Fisica I - Libro Internet 1

INTRODUCCION A LA MECANICA

Herbert Massmann

AGRADECIMIENTOS (1997)

Aproximadamente la mitad de los problemas que guran al nal de cada cap tulo no son originales del autor, sino que provienen de controles, pruebas y listas de ejercicios que han circulado en la Facultad de Ciencias y en la Facultad de Ciencias F sicas y Matemticas de la Universidad de Chile durante la ultima dcada. Lamena e tablemente resulta casi imposible establecer quines son los autores intelectuales de e estos problemas para as poder darles el debido crdito. e Deseo agradecer a V ctor Muoz, Miguel Kiwi, Fernando Lund, Patricia Lpez, n o Pamela Weber, Claudio Romero y Lorena Cspedes, que con sus comentarios han mee jorado el texto y permitieron pesquisar muchos de los errores de las versiones preliminares. Finalmente tambin mis agradecimientos al Dr. Hugo Arellano que gentilmente e permiti incorporar a estos apuntes la lista de problemas que l confeccion para el o e o curso. Herbert Massmann

Notas adicionales (2007)

Los apuntes aqu presentados han servido de base, durante mucho tiempo, pa ra los cursos de Mecnica I y II, correspondientes al Primer y Segundo Semestre a de Licenciatura en F sica de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Chile. La versin presentada en este archivo se basa en la ultima preparada por el o Dr. Herbert Massmann de que disponemos, correspondiente al ao 1997. No todas n las fuentes estaban disponibles, sin embargo, y completar estos apuntes ha signicado reconstruir algunos cap tulos (1214) a partir de copias en papel. De hecho, en esta versin dos cap o tulos no estn incluidos: Gravitacin (Cap. 11) y Ondas a o Sonoras (Cap. 15). Ambos se pueden encontrar como documentos separados, en http://llacolen.ciencias.uchile.cl/~vmunoz/cursos/mecanica2/mecanica2.html . Los agradecimientos que estn ms arriba fueron copiados del texto original del a a Dr. Massmann. Por mi parte, quisiera agregar agradecimientos a Areli Zniga, Niu cols Rojas y Max Ram a rez, que, en aos posteriores, tambin han colaborado en la n e escritura de algunas secciones o en la confeccin de guras. o Esperamos completar y mejorar estos apuntes en la medida que el tiempo y la colaboracin de nuestros colegas y alumnos lo permita. o V ctor Muoz n

Indice general1 Expansiones y Trigonometr a 1.1 Expansiones y series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Elementos de trigonometr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.3 Solucin a algunos de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2 Cinemtica en una dimensin a o 2.1 Posicin, velocidad y aceleracin . . . . . . . o o 2.2 El camino inverso . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Mximos y m a nimos . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Problemas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Solucin a algunos de los problemas . . . . . o 2.6 Elementos del clculo innitesimal e integral a 3 Cinemtica en dos y tres dimensiones a 3.1 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Cinemtica . . . . . . . . . . . . . . . a 3.3 Coordenadas polares . . . . . . . . . 3.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Solucin a algunos de los problemas . o 4 Las 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 leyes de Newton Espacio y tiempo . . . . . . . . . . . Las leyes de Newton . . . . . . . . . Uso de las leyes de Newton . . . . . Roce cintico y esttico . . . . . . . e a Problemas . . . . . . . . . . . . . . . Solucin a algunos de los problemas o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4 21 26 26 34 38 39 49 56 58 58 64 70 72 83

88 . 88 . 90 . 92 . 98 . 102 . 114 126 126 132 136

5 TRABAJO Y ENERG IA 5.1 Trabajo y energ para movimientos en una dimensin . . . . . . . . . a o 5.2 Trabajo para un movimiento en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . 5.3 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

INDICE GENERAL 5.4 5.5

ii

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Solucin a algunos de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 159 162 165 166 173 179 187 187 190 192 194 197 201 209 218 218 220 226 229 233 233 236 241 254 263 263 266 269 272 278 278 279 279 282

6 Momento lineal y colisiones 6.1 Conservacin del momento lineal . . o 6.2 Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Solucin a algunos de los problemas o 6.6 Colisin de dos discos . . . . . . . . o

7 Torque, centro de masas y equilibrio 7.1 Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . 7.2 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Centro de masas . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Evaluacin numrica del centro de masas o e 7.5 Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Solucin a algunos de los problemas . . . o 8 Momento angular 8.1 Momento angular de una PART ICULA 8.2 Momento angular de varias partIculas . 8.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Solucin a algunos de los problemas . . o 9 Rotacin de un cuerpo r o gido 9.1 Las ecuaciones bsicas . . . . . . . . a 9.2 Momento de inercia . . . . . . . . . 9.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Solucin a algunos de los problemas o 10 Fuerzas cticias 10.1 Referencial uniformemente acelerado 10.2 Referencial en rotacin uniforme . . o 10.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Solucin a algunos de los problemas o 11 Gravitacin o 11.1 Elipses . . . . . . . . . . . . . . . Elipse en coordenadas cartesianas Elipse en coordenadas polares . . 11.2 Las leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INDICE GENERAL Satlites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Potencial efectivo . . . . . . . . . . . . . . . Trayectorias de los satlites . . . . . . . . . e El campo y potencial gravitacional . . . . . El caso elctrico: la ley de Coulomb . . . . . e Campo gravitacional de una cscara esfrica a e Campo gravitacional de una esfrica slida . e o Densidad media de la Tierra . . . . . . . . . 11.10Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.11Solucin a algunos de los problemas . . . . o 12 Fluidos 12.1 Conceptos preliminares . . . . . . . . . 12.2 La presin atmosfrica P0 . . . . . . . o e 12.3 Principio de Arqu medes . . . . . . . . 12.4 La frmula baromtrica . . . . . . . . o e 12.5 Tensin supercial . . . . . . . . . . . o 12.6 Capilaridad . . . . . . . . . . . . . . . 12.7 Fluidos en movimiento . . . . . . . . . 12.8 Aplicaciones del Principio de Bernoulli 12.9 Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . 12.10Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . 12.11Solucin a algunos de los problemas . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii 286 290 295 297 301 302 306 308 308 317 324 324 326 328 330 334 336 337 340 344 347 358 362 362 365 368 372 375 380 385 396 400 400 402 409 412 414 421

13 Oscilador armnico o 2 13.1 La ecuacin diferencial x(t) + 0 x(t) = 0 o 13.2 El oscilador armnico simple . . . . . . o 13.3 El oscilador armnico atenuado . . . . . o 13.4 El oscilador armnico forzado . . . . . . o 13.5 Osciladores armnicos acoplados . . . . o 13.6 Modos normales de una cuerda . . . . 13.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.8 Solucin a algunos de los problemas . . o

14 Ondas 14.1 La ecuacin de ondas . . . . . . . . . . . . . . o 14.2 Solucin de la ecuacin de ondas . . . . . . . o o 14.3 Ondas estacionarias en una cuerda de largo L 14.4 Desarrollo de Fourier . . . . . . . . . . . . . 14.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6 Solucin a algunos de los problemas . . . . . o

INDICE GENERAL 16 Ondas sonoras 16.1 Propagacin del sonido o 16.2 Velocidad del sonido . 16.3 La ecuacin de ondas . o 16.4 Frecuencia . . . . . . . 16.5 Intensidad . . . . . . . 16.6 Propagacin del sonido o

0 425 425 426 428 430 433 435

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Cap tulo 1

Expansiones y Trigonometr aEn este primer cap tulo se recopilarn algunos resultados de las matemticas que son a a bsicos para los cap a tulos que siguen.

20 Marzo 200

1.1

Expansiones y series(1 + x)1 = 1 + x (1 + x)2 = 1 + 2x + x2 (1 + x)3 = 1 + 3x + 3x2 + x3 (1 + x)4 = 1 + 4x + 6x2 + 4x3 + x4 (1 + x)5 = 1 + 5x + 10x2 + 10x3 + 5x4 + x5

Consideremos las expansiones:

Generalizando, para un entero n positivo arbitrario, la expansin del binomio (1+x)n o puede escribirse en la forma (1 + x)n = 1 + n n (n 1) 2 n (n 1) (n 2) 3 x+ x + x 1! 2! 3! n (n 1) (n 2) (n 3) 4 x + + nx(n1) + xn , + 4! (1.1) donde n! 1 2 3 (n 1) n. Por denicin 0! 1. La expansin (1.1) es vlida o o a para cualquier valor de x y cualquier valor de n entero no negativo. Una expresin anloga tambin se puede escribir para (1 + x) , donde es ahora o a e cualquier nmero real. En efecto, en ese caso u (1 + x) = 1 + ( 1) 2 ( 1) ( 2) 3 x+ x + x 1! 2! 3! ( 1) ( 2) ( 3) 4 + x + . 4! 1

(1.2)

CAP ITULO 1. EXPANSIONES Y TRIGONOMETR IA

2

Sin embargo, si no es nulo o un entero positivo, hay una diferencia importante entre las dos expresiones: la expansin (1.1), con n entero no negativo siempre tiene o una cantidad nita de trminos y se puede usar para cualquier valor de x; la serie e (1.2), por otra parte, posee innitos trminos (sumandos) y slo se puede usar (en el e o lenguaje tcnico, converge) si |x| < 1. e Ejemplos: 1. Usando la ecuacin (1.2) con = 1 se obtiene la serie geomtrica o e 1 = 1 + x + x 2 + x3 + x 4 + (1.3) (1 x)1 = 1x Si bien el lado izquierdo est bien denido para cualquier valor de x, el lado a derecho slo da un resultado nito si |x| < 1. o Para x = 1/2 el lado izquierdo es igual a 2, mientras que el lado derecho da la serie 1 1 1 1 + ... 1+ + + + 2 4 8 16 que, obviamente, al sumarla, tambin da 2. e Para x = 1/10 el lado izquierdo es igual a 10/9, mientras que el lado derecho da la serie 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + . . . = 1.1111 . . . . que es el desarrollo decimal de 10/9. 2. Evaluemos la suma nita S N = 1 + x + x 2 + x3 + + x N . Para ello restemos de esta serie la misma serie, pero multiplicada por x, es decir: SN x SN = = 1 + x + x 2 + x3 + + x N x + x2 + x3 + + xN + xN +1 .

Al restar, al lado izquierdo queda (1 x) SN , mientras que al lado derecho queda 1 xN +1 , o sea, (1 x) SN = 1 xN +1 . SN = Despejando SN se obtiene

1 xN +1 . 1x Si hacemos N cada vez ms grande, es decir lo hacemos tender a innito, en a el lado derecho se tendr algo nito slo si |x| < 1. En efecto, en ese caso a o l N xN +1 = 0 y entonces m 1 l SN = 1 + x + x2 + x3 + = m , N 1x resultado consistente con el del ejemplo 1.

CAP ITULO 1. EXPANSIONES Y TRIGONOMETR IA 3. Escribamos la relacin (1.2) para = 1/2. En ese caso se obtiene o (1 + x)1/2 = 1 1 1 1 + x = 1 + x x2 + x3 2 8 16

3

La razn por la cual esta expresin es util es que con frecuencia se requerir evao o a luar la ra de (1 + x) para situaciones en que x es un nmero muy pequeo. z u n En ese caso los trminos sucesivos de la serie son cada vez ms pequeos y es e a n posible obtener un resultado satisfactorio usando slo los dos o tres primeros o trminos del lado derecho. e La tabla adjunta muestra un pequeo anlisis para x = 0.1: n a lado izquierdo 1.04880884817 lado derecho 1.0 1.05 1.04875 1.0488125 No de trminos e 1 2 3 4 error 4.9 % 0.11 % 0.0059 % 0.00037 %

Ejercicio: Verique que para valores de x ms pequeos, la convergencia del a n resultado de la serie truncada hacia el resultado exacto es aun ms rpida. a a 4. Sea = 0 un nmero real arbitrario y evaluemos [(1+x) 1]/x para valores de u x muy pequeos. Observe que para valores de x cada vez ms pequeos, tanto n a n el numerador como el denominador tienden a cero. De acuerdo a la ecuacin (1.2), para x muy pequeo vale la aproximacin o n o (1 + x) 1 + x (o sea, estamos despreciando todos los trminos de la serie excepto los dos e primeros). Usando esta aproximacin se encuentra que (para x muy pequeo) o n 1+x1 x (1 + x) 1 = = . x x x Verique numricamente este resultado usando una calculadora. e

Algunas aproximaciones que se obtienen a partir de la ecuacin (1.2) para |x| pequeo, o n que se usarn con frecuencia, y conviene tener siempre presentes, son: a (1 + x) 1 + x , 1 1x , 1+x 1 1+x , 1x (1.4) (1.5) (1.6)

CAP ITULO 1. EXPANSIONES Y TRIGONOMETR IA 1+x1+ x . 2

4 (1.7)

Para abreviar la escritura de series, se usa frecuentemente la letra griega sigma mayscula ( ). Ilustramos el uso de este s u mbolo con algunos ejemplos:6

j = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 ,j=1 4

j 2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 30 ,j=1 2

j k = j 2 + j 1 + 1 + j + j 2 ,k=2 n=0

1 2

n

=1+

1 1 1 + + + = 2 . 2 4 8

1.2

Elementos de trigonometr a

Consideremos los tringulos rectngulos (ABC) y (AB C ) mostrados en la a a gura 1.1. De acuerdo a un teorema de la geometr elemental, la razn (entre trazos) a o : AB , dependiendo sta slo del valor del ngulo AC : AB es igual a la razn AC o e o a . Se ha convenido llamar a tal razn cos ; o sea, en un tringulo rectngulo, el o a a cuociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa dene el coseno del ngulo que a forman esos dos lados: cos = AC longitud del lado adyacente . = longitud de la hipotenusa AB

Figura 1.1


5

Tambin el cuociente entre el cateto opuesto al ngulo y la hipotenusa es indee a pendiente del tamao del tringulo rectngulo y slo depende del valor de . A esta n a a o razn se la llama seno del ngulo, tenindose o a e BC longitud del lado opuesto . = longitud de la hipotenusa AB Es util denir tambin la funcin tangente: e o sin = tan longitud del lado opuesto sin = . longitud del lado adyacente cos

Evaluemos sin2 + cos2 . Se tiene: AC BC + AB AB 2 + (BC)2 (AC) . (AB)22 2

cos + sin = =

2

2

Pero, de acuerdo al teorema de Pitgoras, (AC)2 + (BC)2 = (AB)2 , luego a cos2 + sin2 = 1 . Dos relaciones trigonomtricas importantes son: e sin( + ) = sin cos + sin cos y cos( + ) = cos cos sin sin . (1.9) (1.8)

Demostremos al menos una de ellas; la primera. Para ello consideremos la gura 1.2. Partiendo del tringulo (ABC), prolongamos el lado BC y gracamos las alturas a CD y AE. Note que el ngulo < ACE resulta ser igual a + . El rea de un a ) a tringulo es la mitad del producto de su base por la altura. De la gura 1.2, para el a rea del (ABC), obtenemos a 2 Area [ (ABC)] = BC EA = AB CD . En la ultima ecuacin hemos escrito el producto base por altura del tringulo o a (ABC) de dos maneras distintas: en la primera igualdad, BC es la base y EA la altura, mientras que en la segunda, AB es la base y CD la altura. Partiendo de la ultima igualdad, dividiendo ambos lados por AC y CB, se obtiene


6

Figura 1.2

o sea, EA AC

BC EA AB CD = , BC AC AC CB

= =

(AD + DB) CD AC BC AD CD DB CD + . AC BC BC AC

Usando las deniciones de seno y coseno, se deduce nalmente que sin( + ) = sin cos + sin cos . Como casos particulares de las ecuaciones (1.8) y (1.9), se encuentra cos(2) = cos2 sin2 y sin(2) = 2 cos sin . (1.11) (1.10)

Existen muchas identidades trigonomtricas de este tipo que resultan ser utiles pae ra llevar adelante diferentes tipos de clculos. Dejamos que el lector demuestre las a siguientes identidades: sin sin = 2 sin cos + cos = 2 cos 2 + 2 cos cos 2 2 , , (1.12) (1.13)


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Figura 1.3 cos cos = 2 sin tan 2 = + 2 sin 2 , (1.14)

2 tan . (1.15) 1 tan2 La denicin del seno y coseno que hemos dado es vlida para ngulos entre 0 o a a y 90 grados. Para denir estas funciones para otros ngulos es conveniente considerar a un c rculo de radio R = 1 centrado en el origen (ver gura 1.3). Por convencin, los o ngulos se miden desde el eje x en el sentido contrario a los punteros del reloj. a Consideremos el punto A sobre el c rculo, formando un ngulo con el eje x. a Usando el hecho que la hipotenusa vale 1, es fcil convencerse de que las coordenadas a x e y del punto A coinciden con los valores de cos y sin , respectivamente. Es sta la propiedad que se usa para denir el valor del seno y coseno para e cualquier ngulo . El procedimiento es el siguiente: i) Encontrar el punto P sobre a el c rculo que forma un ngulo con el eje x (en la gura 1.3, esto se muestra a para = 210 ); ii) luego, proyectar el punto P sobre los ejes para encontrar xp e yp . Entonces cos = xp y sin = yp . Para el caso mostrado en la gura 1.3, cos(210 ) = 3/2 = 0, 8660 . . . y sin(210 ) = 1/2. Es evidente que, para todos los ngulos , siempre se cumple a 1 cos 1 y 1 sin 1 . Podemos gracar las proyecciones del punto P a medida que variamos . De esta manera se obtiene el grco de las funciones coseno y seno (ver gura 1.4). a Recordemos que los ngulos tambin pueden ser medidos en radianes (unidad a e adimensional que se abrevia por rad). El valor del ngulo , en radianes, es igual al a largo del arco subtendido sobre el c rculo unitario desde donde lo cruza el eje x hasta , o sea, la el punto A (ver gura 1.3). De acuerdo a la denicin, un ngulo de 360 o a


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Figura 1.4 circunferencia completa, corresponder a un ngulo igual a 2 rad. El ngulo recto a a a es igual a /2. No es dif vericar que cil 1 rad = 360 = 57.3 . 2

Para llegar al punto P (gura 1.3) originalmente se recorri un ngulo desde o a el eje x positivo. Al continuar y dar una vuelta completa para volver al punto P , habremos recorrido desde el eje x un ngulo 2 + . Sucesivas rotaciones nos llevarn a a nuevamente al punto P , habindose recorrido ngulos 4 + , 6 + , etc. Cada vez e a que, desde el eje x positivo, recorremos un ngulo ms un mltiplo de 2, estaremos a a u en el punto P . Se trata de un movimiento que se repite y se dice que es peridico o en el ngulo , con per a odo igual a 2. Se tiene (ver gura 1.4) que, para cualquier ngulo , a cos( + n 2) = cos y sin( + n 2) = sin , donde n es un entero. Note que, cuando el ngulo se expresa en radianes, se cumplen a las siguientes relaciones: sin( ) = sin cos( ) = cos cos( + /2) = sin sin( + /2) = cos . cos(/2 ) = sin sin(/2 ) = cos


9

Figura 1.5 Cuando el argumento (en radianes) de una funcin trigonomtrica es muy peo e queo, sta puede aproximarse con una expresin simple. En efecto, consideremos n e o el tringulo rectngulo ABC mostrado en la gura 1.5. A medida que decrece, el a a cateto opuesto a se hace cada vez ms parecido al arco de c a rculo s con centro en A. Usando la denicin de la funcin seno se tiene o o sin = s a . c c

Pero el cuociente s/c es precisamente el ngulo en radianes, luego, para ngulos a a pequeos (y stos expresados en radianes) n e sin . Sabemos que cos2 = 1 sin2 . Luego, para ngulos pequeos a n cos2 1 2 , o sea, cos Ejemplo: Evale, usando una calculadora, las funciones sin y cos para = 5 . Compare u los valores obtenidos con aqullos que resultan de usar las expresiones aproximadas e escritas ms arriba. a Ingresando el valor = 5 = 5 2/360 rad en una calculadora, obtenemos: sin 5 = 0.0871557 y cos 5 = 0.9961947 . 1 1 2 1 2 . 2 (1.17) (1.16)

CAP ITULO 1. EXPANSIONES Y TRIGONOMETR IA Si ahora hacemos uso de las expresiones aproximadas, obtenemos sin 5

10

y

5 2 = 0.087266 360 5 2 3602

1 cos 5 = 1 2

= 0.9961923

Note que los valores aproximados dieren poco de los obtenidos con la calculadora. Para el coseno el error es inferior al 0.003 %. Cabe destacar que las funciones sin y cos pueden ser expresadas como una suma innita de trminos proporcionales a diferentes potencias del ngulo (expresado e a en radianes): cos = 1 sin = 2 4 6 + + , 2! 4! 6! (1.18)

y

3 5 7 + + , 3! 5! 7! donde n! n(n1)(n2) 321. Para || 1, estas series convergen rpidamente, a lo que permite representar las funciones seno y coseno con pocos trminos. e Ejemplo: Representemos en un mismo grco, para el intervalo t [, 2] , las siguientes a cinco funciones: i) ii) iii) iv) v) f0 (t) = cos t f1 (t) = 1 f2 (t) = 1 t2 /2! f3 (t) = 1 t2 /2! + t4 /4! f4 (t) = 1 t2 /2! + t4 /4! t6 /6!

Observe que de acuerdo a la ecuacin (1.18), las funciones f1 (t), f2 (t), etc., para t o pequeo son aproximaciones cada vez mejores de f0 (t) = cos t. Este comportamiento n se observa claramente en la gura 1.6 (pgina siguiente) donde se han gracado las a diversas funciones.


11

Figura 1.6 Funciones trigonomtricas inversas e En ocasiones, lo que se conoce es x = cos y lo que se desea conocer es el ngulo a . Esta operacin inversa se denota por o = arccos(x) . Es importante darse cuenta de que esta funcin inversa, llamada arcocoseno, es o una funcin multivaluada, o sea, que la respuesta no es unica. Hay varios ngulos o a distintos para los cuales el coseno del ngulo tiene el mismo valor. Las calculadoras, a al evaluar las funciones trigonomtricas inversas, slo dan la solucin que est en el e o o a intervalo [0, ] para el arcocoseno y el intervalo [/2, +/2] para la funcin arcoseno o y la funcin arcotangente. o En ocasiones la solucin entregada por la calculadora no es la f o sicamente aceptable, en cuyo caso uno debe preocuparse de encontrar la solucin correcta (en el o lenguaje tcnico: elegir la rama adecuada). Algo similar ocurre cuando uno extrae e ra ces: puede ocurrir que la ra de 9 de inters f z e sico sea 3 y no la solucin que o entrega la calculadora (que es +3). Para la funcin arcocoseno la calculadora, al evaluar = arccos(x) con |x| 1, o siempre dar la respuesta que se ubica en el intervalo [0, ] (si est usando la a a calculadora en radianes) o en el intervalo [0, 180 ] si la calculadora est calculando en a grados. Ejercicio: Sea |x| 1 cierto valor dado y suponga que deseamos encontrar todos los ngulos (en radianes) para los cuales cos = x. Suponga adems que hemos, de a a alguna manera, encontrado una solucin = 0 (por ejemplo, el ngulo que muestra o a la calculadora al evaluar arccos(x) ). Demuestre que todas las dems soluciones a a


12

nuestro problema vienen dadas por = 0 + j 2 y = 0 + j 2, con j cualquier valor entero. Para la funcin arcoseno la calculadora, al evaluar = arcsin(x) con |x| 1, o siempre dar la respuesta que se ubica en el intervalo [/2, /2] (si est usando la a a , +90 ] si la calculadora est calculando calculadora en radianes) o en el intervalo [90 a en grados. Ejercicio: Sea |x| 1 cierto valor dado y suponga que deseamos encontrar todos los a ngulos (en radianes) para los cuales sin = x. Suponga adems que hemos, de a alguna manera, encontrado una solucin = 0 (por ejemplo, el ngulo que muestra o a la calculadora al evaluar arccos(x) ). Demuestre que todas las dems soluciones a a nuestro problema vienen dadas por = 0 + j 2 y = ( 0 ) + j 2, con j cualquier valor entero. Por ser frecuentemente fuente de errores reiteramos lo dicho unos prrafos antes: a al evaluar funciones trigonomtricas inversas la solucin entregada por la calculadora e o no es siempre la f sicamente aceptable. El alumno debe asegurarse de que la respuesta mostrada por la calculadora efectivamente resuelve completamente su problema, en caso contrario, debe analizar si alguna de las otras soluciones, que se obtuvieron en los dos ejercicios anteriores, sirve.

Problemas:1. Evale las siguientes sumatorias u a) S=n = 1, 2 m = 1, 2, 3

nm

b)

S=j=3,...,8 N

1

c)

S=j=0

j 1 |i j|

d)

S=i, j = 1, . . . , 4 i>j

Respuestas: a) 17 , b) 12 , c) N (N + 1)/2 , d) 13/3


13

2. Encuentre una expresin para [ (x+) x ]/, en el lmite en que tiende a o cero. En otras palabras, tiene un valor nito pero peque nsimo (tan pequeo n como se quiera); al nal del clculo se permite poner = 0. a Usando una notacin y un lenguaje ms tcnico, el enunciado de este problema o a e ser a: Evale u f (x) = l m0

1 [ (x + ) x ] .

Respuesta: f (x) = x1 . cos(x + ) cos x sin x.

3. Evale u Respuesta:

para || 1 .

4. Represente en forma cuidadosa, en un mismo grco, para el intervalo t a [1, 1] , las siguientes cuatro funciones: (a) (b) (c) (d) f0 (t) = 1/(1 t) f1 (t) = 1 + t f2 (t) = 1 + t + t2 f3 (t) = 1 + t + t2 + t3

Observe que, de acuerdo a la ecuacin (1.3), f1 (t), f2 (t) y f3 (t) son sucesivao mente aproximaciones cada vez mejores (para t pequeo) de la funcin f0 (t). n o

5. Demuestre las siguientes relaciones trigonomtricas: e (a) sin = tan( + ) = tan 1 + tan2

(b)

tan + tan 1 tan tan + 2 cos 2 .

(c)

sin + sin = 2 sin


14

Figura 1.7

Figura 1.8

6. Sea r el radio del c rculo circunscrito de un pentgono regular (ver gura 1.7). a (a) Cunto mide el ngulo interior (en radianes)? a a (b) Determine el largo del lado s en funcin de r. o (c) Determine el rea del pentgono. a a Respuestas: a) = 3/5 radianes ; c) rea = a5 2

r 2 sin(2/5).

7. Una camionada de arena seca se descarga formando un cono de 4 metros de dimetro. Si la densidad de la arena seca es =1.7 g/cm3 y el el ngulo del a a , calcule la masa de la arena (en toneladas). cono (ver gura 1.8) es de = 32 8. Encuentre todos los valores de x en el intervalo [5, +5] (cuando no se especica nada se asume que las unidades son radianes) para los cuales se cumple la relacin o 3 sin x tan x = . 2 Respuesta: x = 4/3 , 2/3 , 2/3 , 4/3 . 9. Represente en un mismo grco, para t en el intervalo [, 2] , las siguientes a cuatro funciones: (a) (b) (c) (d) f0 (t) = sin t f1 (t) = t f2 (t) = t t3 /3! f3 (t) = t t3 /3! + t5 /5!

Aqu nuevamente f1 (t), f2 (t) y f3 (t) son sucesivamente aproximaciones cada vez mejores (para t pequeo) de la funcin f0 (t). n o


15

Figura 1.9 10. Al incidir luz sobre una interfase, por ejemplo, al pasar del aire al vidrio o viceversa, sta generalmente sufre un cambio de direccin (ver gura 1.9). Este e o fenmeno se conoce con el nombre de refraccin de la luz. La ecuacin que o o o describe este fenmeno es la Ley de Snell: o v sin = aire , sin vvidrio donde vaire y vvidrio corresponden a la velocidad de la luz en el aire y el vidrio, respectivamente. (Para el vidrio comn se tiene vaire /vvidrio 1.5 .) u (a) Supongamos que un haz de luz incide sobre un vidrio de 2 cm de espesor, con un ngulo de incidencia = 40 . Encuentre la distancia d por la cual a el haz de luz emergente se encontrar paralelamente desplazado respecto a al haz incidente (ver gura 1.10). (b) Considere ahora un haz de luz incidiendo sobre un prisma en la forma que se muestra en la gura 1.11. Encuentre el ngulo para = 20 , 40 , 50 a y 70 . Para qu ngulo = 0 se obtiene = 90 ? Para > 0 el haz de ea luz es reejado especularmente (como si fuese un espejo) por la supercie interior del prisma, fenmeno conocido con el nombre de reexin total. o o

Figura 1.10

Figura 1.11


16

Figura 1.12

Figura 1.13

11. La gura 1.12 adjunta indica la diferencia entre un da sideral y un da solar. Para facilitar la explicacin supongamos que es posible observar las estrellas o durante el d (Por supuesto que las estrellas estn all y de hecho los raa. a dioastrnomos observan algunas de ellas.) o Para un observador en el Ecuador, el d solar es el per a odo que transcurre entre dos pasos consecutivos del sol por el zenit (posicin del sol justo sobre nuestras o cabezas). El d sideral consiste en el mismo fenmeno pero que ahora ocurre a o con una estrella muy lejana. La diferencia entre ambas deniciones se debe a la traslacin de la tierra alrededor del sol. Determine el valor del ngulo que se o a muestra en la gura y calcule la diferencia entre el d sideral y el d solar en a a segundos. 12. Un tambor de 50 cm de radio y 1.5 m de largo se encuentra acostado y lleno con parana hasta una altura h =60 cm (ver gura 1.13). Cuntos litros de a parana hay en el tambor? 13. La esfericidad de la tierra fue postulada por Pitgoras y conrmada por Aristtea o les al observar la forma circular de la sombra que proyecta la tierra en la supercie de la luna durante un eclipse lunar. El primer clculo que se conoce del radio de la tierra se debe a Eratstenes (276 a o A.C.194 A.C.), quien a la fecha estaba a cargo del Museo de Alejandr El a. mtodo que us se bas en observar el ngulo con que inciden los rayos solares e o o a sobre la supercie de la tierra, el mismo d y a la misma hora, en dos lugares a separados entre s por una gran distancia. Los lugares elegidos fueron Siena (S) (hoy Asun) y Alejandr (A). a a Eratstenes sab que al mediod del 22 de junio el Sol ca verticalmente en o a a a Siena, pues la luz se reejaba directamente en el fondo de una noria. El mismo d a la misma hora, midi la sombra que proyectaba en Alejandr un alto a, o a


17

Figura 1.14 obelisco, que le indic que los rayos solares formaban un ngulo de 7.2 con la o a vertical (ver gura 1.14). Dado que el sol est a gran distancia de la tierra se puede suponer que los rayos a que llegan a ambas ciudades son paralelos. Eso quiere decir que la separacin o angular entre Siena y Alejandr medida con respecto al centro de la tierra es a tambin 7.2 (demustrelo). Sabiendo que la distancia entre Siena y Alejandr e e a (arco de c rculo) es de aproximadamente 800 km, estime el radio de la tierra. Respuesta: Radio 6100 km. (El resultado que obtuvo Eratstenes en su poca o e fue incorrecto, debido a la imprecisin con que estim la distancia entre los dos o o lugares.) 14. Una persona ubicada en el punto P observa dos montaas que la rodean, una n a la derecha y la otra a la izquierda. Sean y los ngulos de elevacin, a o respectivamente (ver gura 1.15). Si la montaa de la izquierda tiene una altura n h y la separacin entre las proyecciones de las cimas sobre el nivel de la supercie o terrestre es D, calcule la altura del otro monte. 15. En el ao 1752 los astrnomos Landale y Lacaille determinaron en Berl (B) y n o n en la ciudad del Cabo (C), a la misma hora, el ngulo entre la normal y la recta a

Figura 1.15


18

Figura 1.16 entre su posicin y un punto predeterminado del borde de la luna. Los ngulos o a en Berl y = 55.72 en El Cabo. Amque determinaron fueron = 32.08 n bas ciudades se ubican en el mismo meridiano y se encuentran en las latidudes B = 52.52 y C = 33.93 , respectivamente (ver gura 1.16). Usando para el radio terrestre el valor de 6370 km, determine la distancia entre la tierra y la luna.

16. Encuentre el ngulo entre dos diagonales de un cubo. a 17. a) Teorema del seno. Demuestre que en un tringulo cualquiera se cumplen a las siguientes relaciones: b c a = = , sin sin sin donde , y son los ngulos interiores del tringulo y a, b y c los lados a a opuestos a cada uno de estos ngulos. a b) Teorema del coseno. Demuestre que en un tringulo cualquiera se cumplen a las siguientes relaciones: c2 = a2 + b2 2ab cos , b2 = a2 + c2 2ac cos , y a2 = b2 + c2 2cb cos .

CAP ITULO 1. EXPANSIONES Y TRIGONOMETR IA 18. Determine el largo m nimo que debe tener una cadena para unir dos poleas de radios R y r, separadas por una distancia D (ver gura 1.17).

19

Respuesta: L = 2 (R r) arcsin Rr D +2

Figura 1.17 D 2 (R r)2 + (r + R) .

19. Un tetraedro regular es la gura geomtrica que se obtiene al formar una pirmie a de con cuatro tringulos equilteros idnticos. Encuentre el ngulo entre dos de a a e a sus caras. 20. La altura de un edicio se puede determinar midiendo su angulo de elevacin y o la distancia a la que uno se encuentra del edicio. Suponga que el instrumento que tiene a disposicin le permite medir ngulos con un error de 1 . Determine o a el menor error porcentual con que, con tal instrumento, usted puede medir la altura de un edicio. 21. Dos observadores A y B miden a ngulos de elevacin de un avin que o o los sobrevuela a una altura constante. En cierto instante los ngulos a medidos por A y B son = 60 y = 40 , respectivamente. Diez segundos ms tarde, A mide un ngua a (ver gulo de elevacin = 110 o ra 1.18). La separacin entre A y B o es D = 1 km. A qu altura vuela el e avin? Cul es su velocidad? o a

Figura 1.18

22. Graque, usando un computador, la funcin f (t) = cos(t) + cos(0, 9t) para o t [0, 40] y observe el fenmeno de pulsaciones. o 23. Para qu latitud el paralelo terrestre tiene 1/3 de la longitud del Ecuador? e

CAP ITULO 1. EXPANSIONES Y TRIGONOMETR IA 24. Una cuneta de forma angular est caracterizada por los ngulos a a y respecto a la horizontal. Una bola de acero de radio R posa sobre la cuneta, ver gura 1.19. Determine el nivel m nimo de agua, medido desde el punto ms bajo de la cuneta, a necesario para cubrir la bola completamente.

20

Figura 1.19

25. Son las 12 del d Determine en cunto rato ms se vuelven a juntar los punteros a. a a del reloj. 26. a) Calcule la razn entre las reas del c o a rculo y del tringulo equiltero que lo a a circunscribe (ver gura 1.20a). b) Haga el mismo clculo anterior pero para el caso en que el tringulo contenga a a n(n + 1)/2 discos de radio R dispuestos como se muestra en la gura 1.20b.

Figura 1.20a

Figura 1.20b

27. Usted se plantea tener un atardecer de 24 horas de duracin en el Ecuador, para o lo cual cuenta con un aeroplano. Calcule la velocidad con que deber volar y a la direccin que debe tomar para lograr su propsito. Si un amigo viaja a la o o misma velocidad relativa a la tierra, pero en sentido opuesto, calcule el tiempo que transcurrir hasta encontrarse nuevamente con l. a e


21

28. Hay que decidir el tipo de empaque que se le va a dar a pelotas de tenis en una bandeja de forma cuadrada. Decida cual de las dos conguraciones mostradas en la gura 21 resulta ms conveniente. Justique su respuesta cuantitativamente. a

Figura 1.21a

Figura 1.21b

1.3

Solucin a algunos de los problemas o

Solucin al problema 15 o Inspeccionando la gura 1.22 se deduce de inmediato que = +

Figura 1.22

CAP ITULO 1. EXPANSIONES Y TRIGONOMETR IA y = + B |C | .

22

Usando el teorema del seno (ver problema 17) en los tringulos OBL y OLC, se a obtienen las expresiones sin sin( ) = R D y sin sin( ) = . R D Como y son ngulos pequeos podemos usar las aproximaciones a n sin y sin . De esta manera se obtienen y R sin D

R sin . D Sumando estas ecuaciones se deduce que = + R (sin + sin ) , D

o sea, D R (sin + sin ) R (sin + sin ) = . + B |C | D 367.000 km , valor muy cercano al actualmente aceptado para el radio de la rbita lunar, que es o de 384.000 km. Solucin al problema 16 o Consideremos un cubo de lados a. Sea A un vrtice de una diagonal y B el vrtice e e de otra diagonal del cubo. De los dos vtices de la segunda diagonal, denotaremos e por B al vrtice que est a una distancia a de A (el otro vrtice se encontrar a una e a e a distancia a 2 de A). Sea O el punto central del cubo.

Sustituyendo en esta ecuacin los valores numricos se encuentra que o e

CAP ITULO 1. EXPANSIONES Y TRIGONOMETR IA El tringulo AOB es issceles: con base a o AB = a y lados b AO = BO = 23 a. El ngulo =< (AOB) es el ngulo buscado. a ) a Se tiene que sin a/2 1 = = , 2 b 3

23

de donde se deduce que = 70.529 . El ngulo complementario < (AOC) = a ) 109.47 . Solucin al problema 21 o Sea a = AP y d = P Q. Usando el teorema del seno en el tringulo AP B se obtiene a sin sin ( ) = , a D o sea, a=D sin . sin( ) Figura 1.23

Usando el teorema del seno en el tringulo AQP se deduce que a sin( ) sin( ) = . a d Usando las dos ecuaciones anteriores se obtiene para d la expresin o d=D sin sin( ) . sin( ) sin

Reemplazando los valores numricos se encuentra que la distancia recorrida por el e avin en 10 segundos es d = 1, 53 km. La velocidad del avin es, por lo tanto, v = o o 552 km/h. La altura a la que vuela el avin viene dada por o h = a sin = 1628 [m] .


24

Figura 1.24

Solucin al problema 24 o Primero giremos la cuneta de manera que quede simtrica respecto a la horizontal, e es decir, con un ngulo ( + )/2 a cada lado (ver gura 25a). a

Figura 1.25a El ngulo < a )ABC tambin es ( + )/2, luego e AB = R cos + 2 .

Figura 1.25b


25

Para volver a poner la cuneta en la orientacin original debemos girarla en un o a ngulo ( )/2. Por lo tanto, (ver gura 1.25b) BD = AB cos 2

=R

cos 2 cos + 2

.

Para la altura del nivel de agua se obtiene nalmente la expresin o cos 2 cos + 2

h = R 1 +

.

Cap tulo 2

Cinemtica en una dimensin a o2.1 Posicin, velocidad y aceleracin o o

10 Abril 2006

Cinemtica es la descripcin del movimiento de un cuerpo sin considerar las causas a o que lo producen. Ms tarde, al estudiar las leyes de Newton, analizaremos el origen a del movimiento. Para simplicar la discusin, comenzaremos por estudiar el movimiento de obo jetos cuya ubicacin queda determinada especicando la posicin de un solo punto. o o Este tipo de objeto recibe el nombre de partcula. Contrariamente a lo que pudiera pensarse, no es necesario que los objetos sean pequeos para que puedan ser considen rados part culas. Por ejemplo, cuando se estudia el movimiento de la tierra en torno al sol, la distancia relevante es la distancia Tierrasol. En este caso, el tamao de la n Tierra no es importante, pudindose tratar como una part e cula ubicada en el centro de la tierra. El movimiento ms simple de una part a cula se tiene cuando la posicin de sta o e viene descrita por una unica coordenada; por ejemplo, el movimiento de una part cula que se traslada a lo largo de una l nea recta. (En el presente cap tulo nos restringiremos a este tipo de movimientos.) La eleccin de un origen divide naturalmente a la recta o en dos zonas. En forma arbitraria llamamos a una de ellas el lado positivo y a la otra el lado negativo (ver gura 2.1). La posicin de una part o cula queda determinada dando simplemente un nmero u (la coordenada x). La descripcin de su movimiento es completa si conocemos la o funcin x(t) que indica la posicin que ocupa en cada instante t. o o

Figura 2.1 26

CAP ITULO 2. CINEMATICA EN UNA DIMENSION

27

Figura 2.2 La diferencia entre la coordenada de una part cula entre dos instantes t1 y t2 (con t2 > t1 ) se denomina desplazamiento:Desplazamiento x2 x1 x .

El desplazamiento es una cantidad que tiene signo. Si la coordenada x de la part cula se incrementa durante cierto intervalo de tiempo, entonces el desplazamiento es positivo; si, por el contrario, decrece, el desplazamiento es negativo. Se dene velocidad media de una part cula durante el intervalo [t1 , t2 ] como la razn entre el desplazamiento y la duracin del intervalo de tiempo, o o v(t1 , t2 ) = x(t2 ) x(t1 ) . t2 t1

En un grco x(t) en funcin de t, esta denicin corresponde a la tangente del ngulo a o o a que forma la recta que une (x1 , t1 ) y (x2 , t2 ) con el eje del tiempo (ver gura 2.2). La velocidad promedio entrega una informacin global sobre el movimiento que o realiza una part cula en un cierto intervalo de tiempo. Si se desea tener una informacin ms precisa acerca de la velocidad durante el movimiento, es necesario subdividir o a el intervalo de tiempo original en subintervalos y calcular en cada uno de ellos una velocidad media. Mientras ms pequeo es el tamao de esos subintervalos, ms prea n n a cisa es la informacin acerca de las variaciones que experimenta la velocidad de la o part cula mientras se desplaza. El valor que se mide para la velocidad media en un cierto intervalo de tiempo pequeo, donde es nito pero tan pequeo como nosotros n n deseamos, se denomina velocidad instantnea. a Para determinar la velocidad instantnea de la part a cula en un instante t, se evala la velocidad promedio durante un intervalo muy pequeo que comienza en t y u n termina en t + , donde es un incremento de tiempo innitesimal (ms adelante, al a nalizar el clculo, haremos 0). Expl a citamente: v(t, t + ) = x(t + ) x(t) .


28

Figura 2.3 Al hacer 0, se obtiene la velocidad instantnea de la part a cula en el instante t. Esta la denotaremos por v(t) o x(t). Se tiene v(t) = l m x(t + ) x(t) = x(t) . (2.1)

0

Este proceso de l mite est ilustrado en la Figura 2.3. All se observa cmo cambia a o el valor de la velocidad media de la part cula en un intervalo [t, t + t] cuando es evaluada para diferentes valores de t. En el caso l mite, cuando 0, se observa que la velocidad instantnea queda representada por la tangente del ngulo (pendiente) a a que forma la recta tangente a la curva x(t) vs. t con el eje del tiempo. De aqu en adelante el trmino velocidad siempre se referir a la velocidad e a instantnea. a Ejemplos: 1. Supongamos que la posicin de una part o cula viene dada por x(t) = x0 + v0 t, con x0 = 1 m y v0 = 0.5 m . El grco x(t) en funcin de t da lugar a la recta a o s que se muestra en la gura 2.4. Esa curva corresponde a una part cula que se mueve con velocidad uniforme. La inclinacin de la recta con respecto al eje del tiempo es una medida de la o velocidad de la part cula. Una recta horizontal corresponde a una part cula en reposo mientras que una recta perpendicular al eje del tiempo representa un objeto que tiene velocidad innita. Evaluemos expl citamente la velocidad en un instante t cualquiera. Usando la


29

Figura 2.4 ecuacin (2.1) y la expresin para x(t) de este ejercicio, se obtiene o o v(t) = l m [x0 + v0 (t + )] [x0 + v0 t] x(t + ) x(t) = l m 0 0 v0 = l m = l v0 = v0 . m 0 0

Este resultado indica que la expresin para x(t) escrita ms arriba efectivamente o a corresponde al movimiento de una part cula con velocidad constante v0 (i.e., independiente del tiempo). 2. Supongamos ahora que la posicin de una part o cula viene dada por z(t) = z0 1 2 gt , 2

o o con z0 = 10 m y g = 9.81 m . Al gracar la posicin en funcin del tiempo se s2 encuentra la curva (parbola) mostrada en la gura 2.5. a Evaluemos la velocidad en un instante t cualquiera. Usando la ecuacin (2.1), o se obtiene1 1 [z0 2 g (t + )2 ] [z0 2 g t2 ] z(t + ) z(t) = l m 0 0 1 2 g (2t + ) g (2t + ) = l m = l m = g t . 0 0 2

v(t) = l m

La gura 2.6 muestra el grco de la velocidad instantnea en funcin del tiema a o po. Se observa que sta decrece linealmente a medida que transcurre el tiempo. e El signo negativo de la velocidad signica que la part cula se est desplazando a en el sentido negativo del eje z.


30

Figura 2.5

Figura 2.6

Sin embargo, el mdulo de la velocidad de la part o cula (magnitud que en algunos textos es denominada rapidez) aumenta a medida que transcurre el tiempo: |v(t)| = g t . El movimiento descrito por la funcin z(t) de este ejemplo corresponde a la o ca libre de una part da cula en el campo gravitacional terrestre y desde una altura z0 . Si la velocidad de una part cula cambia a medida que transcurre el tiempo, entonces la part cula tiene una aceleracin. o La aceleracin media (o promedio) que tiene la part o cula durante el intervalo [t1 , t2 ] es igual al cambio de velocidad que ocurre durante el intervalo, dividido por la duracin de ste, es decir o e v(t2 ) v(t1 ) . a(t1 , t2 ) = t2 t1 Para determinar en un instante t la aceleracin instantnea de la part o a cula, evaluamos la aceleracin promedio durante un intervalo muy pequeo que comienza o n en t. Sea [t, t+] ese intervalo, donde es un tiempo innitesimal (de hecho, al nalizar el clculo nuevamente tomaremos 0). Entonces a a(t, t + ) = v(t + ) v(t) .

Al hacer 0 se obtiene la aceleracin instantnea de la part o a cula (en el instante t). Esta la denotaremos con a(t), x(t) o v(t). Se obtiene a(t) = l m0

v(t + ) v(t) = x(t) = v(t) .

(2.2)

De aqu en adelante el trmino aceleracin e o instantnea. a

siempre se referir a la aceleracin a o

CAP ITULO 2. CINEMATICA EN UNA DIMENSION Ejemplos:

31

1. Para el movimiento rectil neo uniforme, la posicin de una part o cula viene dada por x(t) = x0 + v0 t. Ya hemos visto que, en ese caso, su velocidad es constante e igual a v0 . Demostremos ahora, usando la ecuacin (2.2), que en este caso la o part cula efectivamente no tiene aceleracin. De hecho, o a(t) = l m v(t + ) v(t) v0 v0 = l m = l 0 = 0 . m 0 0

0

2. En un ejemplo anterior vimos que la posicin y velocidad de una part o cula que cae libremente bajo la accin de la aceleracin de gravedad terrestre estn dadas o o a por las siguientes ecuaciones z(t) = z0 y v(t) = g t . Evaluemos la aceleracin: o a(t) = l m [g (t + )] (g t)] v(t + ) v(t) = l m 0 g = l m = l (g) = g . m 0 0 0

1 2 gt 2

El resultado indica que la aceleracin es constante y negativa. Eso signica que o la part cula acelera en el sentido negativo del eje z. Generalizando, podemos concluir que cuando el grco v(t) en funcin del tiema o po t es una recta, el movimiento de la part cula corresponde a un movimiento uniformemente acelerado. El caso particular en que la recta es horizontal corresponder a la situacin donde la aceleracin es nula. a o o En el grco x(t) en funcin de t, las aceleraciones se maniestan en la curvatura a o del grco. Se dice que un grco tiene curvatura positiva, si sta tiene la misma a a e orientacin que la curvatura de un pocillo, y negativa si la curvatura tiene la o orientacin de la de un paraguas. o Si en un grco x(t) vs. t la curvatura es positiva dentro de un cierto intervalo, a entonces tambin lo ser la aceleracin en ese intervalo. Por ejemplo, en la e a o gura 2.5 (que corresponde a la ca libre) la curvatura es negativa, luego da tambin lo ser la aceleracin. e a o 3. Consideremos una part cula de masa m, cuya posicin a medida que transcurre o el tiempo viene dada por z(t) = A cos(t) ,


32

donde A y son constantes. Tal movimiento de la part cula es un movimiento oscilatorio peridico. La amplitud de las oscilaciones es A y el per o odo del movimiento (es decir, el tiempo que debe transcurrir hasta que una conguracin o se vuelva a repetir) es T = 2/ . Al inverso de T se le llama frecuencia: = 1/T . A la magnitud se le llama frecuencia angular. Se tiene que = 2. Evaluemos la velocidad de la part cula: v(t) = l m = = = = = z(t + ) z(t) 0 1 l m [A cos((t + )) A cos(t)] 0 A l m [cos(t) cos() sin(t) sin() cos(t)] 0 2 2 A cos(t) 1 sin(t) () cos(t) l m 0 2 A 2 2 l m sin(t) () cos(t) 0 2 2 sin(t) l A cos(t) m 0 2 A sin(t)

Una vez conocida la velocidad podemos, en forma anloga, calcular la aceleraa cin: o a(t) = l m = = = v(t + ) v(t) 0 1 l m [A sin((t + )) (A) sin(t)] 0 A l m [sin(t) cos() + cos(t) sin() sin(t)] 0 2 2 A sin(t) 1 + cos(t) sin(t) l m 0 2 2 l A sin(t) m + cos(t) 0 2

= A 2 cos(t) La gura 2.7 muestra la posicin, velocidad y aceleracin de la part o o cula en funcin del tiempo. o


33

Figura 2.7 Notemos que para todo t, a(t) = 2 z(t). El lector ya familiarizado con la ecuaciones de Newton (que analizaremos recin en el cap e tulo 4) puede establecer una interesante relacin con la Ley de Hooke. En efecto, al hacer uso de la o ecuacin de Newton F = m a, se encuentra que la fuerza neta que acta sobre o u la part cula de masa m debe satisfacer la relacin o F = (m 2 ) z .

Denotando a la constante (m 2 ) por k, se tiene F = kz. Esto nos muestra que la fuerza neta sobre la part cula es proporcional al desplazamiento. El signo negativo indica que la direccin en que acta la fuerza es opuesta al desplazao u miento. Un ejemplo concreto en que aparece una fuerza del tipo F = kz es una masa m colgando de un resorte. En ese caso k es la constante del resorte y a F = kz se le llama Ley de Hooke. 4. Una persona levanta un peso P , sujetando una cuerda que pasa por una polea y caminando horizontalmente con velocidad v0 . Cul es la a velocidad del peso P ? Supongamos que el largo de la cuerda es 2h (o sea, cuando la persona est en x = 0, el cuerpo P est en a a el suelo encontrndose la cuerda esa tirada). Se tiene Figura 2.8 (h y) + h2 + x2 = 2h ,

CAP ITULO 2. CINEMATICA EN UNA DIMENSION o sea, y(t) = h2 + x2 (t) h =2 h2 + v0 t2 h .

34

Para la velocidad obtenemos

y(t) = v(t) = l m

y(t + ) y(t) 0 1 2 2 = l m h2 + v0 (t + )2 h h2 + v0 t2 h 0 1 2 2 2 2 (h2 + v0 t2 ) + (2v0 t + v0 2 ) h2 + v0 t2 = l m 0 = l m = l m = l m = 1 0 2 h2 + v0 t2 2 h2 + v0 t2

1+ 1+

2 2 2v0 t + v0 2 1 2 h2 + v0 t2

1 0

2 2 1 2v0 t + v0 2 1 2 2 h2 + v0 t2

2 2 1 1 2v0 t + v0 2 2 0 2 h2 + v0 t2 2 v0 t 2 h2 + v0 t2

Ejercicio: Demuestre que la aceleracin de P viene dada por: o2 a(t) = y (t) = v0

h22 h2 + v0 t2 3/2

.

2.2

El camino inverso

En la seccin anterior se present el procedimiento que permite evaluar, partiendo del o o conocimiento de la posicin en funcin del tiempo, la velocidad y luego la aceleracin. o o o En esta seccin analizaremos el camino inverso, es decir, conociendo la aceleracin en o o funcin del tiempo, calcular la velocidad y posicin. o o Suponga que la velocidad de una part cula en funcin del tiempo viene dada por o el grco mostrado en la gura 2.9. a


35

Figura 2.9 Cul ser la distancia recorrida por la part a a cula entre los instantes ti y tf ? Entre esos dos instantes la velocidad de la part cula es constante (igual a v0 ), por lo tanto la distancia recorrida ser x(tf ) x(ti ) = v0 (tf ti ). Podemos escribir a x(tf ) = x(ti ) + v0 (tf ti ) , o sea, si una part cula entre dos instantes (inicial y nal) se mueve a una velocidad constante, entonces la posicin nal es igual a la posicin inicial ms el rea de la o o a a funcin v(t) entre los instantes ti y tf . o Cuando la funcin v(t) no es constante la situacin es ms compleja. Intentemos o o a evaluar la distancia que recorre la part cula entre los instantes t1 y t4 . Como la velocidad no es constante, tomaremos algunas mediciones intermedias, separadas por un intervalo de tiempo t. Entre t1 y t2 la distancia recorrida ser aproximadamente a v(t1 ) (t2 t1 ) = v(t1 ) t, entre t2 y t3 ser v(t2 ) (t3 t2 ) = v(t2 ) t, y nalmente a entre t3 y t4 ser aproximadamente v(t3 ) (t4 t3 ) = v(t3 ) t. La distancia total a recorrida ser aproximadamente a3

x(t4 ) x(t1 )

j=1

v(tj ) t ,

(2.3)

donde t = (t4 t1 )/3. Observe que el lado derecho de la ecuacin (2.3) es igual o al rea de los rectngulos mostrados en la gura 2.10. Evidentemente el resultado a a anterior es slo aproximado: hemos tomado 3 mediciones intermedias y hemos suo puesto que entre las mediciones la velocidad es constante (igual al valor de la ultima medicin). Tambin es claro que si aumentamos el nmero de mediciones intermeo e u dias obtendremos un resultado ms preciso. Para un nmero muy grande (innito) a u de mediciones intermedias, el procedimiento ser exacto; en ese caso el rea de los a a . De esta manera hemos rectngulos ser igual al rea entre la funcin v(t) y el eje t a a a o

CAP ITULO 2. CINEMATICA EN UNA DIMENSION encontrado un resultado completamente general: x(tf ) = x(ti ) + (Area entre v(t) y el eje t entre t = ti y tf ) .

36

(2.4)

Otra manera de proceder es la siguiente: dividir el intervalo [ti , tf ] en much simos (innitos) intervalos de ancho dt. Entonces v(t) (dt) es igual a la distancia recorrida entre los instantes t y t+dt. Para obtener la distancia recorrida entre ti y tf , habr que a sumar todas las contribuciones. Se tiene entonces quetf

x(tf ) = x(ti ) +ti t

v(t) dt .

(2.5)

a a El s mbolo tif signica sume las contribuciones que estn detrs del smbolo desde t = ti hasta t = tf . Por supuesto quetf ti

v(t) dt = (Area delimitada por v(t) y el eje t entre t = ti y tf ) .

Ejemplos: 1. Movimiento uniforme: Consideremos una part cula cuya velocidad es constante v(t) = v0 en todo instante. Si la part cula en el instante t = 0 se encuentra en xi , dnde se o encontrar en el instante t? a Usando la ecuacin (2.4) se obtiene o x(t) = x(0) + Area entre v0 y el eje t, entre t = 0 y t .

= x(0) + v0 t 2. Movimiento uniformemente acelerado: Consideremos una part cula cuya velocidad viene dada por v(t) = v0 + a0 t , (ver gura 2.10). Observe que v0 es la velocidad de la part cula en el instante t = 0. Al calcular la aceleracin se encuentra que o a(t) = l m v(t + ) v(t) = a0 ,

0

o sea, la expresin para la velocidad corresponde a una part o cula que en todo instante sufre una aceleracin constante a0 . o


37

Figura 2.10 Encontremos el desplazamiento entre los instantes t = 0 y el instante t = tf . Usando la ecuacin (2.4) se obtiene o x(tf ) = x(0) + Area entre v(t) y el eje t, entre t = 0 y t = tf 1 = x(0) + v0 tf + (v(tf ) v0 ) tf 2 1 = x(0) + v0 tf + a0 t2 . f 2

Conociendo la posicin x(t) de una part o cula, siempre es posible determinar su velocidad. El rec proco no es cierto: si se conoce la velocidad v(t) no es posible determinar la posicin; lo unico que se puede determinar es el desplazamiento entre dos o instantes. En otras palabras, si conocemos v(t), debemos conocer adems la posicin a o en algn instante para poder determinar x(t). u Las relaciones que permiten obtener la velocidad si se conoce la aceleracin a(t), o son anlogas a las que relacionan la posicin con la velocidad: a o v(tf ) = v(ti ) + Area entre a(t) y el eje t entre t = ti y tf .

(2.6)

o v(tf ) = v(ti ) +

tf

a(t) dt .ti

(2.7)

Ejemplo: Movimiento uniformemente acelerado. Suponga que la aceleracin de una part o cula es constante (a(t) = a0 , t). Usando (2.6) se deduce que v(t) = v(0) + a0 t . Haciendo uso del resultado obtenido en el ejemplo anterior se obtiene nalmente que 1 x(t) = x(0) + v(0) t + a0 t2 . 2


38

Observe que x(0) y v(0) son la posicin y la velocidad de la part o cula en el instante t = 0.

2.3

Mximos y m a nimos

Considere una funcin f (t) suave (o sea, sin saltos ni puntas). Ya sabemos (ver ultimo o problema de la seccin anterior) que f(t) est relacionado con la pendiente de las o a tangentes de la funcin f (t). Observemos que para valores de t en los cuales f(t) = o 0, la funcin f (t) tiene un mximo o m o a nimo (local). Tambin podemos invertir la e argumentacin: encontrar los mximos y m o a nimos de una funcin f (z) es equivalente o a encontrar los ceros de la funcin derivada o g(z) = l m0

f (z + ) f (z) .

Ejemplo: Suponga que un agricultortiene L metros de malla para construir un corral rectangular. El agricultor desea aprovechar una muralla de piedra (recta) para obtener un corral mayor. Qu die mensiones deber tener el corral para que a su rea sea mxima? a a Figura 2.11 Solucin: Sean a y b los largos del gallinero (ver gura 2.11). El largo de la malla es o L = 2a + b, mientras que el rea del gallinero es A = a b. Despejando b de la primera a ecuacin y sustituyndolo en la segunda se obtiene: o e A = a (L 2a) . El rea es una funcin de a. Tanto para a = 0 como para a = L/2 se tiene que a o A = 0. Para algn valor intermedio el rea del gallinero ser mxima. Para resolver u a a a el problema debemos encontrar el mximo de la funcin f (a) = a (L 2a). Para ello a o encontremos los ceros de la funcin derivada o g(a) = l m0

1 f (a + ) f (a) = l m [(a + ) (L 2(a + )) a (L 2a)] = L 4a . 0

La funcin g(a) tiene un (nico) cero para a = L/4. Luego para ese valor de a el rea o u a del gallinero ser mxima. a a


39

2.4

Problemas:

1. Suponga que la altura de cierto proyectil en funcin del tiempo viene dada por o 2 + z , con z = 125 m, t = 5 s y a = 5 m/s2 . la relacin z(t) = a0 (t t0 ) o 0 0 0 0 (a) Graque la altura del proyectil en funcin del tiempo desde t = 0 hasta o t = 12 s. (b) En qu instante choca el proyectil contra el suelo? e (c) Encuentre grcamente la velocidad instantnea (es decir, mida las pena a dientes de las tangentes) en los instantes t=0 s, t=2 s, t=4 s, t=6 s, t=8 s y t=10 s. Graque su resultado. 2. Un conductor maneja su coche 10 km a una velocidad de 90 km/h y luego otros 10 km a 70 km/h. Cul es la rapidez promedio durante el trayecto de 20 km? a (La respuesta no es 80 km/h.) 3. La gura 2.12 muestra la posicin de una part o cula en funcin del tiempo. o Encuentre la velocidad promedio durante los siguientes intervalos de tiempo: (a) (b) (c) (d) 0s < t TF THEN STOP A = -ETA * V X = X + V * DT V = V + A * DT PSET (T, X), 12 PSET (T, V * 100), 14 GOTO 10 LIMPIA PANTALLA ELIGE SUPERVGA COLOR DEFINE AREA DE TRABAJO MINIMO DE ABSISA MAXIMI DE ABSISA MINIMO DE ORDENADA MAXIMO DE ORDENADA fIJA VALORES ANTERIORES GRAFICA EJES (CAJA) EVALUA POSICION DE TIC POSICIONA EL LAPIZ EN ORDENADA (IZQ) GRAFICA TIC POSICIONA EL LAPIZ EN ORDENADA (DER) GRAFICA TIC POSICIONA LAPIZ IMPRIME 60 EN ORDENADA IZQUIERDA POSICIONA LAPIZ IMPRIME EN ORDENADA DERECHA POSICIONA LAPIZ IMPRIME POSICIONA LAPIZ IMPRIME POSICIONA LAPIZ IMPRIME POSICIONA LAPIZ IMPRIME LEYENDA DE ORDENADA DERECHA POSICIONA LAPIZ IMPRIME LEYENDA DE ORDENADA IZQUIERDA EVALUA POSICION DE TICS DE ABSISA POSICIONA LAPIZ GRAFICA TIC POSICIONA LAPIZ IMPRIME POSICIONA LAPIZ IMPRIME POSICIONA LAPIZ IMPRIME LEYENDA DE ABSISA SE ELIGE DT TIEMPO INICIAL POSICION INICIAL VELOCIDAD INICIAL SE FIJA PARAMETRO DE FRICCION TIEMPO FINAL POSICIONA LAPIZ IMPRIME TITULO EL CALCULO EMPIEZA AQUI !! SE INCREMENTA EL TIEMPO SI T>TF EL CALCULO TERMINA EVALUACION DE LA ACELERACION NUEVA POSICION NUEVA VELOCIDAD GRAFICA PUNTO (T,X) GRAFICA PUNTO (T,V)

50

CAP ITULO 2. CINEMATICA EN UNA DIMENSION Solucin al problema 27 o Los tiempos t1 , que el salvavidas tarda para correr de A a P y t2 , que tarda para nadar de P a B vienen dados por t1 = y t2 =2 (L x)2 + zb 2 x2 + za . v1

51

v1

.

Por lo tanto, el tiempo total que tarda en ir de A a B es T =2 x2 + za + v1 2 (L x)2 + zb

Figura 2.20

v1

.

En la expresin anterior L, za y zb son jos; el valor de x se debe determinar de o manera que T sea m nimo. Encontrar el m nimo de T en funcin de x es equivalente a encontrar los ceros de o la funcin derivada dT /dx: o T (x + ) T (x) dT (x) = l m = 0 dx v1 La derivada tiene ceros si x v1 Pero y2 (L x)2 + zb 2 x2 + za

x2 x2 + za

v2

2 (L x)2 + zb

(L x)

.

= v2 x

2 (L x)2 + zb

(L x)

.

x2

2 + za

= sin

(L x)

= sin ,

luego, T (x) tiene un extremo en funcin de x cuando o sin sin = . v1 v2 No es dif convencerse que tal extremo corresponde a un m cil nimo (y no a un mxia mo).

CAP ITULO 2. CINEMATICA EN UNA DIMENSION Solucin al problema 29 o

52

a) Impl citamente supondremos que las distancias estarn expresadas en metros, el a tiempo en segundos, las velocidades en m/s y las aceleraciones en m/s2 . De acuerdo al enunciado se tiene: Punto de partida: x(0) = 4, v(0) = 2 Entre t = 0 y 4, v(t) = 2, lo que corresponde a una l nea horizontal en el grco v en a funcin de t (ver gura 2.21). o Entre t = 0 y 4 se tiene una recta con pendiente 2, en el grco x(t) en funcin de t a o (ver gura 2.22). La posicin en t = 4 es x(4) = x(0) + v0 4 = 4 + 2 4 = 4. o A partir de t = 4, en el grco v en funcin de t, la velocidad estar representada a o a por una recta hasta llegar a v0 /2 = 1. Durante el proceso de frenado que tarda hasta cierto instante t, la part cula avanza 3 metros, o sea, el rea bajo la curva v(t) entre a debe ser 3. No es dif darse cuenta de que t debe ser 6. t=4yt cil La aceleracin entre t = 4 y t = 6 es a1 = 0.5 (es la pendiente en el grco 2.21). o a De acuerdo al enunciado, la part cula avanza 3 metros durante el frenado, o sea, x(6) = x(4) + 3 = 7. El grco de x(t), entre t = 4 y t = t = 6 ser parablico a a o con curvatura negativa. Otra forma de encontrar la posicin en t = 6 es usando la o expresin x(6) = x(4)+v(4)(64)+0.5 a1 (64)2 , o sea, x(6) = 4+220.50.522 = o 7. De t = 6 hasta t = 8 (durante 2 segundos) la velocidad se mantiene constante. El grco de v(t) es una recta horizontal con velocidad 1. a El rea bajo el grco v(t) entre t = 6 y 8 nos da la distancia que A avanza en a a ese intervalo. Tal rea es 2, luego x(8) = 7 + 2 = 9. Durante este intervalo x(t) es a representado por una recta (velocidad constante). Se tiene que v(8) = 1. La part cula desacelera con aceleracin a0 = 2 hasta que la o velocidad sea 3. Se observa inmediatamente que para ello debe desacelerar durante 2 segundos. Entonces v(10) = v(8) + a0 (10 8) = 1 2 (10 8) = 1 4 = 3. Entre t = 8 y 10 el grco de v(t) es una recta (aceleracin constante). a o Podemos encontrar la posicin de la part o cula en t = 10: x(10) = x(8) + v(8) (10 8) + 0.5 a1 (10 8)2 , o sea, x(10) = 9 + 1 2 + 0.5 (2) 22 = 7. En t = 10 la part cula se encuentra en x(10) = 7 y su velocidad es v(10) = 3. La part cula sigue a velocidad constante hasta llegar a dos metros del punto de partida (o sea, hasta llegar a 2 metros). La part cula, por lo tanto, deber recorrer 9 metros. a Con v1 = 3 [m/s] tardar para ello 3 segundos. O sea, entre t = 10 y t = 13 la a velocidad ser constante (linea horizontal) en el grco v en funcin de t. a a o A partir de t = 13 la part cula frena uniformemente hasta quedar en reposo en el


53

punto de partida. El grco de v(t) es por lo tanto una recta hasta cero. El rea bajo a a la curva entre t = 13 y el instante en que queda en reposo debe ser 3 (la part cula A debe recorrer an dos metros hacia la izquierda para llegar al punto de partida). u Es claro que para ello tardar 4/3 segundos. a cula recorre 2 metros. El grco de x(t) es una a Entre t = 13 y t = 14, 3, la part parbola curvada hacia arriba que llega a t = 14, 3 con pendiente nula. a

Figura 2.21

Figura 2.22


54

b) En t = 6 y t = 13 la part cula A se encuentra en x(6) = 7 y x(13) = 2, respectivamente. La velocidad media entre esos dos instantes es v= (2) 7 = 9/7 m/s . 13 6

c) En t = 8 la velocidad es 1 m/s. A partir de ese instante la part cula acelera con aceleracin a0 = 2, o sea, tarda 0.5 s para quedar temporalmente en reposo. En ese o instante (8,5 s) ocurre el alejamiento mximo. Se tiene a 1 x(8, 5) = x(8) + v(8) (8, 5 8) + a0 (8, 5 8)2 2 1 = 9 + 1 0, 5 2 0, 52 = 9, 25 [m] . 2 d) Gracando xB (t) en la gura 2.21 se encuentra que los dos mviles se vuelven a o encontrar en el instante t = 11 s. Solucin al problema 30 o Cada manzana debe tardar t0 = 30, 5 = 1, 5 segundos en subir y bajar. Al lanzar un objeto con velocidad v0 hacia arriba tarda un tiempo v0 /g hasta llegar arriba y un tiempo igual hasta volver al punto de partida. Tenemos t0 = 2v0 = 1, 5 [s] . g

Esta ecuacin nos permite evaluar la velocidad con que se debe lanzar la manzana, o v0 = t0 g/2. 2 La altura a la que llega es un objeto lanzado con velocidad v0 es h = v0 /(2g). Combinando las dos ultimas ecuaciones se encuentra para h la expresin o h= 1 2 gt . 8 0

Con g 10 [m/s2 ] se encuentra h 3 metros.

CAP ITULO 2. CINEMATICA EN UNA DIMENSION Solucin al problema 32 o

55

a) Cuando B env el mensaje se encuentra a 22 m de A. El mensaje tarda 1/2 a s en llegar a su destino. Durante ese intervalo el mvil A seguir movindose o a e desplazndose 10 0, 5 = 5 metros. El mensaje deber recorrer en 0,5 s una a a distancia de (22+5)=27 metros. La velocidad del mensaje ser c = 27/0, 5 = a 54 [m/s]. b) Las ecuaciones de movimiento de los mviles, para 0 < t y el instante en que B o env el mensaje (llammoslo t1 ), son a e xA (t) = xA (0) + vA (0)t = 100 + 10 t xB (t) = 1 2 1 2 a1 t = t 2 2 vA (t) = vA (0) = 100 vB (t) = a1 t = t . (En las expresiones anteriores estamos suponiendo que los tiempos estn dados a en segundos, las distancias en metros, las velocidades en [m/s] y las aceleraciones en [m/s2 ].) Sabemos que en t = t1 la separacin entre A y B es de 22 metros, o sea, o xA (t1 ) xB (t1 ) = 100 + 10 t1 1 2 t = 22 . 2 1

Resolviendo esta ecuacin cuadrtica para t1 se encuentra que t1 = 10 16. En o a el contexto del problema slo la solucin positiva tiene sentido, o sea, t1 = 26 [s]. o o La velocidad de B en el instante t1 es vB (t1 ) = 26 [m/s]. c) Desde que B env el mensaje hasta chocar con A, el mvil B debe recorrer a o una distancia de 22+5=27 metros. En el instante t1 se encuentra a xB (t1 ) = (26)2 /2 = 338 m del origen. La distancia total que B debe recorrer desde que parte del origen hasta que choca con A es (338+27)=365 m. d) Desde que B env el mensaje hasta chocar con A, el mvil B debe recorrer una a o distancia de 22+5=27 metros. Como su velocidad (a partir de t1 ) es de 26 m/s, tardar 27/26 segundos. El tiempo total, desde que B parte del origen hasta a que choca con A es (26+27/26) s. Para la velocidad media de B se encuentra v= 365 13, 5 [m/s] . 26 + 27 26


56

2.6

Elementos del clculo innitesimal e integral a

A continuacin se presenta un resumen de algunos resultados del clculo que se usarn o a a extensivamente en lo que sigue. Se dejar para los cursos de matemticas la demosa a tracin rigurosa de los resultados. Supondremos impl o citamente que las funciones que se usan ms abajo tienen todas las propiedades necesarias para que los teoremas a planteados sean vlidos (por ejemplo, sean funciones continuas, derivables, acotadas, a etc.). Sean f (t) y g(t) dos funciones y un nmero (real o complejo). La funcin u o derivada df (t)/dt, relacionada con la pendiente de la funcin f (t), por denicin es o o 1 df (t) = f(t) = l m [f (t + ) f (t)] . 0 dt Propiedades: a) b) c) d) d(f (t)) = f(t) . dt d(f (t) + g(t)) = f(t) + g(t) . dt d(f (t) g(t)) = f(t) g(t) + f (t) g(t) . dt df (g(t)) = f(g(t)) g(t) . dt

Demostracin de c): o De la denicin de la derivada se deduce que, para muy pequeo o n f (t + ) = f (t) + f(t) . Con esta relacin, y una anloga para la funcin g(t), se deduce que o a o d(f (t) g(t)) dt 1 [f (t + ) g(t + ) f (t) g(t)] 0 1 (f (t) + f(t)) (g(t) + g(t)) f (t) g(t) = l m 0 1 = l m f(t) g(t) + f (t) g(t) + 2 f(t) g(t) 0 = f(t) g(t) + f (t) g(t) . = l m ()

Demostracin de d): o 1 d f (g(t)) = l m [f (g(t + )) f (g(t))] 0 dt 1 = l m [f (g(t) + g(t)) f (g(t))] 0

CAP ITULO 2. CINEMATICA EN UNA DIMENSION Pero, usando nuevamente la ecuacin (), se tiene o f (g + g) = f (g) + ( g) f(g) , luego 1 d f (g(t)) + g(t) f(g(t)) f (g(t)) f (g(t)) = l m 0 dt = f(g(t)) g(t) .

57

En un grco de la funcin f (t) en funcin a o o de t, la expresin (integral) ob

A=a

f (t) dt

representa al rea delimitado por la funa cin f (t) y el eje t entre t = a y t = b (ver o gura).

Figura 2.23 Propiedades: a)a b b

f (t) dt = a b b

f (t) dt .b

b)a

[ f (t) + g(t) ] dt =a b c

f (t) dt +a b

g(t) dt .

c)a

f (t) dt =a

f (t) dt +c

f (t) dt .

En muchos casos es posible evaluar la integral A anal ticamente. Para ello, se debe encontrar una funcin F (t) tal que su derivada sea la funcin que aparece tras el o o s mbolo integral, o sea, tal que dF (t)/dt = f (t). Entoncesb b

A=a

f (t) dt = F (t)a

= F (a) F (b) .

Cap tulo 3

Cinemtica en dos y tres a dimensiones3 Abril 2006

En este cap tulo extenderemos la descripcin del movimiento de una part o cula a dos y tres dimensiones. Esto nos lleva a introducir el concepto de vector, cuya denicin o y propiedades ilustraremos con los vectores desplazamiento, velocidad y aceleracin. o

3.1

Vectores

Consideremos el movimiento de una part cula en un plano. La posicin de la part o cula podr ser a claramente especicada si se introduce un sistema de ejes perpendiculares que se intersectan en un punto, que llamaremos el origen (ver gura 3.1). Por ejemplo, el punto P en la gura 3.1 se encuentra a 3 m a la derecha del origen, medidos a lo largo de la direccin del eje x, a 2 m soo bre el origen, medidos a lo largo del eje y. En general, la posicin de un punto cualquiera queo Figura 3.1 da determinada dando un par ordenado (x, y) de nmeros, en el sentido que siempre el primer u nmero corresponder a la proyeccin sobre el u a o eje x y el segundo nmero a aqulla sobre el eje u e y. El trazo que une el origen O con el punto P , en el sentido que indica la punta de echa en la gura 3.1, se denomina el vector de posicin rp del punto P . La magnitud o de este vector es igual a la longitud del trazo OP y se denota por |rp | o simplemente como rp (sin echa). 58

CAP ITULO 3. CINEMATICA EN DOS Y TRES DIMENSIONES

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Rigurosamente, un vector es un objeto que, ms all de poseer las caracter a a sticas descritas, est denido por la existencia de una operacin de suma entre vectores y a o la multiplicacin de un vector por un nmero (escalar), operaciones que satisfacen o u reglas muy precisas. Introduzcamos estas ideas a travs de ejemplos. e Supongamos que la part cula en un instante t se encuentra en P y en un instante posterior t > t se encuentra en el punto Q (ver gura 3.1). El vector que une el origen O con Q es el nuevo vector de posicin de la part o cula. Al vector conformado por el trazo P Q y cuyo sentido va desde P hacia Q, se llama vector desplazamiento, r (ver gura 3.1). Suma de Vectores Sean A y B dos vectores. Traslademos paralelamente a s mismo al vector B hasta que su extremo romo se superponga con el extremo aguzado (punta de echa) del vector A. El vector suma A + B C se dene como el trazo que comienza en el extremo romo de A y termina en el extremo aguzado de B. Esta denicin se conoce o con el nombre de regla del paralelgramo. o Figura 3.2 Ejemplo: Un excursionista parte desde una cierta posicin y camina 4 km hacia el Este y o luego 3 km hacia el Sur. Cul es el vector a desplazamiento resultante C? El vector C es la suma vectorial de los desplazamientos parciales realizados por el excursionista, hacia el este A y luego hacia el sur B. Grcamente la situacin a o est ilustrada en la gura 3.3. La magnia tud del desplazamiento resultante se calcula utilizando el teorema de Pitgoras a C= A2 + B 2 = 9 + 16 = 5 km .

Figura 3.3

La direccin de C queda denida por el ngulo que forma el vector C con la direccin o a o OesteEste. Consideraremos un ngulo positivo cuando se mide en sentido contrario a


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a los punteros del reloj, luego 3 tan = = 0.75 , es decir, = 36.9 . 4 Que el ngulo sea negativo signica que est medido en el mismo sentido de los a a punteros del reloj. Propiedades de la suma de vectores. i) Conmutatividad: ii) Asociatividad: A+B = B+A . A + (B + C) = (A + B) + C . A+0 = A .

iii) Existe un vector nulo tal que

iv) Para cada vector A existe un vector opuesto, que denotaremos por A, tal que A + (A) = 0 . Multiplicacin de un vector por un escalar real. o La multiplicacin de un vector A por un nmero real (escalar real) se dene como o u un nuevo vector B de magnitud |A|, cuyo sentido coincide con el de A si > 0 y es opuesto al de ste si < 0. e Propiedades de la multiplicacin por un escalar real. o Sean y dos nmeros reales y A y B dos vectores, entonces: u i) ii) iii) iv) (A + B) = A + B. ( + )A = A + A. ()A = ( A). Para todo vector A se cumple que 1 A = A.

Ejercicio: Compruebe grcamente, con algunos ejemplos concretos, que se cumplen a todas las propiedades de los vectores recin sealadas. e n Note que dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y que apuntan en la misma direccin. En la gura 3.4 se mueso tra un conjunto de vectores iguales, dibujados en diferentes posiciones del plano xy.

Figura 3.4

CAP ITULO 3. CINEMATICA EN DOS Y TRES DIMENSIONES Componentes cartesianas y polares de un vector.

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Consideremos nuevamente al vector desplazamiento r de la gura 3.1. Proyectando los extremos del vector desplazamiento sobre el eje x, se obtienen los puntos xP y xQ . La diferencia xQ xP se llama componente cartesiana x del vector r. De la misma forma, las l neas perpendiculares al eje y, trazadas desde los extremos del vector r, denen su componente cartesiana y, o sea, r = (xQ xP , yQ yP ) . Sea A = (Ax , Ay ) un vector cualquiera del plano xy, con componentes cartesianas Ax y Ay . Expresemos las componentes del vector en funcin de su magnitud o y del ngulo que forma con el semieje x a positivo. La gura 3.5 muestra que Ax = A cos donde A = |A| = (A2 + A2 ) y x y tan = Ay . Ax Figura 3.5 Ay = A sin ,

De esta manera, un vector en un plano queda determinado si se conocen sus componentes cartesianas, o si se conoce su magnitud A y el ngulo que forma con el semieje a x positivo (referidos a un sistema de coordenadas dado). Los nmeros (A, ) reciben u el nombre de coordenadas polares del vector A. Vectores Unitarios. Al dividir un vector A por su magnitud se obtiene un nuevo vector a, de mdulo uno, o cuya direccin y sentido coinciden con aquellos del vector A. En efecto, o a= A = A Ax Ay , A A A2 + A2 x y =1 . A2

|| = a

(Ax /A)2 + (Ay /A)2 =

A cada vector se le puede asociar un vector unitario. Existen, sin embargo, tres vectores unitarios que merecen mencin especial. Estos son los vectores unitarios x, y o y z que apuntan en sentido positivo sobre cada uno de los ejes coordenados de un sistema cartesiano en tres dimensiones.

CAP ITULO 3. CINEMATICA EN DOS Y TRES DIMENSIONES La gura 3.6 muestra la descomposicin o de un vector arbitrario A en la suma de tres vectores: un vector Ax x , paralelo al eje x, otro Ay y paralelo al eje y y un ter cero Az z paralelo al eje z. Es decir, A = Ax x + Ay y + Az z .

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Figura 3.6 Producto escalar o producto punto de dos vectores Sean A = (Ax , Ay , Az ) = Ax x + Ay y + Az z y B = (Bx , By , Bz ) = Bx x + By y + Bz z dos vectores arbitrarios. Se dene el producto punto entre los vectores A y B mediante la expresin o Figura 3.7 A B |A| |B| cos , donde es el ngulo entre los dos vectores (ver gura 3.7). a De la denicin se desprende que el producto punto de dos vectores es un nmero o u real. Adems, y esto es muy importante, es independiente de la orientacin del sistema a o de coordenadas. Usando la denicin de producto punto es inmediato que o xx=yy =zz =1 y xy =xz =yz =0. Otras caracter sticas importantes del producto punto son su conmutatividad AB =BA y distributividad A (B + C) = A B + A C .


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Evaluemos el producto punto entre los dos vectores A y B en trminos de sus coore denadas. Se tiene A B = (Ax x + Ay y + Az z ) (Bx x + By y + Bz z ) = Ax Bx x x + Ax By x y + Ax Bz x z + Ay Bx y x + Ay By y y + +Ay Bz y z + Az Bx z x + Az By z y + Az Bz z z

= Ax Bx + Ay By + Az Bz .

Resumen: El mdulo de un vector y la suma y producto punto de dos vectores vienen o dados por |A| = y Note que la ultima expresin permite evaluar el ngulo entre dos vectores si se conocen o a sus componentes cartesianas. A B = |A||B| cos = Ax Bx + Ay By + Az Bz . A2 + A2 + A2 x y z

A + B = (Ax + Bx , Ay + By , Az + Bz ) = (Ax + Bx ) x + (Ay + By ) y + (Az + Bz ) z

Ejemplo Evaluemos nuevamente el ngulo entre dos a diagonales de un cubo. Sea A el vector a lo largo de la diagonal que une el punto (0,0,0) con el punto (1,1,1) y B el vector a lo largo de la diagonal que une el punto (1,0,0) con el punto (0,1,1). Los vectores A y B, por lo tanto, pueden escribirse en coordenadas cartesianas de la forma A=x+y+z y B = + y + z . x Figura 3.8

Evaluemos el producto punto de estos dos vectores. Se tiene A B = |A| |B| cos = 3 3 cos , donde es el ngulo entre los dos vectores (o sea, el ngulo entre las dos diagonales). a a Por otra parte, usando coordenadas cartesianas A B = 1 (1) + 1 1 + 1 1 = 1 . De las dos ecuaciones anteriores se deduce que cos = 1/3, o sea, = 70.53 .


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3.2

Cinemtica a

La generalizacin de los conceptos de la cinemtica de una a dos y tres dimensiones o a es directa. Supongamos que r (t) representa la posicin de cierta part o cula. Entonces su velocidad y aceleracin (instantnea) vendrn dadas por o a a v(t) = r (t) = l m y v(t + ) v(t) a(t) = v(t) = r (t) = l m . 0 De la expresin anterior se deduce que si o r (t) = x(t) + y(t) + z(t) , x y z donde x(t), y(t) y z(t) son las componentes del vector de posicin, entonces o v(t) = x(t) + y(t) + z(t) , x y z o sea, para encontrar la velocidad se puede derivar cada componente del vector posicin por separado. o Introduzcamos tambin el concepto de velocidad relativa. Supongamos que una e part cula A se mueve con velocidad vA y otra part cula B con velocidad vB , entonces la velocidad con que A observa que se mueve B, viene dada por v = vB vA . Se dice que v es la velocidad relativa de B respecto a A. Ejemplo: Suponga que la corriente de un canal tiene una velocidad de 10 km/h en direccin o Noroeste, a una velocidad de 20 Este. Un transbordador navega en la direccin de 30 o km/hora con respecto a la corriente del canal (ver gura 3.9). Cul es la velocidad a y direccin del transbordador segn un observador situado en la ribera? o u Para resolver el problema introduciremos un sistema de coordenadas x, y cuyo origen O se mueve junto al agua del canal. Para el observador O , un punto jo en la orilla se mueve con velocidad vA = [10, 0] km/h mientras que el transbordador se aleja con una velocidad vt = [20 sin(30 ), 20 cos(30 )] km/h = [10, 10 3] km/h .0

r(t + ) r(t)


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Figura 3.9

Figura 3.10 Luego, la velocidad con que el observador parado en la orilla en el punto A ve alejarse al transbordador (o sea, la velocidad relativa entre el transbordador y la orilla), ser a v = vt vA = [0, 10 3] km/h = 10 3 y km/h . Analicemos ahora el problema de otra forma. Supongamos que nos damos un intervalo de tiempo arbitrario, por ejemplo, 1 hora (porque es el ms fcil de usar en a a este caso) e imaginemos que durante ese intervalo la corriente del canal est detenida. a Calculamos el desplazamiento del transbordador en este caso. En una hora el ferry se desplaza 20 km desde O hasta el punto P . En seguida y siempre en nuestra imaginacin dejemos uir la corriente del canal durante una hora, pero ahora con o el ferry detenido (dejando que simplemente ote en la corriente). El desplazamiento debido al arrastre del canal llevar al ferry desde el punto P hasta P (10 km hacia a la derecha), como mostramos en la gura 3.10. El desplazamiento total del ferry es el vector de O hasta P . Este desplazamiento, como es fcil de demostrar, coincide con el que el ferry hubiese tenido en una hora si los a dos movimientos hubiesen estado presentes simultneamente. Es decir, para resolver a el problema podemos descomponer el movimiento en dos movimientos separados, congelando uno y otro sucesivamente. El movimiento total es la superposicin de o ambos movimientos. Esta operacin, slo posible en la imaginacin, arroja los mismos o o o resultados que se observan en la vida real.


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Demos otro ejemplo del uso del principio de superposicin. Consideremos un o anillo que rueda (sin resbalar) por una supercie horizontal con velocidad constante. Tomemos un punto cualquiera sobre el anillo y analicemos su movimiento. Para un observador O en reposo respecto a la supercie, el movimiento del punto tendr un a aspecto complicado. Sin embargo, al trasladarnos uniformemente con la misma velocidad que el centro del anillo, el movimiento del punto se tornar muy simple: es un a movimiento circular uniforme. As el movimiento complicado que observa O se pue, de descomponer en dos movimientos simples, un movimiento de traslacin uniforme o superpuesto a un movimiento circular uniforme (ver problema 13).

Ca libre da Galileo fue el primero en considerar la ca de una part da cula como una superposicin de dos movimientos. o La gura 3.11, a la izquierda, muestra la posicin de una pelota en ca libre o da durante varios instantes equiespaciados. A la derecha se muestra la situacin que se o observa si el cuerpo adems inicialmente tiene una velocidad horizontal. La trayectoa ria en este caso es una parbola. Antes de Galileo, los lsofos se esforzaron mucho a o para intentar explicar este movimiento. Galileo centr su inters buscando la deso e cripcin ms sencilla y directa. De hecho, lo analiz como una superposicin de dos o a o o movimientos: i) la tendencia natural de los cuerpos a mantener su velocidad (ley de inercia) y ii) la ca libre de un cuerpo debida a la atraccin gravitatoria. Ambos da o movimientos se superponen simultneamente y dan origen al movimiento parablico. a o

Figura 3.11


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Una vez aceptado que el movimiento de una part cula en un campo gravitatorio uniforme se puede describir como una superposicin de dos desplazamientos que o ocurren simultneamente, continuamos con la descripcin de este movimiento. a o Para comenzar, especiquemos el sistema de referencia. El eje x lo elejimos de manera que su direccin coincida con la proyeccin de la velocidad sobre el plano horizontal, o o mientras que el eje z lo elegimos hacia arriba (o sea, una part cula al caer acelera en la direccin ). De acuerdo a nuestra hiptesis, la aceleracin en todo instante es o z o o a(t) = g. Tambin supondremos que la velocidad en el instante t = 0 viene dada por z e (0) (0) v(0) = vx x + vz z y que la part cula se encuentra en el lugar r(0) = r0 = x0 x + z0 z . Analicemos cada una de las componentes por separado. Componente x : La aceleracin no tiene componente en la direccin x, o sea, o o ax = 0 . La velocidad vx es, por lo tanto, constante, igual al valor inicial:(0) vx (t) = vx t .

Para el desplazamiento en la direccin x se encuentra que o(0) x(t) = x0 + vx t .

Componente z : La aceleracin es o az = g . La velocidad vz y el desplazamiento en la direccin z vendrn dados por o a(0) vz (t) = vz gt

y

1 (0) z(t) = z0 + vz t gt2 . 2

Estos resultados los podemos condensar escribindolos en forma vectorial: e a(t) = g z 1 r(t) = r0 + v (0) t gt2 z . 2 v(t) = v (0) gt z


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Figura 3.12 Ejemplo Un bombardero vuela con una velocidad horizontal v0 , constante, y a una altura h en una trayectoria que pasa directamente por sobre su objetivo. A qu ngulo de e a visin debe soltar la bomba, de forma que sta llegue a su objetivo? (Ignore el efecto o e debido al roce del aire.) La bomba en el instante en que se deja libre tiene la misma velocidad que el bombardero. Denimos el sistema de coordenadas de acuerdo a lo que se observa en la gura 3.12. Entonces la posicin y la velocidad inicial de la bomba vienen dadas por o r0 = h y v0 = v0 x, respectivamente. Cunto demora la bomba en caer? La bomba z a llegar al suelo cuando z(t) = h gt2 /2 = 0. Esto ocurre en el instante = (2h/g). a Durante el intervalo de tiempo la bomba alcanza a recorrer una distancia horizontal L = v0 . Luego para el ngulo de visin obtenemos a o tan = L v0 = h h 2h = g2 2v0 . gh

Movimiento circular uniforme Consideremos una part cula que gira con rapidez constante sobre una trayectoria circular de radio R (que dene el plano xy). Eligiendo el origen al centro del c rculo, el ngulo del vector posicin con el eje x aumentar uniformemente: a o a (t) = 0 + 0 t , donde 0 es el ngulo en el instante t = 0 y 0 es una constante que determina a cun rpido var el ngulo (por esta razn se le suele llamar velocidad angular). Las a a a a o componentes x e y del vector posicin vienen dadas por o x(t) = R cos (t) = R cos(0 + 0 t)

CAP ITULO 3. CINEMATICA EN DOS Y TRES DIMENSIONES e y(t) = R sin (t) = R sin(0 + 0 t). El vector posicin es, por lo tanto, o r(t) = R cos(0 +0 t) +R sin(0 +0 t) . x y Derivando r(t) se encuentra la velocidad v(t) = R0 sin(0 + 0 t) x

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+ R0 cos(0 + 0 t) . y

Evaluemos el mdulo de la velocidad (rao pidez): Figura 3.13 v = |v(t)| = = vx (t)2 + vy (t)2

2 2 R2 0 sin2 (0 + 0 t) + R2 0 cos2 (0 + 0 t) = R0 .

A pesar de que la rapidez es constante (no depende del tiempo), la velocidad no lo es, ya que continuamente cambia de sentido. Esta ultima ecuacin ensea que la o n velocidad angular es la rapidez de la part cula dividida por el radio de giro. Evaluando el producto punto entre r y v: r(t) v(t) = x(t)vx (t) + y(t)vy (t) = 0 se encuentra que ste es nulo. Como el producto punto de dos vectores no nulos vale e cero slo si los dos vectores son perpendiculares, se halla que la velocidad de una o part cula en un movimiento circular uniforme es siempre perpendicular al radio. Derivando la velocidad se encuentra la aceleracin: o2 2 a(t) = R0 cos(0 + 0 t) R0 sin(0 + 0 t) . x y

Note que en todo instante2 a(t) = 0 r(t) ,

o sea, la aceleracin siempre apunta hacia el origen (razn por la cual se llama aceo o leracin centrpeta). La magnitud de la aceleracin siempre es constante y vale o o2 a = |a(t)| = R0 .


70

3.3

Coordenadas polares

Los vectores unitarios r

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