FISICA I

Página 1

FISICA I

En el presente trabajo se tratará todo lo que concierne a vectores; definiciones,

propiedades, fórmulas, aplicaciones y diversos ejercicios propuestos; con el

propósito de comprender claramente cada punto de este amplio tema

fundamental de la física.

2013

FISICA I INGENIERÍA INDSUTRIAL

04/02/2013

FISICA I

Página 2

“AÑO DE LA INVERSIÓN PARA EL DESARROLLO

RURAL Y LA SEGURIDAD ALIMENTARIA”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

PROFESOR : Lic. Darwin Vilcherrez Vilela.

CURSO : Física I.

TEMA : Vectores

FACULTAD/ESCUELA : Industrial/Ingeniería Industrial

2013

FISICA I

Página 3

INTRODUCCIÓN

El análisis vectorial es una excelente herramienta matemática

con la cual se expresan en forma más conveniente y se

comprenden mejor muchos conceptos de la física. Es una

parte esencial de la matemática útil para físicos, matemáticos,

ingenieros y técnicos. Además constituye una noción concisa

y clara para presentar las ecuaciones de modelo matemático

de las situaciones físicas. Y proporciona además una ayuda

inestimable en la formación de imágenes mentales de los

conceptos físicos. Siendo conscientes de su importancia, es

que hemos decidido elaborar este trabajo con el objetivo de

lograr un mayor entendimiento del tema.

FISICA I

Página 4

DEDICATORIA

DIOS QUIEN NOS AYUDA EN

NUESTRO CAMINO DÍA A DÍA, Y A

TODOS LOS ALUMNOS DE

INGENIERIA DE LA UNIVERSIDAD

NACIONAL DE PIURA

FISICA I

Página 5

Magnitudes Físicas

La Magnitud Física es una propiedad medible; es decir, a la que podemos asignarle un valor numérico como

resultado de un cálculo o una medición.

Podemos clasificarlas en:

Por su origen

Fundamentales

Absolutas LMT

Tecnicas LFT

Derivadas 𝐿𝑇−1⬚

, 𝐿𝑇−2⬚

Por su naturaleza

Escalares Poseen valor

numerico y unidad, ejemplo

Tiempo: 2 h, el trabajo, el espacio

recorrido, la rapidez, etc.

Vectoriales Poseen valor

numerico, unidad y direccion, ejemplo

Fuerza: 2 N, 0° (→), la velocidad,

desplazamiento, aceleracion, momento

de fuerza, etc.

FISICA I

Página 6

DIFERENCIAS ENTRE MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

Para mayor entendimiento, explicaremos mediante un ejemplo.

Ejemplo: Si un hombre va desde A hacia B:

a) ¿Cuánto espacio ha recorrido?

Rpta: En este caso el Espacio Recorrido se

refiere a cuánto ha caminado el hombre para

llegar a su destino. En este caso sería desde el

punto A hasta la punta del Cerro: 10m; más 10m

que recorre desde la punta del cerro al punto B.

Entonces: 10 m + 10 m = 20m

b) ¿Cuál ha sido su desplazamiento?

Rpta: El desplazamiento se refiere a cuánto

espacio hay desde el punto de partida del hombre

hacia su punto de llegada. En este caso de A

hacia B. A diferencia del “Espacio Recorrido”, el

“Desplazamiento” tiene una dirección. Por lo

tanto, el desplazamiento será: 4m, 0°; es decir, 4 metros a la derecha.

Si regresa a su casa: ¿Cuál será su nuevo espacio recorrido y cuál será su nuevo desplazamiento?

Rpta:

Espacio Recorrido: Si ya tenemos los 20m

recorridos de A hacia B, entonces tendríamos

que sumar los 20 m de B hacia A. Por lo

tanto: 20m + 20m= 40m

Nuevo Desplazamiento: Sabemos que de A

hacia B se desplazan en función de: 4m, 0°,

para regresar utilizará el mismo espacio pero

con diferente dirección: 4m, 180°. Por lo

tanto sumamos: 4m, 0° + 4m, 180° = 0 m

FISICA I

Página 7

Vector

Un vector es un ente matemático que sirve para trabajar con magnitudes vectoriales. Ejemplos de vectores

tenemos: la velocidad, la aceleración, el peso, la fuerza, el desplazamiento, etc.

Ejemplo: -5m/s 45°, +9.8m/ 2 60°, -20m, 500N 30°

REPRESENTACIÓN GRÁFICA:

FLECHA

PARTES:

ᵦ

MO

DU

LO

SENTIDO

DIRECCION

PUNTO DE ORIGEN

MÓDULO: Magnitud del Vector (Medida)

DIRECCIÓN: Se refiere al ángulo existente del vector con respecto al eje X u horizontal

SENTIDO: algunos autores lo consideran, pero es realmente innecesario. Este se refiere al lugar donde apunta

el vector: Este, Oeste, Norte, Sur, etc. También se puede definir mediante el ángulo: 0°, 12°, etc.

PUNTO DE ORIGEN: Es el punto de donde nace el vector.

Al decir que es un ente

matemático, nos referimos a que

es algo que inventaron los

matemáticos para trabajar con

magnitudes vectoriales.

FISICA I

Página 8

SUMA DE VECTORES

Para sumar vectores todos deben tener la misma magnitud física.

2V

1V3V

4V

En este caso, todos los vectores tienen como magnitud en común la “Velocidad”: 1⃗⃗ ⃗ 2⃗⃗ ⃗ 3⃗⃗ ⃗ 4⃗⃗ ⃗

OJO 1:

No se puede sumar el vector 3 (aceleración) ya que no tiene la misma Magnitud Física que los otros vectores.

2V

1V4V3a

OJO 2:

Para nombrar a un Vector Resultante, se le antepone el nombre de la Magnitud más la palabra “Resultante”.

Ejemplo: Si todos los vectores son velocidades, el vector resultante debería llamarse VELOCIDAD

RESULTANTE.

Para sumar vectores se pone uno

a continuación del otro. Y su

Resultante tendrá la misma

magnitud física que sus

componentes

FISICA I

Página 9

2V

1V

3V

4V

RV

RECUERDA QUE:

Un vector como máximo se puede descomponer en la cantidad de vectores que uno desee.

“N”

vecto

resR

Un vector como mínimo se descompone en sólo dos vectores.

R

FISICA I

Página 10

Si un vector se descompone en 2, y esos vectores forman un ángulo de 90°, decimos que el vector ⃗ sufrió una

descomposición Rectangular o Pitagórica.

R

90.0°

MÉTODOS PARA SUMAS VECTORES:

Para sumar vectores gráficamente existen diferentes métodos:

1. MÉTODO DEL TRIÁNGULO:

Es el método para sumar dos vectores consecutivos formando un triángulo con la resultante.

R

⃗ 1⃗⃗ ⃗ 2⃗⃗ ⃗

2. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO:

Este método permite solamente sumar vectores de dos en dos. Consiste en disponer gráficamente los

dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a

cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo. El

vector resultante de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen común de

ambos vectores.

Y el módulo de su resultante se

halla utilizando la ecuación de

Pitágoras.

FISICA I

Página 11

1A

B

B

A

1

2

RA

B

1

2

180

sin(180 ) sin( )

Si yo quisiera saber el módulo de ⃗ entonces utilizaría la fórmula:

| ⃗ | √ 2 2

3. MÉTODO DEL POLÍGONO: Para sumar vectores por el método del polígono se colocan los vectores consecutivos y el vector suma

es el resultante que va desde el origen del primer vector al término del último vector.

AB

C

D

E

LEY DE SENOS:

De esta manera es más

sencillo hallar la

resultante de estos dos

vectores

Si tenemos tres o más

vectores y el origen del

primer vector coincide con

el final del último vector,

entonces tendremos que el

vector resultante es igual a

cero.

FISICA I

Página 12

Nos permite tener una relación más completa entre los módulos de los tres vectores y la función seno de sus respectivos ángulos que forman.

| | es al seno del ángulo que esté al frente de él, como | ⃗ | es al seno del ángulo que esté al frente de él,

como | |⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ es al seno de ángulo que esté al frente de él.

A

B

R

1 2

DIFERENCIA DE VECTORES

La diferencia de vectores viene dado gráficamente por:

1A

B B

A

DA

B

B

A

DB

A

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Página 13

Se puede utilizar la fórmula:

Ejemplo:

R

B

AD A B

Y

Si: Cos90° = 0, entonces:

Por lo tanto: | |⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ | ⃗⃗ |

2 2 2 cosD A B AB

2 2 2 cosD A B AB

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Página 14

VECTOR UNITARIO

Si:

Se define:

Propiedad:

Si: ; es decir, Si el vector es paralelo a ⃗ , se cumple:

BA

̂ ̂ . El Vector Unitario de es igual al Vector Unitario de ⃗ .

PLANO CARTESIANO

Podemos distinguir:

En el Plano Cartesiano de dos dimensiones se ubican los ejes ̂ ̂ – ̂ – ̂

Recuerda que: un vector

unitario solo da la dirección del

vector.

Estos vectores formaran

ángulos iguales con el eje

X

FISICA I

Página 15

îî

ĵ

ĵ

En el Plano Cartesiano tridimensional se ubican los ejes: ̂ ̂ ̂ – ̂ – ̂ – ̂

îî

ĵ

ĵk̂

k̂

Ejemplo:

FISICA I

Página 16

5

3

4

25

A ˆ15A jy

ˆ15A ix

y

x

Formas de escribir el vector ⃗⃗

̂ ̂

15)

| |

Y: ⃗ , | ⃗ | √ 2 2 √

El vector unitario de A está definido por: ̂

| |

2 15

25 (

4

5 3

5)

Si al sacar el módulo del vector unitario, este es = 1; el ̂ es correcto.

COSENOS DIRECTORES

Se llaman “Cosenos Directores” de ⃗ (de componentes: 1⃗⃗ ⃗, 2⃗⃗ ⃗, 3⃗⃗ ⃗ ) a los cosenos de los ángulos que el mismo forma con las direcciones positivas de los ejes x, y, z (Ángulos directores). Los cosenos directores podrán ser

positivos o negativos.

En el Plano Bidimensional:

FISICA I

Página 17

25

A

y

x

y

x = 37°

̂

̂

̂

| ̂|

√ 2 2

2

Tenemos que:

2

2

FISICA I

Página 18

En el Plano Tridimensional:

X

Z

A

x y

z

Propiedad:

FISICA I

Página 19

VECTOR ENTRE DOS PUNTOS

Para hallar un vector entre dos puntos(A y B) se debe restar el punto B menos el punto A, siendo el Punto B, el

final y el punto A, el inicial.

En un Plano Bidimensional:

y

x

A(3,5)

9

3

5

7

AB

ˆ4i

ˆ4 j

B(7,9)

En el Plano Tridimensional:

X

Z

B(8,12,15)

A(2,4,5)

AB

FISICA I

Página 20

⃗⃗⃗⃗ ⃗

Calculamos el Vector Unitario:

Calculamos los ángulos a partir de los Cosenos:

FISICA I

Página 21

MULTIPLICACIÓN DE VECTORES

PRODUCTO ESCALAR:

Se tiene que la multiplicación de un vector ⃗⃗ por otro ⃗⃗ , dará como resultado un número. Entonces:

⃗⃗ ⃗⃗

SI:

y

⃗

⃗⃗ ⃗⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

Entonces:

Por definición:

⃗ ⃗⃗ ⃗

⃗ | || ⃗ |

54 = (11.04) (5.48)Cos(θ)

0.89 = Cos(θ)

θ = 27.13°

Geométricamente:

⃗ | || ⃗ |

Este producto es también

denominado Producto

Punto

𝐴 �⃗� �⃗� 𝐴

FISICA I

Página 22

PRODUCTO VECTORIAL: Se tiene que la multiplicación de por ⃗ dará otro vector ⃗ : ⃗ ⃗

Si:

y , entonces:

⃗ ̂ ̂ ̂

⃗ [ ] ̂ [ ] ̂ [ ] ̂

⃗ ̂ ̂ ̂

⃗

__________________________________________

⃗ ̂ ̂ ̂

⃗ [ ] ̂ [ ] ̂ [ ] ̂

⃗ ̂ ̂ ̂

⃗

Este producto se halla

utilizando matrices.

FISICA I

Página 23

Por definición:

⃗ ⃗⃗ ⃗

⃗ | || ⃗ |

Geométricamente:

B

A

h

Área del triángulo:

Reemplazamos:

B

A

12

FISICA I

Página 24

MULTIPLICACIÓN DE VECTORES UNITARIOS:

îĵ

k̂

y

Z

x

PRODUCTO VECTORIAL:

PRODUCTO ESCALAR:

FISICA I

Página 25

Problemas Resueltos

1. Una lancha es arrastrada por 2 remolcadores, si la resultante de las fuerzas ejercidas por los

remolcadores es una fuerza de 5000lib dirigida a lo largo del eje de las lanchas. Determine la tensión

de las cuerdas, sabiendo que

30°

45 30°

1T

2T

45

105°

5000R lb

Para desarrollar este problema es necesario aplicar la LEY DE SENOS, con los ángulos que forman las

tensiones con la resultante; con esto el desarrollo sólo es matemático y sencillo, veamos:

𝑇2

𝑇1

𝑇2

𝑇1

2 5000

0.5 0.9659

T 1

5000

0.707 0.9659

T

𝑻𝟐 𝟐𝟓𝟖𝟖.𝟏𝟗 𝒍𝒃 𝑻𝟏 𝟑𝟔𝟔𝟎.𝟐𝟓

FISICA I

Página 26

2. Hallar el valor de , tal que la tensión en la cuerda 2 sea mínima.

30°

30°

150

1T

2T

5000R lb

𝑇1

𝑇2

𝑇2 3 5

3 , para que sea mínima, entonces:

,

3. Cuatro fuerzas actúan sobre un perno “A” como se muestra en la figura. Determine la resultante de

las fuerzas sobre el perno.

𝜶 𝟔𝟎

FISICA I

Página 27

x

y

1 150F N

2 80F N

3 110F N

4 100F N

1⃗⃗ ⃗ ̂ ̂ . ̂ ̂

2⃗⃗ ⃗ ̂ ̂ . ̂ . ̂

3⃗⃗ ⃗ ̂ ̂

4⃗⃗ ⃗ ̂ ̂ . ̂ . ̂

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . ̂ . ̂

Si queremos saber cuáles son los ángulos, lo primero que se debe hacer es hallar el módulo de la resultante,

posteriormente el vector unitario y se aplica lo enseñado anteriormente

| |⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ √ . 2 . 2

̂ . ̂ . ̂

. . .

|𝑹|⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝟐𝟓𝟒.𝟐𝟔

Cuando se hayan

descompuesto todas

las fuerzas, estas se

suman para hallar la

resultante que nos

piden.

FISICA I

Página 28

. .

𝜽𝒙 𝟑.𝟔

𝜽𝒚 𝟖𝟔.𝟓𝟔

FISICA I

Página 29

4. Determine el vector resultante de las fuerzas mostradas en la figura

1 435F N200

210

225

x

y

120

240

70

2 500F N

3 510F N

Se halla primero los ángulos de cada vector fuerza, la forma más sencilla es por medio del arco tangente como

se observa:

. . .

A continuación, lo siguiente que se hace es descomponer los vectores para después sumarlos y hallar la

resultante que es la pregunta del ejercicio:

1⃗⃗ ⃗ . ̂ . ̂ . ̂ . ̂

2⃗⃗ ⃗ . ̂ . ̂ . ̂ . ̂

3⃗⃗ ⃗ . ̂ . ̂ . ̂ . ̂

�⃗⃗� 𝟒𝟏𝟒.𝟖𝟗 �̂� 𝟑𝟑𝟎 �̂�

FISICA I

Página 30

Ahora, si se quiere encontrar el módulo del vector resultante se debe aplicar la fórmula vista como se aprecia a

continuación:

| |⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ √ . 2 2 .

El vector unitario se halla dividiendo el vector resultante entre el módulo del mismo, de eso se puede encontrar

los ángulos de la resultante por medio de los cosenos directores.

̂ . ̂ ̂

.

. .

5. El elemento CB de la prensa de banco mostrada en la figura ejerce sobre el bloque “B” una fuerza

“P” dirigida a lo largo de la línea CB. Si se sabe que la componente horizontal de “P” tiene una

magnitud de 260lib. Determine:

a) Magnitud de la fuerza “P”.

b) Su componente vertical.

LR

Q

Q

50°50°

C

B

P(sin50°)

P

𝜽𝒙 𝟑𝟖.𝟒𝟔 𝜽𝒚 𝟓𝟏.𝟓𝟒

FISICA I

Página 31

En este caso basta con trabajar con las componentes de la fuerza P, de esta manera primero hallamos su módulo,

y posteriormente el módulo de su componente Q.

| |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | |⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

26

5 | |⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ .

6. Encuentra la magnitud y la resultante de las dos fuerzas mostradas en la figura, si:

| ⃗⃗ | | ⃗⃗ | .

20°

70°40°

50°60°

30°

15°

75°

X

Y

-Z

Z

-X

-Y

600

Q

lb

500

P

lb

Este ejercicio es un poco más complejo a simple vista, pero para hallar la resultante basta con descomponer los

vectores en sus componentes tanto en eje X, como en el Y y el eje Z, utilizando los cosenos de los ángulos que

estos vectores forman con los ejes.

⃗ | |⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ̂

𝑷 𝟑𝟑𝟗.𝟒 lb |𝑸|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝟐𝟏𝟖.𝟏𝟔 lb

FISICA I

Página 32

̂ . .

̂ . . .

⃗ . . . . . .

⃗ | | ̂

̂ . .

̂ . . .

̂ . . .

Luego la resultante será:

⃗ ⃗ ⃗ . . .

| |⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ √ . 2 . 2 . 2

Y su vector unitario:

̂ . . .

.

̂ . . .

Aplicando ArcCos obtenemos los ángulos que la resultante forma con los tres ejes:

. . .

|𝑹|⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝟕𝟓𝟕.𝟒𝟕𝟖 𝒍𝒃

𝜽𝒙 𝟔𝟓.𝟎𝟒 𝜽𝒚 𝟑𝟐.𝟗𝟕 𝜽𝒛 𝟔𝟗.𝟖𝟐

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Página 33

7. Determine un vector de módulo 8 que sea perpendicular al vector “P” y al vector “Q”.

1ero: Hallar el vector que es perpendicular a ⃗ ⃗

⃗ ⃗ |

. . .

|

⃗ ⃗ [ . . ] ̂ [ . . ] ̂

[ . . ] ̂

2do: Hallando la dirección del vector perpendicular a P y Q.

̂ . ̂ . ̂ . ̂

.

̂ . ̂ . ̂ . ̂

El vector solicitado de módulo 8 es:

⃗ | |⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ̂

⃗ . ̂ . ̂ . ̂

�⃗⃗� 𝒙 �⃗⃗� 𝟐𝟎𝟎𝟑𝟏𝟑.𝟔 �̂� 𝟏𝟔𝟐𝟕𝟏𝟖.𝟖 �̂� 𝟏𝟓𝟎𝟗𝟗𝟐.𝟒𝒌

�⃗� . �̂� . 𝑗 ̂ . �̂�

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Página 34

CONCLUSIONES

En este trabajo aprendimos las definiciones de lo que es una

magnitud escalar y vectorial. Además sobre lo que

es un vector, para que nos sirve y cuáles son sus elementos.

También aprendimos a sumar, restar y a multiplicar vectores, tanto

escalarmente como vectorialmente, así como que es lo que

representa el vector unitario de un vector.

Y con el desarrollo de este trabajo y los ejercicios planteados que

se resolvieron se nos hará mucho más fácil asimilar todo lo

relacionado a estos temas.

FISICA I

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ÍNDICE MAGNITUDES FISICAS

DIFERENCIAS ENTRE MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES ......................... 6

VECTOR

REPRESENTACIÓN GRÁFICA: ............................................................................. 7

PARTES: ............................................................................................................... 7

SUMA DE VECTORES: ................................................................................................ 7

MÉTODOS PARA SUMAS VECTORES: .................................................................... 10

LEY DE SENOS: ......................................................................................................... 11

DIFERENCIA DE VECTORES: ................................................................................... 12

VECTOR UNITARIO: ................................................................................................. 13

PLANO CARTESIANO: ............................................................................................. 14

COSENOS DIRECTORES .......................................................................................... 16

VECTOR ENTRE DOS PUNTOS: ................................................................................ 19

MULTIPLICACIÓN DE VECTORES: .......................................................................... 21

o PRODUCTO ESCALAR: ................................................................................ 21

o PRODUCTO VECTORIAL: ............................................................................ 22

VECTORES UNITARIOS: ............................................................................................ 24

o PRODUCTO VECTORIAL: ............................................................................ 24

o PRODUCTO ESCALAR: ................................................................................ 24

PROBLEMAS RESUELTOS: ..................................................................................................... 25