186

Óptica geométrica8UNIDAD

olamente podemos ver un objeto si la luz que despide, irradia o refleja nos llega a nuestros

ojos. La mayoría de los objetos que vemos no son luminosos pero reflejan la luz que les

llega de una fuente luminosa.

En esta Unidad nos centraremos en

los fenómenos de reflexión y refracción de

la luz cuando los frentes de onda inciden

sobre la superficie de un medio material

transparente y lo atraviesan, dioptrios y

lentes, o vuelven al primer medio refle-

jándose en el caso de los espejos, en

ambos casos formando algún tipo de

imagen.

Usaremos el rayo de luz que es

perpendicular al frente de onda; de esta

manera simbolizamos el recorrido de la

luz mediante rectas siempre que el medio

que atraviesen sea isótropo (con las mis-

mas propiedades en todas las direcciones)

y homogéneo. Varios rayos conforman un haz de luz.

En esta Unidad estudiaremos la formación de imágenes en espejos y lentes. Los instrumentos

ópticos nos han ayudado a ampliar nuestro conocimiento del mundo; entre ellos el ojo humano como

sistema óptico de proyección. Gracias a ellos hemos podido observar objetos muy pequeños, ver

algunos muy alejados y otros nos han servido como proyectores de imágenes y como forma de

captar las formas exteriores.

Los objetivos que nos proponemos alcanzar en esta Unidad son los siguientes:

1. Entender el comportamiento de los rayos de luz a partir de la óptica geométrica, en el dioptrio,

en las lentes y en los espejos.

2. Comprender la formación de imágenes en los diferentes sistemas ópticos, dioptrios, lentes

y espejos utilizando las leyes de la reflexión y la refracción

3. Conocer las ecuaciones fundamentales que nos permitirán conocer las características de

las imágenes formadas en los diferentes sistemas ópticos.

4. Saber buscar la posición de la imagen, el radio de curvatura del sistema óptico, el foco, el

tamaño de la imagen tanto en espejos como en lentes y dioptrios.

5. Conocer algunos instrumentos ópticos, su funcionamiento y su utilidad.

6. Saber cómo funciona el ojo humano, la lupa, el microscopio y el telescopio.

S

• Telescopio del Observatorio Astronómico de Brera, Merate (Italia) (Wikipedia.org. Dominiopúblico)

187

Dioptrios

Lentes Espejos

Instrumentos ópticos

Proyección Aumento Acercamiento

Ojo humano Cámara fotográfica Proyector Lupa Microscopio Telescopio

1. LA ÓPTICA GEOMÉTRICA. CONCEPTOS. CONVENIO DE SIGNOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1882. DIOPTRIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

2.1. Dioptrio esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

2.2. Dioptrio plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

3. ESPEJOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1933.1. Espejos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

3.2. Espejos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

4. LENTES. POTENCIA DE UNA LENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994.1. Formación de imágenes en las lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

4.2. Ecuación fundamental de las lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

4.3. Potencia de una lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

5. ABERRACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065.1. Aberraciones del frente de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

5.2. Aberración cromática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

6. INSTRUMENTOS ÓPTICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.1. El ojo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

6.2. La lupa o microscopio simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

6.3. El microscopio compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

6.4. El telescopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Í N D I C E D E C O N T E N I D O S

188

1. La óptica geométrica. Conceptos. Conveniode signos

La óptica geométrica estudia el camino de los rayos de luz cuando inciden sobre superficies

planas, esféricas, elipsoides, paraboloides, etc, y sufren desviaciones debido a la reflexión o

a la refracción.

Cuando los rayos parten de un objeto y tras sufrir la respectiva desviación convergen en

un punto, hablamos de imagen real, que se puede recoger en una pantalla. Por el contrario,

cuando los rayos divergen, pero sus prolongaciones, en sentido contrario a la marcha del rayo,

confluyen en un punto y hacen el efecto de que surgen de él, el ojo humano vería la imagen

situada en ese punto, pero como los rayos propiamente dichos no confluyen ahí, esa imagen

no se puede recoger en una pantalla, se trata de una imagen virtual de objeto.

A las superficies que separan los medios transparentes, homogéneos e isótropos, con

diferentes índices de refracción los llamamos sistemas ópticos.

Cuando los rayos que parten de un objeto forman una imagen nítida y clara diremos que

el sistema óptico es estigmático. En un sistema estigmático basta con determinar dónde

convergen dos rayos provenientes de un punto para conocer dónde convergen todos los rayos

que han pasado por ese punto. Conviene no confundir el término estigmático con astigmático,

que es precisamente un sistema óptico no estigmático, de imágenes no nítidas.

Si queremos formar la imagen de un objeto no puntual, buscaremos la imagen de dos

puntos de él. Como, por claridad en los esquemas, a los objetos los representamos con

segmentos, bastaría coger sus extremos para formar dicha imagen. Los rayos de luz se propagan

en línea recta en un medio isótropo y homogéneo; son reversibles, es decir, que si un rayo

parte de un punto A y tras llegar a otro P, del sistema óptico, nos produce una imagen en A’,

podemos entender que el recorrido inverso también nos valdría. Así, un rayo que parta de A’

pasaría por P y llegaría a A.

Dioptrio es un sistema óptico formado por dos medios transparentes de diferente índice

de refracción, separados por una superficie, plana o esférica. En su estudio aplicaremos las

leyes de la refracción. Los espejos constan de una superficie lisa, pulida, que en el caso ideal

reflejan todos los rayos que sobre ella incidan. Las lentes son sistemas ópticos formados por

dioptrios cuyos centros están situados en la misma recta, eje principal o eje óptico.

A (objeto)

A’ (imagen)

A (objeto)

Sistema óptico no estigmáticoSistema óptico estigmático

Figura 8.1

ÓPTICA GEOMÉTRICA

8UNIDAD

189

En todos los sistemas que estudiemos para que sean idealmente estigmáticos hemos de

considerar que su radio de curvatura es muy grande comparado con el tamaño del objeto y

que los ángulos de incidencia son menores de 10 grados. Estos rayos que inciden con estos

ángulos se llaman paraxiales y en estos casos utilizaremos en las demostraciones el hecho

de que para estos ángulos podemos usar la aproximación α ∼_ senα ∼_ tgα.

Para el estudio de los diferentes sistemas ópticos consideraremos un sistema de referencia

con su eje de ordenadas y de abscisas. El origen de coordenadas será el centro geométrico

del sistema óptico.

• El eje principal o eje óptico corresponde al eje de abscisas OX.

• El centro de curvatura de la superficie que forme parte del sistema es el centro de la

esfera a la que pertenece dicha superficie.

• Radio de curvatura es la distancia entre el centro óptico y el centro de curvatura.

• Foco imagen es el punto del eje donde se forman las imágenes de los objetos situados

en el infinito, es decir, el punto donde convergen los rayos que vienen paralelos al eje

del sistema óptico.

• Foco objeto es el punto del eje cuya imagen se forma en el infinito, es decir, los rayos

provenientes del foco objeto salen paralelos al eje del sistema óptico. Cuando

estudiemos cada sistema óptico lo veremos con más detenimiento.

El criterio de signos utilizado es el habitual; las distancias positivas están a la derecha del

eje OX y las negativas a la izquierda. Lo mismo ocurre con el eje de ordenadas; por encima

del eje son positivas y por debajo negativas. Así el radio de curvatura será positivo si el centro

de curvatura está a la derecha del origen, centro óptico del sistema. Lo mismo haremos con

la distancia a la que colocamos el objeto, que por convenio lo haremos a la izquierda del sistema;

la llamaremos s, que será negativa. Con el foco ocurre lo mismo.

R < 0+

+

¯

¯

¯

+

Figura 8.2

R > 0

Figura 8.3

190

ÓPTICA GEOMÉTRICA

8UNIDAD

2. DioptriosLlamamos dioptrios a la superficie de separación entre dos medios transparentes,

homogéneos e isótropos con distinto índice de refracción, de modo que cuando la luz atraviesa

la superficie se refracta. Puede ser plano o esférico dependiendo de cómo sea la superficie de

separación.

2.1. Dioptrio esféricoSi la superficie de separación es esférica podremos describir la formación de las imágenes,

pensando en un sistema óptico tal como muestra la figura. Sea C el centro de curvatura de

la superficie, y sea y el tamaño del objeto de extremos A y B, y n1 y n2 los índices de refracción

de los dos medios.

Sean s y s’ las distancias del objeto y de la imagen al dioptrio, respectivamente, y sea y´

el tamaño de la imagen de extremos A’y B ’.

Consideremos n1 < n2

El rayo 1 no se desvía por ser perpendicular a la superficie de separación (coincidente con

la normal).

El rayo 2 se desvía, y según las leyes de la refracción (Snell): n1 sen i = n2 sen r

Los triángulos ABC y A’B’C son semejantes, de modo que: respetando el

criterio de signos, pero sabiendo que las distancias deben ser positivas:

En una aproximación paraxial los ángulos son pequeños y podemos considerar que

sen α = tg α, con lo que:

sen tg y sen tg Sustituyendo en la ley di i ys r r y

s= = − = = − '' . ee Snell:

, luego n ys n y

s n ys n y

sy

1 2 1 2−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⇒ =''

''

'yy

n sn s= 1

2

'

yy

s Rs R

' '= −−

− = −− +

yy

s Rs R

' '

n2

ir

2

1

A’

ACO

y’

y

B’

B

n1

s s’

R

Figura 8.4

191

Si el objeto está a una distancia infinita del dioptrio, los rayos inciden paralelos al eje principal

y la imagen se produce en el punto F ' que llamaremos foco imagen.

El foco objeto es aquel punto F en el que los rayos que parten de él y se refractan al llegar

al dioptrio, emergen paralelos al eje principal.

De la ecuación fundamental podemos deducir las distancias focales imagen y objeto:

Si hacemos s = - ∞, hallaremos la distancia focal imagen, f’, que será: f’ = s’.

y como anteriormente habíamos visto que: , teyy

s Rs R

' '= −− nndremos:

s Rs R

n sn s

n s s R n s s R n ss n sR

' '

' ' '

−− = ⇒

⇒ −( ) = −( ) ⇒ −

1

2

2 1 2 2 == − ⇒ − = −n s s n s R n s R n sR n s s n ss1 1 1 2 1 2' ' ' ' '

Dividiendo ambos miembrros entre ss'R obtenemos: , es decir:ns

ns

nR

nR

n

1 2 1 2− = −'

11 2 1 2 2 1 2

sns

n nR

ns

ns

n− = − − = −' ', que se suele expresar así

nnR

1 que recibe el nombre de

ecuación fundamental del diopttrio.

nf

n n nR

nf

n nR f R n

n n2 1 2 1 2 2 1 2

2 1' ' '− −∞ = − ⇒ = − = −, luego

Para calcuular la distancia focal objeto, , y entonces .s s fn

' = + ∞ = +

22 1 2 1 1 2 1 1

2 1∞ − = − ⇒ − = − = − −nf

n nR

nf

n nR f R n

n n, luego

Dividiendo eestas dos expresiones miembro a miembro tendremos: ff ' = − nn

n1

2

El aumento lateral, , que definimos como el cocientβ ee del tamaño de la imagen entre el

tamaño del objeto será:: β = =yy

n sn s

' '1

2

R e c u e r d a

� Los criterios de los signos son los correspondientes a los de los ejes cartesianos utilizados en

matemáticas.

� Por convenio, en las figuras la luz incide de izquierda a derecha.

� La ecuación fundamental del dioptrio es: , y el aumento lateral viene dado

por: β = =yy

n sn s

' '1

2

ns

ns

n nR

2 1 2 1

' − = −

1. a) Calcular las distancias focales imagen y objeto en un dioptrio esférico convexo de 30 cm de

radio, sabiendo que dicha superficie separa el aire del vidrio, cuyo índice de refracción es 1,5.

b) Si colocamos un objeto horizontal a 1 m del dioptrio, perpendicularmente al eje principal,

halla dónde se formará la imagen.

A c t i v i d a d e s

192

ÓPTICA GEOMÉTRICA

8UNIDAD

2.2. Dioptrio planoSe puede considerar este caso como si fuera un dioptrio esférico de radio infinito, R = ∞.

La ecuación fundamental quedaría:

Luego en el dioptrio plano los tamaños del objeto y de la imagen son iguales.

Aunque esto es así, sin embargo a veces nos da la sensación contraria. Si recordamos lo

que vemos cuando buceamos en agua de mar con gafas de bucear, nos parece ver los peces

de mayor tamaño. En el sistema óptico, dioptrio plano, formado por el aire del interior de las

gafas, y el agua de fuera, consideramos el vidrio de las gafas lo suficientemente fino como

para que su influencia no sea apreciable y haga de superficie de separación.

Así, si suponemos que el objeto está a 1 m de distancia del dioptrio:

como

Es decir, como también podemos apreciar en el dibujo, el tamaño de la imagen es el mismo,

pero se forma más cerca de nosotros, y nos parece más grande. En realidad se trata de una

imagen virtual.

ns

ns s s2 1 1 00 1 25

1

1

1 250 8′ = ⇒ ′ = − ⇒ ′ = − = −, ,

, , m

ns

ns

n n ns

ns s s n

n2 1 2 1 2 1 2

1′ − = −

∞ ⇒ ′ = ⇒ ′ = . El aumento lateral es , ya que:

, pero de la anterior relación

β

β

=

= =

1

1

2

yy

n sn s

' ' podemos deducir que

luego:

nn

ss n s n s

yy

1

21 2

1

= ′ ⇒ ⋅ = ⋅

′ = ⇒ ′

'

yy y= .

Airen2=1Agua del mar

n1=1,25

Ojo

Gafa

Y’y

1 m

Figura 8.5

2. ¿A qué profundidad veríamos una hoja caída en el fondo de una piscina de 2 m de profundidad?

Podemos suponer que el índice de refracción del agua de la piscina es 1,3.

A c t i v i d a d e s

193

3. EspejosSon superficies pulimentadas que reflejan los rayos de luz que inciden sobre ellas. Según

sea su superficie, hablaremos de espejos planos y de espejos esféricos.

3.1. Espejos planosCuando vemos un objeto en un espejo plano la imagen está situada detrás del espejo.

Cuando ponemos la mano frente al espejo, observamos que si la acercamos (al espejo) la

imagen también se acerca y viceversa.

• Formación de imágenes

Seguiremos las leyes de la reflexión para ver cómo se forman las imágenes de un objeto.

Desde B el rayo 1 incide en el espejo en un punto Q con un ángulo de incidencia, i, y se

refleja formando un ángulo r con la normal igual, según las leyes de la reflexión, al de incidencia,

i. Ocurre lo mismo con el rayo incidente en P, perpendicular al espejo, que se refleja y vuelve

con la misma dirección, pero con sentido contrario.

Un razonamiento análogo podemos hacer para los rayos provenientes de A. El resultado

es tal que si un observador se situara a la izquierda del espejo vería los rayos como si vinieran

respectivamente de A’ y B’, es decir, de donde se ha formado la imagen.

La distancia s’, desde la imagen al espejo es igual y de signo contrario a la distancia, s,del objeto al espejo. Esto es debido a que los triángulos BPQ y B’PQ son iguales al tener un

lado común, PQ, el ángulo BPQ igual al ángulo B’PQ, al ser los dos rectos, y el ángulo BQPigual al ángulo B’QP, pues al primero le falta el ángulo i para llegar al recto, y al segundo i’, yéstos son iguales, pues ambos son iguales a r (i por la ley de la reflexión, e i’ por opuestos por

el vértice). Así pues, si los triángulos son iguales, tendremos que s = PB es igual a s = PB’, en

valor absoluto, pero con signos contrarios.

s’

ri

B’

A’

B

A

y’y

s

Q

P

O

rayo 1 reflejado

rayo 1i’

Figura 8.6

194

ÓPTICA GEOMÉTRICA

8UNIDAD

Esta conclusión sirve para cualquier punto del objeto. Las características de la imagen

formada son: igual tamaño, derecha y virtual.

La ecuación del espejo plano se puede deducir de la del dioptrio plano, , consi-

derando que n1 = n, y que n2 = -n, ya que el rayo vuelve al mismo medio de índice de refrac-

ción n pero con sentido contrario. Así, la ecuación del espejo plano es:

3.2. Espejos esféricosConsideraremos dos tipos según sea el radio de curvatura positivo o negativo. Si r > 0

se trata de un espejo convexo, como si la parte pulimentada fuese el exterior de la esfera. Si

r < 0, cóncavo.

Los elementos característicos de los espejos esféricos son:

• Centro de curvatura, que es el centro de la esfera a la que pertenece el espejo. Llamado c.

• Centro del espejo: punto central de la superficie, donde colocamos el origen de

coordenadas.

• Radio de curvatura, r, que es el radio del espejo, o distancia entre el centro del espejo

y el centro de curvatura.

• Eje principal. Es la recta que une el centro del espejo y el centro de curvatura.

• Foco principal, F. Es el punto del eje principal en el que se cortan, una vez reflejados,

los rayos que inciden en el espejo paralelos al eje principal. Los rayos que pasan por

el foco antes de incidir en el espejo, se reflejan paralelos al eje principal. El camino del

rayo es reversible.

• Distancia focal. Es la distancia desde el centro del espejo al foco, F. La denotamos por f.

La distancia focal, f, es la mitad del radio de curvatura, siempre que estemos trabajando

en el dominio de la llamada óptica paraxial, caracterizada por ángulos de incidencia pequeños

y radios de curvatura grandes comparados con el tamaño de las imágenes.

La Figura 8.7 nos muestra que cuando nos movemos en el dominio de la óptica paraxial

los rayos paralelos se reflejan pasando por el foco (Imagen de la derecha), mientras que para

rayos no paraxiales esto no se cumple (imagen de la izquierda).

Si α es pequeño: sen α ∼_ αi = r, por las leyes de la reflexión

i = β, pues son ángulos alternos-internos entre paralelas cortadas por una secante;

luego: r = β

CF

C F

Figura 8.7

nn

ss

1

2

= ′

nn

ss s s− = ′ ⇒ = − ′

195

En la aproximación paraxial podemos considerar que el radio, R, es igual a CO, y de igual

manera que FP es igual a FO.

El triángulo CPF es isósceles, y por tanto: d = CF = FP en valor absoluto. Y como en la

aproximación paraxial FP = FO, tendremos d = FO, es decir, la mitad del radio de curvatura:

R = 2f

También podemos deducir la ecuación fundamental del espejo esférico de las del dioptrio

esférico, en donde .

Consideramos la reflexión como un caso particular de la refracción en la que el rayo luminoso

pasa de un medio n1 = n al mismo medio, en el que los rayos viajan en sentido contrario,

con lo que n2 = -n.

Sustituyendo en la ecuación del dioptrio esférico:

A esta distancia s’ se le llama distancia focal, f, con lo que volvemos a comprobar que R = 2f.

Con lo que la ecuación del espejo podemos también escribirla como:

Para calcular el aumento lateral, consideraremos de β = ′yy , nnuevo la correspondiente

expresión del dioptrio esférico ′yy

yn sn s n n n n

yy

nsns

yy

=′

= = −

′ = ′− ⇒ ′ = −

1

21 2, con , y , con lo que:

′′ss

1 1 1

s s f+ ′ =

−′ − = − − ⇒ −

′ − = −ns

ns

n nR

ns

ns

nR2

, dividiendo los dos miembros enntre :

Si la distancia del objeto, , es bastan

− ′ + =n s s R1 1 2

s tte mayor que radio de curvatura, , del espejo,

tendremos

R

que es despreciable frente a , con lo que la última1 2

s R igualdad queda:

1 2

2′ = ⇒ ′ =s R s R .

ns

ns

n nR

2 1 2 1

′ − = −

y

d

ri

O

P

Fβ

Cα

Figura 8.8

196

ÓPTICA GEOMÉTRICA

8UNIDAD

• Formación de imágenes en un espejo esférico

Si tenemos un objeto AB = y, situado de forma que A esté sobre el eje principal, trazaremos:

• Un rayo desde B, paralelo al eje principal, que se reflejará pasando por el foco F (por

definición de foco)

• Un rayo que partiendo también de B pasa por el centro de curvatura y se refleja volviendo

sobre el mismo camino, sin sufrir desviación. El radio es perpendicular a la tangente

y, por tanto, es la normal de la superficie esférica, con lo que i = r = 0.

• Podemos trazar otro rayo desde B que pase por el foco, F, antes de incidir en el espejo,

y que saldrá reflejado paralelamente al eje principal (reversibilidad de los rayos)

y

B’A

B

O

P

FA’C

Cóncavo

y’

s C

y

Fs’

Convexo

Figura 8.9

E j e m p l o sE j e m p l o s

1. En un espejo cóncavo:

a) Coloca un objeto entre el centro de curvatura y el foco y, mediante un diagrama de rayos,

dibuja la imagen.

b) Dibuja ahora la imagen colocando el objeto entre el foco y el centro del espejo.

Solución:

197

a)

b)

2. Calcula dónde se forma la imagen e indica cuáles son sus características, en los dos casos

del ejemplo anterior, suponiendo que la distancia focal es 20 cm y que el objeto está:

a) a 50 cm;

b) a 10 cm.

Solución:

a) s = --50 cm f = --20 cm

1 1 1 1

50

1 1

20

1 1

20

1

50

100

333 3s s f s s s

y

+ ′ = ⇒ − + ′ = − ⇒ ′ = − + ⇒ ′ = − = −

= ′

,�

cm

β yyss= − ′ = − −

− = − , luego β 33 3

500 67

, ,�

Figura 8.11

y

y’

O

P

F

C

Figura 8.10

198

ÓPTICA GEOMÉTRICA

8UNIDAD

La imagen es menor, invertida y real, pues se forma en el corte de los rayos de luz refle-

jados, como se apreciaba en el diagrama.

b) s = --10 cm f = --20 cm

La imagen es mayor, derecha y virtual, ya que se forma con las prolongaciones de los

rayos reflejados.

1 1 1 1

10

1 1

20

1 1

20

1

10

20

120s s f s s s+ ′ = ⇒ − + ′ = − ⇒ ′ = − + ⇒ ′ = = cm

La imagen sse forma a la derecha del espejo. β = − ′ = − − = +ss

20

102

R e c u e r d a

� Si hacemos el estudio de la imagen en espejos cóncavos vemos que:

• Si el objeto se encuentra a distancias superiores en valor absoluto a la distancia focal, salenimágenes reales e invertidas.

• Si el objeto se encuentra más lejos que el centro de curvatura, la imagen es real, invertiday menor.

• Si se sitúa justo en el centro de curvatura, la imagen es del mismo tamaño que el objeto,real e invertida.

• Si el objeto está entre el centro de curvatura y el foco, la imagen es real, invertida y mayorque el objeto.

• Si el objeto está en el foco, no se formará imagen, ya que los rayos reflejados salen paralelos,y no se cortan.

• Sólo si está entre el foco y el centro del espejo se formará una imagen virtual, derecha yde mayor tamaño que el objeto. (Recuerda como ejemplo esos espejos de aumento quesirven para mirarse de cerca la cara)

� En el espejo convexo la imagen de un objeto es siempre virtual, derecha y de menor tamañoque él. Los retrovisores de los coches son espejos convexos.

� Las ecuaciones de los espejos son: ; ;1 1 2 1 1 1′ + = + ′ =s s R s s f y el aumento lateral: β = ′ = − ′y

yss

3. Un objeto de 8 cm de altura está a 75 cm de un espejo esférico. La imagen es real y se forma

a 25 cm del espejo. Calcula:

a) El radio de curvatura del espejo.

b) El tamaño de la imagen.

4. Un objeto se coloca a 10 cm de un espejo esférico y produce una imagen a 20 cm detrás de

él. Calcula la distancia focal, el radio de curvatura, y di qué tipo de espejo es.

A c t i v i d a d e s

199

4. Lentes. Potencia de una lenteLas lentes son sistemas ópticos formados por dos dioptrios. Esto supone que la luz atraviesa

la primera superficie y sufre una refracción, pero luego vuelve a cambiar de dirección al sufrir

la segunda refracción en la última cara (segundo dioptrio).

Estas superficies que forman la lente tienen su centro de curvatura sobre el mismo eje

principal y reciben el nombre de sistemas centrados.

Las lentes que estudiamos tienen superficies esféricas y un grosor despreciable comparado

con el radio de curvatura de las caras.

Hay lentes convergentes y divergentes, según que los rayos que inciden en ellas, paralelos

al eje principal, salgan desviados confluyendo sobre el eje, convergentes, o alejándose del

eje, divergentes.

Las lentes convergentes son más gruesas en su parte central y pueden ser biconvexas,

como la de la Figura 8.12, en la que r1 > 0 y r2 < 0, planoconvexas, donde r1 > 0 y r2 = ∞, y con

meniscos (Figura 8.14).

Las lentes divergentes, como la de la Figura 8.13, se ve que son más

gruesas en los extremos que en la parte central, y pueden ser bicóncavas,

con r1 < 0 y r2 > 0, planocóncavas, con r1 = ∞ y r2 > 0, y con meniscos

(Figura 8.14).

Elementos característicos de las lentes:

• Foco imagen, F’, es el punto en el que corta al eje principal cualquier rayo emergente

(en las lentes convergentes) o su prolongación (en las divergentes) que incide

paralelamente al eje principal.

• La distancia del centro de la lente al foco imagen se representa por f’ y se suele llamar

distancia focal.

Utilizando el criterio de signos indicado anteriormente, la distancia focal imagen será

positiva en las lentes convergentes y negativa en las divergentes. En la figura anterior

se ve cómo los rayos que inciden paralelos al eje convergen hacia un punto situado a

Figura 8.12 Figura 8.13

Figura 8.14

200

ÓPTICA GEOMÉTRICA

8UNIDAD

la derecha en las lentes convergentes, F’, y, en cambio, en las divergentes no son los

rayos emergentes, sino sus prolongaciones las que se cortan en F’, a la izquierda de

la lente.

• Cualquier rayo que pase por el punto simétrico de F’ respecto al centro de la lente,

emergerá paralelo al eje principal. Este punto por donde pasan los rayos o sus

prolongaciones y salen paralelos al eje principal se llama foco objeto, F.

• Centro óptico es el centro geométrico de la lente, punto de intersección de la lente

con el eje principal, siempre considerando las lentes delgadas. Un rayo que pase

por el centro óptico no experimentará desviación, ya que, en el centro, las caras son

paralelas y las desviaciones por refracción se compensan, y como el grosor es

despreciable, el rayo continuará su marcha sin desviarse.

• Centro de curvatura es el de las superficies que forman sendas caras.

• Radios de curvatura son los correspondientes a cada una de las caras. La cara de

la izquierda la consideraremos la primera y denotaremos su radio por R1, y el radio de

la cara de la derecha por R2. Estos serán positivos o negativos según las caras sean

cóncavas o convexas, como ya hemos visto.

4.1. Formación de imágenes en las lentesComo ya hicimos en los espejos, partiremos de un objeto AB, situado perpendicular al eje

principal, también llamado eje óptico en los sistemas centrados y trataremos de determinar

la imagen correspondiente. En este caso se requieren las leyes de la refracción, mientras que

en los espejos eran las de reflexión.

• Trazamos desde B un rayo paralelo al eje principal que al atravesar la lente se refracta

y, o bien el rayo o bien su prolongación, pasa por el foco imagen, F’.

• Trazamos otro rayo que partiendo de B pase por el centro óptico y que no sufre

desviación.

• Se puede trazar un tercer rayo desde B que pase por el foco objeto, F, y que emerge

paralelo al eje principal.

f’<0

FF’

f’>0

F F’

Figura 8.15

201

Veamos algunos ejemplos de formación de imágenes en lentes convergentes:

• El objeto se encuentra a una distancia de la lente mayor que el doble de la distancia focal.Se forma una imagen real, invertida y de menor tamaño que el objeto.

• El objeto se encuentra a una distancia doble de la distancia focal. Se forma una imagenreal, situada a una distancia igual al doble de la distancia focal, invertida y de igual tamañoque el objeto.

• El objeto se encuentra a una distancia menor que el doble de la distancia focal y mayor

que ésta. Se forma una imagen real, invertida y mayor que el objeto.

F F1 2

0

Fígura 8.18

F F1 2

0

Figura 8.17

F F1 2

0

objeto imagen real

Figura 8.16

202

ÓPTICA GEOMÉTRICA

8UNIDAD

• El objeto se encuentra en el foco de la lente, los rayos se refractan paralelos y no se

forma imagen.

• El objeto se encuentra entre la lente y el foco. La imagen formada es virtual, derecha y

mayor que el objeto.

Análogamente, si hacemos el estudio de la formación de imágenes en lentes divergentes

tendremos:

Tras elaborar imágenes con los objetos situados a diferentes distancias de la lente divergente

hemos podido comprobar que la imagen formada es siempre virtual, derecha y de menor tamaño

que el objeto.

FF’Oy’

y

Figura 8.21

F F1 2

0

imagen virtual objeto

Fígura 8.20

F F21

0

Fígura 8.19

203

En las lentes convergentes la imagen varía según la distancia del objeto. Se forman

imágenes reales e invertidas, excepto en el caso de que el objeto se sitúe por debajo de la

distancia focal; en este caso, la imagen es virtual, derecha y mayor que el objeto.

4.2. Ecuación fundamental de las lentesConsideremos una lente formada por combinación de dos dioptrios, como en la figura, en

la que podemos ver una lente biconvexa.

En el primer dioptrio (de izquierda a derecha) pasamos del aire, n = 1, a un medio de índice

n, teniendo el dioptrio forma esférica de radio R1 > 0. En el segundo dioptrio pasamos de un

medio de índice de refracción n al aire, teniendo el dioptrio un radio R2 < 0.

Recordemos que la ecuación general del dioptrio esférico es:

En el primer dioptrio la imagen se formaría en P’’ a la distancia s’’, con lo que la ecuación

del dioptrio quedaría así:

En el segundo dioptrio, la distancia del objeto, P’’, al dioptrio es s’’, ya que la imagen formada

por el primer dioptrio hace de objeto del segundo. Por lo que la ecuación sería:

1 1

2′ − ′′ = −

sns

nR

ns s

nR′′ − = −1 1

1

s’’

Aire n=1n

s

Aire n=1

s’P’’P’P

Figura 8.23

ns

ns

n nR

2 1 2 1

′ − = −

Aire n=1

n

R2<0R1>0

Aire n=1

Figura 8.22

204

Sumando ambas expresiones miembro a miembro tenemos:

que es la ecuación fundamental de las lentes delgadas.

Cuando pensamos qué es un foco (igual que lo hicimos con los dioptrios), si hacemos

s = - ∞ hallaremos la distancia focal imagen, f’, que será s’ = f’. La ecuación fundamental

quedaría:

Al igual que en el dioptrio, el aumento lateral es el cociente entre el tamaño de la imagen

y el tamaño del objeto: .

Recordemos que en el dioptrio: .

Con lo que para el caso de lentes delgadas que nos concierne, en el que el medio a ambos

lados de la lente es el mismo, n1 = n2, y

queda: .

El aumento angular es la relación

entre el ángulo que subtiende el rayo

después de pasar por la lente, y el que

subtiende antes de pasar por ella:

.

4.3. Potencia de una lenteEs la inversa de la distancia focal imagen medida en metros. Por tanto, en las lentes

convergentes la potencia será positiva y en las lentes divergentes negativa.

La unidad en el sistema S.I. sería m-1

que denominaremos dioptrías y representaremos por P.

Una dioptría es la potencia de una lente cuya distancia focal imagen es 1 m.

Si hay varias lentes delgadas con sus centros ópticos alineados, el efecto de la potencia es

el que tendría una lente con potencia igual a la suma de las potencias de cada una de ellas.

P = P1 + P2

1 11

1 1

1 2′ − = −( ) −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟s s n R R

P f= 1

'

γ αα= ′

β = ′ = ′yy

ss

′ =′y

yn sn s

1

2

β = ′yy

1 11

1 1 11

1 1

1 2 1 2′ − −∞ = −( ) ⋅ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⇒ ′ = −( ) ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟f n R R f n R R que eqquivale a:

1 1 1′ − = ′s s f

ÓPTICA GEOMÉTRICA

8UNIDAD

α’α P’P

Figura 8.24

205

R e c u e r d a

� Las ecuaciones más importantes de las lentes son:

� El aumento lateral es:

� El aumento angular es:

� La potencia, medida en dioptrías es: P f= 1

'

γ αα= ′

β = ′ = ′yy

ss

11

1 1 1 1 1

1 2f n R R s s f' '= −( ) −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⇒ ′ − =

5. Delante de una lente de + 5 dioptrías y a 50 cm de ella se encuentra un objeto de 3 cm de

altura, situada perpendicularmente al eje principal. Calcula el tamaño de la imagen y sus

características.

A c t i v i d a d e s

E j e m p l o sE j e m p l o s

1. ¿Qué quiere decir que una persona usa gafas de –2 dioptrías?

Solución:Que utiliza lentes divergentes, cuya distancia focal es:

2. Calcula la distancia focal de una lente bicóncava delgada cuyo índice de refracción sea 1,3,

sabiendo que los respectivos radios de curvatura son 5 cm y 4 cm. ¿Cuál es el tamaño de la

imagen de un objeto de 1 cm de altura, situado a 10 cm de la lente?

Solución:

Se trata de una lente bicóncava de radios de curvatura: R1 = - 5 cm, y R2 = + 4 cm, siendo

la distancia del objeto s = -10 cm.

Para calcular el tamaño de la imagen necesitamos conocer

previamente dónde se forma.

y menor que el objeto.

Haciendo el diagrama de rayos se ve que es virtual, pero como

ya sabemos, las lentes divergentes producen siempre

imágenes virtuales

1 1 1 1 1

10

1

7 44 3

1

4 3

10

′ − = ⇒ ′ − − = − ⇒ ′ = −

= ′ = ′ ⇒ ′ = −− ⇒ ′

s s f s s

yy

ss

y' , ,

,

cm

β yy = 0 43, cm, derecha

11

1 1 11 3 1

1

5

1

47 4

1 2f n R R f f' ' , ' ,= −( ) −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⇒ = −( ) − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⇒ = − cm

P f f f f= ⇒ − = ′ ⇒ ′ = − ′ =12

10 5' , m, es decir 50 cm.

-7,4 -4,3-10

y

y’

Figura 8.25

206

5. AberracionesDecimos que hay aberración en un sistema óptico cuando los rayos procedentes de un

objeto no se enfocan en una imagen nítida

Al comienzo de la Unidad hemos explicado qué eran los sistemas ópticos estigmáticos:

aquellos en los que la luz que proviene del objeto tras sufrir reflexión o refracción forma una

imagen nítida; un espejo plano es estigmático. Los espejos esféricos y las lentes lo son sólo

cuando el radio de curvatura es muy grande respecto al tamaño del objeto y los ángulos de

incidencia son pequeños, que es cuando hablábamos de la óptica paraxial.

En el caso de un objetivo fotográfico para que trabaje en la zona paraxial deberíamos

fotografiar con muy poca abertura y para ello se necesita mucha luz. En un telescopio tendríamos

una abertura pequeña o una distancia focal muy grande y esto obligaría a hacer telescopios

grandísimos. Lo que supone que estos instrumentos, cuando nos salimos del dominio paraxial,

tengan defectos. Estas son las aberraciones debidas al frente de onda.

A esto hay que añadir que la luz blanca con la que habitualmente trabajamos está compuesta

de diferentes colores y si el sistema óptico en cuestión se basa en la refracción, la dispersión,

debida a la variación del índice de refracción con la longitud de onda, hace que aparezcan distintos

focos según sea el color. La luz procedente de un punto ya no es sólo un punto sino una mancha

de varios colores; a este tipo de aberración se le llama aberración cromática.

Estudiaremos ambos tipos de aberraciones.

5.1. Aberraciones del frente de ondaEstas aberraciones se producen porque los sistemas no trabajan en el dominio paraxial.

Veremos cuatro tipos:

• Aberración esférica. En este caso los rayos que provienen de un punto situado sobre

el eje óptico no convergen en otro punto sino en una zona, segmento del eje óptico.

La imagen no es nítida y el efecto es de un círculo borroso.

• Coma. Se produce cuando la imagen de un punto situado fuera del eje, debido a la

diferente ampliación de las diferentes partes del sistema óptico en cuestión, es una

mancha alargada parecida a una coma, de ahí el nombre.

• Astigmatismo. Se produce porque el frente de onda no es esférico y para cada punto

el frente de ondas tendrá dos centros de curvatura y esto produce dos imágenes por

cada punto. En muchos casos aparece el astigmatismo porque los sistemas ópticos no

tienen simetría de revolución. Es un defecto óptico bastante común y, como ya dijimos

al hablar sobre el ojo, se corrige con lentes de superficies cilíndricas.

• Distorsión. La deformación que experimenta la imagen de un objeto extenso es debida

a que el aumento lateral varía según la distancia del punto objeto al eje. Si al alejarnos

del eje el aumento lateral crece, los objetos se agrandan; por el contrario, si decrece

el aumento lateral al alejarnos entonces los objetos se encogen.

ÓPTICA GEOMÉTRICA

8UNIDAD

207

5.2. Aberración cromáticaSe debe, como dijimos, a que las sustancias transparentes presentan diferentes índices

de refracción según los colores (ver dispersión en la Unidad 7). Esta aberración no se produce

en los espejos, pues la luz no los atraviesa, sólo hay reflexión. Se produce cuando la luz pasa

a un medio transparente de distinto índice de refracción, es decir, en las lentes. La luz blanca

se descompone al atravesar la lente y los rayos de diferentes colores convergen en puntos

diferentes. Aparecen contornos coloreados. En la ecuación 1/f = (n-1) (1/R1-1/R2) se ve que la

distancia focal depende del índice de refracción y varía ligeramente para las diferentes longitudes

de onda. Se corrige, en lugar de con una lente, con varias lentes fabricadas con diferentes

tipos de vidrio, de forma que una lente compense a la otra. A este conjunto se le llama dobleteacromático y se calcula de forma que tenga la misma distancia focal que la lente a la que tiene

que sustituir. Actualmente se utilizan vidrios de poca dispersión cromática llamados fluoritas y

son los llamados sistemas apocromáticos.

6. Instrumentos ópticosSon sistemas ópticos formados por lentes y espejos. Su finalidad es ayudarnos directa o

indirectamente a ver mejor los objetos. Actualmente podemos ver y estudiar imágenes que el

ojo humano nunca podría ver de no ser por el uso de ciertos instrumentos, tales como el

microscopio, el telescopio, etc. Vamos a clasificar los instrumentos atendiendo a la función que

realizan: de proyección, de aumento y los que acercan los objetos distantes o telescopios.

Ojo humano

Proyección Cámara fotográfica

Proyector

Instrumentos ópticos Lupa

Aumento

Microscopio

Telescopios

6.1. El ojo humanoLa función del ojo es obtener una imagen

real sobre una capa sensible a la luz. Esta

imagen llegará al cerebro y la procesará. Es

un sistema óptico formado por un dioptrio

esférico: la córnea, a través de la cual incide

la luz, y una lente: el cristalino, que es un

cuerpo blando que hace el papel de lente

convergente.

• La córnea es la parte delantera y se

trata de una membrana transparente

que permite el paso de la luz.

Córnea

Cristalino

Músculo ciliar

Pupila

Iris

Nervio óptico

Retina

Figura 8.26

208

• El iris es un diafragma situado delante del cristalino y detrás de la córnea con una

apertura llamada pupila. La función del iris es regular la cantidad de luz que entra en el

ojo. Es la misma función que hace el diafragma en las cámaras de fotos, como luego

veremos.

• El cristalino es una masa transparente con forma de lente convergente que separa

al ojo en dos partes. La anterior contiene el humor acuoso, que es un líquido transparente,

y la posterior que contiene el humor vítreo, ambos con índices de refracción parecidos

al agua. Los extremos del cristalino son unos músculos llamados ciliares que modifican

la forma del cristalino, variando la distancia focal, con objeto de poder enfocar objetos

que se encuentran a diversas distancias. Este mecanismo de enfoque del ojo se llama

acomodación.

• La retina es la envoltura interna. Se trata de una membrana que contiene las fibras

nerviosas, prolongación del nervio óptico. Las células sensibles a la luz se llaman conos

y bastones que están adaptados a bajas intensidades luminosas, pero no al color; los

bastones están implicados en la visión nocturna, con la colaboración de la vitamina A.

Estas células fotosensibles luego transmiten las imágenes al cerebro a través del nervio

óptico. Los conos son los que permiten ver el color; los hay de tres tipos, uno para cada

color primario: rojo, azul y verde.

Normalmente el ojo está enfocado al infinito y cuando tratamos de ver objetos cercanos

el ojo tiene que enfocar de nuevo variando, por medio de los músculos ciliares, la forma del

cristalino para que la imagen se forme en la retina; este proceso se denomina acomodación o

adaptación. La distancia mínima a la que deben estar los objetos para que el ojo pueda enfocar

se llama punto próximo y es de 25 cm para el ojo normal. Esta distancia varía mucho de una

persona a otra y cambia con la edad. A los 10 años está en torno a los 7 cm, mientras que

pasados los 60 puede estar a los 200 cm ya que el ojo ha perdido flexibilidad y no acomoda

bien. El punto remoto es la máxima distancia a la que una persona puede distinguir nítidamente

un objeto.

ÓPTICA GEOMÉTRICA

8UNIDAD

E j e m p l oE j e m p l o

Vamos a calcular la variación que experimenta la distancia focal del ojo cuando pasamos de

ver un objeto en el infinito, punto remoto, hasta los 25 cm, punto próximo. Suponemos que la

distancia desde la córnea hasta la retina es de 2,5 cm.

Solución:Cuando el objeto está en el infinito, la focal del ojo será 2,5 cm, pero cuando lo acercamos hasta

25 cm varía. Para calcularlo debemos saber que la distancia imagen es ahora de 2,5 cm.

Aplicando la ecuación de las lentes:

--1/s + 1/s’ = 1/f ⇒ 1/25 + 1/2,5 = 1/ff = 2,27 cm. Es decir, ha pasado de 2,5 a 2,27 cm; ha disminuido 2,3 mm.

209

Defectos de la visión

Estos defectos consisten en la incapacidad de formar imágenes nítidas en la retina. Los

más corrientes son:

• Miopía. Cuando la luz procede de un objeto distante se forma la imagen delante de la

retina. Las personas miopes ven bien los objetos cercanos, pero no los lejanos. Se

corrige con lentes divergentes para alejar los rayos del eje principal y lograr que el

cristalino los enfoque en la retina.

• Hipermetropía. Se produce cuando la imagen de los objetos lejanos se forma detrás

de la retina. Este defecto lo produce casi siempre un globo ocular demasiado corto.

Se corrige con lentes convergentes. Las personas hipermétropes no ven bien los

objetos cercanos, tienen el punto próximo más lejos de lo normal, más de 25 cm, y

el remoto también, por eso ven con más nitidez los objetos a distancias grandes.

• Presbicia o vista cansada. Cuando el cristalino pierde elasticidad, lo que ocurre con

el paso del tiempo, se pierde la capacidad de acomodación. El ojo con presbicia ve

bien los objetos lejanos, pero mal los cercanos. El punto próximo se aleja más allá de

los 25 cm. Se corrige con lentes convergentes.

• Astigmatismo. Es un defecto bastante común, pero no es debido a un problema en

la acomodación, sino en una deformación en la córnea. Uno de los síntomas es ver

los objetos puntuales como líneas cortas. Se corrige con lentes cilíndricas.

Imagen borrosa Imagen nítida

Figura 8.28

Imagen borrosa. Miopía Imagen nítida

Figura 8.27

210

ÓPTICA GEOMÉTRICA

8UNIDAD

6.2. La lupa o microscopio simpleConsiste en una lente convergente

que permite ver los objetos más grandes

de lo que son en realidad, para ello hay

que colocarlos entre el foco y la lente,

para así obtener una imagen virtual y más

grande. Si colocamos el objeto justo en

el foco, la imagen virtual se forma en el

infinito y el ojo está relajado; no tiene que

acomodarse.

El aumento angular es el cociente

entre las tangentes de los ángulos con

que se ve el objeto con lupa, θ, y sin ella, θ0.

Cuando queremos ver objetos muy cercanos, los

ángulos de visión dependen de la distancia de los

objetos al ojo -no menos de la distancia del punto

próximo, 25 cm normalmente- tanto al mirar con

lupa como sin ella. Si queremos definir el aumento

o el poder amplificador de la lupa sin la

dependencia de las distancias en general,

supondremos que el objeto se coloca en el foco

de la lente- la imagen aparece en el infinito- y el aumento será el cociente entre los ángulos

con los que vemos la imagen con lupa y sin ella.

Si utilizamos la distancia del punto próximo como xp = 0,25 m, entonces la expresión queda

así:

El aumento se utiliza para caracterizar lupas, aunque no es el máximo aumento que se

obtiene con ella.

Axf fp= = 0 25,

; en el Sistema Internacional de unidades es el aumento comercial.

Ayfyx

xf

p

p= = =tg

tg

θθ0

f

θ

θ0

xp

Figura 8.31

Figura 8.29

θ0

θ

Figura 8.30

211

6.3. El microscopio compuestoSu finalidad es ver objetos muy pequeños que están muy cercanos. Está formado por dos

lentes convergentes; la que está más cerca del objeto se llama objetivo y la otra más próxima

al ojo es el ocular.

La distancia desde el foco imagen del objetivo hasta el foco objeto del ocular, t , se denomina

longitud óptica del microscopio. Suele ser de 16 cm en la mayoría de los microscopios.

El objeto se coloca delante del foco del objetivo. Y éste nos proporciona una imagen

real, invertida y más grande del objeto, situada dentro de la distancia focal del ocular.

El ocular actúa, entonces, como una lupa dando como resultado una imagen bastante

mayor que el objeto, virtual e invertida.

Para calcular el aumento, como el ocular funciona como una lupa, vamos a disponer el

sistema de forma que la imagen se forme en el foco objeto del ocular, es decir, a una distancia

fob + t del objetivo.

Según el esquema de los rayos lo representaremos así:

OcularObjetivo

fob

t

f’ob

foc

f’oc

Imagen

Figura 8.32

E j e m p l oE j e m p l o

Calcula el aumento comercial de una lupa cuya distancia focal sea 10 mm.

Solución:

A = 0,25/f = 0,25/0,010 = 25

Son 25 aumentos comerciales.

212

tgθ = y /fob = y´/t . El aumento lateral A = y´/y = -t /fob

El aumento del microcopio se mide por el producto del aumento lateral del objetivo por el

aumento del ocular, que como hemos visto para la lupa es: 25 cm/foc .

El factor t /fob suele estar escrito en los objetivos seguido de una “×” y en el ocular aparece el

250 mm/ foc precedido de “×”. De manera que si en un microscopio el objetivo tiene 50x y el

ocular x10 sabremos que tendrá 10 x 50 = 500 aumentos.

6.4. El telescopioSe utiliza para observar objetos que están muy lejos. Consta para ello básicamente de un

objetivo, un ocular y un sistema de enfoque. El objetivo tiene como función formar una imagen

real en el primer foco del ocular (foco objeto del ocular); como los objetos que vemos suelen

estar muy alejados forman su imagen en el segundo foco del objetivo (foco imagen). Por ello

la separación entre el objetivo y el ocular es fob + foc, es decir la suma de las distancias focales

del objetivo y el ocular respectivamente.

Sus características son las siguientes:

Objetivo. Es un sistema óptico convergente de distancia focal grande. Puede ser un

conjunto de dos lentes bien unidas o separadas de vidrios distintos para que la aberración

cromática sea mínima (ver aberración cromática).

Figura 8.34

A tf fangob oc

= − ⋅⋅25

θy t

Y’

fob

Objetivo

foc

Figura 8.33

ÓPTICA GEOMÉTRICA

8UNIDAD

213

Ocular. Es una lente convergente de distancia focal pequeña y su función es agrandar

la imagen real producida por el objetivo formando finalmente una imagen virtual, mayor e

invertida, que se ve con un ángulo mayor, en el infinito, que el objeto original. Los oculares

se pueden cambiar y así podemos obtener diferentes aumentos para un mismo objetivo.

Sistema de enfoque. Tiene como función hacer que coincidan el foco imagen del objetivo

con el foco objeto del ocular; de esta forma, la imagen final se forma en el infinito y el ojo trabaja

descansado sin tener que acomodar. En la mayoría de los telescopios el mecanismo de enfoque

se logra moviendo el ocular.

Para poder saber el aumento o poder amplificador de un telescopio calcularemos el

aumento angular Aang que es el cociente entre el ángulo con que vemos la imagen con telescopio

θ1 y el ángulo por el objeto cuando lo observamos sin telescopio θ0.

Aang = θ1 /θ0

Si tenemos en cuenta que los ángulos son pequeños, podremos hacer la aproximación

de considerar el ángulo por la tangente.

tg θ1= y’/foc; tg θ0 = - y’/fob

Donde foc y fob son las distancias focales del ocular y del objetivo respectivamente, como

vemos en la figura anterior.

De ahí que la expresión del aumento angular quede:

Aang = - fob /foc.

La información que desde la Tierra podemos obtener del espacio exterior depende de la

transparencia de la atmósfera a ciertas radiaciones. La atmósfera ofrece zonas del espectro

electromagnético que dejan pasar radiaciones sin atenuar por absorción (ventanas); si estas

están dentro de la franja del visible utilizaremos los telescopios ópticos, pero como también la

atmósfera deja pasar radiaciones de longitudes de onda comprendidas entre 2 cm y 10 m

θ0

θ1θ0 Y’

focfob

Figura 8.34

214

(ondas de radio) se utilizan los radiotelescopios, que son antenas parabólicas. Para longitudes

de onda mayores la atmósfera es opaca por absorción por la ionosfera. La capa de ozono

absorbe gran parte de la radiación ultravioleta, los rayos X antes de la capa de ozono son

absorbidos, los infrarrojos se absorben a través del vapor de agua y el dióxido de carbono.

ÓPTICA GEOMÉTRICA

8UNIDAD

6. Se coloca un objeto de 10 cm de altura a 20 cm de una lente bicóncava de -2 dioptrías y cuyos

radios de curvatura son iguales y de valor 50 cm. Calcula:

a) El índice de refracción de la lente.

b) La posición, la altura y las características de la imagen resultante.

7. Por medio de un espejo cóncavo se quiere proyectar la imagen de un objeto de 1 cm de tamaño

sobre la pantalla plana, de modo que la imagen sea de 3 cm de tamaño e invertida. Sabiendo

que la pantalla tiene que estar colocada a 2 m del objeto, determina:

a) La distancia del objeto y de la imagen al espejo, trazando el diagrama de rayos.

b) El radio de curvatura del espejo y su distancia focal.

8. Tenemos un sistema óptico formado por dos lentes convergentes de distancias focales 2 y 5

cm, respectivamente. Si están separadas 9 cm una de la otra, calcula la posición y las

características de la imagen que se forma de un objeto situado a 3 cm de la primera lente,

así como su aumento lateral.

9. Una lente produce una imagen derecha, cuyo tamaño es la mitad del tamaño del objeto, que está

situado a 40 cm de la misma. Calcula dónde se formará la imagen y la distancia focal de la lente,

indicando si se trata de una lente convergente o divergente. Haz un esquema de los rayos.

10. El ojo humano se puede considerar como un sistema óptico formado por una lente convergente,

que es el cristalino, de 15 mm de distancia focal. La imagen de un objeto lejano se forma en

la retina, que consideramos como una pantalla perpendicular al eje óptico del cristalino.

Determina:

a) La distancia entre la retina y el cristalino.

b) El tamaño de la imagen de un edificio de 20 m de altura situado a 80 m del ojo.

c) Recordando que los músculos del ojo modifican la curvatura del cristalino cuando

observamos objetos próximos a nosotros, calcula la distancia focal del cristalino cuando

se acomoda para ver un objeto situado a 40 cm del ojo.

11. Tenemos un objeto situado a 25 cm de una lente de 20 dioptrías. Si el objeto tiene una altura

de 3 cm, determina:

A c t i v i d a d e s

215

a) La posición de la imagen.

b) El aumento.

c) El esquema de los rayos y el tipo de lente.

12. Circulamos en un vehículo que tiene un espejo retrovisor, convexo, de radio de curvatura 2 m.

Cuando pasa al lado de un guardia de circulación el conductor pone en marcha un cronómetro.

Cuando la imagen del guardia en el retrovisor es de 10 mm ve que el tiempo transcurrido ha

sido de 20 s. Suponiendo que la velocidad del coche es constante e igual a 32,40 km/h, calcula:

a) La distancia del guardia al coche a los 20 s de pasarle.

b) La altura del guardia.

13. ¿Qué es una imagen virtual?¿Se pueden formar imágenes virtuales con lentes convergentes? Si

la respuesta es afirmativa, pon un ejemplo y demuéstralo mediante un diagrama de rayos.

14. Una cámara de fotos funciona esencialmente como el ojo humano, correspondiendo la lente

del objetivo al cristalino y la película a la retina. Queremos fotografiar una persona que mide

1,85 m, situada a 10 m, con una cámara fotográfica que lleva un objetivo cuya distancia focal

es de 135 mm. Calcular:

a) La distancia que debe haber entre la lente del objetivo y la película, para obtener una

imagen nítida.

b) Características de la imagen.

c) Las dimensiones de la imagen en la película.

15. Explica qué son el punto próximo y el punto remoto en el ojo humano.