FIS 211

Unidad I. Cantidades físicas y vectores

1

Unidad I. Cantidades fisicas y vectores

2

• Introducción• Medidas• Sistemas de unidades• Análisis dimensional• Estimación y orden de magnitud• Incertidumbre y cifras significativas• Como resolver problemas de física• Vectores

3

Introducción• La física es una ciencia fundamental.• La física es una ciencia experimental.• Los físicos desarrollan teorías que describen los fenómenos naturales.

Todo teoría es tentativa, que tiene un intervalo de validez determinado.• Los seis campos principales de la física son:

– Mecánica clásica: estudia el movimiento a tamaños relativamente grande comparado con los átomos y a velocidades mucho menores que la velocidad de la luz.

– Relatividad: estudia movimiento a cualquier velocidad y escala.– Termodinámica: estudia calor, trabajo, temperatura y comportamiento

estadístico de muchas partículas.– Electromagnetismo: estudia las propiedades e interacción de la electricidad y

magnetismo.– Óptica: estudia la luz y su interacción con materiales.– Mecánica cuántica: estudia el comportamiento de la materia a escala

microscópica y su relación con observaciones macroscópicas.

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Introducción

• Modelo idealizado: es un sistema físico simplificado que facilita comprender lo esencial del mismo. Todo modelo es aproximado de la realidad. La utilización del modelo depende del ámbito de aplicación y el cumplimiento de las premisas. Ejemplos:– Partícula

– Cuerpo rígido

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Medición

Experimento TeoríaMedición

EstimaciónFenómeno físico observable

Método científico

Cantidad física

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Estándares y unidades

• Cantidad física: es un número y un patrón que describe cuantitativamente un fenómeno físico. Ejemplo, masa, tiempo.

• Las cantidades físicas son descritas con patrones o estándares que tienen definiciones operativas: procedimiento o reglas para obtenerlos. Los patrones son arbitrarios pero adoptados por convenio en la comunidad de científicos y mantenidos por organismos de metrología.

• Al medir una cantidad siempre la comparamos con un estándar de referencia. El estándar define una unidad de la cantidad. Ejemplo:– El metro es una unidad de distancia.– La cantidad física es un número y una unidad. Ej. 6 metros.

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Cantidades físicas (en mecánica)

Cantidades básicas: En mecánica hay tres cantidadesfundamentales:

Longitud (L), masa (M), tiempo (T)

Cantidades derivadas: todas aquellas cantidades físicas quepueden ser expresadas en términos de las cantidades básicas.

Area VolumenVelocidadAcceleraciónFuerzaCantidad de movimiento linealTrabajoDensidadPresiónPotenciaEtc.

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MasaLa unidad SI de masa es el kilogramo, que se define como la masade una aleación específica de platino-iridio.

TiempoLa unidad SI de tiempo es el segundo, que es el tiempo requeridopara que el átomo de de cesio-133 tenga 9192631770 vibraciones.

LongitudLa unidad SI de longitud es el metro, que es la distanca que viaja la luz en el vacío durante un tiempo de 1/2999792458 segundo.

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Sistema de unidades

Sistema Internacional de unidades SI):

Longitud: metro (m), masa: kilogramo (kg), tiempo: segundo (s) *Este sistema se basó en el denominado sistema mks para metro-kilogramo-

segundo.

Unidades gaussianas

longitud: centímetro (cm), masa: gramo (g), tiempo: segundo (s) *Este sistema también es denominado cgs por centímetro-gramo-segundo.

Sistema inglés o británico:

Longitud: pie, masa: slugs (, fuerza en libras), tiempo: segundos. (Para longitud utilizan además pulgada, yarda, milla)

Usaremos el sistema SI y tendremos que convertir de un sistema a otro de manera adecuada.

10

El sistema SI es de uso obligatorio en República Dominicana

11

¿Cuáles de estas cantidades son derivadas?

•Densidad•Longitud•Fuerza•Area•Volumen

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Conversión de unidadesNecesitamos que las unidades sean consistentes (de un mismo sistema

de unidades) o convertirlas a otro sistema de unidades.

Las unidades se pueden tratar como cantidades algebraicas ordinarias.

1 milla = 1609 m = 1.609 km1 pie = 0.3048 m = 30.48 cm1m = 39.37 pulgada = 3.281pie1pulgada= 0.0254 m = 2.54 cm1 milla = 5280 pie

EjemploEjemplo: : ConviertaConvierta millasmillas porpor horahora a metros a metros porpor segundosegundo::

sm

21

sm447.0

s 3600hora 1

28.3m 1

millapie 5280

horamilla 1

horamilla1

pie

Preguntas:1. Convierta 500 milimetros a metros.2. Convierta 1litro a mililitros.3. Convierta 1.45 metros a pulgadas.4. Convierta 65 millas por hora a

kilómetros por segundo

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Procedimiento de conversión de unidades

El procedimiento de conversión consiste en:– Determine los factores de conversión necesarios

– Plantee la igualdad

– Multiplique por el factor de conversión (éste, siempre es igual a la 1) apropiado

– Cancele unidades y haga los cálculos correspondientes.

1 milla = 5280 pie 1m = 3.281pie

1hora = 3600 s

horamilla 1

horamilla1

sm

21

sm447.0

s 3600hora 1

28.3m 1

millapie 5280

horamilla 1

horamilla1

pie

sm

21

sm447.0

s 3600hora 1

28.3m 1

millapie 5280

horamilla 1

horamilla1

pie

1 milla 15280pie

5280pie 11milla

1 13.281

mpie

3.281 11

piem

1 13600hora

s

3600 11

shora

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PrefijosPrefijos corresponden a potencias de 10

Cada proefijo tiene un nombre y abreviatura específica

Potencia Prefijo Abrev.

1015 peta P109 giga G106 mega M103 kilo k10-2 centi c10-3 mili m10-6 micro m10-9 nano n10-12 pico p10-15 femto f

Distancia desde la Tierra a la estrella más cercana 40 PmRadio promedio de la Tierra 6 MmTamaño de una célula viva 10 mmTamaño de un átomo 0.1 nm

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http://physics.nist.gov/cuu/Units/prefixes.html

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DimensionDimension[L]=L[L]=L[M]=M[M]=M[T]=T[T]=T

CantidadCantidadLongitudLongitudMasaMasaTiempoTiempo

[A] = L[A] = L22 ÁreaÁrea

[V]=L[V]=L33 VolumenVolumen

[v]= L/T[v]= L/TVelocidadVelocidad

[a] = L/T[a] = L/T22

[f]=M L/T[f]=M L/T22AcceleraciónAcceleraciónFuerzaFuerza

Análisis dimensional

Definición: La Dimension is la naturaleza cualitativa de una cantidadfísica (longitud, masa, tiempo). Las dimensiones pueden ser tratadascomo cantidades algebraicas.

Los corchetes [ ] denotan la dimension o unidades de una cantidad física. También se denota la dimensión por dim. Es decir, [x]=dim x

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El análisis dimensional se utiliza para verificar si las fórmulas están correctasrevisando las dimensiones como cantidades algebraicas. Las cantidadespueden ser pueden ser sumadas o restadas sólo si tienen las mismasdimensiones, y las cantidades de ambos miembros de una ecuación debentener las mismas dimensiones.

Ejemplo :Usando el análisis dimensional verfique que la ecuación x = ½ at2

Es correcta, donde x es la distancia, a es la aceleración y t es el tiempo.

L]x[ Miembro izquierdo

LTTL]at

21[ 2

22 Miembro derecho

Esta ecuación es correcta porque la dimensión del miembro derechoes igual a la dimensión del miembro izquierdo.

Solución

18

Ejemplo:Suponga que la aceleración de una partícula que se mueve en un círculode radio r con velocidad uniforme v es proporcional a rn y vm.Utilice el análisis dimensional para determinar los exponentes n y m.

El miembro izquierdo

Por tanto

O bien,

SoluciónAsumamos que a se representea por la siguiente expresión

a = k rn vm

Donde k es la contante de proporcionalidad, sin dimensiones (esdecir, un número puro).

El miembro derecho [a] = L/T2

mnm2 TLLT 19

Así que

n+m=1 y m=2 De donde

n =-1

Y la aceleración a esa = k r -1 v2

Ejercicio:1. Demuestre que la expresión x = vt +1/2 at2 es dimensionalmenteconsistente, donde x es la coordenada y tiene unidades de longitud, v es velocidad, a es aceleración y t es el tiempo.

2. Verifique que el período T de un péndulo simple se mide en unidades de tiempo dado por:, siendo l longitud y g aceleración.

glT 2

20

Densidad

La densidad se define como masa entre volumen: = M/V

Las dimensiones de la densidad son, unidades(kg/m3)

3LM

• EjemplosSustancia (103 kg/m3)Oro 19.3Plomo 11.3Aluminio 2.70Agua 1.00

21

Densidad atómicaAl tratar con número de átomos a nivel macroscópico (y de manera

similar a pequeñas partículas) utilizamos el Número de Avogadro, NA = 6.023 x 1023 átomos por mol

Las unidades de masa mas comunes relativas a los elementos1. Masa molar= masa en gramos de un mol de sustancia

(promedio de los isótopos naturales)2. Masa atómica = masa de un u (u.m.a.) de un átomo de una

sustancia. Este es aproximadamete el total de protones y neutrones de un

átomo de una sustancia. 1u = 1.660 538 7 x 10-27 kg

atomo/mol10023.6g/mol .12 (carbono) 23

M

¿Cuál es la masa de un átomo de carbono(C12)?

= 2 x 10-23 g/atom

22

Cifras significativas

• Las mediciones tienen incertidumbre que depende del instrumento de medición, las condiciones ambientales, el proceso de medición.

• La medida de la incertidumbre se denomina error. Error puede ser absoluto o relativo.

• El error es la máxima diferencia probable entre el valor medido y el valor real.

• La exactitud de una medición es el valor medido que estima el valor real.

• La precisión de una medición se refiere al nivel de error de la medición y del instrumento de medida.

23

Cifras significativas• Son aquellos dígitos seguros y uno aproximado de una medida directa.• Siempre se debe expresar un número indicando sólo las cifras significativas.• Al multiplicar o dividir número el resultado tiene igual número de cifras

significativas que el menos preciso de ellos.• Cuando sumamos o restamos, los lugares decimales del resultado debe ser igual

que el que tenga el menor número de éstos.

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Funciones trigonométricas, logaritmos y exponenciales

El número de cifras significativas es igual al número de cifras significativas del argumento. Ejemplo, tan(50.6º)=1.22

• Una medida se denota por:

mm02.047.56

mmmm

)21(6454.10021.06454.1

%1047.56

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• Ejercicio: cuántas cifras significativas tiene:

• A) 5.65 mm

• B) 2.340 x105 m• C) 2.31 kg /1.6 m3

• D)2.345 s + 23.5 s + 1.345 s

• E) 1.00 x 106 kg

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• Ejemplo. Un rectángulo tiene una longitud de (21.3 ±0.2)cm y un ancho de (9.80 ±0.1)cm. Encuentre el área y la

incertidumbre del área.

Solución:

2

2

)4209()80.92.01.03.2180.93.21(

)1.080.9()2.03.21(

cmcm

cmcmbhArea

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Precisión y exactitud

• Exactitud: se refiere a cuán cerca está un valor del valor verdadero.

• Precisión: se refiere al grado de dispersión de los valores respecto a un valor medio.

Ejemplo, Medición de tiempo:a) Reloj exacto y poco precisob) Reloj exacto pero precisoc) Reloj exacto y precisod) Reloj poco exacto y poco preciso

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Estimaciones y orden de magnitud

• Orden de magnitud: es la potencia de 10 más cercana al número. Se denota por o(x), x ~.

• Estimaciones: a partir de informaciondisponible, planteando premisas razonables y calculos sencillos. Tambien se denominanproblemas de Fermi, en honor a Enrico Fermi.

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• Ejemplo:

• Estime el numero de respiraciones durante la vida promedio de una persona.Solución:

Premisas:1. Una persona vive aproximadamente 70 años.2. Una persona unas 10 veces por minuto.

min106min60254001 5hdia

hañodiasañoNúmero de minutos de un año:

nesrespiracionesrespiracioaños 85 104min

10min)106)(70(

Número de respiraciones

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Cómo resolver problemas de física• Identificar

– Modelo idealizado– Tipo de problema– Variables, datos, supuestos– Construir diagrama, gráfico, marco de referencia, de la situación física

• Plantear– Estrategias u opciones de solución– Fórmulas

• Ejecutar– Realizar los cálculos, despeje de variables, etc.– Control de unidades de medida, análisis dimensional, cifras significativas

• Evaluar– ¿es razonable la solución?– Comprobación rápida por otro camino u opción identificada en

Planteamiento.– Buscar el orden de magnitud y comparar con los resultados.

31

Sistema de coordenadas y vectores

32

Sistemas de coordenadas y marcos de referencia

La ubicacion de un punto en una linea se puede describir por unacoordenada; un punto en el plano se puede describir con doscoordenadas; un punto en tres dimenensiones se puede describir portres coordenadas. En genera, el numero de coordenadas es igual alnumero de dimensiones espaciales. Un sistema de coordenadasconsiste de:

1. Un punto fijo de referencia denominado origen.

2. Un cojunto de ejes con direcciones y escalas especificas

3. Instrucciones que especifican como designar un punto en el espaciorelativo al origen y los ejes.

33

Sistemas de coordenadas

• En 1 dimensión, sólo una clase de sistema,

– Coordenadas lineales (x) +/-

• En 2 dimensiones hay dos sistemas de coordenadas comunes:

– Coordenadas cartesianas(x,y)

– Coordenadas polares (r,q)

• En 3 dimensiones hay tres sistemas comumente utilizados

– Coordenadas Cartesianas (x,y,z)

– Coordenadas Cilindricas (r,q,z)

– Coordenadas esféricas (r,q,f)

34

35

• Coordendas cilindricas (r, ϴ, z)

36

Coordenadas esféricas

37

Sistema de coordenadas cartesianas• También se llama sistema de

coordenadas rectangulares

• Ejes x (abscisas) e y (ordenadas)

• Los puntos se designan por (x,y)

SistemaSistema de de coordenadacoordenada polarpolar

El El origenorigen y la y la linealinea de de referenciareferenciase se señalanseñalan en la en la figurafigura

un un puntopunto se se representarepresenta comocomounauna distanciadistancia r r desdedesde origenorigen en la en la direccióndirección del del ánguloángulo Los Los puntospuntos se se designandesignan porpor (r,(r,))

Línea de referencia

38

La relación entre las coordenadas es:

x rcos rseny

22 yxr

xytan q

Por el Teorema de Pitágoras:

Ejercicio: Un punto se localiza en un sistema de coordenadas polares con direccion y distancia .

Encuentre las coordenadas x e y de este punto, asumiendo que ambos sistemas de coordenadas tienen el mismo origen.

25r m35q

39

Ejemplo :Las coordenadas cartersianas de un punto son (x,y)= (-3.5,-2.5) metro. Encuentre la coordenada polar de este punto.

Solución:

21636180 q

36714.0tan

714.05.35.2tan

1

xy

myxr 3.4)5.2()5.3( 2222

Note que debe utilizar los signos de x y de y para encontrar que se encuentra en el tercer cuadrante del sistema de coordenadas, esdecir . Lo cual no es 36 q216q

40

Escalares y vectores Los escalares tiene solamente magnitud. Ejemplo de escalares son la longitud, el tiempo, la masa, la densidad, el volumen .

Los vectores tienen magnitud y dirección .La magnitud del vector se escribe como Son cantidades vectoriales la posición, el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, entre otros.

v v

41

Propiedades de Vectores

Igualdad de vectores

Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la mismadirección

Movimiento de vectores en un diagrama

Cualquier vector puede moverse de manera paralela a él mismo sin que sea afectado (no cambia la magnitud ni la dirección).

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Vectores negativos

Dos vectores son negativos si tienen la misma magnitud perodirección opuesta, es decir, 180°

Multiplicación o división de un vector por un escalar resulta en un vector en el cual(a) Sólo cambia la magnitud si el escalar es positivo. (b) La magnitud cambia y la dirección es opuesta si el escalar esnegativo

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Suma de vectores

Métodos para sumar vectores:

Métodos gráficos

Métodos analíticos

44

Métodos Gráficos de suma de vectores(Método del triángulo)

Los vectores se dibujan a escala colocando “cabeza” de uno con la “cola” del siguiente, manteniendo lasdirecciones de cada vector.

La resultante R o vector sumase traza del origen de A a la cabeza o extremo final del último vector (B)

Se mide la longitud de R y suángulo.

45

La suma de vectores se hace a escala

46

Cuando se tienen variosvectores, se repite el proceso hasta que se incluya al último vector

La resultante es el vector trazado desde el origendel primer vector al extremon final o cabezadel último vector.

Métodos Gráficos de suma de vectores(Método del polígono)

47

Métodos gráficos(Método del paralelogramo)

Para dos vectores, se puedeutilizar el método del paralelogramo

Todos los vectores, incluyen la resultante, se dibujan desdeun origen común.

Los lados que restan del paralelogramo se dibujan para determinarla diagonal, que es el vector suma, R

48

Resta de vectores

Es un caso especial de la suma de vectores

A – B, es equivalente a

A+(-B)

Y se suma con el procedimiento estándarde suma vectorial

49

Relaciones importantes en la sumade vectores

• Ley de los senos

• Ley de los cosenosA

B

C

b a

c

Sea el triángulo ABC de ángulos A, B y C y lados a, b y c, como se muestra en la Figura.

a b csen A sen B sen C

2 2 2 2 cosc a b ab C 50

Componentes de un vector

Son las proyecciones del vector en los ejes x- e y-.

En la figura:

-Las componentes son:

-Los vectores componentesson:

51

,x yA A

,x yA A

La componente -x- de un vector es la proyección en dirección al eje-x

La componente –y de un vector es la proyección en dirección del eje-y

Then,

cosxA A

x yA A A

x

yyx A

AyAAA 122 tan

AsenAy

52

Suma de vectores por el método analítico o método de componentes

(1) Elija el sistema de coordenadas y dibuje los vectors

(2)Encuentre los componentes x e y de todos los vectores

(3) Sume todas las componentes x

Así resulta Rx: xx vR

yy vR

(4)Sume todas las componentes y

Esto da a Ry

53

(5) Encuentre la magnitud de la Resultante

(6) Busque la tangente inversa para encontrar la direcciónde R:

2y

2x RRR

x

y1

RR

tanq

54

Ángulo θ

• La dirección, el ángulo θ es positivo en sentido antihorario, y negativo en sentido horario.

• El ángulo θ se mide respecto a la línea de referencia +x.

55

θ

-30º

θ=90º+40º=130º θ=180º+50º=230º

θ=360º-30º=330º

40º

50º

• Es conveniente crear un cuadro para facilitar la suma de las componentes:

Vector Magnitud Dirección Componente x Componente y

A

B

C

…

Total Rx= Ry=

56

Vectores unitarios

• Un vector unitario (versor) es un vector con magnitud igual a 1 y sin unidades

• Se utiliza para especificar la dirección.• Un vector u apunta en la dirección de U

– Se denota por un “sombrero“: u = û o bien , para el vector A, el vector unitario es

U = |U| U = |U| ûû

û û

x

y

zii

jj

kk

Ejemplos de vectores uintarios son los vectores unitarios cartesianos ii, j, k, j, k Apuntan en la dirección de

los ejes x, y z.R = rx i + ry j + rz k

Ae

También se denotan los vectores unitarios como: ˆ ˆ ˆ,x y z 57

58

Ejemplo :Una partícula realiza tres desplazamientos consecutivos dados por:

,cm)kj3i(d1 cm)k3ji2(d2 cm)ji(d3

Encuentre el desplazamiento resultante de la partícula.

cm)k4j3i2(Rk)031(j)113(i)121(dddR 321

cm4R,cm3R,cm2R zyx

cm39.5RRRR z2

y2

x2

Solución:

El desplazamiento resultante tiene las componentes

La magnitud es

59

Producto de dos vectores

1. Producto escalar (producto punto)

Existen dos formas distintas en las que podemos definir el producto de dos vectores: a. producto escalar y b. producto vectorial

Cada magnitud de |A| y |B| es un número y cos ϴ es un úmero, asique el producto escalar es un número o escalar, no un vector.

Casos especiales de producto escalar o producto punto

Ya que i ,j y k tienen magnitud igual a uno y son mutuamenteperpendiculares y cos 90°=0:

i.i = j.j = k.k = 1 i·j = j·i = i·k = k·i = j·k = k·j = 0.

cos. BABA

60

61

62

El ángulo entre dos vectores

Si A y B tiene componentex x,y, z , se pueden expresar como

x y zA Ai A j Ak x y zB B i B j B k

El ángulo entre estos vectores es:

63

EjemploEncuentre el ángulo entre dos vectores:

Solución

64

2- Producto vectorial (producto cruz)

Casos especiales del producto vectorial

A B ABsen n(Magnitud)

Dirección: perpendicular al plano que forman los vectores A y B, apuntando según la regla de la mano derecha

65

Producto vectorial o producto cruz

x y z

x y z

i j kC A B A A A

B B B

Las componentes de C son

, ,x y z z y y z x x z z x y y xC A B A B C A B A B C A B A B

66

Regla de la mano derecha

67

68

Usaremos el sistema de coordenadas derecho

69

70

Ejemplo

Si C=A B, donde A=3i-4 j, y B=-2i+3k, ¿cuánto es C?

Solución

El vector C es perpendicular tanto al vector A como a B.

71

72

Cosenos directores

x

y

z

α

β

θSean α, β, y θ los ángulos correspondientes a los ejes x, y, z respectivamente, entonces:

V

α

V

xV

β

V

yVx y

V

zV

z

θ

coscoscos

x

y

z

V VV VV V

Elevando al cuadrado y sumando,

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

cos cos cos

(cos cos cos )x y zV V V V V V

V V

2 2 2cos cos cos 1

A cos α, cos β y cos θ se les denominacosenos directores.

En el espacio:

En el plano:

Problema 1: Encuentre la suma de los vectores A y B ubicados en el planoxy y dados por

Problema 2: Una partícula ejecuta tres desplazamientos consecutivos :

Encuentre las componentes del desplazamiento resultante ,y la magnitud y dirección

mjiBmjiA )42(,)22(

cmjid

cmkjidcmkjid

)1513(

,)51423(,)123015(

3

21

73

Vectores y leyes de la físicaLas componentes de un vector dependen del sistema de coordenadas elegido.Si rotamos el sistema de coordenadas tendremos nuevas componentes. Pero la magnitud y dirección del vector permanecen invariables.

Las relaciones físicas son independientes del sistema de coordenadas elegido.

74

Propiedades de operaciones con vectores

• Suma de vectores– Ley conmutativa de la adición:

– Ley asociativa de la adición:

• Producto escalar– Conmutativo

– Distributivo

• Producto vectorial– Anticonmutativo

– Distributivo respecto a la suma

a b b a

( ) ( )a b c a b c a b c

a b b a

( )a b c a b a c

a b b a

( ) ( ) ( )a b c a b a c

75

Marco de referencia

• El marco de referencia es un sistema de coordenadas y un reloj para medir el tiempo

76

Cómo resolver problemas de física

• Método general de resolución de problemas– Identificar

– Plantear

– Ejecutar y controlar

– Evaluar

• Plantilla de resolución de problemas

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Plantilla para la resolución de problemas de física

Puntaje

Enunciado del problema

Id

entif

icar

Situación física Modelo (dibujo, diagrama, gráfico, mapa, etc.) Premisas o supuestos del modelo:

P

lant

ear

Tipo de problema: Definición de variables: Datos

Estrategias de solución A._______________________________________ B._______________________________________ C._______________________________________ Opción elegida:____ Método matemático a utilizar:

E

jecu

tar

Controlar Criterio Si No N/A 1.Las cantidades escalares están expresadas como un número y unidad de medida tanto en los resultados como en los cálculos intermedios

2. Las cantidades vectoriales están expresadas con la magnitud y la dirección.

3. Las cantidades están expresadas con el número correcto de cifras significativas.

4. Las cantidades están expresadas en el mismo sistema de unidades.

5. Las ecuaciones son dimensionalmente correctas.

6. Los marcos de referencia están claramente dibujados con el origen definido y los ejes orientados

7. Los gráficos y cuadros tienen identificadas las variables y sus unidades de medida, un título y fuente de información.

E

valu

ar

Interpretación de la solución matemática a la situación física ¿La solución es realista? ¿Una comprobación rápida por otra estrategia implica resultados similares? ¿Si se hacen simplificaciones razonables, los resultados son consistentes con la situación física? ¿El orden de magnitud de la(s) cantidad(es) buscada(s) es razonable? Escriba las conclusiones:

Identificar

Plantear

Ejecutar

Evaluar

Controlar

78

Discusión

79

]tka[]s[ nm

m2nmnm2m TLTTLL

1m 2n0m2n

Solución

y

[1] La posición de una partícula que se mueve con aceleración unfiormes esuna función del tiempo y la acleración. Suponga que existe unaproporcionalidad directa, entonces s = kam tn donde , k es una contante sin dimensiones. Demuestre mediante análisis dimensional que la expresión se satisface si m = 1 y n = 2

80

MmFrG

rMmGF

2

2

2

2

2

322

kgm.N

s.kgm

kgkgms/m.kgG

Solución:

[2] La ley de gravitación universal de Newton se representa por:

Donde F es la magnitud de la fuerza gravitacional ejercida por un objetopequeño sobre otro objeto , M y m son las masas de los objetos, y r es ladistancia de separación entre éstos. La fuerza tiene unidades en el SI de

kg ·m/ s2. ¿Cuáles son las unidades SI de la constante de proporcionalidadG?

2rMmGF

81

336

3

m/kg104.111010.21094.23

Vm

Solución

1 cm =0.01 m1 plg= 2.54 cm1 kg =1000 g

[3] Una pieza sólida de plomo tiene una masa de 23.94 g y un volumen de2.10 cm3. Calcule la densidad del plomo en el sistema SI (kg/ m3).

82

2.54 plg(4.75 lg) (4.75plg) 1 (4.75plg) (4.75 2.54) 12.0651plg plg

cmp cm cm

Convierta 4.75 pulgadas a cm.Ejemplo

Solución

83

,rxcoscosrx qq

334

34r

s e n se n yy rr

3

32y

Solución:

entonces

entonces

[4] Si las coordenadas rectangulares de un punto están dadas por (2, y) ysus coordenadas polares son ( r , 30°), determine y, r.

84

b Para (2,-4) la coordenada polar es (2,2√5) porque:

m52164yxr 22

5.2692tanxytan 1 qq

212

212 )yy()xx(d

m74)43()23(d 22

a)Solución:

[4] Dos puntos en el plano xy plane tienen coordenadas cartesianas (2.00, -4.00) m y ( -3.00, 3.00) m. Determine (a) la distancia entre estos puntos (b)coodenadas polares.

85

[5] El vector A tiene una magnitud de 8.00 unidades y forma un ángulo de45.0 ° con el eje positivo x. El vector B también tiene una magnitud de 8.00unidades y dirigida hacia la parte negativa del eje x. Usando los métodosgráficos, encuentre (a) el vector suma A + B y (b) el vector diferencia A - B.

Solución:

86

5 4C A B i j

Solución:

j8i)B(AD

7.3854tan 1 q

2.978tan 1 f

[6] Dados los vectores A = 2.00 i +6.00 j y B = 3.00 i - 2.00 j, (a) dibuje elvector suma, C = A + B y el vector diferencia D = A - B. (b) Calcule C y D,primero en términos de vectores unitarios y luego en términos decoordenadas polares, con ángulos medido respecto a eje , +x.

87

Solución: (3 1) ( 2 4) 2 6A B i j i j

( ) (3 1) ( 2 4) 4 2A B A B i j i j

4 36 40 2 10A B

16 4 20 2 5A B

2883tan 1 q

6.2621tan 1 q

Dirección de

Dirección de

[7] Considere los dos vectores A = 3 i - 2 j and B = i - 4 j. Calcule (a) A + B,(b) A - B, (c) │A + B│, (d) │A - B│, y (e) las direcciones de A + B y A - B.

A B

A B

88

8 12 4A i j k

4 32 48 16B A i j k

3 24 36 12C A i j k

Solución:

a)

b)

c)

[8] El vector A tiene componentes x, y, z de 8.00, 12.0, y -4.00 unidades,respectivamente. (a) Escriba una expresión vectorial para A en notación devectores unitarios. (b) Obtenga una expresión en términos de vectores unitariospara un B cuatro veces la longitud de A apuntando en la misma dirección deA. (c) Obtenga una expresión en términos de los vectores unitarios para unvector C tres veces la longitud de A apuntando en la dirección opuesta a la deA.

89

40cos45 30cos45 49.5xd unidad

20 40 45 30 45 27yd sen sen unidad

2 2( ) ( ) 56.4x yR d d unidad

55.0dd

tanx

y q 8.28q

Solución:

[9] Tres vectores desplazamiento de una bola se muestran en la Figura, dondeA = 20.0 unidades, B = 40.0 unidades, y C = 30.0 unidades. Encuentre lamagnitud y dirección del vector desplazamiento resultante.

90

[10] Encuentre la magnitud y dirección del vector fuerza resultante

N30240cos853cos1525Fx 10 15 53 8 240 15yF sen sen N

N5.33)F()F(R 2y

2x

5.0FF

tanx

y q

5.26q

Solucion:

91

Preguntas y ejercicios

92

[1] La posición de una partícula que se mueve con acceleración uniforme es la función del tiempo y la aceleración. Suponga que la posición es s = kam tndonde , k es una constante sin dimensiones. Demuestre mediante el análisisdimensional que la expresión se satisface si m = 1 y n = 2

[2] La ley de gravitación universal de Newton está representada por:

Siendo F la magnitud de la fuerza gravitacional ejercida por un objeto pequeñosobre otro, M y m son las masas de los objetos y, r es una distancia. La fuerza tiene unidades SI de kg ·m/ s2. ¿Cuáles son las unidades SI de la constante de proporcionalidad G?

2rMmGF

93

[3] Una pieza sólida de plomo tiene una masa de 23.94 g y un volumen de2.10 cm3. A partir de estos datos, calcule la densidad del plomo enunidades SI (kg/ m3).

[4] A. Si las coordenadas rectangulares de un punto están dadas por (2, y) ysu coordenadas polares son (r,30°), determine y e r.B. Dos puntos en el plano cartesiano xy tienen coordenadas (2.00, -4.00)m y ( -3.00, 3.00) m. Determine (a) la distancia entre estos puntos y (b)sus coordenadas polares.

[5] El vector A tiene una magnitud de 8.00 unidades y un ángulo de 45.0 °con el eje x positivo. El vector B tiene también una magnitud de 8.00 unidades y está dirigido hacia el eje x negativo. Utilizando métodosgráficos, encuentre (a) el vector suma A + B y (b) el vector diferenciaA - B.

94

[6] Dados los vectores A = 2.00 i +6.00 j y B = 3.00 i - 2.00 j, (a) dibuje el vector suma, C = A + B y el vector diferencia D = A - B. (b) Calcule C yD, primero en términos de vectores unitarios y luego en términos de coordenadas polares, con ángulos medidos respecto al eje, +x s.

[7] Considere los vectors A = 3 i - 2 j y B = i - 4 j. Calcule (a) A + B, (b) A - B, (c) │A + B│, (d) │A - B│, y (e) las direcciones de A + B y A - B.

[8] El vector A tiene componentes x, y, z de 8.00, 12.0, y -4.00 unidades, respectivamente. (a) Escriba una expresión del vector para A en notaciónde vectores unitarios. (b) Obtenga una expresión del vector unitario paraB cuatro veces la longitud de A apuntanto en la misma dirección de A. (c) Obtenga una expresion del vector C tres veces la longitud de A apuntando en la dirección opuesta a A.

95

[9]Tres desplazamiento de una bola se muestran en la Figura, donde A = 20.0 unidades, B = 40.0 unidades, y C = 30.0 unidades. Encuentre la magnitud y dirección del desplazamiento resultante.

[10] Una parcela rectangular tiene 100 pie por 150 pie. Determine el área de la parcela en m2

[11] Una pieza sólida de plomo tiene una masa de 23.94 g y un volumen de 2.10 cm3. A partir de estos datos, calcule la densidad del plomo en unidades SI (kg/m3).

96

[12] Si una ecuación es dimensionalmente correcta,¿esto significa que la ecuación es verdadera? Si una ecuación no es dimensionalmentecorrecta, ¿esto significa que la ecuación no puede ser correcta?

[13] ¿Cuál de las siguientes fórmulas es dimensionalmente correcta?

[14] (a) Una ley del movimiento fundamental establece que la aceleración de un objeto es directamente proporicional a la fuerza neta resultante ejecercida sobre el objeto e inversamente proporcional a su masa. Si la constante de proporcionalidad se define que no tinene dimensiones, determine las dimensiones de la fuerza. (b) El Newton es la unidad de fuerza en el SI . Según los resultados de (a), ¿cómo se puede expresaruna fuerza en Newton utilizando las unidades básicas de masa, longitud y tiempo?

[15]El volumen de una cartera es de 8.50 pulgada3 .Convierta este valor a m3, usando la definición 1 pulgada= 2.54 cm.

1

( )

( ) (2 )cos( ), 2

f ia v v ax

b y m kx donde k m

97

[15] Las coordendas polares de un punto son r = 5.50 m y = 240°. ¿Cuálesson las coordenadas Cartesianas de este punto?

[16] Si las coordenadas polares de un punto (x, y) son (r, θ), determine lascoordendas polares de los puntos siguientes: (a) (-x, y ), (b) (-2x, -2y), and (c) (3x, -3y).

[17] Una fuerza F1 tiene magnitud de 6.00 unidades actúan en el origen en dirección 30.0° sobre el eje x positivo. Una segunda fuerza F2 de magnitud 5.00 unidades actua en el origen en la direccion del eje y positivo. Encuentre graficamente la magnitud y direccion de la fuerzaresultante F1 + F2.

[18] Un vector tiene la componente x igual a -25.0 unidades y la componentey 40.0 unidades. Encuentre la magnitud y dirección de este vector.

[19] Considere los trevs vectores desplazamientos A =(3ˆi - 3ˆj) m, B = (ˆi -4ˆj) m, y C = (-2ˆi + 5ˆj) m. Use el metodo de componentes paradeterminar (a) the magnitude and direction of the vector D = A + B + C, (b) the magnitude and direction of E = -A - B + C.

98

[20] Si A = (6.00ˆi - 8.00ˆj ) unidades, B = (-8.00ˆi + 3.00ˆj ) unidades, y C = (26.0ˆi +19.0ˆj ) unidades, determine a y b tal que a A + b B + C =0.

[21] Un vector está dado por R =2ˆi + ˆj + 3ˆk. Encuentre (a) las magnitudes las componentes de x, y, z components, (b) la magnitud de R, y (c) los ángulos entre R con los ejes x, y, z.

[22] Si v = 2i + 3j + k y w = 4i + j + 2kEncuentre el producto escalar y el producto vectorial. Encuentre el ángulo

entre V y W.

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Sobre estos apuntes:

• Estas notas de clase se basan en varias fuentes:– Traducción y adaptación de las notas de clases del profesor T.A. Eleyan,

– Sears-zemasky-young-freedman. Fisica universitaria. 12 a ed.

– Resnick-Halliday-Walker. Física

– Otras fuentes

• No tienen como propósito ser divulgadas sino para fines didácticos exclusivamente de la asignatura Física General I.

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