Fisica Mecanica Javier Vargas

Física mecánica

1

Capítulo 1

Mediciones

La física es el arte de hacer aproximaciones

E. Rutherford

Introducción

Desde su origen, la especie humana ha necesitado de los números para, por ejemplo, contar

el ganado; medir la extensión de la tierra; comerciar con valores asignados a objetos como

monedas y muchas otras actividades. Tal necesidad de los números también acarrea la

necesidad de unas unidades en las cuales se mide cada una de las cosas que contamos,

medimos, negociamos, etc. Por ejemplo, los billetes pueden tener unidades de pesos, de

dólares u otro cualquiera; la tierra se puede medir en acres, hectáreas, Kilómetros

cuadrados, etc.; el tiempo en días, horas, etc. El tema de esta primera unidad temática es la

manipulación de las diferentes magnitudes que la física ha establecido para hacer todo tipo

de medidas que le sean útiles.

Todos los procesos que ocurren en la naturaleza obedecen a ciertas leyes que son

intrínsecas al universo mismo, las leyes de la física. A lo largo de la historia se han

descubierto muchas de esas leyes que describen con muy buena aproximación el

comportamiento del mundo que nos rodea, involucrando de paso la necesidad de un

sistema de unidades y el establecimiento de unos acuerdos entre todas las comunidades

científicas que se vean en la necesidad de usar dichas unidades, tales acuerdos se llaman

convenciones. También se han tratado de establecer unas convenciones que unifiquen los

sistemas de medida usados en cada país, en un solo sistema que adopten todos los países,

un sistema basado en una convención internacional. Dicha convención se estableció desde

1960 y agrupa a casi todos los países del mundo en el uso del llamado: Sistema

Física mecánica

2

Internacional de Pesos y Medidas, SI. Aunque también persiste el uso del Sistema Inglés,

gracias al desarrollo histórico de la industria inglesa.

Conceptos de medida y magnitud

Las leyes de la naturaleza se pueden descubrir o corroborar a través de la experimentación

y los métodos experimentales requieren de una manipulación de instrumentos de medida

que pueden introducir errores en las cantidades que se quieren medir, así como de unas

reglas matemáticas que permitan estimar cuanto se propagan estos errores al hacer

operaciones con cantidades que tengan asociadas sus respectivas incertidumbres o errores.

Medir con precisión ciertos datos que ayudan a describir el modo en que la naturaleza se

comporta permite establecer Leyes Físicas en forma más precisa.

Para realizar mediciones se requieren instrumentos que describan los resultados medidos,

según la cantidad que se desee medir, por ejemplo, si queremos medir la longitud del lado

de una baldosa, puede usarse una regla común y corriente, pero si se quiere medir el

espesor de una hoja de papel debe usarse un instrumento más preciso llamado tornillo

micrométrico.

El proceso de medir, consiste en comparar una propiedad o cantidad física con otra similar,

tomada como patrón o unidad de medida. Al medir se asigna un número a dicha propiedad

física, por ejemplo, cuando se usa una balanza de brazos como la que se ve en la figura 1.1,

la asignación del peso a un objeto se hace al compararlo con otro que hace las veces de

Figura 1.1 Balanza de brazos

Física mecánica

3

unidad o patrón y que está en el otro brazo de la balanza. Todo aquello que sea medible es

llamado una magnitud, ya que es cuantificable; cuando la cuantificación es objetiva, es

decir, cuando no depende del observador y todos coinciden en la medida, la magnitud se

denomina magnitud o cantidad física. Se puede cuantificar de manera objetiva el peso de

un objeto, el tiempo, la temperatura, longitudes, energía, etc.

Teoría de errores

El intervalo de medición de un instrumento es el número de líneas existentes entre dos

números consecutivos de la escala de medición del mismo. Lo que llamamos precisión del

instrumento es el mínimo valor que mide su escala, esta se puede observar directamente en

el instrumento o puede obtenerse al dividir la resta entre dos números consecutivos, entre

el intervalo de medición. Veamos un ejemplo: supongamos que tenemos una regla común

y corriente, entonces su precisión puede calcularse como sigue,

cmprecisión 1,010

0,140,15

La precisión para esta regla será el mínimo valor que mide la escala, es decir 0,1 cm ó

1mm.

Al realizar medidas, éstas nos arrojan unos datos numéricos que deben estar acompañados

de una incertidumbre asociada al aparato de medida y que es igual a la precisión que se

acaba de mencionar. El proceso de montar un experimento y tomar medidas conlleva a

diferentes tipos de errores, los cuales pueden ser:

De escala: Este es el error determinado por la precisión del instrumento de medida.

Aleatorios: Estos aparecen cuando se realizan medidas consecutivas de cierta

magnitud física y se obtienen valores diferentes, debido a múltiples factores que

afectan la medida.

Física mecánica

4

Sistemáticos: Estos dependen del sistema utilizado o del montaje experimental.

Incluyen los errores humanos debidos a fallas de apreciación, de ubicación frente al

aparato, de movimientos bruscos en el momento de medir, entre otros.

Aunque el instrumento con el que se hace una medida sea muy preciso, y los errores

sistemáticos sean mínimos, el proceso de medida conlleva a errores, bien sea de escala o

aleatorios. Por esta razón toda medición posee una incertidumbre, lo que implica que el

número arrojado por una medida no es exacto, está en un rango de valores donde se puede

afirmar que allí se centra el valor de la medida. Por lo tanto la medida se presenta como

mmm ' , donde m’ es la medida expresada con error, m es llamado el valor central de

la medida y corresponde al dato que se toma del instrumento y Δm es la incertidumbre o

error en la medida, dada por la precisión del instrumento. Por ejemplo, al medir un cordón

de aproximadamente 12 cm de longitud, con una regla y teniendo en cuenta que lo mínimo

que mide dicho instrumento es 0,1 cm, la medida se debe presentar así:

cmL )1,00,12(

Donde ΔL = 0,1 cm es la incertidumbre en la medida y L = 12,0 cm es la medida tomada

del instrumento. Podemos decir entonces que la medida se halla con gran probabilidad en

el intervalo (L – ΔL, L + ΔL), que en este caso corresponde al intervalo (11,9 , 12,1).

Para cualquier medida m’, la razón Δm/m recibe el nombre de incertidumbre relativa o

error relativo y en forma porcentual se denota por y viene dada por

100

m

m

(1.1)

Para el caso anterior la incertidumbre relativa porcentual es ε = (0,1/12)*100 = 0,83%.

Si m es el valor experimental y M es el valor teórico de una magnitud física, el porcentaje

de error relaciona el valor teórico con la medida experimental por medio de la ecuación:

100%

M

mME

(1.2)

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5

Por ejemplo, si se usa un termómetro para medir la temperatura de evaporación del agua en

Medellín y este arroja una medida de 97 ºC, podemos calcular el porcentaje de error

teniendo en cuenta que un cálculo teórico da un resultado de 96 ºC, como

%04,110096

9796%

E

Propagación de errores

Cuando las cantidades medidas se deben manipular matemáticamente para buscar otro

resultado, como ocurre cuando se miden los lados de un rectángulo y se quiere hallar el

área del mismo, hay que multiplicar las dos medidas tomadas, por lo tanto debemos

disponer de una forma para encontrar el nuevo error o incertidumbre en el área medida. Al

realizar medidas indirectas, como el área planteada, se requiere hacer cálculos con los

datos tomados, y como los datos poseen una incertidumbre en la medida, decimos que la

incertidumbre se propaga. Existen ciertas reglas para operar matemáticamente medidas

que incluyen incertidumbre y calcular la propagación de los errores. Dichas reglas se

resumen en la siguiente tabla:

Nombre de la Operación Operación Incertidumbre

Multiplicación por una

constante

C(X± Δx) = CX± Δz Δz = C Δx

Potencia (X± Δx)n

=Xn± Δz xxnz n 1

Suma / Diferencia (X ± Δx) ± (Y± Δy) =X±Y± Δz yxz

Producto (X± Δx) (Y± Δy) = XY± Δz

y

y

x

xyxz .

Cociente z

Y

X

yY

xX

y

y

x

x

y

xz

Producto de potencias (X± Δx)n(Y± Δy)

m = X

n Y

m z

y

ym

x

xnyxz mn.

Función seno sen(θ± Δθ) = senθ ± Δz Δz = (cosθ ) θ

Función coseno cos(θ± Δθ) = cosθ ± Δz Δz = (senθ ) θ

Función tangente tan(θ± Δθ) = tanθ± Δz Δz = (sec2θ ) θ

Tabla 1.1. Propagación de errores

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Nota: el error al medir un ángulo ∆θ debe escribirse en radianes, no en grados.

Ejemplo 1.1

Como se propaga el error al elevar una cantidad con error a una potencia:

33233¨5,70,1251,00,530,5)1,00,5( cmcmcm

Como se propaga el error en una suma de cantidades con error:

cmcmcm )2,00,11()1,00,5()1,00,6(

Como se propaga el error en un cociente:

1,065

1,0

30

1,060,6

)1,00,5(

)1,00,30(

Unidades básicas: longitud, masa y tiempo

Antes de medir se debe elegir una unidad para cada magnitud. Al efectuar las mediciones

de las diferentes magnitudes, podemos hablar unidades básicas y unidades derivadas o

compuestas. En física se reconocen cuatro unidades fundamentales independientes:

longitud, masa, tiempo y corriente eléctrica. Las unidades compuestas o derivadas se

escriben en términos de las fundamentales o básicas. Por ejemplo la velocidad se mide en

términos de metros sobre segundo, que es una cantidad compuesta, donde las unidades

fundamentales son metro y segundo.

En muchos casos no es fácil definir una unidad fundamental, por esta razón algunas veces

la definición de masa, por ejemplo, no es cabalmente entendida, ya que alude a

propiedades intrínsecas de la materia, o peor aún se define en términos de otra masa. En

estos casos las definiciones pueden resultar un poco difíciles de entender, pero hay que

tener en cuenta que éstas obedecen a la necesidad de la mayor precisión posible.

Física mecánica

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Para medir longitudes, en el mundo existe una unidad básica denominada metro; el Sistema

Internacional de pesos y medidas se basa en esta unidad con múltiplos y submúltiplos

decimales. Del metro se deriva el metro cuadrado, el metro cúbico y todos sus múltiplos y

submúltiplos. La XVII Conferencia general de pesos y medidas (Conférence Générale des

Poids et Mesures) del 20 de Octubre de 1983, en París, Francia, promulgó la siguiente

definición de metro: El metro es la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un

tiempo de 1/299 792 458 de segundo. Esta definición obedece al hecho conocido por la

física de que la velocidad de la luz en el vacío es una constante en cualquier sistema de

referencia en que se mida.

Con frecuencia se requiere medir una cantidad llamada masa. En un sentido estricto

decimos que la masa es la medida de la inercia de un objeto o de su resistencia a ser

acelerado, pero en muchos casos se encuentran definiciones que hablan de la cantidad de

materia de un cuerpo o de la existencia de un cuerpo patrón, con el cual podemos

establecer la comparación en una balanza. En el Sistema Internacional de Unidades (SI) la

unidad de masa es el kilogramo. El kilogramo se define como la masa de 5,01844721x1025

átomos del isótopo de carbono 12

C. Esta definición está basada en las propiedades físicas y

químicas observables del isótopo en mención y es importante enunciarla y reconocerla

aunque en muchos casos esta definición no tiene aplicaciones prácticas.

La unidad para medir el tiempo en el SI es el segundo. Para definir el patrón de tiempo se

ha escogido un proceso atómico. Se utiliza una medición de la frecuencia de vibración

asociada con el átomo de cesio. Se define el segundo como el tiempo que tardan en

efectuarse exactamente 9192631770 vibraciones de éstas. El minuto, la hora y el día se

definen en términos del segundo.

Sistema internacional de unidades

En la actualidad rige en casi todo el mundo el Sistema Internacional de Unidades (SI), el

cual se adoptó en 1960 por convenio entre 36 países, siendo luego aumentado este número

con el paso de los años. En reuniones posteriores del mismo grupo de países, se han

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modificado algunas de las definiciones básicas buscando siempre la mayor precisión en

ellas.

Todas las magnitudes de las cantidades físicas mensurables se pueden expresar en función

de siete unidades básicas, las cuales se exhiben en la siguiente tabla

MAGNITUD NOMBRE SÍMBOLO

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Intensidad de corriente eléctrica amperio A

Temperatura kelvin K

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad luminosa candela cd

Tabla 1.2 Unidades básicas o fundamentales

Unidades derivadas o compuestas

Las unidades derivadas se definen a partir de las unidades básicas por medio de

expresiones algebraicas bajo la forma de productos de potencias. Algunas de estas

unidades reciben un nombre especial y un símbolo particular, otras se expresan a partir de

las unidades básicas.

MAGNITUD Nombre Símbolo

Superficie metro cuadrado m2

Volumen metro cúbico m3

Velocidad metro por segundo m/s

Aceleración metro por segundo cuadrado m/s2

Número de ondas metro a la potencia menos uno m-1

Densidad volumétrica kilogramo por metro cúbico kg/m3

Velocidad angular radián por segundo rad/s

Aceleración angular radián por segundo cuadrado rad/s2

Tabla 1.3 Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades básicas

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Magnitud Nombre Símbolo Expresión en unidades SI

básicas

Frecuencia Hertz Hz 1/s

Fuerza Newton N Kg.m/s2

Presión Pascal Pa N/m2

Energía, trabajo Joule J N.m

Potencia Watt W J/s

Carga eléctrica Coulomb C s·A

Potencial eléctrico Voltio V J/s.A

Resistencia eléctrica Ohm Ω V/A

Capacidad eléctrica Faradio F C/V

Flujo magnético Weber Wb V·s

Inducción magnética Tesla T Wb/m2

Inductancia Henrio H Wb/A1

Tabla 1.4 Unidades derivadas con nombres y símbolos especiales.

Magnitud Nombre Símbolo Relación

Volumen Litro l o L 1 dm3=10

-3 m

3

Masa Tonelada T 103 kg

Presión y

tensión

Bar Bar 105 Pa

Tabla 1.5 Nombres y símbolos especiales de múltiplos y submúltiplos decimales de

unidades SI autorizados

Equivalencia de unidades

Además del Sistema Internacional de medidas, existen otros sistemas de unidades, tal

como el Sistema Inglés, ampliamente utilizado. Por esta razón es importante conocer las

equivalencias entre diferentes sistemas, o entre el mismo sistema. A continuación se

muestran las tablas de equivalencia útiles para la conversión de unidades.

SISTEMA INTERNACIONAL Pulgada

(Inch)

in ó "

Pie

(Foot)

Yarda

(Yard)

yd milímetro

mm

centímetro

cm

metro

m

1 milímetro =

1 centímetro =

1 metro =

1

10

1000

0,1

1

100

0,001

0,01

1

0,0394

0,3937

39,3701

0,0033

0,0328

3,2809

0,0011

0,0109

1,0936

1 pulgada =

1 pie =

25,4

304,8

2,54

30,48

0,0254

0,3048

1

12

0,0833

1

0,0278

0,3333

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1 yarda = 914,4 91,44 0,9144 36 3 1

1 Milla - - 1609,344 - - -

Tabla 1.6 Equivalencias entre sistemas de unidades

Otras Unidades de Longitud

En el SI también se utilizan otras unidades múltiplos de las fundamentales, que tienen

cabida en algunas áreas de estudio particulares. Por ejemplo para hacer medidas de

tamaños atómicos se usa el Angstrom Å y el nanómetro nm, y para hacer medidas de tipo

astronómico se usa el parsec y el año luz. En la siguiente tabla se ilustran algunas de éstas.

1 Angstrom (Å) = 10-10

m

1 Unidad Astronómica

(ua)

= 1,496 x 1011

m

1 Parsec (pc) = 3,0857 x 1016

m

1 Año Luz (al) = 9,4605 x 1015

m

Tabla 1.7 Otras unidades

Análisis dimensional

La respuesta a un problema puede ser estimada, es decir, considerar si el resultado es

aproximadamente erróneo o no, haciendo un análisis dimensional, de acuerdo con el

concepto de las dimensiones físicas. El tiempo, la longitud y la masa son tipos distintos

de cantidades físicas y éstas reciben el nombre de dimensión, a diferencia de sus unidades,

que son respectivamente: segundo, metro y kilogramo. A cada dimensión le corresponde

una unidad básica o fundamental. La dimensión de una cantidad física se representa

encerrándola entre corchetes. Los símbolos de las dimensiones fundamentales son:

[tiempo] ≡ [T]

[Longitud] ≡ [L]

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[Masa] ≡ [M]

Las otras cantidades que se miden tienen dimensiones que son combinaciones de éstas.

Por ejemplo, la aceleración se mide en metros sobre segundo al cuadrado; estas unidades

tienen dimensiones de la longitud dividida entre el tiempo al cuadrado, por lo tanto

2)( tiempodeDimensión

longituddeDimensiónnacelaracióladeDimensión

Simbólicamente, se escribe:

2][

][][

T

LnAceleració

Examinar las dimensiones en una ecuación puede suministrar información útil. Por

ejemplo, para la ecuación: Fuerza = (masa)(aceleración), la dimensión es el resultado de

multiplicar la dimensión de la masa por la dimensión de la aceleración:

2)( tiempodeDimensión

longituddeDimensiónmasaladeDimensiónFuerzaladeDimensión

Simbólicamente tenemos que:

2][

][

T

LMFuerza

La expresión anterior representa la unidad de fuerza denominada Newton (N).

Ejemplo 1.2

1) Determinar si la ecuación 2

2

1atx es dimensionalmente correcta.

Solución:

Las unidades de aceleración se representan simbólicamente por:

][

][2T

L

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La unidad de tiempo al cuadrado por la expresión

[T2]

Al multiplicarse será:

LTT

L2

2 ][

][

Al cancelar la unidad de tiempo al cuadrado se obtiene como resultado la unidad de

longitud.

2) Se tiene la expresión: xF

, donde F

es la magnitud de la fuerza y x

la magnitud del

desplazamiento. ¿Cuáles son las dimensiones correspondientes?.

Solución:

Fuerza . entoDesplazami = LT

LM

][

][2

= ][

][2

2

T

LM = Energía

Lo que corresponde a las unidades de Fuerza (newton) multiplicada por unidad de longitud

(metros), es decir N.m = J (Julio, unidad de energía).

Prefijos del sistema de unidades y notación científica

Una ventaja del sistema métrico es el uso de prefijos para denotar los múltiplos de las

unidades básicas. Por ejemplo el prefijo kilo significa 1000 veces la unidad básica o

derivada; así un kilometro son 1000 metros, un kilogramo son 1000 gramos y un

centímetro equivale a 0,01 metro, es decir 10-2

m = 1m/100.

La siguiente tabla muestra el factor, el nombre y el símbolo de los prefijos utilizados en

física o en cualquier otra ciencia.

Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo

1024

yotta Y 10-1

deci d

1021

zeta Z 10-2

centi c

1018

exa E 10-3

mili m

1015

peta P 10-6

micro μ

1012

tera T 10-9

nano n

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109 giga G 10

-12 pico p

106 mega M 10

-15 femto f

103 kilo K 10

-18 atto a

102 hecto H 10

-21 zepto z

101 deca Da 10

-24 yocto y

Tabla 1.8 Prefijos de las potencias de diez

Ejemplo 1.3

1) Si se tiene por ejemplo 87000000 m. Entonces para aplicar los prefijos se puede decir

que

87000000 m = 87x106

m = 57 Mm

Lo que se ha hecho es cambiar la escritura (x106) por el prefijo M, llamado: mega.

2) Escribir con prefijos la cantidad 1750000000000 gramos

1750000000000 g = 1750000000 Kg

1750000 Mg

1750 Gg

3) 5 nanómetros equivalen a 5x10-9

metros; la expresión simbólica es: 5 nm.

4) 67 microamperios equivalen a 67x10-6

Amperios; simbólicamente es: 67 μA.

5) 34 picofaradios equivalen a 34x10-12

Faradios; simbólicamente es: 34 pF.

6) 25 megavoltios equivalen a 25x106 Voltios; simbólicamente es: 25 MV.

Notación científica

En Física, existen valores de múltiples órdenes de magnitud, es decir, van desde muchas

veces las cantidades que se manejan en Física son de tamaños muy diferentes a las que se

manipulan diariamente. Por ejemplo el sol tiene una masa de:

2000000000000000000000000000000 Kg; Un átomo de hidrógeno tiene un diámetro

aproximado de 0,0000000001 m y una masa aproximada de

0,00000000000000000000000000167 Kg. Manipular cantidades tan grandes o tan

pequeñas requiere que hagamos uso de la notación científica, en la cual se utilizan las

potencias de 10 para simplificar los cálculos a realizar y para facilitar su escritura. La

Física mecánica

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convención de la escritura es la siguiente: un dígito seguido de los decimales, si los hay,

multiplicado por alguna potencia de 10, de esta manera el símbolo 5,3x103 significa que

hay que multiplicar el 5,3 por 10 tres veces.

Por ejemplo la forma abreviada de escribir el número 100 es 102. Esto es equivalente a

escribir:

100 = 10x10 = 102.

El número 20000 puede verse como el producto 2x10x10x10x10, el cual tiene cuatro

potencias de diez, por lo tanto se escribe como 2x104. En resumen

20000 = 2x10x10x10x10 = 2x104

y,

7x104

= 70000; 1,5x103 =1500; 4,3x10

4 = 43000

Ejemplo 1.4

En el siguiente cuadro se describen algunos ejemplos que ilustran como se expresa una

cantidad en notación científica, teniendo en cuenta que en algunos casos hay que escribir

potencias negativas

78000 = 7,8 x104 Se corre la coma decimal cuatro lugares hacia la izquierda y

el exponente del 10 aparece aumentado en cuatro unidades.

1500 = 1,5x103 Se corre el punto decimal tres lugares hacia la izquierda y el

exponente del 10 aparece aumentado en tres unidades.

68x105

= 6,8x104 Se corre el punto decimal un lugar a la derecha y se

disminuye el exponente del 10 en una unidad.

0,56x107

= 5,6x106 Se corre el punto decimal un lugar a la derecha y se

disminuye el exponente del 10 en una unidad.

0,091x106

= 9,1x104 Se corre el punto decimal tres lugares a la derecha y el

exponente del 10 aparece disminuido en dos unidades.

0,0005 = 5 x10-4

Se corre la coma decimal cuatro lugares hacia la derecha y el

exponente del 10 aparece disminuido en cuatro unidades.

0,00676 = 6,76x10-3

Se corre la coma decimal cinco lugares hacia la derecha y el

exponente del 10 aparece disminuido en cinco unidades.

0,045 = 4,5x10

-2 Se corre la coma decimal dos lugares hacia la derecha y el

exponente del 10 aparece disminuido en dos unidades.

0,56x10-6

= 5,6x10-7

Se corre la coma decimal un lugar hacia la derecha y el

Física mecánica

15

exponente del 10 aparece disminuido en una unidad.

0,0009x106

= 9x102 Se corre la coma decimal cuatro lugares hacia la derecha y el

exponente del 10 aparece disminuido en cuatro unidades.

Tabla 1.9 Ejemplos de manipulación de potencias de diez

Nota: Por cada lugar que se corre la coma decimal hacia la izquierda, el exponente del

número 10 aumenta en una unidad. Si la coma decimal se corre hacia la derecha un lugar,

el exponente del número 10 disminuye una unidad.

Ejemplo 1.5

1) La velocidad de la luz se aproxima a 300000000 m/s. ¿Cómo abreviar esta

expresión?

Este número puede escribirse como

3x10x10x10x10x10x10x10x10

En notación científica, por cada potencia de diez se suma uno en el exponente, entonces

dado que hay 8 veces diez puedo escribirlo como 3x108 m/s.

2) El diámetro promedio de un átomo de hidrógeno es de 0,000000000 1m.

Entonces este número puede escribirse como

1/(10 000 000 000) = 1/(10x10x10x10x10x10x10x10x10x10) = 1x10 -10

.

3) Vamos a calcular el área de un cuadrado cuyo lado es 18x10-2

m.

Se sabe que el área del cuadrado L2, donde:

L = 18x10-2

m , luego:

Área = A = (18x10-2

m ) (18x10-2

m ) = 324X10-2

x10-2

m2.

Una de las propiedades de los exponentes dice que: 10p x 10

q =10

p+q, así:

A= 324x10-4

m2 = 0,0324 m

2 = 3,24 x10

-2 m.

Física mecánica

16

4) Si se considera la Tierra como una esfera de radio 6400 km. Encuentre el volumen de la

Tierra expresado en metros.

Se tiene que el volumen de una esfera es 3

3

4r .

Para el ejemplo, el radio r en metros se expresa como:

r = 6400x103 m = 6,4x10

6 m

Volumen 31531836 100662,1098)10144,262(3

4)104,6(

3

4mmmV

5) La masa del sol en notación científica es 2,0x1033

g, expresarla en

a) Hg

b) Gg

c) mg

Solución:

a) Como queremos pasar a Hg debemos multiplicar por el factor adecuado

Se puede ver que los g se cancelan y luego los exponentes de las potencias de diez se

suman.

b) Para expresar el valor de la masa del sol en Gg, se debe multiplicar por el factor

adecuado

c) Para pasar a mg, se debe multiplicar por el factor adecuado, y éste debe tener en el

numerador las unidades a las cuales se va a pasar, y en el denominador las unidades

iniciales para que se cancelen. Obviamente la cantidad en el numerador debe ser igual en

valor a la que está en el denominador

HgHgg

Hggg 31233

2

3333 100,210100,210

1100,2100,2

GgGgg

Gggg 24933

9

3333 100,210100,210

1100,2100,2

mgmgg

mggg 36333

33333 10210100,2

1

10100,2100,2

Física mecánica

17

6) Se dice que un guepardo puede alcanzar una velocidad de 100 km/h. ¿A cuánto equivale

este valor en m/s?

Solución

En este caso se debe tener en cuenta que hay que multiplicar por dos factores, uno para

pasar los km a m y otro para pasar las horas a segundos

7) Expresar pulgadas en centímetros

8) Cómo convertir 3800000 millas a m

Ejercicios

1) Complete los espacios en blanco:

a) 46891000 = 4,6891x____ = 46,891x _____

b) 58,9x105 = 0,589X____ = 589x ____

c) 78,9x104 =_____x10

0

d) 6,18x10-2

= ____x100

e) 0,0076 = 7,6 x____ = 76x____

f) 6X10-3

= 0,6x____ = ____x100

g) 3,1x104= ____x10

0

2) Escribir en notación científica:

a) 550000000000

S

m

S

m

S

m

S

m

S

h

km

m

h

km

h

km78,27

3600

100000

3600

10

3600

1010

3600

1

1

1010100

53232

cmPu

cmPuPu 54,2

lg1

4,2lg)1(lg1

mkm

m

mi

kmmimi 9

36 1008,6

1

10

1

6,1)108,3(3800000

Física mecánica

18

b) 0,00000000000000068

3) La medida del radio de una circunferencia es 0,00034 m, calcule a) su área y b) su

longitud. Exprese los resultados en cm.

4) Al convertir 75 Mg a mg y expresado en notación científica, el resultado es

a) 750x1010

mg

b) 7,5x1012

mg

c) 7,5x109

mg

d) 75x109 mg

e) 7,5x1010

mg

5) Al convertir 15000 pies a Pm y expresado en notación científica, el resultado es

a) 4572 x 1012

Pm

b) 4,572 x 10-9

Pm

c) 4572 x 10-12

Pm

d) 4,572 x 10-12

Pm

e) 4,572 x 1012

Pm

6) Pasar 8 m2 a cm

2

7) Convertir 83 Litros a cm3

Reglas para el redondeo de números y cifras

significativas

Redondeo de cifras

Si al realizar un cálculo se obtiene como respuesta, por ejemplo, el número 6,3795 y se

quiere expresar la respuesta con dos decimales, se debe redondear a 6,38. Un número se

Física mecánica

19

redondea al número de decimales deseados eliminando uno o más dígitos a la derecha, de

acuerdo a las siguientes reglas:

Si la primera cifra que se elimina es menor que 5, la última cifra retenida

permanecerá sin cambio. Ejemplos:

1) Si se quiere dejar una sola cifra decimal en el número 345,321 quedará 345,3.

2) Redondear a dos cifras decimales:

a) 3,23 ≈ 3,2

b) 6,31 ≈ 6,3

Si la primera cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la última

cifra retenida. Ejemplos:

1) Si se quiere dejar una sola cifra decimal en el número 643,371 quedará 643,4.


a) 7,36 ≈ 7,4

b) 9,57 ≈ 9,6

Si la cifra eliminada es 5, y las cifras que le siguen no son todas cero, la cifra

retenida se aumenta en una unidad. Ejemplos:

1) Si se quiere dejar dos cifras decimales en el número 47,37544 quedará 47,38


a) 7,4535 ≈ 7,5

b) 9,6567 ≈ 9,7

Física mecánica

20

Si la cifra eliminada es 5, y las cifras que le siguen son todas cero, entonces, si la

última cifra retenida es par se conserva, y si es impar se aumenta en una unidad.

Ejemplos:

1) Si se quiere dejar dos cifras decimales en el número 39,67500 quedará 39,68.

2) Si se quiere dejar dos cifras decimales en el número 255,76500 Quedará

255,7.


c) 7,3500 ≈ 7,4

d) 9,650 ≈ 9,6

e) 1,45000 ≈ 1,4

f) 2,75110 ≈ 2,8

g) 3,756700≈ 3,8

Cifras significativas

Las cifras significativas de un número son aquellas que aportan alguna información, es

decir son razonablemente confiables. Al medir la longitud de una cuerda con una regla,

teniendo en cuenta que la mínima división de una regla es de 0,1 cm, se registra el valor de

17,4 cm, esto significa que la longitud se midió con una aproximación de décimas de

centímetro. El valor 17,4 cm representa tres cifras significativas, que son 1, 7 y 4.

Suponga que se desea saber el área de un rectángulo y se han medido el largo y el ancho

del mismo (ver figura).

Figura 1.2 Representación del rectángulo

Física mecánica

21

Como el instrumento empleado para tomar las medidas fue una regla, la incertidumbre en

la medida es del orden de 0,1 cm. Al encontrar el área del rectángulo empleando la

calculadora se tiene que:

A= (4,2 cm)(3,9 cm) = 16,38 cm2

En principio se podría decir que el resultado tiene cuatro cifras significativas, el último

dígito, el número 8, ocupa la posición de las centésimas, como el error o incertidumbre del

instrumento de medida es 0,1 cm, la última cifra del cálculo efectuado también debe estar

en la posición de las décimas. El número 8, debido a su posición no es confiable, por lo

tanto no es significativo. El resultado presentado correctamente, al redondear la cifra, es:

A= (4,2 cm)(3,9 cm) = 16,4 cm2

Los ceros pueden ser significativos o servir para localizar la coma decimal. Por ejemplo,

si un objeto pesa 1500 kg y se pesó con aproximación de 100 kg, el peso contiene dos

cifras significativas (1,5) y puede escribirse como 1,5x103 kg. Si el objeto se hubiera

pesado con aproximación de 10 kg, el primer cero es significativo, pero el segundo no lo

es; el peso podría escribirse como 1,50X103 kg presentado tres cifras significativas. Si el

objeto se pesó con la aproximación de 1 kg, el peso se podría escribir 1,500X103

kg,

exhibiendo cuatro cifras significativas. Cabe aclarar que si se presenta un cero entre dos

cifras significativas, es en sí mismo significativo.

Se deben tener en cuenta además las siguientes reglas:

Cualquier dígito diferente de cero es significativo.

Los ceros ubicados entre dígitos distintos de cero son significativos.

Los ceros a la izquierda del primer dígito diferente de cero no son significativos.

Si un número es mayor que la unidad, todos los ceros escritos a la derecha del

punto decimal cuentan como cifras significativas.

Si un número es menor que la unidad, solamente los ceros que están al final del

número o entre dígitos diferentes de cero son significativos.

Para números sin punto decimal, los ceros que están después del último dígito

diferente de cero pueden ser o no significativas.

Física mecánica

22

Ejemplo 1.6

La siguiente tabla muestra una lista de cantidades y al frente se muestra el número de cifras

significativas correspondiente.

Número Cifras significativas

1734 4

80502 5

0,07 1

5,0 2

4,002 4

0,0000349 3

0,090 2

0,3005 4

400 3

4x102 1

4,0x102 2

4,00x102 3

12,03410x103 7

0,00801 3

Tabla 1.10 Cantidad de cifras significativas

Operaciones con cifras significativas

Suma y resta

El número de cifras significativas a la derecha de la coma decimal en la suma o la resta, es

determinado por el número con menos cifras significativas a la derecha de la coma

decimal de cualquiera de los números originales. Ejemplos

1) Cuando se desea sumar tres números como:

179,9 + 24,45 + 788,532

El resultado de la suma es 992,9 ya que el sumando de menos cifras decimales tiene una

sola. Además note que se ha hecho uso de las reglas para redondeo.

Física mecánica

23

2) 6,3476 + 5,3 = 11,6476 redondeado a 11,6

3) 4,7834 + 3,56 = 8,3434 redondeado a 8,34

Multiplicación y División

Cuando se multiplican o dividen varias cantidades, el número de cifras significativas en el

resultado debe redondearse sólo a tantas cifras significativas como son las que contenga el

menos exacto de los factores. Ejemplos

1) Cuando queremos multiplicar los siguientes números:

1146,336 x 80,711

Se obtendrá 92522 ya que el de menos cifras significativas tiene cinco. Además se ha

hecho uso de las reglas para redondeo.

2) Efectuar las siguientes operaciones:

a) 2,71x3,30 = 8,943 redondeada a 8,94

b) 3,4x0,000674 = 2,2916x10-3

redondeado a 2,3x10-3

c) 78,34x0,002 = 0,15668 redondeado a 0,1567

d) 20x0,3 = 6,0

e) 56x0,004 = 0,224 redondeado a 0,22

f) 0,0005x0,1 = 5x10-5

Instrumentos de medida

Al realizar medidas se obtienen datos numéricos que representan la magnitud física que se

quiere medir, los valores que surgen requieren de un tratamiento especial, lo que hace

Física mecánica

24

necesario tener en cuenta el carácter de las medidas, la exactitud de ellas, los sistemas de

unidades y los tipos de errores.

Las magnitudes físicas se pueden medir en forma directa o indirecta. La medida directa es

la que se realiza con un instrumento, por ejemplo utilizando un metro, una balanza, o un

cronómetro. La medida indirecta requiere de una relación matemática, y/o geométrica para

obtener el valor de la medida que se desea encontrar, por ejemplo se mide el radio y la

longitud de un cilindro para obtener su volumen.

En toda medida directa o indirecta se utiliza algún instrumento que tenga una escala para

realizar la lectura de la medida. Existen instrumentos de medida con una sola escala

lineal, es decir la diferencia entre dos números consecutivos es constante, como el

flexómetro, el termómetro, la balanza, entre otros. Y otros con una escala lineal fija y otra

móvil sujeta a la primera, representan este tipo de instrumentos el pie de rey o calibrador y

el tornillo micrométrico.

Figura 1.3 Pie de rey Figura 1.4 Detalle de nonio

Figura 1.5 Tornillo micrométrico Figura 1.6 Detalle del tambor

Física mecánica

25

También existen instrumentos con escala digital, no lineal como el multímetro.

Escala nonio o vernier

Es un instrumento que al agregar a la escala fija, una escala auxiliar móvil llamada nonio,

aumenta la precisión. Con un ejemplo se ilustrará la forma de utilizar el calibrador.

Primero se determina la precisión de la escala fija o regla. La precisión de la escala fija es:

mmmmpresición 110

2030

El nonio tiene 20 divisiones en una longitud de 39 mm de la escala fija, de modo que la

precisión es de mmmm 05,020

1 , es decir, cada división del nonio equivale a 0,05 mm.

La figura 1.6 muestra el modo de utilizar el instrumento. El cero del nonio sobrepasa 11

divisiones de la escala fija en una fracción de milímetro. La séptima división del nonio

coincide con una división de la regla. La fracción decimal es 14(0,05) mm = 0,70 mm, por

lo tanto la longitud del objeto es 11,70 mm.

Figura 1.7 Nonio o Vernier

Física mecánica

26

Ejercicios

Materiales: balines, figuras geométricas de cartulina, disco, flexómetro y pie de rey.

1) Mida el diámetro de la esfera con el calibrador y el diámetro del disco con el

flexómetro. Exprese la medida con su incertidumbre correspondiente, calcule la

incertidumbre relativa porcentual y anote en la tabla.

Esfera Disco

Medida del diámetro

Incertidumbre relativa

porcentual.

2) Mida con el calibrador cada uno de los lados del triángulo. Exprese la medida con la

incertidumbre y calcule el área.

3) Mida los lados del triángulo con la regla y el espesor en el calibrador; exprese las

medidas con incertidumbre y calcule el volumen del prisma.

4) Indique la lectura:

a)

b)

5) Aproxime a tres cifras numéricas las cantidades

a) 634501 ; 8,3500 ; 7,2532

b) 62351 ; 8,235 ; 6,2355

Física mecánica

27

6) Aplique el criterio de cifras significativas en las siguientes operaciones

a) 1,25 + 4,786 + 3,7 =.................................

b) 558,626 – 43,5371 =….............................

c) 2,6 x 3,35 =...............................................

d) [4.567 x 104] [77.893 x 10

-2] =..................

7) Escriba en notación científica las siguientes magnitudes físicas

a) Constante gravitacional G = 0,0000000000667 [ N m2/ kg

2 ] ...........................

b) Rapidez de la luz c = 299790000 [ m / s ] .........................................................

c) Permitividad en el espacio vacio ε = 8,85X10-12

[ C2

/N m2 ] ............................

8) Aproxime a tres cifras numéricas y exprese la cantidad en notación científica

a) 1,575 x 10-4

........................................

b) 184,4079.............................................

c) 0,000035519.......................................

d) 742,86 x 10-6

......................................

e) 925,49000...........................................

f) 0,459 x 102...........................................

9) Exprese la cantidad 2x1017

segundos en

a) Minutos

b) Horas

c) Días

10) Sean 02,048,124 AAA , 7,06,57 BBB y 5,06,16 CCC

Haga uso de las reglas para el manejo de errores y realice las siguientes operaciones.

a) BA

Física mecánica

28

b) CA

c)

BA

CA

d) 2)(C

Física mecánica

29

Física mecánica

30

Capítulo 2

Escalares y vectores

La matemática es la ciencia del orden y la medida

René Descartes

Introducción

Los fenómenos que se estudian en un curso de física básica pueden explicarse con dos

tipos de entidades matemáticas: escalares y vectores. Un escalar es una cantidad que

queda completamente especificada por un número, positivo o negativo. En general se

trabajará con la noción de escalar como un número real, aunque es necesario aclarar que en

matemáticas la noción de escalar es más compleja. Los vectores en cambio, son entes

matemáticos que requieren de más de un parámetro para describirse completamente, estos

parámetros pueden ser: magnitud y dirección; coordenadas cartesianas u otros. Por

ejemplo, cuando se aplica una fuerza no basta con saber la magnitud de ésta, también es

necesario saber en que dirección se aplica. Con la velocidad y aceleración y ocurre algo

similar.

Nociones básicas

Un escalar es básicamente una cantidad que sólo tiene magnitud, como: el tiempo, la

energía, la rapidez, la masa, la carga eléctrica, la temperatura, etc. En la mayoría de los

textos se representan con letras minúsculas.

Para un matemático, la definición de vector, o más ampliamente de un espacio vectorial,

implica hablar de un conjunto de objetos, los vectores, y de unas operaciones entre estos

objetos, que cumplen una lista de propiedades. Sin embargo, para un curso de física básica

Física mecánica

31

no es necesario este rigor y daremos una definición de vector que aunque no es muy

formal, si puede ayudarnos a comprender la importancia del uso de vectores en el

tratamiento de problemas físicos. En general puede decirse que un vector es un objeto

matemático que necesita de varios parámetros o componentes para ser descrito. En el

plano R2 un vector necesita dos componentes, que pueden ser las coordenadas cartesianas

(x,y), o también pueden ser una magnitud y un ángulo de orientación medido siempre

respecto al eje x, (r,θ) o coordenadas polares, ver figura 2.1. En el espacio R3 se requieren

tres parámetros para describir un vector, que pueden ser sus componentes cartesianas

(Bx,By,Bz), o sus coordenadas esféricas (B,θ,φ), con los ángulos medidos en la dirección

que se indica en la figura 2.3.

Un vector se puede representar por un segmento dirigido o flecha, cuyo origen coincide

con el origen del sistema de coordenadas y el otro extremo está ubicado en un punto dado

del plano, que en el caso de la figura 2.1 es (Ax,Ay). Los vectores se denotarán por letras,

generalmente mayúsculas, con una flecha sobre ellas: B

. La magnitud de un vector B

, se

denota poniéndolo entre barras: || B

, o simplemente escribiéndolo sin la flecha: B.

En la siguiente figura se ilustra un vector en el plano, mostrando sus componentes

cartesianas

Figura 2.1 Componentes de un vector en el plano

Si tomamos la ilustración del vector en R2 puede verse que el teorema de Pitágoras nos da

la magnitud del vector como:

θ

x

y

Ax

Ay

Física mecánica

32

22

yx AAAA

(2.1)

Se puede usar la trigonometría para relacionar la magnitud A y el ángulo θ , o

componentes polares, con las componentes cartesianas o rectangulares Ax y Ay del vector.

Figura 2.2 Triángulo formado por el vector y sus componentes

x

y

A

A1tan (2.2)

ACosAx , ASenAy (2.3)

Las ecuaciones (2.1) y (2.2) pueden considerarse como una regla de transformación de

componentes cartesianas a polares, mientras que las ecuaciones (2.3) son la regla de

transformación de polares a cartesianas. Es muy importante notar que estas componentes

son escalares, pues más adelante encontraremos que hay otro tipo de componentes

llamadas componentes vectoriales, pero antes de llegar a ellas se requiere estudiar la suma

de vectores.

En el caso de la representación de un vector en el espacio R3, que se ilustra en la figura 2.3,

la generalización del teorema de Pitágoras nos dice que la magnitud del vector B

, es:

222

zyx BBBBB

(2.4)

Ay

Ax

A

θ

Física mecánica

33

Figura 2.3 Componentes de un vector en el espacio

Además de la ecuación (2.4), para completar las reglas de transformación de coordenadas

cartesianas (x,y,z) a coordenadas esféricas (B,θ,φ), es fácil verificar por trigonometría que

los ángulos θ y φ están dados por

222

11

zyx

zz

BBB

BCos

B

BCos (2.5)

x

y

B

B1tan (2.6)

Estas demostraciones se dejan como ejercicio para el lector.

Ejemplo 2.1

1) Sea el vector H

cuyas componentes cartesianas son (2, 1), encuentre la magnitud y

dirección del vector (ángulo que forma el vector con respecto al eje x).

Magnitud: 514)1(2 22 H

Dirección: 01 6,262

1tan

2) Sea el vector P

cuyas componentes cartesianas son (1, -1), encuentre la magnitud y

dirección del vector.

x

y

z

φ

θ

Bx

By

Bz

Física mecánica

34

Magnitud: 211)1(1 22 P ; dirección: 01 451

1tan

Representación gráfica:

Es importante tener en cuenta que en ocasiones la medida del ángulo puede tomarse en

sentido negativo en que se miden los ángulos, como en este último ejemplo. También

puede medirse respecto al eje negativo de las x, en cuyo caso hay que tener cuidado con los

signos de las componentes escalares del vector.

Vectores unitarios

Figura 2.4a Vectores unitarios en el espacio. Figura 2.4b Vectores unitarios en el plano.

Un caso particular importante es el de los vectores cuya magnitud es uno, en la escala del

sistema de coordenadas escogido, y que coinciden con las direcciones positivas de los ejes

x

y

z

j

x

y

i

x

45°

y

x

x

Física mecánica

35

x, y e z. Los vectores unitarios en el espacio, en coordenadas cartesianas para los tres ejes

respectivos se ilustran en la figura 2.4a y se denotan por ji ˆ,ˆ y k , aunque en algunos

textos se denotan por yx ee ˆ,ˆ y ze ó por 21ˆ,ˆ ee y

3e . En la figura 2.4b se muestran los

vectores unitarios ji ˆ,ˆ en el plano xy.

Operaciones

Las operaciones que pueden efectuarse con escalares y vectores pueden dar como resultado

un vector o un escalar. En este punto es necesario aclarar que todas las matemáticas

básicas dan cuenta de las operaciones que pueden realizarse entre escalares y de todas las

propiedades que cumplen estas operaciones, pero debido a que, como ya se vio, los

vectores son de una naturaleza diferente a los escalares, es necesario que se definan las

operaciones que se puede realizar entre vectores y entre vectores y escalares. Estas

operaciones cumplen unas propiedades similares a las que cumplen los escalares y en

algunos casos cumplen otras que las diferencian de ellos, como la no conmutatividad del

producto cruz entre vectores.

Producto de un escalar por un vector

Sea “a” un escalar y sea B

un vector. El producto “ Ba

“ es también un vector, que tiene la

misma dirección que B

, pero su magnitud ha sido modificada en un factor “a”. Para

ilustrar gráficamente algunas observaciones respecto al producto de un vector por un

escalar, tomemos el vector B

mostrado en la figura 2.5a. Las características de este

producto son las siguientes:

* Si el escalar es un número mayor que 0 y menor que 1, se obtendrá un vector de longitud

menor que el inicial, ver figura 2.5b.

* Un escalar mayor que 1 aumentará el tamaño del vector en “a”, esto puede verse en la

figura 2.5c.

Física mecánica

36

* Cuando el escalar es negativo, además de su longitud, también se cambia el sentido del

vector, es decir, el nuevo vector está a 180 grados del original, vea la figura 2.5d.

* Como un caso particular del anterior, si el escalar es -1, el nuevo vector será - B

, el

cual es llamado el opuesto de B

, esto se ve en la figura 2.5e.

* Si el escalar es 1, el vector no sufrirá modificación, es decir, el escalar 1 es módulo de

esta operación.

Figura 2.5a Vector B

Figura 2.5b Producto Ba

con 10 a

Figura 2.5c Producto Ba

con 1a Figura 2.5d Producto Ba

con 0a

Figura 2.5e Producto Ba

con 1a

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

Física mecánica

37

Note que un vector que se encuentre sobre uno de los ejes puede escribirse como el

producto de un escalar, que dice cual es su magnitud, por un vector unitario en el

respectivo eje, como lo ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.2

Los vectores iA ˆ3

y jB ˆ5,4

son vectores cuyas direcciones coinciden con los ejes.

Suma de vectores

La suma de vectores da como resultado otro vector, y su orientación y magnitud pueden

hallarse gráfica o analíticamente. Veremos que la suma de vectores difiere de la forma

usual en que sumamos escalares.

Suma gráfica

Cuando un vector no está asociado con un sistema de referencia o sistema de coordenadas,

es llamado vector libre. Aunque en la mayoría de casos prácticos no se usan vectores

libres, esta idea puede ayudar a comprender la suma de vectores. En la siguiente figura se

ilustran dos vectores libres

Figura 2.6 Vectores libres

x

y

x

y

Física mecánica

38

Para sumar dos vectores gráficamente, se toma el segundo vector y se traslada en el

espacio, sin cambiar su orientación ni su magnitud, y su base se pone sobre la punta o

cabeza del primero. El vector resultante o vector suma va desde el origen del primero

hasta final del segundo vector. Este método es conocido como: cabeza con cola. Esto se

ilustra en la siguiente figura

Figura 2.6 Suma de vectores libres por el método cabeza con cola

También se conoce el método del paralelogramo, en el cual se toman los dos vectores que

se quieren sumar y se trasladan en el espacio sin alterarlos de forma que coincidan en

origen, y se construye un paralelogramo trazando, sobre el final del primer vector un

segmento de recta paralelo al segundo y con su longitud, y sobre el segundo vector otro

segmento paralelo al primero y con su longitud. El vector suma está dado por la diagonal

del paralelogramo y su origen coincide con el de los otros dos. En la siguiente figura se

muestra un ejemplo de cómo se forma el paralelogramo para sumar vectores, usando los

mismos vectores del ejemplo anterior

Figura 2.7 Suma de vectores libres por el método del paralelogramo

Física mecánica

39

Componentes vectoriales

Con lo visto hasta ahora, podemos hablar de la descomposición vectorial mencionada

antes. Todo vector se puede expresar como la suma de dos vectores, y estos pueden

escogerse arbitrariamente. Por ejemplo, para el siguiente vector, R

Figura 2.8 Vector libre R

En las figuras 2.9 podemos ver varias formas en las que puede expresarse el vector R

como la suma de dos vectores, siendo todas válidas:

Figura 2.9a 21 RRR

Figura 2.9b

21 RRR

Figura 2.9c 21 RRR

Figura 2.9d 21 RRR

Es muy importante anotar que el lector puede verificar que el vector R

en estos cuatro

casos es el mismo, aunque aparentemente se vea alterado en cada caso, ya sea en su

longitud o en su dirección. El cambio aparente se debe a efectos ópticos inducidos por la

figura en el observador.

1

2

1

2

1 2

1

2

Física mecánica

40

La anterior propiedad para la suma gráfica se llama descomposición vectorial, es decir, el

vector R

se descompone como la suma de R

1 y R

2 . Equivalentemente decimos que R

1

y R

2 son dos componentes vectoriales de R

. Ahora bien, podemos tomar el caso

particular en el cual las dos componentes vectoriales en que se descompone el vector son

perpendiculares. Esto es conveniente debido a que si ubicamos el vector R

en un sistema

de coordenadas y escogemos sus componentes perpendiculares, éstas serán siempre

paralelas a los ejes coordenados y se denotarán con subíndices x e y, en vez de 1 y 2, y

como consecuencia, al ser paralelas a los ejes se podrán escribir en términos de los

vectores unitarios. En la siguiente figura se ilustra un vector en un sistema de coordenadas

en términos de dos componentes paralelas a los ejes, llamadas componentes vectoriales

rectangulares o cartesianas. La expresión algebraica se escribirá entonces:

yx RRR

(2.7)

Figura 2.10 Descomposición en componentes vectoriales rectangulares yx RRR

En adelante, las dos componentes vectoriales rectangulares se dibujarán sobre los ejes, lo

cual es equivalente a lo mostrado en la figura 2.10. La forma como se dibujará en lo

sucesivo la descomposición vectorial nos recuerda la suma por el método del

paralelogramo y se ilustra en la figura 2.11. Ahora bien, dado que las componentes

rectangulares están sobre los ejes, cada una de ellas puede escribirse como el producto de

su magnitud por el vector unitario en cada dirección (recordar el ejemplo 2.2). Entonces

las dos componentes vectoriales se escribirán en delante de la forma

iRR xxˆ

y jRR yy

ˆ

(2.8)

x

y

x

y

Física mecánica

41

Figura 2.11 Componentes rectangulares sobre los ejes

Por lo tanto la descomposición vectorial se puede escribir de la forma:

jRiRRRR yxyxˆˆ

(2.9)

La descomposición planteada en las ecuaciones (2.8) y (2.9) se ilustra en la figura 2.12

Figura 2.12 Descomposición vectorial en términos de vectores unitarios

Suma analítica

Para sumar vectores analíticamente, es necesario expresar cada vector en términos de sus

componentes cartesianas, y el vector resultante se halla sumando componente a

componente. Si se tienen dos vectores jAiAA yxˆˆ

y jBiBB yx

ˆˆ

, el vector

resultante o suma viene dado por

x

y

x

y

x

y

x

y

Física mecánica

42

jBiBjAiABA yxyxˆˆˆˆ

(2.10)

Ahora usamos el álgebra para agrupar los términos o componentes escalares que

acompañan a los vectores unitarios. Esto nos conduce a la siguiente fórmula para la suma

analítica de vectores:

jBAiBABA yyxxˆˆ

(2.11)

Figura 2.13 Descomposición vectorial en términos de vectores unitarios

En la figura 2.13 se ilustra la suma vectorial por componentes y se evidencia la

equivalencia con el método gráfico del paralelogramo, sin embargo, para muchos

problemas de física, encontramos que el método analítico es más conveniente. Es

necesario tener en cuenta que cuando una componente escalar es negativa, debe incluirse

este signo en la ecuación (2.11). Así mismo debe tenerse en cuenta que cuando la

operación es una resta de vectores, cambian los signos en la ecuación (2.11) de forma que

el vector resta o diferencia queda escrito como:

jBAiBABA yyxxˆˆ

(2.12)

y

x

Ax

Ay

Bx

By

Ay + By

Ax + Bx

Física mecánica

43

Note que no cambia el signo más entre las dos componentes vectoriales del vector resta,

sino entre las componentes escalares. El lector puede asumir como ejercicio la gráfica del

vector diferencia por analogía con la figura 2.13.

Cuando la suma analítica se realiza en tres dimensiones simplemente se adiciona la tercera

componente en la ecuación (2.11), por lo cual la ecuación se convierte en:

kBAjBAiBABA zzyyxxˆˆˆ

(2.13)

Recuerde que las ecuaciones (2.3) se utilizan para relacionar las componentes polares,

magnitud y ángulo, con las componentes cartesianas. También es importante recordar que

los signos de las componentes escalares dependen del cuadrante en que se encuentre el

vector. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.3

En las siguientes figuras podemos observar ejemplos particulares de vectores cuyas

componentes son negativas o positivas dependiendo del cuadrante

jiA ˆ5ˆ7

jiB ˆ6ˆ3

jiC ˆ3ˆ5

Ejemplo 2.4

1) Sean los vectores:

kjiA ˆ7ˆ3ˆ4

; kjiB ˆˆˆ

; kjC ˆ6ˆ2

Encuentre:

y

x -3

-6 B

y

x 5

-3 C

y

x -7

5

Física mecánica

44

a) BA

b) CBA

32

c) CB

32

Solución:

a) BA

kjikjikjikji ˆ8ˆ2ˆ5ˆ)17(ˆ)13(ˆ)14()ˆˆˆ()ˆ7ˆ3ˆ4(

b) )ˆ6ˆ2()ˆ3ˆ3ˆ3()ˆ14ˆ6ˆ8(32 kjkjikjiCBA

kjikji ˆ11ˆˆ11ˆ)6314(ˆ)236(ˆ)38(

c) kjikjikjkjiCB ˆ16ˆ8ˆ2ˆ)182(ˆ)62(ˆ2)ˆ18ˆ6()ˆ2ˆ2ˆ2(32

2) Encuentre analítica y gráficamente la suma de los vectores A

y B

ilustrados en la

siguiente figura, cuyas magnitudes son, respectivamente 3 y 2. Tenga en cuenta las reglas

de transformación de coordenadas.

Solución:

Las componentes rectangulares de los vectores A

y B

son respectivamente

jijSeniCosA ˆ5,1ˆ6,2ˆ303ˆ303

jijSeniCosB ˆ4,1ˆ4,1ˆ452ˆ452

Por lo tanto el vector suma, por el método analítico, es:

jiBA ˆ9,2ˆ2,1

Además, se hallan las coordenadas polares o componentes escalares polares haciendo:

y

x

30o 45

o

Física mecánica

45

oooo 5,1125,671805,672,1

9,2tan 1

14,385,99,22,1 22 BA

Gráficamente,

Propiedades

La suma de vectores cumple varias propiedades, entre las cuales destacamos las siguientes

i. Conmutativa. ABBA

ii. Asociativa. )()( CBACBA

iii. Invertiva. ABeiBABA

...0/

Si se combinan las dos operaciones descritas, también se consideran las siguientes

propiedades. Sean y escalares.

iv. Distributiva 1. BABA

)(

v. Distributiva 2. AAA

)(

Todas estas propiedades y otras que pueden consultarse son fácilmente demostrables y

verificables.

Producto punto o producto escalar entre vectores.

Este producto entre dos vectores da como resultado un escalar, de ahí su nombre. Sean dos

vectores A

y B

en R2

o en R3, los cuales al ser ubicados coincidiendo en origen forman

y

x

112,5o

BA

Física mecánica

46

un ángulo entre ellos. Se define el producto punto o producto escalar en el espacio R3,

entre los vectores kAjAiAA ZYXˆˆˆ

y kBjBiBB ZYX

ˆˆˆ

como:

ZZYYXX BABABABA

(2.14)

También puede definirse como

CosABBA

(2.15)

Donde es el ángulo entre los vectores. En el plano simplemente se suprime la última

componente en la ecuación (2.14). Es fácil verificar que estas dos definiciones son

equivalentes. Se usará la que más convenga en cada caso.

Ejemplo 2.5

1) Sean los vectores jiA ˆ3ˆ2

y jiB ˆ4ˆ

. Hallar el producto punto entre estos dos

vectores.

BA

10122)4)(3()1)(2(

2) Calcule el producto escalar entre los vectores que muestra la figura, donde las

magnitudes de los vectores P

y Q

son 10 y 7 respectivamente

El ángulo entre los vectores es 125o – 45

o = 80

o

2,1280)7)(10( oCosQP

Ejercicios

* Demostrar que si se tienen dos vectores perpendiculares en R2, su producto punto es

cero, por ambos métodos.

y

x

125o

P

45o

Q

Física mecánica

47

** Demostrar que el producto punto es conmutativo.

Producto vectorial o producto cruz

Este producto se realiza entre vectores y el resultado es otro vector. La forma en que se

define el producto cruz sugiere una operación similar al cálculo del determinante de una

matriz 3x3, pero dado que la primera fila está constituida por los vectores unitarios, en este

caso se habla de un seudodeterminante. Se mostrará esta perspectiva más adelante. Sean

los vectores en el espacio kAjAiAA ZYXˆˆˆ

y kBjBiBB ZYX

ˆˆˆ

. Definimos el

producto vectorial como:

kABBAjABBAiABBABA yxyxzxzxzyzyˆ)(ˆ)(ˆ)(

(2.16)

Este producto así definido tiene varias propiedades. El vector resultante es perpendicular a

cada uno de los vectores ByA

, por lo tanto es perpendicular al plano formado por ellos.

Si los vectores ByA

están en el plano xy, entonces el vector resultante estará en el eje z.

Si θ es el ángulo entre los vectores ByA

medido en el sentido en que se miden positivos

los ángulos, entonces la magnitud del producto cruz está dada por

SenABBA

(2.17)

Figura 2.14. Dirección del producto vectorial

A

BA

B

Física mecánica

48

El producto cruz sigue la llamada regla de la mano derecha, según la cual se apunta el dedo

índice en la dirección del primer vector involucrado levantando el pulgar

perpendicularmente al primero y se gira el índice hacia el segundo vector cerrando la

mano. El vector resultante tendrá la dirección del pulgar. La dirección del vector producto

cruz se ilustra en la figura 2.14.

Cuando se dibuja un vector perpendicular a la superficie de dibujo, se sigue la siguiente

convención. Un vector perpendicular al plano y que apunta hacia afuera de la superficie se

dibuja como un punto dentro de una circunferencia, queriendo denotar la vista frontal de la

punta de éste. Un vector perpendicular al plano y que apunta hacia adentro de éste, se

dibuja como una x dentro de una circunferencia.

Figura 2.15. Vector saliente y vector entrante al plano de dibujo.

Ejemplo 2.6

A

= kji ˆ2ˆ4ˆ3

B

= kji ˆˆ3ˆ2

Encuentre BA

BA

kji ˆ)]4)(2()3)(3[(ˆ)]2)(2()1)(3[(ˆ)]2)(3()1)(4[(

kjikji ˆˆˆ2ˆ)89(ˆ)43(ˆ)64(

kjiBA ˆˆˆ2

Física mecánica

49

Ejercicios

En algunos textos los vectores unitarios se escriben como zyyx ˆˆ,ˆ en vez de kyji ˆˆ,ˆ . En

algunos ejercicios propuestos se utiliza esta notación

1) Sean los vectores U

y V

ilustrados en la figura

Represente gráficamente las siguientes operaciones

a) )(2 VU

b) )(3 VU

c) VU

2

2) Sean los vectores

Grafique

a) a

2

b) bc

2

c) ca

3) Dados los siguientes vectores en términos de sus componentes cartesianas, a

=(2,-4), b

=(1,2), c

=(0,3) y d

=(-4,-1), calcule los siguientes productos escalares:

a) cb

b) ba

U

V

b

a

c

Física mecánica

50

c) da

d) cd

e) aa

4) Encuentre la magnitud y la dirección del vector resultante BA

de acuerdo a la

siguiente figura, donde A = 7 u, o25 , B = 6 y = 50o

5) Demuestre que el producto cruz entre vectores paralelos es cero.

6) Demuestre que el producto cruz es anticonmutativo, es decir que:

)( ABBA

7) Halle el producto punto y el producto cruz entre los vectores unitarios cartesianos.

8) Calcule el valor de m sabiendo que 2BA

y

jmiByjiA ˆˆ5ˆ2ˆ3

9) Considere los vectores zyxByzxA ˆ2ˆˆ2ˆ2ˆ

. Calcule analítica y

gráficamente:

BAGyBAFBAEBADBAC

)2(2,)(4,23,

10) Calcule la magnitud de los vectores que se obtuvieron en el ejercicio anterior.

y

x α

θ

Física mecánica

51

11) Sean los vectores zyxCyzxBzyxA ˆ2ˆ4ˆˆ3ˆ3,ˆ2ˆ2ˆ

, calcule:

CAyBCACBA

32,,2

12) Sean los vectores zyxCyzyxBzyA ˆ2ˆ2ˆˆ3ˆ4ˆ3,ˆ2ˆ2

. Calcule

: CAyBCACBA

32,,2

Física mecánica

52

Física mecánica

53

Capítulo 3

Cinemática

La formulación de un problema, es más importante que su solución

Albert Einstein

Introducción

La cinemática se ocupa de estudiar y describir el movimiento sin atender a sus causas,

tratando de responder a la pregunta ¿Cómo se mueve una partícula?, mientras que la

pregunta ¿porqué se mueve de tal o cual forma?, será respondida en el siguiente capítulo en

el que se estudian las leyes de Newton o leyes del movimiento. En este capítulo se estudia

el movimiento traslacional, el cual puede considerarse como el estudio del cambio de la

posición de un objeto con respecto al tiempo. Cuando se habla del cambio de posición,

ello implica considerar un sistema de referencia o eje de coordenadas respecto al cual se

estudia el movimiento de los cuerpos. Los conceptos básicos tratados por la cinemática

son: posición, desplazamiento, velocidad y aceleración, en una y dos dimensiones. En

física hay otro movimiento importante que es el vibratorio, el cual es tema de un curso

posterior. Inicialmente consideramos los cuerpos en estudio como puntuales, es decir, en

los siguientes tres capítulos, incluido este, no se considerará la geometría del cuerpo sino

que cada partícula será pensada como un punto matemático descrito por sus coordenadas,

sin dimensiones, para facilitar la comprensión del movimiento traslacional. Más adelante,

en el capítulo seis, se tendrá en cuenta el volumen y la geometría del cuerpo, lo cual da

lugar a consideraciones rotacionales. En adelante se usará el sistema internacional de

medidas SI para todos los conceptos que se van a definir. En algunos casos no se hace

mucho énfasis en las unidades puesto que se quiere dar más importancia a los conceptos,

sin embargo es importante siempre tenerlas presentes, ya que las unidades pueden incluso

darnos una guía para resolver algunos problemas, al indicarnos por ejemplo si las

Física mecánica

54

dimensiones de una ecuación son correctas. Inicialmente se estudia el movimiento en una

dimensión, con algunos ejemplos particulares como el caso de la caída libre. Luego se

estudia el movimiento en dos dimensiones generalizado y se analizan dos casos

particulares, el movimiento parabólico y el movimiento circular.

Movimiento en una dimensión

Para simplificar el estudio de la cinemática iniciamos estudiando el movimiento de una

partícula en una dimensión, es decir que el mundo en que se mueven las partículas en esta

primera parte va a ser una recta real. En este mundo unidimensional se dice que la

posición de una partícula en cualquier instante de tiempo está dada por una función del

tiempo x (t). Cuando se conoce dicha función se puede afirmar que se conoce la

trayectoria de la partícula. La figura 3.1 ilustra la trayectoria de una partícula en una

dimensión en función del tiempo, donde se han marcado dos posiciones distintas

correspondientes a tiempos distintos )( 11 txx y )( 22 txx . Es importante notar que en

esta gráfica no se habla de la trayectoria en el sentido estricto de la palabra, es decir, la

curva obedece al comportamiento de la posición respecto al tiempo, pero no significa que

la partícula esté haciendo curvas en el espacio, pues sólo puede moverse sobre una línea

recta.

Figura 3.1. Trayectoria de una partícula en función del tiempo.

)(tx

1t

x

t

1x

2t

2x

x

t

Física mecánica

55

Se define el desplazamiento en una dimensión entre dos tiempos, inicial it y final ft , ó

equivalentemente, entre las posiciones ix y fx , como el cambio en la posición:

)()( ifif txtxxxx (3.1)

Note que el desplazamiento puede ser positivo o negativo dependiendo de las posiciones

inicial y final, lo cual también se entiende como la diferencia entre moverse hacia adelante

o hacia atrás respecto a la dirección positiva del sistema de coordenadas, en este caso, el

eje x. El desplazamiento es diferente de la distancia recorrida puesto que la segunda es la

suma de toda la distancia que el cuerpo o partícula ha recorrido, por ejemplo si un cuerpo

se mueve 5m hacia adelante y 2m hacia atrás en el eje x, su desplazamiento es +3m,

mientras que su distancia recorrida es 7m. Por lo tanto, si hay movimiento, la distancia

recorrida siempre es diferente de cero. Si el cuerpo regresa a la posición inicial después

de hacer un recorrido, el desplazamiento es cero, pero la distancia recorrida no lo es. La

posición, el desplazamiento y el recorrido se miden en metros m.

Velocidad

Se define la velocidad media o velocidad promedio entre dos puntos ix y fx , como la

razón (cociente) entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente

if

if

tt

xx

t

xv

. (3.2)

En las figuras 3.1 y 3.2 se puede ver que la velocidad media es la pendiente de la recta

secante a la trayectoria en dos puntos. Según esta definición, la velocidad media tiene

dimensiones de desplazamiento sobre tiempo. En el sistema internacional SI las unidades

de velocidad son [v] = m/s. Hay que notar que la velocidad media depende únicamente de

los puntos inicial y final y no depende de la trayectoria seguida por la partícula.

Se define la velocidad instantánea de una partícula en un “instante de tiempo t” en lugar de

“en un intervalo t ” haciendo la aproximación al límite en que t tiende a cero para que

Física mecánica

56

durante este intervalo no ocurran cambios esenciales en el estado de movimiento.

Matemáticamente esto equivale a calcular la derivada de la función que describe la

posición.

dt

dx

t

x

t

Limv

0 (3.3)

Figura 3.2. Velocidad media (secantes) y velocidad instantánea (tangente).

Como ya se sabe del cálculo diferencial, conforme 0t la pendiente de la recta secante

que describe la velocidad promedio, se acerca más a la pendiente de la recta tangente a la

curva en el punto (ti,xi), lo cual puede apreciarse en la gráfica 3.2. La velocidad

instantánea en un tiempo t es la derivada de la función posición respecto al tiempo, dx/dt.

Esta velocidad puede ser positiva o negativa dependiendo de cómo se comporta la curva

que describe la posición puesto que una velocidad positiva en un determinado punto

significa que la curva que describe la trayectoria es creciente en ese punto. Una velocidad

instantánea negativa en una dimensión significa que la partícula se mueve en dirección

contraria al eje positivo de coordenadas. Una velocidad cero en un punto significa que la

pendiente de la curva es cero en ese punto, es decir, la recta tangente a la curva es

horizontal allí (ver figura 3.3). Todo lo anterior se explica en un curso de cálculo

diferencial, que en la mayoría de las universidades es prerrequisito de los cursos de Física

básica, de modo que si se tienen dudas acerca de este tratamiento se puede hacer un repaso

de los temas de límites y derivación.

)(tx

it

x

t

ix

ft '

fx'

Secantes

ft

fx

Tangente

Física mecánica

57

Figura 3.3. Velocidades y pendientes.

Cuando la velocidad de una partícula es constante en el tiempo, su trayectoria x(t) en una

dimensión es una línea recta cuya pendiente es la velocidad instantánea, en este caso

constante, y se habla entonces de movimiento rectilíneo uniforme MRU. En la figura 3.4

se puede ver la trayectoria para un movimiento con velocidad constante. Una trayectoria

curva indica que el movimiento no tiene velocidad constante. Se define además la rapidez

de un móvil o partícula, como el valor absoluto de su velocidad instantánea, por lo tanto

siempre será positiva. Cuando se estudie cinemática en dos dimensiones, la rapidez se

definirá como la magnitud del vector velocidad. La velocidad media, la velocidad

instantánea y la rapidez se miden en m/S.

Figura 3.4. Trayectoria para una velocidad constante

Ejemplo 3.1

1) Se tiene un movimiento dado por la siguiente ecuación:

0v x

t

0v

0v

)(tx

x

t

Física mecánica

58

2310 ttx

Donde t está en segundos y x en metros.

a) Graficar la trayectoria de la partícula.

b) Calcular el desplazamiento desde 1t hasta 3t segundos.

c) Calcular la velocidad promedio entre 0t y 4t segundos.

d) Hallar la velocidad instantánea en 2t s.

Solución

a) Para graficar hay que tener en cuenta que 0dt

dx da los puntos críticos o valores

máximos o mínimos de la función. Se sabe que la curva es una parábola por ser de grado

dos y

sttdt

dx667.13/50610

es el tiempo correspondiente a un punto crítico, es decir un punto donde la pendiente es

cero. Evaluando la función en este valor

mxtx 333.83/25)3/5()(

Para saber si el punto es máximo o es mínimo se evalúa la derivada antes y después de este

valor: en 1t , 4)1( x . Evaluando en 2t , 2)2( x . Luego el punto crítico es un

máximo. Por otro lado, haciendo 0x , se hallan los interceptos de la curva con el eje

temporal en:

stótttttx 3/1000)310(3100 2 .

Con todos estos puntos la trayectoria de esta partícula es:

Física mecánica

59

b) Evaluando la función en los tiempos pedidos se tiene

mxmx 7)1(3)3(

mxxx 4)1()3(

c) Entonces t

xv

, donde mxxx 808)0()4( y segt 04 .

Luego smv /2

d) tdt

dxv 610 , en m/s, evaluada en st 2 se obtiene: smv /2)2( .

2) Una partícula se mueve a lo largo del eje x, de manera que su posición en cualquier

instante t está dada por 13 2 tx , donde x se expresa en metros y t en segundos.

2.1. Calcule su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:

a) 1 y 2 s, b) 1 y 1.1 s, c) 1 y 1.01 s, d) 1 y 1.001 s, e) 1 y 1.0001 s, f) 1 y 1.00001 s.

2.2. Calcule la velocidad instantánea en t = 1 s.

Solución

2.1. La velocidad promedio entre 1 y 2 s viene dada por

1 2 3 4 5t

25

20

15

10

5

5

x

Física mecánica

60

s

m

s

m

s

mxx

tt

xx

t

xv

if

if9

1

211

12

)1()2(

Para los otros instantes de tiempo los resultados están en la siguiente tabla:

xi = 2 m; ti = 1 s

xf (m) Δx = xf – xi (m) Δt = tf – ti (s)

if

if

tt

xxv

(m/s)

2.63 0.63 0.1 6.3

2.0603 0.0603 0.01 6.03

2.006003 0.006003 0.001 6.003

2.00060003 0.00060003 0.0001 6.0003

2.0000600003 0.0000600003 0.00001 6.00003

Se puede observar que cuando la variación del tiempo Δt, tiende a cero, la velocidad

promedio v tiende a 6 m/s.

2.2. La velocidad instantánea se obtiene al derivar la posición x = 3t2

- 1, con respecto al

tiempo:

tdt

dxv 6 , en m/s, evaluada en st 1 , se obtiene: smv /6)1( .

3) La posición de un objeto en movimiento en función del tiempo está representado por la

siguiente figura

Indique

a) Cuando el objeto tiene velocidad diferente de cero

b) En qué momento, después de iniciado el movimiento, el objeto pasa de nuevo por el

origen

c) Calcule la velocidad en los intervalos de tiempo: 0s – 4s; 4s – 8s; 8s – 10s; 10s –

12s y 12s – 14s

Física mecánica

61

Solución

a) El objeto tiene velocidad diferente de cero en siguientes intervalos de tiempo:

0 s – 4 s, 8 s – 10 s y 12 s 14 s; porque la pendiente de la recta es diferente de cero.

b) El objeto pasa por el origen en t = 14 s.

c) 0s – 4s: smv /104

04

, 4s – 8s: 0

48

44

v

8s – 10s: smv /2810

48

, 10s – 12s: 0

1210

88

v

12s – 14s: smv /41412

80

Ejercicios

1) Se tiene un movimiento en una dimensión regido por la ecuación

252 ttx

Donde t está en segundos y x metros.

a) Graficar la trayectoria de la partícula.

b) Calcular el desplazamiento desde 1t hasta 3t segundos.

0

8

6

4

2

t(s)

x(m

)

2 4 6 8 10 12

14

Física mecánica

62

c) Calcular la velocidad promedio entre 0t y 4t segundos.

d) Hallar la velocidad instantánea en 2t s.

2) La posición de un objeto en movimiento en función del tiempo está representado por la

siguiente figura

a) Calcule la velocidad en los intervalos de tiempo: 0s – 2s, 2s – 5s, 5s – 6s y 6s – 7s.

b) Haga una gráfica de velocidad contra tiempo

3) Una partícula se mueve a lo largo del eje x, de acuerdo la expresión x = 5t2-5, donde x

se expresa en metros y t en segundos.

a) Calcule la velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre t = 2s y t = 3s.

b) Calcule la velocidad en el instante en que t =3 s.

c) Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:

2.9 y 3 s, 2.99 y 3 s, 2.999 y 3 s, 2.9999 y 3 s, 2.99999 y 3 s.

Compare los resultados con el ítem (b).

1 2 3 4 5 6 7 0

-5

20

15

10

5

t(s)

x(m)

Física mecánica

63

Aceleración

Cuando una partícula tiene una velocidad que no es constante en el tiempo, sino que

cambia con éste, decimos que el movimiento es acelerado, en cuyo caso la posición está

definida por una función al menos de grado dos, puesto que si la velocidad es constante, la

función posición es de grado uno. En la figura 3.5 se ilustra una grafica de una velocidad

instantánea v como función del tiempo t. La aceleración media o promedio entre dos

tiempos se define, en forma similar a como se definió la velocidad media, como la

pendiente de la recta secante a la curva v(t) en dos puntos

Figura 3.5. Velocidad en función del tiempo.

if

if

tt

vv

t

va

. (3.4)

Note como a medida que 0t , la pendiente de la recta secante, es decir, la aceleración

media, se aproxima a la pendiente de la recta tangente, la cual define la aceleración

instantánea en un instante de tiempo particular:

2

2

0 dt

xd

dt

dx

dt

d

dt

dv

t

v

t

Lima

. (3.5)

Se entiende entonces la aceleración instantánea de un cuerpo como la derivada de su

velocidad instantánea respecto al tiempo o como la segunda derivada de la posición. Las

)(tv

it

v

t

iv

ft

fv

v

t

Física mecánica

64

unidades de la aceleración son [a] = [v] / [t] = (m/s)/s = m/s2. Una aceleración negativa o

desaceleración, significa que la velocidad siempre está disminuyendo, aunque no

necesariamente lo haga la rapidez.

Ejemplo 3.2

Vamos a repasar algunos de los conceptos dados hasta ahora en los siguientes problemas,

los cuales requieren un dominio mínimo del cálculo.

1) Se tiene un movimiento dado por la ecuación

ttx 25 3 , en m.

a) Halle la velocidad y la aceleración instantánea.

b) Halle la aceleración media entre 1 y 3 segundos.

Solución

a) La velocidad instantánea está dada por la derivada de la posición

215 2 tdt

dxv , en m/s.

La derivada de la velocidad es la aceleración

tdt

dva 30 , en m/s

2

b) Para hallar la aceleración media hay que calcular la velocidad en estos dos tiempos

smvsmv /1332)3(15)3(/132)1(15)1( 22

Entonces la aceleración media es:

Física mecánica

65

smvv

a /602

120

13

)1()3(

.

En la parte a) de este ejemplo se nota como la aceleración instantánea no es constante, sino

que depende del tiempo. Más adelante en este curso nos limitaremos al movimiento con

aceleración constante, el cual se generalizará en la siguiente sección, pero antes veamos un

par de ejemplos importantes.

2) Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la expresión

matemática 132 23 ttv , en m/s. Si en el instante t0 = 0 S, la partícula está situada en

x0 = 1 m. Calcule la posición x(t) del móvil en cualquier instante.

Solución

La velocidad instantánea viene dada por:

dt

dxv

Separando variables:

vdtdx

Se integra a ambos lados de la ecuación y se evalúa la integral en los en los valores

iniciales:

x t

vdtdx3 0

x t

dtttdx3 0

23 )132(

ttt

x 3

3

4

23

34

32

34

ttt

x

3) El Papa viaja en su nave espacial en movimiento rectilíneo cuya aceleración está dada

por la ecuación

Física mecánica

66

va 312 .

Donde a es la aceleración y v es la velocidad de la nave. Cuando 0t , 0x y 3v m/S.

Encontrar la ecuación para la velocidad instantánea y la posición, v(t) y x(t).

Solución

dtv

dvvv

dt

dvva 3

4)4(3312312

.

Renombramos para la integración,

tvtvdt

u

dudvduvu 03 '3)'4ln('3''4 .

Por lo tanto

)3((-3t) 443)1ln()4ln( tevevtv .

Falta por encontrar x(t), para lo cual escribimos como:

t

txtt etxdtexdedt

dx

0

)'3(

0

)'3()3(

3

1'4'')4('4

Entonces la posición está dada por la función:

3

1

3

14)( )3( tettx .

4) Se ata una masa a una cuerda de longitud L que pasa por una rama de un árbol fija a una

altura h del nivel desde el cual una persona lo sostiene con su mano en el otro extremo,

mientras camina con velocidad constante ve, como lo indica la figura. Demuestre que la

masa tiene una velocidad en dirección vertical dada por vy = xve(x2+h

2)

-1 /2. Demuestre

también que la aceleración está dada por ay = h2ve

2(x

2+h

2)

-3 /2. El árbol es surrealista.

Física mecánica

67

Solución

Es importante notar la disposición del sistema de coordenadas (x,y) y entender las

distancias ilustradas en la figura. Inicialmente se puede establecer por Pitágoras que:

21

22222 )(22

xhxvdt

dbv

b

x

dt

dx

b

x

dt

db

dt

dxx

dt

dbbxhb ee .

Donde se ha tenido en cuenta que ve= dx/dt. Por otro lado tenemos, para la longitud

constante L de la cuerda, la relación:

dt

dy

dt

dbyhbL

Igualando las dos expresiones para (db/dt), se obtiene vy como

21

22 )(

xhxvvdt

dyey

La segunda parte se deja como ejercicio para el lector y para terminarla basta con derivar

esta última expresión.

b

h

x x

y

y

ve

Física mecánica

68

Movimiento unidimensional con aceleración constante

Cuando la aceleración de una partícula permanece constante en el tiempo, esto significa

que su aceleración instantánea es su misma aceleración media:

if

if

tt

vv

t

vaa

(3.6)

Para deducir las ecuaciones que nos permitan estudiar este movimiento tomaremos por

simplicidad el tiempo inicial ti como cero y su velocidad inicial se denotará por v0 en

lugar de vi . En lugar de tf, xf y vf hablaremos simplemente de t, x y v; es decir, el

tiempo, y la posición y la velocidad en función del tiempo. En este caso de aceleración

constante, la ecuación 3.6 quedaría:

,0

t

vva

(3.7)

de donde se obtiene:

tavv 0. (3.8)

Donde se aprecia la dependencia lineal de la velocidad respecto al tiempo en un

movimiento uniformemente acelerado. Ahora bien, como sabemos,

dtvdxdt

dxv .

Integrando al lado izquierdo entre x0 y x y al lado derecho entre los tiempos t0 = 0 y t,

obtenemos:

dttavxxt

0

00 )( (3.9)

Física mecánica

69

Lo que reescribimos como:

2

002

1tatvxx (3.10)

La cual es la ecuación fundamental de la cinemática de un cuerpo uniformemente

acelerado, donde se expresa la dependencia temporal de la posición cuando la posición

inicial es x0, la velocidad inicial es v0 y la aceleración constante es a. En algunos casos se

habla de un movimiento desacelerado, lo cual significa que la velocidad está disminuyendo

todo el tiempo, y en consecuencia se debe cambiar el signo en el último término de las

ecuaciones 3.8 y 3.10. La gráfica de un movimiento desacelerado es una parábola cóncava

hacia abajo, tal como se describió en el primer problema del ejemplo 3.1. Todo

movimiento con aceleración constante se describe con las ecuaciones 3.8 y 3.10 y se

denomina movimiento uniformemente acelerado MUA.

Movimiento rectilíneo uniforme

Cuando se considera un movimiento con velocidad constante, es decir con aceleración

cero, se habla de movimiento rectilíneo uniforme MRU. En este caso se anula el último

término en la ecuación 3.10 y se tiene entonces que un MRU se rige por la ecuación

tvxx 00 (3.11)

En la figura 3.4 se ha ilustrado el comportamiento lineal de la posición respecto al tiempo

en un MRU. Además, la gráfica de la velocidad contra el tiempo v(t) para un MRU no

sería otra cosa que una recta horizontal.

Ejercicio

Deduzca una ecuación para la velocidad, donde dependa del espacio recorrido Δx y no

dependa del tiempo.

Física mecánica

70

Solución

Partimos de la ecuación 3.8, de donde despejamos el tiempo:

a

vvt 0 .

Sustituyendo este tiempo en la ecuación 3.10 se obtiene:

2

00

002

1)(

a

vv

a

vvvxx ,

)2(2

1 2

00

2

2

00

0 vvvvaa

v

a

vvxxx .

Al reorganizar términos se llega a:

)(2

1 2

0

2 vva

x .

De donde se llega finalmente a la expresión buscada

xavv 22

0

2 (3.12)

Es importante recalcar que esta ecuación puede facilitar la solución de algunos problemas

de cinemática, sin embargo en algunos casos puede dar lugar a confusiones, dado que

siempre arrojará valores positivos para la velocidad y como ya se sabe, en algunos casos la

velocidad puede tener un valor negativo.

Ejemplo 3.3

Dos vehículos viajan en la misma dirección con velocidades constantes respectivas v1 y v2.

Cuando el auto 2 pasa frente a una valla de publicidad, el auto 1 se encuentra

aventajándolo por una distancia de ”b” metros. En ese instante el auto 2 aplica sus frenos

Física mecánica

71

produciendo una desaceleración de magnitud “a”. Demuestre que para que haya choque es

necesario que se cumpla que

bavv 212 .

Solución

En el tiempo t = 0, la posición inicial del auto 1 es x01 = b, pero para el auto 2 su posición

inicial será x02 = 0. La ecuación para el auto 1 no conserva el término de aceleración ya

que no se ha indicado ninguna modificación a la velocidad constante, por lo tanto:

tvbxtvxx 1101011 .

El auto 2 está desacelerado, luego:

2

222

2

2020222

1

2

1tatvxtatvxx .

Si hay colisión es por que las posiciones de los autos se encuentran en algún momento, por

lo tanto igualamos las posiciones de los dos autos:

2

221212

1tatvtvbxx .

Reescribiendo:

0)(2

121

2 btvvat .

Donde usamos la forma general para solucionar una ecuación de segundo grado, para

encontrar los tiempos que son solución del problema:

a

abvvvvt

2)()( 2

2121 .

Para que este tiempo tenga sentido físico, debe ser un número real. Esto sólo es posible si:

Física mecánica

72

abvvabvv 22)( 12

2

21

Como ejercicio para el lector se plantea la siguiente pregunta: ¿Porqué no se dice

abvv 221 ?.

Caída libre

Para comenzar diremos que un objeto cualquiera en cercanías de la tierra (o de cualquier

otro objeto muy masivo), experimenta una aceleración hacia el cuerpo masivo que es

proporcional a la masa e inversamente proporcional al cuadrado del radio de éste. Este

enunciado es conocido como la ley de gravitación de Newton. En la tierra y en cualquier

otro planeta con forma esférica y con su masa distribuida más o menos uniformemente, la

gravedad es una fuerza radial, es decir, los objetos en cercanías de la tierra se aceleran

hacia el centro de ella en dirección radial, aunque localmente la tierra puede considerarse

plana y en ese caso las direcciones de aceleración de varios cuerpos se verán paralelas y no

convergiendo a un centro, pero esto sólo es debido a que el tamaño de la tierra es muy

grande para la percepción humana. En la figura 3.6 se ve como, para dos personas que

están paradas en la superficie terrestre, sus respectivos vectores de aceleración debida a la

gravedad son casi paralelos.

Figura 3.6. Dirección radial de la gravedad en la tierra (izquierda). Localmente la tierra se

puede considerar plana (derecha).

La caída libre es un caso particular muy importante de movimiento uniformemente

acelerado en una dimensión y se refiere al movimiento de cualquier cuerpo bajo la acción

Superficie de la tierra

Dirección de la gravedad

Dirección de la gravedad

Física mecánica

73

exclusiva de la gravedad. El cuerpo en caída libre no necesariamente se está moviendo

hacia abajo, pues puede haber sido lanzado con una velocidad inicial hacia arriba, por lo

cual recorrerá una cierta distancia hasta que la gravedad lo detenga en un punto máximo y

luego lo obligue a caer. Un cuerpo puede ser soltado desde una altura y dejarse caer

(velocidad inicial cero); puede ser arrojado imprimiéndole una velocidad inicial hacia

abajo (negativa) o puede ser arrojado hacia arriba imprimiéndole una velocidad inicial

positiva. En todos los casos se usarán las ecuaciones 2.10, 2.8 y 2.11, en las cuales

usaremos el valor de la aceleración debida a la gravedad g = 9.82 m/s2. También se tendrá

en cuenta el signo negativo de ésta en las ecuaciones. Como la caída libre es un

movimiento vertical se usa la variable y para la posición, luego las ecuaciones para la caída

libre serán:

2

002

1tgtvyy y (3.13)

tgvv y 0 (3.14)

ygvv y 22

0

2 . (3.15)

Consideremos el caso de un cuerpo que es lanzado hacia arriba desde una altura y0 con una

velocidad inicial v0. En el punto más alto de su trayectoria ymax el cuerpo se detiene, es

decir, su velocidad es cero, por lo tanto, de la ecuación 2.12 se tiene:

tgv y 00

Luego el tempo para la altura máxima está dado por

g

vt ym

0

Por otro lado, usando 2.13 se tiene:

ygv y 202

0

Por lo tanto la altura máxima ym, está dada por:

Física mecánica

74

g

vyy

g

vyyy

y

m

y

m

2

0

0

2

0

0 .

Ejercicio

Hallar esta misma altura máxima usando el tiempo para ymax en la ecuación 2.11.

Ejemplo 3.4

Demostrar que para un cuerpo que se deja caer libremente, la distancia que recorre durante

el último segundo es gn )2/1( .

Solución

Lo primero es que la velocidad inicial del problema es cero y podemos suponer que se

suelta desde una altura y0 arbitraria. Durante los primeros n segundos el cuerpo recorre

una distancia

2

02

1gnyyn .

Durante los primeros (n-1) segundos el cuerpo recorre:

2

01 )1(2

1 ngyyn .

La distancia recorrida Δ, durante el último segundo, será el valor absoluto de la resta de las

dos anteriores:

)2

1()12(

2

1))12((

2

1 22

1 ngngnnngyy nn .

Física mecánica

75

Movimiento en dos dimensiones

La posición de una partícula que se mueve en el plano R2 puede describirse por un vector

en el plano xy, cuyas coordenadas dependen cada una del tiempo (ver figura 3.7), esto es,

(x,y) = (x(t), y(t)). Dicho más formalmente, el vector posición es:

jtyitxr ˆ)(ˆ)(

(3.16)

El vector desplazamiento en R2 está dado por

if rrr

. (3.17)

Donde es importante notar en la gráfica que la magnitud del vector desplazamiento r

en

R2, es en general, menor que la distancia recorrida a lo largo de la trayectoria, puesto que la

distancia corresponde a la medida del arco correspondiente a la trayectoria entre los

extremos de los vectores fr

y ir

Figura 3.7 Trayectoria en R2.

Definimos la velocidad promedio durante el intervalo de tiempo Δt, que tarda la partícula

en pasar de la posición ir

a la posición fr

como:

y

fr

x

ir

y

x

)(tr

r

Física mecánica

76

t

rv

. (3.18)

Según el carácter vectorial, la dirección de la velocidad promedio es la misma del

desplazamiento. Hay que recalcar que esta velocidad media (3.18) en el plano, se denota

un poco diferente, puesto que además de ser un vector es también un promedio. Note

también que la velocidad promedio es independiente de la trayectoria entre los dos puntos.

Las definiciones que se dieron en una dimensión se extienden a dos dimensiones sin

olvidar el carácter vectorial.

La velocidad instantánea se define igual que en una dimensión como la derivada:

jvivjdt

dyi

dt

dx

dt

rdv yx

ˆˆˆˆ

. (3.19

Figura 3.8 Vector velocidad tangente a la trayectoria en R2.

Sabemos del cálculo que si en un instante t la posición está dada por el vector )(tr

y la

velocidad por el vector )(tv

, el vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria en

ese tiempo particular (ver figura 3.8). Por tanto la dirección del vector velocidad cambia

conforme cambia el vector posición. Se define la aceleración promedio de una partícula

que se mueve en R2 entre dos posiciones

ir

y fr

como el cociente entre las velocidades y

los tiempos respectivos:

y

x

)(tr

v

Física mecánica

77

if

if

tt

vv

t

va

. (3.20)

Similarmente a lo que ocurre con la velocidad promedio, la aceleración promedio tiene la

misma dirección que la variación en la velocidad (ver figura 3.9).

Figura 3.9 Vectores velocidad tangentes a la trayectoria en R2

y su diferencia.

Definimos la aceleración instantánea como:

jaiajdt

dvi

dt

dv

dt

rd

dt

vda yx

yx ˆˆˆˆ2

2

(3.21)

Es importante aclarar que la velocidad puede variar de un punto a otro variando su

magnitud o su dirección o ambas, en cualquiera de estos casos se presenta aceleración.

Ejemplo 3.5

Un cuerpo se desplaza sobre un plano a lo largo de una línea curva de modo que sus

coordenadas en función del tiempo están dadas por:

12)(32)( 223 tttytttx .

Donde las coordenadas están en metros y el tiempo en segundos.

a) Hallar el vector posición cuando t = 1.

y

x

ir

v

fv

iv

fr

iv

fv

Física mecánica

78

b) Halle el vector velocidad en cualquier instante de tiempo.

c) Calcular el (o los) tiempo(s) en que la velocidad es cero.

d) Hallar la aceleración en cualquier instante.

Solución

a) El vector posición está dado por

jtyitxr ˆ)(ˆ)(

jttitttr ˆ)12(ˆ)32()( 223

Cuando t = 1, se evalúa la función y se obtiene 0)1(1)1( yx , luego:

ir ˆ)1(

.

b) Para encontrar la velocidad instantánea es necesario derivar la posición,

jtittdt

rdv ˆ)22(ˆ)66( 2

.

c) Para que la velocidad sea cero es necesario que las dos componentes lo sean

simultáneamente. Igualando a cero:

022066 2 tytt

1)10( tytót

Donde vemos que las coordenadas de la velocidad son simultáneamente cero para el

tiempo t = 1 S.

d) Para hallar la aceleración instantánea hay que derivar la velocidad:

Física mecánica

79

jitdt

vda ˆ2ˆ)612(

.

Movimiento bidimensional con aceleración constante

Para una partícula moviéndose en el plano donde sus componentes de posición y de

velocidad son dependientes del tiempo y las de aceleración son a lo sumo constantes, se

tienen las ecuaciones vectoriales:

jyixr ˆˆ

(3.22)

jvivv yxˆˆ

(3.23)

jaiaa yxˆˆ

(3.24)

En cada una de las dimensiones se tiene un movimiento que a lo sumo tiene aceleración

constante, por lo tanto en cada una de sus coordenadas se cumplen las ecuaciones de

movimiento de una partícula con aceleración constante en una dimensión, entonces las

componentes de aceleración tienen la forma:

tavvtavv yyyxxx 00 .

Reemplazándolas en la ecuación 3.22

jtavitavv yyxxˆ)(ˆ)( 00

,

)ˆˆ()ˆˆ( 00 jtaitajvivv yxyx

De donde se llega a:

tavv

0 (3.25)

En forma similar se llega fácilmente a:

Física mecánica

80

2

002

1tatvrr

(3.26)

Donde jyixr

000 . Note que pese a su carácter vectorial, las ecuaciones 2.24 y 2.25

tienen la misma “forma” que en una dimensión. A continuación estudiamos un importante

ejemplo de movimiento bidimensional en el que una componente corresponde a un

movimiento uniformemente acelerado y la otra a un movimiento con velocidad constante.

Movimiento parabólico

Cuando se arroja un objeto al aire, pero a diferencia del caso de caída libre, la dirección de

lanzamiento hace un ángulo θ0 con la horizontal, la trayectoria del objeto describirá una

parábola en el plano. Si la velocidad inicial de la partícula está dada por 0v

, cuyas

componentes es calares son:

,000000 SenvvyCosvv yx (3.27)

Figura 3.10 Movimiento parabólico.

La partícula experimenta una combinación de dos movimientos. En el eje y el movimiento

es de caída libre mientras en el eje x es un movimiento con velocidad constante, dado que

y

x

oxv

ivv xˆ

0

v

yv0

0v

xv0

yv

v

oxv

yv

Física mecánica

81

en esa dirección el cuerpo conserva siempre la velocidad v0x, tal como se ilustra en la

figura 3.10. Las componentes de la posición son:

2

0000002

1tgtSenvyyytCosvxx (3.28)

En el eje y, para la componente de la velocidad se tiene la misma dependencia conocida

para la caída libre, con la única diferencia de que aquí se tiene en cuenta el ángulo inicial

tgSenvvy 00 (3.29)

Además debemos recordar que como la velocidad es un vector, su magnitud en cualquier

instante está dada por:

22

yx vvv .

En el movimiento parabólico hay dos puntos de interés especial: la altura máxima y el

alcance horizontal máximo. Si suponemos que el movimiento se realiza en el plano de tal

forma que la altura inicial es la misma final tal como se ve en la figura 3.11, las ecuaciones

para la altura máxima y su tiempo correspondiente, modificadas apropiadamente con el

ángulo inicial serán:

.2

000

22

0

g

Senvty

g

Senvy ymm

Figura 3.11 Altura máxima

y

x

my

mx

Física mecánica

82

Donde hay que notar que se ha asumido que la posición inicial es cero y que la

consideración física es la misma que en el caso de caída libre, es decir, la componente de la

velocidad en y para la máxima altura es cero. En este caso en que la parábola es simétrica

el tiempo correspondiente al alcance horizontal máximo será el doble del necesario para

alcanzar la altura máxima.

g

Senvtxm

002

.

Para encontrar entonces la distancia horizontal máxima en este caso de parábola simétrica,

se usa la ecuación 3.28 para x, con x0 = 0 y sustituyendo v0x de la ecuación 3.27

g

SenvCosvtvx xmxm

00000

2)(

Haciendo uso de la identidad

CosSenSen 2)2(

llegamos a:

g

Senvxm

)2( 0

2

0

En estos últimos resultados hay que recordar que la posición inicial es el origen de

coordenadas y la posición final está a la misma altura, si esta condición no se cumple el

alcance horizontal máximo debe hallarse de otra forma.

Ejemplo 3.6

Un cañón se ubica en la base de una pendiente que hace un ángulo ψ con la horizontal. Si

el cañón hace un ángulo λ con la horizontal y dispara el proyectil con una velocidad inicial

v0. Demuestre que la distancia sobre la pendiente a la cual caerá el proyectil está dada por:

TanCosSen

Cosg

CosvR

2

02

Física mecánica

83

Solución

Es muy importante analizar la figura para comprender el enunciado del problema. Las

coordenadas finales xR e yR , son:

2

002

1VVRVR tgtSenvyytCosvx

Donde hemos llamado tV al tiempo total de vuelo. Reemplazando estas últimas dos

ecuaciones en la relación trigonométrica para la tangente en este dibujo,

R

R

x

yTan

Se obtiene

V

VV

tCosv

tgtSenv

Tan

0

2

02

1

.

De donde se despeja el tiempo de vuelo como:

R

xR

yR

Física mecánica

84

TanCosSeng

vtV 02

Este tiempo se reemplaza en xR para obtener,

TanCosSeng

CosvTanCosSen

g

vCosvxR

2

00

0

22

Finalmente reemplazamos en la relación trigonométrica R

xCos R .

TanCosSengR

CosvCos

2

02.

De donde se halla el recorrido R como:

TanCosSen

gCos

CosvR

2

02

Ejercicio

1. Un avión vuela horizontalmente a una altura h y con velocidad v. En el instante en que

el avión está sobre un cañón antiaéreo, éste le dispara al avión. Calcular la velocidad

mínima v0 y el ángulo de apunte θ0 que debe tener el cañón para darle al aeroplano.

2. Nuestro goleador ve muy salido al arquero y patea al arco enviando la pelota con un

ángulo de 45°. El arquero se encuentra a 12 metros de la portería. La rapidez inicial de la

bola es de 25 m/s. Si la bola pasa a veinte cm por debajo del palo y nuestra portería mide

2,5 m de alto, diga:

a) A qué distancia se encontraba nuestro héroe al momento de patear el rebote.

b) Calcule la velocidad y la rapidez de la bola al momento de ingresar al arco.

c) Diga a qué velocidad debe correr el portero si quiere atajar.

Física mecánica

85

Movimiento circular

Otro caso particular importante de movimiento en dos dimensiones es aquel en el cual la

trayectoria de la partícula es una circunferencia. En el movimiento circular la partícula

puede tener una rapidez tangencial constante, en cuyo caso se dice que el movimiento es

circular uniforme. Dado que la velocidad es un vector hay dos formas de cambiar su

naturaleza para producir una aceleración: cambiando su magnitud o cambiando su

dirección.

Figura 3.12 Movimiento circular.

En el movimiento circular uniforme (MCU), la magnitud de la velocidad tangencial es

constante, mientras que su dirección cambia constantemente, por lo que su aceleración

media estará dada por:

t

v

tt

vva

if

if

.

Figura 3.13 Vectores posición y velocidad.

r

iv

r

fv

fv

iv

v

fr

ir

r

Física mecánica

86

Ahora bien, cuando Δt es muy pequeño en la última figura, tenemos entonces los

triángulos semejantes:

Figura 3.14 Triángulos semejantes.

Donde vemos que se cumple la relación de proporcionalidad

r

rvv

r

r

v

v

.

Entonces la aceleración promedio es:

.vr

v

t

r

r

va

En el límite cuando Δt tiende a cero, la aceleración instantánea es

r

vv

r

v

t

r

t

Lim

r

v

t

r

r

v

t

Lima

2

00

.

Hay que notar que conforme Δθ tiende a cero, el vector Δv tiende hacia el centro de la

circunferencia, es decir, tiende a la misma dirección que re . En otras palabras, esta

aceleración es radial hacia el centro.

r

var

2

. (3.30)

Cuando además de la dirección también está cambiando la magnitud de la velocidad,

decimos que hay aceleración tangencial, dada por:

fr

ir

r

fv

iv

v

Física mecánica

87

td

vdaT . (3.31)

En general, para cualquier trayectoria curva, en cada instante podemos estudiar la

aceleración en términos de sus componentes tangencial y radial (también llamada

centrípeta), trazando la circunferencia tangente interior a la curva

Figura 3.15 Centro de curvatura y componentes de la aceleración.

Vemos entonces que la aceleración en términos de sus componentes puede escribirse

como:

etd

vde

r

veaeaa rTrr

ˆˆˆˆ2

. (3.32)

Finalmente debemos recalcar que la magnitud de la aceleración estará dada por:

222

td

vd

r

va (3.33)

Velocidad angular

En una circunferencia el arco S entre dos puntos P y Q está dado por:

rS (3.34)

a

ra Ta

Física mecánica

88

Figura 3.16 Arco.

Donde θ debe estar en radianes. La velocidad tangencial será entonces la derivada

temporal del arco:

rtd

dr

td

sdv . (3.35)

Donde la cantidad dtd / se conoce cono “la velocidad angular” y es el ángulo

barrido por unidad de tiempo. La velocidad angular se expresa en radianes por unidad de

tiempo: Rad/S. Debido a que un radián no expresa una magnitud física también se expresa

en Seg-1

(ó 1/S), lo que se conoce como un Hertz ( Hz ).

Aceleración angular constante

Cuando hablamos de un movimiento circular uniformemente acelerado, estamos diciendo

que su aceleración angular es constante. Veamos que relación hay entre la aceleración

tangencial y la aceleración angular. Sabemos de la ecuación 3.31 que:

rdt

dr

td

vdaT

Donde Hemos llamado a la aceleración angular constante td

d . La expresión:

raT , (3.36)

r

S

r

Física mecánica

89

relaciona la aceleración tangencial en un punto a una distancia r del punto de rotación del

cuerpo. Usando la ecuación 3.35 en la 3.30 se sigue que:

2222

rr

r

r

var (3.37)

De las ecuaciones 3.36 y 3.37 se tiene que la magnitud de la aceleración está dada por:

424222 rrra (3.38)

Como sabemos que la aceleración angular es constante y que

td

d

Integrando esta última expresión,

ttddt

0

00

Por consiguiente se obtiene una ecuación similar a la que corresponde a la dependencia

temporal en el caso traslacional,

t 0 . (3.39)

También, por la definición de velocidad angular se ve que,

0 00

t

tdtdtdd

Esto conduce directamente a la ecuación para la posición angular equivalente a la de la

posición traslacional,

2

002

1tt (3.40)

Física mecánica

90

También se halla una ecuación análoga a 3.12

22

0

2 (3.41)

En el caso en que la aceleración angular α es cero (ω constante), tenemos que, haciendo

θ0= 0, de (3.40) se sigue:

tót .

Entonces para una revolución completa, es decir, para un giro de 2π radianes, llamaremos

al tiempo correspondiente el período ( T ), luego

2T . (3.42)

Entonces el periodo T es el tiempo que se demora la partícula en completar un giro. Al

inverso del período lo llamamos frecuencia y corresponde al número de revoluciones por

unidad de tiempo,

2f . (3.43)

Ejemplo 3.7

Calcular la aceleración radial y la velocidad tangencial sobre el ecuador terrestre.

Solución

El período de la tierra es de 24 horas, luego

,864001

360024 Seg

h

SeghT

Física mecánica

91

Luego la frecuencia es f = 1.157x10-5

Seg-1

. Como ω = 2π f, según la ecuación 2.36

tendremos que:

2/034.0 smar .

Además por 2.34 se tiene que la velocidad tangencial en el ecuador es:

smv /24.463 .

Ejercicio

La distancia promedio tierra-sol es de 1.496x1011

m. Calcule la velocidad promedio a de

la tierra alrededor del sol, así como su aceleración radial.

Ejemplo 3.8

Un punto se mueve en un círculo según la ecuación

232 ttS .

Con S en metros. Si la aceleración total del punto es K cuando t = 2 S, encontrar el radio

del círculo en función de K.

Solución

Sabemos que la velocidad tangencial es la derivada del arco,

tttd

sdv 26 2

Por tanto tenemos también que la aceleración tangencial es,

212 taT

Física mecánica

92

Evaluando la velocidad y la aceleración tangencial en t = 2 se obtiene

2/26)2(/28)2( SmaySmv T

De la ecuación de magnitud total de la aceleración se ve que en 2 Seg,

676

784

26

282826

222

2222

KKr

rK

Física mecánica

93

Ejercicios

1) Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo a la expresión a lo largo de una

recta de acuerdo a la ley 2616)( tttx , donde x se mide en metros y t en segundos.

a) Encuentre la posición del cuerpo cuando t =1 S. ¿Para qué tiempos el cuerpo pasa por el

origen?

b) Calcule la velocidad promedio para el intervalo de tiempo 20 t S.

c) Encuentre la expresión general de la velocidad promedio en el intervalo )( 00 tttt

2) Un estudiante en su bicicleta parte del reposo y acelera a 2 m/s2 durante 5 s. Los

siguientes 10 se mueve con velocidad constante. Luego aplica los frenos y desacelera a

razón de 1 m/s2 hasta frenar. Calcule la distancia recorrida por el estudiante en su

bicicleta. Respuesta: 175 m.

3) Un carro que parte del reposo acelera a razón de 5 m/s2. ¿Cuál es la velocidad del carro

y la distancia recorrida después de 10 S ?. Respuesta: 50 m/s; 250 m.

4) Un automóvil que se mueve con aceleración constante, recorre una distancia de 30 m en

2 S. En los siguientes 2 segundos, recorre 50 m. Calcular la velocidad inicial del carro y su

aceleración. Respuesta: 10 m/s; 5 m/s2.

5) Una partícula en movimiento circular con aceleración tangencial constante, tiene en

determinado instante una velocidad tangencial de 45 m/s. Después de haber recorrido un

arco correspondiente a un ángulo de (π/3) Rad, su velocidad tangencial es de 25 m/s. El

radio de la circunferencia es de 1m.

a) Escriba completamente las tres ecuaciones que describen la cinemática angular de la

partícula.

b) Halle la aceleración total en la segunda posición.

c) Calcule el tiempo que tardará la partícula en detenerse.

6) Iniciando la primavera del año 1650 el Conde De la Croix, quien se apostaba en el valle

del río Rothein, apuntó el cañón principal de su artillería a 50º sobre la horizontal contra su

archienemigo el duque de Nantua, quien se encontraba en una pequeña meseta a 100 m de

Física mecánica

94

altura sobre el valle. La velocidad de salida de la bala era de 300m/s. El duque, quien se

encontraba retozando con su amante gitana cayó muerto al instante.

a) Halle la distancia horizontal a la que se hallaba el duque del conde.

b) Calcule también la velocidad y la rapidez de la bala al momento de asesinar al duque.

7) Un auto parte del reposo aumentando su velocidad a una razón constante de 2,0 m/s2

durante 1,5 segundos, a continuación disminuye su velocidad durante los siguientes 2,5

segundos hasta -2 m/s. luego permanece con velocidad constante durante dos segundos

más. Finalmente gasta un segundo más en detenerse.

a) Hallar el recorrido total.

b) Graficar v(t) .

8) Un carro parte del reposo y se mueve con una aceleración de 2 m/ s2 durante 5 s. Los

siguiente 10 s se mueve con velocidad constante. Se aplican los frenos y el auto

desacelera a razón de los 0,5 m/s2 hasta que se detiene. Calcule la distancia recorrida por

el carro.

9) Un cuerpo que se mueve en línea recta movimiento rectilíneo presenta una aceleración

de la forma: 𝑎 = 10 − 2𝑣. Cuando 𝑡 = 0, 𝑥 = 0 y 𝑣 = 2. Encuentre la velocidad 𝑣 y la

posición x en función del tiempo t.

10) Se lanza una piedra hacia arriba desde la base de un edificio de 27 m de altura con una

velocidad inicial de 60 m/s. Calcule el tiempo que demorara la piedra en alcanzar la

terraza del edificio, y su velocidad en dicho punto.

11) Un cuerpo se deja caer y al mismo tiempo se tira hacia abajo un segundo cuerpo con

una velocidad inicial de 1 m/s. ¿Cuándo la distancia entre ellos es de 10 m?

12) Un niño deja caer una piedra en un pozo. El sonido de la piedra al chocar contra el

suelo se escucha 3 s más tarde. Si la velocidad del sonido es de 340 m/s, calcule la

profundidad del pozo.

Física mecánica

95

13) Un punto se mueve describiendo una trayectoria circular de acuerdo a la expresión

𝑠 = 𝑡2 + 2𝑡, donde s se mide en metros y t en segundos. Si la aceleración total del punto

es 4 m/s2 cuando 𝑡 = 2𝑠, calcular el radio de la trayectoria.

14) Una partícula se mueve de acuerdo a una trayectoria circular y según la expresión

𝜃 = 3𝑡3 + 𝑡, donde θ se mide en radianes y t en segundos. Calcular la velocidad angular y

la aceleración angular después de 2 s.

15) Una rueda pate del reposo y acelera de tal manera que su velocidad angular aumenta

uniformemente a 100 rpm en 5 s. Después de haber estado girando por algún tiempo a esta

velocidad, se aplican los frenos y la rueda toma 5 min en detenerse. Si el número total de

revolución de una rueda es de 3100, calcular el tiempo total de rotación.

16) Dos ruedas cuyos radios son r = 10 cm y R = 20 cm respectivamente están conectadas

a través de una banda. La rueda de radio R parte del reposo y aumenta su velocidad

angular uniformemente a razón de 0,2π rad/s. Encuentre la relación entre las aceleraciones

angulares y los radios r y R.

17) Una avioneta está volando horizontalmente a una altura de 1km con una velocidad de

120 km/hr. Se suelta un objeto desde la avioneta. Calcule:

a) La velocidad del objeto al llegar al suelo

b) La distancia horizontal cubierta por el objeto

18) Un proyectil es disparado haciendo un ángulo de 30° con respecto al eje horizontal. Si

el alcance horizontal fue de 2 Km, calcule:

a) La velocidad inicial

b) El tiempo de vuelo

c)La máxima altura

R r

Física mecánica

96

Física mecánica

97

Capítulo 4

Dinámica

El grado sumo del saber es contemplar el por qué

Sócrates

Introducción

Como se discutió en el capítulo tres, la cinemática de una partícula es la parte de la

mecánica que describe el movimiento de un cuerpo a través de los conceptos de

desplazamiento, velocidad y aceleración sin considerar la influencia de la masa, en este

sentido la cinemática describe sólo la geometría del movimiento. Por otro lado, la

dinámica es la parte de la mecánica que se ocupa del estudio de las causas del movimiento

de los cuerpos o de los cambios en su estado de movimiento. En este tratamiento la masa

tiene un lugar preponderante, establecido en las leyes de movimiento o leyes de Newton,

como veremos a lo largo del capítulo. Podemos decir entonces que la dinámica responde a

la pregunta: ¿porqué se mueve un cuerpo?, a través del estudio de las fuerzas que actúan

sobre él.

Dado que se tratará de describir la dinámica newtoniana en el orden en que aparecen

clásicamente los principios o leyes del movimiento, debemos aclarar que en algunos casos

resulta muy difícil de eludir el uso de ciertas palabras sin que hayan sido definidas, por

ejemplo, el concepto de fuerza se define exactamente en la segunda ley, pero previamente

se esboza una definición, que nos permite avanzar en la teoría y que pretende que no nos

quedemos dando vueltas alrededor de otras palabras para eludir el uso de las que aún no se

han definido.

Si observamos que un objeto inerte como un pedazo de metal, empieza a moverse

repentinamente, buscamos la causa de éste movimiento, pues es razonable suponer que por

Física mecánica

98

sí solo no puede haberse movido. Una indagación a fondo debe conducirnos a encontrar

que la causa del cambio en su estado de movimiento es algún tipo de fuerza, pues de lo

contrario estaríamos en presencia de un fenómeno paranormal, los cuales no han podido

probarse científicamente hasta la actualidad y por tanto no son aceptados por la física como

explicación del movimiento. El problema de la causa del movimiento fue introducido por

el pensador griego Aristóteles, quien consideraba que la causa es motor de los cambios en

la naturaleza. Desde la antigüedad se ha pensado que si un objeto se mueve, esta

obedeciendo a una causa. Tales movimientos se consideraban posibles gracias a la acción

de una fuerza externa, se decía entonces que si no hay fuerza entonces no hay movimiento,

este pensamiento es planteado por Aristóteles en su segunda ley de movimiento. Se

entendía que el estado natural de los cuerpos es el estado de reposo, y la causa del

movimiento, una fuerza que actúa sobre ellos.

Primera Ley de Newton

En contraposición con las leyes de movimiento planteadas por Aristóteles, Galileo mostró

experimentalmente que para que un cuerpo se esté moviendo no tiene que haber una fuerza

actuando sobre él, pero para cambiarle su estado de movimiento habría de aplicársele una

fuerza. Este es el primer acercamiento al concepto de inercia, donde el movimiento

aparece como residente en el cuerpo. Newton a su vez muestra la relación entre la fuerza

aplicada para cambiar el estado movimiento de un cuerpo y su masa.

Pensemos por ejemplo en el esfuerzo que debe aplicar una persona para empujar y mover

una caja liviana, en comparación con el esfuerzo requerido para empujar y mover un

camión cargado que se encuentre en reposo. Es claro que aquel cuerpo que tenga menor

masa será movido más fácilmente, en este caso la caja, es decir que es susceptible de

modificar su estado de movimiento con mayor facilidad.

Para introducir la primera ley vamos a hablar del concepto de partícula libre. Una partícula

libre es la que no está sujeta a ninguna fuerza o interacción con su entorno. Es evidente

que no existe tal cosa, pues siempre una partícula estará sujeta a interacciones con las

partículas de su entorno, pero esta idealización nos ayudará a entender la primera ley. Se

Física mecánica

99

puede considerar como partícula libre aquella que está tan alejada de las demás, de tal

forma, que se pueden suponer despreciables las interacciones con otros cuerpos. El

concepto de partícula libre es una convención que permite pensar en un cuerpo libre de

interacciones con el entorno que lo rodea.

La primera ley de Newton establece que: “Una partícula libre se mueve con velocidad

constante”. Esto significa que una partícula libre, o está en reposo, o está en movimiento

rectilíneo uniforme. Esta ley también es llamada Ley de la Inercia.

La ley de inercia puede enunciarse también como: “Todo cuerpo tiene la propiedad de

permanecer en su estado de movimiento”. Otra forma de enunciarla es: “Todo cuerpo

permanecerá en reposo o en movimiento con velocidad constante, a menos que una fuerza

externa modifique su estado”. Podemos ver aquí, que se esboza una primera noción del

significado del concepto de fuerza, como aquello capaz de cambiar el estado de

movimiento de un cuerpo, pero más adelante daremos una definición más precisa.

Ejemplo 4.1

Consideremos el movimiento de una bicicleta, cuyos engranajes estén bien lubricados,

sobre una pista plana. Después de haber dado unos cuantos pedalazos y haber alcanzado

una cierta velocidad, al dejar de pedalear la bicicleta tiende a mantener la velocidad que

había alcanzado durante un largo tiempo. Esto es debido a la ley de inercia, aunque

sabemos que realmente la bicicleta irá perdiendo velocidad hasta que se detenga, gracias a

la fricción en sus ejes y al contacto con el piso, la cual es la fuerza que vuelve a cambiar su

estado de movimiento. Pero en el caso ideal, es decir, si tuviéramos una pista

infinitamente larga y unos ejes libres de fricción, la primera ley afirma que la bicicleta se

movería indefinidamente por la pista sin modificar su velocidad. Hemos despreciado

también las posibles fuerzas relacionadas con el contacto de las llantas de la bicicleta con

el piso.

Sistemas de referencia inerciales

Un sistema de referencia inercial es aquel en el cual una partícula libre se mueve con

velocidad constante. También se puede interpretar como aquel sistema de referencia desde

el que se observa que un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza neta se mueve con

Física mecánica

100

velocidad constante. En términos de la primera ley de Newton, un sistema de referencia

inercial es un sistema de referencia para el cuál es válida la primera ley de Newton. Una

consecuencia importante de la ley de la inercia es que un observador inercial es capaz de

detectar que una partícula no es libre, cuando ésta interactúa con otras partículas, se

observa que la velocidad de tal partícula no es constante.

El principio de Galileo afirma que cualquier sistema de referencia que se mueva

uniformemente con respecto a un sistema de referencia inercial es en sí mismo un sistema

de referencia inercial. El principio de relatividad afirma que todas la leyes físicas son

validas en un sistema de referencia inercial, y en conclusión, los sistemas de referencia

inerciales son los ideales para estudiar todas las leyes físicas.

Concepto de masa

En algunos contextos la masa se define como la cantidad de materia contenida en un

cuerpo, sin embargo trataremos de definir este concepto de otra manera que sea más

conveniente para los propósitos de la física. La mayoría de textos de física hablan de dos

definiciones de masa, conocidas como masa gravitacional y masa inercial. Vamos a

estudiar la manera como se definen ambas ilustrando sus diferencias, resaltando la

importancia de una concepción de la masa inercial por encima del concepto de masa

gravitacional, el cual no deja de ser útil para algunas reflexiones alrededor del concepto.

En el primer capítulo de este libro se discutió la forma como se establecen las unidades

para las magnitudes físicas, asumiendo el kilogramo (kg) como unidad convencional de

masa del sistema internacional de pesos y medidas, así que en adelante usaremos esta

unidad para la masa, tanto inercial como gravitacional.

No hay que confundir la masa con el peso del propio cuerpo, ya que este último depende

del lugar en el espacio donde se encuentre el cuerpo. El concepto de peso que usualmente

manejamos depende del valor de la aceleración de la gravedad en el sitio donde se

encuentre el cuerpo. Por ejemplo en la superficie de Júpiter el peso de un cuerpo es mucho

mayor que en la superficie de la tierra debido a la masa de este planeta. El peso de

cualquier objeto depende del planeta (o cuerpo masivo) en el que se mida, pues el peso es

el resultado de la interacción gravitacional entre el cuerpo y el planeta. Así, la masa de una

Física mecánica

101

roca es la misma en la tierra que en la luna, mientras que su peso es diferente en ambos

lugares, en la tierra es más pesada que en la luna ya que la fuerza de gravedad de la tierra

es mayor que la fuerza de gravedad de la luna. Sin embargo la masa y el peso están

relacionados en proporción directa, es decir, el cuerpo que tenga mucha masa en un

determinado lugar también tiene mucho peso en este mismo lugar. Más aún, si se duplica

la masa de un cuerpo en un lugar, entonces en consecuencia se duplica el peso del cuerpo

allí mismo.

La masa tampoco se puede confundir con el volumen. Se piensa en ocasiones que un

objeto con gran masa ocupa un gran volumen, lo cual no es siempre cierto. El volumen es

la medida del espacio ocupado, y se mide en unidades del tipo mm3 , cm3 , m3, mientras

que la masa se mide en kilogramos. No es lo mismo la cantidad de Kilogramos de un

cuerpo que el espacio que ocupa. Un kilogramo de algodón puede ocupar un espacio muy

grande, mientras un kilogramo de hierro puede ocupar un espacio muy pequeño.

Figura 4.1 Balanza de brazos

Inicialmente definimos el concepto de masa gravitacional como un número asignado a un

cuerpo en comparación con otro cuerpo patrón, cuya masa se define como la unidad. Este

proceso está basado en el uso de la atracción que la tierra ejerce sobre los objetos y a esto

debe su nombre. Para establecer esta comparación se puede usar por ejemplo una balanza

de brazos (ver figura 4.1), donde se usa un brazo para la masa patrón y el otro para el

cuerpo al que le queremos asignar un valor de masa gravitacional.

Física mecánica

102

Esta definición de masa gravitacional tiene dos inconvenientes fundamentales. Primero,

no todos los cuerpos pueden ponerse en una balanza, piense por ejemplo en la luna. Por

otro lado esta definición está basada en el supuesto de que el cuerpo está en reposo, pero

no sabemos si la masa será la misma cuando el cuerpo esté en movimiento. Para depurar

esta definición de masa, vamos a recurrir a una situación experimental. Supongamos dos

partículas aisladas sujetas sólo a su interacción mutua. Como resultado de ésta interacción

sus respectivas velocidades cambian, y supongamos que las partículas interactúan sólo

hasta cuando están muy cerca, es decir dentro de la región señalada con la circunferencia

punteada. Inicialmente las partículas de masas m1 y m2 tienen unas velocidades 𝑣 1𝑖 y 𝑣 2𝑖

respectivamente, al encontrarse muy cerca, es decir al ingresar en la región señalada por la

circunferencia punteada, sus velocidades cambian en magnitud y en dirección. Al salir de

la región de interacción, emergen con velocidades respectivas 𝑣 1𝑓 y 𝑣 2𝑓 .

Figura 4.2 Interacción entre dos partículas

Si las velocidades de las partículas antes de la interacción son 𝑣 1𝑖 y 𝑣 2𝑖 respectivamente, y

las velocidades después de la interacción son 𝑣 1𝑓 y 𝑣 2𝑓 , entonces el cambio de las

respectivas velocidades después de la interacción es:

∆𝑣 1 = 𝑣 1𝑓 − 𝑣 1𝑖 y ∆𝑣 2 = 𝑣 2𝑓 − 𝑣 2𝑖

Se sabe experimentalmente que los cambios de las velocidades ∆𝑣 1 y ∆𝑣 2 tienen

direcciones opuestas, es decir que uno es proporcional al otro en la forma: ∆𝑣 1 ∝ −∆𝑣 2.

𝑣 2𝑖

m2 m1 𝑣 1𝑖

𝑣 1𝑓

𝑣 2𝑓

Física mecánica

103

También es un resultado experimental que el cociente entre las magnitudes de los mismos

permanece constante, esto es

∆𝑣 1

∆𝑣 2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Un último hecho experimental a tener en cuenta es que las magnitudes de los cambios en la

velocidad de cada una de las masas, son inversamente proporcionales a las masas,

∆𝑣 1

∆𝑣 2 =

𝑚2

𝑚1 (4.1)

La ecuación (4.1) sirve para comparar las masas de dos partículas que interactúan en algún

instante. La masa obtenida de ésta forma se conoce como masa inercial, de esto se

concluye que la masa inercial de una partícula es una propiedad que determina cómo

cambia su velocidad cuando interactúa con otros cuerpos.

𝑚2 = 𝑚1 ∆𝑣 1

∆𝑣 2 (4.2)

Teniendo en cuenta las relaciones anteriores podemos escribir la siguiente relación

vectorial para los cambios en las velocidades como:

𝑚1∆𝑣 1 = −𝑚2∆𝑣 2 (4.3)

En donde el signo negativo significa que los cambios ∆𝑣 1 y ∆𝑣 2 tienen direcciones

opuestas. Retornaremos a esta última ecuación más adelante para definir la tercera ley del

movimiento.

Momento lineal o Cantidad de movimiento

El tratamiento que se le da a la masa en las primeras ecuaciones nos conduce a definir un

nuevo concepto en física, tal cantidad física se conoce como: momento lineal, llamado

Física mecánica

104

también momentum o cantidad de movimiento de una partícula. Definimos el momento

lineal 𝑝 de una partícula con masa 𝑚 que se mueve con velocidad 𝑣 como

𝑝 = 𝑚𝑣 (4.4)

El momento 𝑝 de una partícula es una cantidad vectorial, ya que depende de la masa 𝑚

(escalar) y de la velocidad 𝑣 (vector). La cantidad de movimiento 𝑝 se define entonces

como el producto del escalar m (masa) por el vector velocidad 𝑣 . La dirección del vector

cantidad de movimiento 𝑝 está determinada por la dirección del vector velocidad.

Ejemplo 4.2

Un ciclista suma junto con la masa de su bicicleta 110 kg y viajan a una velocidad

constante de 14 m/s. Hallar la cantidad de movimiento del sistema masa-ciclista.

Solución

Sabemos que la cantidad de movimiento del cuerpo se define como

𝑝 = 𝑚𝑣

En este caso la masa es de 110 kg y la velocidad es de 14 m/s, y por simplicidad podemos

asumir que el movimiento es en una dimensión, en este caso podemos suponer que la

dirección es la del eje x entonces,

𝑝 = 𝑚𝑣 = 110 kg 14m

s 𝑖 = 1540 kg

m

s 𝑖

Se puede notar que la unidad de la cantidad de movimiento en el sistema internacional es

kg(m/S). El ejemplo anterior está tratado en una dimensión, en este caso el sistema de

referencia consta de un solo eje (hemos tomado el eje 𝑥). Pero la situación puede

extenderse a dos y tres dimensiones. En dos dimensiones el momento lineal también tiene

componentes,

𝑝 = 𝑝𝑥 𝑖 + 𝑝𝑦 𝑗 = 𝑚𝑣𝑥 𝑖 + 𝑚𝑣𝑦 𝑗 = 𝑚(𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 ) = 𝑚𝑣 (4.5)

Física mecánica

105

En el caso de tres dimensiones 𝑝 tiene tres componentes. El momento lineal o cantidad de

movimiento es una cantidad dinámica cuyo aporte es más significativo que el de la

velocidad vista independientemente. Por ejemplo, si se requiere detener un camión que se

mueve con una rapidez 𝑣 es más fácil hacerlo si éste no se encuentra cargado, es decir, con

más masa. Se requiere más esfuerzo para detener el camión cargado que cuando se

encuentra descargado. De acuerdo con todo lo anterior se puede reescribir la ley de la

inercia como sigue: “Una partícula libre siempre se mueve con momento lineal constante

en relación con un sistema de referencia inercial”

De otra manera, si la partícula no es libre y suponemos que su masa no cambia en el

tiempo entonces experimenta cambios de velocidad en intervalos de tiempo ∆𝑡, en este

caso escribimos el cambio del momento lineal como:

∆𝑝 = ∆ 𝑚𝑣 = 𝑚∆𝑣 (4.6)

El momento lineal de un sistema de 𝑛 partículas se define como la suma de todos los

momentos individuales:

𝑝 = 𝑝 𝑖𝑛𝑖=1 = 𝑚𝑖𝑣 𝑖

𝑛𝑖=1 (4.7)

En este caso 𝑝 𝑖 representa el momento lineal de la partícula i-ésima del sistema. En

algunos casos se abusa del lenguaje hablando simplemente de momento, en vez del nombre

completo momento lineal. Esto se permite y de hecho es muy usado por algunos autores,

pero debemos ser cuidadosos con el lenguaje, así que sólo se hará este abuso cuando no

haya lugar a confusiones.

Ejemplo 4.3

Un avión de masa 20 toneladas viaja a una velocidad 𝑣 = 200,30 𝑚𝑆 𝑖 . Otro avión de

masa 28 toneladas viaja a una velocidad 𝑣 = 100,25 𝑚

𝑠 𝑖 . Considere el sistema formado

por los dos aviones para hallar la cantidad de movimiento total del sistema.

Física mecánica

106

Solución

Suponiendo que los dos aviones forman un sistema de partículas, que se mueven en el

mismo eje, entonces la cantidad de movimiento del sistema está dada por la ecuación (3.6).

Notemos en este caso que los vectores velocidad están ambos en la dirección x, así que el

problema se reduce a una suma de escalares, si 𝑚1 = 20000 𝑘𝑔 y 𝑚2 = 28000 𝑘𝑔,

entonces

𝑝 = 𝑚1𝑣 1 + 𝑚2𝑣 2

= 20000𝑘𝑔 200,30 𝑖 𝑚/𝑠 + 28000 𝑘𝑔 100,25 𝑖 𝑚/𝑠

= [ 4006000 𝑘𝑔𝑚

𝑠+ 2807000 𝑘𝑔

𝑚

𝑠] 𝑖

= 6813000 𝑘𝑔 𝑖 𝑚

𝑠

Segunda Ley de Newton

Inicialmente se esbozó una definición de fuerza como: cualquier acción o influencia capaz

de modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo; es decir, de imprimirle

una aceleración. Sin embargo, la fuerza sobre una partícula se puede definir en forma más

precisa como la derivada de su momento lineal respecto al tiempo:

𝐹 =𝑑𝑝

𝑑𝑡 (4.8)

Ésta relación constituye la segunda ley del movimiento formulada por Newton, y se puede

enunciar como sigue: “La tasa de cambio del momento lineal de una partícula con respecto

al tiempo es igual a la fuerza que actúa sobre la partícula”. Si la partícula es libre, de

acuerdo con la segunda ley de Newton, 𝑝 es constante y por lo tanto

𝐹 =𝑑𝑝

𝑑𝑡= 0

Física mecánica

107

Y podemos afirmar que sobre la partícula libre no actúa ninguna fuerza, y en este caso el

momento lineal de la partícula es constante, lo que significa que la partícula, o está en

reposo o se mueve con velocidad constante.

Dado que, en general la masa de una partícula o sistema no tiene porque ser constante, la

segunda ley de Newton se escribe como

𝐹 =𝑑𝑝

𝑑𝑡=

𝑑 𝑚𝑣

𝑑𝑡= 𝑚

𝑑𝑣

𝑑𝑡+ 𝑣

𝑑𝑚

𝑑𝑡= 𝑚𝑎 + 𝑣

𝑑𝑚

𝑑𝑡 (4.9)

Esta es la forma completa de la segunda ley de Newton, sin embargo en muchos casos la

masa del cuerpo o cuerpos que conforman un sistema físico no presenta variaciones, por lo

cual en muchos textos de física, la segunda ley se enuncia sin el último término en la

ecuación (4.9), la cual es una versión reducida de la segunda ley, que aplica sólo cuando la

masa es constante y se escribe como:

𝐹 = 𝑚𝑎 (4.10)

En esta última ecuación notamos que si la fuerza 𝐹 sobre la partícula es constante,

entonces la aceleración también lo es, por lo cual podemos escribir la magnitud de la

aceleración como 𝑎 = 𝐹/𝑚 , lo que nos muestra como la masa afecta la cinemática de las

partículas.

Como puede verse en la ecuación (4.10), las unidades en que se mide la fuerza son el

producto de unidades de masa por unidades de aceleración, es decir, kg(m/S). Por lo tanto,

la unidad para medir la fuerza en el SI es el Newton y su símbolo es N, el cual se define

como:

1𝑁 = 1 𝑘𝑔 𝑚/𝑆2

Finalmente hay que añadir que las fuerzas cumplen el principio de superposición vectorial,

es decir, la fuerza neta o fuerza resultante sobre un cuerpo es igual a la suma de todas las

fuerzas que actúan sobre el cuerpo, entonces para cualquier caso en que la masa no varíe,

la segunda ley de Newton se escribe como:

Física mecánica

108

𝐹 = 𝑚𝑎 (4.11)

La segunda ley de Newton, por lo general se analiza para cada una de las dimensiones del

plano de movimiento de las partículas. Recuérdese que hemos descrito la cinemática sólo

hasta dos dimensiones, pero cuando se necesite puede hacerse también los mismos análisis

en tres dimensiones. Antes de comenzar a aplicar la segunda ley a problemas particulares

vamos a describir la tercera ley de Newton y su relación con el momento lineal.

Tercera Ley de Newton

En un sistema compuesto por varias partículas, sobre cada una de ellas actúan las fuerzas

exteriores al sistema y también las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del

sistema. La suma de todas las fuerzas exteriores se reconoce como fuerza neta sobre la

partícula o sobre el sistema de partículas. Un sistema de dos partículas que sólo está

sometido a sus fuerzas mutuas se conoce como sistema aislado. En principio se ha

enunciado el concepto de sistema aislado sólo para dos partículas pero éste se puede

extender para cualquier número de ellas.

Retomemos la ecuación (4.3), recordando que los cambios de velocidad se dan

simultáneamente para ambas partículas, es decir, en el mismo tiempo Δt, por lo tanto

podemos dividir a ambos lados por el mismo tiempo Δt, obteniendo:

𝑚1∆𝑣 1

∆𝑡= −

𝑚2∆𝑣 2

∆𝑡

Si consideramos tiempos suficientemente pequeños en esta última expresión, o

equivalentemente hacemos el límite en que Δt tiende a cero manteniendo la masa

constante, podemos ver que el numerador en ambos lados corresponde a la derivada del

momento lineal respecto al tiempo, por lo cual podemos escribir:

𝑑𝑝 1

𝑑𝑡= −

𝑑𝑝 2

𝑑𝑡 (4.12)

Física mecánica

109

Dado que la fuerza sobre una partícula se define como la derivada de su momento lineal

respecto al tiempo, la ecuación (4.12) es equivalente a:

𝐹 1 = −𝐹 2 (4.13)

Esta expresión es conocida como la tercera ley de Newton y nos indica que las fuerzas que

se ejercen mutuamente las dos partículas son de igual magnitud y de sentido contrario.

Recuerde que para llegar a esta ley hemos considerado sólo la interacción entre dos

partículas que conforman nuestro sistema aislado. Esta ley también se escribe

frecuentemente en la forma:

𝐹 12 = −𝐹 21

La cual se lee así: La fuerza que la partícula dos ejerce sobre la partícula uno es igual en

magnitud y de sentido contrario a la fuerza que le ejerce la partícula uno a la partícula dos.

Una de las dos fuerzas se llama acción y la otra reacción, por esta razón esta ley también se

conoce como ley de acción-reacción y afirma que: en sistemas aislados no puede existir

una fuerza individual, sino que existen por pares acción-reacción. Si el sistema está

compuesto por varias partículas, la interacción de cada partícula con cada una de las demás

genera un par acción reacción.

Conservación del momento lineal

El principio de conservación del momento lineal se puede deducir de la tercera ley de

Newton partiendo de la ecuación (4.12), la cual puede reescribirse poniendo los dos

términos al lado izquierdo,

𝑑𝑝 1

𝑑𝑡+

𝑑𝑝 2

𝑑𝑡= 0

𝑑

𝑑𝑡 𝑝 1 + 𝑝 2 = 0 (4.14)

Física mecánica

110

La ecuación (4.14) nos dice que para un sistema de dos partículas aisladas no hay variación

del momento lineal total, que es la suma de los momentos individuales, es decir que el

momento lineal total de un sistema aislado permanece constante en el tiempo. Hay que

Recordar que la expresión (4.12) es válida para un sistema de dos partículas aisladas, sin

embargo la expresión (4.14) puede ampliarse a un sistema aislado de n partículas

interactuando entre ellas. El principio de conservación del momento lineal para un sistema

de n partículas establece que

𝑑

𝑑𝑡 𝑝 1 + 𝑝 2 + ⋯ + 𝑝 𝑛 = 0 (4.15)

Esta ecuación nos dice que el momento lineal total de cualquier sistema de partículas

aisladas permanece constante en el tiempo, lo cual también puede expresarse como

𝑝 1 + 𝑝 2 + ⋯ + 𝑝 𝑛 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (4.16)

Este principio también puede expresarse diciendo que el momento total de un sistema de

partículas en un tiempo inicial es igual al momento total en un tiempo final después de que

haya ocurrido una interacción entre ellas. Usando un índice i adicional para los momentos

iniciales y un índice f para los momentos finales, la conservación del momento lineal para

sistemas aislados de partículas se escribe como:

𝑝 1𝑖 + 𝑝 2𝑖 + ⋯ + 𝑝 𝑛𝑖 = 𝑝 1𝑓 + 𝑝 2𝑓 + ⋯ + 𝑝 𝑛𝑓 (4.17)

Más adelante veremos como se aplica este principio en el estudio de colisiones y en el

movimiento de sistemas de partículas.

Tipos de fuerzas más comunes

Antes de comenzar a aplicar los conceptos explicados en la solución de problemas

prácticos, vamos a revisar los tipos de fuerzas más comunes, para luego poder retomarlas

en cada caso que se necesiten. Dichas fuerzas son: el peso, la fuerza normal, la fuerza de

fricción y la tensión. La fuerza elástica que ejercen los resortes se estudiará más adelante

Física mecánica

111

en el capítulo de trabajo y energía. Sólo se comenzarán a resolver problemas particulares

cuando se haya hecho una descripción de cada una de éstas.

El peso

Es la fuerza que sienten los cuerpos debido a la atracción gravitacional de la tierra y

siempre apunta hacia el centro de ésta. El peso se denota en la mayoría de libros de física

con la letra mayúscula W y así lo haremos en este texto. Tal como se dijo en la sección

correspondiente a caída libre en el capítulo anterior, vamos a considerar la tierra como

localmente plana, y por lo tanto, el peso siempre se dibujará perpendicular al suelo, visto

horizontalmente, y dado que la aceleración debida a la gravedad es g (ver figura 3.6),

escribiremos siempre la magnitud del peso como:

𝑊 = 𝑚𝑔 (4.18)

En esta ecuación vemos que todo cuerpo sometido únicamente a la acción de la fuerza de

gravedad (en caída libre), es decir, cuando la única fuerza que actúa sobre él es el peso,

será acelerado con una magnitud de aceleración g hacia el suelo, aunque en este caso

estamos considerando solamente la magnitud de la aceleración y una descripción vectorial

completa del problema debe tener en cuenta la dirección de la aceleración.

La fuerza normal

Definimos la fuerza normal como aquella que ejerce una superficie sobre un cuerpo que se

apoya sobre ella. Un cuerpo sigue sintiendo la fuerza de gravedad cuando está sobre una

superficie, entonces el hecho de que esté en reposo implica que hay una fuerza de sentido

contrario que ejerce la superficie sobre el cuerpo para evitar que éste se mueva, esta es la

fuerza normal. Esta fuerza se denotará también igual que en la mayoría de textos con una

letra mayúscula N. A diferencia del peso, que siempre es perpendicular al suelo, la fuerza

normal siempre es perpendicular a la superficie sobre la que se encuentre el objeto, lo cual

se ilustra en la siguiente figura:

Física mecánica

112

Figura 4.3 El peso y la fuerza normal

En la figura 4.3 se ilustran las dos primeras fuerzas que hemos descrito, para una superficie

horizontal y para un plano inclinado un ángulo α, pero no se han hecho análisis de fuerzas,

para esto esperaremos a que hayamos descrito un poco más este paso, que es necesario en

la solución detallada de cualquier problema de dinámica. Note en la figura de la derecha

como la fuerza normal en el plano inclinado es perpendicular a la superficie en la que se

apoya el bloque, mientras que el peso se sigue dibujando perpendicular a la superficie

horizontal del suelo. Además se debe recordar que, dado que los cuerpos que estamos

estudiando se consideran puntuales, las fuerzas se deben dibujar siempre actuando sobre el

centro de masa del objeto. Por ahora podemos asumir el centro de masa de los cuerpos

como su centro geométrico, pero más adelante se explicará la forma como se calculan las

coordenadas de centro de masa de un cuerpo. También debemos recordar que la geometría

y volumen completos del cuerpo se considerarán en el último capítulo correspondiente a

dinámica del cuerpo rígido, en el cual se introducen los efectos rotacionales debidos a la

distribución de la masa de los cuerpos. Así que, por ahora no tendremos en cuenta los

posibles efectos rotacionales que introducen las fuerzas. En la sección siguiente se

explican los diagramas de fuerzas para los cuerpos en estudio.

Fuerza de fricción

Ésta también es llamada fuerza de rozamiento. Cuando le damos un empujón a un cuerpo

y le dotamos de una velocidad inicial, para que se deslice por una superficie, este se va

frenando poco a poco hasta que se detiene, esto significa que hay una fuerza que lo está

desacelerando, pues le está disminuyendo su velocidad, esta fuerza es la fricción. La

fuerza de rozamiento se origina en las rugosidades microscópicas de las superficies en

N

W α

N

W

Física mecánica

113

contacto dependiendo además, entre muchos otros factores como: la humedad del

ambiente, la temperatura, la composición química de los cuerpos, etc.

Figura 4.4 Vista microscópica de las rugosidades de las superficies en contacto

En la figura 4.4 se observa una vista microscópica de la región de contacto entre la

superficie de apoyo y la superficie inferior de un bloque, en la cual se nota que las

rugosidades juegan un papel importante en la fuerza de fricción, de la cual también puede

decirse que es un efecto estadístico de sumar una gran cantidad de fuerzas microscópicas

presentes.

A través de la experimentación se sabe que la magnitud de la fuerza de fricción es

proporcional a la magnitud de la fuerza normal que ejerce la superficie. A la constante de

proporcionalidad se le llama coeficiente de fricción y se denota por la letra griega μ (se lee:

mu). Por lo tanto, la magnitud de la fuerza de fricción se expresa como:

(4.19)

El coeficiente de fricción no tiene unidades por ser una constante de proporcionalidad entre

dos fuerzas. Cuando el cuerpo está quieto sobre la superficie se dice que el coeficiente de

fricción es estático y se denota por μe . Cuando el cuerpo se está moviendo con rapidez

constante se habla de coeficiente de fricción cinético y se denota por μk . Finalmente,

cuando el cuerpo se está moviendo con aceleración constante se dice que la fricción es

dinámica y el coeficiente se denota por μd . En muchos casos estáticos y dinámicos que

vamos a estudiar, se incurre en un abuso de lenguaje al omitir el índice del coeficiente de

NFf

Física mecánica

114

fricción, pero se supone que se tiene la suficiente claridad para que ello no obstaculice la

solución.

Figura 4.5 La fuerza de fricción se opone a la dirección de movimiento

La fuerza de fricción actúa entre las dos superficies y debería dibujarse aplicada en la parte

inferior del bloque, pero dado que el cuerpo en estudio es considerado puntual, al hacer un

diagrama de fuerzas aplicadas al objeto deben dibujarse todas las fuerzas aplicadas al

centro de masa. En la figura 4.5 ilustramos el caso en que se aplica una fuerza horizontal F

a un bloque sobre una superficie rugosa y podemos ver que la dirección en la que se dibuja

la fuerza de fricción es opuesta a la dirección de F. En adelante hay que tener en cuenta

que la fuerza de fricción siempre se debe dibujar contraria a la dirección de movimiento de

un bloque o a su posible dirección de movimiento. Sin embargo, veremos por ejemplo

como al tratar el problema del rodamiento hay que analizar otros aspectos de la fricción

relacionados con el torque, por lo cual esperaremos hasta el capítulo de dinámica del

cuerpo rígido de este libro para retomar la discusión acerca de la dirección de la fuerza de

fricción.

Si un cuerpo está en reposo sobre una superficie que le presenta fricción e intentamos

empujarlo iniciando con una fuerza horizontal F (ver figura 4.5) de poca intensidad y la

vamos aumentando gradualmente, encontraremos que el cuerpo seguirá en reposo hasta

que la intensidad de la fuerza aplicada sea suficiente para sacarlo de su estado de reposo y

ponerlo en movimiento. Durante el tiempo en que la fuerza aplicada no es suficiente para

moverlo, la fuerza de fricción es estática y tan pronto comience a moverse, la fuerza de

fricción estará determinada por el coeficiente de fricción cinético o dinámico, según sea el

caso. A medida que aumenta la fuerza F, también va aumentando la fuerza de rozamiento

N

W

Ff F

Física mecánica

115

estática Fe hasta que alcanza un valor límite en el momento en que el bloque se empiece a

mover, en este preciso momento, la fuerza de fricción estática es

(4.20)

Pero mientras que la fuerza de fricción estática Fe no alcance este valor límite no se escribe

de esta manera. Entonces la fuerza de fricción estática, obedece en general la relación

(4.21)

Los experimentos también han mostrado que el coeficiente de fricción estático es más alto

que el cinético, es decir que se necesita menos fuerza para mantenerlo en movimiento que

para sacarlo de su estado de reposo. En algunas situaciones, la fuerza de fricción es

compleja de describir, en muchos casos por ejemplo, aparece un término que es

proporcional a la velocidad, pero nosotros no vamos a considerar este tipo de fuerzas. En

el planteamiento de la dinámica de fuerzas que afectan un cuerpo escribiremos siempre la

fuerza de fricción como en la ecuación (4.19), es decir, como el producto de un coeficiente

por la fuerza normal, aunque para el caso estático hay que recordar que sólo se escribe así

en el caso límite expuesto. Esta fuerza está presente en casi todos los sistemas físicos

reales y aunque el tratamiento que hacemos en este libro es apenas una aproximación, nos

permite estudiar algunos aspectos básicos del fenómeno de la fricción. Un tratamiento más

exacto y elaborado está por fuera de los objetivos de este libro.

Podemos caminar gracias a la fricción, pues al movernos hacia adelante “empujamos el

suelo hacia atrás” y la respuesta de éste es la fuerza de fricción, que apunta hacia adelante

y no permite que resbalemos. Cuando uno se para sobre una superficie muy resbalosa,

como un piso enjabonado, experimenta la dificultad para avanzar horizontalmente, esto es

debido a la escasa fuerza de fricción estática. Aunque describir completamente el acto de

caminar en términos de ecuaciones y principios físicos es más complejo, puede entenderse

inicialmente en forma simple en términos de estas dos fuerzas. Puede darse una discusión

amplia del proceso físico de caminar, comenzando por preguntar ¿porqué se había dicho en

un párrafo anterior que la fuerza de fricción siempre apunta en sentido opuesto al

movimiento, pero vemos que al caminar el movimiento es en la misma dirección que la

fuerza de fricción?. Esta discusión se deja como ejercicio al lector, con la certeza de que

NF ee

NF ee

Física mecánica

116

encontrará la respuesta razonando en términos de las primeras leyes del movimiento que

hemos expuesto.

La tensión

En ocasiones las fuerzas se ejercen a través de cuerdas, tal como se ilustra en la figura 4.6,

en la que dos cuerdas suspendidas del techo se unen a una tercera de la que cuelga una

masa m. Las cuerdas usadas para transmitir esfuerzos son llamadas ideales cuando se

consideran sin masa e inextensibles, es decir, no se estiran ni se encogen. El hecho de que

no tengan masa, nos permite decir que la única función de una cuerda ideal es transmitir

esfuerzos, pero no hay que hacer sumatoria de fuerzas para ella.

Figura 4.6 Bloque de masa m suspendido por cuerdas ideales.

Las tensiones se denotarán en la mayoría de casos por una letra T, seguida de un índice

para diferenciarla cuando haya más de una como en la figura 4.6. En este caso hay que

hacer un análisis de fuerzas para la masa y otro para el punto donde se unen las tres

cuerdas, en el cual se deben equilibrar las tres tensiones. También puede analizarse el

punto donde la cuerda está atada al techo, pero en muchos casos no se hace. En la

siguiente sección, se hará el análisis de fuerzas para este problema, encontrando

algebraicamente la magnitud de las tensiones en función de la masa y los ángulos.

T1

θ

m

T2

T3

φ

Física mecánica

117

Diagrama de fuerzas

Caso estático

Figura 4.7 Diagrama de fuerzas

En este primer ejemplo se analizan las fuerzas en un caso estático, en el cual la sumatoria

de fuerzas es cero, al igual que el ilustrado en las figuras 4.5 y 4.6. Un diagrama de

fuerzas en un plano xy para un cuerpo debe incluir todas las fuerzas que actúan sobre él, sin

olvidar que seguimos considerándolo puntual, por lo cual todas las fuerzas se dibujan

aplicadas a su centro de masa. El diagrama de fuerzas mostrado en la figura 4.7

corresponde a la situación planteada en la figura 4.5, y ahora retomamos el razonamiento

acerca de la fuerza aplicada F.

En el caso en que la fuerza F no alcanza a sacar al bloque de su estado de reposo, la fuerza

de fricción estática también se dibuja opuesta a F, puesto que es precisamente la fuerza Fe

la que se equilibra con F para mantener en reposo al bloque en dirección horizontal,

entonces, observando la figura 4.7, podemos escribir la sumatoria de las fuerzas en

dirección x, en forma escalar, como:

(4.22)

Note que en esta expresión hemos tomado sólo las magnitudes de las fuerzas en dirección

x, puesto que nos interesa usar el hecho de que la suma de componentes en esa dirección es

eeex FFFFFFF 00

N

W

Ff F

y

x

Física mecánica

118

cero por estar en reposo. La oposición de las fuerzas se expresa por medio del signo de

cada fuerza en la sumatoria.

En el caso límite en que el bloque está a punto de moverse se cumple que la fuerza de

fricción estática Fe es igual al coeficiente de fricción estático por la normal

(4.23)

Si aplicamos la misma condición de equilibrio para el bloque de la figura 4.5 en la

dirección vertical, la expresión será:

(4.24)

Por lo cual escribimos

(4.25)

Y al sustituir la ecuación (4.25) en (4.23), encontramos que el valor de la fuerza F

necesaria para sacar el bloque del reposo y ponerlo en movimiento está dado por:

(4.26)

En adelante resolveremos los problemas apelando a las condiciones dinámicas del cuerpo o

a sus condiciones de equilibrio. La sumatoria de fuerzas puede conducir a una aceleración

diferente de cero en las dos direcciones que se analizan; puede ser cero en una o dirección

mientras en la otra presente aceleración, o puede ser cero en ambas como en el ejemplo

estático que se acaba de ilustrar, pero en todos los casos se analizarán las componentes

escalares de las fuerzas en cada dirección por separado.

Abordaremos ahora el problema de calcular las tensiones del sistema planteado en la figura

4.6.

0 WNFy

NF

FF

e

e

gmWN

gmF e

Física mecánica

119

El diagrama de fuerzas para la masa se realiza sólo en dirección vertical, puesto que sobre

ella no hay ninguna fuerza horizontal aplicada, y se ilustra en la figura 4.8.a. La sumatoria

de fuerzas en dirección vertical para la masa es:

(4.27)

Por lo cual podemos saber el valor de la tensión T3, como

(4.28)

Figura 4.8 Diagrama de fuerzas para el bloque y para el punto de unión de las cuerdas

Ahora vamos a calcular las magnitudes de las otras dos tensiones, para lo cual se dibuja un

diagrama de fuerzas para el punto donde se unen las tres cuerdas, ilustrado en la figura

T1

θ

m

T2

T3

φ

03 mgTFy

mgT 3

T1

θ

T2

T3

φ

y

x T1x

T1y

T2x

T2y

b)

m

y

T3

mg

a)

Física mecánica

120

4.8.b, donde se ilustran además las componentes de las dos tensiones en las direcciones de

los ejes.

La sumatoria de fuerzas en dirección horizontal es

(4.29)

De donde se establece la relación entre las tensiones T1 y T2.

(4.30)

La sumatoria de fuerzas en dirección vertical es

(4.31)

Reemplazamos (4.28) y (4.30) en (4.31)

(4.32)

De donde se obtiene le valor para la tensión T1 , en función de los ángulos, la masa y g,

(4.33)

Sustituyendo este valor en la ecuación (4.30) hallamos finalmente el valor de T2

(4.34)

A resolver cualquier problema de física, es recomendable encontrar una solución

algebraica en términos de los términos que se conocen. En este caso se suponen conocidos

01212 CosTCosTTTF xxx

12 TCos

CosT

0312312 TSenTSenTTTTF yyy

011

mgSenTSenT

Cos

Cos

SenCosTan

mgT

mgSenCosTanT

1

1 0

SenCosTanCos

CosmgT

2

Física mecánica

121

los ángulos, la masa y la gravedad g. En adelante no recordaremos que el valor de g se

supone conocido, esto se asumirá en el resto del libro.

Caso acelerado

Cuando en un problema se presenta aceleración en alguna dirección y no hay variaciones

en las masas involucradas, escribimos la suma de fuerzas en esa dirección como lo dice la

segunda ley en la ecuación (4.11), pero teniendo en cuenta que al analizar cada dirección

se hace un tratamiento escalar. En este primer caso acelerado que vamos a analizar,

tenemos un bloque de masa m sobre una superficie inclinada un ángulo β, atado por medio

de una cuerda ideal, que pasa por una polea ideal, a otro bloque de masa M, tal como se ve

en la figura 4.9.

Figura 4.9 Primer ejercicio con masas aceleradas.

Note que se está dibujando un perfil transversal de la situación física, puesto que no se ve

la profundidad de los elementos involucrados. Decimos que una polea es ideal cuando se

considera que no tiene masa y que no presenta ninguna fricción en su eje, por lo cual

tampoco se analizan fuerzas sobre una polea ideal. Además es importante notar que una

cuerda ideal al pasar por una polea ideal, como en este caso, tampoco presenta desgaste por

fricción, así que podemos asumir que la cuerda siempre está haciendo rotar la polea y no se

desliza sobre ella. En algunos casos es importante calcular la fuerza de reacción en la

polea, en estos casos se deben tener en cuenta dos fuerzas de reacción en el eje y se deben

sumar también las tensiones actuando tangencialmente sobre los bordes de la polea.

Consideremos inicialmente que no hay rozamiento entre la superficie inclinada y el bloque

y también que el bloque de masa M desciende mientras que el bloque de masa m asciende

por el plano. En las gráficas se ilustra la dirección de movimiento de las masas con una

m

β

M

Física mecánica

122

flecha gruesa. Al solucionar este problema también asumiremos que se conocen las masas

y el ángulo β. En este caso nos interesa calcular la tensión T en la cuerda y la aceleración

de los bloques. Es muy importante recalcar que, en adelante, al escribir la sumatoria de

fuerzas en cada dirección para cada masa, se asumirá como positiva la dirección en la cual

se presenta la aceleración. Esto no es más que una convención para escribir como

positivas las fuerzas que tienen la dirección en la que se acelera un cuerpo y como

negativas las fuerzas que apuntan en sentido contrario, de manera que la aceleración

siempre se tome como positiva en la segunda ley de Newton. Según esto, para la masa m,

observamos el diagrama de fuerzas en la figura 4.10.a y tenemos las sumatorias de fuerzas

en ambas direcciones dadas por:

(4.35)

(4.36)

Figura 4.10 Diagramas de fuerzas.

Vemos en la figura 4.10.a que en este caso los ejes coordenados para la masa m se han

rotado el mismo ángulo β de inclinación del plano. Esto es aconsejable hacerlo puesto que

así sólo hay que descomponer vectorialmente el peso, mientras las fuerzas N y T quedan

sobre los ejes y no hay que descomponerlas. En la mayoría de situaciones físicas que

0

CosmgNF

amSenmgTF

y

x

Mg

b)

mg Senβ

β

y

x

T

N

mg Cosβ

mg

a)

y

T

Física mecánica

123

vamos a considerar con planos inclinados, el peso se descompondrá de esta forma, con una

componente paralela al plano inclinado y otra perpendicular a éste.

Para la masa M, el diagrama de fuerzas se ilustra en la figura 4.10.b, y la segunda ley

conduce a la ecuación

(4.37)

Despejando la tensión de (4.36) y sustituyéndola en (4.37) se obtiene

(4.38)

(4.39)

De donde se despeja la aceleración:

(4.40)

Al sustituir esta aceleración en la tensión despejada en la ecuación (4.38) se obtiene

(4.41)

Un poco de álgebra, que puede ser desarrollada por el lector, conduce a

(4.42)

Hemos encontrado entonces la aceleración del sistema y la tensión en la cuerda en función

de las masas y el ángulo β. Note como la tensión en la cuerda aumenta con el ángulo β

mientras que la aceleración disminuye con éste. El caso en que se presenta fricción

aMTMgF

MamgSenmaMg

mgSenamT

)(

mgSenMgmaMaMamgSenmaMg

mgSenmM

mSenMgmT

mM

SenmMgT

1

mM

mSenMga

Física mecánica

124

dinámica entre la masa m y la superficie se deja como ejercicio al lector, para lo cual debe

incluir la fuerza de fricción en el diagrama de fuerzas de la figura 4.10, apuntando ésta en

la dirección negativa del eje x.

Ejemplo 4.4

Un bloque de masa m1 se encuentra sobre una mesa que presenta un coeficiente de fricción

dinámico µd, y está atado a una masa m2 por medio de una cuerda ideal, que pasa por una

polea sin masa ni fricción en su eje, tal como se ve en la figura 4.11.

Figura 4.11. Mesa con fricción

Queremos calcular la tensión en la cuerda y la aceleración del sistema en función de las

masas y del coeficiente de fricción dinámico µd. Los diagramas de fuerzas para las dos

masas se presentan en la figura 4.12.a y 4.12.b

Figura 4.12 Diagramas de fuerzas.

m1

m2

m2g

b)

Ff

y

x T

N

m1g

a)

y

T

Física mecánica

125

Las sumatorias de fuerzas para la masa m1 son:

(4.43)

(4.44)

De la ecuación (4.44) se obtiene N y se sustituye en la fuerza de fricción dinámica en

(4.33), para obtener:

(4.45)

El diagrama de fuerzas para la masa m2, ilustrado en la figura 4.12.b conduce a:

(4.46)

Si despejamos la tensión en (4.45) y en (4.46), y las igualamos hallamos la aceleración

(4.47)

Para hallar la tensión se sustituye esta aceleración en cualquiera de las dos ecuaciones

donde se despejó la tensión. El trabajo algebraico se deja como ejercicio al lector.

amFTF fx 1

amgmT

amNTFTgmNgmN

d

df

11

111 0

amTgm 22

21

12

2112

1122

1122

mm

mmga

amamgmgm

gmamamgm

gmamTyamgmT

d

d

d

d

01 gmNFy

Física mecánica

126

(4.48)

Ejemplo 4.5. La máquina de Atwood

Figura 4.13 Máquina de Atwood.

En ocasiones, para elevar una masa m1 a una determinada altura, se usa una polea y un

contrapeso de masa m2. Este montaje se observa en la figura 4.13, y es conocido como la

máquina de Atwood, en el cual supondremos que la polea y las cuerdas son ideales. Los

diagramas de fuerzas para las dos masas se aprecian en la figura 4.14.

Figura 4.14. Diagramas de fuerza para la máquina de Atwood

21

21

1

mmgmmT d

m1

m2

b)

y

T

m1g

a)

y

T

m2g

Física mecánica

127

Recuerde que las flechas gruesas nos indican las direcciones en las que la aceleración es

positiva para ambas masas. Note que la tensión es la misma a ambos lados de la polea, lo

cual se debe a que ésta no tiene masa, pero más adelante cuando esta masa se considere, las

tensiones a ambos lados de la polea serán diferentes y habrá que calcular cada una por

separado. La segunda ley aplicada a la masa m1 nos conduce a la siguiente ecuación,

(4.49)

Para la masa m2, la sumatoria de fuerzas es:

(4.50)

Las ecuaciones (4.49) y (4.50) se resuelven para darnos la aceleración y la tensión

(4.51)

(4.52)

De nuevo se deja el álgebra como ejercicio al lector. Este problema puede tratarse también

considerando la conservación de la energía, en el siguiente capítulo. Además cuando se

tengan los elementos que se aprenderán en el capítulo de cuerpo rígido, podremos resolver

el problema considerando la masa de la polea y la forma en que afecta la dinámica de las

masas y las tensiones en las cuerdas.

amgmTF 11

amTgmF 22

amgmTyamgmT 2211

21

21

21

12

2211

2

mm

gmmT

mm

mmga

amgmamgm

Física mecánica

128

Aplicaciones de las Leyes de Newton

Vamos a aplicar las leyes de Newton a la solución de algunos problemas y a plantear

algunas máquinas simples que ayudan a reducir la fuerza necesaria para realizar alguna

tarea, como en el primer ejemplo que veremos a continuación.

Ejemplo 4.5. La polea móvil

En la figura 4.15 vemos un sistema conformado una polea móvil y una polea fija que

sirven para disminuir la fuerza necesaria para levantar una masa M. Vamos a calcular la

fuerza necesaria para elevar la masa M con rapidez constante, para lo cual primero es

necesario hablar de lo que le ocurre a la tensión que soporta a la masa M, pues vemos que

la cuerda está sujeta al eje de la polea P2, la cual se mueve hacia arriba junto con la masa

M cuando se aplica la fuerza F apropiada. Inicialmente denominamos T1 y T2 a las

tensiones como se indica en la figura, donde hay que notar que, dado que las poleas son

ideales, la tensión en la cuerda que sostiene a la polea móvil es la misma en cualquier parte

que se la tome.

Figura 4.15 Poleas anidadas.

F

M

P1

P2

T1

T2

T1 T1

Física mecánica

129

Si imaginamos la polea móvil P2 como un punto en el cual convergen las tensiones,

podemos dibujar el diagrama de fuerzas ilustrado en la figura 4.16. El equilibrio de

fuerzas para este punto que se mueve con velocidad constante nos conduce a

(4.53)

En adelante se usará esta convención frecuentemente, cada que aparezca una polea móvil,

y se considere ideal la polea servirá para dividir la tensión T en dos tensiones de magnitud

T/2.

Figura 4.16 Diagrama de fuerzas para la polea móvil.

Del análisis de fuerzas sobre la masa M se obtiene que la tensión T2 es igual al peso Mg y

además, la tensión T1 es igual a la fuerza F, por lo tanto:

(4.54)

Esta es la fuerza necesaria para hacer ascender la masa M a rapidez constante. En este caso

vemos que en vez de la fuerza F podemos usar el peso de una masa igual a M/2. En el caso

y

T1

T2

T1

21

21

211

2

1

2

0

TT

TT

TTTF

22

121

MgTTF

Física mecánica

130

en que usamos una masa m para hacer que el sistema acelere a la masa M hacia arriba (ver

figura 4.16.a), al hacer el análisis de fuerzas se encuentra que la masa m debe ser mayor

que M/2. Es decir, la condición que debe cumplir el sistema para que la masa m se acelere

hacia abajo y la masa M se acelere hacia arriba es m > M/2. Probar esto es tarea del lector,

para lo cual, al hacer la sumatoria de fuerzas para las masas se debe tener en cuenta las

direcciones de movimiento deseadas.

Las aceleraciones de las dos masas cumplen una relación que vamos a deducir enseguida.

Supongamos que la masa M es acelerada hacia arriba con una magnitud de aceleración a

mientras sube una distancia Δy, en tanto que la masa m es acelerada hacia abajo con una

magnitud de aceleración a’.

Figura 4.17 Movimiento de una polea móvil.

Si nos fijamos en la figura 4.16.b, notamos que la polea móvil se mueve exactamente la

misma distancia que se mueva la masa M. Note que cuando la polea móvil se haya movido

una distancia Δy hacia arriba y se encuentre en la posición punteada toda la cuerda a sus

dos lados debe haber pasado al otro lado respecto a la polea P1, por lo tanto, la masa m va a

bajar exactamente la distancia 2Δy.

M

m

Δy

Δy

Δy

2Δy

m

M

P1

P2

T1

T2

T1 T1

a) b)

Física mecánica

131

Suponiendo movimientos independientes para ambas masas, pero ambos en el mismo

tiempo t, con sus velocidades iniciales en cero, sus ecuaciones cinemáticas serán

(4.55)

Resolviendo este sistema se encuentra que

(4.56)

Esta es otra característica de una polea móvil, que puede usarse en caso de ser necesaria

dado que ya la hemos probado. Queda pues, como ejercicio para el lector, la prueba de que

para conseguir que la aceleración sea positiva en este sentido, las masas deben cumplir la

condición m > M/2.

Ejemplo 4.6

Dos masas están atadas como se ilustra en la figura 4.18, en la cual la polea y las cuerdas

son ideales. Vamos a suponer que las superficies no ofrecen rozamiento y que la dirección

de movimiento es la que señalan las flechas gruesas.

Figura 4.18 Sistema de masas en planos sin fricción.

Este dispositivo puede usarse para elevar una masa, en este caso m2, usando un plano y otra

masa de menor magnitud, suponiendo que se consiga una superficie suficientemente lisa.

Vamos a calcular la aceleración del sistema y la tensión en la cuerda y vamos a determinar

22 '2

12

2

1tayyaty

aa 2'

β θ

m1

m2

Física mecánica

132

cual condición deben cumplir las masas y los ángulos de inclinación de los planos para que

el movimiento sea el señalado por las flechas gruesas en la figura 4.18. A continuación se

dibujarán los diagramas de fuerzas para m1 y m2 en la figura 4.19. Para la masa m1

tenemos las siguientes ecuaciones:

(4.57)

Figura 4.19 Diagrama de fuerzas para el sistema de masas en planos inclinados

Para la masa m2 se tienen las ecuaciones:

(4.58)

En este caso las sumatorias de fuerzas en dirección y no son útiles para nuestros cálculos,

por eso sólo se numeran las ecuaciones en dirección x. Si sumamos las ecuaciones (4.57) y

(4.58), eliminamos la tensión y encontramos el valor de la aceleración, lo cual se escribe a

continuación:

b) a)

m2gSenβ

β

y

x

T

N2

m2gCosβ

m2g

m1gSenβ

θ

y

x

T

N1

m1gCosβ

m1g

amTSengmF

CosgmNF

x

y

11

11 0

amSengmTF

CosgmNF

x

y

22

22 0

Física mecánica

133

(4.59)

El lector puede verificar que haciendo la sustitución de esta aceleración en cualquiera de

las ecuaciones (4.57) o (4.58), se halla la tensión como:

(4.60)

A partir de la ecuación (4.59) podemos ver que, para que esta aceleración sea positiva se

debe cumplir la condición

(4.61)

Si el sistema se diseña de tal manera que se cumpla la condición (4.61), entonces puede

usarse como una máquina simple. Por ejemplo, para este sistema libre de fricción, usando

los valores θ = 80°, β = 10°, m1 = 20 kg, podemos mover bloques de una masa m2 un poco

superior a los 110 kg. En el caso en que cada plano tenga su propio coeficiente de fricción,

la eficiencia de esta máquina puede disminuir. Se deja al lector el ejercicio de encontrar la

relación que deben cumplir las masas, los ángulos y los coeficientes de fricción para que la

aceleración sea positiva en el mismo sentido planteado, es decir, que la masa m1 arrastre a

la masa m2 hacia arriba por la pendiente.

21

21

2121

22

11

mm

SenmSenmga

amamSengmSengm

amSengmT

amTSengm

21

21mm

SenSengmmT

SenmSenm

SenmSenm

21

21 0

Física mecánica

134

Dinámica del movimiento curvilíneo

Dado que hay dos componentes de aceleración, como se vio en el capítulo de cinemática,

esto significa que también hay dos componentes de fuerza, una radial y otra tangencial,

cada una de ellas responsable de sendas aceleraciones. Esto se ilustra en la figura 4.20.

Aunque en un movimiento curvilíneo pueden presentarse estas dos componentes, por

simplicidad vamos a atacar sólo situaciones en las cuales un cuerpo en movimiento circular

tiene rapidez tangencial constante, para lo cual debemos ilustrar siempre la dirección radial

en el movimiento en los diagramas de fuerzas.

Figura 4.20 fuerzas y movimiento curvilíneo

A la componente radial de la fuerza también se le llama fuerza radial o fuerza centrípeta al

igual que la aceleración. Cuando se trata de una sola fuerza actuando en la dirección

radial, se escribe la relación expresada en la ecuación (4.62) para esta fuerza. Si se

presentan varias fuerzas en dirección radial se escribe la suma de fuerzas en dirección

radial en lugar de una sola fuerza.

(4.62)

Veamos algunos casos en los está involucrada la fuerza centrípeta. En el primer ejemplo

estudiaremos la forma en que los ingenieros que diseñan vías deben calcular el peralte o

ángulo de inclinación que ayude a mantener a los vehículos en las carreteras o en las

a

ra Ta

F

TF rF

r

vmmaF rr

2

Física mecánica

135

carrileras. En el segundo ejemplo ilustramos un caso en el que se presentan varias fuerzas

en dirección radial.

Ejemplo 4.11. El peralte

Las vías de ferrocarril y las carreteras tienen un pequeño ángulo α de inclinación lateral

hacia el centro en las curvas con el fin de producir la fuerza centrípeta necesaria para que el

vehículo se mueva más fácilmente a lo largo de la curva, llamado peralte. En la siguiente

figura ilustramos una vista aérea de un camión en una curva de una autopista. Note la

dirección de la velocidad instantánea perpendicular a la dirección radial del movimiento.

Si tomamos un plano perpendicular a la superficie ilustrada veremos la parte de atrás del

camión, lo cual se lustra en la figura posterior, donde se dibuja además el diagrama de

fuerzas para el camión en términos de su dirección radial y la dirección vertical, que resulta

siendo la del vector perpendicular al plano del primer dibujo.

Figura 4.21 Vista aérea de un camión en la curva de una autopista

La fuerza normal es siempre perpendicular a la superficie, y en este caso hace un ángulo α

con la vertical. Su componente en la dirección y, Ny, se equilibra con el peso, mientras que

su componente Nx, es la única fuerza en la dirección radial, por lo tanto es responsable de

la aceleración centrípeta.

Dirección radial

Velocidad

Física mecánica

136

Figura 4.22 Vista transversal del camión en la curva

La sumatoria de fuerzas en dirección radial nos conduce a:

Igualando los valores de N encontrados hallamos el ángulo α

α

α

N

y

Dirección radial

Ny

Nx

W

Dirección de la velocidad

Cos

mgN

mgNCos

mgNmgNF yyy

0

r

vmNSen

r

vmmaNF rrr

2

2

rSen

mvN

2

Física mecánica

137

(4.63)

Al construir una vía, los ingenieros tienen en cuenta el radio de curvatura r, y suponen una

velocidad promedio a la que un automóvil tomará la curva, luego obtienen el ángulo

apropiado para el peralte a través de la ecuación (4.63). Para velocidades ligeramente

mayores o menores, la fricción entre las llantas y el asfalto proporciona la fuerza necesaria

para equilibrar al auto y mantenerlo en la vía, pero a velocidades muy altas estas fuerzas no

serán suficientes y el auto tenderá a salirse de la curva o a voltearse.

Ejemplo 4.12

Figura 4.23 Bloque dentro de un cono invertido

Un bloque pequeño de masa m se encuentra dentro de un con un ángulo de apertura β, que

gira sobre su eje vertical, tal como se ilustra en la figura 4.23. El coeficiente de fricción

estático entre el bloque y la superficie es µe. Encuentre la frecuencia angular de rotación

máxima necesaria para mantener el bloque a una altura h en función del ángulo, la altura h

y el coeficiente de fricción µe.

m

h

Eje de rotación

rg

vTan

rg

vTan

rSen

mv

Cos

mg

21

2

2

Física mecánica

138

En la figura 4.24 se ilustra el diagrama de fuerzas para el bloque, en el cual hay que notar

que la fuerza de fricción se dibuja hacia abajo porque el problema pregunta por la máxima

fuerza de fricción, es decir que la fricción debe evitar que la masa escape hacia arriba

cuando la velocidad de rotación sea muy alta.

Figura 4.24 Diagrama de fuerzas para el bloque dentro del cono invertido

La suma de fuerzas en dirección vertical nos conduce a:

Teniendo en cuenta que estamos en el caso límite, podemos escribir la fuerza de fricción

como en la ecuación (4.20), por lo tanto:

(4.64)

β

y

Dirección radial

N

Ny

Ff

mg

β

Nr

Ff y

Ff r

0

0

mgCosFNSen

mgFNF

f

yfyy

CosSen

mgN

mgNCosNSen

e

e

0

Física mecánica

139

Por otro lado, la sumatoria de fuerzas en dirección radial nos lleva a

(4.65)

Igualando los valores de N encontrados en (4.64) y (4.65)

Donde se tiene en cuenta que 𝑟 = 𝑕𝑇𝑎𝑛𝛽, lo cual puede verse en la figura 4.23. Entonces

la velocidad angular buscada es:

SenCos

mrN

mrNSenNCosmrSenFNCos

mrFNF

e

ef

rfxr

2

22

2

SenCos

mr

CosSen

mg

ee

2

CosSenhTan

SenCosg

e

e

Física mecánica

140

Ejercicios

1) Determine la tensión en cada una de las cuerdas para los sistemas descritos en la figura.

(Desprecie la masa de las cuerdas.)

2) Los sistemas que se muestran en las figuras están en equilibrio. En ambos casos tienen

un dinamómetro que mide la tensión en la cuerda en Newtons, ¿cuál es la lectura en el

dinamómetro en cada caso?. Desprecie la masa de las poleas. Los dinamómetros y las

cuerdas, y suponga que el plano inclinado es liso.

3) Un bloque resbala hacia abajo de un plano inclinado que no presenta rozamiento y cuya

inclinación es de 25º. Si el bloque parte del reposo desde la parte superior del plano y la

longitud del mismo es de 2.4 m, calcule a) la aceleración del bloque y b) su rapidez cuando

llega a la parte inferior.

4) Dos masas, 𝑚1 y 𝑚2, situadas sobre una superficie horizontal y sin fricción, se

conectan por medio de una cuerda ideal. Sobre la masa de la derecha se ejerce una fuerza,

T1

θ=38°

m=9kg

T2

T3

φ=60°

(a) (b)

T1

T2

m=13kg

T3

β=65°

8 kg

30°

b)

5 kg

a)

5 kg

Física mecánica

141

F, hacia la derecha. Determine la aceleración del sistema y la tensión T en la cuerda que

conecta las masas.

5) Un pequeño bloque de 2 kg de masa está dentro de un cilindro vacío de 0.82 m de radio,

que gira sobre su eje vertical. El coeficiente de fricción estática entre el objeto y la pared

del cilindro es µe = 0.16. Calcule el máximo período de rotación, que evitaría que la masa

caiga o se deslice por la pared del cilindro.

6) Un par de masas m1 y m2 se encuentran dispuestas sobre un pequeño carro de masa M,

como se ve en la siguiente figura. No se presenta fricción entre el piso y las ruedas del

carrito, el cual tampoco presenta fricción en sus ejes. Entre la masa m1 y la superficie del

carro se presenta un coeficiente de fricción estático µe. ¿Qué fuerza horizontal F debe

aplicarse al carro de la figura para que los bloques permanezcan estacionarios respecto al

mismo?. Suponga que la polea y la cuerda son ideales.

m1 m2

F

N

Ff

W

m1

m2 F

M

Física mecánica

142

7) En el ejemplo 4.12 se calculó la velocidad angular máxima a la que debe rotar un cono

para evitar que un bloque en su interior se deslice. Para este mismo problema, calcule la

velocidad angular mínima de rotación, que mantenga la masa a la altura h constante como

se ve en la figura 4.23, en términos de los mismos parámetros.

8) Un bloque de 1 kg comienza a deslizarse a partir del reposo, sobre un plano inclinado

un ángulo de 20º. Si el coeficiente de fricción dinámico es 0,3. ¿En cuánto tiempo recorre

el bloque una distancia de 1 m?

9) Un bloque de 10 kg de masa descansa sobre una superficie, como se ilustra en las

siguientes figuras. Calcule el valor de la aceleración en cada caso, si se aplica sobre el

bloque una tensión de 70 N y el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la

superficie es de 0,35.

a) b)

10) Los bloques de masas m1 y m2 están dispuestos como se indica en la siguiente figura.

Suponga que no hay fuerza de rozamiento, y que las poleas y cuerdas son ideales. Si las

masas son m1 = 5 kg y m2 = 3 kg. Calcule la tensión en cada cuerda y la aceleración de

cada uno de los bloques.

θ =45o

T

T

θ

=30o

m1

m2

Física mecánica

143

11) Dos cuerpos se encuentran atados como lo indica la siguiente figura. Entre la

superficie y la masa m1 se presenta fricción dinámica con coeficiente . Encuentre las

aceleraciones y las tensiones en las cuerdas en función de las masas, la gravedad, el ángulo

de inclinación y el coeficiente . Considere poleas y cuerdas ideales.

12) Un pequeño objeto de masa m está girando suspendido del techo a través de una

cuerda de longitud L con una velocidad angular constante . Halle el ángulo formado

entre la cuerda y la vertical en función de la masa, el ángulo y la longitud de la cuerda.

Esto es llamado un péndulo cónico.

m1

m2

β

v

L

φ

Física mecánica

144

Física mecánica

145

Capítulo 5

Trabajo y Energía

Nada aparece en el Universo; todo cuanto acontece

en él no pasa de meras transformaciones.

Pitágoras de Samos

Introducción

El concepto de energía, cuando está enmarcado en un contexto cotidiano, es bastante

amplio, se asocia por ejemplo con aquello que nos permite caminar, correr o realizar

cualquier actividad física o mental. En este caso se puede hacer referencia a la energía que

nos suministran los alimentos que consumimos. El término también se ha llegado a usar de

una manera que dista mucho de su sentido físico, sobre todo en la interpretación que le dan

los mentalistas, astrólogos y toda clase de chamanes modernos, quienes usan el lenguaje

científico para aprovecharse de personas incautas o ingenuas, las cuales se dejan

deslumbrar por un discurso seudocientífico. En muchos casos las personas son estafadas, y

esta es una buena razón para que la física básica, y la ciencia básica en general, sean asunto

de interés colectivo.

La energía se define en física como la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un

trabajo y se presenta en diversas formas: calor, movimiento o energía cinética, energía

elástica en un resorte estirado o comprimido, energía eléctrica, etc. Cada una de ellas tiene

la posibilidad de transformarse en cualquiera de las otras, sin embargo, unas formas no se

cambian íntegramente en otras, ya que por lo general se producen algunas disipaciones.

Por ejemplo, los motores de los carros se calientan mucho y disipan gran parte de la

energía producida en la explosión del combustible, en forma de calor. La mayoría de las

veces, cuando se dice que hay pérdidas, se hace referencia a la disipación, es decir a la

Física mecánica

146

conversión de algún tipo de energía en calor. Hay que añadir que todos los procesos

físicos implican algún mecanismo de disipación, por ello se dice que no hay una máquina

cien por ciento eficiente.

Además, todo cuerpo posee en si mismo cierta cantidad de energía latente o potencial, que

sólo se transformará, es decir, se convertirá en cinética o en otra forma de energía, cuando

las condiciones que lo rodean sean favorables para ello. Como ya se dijo, la energía se

presenta de diversas formas y para cada una de ellas hay diferentes variables relacionadas,

por ejemplo, en una cascada, la altura desde la cual cae el agua, es la variable involucrada

en la energía potencial gravitacional; la energía de la corriente eléctrica depende de dos

factores: el voltaje y la intensidad de la corriente; la energía eólica es la asociada con el

viento; la energía nuclear se obtiene en las centrales nucleares a partir del uranio y otras

sustancias radiactivas; el calor es la energía que se transmiten dos cuerpos que están a

diferentes temperaturas: del caliente al frío, etc.

Trabajo realizado por fuerzas constantes y variables

Cuando una persona está sentada realizando cualquier actividad, o mientras camina

llevando entre sus manos un objeto pesado, no está haciendo trabajo. Esta afirmación no

quiere decir que tales actividades no requieren esfuerzo; lo que sucede es que la noción

usual de trabajo que se emplea cotidianamente no coincide con la definición de trabajo en

el contexto de la física. Existen muchas formas de usar la palabra trabajo, por esta razón

es muy importante asignarle un significado preciso y relacionarlo con el concepto de

energía, desde el punto de vista de la ciencia.

Trabajo realizado por una fuerza constante

Considere un bloque que se desplaza cierta distancia sobre una superficie lisa debido a la

aplicación de una fuerza externa 𝐹 , esto es, despreciando la fricción entre el bloque y la

superficie. La fuerza 𝐹 forma un ángulo θ con respecto al vector desplazamiento ∆𝑟 .

Física mecánica

147

Figura 5.1 Trabajo por una fuerza constante

Durante todo el recorrido la fuerza 𝐹 se mantiene constante y el movimiento del bloque es

uniformemente acelerado. El trabajo que realiza la fuerza 𝐹 sobre el bloque que

experimenta un desplazamiento ∆𝑟 , se define como el producto punto o producto escalar

entre la fuerza y el desplazamiento, esto es

𝑊 = 𝐹 . ∆𝑟 = 𝐹∆𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 (5.1)

Recuerde que el producto punto arroja como resultado un escalar, por lo tanto el trabajo es

un escalar cuyas dimensiones o unidades son 𝐹𝐿 = 𝑀𝐿2

𝑇2 , y éstas corresponden a la

misma unidad que la energía en el SI, el Julio (J), es decir, 1𝑘𝑔𝑚2

𝑠2 = 1𝑁𝑚 = 1 𝐽 en el

sistema internacional S.I., 1 Joule es el trabajo que realiza una fuerza de 1 Newton cuando

desplaza 1 metro a una masa de 1kg.

Si la fuerza 𝐹 externa tiene la misma dirección del desplazamiento o trayectoria que

experimenta la partícula debido a dicha fuerza, el ángulo entre ambos vectores mide 0o y

𝑐𝑜𝑠 0 = 1, por lo tanto el producto punto tiene un valor máximo en este caso.

Figura 5.2. Trabajo realizado por una fuerza constante donde 𝐹 y ∆𝑟 son vectores

paralelos.

𝐹 ∆𝒓

∆𝒓

∆𝒓

𝐹

θ ∆𝒓

Física mecánica

148

El trabajo realizado por la fuerza 𝐹 sobre el objeto es:

𝑊 = 𝐹∆𝑟𝑐𝑜𝑠(0) = 𝐹∆𝑟 (5.2)

Si la fuerza aplicada es perpendicular al desplazamiento o trayectoria, el trabajo realizado

por la fuerza es nulo:

𝑊 = 𝐹∆𝑟𝑐𝑜𝑠(90) = 0

Figura 5.3 Trabajo por una fuerza constante donde 𝐹 y ∆𝑟 son perpendiculares

En la figura 5.3, el peso w y la fuerza 𝐹 no hacen trabajo ya que ambos vectores forman un

ángulo de 90o con respecto al vector desplazamiento.

Para un cuerpo que cae por un plano inclinado, la fuerza normal es perpendicular a la

trayectoria, por esta razón la fuerza tampoco hace trabajo sobre el objeto.

Figura 5.4 Trabajo realizado por la fuerza normal en un plano inclinado

N

θ

𝑎

Física mecánica

149

Una fuerza puede efectuar trabajo negativo, esto sucede cuando la medida del ángulo entre

la fuerza aplicada y el vector desplazamiento es mayor que 90° y menor o igual que 180°.

En la figura 5.5 se ilustra el caso en que la fuerza y el desplazamiento son vectores

antiparalelos, esto es, θ=180°:

𝑊 = 𝐹∆𝑟𝑐𝑜𝑠 180 = −𝐹∆𝑟

Figura 5.5 Trabajo por una fuerza constante donde 𝐹 y ∆𝑟 son antiparalelos. La fuerza

que va en sentido contrario del desplazamiento es la fuerza de fricción.

Ejemplo 5.1

1) Calcular el trabajo realizado por una fuerza constante de 10 N, cuyo punto de aplicación

se traslada del punto A al punto B, una distancia de 5 m, si el ángulo entre las direcciones

de la fuerza y del desplazamiento son a) 0º, b) 60º, c) 90º, d) 135º, e) 180º.

Solución

Para calcular dicho trabajo se utilizan los valores ∆𝑟 = 5𝑚, F = 10N, las medidas de los

ángulos y la expresión 5.1:

a)

b)

𝑊 = 10 𝑁 cos 0 5𝑚 = 50 𝐽

∆𝒓

𝐹

A ∆𝒓

B

∆𝒓

𝐹

𝐹

∆𝒓

A ∆𝒓

B

𝑊 = 10 𝑁 cos 60 5𝑚 = 25 𝐽

Física mecánica

150

c)

d)

e)

2) A una partícula se le aplica a una fuerza 𝐹 = (3𝑖 + 𝑗 )𝑁 y efecta un desplazamiento

∆𝑟 = 4𝑖 − 2𝑗 𝑚 en el plano XY. Calcule el trabajo efectuado por dicha fuerza.

Solución

𝑊 = 𝐹 ∙ ∆𝑟 = 3𝑖 + 𝑗 𝑁 ∙ 4𝑖 − 2𝑗 𝑚 = [ 3 4 + 1 (−2)] 𝐽 = 12 − 2 𝐽 = 10 𝐽

3) ¿Cuánto trabajo se efectúa sobre un objeto de masa m cuando se levanta una distancia h

en línea recta?

Solución

Para levantar el objeto se debe aplicar una fuerza en dirección contraria a su peso 𝑚𝑔, y el

desplazamiento h es dirigido hacia arriba.

𝐹 A

∆𝒓

A ∆𝒓

B

𝐹

∆𝒓

A ∆𝒓

B

𝑊 = 10 𝑁 cos 90 5𝑚 = 0

𝑊 = 10 𝑁 cos 180 5𝑚 = −50 𝐽

𝑊 = 10 𝑁 cos 135 5𝑚 = −35.3 𝐽

𝐹 ∆𝒓

A ∆𝒓

B

Física mecánica

151

El trabajo realizado por la fuerza aplicada es 𝑊 = 𝑚𝑔𝑕 cos 0 = 𝑚𝑔𝑕

El trabajo reaizado por el peso es 𝑊 = 𝑚𝑔𝑕 cos 180 = −𝑚𝑔𝑕, ya que el

desplazamiento va en dirección contraria al peso.

4) Calcule el trabajo efectuado por una fuerza 𝐹 = (2𝑖 + 4𝑗 )𝑁 que actúa sobre una

partícula y ésta sufre un desplazamiento ∆𝑟 = −3𝑗 𝑚.

Solución

𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑟 = 2𝑖 + 4𝑗 𝑁 ∙ −3𝑗 𝑚 = 2 0 + 4 −3 𝐽 = −12 𝐽

5) Una partícula que se mueve en le plano XY efectúa un desplazamiento de ∆𝑟 =

3𝑖 + 4𝑗 𝑚 debido a una fuerza 𝐹 = (5𝑖 + 4𝑗 )𝑁.

Solución

a) Calcule la magnitud del desplazamiento y de la fuerza aplicada.

b) Calcule el trabajo efectuado sobre la partícula

c) Calcule la medida del ángulo entre los dos vectores

Solución

a) Magnitud del desplazamiento y de la fuerza:

Inicial

Final

F = mg

w = mg

h

Física mecánica

152

∆𝑟 = 32 + 42 = 5𝑚 𝐹 = 52 + 42 = 6,4𝑁

a) El trabajo efectuado sobre la partícula

𝑊 = 𝐹 . ∆𝑟 = 5𝑖 + 4𝑗 𝑁 ∙ 3𝑖 + 4𝑗 𝑚 = 15 + 16 = 31 𝐽

c) La medida del águlo entre los dos vectores

𝐹 ∆𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 31 ⇒ 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 31

(5)(6,4) = 14,3𝑜

Trabajo por una fuerza variable

La fuerza 𝐹 que actúa sobre un objeto, en algunas ocasiones es una función que depende de

la posición, es decir, la fuerza 𝐹 es variable: aumenta o disminuye de acuerdo a la posición.

Consideremos el caso unidimensional donde la fuerza y el desplazamiento tienen la misma

dirección. La siguiente gráfica plantea una situación general donde la fuerza depende de la

posición:

Figura 5.6 Trabajo realizado por una fuerza variable

Al aumentar los valores de la posición, la fuerza aumenta, por lo tanto el trabajo evaluado

en la posición inicial xo y en la final xf es diferente, no solamente por la variación de la

posición, sino también por que la fuerza varía. En este caso, para calcular el trabajo

efectuado por dicha fuerza, se requiere tomar pequeños desplazamientos ∆x, en donde los

cuales la fuerza aplicada se puede considerar constante.

F(x)

x xo xf

W

F

Física mecánica

153

Figura 5.7 Trabajo para el desplazamiento ∆𝑥1 = 𝑥1 − 𝑥𝑜

El trabajo para el desplazamiento ∆x1 viene dado por:

𝑊 = 𝐹𝑥 ∆𝑥1

Note además que el trabajo para dicho desplazamiento corresponde al área sombreada. Si

vamos a calcular el trabajo total desde la posición inicial xo hasta la posición final xf, éste

se puede obtener en forma aproximada al sumar las áreas correspondientes a cada uno de

los rectángulos comprendidos entre dichas posiciones.

𝑊 ≈ 𝐹 𝑥1∗ ∆𝑥1 + 𝐹 𝑥2

∗ ∆𝑥2 + ⋯ + 𝐹 𝑥𝑛∗ ∆𝑥𝑛

Para obtener el valor exacto del trabajo efectuado por una fuerza variable es necesario

hacer que cada desplazamiento ∆x sea infinitamente pequeño, es decir, ∆𝑥 → 0, en este

caso se tiene:

𝑊 = lim∆𝑥→0

𝐹(𝑥𝑖∗)

𝑛

𝑖

∆𝑥𝑖 = 𝐹 𝑥 𝑑𝑥𝑥𝑓

𝑥𝑖

El significado geométrico es que el trabajo es el área bajo la curva de la función que

relaciona la componente x de la fuerza Fx, y el desplazamiento ∆x.

∆xn ∆x1

xn* xo x1

* x1 x2

* x2

x xf

Fx

F(x)

Física mecánica

154

Figura 5.8 El trabajo realizado por la fuerza variable es el área bajo la curva

Supongamos que los vectores desplazamiento y fuerza no van en la misma dirección, en

este caso, para calcular el trabajo efectuado por dicha fuerza, se requiere tomar

desplazamientos 𝑑𝑟 infinitamente pequeños y dentro de los cuales se considera a 𝐹

constante, como se mencionó antes. Si el desplazamiento es infinitesimal, lo es también el

trabajo. En resumen, se denomina trabajo infinitesimal al realizado por una fuerza sobre

una partícula que experimenta un desplazamiento infinitesimal, es decir al producto escalar

de la fuerza por dicho desplazamiento:

𝑑𝑊 = 𝐹 . 𝑑𝑟 = 𝐹 𝑑𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 (5.3)

Los vectores fuerza 𝐹 y desplazamiento 𝑑𝑟 , se puede expresar en términos de sus

componentes rectangulares respectivamente:

𝐹 = 𝐹𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑗 + 𝐹𝑧𝑘 y

𝑑𝑟 = 𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 + 𝑑𝑧𝑘 (5.4)

El trabajo infinitesimal se puede expresar de la siguiente manera:

𝑑𝑊 = 𝐹𝑥𝑑𝑥 + 𝐹𝑦𝑑𝑦 + 𝐹𝑧𝑑𝑧 (5.5)

El diferencial de trabajo que se expresa como

x xo

F(x)

xf

F

W

Física mecánica

155

𝑑𝑊 = 𝐹𝑥𝑑𝑥 (5.6)

Es el diferencial de trabajo en dirección x. El trabajo total en dirección x a lo largo de la

trayectoria entre los puntos xi y xf es la suma de todos los trabajos infinitesimales en esa

dirección es:

𝑊𝑥 = 𝐹 𝑥 𝑑𝑥𝑥𝑓

𝑥𝑖 (5.7)

En forma general el trabajo se puede expresar entonces como

𝑊 = 𝐹 . 𝑑𝑟 𝑟𝑓

𝑟𝑖 (5.8)

Ejemplo 5.2

1) Hallar el trabajo realzado por la fuerza 𝐹 𝑥 = 3𝑥3 − 4𝑥2 + 1, cuando el

desplazamiento es de 2 m. F(x) está dado en N.

Solución

Realizar este cálculo requiere usar la ecuación (5.7), esto es,

3𝑥3 − 4𝑥2 + 1 2

0

𝑑𝑥 = 3

4𝑥4 −

4

3𝑥3 + 𝑥

0

2

=3

424 −

4

323 + 2 = 3,3 𝐽

2) Un objeto de 1 kg de masa se mueve a lo largo de una trayectoria definida por: 𝑠 =

3𝑡2𝑖 + 2𝑡3𝑗 − 𝑡𝑘 𝑚. Sobre el cuerpo actúa una fuerza 𝐹 = 3𝑡3𝑖 + 2𝑡2𝑗 − 2𝑡𝑘 𝑁.

Calcular la el trabajo realizado por la fuerza que actúa sobre el objeto entre los instantes t =

0 s y t = 1 s.

Solución:

Se busca el diferencial de desplazamiento:

𝑑𝑠 = 6𝑡𝑖 + 6𝑡2𝑗 − 𝑘 𝑑𝑡

Luego utilizamos la ecuación (5.8):

Física mecánica

156

𝑊 = 𝐹 . 𝑑𝑠 = 3𝑡3𝑖 + 2𝑡2𝑗 − 2𝑡𝑘 2

0

. 6𝑡𝑖 + 6𝑡2𝑗 − 𝑘 𝑑𝑡 ⇒

𝑊 = 18𝑡4 + 12𝑡4 + 2𝑡 1

0

𝑑𝑡 = 30𝑡4 + 2𝑡 1

0

𝑑𝑡 ⇒

𝑊 = (30

5𝑡5 + 𝑡2)

0

1

= 6 + 1 𝑁. 𝑚 = 7 𝐽

3) Halle el trabajo realizado por la fuerza F(x) cuya funcionalidad con respecto a la

variable x se muestra en la siguiente figura, donde x está dado en m y F(x) en N.

Solución

El trabajo es el área bajo la curva, en este caso, se puede observar que el área total es la

suma de las áreas del rectángulo y del triangulo respectivamente:

𝑊 = 𝐴1 + 𝐴2 = 2𝑁 (3𝑚)

2+ 2𝑁 6𝑚 − 3𝑚 = 3𝐽 + 6𝐽 = 9𝐽

2

6

3

A1

F(x)

x

A2

x

F(x

)

3

2

6

Física mecánica

157

Trabajo realizado por un resorte

La siguiente figura muestra un resorte horizontal con un extremo fijo y el otro sujeto a una

masa.

Figura 5.7(a) Masa en la posición de equilibrio.

La masa está en la posición de equilibrio, no se aplica fuerza externa por lo tanto no hay

desplazamiento.

Al aplicar una fuerza para comprimir o estirar el resorte, éste ejerce una fuerza sobre la

masa en sentido contrario a la fuerza aplicada:

Al estirar el resorte, el desplazamiento es hacia la derecha (positivo) mientras el resorte

ejerce una fuerza hacia la izquierda (negativa), es decir, para 𝑥 > 0, 𝐹 𝑠 = −𝑘𝑥.

Figura 5.7(b) Resorte estirado una distancia x hacia la derecha

Al comprimir el resorte, el desplazamiento es hacia la izquierda (negativo) mientras el resorte

ejerce una fuerza hacia la derecha (positiva), es decir, para 𝑥 < 0, 𝐹 𝑠 = 𝑘𝑥.

Física mecánica

158

Figura 5.7(b) Resorte comprimido una distancia x hacia la izquierda

La fuerza que ejerce el resorte sobre la masa, se denomina fuerza restauradora y obedece a

la Ley de Hooke:

𝐹 = −𝑘𝑥 (5.9)

Donde x es la deformación del resorte y, k es la constante elástica cuyo valor es propio de

cada resorte con unidades de N/m. El signo negativo quiere decir que la fuerza

restauradora va en sentido contrario a la fuerza aplicada.

Como la fuerza restauradora depende de la posición y está en la misma dirección del

diferencial de desplazamiento, se utilizan las ecuaciones (5.7) y (5.9) para calcular el

trabajo realizado por el resorte:

𝑊𝑟𝑒𝑠 = 𝐹 𝑥 𝑑𝑥𝑥𝑓

𝑥𝑖= −𝑘𝑥𝑑𝑥 =

𝑥𝑓

𝑥𝑖

−𝑘𝑥2

2 𝑥𝑖

𝑥𝑓

=1

2𝑘𝑥𝑖

2 −1

2𝑘𝑥𝑓

2 (5.10)

El trabajo realizado por la fuerza aplicada para deformar un resorte desde la posición

𝑥 = 0 hasta 𝑥 = 𝑋 es:

𝑊 = 𝑘𝑥𝑑𝑥𝑋

0= 𝑘

𝑥2

2

0

𝑋

=1

2𝑘𝑋2 (5.11)

Figura 5.8 Trabajo realizado para alargar un resorte

F

x

kx kX

X

Física mecánica

159

El Trabajo realizado para alargar un resorte es igual al área del triángulo sombreado.

Ejemplo 5.3

1) Se necesita un trabajo W1 para estirar un resorte una distancia x1 desde su posición de

equilibrio. Si el resorte se estira de tal manera que el trabajo requerido para ello se

duplique, calcule la nueva deformación del resorte desde su posición de equilibrio en

términos de x1.

Solución

El Trabajo realizado para estirar el resorte una distancia x1

𝑊1 =1

2𝑘𝑥1

2 (1)

El Trabajo realizado para estirar el resorte una distancia x2

𝑊2 =1

2𝑘𝑥2

2 (2)

Se tiene además que

𝑊2 = 2𝑊1 (3)

Remplazando la ecuación (3) en la (2):

2𝑊1 =1

2𝑘𝑥2

2 (4)

Reemplazando la ecuación (1) en la (4):

21

2𝑘𝑥1

2 =1

2𝑘𝑥2

2

Se despeja a la variable x2 en términos de x1:

2𝑥12 = 𝑥2

2 ⇒ 𝑥2 = 2 𝑥1

Física mecánica

160

2) Si para el ejemplo anterior x1 = 20 cm y W1 = 10 J, calcule la constante elástica del

resorte.

Solución

La distancia x1 se debe escribir en el SI, entonces x1 = 0,2 m

𝑊1 =1

2𝑘𝑥1

2 ⇒ 𝑘 = 2𝑊1 𝑥12 = 2(10𝐽) (0,2𝑚)2 = 500 𝑁𝑚/𝑚2 = 500𝑁/𝑚

3) Un resorte se estira 0,1 m desde su posición de equilibrio y para ello se requieren 10,0 J

de trabajo. Determine el trabajo necesario para estirarlo el doble.

Solución

Se conoce el trabajo y la deformación, con esos datos se puede calcular la constante

elástica del resorte:

10 𝐽 =1

2𝑘(0,1𝑚)2 ⇒ 𝑘 =

2(10 𝐽)

(0,1𝑚)2= 2000 𝑁/𝑚

Si la deformación mide 0,2 m, el trabajo es:

𝑊 =1

22000

𝑁

𝑚 (0,2 𝑚)2 = 40 𝐽

Energía Cinética

Supongamos que se tiene un cuerpo de masa m que está en reposo o lleva una velocidad

inicial vo. Si el cuerpo cambia se acelera gracias a que se le aplica una fuerza 𝐹 , éste gana

velocidad y por lo tanto, energía cinética; esto se debe al trabajo que la fuerza 𝐹 efectúa

sobre dicha masa.

Física mecánica

161

Figura 5.9 Masa m que se desplaza 𝑑𝑥 gracias a una fuerza 𝐹

El trabajo realizado por 𝐹 sobre la masa m es

𝑊 = 𝐹 . 𝑑𝑥 𝑥𝑓

𝑥𝑖

= 𝐹𝑑𝑥𝑥𝑓

𝑥𝑖

La fuerza y el desplazamiento son vectores paralelos, por lo tanto cos 0 = 1.

Aplicando la segunda Ley de Newton:

𝑊 = 𝐹𝑑𝑥 =𝑥𝑓

𝑥𝑖

𝑚𝑎𝑑𝑥 =𝑥𝑓

𝑥𝑖

𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡𝑑𝑥

𝑥𝑓

𝑥𝑖

La aceleración es igual a la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, y por lo tanto

se sigue

𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡𝑑𝑥

𝑥𝑓

𝑥𝑖

= 𝑚𝑑𝑥

𝑑𝑡𝑑𝑣 = 𝑚𝑣𝑑𝑣 =

𝑥𝑓

𝑣𝑖

𝑥𝑓

𝑥𝑖

=1

2𝑚𝑣𝑓

2 −1

2𝑚𝑣𝑖

2

El cociente entre el desplazamiento dx y el tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a

magnitud de la velocidad v del móvil.

Por lo tanto

𝑊 =1

2𝑚𝑣𝑓

2 −1

2𝑚𝑣𝑖

2 (5.12)

Pero este trabajo realizado es la variación de la energía cinética del cuerpo de masa m:

𝑑𝑥

vo= 0 vf

𝐹 𝐹

Física mecánica

162

𝐾 =1

2𝑚𝑣2 (5.13)

El término 1

2𝑚𝑣2 representa la energía cinética asociada a un cuerpo de masa m que se

mueve con velocidad cuya magnitud es v.

Luego:

𝑊 =1

2𝑚𝑣𝑓

2 −1

2𝑚𝑣𝑖

2 = 𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 = ∆𝐾

𝑊 = ∆𝐾 (5.14)

La ecuación (5.14) es llamada el teorema del trabajo y la energía cinética.

Ejemplo 5.3

1) Una bala de 15 g lleva una velocidad de 500 m/s y choca contra un bloque de 10 cm de

espesor. La bala atraviesa el bloque. Si la bala al moverse dentro del bloque opone una

resistencia constante de 1500 N, calcule la magnitud de la velocidad de salida.

Solución

Primero se calcula el trabajo que hace la fuerza de resistencia sobre la bala, teniendo en

cuenta que la fuerza tiene un sentido contrario al desplazamiento de la bala que es 0,1 m,

por lo tanto el trabajo es negativo.

𝑊 = 1500 𝑁 0,1 𝑚 cos 180 = −150 𝐽

Ahora se aplica el teorema del trabajo y la energía cinética

𝑊 =1

2𝑚𝑣𝑓

2 −1

2𝑚𝑣𝑖

2 =1

2𝑚(𝑣𝑓

2 − 𝑣𝑖2 ) ⇒ 𝑣𝑓

2 =2𝑊

𝑚+ 𝑣𝑖

2

Luego la magnitud de la velocidad es

Física mecánica

163

𝑣𝑓 = 2𝑊

𝑚+ 𝑣𝑖

2 = 2(−150𝐽)

0,015 𝑘𝑔+ (500𝑚/𝑠)2 = 479,6 𝑚/𝑠

2) Un bloque de 1 kilogramo se desplaza por el piso y viaja a 10 m/s. Frena después de

recorrer 1 m, calcule la fuerza de rozamiento.

Solución

El trabajo es negativo, ya que lo realiza la fuerza de fricción

𝑊 = −𝐹𝑥

De acuerdo al teorema del trabajo y la energía y, teniendo en cuenta que la velocidad final

es cero, entonces

−𝐹𝑥 =1

2𝑚𝑣𝑓

2 −1

2𝑚𝑣𝑖

2 = −1

2𝑚𝑣𝑖

2

Se despeja de la ecuación anterior la fuerza de rozamiento:

𝐹 =1

2𝑥𝑚𝑣𝑖

2 =1

2 1𝑚 1𝑘𝑔(10 𝑚/𝑠)2 = 50 𝑁

3) Si la fuerza de rozamiento sobre el mismo bloque del ejercicio anterior es constante de

50 N, ¿con qué rapidez se mueve el bloque después de recorrer medio metro? Calcule el

tiempo que tarda en recorrer dicha distancia.

−𝐹𝑥 =1

2𝑚𝑣𝑓

2 −1

2𝑚𝑣𝑖

2 ⇒ 𝑣𝑓2 =

2

𝑚

1

2𝑚𝑣𝑖

2 − 𝐹𝑥

Al sacar raíz cuadrada a ambos la dos de la ecuación y tomando el valor positivo:

Física mecánica

164

𝑣𝑓 = 2

𝑚

1

2𝑚𝑣𝑖

2 − 𝐹𝑥 = 2

1𝑘𝑔 1

21𝑘𝑔(10𝑚/𝑠)2 − 50(0,5𝑚)

𝑣𝑓 = 50 𝑚/𝑠

De la segunda Ley de Newton se tiene que

𝐹 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝑎 =𝐹

𝑚=

−50𝑁

1𝑘𝑔= −50𝑚/𝑠2

A partir de la definición de aceleración media:

𝑎 =𝑣𝑓 − 𝑣𝑜

𝑡 ⇒

𝑡 =𝑣𝑓 − 𝑣𝑜

𝑎=

7𝑚/𝑠 − 10𝑚/𝑠

−50𝑚/𝑠2= 0,06𝑠

Energía Potencial

Como se había mencionado en la introducción de la unidad temática, todo cuerpo posee en

si mismo cierta cantidad de energía latente o potencial, que se trasformará en cinética.

Existen en física mecánica dos tipos de energía potencial, una es la potencial gravitatoria,

que tiene que ver con la altura a la que está un objeto, la otra es la potencial elástica, que

tiene que ver con la deformación de un resorte al aplicarle una fuerza.

Energía potencial gravitacional

Supongamos que se deja caer un cuerpo de masa m desde la posición yi hasta yf. Además

podemos asumir que la resistencia del aire es despreciable.

Física mecánica

165

Figura 5.10 Trabajo del peso w sobre un objeto en caída libre

Consideremos desplazamientos cercanos a la superficie de la terrestre, de esta forma se

desprecian las variaciones de la fuerza gravitacional con la distancia al centro de la Tierra,

entonces la fuerza gravitacional se dirige hacia abajo y tiene una magnitud dada por la

expresión: 𝑤 = 𝑚𝑔.

Como el objeto parte del reposo, la energía cinética inicial es cero, al recorrer una distancia

𝑦 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑓 el objeto gana velocidad y por lo tanto la energía cinética en este punto es

diferente de cero. Si consideramos la distancia “y” como un cambio de posición, entonces

∆𝑦 = − 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 y, la fuerza gravitacional es un vector que apunta hacia abajo, el

desplazamiento y la fuerza tienen la misma dirección. Sobre la masa m actúa la gravedad,

lo que quiere decir que su desplazamiento se debe a la fuerza gravitacional, la fuerza

realiza trabajo sobre el cuerpo, y este trabajo se expresa en función de las posiciones inicial

y final del cuerpo.

𝑊 = 𝑚𝑔∆𝑦 = −𝑚𝑔 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 = −(𝑚𝑔𝑦𝑓 − 𝑚𝑔𝑦𝑖) (5.15)

A la cantidad mg multiplicada por la altura y que se ubica por encima del origen de

coordenadas, se denomina energía potencial gravitacional, 𝑈 = 𝑚𝑔𝑕.

yf

v

Ki= 0

Kf = ½mv2

yi

Física mecánica

166

De acuerdo a lo anterior, el trabajo se puede expresar en términos de la energía potencial

gravitacional:

𝑊 = − 𝑚𝑔𝑦𝑓 − 𝑚𝑔𝑦𝑖 = − 𝑈𝑔𝑓 − 𝑈𝑔𝑖 = −∆𝑈𝑔

𝑊 = −∆𝑈𝑔 (5.16)

Teniendo en cuenta las ecuaciones (5.14) y (5.16), en donde se expresa el trabajo como la

variación de la energía cinética (5.14) y también como la menos la variación de la energ

∆𝐾 = −∆𝑈𝑔

𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 = 𝑈𝑔𝑖 − 𝑈𝑔𝑓 (5.17 )

Es decir, la variación de la energía cinética es igual a menos la variación de la energía

potencial gravitacional. A medida que la energía cinética aumenta, la energía potencial

gravitacional disminuye y viceversa.

Ejemplo 5.4

1) Un bloque de 100 g se desliza sin fricción por una pista que tiene la forma de un

cuadrante de una circunferencia de radio R = 50 cm. Si parte del reposo, calcule la rapidez

del bloque al llegar al punto más bajo de la pista y la magnitud del trabajo realizado por la

fuerza gravitacional:

Solución:

Física mecánica

167

Teniendo en cuenta la ecuación 5.17:

𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 = 𝑈𝑔𝑖 − 𝑈𝑔𝑓

Como parte del reposo 𝐾𝑖 = 0. Además 𝑈𝑔𝑓 = 0 porque se toma como referencia el punto

más bajo de la trayectoria.

⇒ 𝐾𝑓 = 𝑈𝑔𝑖

Remplazando la definición de las energías cinéticas y potencial respectivamente:

1

2𝑚𝑣2 = 𝑚𝑔𝑅

Cancelando la masa y despejando 𝑣:

𝑣 = 2𝑔𝑅 = 2 9,8𝑚

𝑠2 0,5𝑚

𝑣 = 3,1 𝑚

𝑠

Para calcular la magnitud del trabajo se tiene en cuenta la ecuación (5.16), los valores de la

masa m = 100 g = 0,10 Kg, del radio R = 50 cm = 0,50 m, y que 𝑈𝑓 = 0.

𝑊 = 𝑈𝑖 − 𝑈𝑓 = 𝑚𝑔𝑅 = 0,10𝑘𝑔 9,80𝑚

𝑠2 0,50𝑚

𝑊 = 0,49 𝐽

2) Una cuenta de masa m se desliza por un alambre sin fricción desde el punto A hasta el

punto B, como muestra la figura. Calcule el trabajo efectuado por la gravedad sobre la

cuenta.

Solución

En cercanías de la superficie de la Tierra, la fuerza gravitacional sobre la partícula es

𝐹 𝑔 = −𝑚𝑔𝑗 , tomando el eje y hacia arriba, el desplazamiento 𝑑𝑠 tiene dos componentes,

Física mecánica

168

una perpendicular al peso, y la otra paralela al mismo:

𝑑𝑠 = 𝑑𝑙𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 , por lo tanto el trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre la cuenta

durante un desplazamiento diferencial 𝑑𝑠 es:

𝑑𝑊 = 𝐹 𝑔 . 𝑑𝑠 = −𝑚𝑔𝑗 . 𝑑𝑙𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 = −𝑚𝑔𝑑𝑦

El trabajo total efectuado sobre la cuenta para desplazarse del punto A hasta el punto B es:

𝑊𝐴⇾𝐵 = −𝑚𝑔𝑑𝑦𝑦𝐵

𝑦𝐴

= −𝑚𝑔 𝑑𝑦 = −𝑚𝑔(𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)𝑦𝐵

𝑦𝐴

= −𝑚𝑔∆𝑦

𝑊𝐴⇾𝐵 = −𝑚𝑔∆𝑦

La variación de la altura es negativa, es decir, la altura disminuye. El trabajo neto

efectuado por la gravedad sobre la cuenta, es igual a su peso mg, multiplicado por la

variación de la altura; y no depende de la forma del alambre.

3) Un niña sostiene una muñeca de masa 0,1 kg, y la lanza hacia arriba con una velocidad

cuya magnitud es v. Calcule el valor de v, si la altura que alcanza la muñeca es de 5 m.

Desprecie la fricción del aire.

Solución:

x

y

yB

yA

mg

𝑑𝑠

A

B

Física mecánica

169

Desde el punto de vista del trabajo y la energía, se tiene la siguiente expresión:

∆𝐾 = −∆𝑈𝑔

Consideremos el lanzamiento: se toma como nivel de referencia (𝑦 = 0) la posición inicial

de la muñeca. Entonces, 𝑈𝑔𝑖 = 0.

En y = 5 m, la energía potencial gravitacional:

𝑈𝑔𝑓 = 𝑚𝑔𝑦 , con 𝑦 = 5 𝑚

En y = 0, la energía cinética es diferente de cero y viene dada por la expresión:

𝐾𝑖 =1

2𝑚𝑣2

Y, en 𝑦 = 5 𝑚, 𝐾𝑓 = 0, ya que la velocidad en este punto es cero.

Teniendo en cuenta estos resultados y la ecuación 5.17:

𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 = 𝑈𝑔𝑖 − 𝑈𝑔𝑓 ⟹ −𝐾𝑖 = −𝑈𝑔𝑓 ⇒ 𝐾𝑖 = 𝑈𝑔𝑓

𝐾𝑓 = 0 porque la muñeca alcanza la altura máxima y 𝑈𝑔𝑖 = 0 por que llega al punto de

partida, luego:

1

2𝑚𝑣2 = 𝑚𝑔𝑦

Despejando 𝑣:

𝑣 = 2𝑔𝑦 = 2 9,8𝑚

𝑠2 3𝑚 = 7,7

𝑚

𝑠

4) Una cuerda de longitud L está sujeta al techo y del otro extremo cuelga un objeto de

masa m. Una fuerza horizontal se aplica al objeto hasta que la cuerda forma un ángulo θ

con la vertical (punto A). El objeto se suelta en este punto. Halle una expresión para su

rapidez al pasar por el origen (punto B).

Física mecánica

170

Solución:

Tomando como nivel de referencia, 𝑦 = 0, al punto B, en el punto A la masa m está a una

altura 𝑦 = 𝐿 − 𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃.

Se aplica de nuevo la ecuación 5.17 y teniendo en cuenta que en el punto A, la masa m

parte del reposo, KA = 0 y, en el punto B la energía potencial, UgB = 0.

𝐾𝐵 − 𝐾𝐴 = 𝑈𝑔𝐴 − 𝑈𝑔𝐵 ⇒ 𝐾𝐵 = 𝑈𝑔𝐴 ⇒ 𝐾𝐵 = 𝑚𝑔𝑦

Luego

1

2𝑚𝑣2 = 𝑚𝑔(𝐿 − 𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃)

La expresión para 𝑣 es:

𝑣 = 2𝑔𝐿(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)

y=L- Lcosθ

L Lcosθ θ

B

A

θ L

Física mecánica

171

Energía potencial elástica

Cuando se expande un resorte comprimido, este ejerce fuerza sobre un objeto que esté fijo

a él, acelera al objeto y efectúa trabajo sobre él; el objeto adquiere energía cinética. La

energía que gana el objeto proviene de la energía almacenada por el resorte cuando está

comprimido (o estirado), esta energía la llamaremos energía potencial elástica. El trabajo

efectuado sobre un resorte para comprimirlo una distancia X, es:

𝑊 =1

2𝑘𝑋2

y, la energía almacenada en el resorte es igual al trabajo realizado sobre él:

𝑊 = 𝑈𝑠 =1

2𝑘𝑋2

De acuerdo a la ecuación 5.10, el trabajo realizado por la fuerza restauradora del resorte al

actuar sobre una masa m viene dado por:

𝑊 =1

2𝑘𝑥𝑖

2 −1

2𝑘𝑥𝑓

2 = − 1

2𝑘𝑥𝑓

2 −1

2𝑘𝑥𝑖

2

Finalmente, dicho trabajo se puede expresar en términos de la energía potencial elástica:

𝑊 = − 1

2𝑘𝑥𝑓

2 −1

2𝑘𝑥𝑖

2 =1

2𝑘𝑥𝑖

2 −1

2𝑘𝑥𝑓

2 = −Δ𝑈𝑠 ⇒

𝑊 = −Δ𝑈𝑠 (5.18)

De acuerdo a las ecuaciones (5.14) y (5.18), se concluye que:

ΔK = −Δ𝑈𝑠

Es decir:

𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 = 𝑈𝑠𝑖 − 𝑈𝑠𝑓 (5.19)

La energía cinética se convierte en energía potencial y viceversa.

Física mecánica

172

Energía mecánica y conservación de la energía

La variación de la energía cinética es igual al negativo de la variación de la energía

potencial, bien sea la gravitacional, la elástica o ambas. Esto se puede expresar así:

∆𝐾 = −∆𝑈 ⇒

𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 = 𝑈𝑖 − 𝑈𝑓 ⇒

𝐾𝑖 + 𝑈𝑖 = 𝐾𝑓 + 𝑈𝑓 (5.20)

En un instante cualquiera la energía mecánica del sistema se define como la energía

cinética más la energía potencial:

𝐸 = 𝐾 + 𝑈 (5.21)

De las ecuaciones 5.20 y 5.12 se puede concluir que la energía inicial del sistema es igual a

la energía final del mismo:

𝐸𝑖 = 𝐸𝑓

La ecuación anterior expresa la conservación de la energía mecánica de un sistema aislado,

esto quiere decir que la interacción con el medio se anula.

Ejemplo 5.5

Física mecánica

173

1) Se deja caer un bloque de masa m desde una altura H sobre un resorte de masa

despreciable de constante elástica k. Halle la distancia h máxima que se comprime el

resorte.

Solución:

Como el bloque parte del reposo, Ki = 0, cuando la comprensión del resorte es máxima, la

velocidad en ese punto también es cero, por lo tanto Kf = 0, nos queda que Δ𝐾 = 0 . El

bloque al caer pierde energía potencial gravitacional y el resorte gana energía potencial

elástica:

Δ𝐾 = − Δ𝑈𝑔 + Δ𝑈𝑠 ⇒ 0 = −(Δ𝑈𝑔 + Δ𝑈𝑠)

La expresión resultante es:

Δ𝑈𝑔 = −Δ𝑈𝑠 ⇒ 𝑈𝑔𝑓 − 𝑈𝑔𝑖 = 𝑈𝑠𝑖 − 𝑈𝑠𝑓

En y = 0, 𝑈𝑔𝑓 = 0 y 𝑈𝑠𝑓 =1

2𝑘𝑕2

En y = H+h, 𝑈𝑔𝑖 = 𝑚𝑔(𝐻 + 𝑕) y 𝑈𝑠𝑓 = 0

Por lo tanto:

−𝑈𝑔𝑖 = −𝑈𝑠𝑓 ⇒ 𝑚𝑔 𝐻 + 𝑕 = 1

2𝑘𝑕2

La expresión anterior se puede escribir:

1

2𝑘𝑕2 − 𝑚𝑔𝑕 − 𝑚𝑔𝐻 = 0

o bien

𝑕2 −2𝑚𝑔𝑕

𝑘−

2𝑚𝑔𝐻

𝑘= 0

La cual es una ecuación cuadrática, cuya solución es:

Física mecánica

174

𝑕 =

2mgk

± 4𝑚2𝑔2

𝑘2 +8mgH

k

2

Se toma la solución positiva, ya que h está por encima de y = 0.

2) Un bloque de masa 3 kg se desliza por una por una vía sin fricción y se detiene debido a

su interacción con un resorte de constante 300 N/m. Si el bloque alcanza el reposo cuando

ha recorrido una distancia de 5 cm después de entrar en contacto con el resorte, ¿Qué

rapidez llevaba el bloque justo cuando choca con el resorte?

Solución:

Como el bloque no sufre cambios en la altura, ∆𝑈𝑔 = 0.

𝐾𝑖 = 0 porque el bloque llega al reposo.

𝑈𝑠𝑖 = 0 porque el resorte no está deformado aún.

Por lo tanto:

𝐾𝑖 = 𝑈𝑠𝑓

Es decir:

𝑚𝑣𝑖2

2=

𝑘𝑥2

2

Donde la rapidez se expresa como:

Física mecánica

175

𝑣𝑖 = 𝑘𝑥2

𝑚

Se reemplazan los datos:

𝑣𝑖 = (300𝑁/𝑚)(0,05𝑚)2

3𝑘𝑔= 0,5

𝑚

𝑠

Fuerzas conservativas y no conservativas

Si sobre un objeto actúa una fuerza, éste cambia de posición, es decir la fuerza realiza

trabajo, desde el punto de vista de la física este trabajo implica la variación de la energía

cinética, o también se puede expresar como menos la variación de la energía potencial,

bien sea elástica o gravitacional. Pero dependiendo del tipo de fuerza aplicada, podemos

decir si el sistema conserva o no la energía mecánica. En este contexto, existen dos tipos de

fuerzas: conservativas o no conservativas.

Fuerzas conservativas

Sea un objeto de masa m sobre el cual actúa una fuerza 𝐹 , y por esta razón el objeto se

desplaza de la posición B a la posición A. El trabajo de la fuerza aplicada se expresa

como:

𝑊 = 𝐹 . 𝑑𝑟 𝐵

𝐴

= 𝐹 . 𝑟 𝐵 − 𝑟 𝐴

De acuerdo a la ecuación anterior, el trabajo depende del cambio de posición, el cual es el

vector resultante 𝑟 𝐵 − 𝑟 𝐴, y de la componente de la fuerza aplicada paralela a dicho

desplazamiento.

Física mecánica

176

Figura 5.11 Trabajo realizado por una fuerza constante

Si el trabajo realizado por una fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y valor

final de una función que representa la energía potencial, se dice que dicha fuerza es

conservativa. Lo que quiere decir que la energía mecánica del sistema es una constante.

Si un cuerpo se deja caer desde una altura h, y se desprecian los efectos del aire, sobre el

cuerpo solamente actúa la fuerza gravitacional. El trabajo únicamente depende de la

energía potencial evaluada en dos posiciones: la inicial y la fina, la fuerza gravitacional por

lo tanto es conservativa, en la medida que el objeto pierde altura gana velocidad, es decir la

energía potencial se transforma en energía cinética. Cuando el objeto se lanza hacia arriba,

en la medida en gana altura pierde energía cinética.

Cuando se presiona un objeto de masa m contra un resorte, éste se deforma y realiza

trabajo sobre el objeto. Considerando que la fuerza elástica es la única que actúa sobre el

cuerpo, el trabajo de dicha fuerza depende de energía potencial elástica evaluada en la

posición inicial y final respectivamente, por lo tanto la energía potencial elástica es

conservativa. Cuando el sistema es conservativo el trabajo se recupera en su totalidad, es

decir, la energía mecánica total en un punto es igual cuando se evalúa en otro punto

diferente.

Finalmente, al aplicar una fuerza conservativa a un objeto, y debido a ésta situación, el

objeto hace un recorrido, pero no cambia de posición, el trabajo realizado por la fuerza es

igual a cero, es decir:

B

w 𝐹

. dr A

w

𝑟𝐵 − 𝑟𝐴

𝑟𝐵

𝑟𝐴

o

El trabajo realizado por

la fuerza no depende de

la trayectoria del objeto,

depende de la posición

inicial y de la posición

final del mismo.

Física mecánica

177

𝑊𝐶𝑎𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜 = 𝐹 . 𝑑𝑟 = 0 (5.22)

Fuerzas no conservativas

Al comparar una fuerza conservativa con la fuerza de fricción que se ejerce sobre un objeto

al desplazarse sobre una superficie, el trabajo por la fuerza de fricción depende de la

trayectoria del objeto, es decir, entre más largo sea el recorrido, mayor es el trabajo. Si el

objeto recorre una distancia cualquiera, la fuerza de fricción realiza un trabajo W1, luego el

objeto vuelve a la posición inicial, al regresar, la fuerza de fricción realiza un trabajo W2;

W1 ≠ W2 , el trabajo no se recupera totalmente, es decir hay pérdida de energía mecánica;

por lo tanto la fuerza de fricción es disipativa.

Figura 5.12 Fuerza de fricción en dirección contraria al desplazamiento

𝑊𝑛𝑐 = 𝐹 . ∆𝑟 = 𝐹 ∆𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜋 = −𝐹∆𝑟 (5.23)

Donde ∆𝑟 es la longitud recorrida; el trabajo negativo implica que la energía se disipa. En

este caso, la fuerza de fricción y el desplazamiento tiene sentido contrario. La energía total

del sistema es igual al trabajo realizado por la fuerza no conservativa, esta situación se

expresa matemáticamente así:

∆𝐾 + ∆𝑈 = −𝐹𝑓∆𝑟 ⇒

𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 + 𝑈𝑔𝑓 − 𝑈𝑔𝑖 + 𝑈𝑠𝑓 − 𝑈𝑠𝑖 = −𝐹𝑓∆𝑟 (5.24)

𝐹 𝑎

𝐹 𝑓 ∆𝒓

Física mecánica

178

Si la fuerza no conservativa tiene el mismo sentido del desplazamiento hay pérdida de

energía mecánica, pero sin tienen el mismo sentido se gana energía mecánica.

Ejemplo 5.6

1) Se aplica una fuerza a un bloque de masa 1,5 kg que está unido a un resorte de masa

despreciable y lo comprime una longitud de 0,3 m. Al soltarlo el bloque recorre una

distancia de 0,9 m sobre la superficie horizontal antes de llegar al reposo. El coeficiente de

fricción entre el bloque y la superficie es 0,2. Calcule la constante del resorte.

Solución

De acuerdo a la ecuación (5.24):

∆𝐾 + ∆𝑈𝑔 + ∆𝑈𝑠 = −𝐹𝑓∆𝑟

Como no hay cambios en la posición vertical, por lo tanto: ∆𝑈𝑔 = 0.

Además el bloque parte del reposo y llega al reposo: ∆𝐾 = 0.

La energía potencial elástica final es cero, porque el resorte no está deformado: 𝑈𝑓 = 0.

Por lo tanto:

−𝑈𝑠𝑓 = −𝜇𝑚𝑔𝑥𝑓 ⟹

Física mecánica

179

1

2𝑘𝑥𝑖

2 = 𝜇𝑚𝑔𝑥𝑓 ⟹

Despejando la variable k:

𝑘 =2𝜇𝑚𝑔𝑥𝑓

𝑥𝑖2

Reemplazando los datos:

𝑘 =2 0,2 1,5 𝑘𝑔

9,8𝑚𝑠2 (0,9𝑚)

(0,3𝑚)2= 58,8 𝑁/𝑚

2) Un bloque de masa m1 descansa sobre una mesa, está fijo a la pared por un resorte de

constante elástica k; y está unido a otro bloque de masa m2 a través de de una cuerda ligera

que pasa por una polea sin fricción. El bloque m2 cae una distancia h hasta llegar al piso.

Encuentre una expresión para el coeficiente de fricción cinético.

Solución:

Considerando el bloque de masa m1.

Física mecánica

180

Tomamos como referencia la mesa, el bloque no sufre cambio en la posición vertical,

entonces ∆𝑈𝑔 = 0.

El bloque parte del reposo y llega al reposo por lo tanto ∆𝐾 = 0.

La energía potencial elástica inicial es cero: 𝑈𝑠𝑖 = 0porque el resorte no está deformado.

Considerando el bloque de masa m2.

Se toma como referencia el piso, por lo tanto 𝑈𝑔𝑓 = 0 porque 𝑕 = 0.

El bloque parte del reposo y llega al reposo por lo tanto ∆𝐾 = 0.

De la ecuación (5.24) nos queda:

−𝑈𝑔𝑖 + 𝑈𝑠𝑓 = −𝐹𝑓∆𝑟 ⟹

−𝑚2𝑔𝑕 +1

2𝑘𝑕2 = −µ𝑚1𝑔𝑕

Despejando la variable µ:

µ =𝑚2𝑔𝑕 −

12 𝑘𝑕2

𝑚1𝑔𝑕 ⟹

µ =2𝑚2𝑔 − 𝑘𝑕

2𝑚1𝑔

3) Dos bloques están unidos por una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin fricción, y

m1< m2. El coeficiente de fricción entre el bloque de masa m1 y la superficie horizontal es

µ; calcule la rapidez del sistema en el instante en que los bloques se han desplazado una

distancia h como muestra la figura. Suponga que el sistema parte del reposo.

Física mecánica

181

Solución:

La masa m1 no sufre cambios en la posición vertical, por lo tanto la energía potencial

gravitacional es cero.

Al tomar como referencia el punto donde 𝑕 = 0, la energía potencial para m2 es cero.

Como el sistema parte del reposo la energía cinética del sistema es cero. Además la

distancia que recorre m1 es h.

Por lo tanto:

𝐾𝑓 − 𝑈𝑖 = −𝐹𝑓𝑕 ⟹

1

2𝑚1𝑣2 +

1

2𝑚2𝑣2 − 𝑚2𝑔𝑕 = −µ𝑚1𝑔𝑕 ⟹

1

2(𝑚1+𝑚2)𝑣2 = 𝑚2𝑔𝑕 − µ𝑚1𝑔𝑕 = 𝑔𝑕 𝑚2 − µ𝑚1 ⟹

𝑣2 =2𝑔𝑕 𝑚2 − µ𝑚1

𝑚1 + 𝑚2 ⟹

Física mecánica

182

𝑣 = 2𝑔𝑕(𝑚2 − µ𝑚1)

𝑚1 + 𝑚2

Si m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, µ = 0,2 y h = 1,5 m la rapidez del sistema es:

𝑣 = 2 9,8 𝑚

𝑠2 (1,5𝑚) 2𝑘𝑔 − 0,2𝑘𝑔

3 𝑘𝑔= 4,2 𝑚 𝑠

4) Un joven va camino al colegio en una bicicleta e ingresa a la carretera con una

velocidad de 5 m/s y comienza a desplazarse en línea recta. La masa del joven y de la

bicicleta de 80 kg. El viento sopla con una fuerza Fv = 6 N en la misma dirección del

movimiento del joven en su bicicleta. ¿Cuál será la rapidez de éste después de recorrer una

distancia d = 120 m?

Como el desplazamiento del joven y la fuerza del viento son vectores paralelos, entonces:

∆𝐾 = 𝐹𝑣𝑑 ⟹

1

2𝑚𝑣𝑓

2 −1

2𝑚𝑣𝑖

2 = 𝐹𝑣𝑑 ⟹

𝑣𝑓 = 2𝐹𝑣𝑑 + 𝑚𝑣𝑖

2

𝑚 ⟹

𝑣𝑓 = 2(6𝑁)120𝑚 + 80𝑘𝑔(5𝑚)2

80𝑘𝑔 = 6,5 𝑚

𝑠

Física mecánica

183

Si el viento soplara en dirección contraria al movimiento del joven, la velocidad después

de recorrer 120 m debe disminuir, veamos:

1

2𝑚𝑣𝑓

2 −1

2𝑚𝑣𝑖

2 = −𝐹𝑣𝑑 ⟹

𝑣𝑓 = 𝑚𝑣𝑖

2 − 2𝐹𝑣𝑑

𝑚 ⟹

𝑣𝑓 = 80𝑘𝑔(5𝑚)2 − 2(6𝑁)120𝑚

80𝑘𝑔 = 2,6 𝑚

𝑠

Potencia

Hasta el momento se ha tratado el tema de trabajo y de la manera como se relaciona con el

concepto de energía. Por ejemplo, si un albañil arrastra material de construcción en su

carretilla, el trabajo realizado no depende del tiempo que demore llevar a cabo esta acción,

da igual si se demora una hora o 15 minutos, ya que para el estudio del concepto trabajo,

no se requiere que se hagan consideraciones de tiempo. Pero se puede hablar de otra

cantidad física que relaciona el trabajo con el tiempo empleado para realizarlo, esta

cantidad se denomina Potencia.

Definición de potencia

En muchos casos, es muy importante considerar el trabajo realizado por una fuerza y el

tiempo que invierte en ello, es decir, la cantidad de trabajo realizado. A esta cantidad se le

da el nombre de potencia desarrollada por dicha fuerza.

Física mecánica

184

Para una fuerza que realiza una cantidad de trabajo ∆W durante un intervalo de tiempo Δt,

la potencia promedio se define como:

𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 ,

𝑃 =∆𝑊

∆𝑡

Si el trabajo en la unidad de tiempo no es constante, se define la potencia instantánea como

el límite de esta relación cuando ∆𝑡 → 0:

𝑃 = lim∆𝑡→0

∆𝑊

∆𝑡=

𝑑𝑊

𝑑𝑡 ⟹

𝑃 =𝑑𝑊

𝑑𝑡 (5.25)

En el sistema internacional de unidades (S.I), la unidad de potencia es el Watt y se define

como:

1 𝑊𝑎𝑡𝑡 =1𝐽

1𝑠

Otra unidad que se emplea para referirse a la potencia es el caballo de fuerza o también se

lo conoce como horse power (hp), el cual se define como:

1 𝑕𝑝 = 550 𝑝𝑖𝑒. 𝑙𝑏 = 746 𝑊𝑎𝑡𝑡

Quiere decir, que un motor de 1 hp funcionando al ciento por ciento realiza 550 pie.lb de

trabajo en cada segundo de funcionamiento.

Física mecánica

185

Potencia y velocidad

Si consideramos una variación infinitesimal de trabajo, entonces:

𝑑𝑊 = 𝐹 . 𝑑𝑠 (5.26)

Reemplazando la ecuación (5.25) en la ecuación (5.26):

𝑃 =𝐹 .𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝐹 .

𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝐹 . 𝑣

P =F .ds

dt= F .

ds

dt= F . v (5.27)

La potencia desarrollada también se expresa en virtud de la velocidad con la que una

fuerza realiza un trabajo.

Ejemplos 5.7

1) El ascensor de un edificio pesa 10000 N cuando está lleno. El motor desarrolla una

potencia de 6 hp para halar hacia arriba el ascensor con velocidad constante, calcule la

magnitud de dicha velocidad.

Solución:

La fuerza del motor es igual al peso del ascensor.

𝑃 = 6 𝑕𝑝746 𝑊

1 𝑕𝑝= 4476 𝑊att

La fuerza del motor y la velocidad son dos vectores paralelos, entonces

Física mecánica

186

𝑃 = 𝐹𝑣 ⇒ 𝑣 =𝑃

𝐹=

4476 𝑁𝑚/𝑠

10000 𝑁= 0,44 𝑚/𝑠

2) Un ascensor de 700 kg parte del reposo. Asciende con aceleración constante hasta

alcanzar una rapidez de 2 m/s en 2 s ¿cuál es la potencia promedio desarrollada por el

motor?

Solución:

De la ecuación (5.25) se tiene que: 𝑃 =∆𝑊

∆𝑡=

𝐹∆𝑦

∆𝑡=

𝐹(𝑦−𝑦𝑜)

(𝑡−𝑡𝑜)

Se puede asumir que cuando 𝑡𝑜 = 0 𝑦𝑜 = 0, la ecuación anterior:

𝑃 =𝐹𝑦

𝑡

La velocidad del ascensor no es constante, el movimiento es uniformemente acelerado:

𝑃 =𝑚𝑎𝑦

𝑡 (1)

La distancia recorrida por el ascensor viene dada por la expresión:

𝑦 = 𝑣𝑓 + 𝑣𝑖

2 𝑡

Como el ascensor parte del reposo:

𝑦 =𝑣𝑓

2𝑡 (2)

y la aceleración es de la forma:

Física mecánica

187

𝑎 =𝑣𝑓

𝑡 (3)

Se reemplaza (2) y (3) en (1):

𝑃 =𝑚𝑎

𝑡

𝑣𝑓

2𝑡 =

𝑚𝑎

2𝑣𝑓 =

𝑚𝑣𝑓2

2𝑡

Al reemplazar los valores se tiene que:

𝑃 = 700𝑘𝑔 9,8

𝑚𝑠2 2

𝑚𝑠

2

2(2 𝑠)= 6860 𝑊𝑎𝑡𝑡

3) Un atleta de 70kg de masa sube por una cuerda vertical de 12 m de longitud a una

rapidez constante en 10 segundos, cuál es la potencia producida por el atleta?

Solución:

El peso del atleta es la fuerza que tiene que ejercer el atleta para subir por la cuerda.

𝑃 = 𝐹𝑣 =𝑚𝑔𝑑

𝑡 ⟹

𝑃 = 70 𝑘𝑔 9,8 𝑚/𝑠2 12 𝑚

10 𝑠= 823,2 𝑊

Colisiones en una y dos dimensiones

Recordemos que todo objeto en movimiento tiene una característica debido a la cual ejerce

una fuerza sobre todo aquello que pretenda cambiar su estado de movimiento. Esta

cualidad o característica se denomina cantidad de movimiento o momento lineal. Si dos

partículas, partícula 1 y partícula 2, colisionan, la partícula ejerce una fuerza sobre la

Física mecánica

188

partícula 2 y viceversa, si no existen otras fuerzas actuando sobre el sistema, las fuerzas en

cuestión tienen la misma magnitud y dirección pero en sentido contrario. Estas fuerzas

actúan en un breve intervalo de tiempo.

Las colisiones se presentan en una o dos dimensiones y se clasifican en colisiones

elásticas, inelásticas y perfectamente elásticas.

De regreso a la segunda ley de Newton

Cuando un objeto experimenta una fuerza constante neta diferente de cero, éste de acelera

también de manera constante en la dirección de la fuerza, y de acuerdo a la segunda ley de

Newton, la aceleración viene dada por:

𝑎 =𝐹

𝑚 (5.28)

De acuerdo a la definición de aceleración tratada en temas anteriores, se tiene que

𝑎 =𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖

𝑡 ⇒

𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 + 𝑎 𝑡 (5.29)

Al remplazar 5.28 en 5.29:

𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 +𝐹 𝑡

𝑚 ⟹

𝐹 𝑡 = 𝑚𝑣 𝑓 − 𝑚𝑣 𝑖

Como 𝑝 = 𝑚𝑣 , entonces:

𝐹 𝑡 = 𝑝 𝑓 − 𝑝 𝑖 = ∆𝑝

La variación del momento lineal es el producto entre la fuerza aplicada y el tiempo que

ésta actúa. La dirección del cambio de momento lineal es la dirección de la fuerza. Esta

cantidad recibe el nombre de impulso (𝐼 ), entonces:

Física mecánica

189

𝐼 = 𝐹 𝑡 = ∆𝑝 = 𝑚𝑣 𝑓 − 𝑚𝑣 𝑖 (5.30)

Además, de acuerdo a las leyes de Newton:

𝐹 =𝑑𝑝

𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑝 = 𝐹 𝑑𝑡

Integrando la expresión anterior:

𝑑𝑝 = 𝐹 𝑑𝑡𝑝 𝑓

𝑝 𝑖

⟹

𝑝 𝑓 − 𝑝 𝑖 = ∆𝑝 = 𝐹 𝑑𝑡 ⟹

𝐼 = ∆𝑝 = 𝐹 𝑑𝑡 (5.31)

En este caso, la fuerza actúa durante un tiempo infinitamente pequeño, el cambio de

momento lineal se debe a la fuerza aplicada.

Ejemplo 5.8

1) Un automóvil de 1300 kg que viaja con una rapidez de 18 m/s, aplica los frenos

reduciendo la rapidez a 13 m/s en 2 s. Calcule la magnitud fuerza promedio de retardo.

Solución:

𝐼 = 𝐹𝑡 ⇒ 𝐹 =𝐼

𝑡=

𝑚(𝑣𝑓 − 𝑣𝑖)

𝑡

Al reemplazar los valores:

𝐹 =1300 𝑘𝑔(18

𝑚𝑠 − 13

𝑚𝑠 )

2𝑠= 3250 𝑁

Física mecánica

190

2) Un objeto de masa 4 kg se mueve sobre una superficie horizontal lisa debido a una

fuerza horizontal dada por la expresión 𝐹 = 2𝑡2 + 12, F está en newtons y t en segundos,

si en t = 0 el objeto está en reposo, calcule su velocidad cuando han transcurrido 4 s.

Solución:

𝑚 𝑣𝑓 − 𝑣𝑜 = 𝐹𝑑𝑡4

0

La velocidad inicial del objeto es cero, luego

𝑣𝑓 =1

𝑚 (3𝑡2 + 12)𝑑𝑡

𝑡

0

=1

4𝑘𝑔 𝑡3 + 12𝑡 𝑡=4 𝑘𝑔𝑚/𝑠

𝑣𝑓 =1

4 64 + 48

𝑚

𝑠= 28 𝑚/𝑠

3) Un móvil de 2 kg de masa se mueve a la largo de una superficie lisa con una rapidez de

0,5 m/s hasta que choca con una pared. ¿Cuál es su variación de momento lineal y la fuerza

promedio ejercida sobre el móvil si, en 0,1s retrocede con una velocidad de 0,1 m/s?

Solución:

De la ecuación (5.30) se tiene que:

∆𝑝 = 𝑚(𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑜)

Además se debe tener en cuenta que la velocidad después del choque es de dirección

opuesta a la velocidad inicial del móvil, entonces:

∆𝑝 = 2 𝑘𝑔 −0,1 𝑚𝑠−1 − 0,5 𝑚𝑠−1 = −1,2 𝑘𝑔𝑚𝑠−1

Ahora vamos a calcular la fuerza promedio:

Física mecánica

191

𝑚 𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑜 = 𝐹 𝑡 ⇒ 𝐹 = 𝑚 𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑜

𝑡

Se reemplazamos los valores:

𝐹 =−1,2 𝑘𝑔𝑚𝑠−1

0,1𝑠= −12 𝑁

Conservación de momento lineal

Consideremos dos partículas que van a colisionar y no existen fuerzas externas que actúen

sobre cada partícula, es decir el sistema conformado por las dos partículas es un sistema

aislado.

Figura 5.13 Colisión frontal

De a cuerdo al principio de acción y reacción, en el instante en el que se da la colisión, la

masa m1 ejerce una fuerza y m2 reacciona con una fuerza de igual magnitud y de sentido

contrario:

Figura 5.14 Reacción de cada partícula al colisionar

Como resultado de la colisión, cada partícula sufre una variación del momento lineal.

Para la partícula uno se tiene que:

F1 F2

v2o

m2 m1

v1o

Física mecánica

192

𝐹 1𝑡 = 𝑚1𝑣 1𝑓 − 𝑚1𝑣 1𝑖

y para la dos:

𝐹 2𝑡 = 𝑚2𝑣 2𝑓 − 𝑚2𝑣 2𝑖

Al tener en cuenta que 𝐹 1 = −𝐹 2, es decir, 𝐹 1+𝐹 2 = 0, entonces:

𝑚1𝑣 1𝑓 − 𝑚1𝑣 1𝑖 + 𝑚2𝑣 2𝑓 − 𝑚2𝑣 2𝑖 = 0

La variación del momento lineal de la primera partícula (m1) más la variación del momento

lineal de la segunda partícula (m2) es igual a cero. Si la variación del momento lineal del

sistema es nula implica que el momento lineal del sistema aislado es constante.

Lo anterior queda sintetizado en la denominada Ley de la conservación de la cantidad de

movimiento:

“La cantidad de movimiento de lineal de un sistema aislado de partículas es una

constante”.

𝑝 𝑖 = 𝑝 𝑓 ⟹

𝑚1𝑣 1𝑖 + 𝑚2𝑣 2𝑖 = 𝑚1𝑣 1𝑓 + 𝑚2𝑣 2𝑓 (5.32)

El momento lineal inicial del sistema de partículas es igual al momento lineal final después

de la colisión o choque.

Colisión en una dimensión

La colisión es en una dimensión lo que implica que la colisión o choque debe ser frontal.

Las colisiones en general se pueden clasificar en:

Colisión elástica

Colisión inelástica

Colisión perfectamente inelástica

Física mecánica

193

Colisión elástica

La colisión entre dos partículas es elástica cuando se conserva, además del momento lineal,

la energía cinética.

𝐸𝑖 = 𝐸𝑓

Es decir,

1

2𝑚1𝑣1𝑖

2 +1

2𝑚2𝑣2𝑖

2 =1

2𝑚1𝑣1𝑓

2 +1

2𝑚2𝑣2𝑓

2 (5.33)

Colisión inelástica

En este tipo de colisión no se conserva la energía cinética del sistema de partículas. En

muchas colisiones se pierde parte de la energía cinética, produciendo por ejemplo calor o

deformaciones en los cuerpos.

Colisión perfectamente inelástica

Esta colisión se presenta cuando los cuerpos que interactúan quedan pegados después de la

colisión.

En este caso la ecuación (5.32) se puede escribir así:

𝑚1𝑣 1𝑖 + 𝑚2𝑣 2𝑖 = (𝑚1 + 𝑚2)𝑣 𝑓 (5.34)

Ejemplos

1) Una pelota de 30 g que viaja hacia la derecha a 40 cm/s, choca de frente con una pelota

que está en reposo de 60 g de masa. Si la colisión es elástica, encuentre la velocidad de

cada pelota después de la colisión.

Solución:

El momento lineal se conserva, y como la colisión es frontal por lo tanto:

Física mecánica

194

𝑚1𝑣1𝑖 + 𝑚2𝑣2𝑖 = 𝑚1𝑣1𝑓 + 𝑚2𝑣2𝑓

La segunda pelota está en reposo, entonces:

𝑚1𝑣1𝑖 = 𝑚1𝑣1𝑓 + 𝑚2𝑣2𝑓

Se tiene que m2 = 2m1:

𝑚1𝑣1𝑖 = 𝑚1𝑣1𝑓 + 2𝑚1𝑣2𝑓

La ecuación anterior queda así:

𝑣1𝑖 = 𝑣1𝑓 + 2𝑣2𝑓

Se remplaza el valor de la velocidad inicial de la primera pelota:

0,4 = 𝑣1𝑓 + 2𝑣2𝑓 (1)

La colisión es elástica entonces la energía cinética se conserva:

1

2𝑚1𝑣1𝑖

2 =1

2𝑚1𝑣1𝑓

2 +1

2𝑚2𝑣2𝑓

2

Al tener en cuenta que m2 = 2m1, y el valor de la velocidad inicial de la primera pelota:

1

2𝑚10,16 =

1

2𝑚1𝑣1𝑓

2 +1

22𝑚1𝑣2𝑓

2 ⟹

0,16 = 𝑣1𝑓2 + 2, 00𝑣2𝑓

2 (2)

De la ecuación (1):

𝑣1𝑓 = 0,40 − 2,00𝑣2𝑓 (3)

Física mecánica

195

Se remplaza la ecuación (3) en la (2):

0,16 = 0,40 − 2,00𝑣2𝑓 2

+ 2,00𝑣2𝑓2 ⟹

0,16 = 0,16 − 0,80𝑣2𝑓 + 4,00𝑣2𝑓2 + 2,00𝑣2𝑓

2 ⟹

0,16 = 0,16 − 1,60𝑣2𝑓 + 6,00𝑣2𝑓2 ⟹

6, 00𝑣2𝑓2 = 1,60𝑣2𝑓 ⟹

𝑣2𝑓 =1,60

6,00

𝑚

𝑠= 0,26

𝑚

𝑠

Al reemplazar el valor anterior en la ecuación (3):

𝑣1𝑓 = 0,40 − 2,00 0,26 = −0,12 𝑚

𝑠

𝑣1𝑓 = −0,12 𝑚

𝑠 𝑦 𝑣2𝑓 = 0,26

𝑚

𝑠

2) El péndulo balístico es un dispositivo que se utiliza para medir la velocidad de un

proyectil. Él proyectil colisiona frontalmente con un cuerpo de masa mucho mayor y

queda incrustado en él.

Antes de la colisión Después de la colisión

H

vp

Física mecánica

196

En la figura, el péndulo es un bloque de madera de masa M, suspendido verticalmente. Un

proyectil de masa m que lleva una velocidad cuya magnitud es vp, choca con el péndulo y

al penetrar el bloque de madera, este oscila hasta alcanzar una altura H. Calcule la

velocidad del proyectil cuando choca contra el bloque de madera.

Solución:

Antes de la colisión el bloque está en reposo y después de la colisión el proyectil y el

bloque se mueven juntos hasta alcanzar el reposo. En ese instante la energía del sistema es

únicamente potencial, y se encuentra a una altura H del punto de referencia.

El momento lineal se conserva:

𝑚𝑣𝑝 = 𝑚 + 𝑀 𝑉 ⟹ 𝑣𝑝 = 𝑚 + 𝑀 𝑉

𝑚 (1)

Para calcular V que es la velocidad del sistema se tiene en cuenta la energía del sistema

proyectil-bloque. La energía inicial solamente cinética, cuando el bloque con el proyectil

oscila hasta llegar al reposo, como se mencionó antes, la energía total es potencial.

1

2 m + M V2 = m + M gH ⟹

Al despejar V la expresión para la velocidad es:

𝑉 = 2𝑔𝐻

Se reemplaza la expresión anterior en la ecuación (1):

𝑣𝑝 = 𝑚 + 𝑀 2𝑔𝐻

𝑚

Física mecánica

197

3) Un carro de 1700 kg de masa lleva una velocidad de 10m/s choca contra otro carro de

1200 kg y viaja a 5 m/s en dirección opuesta. Después del choque los dos carros quedan

unidos, ¿a qué rapidez y en que dirección se moverán?

Solución:

Es una colisión perfectamente inelástica, por lo tanto:

𝑚1𝑣 1𝑖 + 𝑚2𝑣 2𝑖 = (𝑚1 + 𝑚2)𝑣𝑓 ⟹

Al reemplazar los valores:

1700 𝑘𝑔 10𝑚

𝑠 − 1200 𝑘𝑔 5

𝑚

𝑠 = 1700 𝑘𝑔 + 1200 𝑘𝑔 𝑣𝑓 ⟹

𝑣𝑓 = 3,8 𝑚/𝑠 Hacia la derecha

4) Un móvil de masa m1 es empujado hacia otro de masa m2 que está en reposo, m1 se

mueve hacia la derecha a 0,7 m/s. Después de la colisión m1 retrocede a 0,2 m/s y m2 se

mueve a la derecha a 0,3 m/s. Luego a m1 se le adiciona una masa de 1 kg y se empuja

hacia m2 que está en reposo. Después de la colisión m1 queda en reposo y m2 se mueve

hacia la derecha con una velocidad de 0,5 m/s. Halle la masa de cada móvil.

Solución:

El momento lineal se conserva:

𝑚1𝑣1𝑖 + 𝑚2𝑣2𝑖 = 𝑚1𝑣1𝑓 + 𝑚2𝑣2𝑓

Al reemplazar los valores de la velocidad y cancelado las unidades de velocidad:

𝑚10,7 = −𝑚10,2 + 𝑚20,3 (1)

Física mecánica

198

En el segundo experimento:

𝑚1 + 1 0,5 = 𝑚20,5 ⟹

𝑚1 + 1 = 𝑚2 (2)

La ecuación (2) en la (1):

𝑚10,7 = −𝑚10,2 + 𝑚1 + 1 0,3 ⟹

Se efectúa la multiplicación:

𝑚10,7 = −𝑚10,2 + 𝑚10,3 + 0,3 ⟹

Se agrupan términos:

𝑚10,7 + 𝑚10,2 − 𝑚10,3 = 0,3 ⟹

𝑚10,6 = 0,3 ⟹ 𝑚1 =0,3

0,6= 0,5

Por lo tanto:

𝑚1 = 0,5 𝑘𝑔 𝑦 𝑚2 = 1,5 𝑘𝑔

Colisiones en dos dimensiones

Para un sistema aislado el momento lineal se conserva en cada una de las direcciones. Un

caso particular es el juego de billar, en donde suceden colisiones en dos dimensiones. La

ecuación que da cuenta de la conservación de momento lineal se expresa para el eje x y el

eje y:

𝑝𝑖𝑥 = 𝑝𝑓𝑥 𝑦 𝑝𝑖𝑦 = 𝑝𝑓𝑦 ⟹

Física mecánica

199

La componente en x:

𝑚1𝑣1𝑖𝑥 + 𝑚2𝑣2𝑖𝑥 = 𝑚1𝑣1𝑓𝑥 + 𝑚2𝑣2𝑓𝑥

La componente en y:

𝑚1𝑣1𝑖𝑦 + 𝑚2𝑣2𝑖𝑦 = 𝑚1𝑣1𝑓𝑦 + 𝑚2𝑣2𝑓𝑦

Cuando se presentan colisiones en dos dimensiones se debe establecer un sistema

coordenado y definir las velocidades con relación al mismo.

Consideremos dos cuerpos de masa m1 y m2 respectivamente, m1 se mueve con velocidad

inicial v1i, y m2 está en reposo, como muestra la figura:

Figura 5.15a Antes de la colisión Figura 5.15b Antes de la colisión

Después de la colisión el cuerpo 1 se mueve con una velocidad que forma un ángulo θ con

respecto al eje horizontal y, el cuerpo 2 se mueve con una velocidad que forma un ángulo

Ф con respecto al eje horizontal. Al aplicar la ecuación de conservación de momento

lineal y teniendo en cuenta que el cuerpo 2 inicialmente está en reposo entonces se tiene

que:

Para la componente en x:

𝑚1𝑣1𝑖𝑥 = 𝑚1𝑣1𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑚2𝑣2𝑓𝑐𝑜𝑠Ф (5.35)

Para la componente en y:

Física mecánica

200

0 = 𝑚1𝑣1𝑓𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑚2𝑣2𝑓𝑠𝑒𝑛Ф (5.36)

Al aplicar la ecuación de conservación de energía se tiene:

1

2𝑚1𝑣1𝑖

2 =1

2𝑚1𝑣1𝑓

2 +1

2𝑚2𝑣2𝑓

2 ( 5.37)

Cuando la colisión es inelástica, no se conserva la energía cinética, por lo tanto la ecuación

(5.37) no se aplica.

Ejemplos:

1) Después de ser golpeada una bola de billar por el taco adquiere una velocidad de 6 m/s,

realiza un choque elástico con otra bola que está en reposo. Después de la colisión la bola

que estaba en reposo se mueve formando un ángulo de 60º con respecto a la bola golpeada.

Halle la velocidad final de cada bola.

Solución:

Se aplican las ecuaciones (5.35), (5.36) y (5.37) teniendo en cuenta además que las masas

que colisionan son iguales:

6 = 𝑣1𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑣2𝑓𝑐𝑜𝑠60 (1)

0 = 𝑣1𝑓𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑣2𝑓𝑠𝑒𝑛60 (2)

36 = 𝑣1𝑓2 + 𝑣2𝑓

2 ⇒

𝑣1𝑓2 = 36 − 𝑣2𝑓

2 (3)

De la ecuación (1) se tiene:

𝑣1𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃 = 6 − 𝑣2𝑓𝑐𝑜𝑠60 (4)

Física mecánica

201


𝑣1𝑓𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑣2𝑓𝑠𝑒𝑛60 (5)

Se elevan al cuadrado las ecuaciones (4) y (5) para luego sumarlas:

𝑣1𝑓2𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 𝑣2𝑓

2𝑐𝑜𝑠260 − 10𝑣2𝑓𝑐𝑜𝑠60 + 36 (6)

𝑣1𝑓2𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 𝑣2𝑓

2𝑠𝑒𝑛260 (7)

(7) + (6):

𝑣1𝑓2𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑣1𝑓

2𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 𝑣2𝑓2𝑠𝑒𝑛260 + 𝑣2𝑓

2𝑐𝑜𝑠260 − 10𝑣2𝑓𝑐𝑜𝑠60 + 36 ⇒

𝑣1𝑓2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 0,75𝑣2𝑓

2 + 0,25𝑣2𝑓2 − 5𝑣2𝑓 + 36 ⇒

𝑣1𝑓2 = 0,75𝑣2𝑓

2 + 0,25𝑣2𝑓2 − 5𝑣2𝑓 + 36 (8)

Se igualan las ecuaciones (3) y (8):

36 − 𝑣2𝑓2 = 0,75𝑣2𝑓

2 + 0,25𝑣2𝑓2 − 5𝑣2𝑓 + 36 ⇒

5 = 0,75𝑣2𝑓 + 0,25𝑣2𝑓 + 𝑣2𝑓 ⇒

2𝑣2𝑓 = 5 ⇒

𝑣2𝑓 = 2,5 𝑚/𝑠

𝑣1𝑓 = 36,0 − (2,5)2

Física mecánica

202

Se toma el valor positivo, porque este vector está en el primer cuadrante, entonces:

𝑣1𝑓 = 5,4 𝑚/𝑠

De la ecuación (5) se puede calcular el ángulo que forma con respecto el eje horizontal es:

𝜃 = sin−1 𝑣2𝑓𝑠𝑒𝑛60

𝑣1𝑓 = sin−1

2,5𝑠𝑒𝑛60

5,4 = 23𝑜

2) Un móvil de 15 kg se mueve hacia la derecha a una rapidez de 12 m/s y choca con otro

móvil de 20 kg de masa que se desplaza hacia arriba a 16 m/s. Encuentre la magnitud y

dirección de la velocidad de los autos después del choque, suponga un choque

perfectamente inelástico.

Solución:

Componente en x del momento lineal:

𝑚1𝑣1 = 𝑚1 + 𝑚2 𝑣𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃 (1)

Componente en y del momento lineal:

𝑚2𝑣2 = 𝑚1 + 𝑚2 𝑣𝑓𝑠𝑒𝑛𝜃 (2)

La ecuación (2) sobre la (1):

(2)

(1):

𝑚2𝑣2

𝑚1𝑣1=

𝑚1 + 𝑚2 𝑣𝑓𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑚1 + 𝑚2 𝑣𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃 ⇒

𝑚2𝑣2

𝑚1𝑣1= 𝑡𝑎𝑛𝜃 ⇒

Física mecánica

203

𝜃 = tan−1 𝑚2𝑣2

𝑚1𝑣1

Se remplazan los datos que ofrece el ejercicio:

𝜃 = tan−1 20 (16)

15 (12) = 60,6𝑜

Para hallar la magnitud de la velocidad se puede utilizar la ecuación (1):

𝑣𝑓 =𝑚1𝑣1

𝑚1 + 𝑚2 𝑐𝑜𝑠𝜃=

180 𝑘𝑔 𝑚/𝑠

35 𝑘𝑔 cos(60,6)= 10,3 𝑚/𝑠

2) Una esfera que se mueve con una rapidez de 10 m/s choca con otra de igual masa que

está en reposo. La colisión es elástica y después de ésta, la primera esfera se mueve 8 m/s

a un ángulo de 60º con respecto a la horizontal. Encuentre la velocidad de la segunda

esfera.

Solución:

Se utilizan las ecuaciones (5.35) y (5.36) respectivamente teniendo en cuenta que las masas

de las esferas son iguales:

𝑣1𝑖𝑥 = 𝑣1𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑣2𝑓𝑐𝑜𝑠Ф

10𝑚

𝑠= 8𝑐𝑜𝑠60 + 𝑣2𝑓𝑐𝑜𝑠Ф 𝑚/𝑠 (1)

0 = 8𝑠𝑒𝑛60 − 𝑣2𝑓𝑠𝑒𝑛Ф (2)


𝑣2𝑓 =8𝑠𝑒𝑛60

𝑠𝑒𝑛Ф=

6,9

𝑠𝑒𝑛Ф (3)

Física mecánica

204


𝑣2𝑓 =6

𝑐𝑜𝑠Ф (4)

(3) = (4):

6,9

𝑠𝑒𝑛Ф=

6

𝑐𝑜𝑠Ф ⟹ Ф = tan−1

6,9

6,0 = 49𝑜

El resultado anterior en la ecuación (4), entonces:

𝑣2𝑓 =6

𝑐𝑜𝑠49= 9,1 𝑚/𝑠

Física mecánica

205

Ejercicios

1) Un bloque de 1,5 kg de masa reposa sobre una mesa horizontal lisa. Se aplica una

fuerza constante de 10 N sobre el bloque formando un ángulo de 15o por debajo de la

horizontal, y éste se desplaza 1,2 m. Determinar el trabajo realizado sobre el bloque por

(a) la fuerza aplicada, (b) el peso y (c) por la fuerza aplicada.

2) Un niño arrastra una caja por el piso con una fuerza 10 N, mediante una cuerda que

forma un ángulo de 40º con la dirección del piso. Calcular el trabajo que realiza al recorrer

una distancia de 50 m.

3) Se deja caer un objeto de 40 g de masa y tarda 4 s en llegar al suelo. Determinar el

trabajo que se debe efectuar para llevar el objeto hasta el punto donde se dejó caer.

4) Por un plano inclinado de 3 m de alto y que forma un ángulo de 45º con la horizontal, se

traslada con velocidad constante un bloque de 10 kg, mediante una fuerza paralela al

desplazamiento. Si no hay fricción, ¿qué trabajo se habrá realizado cuando el bloque

llegue al final del plano inclinado?

5) Un objeto de 1 kg se deja caer desde el reposo, en el instante en que su velocidad es de

10 m/s, actúa sobre él una fuerza y detiene el objeto en 2 segundos; calcule dicha fuerza, y

el trabajo que efectúa para detenerlo.

6) Un señor arrastra por una rampa que forma un ángulo de 30º con la horizontal una caja

de 50 kg de masa una distancia de 10 m con velocidad constante. La fuerza aplicada es

paralela a la rampa, y el coeficiente de fricción entre la caja y el piso es 0,4. Calcular el

trabajo efectuado por:

a) La fuerza de fricción

b) La fuerza aplicada

c) El peso

7) Un resorte de constante k = 150 N/m, se comprime 10 cm. Calcular el trabajo que

realiza la fuerza restauradora del resorte para recuperar su posición inicial.

Física mecánica

206

9) Hallar el trabajo realizado por la fuerza 𝐹 𝑥 = −4𝑥2 + 3 cuando el desplazamiento es

de 3m, F(x) está dado en N.

10) Un objeto de 2 kg de masa se mueve a lo largo de una trayectoria dada por 𝑠 =

−4𝑡2𝑖 + 2𝑡𝑗 − 3𝑘 m. Determinar el trabajo realizado por la fuerza que actúa sobre el

cuerpo entre t =1 s y t =2 s. (Ayuda: calcule la cantidad de movimiento y de allí obtener la

fuerza).

11) Uno de los carros de cierta montaña rusa con sus ocupantes tiene una masa de 900 kg .

En el tope de una de sus montañas de 30 m de altura, el carro avanza a 5 m/s. Calcular la

energía cinética del carro cuando está en otra cima a 15 m sobre el suelo. Desprecie el

rozamiento.

12) Un objeto de 0,15 kg se deja caer desde una altura de 2,00 m y luego de rebotar

alcanza una altura máxima de 1,50 m. Calcule la cantidad de energía que ha perdido.

13) Un objeto de 1 kg es lanzado sobre un plano horizontal con una velocidad inicial de 12

m/s. El objeto recorre una distancia de 5 m. Calcule la fuerza de rozamiento que actúa

sobre el bloque.

14) Considere la situación anterior, pero en este caso, el plano se inclina 20º y el objeto

recorre una distancia de 6 m y luego se desliza hacia abajo y llega al punto de partida,

calcule la velocidad del objeto en dicho punto.

15) Un bloque de 3 kg de masa avanza a 1 m/s sobre una superficie horizontal lisa. Si en

su camino se encuentra con un resorte de constante elástica 10 N/m. determine la máxima

compresión del resorte.

16) Una esfera, con masa de 3 kg lleva una velocidad de 1,0 m/s y se mueve en la

dirección x. Choca frontalmente con otra de masa 4 kg moviéndose a 0,5 m/s en la misma

dirección. Si la colisión es elástica, encontrar las velocidades después del choque.

17) Repetir el problema anterior, suponiendo que la segunda esfera se mueve en dirección

opuesta.

Física mecánica

207

18) Una partícula de masa 0,1 kg se mueve a 0,30 m/s colisiona con otra partícula de masa

0,2 kg, que está en reposo. Después de la colisión la primera partícula se mueve a 0,1 m/s

en una dirección tal que forma un ángulo de 30° con la dirección original. Hallar la

velocidad de la segunda partícula.

19) Un objeto de 2,0 kg lleva una velocidad de 𝑣 = 3,0 𝑖 𝑚

𝑠, y colisiona con un objeto de

3,0 kg que tiene velocidad de 𝑣 = −2,0 𝑗 𝑚

𝑠, después de la colisión quedan los objetos

unidos. Calcular la velocidad final de los objetos.

20) Un cuerpo de 20 g se desliza por una trayectoria curva como muestra la figura.

Si la rapidez en el punto A es de 7 m/s, y en el punto B es de 4 m/s. Calcule el trabajo

realizado por la fuerza de fricción durante dicha trayectoria.

21) Una fuerza de 50 N se aplica a un bloque de 10 kg para arrastrarlo sobre una superficie

horizontal rugosa, la fuerza forma un ángulo α = 20º por encima de la horizontal. El bloque

se desplaza 4 m y el coeficiente de rozamiento cinético es 0,3. Calcule el trabajo realizado

por:

a) La fuerza de aplicada

b) La fuerza normal

c) El peso

B

A

3 m

2 m

Física mecánica

208

d) Calcular el cambio total de energía cinética del bloque.

22) A un bloque de masa m que se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal, se

le imprime una velocidad de 2 m/s. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y

la superficie es 0,1. Determine la distancia que recorre el trineo antes de detenerse.

23) Los bloques A y B mostrados en la figura están sobre una superficie plana sin fricción

y unidos por un resorte de masa despreciable. El bloque A tiene una masa de 0,5 kg, y el

bloque de B 1 kg. Los bloques se juntan a comprimiendo el resorte; luego, el sistema se

suelta del reposo. El resorte, está suelto y cae a la superficie después de extenderse. B

adquiere una rapidez de 1 m/s. a) ¿Qué rapidez final alcanza A? b) ¿Cuánta energía

potencial se almacenó en el resorte comprimido?

24) Sobre una superficie horizontal sin fricción se encuentra en reposo una masa m1 de

0,2 kg. Otra masa m2 de 0,3 kg se mueve hacia m1. Después del choque, m1 se mueve a

0.12 m/s a la izquierda, y m2 lo hace a 0.60 m/s a la derecha. a) ¿Qué rapidez tenía m1

antes del choque? b) Calcule el cambio de energía cinética total del sistema durante el

choque.

25) Una pelota de 0.06 kg de masa se mueve a 5 m/s en la dirección +x, y otra de 0.12 kg

lo hace a 3 m/s en la dirección –x. ¿Qué magnitud y dirección tiene la cantidad de

movimiento total del sistema formado por las dos pelotas?

26) Un joven nada a una rapidez de 0,2 m/s. La corriente del gua es opuesta al

movimiento y ejerce una fuerza de 100 N. ¿Cuánta potencia desarrolla?

vA vB

A B

Física mecánica

209

27) El motor de una bomba de agua funciona a 5 hp. Si se bombea agua un rapidez de 200

gal/min, ¿cuál es la profundidad del pozo?

28) Sobre un objeto de masa m que está en reposo actúa una fuerza de 𝐹 𝑡 =

𝐹𝑜 + 𝐴𝑡2 𝑖 . La fuerza se aplica de 𝑡1 = 0 a 𝑡2 = 𝑡 .

a) ¿Qué impuso tiene la fuerza?

b) ¿Qué rapidez tiene en t2?

29) Un objeto que parte del reposo desde el punto A y se desliza sin fricción por la pista

que se muestra en la figura.

Calcule la rapidez del objeto en los puntos B y C.

30) Un sistema, que en un instante inicial t1, tiene una energía potencial de 10 J, contiene

una partícula que se mueve libremente y en ese mismo instante tiene una energía cinética

de 20 J. En un instante posterior a t2, la energía cinética de la partícula es 9 J. Si sobre la

partícula solo actúan fuerzas conservativas ¿Cuál es la energía total del sistema en el

instante t2?

Física mecánica

210

Física mecánica

211

Capítulo 6

Movimiento de un Cuerpo Rígido

dadme un punto de apoyo, y moveré el mundo

Arquimedes

Centro de Masa

En esta sección, se va a considerar el movimiento de un sistema de partículas en función de

un punto denominado: centro de masa del sistema (CM). El concepto de centro de masa

proporciona un fundamento para el modelo de partícula, ya que este acelera como si toda la

masa del sistema se encontrara concentrada en dicho punto y como si todas las fuerzas

externas actuaran sobre él, es decir, como si todas las fuerzas externas fueran concurrentes.

Se considera el siguiente experimento que permitirá visualizar el concepto de centro de

masa. Se consideran dos partículas de masas y , tales que: . Las partículas

están unidas a una barra maciza a la que se aplica por separado una fuerza en 3 puntos

diferentes de la barra como se indica en la figura 1.1.

Figura 1.1: a) Fuerza aplicada por encima del centro de masa del sistema, b) Fuerza

aplicada por debajo del centro de masa del sistema y c) Fuerza aplicada en el centro de

masa.

Se observa que al aplicar la fuerza al sistema barra-partículas de las figuras 1.1 (a) y (b),

su centro de masa se traslada y simultáneamente, rota alrededor de un eje que pasa por el

Física mecánica

212

centro de masa, en sentido horario en (a) y en sentido anti-horario en (b), mientras en la

figura (c), el único efecto que genera la fuerza sobre el sistema es un efecto de traslación,

es decir, el sistema se mueve como un todo, lo que significa que en lo que se refiere a

traslación, el sistema se comporta como si toda su masa estuviera concentrada en el centro

de masa. Ahora, se considera un sistema físico formado por -partículas en el espacio

tridimensional. La coordenada del centro de masa del conjunto de n-partículas se define

como:

(6.1)

donde: representa la coordenada de la -ésima partícula y mi la masa de cada partícula.

Análogamente, se pueden obtener las coordenadas y del centro de masa asociadas al

sistema de -partículas, las cuales están dadas por:

(6.2)

Luego, el vector posición del punto donde se encuentra localizado el centro de masa del

sistema de -partículas se expresa como:

(6.3)

Figura 1.2: Coordenadas del centro de masa asociadas a una distribución continua de masa

Física mecánica

213

Para un cuerpo no puntual (volumétrico), se tiene un continuo y por ende, las sumatorias

en las ecuaciones (1.1), (1.2) y (1.3), anteriores deben reemplazarse por integrales,

obteniéndose el siguiente resultado para una distribución de este tipo (continua):

(6.4)

Análogamente:

(6.5)

de donde se encuentra que el vector posición asociado al punto donde se encuentra

localizado el centro de masa de la distribución, el cual está dado por:

(6.6)

Movimiento de un sistema de partículas

Si la masa total M de un sistema de partículas permanece constante, es decir, que ninguna

partícula entra ni sale del sistema, la velocidad del centro de masa está dada por:

(6.7)

donde:

(6.8)

corresponde al momento lineal total del sistema de -partículas. Igualmente, la aceleración

del centro de masa adquiere la forma:

Física mecánica

214

(6.9)

donde se satisface la condición:

(6.10)

Que representa la fuerza total externa que actúa sobre sistema de partículas.

Definición de un Cuerpo Rígido

Un cuerpo rígido es un caso particular de un sistema de muchas partículas, que a diferencia

de otros sistemas, no sufre ningún tipo de deformación. Este hecho garantiza que en un

cuerpo rígido la separación entre cualquier pareja de partículas siempre permanece

constante, mientras el cuerpo se mueve, sin importar el tipo de fuerzas externas que estén

actuando sobre él. De este modo, en el cuerpo rígido de la figura 1.3, la separación entre

las partículas rij, im, iq, etc., no cambian bajo ninguna condición.

Figura 1.3: Definición de un cuerpo rígido

Un cuerpo rígido puede poseer adicionalmente al movimiento de traslación del centro de

masa, un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo que pasa a través de su centro de

Física mecánica

215

masa. Si se considera el movimiento de rotación pura de un cuerpo rígido, se observan

trayectorias circulares concéntricas de las partículas i y j de la figura 1.4.

Figura 1.4: Movimiento de rotación pura de un cuerpo rígido

Se considera la partícula del cuerpo rígido la cual se encuentra a una distancia

perpendicular respecto al eje de rotación. A medida que el cuerpo rígido rota alrededor

de dicho eje con una rapidez angular , se observa que la partícula describe una

trayectoria circular de radio con centro en el punto . Si se piensa ahora en todas las

partículas que componen el cuerpo rígido, se puede generalizar el efecto de la rotación

pura del cuerpo rígido sobre la partícula , a todas las demás partículas de la siguiente

manera:

“Todas las partículas que componen el cuerpo rígido describen trayectorias circulares

concéntricas con el eje de rotación, de radios diferentes respecto al mismo centro y con la

misma velocidad angular ”

Finalmente, es importante mostrar el por qué el modelo de partícula no funciona para

describir el movimiento de un cuerpo rígido, el cual en su movimiento más general, posee

un movimiento combinado de rotación y traslación. Para esto, se consideran dos partículas

del cuerpo rígido, por ejemplo, las partículas y para observar que sucede con ellas a

medida que el cuerpo rígido se mueve. Si el centro de masa del cuerpo se desplaza cierta

distancia respecto a su posición inicial, se observa que las posiciones y se han

desplazado distancias diferentes, lo cual está en contradicción con el modelo de partícula,

Física mecánica

216

donde se garantiza que todas las partículas del cuerpo se deben desplazar la misma

distancia cuando el cuerpo se mueve de una posición a otra, si solo se presenta traslación

pura.

Figura 1.5: Movimiento combinado de rotación y traslación de un cuerpo rígido

Energía cinética asociada a un cuerpo rígido

El movimiento más general de un cuerpo rígido corresponde a un movimiento de traslación

del centro de masa más un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa a través de

su centro de masa. Esto indica que adicionalmente a la contribución energética

proporcionada por la traslación, debe existir una contribución energética debida a la

rotación del cuerpo alrededor de dicho eje. Gracias a esto, se puede decir que la energía

cinética total del cuerpo rígido se puede expresar de la siguiente manera:

(6.11)

Cuando todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo rígido, solamente ejercen

efectos de traslación pura, la energía cinética del cuerpo rígido es puramente traslacional,

la cual está dada por:

(6.12)

Física mecánica

217

Figura 1.6: Movimiento alrededor de un eje fijo que pasa a través del cuerpo.

Cuando todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo rígido, solamente ejercen

efectos de rotación pura, la energía cinética del cuerpo rígido es puramente rotacional. La

expresión para esta contribución energética puede ser deducida de la siguiente manera: se

considera un cuerpo rígido el cual rota alrededor de un eje fijo, como se indica en la figura

1.6. Luego:

(6.13)

donde I se define como el momento de inercia del sistema. Cuando un cuerpo rígido posee

un movimiento combinado de rotación y traslación, las contribuciones energéticas

asociadas a estos dos tipos de movimientos deben considerarse separadamente. Ahora, si el

eje de rotación pasa a través del centro de masa y al mismo tiempo el centro de masa

posee un movimiento de traslación respecto a un sistema de referencia inercial, entonces

podemos asegurar que la energía cinética total del cuerpo rígido es:

(6.14)

Gráficamente, la combinación de estos dos movimientos puede expresarse como indica la

figura 1.7.

Física mecánica

218

Figura 1.7: Movimiento combinado de rotación y traslación.

Momento de inercia de un cuerpo rígido

El momento de inercia , es una cantidad física que desempeña en rotaciones, el mismo

papel que la masa del cuerpo en traslaciones. La diferencia fundamental entre el momento

de inercia y la masa es que a lo largo del texto la masa del cuerpo se ha considerado como

constante, mientras el momento de inercia es una cantidad que depende explícitamente de

la distancia a la cual se encuentre el cuerpo del eje de rotación. Adicionalmente, el

momento de inercia es una cantidad que depende en su forma matemática del tipo de

distribución de partículas que se tenga, es decir, si la distribución de partículas es discreta o

continua.

Para una distribución discreta de masa, el momento de inercia se define de la siguiente

manera:

(6.15)

En general, el valor de los términos varía al cambiar el eje de rotación y en consecuencia

el valor del momento de inercia también varía.

Física mecánica

219

Figura 1.8: Momento de inercia asociado a una distribución discreta de masa.

Un cuerpo rígido es un medio continuo, y por lo tanto la relación (1.5.1) debe ser extendida

para este caso. Esta extensión se puede realizar de la siguiente manera: considerando una

porción infinitesimal de masa del cuerpo , la expresión (1.5.1) se transforma en:

(6.16)

pero como: , se encuentra que:

(6.17)

Mediante la ecuación (1.5.3) es posible hallar, en principio, el momento de inercia de un

cuerpo rígido, pensándolo como una distribución continua de masa.

Teorema de Steiner ó de ejes paralelos

En general, se puede conocer el momento de inercia de un cuerpo rígido respecto a un eje

que pasa por su centro de masa. Pero en ocasiones, para poder analizar de una forma eficaz

el movimiento de un cuerpo rígido particular, es necesario conocer el momento de inercia

del cuerpo respecto a un eje que no pasa por el centro de masa pero es paralelo a este eje.

Para solucionar este problema, podemos utilizar el Teorema de Steiner, el cual se enuncia

como sigue :

Física mecánica

220

Teorema de Steiner: Sea el momento de inercia de un cuerpo rígido respecto a un

eje que pasa por su centro de masa. Luego, el momento de inercia del cuerpo rígido

respecto a un eje paralelo al eje que pasa por el centro de masa se puede expresar como:

(6.18)

donde: corresponde a la masa total del cuerpo y corresponde a la distancia

perpendicular que existe entre los dos ejes.

Figura 1.9: Teorema de Steiner.

Torque de una fuerza respecto a un punto

En general, cuando una fuerza es aplicada a un cuerpo, esta tiende a imprimirle tanto

efectos de traslación como de rotación alrededor de un eje fijo que pasa a través de un

punto del cuerpo rígido, llamado centro de rotación ó centro de torques. Esta tendencia a

que el cuerpo rígido rote alrededor de un eje que pasa por un punto fijo, se puede describir

a través de la cantidad física llamada torque ( ), que mide la cantidad de rotación que una

fuerza tiende a imprimirle a un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo

de .

Física mecánica

221

Figura 1.10: Torque producido por una fuerza respecto a un eje que pasa por el punto

Matemáticamente, el torque producido por la fuerza respecto al punto de las figuras

1.10 y 1.11, se define de la siguiente manera:

(6.19)

Por la definición matemática del producto cruz, se observa que el vector es

perpendicular al plano formado por los vectores y . Para determinar la dirección del

vector , se utiliza la regla de la mano derecha, la cual enuncia lo siguiente:

“se coloca la mano abierta paralela al vector posición y luego se curvan los dedos en el

sentido del ángulo menor formado por los vectores y . Luego, el pulgar da el sentido

del vector .”

Figura 1.11: Plano formado por y y su relación con el vector .

Para determinar la magnitud del vector , se procede de la siguiente manera; empleando

la figura 1.8:

1. Si es necesario, se prolonga la línea de acción de la fuerza.

Física mecánica

222

2. Partiendo del centro de torques, dibuje el vector posición asociado al punto donde

se está aplicada la fuerza.

3. Partiendo del centro de torques, se dibuja una línea perpendicular a la línea de

acción de la fuerza, distancia la que recibe el nombre de brazo de palanca, que se

designa con la letra .

Figura 1.12: Determinación de la magnitud de y definición del brazo de palanca .

Con este procedimiento ilustrado en la figura 1.12, podemos escribir la magnitud del

vector , utilizando la ecuación 1.7.1 en la forma:

(6.19)

Ejemplo 1.7.1

Dos esferas, cada uno de masa 𝑚, se unen a los extremos de una barra homogénea la cual

reposa sobre un soporte en forma de triángulo como se indica en la figura e.7.1 (la masa de

la varilla es despreciable). Inicialmente, la barra se mantiene en la posición horizontal y

luego se libera. Calcule el torque neto sobre la varilla respecto al punto O.

Figura e.7.1

Física mecánica

223

Solución.

Sobre la barra actúan simultáneamente tres fuerzas que son: el peso de cada una de las

esferas y la fuerza que realiza el soporte sobre la barra. De estas tres fuerzas, únicamente

realizan torque respecto al punto O el peso de las dos esferas. La fuerza que realiza el

soporte sobre la barra no realiza torque respecto al punto O, debido a que su línea de

acción pasa por dicho punto, lo que produce un brazo de palanca igual a cero. Esto se

ilustra en la figura e.7.2.

Figura e.7.2.

Luego, el torque producido por el peso de las dos esferas respecto al punto O es:

𝜏 0 = 𝑚𝑔𝐿1 𝑘 − 𝑚𝑔𝐿2 𝑘 = −𝑚𝑔 𝐿2 − 𝐿1 𝑘 (6.20)

Lo que indica que la barra tiende a rotar en el sentido de las manecillas del reloj, ya que el

vector torque neto apunta hacia la hoja.

Ejemplo 1.7.2.

Sobre varilla de longitud L se aplica una fuerza 𝐹 la cual forma un ángulo 𝜃 con respecto a

la vertical como se indica en la figura e.7.3. La varilla está articulada en el punto O.

Determine el torque producido por la fuerza 𝐹 sobre la varilla respecto al punto O.

Física mecánica

224

Figura e.7.3

Solución.

El torque producido por la fuerza 𝐹 sobre la varilla respecto al punto O se va a calcular

utilizando dos métodos diferentes. Primero, se calcula utilizando la definición estricta de

torque y segundo, descomponiendo la fuerza 𝐹 en una componente paralela a la varilla y

otra componente perpendicular a la varilla. Para utilizar el primer método, se dibuja la

línea de acción de la fuerza 𝐹 y luego se traza partiendo del punto O, una línea recta que sea

perpendicular a la línea de acción de la fuerza, de tal manera, que obtenemos un triángulo

rectángulo (figura e.7.4)

Figura e.7.4.

De la figura e.7.4, podemos deducir lo siguiente:

𝜏0 = −𝐹𝑏 = −𝐹 𝐿 sin 𝜃 (6.21)

Física mecánica

225

Donde el signo (-) se debe a que el vector torque es un vector que entra al plano de la hoja,

es decir, la tendencia a rotar alrededor del eje que pasa por O, es en sentido horario. Para

utilizar el segundo método, se va a considerar la figura e.7.5.

Figura e.7.5.

De la figura e.7.5, claramente se observa que la componente de la fuerza paralela a la

varilla no produce torque respecto al punto O, ya que su línea de acción pasa por dicho

punto, lo que significa que el brazo de palanca es nulo. Luego, la única contribución al

torque producido por la fuerza 𝐹 respecto al punto O, es dada por la componente de la

fuerza perpendicular a la varilla. Esto puede observarse a través de lo siguiente:

𝜏 0 = 𝑟 × 𝐹 = −𝐿𝑗 × −𝐹 sin 𝜃 𝑖 + 𝐹 cos 𝜃 𝑗 = −𝐹 𝐿 sin 𝜃 𝑘 (6.22)

Resultado el cual es idéntico al obtenido con la definición general de torque.

Torque de un par de fuerzas ó cupla

Como se ilustra en la figura 1.13, dos fuerzas y que actúan simultáneamente sobre

un cuerpo rígido forman un par de fuerzas ó cupla si satisfacen simultáneamente las

siguientes tres condiciones:

1. Las fuerzas poseen magnitudes iguales, es decir: .

Física mecánica

226

2. Las líneas de acción de las dos fuerzas son paralelas y no superpuestas.

3. Los sentidos de las fuerzas son opuestos, es decir : .

4.

Figura 1.13: Par de fuerzas ó cupla.

A partir de la definición de par de fuerzas, se observa que una cupla únicamente tiende a

imprimir efectos de rotación sobre el cuerpo rígido, ya que de acuerdo con la segunda ley

de Newton, los efectos de traslación son nulos, puesto que:

(6.23)

Po otro lado, el torque producido por una cupla es una cantidad la cual no depende del

centro de referencia , es decir, el torque producido por una cupla es un vector libre. Para

verificar este hecho, se analiza la situación presentada en la figura 1.14:

Figura 1.14: Independencia del torque producido por un par de fuerzas ó cupla del centro

de troques

Física mecánica

227

Se toma el centro de rotación fuera del cuerpo y se dibujan los vectores posición

asociados con los puntos donde están aplicadas las fuerzas y para luego calcular el

torque total producido por el par de fuerzas respecto al punto , esto es:

(6.24)

expresión que claramente nos indica que el vector es independiente del centro de

torques, ya que el vector posición r no depende de dicho punto, lo que garantiza que el

torque producido por una cupla sea un vector libre.

Descomposición de una fuerza en un sistema fuerza par

Se considera el cuerpo rígido de la figura 1.15, sobre el cual está actuando una fuerza

externa en el punto . Esta fuerza aplicada en dicho punto, produce tanto efectos de

traslación como de rotación, respecto a un eje que pasa por el punto . El objetivo de esta

sección, es trasladar el punto de aplicación de la fuerza del punto al punto , sin

modificar los efectos de traslación ni los efectos de rotación sobre el cuerpo rígido. Se sabe

que cuando una fuerza se desplaza a lo largo de su línea de acción, no se modifican los

efectos de traslación ni de rotación sobre el cuerpo rígido; pero si se desplaza al punto ,

por fuera de su línea de acción, se modifican los efectos de rotación sobre el cuerpo rígido

aunque los efectos de traslación sobre el mismo permanezcan inalterados.

Figura 1.15: Adición de las fuerzas y en el punto

Física mecánica

228

Para lograr este cambio sin modificar los efectos de rotación ni de traslación sobre el

cuerpo rígido, se procede de la siguiente manera: se aplican un conjunto de fuerzas y

en el punto , las cuales no producen ningún efecto sobre el cuerpo rígido, ya que la fuerza

neta aplicada en O sería nula. De este modo, la fuerza aplicada en y aplicada en

forman una cupla cuyo torque es: , o sea, se ha logrado encontrar una fuerza

aplicada en que responde por los mismos efectos de traslación y una cupla de torque

que responde por los mismos efectos de rotación. Lo anterior, permite trasladar

eficazmente la fuerza del punto al punto sin modificar los efectos de rotación y

traslación sobre el cuerpo rígido. En general, se puede afirmar lo siguiente:

“Cualquier fuerza que actúe sobre un cuerpo rígido, se puede trasladar a un punto

arbitrario , siempre que se adicione una cupla de momento igual al torque respecto al

punto .”

“Siempre es posible reemplazar cualquier sistema de fuerzas por un sistema fuerza-par, de

tal manera que la fuerza se elige igual a para la equivalencia de traslación y la cupla

con torque neto respecto a un punto para la equivalencia en rotación.”

Matemáticamente, la afirmación anterior se expresa de la siguiente forma:

(6.25)

Figura 1.16: Descomposición de una fuerza en un sistema fuerza par.

Física mecánica

229

Resultante de un sistema de fuerzas aplicadas sobre un

cuerpo rígido

En general, no siempre es posible reducir un sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo

rígido por una fuerza única equivalente. En realidad, únicamente existen tres casos en los

cuales es posible llevar a cabo esta reducción, más concretamente, cuando el conjunto de

fuerzas que actúan sobre el cuerpo rígido son concurrentes, coplanares y paralelas. A

continuación, se describe cada uno de estos casos y se analiza que sucede con los efectos

de rotación producidos por dicha fuerza resultante sobre el cuerpo.

Sistema de fuerzas concurrentes

Se considera un conjunto de fuerzas concurrentes las cuales están actuando

simultáneamente en el punto del cuerpo rígido de la figura 1.17.

Figura 1.17: Resultante de un sistema de fuerzas concurrentes

El torque de la fuerza resultante, respecto al centro de torques O, está dado por:

(6.26)

donde, la fuerza resultante es:

(6.27)

Física mecánica

230

Ahora, si se reemplaza la ecuación (1.10.2) en la ecuación (1.10.1), se obtiene:

(6.28)

A partir de la expresión (1.10.3), es posible afirmar lo siguiente:

“El torque respecto al punto de la resultante de varias fuerzas concurrentes, es igual a

la suma de los torques producidos por las distintas fuerzas aplicadas sobre el cuerpo,

respecto al mismo punto y es perpendicular a la resultante del sistema de fuerzas.”

Sistema de fuerzas coplanares

Se considera un conjunto de fuerzas que se encuentran en el mismo plano (digamos, el

plano ) sobre el cuerpo rígido de la figura 1.18.

Figura 1.18: Resultante de un sistema de fuerzas concurrentes

A partir de la figura 1.18, se tiene que:

“Cuando un sistema de fuerzas coplanares actúa sobre un cuerpo rígido, siempre es

posible reducir dicho sistema a una sola fuerza , ya que en este caso el torque neto es

perpendicular a la fuerza resultante .”

Física mecánica

231

Ahora, surge la pregunta: ¿dónde debe ir aplicada la fuerza resultante para que responda

por los mismos efectos de traslación y rotación? La fuerza resultante debe estar aplicada

en un punto cuyas coordenadas rectangulares son:

(6.29)

de tal manera que el torque generado este dado por:

(6.30)

Lo que indica que la fuerza única equivalente se debe aplicar en un punto de coordenadas

tal que se satisfaga la ecuación (1.10.5).

Sistema de fuerzas paralelas

Sobre el cuerpo rígido de la figura 1.19, actúa un conjunto de fuerzas paralelas las cuales

están actuando simultáneamente sobre el cuerpo rígido.

Figura 1.19: Resultante de un sistema de fuerzas paralelas

Física mecánica

232

Definiendo un nuevo vector unitario respecto al cual las fuerzas aplicadas son

paralelas. Teniendo en cuenta lo anterior, se puede decir que la fuerza resultante va a

estar dada por:

(6.31)

Además, el vector torque neto respecto al punto O, se puede escribir de la siguiente

manera:

(6.32)

De la ecuación (1.10.7), se deduce que el vector torque neto es perpendicular al vector

unitario , o lo que es lo mismo, el vector torque neto es perpendicular al vector fuerza

neta . A partir de lo anterior, es posible afirmar:

“En el caso de fuerzas paralelas siempre es posible reemplazar el sistema de fuerzas por

una fuerza única equivalente.”

Luego, la fuerza equivalente se debe aplicar en un punto del cuerpo, tal que:

(6.33)

Comparando las ecuaciones (…) y (…) se encuentra que el vector , está dado por:

(6.34)

Física mecánica

233

Ejemplo 1.10.1.

Sobre una lámina muy delgada en forma de T, se aplican simultáneamente un conjunto de

fuerzas coplanares como se indica en la figura e.10.1. a) Determine la fuerza resultante que

actúa sobre la lámina. b) Determine el torque neto que el conjunto de fuerzas ejercen sobre

la lámina respecto al punto A. c) Encuentre las coordenadas de dos puntos que permiten

definir la línea de acción de la fuerza resultante de tal manera que la fuerza aplicada sobre

dicha línea produzca los mismos efectos de rotación y traslación sobre la lámina.

Figura e.10.1.

Solución.

a) Como las fuerzas que actúan sobre la lámina son coplanares, la fuerza resultante

que actúa sobre la lámina posee componentes en 𝑥 y en 𝑦. Luego, se puede aplicar

el principio de superposición para obtener lo siguiente:

𝐹 = 𝐹 𝑖 = −200 𝑁 + 200 𝑁 + 200 𝑁 𝑖 + 100 𝑁 + 200 𝑁 − 200 𝑁

𝑖

= 200 𝑖 + 100 𝑗 𝑁

(6.35)

b) Las únicas fuerzas que producen un torque sobre la lámina respecto al punto 𝐴 son:

las fuerzas aplicadas en los puntos 𝐵, 𝐷, 𝐸 y 𝐹, teniendo en cuenta que las fuerzas

aplicadas en los puntos 𝐸 y 𝐹 forman un par de fuerzas ó cupla. Luego, el torque

neto respecto al punto 𝐴 es:

𝜏 𝐴 = −1200 𝑁 𝑚 − 700 𝑁 𝑚 + 1600 𝑁𝑚 𝑘 = −300 𝑁𝑚 𝑘 (6.36)

Física mecánica

234

c) Para determinar dos puntos por donde pasa la línea de acción de la resultante, se

procede de la siguiente manera: primero, analizamos un punto con coordenadas

𝑥, 0 , segundo, analizamos otro punto con coordenadas 0, 𝑦 . Todo esto se realiza

utilizando la relación del torque producido por la fuerza resultante. Esto es:

𝜏𝐴 = −𝑦 𝐹𝑥 (6.37)

𝑦 = −300

200= −1.5 𝑚 (6.38)

Tal que el primer punto posee coordenadas: 0, −1.5 𝑚 . Análogamente, podemos calcular

el segundo punto, tal que este va a tener coordenadas: 3 𝑚, 0 . Luego, la línea de acción

donde debe ubicarse la resultante de tal manera que no se modifiquen los efectos de

rotación y traslación sobre la lámina se presenta en la figura e.10.2. Como conclusión, se

puede afirmar que hemos cambiados el conjunto de fuerzas coplanares, por una fuerza

resultante y un par de fuerzas ó cupla actuando en 𝐴.

Figura e.10.2.

Energía total de un cuerpo rígido

Primero que todo, retomando la definición inicial de un cuerpo rígido, en donde se impuso

la condición de que la distancia entre parejas de puntos del cuerpo no se modifica durante

Física mecánica

235

el movimiento, lo cual garantiza que la energía interna permanece constante, lo que

permite no considerarla a la hora de analizar el movimiento. Aquí únicamente se va a

considerar las contribuciones energéticas propias de la interacción del cuerpo con sus

alrededores. Luego, la energía total de un cuerpo rígido se puede expresar como:

(6.39)

Es muy importante tener en cuenta que la energía potencial es una cantidad de tipo

traslacional y por ende, siempre se debe tomar como punto de referencia respecto al nivel

cero de energía potencial al centro de masa del cuerpo rígido. Ahora, consideremos la

velocidad del punto de contacto entre el cuerpo rígido y la superficie sobre la cual rueda

(traslación más rotación). Si el cuerpo rueda deslizando, la velocidad del punto de contacto

entre el cuerpo y la superficie es diferente de cero, pero si el cuerpo rueda sin deslizar, la

velocidad del punto de contacto entre el cuerpo y la superficie es cero.

Si el cuerpo rígido que se está analizando rueda sin deslizar, se puede demostrar (con base

a la afirmación anterior) que el sistema físico en este caso es conservativo, pese a que

existe una fuerza de fricción de tipo estática. Esto es:

Calculemos el trabajo que realiza la fuerza de fricción estática , esto es:

(6.40)

A partir de la ecuación (1.11.2), se puede afirmar lo siguiente:

“cuando un cuerpo rígido rueda sin deslizar, el sistema físico analizado es conservativo.”

Ejemplo 1.11.1.

Dos bloques de masas 𝑚1 y 𝑚2 se encuentran unidos mediante una cuerda ideal la cual

pasa por una polea de masa 𝑀 y radio 𝑅, como se indica en la figura e.11.1. Trate la polea

como un disco homogéneo y uniforme. Determine la velocidad de los bloques cuando se

Física mecánica

236

encuentran el uno en frente del otro, si se supone que inicialmente están separados una

distancia 𝑕 y el sistema parte del reposo.

Figura e.11.1.

Solución.

Esta situación física se va a resolver utilizando condiciones de energía. Claramente se

puede observar que las únicas fuerzas externas que realizan trabajo sobre el sistema son los

pesos de los bloques 𝑚1 y 𝑚2, y estas fuerzas son conservativas. Luego, se puede afirmar

que el sistema físico que se tiene es un sistema conservativo. Aplicando entonces la

conservación de la energía al sistema mostrado en la figura e.11.2, se obtiene lo siguiente:

𝑚1 𝑔 𝑕 + 𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑒𝑎

= 1

2 𝐼 𝜔2 + 𝑚1 𝑔

𝑕

2+ 𝑚2 𝑔

𝑕

2+

1

2 𝑚1 + 𝑚2 𝑣2 + 𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑒𝑎

(6.41)

Donde 𝐼 es el momento de inercia del disco. Adicionalmente, hay que tener en cuenta que

la velocidad (en magnitud) de cada bloque es igual a la velocidad tangencial de cada una

de las partículas que se encuentran en la periferia de la polea. Teniendo esto en mente, se

puede obtener la siguiente expresión para la velocidad de los bloques:

𝑣 = 2 𝑚1−𝑚2 𝑔 𝑕

𝑀+2 𝑚1+ 𝑚2

1/2

(6.42)

Física mecánica

237

Figura e.11.2.

Momento angular de un cuerpo rígido

Antes de definir el momento angular asociado a un cuerpo rígido en movimiento, es

bueno recordar la definición de momento angular asociado a una partícula , el cual está

definido como:

(6.42)

donde es el vector posición de la partícula respecto al origen del sistema de referencia y

la velocidad de dicha partícula.

En el caso de un cuerpo rígido el cual rota alrededor de un eje fijo determinado, esta

definición sigue siendo válida para cualquier partícula del cuerpo. Además, si el momento

angular de todas las partículas se calcula respecto al mismo punto, se cumple que el

momento angular total del cuerpo rígido está dado por:

(6.43)

Para determinar este momento angular total del cuerpo rígido, se considera una placa muy

grande y de espesor despreciable la cual rota con una velocidad angular alrededor del eje

Física mecánica

238

, como se indica en la figura 1.20. Adicionalmente, se hace coincidir el origen del sistema

de referencia con el punto de corte entre el eje de rotación (eje ) y la placa.

Figura 1.20: Momento angular total de un cuerpo rígido para el caso particular en el cual el

origen del sistema de referencia coincide con el punto de corte entre el eje y el cuerpo

rígido.

De la figura 1.20, se encuentra que:

(6.44)

Como es perpendicular a , la magnitud de la velocidad es:

(6.45)

Mediante la ecuación (1.12.4), es posible escribir la magnitud del momento angular

asociado a la partícula de la siguiente manera:

(6.46)

De este modo, el momento angular total del cuerpo rígido respecto al punto O está dado

por:

Física mecánica

239

(6.47)

donde la cantidad que se encuentra entre corchetes, se define como el momento de inercia

del cuerpo rígido respecto al eje z. esto es:

(6.48)

Finalmente, se puede afirmar que para el caso particular donde el origen del sistema de

referencia coincide con el punto de corte entre el eje de rotación y el cuerpo rígido, el

vector momento angular total del cuerpo rígido es paralelo al vector velocidad angular del

cuerpo (los dos vectores se encuentran a lo largo del eje de rotación) y se expresa

matemáticamente de la siguiente manera:

(6.49)

Figura 1.21: Momento angular total de un cuerpo rígido para el caso particular en el cual el

origen del sistema de referencia no coincide con el punto de corte entre el eje y el cuerpo

rígido, es decir, se encuentra en cualquier otro punto a lo largo del eje

Física mecánica

240

Ahora, se considera el cuerpo rígido de la figura 1.16, pero en este caso, el origen del

sistema de referencia no coincide con el punto de corte entre el eje de rotación (eje ) y el

cuerpo rígido, como se indica en la figura 1.21.

De nuevo, se considera la partícula del cuerpo rígido, donde para este caso, el momento

angular de la partícula ya no es paralelo al eje de rotación, sino que forma con él un

ángulo. Esto es, forma un ángulo con la velocidad angular del cuerpo rígido, que siempre

es paralela al eje como lo indica la figura 1.21. En este caso, únicamente la componente

dirigida a lo largo del eje de rotación del vector momento angular de la partícula es

paralelo al vector velocidad angular del cuerpo rígido. Matemáticamente, se tiene:

(6.50)

pero de la figura 1.21 se observa que observamos lo siguiente:

(6.51)

a partir de la cual la componente del momento angular asociado con la partícula , es:

(6.52)

en donde la componente del vector momento angular total del cuerpo rígido, a lo largo del

eje de rotación, va a estar dada por:

(6.53)

Como conclusión de la ecuación (1.12.12), se puede afirmar:

“Cuando un cuerpo rígido está girando y el origen del sistema de referencia no coincide

con el punto de corte entre el eje de rotación y el cuerpo rígido, el vector momento

angular total no es, en general, paralelo al vector velocidad angular del al cuerpo

rígido.”

Física mecánica

241

Ejemplo 1.12.1.

Un patinador sobre hielo puede aumentar su tasa de rotación desde una tasa inicial de

1 𝑟𝑒𝑣 cada 2 𝑠 hasta una tasa final de 3 𝑟𝑒𝑣/𝑠. Su momento de inercia inicial tiene un

valor de 4.6 𝑘𝑔𝑚2. Determine el momento de inercia final del patinador. Explique como

ocurre física mente este fenómeno (suponga que el patinador posee un movimiento de

rotación pura en dicho instante).

Solución.

Primero que todo, hay que tener en cuenta que sobre el patinador están actuando

simultáneamente 2 fuerzas: la fuerza que ejerce la superficie del hielo sobre los patines y el

peso del patinador, el cual es una fuerza paralela y se encuentra aplicada como una fuerza

resultante en el centro de masa del patinador. Luego, ninguna de estas fuerzas realiza

torque respecto al eje de rotación, el cual en este caso, coincide con el eje del cuerpo.

Luego, el momento angular del patinador se conserva y se puede aplicar este hecho para

resolver el problema. A partir de la conservación del momento angular, se obtiene la

siguiente expresión:

𝐼𝑓 = 𝜔 𝑖

𝜔𝑓 𝐼𝑖 (6.54)

De tal manera que el momento de inercia final del patinador es:

𝐼𝑓 = 0.77 𝑘𝑔 𝑚2 (6.55)

Física mente esto es posible ya que cuando el patinador recoge los brazos, el momento de

inercia total del sistema disminuye, por ende su velocidad angular debe aumentar para

poder garantizar que el momento angular siga siendo una constante.

Física mecánica

242

Ejes principales de inercia

Para todo cuerpo, sin importar su naturaleza o forma, se pueden dibujar por lo menos 3

direcciones mutuamente perpendiculares. Si el eje de rotación coincide con una de estas

direcciones, el momento angular del cuerpo es paralelo al eje de rotación y se satisface la

relación:

(6.56)

Estos ejes tan particulares se denominan ejes principales de inercia y cuando el cuerpo

rígido posee simetrías, estos ejes coinciden con los ejes de simetría del cuerpo.

Figura 1.21: Ejes principales de inercia para un cuerpo que posee simetría esférica.

Figura 1.22: Ejes principales de inercia para un cuerpo que posee simetría cilíndrica.

Física mecánica

243

Figura 1.23: Ejes principales de inercia para un cuerpo rectangular.

Rotación de un cuerpo rígido. Ecuación de movimiento

La ecuación de movimiento más general que permite evaluar la rotación pura de un cuerpo

rígido alrededor de un eje fijo, está dada por:

(6.57)

donde es importante anotar que para poder garantizar la validez de esta expresión, el torque

y el momento angular total del cuerpo se deben evaluar respecto al mismo punto.

A la hora de analizar la rotación pura de un cuerpo rígido, la expresión (1.14.1) no es muy

útil, por lo tanto, se analiza la forma adquiere la expresión (1.14.1) para los siguientes

casos:

Movimiento del cuerpo rígido alrededor de un eje principal de inercia

Se considera un cuerpo rígido que posee un movimiento de rotación pura alrededor de un

eje principal de inercia como se indica en la figura 1.24. Aquí, se considera que el origen

Física mecánica

244

del sistema de referencia se encuentra a lo largo del eje de rotación de tal manera que se

dispone de un sistema de referencia inercial.

Figura 1.24: Movimiento alrededor de un eje principal de inercia.

Retomando la ecuación (…) y reemplazándola en la ecuación (1.14.1), se obtiene:

(6.58)

Si se considera que el eje está fijo en el cuerpo y además que el momento de inercia del

cuerpo rígido respecto al eje es constante, la ecuación anterior se puede escribir como:

(6.59)

La ecuación anterior se conoce con el nombre de “la segunda ley de Newton” para

rotaciones. Ahora, si el torque neto sobre el cuerpo es nulo, es decir, si: , el momento

angular total del cuerpo rígido respecto a un eje que pasa por un punto fijo es constante. La

anterior afirmación expresa la ley de conservación del vector momento angular, la cual trae

como consecuencia la siguiente afirmación:

“Un cuerpo que rota alrededor de un eje principal de inercia, fijo en el cuerpo, lo hace

con velocidad angular constante cuando el torque total externo es cero.”

Un ejemplo muy concreto de lo anterior es el caso de un patinador cuando posee un

movimiento de rotación pura alrededor de un eje que pasa por su centro de masa. En este

Física mecánica

245

caso, las fuerzas externas que actúa sobre el patinador es su peso y la fuerza que realiza la

superficie del hielo sobre los patines. Para este caso, el peso total del patinador se

encuentra concentrado el su centro de masa (caso particular de fuerzas paralelas) y por

ende, el torque neto producido por esta fuerza respecto a este eje que pasa por el centro de

masa es nulo. Por lo tanto, el momento angular en este caso es una cantidad que se

conserva.

Movimiento del cuerpo rígido alrededor de un eje no principal de inercia

Para este caso, es válida la relación:

(6.60)

Ya que en este caso, el momento angular total no es paralelo a la velocidad angular. De

este modo:

(6.61)

Figura 1.25: Movimiento alrededor de un eje no principal de inercia.

Física mecánica

246

Movimiento combinado de traslación y rotación de un

cuerpo rígido

Si el centro de masa de un cuerpo rígido se está trasladando respecto a un sistema de

referencia inercial y adicionalmente el cuerpo rígido posee un movimiento de rotación

respecto a un eje fijo que pasa por su centro de masa, es posible analizar estos dos

movimientos por separado.

Si el eje de rotación no posee un punto fijo en el sistema de referencia como ocurre cuando

un cuerpo rueda (traslación + rotación) por un plano inclinado, se puede utilizar para

describir el movimiento de traslación la segunda ley de Newton para traslaciones pero

tomando como punto de referencia al centro de masa del cuerpo, esto es:

(6.62)

Para analizar el movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por su centro de

masa, se debe calcular simultáneamente el momento angular total y el torque neto del

cuerpo rígido respecto al centro de masa. Luego, la ecuación de movimiento adecuada para

realizar esta descripción es:

(6.63)

En esta situación la rotación es alrededor de un eje que pasa por el centro de masa y si este

a su vez coincide con un eje principal de inercia, entonces la ecuación de movimiento para

rotaciones se convierte en:

(6.64)

Cuando un cuerpo rígido posee un movimiento combinado de rotación y traslación, se dice

que el cuerpo rueda. Este rodar lo puede realizar deslizando ó sin deslizar, dependiendo del

tipo de situación que se esté analizando. Ahora, analicemos cada una de estas situaciones:

Física mecánica

247

Si el cuerpo rígido es homogéneo y adicionalmente rueda sin deslizar, la fuerza de fricción

que ejerce la superficie sobre el cuerpo es de tipo estática, y por ende se cumple la

relación:

(6.65)

Si el cuerpo rígido es homogéneo y rueda deslizando, la fuerza de fricción que ejerce la

superficie sobre el cuerpo es de tipo dinámica (ó cinética), y por ende se cumple la

relación:

(6.66)

De la expresión (1.15.5), hay que tener en cuenta que la fuerza de fricción dinámica y la

fuerza normal que ejerce la superficie sobre el cuerpo son únicamente proporcionales en

magnitud, ya que claramente posee direcciones diferentes debido a la naturaleza física que

ejerce cada una de estas sobre el cuerpo.

Cabe anotar, que si en un problema particular no se sabe si el cuerpo rígido rueda

deslizando ó rueda sin deslizar, se supone que el cuerpo rueda sin deslizar y al terminar de

resolver el problema se evalúan las condiciones:

(6.67)

Y la que se satisfaga nos indicará la forma en la cual se está moviendo el cuerpo analizado.

Ejemplo 1.15.1.

Un carrete de masa 𝑀 y radio 𝑅 posee un pequeño saliente de radio 𝑟 y masa despreciable.

En la parte superior del carrete, se aplica una fuerza horizontal 𝐹 de magnitud constante. El

carrete rueda sin deslizar. Determine la fuerza de fricción estática que actúa sobre el

carrete.

Física mecánica

248

Figura e.15.1.

Solución.

Para encontrar el valor de la fuerza de fricción estática, se deben describir simultáneamente

y por separado los dos movimientos que posee el carrete que son: un movimiento de

traslación del centro de masa y un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por

el centro de masa. Si se aplican las ecuaciones de movimiento traslacional y rotacional se

obtiene lo siguiente (el diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura e.15.2.):

Figura e.15.2.

+→

𝐹𝑥 = 𝐹 − 𝑓𝑠 = 𝑀 𝑎𝐶𝑀 (6.68)

+ ↑ 𝐹𝑦 = 𝑁 − 𝑀𝑔 = 0 (6.69)

𝜏𝐶𝑀 = 𝐹𝑟 + 𝑓𝑠 𝑅 = 1

2 𝑀𝑅2𝛼 (6.70)

𝑎𝐶𝑀 = 𝛼 𝑅 (6.71)

Donde se ha omitido la contribución del saliente del carrete al momento de inercia total del

carrete (esto puede hacerse debido a que la masa del saliente es despreciable en

comparación con la masa del carrete, el cual estamos modelando como un disco uniforme).

Física mecánica

249

Si se resuelve el anterior conjunto de ecuaciones simultáneas, se puede encontrar la

siguiente expresión para la fuerza de fricción:

𝑓𝑠 = 2 𝑅−𝑟

𝑅+2 𝑟 𝐹 (6.72)

Movimiento por rodadura de un cuerpo rígido

El movimiento por rodadura es simplemente un modelo matemático, no es una situación

física real, el cual permite resolver algunas situaciones físicas de una manera mucho más

clara y elegante. Este modelo consiste en reemplazar desde el punto de vista matemático el

movimiento combinado de traslación del centro de masa y rotación alrededor de un eje que

pasa por el centro de masa, por un movimiento de rotación pura alrededor de eje

instantáneo de rotación que pasa por el punto de contacto entre el cuerpo rígido y la

superficie. Como por rodadura vamos a analizar el movimiento de rotación del cuerpo

respecto a un eje que no es el eje que pasa por el centro de masa, es de vital importancia el

uso del teorema de Steiner a la hora de realizar el análisis de dicho movimiento. Se va a

mirar ahora que efectivamente, estos dos modelos si son equivalentes desde el punto de

vista matemático. Se supone que el movimiento del cuerpo se está analizando respecto a un

eje instantáneo de rotación que pasa por el punto de contacto entre el cuerpo y la

superficie. Luego, la energía del cuerpo es toda del tipo cinética rotacional y va a estar

dada por:

(6.73)

donde es el momento de inercia del cuerpo rígido respecto al eje instantáneo de rotación

que pasa por el punto de contacto . Ahora, del teorema de Steiner tenemos:

(6.74)

Luego:

Física mecánica

250

(6.75)

La ecuación (1.16.3) indica que los efectos combinados de traslación del centro de masa y

rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa son equivalentes desde el punto

de vista matemático, a un movimiento de rotación instantánea pura con la misma velocidad

angular con respecto a un eje que pasa por el punto de contacto entre el cuerpo rígido y

la superficie cuando el cuerpo rueda sin deslizar.

Ahora, se va a analizar gráficamente el movimiento de rodadura y se va a analizar desde el

punto de vista de la cinemática, el movimiento de varios puntos del cuerpo. Veamos:

Figura 1.26: Movimiento por rodadura de un cuerpo rígido.

Como consecuencia de este modelo matemático, la velocidad tangencial de cualquiera de

los puntos de la gráfica 1.26, se encuentra en una dirección que es perpendicular a la línea

que une al punto donde se encuentra el eje instantáneo de rotación (punto ) con un punto

del cuerpo, es decir, esta línea corresponde al radio de la trayectoria circular imaginaria

seguida por cada una de las partículas que componen el cuerpo.

Física mecánica

251

Equilibrio de un cuerpo rígido

Para que un cuerpo rígido se encuentre en equilibrio estático se deben satisfacer

simultáneamente las siguientes dos condiciones:

(6.76)

En donde la primera relación expresa el equilibrio traslacional y la segunda relación

expresa el equilibrio rotacional. Hay algunos casos particulares en los cuales uno puede

garantizar que un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio, más concretamente, cuando el

cuerpo se encuentra sometido a la acción simultánea de dos fuerzas ó tres fuerzas externas.

Ahora, vamos a analizar estos casos:

1. Cuando un cuerpo rígido que está sometido a la acción simultánea de dos fuerzas

externas se encuentra en equilibrio, es porque las dos fuerzas poseen la misma

magnitud, direcciones opuestas, la misma línea de acción y el torque neto

producido por estas dos fuerzas es calculado respecto a un punto que se encuentra

sobre la línea de acción de las fuerzas. Cabe anotar que estas dos fuerzas no forman

un par acción reacción, ya que son fuerzas que están actuando sobre el mismo

cuerpo.

Figura 1.27: Cuerpo rígido en equilibrio estático bajo la acción de dos fuerzas

externas.

2. Cuando un cuerpo rígido que está sometido a la acción simultánea de tres fuerzas

externas se encuentra en equilibrio, es porque las líneas de acción de las tres

Física mecánica

252

fuerzas se cortan en un punto común. Esto garantiza que respecto a ese punto no se

generan efectos de rotación sobre el cuerpo y las fuerzas deben ser tales que no

producen efectos traslacionales.

Figura 1.28: Cuerpo rígido en equilibrio estático bajo la acción de tres fuerzas externas.

Física mecánica

253

Ejercicios

1) Determine el torque generado por la fuerza F sobre una varilla de longitud L la cual

está articulada en el punto O (Figura p.1) utilizando tres métodos diferentes: primero,

descomponga la fuerza en términos de una componente horizontal y una vertical. Segundo,

descomponga la fuerza en términos de una componente paralela a la varilla y otra

perpendicular a la varilla y tercero, utilizando la definición general de torque.

Figura p.1.

2) Sobre una lámina metálica rectangular de lados a y b, se aplican el conjunto de fuerzas

que se muestran en la figura (Figura p.2). a) Calcule el torque producido por el conjunto de

fuerzas respecto a la esquina a. b) Halle la fuerza neta resultante que está actuado sobre la

lámina. c) Halle las coordenadas de dos puntos que permiten definir la línea de acción de la

fuerza resultante. Las fuerzas poseen las siguiente magnitudes: F1 = F, F2 = 2 F, F3 = 3

F/2 y F4 = 4 F.

Figura p.2.

Física mecánica

254

3) Sobre una varilla de longitud L se están aplicando simultáneamente 2 fuerzas de igual

magnitud come se indica en la figura. Reemplace el sistema de fuerzas por un sistema

fuerza par en el punto O.

Figura p.3.

4) Cuatro partículas de masas m, 2m, 3m y m se encuentran ubicadas en las esquinas de un

rectángulo como se indica en la figura. a) Calcule el momento de inercia del sistema

respecto a un eje que pasa por el centro del rectángulo, el cual coincide con su centro de

masa. b) Calcule el momento de inercia respecto a un eje que pasa por las esquinas donde

se encuentran las partículas de masas 3m y m.

Figura p.4.

5) Considere el sistema que se muestra en la figura p.5. Una esfera de radio R y masa 5m,

dos varillas cada una de longitud L y masa 2m y cuatro partículas cada una de masa m/2.

Determine el momento de inercia del sistema respecto a un eje que pasa por el centro de la

esfera.

Física mecánica

255

Figura p.5.

6) Un cilindro macizo de radio R y masa M está unido a un bloque de masa 2M mediante

una cuerda ideal la cual pasa por una polea real de radio R/2 y masa M/2, como se indica

en la figura. Determine la aceleración del bloque y la aceleración angular del cilindro. El

cilindro rueda sin deslizar y la polea se puede modelar como un disco.

Figura p.6.

7) Un cilindro macizo de radio R y masa M está unido a un bloque de masa 2M mediante

una cuerda ideal la cual pasa por una polea ideal como se indica en la figura. El ángulo que

forma la superficie inclinada con la horizontal es θ. Determine la aceleración del bloque y

la aceleración angular del cilindro. El cilindro rueda sin deslizar y la polea se puede

modelar como un disco.

Física mecánica

256

Figura p.7.

8) Una esfera maciza de radio r y masa M se suelta por una vía de montaña rusa como se

indica en la figura. Cuando la esfera llega a la parte inferior de la vía, comienza a ascender

por describiendo una trayectoria circular de radio R. Determine la altura mínima desde la

cual se debe soltar la esfera de tal manera que de una vuelta completa sobre la parte

circular de la vía.

Figura p.8.

9). Una escalera de longitud L y masa M reposa sobre un muro vertical como se indica en

la figura. Únicamente existe fricción entre el piso y la escalera y esta permanece en

Física mecánica

257

equilibrio. Determine la magnitud y dirección de las reacciones ejercidas sobre la varilla en

los puntos de contacto con el piso y el muro, es decir, en los puntos A y B.

Figura p.9.

10) Una varilla de longitud L y masa M se encuentra unida a una cuerda ideal de la misma

longitud como se indica en la figura. El extremo de la varilla que no se encuentra unido a

la cuerda reposa sobre un muro vertical rugoso y del extremo que se encuentra unido a la

cuerda se cuelga un bloque de masa 2M. Determine la magnitud y dirección de la reacción

ejercida por el muro sobre la varilla y la tensión en la cuerda.

Figura p.10.

Física mecánica

258

Física mecánica

259

Bibliografía

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Fisica Mecanica Javier Vargas

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