2 Bachillerato Modalidad de Ciencias de la Naturaleza y Salud Modalidad de Tecnologa Miguel Angel Daz Armentia I.E.S. Alquibla (La Alberca-Murcia) Fsica 2ode Bachillerato LOGSEMiguel Angel Daz Armentia117 de octubre de 20071Catedrtico de Fsica y Qumica del I.E.S Alquibla2ndice general1. Interaccin gravitatoria 71.1. Momento angular. Ecuacin del momento angular. Fuerzas centrales. . . 71.2. Ley de Gravitacin Universal. Masa inerte y masa pesante . . . . . . . . 101.3. Leyes de Kepler. Deduccin de la Ley de Gravitacin Universal . . . . . . 111.3.1. Deduccin de la Ley de Gravitacin Universal . . . . . . . . . . . 121.4. Trabajo de una fuerza. Energa cintica. Energa Potencial. Fuerzas con-servativas. Teorema de conservacin de la energa mecnica. . . . . . . . 131.4.1. Energa cintica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.2. Energa Potencial. Fuerzas conservativas . . . . . . . . . . . . . . 151.4.3. Ejemplos de fuerzas conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5. Energa potencial gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.1. Energa potencial gravitatoria terrestre . . . . . . . . . . . . . . . 201.6. Interaccin a distancia: el concepto de campo . . . . . . . . . . . . . . . 221.7. El campo gravitatorio: intensidad y potencial. Lneas de campo. Super-cies equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.8. Potencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.8.1. Relacin trabajo-potencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . 261.8.2. Lneas de campo. Supercies equipotenciales . . . . . . . . . . . . 261.9. La gravedad terrestre: variacin con la altura . . . . . . . . . . . . . . . . 271.10. Movimiento de satlites y planetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.10.1. Sobre el movimiento de partculas en campos centrales conserva-tivos atractivos. Aplicacin al movimiento de satlites en torno aplanetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322. Vibraciones y Ondas 352.1. Dinmica del movimiento armnico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.1. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.2. Aceleracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.3. Ecuacin diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.4. Ejemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2. Energa del movimiento armnico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3. Ondas. Clasicacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4. Magnitudes caractersticas de las ondas. Ondas armnicas . . . . . . . . 422.5. Energa e Intensidad de una onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.6. Interferencia de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4734 NDICE GENERAL2.6.1. Principio de superposicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6.2. Intensidad en los fenmenos de interferencias . . . . . . . . . . . . 492.7. Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.8. Principio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.8.1. Reexin de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.8.2. Refraccin de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.9. Difraccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.9.1. Difraccin de Fraunhoer por una rendija . . . . . . . . . . . . . 542.9.2. Difraccin de Fraunhoer para una abertura circular . . . . . . . 552.9.3. ptica geomtrica y ptica ondulatoria (de inters respecto a la luz 562.10. El sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.10.1. Nivel de Intensidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.10.2. Otros aspectos del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.11. Absorcin de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.12. Polarizacin de las ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.13. Inuencia del movimiento del medio en las ondas sonoras . . . . . . . . . 602.14. Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.14.1. Ondas de choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633. ptica 653.1. Controversia sobre la naturaleza de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.1. Teoras antiguas hasta Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.2. Modelo corpuscular de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.3. Modelo ondulatorio de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2. Ondas electromagnticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2.1. Formulacin de una onda electromagntica armnica plana . . . . 683.3. Velocidad de la luz. ndice de refraccin. Concepto de rayo luminoso. . . 703.3.1. Concepto de rayo luminoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4. Leyes de la reexin y refraccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.1. Leyes de la reexin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.2. Leyes de la refraccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.3. ngulo lmite y reexin total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.4. Dispersin de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.5. ptica geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.5.1. Hiptesis de la ptica geomtrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.5.2. Imgenes reales y virtuales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.5.3. El dioptrio esfrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.5.4. Distancias focales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.5.5. Aumento lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.5.6. Ecuacin de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.6. Espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.6.1. Espejos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.6.2. Espejos esfricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.6.3. Distancias focales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.6.4. Aumento lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81NDICE GENERAL 53.6.5. Construccin de imgenes de espejos . . . . . . . . . . . . . . . . 813.7. Lentes. Clasicacin. Ecuaciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . 813.7.1. Distancias focales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.7.2. Aumento lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.7.3. Ecuacin de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.7.4. Potencia de una lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.7.5. Construcciones grcas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.7.6. Aberraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864. Interaccin electromagntica 874.1. Carga elctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.1.1. Cuantizacin de la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.1.2. Principio de Conservacin de la carga. . . . . . . . . . . . . . . . 884.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3. Campo elctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3.1. Lneas de campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.4. Teorema de Gauss para el campo elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.4.1. Flujo elctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.4.2. Enunciado del Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.4.3. Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5. Potencial elctrico. Energa potencial elctrica. . . . . . . . . . . . . . . . 974.5.1. Potencial elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.5.2. Relacin trabajo - Potencial electrosttico . . . . . . . . . . . . . 1004.5.3. Relacin Intensidad de campo - Potencial electrosttico. . . . . . 1004.5.4. Supercies equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.5.5. Energa electrosttica de un sistema de cargas . . . . . . . . . . . 1014.6. Corriente elctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.7. Introduccin al magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.8. Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.9. Produccin de campos magnticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.9.1. Campo magntico creado por una carga en movimiento. . . . . . 1074.9.2. Campo magntico producido por un elemento de corriente . . . . 1084.9.3. Campo magntico producido por una corriente rectilnea innita. 1094.9.4. Campo magntico creado por una espira circular en su centro . . 1094.9.5. Campo magntico creado por un solenoide en su interior . . . . . 1104.10. Magnetismo natural y electromagnetismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.11. Fuerzas magnticas sobre una corriente elctrica . . . . . . . . . . . . . . 1114.12. Fuerzas entre corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.13. Induccin electromagntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.13.1. Flujo magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.13.2. Ley de Henry-Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.13.3. Autoinduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.13.4. Induccin mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.14. Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186 NDICE GENERAL5. Introduccin a la Fsica Moderna 1215.1. Relatividad en Mecnica Clsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.1.2. Transformacin de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.1.3. Consecuencias de la Transformacin de Galileo . . . . . . . . . . . 1225.2. Relatividad Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.2.1. Contradicciones de la relatividad clsica . . . . . . . . . . . . . . 1235.2.2. Postulados de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.2.3. Consecuencias de los postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.3. Relacin masa-energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.3.1. Masa relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.3.2. Energa cintica y energa en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.3.3. Energa de enlace nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.3.4. Momento y energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.4. Efecto fotoelctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.5. Concepto de fotn. Dualidad onda-corpsculo . . . . . . . . . . . . . . . 1335.5.1. Dualidad onda-corpsculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.6. Principio de indeterminacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.7. Tipos de radiaciones nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.7.1. Leyes de Soddy-Fajans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.8. Desintegracin nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.9. Partculas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.10. Interacciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139A. Problemas de Gravitacin 141B. Problemas de Vibraciones y Ondas 147C. Problemas de ptica 151D. Problemas de Electromagnetismo 153E.Problemas de Fsica Moderna 163Captulo 1Interaccin gravitatoria1.1. Momentoangular. Ecuacindel momentoangu-lar. Fuerzas centralesConsideremosunapartculacuyomomentolineal observadodesdeunreferencialinercial es p = mv, se dene momentoangular momentocintico de la partcularespecto del punto O, como el momento del momento lineal, esto es

LO= r p = r mv (1.1)Figura 1.1En general, la partcula no tiene por qu ser libre y adems su posicin variar conel tiempo, es decir, r =

r(t) yp =

p(t), y en consecuencia,

LO ser variable con el tiempo.Para evaluar esta variacin procederemos as:d LOdt=ddt(r p) =drdt p +r d pdt= r

F (1.2)78 CAPTULO 1. INTERACCIN GRAVITATORIApuesdrdt p = 0 (1.3)ya que |v v| = v v sin 0 = 0. En consecuencia,d LOdt= r

F=

MO(1.4)donde

MO es el momentodelafuerza

Frespecto del puntoO (torque).Esta ecuacin extendida para un sistema de partculas ser fundamental, como yaveremos, en el estudio de la dinmica de rotacin.Si

MO=0, entonces

LO=cte, este resultado se conoce como TeoremadeCon-servacindel MomentoAngular; es decir, si el momento de la fuerzas es cero, elmomento angular de la partcula permanece invariante a lo largo del tiempo.Unaposibilidadparaque

MO=0esque

Fseaparalelaar, enotraspalabras,cuando la direccin de

Fpasa por el puntoO. Una fuerza cuya direccin pasa siemprepor un punto jo se denomina fuerzacentral .Figura 1.2Al punto O se le llama CentrodeFuerzas. Una forma de expresar estas fuerzases

F= F ur.En la Naturaleza existen muchas fuerzas centrales. Por ejemplo, la Tierra gira alrede-dor del Sol bajo la inuencia de una fuerza central cuya direccin est siempre dirigidaal Sol. Por ello, el momento angular de la Tierra respecto del Sol es siempre constante.1.1. MOMENTOANGULAR. ECUACINDEL MOMENTOANGULAR. FUERZAS CENTRALES9Otroejemploeseldelmovimientodelelectrnalrededordelprotndeltomodehidrgeno.Una caracterstica del movimiento de partculas inuidas por fuerzas centrales es quela trayectoria es plana. En efecto, como

LO=cte, entonces el plano denido porryv es siempre el mismo (al ser la direccin del momento angular perpendicular al planodenido por estos dos vectores segn denicin del producto vectorial) y es por ello queel movimiento es plano.Por otrolado, tambinde laconservacindel momentoangular paraeste tipodeinteracciones(fuerzascentrales),sededucelallamada2aleydeKeplerrelativaalmovimiento planetario: Las reas barridas por el radio vector que va desde el Sol hastalos planetas son directamente proporcionales a los tiempos invertidos en barrerlas.En efecto, como cualquier vector, el radio vector o vector de posicin puede expresarsecomoelproductodesumduloporelcorrespondientevectorunitario: r=r ur,deforma que el vector velocidad puede expresarse,v=drdt=drdt ur + r d urdt(1.5)por lo que el momento angular vendr dado por

LO= r p = mr v= mr (drdt ur + r d urdt(1.6)yaquealaplicarlapropiedaddistributivaelprimerproductovectorialesnuloalserdosvectoresparaleloslosfactores.ElmdulodelmomentoangularresultaserLO=mr r= mr2 donde es el mdulo de la velocidad angular instantnea1. Y por ello,se verica,r2=L0m(1.7)Por otra parte, y de acuerdo con la gura, suponiendo que en un intervalo de tiempot tan pequeo como se quiera, el radio vector barre un reaA, tan pequea comose quiera, asociada a un ngulo tambin tan pequeo como se quiera, la velocidadareolar servA= dA/dt, es decir,vA= A/t, cuando t 0.Por consideraciones geomtricas, (aproximando el recinto barrido a un tringulo), elrea serA =12r h =12r r =12r2 (1.8)por lo que la velocidad areolar servA=12r2 t=12r2 =LO2m= cte (1.9)ya queLO= | LO| = cte, que es lo que queramos demostrar.1Se puede demostrar que la derivada de un vector unitario es un vector cuyo mdulo es el mdulode la velocidad angular cuya direccin es perpendicular al vector unitario y cuyo sentido coincide conel avance del giro del antes citado vector unitario.10 CAPTULO 1. INTERACCIN GRAVITATORIAFigura 1.31.2. Ley de Gravitacin Universal. Masa inerte y masapesanteSean dos partculas o puntos materiales, asociaremos a cada una de ellas un parmetrollamado masa gravitatoria, o masa pesante. En trminos del citado parmetro, laley de Gravitacin universal puede ser expresada as:Figura 1.4

F= Gmg1mg2r2 ur= Gmg1mg2r3r (1.10)donde Ges la constantedeGravitacinuniversal cuyo valor es 6,67.1011enunidades del SI.Las fuerzas gravitatorias son de largo alcance, al contrario de las nucleares que sonde corto alcance.Debe destacarse que el parmetro masa gravitatoria es de naturaleza diferente al demasa inerte. En realidad, ambos parmetros poseen signicados fsicos muy diferentes.Sin embargo, pueden ser relacionados a travs del siguiente experimento: consideremosuna partcula a pequea altura de la supercie terrestre.F=GMgmgr2= GMgR2 mg= g mg(1.11)1.3. LEYES DE KEPLER. DEDUCCINDE LALEYDE GRAVITACINUNIVERSAL11Figura 1.5Si estudiamos la dinmica de la partcula (mediante la 2aLey de Newton,

F= mia)tenemosg mg= mi a, por lo quea = g (mg/mi).Experimentalmente, sehavistoquetodosloscuerposenlasproximidadesdelasupercie de la Tierra caen con la misma aceleracin2(aproximadamente a 9,8 m/s2),y como ges una constante, la relacinmg/mi=Kes una constante igual para todoslos cuerpos, es decir, es una constante universal. Por ello, las unidades se eligen tal queK = 1, y por ello, mg=mi=m, lo cual quiere decir que las dos masas vienen dadaspor el mismo nmero para la misma partcula. En adelante, no especicaremos a qutipo de masa nos referimos.1.3. LeyesdeKepler. DeduccindelaLeydeGrav-itacin UniversalDesde un punto de vista histrico, podemos considerar a Kepler (1571-1650) como eliniciador de la moderna teora gravitatoria, el cual estableci en base a sus observaciones,las de Coprnico y otros sobre el movimiento planetario lo que ms tarde se conoceracomo Leyes de Kepler; a saber:1. Los planetas describen rbitas elpticas, en uno de cuyos focos est el Sol.2. Las reas barridas por el radio vector que va desde el Sol hasta los planetas sondirectamenteproporcionalesalostiemposempleadosenbarrerlas(esdecir, lavelocidad areolar es constante).3. Los cuadrados de los periodos son directamente proporcionales a los cubos de lossemiejes mayores:r3T2=r3T2=r3T2= = cte = f(M) (1.12)2Esto fue comprobado por Galileo desde la Torre Inclinada de Pisa12 CAPTULO 1. INTERACCIN GRAVITATORIAComo quiera que la constante de proporcionalidad es la misma independientementedel planeta en cuestin, slo depender de lo que tienen en comn los distintos planetasque es que giran alrededor del Sol, es decir, depender de la masa del Sol (M).HayquehacernotarquelaleyesdeKeplersonslocinemticasyportantonodinmicas, es decir, slo describen el movimiento pero no lo conectan con las causas quelo produce.1.3.1. Deduccin de la Ley de Gravitacin UniversalNewton, basndoseenlaleyesdeKepler, dedujolaleydeGravitacinUniversal.Vamos a deducirla nosotros siguiendo un razonamiento similar al utilizado por Newtony, portanto, basadotambinenlasleyesdeKepler. Paraellosupondremosquelasrbitas de los planetas alrededor del Sol son circulares, lo cual no es muy exagerado yaque las rbitas son en realidad muy poco excntricas.Figura 1.6Segnlaleydelasreas,sededucequeelmovimientoplanetarioescircularuni-forme. En efecto, segn la ley de las reas si A1= A2, entonces se debe cumplir t1= t2.Como por otra parte, si A1= A2, entonces los correspondientes arcos deben ser iguales,estoes, l1=l2.Siconsideramosqueestasreassontanpequeascomosequiera,laigualdad entre los arcos se puede expresar v1t1= v2t2, por lo que teniendo en cuenta, laanterior relacint1= t2, se deduce que necesariamentev1= v2, es 0, la energa cintica aumenta, lo cual quiere decir que la fuerzafavorece el aumento de la rapidez; si W < 0, la energa cintica disminuye lo cual quieredecir que la fuerza origina una disminucin de la rapidez, y nalmente, si W = 0, entonceslarapidezesconstante.Enparticular,silafuerzaesperpendicularalavelocidad,eltrabajo W = 0, por lo que Ec = cte, y por ello, la rapidez es constante, lo cual signicaque, si la trayectotia es plana, estamos ante un movimiento de rotacin uniforme5.1.4.2. Energa Potencial. Fuerzas conservativasConsideremos una partcula que va desde A hasta B inuida por una fuerza

F. Lla-maremosW1al trabajosi el recorridoserealizaporel camino(1). Si el recorridose4La denominacin de teorema de las fuerzas vivas tiene que ver con el hecho de que cada trmino deenerga cintica antes era llamado fuerza viva. Ntese que el concepto de ser vivo estaba hace tiempoligado al movimiento.5En particular, esto es de aplicacin para el movimiento de una partcula con carga elctrica en elsenodeuncampomagntico, yello, porque, comosever, lafuerzamagnticaesperpendicularalvector velocidad.16 CAPTULO 1. INTERACCIN GRAVITATORIAFigura 1.10realiza por el camino (2), el trabajo serW2.En general, se verica queW1 = W2. Para las llamadas fuerzas conservativas, estetrabajo es independiente de la trayectoria, es decir se verica W1= W2= W3= = W.Por ello, en estos casos, puede demostrarse matemticamente que el trabajo puedeexpresarse como diferencia entre dos valores que toma una funcin potencial en los2 puntos extremos A y B:W= (B) (A) (1.28)siendo(x, y, z) la funcin potencial antes referida que depende de las coordenadas delpunto donde se evale.Denimos energa potencial asociada a la interaccin conservativa

Fde la sigu-iente forma:W= Ep(A) Ep(B) (1.29)por lo que,Ep(x, y, z) = (x, y, z) (1.30)Naturalmente, la interaccin

Fdebe ser conservativa pues de lo contrario no tienesentido hablar de energa potencial ya que el razonamiento antes expuesto no puede seraplicado.Finalmente, veremos cmo a partir de lo anterior, podemos deducir el teorema deconservacin de la energa mecnica.Supongamos que la fuerza que acta sobre una partcula es conservativa, entonces:WAB= Ep(A) Ep(B) (1.31)1.4. TRABAJODE UNAFUERZA. ENERGACINTICA. ENERGAPOTENCIAL. FUERZAS CONSERVATIVAS. TEOREMADE CONSERVACINDE LAENERGAMECNICA.17Por otro lado, por el teorema de las fuerzas vivas:WAB= ECBECA(1.32)Igualando se obtieneECA + Ep(A) = ECB + Ep(B) (1.33)Se dene energa mecnica de la partcula en un punto cualquiera R:EMR= ECR + Ep(R) (1.34)de dondeEMA= EMB(1.35)es decir si

Fes una interaccin conservativa, la energa mecnica se conserva.Observaciones1. La naturaleza de la ecuacin asociada al teorema de las fuerzas vivas es comple-tamente diferente a la de la ecuacin que dene la energa potencial.2. La primera ecuacin relaciona el trabajo con el efecto dinmico de la interaccin enlo que se reere a la variacin de rapidez que experimenta la partcula6, mientrasque la segunda relaciona el trabajo con la naturaleza especca de la interaccinexpresada a travs de la energa potencial. Adems, esta ltima slo tiene sentidocuando la interaccin es conservativa.3. Aqu se ve que el sentido de introducir la magnitud energa es, en principio, slooperativoyaqueparadeterminadasinteracciones(lasconservativas),laenergamecnica es una constante de movimiento.1.4.3. Ejemplos de fuerzas conservativas1. El PesoLa fuerza del peso a pequeas distancias de la supercie terrestre se puede expresar:

Fp= mg

k.Calculemos el trabajo para ir desde A hasta B, como la fuerza peso es constante:W=

F r = mg

k r = mgz= mgzAmgzB(1.36)6El hecho de que el trabajo d una medida del efecto dinmico de una fuerza en relacin a la variacinde rapidez (mdulo del vector velocidad) que experimenta la partcula sugiere una clasicacin de lasfuerzasentrestipos:a)lasqueslomodicanelmdulodelavelocidadynosuorientacin,b)lasqueslomodicanlaorientacindelavelocidadynosumdulo, y, c)lasquemodicanmduloyorientacindelavelocidad. Enparticular, lasfuerzasquecorrespondenal caso(b)podramosdecirquesonenciertamedidaunasfuerzaspasivasyaquesonresponsablesdel movimientoderotacinuniforme de las partculas (fuerzas centrpetas). Su papel consiste en impedir que la partcula se muevade acuerdo al principio de inercia obligando por tanto a cambiar de forma permanente la orientacindel vector velocidad de la misma.18 CAPTULO 1. INTERACCIN GRAVITATORIAFigura 1.11Se observa que no necesitamos especicar la trayectoria para evaluar el trabajo,por lo que el peso es una fuerza conservativa.ComoW= mgzAmgzB= Ep(A) Ep(B) (1.37)entoncesEp= mgz + C (1.38)es decir, la energa potencial est determinada salvo una constante7. Se suele con-siderar como convenio que si z = 0entonces Ep(0) = 0, es decir, la energa po-tencial debida al peso es cero en el nivel cero del sistema de referencia, por ello:Ep = mgz.2. La fuerza elsticaFigura 1.12La partcula unida al muelle elstico constituye un oscilador elstico. Supon-dremos que el movimiento es unidimensional. La fuerza que acta sobre la partculaviene dada por la Ley de Hooke:

F= Kx

i (1.39)7Esto es general para cualquier interaccin conservativa, es decir, la funcin energa potencial estperfectamente determinada salvo una constante.1.5. ENERGA POTENCIAL GRAVITATORIA 19donde Kes la llamada constantederecuperacin, tambin llamada con-stantedeelasticidad oconstantedeHooke. Puede demostrarse que eltrabajo asociado a la fuerza elstica para ir desde un punto A hasta otro B vienedado por:W=12Kx2A12Kx2B(1.40)de donde se tiene, por un razonamiento similar al ejemplo anterior queEp(x) =12Kx2+ C (1.41)Como criterio fsico, supondremos que la energa potencial es nula en la posicinde equilibrio, es decir, C = 0, por lo queEp(x) =12Kx2(1.42)1.5. Energa potencial gravitatoriaConsideremos 2 partculas de masas m1y m2, entonces, entre ellas se ejercen unafuerza gravitatoria que viene dada porFigura 1.13

F= Gm1m2r2 ur(1.43)Si suponemos que la partcula (1) est ja y que la (2) se mueve desde una posicinA hasta una posicin B y queremos calcular el trabajo asociado a la fuerza gravitatoria,nosencontraramosconquedichotrabajoresultaserindependientedelatrayectoriaelegida para ir desde A hasta B, por lo que la fuerza gravitatoria es conservativa. Enconcreto, se puede demostrar que el resultado del clculo de dicho trabajo es:WAB= Gm1m2rA(Gm1m2rB) (1.44)Al ser conservativa, la fuerza gravitatoria, existir una funcin energa potencial queteniendo en cuenta el resultado anterior debera tener la forma:Ep(r) = Gm1m2r+ C (1.45)20 CAPTULO 1. INTERACCIN GRAVITATORIAdonde Ces la constante aditiva. Hay que hacer notar que la funcin energa potencialdependefuncionalmenteder, esdecir, deladistanciadelasdospartculasynodelvector que las une.El criterio que se utiliza para determinar la constante C es considerar que la energapotencial es nula cuando las dos partculas est innitamente alejadas, esto es,Ep() = 0 Gm1m2+ C= 0 C= 0 (1.46)por lo queEp(r) = Gm1m2r(1.47)Este criterio es consistente pues se trata de considerar que si las partculas no inter-accionan su energa potencial asociada es cero8.El signicado fsico de la energa potencial gravitatoria aparece claro desde el anlisissiguiente: si calculamos el trabajo para alejarse indenidamente la partcula (2) de la(1) desde una distancia rA, tenemos:WA= Ep(rA) 0 = Ep(rA) (1.48)es decir, la energa potencial gravitatoria de dos partculas situadas a una distancia runa de la otra representa el trabajo necesario asociado a la interaccin gravitatoria paraalejarlas desde esa distancia rindenidamente.1.5.1. Energa potencial gravitatoria terrestreFigura 1.14Consideremos una partcula de masa ma una altura hde la supercie terrestre. Laenerga potencial gravitatoria del sistema Tierra + partcula viene dada porEp= GMmR + h(1.49)8Debe notarse que el signicado fsico de que la distancia entre dos partculas sea innita no debeconfundirse con el punto de vista matemtico. De hecho, el hecho de que consideremos una distanciainnita entre dos partculas en relacin a la interaccin gravitatoria signica fsicamente que las citadasdos partculas estn a una distancia suciente la una de la otra, de forma que la interaccin gravitatoriaentre las mismas no es apreciable. Esto depender del alcance de la interaccin en cuestin, que en elcaso de la interaccin gravitatoria es extraordinariamente grande.1.5. ENERGA POTENCIAL GRAVITATORIA 21Naturalmente, para escribir esta ecuacin estamos suponiendo como lo hicimos an-teriormente que una esfera de materia (como la Tierra) se comporta igual para puntosexteriores a la misma que una partcula de su misma masa situada en su centro.Si queremoscalcularel trabajoparairdesdeesaalturahastalasuperciedelaTierra tenemos:W= GMmR + h (GMmR) = GMm( 1R 1R + h) (1.50)Por otra parte teniendo en cuenta la siguiente identidad:1R 1R + h=h(R + h)R(1.51)sustituyendo se obtiene,W= GMmh(R + h)R(1.52)Ahora bien, como por otra parte,g= GM/R2, sustituyendo se tieneW= mghR2(R + h)R= mgh11 + h/R(1.53)De la anterior expresin se pueden considerar la siguientes posibilidades:1. Si la altura en cuestin es mucho ms pequea que el radio de la Tierra (h>, la luz parece avanzar en lneas rectas que pueden represen-tarse mediante rayos (ptica geomtrica). Ello permite estudiar la reexin, la refraccin,etc.2.10. EL SONIDO 57Al requisito b >> , se le llama condicin de la ptica geomtrica. Si no se cumple,no se pueden hacer descripciones mediante rayos, y debemos considerar los efectos pu-ramente ondulatorios (difraccin). Entonces, hablamos de PTICA ONDULATORIA.La ptica geomtrica es un caso lmite de la ptica ondulatoria. De todas formas, encada caso hay que analizar la validez o no del uso del rayo y sus limitaciones.2.10. El sonidoEl sonido son vibraciones que se propagan en diferentes medios materiales. Son portanto ondas mecnicas.Si sepropaganenunmediogaseoso(aire, etc.)setratadeondasdepresin, dedensidad, etc. La velocidad de propagacin viene dada porv=_RT/Mdondeesel coeciente adiabtico del gas (en el aire vale 1,4), Tes la temperatura absoluta y Mla masa molar.Enslidossonondaselsticasylavelocidaddepropagacinvienedadaporv=_J/ siendo Jel llamado mdulo de Young (mide la elasticidad del slido) y la den-sidad.Para lquidos tambin se trata de ondas de presin, de densidad, etc. La velocidadde propagacin viene dada porv=_/ siendo el mdulo volumtrico del lquido.La velocidad del sonido en slidos es mucho mayor que en lquidos y la velocidad enlquidos es a su vez mucho mayor que en gases.2.10.1. Nivel de IntensidadEl odohumanoescapazdeorsonidosconfrecuenciasquevandesde20 hasta20.000 Hz. Sin embargo, el intervalo de ms sensibilidad va desde 1000a 5000 Hz.Se dene umbral de audicin como la intensidad ms baja para or a una frecuenciadada. A 1000 Hzel umbral suele corresponder a una intensidad I0= 1012Wm2, siendo laintensidad de1 Wm2la que corresponde a una sensacin de dolor.Se establece la escala de nivel de intensidad de la siguiente manera:= 10 logII0(2.48)siendoI0= 1012Wm2. Se mide en decibelios (db).58 CAPTULO 2. VIBRACIONES Y ONDASAs el mnimo o umbral de audicin corresponde a = 0db, mientras que el mximocorresponde a = 10 log11012= 120db. por ello, puede decirse que si > 120db existirsensacin de dolor auditivo.2.10.2. Otros aspectos del sonidoExistenademsdelaintensidad, otrosaspectosquedebenserconsideradosenelsonido, como el tono y el timbre.El tono de un sonido est relacionado con la frecuencia del mismo. Si el sonido estintegradoporunasolaondaarmnica,lafrecuenciaestperfectamentedeterminada,pero en general, tendremos (mediante la descomposicin de Fourier) un tono fundamen-tal y distintos armnicos o sobretonos que matizarn el tono fundamental, siendo a estematiz o ligera alteracin a lo que se conoce como timbre.2.11. Absorcin de ondasAl incidir una onda4sobre un medio material, en general, existir una parte reejada,otra transmitida (refractada), y nalmente otra absorbida. Los dos aspectos anterioresya han sido objeto de estudio (la reexin y la refraccin). Centraremos ahora nuestraatencin sobre el tercer aspecto. Lo anteriormente expuesto signica que la energa delaondaincidentesevaarepartirenenergadelaondareejada,energadelaondatransmitida y energa absorbida.Se entiende por absorcin la disminucin de intensidad Ique experimenta una on-da al atravesar un medio.Consideremos un medio material absorbente de radiacin con un ancho l :Figura 2.284Cuandohablamosdeunaondaestamospensandoenlaluzaunqueelpresenteanlisisesvlidopara cualquier onda electromagntica, e incluso para cualquier onda mecnica.2.12. POLARIZACIN DE LAS ONDAS 59Consideremos una onda plana incidente, entonces la experiencia nos muestra que laonda experimenta una disminucin de intensidad, - dI, dada por la relacin:dI= I dx (2.49)en funcin del espesor del medio atravesado dx, siendo el llamado coeciente de ab-sorcin del medio material antes aludido, el cual representa fsicamente la disminucinrelativa de intensidad de la onda por unidad de longitud que recorre en el medio queatraviesa. Su unidad SI es el m1.La ecuacin antes escrita es una ecuacin diferencial cuya solucin es:I(x) = I0 ex(2.50)que representa la intensidad de la onda que atraviesa el medio material a una distanciaxde la primera supercie de separacin entre los dos medios materiales.Naturalmente la intensidad de la onda una vez atravesado el medio material ser:I= I(l) = I0 el(2.51)Esta expresin se conoce como ley de Lambert-Beer, y nos muestra cmo la intensi-dad de la onda disminuye con la distancia. Esta disminucin afectar por tanto tambina la amplitud de la onda pero no a su frecuencia.Unadelasaplicacionesdelfenmenodeabsorcinderadiacintienequeverconelreconocimientodegruposatmicosyenlaces,porquecadaunodeellossueletenerunmximodeabsorcinparaunafrecuenciadeterminada. Por ejemplo, los fenolespresentan un mximo de absorcin para 3000 cm1de nmero de onda.2.12. Polarizacin de las ondasComo es bien sabido en una onda transversal la direccin de propagacin es perpen-dicular a la perturbacin o vibracin, lo cual signica que la vibracin puede tener lugaren todos los planos normales a la direccin de propagacin. Pues bien, si la vibracintiene lugar solamente en un de los planos de vibracin se dice que la onda est polarizadalinealmente.Si la vibracin tiene lugar en forma circular se dice que la polarizacin de la ondaes circular .Si la vibracin tiene lugar en forma elptica se dice que la onda estpolarizadaelpticamente .En general, las ondas transversales (como la luz) no estn polarizadas; sin embar-go, mediante tcnicas adecuadas se pueden polarizar. En particular, mediante dos po-laroides (lminas con sustancias cristalinas que dejan pasar la componente de la onda60 CAPTULO 2. VIBRACIONES Y ONDASluminosa cuyo vector elctrico vibre paralelamente a la direccin de los cristales), el po-larizador y el analizador, se puede dejar pasar la luz, de forma que si los ejes de loscristales son perpendiculares no pasar luz y si son paralelos pasar la luz linealmentepolarizada.2.13. Inuencia del movimiento del medio en las ondassonorasTodo lo visto hasta ahora implicaba que el medio en que se propagan las ondas esten reposo respecto de la fuente emisora as como del observador que recibe las ondas.Hay ocasiones en que esto no ocurre as como cuando hablamos de la propagacin delsonido y hace viento.Consideremos una fuente emisora de ondas sonoras jas respecto de un sistema dereferencialigadoaunobservador. Supongamosqueel medio(homogneoeistropo)se mueve respecto del sistema de referencia del observador con una velocidadvmcuyomduloesmuypequeocomparadoconlavelocidaddepropagacindelsonidov.Siun frente de onda tarda un tiempo t en llegar desde el foco al observador, su velocidadaparente respeto del sistema de referencia ser:v

=dtFP= v

t (2.52)Porotroladoel el centrodel frentedeondaquepartedeFesarrastradoporelmedioysedesplazaalavelocidadvmyal cabodeuntiempot seencontrarenelpunto F de forma que:FF

= vmt (2.53)Ahora como la distanciaF

Pes el radio del frente de onda al cabo del tiempo t ypor tanto la distancia recorrida por la onda si el medio estuviera en reposo entonces:F

P= vt (2.54)Por lo que de acuerdo con la gura se tiene:d = FP= FH + HP= FF

cos + F

P cos (2.55)por lo que:v

= vm cos + v cos (2.56)2.14. EFECTO DOPPLER 61Figura 2.29Comohemossupuestoquevm n2, entonces, r>i. Puede llegar unmomento en que r = 90oy el rayo no se refracte.72 CAPTULO 3. PTICAFigura 3.5En ese se caso, se cumplirn1 sinl = n2 sin90o, por ello,sinl =n2n1< 1 (3.13)siendol el llamado ngulolmite. Si el ngulo de incidencia es mayor que el ngulolmite, no habr refraccin y toda la luz se reejar, conocindose esta situacin comoreflexin total.Figura 3.6As, por ejemplo, en el vidrio el ngulo lmite es de 42 por lo que se puede utilizarprismas de vidrio que reejan mejor que los espejos.En el caso del diamante con ndice de refraccin 2,41 y ngulo lmite de 24,5, la luzuna vez que entra dentro del diamante, se reeja en todas las caras, por lo que da laimpresin de que la luz se origina en el propio diamante y que se dispersa en todas lasdirecciones. Este es el secreto de los brillantes aunque la clave est en tallarlos bien conobjeto de obtener los ngulos antes citados.3.5. PTICA GEOMTRICA 733.4.4. Dispersin de la luzFigura 3.7Es la descomposicin de la luz en las longitudes de onda que la componen. La expli-cacin de este fenmeno se basa en el siguiente hecho: las distintas frecuencias de la luzse propagan en el vaco (y en el aire) a igual velocidad, pero en otros medios (llamadosporesomediosdispersivos), lavelocidaddependedelafrecuencia, porloquelosdistintos colores se propagarn a distintas velocidades.En concreto, la luz roja es la que va a ms velocidad, por lo que segn la ley de Snellser la que menos se desviar, ocurriendo lo contrario que con la luz azul que ser la quems se desvi como se muestra en la gura. En conclusin, en un medio dispersivo comoel representadoenlagura(prismaptico), losdistintoscoloressedispersan. Lomismo ocurre con el arco iris, siendo en este caso, las gotas de agua el medio dispersivo.3.5. ptica geomtricaSe dene punto luminoso como un objeto puntual que emite luz.Se dene haz luminoso como un conjunto de rayos que salen de un punto luminoso.3.5.1. Hiptesis de la ptica geomtrica1. Enunmediohomogneo(idnticacomposicin)eistropo(propiedadesigualesen todas las direcciones), los rayos de luz se propagan en lnea recta.2. La propagacin de cada uno de los rayos de luz se realiza con independencia decmo se propaguen los dems.3. Si un rayo de luz va de un punto a otro siguiendo una trayectoria determinada,puede ir del segundo al primero recorriendo el mismo camino en sentido inverso.74 CAPTULO 3. PTICA3.5.2. Imgenes reales y virtualesSi losrayoscomponentesdeunhazdespusdesufrirvariacionesdiversasensupropagacin rectilnea concurren en un punto, se forma una imagenreal (la cual sepuede hacer visible con una pantalla en su lugar de formacin).Silos rayosemergentesnoconcurren,perolohacensus prolongacionesensentidocontrarioal desupropagacin, el ojorecogiendoel hazquesaledel sistemaveunaimagen en la interseccin de las prolongaciones (imagen virtual).Un sistema esestigmtico cuando se verica que todo rayo que parte del puntoobjeto y es captado por el sistema pasa por el mismo punto imagen.3.5.3. El dioptrio esfricoEl conjunto de dos medios transparentes con ndices de refraccin diferentes separa-dos por una supercie se denominadioptrio. Si la supercie de separacin es planasehabladedioptrioplano,ysilasuperciedeseparacinesesfricasehabladedioptrio esfrico. Centraremos aqu nuestro estudio en el dioptrio esfrico.Figura 3.8Antes de proceder a deducir las ecuaciones que describen la formacin de imgenesen el dioptrio esfrico, introduciremos algunas denominaciones as como el llamado con-venio de signos.Se dene centro ptico como el polo del casquete, sera el punto O.3.5. PTICA GEOMTRICA 75Se dene centro de curvatura al centro de la supercie esfrica, sera el punto C.Eje ptico ser la recta horizontal que une el centro ptico y el de curvatura.Y en cuanto al convenio de signos tenemos lo siguiente:1. Todaslasdistanciasalaizquierdadel centropticoseconsiderannegativas, ytodas las distancias a la derecha del centro ptico se consideran positivas.2. Todas las distancias por encima del eje ptico se consideran positivas, y todas lasdistancias por debajo del eje ptico se consideran negativas.3. Respecto a los ngulos tenemos lo siguiente: cuando uno de los lados es un rayoy elgironecesario parair porel caminoms cortodesde ese rayohasta elotrolado del ngulo es contrario al movimiento de las agujas del reloj, el ngulo serpositivo, en caso, contrario negativo.Procedamos ahora a deducir las ecuaciones que describen la formacin de imgenesen el dioptrio esfrico. En ese sentido, consideraremos la llamada zona paraxial o deGauss, en la que se supone que los rayos que intervienen en la formacin de la imagensonmuyprximosal ejeptico. Suponemosasimismoqueel ndicederefraccindelmedio a la izquierda de la supercie de separacin es n, y el del medio a la derecha esn, y adems, que A es el punto objeto y A el punto imagen. Desde A sale un rayo quellega a P, se refracta, y se dirige hasta A. De acuerdo con la ley de Snell, nsin = n

sin

.Como trabajamos en la zona paraxial, los ngulos sern muy pequeos, por lo quepodemossustituirel senoporel arco. Porello, laecuacinanteriorsepuedeescribircomon = n

.Ahora bien, jndonos en la gura se puede ver que | | = | |+| |, y como de acuerdoconelconveniodesignos, 0 y > 0, tenemos =

, por lo que

=

.Sustituyendo en n = n

los resultados anteriores tenemos n( ) = n

(

).Por otra parte, y suponiendo que trabajamos en zona paraxial se tiene hs,

hs

y hR(3.14)por lo quen_hs hR_= n

_hs

hR_(3.15)de dondens nR=n

s

n

R(3.16)76 CAPTULO 3. PTICApor lo que nalmente,n

s

ns=n

nR(3.17)que es la ecuacin fundamental del dioptrio esfrico.3.5.4. Distancias focalesFigura 3.9Foco imagen es el punto imagen de un objeto que est a una distancia innita deldioptrio.Mediante la ecuacin fundamental del dioptrio esfrico se llega a:n

f

n=n

nR(3.18)de dondef

= Rn

n

n(3.19)siendof

la distancia focal imagen.Anlogamente, se dene foco objeto es el punto objeto cuya imagen se encuentraa una distancia innita del dioptrio.Mediante la ecuacin fundamental del dioptrio esfrico se llega a:n

nf=n

nR(3.20)de dondef

= Rnn

n(3.21)siendo lafla distancia focal objeto. Dividiendo las dos distancias focales tenemos:ff

= nn

(3.22)3.5. PTICA GEOMTRICA 77Figura 3.10Por otra parte, sumando las dos distancias focales, se tiene,f+ f

= Rnn

n+ Rn

n

n= R (3.23)Y nalmente, si en la ecuacin fundamental dividimos por(n

n)/R,n

s

nsn

nR= 1 (3.24)o bienn

s

Rn

n nsRn

n= 1 (3.25)o lo que es lo mismo,f

s

+fs= 1 (3.26)que es la ecuacin de Gauss del dioptrio esfrico.3.5.5. Aumento lateralSe dene aumento lateral de la siguiente manera:ML=y

y(3.27)Considerando tringulos semejantes dos a dos se deducen la siguientes relaciones deproporcionalidad:y

y=fs + f(3.28)o bieny

y=s

f

f

(3.29)Utilizaremos la segunda relacinML=y

y=s

f

f

(3.30)78 CAPTULO 3. PTICAPor otro lado,s

f

= s

_1 f

s

_(3.31)y como segn la ecuacin de Gaussf

s

+fs= 1, se deduce que1 f

s

=fs(3.32)sustituyendo,s

f

= s

(f/s), por lo que el aumento lateral quedaFigura 3.11ML=y

y= s

f

f

= s

f

fs=s

sff

(3.33)o bien,ML=s

snn

(3.34)3.5.6. Ecuacin de NewtonConsideremos las distancia xdel punto objeto al foco objeto, y x del foco imagenal punto imagen. Utilizando la ecuacin de Gauss podemos escribir:f

f

+ x

+ff+ s= 1 (3.35)Haciendo operaciones se tienef

(f+ x) + f(f

+ x

) = (f+ x)(f

+ x

) (3.36)y nalmente se llega axx

= ff

(3.37)que es la ecuacin de Newton.3.6. ESPEJOS 79Figura 3.123.6. EspejosSon supercies pulimentadas capaces de reejar la luz. Pueden ser planos y esfricos.3.6.1. Espejos planosLas imgenes de los objetos son virtuales, del mismo tamao y simtricas del objetocon relacin al plano del espejo.Figura 3.1380 CAPTULO 3. PTICA3.6.2. Espejos esfricosSoncasquetes esfricos pulimentados por el interior (cncavos) opor el exterior(convexos). Para abordar el estudio de espejos esfricos, supondremos que un espejo deestas caractersticas es un dioptrio en el quen

= n. De esta forma, utilizando la Leyde Snell =

, lo cual es coherente con la ley de la reexin y con el convenio de signos.Las distintas ecuaciones del espejo esfrico se obtendrn considerando, como anteshemos advertido, quen

= n.As tenemos,n

s

ns=n

nR(3.38)y sustituyendo,Figura 3.14ns

ns= n nR(3.39)es decir,1s

+1s=2R(3.40)3.6.3. Distancias focalesSe dene foco imagen como el punto imagen de un objeto que sta a una distanciainnita del espejo.Anlogamente, se dene foco objeto es el punto objeto cuya imagen se encuentraa una distancia innita del espejo.f= Rnn

n= Rn2n=R2(3.41)3.7. LENTES. CLASIFICACIN. ECUACIONES IMPORTANTES 81Figura 3.15La ecuacin del espejo queda1s

+1s=1f(3.42)3.6.4. Aumento lateralML=y

y=s

snn

=s

ns(n)= s

s(3.43)3.6.5. Construccin de imgenes de espejosFigura 3.163.7. Lentes. Clasicacin. Ecuaciones importantesUn sistema ptico centrado es un conjunto de dioptrios cuyos centros estn alin-eados.82 CAPTULO 3. PTICAUna lente es un sistema ptico centrado, esto es, un objeto transparente limitadogeneralmentepor2superciesesfricas. Msrigurosamente, unalenteesunsistemaptico centrado formado por 2 dioptrios de los que uno al menos es esfrico.Unalenteesdelgadasi el grosordelamismaespequeocomparadoconotrasmagnitudes (por ejemplo, comparado con los radios de curvatura de la lente).Las lentes pueden ser convergentes y divergentes. En el primer caso, son ms gruesasen el centro que en los bordes, y en el segundo caso, por el contrario, son ms gruesasen los bordes que en el centro.Las lentes convergentes pueden ser:Figura 3.17Las lentes divergentes pueden ser:Figura 3.183.7. LENTES. CLASIFICACIN. ECUACIONES IMPORTANTES 83Supongamos una lente biconvexa con radios R1y R2:Figura 3.19Esta lente se puede interpretar como la sucesin de 2 dioptrios esfricos, el primerode radio R1y el segundo de radio R2. Para obtener las ecuaciones de esta lente debere-mos obtener la imagen respecto al primer dioptrio y esta imagen ser el objeto respectoalsegundodioptriocuyaimagenserlaimagendelalente.Porello,aplicaremoslasecuaciones del dioptrio dos veces.Respecto al primer dioptrio tenemos que en la ecuacin del dioptrio deberemos ponern = 1, n = n, ya que el primer medio es el aire. Por ello la ecuacin ser:ns

1s=n 1R1(3.44)siendo sla distancia objeto y s la distancia imagen respecto al primer dioptrio ydistancia objeto respecto al segundo dioptrio. Por ello, para el segundo dioptrio hacemosn = n, y n = 1, y as,1s

ns

=1 nR2(3.45)Despejando n / s y sustituyendo en la ecuacin del primer dioptrio tenemos,1s

_1s+n 1R1_=1 nR2(3.46)dedondeponiendos enlugar des (al escribir laecuacindelalenteignoramoslospasosintermediosquehansidonecesariosparaobtenerla), setienenalmentelaecuacin fundamental de la lente delgada:1s

1s= (n 1)_1R11R2_(3.47)A la hora de obtener esta ecuacin se ha supuesto que las distancias objeto e imagenestaban realmente medidas no desde de las supercies esfricas de separacin sino desde84 CAPTULO 3. PTICAla lnea vertical que atraviesa a la lente. Esta aproximacin es consistente con la idea delente delgada en la que el grosor es despreciable.3.7.1. Distancias focalesFigura 3.20Se dene foco imagen como el punto imagen de un objeto que sta a una distanciainnita de la lente.Anlogamente, se dene foco objeto es el punto objeto cuya imagen se encuentraa una distancia innita de la lente.Si en la ecuacin fundamental de la lente delgada hacemoss

= , tenemos1 1f= (n 1)_1R11R2_(3.48)dondefes la distancia focal objeto. Asimismo, si hacemoss = , tenemos1f

1=1f

= (n 1)_1R11R2_(3.49)dondef

es la distancia focal imagen. Es decir,f

= f. Por ello, la ecuacin funda-mental de la lente delgada puede ahora escribirse:1s

1s=1f

= 1f(3.50)3.7.2. Aumento lateralEl aumento lateral, como siempre, viene dado porML= y

/y. Analizando la guraanterior se puede establecer las siguientes relaciones basadas en la proporcionalidad detringulos semejantes:y

y fs + f=s

f

f

(3.51)3.7. LENTES. CLASIFICACIN. ECUACIONES IMPORTANTES 85Utilizaremos la segunda relacin; de esta forma, el aumento lateral vendr dado por:ML=y

y= s

_1 f

s

_1f

(3.52)Como, por otra parte, segn la ecuacin de la lente se tiene1s

=1s+1f

(3.53)sustituyendoML= s

_1 f

_1s+1f

__1f

= s

_1 f

s 1_1f

=s

s(3.54)es decir,ML=y

y=s

s(3.55)3.7.3. Ecuacin de NewtonPara las lentes delgadas, la ecuacin de Newton quedaxx

= ff

= f2.3.7.4. Potencia de una lenteSe dene Potencia de una lente como el inverso de la distancia focal imagen,Pot =1/f

. Sus unidades son m1utilizndose la denominacin de dioptra.Si la lente es convergentef

> 0 y la potencia es positiva.Si la lente es divergentef

< 0 y la potencia es negativa.3.7.5. Construcciones grcasFigura 3.2186 CAPTULO 3. PTICAFigura 3.223.7.6. AberracionesEl estudio realizado vale, como hemos indicado, para lentes delgadas, rayos paraxi-ales y luz monocromtica. En el caso de que no se den estas circunstancias se producirnaberraciones. Los dos tipos ms comunes de aberraciones son los siguientes:1. Aberracin esfrica: en este caso los distintos rayos que surgen del punto objetono convergen en un nico punto imagen; as, el sistema no es estigmtico (seraastigmtico). Esto se puede resolver con un diafragma que deja pasar slo rayosprximos al eje ptico.2. Aberracin cromtica: aparece cuando el ndice de refraccin depende de la fre-cuencia (medios dispersivos). En este caso, los rayos siguen distintas direccionessegn su longitud de onda. Se puede resolver combinando una lente convergenteconunadivergente, yaquesecompensarunadispersinconotradesentidoopuesto.Figura 3.23Captulo 4Interaccin electromagntica4.1. Carga elctricaLas partculas, adems de la masa inerte y la masa pesante (o masa gravitatoria),tienen asociado otro parmetro que llamamos CARGA ELCTRICA.Este parmetro medir el grado de participacin de la partcula en un nuevo tipo deinteraccin que llamaremos interaccin elctrica.Tanto las masas como la carga son parmetros aditivos, lo cual quiere decir, en loquesereereal parmetrodecarga, quelacargatotal deunsistemadepartculases igual a la suma de las cargas de las partculas que lo constituyen. El parmetro decarga puede ser positivo, negativo o cero. En general, la materia tiene carga neta nula1pero por procedimientos convenientes puede lograrse un exceso de carga en algn sen-tido (procedimientos de electrizacin por frotamiento, inuencia, etc.) dicindose que elcuerpo est cargado elctricamente2.Experimentalmente se comprueba que partculas con carga del mismo signo se repeleny con diferente signo se atraen3.4.1.1. Cuantizacin de la cargaLa carga elctrica no se puede dividir indenidamente sino que existe una mnimacantidaddecargaocuantodecarga, esdecir, lacargaestcuantizada. Lamnima1Que esto es as resulta evidente ya que en caso contrario estaramos sometidos a interacciones muyintensas (elctricas, por supuesto) que no constan en el movimiento de los cuerpos en el Universo (yaque entonces el movimiento y la evolucin de los mismos sera muy diferente).2Del griego elektronque signica mbar3Debe observarse que en este aspecto hay una diferencia sustancial con la interaccin gravitatoria yaque en esta ltima no existe algo anlogo a masas gravitatorias negativas, siendo adems la interaccinslo atractiva y no repulsiva.8788 CAPTULO 4. INTERACCIN ELECTROMAGNTICAcantidad de carga se llama electrn4, siendo su valore = 1, 6021 1019C, donde Cesla unidad de carga elctrica en el Sistema Internacional, que como luego veremos, recibeel nombre de culombio.4.1.2. Principio de Conservacin de la cargaFigura 4.1Supongamosunsistemadepartculascargadasaislado, lacargatotal permanececonstante con el tiempo.Tal hecho es experimental y por ello se acepta como principio5.Es decir:qa + qb + qc + = cte (4.1)4.2. Ley de CoulombSean dos partculas o puntos materiales en reposo respecto aun sistema de referen-cia inercial (o movindose a una velocidad muy pequea respecto de l), asociaremos,como ya hemos indicado anteriormente, a cada una de ellas un parmetro llamado car-gaelctrica. Entrminosdel citadoparmetro, laleydeCoulombdelainteraccinelectrosttica viene dada por

F= Keq1q2r2 ur= Keq1q2r3r (4.2)4Noconfundirconlapartculaelemental del mismonombre, electrn, quetieneestacantidaddecarga elctrica pero que es negativa.5Esnecesarioconstatarqueadiferenciadeloqueocurreconlacargaelctrica,lamasainertespuede variar con el tiempo. De hecho, como se ver en la ltima unidad temtica, desde un punto devista relativista, la masa de una partcula depende de su velocidad con respecto al observador, si bien,desde un punto de vista no relativista, la masa inerte es una constante igual que la carga elctrica, estoes, se conserva. La diferencia entre el parmetro de carga y el de masa inerte est en que incluso desdeun punto de vista relativista la carga elctrica es constante.4.3. CAMPO ELCTRICO 89Figura 4.2es decir, las dos partculas se inuyen mutuamente mediante una interaccin central da-da por la expresin anterior. En el Sistema Internacional,Ke = 9 109NC2m2siendola unidad de carga el culombio (C)6.Aveces laconstante Kesesueleexpresar delasiguientemaneraKe=1/40siendo 0lallamadapermitividadelctricaenel vaco7, cuyovalor seraenel S.I.0 8, 85 1012C2Nm2. Segn esto, la Ley de Coulomb se podra escribir:

F=140q1q2r2 ur=140q1q2r3r (4.3)La Ley de Coulomb es de bastante largo alcance (por supuesto, en absoluto del ordendel alcancegravitatorio). Suintervalodeaccinvadesdedistanciasnucleareshastadistancias de kilmetros. Adems las fuerzas elctricas son mucho ms intensas que lasgravitatorias,porloqueestasltimassesuelendespreciarcuandolasprimerasestnpresentes, si bien, en cada caso habra que analizar esta posibilidad. Finalmente, se debeindicar que la interaccin elctrica es responsable de la estructura atmico-molecular.4.3. Campo elctricoDecimosqueenunaregindel espacioestdenidouncampoelctricosi alsituar una carga elctrica en dicha regin, existe una fuerza de tipo elctrico (notaremos6El culombio tal como aparece en la expresin precedente podra denirse como la carga elctricaquetendran2partculasquesituadasentres aunadistanciade1metroseejercieranunafuerzaelctrica de 9.109N. Como ya veremos en esta unidad temtica, esta denicin de Culombio ha sidovlida hasta la Undcima Conferencia del Instituto de Pesas y Medidas quien ha propuesto una nuevadenicin ligada al magnetismo estableciendo como magnitud fundamental la intensidad de corriente yno la carga elctrica.7Adiferenciadelapermitividadelctricaenunmediomateriacualquiera. Dehecho, sepuededemostrarqueenunmediomaterialdeterminadolaLeydeCoulombadoptaunaformasimilaralaanteriormente vista sustituyendo0por. A veces incluso se suele escribir =0 r, donderes lallamada constante dielctrica del medio.90 CAPTULO 4. INTERACCIN ELECTROMAGNTICAque es de naturaleza elctrica si es mucho ms intensa que la gravitatoria).Figura 4.3La intensidad del campo elctrico vendr dada por la fuerza por unidad de carga,esto es,

E=

F/q

, siendo la direccin y sentido del vector intensidad de campo de lafuerza sobre la unidad de carga positiva.Supondremos que la carga q es pequea para que no se modique la situacin delcampo y que est quieta (o se mueve con velocidad muy pequea) ya que si estuvieraen movimiento habra que tener en cuenta consideraciones relativistas8.El campo elctrico es creado por las cargas elctricas. Si las cargas elctricas estnen movimiento el clculo del campo elctrico creado por ellas es complejo (nuevamentehay que tener en cuenta efectos relativistas), por lo que consideraremos el campo elc-tricocreadoporcargas enreposo(oconmovimientodespreciable),estoesel campoelectrosttico.Se ha visto que si se tienen dos partculas la Ley de Coulomb nos dice

F= Keqq

r2 ur= Keqq

r3 r (4.4)Figura 4.48As evitaremos tambin posibles efectos magnticos.4.3. CAMPO ELCTRICO 91Fijmonos en lo que le ocurre a la carga q, podemos decir que la carga qproduceenel espacioquelarodeaunalteracinquellamaremoscampoelctrico, demaneraque, al colocar la carga q el citado campo electrosttico interaccionar con la carga q.El concepto de campo reside en que se modica el espacio que rodea a qen el sentidoanteriormente citado. Por ello, la intensidad del campo elctrico9,

E, en el punto P seFigura 4.5dene como la fuerza elctrica ejercida sobre la unidad de carga colocada en el citadopunto P,

E=

F/q

, y en el caso de que el campo elctrico est producido por la cargaq, el vector intensidad de campo vendr dado por

E= Keqr2 ur= Keqr3r (4.5)Las unidades del vector intensidad de campo son NC1.Si tenemos un sistema de varias partculas cargadas (distribucin discreta de cargas),q1,q2,q3,...,elvectorintensidaddecampoenelpuntoPcreadoporelsistemasecalcula, teniendoencuentael principiodesuperposicin, segnel cual, cuandounapartcula se ve inuida simultneamente por distintas interacciones, la accin de cadauna de ellas es independiente de las dems, lo cual quiere decir que la fuerza resultanteser la suma vectorial de las fuerzas generadas por las distintas partculas del sistema,

F=F1 +F2 +F3 + = Keq1q

r31 r1+ Keq2q

r32 r2+ Keq3q

r33 r3+ (4.6)Por ello,

E=

Fq

=E1 +E2 +E3 + = Keq1r31 r1+ Keq2r32 r2+ Keq3r33 r3+ (4.7)donde cada carga deber incluir su signo. Escrito de otra manera, tenemos:

E=

Fq

=

iKeqir3i ri(4.8)9Deordinariosesueleutilizarindistintamenteladenominacinintensidaddecampoelctricoycampoelctricoparareferirseprecisamentealvectorintensidaddecampo.Aunqueenprincipioestopuede producir confusin est normalmente aceptado el uso indistinto antes referido.92 CAPTULO 4. INTERACCIN ELECTROMAGNTICAFigura 4.6Esta ltima expresin se puede extender a sistemas materiales (distribuciones con-tinuasdemateria). Enestecaso, serequierentcnicasmatemticasmselaboradasparael clculo, enconcreto, serequiereconocerel campodedensidadesdel sistema,estoes,lafuncin(x, y, z)yllevaracabounaintegracindevolumen.Aveces,sinembargo, y en situaciones de distribuciones con cierta simetra se puede simplicar elclculo. Para ello, en ocasiones puede ser til el uso del Teorema de Gauss (que vere-mos a continuacin) y que constituye una de las leyes ms importantes de la electricidad.4.3.1. Lneas de campo.Figura 4.7Lnea de campo (de fuerza o de corriente) es el lugar geomtrico de los puntos enlos que el vector intensidad de campo es tangente. En la gura anterior a la izquierdase observan las lneas del campo creado por una carga puntual positiva. Sin embargo,en la gura a la derecha se observan las lneas de campo creadas por una carga puntualnegativa. Como se ve las lneas de corriente nacen en las cargas positivas y mueren en lascargas negativas. Por ello, a las cargas positivas se les llama manantiales de campo4.4. TEOREMA DE GAUSS PARA EL CAMPO ELCTRICO 93elctrico mientras que a las cargas negativas sumideros de campo elctrico.4.4. Teorema de Gauss para el campo elctrico4.4.1. Flujo elctricoSupongamosunaregindelespacioenlaqueexisteuncampoelctricouniforme.Consideremosasimismounasupercieplanaendicharegindelespacio,entonces,sedene vector supercie

S asociado precisamente a dicha supercie, como un vector cuyomduloesel readelasupercieencuestin, sudireccinesperpendicularalasu-percie, y el sentido el que est ms prximo al vector induccin magntica. Se deneFigura 4.8flujoelctrico, es decir, ujo del vector

Ea travs de la supercieS, de la sigu-iente manera, =

E

S= E S cos . Fsicamente, representa el nmero de lneas decampo del campo elctrico que atraviesan la supercie considerada. De la denicin seve claro que si el campo elctrico es es paralelo a la supercie el ujo es nulo, lo cual sepuede entender grcamente ya que en este caso ninguna lnea de campo atravesara lasupercie. La unidad de ujo elctrico en el S.I. es el(N/C) m2.Si el campo elctrico no es uniforme se deber hacer una particin en la supercieen cuadrados muy pequeos. En cada cuadrado se puede suponer que

E es uniforme demanera que el ujo total ser =lmNN

i=1

Ei

Si(4.9)que se representa simblicamente de la siguiente forma =_S

E d

S (4.10)94 CAPTULO 4. INTERACCIN ELECTROMAGNTICA4.4.2. Enunciado del Teorema de GaussSeaunasuperciecerrada(quesueledenominarsesuperciedeGauss)relativaauna regin del espacio en la que existe un campo elctrico, entonces el ujo elctrico atravs de dicha supercie cerrada viene dado por =_S

E d

S= (1/0)N

i=1qi= 4KeN

i=1qi(4.11)donde Ni=1qieslasumadelascargasenel interiordelasupercie. Omitiremoslademostracin ya que corresponde a un nivel universitario.4.4.3. AplicacionesCampo en el interior y en el exterior de un conductorUna sustancia conductora ser considerada como un sistema (distribucin continuade materia) en la que al estar cargada las cargas elctricas pueden moverse. Lo primeroque debemos de tener en cuenta es que la carga elctrica en el interior de un conductorcargado es nula. En efecto, si no fuera as, esto es, si la carga estuviera en el interiorse produciran repulsiones que obligara a sta a distribuirse por la supercie de formaquelasrepulsionesseanmnimas.Porello,deberemosconvenirquelacargaelctricade un conductor cargado se distribuye en la supercie del mismo. Ello conformar unasituacin de distribucin supercial de carga estacionaria.Por ello tambin, deberemos admitir que el campo elctrico en el interior del con-ductor ser nulo, ya que, en caso contrario, dicho campo elctrico obligara a las cargaselctricas a moverse, en contra de la situacin estacionaria de que hablbamos. En efec-to, el hecho de que no exista carga en el interior de un conductor quiere decir que en suinterior la materia est neutra, es decir, que las cargas positivas compensan las negati-vas. Si el campo en el interior de un conductor no fuese cero, polarizara las cargas en elinterior generndose un movimiento interno de cargas en contradiccin con la situacinestacionaria que supuestamente se habr alcanzado.El hecho de que el campo elctrico en el interior de un conductor sea cero tambinse puede ver desde el Teorema de Gauss ya que si consideramos una supercie de Gaussen el interior del conductor y dado que la carga en el interior es cero el ujo elctricodeber ser cero con independencia de cmo sea la supercie de Gauss lo cual slo puedeser compatible con el hecho de que el campo sea nulo.Porotraparte, enel exteriordel conductor(cercadelasupercie), el campoesnormal a la misma supercie, ya que en caso contrario, las cargas se moveran por lasupercie lo cual estara asimismo en contradiccin de una situacin estacionaria. Portanto, si se aplica el Teorema de Gauss a una supercie pequea que tenga parte en elinterior y parte en el exterior del conductor.4.4. TEOREMA DE GAUSS PARA EL CAMPO ELCTRICO 95Figura 4.9Comoel campoelctricoenel exterioresperpendicularalasuperciepodemostomar como supercie gaussiana un pequeo cilindro con caras paralelas a la superciedel conductorcomosemuestraenlagura. El cilindrosersucientementepequeocomo para considerar constante el mdulo del campo elctrico y que la curvatura de lasuperciedelconductorseadespreciable.Elujoslosernonulohacialadireccinperpendicular a la supercie y hacia el exterior ya que el producto escalar en la otrasdirecciones ser cero (en el interior porque el campo es cero y en los laterales porque elproducto escalar entre el campo y el vector supercie sera cero). Por tanto, = ES=q

0=S

0(4.12)por lo queE=

0(4.13)Campo en el interior y en el exterior de una esfera conductora cargadaFigura 4.1096 CAPTULO 4. INTERACCIN ELECTROMAGNTICAPara analizar cmo es la distribucin de campo distinguiremos puntos interiores ypuntos exteriores a la esfera. En puntos interiores dado que la esfera es conductora elcampo ser cero por los mismo motivos vistos en el apartado anterior.Para puntos exteriores consideraremos la supercie gaussiana de radior de la parte(b) de la gura. El campo elctrico ser radial por simetra ya que una esfera implicaque no hay ninguna direccin privilegiada. Por otra parte si suponemos que la carga espositiva el campo ser hacia afuera. Finalmente, el campo tambin debido a la simetraesfrica slo depender de la distanciar al centro de la esfera. Por tanto, = E4r2=Q

0(4.14)por lo queE=140Qr2(4.15)Lagurarepresentalavariacindel mdulodel campoelctricoenfuncindeladistanciar al centro de la esfera.Figura 4.11Hay que jarse que a los efectos del campo elctrico es lo mismo una esfera conductoracargada que una esfera no conductora hueca (corteza esfrica).Campoenel interioryenel exteriordeunaesferanoconductoramacizacargadaEn este caso la situacin es igual al caso anterior para puntos exteriores. Para puntosinteriores,sinembargo,lasituacinesradicalmentediferenteyaquelacarganoslono va a ser nula sino que estar distribuida por toda la esfera. Supondremos que estadistribucin es uniforme. Por ello, si consideramos un punto interior a una distanciardel centro de la esfera menor que el radio de la misma y que esa distancia ser el radiode la supercie esfrica gaussiana a la que aplicaremos el Teorema de Gauss tenemos, = E4r2=Qint

0(4.16)4.5. POTENCIAL ELCTRICO. ENERGA POTENCIAL ELCTRICA. 97siendoQint la carga en el interior de la supercie de Gauss que al ser la distribucin decarga homognea ser,Qint= 43r3=Q4/3r3043r3=Qr3r30(4.17)por lo queE=140Qrr30(4.18)Campo en el interior y en el exterior de un cilindro innito cargado conductory no conductorSe propone al alumno(a) este caso para que lo haga como ejercicio.4.5. Potencial elctrico. Energa potencial elctrica.Consideremos2partculasdecargasq1yq2, enreposorespectoaunsistemadereferencia inercial (o movindose a una velocidad muy pequea respecto de l), entonces,entre ellas se ejercen una fuerza electrosttica que viene dada por

F= Keqq

r2 ur= Keqq

r3 r (4.19)Figura 4.12Si suponemosquelapartculadecargaqestjayqueladecargaq semueve(muylentamente)desdeunaposicinAhastaunaposicinByqueremoscalculareltrabajo asociado a la fuerza elctrica, nos encontraramos con que dicho trabajo resultaser independiente de la trayectoria elegida para ir desde A hasta B, por lo que la fuerzaelctrica esttica (electrosttica) es conservativa. En concreto, se puede demostrar queel resultado del clculo de dicho trabajo es:WAB= Keqq

rAKeqq

rB(4.20)98 CAPTULO 4. INTERACCIN ELECTROMAGNTICAAl ser conservativa la fuerza electrosttica, existir una funcin energa potencial queteniendo en cuenta el resultado anterior debera tener la forma: Ep(r) = Ke(qq

/r) +C,donde Ces una constante aditiva. Hay que hacer notar que la funcin energa potencialdependefuncionalmenteder, esdecir, deladistanciadelasdospartculasynodelvector que las une.El criterio que se utiliza para determinar la constante C es considerar que la energapotencial es nula cuando las dos partculas est innitamente alejadas, esto es, esto es,Ep() = 0 Keqq

+ C= 0 C= 0 (4.21)por lo queEp(r) = Keqq

r(4.22)Este criterio es consistente pues se trata de considerar que si las partculas no inter-accionan su energa potencial asociada es cero10.El signicado fsico de la energa potencial electrosttica aparece claro desde el anli-sis siguiente: si calculamos el trabajo para alejarse indenidamente la partcula de cargaq de la de carga qdesde una distancia rA, tenemos: El signicado fsico de la energapotencial electrostticaaparececlarodesdeel anlisissiguiente: si calculamosel tra-bajo para alejarse indenidamente la partcula de carga q de la de carga qdesde unadistancia rA, tenemos:Wa= Ep(rA) 0 = Ep(rA) (4.23)esdecir,laenergapotencialelectrostticadedospartculassituadasaunadistanciaruna de la otra representa el trabajo necesario asociado a la interaccin electrostticapara alejarlas lentamente desde esa distancia rindenidamente, o el trabajo que ten-emos que hacer para acercarlas desde el innito hasta la distancia r.4.5.1. Potencial elctricoSe dene potencial elctrico (electrosttico) en un punto, P, en que existe un campoelctrico a la energa potencial elctrica por unidad de carga,V=Epq

(4.24)10Debe notarse que el signicado fsico de que la distancia entre dos partculas sea innita no debeconfundirse con el punto de vista matemtico. De hecho, el hecho de que consideremos una distanciainnitaentredospartculasenrelacinalainteraccinelctricasignicafsicamentequelascitadasdos partculas estn a una distancia suciente la una de la otra, de forma que la interaccin elctricaentre las mismas no es apreciable. Esto depender del alcance de la interaccin en cuestin, que en elcasodelainteraccinelctricaestambinbastantegrande,aunquenotantocomoenlainteraccingravitatoria, como ya se ha puesto de maniesto.4.5. POTENCIAL ELCTRICO. ENERGA POTENCIAL ELCTRICA. 99Por ello, el potencial electrostticocreadopor unacargaenunpuntoPaunadistancia rde qserV= Keqr=140qr(4.25)La unidad de potencial elctrico es el voltio (V), y por ello, a veces se utiliza comounidad de intensidad de campo elctrico el Vm1.Si tenemosunsistemadevariascargasq1, q2,q3,...,el potencial elctricoenelpuntoPcreadoporel sistemasecalculatambinteniendoencuentael principiodesuperposicin. Paraello, realizaremosel siguienteanlisis: supongamosunapartculaviajera q que se mueve desde un punto A hasta otro B inuida por las interaccionesdebidas a las partculas del sistema.Figura 4.13Debido al principio de superposicin el trabajo serW= W1 + W2 + W3 + (4.26)siendo, por ejemplo,W2= Ep2(A) Ep2(B) (4.27)yEp2(B) = Keq2q

r2B(4.28)y as sucesivamente el resto de los sumandos, por lo que el trabajo total seraW= Ep1(A) Ep1(B) + Ep2(A) Ep2(B) + Ep3(A) Ep3(B) + = (4.29)es decir,= Ep1(A) +Ep2(A) +Ep3(A) + Ep1(B) Ep2(B) Ep3(B) = Ep(A) Ep(B)(4.30)siendoEp= Ep1 + Ep2 + Ep3 + (4.31)Por ello, el potencial elctrico asociado al sistema serV=Epq

=Ep1q

+Ep2q

+Ep3q

+ = V1 + V2 + V3 + (4.32)100 CAPTULO 4. INTERACCIN ELECTROMAGNTICA4.5.2. Relacin trabajo - Potencial electrostticoConsideremosunacargaviajeraq quesemuevedesdeunpuntoAhastaotroBinuida por el campo elctrico esttico, es decir, electrosttico, lo cual signica que elvectorintensidaddecampo

E=

E(x, y, z)peronodependedel tiempo, estoes, esestacionario. Podemos imaginar que el citado campo est creado por una segunda carga(o sistema de cargas) en reposo. Supongamos que queremos calcular el trabajo asociadoa dicha interaccin elctrica,W= Ep(A) Ep(B) = q

[V (A) V (B)] (4.33)es decir, el trabajo es igual a la carga q por la diferencia de potencial elctrico.4.5.3. Relacin Intensidad de campo - Potencial electrostticoConsideremos ahora una campo elctrico uniforme, esto es, un campo elctrico cuyovector intensidad de campo no depende la posicin. Supongamos tambin como antesque en dicho campo se mueve una carga q, entonces el trabajo para ir desde un puntoA hasta un punto B asociado a la fuerza elctrica (al no depender sta de la posicin)ser:W=

F rAB= q

E rAB(4.34)Como por otra parte hemos visto que W= q

[V (A) V (B)], tenemos igualando queV (A) V (B) =

E rAB(4.35)Si desarrollamos el producto escalar anterior tenemosV (A) V (B)=

E rAB=Ed cos siendod ladistanciaentrelospuntosAyB, yel nguloentreel vectorintensidad de campo y el vector desplazamiento entre los puntos A y B. As conocidala diferencia de potencial entre A y B se puede obtener el mdulo de la intensidad decampo de la siguiente forma:E cos = VABd(4.36)siendoE cos la componente del vector intensidad de campo elctrico en la direccindel vector desplazamiento y siendo la diferencia de potencialVAB= VAVB V (A) V (B) (4.37)Estas ecuaciones slo son vlidas para campos uniformes pero similares aunque enforma diferencial son vlidas en general; en concreto, la relacin intensidad de campo- potencial elctrico seradV =

E dr, que en el fondo puede ser considerada de lasecuaciones anteriores para desplazamientos diferenciales (desplazamientos tan pequeosenlosquesepuedeconsiderarqueel campoelctricoesprcticamenteuniforme. Esnecesario sealar que esta ltima expresin slo es vlida para campos electrostticos,esto es, campos elctricos estticos, que no varan con el tiempo (como los producidospor cargas o sistemas de cargas que estn en reposo).4.5. POTENCIAL ELCTRICO. ENERGA POTENCIAL ELCTRICA. 1014.5.4. Supercies equipotencialesSuperficiesequipotenciales son aquellas supercies en las que el potencial esconstante. En el grco siguiente (a la izquierda) se ve un corte (curvas de nivel) a lassupercies equipotenciales asociadas al campo elctrico creado por una carga puntual.Tales supercies equipotenciales seran supercies esfricas y el corte con plano diametraldara lugar al grco adjunto. La situacin es algo ms compleja cuando tenemos dos oms cargas del mismo signo prximas como se muestra en el grco a la derecha.Figura 4.14Entrelaslneasdecampoylassuperciesequipotencialessevericalasiguientepropiedad: las lneas de campo son perpendiculares a las supercies equipotenciales enlos puntos de interseccin. En efecto, si se considera el trabajo asociado a la interaccinen relacin al desplazamiento entre dos puntos cualesquiera sucientemente prximos ypertenecientes a la misma supercie equipotencial tendremos que dicho trabajo es ceroal ser nula la diferencia de potencial elctrica.Eso signica que el vector fuerza (y por tanto, el vector intensidad de campo) deberserperpendicularal vectordesplazamiento(contenidoenlasupercieequipotencial),por lo que la propiedad anteriormente expuesta es cierta.4.5.5. Energa electrosttica de un sistema de cargasSe trata del trabajo asociado a la interaccin electrosttica que se ejercen entre lascargas del sistema para que se alejen indenidamente respecto a su distribucin espacialinicial. Tambin podra considerarse esta energa potencial como el trabajo que hay quehacer para acercar hasta una distribucin espacial determinada un conjunto de cargasinnitamente alejadas entre s.102 CAPTULO 4. INTERACCIN ELECTROMAGNTICAPara un sistema de dos cargas sera:Ep= Keq1q2r12(4.38)Para un sistema de tres cargas sera:Ep= Ke(q1q2r12+q1q3r13+q2q3r23) (4.39)En general, para un sistema de N cargas, ser:Ep= KeN

i se tiene que Ec= hf -.3. Si hf