INSTITUTO Universitario DE Tecnología“ANTONIO JOSE DE SUCRE”

EXTENSION BARCELONA-PUERTO LA CRUZ

Aplicación de ecuaciones vectoriales paramétricas para la determinación de las características cinemáticas de una partícula en movimiento. (Vector posición, Vector velocidad Vector aceleración).

Bachilleres:Hernández Daisy

Puerto La Cruz ; JUNIO Del 2014

Cinemática y dinámica

Se dice que un cuerpo se halla en movimiento respecto a otro cuando existe

un cambio continuo de su posición relativa a lo largo del tiempo. La rama de

la Física que se dedica al estudio del movimiento de los cuerpos es la

Mecánica, y ésta se subdivide en las siguientes disciplinas:

cinemática: que describe geométricamente el movimiento sin atender a sus

causas

Dinámica: que conecta el movimiento y sus características con las causas

(fuerzas) que lo producen.

Estática: que establece las condiciones de equilibrio mecánico (ausencia de

movimiento).

Para poder desarrollar la Cinemática es necesario establecer una serie de

conceptos previos, que permitan sostener todo el entramado matemático. Entre

estos postulados están

•Espacio

•Tiempo

•Partícula (o punto material)

•Sólido rígido

Cinemática del movimiento rectilíneo

Antes de considerar el problema completo del movimiento de una partícula en

el espacio de tres dimensiones, examinaremos el problema unidimensional,

más simple, de una partícula que realiza un movimiento rectilíneo.

Posición

Cuando tenemos una partícula cuyo movimiento se ciñe a una recta, no

necesitamos el álgebra vectorial para identificar las diferentes posiciones de la

partícula. Nos basta con una etiqueta x(t) que designa la posición a lo largo de

la recta. Esta cantidad tiene un signo que indica si nos encontramos a la

izquierda o a la derecha de la posición a lo largo de la recta que hayamos

etiquetado como x = 0.

En el caso unidimensional podemos representar la posición frente al tiempo,

colocando el tiempo en el eje de abscisas y la posición en el de ordenadas.

Esta posibilidad no existe en el caso tridimensional.

Cuando una partícula cambia de posición pasando de encontrarse en x1 en el

instante t1 a una posición x2 en el instante t2 se dice que en el intervalo de

tiempo Δt = t2 − t1 ha experimentado un desplazamiento

El desplazamiento que, como la posición, se mide en unidades de distancia

(m, en el SI), posee la propiedad de que es independiente de que punto se

toma como origen de posiciones.

Velocidad

Velocidad media

Si una partícula realiza un desplazamiento Δx en un intervalo Δt, se define la

velocidad media (en una dimensión) como el cociente entre el desplazamiento

y el intervalo empleado en realizarlo

De la definición se desprende que:

•Posee unidades de distancia dividida por tiempo, que en el sistema

internacional serán m/s.

•La velocidad media depende del desplazamiento neto entre dos puntos, por

tanto si al final del intervalo la posición es la misma que al principio, la

velocidad media es 0, independientemente de las idas y vueltas que se hayan

dado.

•La velocidad no es igual a espacio partido por tiempo, sino a un

desplazamiento dividido por un intervalo, esto es, lo que cuenta no es el valor

absoluto de la distancia o la hora que marca el reloj, sino cuánto ha cambiado

la posición y cuánto tiempo se ha empleado en realizar dicho desplazamiento.

•En la gráfica de la posición frente al tiempo, la velocidad media representa la

pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (t1,x1) y (t2,x2). En

particular si la posición inicial y la final son la misma, resulta una recta

horizontal de pendiente nula.

Velocidad instantáneaEl concepto de velocidad media no es especialmente útil, ya que solo nos

informa del ritmo promedio, pero un movimiento concreto puede hacerse de

forma irregular y normalmente interesa definir la velocidad en un momento

dado, conocida como velocidad instantánea.

Hoy día, con la presencia de velocímetros en los automóviles, el concepto de

velocidad instantánea es intuitivo y todos tenemos una experiencia directa de

la magnitud. Se trata de precisar matemáticamente el concepto.

Cuando decimos que en un instante dado la velocidad es de 120 km/h, ¿qué

estamos diciendo exactamente? Evidentemente, no que durante la última hora

se han recorrido 120 km, ya que igual sólo se llevan 10 minutos de marcha.

Podríamos decir que durante el último minuto se han recorrido 2 km. ya que

Esto ya es más preciso, pero aun no es del todo satisfactorio, ya que en un

minuto hay tiempo suficiente a acelerar o frenar. Una mejor aproximación sería

afirmar que en el último segundo se ha recorrido (1/30) km = 33.3 m. O

podríamos decir que en la última décima de segundo se han recorrido

3.33 m,…

En todos los casos la velocidad es de 120 km/h, pero cuanto más pequeño es

el intervalo de tiempo considerado, más nos acercamos al ideal de medir la

velocidad en un instante dado.

Definimos entonces la velocidad instantánea en una dimensión como el límite

de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero (se reduce a

un instante)

Matemáticamente, esto quiere decir que la velocidad instantánea es la

derivada respecto al tiempo de la posición instantánea. En mecánica, una

derivada respecto al tiempo suele representarse con un punto sobre la

magnitud

De esta definición se deduce que:

•Las unidades de la velocidad instantánea son la de una distancia dividida por

un tiempo, en el SI m/s, aunque otras unidades como km/h son de uso

frecuente.

•La velocidad tiene un signo: es positiva si el valor de x está aumentando (nos

movemos hacia la derecha del punto de referencia) y es negativa si está

disminuyendo (nos movemos hacia la izquierda).

•La velocidad puede ser nula. En ese caso se dice que la partícula se

encuentra en un estado de reposo instantáneo.

•La velocidad no es igual al espacio partido por tiempo. Es la derivada de la

posición respecto al tiempo.

•En la gráfica de la posición frente al tiempo, la velocidad representa la

pendiente de la recta tangente a la curva x(t) en el punto (t,x(t)).

•Si el estado es de reposo instantáneo esta tangente es horizontal. En ese

momento usualmente la posición alcanza un máximo o un mínimo.

Conocida la velocidad en cada instante y la posición inicial, puede hallarse la

posición instantánea, sumando los desplazamientos infinitesimales, esto es,

integrando

Gráficamente, si trazamos la curva de la velocidad como función del tiempo, el

desplazamiento desde la posición inicial es el área bajo la curva v = v(t).

Ecuación vectorial

Para determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario que

conozcamos un punto de la recta y un vector de posición o dos puntos de la

recta. Vamos a hallar la ecuación a partir de un punto y un vector de posición, si tuviésemos dos puntos A, B entonces el vector AB es un vector de posición.

La ecuación de una recta es una expresión analítica que permite identificar

todos los puntos de la recta.

Dados un punto de la recta y un vector de dirección , un punto genérico de la recta tendrá como vector de posición .

Es claro que , como el vector y están en la misma dirección

existe un número tal que , por tanto esta expresión se conoce

como ecuación vectorial de la recta.

Ejemplo 1.

Dado el punto y el vector paralelo a la recta l que pasa por

A. Encuentre

a. La ecuación vectorial de .

b. Las ecuaciones paramétricas.

c. Las ecuaciones simétricas.

Solución.

a. ecuación vectorial de l.

b.

a.

ecuaciones paramétricas de l.

c.

ecuaciones simétricas de l

Si en la parte a. del ejemplo anterior hacemos entonces Si

entonces

Ejemplo 2

Encuentre la ecuación vectorial y paramétricas de la recta l que pasa por el punto

y es paralela al vector .

Elimine el parámetro que aparece para obtener una sola ecuación.

Solución.

Punto por el cual pasa la recta l.

Vector paralelo a la recta l.

Ecuación vectorial de l., luego las ecuaciones paramétricas de l son

igualando las ecuaciones se tiene que

esta ecuación se llama la ecuación cartesiana de l.

Ejemplo 3

Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los

puntos y

Solución.

El vector AB es paralelo a la recta que pasa por los puntos A y B, por lo tanto

Luego las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A y B son

las ecuaciones simétricas son:

Ejemplo 4

Determinar las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana del plano que

pasa por los puntos , y

Solución.

Los vectores AC y AB son paralelos al plano que pasa por los puntos A, B y C,

por lo tanto podemos tomar y

Como punto conocido del plano podemos tomar a A, B, C puesto que dicho

plano pasa por estos puntos.

Dependiendo del punto seleccionado obtenemos diferentes ecuaciones

paramétricas para el mismo plano. Las ecuaciones paramétricas del plano no

son únicas.

ecuación vectorial

Ecuaciones paramétricas

Eliminando los parámetros y t obtenemos la ecuación cartesiana

BIBLIOGRAFIAhttp://docencia.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni3/seccion37/ejemplos37.html#347

http://docencia.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni3/seccion37/ejemplos37.html#343

http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_(f%C3%ADsica)