FISICA 2º BACHILLERATO CAMPO GRAVITATORIO

A) CAMPO GRAVITATORIO

Cuando en el espacio vacío se introduce una partícula, ésta lo perturba, modifica, haciendo cambiar su geometría, de modo que otra partícula que se sitúa en él, estará sometida a una acción debida a la deformación producida por la primera. El Campo gravitatorio es un campo vectorial de fuerzas cuya magnitud activa es la masa.

B) Leyes de Kepler

Primera ley de Kepler: Ley de las órbitas

La primera ley, conocida como ley de las órbitas, acaba con la idea, mantenida también

por Copérnico, de que las órbitas debían ser circulares.

“Los planetas giran alrededor del Sol siguiendo una trayectoria elíptica. El Sol se

sitúa en uno de los focos de la elipse”.

Perihelio: Es el punto de la órbita del planeta más próximo al Sol.

Afelio: Es el punto de la órbita del planeta más lejano al Sol.

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Segunda ley de Kepler: Ley de las áreas

La segunda ley, conocida como ley de las áreas, nos da información sobre la velocidad a

la que se desplaza el planeta.

“La recta que une el planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales”.

Para que esto se cumpla, la velocidad del planeta debe aumentar a medida que se

acerque al Sol. Esto sugiere la presencia de la fuerza gravitatoria que permite al Sol atraer

los planetas, tal y como descubrió Newton años más tarde.

Y por tanto el tiempo que se tarda en recorrer un espacio S1, S2 y S3 es el mismo, las

áreas A1, A2 y A3 también serán iguales. Esto se debe a que a medida que disminuye la

distancia al Sol, la velocidad aumenta (v1 < v2 < v3)

Velocidad areolar: Se define la velocidad areolar vA como el área barrida por el vector

de posición de un cuerpo por unidad de tiempo. Según la segunda ley de Kepler, vA es

constante. Por tanto: vA = dA/dt = cte

Si estudiamos un diferencial del área barrida :

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Aplicando el producto vectorial de dos vectores calculamos el área del paralelogramo que

forman; así nos queda:

De donde se deduce que además de que la segunda ley de Kepler establece que la

velocidad areolar vA permanece constante a lo largo del recorrido del planeta, también la

velocidad instantánea del planeta debe variar según el punto de su trayectoria en que se

encuentre y el ángulo θ que formen r y v , luego en dos puntos de la trayectoria

cualesquiera:

Donde:

r1 y r2: Módulos de los vectores de posición del planeta en los puntos 1 y 2

respectivamente. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro (m)

v1 y v2 : Módulos de los vectores velocidad del planeta en los puntos 1 y 2

respectivamente. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro por

segundo ( m/s)

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θ1 y θ2: Ángulos que forman los vectores de posición de los planetas con los de

velocidad en los puntos 1 y 2 respectivamente. Su unidad de medida en el Sistema

Internacional es el radián ( rad ).

Perihelio: La velocidad en las proximidades del perihelio es la máxima.

Afelio: La velocidad en las proximidades del afelio es la mínima.

En el perihelio (p) y en el afelio (a) θ = 90º y por tanto: ra x va = rp x vp

La Segunda Ley de Kepler aparece, por tanto, como una consecuencia de que la

fuerza a la que están sometidos los planetas (atracción del Sol) es central (el

momento angular L se mantiene invariable).

Tercera ley de Kepler: Ley de los periodos

La tercera ley, relaciona los periodos de los planetas, es decir, lo que tardan en

completar una vuelta alrededor del Sol, con respecto a sus radios.

“Para un planeta dado, el cuadrado de su periodo orbital es proporcional al cubo

de su distancia media al Sol”

Esto es:

T2 = k r3

Donde:

T: Periodo del planeta. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el

segundo ( s )

k: Constante de proporcionalidad. Su unidad de medida en el Sistema

Internacional es el segundo al cuadrado partido metro cúbico ( s2/m3 )

r: Distancia media al Sol. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el

metro ( m )

Observa que como consecuencia de esta ley, los planetas se mueven tanto más

despacio cuanto mayor es su órbita.

L r p r m v

Módulo r mv sen r mv

Donde :r r sen

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Las leyes de Kepler son fenomenológicas. Es decir, se limitan a describir de manera

cinemática cómo se mueven los planetas en sus órbitas alrededor del Sol, pero nada

dicen acerca de las causas que provocan ese movimiento. Aunque las leyes fueron

enunciadas inicialmente para el Sistema Solar son aplicables a cualquier objeto celeste

que orbite alrededor de otro astro central. Para comprender las verdaderas causas del

movimiento planetario habría que esperar a que Newton, en 1687, enunciara la Ley de

Gravitación Universal. Las leyes de Kepler surgen entonces como consecuencias de la

naturaleza de la fuerza gravitatoria.

C) Ley de Gravitación Universal

Fue Isaac Newton (1642 – 1727) quien dio el gran paso en la explicación del movimiento

planetario al enunciar su Ley de Gravitación Universal (formulada en 1666 y publicada

en 1687) en su “Principia”. Establecía que la misma fuerza que mantiene los planetas

orbitando alrededor del Sol es la que hace caer la manzana del árbol. Las mismas leyes

gobiernan todo el universo. La gravedad es la fuerza que mantiene unido a todo el

cosmos.

“Los cuerpos se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de

sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los

separa.”

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Debido a la pequeñez de la constante de gravitación, la fuerza de gravedad sólo es

apreciable entre cuerpos cuya masa sea muy grande (planetas, estrellas…)

D) MAGNITUDES FÍSICAS QUE CARACTERIZAN EL CAMPO GRAVITATORIO

Un campo gravitatorio queda determinado en cada punto del espacio por tres magnitudes características: - La intensidad del campo gravitatorio - Energía potencial gravitatoria - Diferencia de potencial gravitatorio. - Intensidad del campo gravitatorio en un punto.

La intensidad de campo gravitatorio (g) de una masa M en un punto representa la fuerza que experimentaría la unidad de masa colocada en dicho punto. Su unidad en el S.I. es, por tanto, N·kg-1, o también m·s-2

De lo que aquí se trata es de concretar este concepto al campo gravitatorio terrestre. Así,

Donde G es la constante de gravitación universal, G = 6,67428·10-11 N·m2·kg-2 MT es la masa de la Tierra, MT = 5,974·10

24 kg

RT es el radio terrestre, RT = 6378 km (radio ecuatorial) h es la altura sobre la superficie terrestre a la que se esté midiendo g g es la intensidad del campo gravitatorio terrestre a una altura h sobre su superficie.

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Si hacemos h = 0 en la expresión anterior obtenemos la intensidad del campo gravitatorio en la superficie del planeta, g0

Consideraciones (aplicadas al campo gravitatorio terrestre)

a) La intensidad del campo gravitatorio en un punto bien dada por la aceleración que experimenta un objeto colocado en dicho punto. b) Esta aceleración es independiente de la masa del objeto. Depende de la masa de la Tierra y de la distancia del lugar donde se encuentre al centro del planeta. c) La dirección de la intensidad del campo gravitatorio es la que pasa por el centro de la Tierra y el punto del espacio donde se está considerando el valor del campo.

d) El sentido de la intensidad del campo gravitatorio es hacia el centro de la Tierra. Por tanto, su expresión vectorial será:

Variación de la intensidad de campo gravitatorio con la distancia

El modelo establecido para el estudio de la interacción gravitatoria supone, para la Tierra, que la parte del planeta que genera el campo gravitatorio está concentrada en un punto material situado en el centro. A partir de este punto cualquier coordenada se considera inmersa en el campo gravitatorio terrestre. Vamos a considerar pues cómo varía la intensidad del campo gravitatorio desde la superficie del planeta hacia el espacio.

Esta expresión se suele referir al valor de g0:

Dividiendo ambas expresiones:

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En el caso de que existan varias masas puntuales interaccionando sobre un punto del campo gravitatorio entonces se cumple el principio de superposición de las masas de un campo gravitatorio. Principio de superposición de las masas de un campo gravitatorio

Supongamos dos cuerpos de masas designadas por M1 y M2 que interaccionan con el punto tacional en el punto P.

“El campo gravitatorio resultante en el punto P es la suma de los campos creados por las dos masas”

- Energía potencial gravitatoria y diferencia de potencial gravitatorio. Energía potencial gravitatoria: “Es el trabajo realizado por la intensidad de campo gravitatorio para trasladar una masa m desde el punto donde se encuentra hasta el infinito”

Tal como se dijo en el tema de trabajo y energía, la fuerza gravitatoria es conservativa, es decir, el trabajo realizado por dicha fuerza entre dos puntos siempre es el mismo, independiente del camino seguido. Las fuerzas conservativas tienen una magnitud característica llamada energía potencial que permite determinar el trabajo que realiza dicha fuerza (teorema de la energía potencial),

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La expresión de la energía potencial de una masa m en un punto cualquiera de un campo gravitatorio generado por la masa M es:

Donde r es la distancia entre los centros de masas de M y m. Si sustituimos los parámetros terrestres obtenemos

Expresión que representa la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m situado a una altura h sobre la superficie de la Tierra y que permite determinar el trabajo que realiza el campo gravitatorio cuando la masa m se mueve desde el punto donde se encuentra hasta el infinito (tomando Ep (2) =Ep(∞) = 0) La energía potencial de un cuerpo en la superficie de la Tierra será entonces:

que representa el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria cuando m se mueve desde la superficie de la Tierra hasta el infinito, es decir, es la diferencia entre las energías potenciales en la superficie de la Tierra y en el infinito (donde la energía potencial es cero, considerado como origen de energía potencial). La energía potencial gravitatoria es siempre negativa, indicándose así que para mover la masa m desde donde esté hasta el infinito hay que realizar un trabajo externo en contra del campo cuyo valor es igual al de la energía potencial pero cambiado de signo. - Diferencia de Potencial gravitatorio

“La diferencia de potencial gravitatorio entre un punto A y un punto B se representa como VA – VB y es igual al trabajo realizado por la intensidad de campo gravitatorio para trasladar la unidad de masa de A a B”.

Calculando la diferencia de potencial de una masa m en el campo gravitatorio creado por una masa M

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Como se puede ver el valor del potencial gravitatorio sólo depende de la masa que crea el

campo y de la distancia al punto considerado y es siempre negativo, ya que su valor cero

(al igual que el de la energía potencial) se sitúa a una distancia infinita del centro de la

masa que crea el campo.

Dimensionalmente:

Si en lugar de la unidad de masa se traslada la masa m desde un punto A al punto B, el

trabajo realizado por el campo gravitatorio será:

La energía potencial gravitatoria de esta masa en un punto del espacio se relaciona con el

potencial gravitatorio en dicho punto: Ep = m V

Interpretación del signo del trabajo

- Si el signo del trabajo del campo es positivo (W>0)

La masa m se desplaza por acción de las fuerzas del campo gravitatorio.

La masa m disminuye su energía potencial gravitatoria.

Esto ocurre cuando se acercan dos masas.

- Si el signo del trabajo del campo es negativo (W<0)

La masa m se desplaza por acción de una fuerza exterior al campo gravitatorio.

La masa m aumenta su energía potencial gravitatoria.

Esto ocurre cuando se separan dos masas.

E) Representación del campo gravitatorio

El campo gravitatorio puede representarse mediante sus líneas de fuerza o líneas de

campo y por sus superficies equipotenciales.

M L TV L T

M

2 2

2 2 Unidades S.I: J/kg = m2/s

2

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- Las “líneas de campo o líneas de fuerza” cumplen la condición de que el vector

intensidad de campo gravitatorio es siempre tangente en cualquiera de sus puntos y

se trazan de modo que su densidad sea proporcional a la intensidad del campo.

Para una única masa las líneas de campo son radiales y siempre convergen hacia la masa. Se dice que las masas constituyen "sumideros de campo".

Las líneas de fuerza representan las trayectorias que seguiría una masa situada en el campo

Las líneas (o superficies) equipotenciales, son siempre perpendiculares al

vector intensidad de campo gravitatorio en cualquier punto y cuando una masa se

desplaza a lo largo de ellas la fuerza de gravedad no realiza trabajo alguno o, lo

que es equivalente, no se requiere aporte alguno de energía para trasladar la

masa.

Para una masa puntual, el potencial toma el mismo valor en los puntos situados a

la misma distancia de la masa. Por tanto las superficies equipotenciales son

esferas concéntricas con centro en la propia masa.

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Si hay más de una masa el campo se distorsiona debido a la superposición de ambos campos (en cada punto el campo resultante es la suma vectorial de los campos debidos a cada una de las masas). En la captura de pantalla se muestra el campo resultante para dos masas iguales (3000 kg)

F) Movimientos de planetas y satélites

Magnitudes físicas: periodo de revolución y velocidad orbital

En general un satélite es un cuerpo que orbita alrededor de otro mayor que se considera como el generador del campo gravitatorio. Para simplificar consideraremos una órbita circular. Cuando un satélite describe una órbita experimenta una aceleración centrípeta debido a que se encuentra sometido a una fuerza central (Fc), que en el caso de la Tierra viene suministrada por la atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre el satélite. Por tanto, los módulos de la fuerza centrípeta y la fuerza gravitatoria son iguales,

De todo lo dicho también se puede establecer una relación entre el valor del

campo gravitatorio en un punto y el potencial. Para una masa puntual:

Donde m es la masa del satélite que, al simplificarse, indica que la velocidad orbital es independiente de la masa del cuerpo que esté girando.

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Esta expresión nos dice que la velocidad orbital es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la altura sobre la superficie a la que se encuentre el satélite. La expresión se puede modificar para introducir la intensidad del campo gravitatorio,

Expresión que se también se conoce como primera velocidad cósmica. Otros parámetros que se pueden conocer son la aceleración centrípeta del satélite,

El periodo de revolución también se relaciona con la velocidad orbital mediante las leyes del movimiento circular uniforme mediante la expresión: T = 2 π r / v Energía mecánica de traslación

La energía mecánica de un satélite que se encuentra en órbita alrededor de la Tierra será suma de su energía cinética mas su energía potencial gravitatoria:

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Em = Ec + Ep = ½ m v2 – G M m / r

Si sustituimos el valor de la velocidad orbital, obtenemos: Em = ½ m G M / r - G M m / r = - ½ G M m / r

Una energía mecánica negativa representa un cuerpo ligado al campo gravitatorio terrestre. Una energía mecánica nula o positiva representa un cuerpo libre de la acción gravitatoria terrestre. Cuando un satélite cambia de órbita en ausencia de fuerzas exteriores su energía mecánica se conserva. ∆Em = 0 ; EM (A) = EM (B) ; Ec (A) + Ep (A) = Ec (B) + Ep (B)

Velocidad de escape, ve es la velocidad que debe adquirir un cuerpo para escapar de la

atracción gravitatoria terrestre. Se considera que un cuerpo escapa del campo gravitatoria terrestre cuando llega a una distancia infinita de la Tierra (Ep =0) con velocidad nula (Ec=0) entonces, su energía mecánica debe ser nula. Em = E(∞) = 0

Em = Ec + Ep = ½ m v2 – G M m / r = 0

De aquí deducimos el valor de la velocidad de escape:

En consecuencia la velocidad de escape no depende de la masa del cuerpo.