FISICA I

51

FÍSICA I

52

Bibliografía

Bueche, Frederick J. Física General. 3ª edición Ed. McGraw Hill, México 1999.

Bueche, Frederick J. Fundamentos de Física. 2ª edición Ed. Económica l, México 1981.

H.E. White. Física Moderna. Uthea. Tr Juan José Díaz de Noriega y Selles. México. 1981.

Mosqueira, Salvador. Física Elemental. Ed Patria. México. 1981.

Sears. Francis W. Física General, 5ª edición Ed Aguilar. España 1977.

Stollberg, Robert. Física fundamentos y fronteras. Publicaciones Cultural, S.A. México 1979.

Tippens, Paul E. Física conceptos y aplicaciones. McGraw Hill. 5ª Ed. México

53

UNIDAD I

INTRODUCCION A LA FÍSICA

54

1. Importancia de la Física

Cuántas veces te has preguntado ¿Para qué necesito estudiar Física?, yo creo que muchas

ocasiones, pero si nos damos cuenta esta rama de la ciencia está presente en todos los aspectos

de nuestra vida: al conectar la televisión, al hablar por teléfono, al abrir el refrigerador, al

prender un automóvil, etc. Cuando escuchamos hablar en la televisión acerca de

contaminación, ozono, telefonía celular, viajes espaciales, rayos láser, energía nuclear, aviones

supersónicos, etc., ¿Comprendemos cómo es su funcionamiento?, ¿Cómo se construyeron?.

Realmente es difícil. Precisamente temas como los anteriores son estudiados por diversas

ramas de la física.

1.1 La física como una ciencia

A través del tiempo, el hombre ha tratado de explicar los fenómenos que acontecen en el

mundo que lo rodea, gracias a su afán por descubrir e inventar, ha logrado el desarrollo

científico y tecnológico que actualmente existe. El término física proviene del vocablo griego

physiké que significa “naturaleza”. Cabe mencionar que esta es una ciencia experimental, ya

que sus leyes y principios se fundan en la experiencia adquirida al reproducir los fenómenos

naturales.

La física es definida como la ciencia que estudia la materia, la energía y las relaciones

existentes entre ellas.

1.1.1 Observación de fenómenos físicos

El desarrollo que ha logrado la física ha sido gracias al afán de múltiples investigadores que

han inventado y perfeccionado los aparatos que dominaron cada época; así como han realizado

investigaciones nuevas para derrocar viejos conocimientos y creencias, a fin de dar una

explicación real y completa de los fenómenos universales.

55

Te invito a observar el mundo que nos rodea y reflexionar para que tu mismo descubras su

importancia en una forma razonable y convincente. Te ayudaré un poco con otra pregunta.

¿Qué necesitas para vivir?

1) Alimentación ¿Cómo se preparan los alimentos?

2) Casa. ¿Qué instalaciones hay en tu casa?

3) Vestido Qué se utilizo para elaborarlo ó producirlo?

4) Higiene y salud ¿Qué se utilizó para elaborarlo?

5. Comunicación ¿Cómo se logra establecer?

56

En el quehacer de la investigación, uno de los métodos mas utilizados en la observación de

fenómenos es el método científico.

El método científico es definido como un conjunto de reglas o normas que nos indican un

procedimiento que nos permite realizar una investigación.

Pasos del método científico

a) Observación: Es la detección y percepción del fenómeno a través de los sentidos.

b) Experimentación: Es la realización práctica y/o repetición del fenómeno en cuestión.

• Definición del problema: define las características generales del fenómeno.

• Hipótesis de trabajo: es una suposición por parte del investigador de lo que él cree

que va a suceder.

• Diseño del experimento: son las características y las condiciones bajo las cuales se

llevará a cabo el experimento.

• Realización del experimento: Es simplemente llevar a la práctica el experimento.

• Resultados: en este paso nosotros obtenemos datos, los cuales se organizan, y se

describen estadísticas por analizar, en fin, todos los resultados derivados del

experimento.

Análisis de resultados: En esta sección se analizan los resultados para

posteriormente interpretarlos y así explicar el fenómeno en cuestión.

Obtención de conclusiones: Aquí se obtienen una serie de conclusiones las

cuales son resultado del análisis de los resultados.

Elaboración del informe: Esta es la parte final de cualquier experimento y en el

informe está vertida toda la información referente al desarrollo y fundamento

del experimento, así como las conclusiones finales y la bibliografía utilizada.

Reglas del Método Científico

• Analizar el problema a estudiar para determinar qué es lo que se quiere, formulando las

hipótesis de trabajo para dar forma y dirección al problema que se está investigando.

• Recopilación de hechos

• Clasificar y tabular los datos para encontrar similitudes, secuencias y correlaciones

57

• Formular conclusiones por medio de procesos lógicos y razonamiento

• Probar y verificar conclusiones.

Las reglas del método científico son una guía valiosa para el investigador, pero no constituyen

una receta que se deba seguir a pie de la letra; ayudan de manera efectiva a resolver

problemas, pero su aplicación indiscriminada no conduce a la resolución de problemas ni a la

formulación de nuevas leyes.

1.1.2 Antecedentes históricos

La física es la ciencia experimental que trata los objetos materiales y sus

propiedades, y trata de ofrecer una respuesta a la pregunta de ¿cuál es la

estructura del mundo en que vivimos?

Los pensadores griegos fueron los primeros en reflexionar sobre esta

cuestión, proponiendo diversas soluciones: el agua (Tales de Mileto), los

cuatro elementos (tierra, aire, agua y fuego; Empédocles) o los átomos

(Demócrito, Leucipo y Epicuro). Otros centraron sus especulaciones en problemas más

concretos, como la óptica (Euclides) o la estática e hidrostática

(Arquímedes). No obstante, en sus inicios, esta ciencia contó con la gran

presencia de Aristóteles, cuyos conocimientos se mantuvieron vigentes

hasta que personajes como Kepler, Copérnico, y Galileo Galilei iniciaron

la revolución que terminaría en el siglo XVII con el surgimiento de la

llamada física clásica.

Durante el siglo XVII se asistió a la formulación de la teoría relativa al

magnetismo terrestre (W. Gilbert (1544-1603), al establecimiento de las bases

de la dinámica y a la formulación de las leyes de la caída de

los cuerpos (Galileo Galilei 1564-1642). Isaac Newton

(1642-1727), fue quien estableció el concepto de masa y formuló la teoría

de la gravitación universal (en su obra Philosophia Naturalis Principia

Mathematica, en 1682). También creó el formalismo necesario para el

58

tratamiento matemático de dicha teoría (cálculo de fluxiones) y demostró la validez de las

leyes del movimiento de los planetas, obtenidas empíricamente por Kepler (1571-1630).

Huygens (1629-1695) dedujo el teorema de la energía cinética y aplicó los estudios de Galilei

sobre el péndulo a la regulación de los relojes. Por otra parte, los trabajos de Gassendi (1592-

1655) y Boyle (1627-1691) sacaron del olvido los pensamientos materialistas y permitieron

crear una nueva teoría atómica en lo que corresponde a la materia, y el establecimiento de la

existencia tanto del vacío como de la atmósfera. Torricelli, 1608-1847,

Pascal, 1623-1662, y Von Guerricke, 1602-1686). Al mismo tiempo, el

desarrollo de la estática y de la dinámica recibió un significativo empuje por

parte de Stevin (1548-1620), al igual que la óptica (Huygens, Descartes,

1596-1650, y Snell, 1591-1626).

Fahrenheit (1686-1736) desarrolló la teoría del calor, y junto con Celsius (1701-1744) definió

la temperatura, logrando establecer escalas para su medición. La

termodinámica experimentó también un desarrollo sorprendente con la

formulación, en 1824 por Carnot (1796-1832), del llamado segundo principio

de la termodinámica y del primer principio en 1842, por Mayer (1814-1878).

A este proceso contribuyó asimismo. Rudolf Emanuel Clausius (1822-1888),

al definir el concepto de entropía. Finalmente, Boltzmann (1844-1906) daría fin a este proceso

con la enunciación de la mecánica estadística.

Durante el siglo XVIII se produjo un fértil progreso de la mecánica clásica, como continuación

de los trabajos de Newton. Por otra parte, la electricidad, que hasta ese

período no había dejado de ser más que una simple curiosidad científica,

experimentó un considerable impulso, gracias a los trabajos realizados por

Coulomb (1736-1806), que ya a inicios del siglo XX serían consumados por

Oersted (1777-1851), Ohm (1787-1854), Ampere (1775-1836) y Faraday

(1791-1867). Finalmente, la ratificación de la teoría ondulatoria de la luz por parte de Young

(1773-1829) y Fresnel (1788-1827) permitió a Maxwell (1831-1879) consolidar en 1865 dos

disciplinas hasta entonces diferentes, la electricidad y el magnetismo, mediante la formulación

de una teoría electromagnética de la luz que sería corroborada prácticamente y de forma

experimental en 1887, por Hertz (1857-1894).

59

Hacia fines del siglo XIX la física sentía haber logrado un campo de

completitud definitiva con la integración de la mecánica y la termodinámica en la mecánica

estadística, y de la electricidad y la óptica a través de la teoría consolidada de las ondas

electromagnéticas. Sin embargo, ciertos fenómenos, como el carácter corpuscular de la

electricidad, el carácter negativo de la carga electrónica, la identificación de los electrones y

los rayos catódicos, y el establecimiento de la carga del electrón, forzaron a los físicos a

replantearse muchas de las concepciones clásicas dando lugar esto al surgimiento de la

llamada física moderna.

La física moderna se inició con la hipótesis de los cuantos de Planck (1858-

1947), a la que siguieron la determinación de la naturaleza de los rayos X, por

Von Laue (1879-1960), el estudio de la radiactividad natural

por Curie, y el efecto fotoeléctrico explicado por Albert

Einstein (1879-1955), gracias a la enunciación de la hipótesis

de la existencia de los cuantos de luz llamados fotones y

confirmado experimentalmente, en 1925, por los trabajos de Compton (1892-

1962). Así pues, la nueva física quedó formalizada a través de las teorías de la relatividad

especial (1905) y general (1915) enunciadas por Einstein, así como por el desarrollo de la

llamada mecánica cuántica Broglie(1892-1986), dualidad onda-corpúsculo;

Schrödinger, (1887-1961) Dirac, (1902-1984), aplicación del concepto de

probabilidad a la onda asociada a un corpúsculo y Heisemberg, (1901-1976),

formulación del principio de incertidumbre y del modelo atómico de Bohr

(1885-1962). En 1934 se descubre la presencia de la radiactividad artificial

(Joliot-Curie) y cuatro años después, la fisión nuclear (Meitner y Hahn, (1879-

1968) y Strassmann, (1902-1980), con lo que cambió por completo la

perspectiva de la relación entre la masa y la energía, así como la de la estructura de la propia

masa, de la que hasta entonces sólo se conocían tres componentes fundamentales: el electrón

(1879), el protón (1910) y el neutrón (1932). Se abría así la búsqueda de los componentes

elementales de la materia.

1.1.3 Concepto y clasificación de la física

60

1.1.4 Conceptos fundamentales

a) Fenómeno: Todo cambio que ocurre en la naturaleza.

Fenómeno Físico: Es el cambio que no altera la naturaleza o estructura interna de la

materia, o lo hace en forma aparente.

Física: Es la ciencia que estudia la materia, la energía, sus propiedades y su interrelación para la explicación precisa de los fenómenos de la naturaleza.

Física Clásica (Macrocosmos)

Acústica Termología

Mecánica

Electromagnetismo

Óptica

Física Moderna (Microcosmos)

Física de las Partículas fundamentales

Física del Estado Sólido

Física Atómica

Física del plasma

Física Nuclear Relatividad

Física Cuántica

61

Ejemplos:

desplazamientos

estados de agregación de la materia

cambios de fase, etc.

b) Materia y sus propiedades

1.2 Operaciones fundamentales para la solución de problemas

Abordar este tema, es de gran importancia, porque de la realización de una operación

matemática depende el éxito o fracaso en la solución de un problema de física.

Materia: es todo lo que ocupa un lugar en el espacio y tiene inercia.

Gases: Adoptan la forma y el volumen del recipiente que los contiene.

Líquidos: Adoptan la forma del recipiente que los contiene y su volumen es propio.

Sólidos: Presentan forma y volumen propio.

62

Los números reales se representan por medio de la recta numérica y en ella podemos observar

la presencia de números positivos y negativos y en cada uno de ellos encontraremos los

números enteros y racionales.

Las operaciones básicas son:

Adición Sustracción Multiplicación División Potencia

Operaciones básicas con números enteros.

Adición y sustracción. Es la suma algebraica entre dos o más números reales

Las operaciones de adición y sustracción pueden ser:

Entre números de igual signo. Para realizar este tipo de operaciones se realiza la suma o la

resta y al resultado se le pone el signo que tenga el número mayor.

Ejemplo: 3 - 80 = - 77 59 + 102 +76 = 237 65 + 43 + 1002 = 1110

Entre números de diferente signo. Para efectuar operaciones como: (-8) + (5) solo hay que

hacer una resta entre los valores absolutos y al resultado escribir el signo del numero mayor

(en valor absoluto).

Ejemplos: 5 + (-7) = -2 -6 + 11 = 5

La adición y sustracción de mas de tres números. En este caso se aconseja sumar primero los

positivos, después los negativos y finalmente realizar la suma o resta según sea el caso sin

olvidar la regla de los signos.

Ejemplo:

0-4 -6 -3 -2 -5 -7 -1 1 84 2 5 6 3 7

0-4 -6 -3 -2 -5 -7 -1 1 84 2 5 6 3 7

(-3) + (-4) = -7

63

Adición: (-7) + 8 + (-9) + 10 + (-11) + (-13) + 15 = 33 + (-40) = -7

Sustracción 15 - (-2) - (-7) - 16 - (-3) - 5 - (-9) = 36 - (-21) = 57

Multiplicación. Para efectuar la multiplicación de números enteros se siguen los siguientes

pasos:

• Se multiplican el valor absoluto de los factores.

• Si los factores tienen el mismo signo, el producto es positivo

• Si los factores tienen diferente signo, el producto es negativo.

Ejemplo:

(8) (4) = 32. (-6) (-4) = 24 (7) (-3) = -21 (-5) (6) = -30

(-5) (-4) (-2) = (40) (-20) = -80 (6) (-4) (-3) = (-24)(-3) = 72

División.

La división es la operación inversa de la multiplicación, es decir dado el producto encontrar el

otro factor.

Regla de la división.

“Cuando el dividendo y el divisor tienen el mismo signo, al cociente no le escribimos signo. Si

el dividendo y el divisor tienen diferente signo, al cociente le escribiremos signo negativo”

Ejemplos.

Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes operaciones anotando el procedimiento.

( ) =−−− 259 [ ]=−−− )8(514

428 = 2

2

4 −=−4

3

12 −=−

35

15 =−−

54

20 =

Cociente Dividendo

Divisor

64

Potencia

La potencia es el producto de varios factores iguales. Por ejemplo:

Multiplicación de potencias.

Si multiplicas 2 3 x 2 4 lo que tendrías que hacer es:

2 3 x 2 4 = (2 x 2 x 2) (2 x 2 x 2 x 2) = 2 7

Es fácil notar, que lo único que se tiene que hacer es, sumar los exponentes

=− 5

198

=−

+−)2418(

)615( =

+−−

)48(

)514( 2

[ ] =+

+++)55(

20)7(31081 2

[ ]=−−

5

)8(14 2

8 3 = 8 x 8 x 8 = 512 512 es la tercera potencia de 8

6 5 = 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7776 7776 es la quinta potencia de 6

65

Ejemplo:

Para elevar una potencia a una potencia

Si se desea calcular (2 2) 3 = (2 2) (2 2) (2 2) = 2 6 la forma de efectuar esta operación es

multiplicando los exponentes.

Fracciones. (Números racionales)

La fracción es una expresión matemática integrada por 2 partes.

Numerador. Es el número que indica cuántas unidades fraccionarias contiene la fracción, por

ejemplo en 3/12 el número 3 indica que se ha tomado 3 veces 1/12.

Denominador. Es el número que indica las partes iguales en que se ha dividido la unidad.

Recordemos como resolver operaciones de:

Adición Sustracción Multiplicación División Potencia

Adición y Sustracción:

Y

X Numerador Denominador

Ejemplos. (5 3) 4 = (5 3) (5 3) (5 3) (5 3) = 5 12

(2 5) 6 = (2 5) (2 5) (2 5) (2 5) (2 5) (2 5) = 2 30

(7 9) 6 = (7 9) (7 9) (7 9) (7 9) (7 9) (7 9) = 7 54

5 3 x 5 2 = 5 3 + 2 = 5 5

3 4 x 3 8 = 3 4 + 8 = 3 12

66

Este tipo de operación requiere del común denominador. Una forma sencilla de obtener el

común denominador consiste en multiplicar los denominadores de todas las fracciones que

Integran la adicción y/o la sustracción. ¿Qué hay que hacer con el?

El común denominador (210) se divide

entre el denominador de la primera

fracción (10).

El cociente obtenido (21) se multiplica por

el numerador de la misma fracción (4).

Se escribe el producto (84),

Después el signo de operación (+) o (-)

según sea el caso

Posteriormente: Se repite el proceso con

las siguientes fracciones.

Finalmente se realiza la suma algebraica del numerador, se divide entre el

denominador obteniéndose resultado esperado

Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes fracciones

Multiplicación

Esta operación es sencilla, como podrá observarse en el siguiente ejemplo

?32

73

104 =−+

=−+210

1409084

8285.0210174 =

2110210=

( )( ) 84421 =

igual

=+4

1

2

1.1

=+6

5

10

3.2

=+10

9

3

8.8=+

3

6

12

9.3

=−+3

2

10

4

2

11.9=++

5

2

7

3

9

7.4

=+−5

8

4

7

2

14.10=−

6

1

5

2.5

=−11

2

4

3.6

=−3

4

2

9.7

15.080

12

108

43

10

4

8

3 ===

x

x

67

• Se multiplica (numerador x numerador) y (denominador x denominador)

• Finalmente resuelves la división.

Ejercicio: Resuelve cada uno de los siguientes problemas aplicando la regla de los signos

División

La división es la operación inversa a la multiplicación, es decir, dado el producto encontrar el

otro factor.

Ejemplo:

.

Para resolver la división, se invierte una de las fracciones y se resuelve como la

multiplicación, como podrás observar en el siguiente ejemplo.

=

4

5

8

9.1

=

8

3

4

15.2

=

−

7

3

14

7.3

=

− 6

8

6

4.4

=

−

−5

3

12

7.5

÷

74

53

:

7453

formasiguienteladeescribirpuedese

05.120

21

45

73

4

7

5

3===

x

x

68

Ejercicio: La división es tan fácil como la multiplicación y para comprobarlo resuelve las

siguientes divisiones.

Potencia

En esta operación, tanto el numerador como el denominador deben elevarse a la potencia.

Ejemplos

=

÷

5

8

5

9.1

=

÷

5

12

4

30.2

=

÷

8

6

15

45.3

=

÷

2

3

7

2.4

=

÷

24

5

16

27.5

4

1

22

11

2

1

2

12

22 ===

x

x

( )( )

( )( ) 5.016

8

44

222

4

2

4

2

4

2

4

22

3

6

66

36

26

31

21

31

21

======

x

xx

( )

( ) 222.036

8

66

8

6

8

6

8

6

8

6

82

1

244

2

4

2

4

22

21

212

1

======

x

69

Ejercicio. Resuelve cada uno de los siguientes problemas

1.2.1 Matemáticas descriptivas

a) Notación científica

Dentro del quehacer científico y cotidiano nos encontramos con frecuencia con números muy

pequeños o muy grandes y es difícil trabajar con ellos por la cantidad de ceros que contienen,

por ejemplo:

Un mecánico al medir el espesor de una delgada hoja metálica puede encontrar el valor de

0.0053 cm. De modo similar, un ingeniero puede determinar un área de 1, 200, 000 m2 para la

pista de un aeropuerto.

En estos casos la notación científica o notación exponencial en base 10 es una herramienta

útil, ya que busca facilitar la solución de operaciones matemáticas, sin vernos obligados a

utilizar el gran número de ceros al realizar nuestros cálculos.

Para escribir los números en forma científica, partiremos de una clasificación muy simple, por

un lado tenemos los números mayores que la unidad, y por otro los números menores que la

unidad.

=

3

5

2.1

=

2

4

1.2

=

31

3

6

5

9.3

=

31

3

6

5

9.4

=

6

21

61

5

9.5

=

8

21

82

7

3.6

70

La potencia con base diez se utiliza para expresar los números grandes o pequeños y para

desplazar el punto decimal sin vernos obligados a utilizar un gran número de ceros al efectuar

nuestros cálculos.

Cuando dichas cantidades se expresan como potencias de 10 decimos que están expresadas en

notación científica y cuando no están expresadas como potencias de 10 decimos que se

expresan en notación decimal.

científicaNotaciónxEjemplo 6105.1:

decimalNotación0000015.0

La nomenclatura que utilizaremos para denominar a cada uno de los componentes de una

expresión en notación científica es la siguiente:

Para transcribir un número de notación decimal a científica nos basaremos en las siguientes

reglas:

Exponente

Base 10

Coeficiente 5106 x

Regla 1: Para cantidades mayores que 1 (# > 1)

Tendrán exponente positivo para la potencia de base 10

Se procede a contar el # de lugares que deberá recorrerse el punto

decimal a la izquierda. Este número será el exponente positivo de 10.

Ejemplo 24 000. = 2.4 x 10 + 4

El exponente es de signo positivo y es 4 porque el punto decimal se

recorrió 4 (veces) lugares hacia la izquierda.

Regla 2: Para cantidades menores que 1 (# < 1)

Tendrán exponente negativo para la potencia de base 10

Se procede a contar el # de lugares que deberá recorrerse el punto

decimal a la derecha. Este número será el exponente negativo de 10.

Ejemplo .000 0006 = 6. x 10 -7

El exponente es de signo negativo y es –7 porque el punto decimal se

71

Para realizar la operación inversa, es decir teniendo los números en notación científica

transcribirlos a notación decimal procedemos de la siguiente forma:

Observamos cual es el signo del exponente dependiendo de esto sabremos hacia donde se

recorrerá el punto decimal; es decir, si el signo del exponente es negativo el número es menor

que 1 y debemos recorrer el punto hacia la izquierda y si es positivo el número es mayor que 1

y debemos recorrer el punto hacia la derecha.

5.7 x 103 = 5 7 0 0 3.64 x 10-4= 0 .0 0 0 3 6 4

Expresa cada una de las siguientes cantidades en notación científica

Notación decimal Notación científica

250 000 000 000 000 000

Cuando el signo del exponente sea positivo (+), esto significa que el

número expresado es mayor que 1 y cuando el signo del exponente sea

negativo (-) quiere decir que el número es menor que 1.

72

000. 000 305

0. 001 000

007 000 000 000

10. 000 000

2 500

8 000 000 000

450 000

986 600 000 000

0.000 000 000 000 000 000 008

Expresa cada una de las siguientes cantidades en notación decimal.

Notación científica Notación decimal

400 x 10 4

61 x 10 6

356 x 10 8

9 x 10 9

45 x 10 -8

56.9 x 10 3

2310 x 10 -3

150 x 10 -5

75 x 10 -12

4 x 10-20

Operaciones Fundamentales Con Notación Científica

Operación Coeficientes Base 10 Exponentes Resultado

73

Adición

exponentes iguales

( 9 x 105 )+( 3 x 105 )

Se suman

9 + 3

Se conserva

10

Se conservan

5 12 x 105

Sustracción

exponentes iguales

( 9 x 105 )-( 3 x 105 )

Se restan

9 – 3

Se conserva

10

Se conservan

5 6 x 105

Multiplicación

exponentes pueden

ser diferentes

( 9 x 105 )( 3 x 105 )

Se multiplican

9 x 3

Se conserva

10

Se suman

5 + 5

27 x 1010

División

exponentes pueden

ser diferentes

( 9 x 107 )/( 3 x 105 )

Se multiplican

9 / 3

Se conserva

10

Se restan

7 - 5 3 x 102

Potencia

exponentes pueden

ser diferentes

( 9 x 105 )2

Se eleva a la

potencia

9 2

Se conserva

10

Se multiplican

5 x 2

81 x 1010

Raíz

exponentes pueden

ser diferentes

4109x

Se extrae la

raíz

9

Se conserva

10

Se dividen

4 / 2 3 x 102

Adición (o suma) Y Sustracción (o resta)

Para sumar o restar los números escritos en notación científica, seguiremos los siguientes

pasos:

74

Los coeficientes se suman o se restan.

La base o potencia de 10 se mantiene, es decir queda tal y como antes. Los exponentes quedan

del mismo modo, es decir, el mismo número y el mismo signo.

Multiplicación

En notación científica podemos realizar multiplicaciones entre los números aunque los

exponentes de las potencias de 10 no sean iguales, y para realizar estas operaciones

procederemos de la siguiente forma:

• Los coeficientes se multiplican

• La base o potencia de 10 queda igual

• Los exponentes se suman

Para el caso de la multiplicación, específicamente para el

segundo ejercicio debemos tener mucho cuidado, ya que las

confusiones con los signos son muy comunes. Hay que

tomar en cuenta las leyes de los signos para poder hacer una suma de exponentes y así obtener

el exponente con su signo correcto como lo vemos a continuación:

9 + (-5)= 9 – 5= 4

División

Para realizar la división en notación científica procederemos como sigue:

• Se dividen los coeficientes

Leyes de los signos

( + ) (+) = ( + ) ( + ) ( - ) = ( - )

( - ) ( - ) = ( + ) ( - ) ( + ) = ( - )

(3 x 10 7 ) + (8 x 10 7) = 11 x 10 7

(2.5 x 10 – 6) + (3.5 x 10- 6) = 6 x 10 - 6

(5 x 104) – (2 x 104) = 3 x 10 4

Ejemplos

(2 x 104) (4 x 103)= 8 x 104 + 3= 8 x 107

(3 x 109) (2 x 10-5)= 6 x 109 +(-5) = 6 x 104

(2 x 103) (5 x 1011)= 10 x 103+11= 10 x 1014

75

• La baso o potencia de 10 queda igual

• Los exponentes se restan; el exponente del numerador menos el del denominador.

Ejemplos:

Potenciación

La operación de potenciación en notación científica se realiza de la siguiente manera:

• EL coeficiente de la expresión se eleva a la potencia indicada

• La potencia de 10 pasa de la misma manera

• Los exponentes se multiplican, el de la potencia de diez por el que se indica fuera del

paréntesis.

Ejemplos:

( 3 x 10 2 )3 = 27 x 10 ( 2 ) ( 3 ) = 27 x 10 6

( 4 x 10 – 3 ) 2 = 16 x 10 ( - 3 ) ( 2 ) = 16 x 10 – 6

Para reafirmar lo anterior recordemos que un número elevado a una potencia se describe como

sigue:

Por ejemplo:

3 4 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81

2 5 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

La Raíz.

La operación de la raíz cuadrada en notación científica se realiza de la siguiente manera:

• Al coeficiente de la expresión se le extrae la raíz correspondiente

• La potencia de 10 pasa de la misma manera

( ) 936363

6

103103103103

109xxx

x

x === +−−−

2242

4

104104102

108xx

x

x == −

76

• El exponente se divide entre el índice de la raíz, así si es una raíz cuadrada el

exponente de la base 10 será dividido entre 2 que corresponde a su índice y si se trata

de una raíz cúbica entonces el exponente de la base 10 será dividido entre 3, el cociente

de esta división corresponderá al exponente de la base 10.

Ejemplo:

Ejercicio

Convierta las siguientes cantidades a notación decimal o notación científica según

corresponda, realizando en cada caso las operaciones que se indican.

Problema Solución

(5.5 x 104) (4.3 x10-2)

( 7 x 10 – 5 )2

( 4 x 10 5 )+(3 x 10 5 )

(5 x 10 4) 5

( 25 x 10 9 )+(7 x 10 9 )

4104 x

( ) 21241081x

b) Leyes de los exponentes

Las leyes de los exponentes son muy usadas en la física ya que la mayoría de las veces nos

encontramos con números o muy grandes o muy pequeños en los cuales requerimos de hacer

3266 10410161016 xxx ==

428

8 103109109 −−

− == xxx

19

12

1045

10900−x

x

12

4

1042

10168

x

x −

77

algunas operaciones y que al momento de ponerlos en forma exponencial se facilitan mas.

Antes de ver estas leyes veremos algunas definiciones esenciales.

Exponente de un número: Es el resultado de la multiplicación de un número por sí mismo o

sea este nos indica el número de veces que será multiplicado por el mismo.

Un exponente es una forma abreviada de escribir un producto de un número por el mismo las

veces indicadas. Por ejemplo:

2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 = 52

En la expresión del exponente de un número consideramos dos partes:

1.- La base: es el número que se va a multiplicar por el mismo.

2.- El exponente: es el número que indica las veces que la base se va multiplicar por si misma.

A continuación veremos las leyes de los exponentes en las diferentes operaciones

fundamentales.

1.- Para la multiplicación (los exponentes se suman)

mnmn aaa +=+

2.- Cuando el exponente es igual a cero, (el resultado siempre es uno sin importaer el valor de

la base)

010 ≠= aquemientrasa

3.- Cuando tenemos una raiz a cualquier potencia.

mm aa1

=

4.- Para la division.(al exponente del numerador se le resta el exponente del denominador)

cac

a

ab

b −=

5.- Cuando el exponente es negativo.

78

aa

pp 1=−

6.- Cuando existe una raiz de un numero elvado a cierta potencia.

abqqa b =

7.- Cuando se elva una potencia a otra.

( ) fefe dd =

8.- Cuando se estan multiplicando dos numeros y estos son elvados a una potencia.

( ) zzz yxxy =

9.- Raiz de una division.

a

a

a

y

x

y

x =

2. Unidades y sistemas de medición

En nuestra vida diaria generalmente usamos expresiones como las siguientes: hace frió, está

cerca, no ha llovido mucho, que resistente, espérame un momento para referirnos a alguna

propiedad o característica de las cosas que nos rodean y tener una idea del valor de esa

cualidad. Esta clase de información nos sirve para ponernos de acuerdo, pero en muchas

ocasiones no resulta ser suficiente. Imagínate que vas a comprarte un par de tenis y

simplemente pides unos de tamaño mediano, te los llevas y luego descubres que no te entra el

pie, o imagina que deseas reponer un vidrio de la ventana de tu casa, es evidente que para no

estar adivinando, necesitas saber de que tamaño es. En estos ejemplos la propiedad que se

busca debe especificarse con precisión, es decir, hay que pasar de lo cualitativo a lo

cuantitativo y esto se consigue midiendo.

2.1 Conceptos de magnitud.

Magnitud: Es el tamaño de un objeto. Una magnitud es todo lo que puede ser medido.

79

Magnitud Fundamental: Son las unidades que se seleccionan de manera arbitraria y no se

definen en función de otras magnitudes. Es decir se consideran dimensionalmente

independientes. En el sistema internacional de medidas existen siete unidades fundamentales:

el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, la candela, el kelvin y el mol.

Magnitud derivada: Están formadas por la combinación de unidades fundamentales. Las

unidades derivadas se definen de forma que sean coherentes con las unidades básicas. Varias

de estas unidades derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades fundamentales.

Otras han recibido un nombre especial y un símbolo particular.

Si una unidad derivada puede expresarse de varias formas equivalentes utilizando, bien

nombres de unidades fundamentales, o bien nombres especiales de otras unidades derivadas,

se admite el empleo preferencial de ciertas combinaciones o de ciertos nombres especiales,

con el fin de facilitar la distinción entre magnitudes que tengan las mismas dimensiones. Entre

ellas se encuentran el m2, m/s, m/s2, m3,ft/s, km/hr, rad/seg, etc.

Medida: Es la expresión comparativa de la longitud, área o volumen, etcétera de un objeto. Es

lo que sirve para medir. Es la acción de medir. Es la cantidad que cabe exactamente un cierto

número de veces en cada una de otras dos o más de la misma especie que se comparan entre sí.

Medición: Es la comparación de una magnitud con otra de la misma especie llamada unidad.

La medición es la técnica por medio de la cual se le asigna un número a una propiedad física,

resultado de la comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual

se ha adoptado como unidad.

2.1.1 Escalar y vectorial

Magnitud escalar: Es aquella que solo presenta magnitud o tamaño y queda definida

correctamente por medio de un número abstracto y una unidad. Por ejemplo:

18 metros, 5 segundos, 3 Kilogramos, 26° Kelvin, 25 litros, 400 m2 , etcétera

80

Magnitud vectorial: No sólo requieren para su definición de la magnitud o tamaño que se

expresa con un número abstracto y una unidad, además debe indicarse la posición por medio

de la dirección y sentido. Las magnitudes vectoriales se representan por medio de una flecha.

Ejemplo:

a) Unidades de medición

Las unidades de medición se clasifican en dos partes: las unidades fundamentales y las

unidades derivadas.

Entre las unidades fundamentales tenemos

Magnitud Nombre Símbolo

Longitud Metro m Masa kilogramo kg Tiempo segundo s Intensidad de corriente eléctrica Ampere A Temperatura Kelvin K Cantidad de sustancia Mol Mol Intensidad luminosa Candela Cd

A continuación se citan algunas de las unidades derivadas más comunes

Magnitud Nombre Símbolo Superficie metro cuadrado m2 Volumen metro cúbico m3 Velocidad metro por segundo m/s Aceleración metro por segundo cuadrado m/s2

De acuerdo a la gráfica se tiene la

siguiente información:

Magnitud. Es la medida del vector

5 Newton.

Dirección.- 45° al este.

Sentido. Lo indica la punta de la

flecha y es la orientación de la

magnitud vectorial

5 Newton

θ = 45° E W

N

S

81

Número de ondas metro a la potencia menos uno m-1 Masa en volumen kilogramo por metro cúbico kg/m3 Velocidad angular radián por segundo rad/s Aceleración angular radián por segundo cuadrado rad/s2 Frecuencia hertz Hz Fuerza newton N Presión pascal Pa Energía, Trabajo joule J Potencia watt W Carga eléctrica coulomb C Potencial eléctrico volt V Resistencia eléctrica ohm Ω Capacidad eléctrica farad F Flujo magnético weber Wb Inducción magnética tesla T Inductancia henry H

2.2 Sistemas de Unidades

Al hablar del día o la noche para referirse al tiempo, el hombre primitivo hablaba de tantas

soles o lunas para indicar ciertos acontecimientos. La necesidad para referirse a lapsos

menores entre la salida de la luna o el sol lo llevo a la observación de cómo se desplaza la

sombra proyectada en el suelo de una roca al pasar el tiempo, y coloco piedras en los lugares

donde realizaba un trabajo, de esta forma el hombre construye el primer reloj para medir el

tiempo.

Para medir la masa de un cuerpo, colocaba en sus manos dos objetos con la idea de saber cual

era mayor, un día se le ocurrió la idea de equilibrar una tabla con una roca y colocar los

objetos, uno en cada extremo de la tabla, y el que mas bajara seria de mayor masa, Así el

hombre tuvo su primera balanza.

La longitud de media con las partes del cuerpo, usando sus medidas, por ejemplo: los ingleses

usaban el pie, los romanos el paso, los egipcios usaron la brazada (igual a la medida de un

82

hombre con los brazos extendidos), también se usaba la medida del codo hasta el extremo del

dedo medio, la palma de la mano o cuarta, y así aparecieron muchas medidas en el mundo.

A partir de esta historia podemos deducir que la unidad de medida es la magnitud que se usa

como medio de comparación para hacer una medición

La existencia de una gran cantidad de unidades creaba dificultades en las relaciones

internacionales de comercio y en el intercambio de resultados de investigaciones científicas,

etcétera como consecuencia los científicos de los diversos países intentaron establecer

unidades comunes, válidas en todos ellos.

Durante la revolución francesa se creo el sistema métrico decimal, según sus autores, debería

servir en todos los tiempos, para todos los pueblos y para todos los países, su característica

principal es que las distintas unidades de una misma magnitud se relacionan entre sí como

exponentes enteros de 10.

Y sus unidades fundamentales son el metro, el kilogramo-peso y el litro, para definirlas se

usaron datos de carácter general como las dimensiones de la tierra o la densidad del agua, su

ventaja principal es la división decimal que presenta y que da lugar a los múltiplos y

submúltiplos de la unidad.

Prefijos Utilizados En El Sistema Internacional De Medidas

Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo

1 x 1018 exa E

1 x 10-1 deci D

1 x 1015 penta P 1 x 10-2 centi C

1 x 1012 tera T

1 x 10-3 mili m

83

1 x 109 giga G 1 x 10-6 micro u

1 x 106 mega M

1 x 10-9 nano n

1 x 103 kilo k 1 x 10-12 pico p

1 x 102 hecto h

1 x 10-15 femto f

Desde mediados del siglo XIX, el sistema métrico comenzó a difundirse ampliamente, fue

legalizado en todos los países y constituye la base de las unidades que sirven para la medición

de diversas magnitudes en la Física y en otras ciencias.

El sistema de unidades es el conjunto de unidades debidamente relacionadas entre sí que nos

permiten realizar mediciones.

2.2.1 Sistemas de Unidades (MKS, cgs, técnico, inglés) Además del sistema internacional de medidas (MKS o Giorgi) existen otros sistemas de

unidades entre los que pueden mencionarse: el sistema sexagesimal, el técnico terrestre y el

sistema ingles, como los mas comunes, como podrá apreciarse en la tabla, cada uno de ellos

utiliza diferentes unidades de medida para cada uno de los factores.

Magnitud Sistema M.K.S. Sistema c.g,s. Técnico terrestre Sistema Ingles

Longitud Metro m Centímetro cm Metro m Pie ft.

Masa Kilogramo Kg Gramo g u.t.m Slug

Tiempo Segundo s Segundo s Segundo s Segundo s

Fuerza Newton N Dina D Kilo pound Lb. (Fuerza)

Trabajo Joule J Ergio erg Kpm Lb-ft

Energía Joule J Ergio erg Kpm Lb-ft

velocidad m/s cm/s m/s ft/s

aceleración m/s2 cm/s2 m/s2 ft/s2

2.2.2 Equivalencias y Conversión de unidades

Las equivalencias expresan la misma medida en unidades diferentes, por ejemplo: si deseamos

medir tu estatura, lo podemos hacer usando el metro como unidad de medida, pero también

podemos usar centímetros o la unidad de longitud inglesa que son los pies.

84

Las equivalencias te permiten convertir las unidades de una medida en otra que sea de la

misma especie.

Conversiones.

Para realizar una conversión de una unidad a otra se realizan los siguientes pasos:

a) Se escriben dos paréntesis y dentro del primer paréntesis se escribe la cantidad que

queremos convertir y se divide entre la unidad.

b) Se investiga la equivalencia entre las unidades que tenemos y a las que deseamos obtener.

c) Con la equivalencia se construye el factor de conversión, para lo cual debes acomodar en

el segundo paréntesis procurando escribir la parte de la equivalencia que porta la unidad

1 pie (ft) = 0.3048 m

1 Yarda (yd) = 3 pie (ft)

1 pulgada (in) = 2.54 cm

1 milla = 1 609 metros

1 metro (m) = 100 centímetro (cm)

1metro (m) = 0.102 Kilopound (Kp)

1 Km = 1 000 metros

Equivalencias entre unidades de longitud

1 libra m = 454 g 1slug = 14.594 Kg

1 libra = 16 onzas = 28 g

1 libra m = 0.454 Kg

1 tonelada = 1 000 Kilogramos

1 Kg. = 0. 102 unidad técnica de masa

1 Kg = 1 000 gramos

Equivalencias entre unidades de masa

1 hr. = 60 minutos = 3600 segundos

Equivalencias entre unidades de tiempo

85

que se desea cancelar en la posición contraria a la que se encuentra escrita en el primer

paréntesis.

d) Finalmente se realizan las operaciones indicadas para obtener el resultado.

Se multiplica el numerador por el numerador

Se multiplica el denominador por el denominador

Se resuelve la división.

Ejemplo: convertir 5km a millas

En este caso se acomodo la equivalencia poniendo las unidades de millas la parte que

corresponde al numerador (arriba) ya que esas son las unidades que nosotros deseamos, y se

puso a las unidades km en el denominador (abajo), así al realizar las operaciones las unidades

de km quedaran dividiéndose por si mismas y automáticamente se cancelaran quedando

únicamente las millas.

Ejercicio: Realice las siguientes conversiones siguiendo la metodología antes explicada.

1) Convertir 198 km a millas.

2) 23 yardas a metros.

3) 300 millas a metros y a kilómetros

4) 20 000 gramos a libras.

( )( )( )( ) millas

millas

km

millakm

km

millakm107.3

609.1

5

609.11

15

609.1

1

1

5==

=

1milla=1.609km

86

5) 217 libras a kilogramos.

6) 1 245 987 segundos a horas.

7) 2 100 pies a centímetros y a metros.

8) 1187 kilogramos a slug y a gramos

9) 100 ft a metros

2.2.3. Errores y causas de error.

Error: Cuando hacemos mediciones de magnitudes con distintos instrumentos de medición y

comparamos el valor de la medida realizada nos damos cuenta de que siempre existirá una

diferencia en dicha medición y a esta diferencia se le llama error o error en la medición.

Debido a esto no existe una medición exacta y lo que tenemos que hacer es que el error sea

mínimo. Para esto existen diferentas técnicas que nos permiten obtener resultados más

satisfactorios.

Causas de error en las mediciones: Los errores en las mediciones son debidos a diferentes

causas que son las siguientes:

a) Defecto en el instrumento. Este

se detecta al hacer lecturas de una

misma magnitud con diferentes

instrumentos de la misma marca y

rango.

87

Como ya se menciono, cuando realizamos mediciones nos damos cuenta de que estas tienen

diferente valor, por ejemplo: suponiendo que estamos midiendo la misma temperatura en un

mismo lugar y a la misma hora, la misma distancia diferente personas, el mismo tiempo etc.,

es difícil que en todas las mediciones obtengamos un valor idéntico, para esto a continuación

veremos algunos conceptos y técnicas para reducir la magnitud del error.

2.- Errores circunstanciales.

Estos se presentan debido a

las condiciones en que se

presenta el instrumento.

(temperatura, presión,

humedad.)

a) Errores estocásticos. Son

muy pequeños y no se

presentan comúnmente.

b) Errores aleatorios. Resultan

de factores inciertos y pueden

ser positivos y negativos.

c) Error en la escala. Se detecta

en el rango de precisión

utilizado por el instrumento.

88

Valor promedio de las mediciones. Es el que se obtiene a partir de la sumatoria de las distintas

mediciones realizadas.

Matemáticamente

n

xxxxx n......321 +++=

Donde:

.

.

realizadamedicionx

medicionesdenumeron

medicioneslasdepromediovalorx

n ===

Error absoluto o desviación absoluta. Es la diferencia que existe entre el valor promedio y

cada medición.

Matemáticamente

xxE nA −=

Donde

.medidovalorx

absolutoerrorE

n

A

==

.promediovalorx =

Error relativo. Es la división entre el error absoluto y el valor promedio.

Matemáticamente

x

EE A

R =

Desviación media. Es el margen de error que hay en el valor promedio.

Matemáticamente

n

absolutoerrordevaloresdeDm

∑=

89

Error porcentual. Es el producto del valor relativo multiplicado por 100, esto para obtenerlo

en por ciento.

Matemáticamente

( )( )100RP EE =

Ejemplo

Cinco alumnos de un grupo miden individualmente la longitud de la cancha de básquetbol de

su escuela. Obteniendo los siguientes resultados:

12.34m, 12.31m, 12.29m, 12.32m, 12.31m. Encontrar:

a) El valor promedio de las mediciones.

b) El error absoluto.

c) La desviación media.

d) El error relativo.

e) El error porcentual.

a) n

xxxxx n......321 +++=

5

31.1232.1229.1231.1234.12 ++++=x = 61.57/5 = 12.314m.

Aquí nos damos cuenta de que el valor promedio tiene tres dígitos después del punto decimal y

cuando el número de dígitos después del punto decimal es mayor a el que tienen los datos

obtenidos en la medición se procede a redondear el valor promedio hasta que sus decimales

sean iguales a el de los datos. Si el último número es igual a cinco o mayor el número anterior

aumenta una unidad y en caso de que sea menor a cinco el número anterior queda igual.

Para nuestro ejemplo es: 12.314 m y al redondear queda de la siguiente manera 12.31m.

ya que el ultimo digito es menor que cinco.

b) xxE nA −=

EA1 = 12.34 - 12.31= 0.03m

EA 2= 12.31 - 12.31= 0.00m

90

EA3 = 12.29 - 12.31= -0.02m

EA 4= 12.32 - 12.31= 0.01m

EA 5= 12.31 - 12.31= 0.00m

c) n

absolutoerrordevaloresdeDm

∑= , En este caso todos los valores de error

absoluto se toman como positivos.

Dm. = 0.06m / 5 = 0.012m

Para este caso también se redondea la cantidad ya que el número de dígitos después del punto

decimal es mayor al de los datos principales.

Por lo tanto: Dm. = 0.01m

De donde concluiríamos que la longitud de la cancha de básquetbol se reportaría de la

siguiente manera:

12.31m ± 0.01m.

Esto indica que al realizar otra medición el valor estaría entre 12.30m y 12.32m.

d) x

EE A

R = En este caso todos los valores de error absoluto se toman como

positivos.

ER1 =0.03 / 12.31=0.002437

ER2 =0.00 / 12.31=0.000000

ER3 =0.02 / 12.31=0.001624

ER4 =0.01 / 12.31=0.000812

ER5 =0.00 / 12.31=0.000000

e) ( )( )100RP EE =

EP1 =0.002437(100) =0.2437%

EP2 =0.000000(100) =0.0000%

EP3 =0.001624(100) =0.1624%

EP4 =0.000812(100) =0.0812%

91

EP5 =0.000000(100) =0.0000%

Ejercicios

1. En una alberca se tomaron 10 temperaturas en diferentes áreas de esta, obteniendo los

siguientes datos: 25.1°C, 25.3°C, 24.9°C, 25.2°C, 25.4°C, 25.2°C, 25.1°C, 25.5°C,

24.8°C, 25.3°C.

Encontrar:






2. 6 personas tomaron el tiempo que tarda en caer una pelota que es arrojada desde un edificio

obteniendo los siguientes tiempos: 20.58 seg, 20.34 seg, 19.59 seg, 21.08 seg, 20.17 seg,

21.16 seg.

Encontrar:






2.3. Álgebra vectorial.

En física el álgebra vectorial se utiliza para solucionar ejercicios donde las magnitudes tienen

una dirección y un sentido, a continuación veremos algunos conceptos básicos de esta área.

92

2.3.1. Conceptos básicos.

Vector. Los vectores representan fuerzas, aceleraciones, velocidades y todo lo que tenga

dirección, magnitud y sentido. Los vectores son representados por una flecha.

Todo vector tiene un punto de origen.

Magnitud. Es la que expresa el valor del vector y se representa a escala. Por ejemplo: Un avión

que va a 500km/hr. Hacia el noreste. Su magnitud son los 500km./hr.

Dirección. Señala la línea en la cual actúa el vector y esta puede ser vertical, horizontal o

diagonal. Para el ejemplo anterior la dirección del avión es una línea diagonal.

Sentido. Este es señalado por la punta de la flecha e indica hacia donde se dirige el vector, ya

se a hacia arriba, hacia abajo, izquierda o derecha y este se señala con el signo (+) o (-) según

se señale.

2.3.2. Componentes, resultante, ángulo director.

Componentes de un vector. Todo vector esta constituido por sus componentes, que son

aquellos que lo sustituyen en su descomposición (sistema de vectores equivalentes).

Descomposición. Cuando el numero de vectores equivalentes es mayor al vector

descompuesto.

X Punto de origen

Magnitud . - 500km / hr. Dirección.- inclinación del vector según el ángulo con respecto al este. Sentido.- al noreste.

S

O E

N

Punto de origen

Vector

θ

93

Cuando un vector A se encuentra en un plano bidimensional tiene dos componentes, uno en el

eje de las X (Ax) y otro en el eje de las Y (Ay).

Resultante de un vector. La resultante de un vector es aquel vector que sutituye o realiza la

misma accion de varios vectores sobre el punto de aplicación, aquí se lleva a cabo la

composicion.

Composicion. cuando el número de vectores equivalentes es mayor al vector resultante.

Angulo director. Es aquel que nos indica el grado de inclinacion del vector con respecto al eje

X, existen diferentes formas de simbolizarlo ( ),.........,,, etcσαθ .

El valor del angulo se puede encontrar por los metodos analiticos o graficos

V1

V2

VR

Punto de origen

Para encontrar el vector resultante

se utilizan los:

Métodos gráficos (del triangulo, del

paralelogramo, polígono.)

Métodos analíticos (triangulo,

componentes).

Para encontrar los valores de las

componentes del vector utilizamos

las siguientes formulas:

θθ AsenAyAAx == ;cos

Ay

Ax

Vector A

θ

94

Autoevaluación

Instrucciones: Realiza cada una de las siguientes operaciones matemáticas.

4 +6 +8 – 3 +7 =

Punto de origen

Vector A

θ Angulo director del vector A

95

9 + 6 +87 – 65 –90 =

(7) (5) (4) =

(-9) (-12) =

(24) (-5) =

(6) (-3) (-15) =

60 / - 4 =

–90 / -3 =

7 4 =

3 3 x 3 5 =

2 4 x 2 6 x 2 3 x 2 5 =

(4 4 ) 5 =

(6 6 ) 2 =

(4 4 ) 5 (6 6 ) 2 =

Instrucciones: Resuelve las siguientes operaciones fraccionarias.

=+5

4

5

2.1 =

−÷

− 8

2

8

13.9

96

Instrucciones: Resuelve correctamente cada uno de los siguientes problemas.

1.-Escribe la notación científica ó decimal según sea el caso.

=+6

5

10

2.2

=−+3

2

10

6

12

5.3

=−+3

2

10

6

12

5.4

=

−

3

3

10

8.5

=

− 7

2

5

6.6

=

−

−3

4

16

8.7

=

÷

5

4

2

5.8

=

−÷

−2

3

7

2.10

=

3

6

5.11

=

2

5

1.12

=

31

3

6

2

4.13

=

31

3

6

4

8.14

=

6

21

61

5

6.15

=

6

21

31

3

9.16

97

Notación Científica Notación decimal

2000 x 10 5

3.5 x 10 -4

5.8 x 10 3

6 x 10 4 56 000 000.

00.007603

549 000 0.001

Desarrolla las siguientes operaciones:

(2 x 10 4)(5 x 10 8) =

(5x 10 4) 2 =

(4 x 10 6) + (3 x 10 6) =

(40 x 10 4) / (8 x 10 2) =

Instrucciones: Lee con atención cada una de las siguientes preguntas y contesta en forma breve

y correcta.

¿Que estudia la física?

98

Menciona cinco de los primeros pensadores griegos que trataron de encontrar respuestas a

los fenómenos naturales.

¿Qué científicos son considerados los precursores de la física clásica?

Menciona 10 científicos del siglo XVII?

¿En que siglo la mecánica clásica experimentó un gran desarrollo y con que

descubrimientos?

¿En que siglo nace la física moderna?

¿Quiénes son los científicos mas destacados de la física moderna y cuales fueron sus

descubrimientos?

99

Instrucciones: Relaciona ambas columnas y escribe sobre la línea las letras que proporcionen

la respuesta correcta

Instrucciones: Contesta en forma breve y correcta cada una de las siguientes preguntas.

¿Qué importancia tiene para ti estudiar física?

____Estudia el movimiento y estado de los

cuerpos

____Estudia el movimiento considerando

espacio y tiempo.

____Estudia los cambios de los movimientos

producidos por una o mas fuerzas equilibradas.

____Estudia el movimiento en relación a las

fuerzas que lo producen.

____Estudia las causas del equilibrio en los

sistemas de fuerzas.

____Estudia las leyes y los fenómenos de la luz.

____Trata la formación y propagación del

sonido.

____Estudia las acciones y reacciones de las

corrientes electromagnéticas.

____Trata las relaciones entre lo la mecánica y

el calor.

____Esta integrada por varias áreas de estudio

como la física relativista, cuántica, etc.

AC. Acústica ES. Estática DI. Dinámica. CI. Cinemática TE. Termodinámica ME. Mecánica FI. Física moderna. OP. Óptica EL. Electromagnetismo

100

¿Qué es la materia?

¿En que de diferencian los tres estados fundamentales en que se encuentra la materia?

¿Qué diferencia existe entre un fenómeno físico y un fenómeno químico?

Cita 5 ejemplos de fenómeno físico.

Instrucciones: Complementa cada una de las siguientes aseveraciones, escribiendo en cada

caso la palabra correcta.

101

Medición Medida Magnitud Unidad

módulo dirección sentido segundo

Masa Unidad derivada Unidad escalar Unidad vectorial

Newton Joule Ohm Hertz

Flecha Watt Volt Kilogramo

Longitud metro Tiempo Temperatura

Unidad

fundamental

Intensidad

luminosa

Intensidad de

corriente eléctrica

Cantidad de

sustancia

La ___________es la cantidad que cabe exactamente cierto numero de veces en otra de la

misma especie para ser comparadas entre si.

La técnica mediante la cual se le asigna un numero a una propiedad física es : __________

Se de denomina _____________a todo lo que puede ser medido.

La __________ se usa como medio de comparación para hacer una medición.

De acuerdo a su origen las unidades se dividen en:______________ que se seleccionan de

manera arbitraria y __________________ que se expresan a partir de las unidades

fundamentales.

Las magnitudes fundamentales son: 1.___________,2. ____________

3.______________; 4,___________ 5. ___________, 6, ___________

Son ejemplos de unidades derivadas ______________, __________

_________, __________, ___________, ____________, __________

Es la magnitud que solo presenta tamaño:______________________

Las magnitudes vectoriales se caracterizan por tener:____________,

______________ y _____________ y son representadas por medio de una _______________

Instrucciones: Escribe sobre la línea del lado izquierdo una F si el enunciado es falso y una V

si es verdadero.

____El sistema métrico decimal fue el primer sistema de unidades.

102

____El sistema de unidades no es un conjunto de unidades relacionadas que permiten realizar

mediciones.

____El metro es la unidad de longitud que pertenece al sistema técnico.

____El segundo es la unidad de tiempo que permanece en todos los sistemas

____La unidad de medida de masa inglesa es la unidad técnica de masa.

La unidad de fuerza del sistema cgs es la Dina.

____El Joule es una unidad que se utiliza para el trabajo y la energía.

____La unidad de velocidad es una unidad derivada.

____El pie es una unidad inglesa

____los sistemas de unidades facilitaron el comercio exterior.

____los sistemas de unidades mas comunes son el MKS, cgs, técnico e ingles

Instrucciones: Realiza las siguientes conversiones:

8 Kp = _____________Newton 1 N = .102 Kp

60 u.t.m. = _________ Kg. 1 Kg. = .102 u.t.m.

30 ft = ______________ m 1 ft = .3048 m

40 Km/h = __________m/s 1 Km = 1000 m 1 h = 3600 s

103

UNIDAD II. MECANICA

104

Introducción a la mecánica

Un fenómeno fundamental que observamos a nuestro alrededor es el movimiento, la

experiencia diaria nos dice que el movimiento de un cuerpo es influido por los

cuerpos que lo rodean; esto es por sus interacciones con ellos. Hay varias reglas

generales o principios que se aplican a todas las clases de movimiento, no importa

cual sea la naturaleza de las interacciones. Este conjunto de principios, y la teoría que

los sustenta, se denominan mecánica

La mecánica como la comprendemos hoy en día es el resultado principalmente del

genio de Sir Isaac Newton, que produjo la gran síntesis denominada principios de

Newton. Sin embargo, muchas personas más han contribuido a su avance. Algunos

de los nombres más ilustres son Arquímedes, Galileo, Kepler, Descartes, Huygens,

Hamilton, Mach y Einstein

La mecánica se ocupa de los efectos de las fuerzas sobre los objetos materiales es

decir el movimiento y estado de los cuerpos. La mecánica esta integrada por dos

partes, la cinemática que se enfoca en el estudio de la descripción del movimiento de

los cuerpos sin atender las causas que producen dicho movimiento ¿Cómo se

mueve? y la dinámica que se centra su estudio en las causas que producen el

movimiento de los cuerpos. ¿Por qué se mueve?, La estática que estudia el equilibrio

de los cuerpos forma parte de la dinámica

En esta parte del curso trataremos el estudio de la mecánica clásica o mecánica

newtoniana, en cada uno de los puntos desarrollaremos los conceptos físicos,

básicos para describir los fenómenos mecánicos.

105

1. Movimiento Todo lo que nos rodea es materia en movimiento, desde los microsistemas hasta los macrosistemas, los electrones se desplazan en orbitas

alrededor del núcleo, la vibración de las partículas de un sólido, el deslizamiento molecular de los líquidos, el desplazamiento caótico de las

moléculas gaseosas, la caída del agua de una cascada, los movimientos de rotación y traslación planetarios y satelitales, cada movimiento

presenta diferente rapidez, trayectoria y periodicidad.

El movimiento se define como el cambio de posición de un móvil en un tiempo

determinado con respecto a un marco o sistema de referencia, considerar que el

móvil es toda partícula material que se mueve nos permite

simplificar su descripción gráfica y matemática. Un

marco o sistema de referencia esta integrado por

uno o mas ejes sobre las cuales se registra el

movimiento de los cuerpos y puede ser

unidimensional (en un eje) como el movimiento

rectilíneo de un móvil, bidimensional (en un plano)

como el movimiento de un proyectil o tridimensional

(en el espacio) como el de la broca de un taladro al perforar la madera

1.1 Conceptos Básicos.

1.1.1 Movimientos

La rama de la mecánica que estudia la descripción matemática del movimiento de los cuerpos

sin considerar las causas que lo producen y despreciando la fricción del aire es la cinemática.

Los tipos de movimiento de acuerdo a su trayectoria curva o rectilínea se clasifican de la

siguiente forma:

El

movimiento de caída libre y tiro vertical, forman parte del movimiento rectilíneo

uniformemente acelerado.

Movimiento

Movimiento. Unidimensional

Movimiento Bidimensional

1. Mov. Rectilíneo Uniforme

2. Mov. Rectilíneo

Uniformemente

3. Tiro Horizontal

4. Tiro Parabólico

106

1.1.2 Desplazamiento

Con frecuencia utilizamos de forma equivocadamente los conceptos de distancia y el

desplazamiento como términos iguales, sin embargo la distancia es la medida

(escalar) de la longitud de la trayectoria recorrida por un móvil, y esta puede ser

rectilínea o curvilínea.

En la figura observamos que el desplazamiento

presenta una longitud menor que la longitud

de la distancia cuando la trayectoria recorrida

por un móvil es curvilínea. El desplazamiento y

la distancia son equivalentes cuando se tiene

una trayectoria rectilínea.

El desplazamiento es una magnitud vectorial (presenta magnitud, sentido y

dirección) independiente de la trayectoria descrita por el móvil, y se define

como la medida de la longitud de la recta que une su posición inicial y final de manera que si después de un recorrido el móvil retorna a la

posición inicial tendrá un desplazamiento igual a cero, por ejemplo: un automóvil recorre 2km. al sur, 3km. al este, 2km. al norte y

finalmente 3 km. al oeste.

La distancia o longitud recorrida por el automóvil fue de 10 km. (magnitud escalar), y su desplazamiento es cero porque finalizo su

recorrido en el punto donde inicio.

1.1.3 Trayectoria

Línea descrita en el espacio por un punto en movimiento con respecto a un sistema

de referencia. La trayectoria pueden ser rectilínea o curvilínea, su longitud

corresponde a la distancia recorrida por el móvil.

1.1.4 Tiempo

Concepto fundamental de la física que traduce en términos objetivos las percepciones

subjetivas de antes y después, permitiendo establecer el orden con que se verifica

una sucesión de fenómenos. En el sistema internacional de unidades (SI), la unidad

de medida del intervalo de tiempo es el segundo.

Posición inicial

Posición final

desplazamiento

distancia

♦

♦

y

x

107

1.1.5 Posición

La posición esta determinada por las coordenadas de un punto con respecto a un

marco o sistema de referencia. El sistema de

referencia que se utiliza esta integrado por un par

de ejes interceptados en un punto llamado origen

y perpendiculares entre si conocido como sistema

de coordenadas rectangulares o coordenadas

cartesianas. La posición P (X , Y) queda

expresada por la magnitud de la abscisa (eje x) y

la ordenada (eje y). Para localizar una posicion A (5 , 3) en la grafica, se traza una

perpendicular sobre el eje de las x en la magnitud 5 de su escala, posteriormente se

traza otra perpendicular al eje y en la

magnitud 3 de la escala, el punto

donde se interceptan las dos rectas

trazadas indica la posición del punto

A.

Utilizando el vector de posicion graficado en un plano formado

por cuadrantes numerados en sentido contrario al de la

manecillas del reloj, las coordenadas pueden tener signo

positivo o negativo dependiendo del cuadreante en el que se

localicen .

En el cuadrante I, la abscisa y la ordenada son positivas. A (5,

3), en el cuadrante II la abcisa es negativa y la ordenada es

positiva. B (-3, 4), en el cuadrante III tanto la abscisa como la

ordenada son negativas. C (-2, -2) y en el cuadrante IV la abscisa es positiva mientras que la ordenada es negativa D (4, -3)

La posición del mòvil queda representada por medio de

las coordenadas polares, por ejemplo 70 km, θ = 45 0

con respecto a la horizontal, la posición está

determinada por la magnitud del vector y su orientción

con respecto a un sistema de referencia.

45 0

d = 70 km

1 2 3 4 5 6 7

4 3 2 1 0

♦

♦

♦

A ( 5 , 3 )

-3 -2 -1

1 2 3 4 5

4 3 2 1 0 -1 -2 -3

♦

♦

♦

A (5, 3)

♦

♦

♦

♦

♦

♦ ♦

♦ ♦ B (-3, 4)

C (-2, -2) D (4, -3)

Cuadrante IV

Cuadrante III

Cuadrante II Cuadrante I

108

t

dv =

Velocidad y rapidez

Con frecuencia, la velocidad y rapidez se emplean como conceptos iguales, no

obstante existe una diferencia entre ellas determinada por el empleo de una distancia

o un desplazamiento, de modo que:

La velocidad de un móvil es el desplazamiento del móvil en la unidad de tiempo. La

velocidad es una magnitud vectorial que además del módulo tiene la dirección y

sentido de su desplazamiento. Matemáticamente:

La rapidez es una magnitud escalar de la velocidad y se define como la distancia

recorrida por el móvil en la unidad de tiempo.

Las unidades de rapidez y velocidad son unidades congruentes, al igual que las

unidades de distancia y desplazamiento

Matemáticamente Cuando el móvil describe una trayectoria curvilínea, la velocidad y la rapidez pueden ser iguales en su

magnitud pero diferentes en la dirección

Cuando la trayectoria seguida por el móvil es rectilínea la velocidad

es igual a la rapidez.

Problemas resueltos

Sistema En donde :

Factor

Magnitud que

representa MKS cgs Ingles

v Velocidad m/s cm/s ft/s

d desplazamiento m cm ft

t tiempo s s s

t

DR =

109

Ejemplo 1

Determina la velocidad de un ciclista que recorrió 5000 metros en un tiempo de 250

segundos.

Ejemplo 2

¿Qué distancia recorrerá la luz en 30 segundos? (recuerda que la velocidad de la luz

=300,000,000 m/s).

Ejemplo 3

Determina el tiempo requerido para que un barco que se desplaza a razón de 120

km/h llegue a un puerto localizado a 6 km. al Este de su posición.

Problemas propuestos.

Datos ?=v

md 0005=

segt 250=

Fórmula

t

dv =

Sustitución

s

mv

250

0005=

Resultado

s

mv 20=

Datos ( ) (s

md 30000000300=

smd ?=

segt 30=

Fórmula

t

dv =

Sustitución ( )( )ss

md 30000000300=

Despeje tvd =

Resultado md 0000000009=

Datos

sm

hkmv 33.33120 ==

mkmd 00066 ==

?=t mkm

mkm

sm

s

h

km

m

h

km

00061

10006

33.336003

1

1

1000120

=

=

Conversiones

Fórmula

t

dv =

Sustitución

smm

t33.33

0006=

Resultado

segt 180=

Despeje

v

dt =

110

1 ¿Qué distancia recorre un auto que viaja a una velocidad constante de 80 km/hr en un tiempo

de 0.6 hr? (Solución 48 km)

2 Un barco se localiza a 500km del puerto y se desplaza hacia él a una velocidad de 60km/hr

¿Cuánto tiempo tienen los pasajeros de ese barco para estar listos a abordar el barco?

(Solución 8.33hr)

3 ¿Cuál es la velocidad de un león que recorre una distancia de 500m en un tiempo de 1

minuto? (Solución 8.33m/s)

1.2 Movimiento unidimensional

Los movimientos unidimensionales son movimientos proyectados por cuerpos que describen

trayectorias rectilíneas y pueden ser uniforme o uniformemente acelerados.

1.2.1 Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

111

Cuando el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales describiendo una trayectoria

recta se tiene el movimiento rectilíneo uniforme. Por ejemplo un auto recorre 5m por cada

segundo que transcurre manteniendo constante su velocidad, se puede predecir la distancia

recorrida en diferentes intervalos de tiempo, o el tiempo que tardará en llegar a su destino.

En la figura observamos las posiciones del móvil con respecto al tiempo, los desplazamientos

son iguales a lo largo de la trayectoria, al graficar desplazamiento vs tiempo y unir las

posiciones, obtendremos una línea recta, cuya pendiente (m) es igual a la magnitud de la

velocidad (m = v)

Matemáticamente la ecuación de la pendiente

de una recta es:

12

12

XX

YYm

−−= En donde X, Y son la abcisa y

ordenada respectivamente de dos posiciones

de la recta, adaptando la formula a la

información de la grafica, la ecuación queda

de la siguiente forma:

12

12

tt

ddvm

−−==

Consideremos los puntos A (1, 5) y C (3,

15) en donde: t1 = 1 seg., t2 = 3 seg y d1 = 5

m, d2 = 15 m . Sustituyendo en la formula

para determinar el valor de la velocidad tenemos:

Si graficamos velocidad vs tiempo, obtendremos la

1 s 2 s 3 s 4 s 0 s

0 m 20 15 10 5 m

20 15 10 1 5 0

1 2 3 4

♦

♦

♦

A (1, 5)

♦ ♦

♦ ♦

♦

♦ ♦

♦

♦

D (4, 20)

C (3, 15)

t (s)

B (2, 10)

d (m)

sm

ss

mmvm 5

13515 =

−−==

112

información correspondiente al desplazamiento logrado por el móvil a velocidad constante en

determinado tiempo, como podrá apreciarse en la grafica el área sombreada equivale a la

magnitud del desplazamiento. Para este ejemplo tenemos:

Velocidad promedio

Un evento común ocurre cuando un móvil se desplaza a diferentes velocidades, por ejemplo:

un automóvil registra una velocidad de 36 m/s, después de un tiempo su velocidad disminuye

a 20 m/s y posteriormente la reduce hasta 4 m/s, la magnitud de la velocidad quedará

establecida por la velocidad media o promedio (v m), equivalente a la suma de las velocidades

dividida entre el numero de velocidades

svelocidadedenúmero

vvvvvm

.......4321 ++++=

Considerando la información del ejemplo tendríamos una velocidad promedio de:

sms

ms

ms

mvm 20

3

420361 =

++=

1.2.2 movimiento uniformemente acelerado

5 0

1 2 3 4 ♦ ♦

♦

♦ t ( s )

♦

♦

v ( m / s )

♦

♦

♦

♦

♦

♦

A D C B

( )

( )

md

sssmd

ttvd

entodesplazamiárea

f

15

145

0

=

−=

−=

=

113

Diariamente percibimos en nuestro entorno que la mayoría de los cuerpos que se mueven

presentan la tendencia hacia los cambios de velocidad. Por ejemplo: un automovilista que

parte del reposo al inicia su recorrido aumentando gradualmente la velocidad y la reduce

hasta detenerse para esperar la luz verde del semáforo, incrementándola de nuevo al transitar

por el camino recto. Tenemos entonces que cuando el automovilista aumento su velocidad

tuvo una aceleración positiva y al disminuirla una aceleración negativa o desaceleración, en

conclusión: La aceleración es la variación o cambio de la velocidad con respecto al tiempo

transcurrido.

Matemáticamente es igual a:

En donde.

Para verificar las unidades de

medición correspondientes a

la aceleración, basta con

sustituir en la fórmula la

unidad de velocidad y la

unidad de tiempo.

Cuando el móvil mantiene constante su velocidad a lo largo de la trayectoria entonces se

tiene una aceleración igual a cero. Al no tener cambios de velocidad no experimenta

aceleración alguna

La velocidad inicial es igual a cero, si el móvil parte del reposo (V i = 0)

Cuando el móvil experimenta cambios de velocidad iguales en tiempos iguales se tiene el

movimiento uniformemente acelerado (MUA), si además sigue una trayectoria recta el

movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)

Sistema Factor Magnitud

MKS CGS Ingles

a Aceleración m / s2 cm / s2 ft / s2

fv Velocidad final m / s cm / s ft / s

iv Velocidad inicial m / s cm / s ft / s

t Tiempo s s s

( )t

vva if −

= Transponiendo términos para la velocidad final Tenemos:

atvv if +=

2s

m

ss

m

t

va ==∆=

114

Observamos en la figura que la longitud de tramo recorrido por el automóvil esta aumentando

a medida que transcurre el tiempo, y es consecuencia del incremento de velocidad que

experimenta en la unidad de tiempo, el automóvil registra un aumento en la velocidad de 5

m/s en cada segundo y por lo tanto su aceleración es de 5 m/s2

Ejercicios resueltos

Ejemplo 1

Un móvil se desplaza a razón de 90 km/hr y reduce su velocidad a 30 km/hr en un

tiempo de 20 seg. ¿Cuál es su aceleración?

t = 1 t = 2 s t = 3 t = 0

0 m / s v =15 m / v = 10 m / v = 5 m /

d = 12.5 d = 7.5 d = 2.5

Datos

s

m

h

kmvi 2590 ==

segt 20=

?=a

sm

s

h

km

m

h

km

sm

s

h

km

m

h

km

33.86003

1

1

100030

256003

1

1

100090

=

=

Conversiones

Fórmula

t

vva if −

=

Sustitución

ss

ms

ma

20

2533.8 −=

El signo negativo se debe a una reducción de velocidad.

2835.0s

ma −=

Resultado

s

m

h

kmv f 33.830 ==

115

Ejemplo 2

Un corredor desarrolla una velocidad de 5 m/s y al acercarse a la recta

final acelera uniformemente a razón de 1.5 m/s2 durante 40 segundos

¿Con que velocidad cruza la meta?

Problemas propuestos

1. Determina la aceleración de una partícula que se desplaza a razón de 25 m/s

modificando su velocidad a 45 m/s en un intervalo de 15 seg. (Solución: 1.33 m / s2)

2. Determina la aceleración de un motociclista que reduce su velocidad de 60 km/h a

20 km/h en un tiempo de 30 seg. (Solución: - 0. 37 m / s2 )

3. ¿Con qué velocidad se desplaza un móvil que parte del reposo y acelera a razón de

2.5 m/s2 durante 300 segundos? (Solución: 750 m / s)

Datos

smvi 5=

smv f ?=

segt 40=

25.1s

ma =

Fórmula

t

vva if −

=

Sustitución

( )( )ss

ms

mv f 405.15 2+=

Despeje

atvv if +=

Resultado

smv f 65=

116

Deducción de las formulas aplicadas al movimiento uniformemente acelerado

Despejando “d” Fórmula 1

v = d / t

Despejando Vf Fórmula 4

Vf = Vi + a t

)(2

)(t

ViatVid

++=

Agrupando términos comunes:

)(2

2t

atVid

+=

Simplificando

)(22

2t

atVid

+=

2))((

2attVid +=

Fórmula 5

D E S P E J A N D O t

Fórmula 2

2if vv

v+

=

Sustituyendo v en “d”

Fórmula 3

t

vva if −

=

Despejando “t”

a

VVt if −

=

Igualando t = t

if

if

VV

d

a

VV

+=

− 2

transponiendo términos y despejando la 2

fV

adVV if 222 += Fórmula 6

Sustituyendo Vf en “d”

ViVf

dt

+= 2

d = v x t

tvv

d if •

+=

2

117

El diagrama de flujo muestra la secuencia de operaciones matemáticas que parten de las

formulas 1, 2 y 3 para obtener las formulas 4, 5 y 6 aplicables al movimiento rectilíneo

uniformemente y uniformemente acelerado. En resumen tenemos las siguientes formulas:

1) t

dv =

2) 2

if vvv

+=

3) t

vva if −

=

4) atvv if +=

5) advv if 222 +=

6) 2

2attvd i +=

1

Datos

233.0

10

15

?

sma

smv

smv

d

i

f

=

=

=

=

Formula para d =?

advv if 222 +=

Despeje

a

vvd if

2

22 −=

Sustitución

( ) ( )( ) m

sm

sm

sm

sm

sm

sm

d 39.89166.0

100225

33.02

1015

2

2

2

2

2

2

22

=−

=−

=

Para conocer las variables de velocidad, aceleración, desplazamiento o tiempo, se

aplica la formula (o una forma alterna) de acuerdo a la situación representada por

el problema y a la información que se tenga.

Problemas resueltos

Ejemplo 1

¿Cuál será el deslazamiento de una motocicleta que acelera uniformemente de 10

m/s a 15 m/s en lapso de 15 seg?

2

Ejemplo 2

Un móvil se desplaza a razón de 90 km/hr y reduce su velocidad a 30 km/hr en un

tiempo de 20 seg. ¿Cuál es su aceleración? ¿Qué distancia recorrió en ese tiempo?

Caída libre y tiro vertical

La caída libre es el movimiento vertical de los cuerpos que llegan a la superficie

terrestre, experimentando en forma ínfima los efectos de la fricción del aire.

Con base a las demostración realizada por el científico Galileo Galilei “En ausencia de

la fricción del aire, Todos los cuerpos caen con la misma aceleración “si dejamos

caer desde una altura y al mismo tiempo varios objetos de diferente tamaño, todos

llegaran al suelo simultáneamente”.

La caída libre de un cuerpo se produce por la acción y el efecto de la fuerza de

gravedad, es decir este movimiento vertical dirigido hacia el centro de la tierra

incrementa su velocidad 9.8 m/s por cada segundo que transcurre con una

aceleración equivalente a la gravitacional (valor redondeado = 9.8 m/s2 dirigido

hacia el centro terrestre)

Fórmulas para obtener d=?

2))((

2attVd i +=

Sustitución

2

)20)(0835.()20)(25(

22s

m

sm sd

−+=

mmd 167500 −=

md 333=

Datos

s

m

h

kmVo 2590 ==

s

m

h

kmV f 33.830 ==

segt 20= ?=a ?=d

Fórmulas

t

VVa of −

=

Sustitución

sa s

msm

20

2533.8 −=

2835.0sma −=

Nota: El signo negativo se debe a una reducción de velocidad.

3

Este movimiento es un ejemplo claro de aplicación del movimiento rectilíneo

uniformemente acelerado, y en la solución de sus problemas se utilizan las formulas

del MRUA adaptadas a los cambios que se observan en el siguiente cuadro.

Problema resuelto

Desde un edificio de 30 m de altura se deja caer un objeto: Calcular:

a) la velocidad de impacto.

b) el tiempo que tarde en llegar al suelo.

Formulas de MRUA Cambios Formulas de Caída libre atvv if +=

advv if 222 +=

2

2attvd i +=

tgvv if +=

hgvv if 222 +=

2

2tgtvh i +=

ga =

hd =

Datos

?

?

30

81.9

0

2

===

==

=

f

i

v

t

mhs

mga

v

Fórmula ghvv if 222 +=

ghv f 22 =

Sustitución y operaciones

)30)(81.9(2 2

2 mvs

mf =

2

2

6.5882

sm

fv =

2

2

6.588sm

fv =

sm

fv 26.24=

a. Para calcular la velocidad de impacto

Resultado

sm

fv 26.24=

Fórmula

tgvv if +=

Sustitución

281.9

026.24

sm

sm

t−=

b. Para calcular el tiempo total de vuelo

Despeje

g

vvt if −

=

Resultado

st 51.2=

4

Tiro vertical Este movimiento corresponde a un lanzamiento verticalmente dirigido hacia arriba, en el cual

el objeto experimenta una desaceleración (g = - 9.8 m /s2 ) ya que a medida que va subiendo

reduce su velocidad a razón de 9.8 m/s hasta detenerse (velocidad igual a cero), logrando en

este punto su altura máxima, posteriormente inicia el regreso aumentando su velocidad a

razón de 9.8 m/s hasta llegar de con la misma velocidad de lanzamiento. El tiempo que

tardo en alcanzar la altura máxima es igual al tiempo que tarda en regresar al punto de

partida.

El tiro vertical al comportarse como la caída libre implica el uso de sus formulas para

conocer el valor de las diferentes variables: altura máxima, tiempo total de vuelo, posición y

velocidad en determinado instante.

Por ejemplo tenemos la altura máxima en un punto donde la velocidad final es cero, par calcular su valor utilizaríamos la formula:

Con respecto al valor del tiempo total de vuelo, determinemos primero el tiempo (t↑ ) que tarda en lograr la máxima altura (donde v = 0) por

medio de la formula:

Para obtener el tiempo total de vuelo es el doble del tiempo que tarda en subir. t ↑↓ = 2 t↑

Problema resuelto

Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con velocidad de 20m/s

Calcular:

a) la altura máxima

Eliminando la velocidad final y despejando la altura tenemos: g

vh i

2

2

−= hgvv if 222 +=

↑+= tgvv ifEliminando la velocidad final y despejando el tiempo tenemos: g

vt i−=↑

g

vh i

2

2

−=

( )( )28.92

20 2

sm

sm

h−

−=

mh 40.20=

2

2

2

6.19

400

sm

sm

h−

−=

Resultado Operaciones

Sustitución Formula

5

b) el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima

c) el tiempo total del vuelo

d) La velocidad y posición a los 3 seg. de haber sido lanzado.

Analizando la trayectoria con toda la información obtenida. Tenemos que a los 3

seg. El móvil ya esta de regreso, por lo tanto la gravedad es de 9.8 m/s2 positiva,

tenemos un una situación de caída libre en donde el móvil utilizo 2.04 seg en

alcanzar la altura máxima y 0.96 seg. En llegar hasta la posición que

determinaremos

h max

v = 0

V = 20 m/s

g

vt i−=↑

Resultado Sustitución Formula

28.9

20

sm

sm

t−

−=↑ st 04.2=↑

ssstttT 08.404.204.2 =+=+= ↓↑

1. Para determinar la velocidad

tgv f =


( )ss

mv f 96.08.92

= mv f 408.9=

2. Para determinar la posición


2

2tgtvh i += ( )

( ) ( )2

96.08.996.00

22 s

sm

ssmh += mh 51.4=

6

1.3 Movimientos mixtos

Los movimientos mixtos se presentan en dos dimensiones, una dimensión es

horizontal o sobre el eje “X” y la otra dimensión es vertical o sobre el eje “Y”, este

tipo de movimiento es observable en la salida del agua de una manguera, al

encestar un balón de básquetbol, el lanzamiento de un proyectil.

El movimiento recibe el nombre de tiro parabólico y corresponde al lanzamiento

horizontal y oblicuo de un objeto que describe una trayectoria curva como resultado

de la combinación de un movimiento horizontal constante y un movimiento vertical

uniformemente variado.

Tiro Parabólico horizontal

Es el movimiento de un proyectil lanzado horizontalmente al espacio desde una

determinada altura ( )MAXY

El tiro horizontal describe una trayectoria curva que muestra:

Desplazamiento horizontal con velocidad constante a lo largo de la trayectoria.

Equivalente a la velocidad de lanzamiento

Desplazamiento vertical que parte del reposo e incrementa su velocidad a razón de

9.8 m / s por cada segundo que transcurre por acción de la fuerza de gravedad

considerada como única al despreciar la fricción del aire.

El análisis comparativo de este movimiento con el de caída libre indica que si

lanzamos simultáneamente dos objetos desde la misma altura, uno en forma

horizontal con una velocidad determinada, por ejemplo: 5m/s y el otro verticalmente

hacia abajo en caída libre, llegaran al suelo en forma simultánea y con la misma

velocidad.

7

La figura muestra la descripción gráfica de la trayectoria del movimiento parabólico

la posición del objeto esta en función del tiempo y queda representada por las

coordenadas X. Y,

Para calcular la posición:

X = vi t , Y = ½ g t 2

En este ejemplo particular tenemos que durante el primer segundo el móvil ha descendido

4.9m y horizontalmente 5 m, al cabo de dos segundos la posición es 19.6 m por debajo del la

posición de lanzamiento y 10 m horizontalmente de el, al desplazamiento horizontal se le

conoce como alcance y se representa con la letra X, la altura se representa por “Y” y se

mide desde el nivel de referencia hasta el punto de lanzamiento

La velocidad del móvil en un instante t ,

Se determina por el método del

paralelogramo, considerando por un lado

la velocidad horizontal o vx que se

mantiene uniforme a lo largo de la

trayectoria y en forma separada el

movimiento vertical o vy que se

comporta como una caída libre.

t = 0 seg.

X = 5

X = 10 m/s

Y = 19.6

Y = 4.6

t = 2 seg.

t = 1 seg.

Alcance

Altura máxima Vf VY

VX

8

Para facilitar la solución de problemas consideremos que ambos desplazamientos

son independientes entre si, y por lo tanto las determinaciones matemáticas de las

componentes verticales y horizontales de la velocidad y la posición en cualquier

instante deben realizarse por separado. Utilizando las siguientes fórmulas del

movimiento uniformemente acelerado. Con base en lo anterior:

La componente horizontal de la velocidad en cualquier instante es uniforme:

vi = vix = viy

Y la componente vertical se puede determinar en cualquiera de las fórmulas:

vfy = g t o vfy2 = 2 g y

Para calcular la velocidad resultante se puede utilizar el teorema de pitágoras

222FYFXR VVV += y la dirección queda definida por

FX

FY

V

Vtan =θ

Problema resuelto

Se lanza un proyectil horizontalmente con velocidad de 15 m/s desde una altura de

10 m. Calcular:

a) el tiempo que tarda en llegar al suelo

b) el alcance


2

2tgY =

g

Yt

2=( )

28.9

102

sm

mt = 204.2 st = st 428.1=

Operaciones Despeje


tvX ix= ( )ssmX 428.115

= mX 42.21=

9

c) la velocidad de impacto

Tiro parabólico oblicuo

Es el lanzamiento de un proyectil a una velocidad inicial que forma un ángulo

de elevación con respecto a la horizontal y describe una trayectoria curva.

Este movimiento presenta su mayor altura y alcance cuando su angulo de elevacion

es de 45°

1. La magnitud de la velocidad horizontal: smvvv fxixi 15===

2. La magnitud de la velocidad vertical: ( ) ( ) sms

smtgvfy 14428.18.9 2 ===

3. Aplicamos el teorema de Pitágoras

222fyfxR VVV +=

( ) ( ) 222 1415 sm

smVR +=

2

2

2

22 196225s

ms

mVR +=

sm

smVR 25.20421 2

2==

4. Para obtener la dirección de la

velocidad final aplicaremos la

933.0/15

/14 111 −−− === tansm

smtan

V

Vtan

fx

fyθ

043=θ

Solución: La velocidad final o de impacto es 20.05 m/s, a

Alcance

Altura máxima Vf VY

VX

Vf VY

VX

Vf

VY

VX

VY

VX

Vi

VX

θθθθ θθθθ

10

Observamos en la gráfica la trayectoria descrita por un proyectil en tres momentos.

1. El desplazamiento horizontal en que se mantiene constante a lo largo de la trayectoria.

2. El desplazamiento vertical presenta las mismas características del tiro vertical hacia

arriba:

El proyectil inicia su desplazamiento hacia arriba reduciendo su velocidad a razón de 9.8

m/s debido a la fuerza de la gravedad. En estas condiciones tenemos una desaceleración ,

razón por la que la gravedad será negativa

Hasta llegar a un punto donde se detiene, (vy = O m/s) en este punto se tiene la altura

máxima.

Posterior mente inicia el regreso aumentando su velocidad a razón de 9.8 m/s por cada

segundo que transcurre

Tenemos entonces que al igual que el tiro vertical dirigido hacia arriba, en el tiro

oblicuo la velocidad de lanzamiento es igual a la velocidad de regreso al punto de

origen, y el tiempo que tarda en subir es igual al tiempo que tarda en regresar.

La solución de problemas de trayectorias requiere como punto de partida la velocidad inicial

y su ángulo de elevación. Con esta información se procede de la siguiente forma:

1. Se descompone la velocidad inicial en su componente horizontal y vertical

2. Se determina el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima, este tiempo corresponde a

la mitad del tiempo total de vuelo. Esta magnitud nos permitirá saber si un objeto esta antes

o después de la altura máxima para definir el signo de la gravedad

θcosiix vv = θseniiy vv =

g

Yt

2=g

vt i−=↑

11

3. Se determina el tiempo total de vuelo multiplicando por dos el tiempo que tardo en

alcanzar la máxima altura

4. La posición del proyectil en un tiempo al cabo de un tiempo de haber sido lanzado es:

5. La velocidad al cabo de un tiempo de haber sido lanzada se obtiene por el método de las

componentes.

Problema resuelto

Un proyectil es lanzado con una velocidad de 40 m/s con un ángulo de elevación de 30°.

Calcular:

a) El tiempo que tarda en alcanzar el punto más alto

b) La altura máxima

c) El tiempo total de vuelo

d) El alcance

Solución:

a) Se descompone la velocidad inicial en su componente horizontal y vertical

Vix = Vi Cos θ Viy = Viy Sen θ V ix = (40 m/s) (Cos 30°) Viy = (40 m/s) (Sen 30°)

YgVV iyfy 222 += tgVV iyfy +=

a. La magnitud de la velocidad horizontal: fxix vv =

b. La magnitud de la velocidad vertical:

c. Aplicamos el teorema de Pitágoras 222fyfxR VVV +=

d. Para obtener la dirección de la

velocidad final aplicaremos la fx

fy

V

Vtan 1−=θ

2

2tgtVX ix +=

2

2tgtVY iy +=

12

V ix = (40 m/s) (0.8660) Viy = (40 m/s) (0.5)

Vix = 34.64 m/s Viy = 20 m/s

En el punto más alto de la trayectoria, la componente vertical de la velocidad es

igual a cero, Se calcula el tiempo que tarda el móvil en llegar hasta ese punto; sin

olvidar que:

g = - 9.81 m/s2

Para calcular la altura máxima:

Problema propuesto

Un balón es lanzado con una velocidad de 25 m/s con un ángulo de elevación de 60°.

Calcular:

e) El tiempo que tarda en alcanzar el punto más alto

f) La altura máxima

g) El tiempo total de vuelo

Y max = Viy.t + ½ g.t2

Y max = (20 m/s) (2.04s) + ½ (-9.8 m/s2)

(2.04)2

Y max = 40.08 m – 22.4 m

tseg

tsm

sm

tg

V

gtV

gtVV

iy

iy

iyfy

=

=−−

=−

=−

+=

04.2

/8.9

/202

θθθθ

g = -9.8 2

Y max

Vfy = 0

Vi

13

Repulsión

h) El alcance

2. Fuerza

Alguna vez te has preguntado ¿Qué ocasiona el movimiento de las aspas de un

papalote para sacar agua de un pozo? ¿Por qué cuando tratamos de unir dos imanes

por el mismo polo no podemos? ¿Qué hace que cuando frotamos

un globo en nuestro cabello se quede pegado

en la pared? ¿Qué ocurre cuando acercamos

un imán a un clavo? ¿Por qué las hojas de los

árboles caen? ¿Cómo un mecánico puede apretar un tormillo con

una llave? Sabemos que el papalote se mueve de acuerdo a la

fuerza recibida por el aire, los imanes no se pueden unir debido a

la fuerza magnética de repulsión que existe entre ellos, el globo se puede quedar

pegado sobre la pared en virtud a una fuerza eléctrica entre cargas opuestas, el

clavo se pega al imán por la acción de la fuerza magnética, las hojas caen al suelo

por la fuerza de gravedad que ejerce la tierra, el tornillo se puede apretar debido a

la fuerza que el mecánico aplica sobre la llave.

Cotidianamente asociamos la palabra fuerza con la realización de algún esfuerzo

físico para lograr un fin determinado, se puede

decir que para mover un objeto de masa o

dimensiones muy grandes se requiere de una

fuerza mayor que para mover uno de masa o

dimensiones pequeñas, generalmente

calificamos de hombre fuerte al que logra

mover objetos pesados y débil al que no lo

hace ya que carece de energía, resistencia, potencia y dinamismo entre otras

cosas. Sin embargo, la definición de fuerza desde el punto de vista de la física puede

ser de varias formas de acuerdo a las condiciones que se presenten.

14

2.1 Conceptos Básicos

2.1.1 Fuerzas y su clasificación

La fuerza la podemos definir como la acción que puede modificar el estado de

reposo o de movimiento de un cuerpo es decir:

Si la fuerza es capaz de producir en un cuerpo la deformación la llamamos fuerza estática y si

puede originar el movimiento, modificar su trayectoria o velocidad se denomina fuerza

dinámica. Por ejemplo:

La fuerza es la proyección de la energía capaz de producir o cambiar el movimiento de un cuerpo y en algunos

casos deformarlo.

Del reposo al Del movimiento al reposo

movimiento o deformación.

Fuerza estática

Fuerza dinámica

15

Las fuerzas debido a su naturaleza y de acuerdo a como actúan sobre un cuerpo las

podemos clasificar desde dos puntos de vista: fuerzas de campo y fuerzas de

contacto.

Fuerzas de contacto.

Se presentan cuando se establece el contacto físico con el

cuerpo sobre el cual actúan. En este tipo de fuerza se puede

observar a simple vista cual es el punto de aplicación.

Fuerzas de campo.

Una de las fuerzas mas conocidas por todos nosotros es la que

ejerce nuestro planeta es decir la fuerza gravitacional, de igual

forma existe la fuerza magnética y la fuerza eléctrica que se

ejercen a distancia o a través del espacio.

Escribe en la parte inferior de cada figura que tipo de fuerza esta siendo aplicada

16

2.2 Leyes de Newton

2.2.1 Mecánica

1ª Ley de Newton (Ley de la inercia)

“Esta ley afirma que un cuerpo se mantiene en estado de reposo o de movimiento

rectilíneo uniforme mientras no reciba la acción de una fuerza neta externa”.

En otras palabras, esta ley dice que cada cuerpo tiene

una tendencia natural de mantener la cantidad de

movimiento que tiene.

Un ejemplo característico de esta ley es el hecho de

viajar en automóvil; en el momento de frenar, somos

impulsados al frente en este caso solamente el automóvil

fue el que recibió la fuerza del freno para detenerse y

aunque los pasajeros no la recibieron ellos tratan de

seguir el movimiento.

Isaac Newton (1642-1747)

De igual manera cuando el carro esta parado y de repente lo arrancamos, pareciera

que el conductor y cualquier otra cosa u objeto dentro del carro fueran empujados

hacia atrás, ya que debido a su inercia, los cuerpos en reposo tratan de mantener

esa posición.

Para detener un cuerpo que está en movimiento, para moverlo si está en reposo, o

para modificar su dirección, sentido o magnitud de la velocidad es necesario la

aplicación de una fuerza.

2ª Ley de Newton (Proporcionalidad entre fuerza y aceleración)

Considerando la fuerza como un agente de cambio en la velocidad de un cuerpo es

claro suponer que existe una relación estrecha con la masa y la aceleración del

17

cuerpo sobre el cual se ejerce. Newton estableció la relación entre la fuerza, la masa

y la aceleración y su conclusión fue la segunda ley de Newton.

Esta ley se refiere a los cambios en la velocidad que experimenta un cuerpo cuando

recibe una fuerza, pero, hay que aclarar que al cambio en la velocidad de un cuerpo

en un tiempo determinado se le conoce como aceleración. Mientras mayor sea la

fuerza aplicada mayor será la aceleración producida. El enunciado más común de la

segunda ley del movimiento de Newton se expresa como sigue:

“Toda fuerza resultante aplicada a un cuerpo le produce una aceleración en la

misma dirección en que actúa dicha fuerza. La magnitud de esa aceleración es

directamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada e inversamente

proporcional a la masa del cuerpo”

La expresión matemática de esta ley es:

m

Fa =

Despejando F, tendremos: amF •=

En la siguiente figura, observamos dos automóviles, uno está en reposo y el otro en

movimiento con una velocidad constante de 40 km/h. El que está en reposo se

encuentra bajo la acción de dos fuerzas, la de gravedad que lo empuja hacia abajo y

la fuerza del camino que lo empuja hacia arriba. Las dos fuerzas son iguales y

opuestas, el carro está en equilibrio.

Mientras tanto en el otro vehículo están actuando además de las mismas dos

fuerzas del carro en reposo, otras dos, una debida a la fuerza que le proporciona el

Donde: a = aceleración

(m/s2)

F = Fuerza aplicada

18

motor que provoca el movimiento hacia delante, mientras que otra fuerza, la de

fricción se opone a este movimiento, ya que la velocidad es constante (40 km/h),

suponemos que estas últimas dos fuerzas son iguales y opuestas.

Concluimos que los dos automóviles, tanto el que está en reposo como el que está en

movimiento se encuentran en equilibrio. Si el conductor cambia la fuerza del motor, el

automóvil se acelerará o se desacelerará.

3ª Ley de Newton (Ley de acción y reacción)

Cuando estamos parados sobre el piso ejercemos una fuerza hacia abajo debida a

la fuerza de gravedad, de igual modo, el piso ejerce una fuerza hacia arriba. La

magnitud de ambas fuerzas es igual, aunque su sentido es contrario. La fuerza

ejercida por nuestro cuerpo contra el piso se llama acción, y la que el piso ejerce

contra nuestro cuerpo se llama reacción.

Otro ejemplo es cuando disparamos una escopeta, los

gases en expansión hacen que el proyectil salga del cañón

(acción), pero como resultado surge una reacción en

sentido contrario y la escopeta golpetea hacia atrás en el

normal

Peso

normal

Peso

Fricción

19

¿Las unidades pertenecen a un mismo

sistema?______

¿Las unidades pertenecen a un mismo

sistema?______

26

?

80

s

fta

m

NF

Datos

=

==

hombro de quien realiza la maniobra, al patear un balón de fut-bol (acción)

sentimos el efecto que el golpe produce en nuestro pie (reacción), a estos efectos

se le conoce como la tercera ley de Newton que establece:

“A toda fuerza llamada acción, se opone otra de la misma magnitud llamada

reacción, con la misma dirección pero en sentido contrario”

Aplicaciones de las leyes de Newton

Problemas resueltos

1. ¿Qué fuerza debe aplicarse sobre un carrito que tiene una masa de 20 Kg. para

comunicarle una aceleración de 2 m/s².

Datos Fórmula Despeje Sustitución

Resultado

)()( amF = --------

=2

2)20(s

mKgF

240

s

mKgF =

2. ¿Cuál deberá ser la masa de una persona sobre una bicicleta que al aplicarle una

fuerza de 80N. Se le comunica una aceleración de 6 ft /seg².

Con la unidad fuerza no hay problema ya que el Newton pertenece al sistema

22

20

?

s

ma

kgm

F

=

==

F a

20

MKS, pero la unidad de aceleracion es ft/seg² y corresponde al sistema ingles por lo tanto

será necesario realizar la conversión de ft/seg² a m/seg², te sugiero que la realices en la

misma tabla de datos.

( )( )( )( ) 2222

8288.11

8288.1

11

3048.6

1

3048.

1

6s

mseg

m

ftseg

mft

ft

m

seg

fta ==

=

=

Fórmula Despeje: Sustitución, operación

amF =

3. Determina la aceleración de un carrito de 45 N de peso accionado por una fuerza de 60 N

con una dirección de 30°.

Kgms

mN

m

744.43²

8288.1

80

=

=

El desplazamiento del carrito es

horizontal por lo que será

necesario encontrar la

componente horizontal de la

fuerza ya que el movimiento y

la aceleración deben tener la

misma dirección.

Fx = F Cos θ

Fx = 60 N Cos 30°

Fx = 60 N (.8660)

Como no tenemos la masa habrá

que determinarla a partir del peso

(45N), para eso usaremos la

siguiente fórmula:

Peso = masa por gravedad

W = m x g

Despejando m tenemos:

m = w / g

Sustituyendo la información

²8.9

45

s

mN

m =

realizando operaciones:

amF =

ma

F =

30°

¡Se ve difícil! ¡Pero es

fácil!

Npeso 45=

NF 60= a

21

?

59.4

96.51

===

a

kgm

NF

Datos

x amF

Formula

x =

m

Fa

Despeje

x=

2318.11

59.4

96.51

sma

kg

Na

nSustitucio

=

=


1. Determina la fuerza experimentada por un bloque de 12 Kg. de masa que se desplaza a

razón de 2 m/s². (solución 24N)

2. Un carro de supermercado se mueve a razón de 2.5 m/s² considerando que su masa es de

6.5 Lbm ¿Cuál es la fuerza? (solución 7.377N)

3. ¿Que fuerza en newton recibe un cuerpo de 670 utm que lleva una aceleración de 7ft/seg²?

(solución 14010.8N)

4. ¿Cuál será la masa de un cuerpo que al experimentar una fuerza de 50 N le produce una

aceleración de 3m/s²? (solución 16.66kg)

5. Determina la masa de una caja de madera que debe de ser impulsada por una fuerza de

150N para que desarrolle una aceleración de 3 ft/seg². (solución 164.04kg)

6.- ¿Cuál será la aceleración que desarrollara un material de 16 Kg al ser sometido a una

fuerza de 45 N? (solución 2.8125 m/s2)

22

2.2.2 Gravitacional

Todos los cuerpos por el hecho de poseer una masa experimentan una atracción mutua a la

cual se le llama gravitación. El origen de esta fuerza fue fundado en el siglo XVII por Isaac

Newton, y a esta ley manifestada por Newton se le dio el calificativo de la ley de la

gravitación universal, la cual enuncia:

“La fuerza de atracción experimentada por dos cuerpos cualesquiera dotados de masa es

directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado

de la distancia que los separa”

Matemáticamente

2

21

d

mmGF =

donde:

mgravedaddecentrosentreciadisd

kgmasam

kg

NmXuniversalngravitacioladeteconsG

NfuerzaF

→=→=

→=

→=

tan

1067.6tan2

211-

Problemas resueltos

1. Determinar la fuerza de atracción de dos cuerpos cuyas masas son de 11kg y 35kg

respectivamente si se encuentran separados una distancia de 0.6m.

2

21

d

mmGF

Formula

=

2

211-

2

1

1067.6

6.0

35

11

?

kg

NmXG

md

kgm

kgm

F

Datos

=

===

=

( ) ( )

( )

NXF

m

NmXF

m

kgkgkg

NmX

F

nSustitucio

8-

2

28-

2

2

211-

1013319.7

36.

1056795.2

6.0

35111067.6

=

=

=

23

2. ¿Cuál será la masa de una mesa si la fuerza gravitacional con que se atrae con un sillón de

25kg es de 42X10-11 N y la distancia de separación entre ellos es de 3.5m?

3. Estática.

Rama de la física que estudia a los cuerpos sobre los cuales se aplican fuerzas cuyas

resultantes son nulas, de manera que permanecen en estado de reposo o en

movimiento sin que exista una aceleración.

Da un vistazo a tu alrededor ¿Qué ves? ¡Sí! Son cuerpos en movimiento y también

se aprecian cuerpos en reposo.

Alguna vez te has preguntado ¿Por qué están en reposo? ¿Qué los mantiene en esa

posición? ¿Cuáles son las condiciones de equilibrio? Estas y otras interrogantes son

el objeto de estudio de la estatica

Comenta con tus compañeros la lectura y escribe tu propio concepto de estática.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

________________

3.1. Sistemas de fuerzas.

Cuando a un cuerpo se le aplican varias fuerzas a la vez, a este conjunto de fuerzas se le

llama sistema de fuerzas ósea que un sistema de fuerzas es el conjunto de fuerzas que actúan

sobre un cuerpo rígido (no deformable) con el fin de establecer las condiciones de reposo o

movimiento.

221

d

mmGF

Formula

=

2

211-

2

1

11-

1067.6

5.3

25

?

1042

kg

NmXG

md

kgm

m

NXF

Datos

=

===

=

( ) ( )

( )

kgm

kg

NmX

NmXm

kgkg

NmX

mNXm

nSustitucio

0854.3

106675.1

10145.5

251067.6

5.31042

1

29-

29-

1

2

211-

211-

1

=

=

=

12

2

212

mGm

dF

mmGdF

Despeje

=

=

24

Sistema de fuerzas

Coplanares.

Son todas aquellas fuerzas que

A continuación veremos la división de los diferentes sistemas de fuerzas.

3.1.1. Coplanares y no Coplanares.

Colineales No colineales Paralelas No paralelas

Concurrentes No Concurrentes

Coplanares

No coplanares

Sistema de Fuerzas

Colineales No colineales Paralelas No paralelas

Concurrentes No Concurrentes

Y 1 2 3

Y X Z

No Coplanares.

Son todas aquellas fuerzas que

actúan en diferente plano.

25

3.1.2. Concurrentes, paralelas y colineales.

Sistema de fuerzas paralelas.

Fuerza paralela: Son fuerzas con

líneas de acción que sé intersectan en

el infinito. Este sistema puede

mantener el equilibrio de un cuerpo o

comunicarle un movimiento rotacional.

En este caso los sistemas de fuerzas paralelas son rectas de acción paralelas a un

mismo vector.

Las fuerzas paralelas Se ejercen en un mismo plano de acción pero con puntos de

aplicación diferente.

Sistema de fuerzas Colineales.

Son fuerzas que se ejercen sobre una misma línea de acción.

Sistema de fuerzas concurrentes.

Sus líneas de acción se intersectan en un punto común formando uno o más

ángulos. En este tipo de sistema es cuando se están aplicando varias fuerzas a un

cuerpo y estas fuerzas se reducen en una sola que tendría el mismo efecto que

todas las fuerzas aplicadas en dicho cuerpo o partícula, ósea que es donde sacamos

una fuerza resultante que es uno de los principales estudios de la estática.

Ejemplos:

26

A los sistemas de fuerzas concurrentes también se les llama sistemas de fuerzas

angulares ya que se forman ángulos entre las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

Las fuerzas al ser magnitudes vectoriales presentan una propiedad debido a su

dirección lo que permite realizar la adición de las fuerzas utilizando métodos gráficos

y analíticos, operación conocida como “composición de fuerzas” que consiste en

encontrar una fuerza que sustituye a todas las del sistema (fuerza resultante).

Nota: en todos los métodos los ángulos se miden desde el eje positivo de X.

Adición de fuerzas

Métodos gráficos

En estos métodos la magnitud del vector se indica a escala por la longitud de un

segmento de recta. La dirección se marca por medio de una punta de flecha al

extremo del segmento.

Método grafico del triángulo y del polígono.

Pasos a seguir para encontrar la resultante:

1.- Escoge una escala y determina la longitud de las flechas que correspondan a

cada vector.

Método del triángulo y polígono I. Método gráfico Método del paralelogramo Métodos de Composición De fuerzas II. Método Método del triángulo Analítico Método de las

27

2.- Traza a escala la flecha que represente la magnitud y dirección del primer

vector.

3.- Traza la flecha del segundo vector de tal manera que su origen coincida con el

extremo del primer vector.

4.- Continúe el procedimiento de unir el origen de cada nuevo vector con el extremo

del vector anterior, hasta que todos los vectores hayan sido dibujados.

5.- Traza el vector resultante partiendo del origen que coincide con el origen del

primer vector y terminando en el extremo que coincide con el extremo del último

vector.

Mida con regla y transportador la longitud y los ángulos que forma el vector

resultante para determinar magnitud y dirección.

Nota: la diferencia entre estos dos métodos es que el del triangulo solo se utiliza

cuando están actuando solamente dos fuerzas en el cuerpo y el del paralelogramo

cuando actúan tres o mas fuerzas. A continuación veremos algunos ejemplos de

estos dos métodos.

Método del triángulo (dos fuerzas)

Ejemplos

Tenemos dos fuerzas actuando sobre un cuerpo. Determinar la fuerza resultante si

F1 = 5N a 30° y F2 = 3N a 0°.

F1 = 5N a 30° F2 = 3N a 0° FR =?

1.- Elegimos la Escala 1 cm. = 1 N por ser la mas adecuada ya que en nuestro

cuaderno de apuntes seria la mejor para representar las fuerzas.

Por lo tanto: F1 = 5cm.

F2 = 3cm.

5cm. 30°

3cm 5cm.

3.- Trazamos F2 a 0°

2.-trazamos F1 a

30°

28

4.- En este caso ya no existen mas vectores por lo tanto este cuarto punto se

omite

5.- se traza el vector resultante:

Para este caso la línea resultante mide 7.5cm por lo tanto y de acuerdo a la escala

la fuerza resultante es de 7.5N y el ángulo de esta se calcula utilizando un

transportador tomando el valor de este ángulo con respecto a el eje x. Y la medida

obtenida es θ = 28°. Por lo tanto FR = 7.5N a 28°

Método del polígono (más de 2 fuerzas)

Ejemplo 2

Sobre un cuerpo actúan 5 fuerzas:

F1 = 3N a 45º.

F2 = 2N a 90º.

F3 = 6N a 10º

F4 = 1.5N a 220º

F5 = 6N a 330º

1. Elegimos la Escala 1 cm. = 1 N por ser la mas adecuada ya que en nuestro

cuaderno de apuntes seria la mejor para representar las fuerzas.

Por lo tanto: F1 = 3cm., F2 = 2cm., F3 = 6cm., F4 = 1.5cm., F5 = 6cm.

2. trazamos F1 a 45°

5cm

3c

θ 30°

3cm 45°

3cm 45°

2cm

3.- trazamos F2 a 90°

29

4. Continuamos trazando las siguientes líneas.

5. Se traza el vector resultante

Para este caso la línea resultante mide 12.5cm por lo tanto y de acuerdo a la escala

la fuerza resultante es de 12.5N y el ángulo de esta se calcula utilizando un

transportador tomando el valor de este ángulo con respecto a el eje x. Y la medida

obtenida es θ = 5°.

3cm 45°

2cm

6cm 1.5c

9cm

3cm 45°

2cm

6cm 1.5c

9cm

30

Método del paralelogramo

Consiste en trazar 2 vectores a escala de forma que sus orígenes coincidan en un

origen común.

Los dos vectores forman de esta manera los lados adyacentes de un paralelogramo.

Los otros dos lados se construyen trazando líneas paralelas a los vectores y de igual

longitud.

La resultante se obtiene dibujando la diagonal del paralelogramo a partir del origen

común de las dos flechas que representan los vectores.

Ejemplo

F2 =

F1

F1 + F2 = FR Donde: F1

=3N, θ = 40°

F2

F1 =3 N

FR

F2 =

FR = 7.5N Y θ =

31

A, B, C. = Ángulos Internos.

a, b, c. = los lados del triangulo

¿Como obtengo la fuerza

resultante.?

b² = a² + c² - 2ac(cos B)

esta formula es la que se utiliza

para

Adición de fuerzas.

Métodos analíticos.

En estos métodos ya no se utilizan escalas se utilizan formulas para encontrar la

resultante de cada sistema de fuerzas. Aquí el resultado es mas exacto que en los

métodos gráficos.

Método del triangulo. (Solo dos fuerzas)

Pasos a seguir para encontrar la resultante y su ángulo por este método.

1.- se realiza un paralelogramo con las dos fuerzas.

2.- al realizar el paralelogramo se forman dos triángulos y se elige uno de

preferencia el de la parte inferior del paralelogramo.

3.- en el triangulo obtenido tenemos tres ángulos internos de los cuales tenemos

que encontrar el ángulo B ya que se necesita en la formula (ley de los cósenos) para

obtener la resultante, ver la siguiente figura:

4.- Después que se encontró el ángulo interno B se procede a sustituir valores en la

formula antes mencionada para encontrar el valor de la resultante.

a

c

b

C

A

B

32

senC

c

senB

b

senA

a ==

5.- Ya encontrada la resultante se procede a encontrar su ángulo que se obtiene por

medio de la ley de los senos:

Aquí el ángulo que siempre se pretende encontrar es el A ya que es el complemento

de el ángulo de la resultante.

Ejemplo

Dos fuerzas actúan sobre un cuerpo, como lo indica la siguiente figura. Determina la

fuerza resultante y su ángulo.

1.- se traza el paralelogramo.

2. Triangulo elegido.

F2 = 30N a

F1= 50N a 15°

Sección

M

30N a

40°

50N a

FR =

33

Comparando con el triangulo visto en el tercer paso nos damos cuenta que:

a = 30N, c = 50N, b = FR.

En este caso y para poder sustituir en la formula nos damos cuenta que nos falta

determinar el ángulo B. Este se determina completando ángulos.

Ampliando la sección M obtenemos la siguiente figura y completamos ángulos.

4.- Se sustituyen valores en la primer formula:

b² = a² + c² - 2ac (cos B)

b² = (30) ² + (50) ² – 2(30)(50)(cos 155º)

b² = 900 + 2500 – (3000)(-0.9063)

b² = 3400 + 2718.9

b² = 6118.9

b = √6118.9

5.- encontrar el ángulo de la resultante.

senC

c

senB

b

senA

a ==

90º 15

º 75º

40º

50º

En esta parte nos damos cuanta

que:

b = FR =

34

En esta parte nos damos cuenta de que la formula es una igualdad de tres partes,

aquí solo elegiremos dos de ellas y para esto tenemos que saber cuales.

La primera que vamos a elegir es la que tenga la incógnita y como estamos

buscando el ángulo de la resultante nuestra incógnita es el ángulo (A) ya que es

complementario del ángulo de dicha resultante (el ángulo se suma con el ángulo de

la primera fuerza que en este caso es de 15º para completar el ángulo de la

resultante).

La segunda parte a elegir será la que tenga todos sus datos conocidos (el

numerador y el denominador conocidos y en este caso es la segunda parte de la

igualdad ya que conocemos b que es FR y conocemos el ángulo B que es 155º).

senB

b

senA

a =

Para esto hay que hacer un despeje ya que lo que queremos es el ángulo A.

Primero invertimos las dos igualdades.

b

senB

a

senA=

Y procedemos a hacer el despeje.

( )( )

b

asenBsenA =

( )( )

=b

asenBsenarcA

Y hacemos la sustitución.

( )( )

=22.78

304226.0senarcA

( ) 032.91620.0 == senarcA

Y el ángulo de la resultante es:

θR = 15° + A = 15° + 9.32º =

35

Método de las componentes. (mas de dos fuerzas).

Primero veremos cuales son las componentes de una fuerza.

Toda fuerza cuenta con dos componentes una que es Fx que es paralela a el eje X y

otra que es Fy la cual es paralela a el eje Y.

La forma de obtener la fuerza y sus componentes esta basada en el teorema de

Pitágoras y es de la siguiente manera: 222 FyFxF +=

θcosFFx =

θFsenFy = Fx

Fy1tan−=θ

Este método al igual que los que ya se vieron anteriormente también tiene sus

pasos a seguir y son los siguientes.

1.- primeramente se hace una tabla de tres columnas y el numero de renglones

depende de el numero de fuerzas que actúan sobre el cuerpo. En la primer columna

se anotan las fuerzas que nos dan como dato en el ejercicio, en la segunda columna

se calculan las Fx de cada una de las fuerzas de acuerdo a la formula ya propuesta

anteriormente y en la tercer columna se calculan las Fy de cada fuerza también con

su respectiva formula.

F

θ

Fy

36

2.- ya que están calculadas todas las componentes X y Y procedemos a sumar todas

las componentes X y todas las componentes Y para obtener la sumatoria de cada

una.

3.- después se calcula la RF con la formula 222 FyFxFR Σ+Σ=

4.- por ultimo se calcula el ángulo de dicha resultante con la formula Fy

Fx

ΣΣ= −1tanθ

Ejercicios resueltos

Calcular la fuerza resultante y su ángulo del siguiente sistema de fuerzas.

FUERZAS Fx = F cos θθθθ Fy = F sen θθθθ

F1 = 50N Fx = 48.29N Fy = 12.94N

F2 = 30N Fx = 22.98N Fy = 19.28N

F3 = 80N Fx = -51.42N Fy = 61.28N

∑Fx = 19.85N ∑Fy = 93.5N

( ) ( ) 22222222 27.913625.874202.3945.9385.19 NNNFyFxFR =+=+=Σ+Σ=

NNFR 58.9526.9136 2 ==

( ) 0111 01.787103.485.19

5.93 ===ΣΣ= −−− tg

N

Ntg

Fx

Fytgθ

F3 = 80N a F2 = 30N a 40°

F1= 50N a

37


1. Resuelve por el método analítico y por el método grafico cada uno de los

ejercicios:

a) F1 = 9N, θ1 =30°

F2 = 15N, θ2 =45°

(Solución FR = 23.79N, θR = 39.380)

b) F1 = 10N, θ1 =0°

F2 = 5N, θ2 =90°

(Solución FR = 11.18N, θR = 26.560)

c) F1 = 4N, θ1 =90°

F2 = 6N, θ2 =180°

F3 = 10N, θ3 =270°

F4 = 12N, θ4 =0°

(Solución FR = 8.48N, θR = 3150)

d) F1 = 8N, θ1 =20°

F2 = 15N, θ2 =45°

F3 = 1N, θ3 =135°

F4 = 6N, θ4 =200°

F5 = 2N, θ3 =250°

F6 = 9N, θ4 =300°

(Solución FR = 15.74N, θR = 8.430)

38

Diagrama de cuerpo libre

Llamamos diagrama de cuerpo libre a la representación gráfica de la acción de las

fuerzas que actúan sobre un cuerpo en determinada situación, esto nos permite

hacer un análisis de las fuerzas que son datos conocidos y que están actuando

formando un sistema de fuerzas, así como también no permite calcular las que no

conocemos.

A continuación se describen brevemente los pasos a seguir para realizar un

diagrama de cuerpo libre.

a) Realizar un esquema con una representación clara del problema a resolver

Construir el diagrama de cuerpo libre, sustituyendo por medio de fuerzas (vectores),

cualquier efecto que reciba el cuerpo, estos efectos pueden ser los provocados por:

el contacto con otros cuerpos, la fuerza de la gravedad.

Indicar la a magnitud, la dirección y el sentido de cada fuerza representada en el

esquema. Debemos usar símbolos para representarlas.

Hacer un sistema de coordenadas usando ejes rectangulares y colocar el cuerpo en

equilibrio en el origen del eje de coordenadas. A este punto en donde concurren

todas las fuerzas se le llama puntaje.

Problemas resueltos

1. Dos personas sostienen una piñata cuyo peso es de 178 N, formando un ángulo

de 120° con las dos cuerdas, como vemos en la figura. Calcular la fuerza aplicada

por cada niño.

Diagrama de cuerpo libre:

1200

W = 178N

39

Despejando F1

0086.086.0 21 =+−=Σ FFFx

086.086.0 21 =− FF

21

21 86.0

86.0

FF

FF

=

==

Como podemos ver el diagrama de cuerpo libre nos representa de una manera

práctica las características de las fuerzas que están interactuando para mantener en

equilibrio un cuerpo.

Como el cuerpo esta en equilibrio:

0

0

=Σ=Σ

y

x

F

F

Fuerzas θcosFFx = θsenFFy =

F1 =? 01 30cosFFx = 0

1 30senFFx =

F2 =? 02 150cosFFx = 0

2 150senFFx =

F3 = 178 N ( )( ) 0270cos178 0 == NFx ( )( ) NsenNFx 178270178 0 −==

NFFFcomoNF

NFF

ecuacionlaenFdosustituyen

NFF

NFFFy

178178

1785.05.0

1785.05.0

01785.05.0

1212

22

1

21

21

=∴===+

=+

=−+=Σ

F3 = 178N

F2 F1

Diagrama de cuerpo

1200

40

2. Un contrapeso de 5000N se encuentra suspendido por dos cables instalados en

las paredes del interior de un taller. Encontrar el valor de las fuerzas que ejercen

cada un de los cables representadas en la siguiente figura

250 450

F2

w = 5000N

F1

F3 =

F2 F1

Diagrama de cuerpo

250 450

41

( )( )21

21

21

21

78.090.0

7071.0

07071.090.0

007071.090.0

FF

FF

FF

FFFx

=∴

=

=−=+−=Σ

( )

( )( ) 52.38239.490178.0

9.4901027.1

5000

5000027.1

50007071.032.0

50007071.078.42.0

50007071.042.0

050007071.042.0

1

2

2

22

22

1

21

21

==∴

==

==+

=+

=+

=−+=Σ

NF

NN

F

NF

NFF

NFF

ecuacionlaenFdosustituyen

NFF

NFFFy

Como el cuerpo esta en equilibrio:

0

0

=Σ=Σ

y

x

F

F

Fuerzas θcosFFx = θsenFFy =

F1 =? 01 25cosFFx = 0

1 25senFFx =

F2 =? 02 135cosFFx = 0

2 135senFFx =

F3 = 5000

N

( )( ) 0270cos5000 0 == NFx ( )( ) NsenNFx 50002705000 0 −==


1. Encontrar la fuerza en cada uno de los cables que sostiene un costal de box como

se indica en el siguiente esquema. (solución F1= 400N, F2= 565.6N)

450

F2

w =400N

F1

42

2. Una caja de herramienta de 100 Kg de masa es sostenida por dos trabajadores

desde lo alto de dos edificios como se muestra en la siguiente figura. ¿Cuál es la

magnitud de las fuerzas de tensión ejercidas por cada una de las cuerdas? (solución

F1= 993.6N, F2= 680.55N)

200

F2

m=100kg

F1

500

43

Autoevaluación

Instrucciones: Lee con atención cada uno de los enunciados y escribe dentro del

paréntesis el numero que proporcione la respuesta correcta

( ) Tiro vertical, ( ) Velocidad, ( ) Cinemática, ( ) Aceleración, ( )

Movimiento rectilíneo, ( ) Móvil, ( ) Caída Libre , ( ) 9.81 m/s2, ( )

Movimiento, ( )Trayectoria

( ) Tiro parabólico, ( ) Tiro Horizontal, ( ) Desplazamiento.

1. Distancia medida en línea recta desde la posición inicial a la posición final

2. Cualquier cuerpo u objeto que se mueve

3. Es el incremento de la velocidad por unidad de tiempo

4. Es la distancia recorrida en un tiempo determinado

5.Cambio de posición de un móvil con respecto a un plano de referencia

6. Movimiento descrito en línea recta

7. Es el movimiento de un cuerpo que es soltado en la vecindad de la tierra

8. Es el valor de la fuerza de gravedad

9. Movimiento en sentido vertical

10. Es el movimiento de un proyectil lanzado libremente desde una altura con un

ángulo de inclinación.

11. Es el movimiento que en su trayectoria describe una parábola

12. Estudia el movimiento sin importar las causas que lo producen

Instrucciones. Realiza una descripción gráfica de cada uno de los siguientes

movimientos.

Caída libre

Tiro vertical

Tiro horizontal

Tiro parabólico

44

Instrucciones: Resuelve en forma correcta cada uno de los siguientes problemas.

1. Un móvil se desplaza a 30 km./h y después de recorrer 200 km. su velocidad es

90 km./h. Calcular: la aceleración, El tiempo que tarda en recorrer los 200 km.

2. Un tren se desplaza con una velocidad inicial de 15 m/s y está bajo una

aceleración constante de 3 m/s2. ¿Qué distancia recorrerá en 40 seg? ¿Cuál será su

velocidad final?

3. Se deja caer libremente una maceta desde el segundo piso localizada a una altura

de 2 m; calcular:

El tiempo que tarda en llegar al suelo

La velocidad con que llega al suelo

Que posición y velocidad tiene a los 5 segundos de haber caído.

4. Desde lo alto de una montaña se deja caer libremente una piedra que tarda 150

seg. en llegar al suelo. Calcular: La altura con respecto al suelo y La velocidad del

impacto

5. ¿De que altura se debe soltar un cuerpo para que llegue al suelo con una

velocidad de 25 m/s? ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? ¿Cuanto tarda en

descender 20 m y cuál es la velocidad que alcanza?.

6. Se lanza un balón verticalmente hacia arriba a una velocidad de 10 m/s. Calcular:

La altura máxima

EL tiempo que tarda en alcanzar el punto más alto

El tiempo total de vuelo

La posición y velocidad a los dos segundos de haber sido lanzado

7. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba y tarda en regresar 6 seg.

Calcular:

45

El tiempo que tardó en alcanzar la altura máxima

La altura máxima

La velocidad del lanzamiento

8. Un esquiador vuela horizontalmente con una velocidad de 25 m/s desde una

altura de 120 m. Calcular:

El tiempo que tarda en llegar al suelo

El alcance

La velocidad con que llega al suelo

9 Un jugador de fut-bol patea una pelota y la lanza con una velocidad de 19 m/s y

con un ángulo de inclinación de 38°. Calcular:

La altura máxima que alcanza el balón

EL alcance horizontal

El tiempo total de vuelo

Instrucciones: Complete las aseveraciones siguientes y diga de que se trata cada

enunciado.

______ Ley de Newton:

“A toda _________ llamada __________, se opone otra de la misma __________

llamada ____________, con la misma __________ pero en sentido contrario”

______ Ley de Newton:

“Esta ley afirma que un cuerpo se mantiene en estado de ________ o de

___________ ___________ ____________ mientras no reciba la acción de una

__________ neta externa”.

_____ Ley de Newton:

“Toda _________ resultante aplicada a un cuerpo le produce una ____________ en

la misma dirección en que actúa dicha ___________. La magnitud de esa

____________es _________________ proporcional a la magnitud de la _________

aplicada e _________________ proporcional a la _________ del cuerpo”

46

Instrucciones: Lee con atención cada uno de los siguientes enunciados y escribe

sobre la línea del lado izquierdo la letra que proporcione la respuesta correcta.

A. Fuerza resultante B. Fuerzas concurrentes C. Componentes

Rectangulares D. Fuerzas colineales E. Estática F. Composición de

fuerzas G.- Fuerza equilibraste H.- Fuerza

______ Parte de la física que trata el estudio de las condiciones por medio de las

cuales pueden permanecer en reposo.

______ Es toda manifestación de energía capaz de producir un movimiento

modificarlo.

______ Son fuerzas que se ejercen en una misma dirección.

______ Fuerzas que se unen en un punto común formando uno o más ángulos.

______ Es el vector capaz de producir los mismos efectos que todos los datos.

______ Vector capaz de compensar la acción de todos los vectores, actuando

simultáneamente.

______ Son dos fuerzas concurrentes y rectangulares capaces de sustituir una

fuerza dada.

Instrucciones: Determinar la fuerza resultante y equilibraste en los siguientes

sistemas por el método analítico.

1) F1 = 9N, θ1 =30°

F2 = 15N, θ2 =45°

2) F1 = 10N, θ1 =0°

F2 = 5N, θ2 =90°

47

3) F1 = 4N, θ1 =90°

F2 = 6N, θ2 =180°

F3 = 10N, θ3 =270°

F4 = 12N, θ4 =0°

4) F1 = 8N, θ1 =20°

F2 = 15N, θ2 =45°

F3 = 1N, θ3 =135°

F4 = 6N, θ4 =200°

F5 = 2N, θ3 =250°

F6 = 9N, θ4 =300°

48

UNIDAD III

TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA

Objetivo particular

Al término de la unidad el alumno:

Identificara las causas y efectos del movimiento, observando la transformación mediante el

trabajo de las diferentes formas de energía mecánica atendiendo la ley de la conservación.

49

1. Trabajo

El trabajo es un concepto que forma parte de la vida diaria , generalmente lo relacionamos

con las actividades desarrolladas dentro y fuera de la casa, por

ejemplo: el empleado de una maquiladora realiza trabajo al ensamblar

piezas, el señor de un taller mecánico al reparar un motor, un ingeniero

al diseñar un puente; en realidad existen diversas formas de trabajo,

cada persona tiene un concepto propio de él , y lo valora de acuerdo a

la realización de la actividad producida .

1.1 Concepto De Trabajo.

Físicamente el trabajo se conceptualiza en forma técnica con la finalidad de cuantificarlo,

desde este punto de vista, se realiza trabajo cuando movemos una caja, bajamos la escalera,

estiramos un auto , levantamos un mueble, movemos el ratón de la computadora. Los

ejemplos anteriores tienen 2 características comunes, en todos se emplea una fuerza que

produce el movimiento de un objeto desplazándolo una longitud determinada. El trabajo se

realiza cuando se aplica fuerza a un objeto para moverlo en su misma dirección.

El trabajo se define como el producto de la fuerza en la dirección del desplazamiento y la

medida del desplazamiento .

El ejemplo mas simple de trabajo se presenta cuando la fuerza y el desplazamiento tienen la

misma dirección , en ese caso tenemos

el trabajo máximo realizado por la

fuerza y se determina aplicando la

siguiente expresión :

En la figura, se observa el trabajo realizado por una fuerza horizontal aplicada por el niño

para impulsar su bicicleta una distancia determinado en la dirección de la fuerza.

desplazamiento

Fuerza

dFW =

50

Cuando se levanta un objeto hasta una determinada altura en contra de la fuerza

gravitacional, como se muestra en la imagen. Se aplica una fuerza opuesta al peso del objeto

para trasladarla hasta una altura ( h ) determinada , Este trabajo se puede calcular con la

siguiente expresión:

Si la fuerza y el desplazamiento no tienen la misma dirección, el trabajo se determina

multiplicando la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento y el

desplazamiento

En donde :

S I S T E M A S FACTOR

M . K . S C . G . S TECNICO INGLES

W = Trabajo

Joule

( J )

Ergio

( Erg )

Kilopondimetro

( Kpm )

Libra. Pie

( Lb ft )

F cos θ = componente

de la fuerza en la

Newton

( N )

Dina

( D )

Kilopondio

( Kp )

Libra

fuerza

dFW θcos=

Matemáticamente :

dFW =

El peso del objeto es igual a la fuerza y por lo

tanto tenemos : hpesoW =

Considerando que el peso del objeto es igual

a su masa por la gravedad, tenemos que :

hgmW =

F

h

θ

F

F cos θ

d

51

dirección del

desplazamiento

( LbF )

d = distancia Metro

( m )

Centímetro

( cm )

Metro

( m )

Pie

( ft )

Cuando mas de una fuerza actúa sobre el objeto, se determina el trabajo realizado

por cada una de las fuerzas y finalmente se realiza la suma algebraica.. o bien se

determina la fuerza resultante y posteriormente se calcula el trabajo producido por

ella o su componente, en ambos casos el resultado es el mismo.

El trabajo es positivo cuando la fuerza o su componente y el desplazamiento tienen

igual sentido , y negativo si

presentan sentidos opuestos,

En la figura se observa el objeto

sometido

a dos

fuerzas en sentido contrario y un desplazamiento en la

dirección de F, entonces el trabajo producido por F es

positivo, y el trabajo producido por la fricción es negativo,

porque se opone al movimiento

F

Fricción

d

F

h

Peso = m

FR

θ

d

F1

F2

d

dFW θcos11 =Matemáticamente : dFW θcos22 =

dFW RR =

21 WWWR +=

52

Cuando levantamos el objeto en contra de la fuerza gravitacional, como se muestra

en la figura, el trabajo realizado por la fuerza de tensión es positivo, porque tiene el

misma sentido del movimiento, pero el trabajo realizado por la fuerza de gravedad

es negativo, ya que la gravedad es una fuerza opuesta al movimiento

1.2 Unidades de medición El trabajo es una magnitud escalar ya que sólo presenta módulo (carece de

dirección y sentido), sus unidades son producto de la combinación de las unidades

fundamentales de la fuerza y el desplazamiento , por lo tanto son derivadas.:

• 1 Joule = N . m

Es el trabajo realizado por la fuerza de 1 Newton que al aplicarse a un objeto lo

desplaza 1 metro en su misma dirección.

• 1 Ergio = D . cm

Es el trabajo realizado por una fuerza de 1 Dina que al aplicarse a un objeto lo

desplaza 1 centímetro en su misma dirección.

• 1 Libra fuerza. pie = LbF ft

Es el trabajo realizado por una fuerza de 1 libra fuerza que al aplicarse a un objeto lo

desplaza 1 pie en su misma dirección.

• 1 KilopondImetro = Kp . m

Es el trabajo realizado por una fuerza de 1 kilopondio que al aplicarse a un

objeto lo desplaza 1 metro en su misma dirección.

Resulta útil en el momento de realizar una conversión, conocer la equivalencia entre las

diferentes unidades del trabajo:

ftLbmKpErgXJoule 735.0102.01011 7 ===

selecciona los términos con las unidades, por ejemplo, si tenemos una medida en

kilopondímetro y necesitamos convertirla a Joules, armaremos la equivalencia tomando

Joules y kpm de manera que tendremos 1 Joule = 0.102 kpm , lass equivalencias extraídas

de la igualdad anterior son las siguientes :

1 Joule = 1 000 000 Erg 1 000 000 Erg = 0.102 kpm

1 Joule = 0.102 kpm 1 000 000 Erg = 0.735 LbF ft

1 Joule = 0.735 LbF ft 0.102 kpm = 0.735 LbF ft

53

2.3. Modelo grafico

El trabajo se obtiene graficando la fuerza

vs posición, considerando que la fuerza es

constante , y el desplazamiento se

proyecta sobre el eje horizontal, se

obtiene en la grafica la figura geométrica

de un rectángulo .

El área del rectángulo ( A = L X L )

representa el trabajo realizado

Aplicaciones

Ejemplo 1:

¿ Que trabajo realiza una persona al levantar una barra de 196 N de peso (Fuerza) hasta una

altura de 1.75 m.

Datos: Fórmula Sustitución Resultado

F = 196 N W = F d W = (196 N) (1.75m) W = 343 Joules

d = 1.75m

W = ?

Ejemplo 2:

¿ Cuál es la magnitud del trabajo realizado al desplazar un bloque 3 metros sobre una

superficie horizontal aplicándole una fuerza de 25 N a 45°?. ( desprecie la fuerza de fricción)

45°

d

F

d

d (m)

F ( N

W = F . ∆ d

∆ d

F

54

componente horizontal

Ejemplo 3: Determina el trabajo realizado por 2 hombres al aplicar fuerzas de 100 N a 30° y 150 N a

0° respectivamente, para desplazar un motor , 2 m sobre una superficie horizontal (

desprecie la fricción. )

Solución: Tenemos la acción conjunta de dos fuerzas, por lo tanto se determina previamente

la componente horizontal de la fuerza resultante

Ejercicios:

1.- ¿Qué trabajo realiza una persona de 600 N de peso, al escalar una montaña de 500 m de

altura ? ( Solución: 300 000 J )

W =?

F1 = 100 N a 30°

F2 = 150 N a 0°

d = 2m

NewtonF

NNF

NNF

CosNCosNF

CosFCosFF

xFxFF

x

x

x

x

x

x

236

)150()60.86(

)1)(150()8660.0)(100(

)0)(150()30)(100(2211

21

=Σ+=Σ

+=Σ°+°=Σ

+=Σ+=Σ

θθ

dFW XΣ=

( ) ( )mNW 2236=JoulesW 473=

Fórmula

Datos:

Datos

W = ?

F = 25 N

θ = 45°

d = 3 m

Sustitución

W = ( 25 N ) ( cos 45° ) (3 m )

W = ( 25 N ) ( 0.7071 ) (3 m )

W = 53 Joules

Fórmula

W = F cos θ d

55

2.- Se aplica una fuerza de 5 N sobre un caja para desplazarlo 10 m sobre una superficie

horizontal ¿Cuál es la magnitud del trabajo realizado? ( Solución: 50 J )

3.- ¿Qué fuerza se debe aplicar sobre un automóvil para desplazarlo horizontalmente una

distancia de 15 m, realizando un trabajo de 2940 Joules? ( Solución: 196 N )

4.- Un deslizador de hielo es impulsado por un hombre con una fuerza de 100 N a 45 ° .

¿Cuánto trabajo ha realizado al desplazarlo una distancia de 100 m ? ( Solución: 7 071 J )

5.- ¿Qué trabajo se realizara para desplazar 200 metros una pieza de mármol , empleando

una fuerza de 2000 N a 60 °.? ( Solución: 200 000 J )

6.- De acuerdo a la siguiente figura:

A. ¿Cuál es el trabajo efectuado por una fuerza de 108 N que forman un ángulo de 38 °

con la horizontal? ( solución: 2 127. 63 J )

B. ¿ Cuál es el trabajo realizado por la fuerza de 50 N a 330 °? ( solución: 1 082 ..53J

)

C. ¿ Cuál es el trabajo realizado por la fuerza de fricción de 46 N? ( solución: -1 150 J

)

D. ¿ Cuál es el trabajo resultante? ( solución: 2 060 . 16 J )

Fr

F = 108 N, θ=38°

F = 50 N, θ=330° d = 2.5 m

56

2 Energía

La energía es uno de los conceptos mas importante ya que

todos los fenómenos que ocurren a nuestro alrededor están

acompañados de variación y transformaciones de energía

desde la forma mas común, que es el calor, hasta las que se

pueden producir a partir del mismo calor, como la energía

luminosa, eléctrica, mecánica, magnética, química, etc.

2.1 Concepto y clasificación

Etimológicamente la palabra energía proviene de la unión de las raíces griegas en y ergon

que significan trabajo, con base a lo anterior se puede decir que la energía es sinónima de

trabajo y por lo tanto todo cuerpo capaz de realizar un trabajo posee energía, o bien todo

cuerpo que tiene energía puede realizar un trabajo

Representa por medio de dibujos o recortes cada una de las energías que aparecen en los

cuadros

Mecánica Calorífica

Química Nuclear Radiante

Eléctrica

Eólica Luminosa Magnética

57

2.2 Energía mecánica.

La energía mecánica es la energía que posee la materia , esta integrada por la energía cinética

y la energía potencial

2.2.1 Energía Cinética y potencial

Energía cinética

La materia que esta en movimiento posee energía cinética. Por ejemplo un automovil en

movimiento, el vuelo de un halcón, la caída de las hojas de los arboles, las corrientes de

aire. la rotacion de la tierra, el giro de las manecillas del reloj, la traslacion del satelite, el

movimiento de un balón de fut bol, el tren de la montaña rusa, en conclusión en todo cuerpo

que se mueve esta presente la energía cinética.

Energía:

Capacidad que

posee la materia

para realizar un

trabajo

Energía Cinética :

Capacidad que posee

la materia

para realizar un trabajo

en virtud del movimiento .

Energía Potencial :

Capacidad que posee

la materia

para realizar un trabajo

en virtud de la posición

58

La expresión matemática para determinar la magnitud de la energía cinética se dedujo de la

segunda ley de Newton, y las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente

acelerado matemáticamente :

En donde :

S I S T E M A S

FACTOR M . K . S C . G . S TECNICO INGLES

Ek = Energía Cinética Joule (J) Erg. Kpm Lb ft

m = masa Kilogramo ( Kg) gramo ( g) u.t.m. slug

v = velocidad m /seg. cm / seg. m /seg. Pie / seg.

Aplicaciones

Ejemplo 1:

¿ Cuál es la energía cinética de un mazo de 5 Kg. que se desplaza a razón de 25 m / s ?

Datos

Ek = ?

m = 5 Kg.

V = 25 m/s

Fórmula.

2

2

1vmEk =

Sustituyendo

2)/25()5(2

1smKgEk =

)/²625()5(2

1 2smKgEk =

JoulesmNE

s

mKgE

k

k

15621562

²

²3125

2

1

==

=

22

1 22 vm

EómvE KK ==

59

Ejemplo 2

¿ A que velocidad se desplaza una camioneta de 1452 Kg. y 529254 joules de energía ?

Formula Despeje Sustitución y desarrollo

2

2

1vmEk =

2

2vmEk =

22 vmEk =

22v

m

Ek =

m

Ev k2

=

Kg

Jv

1452

)529254(2=

Kg

Jv

1452

)508,058,1=

Kg

Jv 729=

segmv 27=

Datos:

v =?

m =1452 Kg.

Ek = 529254 Joules

60

Ejemplo 3:

Determina la masa de una bala que se desplaza a razón de 230 m/s con una energía de 529

joules

Formula Despeje Sustitución

+

Datos:

m = ?

v = 230 m/s

Ek = 529

Joules

2

2

1vmEk =

2

2vmEk =

22 vmEk =

mv

Ek =²

2

²

2

v

Em k=

Kgm 02.0=

( )²²52900

)1058

smJ

m =

)²/230()529(2sm

Jm=

61

Ejercicios:

1.- ¿Cuál será la energía cinética de un proyectil de 0.007 Kg. al desplazarse a razón de 400

m/s ? ¿ Qué trabajo realizará ? ( solución: 560 J , 560 J )

2.- Determine la energía cinética de una bala de 0.002 Kg de masa que se desplaza a razón

de 2160 Km./ hr. ¿Cuál será su trabajo? ( solución: 360 J , 360 J )

3.- Determine la masa de un balón que se desplaza a razón de 10 m/s y tiene una energía

cinética de 25 Joules ( solución: 0.5 Kg )

4.- ¿Determine la velocidad de un automóvil de 1200 Kg. y 375 000 J de energía.

( solución: 25 m/s)

62

Energía Potencial

El tipo de energía almacenada en los cuerpos en reposo debido a su posición,

estructura o configuración (un resorte comprimido) con respecto al medio que

lo rodea se llama energía potencial.

Los cuerpos guardan un potencial de energía con respecto a un punto en un

mismo sistema. Supongamos que un agente externo actúa sobre una piedra de

masa “m” para elevarla desde el suelo hasta una altura “h”, la fuerza realizada

por el agente es igual al peso W: así tenemos que Ep = Trabajo = W h = m g h

Aplicaciones

Ejemplo 1:

Calcular la energía potencial en Joules de un hombre de 63 580 gr. que se encuentra en la

escalera de un camión de mantenimiento eléctrico, con una altura de 1050 cm sobre el suelo.

S I S T E M A S

FACTOR

M . K . S C . G . S TECNICO INGLES

Ek = Energía Potencial Joule (J) Erg. Kpm Lb ft

m = masa Kilogramo (Kg.) gramo (g) u.t.m. slug

h = Altura m cm m Pie

Datos:

Ep=?

m = 63 580

Fórmula:

Ep = m g h

Sustitución y Resultado:

Ep = (63 580 gr)(981cm/s²)(1050 cm)

Ep = 6.55X10¹º Erg

JErgX

JouleErgX

ErgX

JouleErgX6550

1011055.6

1011

11055.6

7

10

7

10

=

•=

63

Ejemplo 2:

¿A que altura se encuentra un libro de 200 gr. si tiene una energía potencial de 30 joules?

Solución:

Se requiere convertir la masa de gramos a kilogramos para poder efectuar las operaciones

Procedemos a resolver para la altura

Ejercicios:

1. ¿Cuál es la energía potencial de un cuerpo de 5 Kg. localizado a 2 m del suelo?

¿Qué trabajo realizará al caer? ( solución: 98 J , 98 J )

2. ¿Cuál será la masa de una lámpara que se encuentra a 5 m de altura con respecto a

suelo y tiene una energía potencial de 490 Joules? ( solución: 10 Kg )

3. ¿ A que altura se encuentra una antena de 10 Kg y 490 Joules de energía?

Datos:

h = ?

m = 200 gr = 0.2

Kg

Ep = 30 joules

g = 9.81 m/s²

Fórmula: Ep = m g h Despeje:

hgm

Ep

hgmEp

=

=

Sustitución, operaciones y

( )

mh

sKgm

joulesh

smKg

joulesh

29.15

²962.1

30

²81.9)2.0(

30

=

=

=

Resultado:

KgKg

gr

Kggrm 2.0

1000

200

1000

1

1

200 =

=

=

h

64

(solución: 5 m )

Energía Total

La energía total es la suma de la energía cinética y potencial de un cuerpo, como las fuerzas

son conservativas la energía total es constante. Matemáticamente :

Cuando el objeto adquiere movimiento vertical dirigido hacia

abajo ( caída libre ), su energía potencial disminuye a medida

que lo atrae la fuerza de gravedad y aumenta su energía

cinética, si el cuerpo es arrojado hacia arriba, a medida que

pierde velocidad su energía cinética disminuye y la potencial aumenta al ganar altura, Con

base a lo anterior se tiene que la suma de las energía cinética y potencial permanece

constante debido su intercambio .

Ejercicio:

Determine la energía total de un avión de 2000 Kg. que de desplaza horizontalmente a

razón de 50 m/s, y 1000 m de altura . ( solución: 22 100 000 J )

pkt EEE +=

hgmvmEt += ²21

65

Ley de la conservación de da energía

“ La energía no se crea ni se destruye solo se transforma “

De acuerdo a la ley de la conservación de la energía todos los cuerpos interactúan con el

medio externo o sus alrededores intercambiando energía. Por ejemplo, la electricidad es una

forma de proyección de la energía que puede producir calor, luz, trabajo, etc. Lo cual

observamos a través de los aparatos que tenemos en la casa, como planchas, focos,

abanicos, etc. Con base a la ley de la conservación de la energía se deducen las siguientes

ecuaciones:

Ejemplo 1:

¿Que fuerza se requiere para detener una masa de 7 Kg que se desplaza a razón de 15 m/s en

un espacio de 3 m ?.

Ejercicios:

1. Un bloque de 2Kg cae desde una altura de 4m a partir del suelo y choca con un

poste que al ser impactado se hunde 5 cm ¿Cuál fue la fuerza aplicada a el poste? (

solución: 1 568 N )

despejando F

F d = ½ m v²

d

mvF

²21

=

Datos:

F = ?

m = 7 Kg

Fórmula:

KEW =

Sustitución, operación y resultado:

m

smKgF

3

)²/15)(7(21

=

m

smKgF

3

)²/225)(7(21

=

F= 262.5 N

pEW = pK EE =KEW =

66

2. Una caja de municiones de 20 Kg cae desde un avión localizado a una altura de 150

m ¿Cuál será su velocidad de impacto? ( solución: 54.2 m/s )

3.- Potencia

. A través del tiempo, el hombre continuamente ha buscado la forma de realizar el

trabajo en menos tiempo , Con tal propósito se han diseñado herramientas y

maquinas que además de facilitar, por ejemplo, dos personas deberán trasladar 100

Kg. material de la ferretería hasta un edificio en construcción que se encuentra a 7

m de distancia, una de ellas lo lleva estirando y la otra utiliza una camioneta para

desplazarlo , El trabajo realizado por las dos personas es igual ya que movieron la

misma cantidad de material, la misma distancia, pero en diferentes tiempos le

conoce como potencia mecánica a el trabajo realizado en la unidad de tiempo.

ACTOR

S I S T E M A S

M . K . S INGLES

= Potencia W Hp

= trabajo J LbF.-ft

t = tiempo s s

La unidad de medida de potencia en el sistema MKS es el watt y se define como la potencia

desarrollada por el trabajo de 1 joule en un segundo de tiempo. ( 1 watt = Joule / seg ) y en

el sistema ingles el caballo de fuerza ( hp = horse power ) equivalente a l trabajo realizado de

1 libra fuerza pie en un segundo ( hp = lbF ft / s )

Además de estas unidades existen otras como el caballo de vapor y el kilopondmetro / seg

Equivalencias

.

Matemáticamente:

P = W / t

1 Watt = 10 000 000 erg./seg. = 0.102 Kpm/s = 1.36X10-3 CV = 1.34X10-3

En donde :

67

Aplicaciones

Ejemplo 1

¿Qué potencia debe tener una bomba hidráulica para elevar 10000 Kg de agua hasta una

altura de 2.5 m en un tiempo de1 minuto.?

Ejercicios:

1.- ¿ Qué potencia tiene una máquina que desarrolla 95 joules de trabajo en un minuto ?

( solución: 1.58 watt )

2.- ¿ Que trabajo desarrollará un motor en 0.5 hrs. considerando que tiene una potencia de

4Hp.? ( solución: 7200 LbF ft )

3.- ¿ Qué potencia se requiere para que al aplicar una fuerza de 12 N a un mueble se

desplace 1.5m en 3 segundos ? ( solución: 6 watt )

4.- ¿ Cuál es la potencia de un automóvil de 1200 Kg. que se desplaza a razón de 220 Km.

/ hr.? ( solución: 622.4 watt )

tW

P =

t

EP p=

t

mghP =

seg

msmKgP

60)5.2²)(/8.9)(10000(=

WattP 3.4083=

Datos :

P = ?

m = 10 000 Kg

h = 2.5 m

Fórmula: Sustitución, operaciones y

resultado

68

Autoevaluación

Trabajo

1.-Escribe el concepto físico de trabajo

2.-¿ Qué dirección debe tener la fuerza con respecto al desplazamiento para la

realización del trabajo ?

3.-¿En que unidad se mide el trabajo y como de define?

4.- Explica lo que significa trabajo positivo y trabajo negativo

Resuelve los siguientes problemas

1.-¿ Qué trabajo se realizara para mover una caja fuerte de 250 N de peso. hasta

una altura de 6m con respecto al suelo ? ( solución: 1500 J )

2.-Determina el trabajo requerido para levantar un escritorio de 100 Kg. hasta una

altura de 180 cm ( solución: 180 J )

69

3.-¿ Que trabajo se realiza al desplazar 25 m horizontalmente un balón con una

fuerza de 90 Newton ? ( solución: 2 250 J )

Energía

1.-¿Qué es la energía ?

2.-¿Qué tipos de energía mecánica existen?

3.-¿Qué es la energía cinética?

4.-¿Qué factores relaciona la energía cinética?

5.-¿En que unidad se mide la energía cinética y como se define?

6.-Para calcular la energía cinética en joules ¿En qué unidad debe medirse la masa y

la velocidad?

6.-¿Qué es la energía potencial?

70

7.-¿En qué unidad se mide la energía potencial en el sistema MKS?

8.-Conociendo la masa, velocidad y la altura ¿Se puede calcular la energía cinética y

la energía potencial de un cuerpo?

9.-¿Qué diferencia existe entre la energía cinética y la energía potencial?

10.-¿Qué establece la ley de la conservación de la energía?

11.-¿Cuál es la fórmula de la ley de la conservación de la energía?


1.-¿Cuál es la energía cinética que posee un halcón de 9 kg de masa que se

desplaza a razón de 5.6 m/s ? ( solución: 141.12 J )

71

2.-¿Cuál es la masa de un venado que se desplaza con una velocidad de 16 m/s al

portar una energía cinética de 17 280 Joules ? ( solución: 135 Kg. )

3.-¿Qué energía potencial posee un cuerpo de 95 kg que se localiza a 15m de altura

? ( solución: 13 965 J )

Energía total y ley de la conservación de la energía

1. ¿ Que es la energía total ?

2. ¿ Qué establece la ley de la conservación de la energía ?

3. Escribe la formula de la ley de la conservación de la energía.

72


1. Un avión deja caer una caja de 50 Kg. y lleva una velocidad de 40 m/s ,

cuando se encuentra a la altura de 80 m

A. ¿ Cuál es la energía cinética ? ( sln: 40 000 J )

B. ¿ Que energía potencial tiene en el momento de ser lanzada ? (sln: 39

200 J )

C. ¿ Cual es su energía total ( sln: 79 200 J )

2. Un halcón de 3 Kg. se desplaza a una velocidad de 15m/s cuando se

encuantra a 60m de altura.

A. ¿ Cual es su energía cinética ? ( solución: 337. 5 J )

B. ¿ Qué energía potencial tiene ? ( solución: 1 764 J )

C. ¿ Cual es la energía total ? ( solución: 2 101.5 J )

3. Superman se localiza a 40 m de altura y desplazándose a una velocudad de

20 m/s, considerando que la masa del superhéroe es de 80 Kg. determina :

A. La energía cinética ( solución: 16 000 J )

B. La energía potencial ( solución: 31 360 J )

C. La energía total ( solución: 47 360. 5 J )

73

4. Un objeto volador no identificado de 3000 kg se visualiza a 50m de altura y

desplazándose a una velocidad de 200 m/s. Determine :

A. La energía cinética. ( solución: 60 000 000. J )

B. La energía potencial ( solución: 1 470 000 J )

C. La energía total. ( solución: 61 470 000 J )

5. ¿ Qué energía potencial tiene un alumno de 60 Kg. de masa que se localiza

en un edificio a 3m de altura ? ( solución: 1 674 J )

¿ Que energía cinética desarrollara al caer ? ( solución: 1 674. J )

¿ Con qué velocidad llegará al suelo ? ( solución: 7.66 m/s )

¿ Qué trabajo podrá realizar al caer ? ( solución: 1 674. J )

74

Potencia

1.-¿Qué es la potencia ?

2.- ¿ Qué factores relaciona la potencia ?

3.- Escribe el concepto matemático de la potencia

4.- Escribe la unidad de medida de potencia en el sistema MKS y su definición

5.-Anota otras unidades de medida para la potencia

6.- Escribe las equivalencias entre las diferentes unidades de la potencia

7.- Obedeciendo la ley de la conservación de la energía ¿ Qué otras formulas

podríamos utilizar para determinar la potencia ?

75


1.- Un estudiante empuja un escritorio con una fuerza horizontal de 120 Newton y

lo mueve una distancia de 4 metros a través del piso, en un tiempo de 5 segundos.

Calcular:

A. El trabajo realizado ( solución: 480. J )

B. La potencia desarrollada ( solución: 96 watt )

2. Se requiere de una fuerza de 800 Newton para empujar un auto en un

estacionamiento. Dos personas empujan el auto una distancia de 40 metros en un

tiempo de 10 segundos. Calcular:

A. El trabajo realizado ( solución: 3 200 J )

B. La potencia desarrollada ( solución: 320 watt )

3. ¿ Qué potencia debe tener una bomba hidráulica para elevar 10 000 Kg. de agua

hasta una altura de 2.5 metros en 5 minuto ?. ( solución: 816.6 J )

76

4. Un motor eléctrico sube un elevador de 12 000 N de peso una altura de 9 metros

en un tiempo de 15 segundos.

A. ¿ Cuál es el trabajo realizado por el motor ? ( solución: 108 000 J )

B. ¿ Cuál es la potencia desarrollada ? ( solución: 7 200 watt )

5. Un alpinista carga una mochila de 12 Kg. mientras sube una montaña. Al cabo

de 5.4 minutos, el alpinista se encuentra a una altura de 20 metros sobre su punto

de partida.

A. ¿ Cuánto trabajo ha realizado el alpinista sobre su mochila ? ( solución: 2352 J)

B. Determina la potencia total desarrollada durante 5.4 minutos. ( solución: 7. 25

watt)

6. Una grúa levanta un objeto de 6 Kg., a una altura de 1.5 metros

77

A. ¿ Qué potencia desarrolla el motor si levanta el objeto en 8 segundos ? ( sln: 11

watt )

B. ¿ Qué potencia desarrolla el motor si levanta el objeto en 22 segundos ? ( sln: 4

watt )

7. Un elevador de 2400 Kg. sube 20 metros de altura en 1 minuto a velocidad

constante

A. ¿ Que trabajo realiza el motor ? ( solución: 470 400 J )

B. ¿ Cual es la potencia del motor en watts ? ( solución: 7 840 watt )

C. ¿ Cual es la potencia en hp ? ( solución: 10.5 hp )

8. Un motor produce una fuerza de 450 N sobre la banda de un transportador y lo

mueve con una rapidez constante de 5.5 m/s. ¿ Cuál es la potencia del motor ? (

solución: 2 475 watt )

78

9. ¿ Cuál es la potencia de un automóvil de 1500 Kg. que se desplaza a razón de 70

m/s en 5 minutos ? ( solución: 12 250 watt )

10. ¿ Cuál es la potencia de una motocicleta de 250 Kg que se desarrolla una

velocidad de 20 m/s en un tiempo de 10 segundos ?. ( solución: 5 000 watt )

79

Bibliografía

Bueche, Frederick J. Física General. 3ª edición Ed. McGraw Hill, México 1999.

Bueche, Frederick J. Fundamentos de Física. 2ª edición Ed. Económica l, México

1981.

H.E. White. Física Moderna. Uthea. Tr Juan José Díaz de Noriega y Selles. México.

1981.

Mosqueira, Salvador. Física Elemental. Ed Patria. México. 1981.

Sears. Francis W. Física General, 5ª edición Ed Aguilar. España 1977.

Stollberg, Robert. Física fundamentos y fronteras. Publicaciones Cultural, S.A.

México 1979.

Tippens, Paul E. Física conceptos y aplicaciones. McGraw Hill. 5ª Ed. México

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