Fisica Cuantica Uned

8/17/2019 Fisica Cuantica Uned

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Dept. Física Fundamental, UNED Apartado de Correos 60.14128080 Madrid

Tel: 91 398 7140

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

Departamento de Física Fundamental

Madrid, 14 de noviembre de 2002.

Estimado/a alumno/a:

Con esta carta le adjuntamos el material complementario de la Primera Prueba Personal de la asignaturade Física Cuántica (3º curso de Ciencias Físicas), opción A. Esta opción es la recomendada para los alumnos quese propongan cursar la especialidad de Física Industrial . Después de los exámenes de febrero recibirá otro envío,correspondiente a la Segunda Prueba Personal. Debe usted trabajar debidamente este material complementario, asícomo las propuestas de ejercicios y los ejercicios resueltos.

Además de la presente carta, el envío consta de:- Una pequeña guía de estudio, en la que se recalcan los puntos más importantes de los temas de esta parte de la

asignatura. Se incluyen complementos que debe usted estudiar.- Una colección de problemas resueltos, algunos de ellos del texto-base ( Física Cuántica, de Eisberg y Resnick,Editorial Limusa).- Un examen modelo, mezcla de varios propuestos en cursos anteriores, resuelto con bastante detalle para que ustedvea cómo debe explicar los pasos que realiza en un examen. Además, se le incluye la solución del examen de la primera prueba personal de septiembre de 2000.- Una pequeña lista de términos habituales de Física Cuántica en inglés, junto con los términos utilizados en latraducción del texto-base y otras posibles alternativas a dichos términos que también se usan en español.- Una pequeña lista de términos que, en nuestra opinión, están mal traducidos en el texto. Tenga en cuenta esta listaal estudiar los temas, porque puede ayudarle a entenderlos mejor.

Quisiéramos comentarle una serie de puntos que nos parecen de interés para ayudarle a estudiar laasignatura.

MATERIAL DE ESTUDIOLos textos-base sirven para fijar los contenidos y el nivel del temario de la asignatura, pero no son los

únicos textos que usted puede y debe consultar en los casos de duda o en caso de necesitar ampliación de algúntema. Le recomendamos que utilice más de un libro para asegurar sus conocimientos, pues cada alumno sueleencontrar más útil un libro que todos los demás, incluyendo los recomendados en la guía del curso.

Para estudiar la Relatividad que usted necesita para el curso, una buena elección es el libro de Mecánicade la colección de Berkeley (texto-base de la asignatura Mecánica y Ondas de segundo curso). También puedeconsultar el nuevo libro de Alonso y Finn, en único volumen ( Física, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995; en

inglés tiene el título de Physics). Como mínimo, debe usted estudiar el apéndice A del libro de Eisberg y Resnick para tener las nociones básicas de Relatividad que se van a utilizar en el curso.

En particular, además de los textos-base y de los textos mencionados en la Guía del curso, son librosrecomendables para trabajar con ellos durante el estudio de toda la asignatura:1.- Como libro de apoyo, cualquier buen libro de Física que incluya tanto temas de Relatividad como de FísicaCuántica. Este libro de consulta debe tenerlo siempre a mano para resolver dudas o puntos que no recuerda con precisión. Un texto que incluye estos temas es el conocido libro de Alonso y Finn Física en tres volúmenes(Addison-Wesley Iberoamericana o Fondo Educativo Interamericano): la Relatividad está tratada en el primer volumen y la Física Cuántica en el tercero. Note que este último volumen es texto-base de la asignatura. También puede utilizar como libro de consulta el nuevo texto de los mismos autores en único volumen (Alonso y Finn,

Física, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995), aunque profundiza menos en los distintos temas.

2.- Para completar la discusión del texto-base, con un enfoque alternativo de la Física Cuántica y una buenacolección de problemas (no resueltos, pero muchos con la solución al final del libro), puede utilizarse el texto de


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French y Taylor, Introducción a la Física Cuántica (Editorial Reverté) y quizás el libro de Wichmann Física

Cuántica (Curso de Física de Berkeley, vol. 4, editorial Reverté)En todo caso, antes de decidirse a comprar algún libro le recomendamos que lo consulte en alguna de las

bibliotecas de las que estén a su alcance.

Los libros de problemas resueltos pueden ser de ayuda para iniciarse en los temas, pero creemos que lacolección que le enviamos, junto con los ejemplos resueltos que están intercalados en los capítulos de los textos- base, es suficiente. Sin embargo, queremos resaltar la importancia que en nuestra opinión tiene la dedicación delalumno a la resolución personal de problemas no resueltos. Resolver problemas de manera independiente (perono estudiar solamente la solución) es la única manera de asegurarse que se dominan los conceptos y permite,además, prepararse adecuadamente para las pruebas presenciales.

Las soluciones que se envían (excepto la del examen modelo) son en general muy breves y poco detalladas;nuestro interés es recalcar la importancia de los principios físicos básicos, siendo usted el que debe desarrollar conmás cuidado cada uno de los pasos que se dan en dichos problemas.

EXÁMENES: INSTRUCCIONES PARA SU REALIZACIÓNComo es habitual en esta asignatura, los problemas de los exámenes serán de nivel similar a los de los

libros de texto. Como ya le hemos comentado, en los problemas que nosotros le enviamos se omiten a veces pasosintermedios, bien porque ya se han explicado en otros problemas o bien porque son suficientemente sencillos paraque el alumno pueda hacerlos por sí mismo. Evidentemente, estos pasos deberán detallarse en un examen. Debeusted resolver tanto los problemas que le enviamos como los que están propuestos en los libros de texto (incluyendolos ejemplos resueltos) sin la ayuda de la solución; posteriormente es cuando debe hacer la comprobación de queel resultado (que podría haber obtenido de modo distinto al que nosotros sugerimos) coincide con dicha solución.

Nuestra experiencia es que una gran parte de los alumnos apenas explican los razonamientos y pasos queexponen en sus exámenes, siendo en ocasiones imposible saber qué es lo que está haciendo el alumno. En unexamen se deben explicar las hipótesis y detallar todos los pasos que se realicen en cada problema o cuestión.Por eso, debe usted acostumbrarse a redactar cuidadosamente los problemas que resuelva en su casa (éstos que le

mandamos u otros de los que encuentre usted propuestos en los libros de texto o en cualquier otro libro), puestoque cuando le corrijamos sus exámenes ese detalle es fundamental para poder calificarle adecuadamente.

Una parte de los exámenes de esta asignatura consiste en responder breve y razonadamente a algunascuestiones. No se trata, pues, de exponer todo lo que sabe sobre el tema, sino que debe responderse concretamentea lo que se pregunta. Además, debe usted tener en cuenta que la principal diferencia entre cuestiones y problemasreside fundamentalmente en que éstos requieren cálculos matemáticos más extensos, que el alumno debe realizar (y no sólo indicar), pero no hay diferencias esenciales en cuanto a los contenidos físicos.

Recuerde que, al ser su examen una comunicación directa con el profesor (que no le conoce), debe ustedexplicar los pasos lo más detalladamente posible, definiendo las variables que use y explicando la notación y lasfórmulas que utilice. No es suficiente poner la solución: si Vd. conociera la solución directa de algún apartado, debeexponerla y explicarla con claridad, detallando los pasos intermedios. Es muy importante que no sustituya los

valores numéricos hasta el final, después de haber obtenido una expresión algebraica; si se le pide algúncálculo numérico hágalo solamente en la expresión algebraica que haya obtenido finalmente (en este caso, debecomo mínimo estimar en órdenes de magnitud los resultados que se le pidan).

EXÁMENES: CALIFICACIÓNLe recordamos que, al ser las pruebas presenciales de febrero y junio independientes (y éstas respecto a

las de septiembre), no se podrá compensar la calificación de una de ellas con la otra.Los exámenes se califican globalmente y los errores graves cuentan de forma negativa en esa

calificación. Además, la nota de un examen se obtendrá del promedio de las calificaciones de la parte de lascuestiones y la parte de los problemas. En cualquier caso se requerirá una calificación mínima de 4 puntos (sobre10) en cualquiera de las dos partes de cada examen (así, un examen con calificaciones de 9 puntos en cuestiones

y 3 puntos en problemas da lugar a un NO APTO en la prueba presencial).


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EXÁMENES: FECHAS Y HORARIOS

Como está indicado en la Guía del Curso, en febrero los exámenes de las dos semanas corresponden a la primera Prueba Presencial (primer parcial) mientras que los exámenes de las dos semanas de junio correspondena la segunda Prueba Presencial (segundo parcial). En junio, pues, no hay examen de la primera Prueba Personal.

En el mes de septiembre los exámenes de la asignatura son dos: el de las 9:00 corresponde a la primeraPrueba Presencial mientras que el examen de las 11:30 corresponde a la segunda Prueba Presencial. Usted deberárealizar el examen correspondiente a la(s) parte(s) que le quede(n) pendiente(s) de los exámenes de febrero y de junio.

FORMA DE TRABAJO DURANTE EL CURSOComo ya le hemos comentado, nuestra experiencia nos demuestra que una gran parte de los alumnos

apenas explican los razonamientos y pasos que exponen en sus exámenes, siendo en ocasiones imposible saber quées lo que está haciendo el alumno y, como consecuencia, la calificación de dichos alumnos no puede ser positiva.Por esa razón, una de las mejores manera de enfocar la asignatura, esto es, de llevar adelante el trabajo durante elcurso, es que usted se haga una colección propia de problemas de los que no tenga la solución; los problemas pueden ser estos que le mandamos (sin que usted consulte la solución) u otros que encuentre usted propuestos enlos libros de texto o en cualquier otro libro. Los objetivos básicos de hacer esa colección de problemas son:- que usted se acostumbre a elegir aquellos problemas que son más relevantes, que no es lo mismo que resolverinfinidad de problemas triviales; intente resolverlos aunque le lleven mucho tiempo.- que usted se dé cuenta de sus fallos en la preparación de la asignatura, sus lagunas de conocimiento (de ésta uotra asignatura) y que sepa afrontar y resolver dichas dificultades.- que usted redacte finalmente la solución de los problemas con cuidado y claridad, haciendo hincapié en losconceptos importantes y explicando los pasos que lleva a cabo.Si usted es capaz de hacer esa colección, el trabajo realizado le será de suma utilidad para las pruebas presenciales.

Finalmente le agradeceríamos que nos comunique los errores y omisiones que encuentre en este envío, así

como también cualquier otra sugerencia para mejorar su contenido o su presentación.

Reciba un cordial saludo del equipo docente:

El equipo docente de Física Cuántica (Tercer curso de CC. Físicas):

Dra. Emilia Crespo del Arco. Teléfono: 91 398 71 23Dr. José E. Alvarellos Bermejo. Teléfono: 91 398 71 20Dr. Javier García Sanz. Teléfono: 91 398 71 25

- Dirección postal (para cualquier comunicación con los profesores): Nombre de un Profesor (póngalo para que la carta llegue más rápidamente)Departamento de Física Fundamental. Apartado de Correos 60.141. 28080 Madrid.

- Dirección de correo electrónico (ponga sus datos en el mensaje, indicando la asignatura y la opción)Dra. Emilia Crespo del Arco. [email protected]. José E. Alvarellos Bermejo. [email protected]. Javier García Sanz. [email protected]


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EQUIVALENCIAS

Inglés Traducción Alternativas binding energy energía de amarre energía de ligadura, energía de enlaceeigenfunction eigenfunción autofunción, función propiaeigenstate eigenestado autoestado, estado propioeigenvalue eigenvalor autovalor, valor propiolinear momentum impulso lineal cantidad de movimiento,

momento lineal, impulsoangular momentum impulso angular momento angular, momento cinéticotorque impulso rotativo par de fuerzas, torquestopping potential potencial de frenamiento potencial de frenadoground state estado base estado fundamentalrecoil speed rapidez de retroceso velocidad de retrocesocross section sección transversal sección eficaz (de dispersión)vacuum chamber cámara evacuada cámara de vacío

bremsstrahlung radiación de frenadovelocidad de onda velocidad de fase (p.e. en pág. 98)

expectation value valor de expectación valor medio, valor esperadospin spin espín phase space espacio fase espacio de fases phase diagram diagrama fase diagrama de fases

arreglo experimental montaje experimentalarreglo (de átomos, electrones) distribución (de átomos, electrones)

transition rates razones de transición probabilidades o ritmo de transición(por unidad de tiempo)

overlapping traslape solapamiento, solaperazón de radiación potencia de radiaciónqué tan ... cuán ...fierro hierro

MALAS TRADUCCIONESAdemás de los términos que se han citado anteriormente, que pueden tener distintas versiones en español, el texto-base adolece de términoso expresiones mal traducidas. Como en algunas partes del libro aparecen estas malas traducciones y en otras no, nos queda la impresión deque han sido varios los traductores y que la labor del revisor científico de la traducción ha sido muy escasa. He aquí algunos ejemplos:

Traducción en el libro Traducción adecuadatremendo despreciable (al principio de la página 344)sugestivo sugerente (en múltiples páginas)en seguida ahora (ej. en página 97)definitiva(mente) (con) valor bien definido (ej. en página 99)impulso relativo impulso rotativo (par de fuerzas, torque) (en página 319)desconocida deslocalizada (ej. página 222)del al cuadrado nabla al cuadrado (ej. página 281)discretamente cuantizada cuantizada discretamente (ej. página 287)desvanecimiento (smearing off) desaparición (ej. página 223)deflectadas desviadas (ej. página 323) precederse preceder (ej. página. 332)torcas externas torques externos (ej. página 332)niveles menores de energía niveles de menor energía (ej. página 340)sección cortada sección eficaz (o transversal) (en página 72).

Además hay que estar atentos a las múltiples veces en que la tipografía parece indicar un uno (1) cuando se quiere indicar una ele ( l ).Finalmente, conviene hacer notar que en la página 341 se alterna, en el texto, la “P” mayúscula con la “p” minúscula en las fórmulas paradenotar el momento dipolar eléctrico.


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EXTRACTO DE LA INFORMACIÓN SUMINISTRADA EN LA GUÍA DEL CURSO

Programa de la Opción A. El programa de esta opción es el siguiente, donde se indican los apartados de los libros de Eisberg y Resnick (texto-base del programa) y de Alonso y Finn (texto complementario) que corresponden a cada tema:

A) Primera Prueba Presencial

TEMA 1. Radiación térmica y postulado de Planck.Eisberg y Resnick: capítulo 1.Alonso y Finn: apartado 1.3

TEMA 2. Aspectos corpusculares de la radiación.Eisberg y Resnick: capítulo 2.Alonso y Finn: apartados 1.4 a 1.6.

TEMA 3. Aspectos ondulatorios de la materia.Eisberg y Resnick: apartados 3.1 y 3.2.Alonso y Finn: apartados 1.10 y 1.11.

TEMA 4. Principio de indeterminación.Eisberg y Resnick: apartados 3.3 a 3.6.Alonso y Finn: apartado 1.12.

TEMA 5. Modelos atómicos clásicos.Eisberg y Resnick: apartados 4.1 al 4.4.

TEMA 6. Modelo atómico de Bohr-Sommerfeld.Eisberg y Resnick: apartados 4.5 al 4.12.Alonso y Finn: apartados 1.7 a 1.9

TEMA 7. Ecuación de Schrödinger; interpretación estadística de la función de ondas; estados cuánticos estacionarios.Eisberg y Resnick: capítulo 5.Alonso y Finn: apartados 2.2, 2.3, 2.7, 2.9, 2.10, 2.12.

TEMA 8. Problemas unidimensionales: estados de colisiónEisberg y Resnick: apartados 6.1 al 6.6.Alonso y Finn: apartados 2.4 y 2.8.

TEMA 9. Problemas unidimensionales: estados ligados; el oscilador armónico.Eisberg y Resnick: apartados 6.7, 6.8 y 6.9.Alonso y Finn: apartados 2.5 y 2.6.

B) Segunda Prueba Presencial

TEMA 10. Ecuación de Schrödinger para átomos hidrogenoides; propiedades de los niveles ligados.Eisberg y Resnick: apartados 7.1 al 7.7.Alonso y Finn: apartados 3.1, 3.2, 3.3 y 3.5.

TEMA 11. Momento angular orbital.Eisberg y Resnick: apartados 7.8 y 7.9.Alonso y Finn: apartado 3.4 y ejemplo 3.4.

TEMA 12. Momento magnético. Espín.Eisberg y Resnick: apartados 8.1 al 8.3 y 8.5.Alonso y Finn: apartados 3.6, 3.7

TEMA 13. Ritmos de transición y reglas de selección.Eisberg y Resnick: apartado 8.7.

Alonso y Finn: apartado 2.11.

TEMA 14. Partículas idénticas. Principio de exclusión.Eisberg y Resnick: apartados 9.1, 9.2 y 9.3.Alonso y Finn: apartados 4.1 a 4.3.


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TEMA 15. Moléculas. Espectros moleculares.

Alonso y Finn: apartados 5.1 a 5.4 y 5.7 a 5.9.Eisberg y Resnick: apartados 12.4 a 12.7.

TEMA 16. Estadísticas cuánticas.

Eisberg y Resnick: apartados 11.1 a 11.11.Alonso y Finn: capítulo 13.

TEMA 17. Sólidos: conductores y semiconductores.Eisberg y Resnick: capítulo 13.Alonso y Finn: capítulo 6.

4. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

EISBERG, R. y RESNICK, R.: Física Cuántica (Ed. LIMUSA). Texto-base de este programa. El libro discute completamente todos lostemas del programa. Tiene buenos ejemplos resueltos (que el alumno debería estudiar con detalle) y muchos problemas al final de cadacapítulo.

ALONSO, M. y FINN, E. J.: Física, vol III: Fundamentos Cuánticos y Estadísticos. (Ed. Fondo Educativo Interamericano). Este texto no

es el texto-base, pero complementa al anterior: no discute todos los temas del programa de manera completa, pero puede ser de utilidad queel alumno consulte aquellos temas que se indican anteriormente, en el apartado 3. También contiene ejemplos con resolución, así comomuchos problemas al final de cada capítulo.

5. OTROS MATERIALES DIDÁCTICOS

A los alumnos que hayan enviado la ficha del Departamento de Física Fundamental se les hará llegar desde la Sede Centralinstrucciones para el estudio de los temas, material complementario (que el alumno también debe estudiar) y tanto propuestas de ejercicioscomo ejercicios resueltos.

5. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA.

Damos aquí una lista de libros con el espíritu de ayudar a aquellos alumnos que necesiten explicaciones alternativas a las del texto-

base en algunos puntos del programa.

ALONSO, M. y FINN, E. J.: Física, vol III: Fundamentos Cuánticos y Estadísticos. (Ed. Fondo Educativo Interamericano). Como ya hemoscomentado, este texto complementa al libro de Eisberg y Resnick, y sugerimos que el alumno consulte aquellos apartados que se indican enel apartado Contenidos de la asignatura. Tiene bastantes ejemplos con resolución detallada y muchos problemas al final de cada capítulo.

FRENCH, A. P. y TAYLOR, E.: Introducción a la Física Cuántica. (Ed. Reverté).Excelente introducción tanto al formalismo como a los conceptos fundamentales, a partir de la fenomenología de los sistemas con un númerofinito de estados. Tiene una buena colección de problemas al final de cada capítulo.

WICHMANN, E. H.: Física Cuántica. (Curso de Física de Berkeley, vol. IV ) Ed. Reverté.Es el libro que se utiliza como texto-base en la opción B de la asignatura. Excelente discusión física de los principios de la Mecánica Cuántica.

SÁNCHEZ DEL RIO, C. (coordinador): Física Cuántica (2 vol.): (Ed. Paraninfo, Madrid).

Es un libro colectivo, con varias secciones que cubren todo el espectro de la Física Cuántica a un nivel introductorio. Cada sección secompleta con una colección de problemas resueltos. Las secciones más interesantes para nuestro curso se encuentran en el volumen 1.

Libros de Problemas.

El alumno debe seguir la buena costumbre de resolver los problemas de los libros recomendados (muchos de los problemas, aunque no esténresueltos, tienen la solución al final de cada libro), especialmente de los libros de EISBERG, R. y RESNICK, R.: Física Cuántica (Ed.Limusa), de ALONSO, M. y FINN, E. J.: Física, vol III: Fundamentos Cuánticos y Estadísticos. (Ed. Fondo Educativo Interamericano) yde FRENCH, A. P. y TAYLOR, E.: Introducción a la Física Cuántica. (Ed. Reverté). Por otra parte, en el material complementario quese enviará a los alumnos que hayan enviado su ficha, hay ejercicios resueltos (con problemas propuestos en exámenes de cursos anteriores).

Como libros de problemas resueltos, en castellano, se pueden citar dos.

R. FERNÁNDEZ ÁLVAREZ-ESTRADA y J.L. SÁNCHEZ GÓMEZ: 100 problemas de Física Cuántica. (Alianza Editorial, 1996)Es el único libro de problemas en castellano con problemas para todo el curso. Su nivel es intermedio entre las asignaturas de tercero y decuarto cursos.

R. GAUTREAU y W. SAVIN: Teoría y problemas de Física Moderna. Colección Schaum. (Ed. McGraw-Hill).Libro de problemas resueltos, recomendable para la primera parte del curso y, en general, para los problemas que no requieren el uso de la


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teoría formal de la Mecánica Cuántica. Cada capítulo tiene una introducción teórica. La edición en castellano de este libro (hecha en México)

está agotada, pero se puede consultar en las bibliotecas. Los datos de la edición más reciente en inglés son: R. GAUTREAU y W. SAVINSchaum' s Outline of Theory and Problems of Modern Physics (Ed. McGraw-Hill, 1996).

7. EVALUACIÓN

7.1 PrácticasEsta asignatura no tiene prácticas por el momento.

7.2 Pruebas presenciales

Las Pruebas Presenciales constarán de una parte teórica y una parte práctica. La parte teórica consistirá en responder de forma clara,concisa y razonada a una serie de cuestiones que apenas requerirán cálculos numéricos. La parte práctica consistirá en resolver problemasque serán de un nivel similar a los enunciados en el libro de texto-base y a los que figuren en la colección de problemas resueltos que seenviará a los alumnos como material complementario.

La nota del examen se obtendrá del promedio de las calificaciones de la parte de cuestiones y de la parte de problemas. En cualquier caso, se requerirá una calificación mínima de 4 (sobre 10) en cualquiera de las dos partes de un examen. Las dos Pruebas Presenciales sonindependientes, por lo que la calificación de una no compensa la de la otra.

En las Pruebas Presenciales no se podrán utilizar ni libros ni ningún tipo de material auxiliar. Si para la resolución de algún problema se necesitara alguna fórmula o valor numérico que no sea evidente o fácil de recordar, dicho dato figurará en la hoja de enunciados.

8. CONSULTAS

Consulta telefónica o personal:

Miércoles de 16,00h. a 20,00h, excepto en las semanas de exámenes.Cuando un miércoles sea festivo, el horario de consulta pasa al siguiente día lectivo.

Dra. Emilia Crespo del Arco. Despacho 211-A. Teléfono: (91) 398 71 23Dr. José E. Alvarellos Bermejo. Despacho 206. Teléfono: (91) 398 71 20Dr. Javier García Sanz. Despacho 203. Teléfono: (91) 398 71 25

Los despachos están en el edificio de la Facultad de Ciencias de la UNED, calle Senda del Rey, nº 9 (Madrid).

Otras consultas (para cualquier comunicación con los profesores):

Dirección de correo ordinario Nombre de un Profesor (póngalo para que la carta llegue más rápidamente)Departamento de Física Fundamental.Apartado de Correos 60.14128080 Madrid.

Dirección de correo electrónico:

(recuerde poner sus datos en el mensaje, indicando la asignatura y la opción elegida por usted)

Dra. Emilia Crespo del Arco. [email protected]

Dr. José E. Alvarellos Bermejo. [email protected]

Dr. Javier García Sanz. [email protected]


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Primera Prueba Personal: Teoría

En esta pequeña guía de estudio de la primera parte de la asignatura Física Cuántica del tercer curso deCiencias Físicas (opción A), le resaltamos los puntos que, a nuestro entender, son más importantes en cadatema. Al mismo tiempo, le presentamos algunos complementos de interés para comprender mejor la físicaque se discute en los textos. Quiere esto decir que este material es para añadir a los textos-base (Eisberg yResnick, Alonso y Finn vol. III) y no es para sustituir al texto.

Recibirá usted dos envíos, correspondientes a las dos Pruebas Personales.

El esquema de los contenidos del programa de la Primera Prueba Personal es como sigue:

• Resumen y estudio de algunos de los problemas que la Física de principios del siglo XX no era capazde resolver.

• Discusión de los aspectos corpusculares de la radiación (1905) y de la idea de los aspectos ondulatoriosde la materia (1924).

• Éxitos y dificultades de los distintos modelos atómicos que se fueron proponiendo desde 1910 a 1916.

• Ecuación de Schrödinger (dependiente e independiente del tiempo) e interpretación de las funciones deonda.

• Solución de la ecuación de Schrödinger para sistemas unidimensionales sencillos.

La física de principios del siglo XX tenía planteados un conjunto de problemas no resueltos, que seconsideraban fundamentales, entre los que destacan:

(1) El problema de la ley de radiación del cuerpo negro.

(2) El problema de comprender el efecto fotoeléctrico.(3) El problema de cómo interpretar los espectros atómicos, así como de entender la estabilidad y tamañode los átomos.

El primer tema del curso trata de la radiación del cuerpo negro y de la introducción por Planck de lacuantización de la energía de los osciladores.

En el tema 2 se discute el problema del efecto fotoeléctrico, al que Einstein dio una solución cuantizandola energía de la radiación electromagnética. En los temas 3 y 4 se estudiará la manera de compatibilizar losaspectos corpusculares de la radiación y los aspectos ondulatorios de la materia.

El problema atómico se tratará en el tema 5, mientras que en el tema 6 se expondrán los modelos que

paliaron durante algún tiempo la falta de una explicación consistente de los fenómenos atómicos.A partir del tema 7 se entra a discutir la formulación de la mecánica cuántica, así como su interpretación

y aplicación a distintos sistemas unidimensionales. Posteriormente, y ya en la segunda paret de la asignatura,se estudiarán sistemas tridimensionales.

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1 Tema 1. Radiación térmica y postulado de Planck.Contenido de los textos-base:Eisberg y Resnick: capítulo 1.

Alonso y Finn vol. III: apartado 1.3

El esquema de este tema es el siguiente:• Resultados empíricos de la radiación térmica.

Ley de Stefan (o de Stefan-Boltzmann): la radiancia de un cuerpo negro es proporcional a la cuartapotencia de su temperatura absoluta T , esto es, proporcional a T 4.

Ley del desplazamiento de Wien: la frecuencia para la que ocurre el máximo de la radiancia espectrales proporcional a T .

• Teoría clásica de la cavidad radiante.

Para una discusión de la distribución de Boltzmann , véase el apéndice C del libro de Eisberg y Resnick.

Ejemplo 1-3 del libro de Eisberg y Resnick: el resultado importante es que la densidad de estadosresulta ser proporcional a ω2 (o a ν 2) en tres dimensiones.Esto está directamente relacionado con la dimensionalidad del sistema físico; para una discusiónquizás más esclarecedora véase la sección 3.1 del libro de Reif Física Estadística , volumen 5 delBerkeley Physics Course (Editorial Reverté), que es el texto-base de la asignatura de Termología y Mecánica Estadística del tercer curso de CC. Físicas. Se pueden también consultar los ejemplos(2.3) y (2.4) del libro de Alonso y Finn (volumen III).Nota: esta relación entre la forma de la densidad de estados y la dimensionalidad del sistema lavolveremos a encontrar más adelante, en el tema 16 de la segunda Prueba Personal (Estadísticas Cuánticas ).

Relación de Rayleigh-Jeans para la densidad de energía: la densidad de energía emitida por un cuerponegro a una cierta frecuencia ν es proporcional a T y al cuadrado de la frecuencia

ρT (ν ) ∝ ν 2 T.

• Teoría de Planck de la cavidad radiante: La relación de Planck (1900) nos dice que la energíatotal de un oscilador1 tiene necesariamente la forma E = nhν , con n = 0, 1, . . .; por tanto, el osciladorsólo puede tomar o ceder energía en porciones de magnitud hν .

Posteriormente, después de las ideas de Einstein para el efecto fotoeléctrico (véase el tema 2), seinterpreta que las paredes de un cuerpo negro (que se suponen compuestas de electrones que oscilanalrededor de sus posiciones de equilibrio) emiten radiación electromagnética con múltiplos de dichaenergía.

Como resultado importante de este tema, debe usted recordar que el postulado de Planck nos permiteafirmar que la emisión de energía de un oscilador armónico viene dada por un múltiplo de hν .

• COMPLEMENT O Pequeña nota histórica sobre el descubrimiento de la constante dePlanck.

Algunas características generales de la radiación del cuerpo negro se conocían con bastante anterioridada la formulación de Planck. Por ejemplo, mediante razonamientos termodinámicos muy generalesaplicados a la radiación, W. Wien dedujo que la densidad de radiación del cuerpo negro debía tener laforma general2

ρT (ν ) = ν 3f

³ν

T ´1 En el caso de la discusión del cuerpo negro, el oscilador es un oscilador cargado, ya que la partícula que oscila es un electrón.2 La demostración puede encontrarse, por ejemplo, en Atomic Physics de Max Born (Dover Publications).

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siendo f una función que depende de ν y de T solamente a través del cociente ν /T . A partir deesta expresión pueden demostrarse la ley de desplazamiento de Wien y la ley de Stefan-Boltzmann, yacomentadas.

Lo anterior es válido cualquiera que sea la función f (ν /T ) (lo único que cambia son las constantes deproporcionalidad). Para avanzar un poco más, Wien sugirió que la función f debía ser de la forma

f ³ν

T ´ ∝ exp³−αν

T ´ ⇒ ρT (ν ) ∝ ν 3 exp³−

αν

T ´ ,donde α es una constante.

Por su parte, lord Rayleigh, mediante un razonamiento basado en el principio de equipartición de lamecánica clásica, obtuvo una expresión completamente diferente, ya comentada antes:

ρT (ν ) = 8πν 2

c3 kT.

La fórmula de Wien y la de Rayleigh son claramente incompatibles. Además, ninguna de ellas ajustalos valores experimentales en todo el intervalo de frecuencias. La fórmula propuesta por Planck es

ρT (ν ) = 8πh

c3ν 3

exp¡ hν kT ¢− 1 ,de la que las fórmulas de Wien y de Rayleigh son casos límite.

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2 Tema 2. Aspectos corpusculares de la radiación.Contenido de los textos-base:Eisberg y Resnick: capítulo 2.

Alonso y Finn vol. III: apartados 1.4 a 1.6.

• Efecto fotoeléctrico (1905). La idea de Einstein fue admitir que la energía radiante está con-stituida por cuantos de magnitud hν ; la radiación electromagnética está por tanto cuantizada en

pulsos de energía electromagnética discretos, con su correspondiente cantidad de energía. Estos pulsosrecibieron posteriormente el nombre de fotones .

Note que una suposición importante que se hace en el tratamiento del efecto fotoeléctrico es que elcátodo absorbe completamente el fotón que llega a la superficie del metal. Además, para este estudiosólo se necesita conservar la energía.

Al unir la idea de Planck con la de Einstein encontramos que:

- la energía de las partículas que oscilan en las paredes del cuerpo negro (electrones que oscilan alrededorde sus posiciones de equilibrio, suponemos oscilaciones en una dimensión) es E = nhν y, por tanto,dichas partículas sólo puede absorber o ceder energía en cantidades proporcionales a hν .

- la energía de la radiación electromagnética que esos osciladores emiten es un múltiplo de la frecuencia

de oscilación, esto es hν .Nótese que un fotón de frecuencia ν tiene exactamente la energía hν , no una energía múltiplo de hν .Sin embargo, es posible que haya un número n de fotones, siendo entonces la energía de todos esosfotones nhν .

Debe usted recordar y entender la relación (que viene de la anteriormente citada conservación de laenergía en el proceso de interacción de un fotón con un electrón del metal) entre la energía cinéticade salida K del fotoelectrón emitido, la energía hν del fotón incidente y la función de trabajo W 0 delmetal:

K max = hν − W 0.

• Efecto Compton (1923). Para la explicación de este efecto, se supone que la radiación electromag-nética está cuantizada, con energía y momento bien definidos. Por tanto, los fotones son partículas que colisionan con los electrones.En este caso aplicamos los conceptos de la dinámica relativista3 y necesitamos conservar tanto la energíacomo el momento lineal del sistema. Como resultado de aplicar ambas leyes de conservación, seobtiene la siguiente fórmula para la diferencia entre las longitudes de onda del la radiación incidente ysaliente:

∆λ = λC (1 − cos θ)donde λC ≡ h/m0c = 0.0243 Å es la llamada longitud de onda de Compton del electrón.Le recordamos que debe manejar con soltura conceptos básicos de la relatividad especial, como lasfórmulas:

E = moc

2

p 1 − v2/c2E 2 = p2c2 +

¡moc

2¢2 ,así como los conceptos fundamentales de mecánica, como son las leyes de conservación.

• Naturaleza dual de la radiación electromagnética.

• Otros efectos: rayos X, producción y aniquilación de pares de partículas.

3 Los conceptos mínimos que debe usted conocer de Relatividad son los que se exponen en el apéndice A del libro de Eisbergy Resnick. También puede consultar los textos que le citamos en la carta que acompaña a este envío.

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• COMPLEMENT O ¿Pueden dividirse los fotones?En los textos-base se tratan los fotones como entidades indivisibles. Quizá sea una cuestión interesanteplantearse la pregunta de si es posible dividir un fotón de frecuencia ω en dos partes, tales que cada una

transporte una fracción de la energía hν (o ~ ω, con ~ = h/ (2π) la constante de Planck racionalizada)pero conservando cada parte la frecuencia ω. Esta pregunta parte de que sabemos que la teoríaelectromagnética clásica es capaz de describir con excelente precisión un gran número de experimentoscon luz, y establece además una relación entre la energía y el impulso de la onda electromagnética.

¿No podría decirse que un fotón es, simplemente, un paquete de ondas de radiación, regido por lasleyes de la teoría electromagnética clásica? Obviamente, son los experimentos los que deben ayudarnosa responder a esta pregunta.

(1) Supongamos un tren de ondas, construido por un dispositivo que emite radiación a una frecuenciabien determinada ω durante un cierto tiempo, y lo hacemos incidir sobre una célula fotoeléctrica (unsistema que presenta el efecto fotoeléctrico). Si nosotros interponemos un divisor de haz de tal maneraque las intensidades de los haces transmitidos y reflejados por el divisor sean las mismas, resultaque podemos disminuir a la mitad la intensidad luminosa que incide sobre la célula fotoeléctrica. Sillamamos E min a la energía mínima o umbral necesaria para hacer saltar un electrón de la célula,encontraremos que la célula emitirá electrones cuando la radiación sea tal que ~ ω > E min.

Supongamos que se cumple, por ejemplo, que ~ ω > E min > 23~ ω; al dividir el haz como se ha comentado

antes no cabría esperar que se emitieran electrones si se hiciera un análisis clásico; pero se sabe a cienciacierta que esto no es así: se siguen emitiendo electrones, aunque sólo la mitad de ellos. Esto indicaque los paquetes de energía siguen teniendo energía ~ ω. Nótese que no es posible justificar el procesocomo un efecto acumulativo, de forma que cuando se sumaran un número suficiente de paquetes deenergía fraccionados, con energía total mayor que E min, se logra emitir un electrón: en efecto, si estofuera así también ocurriría emisión de electrones si ~ ω < E min y esto no se ha observado nunca.

Por lo tanto, los fotones, cuando se les hace interactuar con un metal en el efecto fotoeléctrico, no secomportan como trenes de onda clásicos.

Debemos también recordar, por otra parte, que para entender tanto los experimentos relativos al efectoCompton como la emisión de rayos X y la creación y aniquilación de pares hay que suponer que larelación E = ~ ω (que es la correspondiente a un fotón de frecuencia ω) es siempre válida, sin queexistan los fotones fraccionados.

(2) Es interesante plantearse si el análisis sobre los resultados experimentales del efecto fotoeléctricoque hemos hecho anteriormente (esto es, para paquetes de radiación electromagnética interaccionandocon los electrones del metal de la célula fotoeléctrica) pudiera hacerse también para experimentos mástradicionales de óptica. Ya a principios del siglo XX se realizaron medidas de las figuras de difracciónproducidas por focos luminosos extraordinariamente débiles (en alguno de los experimentos el tiempode exposición fue de unos tres meses), y resultaron ser iguales a las figuras de difracción que se obtienencon focos intensos.

Supongamos un experimento en el que la luz emitida por un foco luminoso atraviesa una lámina enla que hay dos rendijas (difracción de Young )4 y llega a una célula fotoeléctrica situada lejos de dichalámina (que únicamente sirve para contar si llegan o no fotones). Hay dos preguntas que nos podríamos

hacer5 :(a) ¿Por cuál rendija ha pasado un fotón que acaba de contar la célula? La respuesta es: en parte poruna de las rendijas y en parte por la otra, pues hay que interpretar que el flujo de radiación que pasapor una rendija debe ser proporcional a la probabilidad de que el fotón sea detectado por la célulacolocada justo detrás de la rendija.

(b) ¿Podemos modificar el dispositivo experimental de forma que sepamos por cuál rendija ha pasadoun fotón que acaba de contar la célula? La respuesta es: si tapamos una de las rendijas es claro quetodos los fotones detectados habrán pasado por la otra. El problema es que entonces no habrá figurasde difracción debidas a dos rendijas, sino sólo las debidas a una rendija.

4 La configuración experimental es idéntica a la que se dicute en el complemento sobre ¿Pueden dividirse las ondas materi-ales? , que se discute más adelante.

5 Para más detalles, véase el capítulo primero del libro Introducción al formalismo de la Mecánica Cuántica , cuyos autores

son P. García González, J. E. Alvarellos y J. García Sanz (Cuadernos de la UNED, 2000).

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¿Pero no podemos imaginar algún dispositivo ingenioso que permita preservar la figura de difracciónde dos rendijas, pero sabiendo por dónde ha pasado cada fotón? Esta pregunta carece de sentido yveremos ahora por qué. Si suponemos que podemos marcar a los fotones que pasan por cada una de lasrendijas entonces podemos construir las figuras de difracción debidas a cada una de ellas (teniendo en

cuenta sólo los fotones de cada marca al hacer la figura de difracción). Pero al sumar ambas figuras dedifracción no obtenemos, como es bien sabido, la figura de dos rendijas, pues las figuras de difracción noson aditivas. Por tanto si queremos que la figura de difracción sea como la obtenida por un dispositivode dos rendijas no podemos preguntarnos por cuál de ellas pasó el fotón.

Todo lo anterior lo podemos resumir de la siguiente manera: la amplitud de la onda asociada a unfotón puede tratarse como en la teoría electromagnética clásica (que es la que nos da las figuras dedifracción) pero el cuadrado de dicha amplitud debe interpretarse en términos de la probabilidad dedetectar un fotón con algún dispositivo. De esta manera cuando usamos un divisor de haz dividimos el haz de luz, y también la probabilidad de detectar a un fotón después del divisor de haz, pero nodividimos al fotón en el sentido de encontrar algo que tenga una cierta parte de la energía ~ ω.

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3 Tema 3. Aspectos ondulatorios de la materia.Contenido de los texto-base:Eisberg y Resnick: apartados 3.1 y 3.2.

Alonso y Finn vol III: apartados 1.10 y 1.11

• Comportamiento dual de la materia

Comportamiento dual de la materia, longitud de onda de De Broglie (1924): λ = h/p

Ejemplos:

(a) Difracción de electrones (Davisson-Germer(1926), Thomson (1927)).

(b) Difracción de átomos de helio y de neutrones.

(c) Rejilla de átomos en un sólido: propiedades ondulatorias de los rayos X y propiedades ondulatoriasde neutrones y electrones.

• La dualidad onda-partícula ya había sido establecida por Einstein (1905) para la radiación elec-tromagnética (esto es, para los fotones). La idea de De Broglie amplía dicha dualidad a cualquierpartícula material, esto es, a cualquier partícula con masa en reposo no nula.

Como se verá en el tema 7, la interpretación de Born (1926) afirmando que es más probable encontraruna partícula material en aquellas regiones en las que el módulo de la función de onda toma val-ores grandes, permite cerrar la dualidad onda-partícula. Tanto la radiación como las partículasmateriales están descritas de manera simétrica:

- la radiación tiene energía y momento en forma de cuantos

- las partículas materiales tienen una distribución espacial continua que les hace tener propiedadesondulatorias.

• COMPLEMENT O La constante de Planck es única.

La suposición fundamental de De Broglie es que la energía y el momento lineal de cualquier ente físico(bien sea radiación o bien sea una partícula material) se expresan como

E = ~ ω p = ~ k,

en función de la frecuencia y longitud de onda (o vector de onda) asociados.

Debido a que el modelo de partícula-onda satisface el principio de relatividad especial6, en el sistemade referencia en el que la partícula está en reposo la energía de la partícula se puede escribir

E o = moc2 = ~ ωo,

donde E o es la energía en reposo de la partícula y ω0 la podríamos llamar ”frecuencia en reposo”.

De aquí obtenemos que la constante de Planck es una constante característica para cada partículamaterial, que se puede definir como E o/ωo. En principio, no existe razón alguna por la que estaconstante E o/ωo sea la misma para todas las partículas materiales. Todas las medidas experimentalesdirectas (del tipo los experimentos de Davisson y Germer) apoyan la creencia en la universalidad delas relaciones E = ~ ω y p = ~ k, independientemente del tipo de partícula. Ahora bien, el número demedidas directas de ~ es muy pequeño, por lo que la base real de creer en estas relaciones es el éxitogeneral de la mecánica cuántica. En este sentido, podemos afirmar que tenemos una comprobaciónexperimental de las relaciones E = ~ ω y p = ~ k de la misma forma que la tenemos de la expresiónE o = moc

2 (de la que tenemos muy pocas medidas experimentales directas). Suponemos que todasestas ecuaciones son exactas y constituirán las piedras angulares de nuestra teoría física.

6 Esto no está explícito en el texto-base, pero es así como De Broglie lo formuló. Por tanto, la relación entre el vector y lafrecuencia de onda con el impulso y la energía de la partícula, respectivamente, debe ser la misma en cualquier sistema inercial.

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• COMPLEMENT O ¿Pueden dividirse las ondas materiales?De igual manera que se ha tratado el tema de la indivisibilidad de los fotones, se podría hacer unadiscusión similar con las ondas materiales. La discusión podría ser sobre un experimento de difracción

de electrones (por ejemplo, la configuración de Davisson-Germer, véase el apartado 3.1 del libro deEisberg y Resnick). Aquí pasa una cosa parecida al caso de los fotones y las rendijas: se observa queel flujo de carga que llega a un contador de electrones se ha dispersado por el cristal, pero lo que se hadispersado son electrones que llevan consigo toda su carga y toda su energía.

Por consiguiente, al igual que cuando hablamos de los fotones, la amplitud de la onda asociada alelectrón es la que nos da las figuras de difracción, pero es el cuadrado de dicha amplitud la que debeinterpretarse como la probabilidad de detectar un electrón. De esta manera no dividimos al electróncuando se dispersa o difracta por la red cristalina y no encontramos partes de electrones con parte desu energía.

La onda de De Broglie y la partícula son la misma cosa : la partícula material tiene propiedadesondulatorias, de forma que podemos hablar de la onda de De Broglie de la partícula, pero no de quela onda de De Broglie viaje junto con (o guiando a) la partícula.

• Vamos ahora a mencionar algunos resultados experimentales de interés sobre este tema y el anterior.7

Por ello, resulta más interesante e instructivo un experimento en el que la estructura periódica “infinita”(en realidad, basta con que sea mucho mayor que la anchura del haz de partículas) queda reducida a un

par de rendijas paralelas8

. Una fuente de partículas lanza un haz de partículas en el mismo estado (esdecir, preparadas de la misma forma) sobre una pared en la que hay dos rendijas paralelas separadasuna distancia a. (La anchura de las rendijas también es importante pero, por simplicidad, supondremossimplemente que es mucho menor que a). Tras atravesar las rendijas, las partículas inciden sobre unapantalla situada a una distancia d, donde son registradas por detectores distribuidos por la misma(ver Figura 1). Cuando sólo está abierta la rendija 1, el registro de las partículas que llegan a losdiferentes puntos de la pantalla corresponde a la curva P 1, que tiene un único máximo frente a dicharendija. Esto parece lógico, puesto que todas las partículas que llegan a la pantalla han tenido quepasar necesariamente por la rendija 1; el ensanchamiento de la curva (mayor cuanto más estrecha esla rendija) no sería difícil de explicar teniendo en cuenta que los bordes de la rendija pueden afectara algunas de las partículas que la atraviesan. Una curva similar se obtiene cuando sólo está abierta larendija 2.Ahora bien, desde el punto de vista clásico parece claro que la trayectoria de una partículaque pasa por la rendija 1 no debería verse afectada por el hecho de que la rendija 2 esté abierta ocerrada. Por consiguiente, cabría esperar que cuando están abiertas las dos rendijas, la curva que dala distribución de los puntos de llegada de las partículas fuera la suma de las curvas 1 y 2 (para unamisma duración del experimento). Sin embargo, no es esto lo que se observa cuando ambas rendijasestán abiertas; lo que se observa realmente es una figura con varios máximos y mínimos, similar a lospatrones de interferencia de las ondas. Lo más destacable es que existen puntos en la pantalla a losque pueden llegar partículas cuando está abierta sólo la rendija 1 o sólo la rendija 2, pero a los queapenas llegan partículas cuando están abiertas ambas rendijas. Asimismo, existen puntos para los queel número de partículas que llegan cuando ambas rendijas están abiertas es mayor que la suma de lasque llegaban atravesando la rendija 1 (cuando la 2 estaba cerrada) y las que llegaban atravesando larendija 2 (cuando la 1 estaba cerrada).

La forma de estas curvas puede explicarse, una vez más, a partir de un formalismo tomado de la teoríaondulatoria. En efecto, supongamos que p = ~ k es el módulo del momento lineal de las partículas

incidentes. Si suponemos que la interacción de las partículas con las rendijas es una colisión elástica,cada rendija se convierte en la fuente de una onda cilíndrica, siendo coherentes ambas ondas emergentes,es decir que tienen una misma fase bien definida. Para un instante t, las amplitudes de la onda 1 y laonda 2 en un punto (0, z) de la pantalla serán respectivamente

ψ1(0, z) = A√

r1exp(ikr1) ψ2(0, z) =

A√ r2

exp(ikr2) ,

siendo r1 y r2 las distancias desde cada rendija al punto de la pantalla. Las intensidades de dichas

7 Para más detalles, véase el capítulo primero del libro Introducción al formalismo de la Mecánica Cuántica , cuyos autoresson P. García González, J. E. Alvarellos y J. García Sanz (Cuadernos de la UNED, 2000).

8 Una exposición de dicho experimento puede encontrarse en el capítulo primero del volumend tercero de las Lecciones de Física , de Richard Feynman y colaboradores (editorial Fondo Educativo Interamericano). Véase también el capítulo quinto

del libro Física Cuántica de E. Wichman, volumen 4 del Curso de Física de Berkeley (editorial Reverté).

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Figura 1: Experimento de la doble rendija. Arriba, las probabilidades de llegada cuando está abierta una u otrarendija (no las dos). Abajo, en línea de trazos la suma de las probabilidades P 1+P 2; en línea continua la probabilidadde llegada cuando ambas rendijas están abiertas simultáneamente.

ondas en dicho punto son

I 1(0, z) = |ψ1(0, z)|2

= |A|2

r1=

|A|2p d2 + (z − a/2)2

I 2

(0, z) = |ψ2

(0, z)|2 = |A|2

r2=

|A|2p d2 + (z + a/2)2 .Ambas curvas presentan un único máximo (centrado en z = ±a/2) y decrecen a medida que nosalejamos de él. Éstas expresiones describen a las curvas 1 y 2 que, recordémoslo, son las que se obtienencuando sólo la rendija 1 o sólo la rendija 2 está abierta. Por su parte, cuando ambas rendijas estánabiertas la amplitud de la onda en (0, z) sería la suma de las amplitudes de las dos ondas procedentesde 1 y de 2

ψ12(0, z) = ψ1(0, z) + ψ2(0, z) = A√

r1exp ikr1 +

A√ r2

exp ikr2

y su intensidad

I 12(0, z) = |ψ12(0, z)|2

= |ψ1(0, z) + ψ2(0, z)|2

= |ψ1(0, z)|2 + |ψ2(0, z)|

2 + 2 |A|2

√ r1r2

cos[k(r1 − r2)] .

Si d À a podemos aproximar r2 − r1 ' za/d. Además, a/d ' θ, siendo éste el ángulo subtendido porlas rendijas desde el centro de la pantalla. Así pues

I 12(0, z) = I 1(0, z) + I 2(0, z) + 2p

I 1(0, z)I 2(0, z)cos(kθz) .

Vemos así que, superpuesto a la suma de las intensidades de ambas ondas, hay un término oscilanteque da lugar a varios máximos y mínimos en la curva. La distancia ∆z entre dos máximos sucesivosviene dada por9

kθ∆z = 2π ⇒ ∆z = 2πkθ

= h

p

d

a.

9 Cuando se tiene en cuenta también la anchura finita de las rendijas, hay que introducir algunas correcciones; la expresiónexacta puede encontrase en cualquier libro de óptica.

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Lo realmente notable es que el formalismo de la teoría ondulatoria explica exactamente los resultados.Por ejemplo, la figura 2 muestra una comparación de la teoría con los resultados de un experimentocon neutrones fríos (de baja energía) correspondientes a λ = 2 nm. Las rendijas tienen 22 µm deanchura y están separadas 104 µm (es decir, la separación entre rendijas es 50000 veces mayor que la

longitud de onda asociada a los neutrones). La distancia de las rendijas a la pantalla es de 5 m.

Figura 2: Figura de difracción por una doble rendija para neutrones fríos con una longitud de onda de 2 nm,correspondiente a una velocidad de 200 m/s. Las rendijas tienen una anchura de 22 µm y están separadas unadistancia de 104 µm. Los ángulos de difracción resultantes son del orden de 10 microrradianes, de modo que elplano de observación está situado a 5 m de la doble rendija para poder resolver esta figura de interferencia (de un

experimento de Zeilinger et al Rev. Mod. Phys. 60 (1988) 1067).

• Lo único que hemos hecho hasta aquí es utilizar un artificio matemático basado en ondas para calcularla distribución de puntos de llegada en la pantalla. ¿Podemos ir más allá y dar algún signi ficado físicoadicional a estas funciones de onda ? ¿Quiere esto decir que las partículas se comportan en todos losaspectos como ondas? Evidentemente, no. Una onda es un objeto extenso y continuo, mientras quelas partículas se detectan de una en una y en un punto concreto de la pantalla.

Una posible solución consistiría en decir que la onda describe a un conjunto de partículas que actúancolectiva y simultáneamente, pero esta interpretación queda fácilmente refutada si podemos asegurarque sólo hay una partícula en vuelo entre la fuente y la pantalla. Consideremos, por ejemplo, unexperimento llevado a cabo por Tonomura et al. en 1989. En este experimento, las partículas sonelectrones en un microscopio electrónico y la doble rendija es lo que se denomina un biprisma de

Mollendstat. La particularidad de este experimento es que el ritmo de emisión de los electrones esmuy lento (1000 por segundo), aunque la velocidad de los electrones en vuelo es de 0.4 c. Por lotanto, cada electrón tarda aproximadamente 10−8 s en llegar a la pantalla. Después de eso, hay queesperar un tiempo aproximadamente 105 veces mayor hasta que sea emitido el siguiente electrón. Esdecir, sólo durante un cienmilésima parte del tiempo total del experimento hay electrones en vuelo. Esmás, si los electrones no fueran frenados por la pantalla, un electrón se habría alejado cien kilómetrosantes de que saliera el siguiente. (A modo de analogía, esto es similar a una etapa ciclista contra relojque se recorriera aproximadamente en 1 hora y en la que los corredores salieran con intervalos de 10años). En estas circunstancias resulta difícil pensar en que cada electrón puede transmitir a los quele siguen alguna información de por dónde ha pasado. Gracias a este ritmo de emisión relativamentelento, puede registrarse la llegada de cada electrón a la pantalla. Así, las fotografías de la figura 3muestran de arriba a abajo los impactos acumulados tras la emisión de 10, 100, 1000,... electrones. En

la primera fotografía podemos ver que los electrones inciden en la pantalla de una forma aleatoria. Noaparece ninguna pauta discernible y no hay forma de predecir dónde irá a parar el próximo electrón.

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Figura 3: Evolución temporal de la figura de interferencia de los electrones que atraviesan una doble rendija. Elnúmero de electrones registrados en cada placa es: (a) 10, (b) 100, (c) 3000, (d) 20000 y (e) 70000. De un experimentode Tonomura et al (Am. J. Phys. 57 (1989) 117). Nótese que las fotografías están giradas y las franjas aparecenverticalmente.

No obstante, a medida que aumenta el número de electrones aparece una pauta clara en la pantalla,y cuando el número de electrones acumulado es muy grande, aparece una pauta de interferencia biendefinida que se mantiene estable. En otras palabras, cuando el número de electrones emitidos es muyalto, el cociente entre el número de electrones N (z) que inciden en un punto determinado de coordenadavertical z en la pantalla y el número total de electrones emitidos N T tiende a un valor constante, esdecir

limN T →∞

N (z)

N T = Prob(z).

Ésta es precisamente la llamada definición frecuencial de la probabilidad. Nótese que la existencia deeste límite y, por lo tanto, de una probabilidad definida, sólo se manifiesta cuando se acumulan muchossucesos (impactos en la pantalla), pero la probabilidad se asigna a cada suceso individual. Esto escaracterístico de las teorías probabilistas, del mismo modo que se habla de la probabilidad de obteneruna determinada cara de un dado cuando lo lanzamos sobre una mesa.

En resumen, el experimento nos dice lo siguiente: i) los electrones se emiten de uno en uno y sedetectan en puntos concretos de la pantalla, es decir, se detectan como partículas puntuales; ii) no esposible predecir el punto de impacto de cada electrón individual; iii) pese a todo, cuando el número

de electrones emitidos es sufi

cientemente alto existe una probabilidad defi

nida de detectar un electrónen un punto; iv) la figura global muestra una pauta de interferencia, aunque ésta sea el resultadode sucesos independientes; esto quiere decir que existe coherencia entre las diferentes partículas en elmismo estado de preparación.

El experimento nos sugiere también la interpretación que hay que dar a la función de onda. A cadaestado de preparación de una partícula le corresponde una función ψ(~r), en general compleja, de lascoordenadas espaciales; la probabilidad de encontrar la partícula en un volumen infinitesimal d3r entorno a un punto ~r es

Prob(~r) d3r = |ψ(~r)|2 d3r.

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4 Tema 4. Principio de indeterminación.Contenido de los textos-base:Eisberg y Resnick: apartados 3.3 a 3.6.

Alonso y Finn vol III: apartado 1.12.

La introducción de la dualidad onda-partícula lleva a poner en entredicho la posibilidad de que la posicióny el impulso de una partícula puedan determinarse completamente de manera simultánea. Esto ya se hacomentado al hablar de los experimentos de las dos rendijas: no podemos preservar la figura de difracciónde dos rendijas si queremos saber por dónde ha pasado cada fotón.

La dualidad onda-partícula cambia la posibilidad de determinar completa y simultáneamente la posicióny el impulso por una limitación en la precisión de dichas medidas: este es el principio de incertidumbrede Heisenberg, que en una dimensión puede escribirse como:

∆x · ∆ p ≥ ~ /2.

• Origen matemático.

El principio de incertidumbre tiene un claro origen matemático, que se puede ver con facilidad mediantela teoría de la integral de Fourier (puede interesarse por el tema en un libro de Métodos Matemáticos para la Física o en un curso de Mecánica Cuántica más avanzado).

Una demostración matemática, basada en otro tipo de argumentos, se expone con más extensión eneste material complementario (véase más adelante, en la parte correspondiente al tema 7).

• Interpretación física (Heisenberg, 1927).

En los procesos de medida se puede medir con total precisión, por ejemplo, el momento lineal deuna partícula pero eso impide que se pueda determinar a la vez la posición de dicha partícula. Elprincipio de indeterminación nos da una guía acerca de cuál puede ser el valor mínimo delproducto de las incertidumbres ∆x y ∆ p al hacer una medida simultánea de la posicióny del momento lineal.

• Propiedades de las ondas de materia: velocidad de fase y velocidad de grupo (para estos conceptos,

recuérdese lo aprendido en la asignatura de Mecánica y Ondas acerca de ellos).Debe comprender el alumno que la velocidad de grupo de un paquete de ondas determina el momentolineal de la partícula asociada (es la discusión de las págs. 98 y 99 del Eisberg y Resnick; vea tambiénel apartado 1.11 del Alonso y Finn vol III).

• Algunas consecuencias del principio de incertidumbre.

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5 Tema 5. Modelos atómicos clásicos.Contenido de los textos-base:Eisberg y Resnick: apartados 4.1 a 4.4.

• Descubrimiento del electrón (1897).Modelos atómicos de Thomson (1910) y Rutherford (1911): debe usted adquirir una idea cualitativade ambos modelos, sin que sea necesario que entre en excesivos detalles.

• Espectros de emisión y absorción de los átomos: son espectros discretos en ambos casos. Parael caso del átomo más sencillo (el hidrógeno) estos espectros son relativamente simples y regulares.

6 Tema 6. Modelo atómico de Bohr-Sommerfeld.

Contenido de los textos-base:Eisberg y Resnick: apartados 4.5 a 4.12.Alonso y Finn vol III: apartados 1.7 a 1.9.

• Modelo atómico de Bohr (1913).

(a) Niveles de energía del átomo de hidrógeno (estado fundamental y estados excitados). Órbitas

estables. Número cuántico n.La energía de los estados ligados de un electrón en un átomo hidrogenoide, en el caso en que se supongaque la masa del núcleo es infinita (comparada con la del electrón), viene dada por la expresión:

E n = −13.6 Z 2

n2 eV.

Como se ve, las energías de ligadura de los átomos hidrogenoides son del orden de decenas o centenasde eV.

Es conveniente que el alumno conozca el valor aproximado (unos 0.5 Å) del radio de Bohr (que es elradio de la trayectoria circular que corresponde al nivel más bajo del electrón). Este radio nos da unaidea del orden de magnitud de las dimensiones atómicas en general.

(b) Espectros de emisión y de absorción. Al pasar de una órbita permitida a otra, el electrón cede oabsorbe energía electromagnética.

Si hablamos de la longitud de onda de la radiación emitida en una transición entre dos niveles diferentespodemos escribir10

1

λ = R∞Z

2

Ã 1

n2f − 1

n2i

!

(c) Experimento de Franck y Hertz (1914).

10 En el caso en que la masa del núcleo no se considere infinita hay que utilizar Rµ en vez de R∞, donde µ es la masareducida del sistema núcleo-electrón (vea en el apartado 4.7 del libro de Esiberg y Resnick una discusión completa de los efectosde considerar la masa del núcleo finita).

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• Modelo de Wilson y Sommerfeld (1916).Este modelo generaliza la regla de cuantización de Bohr a las variables dinámicas conjugadas(repase las nociones que sobre ello se han estudiado en Mecánica y Ondas ):I

pq dq = nq h,

donde h es la constante de Planck.

Note que en un sistema unidimensional estas variables son la posición x y el momento lineal p; pero enun sistema con simetría central se puede, como hace el libro de Eisberg y Resnick, usar las variablesangulares θ y el momento angular L para cuantizar el átomo de hidrógeno.

Esta generalización introduce nuevos números cuánticos (el número cuántico principal y el númerocuántico azimutal), así como el concepto de degeneración.

• Principio de correspondencia (1923). Nos permite enunciar cómo podemos pasar de una descrip-ción cuántica a su límite clásico.

• Crítica a la teoría cuántica antigua.

• COMPLEMENT O Número entero de ondas de De Broglie en una órbita circular.

La expresión para los niveles de energía de un átomo hidrogenoide se puede justificar usando conceptosprovenientes de las ondas estacionarias. En efecto, supongamos un electrón describiendo una órbitacircular de radio r. Para que la órbita corresponda a un estado estacionario parece lógico que debapermitir la existencia de ondas estacionarias de De Broglie en el recorrido de la órbita; esto es, quequepan un número entero de ondas en la órbita que estemos considerando. Como la longitud de ondaes λ = h/p, debe cumplirse que 2πr = nλ = nh/p ⇒ rp = mvr = nh/2π = n~ (que es el momentoangular del electrón). Por otra parte, para que la trayectoria sea circular, la fuerza centrífuga debe serigual a la culombiana entre núcleo y electrón: mv2 = Ze2/(4π²or). Eliminando la velocidad de ambasecuaciones se obtiene el valor del radio de la órbita

r = n2h2²oπmZe2 =

n2

Z ao.

La energía total del electrón es (usando las ecuaciones para la velocidad y para el radio de la órbita)

E = 1

2mv2 − Ze

2

4π²or = − Ze

2

4π²o (2r) = − me

4Z 2

8²2oh2n2

= −R∞hcZ 2

n2 .

Recuerde que esto es sólo una justificación, no una explicación rigurosa.

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7 Tema 7. Ecuación de Schrödinger. Interpretación estadísticade la función de ondas. Estados cuánticos estacionarios.

Contenido de los textos-base:Eisberg y Resnick: capítulo 5.Alonso y Finn vol III: apartados 2.2, 2.3, 2.7, 2.9, 2.10 y 2.12.

• Construcción de la ecuación de Schrödinger.Al estudiar la forma de construir la ecuación de Schrödinger, el texto de Eisberg y Resnick hace dosaproximaciones fundamentales (en esencia, ambas aproximaciones significan lo mismo que decir que ladeducción de la ecuación es para un sistema no relativista):

I. Se ignoran los fenómenos de creación y destrucción de partículas materiales.

II. Se supone que todas las velocidades de las partículas materiales son suficientemente pequeñas paraque sea válida la aproximación no relativista (hay una discusión interesante sobre la estimación deenergía relativista en el ejemplo 6.6 del Eisberg y Resnick).

Partiendo de dichos puntos, se desarrollan un conjunto de suposiciones para la construcción de laecuación de Schrödinger (1926), cuya plausibilidad se discute en detalle en el texto. El resultadoresulta ser

− ~ 2

2m∇2Ψ (~r, t) + V (~r, t)Ψ (~r, t) = i~ ∂

∂ tΨ (~r, t) .

COMPLEMEN T O: Ecuación de Schrödinger: linealidad y principio de superposición.

Dado que una dimensión la ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial lineal (repase lo quesignifica eso) y en general una ecuación en derivadas parciales lineal, sus soluciones satisfacen el prin-cipio de superposición: cualquier combinación lineal de (dos) soluciones de la ecuación es

también una solución. La amplitudes de las ondas materiales pueden sumarse, de igual maneraque se pueden sumar las amplitudes de las ondas electromagnéticas (pues las ecuaciones de Maxwelltambién son lineales). Nótese que ya hemos supuesto implícitamente la linealidad, cuando hablamosde sumar las amplitudes de las ondas materiales al discutir las figuras de difracción de los experimentosdel tipo Davisson y Germer.

Se sabe que una onda plana es solución de la ecuación de Schrödinger en zonas donde la energíapotencial es constante (véase el tema 8), por lo que una combinación cualquiera de ondas planastambién será solución de dicha ecuación de Schrödinger. Dada una función compleja cualquiera Q (k),podemos escribir la combinación lineal más general como una integral

Ψ (x, t) =

Z dk Q (k) ei(k·r−ωt).

Por lo tanto, podemos concluir que cualquier onda material Ψ (x, t) se puede considerar como unasuperposición de ondas materiales planas.11

• Interpretación estadística de la función de onda.El postulado de Born (1926) establece la relación entre la densidad de probabilidad (esto es, laprobabilidad por unidad de volumen de encontrar la partícula en la vecindad de un punto ~r en uninstante t) y la función de onda como

P (~r, t) = Ψ∗ (~r, t) Ψ (~r, t) .

11

Nota matemática: la teoría de la integral de Fourier (véase algún libro de Métodos Matemáticos para la Física) nos diceque la integral R dk Q (k) ei(k·r−ωt) existe siempre y cuando la función Q (k) se comporte razonablemente bien; además, nosdemuestra que cualquier función de onda Ψ (x, t) puede expresarse como superposición de ondas planas.

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Por tanto, la densidad de probabilidad es el cuadrado complejo de la función de onda.COMPLEMEN T O: Como ya hemos discutido al hablar de la posible divisibilidad de fotones y ondasmateriales, lo que debe interpretarse como la probabilidad de detectar una partícula es el cuadrado de

la amplitud (del campo para un fotón, de la onda material para el electrón). La extensión formal deestos comentarios, que hicimos en los temas 2 y 3, constituye la base de la interpretación estadísticade la función de onda por Born (1926). Vamos a dar algún argumento más para justificar dichainterpretación.

Como ya es sabido (véase el complemento anterior), la ecuación de Schrödinger es una ecuación difer-encial lineal, con lo que sus soluciones satisfacen el principio de superposición. Dado que una ondaplana es la solución de la ecuación de Schrödinger para un partícula en el espacio libre, la solución másgeneral de dicha ecuación para una partícula que se mueve libremente en el espacio será la combinaciónlineal más general de ondas planas, esto es

Ψ (x, t) =

Z dk Q (k) ei(k·r−ωt),

donde Q (k) es una función en general compleja. Si elegimos adecuadamente la función Q (k) podemosconstruir paquetes de ondas que estén localizados en una cierta región del espacio en un instante dado;ese paquete de ondas representará una partícula confinada en dicha región finita del espacio (esto es,

representará cualquier partícula que se quiera estudiar experimentalmente). Parece natural afirmarque es más probable encontrar la partícula en aquellas regiones del espacio en que la función de ondaes grande. Por eso, dado que la función de onda es en general compleja, se asocia el cuadrado de sumódulo (la densidad de probabilidad ) a la probabilidad de encontrar la partícula .

La dualidad onda-partícula queda, pues, cerrada en base a las dos interpretaciones que ya se handiscutido:

(1) el tratamiento por Einstein (1905) para la radiación electromagnética (fotones).

(2) la interpretación estadística de la función de onda (Born, 1926) para las partículas materiales.

Más adelante, en el tema de Estadísticas Cuánticas se verá que los cuantos de las vibraciones de unared cristalina (los fonones ) también cumplen esta dualidad.

• Valores esperados, de expectación o valores medios(apartado 5.4 del libro de Eisberg y Resnick).

La interpretación estadística de la función de onda permite definir los valores medios o valores esperadoscomo los que obtendríamos de una medida sobre un gran número de sistemas, en cada uno de los cualesla partícula tuviera la misma función de onda. Esto es el significado de calcular el valor medio mediantela densidad de probabilidad.

Sólo para una partícula en un estado de energía bien definida (esto es, para un estado estacionario;véase más adelante las propiedades de las autofunciones) la densidad de probabilidad es independientedel tiempo.

En general, en una dimensión el valor medio de cualquier función de la posición vendrá dado por

f (x, t) =

Z +∞−∞

f (x, t) P (x, t) dx =

Z +∞−∞

f (x, t)Ψ∗ (x, t)Ψ (x, t) dx =

Z +∞−∞

f (x, t) |Ψ (x, t)|2 dx.

Como observará, el valor medio f (x, t) es una función que en general depende del tiempo (aunque node x, pues ya se ha integrado en esa variable).

Como puede ver usted discutido en el complemento sobre las variables cuánticas (vea más abajo), engeneral una variable cuántica es un operador lineal, cuyo valor medio podemos calcular mediante elprocedimiento acabado de esbozar.

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• Variables dinámicas en mecánica cuántica(apartado 5.4 del Eisberg y Resnick).La relación entre las variables dinámicas en mecánica cuántica y los operadores que actúan sobre las

funciones de onda viene discutida en el complemento. Los operadores más comunes pueden expresarsecomo

xop ↔ x

px,op ↔ −i~ ∂ ∂ xy de igual manera para las otras coordenadas cartesianas. El operador hamiltoniano o energía se escribecomo

H op = p2op2m

+ V op (x, t) =⇒ H op ↔ i~ ∂ ∂ t

COMPLEMEN T O.

Nota: haremos el tratamiento en una dimensión, pero lo aquí explicado se generaliza sin ningunadificultad a más dimensiones.

Sea Ψ (x, t) una función de onda normalizada a la unidad. LlamaremosΨ (x, t0) a dicha función de ondaen un instante de tiempo determinado to. Si aceptamos la interpretación probabilística de la funciónde onda, dado que |Ψ (x, t0)|

2 es una densidad de probabilidad que define la distribución probabilísticadel observable físico x, los valores medios de x y x2 deben venir dados por

x ≡ hxi =Z ∞

−∞

dxΨ∗ (x, t0) x Ψ (x, t0) =

Z ∞

−∞

dx x |Ψ (x, t0)|2

x2 ≡ -x2® = Z ∞−∞

dx x2 |Ψ (x, t0)|2

,

donde x o hxi es el valor esperado, valor de expectación o valor medio de x en el estado ψ. Estoes, claro está, generalizable para cualquier función de x, de forma que el valor media de la energíapotencial de una partícula será:

V =

Z ∞

−∞

dx V (x) |Ψ (x, t0)|2

.

Definimos ahora la indeterminación en x como la desviación cuadrática media de x, esto es,

(∆x)2

= (x − x)2 =D

(x − hxi)2E

=

Z ∞

−∞

dx (x − hxi)2 |Ψ (x, t0)|2 =-

x2®−2 hxi hxi+hxi2 = -x2®−hxi2 ;

de manera que cuando más concentrada se encuentre la función de onda en torno a su posición media,hxi = x, tanto menor es ∆x.

Pregunta: ¿se imagina el alumno qué tipo de función de onda sería necesario para un estado en el quese conozca exactamente la posición, con ∆x = 0?

Ahora bien, sabemos calcular, por ejemplo, el valor medio de la variable cuántica de posición x, ¿perocuál es valor numérico de la propia variable cuántica x? La respuesta es: una variable cuántica NO tiene un valor numérico, sólo podemos de fi nir procedimientos mediante los que se pueden calcular valores medios para cualquier función de onda (esto es, para cualquier estado cuántico).

Lo anteriormente dicho es válido para variables cuánticas que dependan de la posición, pero el problemaestá en cómo definir otras variables cuánticas que no dependen de x. Para intentar avanzar, supongamosuna función de onda normalizada que tiene la forma Ψ (x, t0) = C exp (ixe p/~ ) en un intervalo muygrande de la recta real; fuera de ese intervalo la función de onda tiende a cero. Dado que la función deonda es prácticamente una onda plana en una zona muy grande, podemos decir que aproximadamentetiene un vector de onda muy bien definido, de valor k '

e p/~ . Por tanto, el valor medio del momento

lineal debe ser muy cercano a e p, esto es p ' e p. Dentro del citado intervalo se cumple que−i~ ∂

∂ xΨ (x, t0) = e pΨ (x, t0) .

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• Separación de la variable temporal y las variables espaciales: laecuación de Schrödinger independiente del tiempo(apartado 5.5 del Eisberg y Resnick).

En el caso en que la energía potencial del sistema no dependa de manera explícita del tiempo, es posibleencontrar para todo instante de tiempo t soluciones en las que las variables espacial y temporal estánseparadas, de forma que la función de onda Ψ (x, t) tenga dos partes: una puramente espacial ψ (x)

y otra puramente temporal T (t), de manera que la función de onda total será Ψ

(x, t) = ψ (x) T (t).Cuando se introduce esta expresión en la ecuación de Schrödinger, nos queda una ecuación diferencialpara la parte espacial de la función de onda en términos de un operador diferencial H op:

H op ≡ − ~ 2

2m∇2 + V (x) ⇐⇒ H opψ (x) = E ψ (x) ,

que se denomina ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. De lo anterior resulta que lafunción de onda puede escribirse como:

Ψ (x, t) = ψ (x) exp (−iEt/~ ) .

En estas expresiones la constante E es la energía total de la partícula.

Note que en este caso los valores medios no dependen del tiempo y por eso a estos estados se les llamaestados estacionarios .

• Propiedades de las autofunciones (apartado 5.6 del Eisberg y Resnick).Aunque existan soluciones a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, pero sólo podemosadmitir las que sean aceptables para el sistema físico que queremos describir. Es, por consiguiente,parte esencial de la búsqueda de las soluciones a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempoel incluir las condiciones que hacen que una determinada solución sea admisible desde un punto devista físico para el sistema que se está estudiando. Esas condiciones están explicitadas, hablando enlenguaje matemático, por las llamadas condiciones de contorno de la ecuación diferencial. Aquellos

valores de E para los que la ecuación de Schrödinger tiene una solución aceptable (esto es, que lasolución cumpla las condiciones físicas impuestas por las condiciones de contorno) son los autovalores o valores propios o eigenvalores del operador H op (o de la ecuación diferencial). Las correspondientesoluciones ψ (x) son las autofunciones o funciones propias o eigenfunciones del operador y cosntituyenla parte espacial ψ (x) de la función de onda total, Ψ (x, t) = ψ (x) exp (−iEt/~ ).

• Cuantización de la energía (apartado 5.7 del Eisberg y Resnick).Al estudiar la solución del problema de la cuerda vibrante entre dos extremos fi jos12 se obtienensoluciones discretas de la ecuación diferencial que describe dicho problema (por ejemplo, la longitudde onda de los posibles modos de vibración de la cuerda tiene soluciones discretas, sin que los valores

posibles constituyan un contiunuo). Esa discretización de los valores que se obtienen en el caso de lacuerda que vibra corresponde justamente al mismo problema matemático que se nos plantea al resolverla ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

En mecánica cuántica debemos resolver habitualmente la ecuación diferencial (ecuación de Schrödingerindependiente del tiempo)·

− ~ 2

2m

µ ∂ 2

∂ x2 +

∂ 2

∂ y2 +

∂ 2

∂ z2

¶+ V (x,y,z)

¸ψ (x,y,z) = E ψ (x,y,z)

con las condiciones físicas de contorno adecuadas para nuestro problema. Esta es una ecuación difer-encial llamada de valores propios (o autovalores 13 ), que sólo tiene solución para algunos valores deter-minados de la constante E ; para cada uno de ellos, por tanto, se corresponde una determinada función

12

Tratada, por ejemplo, en la asignatura de Mecánica y Ondas.13 En la traducción del libro de Eisberg y Resnick recibe el nombre de ecuación de eigenvalores , que respeta (al igual que eninglés) el prefi jo alem án eigen.

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ψ (x). Esto es debido a que como es una ecuación diferencial en derivadas parciales, hay que definir lascondiciones de contorno de cada problema en particular que se quiera resolver; para un sistema deter-minado sólo existirán soluciones de dicha ecuación diferencial para algunos valores de E , que recibenel nombre de valores propios de la ecuación diferencial. Como ya hemos comentado, las soluciones

ψ (x) que corresponden a dichos valores propios se llaman funciones propias (o autofunciones ; en latraducción del libro de Eisberg y Resnick se llaman eigenfunciones ) de la ecuación diferencial.

Por tanto, si la partícula está representada por una función de onda que corresponde a un valor propio

E n, entonces la función propia viene etiquetada por dicho valor propio n y la escribimos como ψn (x).Por tanto, si queremos hallar los niveles de energía de un sistema físico descrito por la energía potencialV (x,y,z), debemos solucionar la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo correspondiente aese potencial.

Por otra parte, podemos afirmar que si la partícula está representada por una función de onda que esun autoestado n del hamiltoniano con autovalor14 E n, este valor E n es el valor esperado (o valor de expectación o valor medio) del operador hamiltoniano. (¡demuéstrelo!; ¿hace falta alguna condiciónmás para obtener ese resultado?)

• El apartado 5.8 del texto-base (Eisberg y Resnick) es muy importante, debe estudi-arse con especial atención.Como complemento, se presenta aquí una discusión sobre las diferencias que se pueden establecerentre soluciones estacionarias y no estacionarias de la ecuación de Schrödinger. Consideremos una caja unidimensional (o pozo cuadra

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