostático uniforme.Se fose horizontal, o esquema coas forzas sería o seguinte:Cando a esfera alcanza o equilibrio, a tensión equilibra á resul-Peso:

P = m · g = 8,00·10⁻³ [kg] · 9,80 [m·s⁻²] = 0,07844 N

Forza eléctrica:

FE = q · E = 7,00·10⁻⁶ [C] · 2,50·10³ [N/C] = 0,01745 N

Como son perpendiculares, a forza resultante vale:

|R⃗|=√(0,07844 [N])2+(0,01745[N ])2=0,08042 N

O ángulo entre a resultante e a vertical mide

α=arccosPR=arccos

0,078440,08042

=12,6º

b) O valor da tensión é o mesmo que o da forza resultante:

T = R = 0,08042 N

c) Ao descargarse as láminas só actúa a forza peso, que é unha forza conser-vativa. A enerxía mecánica consérvase entra a posición inicial e o punto máisbaixo da traxectoria.A altura do punto de equilibrio respecto do punto máis baixo pode calcularsedo triángulo: L

L

α

h

E

α

FE

P

T

R

α


h = L – L cos α = L (1 – cos α) = 0,100 [m] (1 – cos 12,6°) = 0,002440 m

A enerxía potencial do peso no punto de partida é:

E = m · g · h = 8,00·10⁻³ [kg] · 9,80 [m·s⁻²] · 0,002440 [m] = 1,88·10⁻⁴ J

Como a enerxía cinética é nula nese punto, a enerxía mecánica valerá o mesmo.

E = E = 1,88·10⁻⁴ J

No punto máis baixo a enerxía mecánica é a mesma, e como non hai enerxía potencial, ese será o valor da enerxía cinética. Por tanto, a velocidade valerá:

v=√ 2E c

m=√ 2· 1,88·10−4 [ J ]

9,00·10−3[kg]=0,217 m / s

Tamén podería suporse que o campo eléctrico fose vertical. Nese caso o fío non se desviaría da vertical. De estar dirixido cara arriba, a forza eléctrica (0,01745 N), non compensaría a forza peso (0,07844 N) e a esfera non se movería, pero a tensión variaría dos 0,07844 N coas placas descargadas a 0,06049 N cando as placas es-tean cargadas.

T = 0,07844 N – 0,01745 N = 0,06049 N

Se o campo fose vertical, pero cara abaixo, a esfera tampouco semovería, e a tensión valería

T = 0,07844 N + 0,01745 N = 0,09549 N

Por imaxinar, podería imaxinarse que as placas estivesen coloca-das de tal modo que o campo eléctrico formase un ángulo β cal-quera coa horizontal.Nun plano XY, a forza eléctrica podería expresarse como:

FE = 0,01745 (cos β i + sen β j) N

A forza resultante R sería a suma vectorial desta forza eléctrica e aforza peso:

P = -0,07844 j N

R = FE + P = 0,01745 cos β i + (0,01745 sen β – 0,07844) j N

|R⃗|=√(0,01745 sen β−0,07844 )2 [N ]2+(0,01745 cos β [N ])2

|R⃗|=√(0,01745[N ])2 sen (2β )+(0,07844 [N ])2+(0,01745[N ])2=√3,06 · 10−4 sen(2β ) [N ]2+6,45 · 10−3 [N ]2

O ángulo entre a resultante e a vertical mediría

α=arccosPR=arccos

0,07844

√3,06 · 10−4 sen (2β )+6,45 ·10−3

Por exemplo, se β = 30°, o ángulo α = 17,0°

● CAMPO MAGNÉTICO

1. Un protón con velocidade v = 5·10⁶ i m/s penetra nunha zona onde hai un campo magnético B = 1 j T.a) Debuxa a forza que actúa sobre o protón e deduce a ecuación para calcular o raio da órbita.b) Calcula o número de voltas nun segundo.c) Varía a enerxía cinética do protón ao entrar nesa zona?Datos: mₚ = 1,67·10⁻²⁷ kg; qₚ = 1,6·10⁻¹⁹ C (P.A.U. Xuño 13)

Rta.: a) R= m ·v|q|· B ·senφ

; b) N = Media volta en 3,28·10⁻⁸ s

F E

P

R

α

β

α T

E


Datos Cifras signiffativas: 3Velocidade do protón v = 5,00·10⁶ i m·s⁻¹Intensidade do campo magnético B = 1,00 j TCarga do protón q = 1,60·10⁻¹⁹ CMasa do protón m = 1,67·10⁻²⁷ kgInfógnitasForza magnética sobre o protón FB

Radio da traxectoria circular RNúmero de voltas nun segundo NEfuafiónsLei de Lorentz: forza magnética sobre unha carga q que se despraza no interiordun campo magnético B cunha velocidade v

FB = q (v × B)

Aceleración normal (nun movemento circular de raio R) aN=v2

R2ª lei de Newton da Dinámica ∑F = m · a

Velocidade nun movemento circular uniforme de raio R v=2π · R

T

Solufión:

a) A forza magnética FB exercida polo campo magnético B sobre a carga q do protón que se despraza á ve-locidade v é:

FB = q (v × B) = 1,60·10⁻¹⁹ [C] (5,00·10⁶ i [m/s] × 1,00 j [T]) = 8,00·10⁻¹³ k N

É perpendicular á dirección do campo magnético e tamén á velocidade, e osentido vén dado pola regra da man esquerda, tendo en conta que a carga énegativa. Na fgura, as cruces × indican un campo magnético que entra nopapel.Como só actúa a forza magnética, o protón describe unha traxectoria cir-cular con velocidade de valor constante, polo que a aceleración só tencompoñente normal aN,

F B=m ·a=m ·aN=m v2

R

Usando a expresión da lei de Lorentz (en módulos) para a forza magnética

|q|· B · v ·senφ=m v2

R

Despexando o raio R

R= m ·v|q|· B ·senφ

= 1,67·10−27 [kg] ·5,00·106 [m /s ]1,60 ·10−19 [C ]·1,00 [T ]·sen 90°

=5,22·10−2 m=5,22 cm

Análise: o raio ten un valor aceptable, uns centímetros.

b) Despexando o período da ecuación da velocidade:

T= 2π · Rv

=2 ·3,14 ·5,22·10−2 [m ]5,00·106 [m /s ]

=6,56·10−8 s

O número de voltas en 1 s sería:

N =1,00 [s] · 1 volta

6,56 ·10−8 [s ]=1,52·107 voltas

Análise: Se o protón entra nun campo magnético, sairá del despois de describir media circunferencia, polo que en realidade só daría media volta nun tempo de T / 2 = 3,28·10⁻⁸ s e sairía a unha distancia de 2 R = 10,4 cm do punto de entrada no campo.

× × × ×× × × × B× × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×

v

F

X+

Y+

Z+


c) Non. A forza magnética é perpendicular á traxectoria en todos os puntos e, por tanto, non realiza traba-llo. Se o traballo da forza resultante é nulo, non hai variación da enerxía cinética.

2. Un protón cunha enerxía cinética de 20 eV móvese nunha órbita circular perpendicular a un campo magnético de 1 T. Calcula:a) O raio da órbita.b) A frecuencia do movemento.c) Xustifica por que non se consome enerxía neste movemento.Datos: mₚ = 1,67·10⁻²⁷ kg; qₚ = 1,6·10⁻¹⁹ C; 1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J (P.A.U. Xuño 14)Rta.: a) R = 6,46·10⁻⁴ m; b) f = 1,52·10⁷ voltas/s

Datos Cifras signiffativas: 2Enerxía cinética do protón E = 20 eV = 3,2·10⁻¹⁸ JValor da intensidade do campo magnético B = 1,0 TCarga do protón q = 1,6·10⁻¹⁹ CÁngulo entre a velocidade do protón e o campo φ = 90°Masa do protón m = 1,67·10⁻²⁷ kgInfógnitasRadio da traxectoria circular RFrecuencia do movemento fOutros símbolosValor da forza magnética sobre o protón FB

Período do movemento circular TEfuafiónsLei de Lorentz: forza magnética sobre unha carga q que se despraza no interiordun campo magnético B cunha velocidade v

FB = q (v × B)




T

Solufión:

a) A enerxía cinética vale:

E = 20 eV · 1,6·10⁻¹⁹ J/eV = 3,2·10⁻¹⁸ J

A velocidade do protón calcúlase a partir da enerxía cinética:

E = ½ m · v² ⇒ 3,2·10⁻¹⁸ [J] = (1,67·10⁻²⁷ [kg] / 2) · v²

v=√ 2·3,2 ·10−18[ J ]1,67·10−27[kg]

=6,2·104 m /s

Como só actúa a forza magnética:

∑F = FB

O protón describe unha traxectoria circular con velocidade de valor constante, polo que a aceleración só ten compoñente normal aN,

F B=m ·a=m ·aN=mv2

R

|q|· B · v ·senφ=mv2

R

Despexando o raio R

× × × × × × × v× × × × × × × F× × × × × × × × × × × × × × B× × × × × × ×



=1,67 ·10−27 [kg]·6,2 ·104 [m /s]1,6·10−19 [C ]·1,0[T ]·sen90 °

=6,4 ·10−4 m

b)

T=2 π · R

v=2 ·3,14 ·6,4· 10−4 [m ]

6,2 ·104 [m /s]=6,5· 10−8 s

A frecuencia será:

f = 1T= 1 volta

6,5 ·10−8 [s]=1,5 ·107 voltas /s

c) Como a forza magnética é perpendicular ao desprazamento en todo momento, o seu traballo é nulo.

3. Un protón acelerado por unha diferenza de potencial de 5000 V penetra perpendicularmente nun campo magnético uniforme de 0,32 T. Calcula:a) A velocidade do protón.b) O raio da órbita que describe e o número de voltas que dá en 1 segundo.Datos: mₚ = 1,67·10⁻²⁷ kg, qₚ = 1,60·10⁻¹⁹ C (Fai un debuxo do problema) (P.A.U. Xuño 05)Rta.: a) v = 9,79·10⁵ m/s; b) R = 3,2 cm; N = 4,9·10⁶ voltas/s

Datos Cifras signiffativas: 3Potencial de aceleración V = 5000 V = 5,00·10³ VValor da intensidade do campo magnético B = 0,320 TCarga do protón q = 1,60·10⁻¹⁹ CÁngulo entre a velocidade do protón e o campo magnético φ = 90°Masa do protón m = 1,67·10⁻²⁷ kgTempo para calcular o número de voltas t = 1,00 sInfógnitasVelocidade do protón vRadio da traxectoria circular RNúmero de voltas que dá en 1 s NOutros símbolosValor da forza magnética sobre o protón FB

Período do movemento circular TEnerxía (cinética) do protón EEfuafiónsLei de Lorentz: forza magnética sobre unha carga q que se despraza no interiordun campo magnético B cunha velocidade v

FB = q (v × B)




TTraballo do campo eléctrico W(eléctrico) = q · ΔVTraballo da forza resultante W = ΔEEnerxía cinética E = ½ m · v²

Solufión:

a) Para calcular a velocidade temos que ter en conta que ao acelerar o protón cunha diferenza de potencial (supomos que desde o repouso), este adquire unha enerxía cinética:

W(eléctrico) = q · ΔV = ΔE = ½ m v² – ½ m v₀²

Se parte do repouso, v₀ = 0. A velocidade fnal é:


v=√ 2q ·ΔVm p

=√ 2 ·1,60 ·10−19 [C ]·5,00·103 [V ]1,67· 10−27 [kg]

=9,79·105 m / s

b) Como só actúa a forza magnética:

∑F = FB

O protón describe unha traxectoria circular con velocidade de valor constante, polo que a aceleración só ten compoñente normal aN ,


R



R

Despexando o raio R


= 1,67·10−27 [kg] ·9,79·105 [m /s]1,60 ·10−19 [C ]·0,320 [T ]· sen90°

=3,19·10−2 m=3,19 cm

Análise: o raio ten un valor aceptable, uns centímetros.

Despexando o período

T=2π · R

v=2 ·3,14 ·3,19·10−2 [m ]

9,79· 105 [m /s ]=2,05·10−7 s

O número de voltas en 1 s será:

N =1,00 [s] · 1 volta

2,05· 10−7 [s]=4,88 ·106 voltas

Análise: Se o protón entra nun campo magnético, ao describir media circunferencia sairá del, polo que en reali-dade só daría media volta nun tempo de T / 2 = 1,03·10⁻⁷ s e sairía a unha distancia de 2 R = 6,4 cm do punto de entrada.

4. Unha partícula con carga 0,5·10⁻⁹ C móvese con v = 4·10⁶ j m/s e entra nunha zona onde existe un campo magnético B = 0,5 i T:a) Qe campo eléctrico E hai que aplicar para que a carga non sufra ningunha desviación?b) En ausencia de campo eléctrico calcula a masa se o raio da órbita é 10⁻⁷ m.c) Razoa se a forza magnética realiza algún traballo sobre a carga cando esta describe unha órbita

circular.(P.A.U. Set. 07)

Rta.: a) E = 2,00·10⁶ k N/C; b) m = 6,25·10⁻²⁴ kg

Datos Cifras signiffativas: 3Carga da partícula q = 0,5·10⁻⁹ C = 5,00·10⁻¹⁰ CIntensidade do campo magnético B = 0,500 i TVelocidade da partícula v = 4,00·10⁶ j m/sRadio da traxectoria circular R = 1,00·10⁻⁷ mInfógnitasVector campo eléctrico que anule o efecto do campo magnético EMasa da partícula mOutros símbolosValor da forza magnética sobre o protón FB

Vector forza eléctrica sobre o protón FE

× × × ×

× × × ×

× × × × F × × × × B× × × ×

v+ –

E


EfuafiónsLei de Lorentz: forza magnética sobre unha carga q que se despraza no interiordun campo magnético B cunha velocidade v

FB = q (v × B)

Aceleración normal (nun movemento circular de raio R) aN=v 2

R2ª lei de Newton da Dinámica ∑F = m · aFE exercida por un campo electrostático E sobre unha carga q FE = q · E

Solufión:

a) Se a forza eléctrica anula a magnética,

FB + FE = q (v × B) + q · E = 0

E = -(v × B) = -(4,00·10⁶ j [m/s] × 0,500 i [T]) = 2,00·10⁶ k N/C

b) Como só actúa a forza magnética:

∑ F = FB

A partícula describe unha traxectoria circular con velocidade de valorconstante, polo que a aceleración só ten compoñente normal aN,


R

Se a partícula entra perpendicularmente ao campo magnético:

|q|· B · v=m v2

R

Despexando a masa m

m=R ·q · Bv

=1,00·10−7 [m ] ·5,00·10−10 [C] ·0,500 [T ]4,00 ·106 [m /s ]

=6,25 ·10−24 kg

Análise: A masa é unhas 7·10⁶ veces a masa do electrón. Aínda supoñendo o improbable caso dunha «partícu-la» constituída por todos eses electróns, a súa carga non podería ser superior a 7·10⁶ · 1,6·10⁻¹⁹ C = 1·10⁻¹² C e xamais podería alcanzar o valor de 0,5·10⁻⁹ C. Algo falla. Como os cálculos parecen estar ben, é de supoñer queos datos do problema non foron moi meditados.

c) Como a traxectoria é circular, o desprazamento é, en todo momento, perpendicular á forza magnética, polo que o traballo é nulo.

W = F · ∆s · cos 90° = 0

5. Acelérase unha partícula alfa mediante unha diferenza de potencial de 1 kV, penetrando a continua-ción, perpendicularmente ás liñas de indución, nun campo magnético de 0,2 T. Acha:a) O raio da traxectoria descrita pola partícula.b) O traballo realizado pola forza magnética.c) O módulo, dirección e sentido dun campo eléctrico necesario para que a partícula alfa non

experimente desviación algunha ao seu paso pola rexión na que existen os campos eléctrico e magnético.

Datos: mα = 6,68·10⁻²⁷ kg; qα = 3,2·10⁻¹⁹ C (P.A.U. Set. 13)Rta.: a) R = 3,2 cm; b) WB = 0; c) |E| = 6,2·10⁴ V/m

Datos Cifras signiffativas: 3Carga da partícula alfa qα = 3,2·10⁻¹⁹ CDiferencia de potencial de aceleración ∆V = 1,00 kV = 1,00·10³ VMasa da partícula alfa mα = 6,68·10⁻²⁷ kgIntensidade do campo magnético |B| = 0,200 T

× × × × × × × v× × × × × × × × × × × × × × F × × × × × × × B× × × × × × ×

B× × × × × × ×

× × × × × × ×

× × × × × × ×

× × × × × × ×

× × × × × × × E

vF

EF

B


Datos Cifras signiffativas: 3InfógnitasRadio da traxectoria descrita pola partícula alfa RTraballo realizado pola forza magnética WB

Vector campo eléctrico que anule o efecto do campo magnético EOutros símbolosVector da forza magnética sobre a partícula alfa FB

Vector forza eléctrica sobre a partícula alfa FE


FB = q (v × B)




TForza FE exercida por un campo electrostático E sobre unha carga q FE = q · E

Solufión:

a) Para calcular a velocidade da partícula alfa temos que ter en conta que ao acelerar a partícula alfa cunha diferenza de potencial (supomos que desde o repouso), este adquire unha enerxía cinética:

W(eléctrico) = q · ΔV = ΔE = ½ m · v² – ½ m · v₀²


v=√ 2qα ·ΔVmα

=√ 2 ·3,20·10−19 [C] ·1,00·103 [V ]6,28·10−27 [kg]

=3,10 ·105 m /s

Se só actúa a forza magnética:

∑F = FB

A partícula alfa describe unha traxectoria circular con velocidade de valorconstante, polo que a aceleración só ten compoñente normal aN,


R


|q|· B · v ·senφ=m v2

R

Despexando o raio R


= 6,28· 10−27 [kg ]·3,10·105 [m /s]3,20·10−19 [C ]· 0,200[T ] ·sen90°

=3,23·10−2 m=3,23 cm

b) Como a traxectoria é circular, o desprazamento é, en todo momento, perpendicular á for-za magnética, polo que o seu traballo é nulo.

WB = FB · ∆s · cos 90° = 0

c) Tomando o sistema de referencia como o de fgura da dereita, cando só actúa a forza magnética a traxec-toria da partícula alfa é unha circunferencia. Na fgura anterior debuxouse a partícula alfa movéndose ini-cialmente no sentido positivo do eixe Y e o campo magnético dirixido no sentido negativo do eixe Z.Cando actúa unha forza eléctrica que anula a magnética,

× × × × × × × v× × × × × × × × × × × × × × F × × × × × × × B× × × × × × ×

X+

Y+

Z+


FB + FE = q (v × B) + q · E = 0

O campo eléctrico debe valer:

E = –(v × B) = -(3,10·10⁵ j [m/s] × 0,200 (–k) [T]) = 6,19·10⁴ i N/C

O campo eléctrico está dirixido no sentido positivo do eixe X.En calquera sistema de referencia, a dirección do campo eléctrico debe serperpendicular tanto á dirección do campo magnético como á dirección davelocidade. O sentido do campo eléctrico ten que ser igual que o da forzaeléctrica e oposto ao da forza magnética.

6. Un electrón é acelerado por unha diferenza de potencial de 1000 V, entra nun campo magnético B perpendicular á súa traxectoria, e describe unha órbita circular en T = 2·10⁻¹¹ s. Calcula:a) A velocidade do electrón.b) O campo magnético.c) Qe dirección debe ter un campo eléctrico E que aplicado xunto con B permita que a traxectoria

sexa rectilínea?Datos: qₑ = -1,6·10⁻¹⁹ C; mₑ = 9,1·10⁻³¹ kg (P.A.U. Xuño 08)Rta.: a) v = 1,88·10⁷ m/s; b) B = 1,79 T


FB = q (v × B)




TForza FE exercida por un campo electrostático E sobre unha carga q FE = q · E

Solufión:

a) Para calcular a velocidade do electrón temos que ter en conta que ao acelerar o electrón cunha diferenza de potencial (supomos que desde o repouso), este adquire unha enerxía cinética:

W(eléctrico) = q · ΔV = ΔE = ½ m v² – ½ m v₀²


v=√ 2|q|·ΔVm e

=√ 2 ·|−1,60 ·10−19 [C]|·1,00 ·103 [V ]9,10 ·10−31 [kg]

=1,88 ·107 m /s

Análise: A velocidade parece moi elevada, pero non supera a décima da parte da velocidade da luz, e non hai que aplicar correccións relativistas.

b) Se só actúa a forza magnética:

∑F = FB

O electrón describe unha traxectoria circular con velocidade de valor constante, polo que a aceleración só ten compoñente normal aN,


R



R

Despexando o campo magnético B

B× × × × × × ×

× × × × × × ×

× × × × × × ×

× × × × × × ×

× × × × × × × E

vF

EF

B


B= m· v|q|· R ·senφ

É necesario ter o raio da traxectoria circular. Como se coñece o período, calcularase o raio a partir da rela-ción entre o período e o raio dun movemento circular uniforme.

R=v ·T2π

= 1,88·107 [m /s ]·2,00 ·10−11 [s ]2π

=5,97·10−5 m

O campo magnético valerá:


= 9,10·10−31 [kg ]· 1,88·107 [m / s]|−1,60·10−19 [C ]|·5,97·10−5 [m ]·sen90 °

=1,79 T

c) Se só actúa a forza magnética pódese debuxar a traxectoria do electróncomo na fgura, na que o electrón se move no sentido positivo do eixe X eo campo magnético está dirixido no sentido negativo do eixe Z.Se actúa unha forza eléctrica que anula a magnética,

FB + FE = q (v × B) + q · E = 0

O campo eléctrico debe valer:

E = –(v × B) = -(1,88·10⁷ i [m/s] × 1,79 (–k) [T]) = –3,35·10⁷ j N/C

O campo eléctrico está dirixido no sentido negativo do eixe Y.

Análise: A forza eléctrica estará dirixida na mesma dirección pero en sentido oposto que a forza magnética, ou sexa, en sentido positivo do eixe Y. Pero como o electrón ten carga negativa, o sentido do campo eléctrico é oposto, ou sexa no sentido negativo do eixe Y.

7. Dous condutores rectos, paralelos e longos están situados no plano XY e paralelos ao eixe Y. Un pasa polo punto (10, 0) cm e o outro polo (20, 0) cm. Ambos conducen correntes eléctricas de 5 A no senti-do positivo do eixe Y.a) Explica a expresión utilizada para o cálculo do vector campo magnético creado por un longo

condutor rectilíneo con corrente I.b) Calcula o campo magnético no punto (30, 0) cmc) Calcula o campo magnético no punto (15, 0) cmDato: μ₀ = 4 π · 10⁻⁷ (S.I.) (P.A.U. Xuño 09)Rta.: b) B = -15·10⁻⁶ k T; c) B = 0

Datos Cifras signiffativas: 3Intensidade de corrente por cada condutor I = 5,00 A Posición do punto polo que pasa o primeiro condutor r₁ (10,0, 0) cm = (0,01040, 0) mPosición do punto polo que pasa o segundo condutor r₂ (20,0, 0) cm = (0,02040, 0) mPosición do punto no que hai que calcular o campo magnético no apdo. a r₃ (30,0, 0) cm = (0,03040, 0) mPosición do punto no que hai que calcular o campo magnético no apdo. b r₄ (15,0, 0) cm = (0,01540, 0) mPermeabilidade magnética do baleiro μ₀ = 4 π · 10⁻⁷ T·m·A⁻¹InfógnitasCampo magnético no punto (30, 0) cm B₃Campo magnético no punto (15, 0) cm B₄EfuafiónsLei de Biot e Savart: campo magnético B creado a unha distancia r por un con-dutor recto polo que circula unha intensidade de corrente I B=

μ0 · I2π · r

Principio e superposición: B = ∑B

Solufión:

× × × × × × × v× × × × × × × F× × × × × × × × × × × × × × B× × × × × × ×

X+

Y+

Z+


a) O campo magnético creado por un condutor rectilíneo é circular e o seu sentido vén dado pola regra da man dereita: o sentido do campo magnético é o de peche da man dereita cando o polgar apunta no sentido da corrente.O valor do campo magnético B creado a unha distancia r por un condutor recto polo que circula unha in-tensidade de corrente I vén dado pola expresión:

B=μ0 · I2π · r

b) No diagrama debúxanse os campos magnéticos B₁ e B₂ creados por am-bos os condutores no punto C(30, 0) cm.O campo magnético creado polo condutor 1 que pasa por (10, 0) cm no pun-to 3(30, 0) cm é:

B⃗1→3=μ 0· I 1

2π · r(−k⃗)= 4π ·10−7 [T·m·A−1]·5,00 [A]

2π· 0,200 [m ](−k⃗)=−5,00 ·10−6 k⃗ T

O campo magnético creado polo condutor 2 que pasa por (20, 0) cm no pun-to 3(30, 0) cm é:

B⃗2→3=μ 0· I 2

2π · r(−k⃗)= 4π ·10−7 [T·m·A−1]·5,00 [A]

2π· 0,100 [m ](−k⃗)=−10,0 ·10−6 k⃗ T

O campo magnético resultante é a suma vectorial de ambos:

B₃= B₁→₃ + B₂→₃ = (-5,00·10⁻⁶ k) [T] + (-10,0·10⁻⁶ k) [T] = -15,0·10⁻⁶ k T

c) O campo magnético creado polo condutor 1 no punto 4 equidistante de ambos oscondutores é:

B⃗1→4=μ 0 · I 1

2π · r(−k⃗ )= 4π ·10−7 [T·m·A−1] ·5,00 [A ]

2π ·0,050 [m ](−k⃗)=−2,00·10−5 k⃗ T

O campo magnético creado polo condutor 2 no punto 4 equidistante de ambos oscondutores é oposto, de igual magnitude e dirección pero de sentido oposto, polo quea resultante é nula.

B₄ = 0

8. Dous fíos condutores rectos moi longos e paralelos (A e B) con correntes IA = 5 A e IB = 3 A no mesmo sentido están separados 0,2 m. Calcula:a) O campo magnético no punto medio entre os dous condutores (D)b) A forza exercida sobre un terceiro condutor C paralelo os anteriores, de 0,5 m e con IC = 2 A e que

pasa por D.Dato: μ₀ = 4 π · 10⁻⁷ S.I. (P.A.U. Set. 06)Rta.: a) B = 4,0·10⁻⁶ T perpendicular aos fíos ; b) F = 4,0·10⁻⁶ N cara á

Datos Cifras signiffativas: 3Intensidade de corrente polo condutor A IA = 5,00 AIntensidade de corrente polo condutor B IB = 3,00 ADistancia entre os condutores d = 0,200 mPermeabilidade magnética do baleiro μ₀ = 4 π · 10⁻⁷ T·m·A⁻¹Intensidade de corrente polo condutor C IC = 2,00 ALonxitude do condutor C l = 0,500 mInfógnitasCampo magnético no punto D medio entre os dous condutores BD

Forza exercida sobre un terceiro condutor C que pasa por D FC

EfuafiónsLei de Biot e Savart: campo magnético B creado a unha distancia r por un con-dutor recto polo que circula unha intensidade de corrente I B=

μ0 · I2π · r

B₁

I₁

B₂

I₂

B₁₃B

₂₃

X

YZ

B₁

I₁

B₂

I₂

B₁₄

B₂₄


EfuafiónsPrincipio de superposición: B = ∑BLei de Laplace: forza magnética que exerce un campo magnético B sobre un tramo l de condutor recto polo que circula unha intensidade de corrente I FB = I (l × B)

Solufión:

a) O campo magnético creado por un condutor rectilíneo é circular e o seu sentidovén dado pola regra da man dereita: o sentido do campo magnético é o de peche daman dereita cando o polgar apunta no sentido da corrente.No diagrama debúxanse os campos magnéticos BA e BB creados por ambos os condu-tores no punto medio D.O campo magnético creado polo condutor A no punto D equidistante de ambos oscondutores é:

B⃗ A→ D=μ 0· I A

2π · r(−k⃗ )=4π ·10−7 [T·m·A−1]·5,00 [A ]

2π ·0,100 [m ](−k⃗)=−1,00·10−5 k⃗ T

O campo magnético creado polo condutor B no punto D equidistante de ambos oscondutores é:

B⃗ B→D=μ0 · I B

2π · rk⃗= 4π ·10−7 [T·m·A−1]·3,00 [A ]

2π ·0,100 [m ]k⃗=6,00 ·10−6 k⃗ T

O campo magnético resultante é a suma vectorial de ambos:

BD = BA→D + B B→D = -1,00·10⁻⁵ k [T] + 6,00·10⁻⁶ k [T] = -4,0·10⁻⁶ k T

b) A forza que se exerce sobre un condutor C situado en D é:

FB = I (l × B) = 2,00 [A] (0,500 j [m] × (-4,0·10⁻⁶ k [T]) ) = -4,0·10⁻⁶ i N

Está dirixida cara ao condutor A se o sentido da corrente é o mesmo que o dos outros condutores.Análise: Os condutores que transportan a corrente no mesmo sentido atráense e en sentido oposto repélense. Aínda que se ve atraído por ambos os condutores, o será con maior forza polo que circula maior intensidade, ousexa o A.

9. a) Indica cal é o módulo, dirección e sentido do campo magnético creado por un fío condutor recto percorrido por unha corrente e realiza un esquema que ilustre as características de devandito campo. Considérese agora que dous fíos condutores rectos e paralelos de gran lonxitude transportan a súa respectiva corrente eléctrica. Sabendo que a intensidade dunha das correntes é o dobre que a da ou-tra corrente e que, estando separados 10 cm, atráense cunha forza por unidade de lonxitude de 4,8·10⁻⁵ N·m⁻¹,b) calcula as intensidades que circulan polos fíos.c) Canto vale o campo magnético nun punto situado entre os dous fíos, a 3 cm do que transporta me-nos corrente?Dato: μ₀ = 4 π · 10⁻⁷ N·A⁻² (P.A.U. Xuño 15)Rta.: b) I₁ = 3,46 A; I₂ = 6,93 A; c) B = 3,3 μT

Datos Cifras signiffativas: 3Intensidade de corrente polo segundo condutor I₂ = 2 I₁Distancia entre os dous condutores d = 10,0 cm = 0,100 mForza de atracción por unidade de lonxitude F / l = 4,8·10⁻⁵ N·m⁻¹Permeabilidade magnética do baleiro μ₀ = 4 π · 10⁻⁷ N·A⁻²InfógnitasIntensidades que circulan polos fíos I₁, I₂Campo magnético a 3 cm do fío con menos corrente BEfuafiónsLei de Biot e Savart: campo magnético B creado a unha distancia r por un con-dutor recto polo que circula unha intensidade de corrente I B=

μ0 · I2π · r

X

YZ

BA

IA

BB

IB

BA

D

BB

D


EfuafiónsPrincipio e superposición: B = ∑BLei de Laplace: Forza que exerce un campo magnético B sobre un tramo l de condutor que transporta unha corrente I F = I (l × B)

Solufión:

a) O campo magnético creado por un condutor rectilíneo é circular e o seu senti-do vén dado pola regra da man dereita: o sentido do campo magnético é o de pe-che da man dereita cando o polgar apunta no sentido da corrente.O valor do campo magnético B creado a unha distancia r por un condutor rectopolo que circula unha intensidade de corrente I vén dado pola expresión:

B=μ0 · I2π · r

b) A forza entre dous condutores rectilíneos paralelos obtense substituíndo na ecuación de Lorentz a expre-sión da lei de Biot e Savart.

F 1→ 2=I 1· l · B2=I 1· l ·μ 0· I 2

2π · r=μ 0· I 1· I 2

2π · r· l

Substituíndo os datos, tendo en conta que a forza é por unidade de lonxitude (l = 1 m)

4,8· 10−5 [N·m−1]=4π·10−7 [N·A−2]· I 1 ·2 I 1

2π ·0,100 [m ]

I 1=√ 4,8 ·10−5 [N·m−1] ·2π ·0,100 [m ]2 ·4π ·10−7 [N·A−2]

=3,46 A

I₂ = 2 I₁ = 6,93 A

No diagrama debúxanse os campos magnéticos B₁ e B₂ creados por ambosos condutores no punto 3 a 3 cm de I ₁.O campo magnético creado polo condutor 1 a 3 cm de distancia é:

B1=μ 0· I 1

2π ·r 1

= 4π ·10−7 [N·A−2] ·3,46 [A ]2π ·0,03040 [m ]

=2,31·10−5 T

O campo magnético creado polo condutor 2 a 7 cm de distancia é:

B2=μ 0· I 1

2π ·r 2

= 4π ·10−7 [N·A−2] ·6,93 [A ]2π ·0,07040 [m ]

=1,98·10−5 T

Como os campos son de sentidos opostos, o campo magnético resultanteno punto que dista 3 cm é

B₃ = B₁ – B₂ = 2,31·10⁻⁵ [T] – 1,98·10⁻⁵ [T] = 3,3·10⁻⁶ T

A dirección do campo magnético resultante é perpendicular ao plano formado polos dous condutores e o sentido é o do campo magnético do fío máis próximo, (no debuxo, cara ao bordo superior do papel)

● INDUCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

1. Unha bobina cadrada e plana (S = 25 cm²) construída con 5 espiras está no plano XY:a) Enuncia a lei de Faraday - Lenz.b) Calcula a f.e.m. media inducida se aplícase un campo magnético en dirección do eixe Z, que varía

de 0,5 T a 0,2 T en 0,1 s.c) Calcula a f.e.m. media inducida se o campo permanece constante (0,5 T) e a bobina xira ata

colocarse no plano XZ en 0,1 s.

B₂

I₁B₁

I₂

7 cm3 cm

B₃

I


(P.A.U. Xuño 07)Rta.: b) ε = 0,038 V; c) ε = 0,063 V

Datos Cifras signiffativas: 2Superfcie de cada espira S = 25 cm² = 2,5·10⁻³ m²Número de espiras N = 5 espirasCampo magnético inicial B₀ = 0,50 k TCampo magnético fnal B = 0,20 k TIntervalo de tempo ∆t = 0,10 sInfógnitasForza electromotriz ao diminuír o campo magnético εForza electromotriz ao xirar a bobina 90° εEfuafións

Lei de Faraday - Lenz ε=−dΦd t

Fluxo magnético elemental dΦ= B⃗ · d S⃗Fluxo magnético dun campo constante a través dun solenoide de N espiras Φ = B · N · S

Solufión:

a) A lei de Faraday - Lenz di que se producirá unha corrente inducida nun circuíto pola variación de fuxo magnético a través del. A forza electromotriz inducida ε é igual á variación instantánea do fuxo magnético Φ que o atravesa.

ε=−dΦd t

A lei de Lenz di que a corrente inducida circulará de maneira que o fuxo magnético producido por ela opo-rase á variación de fuxo.O fuxo magnético elemental dΦ a través dun elemento de superfcie é o produto escalar do vector campo magnético B polo vector elemento de superfcie dS perpendicular á superfcie.

dΦ= B⃗ · d S⃗

O fuxo total é a suma de todos os fuxos elementais a través de todas as superfcies. Se o campo magnético é constante e perpendicular á superfcie

Φ = B · N · S

Sendo N o número de espiras atravesadas polo campo magnético.

b) O fuxo inicial era:

Φ₀ = B₀ · N · S · cos 0 = 0,50 [T] · 5 · 2,5·10⁻³ [m²] = 6,3·10⁻³ Wb

O fnal

Φ = B · N · S · cos 0 = 0,20 [T] · 5 · 2,5·10⁻³ [m²] = 2,5·10⁻³ Wb

A forza electromotriz media será:

ε b=−ΔΦΔ t

=−2,5·10−3 [Wb ]−6,3·10−3 [Wb]0,10 [s]

=0,038 V

O sentido da corrente oporase á diminución de fuxo saínte (cara a fóra do papel),polo que producirá un campo magnético saínte (cara a fóra do papel) e a corrente teráun sentido antihorario (visto desde encima do papel)

c) Se a bobina xira ata colocarse no plano XZ describiría un ángulo de 90° e o vectorsuperfcie quedará perpendicular ao campo magnético, polo que o fuxo fnal será

Φ = B · N · S · cos 90 = 0

A forza electromotriz media inducida

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

B₀

· · · · · ·· · · · · B ·· · · · · ·· · · ·

BI


ε c=−ΔΦΔ t

=−0 [Wb]−6,3 ·10−3 [Wb]0,10 [s]

=0,063 V

como tamén se produce por unha diminución de fuxo magnético, o sentido da corrente é antihorario.

◊ CUESTIÓNS

● CAMPO ELECTROSTÁTICO.

1. Disponse de varias cargas eléctricas puntuais. Se nun punto do espazo próximo ás cargas o potencial eléctrico é nulo:A) Pode haber campo eléctrico nese punto.B) As liñas do campo córtanse nese punto.C) O campo non é conservativo.

(P.A.U. Xuño 13)

Solufión: A

Por exemplo, en calquera punto equidistante de dúas cargas do mesmo valor e distinto signo (dipolo eléc-trico).O potencial electrostático creado por unha carga puntual Q nun punto que está a unha distancia r da carga é:

V=K Qr

Onde K é a constante electrostática do medio.Calquera punto que se atope á mesmo distancia de ambas as cargas, terá un potencial nulo, xa que o poten-cial nese punto será a suma dos potenciais creados por cada unha das cargas:

V=K Qr+K −Q

r=0

As cargas son opostas e as distancias iguais.Pero o campo electrostático no punto non é nulo, pois é a suma vectorial dos vectores campocreados por cada unha das dúas cargas que produce unha resultante que non é nula, como sepode ver na fgura.

As outras opcións:B. Falsa. Unha das propiedades das liñas de campo é que non se cortan en ningún punto, xaque o campo en cada punto é único en valor e dirección. As liñas de campo debúxanse de for-ma que o vector campo é tanxente a elas en cada punto. Se dúas liñas cortásense, existiríandúas vectores campo tanxentes a cada liña nese punto, o que contradí a defnición.

C. Falsa. O campo electrostático é un campo conservativo. O traballo da forza do campo can-do unha carga de proba móvese entre dous puntos é independente do camiño. (Tamén sepodería dicir que a circulación do vector campo ao longo dunha liña pechada é nula).

2. Dúas cargas distintas Q e q, separadas unha distancia d, producen un potencial cero nun punto P si-tuado entre as cargas e na liña que as une. Isto quere dicir que:A) As cargas deben ter o mesmo signo.B) O campo eléctrico debe ser nulo en P.C) O traballo necesario para traer unha carga desde o infinito ata P é cero.

(P.A.U. Xuño 15)

Solufión: C

EA→C

EC

B(+)

EB→C

C

A(-)


O potencial electrostático nun punto é o traballo que fai a forza electrostática cando a unidade de carga po-sitiva trasládase desde a súa posición ata o infnito. Como o traballo da forza do campo eléctrico é

W = q · ∆V

Se o potencial é cero tamén o é o traballo.

As outras opcións.A. Falsa. Se as cargas tivesen o mesmo signo, o potencial no punto creado por ambas as cargas, que é a suma dos potenciais producidos por cada carga, V = K · Q / r , sempre se acumularían, nunca poderían anu-larse.B. Falsa. Nun caso simple dun punto P que equidista de dúas cargas de igual valor e signo oposto, o poten-cial no punto é nulo: V = K · Q / r + K · (-Q) / r = 0, pero o campo eléctrico non o é porque os vectores in-tensidade de campo eléctrico teñen o mesmo sentido.

3. Explica cal das seguintes afirmacións é verdadeira:A) Non se realiza traballo cando unha carga eléctrica trasládase entre dous puntos dunha superficie equipotencial.B) As liñas de forza do campo electrostático son pechadas.C) As liñas As liñas de forza sempre se cortan.

(P.A.U. Set. 16)

Solufión: A

O traballo da forza do campo eléctrico é

W = q · ∆V

Se a diferenza de potencial é cero tamén o é o traballo.

As outras opcións.B. Falsa. As liñas de forza dun campo electrostático xorden das cargas positivas (fontes) e terminan nas car-gas negativas (sumidoiros). Son abertas.C. Falsa. Por defnición, as liñas de forza debúxanse de forma que o campo eléctrico sexa tanxente a elas en cada punto. O campo eléctrico nun punto é único. Se as liñas de forza cortásense, habería dúas tanxentes e dúas vectores campo eléctrico.

4. Se o fluxo do campo eléctrico a través dunha superficie gaussiana que rodea a unha esfera condutora cargada e en equilibrio electrostático é Q / ε₀, o campo eléctrico no exterior da esfera é:A) CeroB) Q / (4 π ε₀ r²)C) Q / ε₀

(P.A.U. Set. 05)

Solufión: B

Como o fuxo elemental dΦ do vector campo eléctrico E que atravesa unha superfcie elemental dS, que se pode representar polo vector dS perpendicular a ela dirixido cara ao exterior, é o produto escalar de ambos os vectores.

d Φ = E · dS

O fuxo total a través dunha superfcie pechada é:

Φ=∯SE⃗ · d S⃗

d/2

E+

+Q -QE-

d/2


A unha distancia r do centro da esfera o vector campo eléctrico E ten dirección radial e é paralelo ao vectorsuperfcie que represente calquera superfcie elemental na superfcie da esfera.En todos os puntos dunha esfera imaxinaria de raio R o valor de campo eléctrico é o mesmo porque todos distan o mesmo do centro da esfera.

O fuxo do vector campo eléctrico E que atravesa esa esfera imaxinaria é:

Φ=∯SE⃗ · d S⃗=∯S

|E⃗|·|d S⃗|cos0=∯SE ·d S=E∯S

d S=E ·S=E · 4π R2

Como o fuxo total vén dado polo teorema de Gauss:

Φ=Qencerrada

ε 0=Qε 0

Igualando as expresións anteriores, queda

E 4πR 2=Qε 0

Despexando o módulo E do campo eléctrico

E= Q4π R2ε 0

5. No interior dunha esfera condutora cargada:A) O potencial non é nulo.B) A carga non é nula.C) O campo eléctrico non é nulo.

(P.A.U. Xuño 16, Set. 15)

Solufión: A

A intensidade E de campo electrostático no interior dun condutor metálico en equilibrio é nula .Se non foseasí, as cargas desprazaríanse debido á forza do campo.A diferenza de potencial entre dous puntos V₁ – V₂ é:

V 1−V 2=∫r 1

r 2

E⃗ d r⃗

Ao ser nula a intensidade do campo, tamén o será a diferenza de potencial entre dous puntos,

V₁ – V₂ = 0

Ou sexa, o potencial será constante.

V₁ = V₂

6. No interior dun condutor esférico cargado e en equilibrio electrostático cúmprese:A) O potencial e o campo aumentan desde o centro ata a superficie da esfera.B) O potencial é nulo e o campo constante.C) O potencial é constante e o campo nulo.

(P.A.U. Xuño 05)

Solufión: C. Véxase a cuestión de setembro de 2015

7. Un condutor macizo de forma esférica recibe unha carga eléctrica Cal das seguintes afirmacións é verdadeira?:A) A carga distribúese por todo o condutor.B) O potencial é cero en todos os puntos do condutor.C) No interior do condutor non hai campo electrostático.


(P.A.U. Set. 14)

Solufión: C. Véxase a cuestión de setembro de 2015

8. Se unha carga de 1 µC móvese entre dous puntos da superficie dun condutor separados 1 m (cargado e en equilibrio electrostático), cal é a variación de enerxía potencial que experimenta esta carga?:A) 9 kJB) Depende do potencial do condutor.C) Cero.K = 9·10⁹ N·m²·C⁻²; 1 µC = 10⁻⁶ C (P.A.U. Set. 08)

Solufión: C

Todos os puntos dun condutor cargado en equilibrio están ao mesmo potencial.Se non o estivesen, as cargas positivas desprazaríanse en cara aos potenciais decrecentes e xa non estaría en equilibrio.Como o potencial V dun punto é a enerxía potencial Eₚ da unidade de carga situada nese punto:

∆Eₚ = q · ∆V = 0

9. Dúas esferas de raio R con cargas +Q e -Q, teñen os seus centros separados unha distancia d. A unha distancia d /2 (sendo d /2 >> R); cúmprese:A) O potencial é cero e o campo electrostático 4 K Q d⁻²B) O potencial é cero e o campo electrostático 8 K Q d⁻²C) O potencial é 4 K Q d⁻¹ e o campo cero.

(P.A.U. Xuño 12)

Solufión: B

Se d/2 >> R, as esferas poden considerarse como cargas puntuais.O potencial nun punto debido a dúas cargas puntuais é a suma alxébrica dos potenciais que cada carga creanese punto sen ser afectada pola presenza da outra.O potencial V electrostático nun punto creado por unha carga Q puntual (ou esférica) situada a unha dis-tancia R é:

V=KQR

Onde K é a constante electrostática.Por tanto o potencial electrostático no punto medio creado por ambas as cargas é cero:

V=V ++V -=K +Qd /2

+K −Qd /2

=0

Polo principio de superposición, a intensidade do campo electrostático nun punto creado por un conxunto de cargas puntuais é a suma vectorial das intensidades de campo electrostático debidas a cada unha delas coma se o resto das cargas non estivese presente.A expresión da intensidade E do campo electrostático creado por unha carga Q puntual nun punto a unha distancia r

E⃗=K Qr 2

u⃗ r

sendo ur o vector unitario na dirección do punto tomando como orixe acarga.Polo principio de superposición

E⃗= E⃗ ++ E⃗ -=K+Q

(d /2)2i⃗ +K

−Q(d /2)2 (− i⃗ )=2(4 K

Qd2) i⃗=8K

Qd2 i⃗

d/2

E+

+Q -QE₋

d/2


|E⃗|=8 K Qd 2

10. Dadas dúas esferas condutoras cargadas e de diferente raio, con cargas QA e QB, se ponse en contacto:a) Iguálanse as cargas nas dúas esferas.b) Iguálanse os potenciais das esferas.c) Non ocorre nada.

(P.A.U. Set. 09)

Solufión: B

Cando dúas esferas condutoras cargadas ponse en contacto eléctrico as cargas desprázanse desde a esfera que ten maior potencial cara á que o ten menor, ata que os seus potenciais iguálanse. As cargas eléctricas positivas desprázanse sempre no sentido dos potenciais decrecentes. Supoñendo que o sistema de dúas es-feras está illado do exterior, a carga eléctrica deberá conservarse. Por tanto poderíase calcular a carga fnal q' de cada esfera resolvendo o sistema de ecuacións:

q'₁ + q'₂ = q₁ + q₂

V ' 1=Kq ' 1

R1

=Kq '2

R2

=V ' 2

● CAMPO MAGNÉTICO.

1. Un campo magnético constante B exerce unha forza sobre unha carga eléctrica:A) Se a carga está en repouso.B) Se a carga móvese perpendicularmente a B.C) Se a carga móvese paralelamente a B.

(P.A.U. Set. 12)

Solufión: B

A forza F sobre unha carga eléctrica q en movemento réxese pola lei de Lorentz

F = q (v × B)

Sendo v a velocidade da carga e B a indución magnética (intensidade do campo magnético).O módulo do produto vectorial dos vectores velocidade e indución magnética é

|v × B | = |v |· |B | · sen φ

Onde φ é o ángulo que forman eses vectores. Se son perpendiculares, sen φ = 1

As outras opcións.A. Falsa. Se está en repouso, a velocidade é nula e o produto vectorial tamén.C. Falsa. Se son paralelos, sen φ = 0 e o produto vectorial é nulo. Non hai forza.

2. Cando unha partícula cargada móvese dentro dun campo magnético, a forza magnética que actúa so-bre ela realiza un traballo que sempre é:A) Positivo, se a carga é positiva.B) Positivo, sexa como sexa a carga.C) Cero.

(P.A.U. Xuño 16)

Solufión: C


A forza magnética é perpendicular á traxectoria en todos os puntos e, por tanto, non realiza traballo

3. Analiza cal das seguintes afirmacións referentes a unha partícula cargada é verdadeira e xustifica por que:A) Se móvese nun campo magnético uniforme, aumenta a súa velocidade cando se despraza na direc-ción das liñas do campo.B) Pode moverse nunha rexión na que existe un campo magnético e un campo eléctrico sen experi-mentar ningunha forza.C) O traballo que realiza o campo eléctrico para desprazar esa partícula depende do camiño seguido.

(P.A.U. Set. 11)

Solufión: B

A forza F sobre unha carga eléctrica q en movemento réxese pola lei de Lorentz

F = q (v × B) + q · E

Sendo v a velocidade da carga, B a indución magnética (intensidade do campo magnético) e E a intensidadedo campo electrostático.Mentres que a dirección da forza eléctrica é paralela ao campo electrostático, a dirección da forza magnéti-ca é perpendicular ao campo magnético.A partícula pode non experimentar ningunha forza se hai un campo magnético e un campo electrostático perpendiculares á dirección de movemento da partícula e perpendiculares entre se, e cúmprese que

q (v × B) + q · E = 0

ou sexa

|v | · |B | = |E |

4. Un protón e unha partícula α (qα = 2 qₚ; mα = 4 mₚ) penetran, coa mesma velocidade, nun campo mag-nético uniforme perpendicularmente ás liñas de indución. Estas partículas:A) Atravesan o campo sen desviarse.B) O protón describe unha órbita circular de maior raio.C) A partícula alfa describe unha órbita circular de maior raio.

(P.A.U. Set. 14)

Solufión: C

A forza magnética FB sobre unha carga q que se despraza no interior dun campo magnético B cunha veloci-dade v vén dada pola lei de Lorentz:

FB = q (v × B)

Esta forza é perpendicular en todos os puntos á dirección de avance da partícula, polo que describe traxec-toria circular con velocidade de valor constante xa que a aceleración só ten compoñente normal aN,

Se só actúa a forza magnética:

∑F = FB

Aplicando a 2ª lei de Newton

∑F = m · a


R


|q|· B ·v · senφ =m v2

R

× × × × × × × v× × × × × × × × × × × × × × F × × × × × × × B× × × × × × ×


Se as partículas entran perpendicularmente ao campo, sen φ = 1.Despexando o raio R

R=m ·vq · B

Como a velocidade é a mesma e o campo magnético é o mesmo, aplicando esta expresión tanto ao protón como á partícula α e dividindo unha entre a outra queda:

Rα

R p

=

mα ·vqα · Bmp ·vq p · B

=mα ·q p

m p ·q α=

4 mp ·q p

m p ·2 qp

=2

Rα = 2 Rₚ

O raio da circunferencia descrita pola partícula alfa é o dobre que o da circunferencia descrita por protón.

5. Unha partícula cargada atravesa un campo magnético B con velocidade v. A continuación, fai o mes-mo outra partícula coa mesma v, dobre masa e tripla carga, e en ambos os casos la traxectoria é idén-tica. Xustifica cal é a resposta correcta:A) Non é posible.B) Só é posible se a partícula inicial é un electrón.C) É posible nunha orientación determinada.

(P.A.U. Xuño 11)

Solufión: C

Un campo magnético B exerce sobre unha partícula de masa m e carga q que o atravesa cunha velocidade v, unha forza F que pode calcularse pola expresión de Lorentz.

F = q (v × B)

F = |q | · v · B · sen φ

Se o campo magnético é constante e a partícula entra en dirección perpendicular ás liñas de campo, a tra-xectoria é unha circunferencia porque a forza F é sempre perpendicular á velocidade e a partícula ten unha aceleración centrípeta que só cambia a dirección da velocidade,


R


|q|· B ·v · senφ =m v2

R

Por tanto a traxectoria é unha circunferencia de raio:


Coa mesma velocidade v e o mesmo campo magnético B, o dobre de masa e o triplo de carga, o raio non podería dar o mesmo resultado que a primeira vez a non ser que o ángulo α entre o vector velocidade e o vector campo magnético fose distinto, pero neste caso a traxectoria non sería a mesma.Pero existe unha posibilidade. Se o vector velocidade e o vector campo magnético fosen paralelos (φ = 0), non habería forza sobre a partícula e seguiría unha traxectoria recta en ambos os casos.

6. Unha partícula cargada e con velocidade u, introdúcese nunha rexión do espazo onde hai un campo eléctrico e un campo magnético constantes. Se a partícula móvese con movemento rectilíneo unifor-me débese a que os dous campos:A) Son da mesma dirección e sentido.


B) Son da mesma dirección e sentido contrario.C) Son perpendiculares entre se.

(P.A.U. Set. 09)

Solufión: C

A forza F sobre unha carga eléctrica q en movemento segue a lei de Lorentz

F = q (u × B) + q · E

Sendo u a velocidade da carga, B a indución magnética (intensidade do campo magnético) e E a intensida-de do campo electrostático.Mentres que a dirección da forza eléctrica é paralela ao campo electrostático, a dirección da forza magnéti-ca é perpendicular ao campo magnético.Se a partícula cargada non se desvía pode ser porque:- Tanto a dirección do campo magnético como a do campo electrostático son paralelas á dirección de move-mento da partícula. Non haberá forza magnética pero a forza eléctrica provocará unha aceleración e o mo-vemento será rectilíneo pero non uniforme.- Tanto a dirección do campo magnético como a do campo electrostático son perpendiculares á dirección de movemento da partícula e perpendiculares entre se, e ademais cúmprese que

q (u × B) + q · E = 0 ⇒ |u | · |B | = |E |

Nisto baséase o selector de velocidades do espectrógrafo de masas.

7. Nunha rexión do espazo hai un campo eléctrico e un campo magnético ambos os uniformes da mes-ma dirección pero de sentidos contrarios. En devandita rexión abandónase un protón con velocidade inicial nula. O movemento de protón é:A) Rectilíneo uniforme.B) Rectilíneo uniformemente acelerado.C) Circular uniforme.

(P.A.U. Set. 16)

Solufión: B

A forza F sobre unha carga eléctrica q en movemento segue a lei de Lorentz

F = q (v × B) + q · E

Sendo v a velocidade da carga, B a indución magnética (intensidade do campo magnético) e E a intensidadedo campo electrostático.A dirección da forza eléctrica é paralela ao campo electrostáti-co.Inicialmente, co protón en repouso, só actúa a forza eléctrica,que lle produce unha aceleración na dirección e sentido da for-za. En canto ten velocidade, debería actuar a forza magnética,pero non o fai porque o campo magnético ten a mesma direc-ción que o campo eléctrico e que a velocidade.Por tanto o protón segue movéndose con movemento rectilí-neo uniformemente acelerado.

8. Unha partícula cargada penetra nunha rexión onde existe un campo magnético uniforme perpendicu-lar á velocidade da partícula. O raio da órbita descrita:A) Aumenta se aumenta a enerxía cinética da partícula.B) Aumenta se aumenta a intensidade do campo magnético.C) Non depende da enerxía cinética da partícula.

(P.A.U. Xuño 15)

Solufión: A

aEB v


A forza magnética FB sobre unha carga q que se despraza no interior duncampo magnético B cunha velocidade v vén dada pola lei de Lorentz:

FB = q (v × B)

Esta forza é perpendicular en todos os puntos á dirección de avance dapartícula, polo que describe traxectoria circular con velocidade de valorconstante xa que a aceleración só ten compoñente normal aN.Se só actúa a forza magnética:

∑F = FB

Aplicándoa 2ª lei de Newton

∑F = m · a


R

Usando a expresión da lei de Lorentz (en módulos) para a forza magnética quedaría


R

Se as partículas entran perpendicularmente ao campo, sen φ = 1.Despexando o raio R

R=m ·vq · B

Se aumenta a enerxía cinética, aumenta a velocidade e, como se ve na ecuación anterior, aumenta tamén o raio da traxectoria.

9. Indica, xustificando a resposta, cal das seguintes afirmacións é correcta:A) A unidade de indución magnética é o weber (Wb).B) O campo magnético non é conservativo.C) Dous condutores rectos paralelos e indefinidos, polos que circulan correntes I₁ e I₂ en sentido con-trario, atráense.

(P.A.U. Set. 15)

Solufión: B

Para que un campo vectorial sexa conservativo, a circulación do campo ao longo dunha liña pechada debe ser nula, o que é equivalente a dicir que a circulación entre dous puntos A e B é independente do camiño seguido, só dependería dos puntos A e B.O campo magnético B non é conservativo. A circulación do vector B a o longo dunha liña l pechada non é nula. Pola lei de Ampère.

∮ B⃗ d l⃗ =μ 0∑ I

As outras opcións:A. Falsa. A unidade de indución magnética é o tesla (T). O weber (Wb) é a unidade de fuxo magnético.

Wb = T · m²

C. Falsa. Repélense. Ver resposta de xuño de 2006

10. Un cable recto de lonxitude ℓ e corrente i está colocado nun campo magnético uniforme B formando con el un ángulo θ. O módulo da forza exercida sobre devandito cable é:A) i ℓ B tg θB) i ℓ B sen θC) i ℓ B cos θ

(P.A.U. Set. 05)

× × × × × × × v× × × × × × × × × × × × × × F × × × × × × × B× × × × × × ×

PauElectromagnetismoGl.pdf#ForzaMagnCondutores


Solufión: B

A 2ª lei de Laplace di que a forza F exercida por un campo magnético B uniforme sobre un cable recto de lonxitude l polo que pasa unha corrente de intensidade i vén dado polo produto vectorial do vector l polo vector campo B magnético multiplicado pola intensidade de corrente i que atravesa o condutor.

FB = i (l × B)

O produto vectorial de dous vectores l e B é outro vector cuxo módulo vale o produto dos módulos l e B polo seo do ángulo que forman cando coinciden as súas orixes.

|FB | = i · |l |· | B | sen φ

que se pode escribir tamén como:

F = i · l · B sen φ

11. Un fío recto e condutor de lonxitude ℓ e corrente I, situado nun campo magnético B, sofre unha forza de módulo I · ℓ · B:A) Se I e B son paralelos e do mesmo sentido.B) Se I e B son paralelos e de sentido contrario.C) Se I e B son perpendiculares.

(P.A.U. Set. 08)

Solufión: C

A 2ª lei de Laplace di que a forza F exercida por un campo magnético B uniforme sobre un cable recto de lonxitude l polo que pasa unha corrente de intensidade i vén dado polo produto vectorial do vector l polo vector campo B magnético multiplicado pola intensidade de corrente i que atravesa o condutor.

FB = i (l × B)

O produto vectorial de dous vectores l e B é outro vector cuxo módulo vale o produto dos módulos l e B polo seo do ángulo que forman cando coinciden as súas orixes.

|FB | = i · |l |· | B | sen φ

que se pode escribir tamén como:

F = i · l · B sen φ

Cando o cable é perpendicular ao campo magnético, sen φ = 1 e

F = i · l · B

12. As liñas de forza do campo magnético son:A) Sempre pechadas.B) Abertas ou pechadas dependendo do imán ou bobina.C) Abertas como as do campo eléctrico.

(P.A.U. Set. 13)

Solufión: A

Se o campo magnético é producido por un imán, un solenoide ou unha espira, asfontes do campo magnético son os polos N do elemento mentres que os sumidoi-ros son os polos S. Pero como ambos os polos son inseparables, as liñas de camposon pechadas.(Se partimos un imán en dous, cada parte segue tendo dous polos. Non se podenconseguir por división monopolos magnéticos)Se o campo é producido por unha corrente rectilínea indefnida, as liñas de cam-po son circunferencias concéntricas arredor do fío.


13. Cal das seguintes afirmacións é correcta?:A) A lei de Faraday - Lenz di que a f.e.m. inducida nunha espira é igual ao fluxo magnético ΦB que a atravesa.B) As liñas do campo magnético B para un condutor longo e recto son circulares arredor do mesmo.C) O campo magnético B é conservativo.

(P.A.U. Xuño 14)

Solufión: B

As liñas de campo magnético producido por unha corrente recta indefnida, soncircunferencias concéntricas arredor do fío. Pode comprobarse espallando lima-duras de ferro sobre unha superfcie perpendicular a un cable que leva unha co-rrente eléctrica.

As outras opcións:A. Falsa. A lei de Faraday - Lenz di que a f.e.m. inducida nunha espira é igual ávariación co tempo do fuxo magnético ΦB que a atravesa.C. Falsa. O campo magnético B non é conservativo. A circulación do vector B ao longo dunha liña l pecha-da non é nula, pola lei de Ampère.

∮ B⃗ d l⃗ =μ 0∑ I

14. As liñas do campo magnético B creado por unha bobina ideal:A) Nacen no cara norte e morren no cara sur da bobina.B) Son liñas pechadas sobre se mesmas que atravesan a sección da bobina.C) Son liñas pechadas arredor da bobina e que nunca a atravesan.

(P.A.U. Xuño 06)

Solufión: B

As liñas de campo magnético son liñas pechadas.Nunha bobina recta as liñas son pechadas, que no exterior sal-guen do polo (ou cara) norte e entran polo polo sur, de formaanáloga ás dun imán rectangular, percorrendo o interior da bo-bina (desde o polo sur cara ao polo norte).Nunha bobina toroidal as liñas son pechadas, encerradas no in-terior da bobina, e no exterior dela non hai liñas de campomagnético. Neste caso non existen polos norte nin sur.

15. Dous fíos paralelos moi longos con correntes eléctricas I e I ' estacionarias e do mesmo sentido:A) Atráense entre se.B) Repélense entre se.C) Non interaccionan.

(P.A.U. Xuño 06)

Solufión: C

A dirección do campo magnético B creado por unha inten-sidade I de corrente que circula por un condutor rectilíneoindefnido é circular arredor do fío e o seu valor nun puntoa unha distancia r do fío vén dada pola lei de Biot - Savart:

B=μ0 · I2π · r

O sentido do campo magnético vén dado pola regra da man dereita (o sentido do campo magnético é o do peche da man dereita cando o polgar apunta no sentido da corrente eléctrica).

S N

I1

I2

F2→1

F1→2

B1B

2


A 2ª lei de Laplace dá o valor, dirección e sentido da forza Fdebida a un campo magnético B sobre un tramo l recto decorrente polo que circula unha intensidade I de correnteeléctrica.

F = I (l × B)

Ao ser un produto vectorial, a dirección da forza é perpen-dicular ao tramo l de corrente e tamén perpendicular aovector campo magnético B. O sentido vén dado por outra regra da man dereita (ao pechar a man desde o primeiro vector l cara ao segundo B, o sentido da forza F é o do dedo polgar).Se as correntes son de sentidos opostos os fíos repélense.Se as correntes son do mesmo sentido os fíos atráense.

16. Disponse dun fío infinito recto e con corrente eléctrica I. Unha carga eléctrica +q próxima ao fío mo-véndose paralelamente a el e no mesmo sentido que a corrente:A) Será atraída.B) Será repelida.C) Non experimentará ningunha forza.

(P.A.U. Xuño 04)

Solufión: A

A lei de Biot - Savart di que o campo magnético creado nun punto por un condutor rectilíneo indefnido polo que pasa unha intensidade de corrente I, nun punto que se atopa a unha distancia r do condutor é di-rectamente proporcional á intensidade de corrente e inversamente proporcional á distancia á que se atopa o punto do condutor.

B=μ0 · I2π · r

O campo magnético é circular arredor do fío e o seu sentido é o do peche da man dereita copolgar apuntando no sentido da corrente. (Regra da man dereita)Nun sistema de coordenadas como o da fgura, o vector campo magnético sería:

B = B k

A lei de Lorentz di que a forza F exercida por un campo magnético sobre unha carga qque se move cunha velocidade v pode calcularse pola expresión:

F = q (v × B)

A forza magnética é perpendicular á dirección de movemento da partícula e ao campomagnético.O sentido da forza F do campo magnético B creado pola corrente I sobre a carga +q quese move paralelamente e no mesmo sentido que a corrente dedúcese do produto vecto-rial.

F = q (v × B) = q (v (-j) × B k) = q · v · B (-i)

A forza está dirixida cara ao fío.

17. Por dous condutores paralelos e indefinidos, separados unha distancia r, circulan correntes en sentidocontrario de diferente valor, unha o dobre da outra. A indución magnética anúlase nun punto do pla-no dos condutores situado:A) Entre ambos os condutores.B) Fose dos condutores e do lado do condutor que transporta máis corrente.C) Fose dos condutores e do lado do condutor que transporta menos corrente.

(P.A.U. Set. 14)

I

F

B

q

v

I1

I2

F2→1

F1→2

B1

B2

X+

Y+

Z+


Solufión: C

A lei de Biot - Savart di que o campo magnético creado nun punto por un condutor rectilíneo indefnido polo que pasa unha intensidade de corrente I, nun punto que se atopa a unha distancia r do condutor é di-rectamente proporcional á intensidade de corrente e inversamente proporcional á distancia á que se atopa o punto do condutor.

B=μ0 · I2π · r

As liñas do campo magnético son circulares arredor do condutor.A dirección do campo magnético vén dada pola regra da man dereita, que di que se colocamos o polgar no sentido da corrente, o sentido do campo magnético é o dos outros dedos ao pechar a man.Na fgura represéntanse os campos mag-néticos creados polos dous condutores, oque leva a corrente I₁ cara a dentro e o queleva a corrente I₂ cara a fóra e do dobre deintensidade.Na zona situada entre ambos os conduto-res, os campos magnéticos creados polascorrentes paralelas dos fíos son do mesmosentido, polo que o campo resultante nuncaserá nulo.Na zona exterior do lado de I₂ (esquerda)que transporta o dobre de corrente, o cam-po magnético B₂ creado pola corrente desecondutor sempre será maior que o creadopolo de I₁, que se atopa máis afastado.Na zona exterior do lado de I₁ (dereita), ospuntos atópanse máis preto do condutor 1que do condutor 2, e os campos magnéticosde ambos poden ser do mesmo valor, ecomo son de sentido oposto, poden anular-se nalgún punto.A distancia x deste punto ao condutor que leva I₂ debe cumprir a condición

B₂ = B₁

μ 0· I 2

2π ·x=

μ 0 · I 1

2π(x−r )

(x – r) I₂ = x · I₁

Como I₂ = 2 I₁, queda

(x – r) · 2 I₁ = x · I₁

x = 2 r

● INDUCIÓN ELECTROMAGNÉTICA.

1. Indúcese corrente en sentido horario nunha espira en repouso se:A) Achegamos o polo norte ou afastamos o polo sur dun imán rectangular.B) Afastamos o polo norte ou achegamos o polo sur.C) Mantemos en repouso o imán e a espira.

(P.A.U. Set. 15)

Solufión: B

I1

B1

I2

B1

B2

B2

B2

r

B1

2 r


A lei de Faraday - Lenz di que se inducirá unha corrente que se opoña á variación de fuxo a través da espi-ra. A f.e.m. desa corrente será igual á variación de fuxo magnético respecto ao tempo.

ε=−dΦd t

Ao afastar o polo norte do imán diminúe o número de liñas de campo magnético que atravesan a espira, polo que a corrente inducida circulará no sentido de «corrixir» o aumento de liñas, é dicir, farao de modo que o campo magnético B debido á corrente I inducida teña sentido oposto ao que tiña o do imán. Pola re-gra da man dereita, a corrente debe ser en sentido horario.

2. Se se achega o polo norte dun imán recto ao plano dunha espira plana e circular:A) Prodúcese en a espira unha corrente inducida que circula en sentido antihorario.B) Xérase un par de forzas que fai rotar a espira.C) a espira é atraída polo imán.

(P.A.U. Set. 06)

Solufión: A


ε=−dΦd t

Ao achegar o polo norte do imán, aumenta o número de liñas de campo magnético que atravesan a espira, polo que a corrente inducida circulará no sentido de «corrixir» o aumento de liñas, é dicir, farao de modo que o campo magnético B debido á corrente I inducida teña sentido oposto ao que tiña o do imán. Pola re-gra da man dereita, a corrente debe ser en sentido antihorario.

3. Unha espira rectangular está situada nun campo magnético uniforme, representado polas frechas da figura. Razoa se o amperímetro indicará paso de corrente:A) Se a espira xira arredor do eixe Y.B) Se xira arredor do eixe X.C) Se desprázase ao longo de calquera dos eixos X ou Y.

N

N

BB

I

B

N

N

B

Bi

I

B


(P.A.U. Set. 04)

Solufión: B

A lei de Faraday - Lenz di que se inducirá unhacorrente que se opoña á variación de fuxo a tra-vés da espira. A f.e.m. desa corrente será igual ávariación de fuxo magnético respecto ao tempo.

ε=−dΦd t

O fuxo magnético é o produto escalar do vector B campo magnético polo vector S perpendicular á superfcie delimitada pola espira.

Φ = B · S = B · S · cos φ

Cando a espira xira arredor do eixe Y, o fuxo magnético non varía, posto que é nulo todo o tempo: as liñas do campo magnético non atravesan a superfcie da espira nin cando a espira está en repouso nin cando xira arredor do eixe Y, pois son sempre paralelas ao plano da espira. O ángulo φ vale sempre π/2 rad e o cos π/2 = 0.

Pero cando a espira xira arredor do eixe X, as liñas de campo atrave-san a superfcie plana delimitada pola espira, variando o fuxo mag-nético desde 0 ata un máximo cando a espira está no plano XZ per-pendicular ao eixe Y que é o do campo magnético. Logo volve dimi-nuír ata facerse nulo cando xire π rad.Ao desprazarse a espira, sempre paralelamente ás liñas de campo, ofuxo seguirá sendo nulo en todos os casos.

4. Unha espira está situada no plano XY e é atravesada por uncampo magnético constante B en dirección do eixe Z. Indúceseunha forza electromotriz:A) Se a espira móvese no plano XY.B) Se a espira xira arredor dun eixe perpendicular a a espira.C) Se anúlase gradualmente o campo B.

(P.A.U. Set. 12)

Solufión: C


ε=−dΦd t

O fuxo magnético é o produto escalar do vector B campo magnético polo vector S perpendicular á super-fcie delimitada pola espira.

Φ = B · S = B · S · cos φ

Se anúlase gradualmente o campo magnético B, prodúcese unha variación de fuxo magnético Φ e unha forza electromotriz inducida, que, pola lei de Lenz, oporase á diminución do fuxo magnético que atravesa aespira.

As outras opcións:A: Falsa. Se a espira móvese no plano XY que a contén, non se produce variación de campo magnético nin da superfcie atravesada por el (a non ser que a espira salga da zona do campo). Se o o fuxo magnético a través da espira non varía, non se producirá ningunha f.e.m. inducida.C: Falsa. Se a espira xira arredor do eixe Z, o fuxo magnético non varía, posto que a superfcie atravesada ésempre a mesma.

Y

X

A

Y

X

S

B

φ

Y

XS

B

φ


5. Segundo a lei de Faraday - Lenz, un campo magnético B induce forza electromotriz nunha espira plana:A) Se un B constante atravesa ao plano da espira en repouso.B) Se un B variable é paralelo ao plano da espira.C) Se un B variable atravesa o plano da espira en repouso.

(P.A.U. Xuño 10)

Solufión: C


ε=−dΦd t

O fuxo magnético é o produto escalar do vector B campo magnético polo vector S perpendicular á super-fcie delimitada pola espira

Φ = B · S = B · S · cos φ

Se un campo magnético B variable atravesa o plano da espira en repouso, o ángulo φ ≠ 90°, polo que cos φ ≠ 0. Se B é variable, a súa derivada non é nula e existirá unha f.e.m.

ε=−dΦd t

=−d (B · S · cosφ )d t

=−S · senφ · d Bd t

≠0

As outras opcións:A. Se o campo é constante e a espira está en repouso, todo é constante e a derivada é nula: non hai f.e.m.B. Se o campo é variable pero é paralelo ao plano da espira, o ángulo entre o campo B e o vector superfcie (perpendicular a a espira) é de 90° e cos 90° = 0

6. Para construír un xerador elemental de corrente alterna cunha bobina e un imán (fai un esbozo):A) A bobina xira con respecto ao campo magnético B.B) A sección da bobina desprázase paralelamente a B.C) A bobina está fixa e é atravesada por un campo B constante.

(P.A.U. Set. 10)

Solufión: A

Prodúcese unha corrente inducida, segundo a Lei de Faraday - Lenz, cando haiunha variación de fuxo magnético co tempo.

ε=−dΦd t

O fuxo magnético Φ é o produto escalar do vector B campo magnético polo vec-tor S perpendicular á sección da bobina.

Φ = B · S = B · S · cos φ

Se a bobina xira cunha velocidade angular constante

ω=−dφd t

respecto dun campo magnético B, de forma que o ángulo φ varíe co tempo, a derivada do fuxo respecto ao tempo é:

ε=−dΦd t

=−d (B ·S cosφ )d t

=−B ·S · dcosφd t

=B · S ·ω ·senφ=B · S ·ω · sen (φ 0+ω · t )

Prodúcese unha f.e.m. variable co tempo (sinusoidal)

B


7. Unha espira móvese no plano XY, onde tamén hai unha zona cun campo magnético B constante en dirección +Z. Aparece en a espira unha corrente en sentido antihorario:A) Se a espira entra na zona de B .B) Cando sae desa zona.C) Cando se despraza por esa zona.

(P.A.U. Set. 16, Xuño 11)

Solufión: B

Pola lei de Faraday - Lenz, a forza electromotriz ε inducida nunha espira é igual ao ritmo de variación de fuxo magnético Φ que a atravesa

ε=−dΦd t

O sentido oponse á variación de fuxo.Cando a espira que se move no plano XY entra no campo magnético B en dirección +Z, prodúcese unha co-rrente inducida que se opoñen ao aumento do fuxo saínte (visto desde o extremo do eixe Z), polo que se producirá unha corrente inducida en sentido horario que cre un campo entrante (-Z). Ao saír do campo, a corrente inducida en sentido antihorario creará un campo magnético saínte que se opón á diminución do fuxo entrante.

Cuestións e problemas das Probas de Acceso á Universidade (P.A.U.) en Galicia.Respostas e composición de Alfonso J. Barbadillo Marán.Algúns cálculos fxéronse cunha folla de cálculo OpenOfce (ou LibreOfce) do mesmo autor.Algunhas ecuacións e as fórmulas orgánicas construíronse coa extensión CLC09 de Charles Lalanne-Cassou.A tradución ao/desde o galego realizouse coa axuda de traducindote, de Óscar Hermida López.Procurouse seguir as recomendacións do Centro Español de Metrología (CEM)

Bv

Bi

I

B

Bi I

v

http://www.cem.es/content/recomendaciones-sobre-unidades-de-medida

http://www.traducindote.com/index.php

http://extensions.services.openoffice.org/project/quick_formule

http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/ELVINAF2B8fb2/document/CalculoPAU.html

mailto:[email protected]

http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/ELVINAF2B8fb2/document/Fisica2Ga.html

http://ciug.gal/exames.php


SumarioELECTROMAGNETISMO................................................................................................................................. 1

INTRODUCIÓN........................................................................................................................................................................1MÉTODO................................................................................................................................................................................1RECOMENDACIÓNS...........................................................................................................................................................4ACLARACIÓNS....................................................................................................................................................................4

PROBLEMAS.............................................................................................................................................................................5CAMPO ELECTROSTÁTICO..............................................................................................................................................5CAMPO MAGNÉTICO.......................................................................................................................................................32INDUCIÓN ELECTROMAGNÉTICA...............................................................................................................................43

CUESTIÓNS............................................................................................................................................................................45CAMPO ELECTROSTÁTICO............................................................................................................................................45CAMPO MAGNÉTICO.......................................................................................................................................................49INDUCIÓN ELECTROMAGNÉTICA...............................................................................................................................57


Índice de exames P.A.U.2004................................................................................................................................................................................................

Set. 04..................................................................................................................................................................................58Xuño 04........................................................................................................................................................................22, 55

2005................................................................................................................................................................................................Set. 05............................................................................................................................................................................46, 53Xuño 05........................................................................................................................................................................34, 47

2006................................................................................................................................................................................................Set. 06.....................................................................................................................................................................14, 41, 57Xuño 06...........................................................................................................................................................................54 s.

2007................................................................................................................................................................................................Set. 07............................................................................................................................................................................11, 36Xuño 07........................................................................................................................................................................17, 43

2008................................................................................................................................................................................................Set. 08............................................................................................................................................................................47, 53Xuño 08........................................................................................................................................................................13, 38

2009................................................................................................................................................................................................Set. 09............................................................................................................................................................................48, 51Xuño 09..........................................................................................................................................................................5, 40

2010................................................................................................................................................................................................Set. 10..................................................................................................................................................................................60Xuño 10........................................................................................................................................................................23, 59

2011................................................................................................................................................................................................Set. 11............................................................................................................................................................................27, 49Xuño 11..................................................................................................................................................................18, 50, 60

2012................................................................................................................................................................................................Set. 12.....................................................................................................................................................................25, 48, 59Xuño 12..........................................................................................................................................................................6, 47

2013................................................................................................................................................................................................Set. 13.......................................................................................................................................................................8, 37, 54Xuño 13........................................................................................................................................................................32, 44

2014................................................................................................................................................................................................Set. 14...............................................................................................................................................................20, 47, 50, 56Xuño 14..................................................................................................................................................................30, 33, 54

2015................................................................................................................................................................................................Set. 15...............................................................................................................................................................29, 46, 53, 57Xuño 15..................................................................................................................................................................42, 45, 52

2016................................................................................................................................................................................................Set. 16.....................................................................................................................................................................45, 51, 60Xuño 16..................................................................................................................................................................10, 46, 49

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1...

Documents

Transcript of Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1...