FISICA CUANTICADr. Mario Piris SilveraInstittuto Superior de Ciencias y Tecnologa NuclearesEditorial ISCTN, 1999.La Habana, Cuba2ndice general1. Cuantos de luz. 91.1. Cuerpo Negro. Hiptesis de Plank. . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.1. Radiacin trmica en equilibrio.. . . . . . . . . . . . . 101.1.2. Absorbancia y emisividad. Ley de Kircho. . . . . . . . 121.1.3. Cuerpo Negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.4. Frmula de Rayleigh-Jeans. . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.5. Frmula de Plank. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2. Efecto Fotoelctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.1. Experimentos de Hertz y Thomson. . . . . . . . . . . . 201.2.2. Explicacin clsica del fotoefecto. Deciencias. . . . . . 211.2.3. Explicacin cuntica del fotoefecto. Frmula de Einstein. 231.2.4. Propiedades ondulatorias en el fotoefecto . . . . . . . . 261.3. Efecto Compton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.1. Teora de Compton y Debay. . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.2. Cuantos de luz y el fenmeno de la interferencia . . . . 332. La estructura del tomo 352.1. Modelo nuclear del tomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.1. Modelo atmico de Thomson . . . . . . . . . . . . . . 352.1.2. Experimento de Geiger y Marsden . . . . . . . . . . . . 362.1.3. Modelo planetario de Rutherford . . . . . . . . . . . . 372.1.4. Frmula de la dispersin de Rutherford . . . . . . . . . 382.1.5. Frmula de Rutherford para la seccin diferencial ecaz 412.1.6. Comprobacin experimental de la frmula de Ru- ther-ford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.7. Dicultades del modelo planetario . . . . . . . . . . . . 442.2. Teora de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2.1. Espectros atmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.2. Postulados de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.3. Teora de Bohr para el tomo de un electrn . . . . . . 502.2.4. Experimento de Franck y Hertz . . . . . . . . . . . . . 5434 NDICE GENERAL2.2.5. Condiciones de cuantizacin de Wilson y Sommerfeld. 572.2.6. Deciencias de la teora de Bohr . . . . . . . . . . . . . 583. Propiedades ondulatorias de la materia 613.1. La hiptesis de Louis de Broglie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1.1. Relacin entre las caractersticas corpusculares y on-dulatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.1.2. Velocidad de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.1.3. Velocidad de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.1.4. Los paquetes de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.5. Comprobacin experimental . . . . . . . . . . . . . . . 663.1.6. Interpretacin estadstica de las ondas de Broglie . . . 693.1.7. La funcin de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2. Relaciones de indeterminacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2.1. Relacin de indeterminacin de Heisenberg para la co-ordenada y el momentum . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2.2. Interpretacin fsica del principio de indeterminacinde Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2.3. Las relaciones de indeterminacin como relaciones uni-versales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.2.4. Relacin entre la medicin y el principio de indetermi-nacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2.5. Relacin de indeterminacin para la energa y el tiempo853.2.6. Complementariedad y Causalidad . . . . . . . . . . . . 864. Mecnica Cuntica Ondulatoria 894.1. Ecuacin de Schrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.1.1. La conservacin del nmero de partculas materiales. . 904.1.2. Condiciones generales que se imponen a la ecuacin deSchrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.1.3. Ecuacin de onda para la partcula libre . . . . . . . . 924.1.4. Ecuacin de onda para la partcula en un campo escalar 934.1.5. Ecuacin de Schrdinger estacionaria. . . . . . . . . . 944.1.6. Ecuacin de Schrdinger y cuantizacin de laenerga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.1.7. Movimiento unidimensional de una partcula de masa: en un campo potencial simtrico l(r) . . . . . . . . 964.1.8. Movimiento unidimensional de una partcula de masa: en un campo potencial con simetra esfrica . . . . . 1024.2. El mtodo operacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.2.1. El espacio de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104NDICE GENERAL 54.2.2. Valor medio de la coordenada . . . . . . . . . . . . . . 1074.2.3. Valor medio del momentum. . . . . . . . . . . . . . . 1074.2.4. Funciones propias y valores propios de unoperador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2.5. El operador de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.2.6. Conjunto completo de observables . . . . . . . . . . . . 1114.3. El Momentum Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.3.1. Momento de la cantidad de movimiento lineal de unapartcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.3.2. Momentum Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.3.3. Cuantizacin de |:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.3.4. Cuadrado del operador del Momentum Angular . . . . 1194.3.5. Regla vectorial para la suma de los momentum angulares1225. tomos Monoelectrnicos 1275.1. El tomo de Hidrgeno y sus similares . . . . . . . . . . . . . 1285.1.1. Conjunto completo de observables en el hidrgeno . . . 1295.1.2. Ecuacin radial de Schrdinger . . . . . . . . . . . . . 1295.1.3. Cuantizacin de la energa en el tomo de hidrgeno . 1325.2. tomos alcalinos. El espn del electrn. . . . . . . . . . . . . . 1345.2.1. Espectros atmicos de los metales alcalinos . . . . . . . 1355.2.2. Reglas de seleccin y leyes de conservacin. . . . . . . . 1385.2.3. Estructura de dobletes y el espn del electrn . . . . . . 1405.2.4. Momentum angular total del tomo monoelectrnico . 1415.2.5. Notacin simblica de los estados atmicos . . . . . . . 1425.3. Propiedades magnticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.3.1. Momento magntico orbital del electrn . . . . . . . . 1445.3.2. Momento magntico propio del electrn . . . . . . . . . 1465.3.3. Interaccin ls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.3.4. Momento magntico total del tomomonoelectrnico. Modelo vectorial. . . . . . . . . . . . 1485.3.5. Experimento de Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . 1505.3.6. Estructura na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.3.7. Estructura superna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536. tomos Multielectrnicos 1556.1. Descripcin de partculas idnticas . . . . . . . . . . . . . . . 1556.1.1. Principio de Indistinguibilidad . . . . . . . . . . . . . . 1566.1.2. Funciones de onda simtricas y antisimtricas. Bosonesy Fermiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.1.3. Partculas no interactuantes . . . . . . . . . . . . . . . 1586 NDICE GENERAL6.1.4. Principio de exclusin de Pauli . . . . . . . . . . . . . 1616.1.5. Momentum angular de sistemas con capascerradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.2. Propiedades Magnticas. Efecto Zeeman.. . . . . . . . . . . . 1636.2.1. Modelo vectorial del tomo multielectrnico . . . . . . 1646.2.2. Notacin simblica en la espectroscopia . . . . . . . . . 1656.2.3. Reglas de seleccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.2.4. Efecto Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.2.5. Efecto Pashen-Back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.3. El tomo de Helio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.3.1. Series espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.3.2. Mtodo perturbativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.3.3. Aproximacin de orden cero. . . . . . . . . . . . . . . 1786.3.4. Correcciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . 1806.4. Aproximacin de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826.4.1. Unidades atmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.4.2. Mtodo variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.4.3. Aproximacin de Hartree y Fock . . . . . . . . . . . . 1856.4.4. Energa de Hartree-Fock. . . . . . . . . . . . . . . . . 1866.4.5. Ecuaciones de Hartree-Fock. Operador de Fock . . . . 1896.4.6. Mtodo de solucin de las ecuaciones de Hartree y Fock 192NDICE GENERAL 7IntroduccinEl entendimiento de la fsica del micromundo resulta imposible sin elconocimiento de las representaciones cunticas. El objetivo fundamental deeste curso es introducir los conceptos y principios fundamentales de la fsicacuntica.El contenido se desarrolla a partir de los hechos experimentales queobligaron la introduccin de estos nuevos conceptos, siguiendo hasta cier-to punto el desarrollo histrico. No constituye por lo tanto una exposicinterica que parte de los postulados desde el inicio.El libro consta de 6 captulos. Los primeros 3 temas estn dedicados alestudio de los hechos que motivaron la introduccin de los cuantos de luz yde energa, hasta llegar a la vieja teora cuntica. El captulo 4 expone losconceptos bsicos de la mecnica ondulatoria, y los captulos 5 y 6 estn de-dicados a las aplicaciones fundamentales de la teora cuntica en los sistemasatmicos.En general, el curso est concebido para ser impartido en 32 horas declases tericas, y para su elaboracin el autor se bas en sus aos de experien-cia en la imparticin de esta asignatura en el Instituto Superior de Cienciasy Tecnologa Nucleares.8 NDICE GENERALCaptulo 1Cuantos de luz.Desde que Newton formul sus leyes de la mecnica hasta los nales delsiglo XIX, la fsica se desarroll de manera exitosa. La aparicin de nuevoshechos experimentales se lograba explicar ya sea por la introduccin de nuevasvariables dinmicas o bien de nuevas ecuaciones. En este periodo, ningnhecho experimental puso en duda la doctrina clsica y la descripcin de unsistema se realizaba con la ayuda de determinadas variables dinmicas, lascuales en cada momento de tiempo tenan bien determinados sus valores quedenan al sistema. La evolucin de un sistema estaba totalmente dada si eraconocido el estado del sistema en un momento inicial.Por otra parte, se haba establecido que en el mundo existan dos for-mas de existencia de la materia: la sustancia y la radiacin. La sustanciase consideraba compuesta de corpsculos localizados que se subordinaban alas leyes de Newton, y cuyos estados se determinaban en cada momento porsu posicin y velocidad. La radiacin por su parte consita de ondas elec-tromagnticas subordinadas a la teora de Maxwell, con innitas variablesdinmicas que conforman en cada punto del espacio a los campos 1 y H. Adiferencia de la sustancia, las ondas electromagnticas no se podan dividir encorpsculos localizados en el espacio, ellas constituan procesos ondulatorioscon fenmenos bien conocidos como la difraccin y la interferencia. En uninicio, la teora corpuscular se aplic a los cuerpos macroscpicos, y cuandose propuso la hiptesis atmica de la estructura de la sustancia se extendial micromundo, dando origen a la mecnica estadstica. Segn la mecnicaestadstica, las magnitudes macroscpicas constituyen los valores medios delas variables dinmicas del sistema que posee un nmero muy elevado degrados de libertad. La investigacin de los gases (teora cintica de los gases)y la termodinmica permitieron corroborar cualitativamente las principalesposiciones de la teora corpuscular de la sustancia.Sin embargo, surgieron nuevos fenmenos que no encontraban explicacin910 CAPTULO 1. CUANTOS DE LUZ.en la teora clsica y que no se podan justicar con dicultades matemticas.Uno de ellos result ser el problema de la radiacin del cuerpo negro.1.1. Cuerpo Negro. Hiptesis de Plank.Radiacin trmica en equilibrio.Absorbancia y emisividad. Ley de Kircho.Cuerpo Negro. Leyes fenomenolgicas: ley de Stefan-Boltzmann, ley dedesplazamiento de Wien, ley de Wien para la densidad espectral deenerga.Formula de Rayleigh-Jeans.Hiptesis de Plank. Formula de Plank. Anlisis de los casos extremos.1.1.1. Radiacin trmica en equilibrio.La radiacin de la luz ocurre como resultado de las transformaciones delos tomos, molculas y otros sistemas atmicos, al pasar de estados de mayorenerga a los de menor energa. En el caso de la radiacin trmica, la energaque se transforma es la energa cintica de las partculas, es decir, la energatrmica asociada a los tomos y molculas. Una caracterstica importantede la radiacin trmica es su espectro de emisin, el cual contiene todas laslongitudes de onda a diferencia de otros tipos de radiaciones. No vamos aestudiar todos los tipos de radiaciones trmicas, slo uno en particular: laradiacin trmica en equilibrio.Supongamos se tiene una cavidad inmvil y no transparente con tempe-ratura constante en sus paredes. Producto de sus excitaciones trmicas, lostomos y molculas van a emitir sus radiaciones al interior de la cavidad.Parte de la energa de estas radiaciones es absorbida y la otra se reeja.Durante este proceso cambian la direccin, la composicin espectral, la polari-zacin y la intensidad de las radiaciones. Al pasar un tiempo sucientementegrande, se establece un estado macroscpico (nos estamos reriendo a todala cavidad), en el cual, por cada intervalo de tiempo, la cantidad promedio deenerga irradiada de determinado color, direccin y polarizacin, se iguala ala cantidad de energa absorbida con iguales caractersticas. Se establece unequilibrio que explica correctamente la mecnica estadstica. Al alcanzarse elequilibrio, la radiacin presenta las siguientes caractersticas:1.1. CUERPO NEGRO. HIPTESIS DE PLANK. 111. La densidad de energa, la distribucin espectral y otras magnitudesque la caracterizan, no dependen de la forma ni del material de lasparedes de la cavidad.2. Es homognea, su densidad no depende del punto dentro de la cavidad.3. Es isotrpica y no polarizada.Analicemos a continuacin las magnitudes que caracterizan a la radiacinen el espacio.Densidad de energa de la radiacin (j): Cantidad de energa de la ra-diacin por unidad de volumen en el espacio. En trminos diferenciales:j = d1d\(1.1)Se acostumbra a utilizar su desarrollo espectral:j = _ 10j (`) d` (1.2)En el equilibrio, j (`) slo depende de ` y 1, ya que no hay dependenciani del material ni de la forma de la cavidad. Adems, consideraremos en loadelante que en la cavidad existe vaco, en caso contrario, s existe depen-dencia del medio contenido en la cavidad. La tarea principal en la teora dela radiacin trmica consiste en encontrar la funcin universal jT (`) .Intensidad de la radiacin (1): Cantidad de energa que atraviesa en launidad de tiempo el rea unitaria perpendicular a la direccin de propagacin.En trminos diferenciales:1 = d21dtdo(1.3)Desarrollo espectral:1 = _ 101 (`) d` (1.4)Relacin entre la densidad y la intensidad de la radiacin.Denotemos por c a la velocidad de propagacin de la luz en el vaco,entonces:d| = cdt d\ = cdtdo 1 = cd1d\ 1 = jc (1.5)12 CAPTULO 1. CUANTOS DE LUZ.1.1.2. Absorbancia y emisividad. Ley de Kircho.En el experimento se observa que tanto la energa que absorbe como laque emite un cuerpo son directamente proporcionales a la intensidad de laradiacin que incide y que se emite respectivamente, siendo la proporcindependiente del material que compone al cuerpo y del estado en que este seencuentra. Subsisten las siguientes relaciones:1o = c1i. 1c = c1c(1.6)donde 1o representa a la energa absorbida por unidad de rea y de tiempo,1i es la intensidad de la radiacin que incide sobre el cuerpo y c es el coe-ciente adimensional denominado absorbancia. Este ltimo depende de lanaturaleza de la supercie absorbente y toma valores en el intervalo 0 _ c _ 1De forma similar, 1c representa a la energa que pierde el cuerpo porunidad de rea y de tiempo, 1c es la intensidad de la radiacin que irradia elcuerpo y c es otro coeciente adimensional que recibe el nombre de emisivi-dad. Este tambin depende de la naturaleza de la supercie emisora y tomavalores entre 0 y 1.Ley de Kircho : Si un cuerpo se encuentra en equilibrio trmico su ab-sorbancia es igual a su emisividad (c = c).Esta ley puede ser demostrada utilizando razonamientos puramente ter-modinmicos, su validez ha sido vericada en el experimento.1.1.3. Cuerpo NegroSe denomina cuerpo negro al cuerpo para el cual c = c = 1 en equilibriotrmico.Evidentemente, de todos los cuerpos, para una temperatura dada, el cuer-po negro es el de mayor capacidad de absorcin y de emisin.El cuerpo negro es una idealizacin. Su mejor aproximacin es una cavidadcerrada en cuyas paredes se tiene un oricio muy pequeo. En efecto, si unrayo luz entra a tal cavidad, sufrir continuas reexiones en las paredes de lacavidad. En cada reexin parte de la energa es absorbida por las paredesy la otra es reejada. Despus de muchas reexiones una insignicante partelogra salir por el oricio, siendo prcticamente toda la energa absorbida. Seestablece un estado que poco se diferencia del equilibrio en la cavidad y eloricio se comporta irradiando como un cuerpo negro de sus dimensiones yforma.1.1. CUERPO NEGRO. HIPTESIS DE PLANK. 13Leyes fenomenolgicas de la radiacin del cuerpo negro1. Ley de Stefan-Boltzmann.En 1879, Stefan encontr de forma emprica que la intensidad integral portodo el espectro de la radiacin emitida por un cuerpo negro es proporcionala la cuarta potencia de su temperatura absoluta:1 = o11(1.7)Cinco aos ms tarde, Boltzmann demostr este resultado tericamenteutilizando el mtodo de los ciclos termodinmicos. La constante o se denomi-na constante de Stefan-Boltzmann y su valor es . 00910S\,:211.2. Ley de desplazamiento de Wien.Entre la temperatura absoluta 1 y la longitud de onda `n. para la cual sealcanza el mximo en la densidad espectral de energa 1T(`). de la radiacinemitida por el cuerpo negro, existe la relacin:1`n = / (1.8)donde / = 2. 898106:: 1 recibe el nombre de constante de Wien.3. Ley de Wien para la densidad espectral de energa del cuerpo negro.La densidad espectral de energa del cuerpo negro jT(`) posee la depen-dencia funcional:jT(`) = ,(`1)`(1.9)donde ,(`1) es una funcin universal. Esta ecuacin fue obtenida porWien a partir de principios muy generales de la termodinmica. En el marcode una teora tan fenomenolgica como la termodinmica no fue posible en-contrar a la funcin universal ,(`1). Fue necesario considerar los mtodos dela mecnica estadstica y la introduccin de los nuevos conceptos cunticosde la sustancia y la radiacin para hallar a esta funcin.14 CAPTULO 1. CUANTOS DE LUZ.1.1.4. Frmula de Rayleigh-Jeans.Rayleigh y Jeans fueron los primeros en tratar de resolver la tarea prin-cipal en la teora de la radiacin trmica, es decir, en tratar de encontrar lafuncin jT(`).Estos cientcos tomaron en cuenta el teorema estadstico sobre la dis-tribucin uniforme de la energa cintica por los grados de libertad. Segneste teorema, en el estado de equilibrio, a cada grado de libertad correspondeen promedio una energa cintica igual a 1,2/1, donde / = 1. 38102SJ,1y se denomina constante de Boltzmann.Si las partculas en cuestin se encuentran ligadas y realizando oscila-ciones (como vamos a considerar) hay que tener en cuenta adems a la energapotencial asociada a sus interacciones. En el caso de oscilaciones armnicas,el valor medio de la energa potencial tambin resulta igual a 1,2/1. Toman-do esto en cuenta, a cada oscilador armnico se le asocia un valor medio deenerga igual a /1.Un anlisis similar se realiza para las ondas electromagnticas que seestablecen en el interior de la cavidad. En el interior de la cavidad se vana establecer ondas estacionarias y al grado de libertad asociado con la ondaelctrica se le asigna una energa promedio igual a 1,2/1. De forma anlogaa la componente magntica corresponder otro 1,2/1, y de esta forma, acada onda estacionaria corresponder en promedio una energa= /1.Si se determina el nmero de ondas estacionarias que se establecen en unacavidad para cada frecuencia o longitud de onda a una temperatura dada,podemos obtener la funcin jT(`) o jT(). Se puede demostrar que el nmerode frecuencias permitido en el intervalo (i. i di) es:`(i)di = 8:\cSi2di (1.10)donde \ es el volumen de la cavidad. De esta ecuacin obtenemos que:jT(i) = 8:i2cS = 8:i2cS/1 = 8:/cS i21 (1.11)En trminos de la longitud de onda tendremos:`(`)d` = 8:\`1d` (1.12)donde se tuvo en cuenta que:c = `i 0 = d`i `di di =c`2d` (1.13)1.1. CUERPO NEGRO. HIPTESIS DE PLANK. 15Notemos que la ltima relacin es modular por tratarse de diferenciales.La frmula de Rayleigh-Jeans es por tanto:jT(`) = 8:/1`1(1.14)Comparando este resultado con la ley de Wien para la densidad espectralde energa, se obtiene que la funcin universal,(`1) = 8:/ (`1) (1.15)Experimentalmente se comprueba que la frmula de Rayleigh-Jeans esslo vlida para longitudes de onda altas (frecuencias bajas). Adems, laradiacin tiene innitos grados de libertad, mientras que la sustancia en lacavidad tiene un nmero nito de estos. Si se supone que la frmula trabaja enlas frecuencias altas, y se integra en todo el rango de frecuencias obtenemos:jT = _ 10jT (i) di = 8:/1cS_ 10i2di = (1.16)No sera posible el equilibrio trmico entre la sustancia y la radiacin.Este resultado se conoce como catstrofe ultravioleta, y fue deducido porErenfest.Se podra pensar en rechazar el teorema de la distribucin uniforme porgrados de libertad en el caso de que estos sean innitos, pero no estarajusticado.1.1.5. Frmula de Plank.La frmula que satisface los resultados experimentales en todo el espectrofue encontrada por Plank primero de forma emprica, y ms tarde la demostrtericamente.Expuso su teora el 14 de diciembre de 1900, en la reunin de nal de aode la Sociedad Alemana de Fsica, da que se considera como el del nacimientode la Fsica Cuntica.Para arribar a sus resultados Plank lanz la siguiente hiptesis, que notiene sentido alguno en los marcos de la fsica clsica:La emisin y absorcin de la luz por la sustancias no ocurre de forma con-tinua, sino por porciones nitas denominadas cuantos de energa o cuantosde luz.Concretamente, supongamos se tiene un oscilador armnico unidimen-sional. Tomando en consideracin la hiptesis de Plank este oscilador slopuede tomar valores seleccionados de energas que forman la serie discreta:16 CAPTULO 1. CUANTOS DE LUZ.0. 0. 20. 30. ..., donde 0 determina la porcin ms pequea de energa quepuede adquirir el oscilador, y depender solamente de las caractersticas deste, es decir, de la frecuencia propia del oscilador.A partir de que la radiacin en equilibrio no depende de la sustancia queconforma la pared de la cavidad, Plank consider toda la cavidad como unconjunto de osciladores. Posteriormente, supuso que no slo la cavidad, sinotambin las ondas estacionarias que en ella se establecen con determinadafrecuencia, se comportan como los osciladores armnicos.En la cavidad se establece el equilibrio, y son excitados todos los estadoscon diferentes probabilidades. La distribucin de probabilidades que Plankconsider obedeca a la ley de Boltzmann. Esto implica que el nmero deosciladores con energa 1 a la temperatura dada 1 en la cavidad, va a serproporcional a c

TIT . Con estas consideraciones podemos determinar a jT (i).Calculemos primeramente el valor medio de la energa : =

1a=1:0c

nTIT

1a=0c

nTIT= 0

1a=1:caa

1a=0caa(1.17)donde r =.0IT. Efectuando la suma1

a=0caa=11 ca(1.18)y derivando esta igualdad se tiene que1

a=1:caa=ca(1 ca)2(1.19)Sustituyendo los dos ltimos resultados en la ecuacin 1.17 se obtiene: =

0cs0IT 1(1.20)Finalmente, sustituyendoen la ecuacin 1.11, utilizada anteriormentepara obtener la frmula de Rayleigh-Jeans, obtenemos la frmula de Plank:jT(i) = 8:i2cS

0cs0IT 1(1.21)En el lmite cuando 0 0 debemos obtener la frmula clsica de Rayleigh-Jeans, que supone la variacin de energa en forma continua. En efecto,cs0IT - 1 .0IT, y de la ecuacin 1.21 se obtiene1.1. CUERPO NEGRO. HIPTESIS DE PLANK. 17jT(i) = 8:i2cS/1 (1.22)Procediendo de forma similar a como se hizo anteriormente (ver 1.13),podemos obtener la formula de Plank en trminos de la longitud de onda:jT(`) = 8:`1

0cs0IT 1(1.23)Esto nos conduce a que la funcin ,(`1) de la ley de Wien es igual a:,(`1) =8:0`cs0IT 1(1.24)

0 es una caracterstica de los osciladores, por lo tanto no depende de latemperatura (caracterstica macroscpica) y depende solamente de las fre-cuencias propias de estos 0 = /i = /c,`./ = 0. 0210S1J: recibe la denominacin de constante de Plank.Sustituyendo el valor de 0 en la ecuacin 1.24, la funcin ,(`1) se trans-forma en:,(`1) =8:/ccIcIAT 1(1.25)Analicemos ahora los casos extremos para la densidad espectral de energadel cuerpo negro .El lmite para ` pequeas (frecuencias altas) es:jT(i) = 8:/cSiScIIT 1 8:/cS iSc

IIT(1.26)jT(`) = 8:`/ccIcIAT 1 8:/c`c

IcIAT(1.27)Esta frmula fue propuesta por Wien en 1896 y fue obtenida de formaemprica. La misma describe slo los valores experimentales para frecuenciasaltas y trabaja mal en la regin infrarroja donde trabaja bien la de Rayleigh-Jeans que se obtiene en el limite cuando 0 0, es decir, para frecuenciasbajas.En un grco (r. ). tomandor = /i/1. =rSca1(1.28)de forma tal quejT(r) =8:/2cS(/1)SrSca1 = Co::tc:tc (1.29)18 CAPTULO 1. CUANTOS DE LUZ.0 2 4 6 8 100.00.51.01.5 xy Plank WienRayleigh-JeansFigura 1.1: Densidad espectral de energa. r = /i,/1. = CjT(r)se obtiene el grco 1.1.Utilizando la frmula de Plank 1.21 se pueden obtener facilmente lasleyes fenomenolgicas de Stefan-Boltzmann y la ley de Wien para el des-plazamiento.1.2. EFECTO FOTOELCTRICO. 19ResumenLa radiacin trmica en equilibrio no depende de la forma ni del mate-rial de las paredes de la cavidad. Es una radiacin homognea, isotrpi-ca y no polarizada.Las energas que absorbe o emite un cuerpo son directamente propor-cionales a las intensidades de la radiacin que incide o emite respecti-vamente: 1o = c1i. 1c = c1c.Se denomina cuerpo negro al cuerpo para el cual c = c = 1 en elequilibrio trmico.Leyes fenomenolgicas de la radiacin del cuerpo negro:1 = o11. 1`n = / . jT(`) = ,(`1)`Hiptesis de Plank: La emisin y absorcin de la luz por la sustanciano ocurre de forma continua, sino por porciones nitas denominadascuantos de energa o cuantos de luz.Frmula de Plank:jT(i) = 8:/cSiScIIT 1. jT(`) = 8:`/ccIcIAT 11.2. Efecto Fotoelctrico.Experimentos de Hertz y Thomson.Explicacin clsica del fotoefecto. Deciencias.Explicacin cuntica del fotoefecto. Hiptesis de Einstein. Trabajo deextraccin. Frmula de Einstein. Frecuencia de corte.Propiedades ondulatorias en el fotoefecto. Carcter dual de la luz.Como analizamos en el epgrafe anterior, la teora ondulatoria de la luz noes capaz de explicar el comportamiento de la radiacin trmica en equilibriode un cuerpo negro.Fue Max Plank, quien introduciendo una nueva hiptesis acerca de laemisin y absorcin de la luz por la sustancia no de forma continua, sino en20 CAPTULO 1. CUANTOS DE LUZ.porciones o cuantos (0 = /i), logr dar una explicacin adecuada a estefenmeno.Sin embargo, el propio Plank slo consideraba las propiedades cunticasde la luz en los actos de emisin y absorcin, es decir, en la interaccin de laluz con la sustancia. La propagacin en el espacio la segua considerando ensu forma continua, descrita por las ecuaciones de Maxwell.En 1905, Einstein de una forma radical proporcion una teora cunti-ca ms acabada de la luz. l, a partir de los resultados experimentales yde representaciones tericas, lleg a la conclusin de que tambin en supropagacin la luz se comporta como un conjunto de determinadas partcu-las, cuyas energas se determinan segn las energas de los cuantos de Plank.Ms tarde, estas partculas recibieron el nombre de fotones.1.2.1. Experimentos de Hertz y Thomson.Uno de los fenmenos importantes que condujo a la hiptesis de los fo-tones fue el efecto fotoelctrico, tambin conocido como fotoefecto.En 1887, Henry Hertz descubri que iluminando con luz ultravioleta unelectrodo negativo sometido a una tensin, se produce un arco elctrico entrelos electrodos. Hertz no le di importancia al fenmeno debido a lo ocupadoque estaba en la investigacin de las ondas electromagnticas.La esencia del fenmeno consiste en que al iluminar con luz ultravioletaun cuerpo metlico cargado negativamente este pierde parte de su carga. Sise ilumina un cuerpo cargado de forma positiva no se observa esta prdida decarga y ms an, si se ilumina un cuerpo neutro, ste se carga positivamente.Las propiedades fotoelctricas aparecen no slo en los metales, estas estnpresentes tambin en los dielctricos y semiconductores. La nica condicinnecesaria, aunque no suciente, es que exista suciente absorcin de luz. Porotro lado, no slo ocurre bajo luz ultravioleta, en metales alcalinos (sodio,litio, etc) aparece en luz visible. En supercies muy trabajadas se puedeobtener fotoefecto hasta con rayos infrarrojos.En 1897, Thomson descubre el electrn en el estudio de los rayos catdi-cos, y conjuntamente con Lenard mide la relacin carga-masa (c,:) de laspartculas que se emiten en el fotoefecto, quedando demostrado que estas sonelectrones.Debemos diferenciar el fotoefecto externo del interno. En el externo, loselectrones son liberados por la luz de la capa supercial de la sustancia,pasando al vaco o a otro medio. En el interno, los electrones se quedandentro del cuerpo, a pesar de ser excitados. Analicemos con ms detalles elprimero por ahora.1.2. EFECTO FOTOELCTRICO. 21Figura 1.2: Esquema de una instalacin donde se obtiene el efecto fotoelc-trico.La gura 1.2 muestra un esquema de una instalacin donde se obtiene elefecto fotoelctrico.Los electrones que se desprenden del ctodo, se ven sometidos al potencialdel nodo, cerrando el circuito. Por medio de la velocidad con que se cargael electrmetro se puede determinar la corriente del circuito y la cantidad defotoelectrones que alcanzan el nodo en la unidad de tiempo.El fotoefecto depende del estado de la supercie del ctodo y del gas,si existe este en el espacio comprendido entre el nodo y el ctodo, puescomplica el fenmeno debido a las ionizaciones que pudieran aparecer. Setrata de llevar a cabo el experimento en un buen vaco y en supercies muylimpias.Se estudia el fotoefecto para una intensidad y frecuencia de la luz deincidencia, variando la tensin \entre el ctodo y el nodo. Se construyela dependencia de la corriente 1 en funcin de \ , que recibe el nombre decaracterstica del fotoelemento.En el experimento se observa que al aumentar \ se llega a una corrientemxima que recibe el nombre de corriente de saturacin. Esta corriente sealcanza cuando todos los electrones liberados del ctodo por la luz alcanzanel nodo. Un aumento posterior de \no aumenta la corriente 1, ya quela cantidad de electrones arrancados en la unidad de tiempo no vara. Lacorriente de saturacin depende proporcionalmente de la intensidad de la luzincidente para una frecuencia dada.1.2.2. Explicacin clsica del fotoefecto. Deciencias.Se podra intentar dar una explicacin clsica del fenmeno desde el puntode vista ondulatorio. Consideremos primero a los electrones libres, es decir, aaquellos electrones que estn en el metal sometidos a la accin de un campo22 CAPTULO 1. CUANTOS DE LUZ.-5 0 50246- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - -Vs0 ViisVIFigura 1.3: Caracterstica del fotoelemento.que los retiene, existente en la frontera del metal.Para extraer uno de estos electrones es necesario realizar un trabajo deunos pocos electrn-voltios. Bajo el efecto del campo elctrico de la ondaelectromagntica de la luz incidente, estos electrones comienzan a oscilar, ycuando la energa es sucientemente grande el electrn puede vencer el campoque lo retiene y salir del metal.Para los electrones enlazados la explicacin es similar, slo que la de-pendencia de las oscilaciones tendr un carcter mas complejo debido a laresonancia.Segn esta explicacin la energa del electrn que sale deber ser mayor sila intensidad de la luz aumenta. En efecto, la intensidad lumnica es propor-cional a la amplitud de las oscilaciones electromagnticas, y esto aumentarael campo elctrico que actua sobre el electrn por parte de la onda. Sin em-bargo, en el experimento queda demostrado que la mxima velocidad, y porende la energa cintica mxima, que poseen los electrones no depende de laintensidad de la luz, sino de su frecuencia.Otro punto importante donde falla esta explicacin concierne al tiemponecesario de aparicin del fotoefecto.Supongamos se tiene una fuente de luz puntual, isotrpica y continua depotencia 1 = 100\, que ilumina un ctodo plano perpendicular de zinc, auna distancia : = 1:. La energa luminosa que se trasmite al fotoctodo enla unidad de tiempo y de supercie ser:14::2(1.30)Conociendo el trabajo de extraccin ( 3. 74 c\ para el zinc), y con-1.2. EFECTO FOTOELCTRICO. 23siderando que la energa mxima que alcanzan los electrones en las oscila-ciones debe ser1noa =14::2ot (1.31)donde o representa la seccin ecaz para un tomo y t al tiempo de exposi-cin, podemos obtener una valoracin del tiempo que requiere la aparicindel fotoefecto:1noa =14::2ot = t 4::21o- 1. 2:cq (1.32)De acuerdo con la fsica clsica, el fotoefecto siempre debe ocurrir conretraso.El experimento muestra que el fotoefecto ocurre instantneamente con lailuminacin.1.2.3. Explicacin cuntica del fotoefecto. Frmula deEinstein.Veamos al fotoefecto desde el punto de vista corpuscular.Supongamos la luz est compuesta por partculas denominadas fotones,que poseen determinada energa e impulso y que viajan a la velocidad c.Segn la hiptesis de Einstein la energa de los fotones viene dada por lafrmula de Plank:1 = /i (1.33)Cul ser la cantidad de movimiento lineal de estas partculas?.De la teora relativista sabemos que se cumple la siguiente relacin entrela energa 1 y la cantidad de movimiento lineal j:_1c_2j2= (:0 c)2(1.34)Estamos considerando que durante el movimiento el estado interno de lapartcula, y por tanto su masa :0. no vara.Por otro lado, la energa de una partcula satisface la ecuacin relativista:1 =:0 c2_1 _c2(1.35)De acuerdo con la ecuacin anterior, si el fotn posee masa :0 ,= 0, suenerga se torna innita al viajar este con la velocidad de la luz c. La masa del24 CAPTULO 1. CUANTOS DE LUZ.fotn debe ser por lo tanto nula. De la ecuacin 1.34 obtenemos la siguienterelacin modular entre j y 1:1 = jc (1.36)Debemos observar que el signo negativo de la raz desaparece si se con-sidera que el vector j est dirigido en la direccin de propagacin de la luz,tomada como positiva.Introduzcamos el vector de ondas /, dirigido en la direccin de propa-gacin y de magnitud:[/[ = 2:`(1.37)Se cumple entonces/i = jc = j = /`. j = // (1.38)Retornemos al fotoefecto. El proceso de interaccin de la luz con el ctodose puede considerar ahora como choques entre partculas, es decir, el fotoefec-to surge en los choques inelsticos de los fotones con los electrones. En estoschoques, el fotn es absorbido y su energa se trasmite a los electrones. Deesta forma, los electrones adquirien la energa cintica de forma instantnea,y esta depende de la frecuencia de radiacin incidente.La energa del fotn incidente puede consumirse al liberar un electrnenlazado a un tomo. Adems, un electrn liberado puede interactuar conlos tomos dentro del metal, cediendo energa en forma de calor. La mxi-ma energa de los fotoelectrones se obtiene cuando el electrn es libre (noenlazado a un tomo en especco), y cuando no cede energa en forma decalor al salir del metal. En tal caso, se produce slo perdida de energa alvencer las fuerzas que lo mantienen en el metal y que actan en la supercie,energa conocida como trabajo de extraccin ().Supongamos se ha producido el choque del electrn con un solo fotn,entonces la energa cintica mxima se determina por la frmula de Ein-stein:1noa = 12:c2noa = /i (1.39)El trmino de electrn libre en el metal no es del todo correcto, puesel electrn se encuentra como en una caja dentro de la cual existe un campoque lo retiene. El fotn interactua con el electrn y con el metal como untodo. Por supuesto, como el ctodo tiene una masa que podemos considerarinnita, la energa del fotn es prcticamente absorbida por el electrn.Para un electrn realmente libre slo puede ocurrir la dispersin, y steno puede absorber o emitir un fotn. En efecto, tomemos un sistema de1.2. EFECTO FOTOELCTRICO. 25referencia donde el electrn se encuentra inicialmente en reposo. Supongamosque el electrn emite un fotn con las magnitudes j) y 1), y sus energa ycantidad de movimiento despus de la emisin son 1c y jc respectivamente.De las leyes de conservacin tenemos:jc j) = 0 . 1c 1) = :c c2(1.40)donde :c representa a la masa del electrn en reposo.Tomando en cuentala relacin 1.36 entre la energa y la cantidad de movimiento del fotn, laecuacin 1.34 para estas magnitudes en el caso del electrn, y combinandolas ecuaciones anteriores es fcil obtener la siguente relacin1):c c2= 0que posee como nica solucin 1) = 0. indicando la imposibilidad de laemisin de un fotn para un electrn totalmente libre. De forma similar sedemuestra la imposibilidad de la absorcin.De la frmula de Einstein 1.39 se desprenden 2 conclusiones importantes:1. La energa cintica mxima depende linealmente de la frecuencia yno depende de la intensidad de la luz. La intensidad slo inuye en lacantidad de electrones que se producen en el fotoefecto. Notemos que latangente del ngulo del grco: energa cintica vs frecuencia, coincidecon la constante de Plank /. y constituye su construccin un mtodopara determinar a /.2. Existe una frontera en las frecuencias bajas i0, denominada frecuenciade corte, por debajo de la cual no se observa el fotoefecto. Si tomamosel trabajo de extraccin = /i0, la frmula de Einstein 1.39 adoptala forma:1noa = /(i i0) (1.41)Slo ocurre el fotoefecto para ii0, de lo contrario el miembro derechode la ecuacin 1.41 se torna negativo, lo cual es imposible para la energacintica. La existencia de esta frontera es incomprensible desde el punto devista ondulatorio.Para comprobar experimentalmente la validez de la frmula de Einstein,es necesario determinar la energa cintica mxima de los electrones. Re-tornemos al grco 1.3, que nos da la caracterstica del fotoelemento. Comose puede apreciar, el estudio se realiza para tensiones negativas entre el cto-do y el nodo, potencial retardador, y para tensiones positivas, potencialacelera- dor. El hecho de que el campo elctrico acelera los electrones en el26 CAPTULO 1. CUANTOS DE LUZ.sentido del aumento de la tensin \ , conduce al aumento de la corriente 1.Para un potencial negativo \i, denominado potencial de interrupcin,la corriente desaparece. Cuando el voltmetro muestra tensiones ligeramentesuperiorers a \i. los electrones comienzan a llegar al nodo, fenmeno queslo pueden rea- lizar aquellos electrones que poseen la velocidad mxima.Por consiguiente, podemos escribir:1noa = c\i(1.42)donde c denota al valor modular de la carga del electrn.Las comprobaciones experimentales exactas del fotoefecto fueron efectua-das por primera vez por Richard y Compton en 1912, aun ms exactas fueronlas de Milliken en 1916.La posicin de \i vara segn el valor de la frecuencia i de la luz incidente,ya que 1noa depende de esta.La posicin de \c no depende de i. Para esta tensin incluso los electronescon velocidad cero llegan al nodo, es decir, \c depende slo de la estacinexperimental.1.2.4. Propiedades ondulatorias en el fotoefectoHasta ahora habamos acentuado las propiedades corpusculares de la luzen el fotoefecto, sin embargo, las propiedades ondulatorias tambin se man-iestan en este fenmeno. Estas ltimas propiedades se maniestan en elllamado fotoefecto selectivo.Representemos con ic a la corriente de saturacin que se alcanza porintervalo de longitud de onda `. Si el vector del campo elctrico 1 de laonda incidente no es perpendicular al plano de incidencia, en los metales,fundamentalmente en los alcalinos, se observa un mximo alrededor de los400 ::.Este fenmeno se puede explicar si consideramos que los electrones poseenfrecuencias propias de oscilacin, en la vecindad de las cuales se produce unaespecie de resonancia.Otra particularidad de este fenmeno radica en que la intensidad de lacorriente depende de la polarizacin y del ngulo de incidencia. La selectivi-dad del fotoefecto ocurre en mayor grado cuando la luz cae tangencialmentea la supercie y est polarizada, encontrndose 1 en el plano de incidencia.Todo indica que la introduccin de las propiedades corpusculares no estan simple como regresar a la mecnica Newtoniana. No se puede ver a losfotones como simples partculas que se mueven por determinadas trayectoriasen el espacio, como predice la fsica clsica. A los fotones le son inherentes1.2. EFECTO FOTOELCTRICO. 2700Inm700 400- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -Figura 1.4: Fotoefecto selectivo.propiedades ondulatorias como son la difraccin, la interferencia, la polari-zacin, etc.La manifestacin de propiedades corpusculares y de onda por los fotoneses conocida en la fsica como dualidad partcula-onda. No tiene sentidotratar de interpretar esta dualidad desde las representaciones de la fsicaclsica. El pensamiento humano no es capaz de crear un ente material quetenga a la vez propiedades de corpsculo y de onda, pero la naturaleza es msrica que nuestro pensamiento o imaginacin, como demuestra la prctica.ResumenEl efecto fotoelctrico consiste en la emisin de electrones por una sus-tancia al encontrarse expuesta a la luz. Ocurre normalmente bajo luzultravioleta y en supercies muy trabajadas se puede obtener fotoefectohasta con rayos infrarrojos.La energa cintica mxima que poseen los fotoelectrones no dependede la intensidad de la luz incidente, sino de su frecuencia. El fotoefectoocurre instantneamente con la iluminacin.28 CAPTULO 1. CUANTOS DE LUZ.La hiptesis de Einstein consisti en considerar a la luz compuesta porcorpsculos de masa nula denominados fotones. La energa y cantidadde movimiento de estas partculas viene dada por la frmulas: 1 = /iy j = //.El fotoefecto puede ser interpretado como el resultado de choques ine-lsticos entre los fotones y los electrones. La energa cintica mximade los electrones que se liberan se determina por la frmula de Einstein1noa = /i .La frontera i0 por debajo de la cual no se observa el fotoefecto sedenomina frecuencia de corte.Existe un potencial negativo \i de interrupcin para el cual la corrientedesaparece en el efecto fotoelctrico. Este depende de la energa cinticamxima de los electrones: 1noa = c\i.La selectividad por determinada longitud de onda, polarizacin y ngu-lo de incidencia en el fotoefecto reejan las caractersticas ondulatoriasde la luz.La luz presenta propiedades corpusculares y ondulatorias que se mani-estan en diferentes observaciones, incluso de un mismo fenmeno. Estapropiedad se conoce como dualidad partcula-onda.1.3. Efecto Compton.Corrimiento de Compton.Explicacin de Compton y Debay.Cuantos de luz y el fenmeno de la interferencia.En 1922, Arthur Compton descubri otro fenmeno que tambin habla afavor de la hiptesis de los fotones. Este cientco se encontraba estudiandola radiacin Rentgen en cuerpos compuestos por tomos ligeros: grato,parana, etc. Un esquema de su instalacin aparece en la gura 1.5, dondeC es el cuerpo que dispersa el haz de luz incidente, K es un espectrgrafo, yP constituye una fotocelda o cmara de ionizacin.En el experimento, l observ que en la luz dispersada, adems de encon-trarse la longitud de onda original, apareca un corrimiento en una longitudde onda `0`. Este fenmeno se denomino efecto Compton y a la diferen-cia ^` = `0` se le llam corrimiento de Compton.1.3. EFECTO COMPTON. 29Figura 1.5: Esquema de una instalacin donde se observa el efecto Compton.En la gura 1.6 aparecen representados los resultados de un experimentoen el grato utilizando la lnea K del Moligdeno (` = 0.07::), para distintosngulos de dispersin o.Aqu podemos apreciar la lnea original de la radiacin, es decir, la dis-tribucin angular de la intensidad de la lnea. Ms abajo, se observa que lalnea original nica se divide en dos lneas como resultado de la dispersin.El ensanchamiento de ambas componentes se debe a los movimientos de loselectrones y los tomos, en los cuales se produce la dispersin como se verms adelante.El experimento demuestra que el corrimiento ^` no depende de la com-posicin del cuerpo que dispersa la luz, ni de la longitud de onda ` incidente.Este depende en forma proporcional del :c:2o,2.El corrimiento descubierto por Compton resulta imposible de explicardesde posiciones clsicas, si suponemos que el cambio en la longitud de ondaes el resultado de la interaccin de una onda electromagntica con un elec-trn. En los tomos ligeros, la energa de enlace del electrn con el tomo sepuede considerar pequea respecto a la energa de interaccin con la onda.Podemos entonces tomar a los electrones como libres. De acuerdo con la teoraclsica, si un electrn est libre, este no posee ninguna frecuencia propia deoscilacin, y por lo tanto se pondra a oscilar con la misma frecuencia de laonda electromagntica incidente. En consecuencia, la onda dispersada ten-dra la misma frecuencia que la onda incidente y no se observara ningncorrimiento.30 CAPTULO 1. CUANTOS DE LUZ.Figura 1.6: Efecto Compton1.3.1. Teora de Compton y Debay.El comportamiento experimental fue entendido slo despus de la teoracuntica propuesta independientemente por Compton y Debay.En la nueva teora la dispersin del cuanto de rayos X, con el correspon-diente cambio en la longitud de onda, es resultado del choque nico de unfotn con un electrn.La energa de enlace del electrn con el tomo se puede considerar pe-quea nuevamente respecto a la energa que le cede el cuanto en el choque,siendo esta energa mayor cuando mayor es el ngulo de dispersin. Podemosconsiderar a los electrones como libres, lo cual explica tambin porque ^` esel mismo para las sustancias con que se experimentaba. Para los electronesinternos de tomos pesados esta consideracin ya no es vlida, y si aparecedependencia del material como lo demuestra el experimento.Consideremos ahora el choque de un fotn con un electrn libre. Puedensurgir altas velocidades, por lo tanto debemos considerar las ecuaciones rela-tivistas.Tomemos un sistema de referencia donde el electrn se encuentra inicial-mente en reposo.Introduzcamos las siguientes notaciones,j) , 1): Momentum y energa del fotn antes de la dispersinj0) , 10): Momentum y energa del fotn despus de la dispersin0 , 1c = :cc2: Momentum y energa del electrn antes de la dispersinj0c , 10c: Momentum y energa del electrn despus de la dispersin1.3. EFECTO COMPTON. 31De acuerdo con las leyes de conservacin de la energa y la cantidad demovimiento tenemos:1c 1) = 10c 10). j) = j0) j0c(1.43)Despejando de las ecuaciones anteriores las energa y momentum nalesdel electrn, elevando al cuadrado, dividiendo la primera de las ecuacionesobtenidas por c2. y restando ambas expresiones, se llega a la siguiente ecuacin:_10cc_2j02c =_1c 1) 10)_2c2_j) j0)_2(1.44)Tomemos en cuenta ahora las relaciones relativistas 1.34 y 1.36 entre 1y j para el electrn y el fotn, entonces:_10cc_2j02c = (:cc2)2c2= _1cc_2_1)c_2= j2). _10)c_2= j02)(1.45)Desarrollando los parntesis de la ecuacion 1.44, sustituyendo los resul-tados de 1.45, y despus de algunas operaciones algebraicas sencillas es fcilllegar al siguiente resultado:^` = `0` =/:cc (1 co: o) =2/:cc:c:2o (1.46)donde se tuvo en cuenta la ecuacin 1.38 y la denicin del productoescalar de los vectores j) y j0) :j)j0) = j)j0)co: o (1.47)La magnitudIncc = `C = 2. 42030901010c: recibe el nombre de lon-gitud de Compton para el electrn.Como se observa de la frmula 1.46, el corrimiento ^` no depende dela longitud de onda ` de incidencia. Esta ecuacin demuestra que la disper-sin de los fotones en los electrones libres inmviles siempre trae consigo unaumento de la longitud de onda.Cul es la causa del surgimiento de la lnea sin corrimiento?.La lnea sin corrimiento aparece debido a los choques con los electronesenlazados, es decir, la dispersin ocurre realmente con los tomos. La masa deestos ltimos se puede considerar innitamente grande en comparacin con32 CAPTULO 1. CUANTOS DE LUZ.la del fotn, por ende su longitud de Compton `C v 1,: es muy pequea,y tambin entonces el corrimiento que estos choques producen. El tomoadquiere momentum, pero su energa se puede despreciar.Con el aumento del nmero atmico, aumentan tambin el nmero deelectrones enlazados, ocurre as un aumento de la intensidad de la lnea nodesplazada con relacin a la que si tiene corrimiento.Un dato interesante lo constituye que la dispersin en los electrones libreses no coherente. Los electrones libres efectan sus movimientos independien-tes y por tanto sern independientes las dispersiones en los mismos. En elcaso de los electrones enlazados la dispersin si resulta coherente. Las os-cilaciones que efectan los electrones enlazados producto de la onda que caeestn en concordancia con esta. Por tal razn las ondas dispersadas en loselectrones enlazados pueden tener interferencia con las ondas que llegan. Estainterferencia fue observada por Laue y Bulf-Breg al lanzar rayos X a cristales.Notemos que estas son caractersticas ondulatorias del fenmeno.En nuestra deduccin se tomo al electrn inicialmente en reposo. Si elelectrn se mueve, este puede en el choque ceder su energa cintica al fotny despus detenerse. Este proceso se denomina efecto Compton inverso ytrae consigo una disminucin de la longitud de onda del fotn dispersado.El efecto Compton puede ser observado en otras partculas como neu-trones, protones, etc. La frmula 1.46 continua siendo vlida con la sustitu-cin de :c por las masas respectivas de estas partculas.Es importante sealar adems, que para considerar al electrn libre esnecesario experimentar con rayos X de altas energas. De hecho, en la reginvisible del espectro luminoso, la energa de enlace de los electrones es mayorque la del cuanto, y el efecto Compton no se observa.Para energas muy altas, mayores que 2:cc2. el efecto tambin deja deaparecer. En tales circunstancias predomina la formacin de pares de elec-trones y positrones.El ngulo de salida , del electrn despus del choque viene dado por laecuacintc: , =:c: oA0A co: o(1.48)Esta relacin proponemos la obtenga el lector a partir del paralelogramoque forman los vectores j0c y j0), cuya diagonal es el vector j). Este paralelo-gramo puede ser observado en una cmara de Wilson. Por supuesto, se ve latraza del electrn por ser una partcula cargada, mientras que la traza delfotn dispersado se conoce cuando este se dispersa nuevamente en un nuevoelectrn.1.3. EFECTO COMPTON. 331.3.2. Cuantos de luz y el fenmeno de la interferenciaComo se ha visto hasta aqu, los fenmenos de absorcin (fotoefecto) yde dispersin de la luz (efecto Compton) a nivel microscpico slo puedenser explicados en la teora corpuscular. No obstante, incluso en estos mis-mos fenmenos, aparecen manifestaciones macroscpicas, como por ejemplola interferencia, que slo pueden ser explicadas desde un punto de vista on-dulatorio.Existir alguna forma de explicar la existencia de los fotones en losfenmenos ondulatorios de interferencia y difraccin de la luz?Lo primero que debemos destacar es que los fotones se mueven en elespacio independientes uno del otro y sus interacciones se pueden despreciar.Esto permite explicar que un cuadro de interferencia obtenido con luz dedeterminada intensidad, puede ser obtenido al disminuir la intensidad delhaz pero irradiando durante un tiempo mayor, de forma tal que sea igual elnmero de fotones.Sin embargo, es bien conocido que el poder de una red de difraccindepende del nmero de lneas de la misma. Si se elimina la mitad de lared, el cuadro de la difraccin cambia radicalmente. En este punto, la teoracorpuscular se encuentra en contradiccin con el experimento, ya que inde-pendientemente de la ecuacin que describe la interaccin entre un fotn ylas partculas que componen la red, la distribucin de las trayectorias delos fotones que se dispersan en la mitad izquierda no puede depender de laexistencia de la otra mitad de la red, a no ser que se le atribuyan al fotn di-mensiones del orden de la red. De esta forma, nos vemos obligados a admitirque en la difraccin de la luz toma parte toda la red como un todo.As tenemos que con ayuda de un detector siempre se puede conocer deforma efectiva la aparicin de un fotn tras otro, pero nunca se puede, sinentrar en contradicciones, explicar los fenmenos de interferencia o difraccinde la luz asociando a cada fotn determinada trayectoria. De esta forma,la clsica doctrina de que cada corpsculo se mueve en el espacio con eltranscurso del tiempo en forma continua es insostenible. Hacia el instrumentodetector siempre se propaga una onda, el aspecto corpuscular del fotn soloaparece en el momento de la deteccin.ResumenEl efecto Compton consiste en la observacin de luz dispersada conlongitud de onda `0 mayor que la longitud de onda incidente `. Ladiferencia ^` = `0` se denomina corrimiento de Compton.La teora de Compton y Debay explica el cambio en la longitud de ondacomo resultado del choque nico de un fotn con un electrn libre. Las34 CAPTULO 1. CUANTOS DE LUZ.leyes de conservacin relativistas de la energa y el momentumconducena que la magnitud del corrimiento es ^` =Incc (1 co: o) .Los efectos fotoelctrico y Compton constituyen dos fenmenos que slopueden ser explicados desde un punto de vista cuntico. Los mismoscorroboran la teora corpuscular de la luz no slo en la emisin y laabsorcin, sino tambin en su propagacin.la nueva teora no constituye un simple regreso a la mecnica Newto-niana, sino que reeja el carcter dual de la luz. Propiedad que com-probaremos ms adelante es inherente a toda la materia, no solo a losfotones, sino tambin a electrones, protones, neutrones, etc.Captulo 2La estructura del tomo2.1. Modelo nuclear del tomoModelo atmico de Thomson.Experimentos de Geiger y Marsden.Modelo planetario de Rutherford.Frmula de la dispersin de Rutherford (relacin entre el parmetro deimpacto y el ngulo de dispersin).Frmula de Rutherford para la seccin ecaz diferencial de dispersin.Comprobacin experimental de la frmula de Rutherford.Dicultades del modelo planetario.En el primer captulo, se evidenci la necesidad de cuantizar los procesosde emisin y absorcin de la luz en el estudio de la radiacin trmica delcuerpo negro. Los efectos fotoelctrico y de Compton apuntaron hacia laexistencia de los cuantos de luz o fotones en la propagacin de la luz.El estudio de la estructura atmica tambin conrma la imposibilidadde describir el micromundo en los marcos de la fsica clsica (mecnica yelectrodinmica clsicas). Solamente desde postulados mecnico-cunticos esposible una correcta descripcin del mismo.2.1.1. Modelo atmico de ThomsonEn 1897 Sir J. J. Thomson descubri el electrn, partcula subatmica queposee carga negativa c. Es bien conocido que las sustancias son neutras y3536 CAPTULO 2. LA ESTRUCTURA DEL TOMOFigura 2.1: Esquema de la instalacin en el experimento de Geiger y Marsdenpor tanto sus constituyentes, los tomos, tambin lo son. A partir de estehecho, en 1898 el propio Thomson lanz el primer modelo sobre el tomo,conocido como el pudn de pasas. Su modelo supona:1. Los constituyentes positivos del tomo son los portadores de casi todala masa del mismo (Thomson tena un estimado aceptable de la masadel electrn).2. La carga positiva se distribuye uniformemente en el espacio en formade una esfera, cuyo radio es del orden del radio atmico (10Sc:).3. Los electrones se insertan dentro de la distribucin espacial de cargapositiva (como las pasas en un pudn) en la cantidad necesaria paragarantizar la neutralidad elctrica del tomo.2.1.2. Experimento de Geiger y MarsdenSiguiendo las sugerencias de Rutherford, en 1911, Geiger y Marsden in-vestigaron la dispersin de las partculas alfa, emitidas por sustancias ra-dioactivas.En sus experimentos, un haz de partculas alfa se lanzaba contra una nalmina de oro que dispersaba el haz. Se utilizaba despus un mtodo visual,con la ayuda de un microscopio o lupa, para registrar las partculas en unapantalla uorescente de 2:o en la oscuridad . Los experimentadores conta-ban los destellos de las partculas en la pantalla. La instalacin se situaba alvaco, ya que las partculas alfa penetran en el aire, a presin normal, slounos 2 centmetros.Result que la mayora las partculas se dispersaban para ngulos muypequeos entre 1-3 grados, siendo estas bien descritas por una distribucin2.1. MODELO NUCLEAR DEL TOMO 37de Gauss. Sin embargo, se vieron casos de partculas alfa que se desviaban engrandes ngulos de hasta 10

. El nmero de estas ltimas era muy bajo, de8000 partculas como promedio slo 1 se desviaba un ngulo mayor de 90

.2.1.3. Modelo planetario de RutherfordLa partcula alfa puede ser obtenida como resultado de una doble ion-izacin del tomo de helio, como ya haba sido establecido por el propioRutherford utilizando la cmara de Wilson y otros medios. Esto y los resul-tados de los experimentos lo llev a la siguiente conclusin: cada dispersinde grandes ngulos ocurre como resultado de una nica interaccin con uncentro de fuerzas cercano a la partcula alfa que se dispersa. Este centro defuerzas constituye el ncleo del tomo cargado.La partcula alfa en si misma es tambin un ncleo, el del tomo de helio.Una carga distribuida uniformemente es incapaz de suministrar la energapotencial electrosttica para desviar e incluso detener a las partculas alfa,lo cual contradice al modelo de Thomson. Adems, el modelo del pudnde pasas es incapaz de describir los espectros atmicos, que veremos msadelante.Rutherford propuso entonces una teora cuantitativa para la dispersin delas partculas alfa. Analicemos primeramente la velocidad de las partculasalfa, y demostremos que es posible una descripcin clsica no relativista. Enefecto, los ncleos radiactivos naturales (2 _ 84) emiten partculas alfa conenergas entre 0 y 9 `c\ .1c\ = 1. 01019C1\ = 1. 01019J == 9`c\ = 1. 441012JTomando en cuenta que la masa de la partcula alpha es :c = 0. 03932 1027/q. y suponiendo que esta posee la energa cintica mxima posibleobtenemos:1noa = :cc2__1_1 _c_2 1__== v = 2. 07898107::(2.1)Por otra parte, la velocidad clsica no relativista es:c =_21noa:c= 2. 08274107::(2.2)La velocidad relativista se diferencia (crc100 /) tan slo un 0. 18 / dela velocidad clsica .38 CAPTULO 2. LA ESTRUCTURA DEL TOMOSe puede usar una descripcin no relativista del fenmeno.La carga positiva del tomo, como su masa, deben estar bien concentradasen una pequea regin del espacio para poder explicar que una partcula conuna velocidad de v 107:,: pueda ser desviada incluso en direccin contraria.Rutherford tom como interaccin entre la partcula alfa y el ncleo a larepulsin coulombiana. Esto por supuesto constituy una hiptesis, pues laspartculas pueden acercarse al ncleo a una distancia de 1011:, distancia ala cual la ley de Coulomb no estaba comprobada.Supongamos que la partcula c es dispersada 180

, es decir, regresa ensentido contrario al de su aproximacin. En su punto ms cercano al ncleo,esta es totalmente frenada y su energa cintica 1 se transforma completa-mente en energa potencial coulombiana:1 = 12:c2= 22c2:0== :0 = 22c21(2.3)Para los valores de energa cintica media v 7. `c\ , en el caso del oro(2 = 79), el valor de :0 = 3. 031011:. Este valor constituye adems unestimado del radio del ncleo, el mismo resulta 4 rdenes menor que el radiodel tomo ( v 1010:).Rutherford supuso que la masa del ncleo era muy grande respecto a lade la partcula alfa, por lo cual el primero puede considerarse inmvil.Las lminas de metal utilizadas eran de un grosor del orden v 107106:. En tal caso, las dispersiones en grandes ngulos pueden considerarsecomo actos nicos, y no de varias dispersiones.La probabilidad de dispersin de la partcula alfa por los electrones estambin muy baja para grandes ngulos, debido a su poca masa. La disper-sin en los electrones es importante para pequeos ngulos, al igual que lasdispersiones mltiples en los ncleos. La teora de Rutherford es slo vlidapara grandes desviaciones, donde se toma en cuenta el campo elctrico de unsolo ncleo.Rutherford consider a las partculas cargadas como puntuales. El teore-ma de Irnchou (consecuencia del teorema de Gauss) plantea que un sistema enequilibrio electrosttico formado por cargas puntuales, es siempre inestable.De aqu se deduce que las partculas deben necesariamente encontrarse enmovimiento.2.1.4. Frmula de la dispersin de RutherfordEl problema a resolver es similar al problema de Kepler sobre el movimien-to de los planetas. Ambas fuerzas de interaccin son inversamente propor-cional al cuadrado de la distancia y son fuerzas centrales. La diferencia prin-2.1. MODELO NUCLEAR DEL TOMO 39Figura 2.2: Trayectoria de la partcula c.cipal radica en que para los planetas, las fuerzas son de atraccin y portanto las trayectorias pueden ser elpticas o hiperblicas. En nuestro caso,las fuerzas son repulsivas y slo son posibles trayectorias hiprbolicas.En la gura 2.2, / representa al parmetro de impacto, que se denecomo la distancia mnima a la se aproximara la partcula c sino existiera elcampo de fuerzas del ncleo.o corresponde al ngulo de dispersin, es decir, el ngulo entre las direc-ciones asintticas de la partcula antes y despus de la dispersin.De la mecnica clsica conocemos que la variacin de la cantidad demovimiento de la partcula c debe ser igual al impulso de la fuerza:^j = j) ji = _ 101dt (2.4)dondeji: Momentum inicial de la partcula cj): Momentum nal de la partcula cNo vamos a considerar prdidas en la excitacin de los tomos y menosan de los ncleos. La dispersin es por tanto elstica, es decir, la partculaalfa no cambia su energa cintica. Tenemos::c2i2= :c2)2== i = ) = == ji = j) = j (2.5)Esta condicin implica que se forme un tringulo issceles entre los vec-tores j). ji y ^j. con ngulos en la base iguales a12(: o).Se cumplen entonces las siguientes igualdades:^j:c: o =j:c:12(: o) =:co:02== ^j = 2::c: o2(2.6)Si proyectamos a 1 en cada instante de tiempo sobre la direccin de ^j,y tomamos en cuenta que slo esta componente determina la variacin de40 CAPTULO 2. LA ESTRUCTURA DEL TOMOFigura 2.3: Tringulo issceles entre los vectores j). ji y ^j. 1 en los ins-tantes inicial y nal de la trayectoria.^j, ya que la componente perpendicular (1:c: ,) se compensa al sumarpor toda la trayectoria, obtenemos:^j = _ 101(t)co: ,(t)dt (2.7)donde ,(t) corresponde al ngulo entre los vectores 1 y ^j.Pasemos de la variable temporal a la variable angular ,:t = 0 == , = 12(: o) . t = == , = 12(: o)d, = d,dt dt = .dt (2.8)donde . representa a la velocidad angular de la partcula alpha respectoal ncleo atmico.La fuerza de Coulomb constituye una fuerza central, por ende la cantidadde movimiento angular se conserva:1 = [j :[ = ::2 . = co::tc:tc (2.9)Para t = 0 conocemos el valor de esta constante,1 = :/ = :.:2== . = /:2== d, = /:2dt (2.10)Sustituyendo el resultado 2.10 en la ecuacin 2.7 y recordando que lafuerza de Coulomb es 1 = 2Zc2v2 , se obtiene:^j = 22c2/_ 12(0)

12(0)co: ,d, = 42c2/co: o2(2.11)2.1. MODELO NUCLEAR DEL TOMO 41Figura 2.4: cot (o,2) vs oIgualando las relaciones 2.6 y 2.11 obtenemos nalmente:cot o2 = :2/22c2 = 21l(2.12)donde 1 = n22y l = 2Zc2b.De la gura 2.4 podemos apreciar que para ngulos o pequeos, la cot02crece hacia el , mientras que se torna cero en :. Por consiguiente, deacuerdo con la ecuacin 2.12, aumentos del parmetro de impacto / implicandisminuciones del ngulo de dispersin o, y slo para parmetros de impactomuy pequeos se logran valores de o apreciables (dispersiones hacia atrs).Si en lugar de una partcula alpha, se utiliza otro ncleo de carga 2a, lafrmula 2.12 adopta la forma:cot o2 = 21l. l = 2a2c2/(2.13)2.1.5. Frmula de Rutherford para la seccin diferen-cial ecazEl rea efectiva de interaccin o, asociada a un ncleo en el fenmenode la dispersin, es evidentemente :/2, que vamos a denir como la seccinecaz de dispersin. Toda partcula con parmetro de choque entre 0 y /ser dispersada con un ngulo igual o mayor que o.42 CAPTULO 2. LA ESTRUCTURA DEL TOMOFigura 2.5: Diferencial de ngulo slidoDespejando el parmetro de impacto / de la ecuacin 2.12 se tiene:o(o) = :/2= 4: _ 2:c_2

_c_1cot2o2(2.14)o en el caso general de una partcula con carga 2a:o(o) = _2a2c221_2:cot2o2(2.15)Vamos a interesarnos ahora no por la seccin ecaz sino por la seccinelemental, es decir, por el diferencial de la seccin ecaz. Diferenciando 2.15tenemos:do = _2a2c221_2: cot02:c:202do = _2a2c221_2: :c: o2:c:102do (2.16)Notemos que en la relacin anterior es slo importante su valor modular.A travs de cada seccin diferencial do se dispersan las partculas por eldiferencial de ngulo do, con el cual est asociado el diferencial de nguloslido d!, como muestra la gura 2.5:d! = do:2 = 2:::c: o:do:2= 2::c:odo (2.17)Sustituyendo 2.17 en la ecuacin 2.16 podemos obtener la relacin entrela seccin diferencial ecaz do y el diferencial de ngulo slido d!:do = _2a2c241_2d!:c:102(2.18)2.1. MODELO NUCLEAR DEL TOMO 43En el caso de las partculas alpha:do = _2c221_2d!:c:102(2.19)La ecuacin 2.19 es la conocida frmula de Rutheford para la seccindiferencial ecaz de dispersin.2.1.6. Comprobacin experimentalde la frmula deRu- therfordLa comprobacin experimental de las ecuaciones 2.12 o 2.19 en los fen-menos atmicos resulta imposible directamente, slo se pueden comprobarconsecuencias estadsticas de las mismas.Supongamos que el haz de partculas se lanza sobre una lmina de espesor| y rea , que contiene : tomos por unidad de volumen. El nmero totalde tomos que existe en la lmina ser ` = :|. La probabilidad de que unapartcula sea dispersada con un ngulo mayor que o viene dada por:, = c:cc c,cctic c:cc totc|= `o(o)= :|o(o) (2.20)Evidentemente, la probabilidad de dispersin , debe ser tambin iguala la relacin entre el nmero `(o) de partculas dispersadas con ngulo mayorque o y el nmero total de partculas incidentes `0:, = `(o)`0== `(o) = ,`0 = :|o(o)`0(2.21)El diferencial de partculas dispersadas en un ngulo slido d! es entonces:d` = :|`0 do = :|`0

_2a2c241_2d!:c:102(2.22)La ecuacin 2.22 fue comprobada experimentalmente. Se observ que parauna seccin elemental d!, la magnitud d`:c:1 02 se mantena constante, sinaparecer dependencia del ngulo de dispersin o.La demostracin experimental de la ecuacin 2.22 constituye una demostracinindirecta de la validez de la ley de Coulomb a cortas distancias. Experimentosde dispersin elstica, con ncleos ligeros acelerados, demuestran que exis-ten variaciones de la ley de Coulomb para distancias menores que 1011:.A estas distancias deben ser consideradas las interacciones fuertes entre losnucleones.44 CAPTULO 2. LA ESTRUCTURA DEL TOMO2.1.7. Dicultades del modelo planetarioLas frmulas obtenidas han sido el resultado de la aplicacin de la mecni-ca newtoniana y la repulsin de Coulomb, pilares de la fsica clsica.Sin embargo, de acuerdo con la electrodinmica clsica, toda carga enmovimiento no uniforme genera un campo electromagntico variable, el cual asu vez comienza a emitir ondas electromagnticas descritas por las ecuacionesde Maxwell. Nos referimos por supuesto a un movimiento acelerado, comoes el caso de un electrn que gira alrededor del ncleo. Por ende, el electrnen el modelo planetario debe emitir continuamente ondas electromagnticashasta perder toda su energia y caer inevitablemente en el ncleo. Es decir, elmodelo planetario resulta inestable.Como sabemos en la naturaleza existen los tomos de forma estable y portanto algo falla en el modelo de Rutherford.Podra suponerse que la ley de Coulomb y otras leyes que denen alcampo electromagntico no se cumplen para las partculas elementales a pe-queas distancias, es decir, en el micromundo. Podemos incluso considerar alas fuerzas nucleares y comenzar a introducir otras fuerzas hipotticas. Sinembargo, cualesquiera que sean las fuerzas, de acuerdo a los principios gen-erales de la mecnica clsica, el espectro de emisin del tomo debe estarformado por determinadas frecuencias fundamentales y sus correspondientesarmnicos. El experimento demuestra que nada de esto sucede, por el con-trario, aparecen nuevas reglas expresadas en el principio combinatorio deRitz.De esto se deduce que la mecnica y la electrodinmica clsicas no puedenexplicar la existencia de los tomos como sistemas estables de ncleos yelectrones, ni tampoco sus espectros de emisin. Esto slo puede ser resueltoen los marcos de una nueva mecnica cuntica.ResumenLa dispersin de las partculas alfa en grandes ngulos ocurre comoresultado de una nica interaccin con un centro de fuerzas: el ncleoatmico.La teora de Rutheford verica la validez de la interaccin Coulombianahasta distancias de v 1011:, valor estimado del radio nuclear.El modelo propuesto por Rutherford es completamente anlogo al quedescribe las rbitas de los planetas alrededor del Sol, de ah que recibael nombre de modelo planetario. Las trayectorias de las partculas alphason siempre hiperblicas.2.2. TEORA DE BOHR 45Los grandes ngulos de dispersin satisfacen la relacin cot02 =n2b2Zc2.conocida como la frmula de la dispersin de Rutherford (relacin entreel parmetro de impacto y el ngulo de dispersin).Relacin entre la seccin diferencial ecaz y el diferencial de nguloslido: do = _Zc22T_2oUcca4 02En el experimento se comprueba que para una seccin elemental diferen-cial d! la magnitud d`:c:1 02 se mantiene constante.De acuerdo con la mecnica clsica el modelo planetario es inestable.El electrn en su movimiento acelerado debe emitir ondas electromag-nticas que lo haran caer inevitablemente en el ncleo. La mecnicay la electrodinmica clsicas no pueden explicar la existencia de lostomos como sistemas estables de ncleos y electrones, ni tampoco susespectros de emisin.2.2. Teora de BohrEspectro del tomo de Hidrgeno. Principio de combinacin de Ritz.Trmino espectral. Serie espectral. Reglas de seleccin. Series espec-trales del tomo de Hidrgeno.Postulados de Bohr.Teora de Bohr para el tomo de un electrn. Principio de correspon-dencia. Radio de Bohr.Experimento de Franck y Hertz.Condiciones de cuantizacin de Wilson y Sommerfeld.Deciencias de la Teora de Bohr.El estudio de la estructura de los tomos condujo a Rutherford a proponersu modelo planetario e introducir el concepto del ncleo atmico. Rutherforddesarroll una teora cuantitativa que lograba explicar la dispersin de laspartculas alfa, encontrando la relacin entre el ngulo de dispersin y elparmetro de impacto; as como la frmula que relaciona la seccin ecazdiferencial do con el ngulo de dispersin, relaciones que fueron comprobadasindirectamente en la prctica.46 CAPTULO 2. LA ESTRUCTURA DEL TOMOFigura 2.6: Serie de Balmer en el espectro visible del hidrgeno.Sin embargo, el modelo planetario entra en contradiccin con la electrodi-nmica clsica que predice una cada inevitable del electrn en el ncleo,producto de la emisin de ondas electromagnticas.En los marcos de la fsica clsica tampoco se logra la descripcin de losespectros atmicos. Analicemos a continuacin las lneas espectrales emitidaspor los tomos, centrando nuestra atencin en el caso del tomo de hidrgeno.2.2.1. Espectros atmicosCuando se calienta un slido, este comienza a emitir en un espectro con-tinuo. Sin embargo, en el caso de los gases, adems de aparecer un espectrocontinuo, se observan espectros formados por lneas y bandas.Los espectros de lneas se encuentran formados por lneas ms o menosnas, que siempre se distribuyen siguiendo alguna ley. En el caso de lasbandas, cuando se utilizan instrumentos de alta precisin, se descubre queestn formados por lneas muy cercanas unas de otras.A principios del siglo XX, se determin que los espectros formados porlneas son emitidos por los tomos o iones que conforman un gas, de ah quereciban el nombre de espectros atmicos. En el caso de las bandas, estas sonemitidas por molculas y por esto se denominan espectros moleculares.El hidrgeno por constituir el sistema atmico ms simple ha sido elms estudiado desde los inicios. Su espectro se puede observar al pasar unadescarga elctrica en un tubo al vaco, en el cual las molculas de hidrgeno(H2) estn disociadas en sus tomos.La posicin de las lneas espectrales se caracteriza por la longitud de onda` o por su frecuencia i = c,`. La frecuencia i es lo ms conveniente paraexpresar las leyes espectrales, pero para esto es necesario conocer con granexactitud la velocidad de la luz c. A inicios de siglo, c no se conoca con granexactitud, y no es hasta 1983 que se determina la velocidad c, incluso conms exactitud que la propia i, gracias al desarrollo de la ptica no lineal . Por2.2. TEORA DE BOHR 47esta razn, los espectroscopistas (Rydberg 1890) introdujeron el concepto denmero de ondas i = 1,` . En espectroscopa incluso se denota al nmerode ondas con la misma letra griega i.La principal ley de la espectroscopia fue establecida de forma empricaen 1908 por Ritz y se denomina principio de combinacin de Ritz. Esteprincipio establece que el conjunto de lneas espectrales de un tomo, puedeser obtenido por medio de combinaciones de un nmero menor de magnitudes,denominadas trminos espectrales. Se cumple:i = 1a11a2(2.23)Los trminos son magnitudes positivas y se numeran de forma tal que,con el aumento de : la magnitud 1a disminuye. Si se ja el valor de :1, losvalores de :2 comienzan a partir de :1 1. Se obtiene as, un conjunto delneas denominado serie espectral. El conjunto de todas las series conformael espectro de un tomo.Supongamos se tienen dos nmeros de onda i12 y i1S (i12 i1S) pertenecientesa una misma serie espectral:i12 = 1a11a2.i1S = 1a11a3(2.24)De acuerdo con el principio de combinacin de Ritz, si combinamos las dosecuaciones anteriores podemos obtener el nmero de onda iS2 = i12i1S =1a31a2 perteneciente a otra serie espectral del mismo tomo.Sin embargo, la nueva lnea correspondiente a iS2 puede no aparecer en elespectro. Existen por lo tanto determinadas limitaciones en la combinacin delos trminos espectrales que constituyen las llamadas reglas de seleccin.Uno de los principales objetivos de la espectroscopia es establecer lasexpresiones analticas para los trminos espectrales. Para la mayora de loselementos estas son desconocidas. No obstante, para el hidrgeno y los meta-les alcalinos estas frmulas fueron bien establecidas.En 1885, Balmer formul la siguiente expresin analtica para los trminosdel hidrgeno:1a = 1:2. : = 1. 2. 3. ... (2.25)donde 1 = 109 077. 70 c:1es la constante de Rydberg. La expresin2.25 es vlida para todos los istopos del hidrgeno y para todos los ionesmonoelectrnicos, por supuesto, con otro valor de la constante 1.Utilizando el principio combinatorio 2.23 se obtienen las siguientes seriesque llevan el nombre de los cientcos que las descubrieron:48 CAPTULO 2. LA ESTRUCTURA DEL TOMOSerie Nmero de onda Espectro aoLyman i = 1_1 1a2_ : = 2. ... ultravioleta 1910Balmer i = 1_ 122 1a2_ : = 3. ...visible yultravioleta cercano188Paschen i = 1_ 1S2 1a2_ : = 4. ... infrarrojo 1908Brackett i = 1_ 112 1a2_ : = . ... infrarrojo 1922Pfund i = 1_ 12 1a2_ : = 0. ... infrarrojo 1924Es interesante sealar que la serie de Paschen fue predicha por Ritz unosmeses antes de ser descubierta en el mismo 1908. Las ltimas series se puedenobtener combinando las primeras, por ejemplo, la serie de Bracketl se puedeobtener combinando los nmeros de onda de la serie de Paschen.La longitud de onda mxima de la serie de Lyman corresponde a : = 2.y es igual a ` = 1S11= 121. 084 ::. Se denomina lnea de resonanciadel hidrgeno.Las fronteras de cada serie se obtienen para : = . El nmero de ondalmite para la serie de Balmer es por ejemplo i = 1,4 = 27 419. 394 c:1. Aeste le corresponde la longitud de onda `1 = 304. 7030 ::. En este lmitelas lneas se pegan, y la separacin como la intensidad tienden a cero.2.2.2. Postulados de BohrLas leyes de la mecnica clsica en general describen los procesos con-tinuos. Como acabamos de observar, a los espectros atmicos les es propiala discontinuidad, que debe estar reejada por las leyes fsicas que los de-scriban.La discontinuidad de los espectros tomicos fue esclarecida por Niels Bohren 1913, quien introdujo la discretizacin en el tomo, similar a como Plancky Einstein la propusieron en los fenmenos luminosos.El formul los dos postulados siguientes:I) El tomo, u otro sistema atmico, puede encontrarse no en todos los es-tados que admite la mecnica clsica, sino solamente en aquellos carac-terizados por determinados valores de energa 1. 2. S. .... En estosestados cunticos o discretos, a pesar de la electrodinmica clsica, eltomo no irradia energa, es decir, constituyen estados estacionarios.Este postulado se conoce como el postulado de los estados esta-cionarios con valores discretos de energa.Bohr asumi el modelo planetario propuesto por Rutherford a partir dela mecnica clsica, pero restringi los valores posibles de energa. El no2.2. TEORA DE BOHR 49niega la existencia de niveles de energa continuos, slo que en tal caso, loselectrones y el ncleo no forman un estado enlazado; y los electrones puedentener movimientos innitos. En el caso de tomos o molculas, que tienen suspartculas enlazadas y por tanto con movimiento nito, el postulado 1 exigela discretizacin o cuantizacin de la energa.Bohr consideraba el movimiento de los electrones con las mismas carac-tersticas de la mecnica clsica: trayectorias con determinadas coordenadasy cantidades de movimiento para cada instante t, cuestin que l mismonegara despus en la mecnica cuntica.II) En el trnsito de un estado estacionario de mayor energa a2 a uno demenor energa a1, la energa del tomo vara en la magnitud a2a1.Si este cambio corresponde a la emisin de un fotn su energa vienedada por la expresin /i = a2 a1. Esta ltima relacin se conocecomo regla de frecuencias de Bohr.Esta relacin es tambin vlida para la absorcin, por supuesto el tomopasara del estado con menor energa a1 a otro de mayor energa a2.De acuerdo con el segundo postulado, el sistema atmico pasa de unestado estacionario a otro por medio de saltos o cuantos. Qu ocurre enel tiempo del salto? A esta pregunta la teora de Bohr no responde, lo quehabla de sus insuciencias, de ser una teora incompleta.Pueden ocurrir procesos sin la emisin de cuantos de luz, es decir, elsistema puede pasar de un estado a otro producto, por ejemplo, del choquecon otra partcula. En este caso la energa se gana o se pierde en forma decalor.El postulado II explica el principio de combinacin de Ritz. En efecto,/i = a2a1= i = 1` = a2c/ a1c/= 1a =

ac/(2.26)Los trminos espectrales se determinan por los niveles energticos del tomo.El postulado II explica tambin porque se observan en la emisin todaslas series espectrales antes vistas, y sin embargo, en la absorcin slo se puedever la serie de Lyman.Al excitarse un tomo, este alcanza uno de los niveles superiores. Mstarde, el tomo emite energa pasando a los niveles inferiores, hasta llegar alde mnima energa. Lgicamente, un tomo no emite energa si se encuentraen su estado fundamental, es decir, el de menor energa. Por lo tanto, enla absorcin la serie de Lyman se ve claramente, y las otras series corres-pondientes a niveles superiores de partida se ven mezcladas con las seriesespectrales de emisin.50 CAPTULO 2. LA ESTRUCTURA DEL TOMO2.2.3. Teora de Bohr para el tomo de un electrnLa discretizacin de los valores de energa en un tomo 1. 2. S. .... seacostumbra a llamar cuantizacin de la energa. Bohr propuso la reglapara cuantizar al tomo de hidrgeno o a un tomo del tipo hidrogenoideo,es decir, con un slo electrn.El consider el modelo planetario de Rutherford y supuso que el electrnse mova por rbitas circulares.Teniendo en cuenta la forma propuesta por Balmer para los trminosespectrales 2.25, y la relacin de estos con las energas estacionarias 2.26, setiene:

a = c/1:2(2.27)El nmero entero : se denomina nmero cuntico principal.Con el aumento de :, como se dijo anteriormente, la distancia entre laslneas y por tanto entre los niveles de energa desaparece, cumplindose quetiende a cero cuando : . El espectro se torna por ende continuo. Seespera entonces que en el lmite, el sistema cuntico se comporte como elsistema clsico. Esta posicin fue enunciada por Bohr y se conoce comoprincipio de correspondencia:Las predicciones de la teora cuntica sobre el comportamiento de un sis-tema fsico corresponden a las predicciones de la teora clsica en el lmite,en el cual, los nmeros cunticos toman valores muy grandes.El principio de correspondencia es fcil de vericar en la teora de Planksobre la emisin del cuerpo negro. Segn obtuvo Plank, la energa media delos osciladores viene dada por la ecuacin: =

0cs0IT 1 =/icIIT 1(2.28)Para una temperatura dada 1. si pasamos al lmite cuando i 0, elvalor del exponente en el denominador de la expresin anterior puede sersustituido por 1 IiIT. y el valor medio de la energa se transforma en= /1,resultado clsico que se obtiene del teorema estadstico sobre la distribucinuniforme de la energa cintica por los grados de libertad en el oscilador.Por otro lado, la frecuencia tiende a cero cuando el valor medio del nmerocuntico del oscilador tiende a innito:

a = :/i == :/i = i 0 :i : Vericndose as el principio de correspondencia en el lmite de las fre-cuencias bajas.2.2. TEORA DE BOHR 51Retornemos al problema de la cuantizacin de la energa en el tomo mo-noelectrnico, y apliquemos el principio de correspondencia a las frecuenciasque emite este sistema.De acuerdo con la electrodinmica clsica, la luz que irradia el tomotiene una frecuencia igual a la frecuencia de rotacin del electrn en su rbi-ta circular. Este resultado se comprueba en el experimento para frecuenciasbajas tambin, correspondientes a las ondas radiales. Por lo tanto, los re-sultados de la teora cuntica y clsica deben coincidir segn el principio decorrespondencia cuando i 0.Consideremos inicialmente que el ncleo es innitamente pesado en com-paracin con la masa de los electrones. Tomemos un sistema de referencia,en el cual, el ncleo permanecer inmvil en su centro.Cuando el electrn rota con una frecuencia angular . en un radio :. secumple que la fuerza coulombiana constituye la fuerza centrpeta, entonces::c.2: = 2c2:2= . =2c2:c.:2 : = 2c21:(2.29)donde 1 es el momentum angular orbital del electrn .La energa total del sistema, en este caso del electrn, es la suma de suenerga cintica ms su energa potencial: = 12:c:2.2 2c2:= 2c22: 2c2:= 2c22:(2.30)Notemos que el valor de referencia, l = 0, en la energa potencial seha tomado en : = . Slo son posibles los valores negativos de la energapotencial.Combinando las ecuaciones 2.29 y 2.30 se obtiene de la teora clsica que:. = 21(2.31)Por otro lado, los niveles de energa del tomo deben satisfacer la ecuacincuntica 2.27, que conlleva a la expresin:

a :2= co::tc:tc (2.32)Para grandes valores de :, las variaciones ^: son pequeas, y se cumplela relacin:^a :2 2:^:a = 0 (2.33)52 CAPTULO 2. LA ESTRUCTURA DEL TOMODe acuerdo con el segundo postulado de Bohr, la variacin de energa^a en el proceso de emisin es igual a /.a. De 2.33 obtenemos:.a = 2a://^: (2.34)La electrodinmica clsica establece que la frecuencia ms pequea .a =2a,:/ que se emite corresponde a ^: = 1. denominada frecuencia princi-pal. Los valores ^: = 2. 3. .. corresponden a los llamados armnicos, que sonsiempre mltiplos de la frecuencia principal. Por tal razn nos limitaremosen lo adelante a ^: = 1.Tomando en cuenta que en esta zona el espectro se torna continuo (.a =.. a = ), y de acuerdo con el principio de correspondencia, debemos hacercoincidir las ecuaciones 2.31 y 2.34, de donde se obtiene la conocida reglade cuantizacin de Bohr:1a = :/ (2.35)La teora de Bohr conduce a que el momentum angular orbital del electrnesta cuantizado, al menos para valores grandes de :.Tomando en consideracin la ecuacin 2.29 se tiene:12= _:c.:2_2= :c2c2: = : =12:c2c2(2.36)lo cual implica la cuantizacin tambin de los radios de las rbitas, deacuerdo con 2.35::a = :2//2:c2c2(2.37)El radio del electrn en la rbita correspondiente al estado fundamentaldel tomo de hidrgeno (: = 1. 2 = 1) se denomina radio de Bohr, y suvalor correspondiente es:1 =//2:cc2 = 0. 29171010: (2.38)En el orden de magnitud :1 coincide con las dimensiones del tomo,obtenidas en la teora cintica.Utilizando ahora la ecuacin 2.30 y sustituyendo a :, se obtiene la reglapara la cuantizacin de la energa:

a = :c (2c2)22:2//2(2.39)A partir de 2.39 se puede hacer una valoracin de la constante de Rydberg1. De la ecuacin 2.27, tomando 2 = 1, se obtiene:11 =

a:2c/= 2:2:cc1c/S= 109 737. 309 c:1(2.40)2.2. TEORA DE BOHR 53El subndice se ha agregado a la constante de Rydberg para destacarque es el resultado terico obtenido con un ncleo de masa innita.El valor experimental es 1 = 109 077. 70 c:1en el hidrgeno. Desdeel punto de vista espectroscpico la diferencia es grande. Para mejorar esteresultado es necesario considerar la masa del ncleo `. En tal caso, situandoel sistema de coordenadas en el centro de masa del tomo tenemos para elmomentum angular del sistema ncleo-electrn:1 = j:2. =:c`:c ` :2. (2.41)j se denomina masa reducida del sistema.Tomando en cuenta la regla de cuantizacin de Bohr 2.35, y realizandoun desarrollo anlogo al efectuado para valorar la constante de Rydberg enel caso anterior del ncleo inmvil con masa innita, obtenemos:1 =111 ncA= 11j:c= 2:2c1c/Sj = 109 077. 0 c:1(2.42)en correspondencia con el valor experimental.El resultado 2.39 fue obtenido para : grandes, sin embargo, este debe servlido para cualquier valor de :. En su deduccin fue utilizada la frmulade Balmer 2.25 para los trminos espectrales del tomo de hidrgeno, dondeno existe condicin alguna para el valor del nmero cuntico principal. Elprincipio de correspondencia fue solamente utilizado para calcular el valor dela constante de Rydberg, la cual lgicamente no depende de :.En la espectroscopia se acostumbra a representar a los niveles de energacon lneas, y las transiciones por echas: = absorcin, |= emisin. En lagura 2.7 aparecen las transiciones correspondientes a las series espectralesprincipales del tomo de hidrgeno.El cero de energa se encuentra en : = y se muestra con una lnea depuntos. Todos los niveles energticos por debajo de este son discretos, y lecorresponden energas totales negativas del tomo. Por encima de : = .la energa no esta cuantizada y el espectro correspondiente es continuo.Es bien conocido de la mecnica clsica que para< 0. el movimiento esnito, y para 0 el movimiento es innito. Esto ser vlido para : grandessegn el principio de correspondencia. Un teorema similar ser demostradoms adelante en la mecnica cuntica. De esta forma, el electrn y el ncleoforman un sistema enlazado solamente en el caso del espectro discreto. En elespectro continuo, el electrn puede alejarse innitamente del ncleo. Si con-sideramos al tomo solamente como el sistema enlazado, este tendr siempreniveles de energa discretos.54 CAPTULO 2. LA ESTRUCTURA DEL TOMOFigura 2.7: Transiciones principales del tomo de hidrgeno. L: Lyman, B:Balmer, P: Paschen, Br: Brackett y Pf: Pfund.No obstante, la existencia de estados no enlazados permite que existantransiciones entre el espectro continuo y el discreto. Como consecuencia, laaparicin de una parte continua en el espectro se observa en el experimentoa continuacin del espectro de lneas. La transicin de un nivel discreto a laregin continua del espectro corresponde a la ionizacin del tomo.2.2.4. Experimento de Franck y HertzLa descripcin de los espectros atmicos constituye de por si una conr-macin de los postulados de Bohr, sin embargo, existen otras. Unos mesesdespus de Bohr formular sus postulados, en el ao 1914, Franck y Hertzrealizaron el siguiente experimento que constituye otra prueba experimentalde la teora de Bohr.El objetivo inicial consista en medir los potenciales de ionizacin de lostomos. A travs de un gas monoatmico se hacan pasar electrones acele-rados. Al chocar con los tomos, los ltimos podan pasar a sus estados exci-tados con determinadas energas. Franck y Hertz utilizaron en su experimentovapores densos de mercurio para lograr una buena cantidad de colisiones.\representa en el esquema (gura 2.8) al potencial acelerador entre elctodo C y la rejilla 1. \1 es un potencial retardador de v 0. \y 1 elcolector de los electrones. G representa al galvanmetro que mide la corriente1 en el colector. controla que la corriente de calentamiento permanezcaconstante.2.2. TEORA DE BOHR 55Figura 2.8: Esquema de la instalacin en el experimento de Franck y Hertz.Figura 2.9: Dependencia de la corriente I del potencial acelerador V en elvaco.Si las energas son discretas, segn el primer postuldo de Bohr, la energacintica de los electrones tiene que ser no menor que determinado valor apartir del cual comenzara la excitacin del gas. Para alcanzar el colector 1.los electrones deben tener suciente energa cintica. En caso de vaco, lacorriente se comporta segn el grco 2.9.Si existe un gas, el resultado experimental muestra la aparicin de mxi-mos y mnimos en la corriente que registra el galvanmetro (gura 2.10).La distancia entre los picos en el caso del mercurio es de 4. 9\ . La mnimaenerga necesaria, y por tanto el primer nivel excitado del mercurio posee unaenerga de 4. 9 c\ .Los choques pueden ser elsticos y no elsticos. En los primeros, la energaslo puede cederse en forma de energa cintica al tomo como un todo. Lamagnitud de esta energa es muy baja teniendo en cuenta la masa superiorde los tomos en comparacin con la de los electrones, y tales choques slo56 CAPTULO 2. LA ESTRUCTURA DEL TOMOFigura 2.10: Dependencia de la corriente I del potencial acelerador V enpresencia de vapores de mercurio..cambiarn la direccin de las velocidades en los electrones. Despus de varioschoques, aumenta el valor de la corriente como consecuencia de la llegada delos electrones al colector.Cuando la energa alcanza el valor de 4. 9 c\ o ms, el electrn gasta suenerga o parte de esta en la excitacin de los tomos. Si la energa que leresta al electrn despus de estos choques inelsticos, no es suciente paravencer a \1. el electrn no llega al colector y por esta razn la corrientedisminuye.El decrecimiento no ocurre en forma de salto debido a que los electronesno poseen todos la misma velocidad. Adems, la velocidad importante parallegar al colector es la que le queda al electrn en la componente perpendiculara este, la cual vara tambin con los choques.Cuando continua