Finanzas i Matem Tica Financiera

Mg. Vladimir Rodríguez Cairo

Matemática Financiera

El dinero de cada país, por diversas razones, sufre deterioro en su poder adquisitivo por efecto de la inflación. El alza de precios disminuye el poder adquisitivo del dinero, esto es, reduce su valor. Al fenómeno económico que corresponde a un aumento del nivel general de precios se le denomina inflación.Las fórmulas convencionales de la matemática financiera asume que los valores (C, S, I, R) mantienen su poder adquisitivo constante durante el período de vigencia de la operación y únicamente experimentan cambios en el proceso de capitalización o actualización. Sin embargo, tomando en cuenta los precios del dinero (unidad de cuenta o signo monetario, unidad de poder adquisitivo o inflación, tasa de interés y el tipo de cambio), éste puede sufrir deterioro en su valor por efecto de la tasa de inflación.

La Inflación.- “La inflación es el aumento sostenido, constante o persistente del nivel general de precios. Una característica fundamental de este proceso es el carácter generalizado del incremento de los precios, afectando a todos los bienes y servicios de la economía”.La inflación es medida y calculada a través del Índice de Precios al Consumidor (IPC), el cual mide a su vez la variación promedio mensual de los precios de los bienes y servicios que conforman la canasta familiar. El IPC representa una cesta de bienes y servicios consumida por una economía doméstica representativa.La inflación al desvalorizar la moneda con alzas generalizadas y constantes de los precios de los bienes y servicios, ocasiona pérdidas de eficiencia económica y mayor desigualdad.Las reducciones del valor del dinero disminuyen la capacidad de compra de los agentes económicos que tienen ingresos fijos, ya se trate de sueldos, jubilaciones, pensiones o rentas provenientes de contratos a término fijo.

DESVALORIZACIÓN MONETARIA



Años IPC Tasa de inflación

199419951996199719981999

109,9115,1119,2121,6123,8126,7

4.7%3.6%2.0%1.8%2.3%

Inflación 1999 = IPC1999 – IPC1998

IPC1998 * 100

Inflación 1999 = 126,7 – 123,8 123,8

* 100

Inflación 1999 = 2,3%

En épocas inflacionarias, los ingresos fijos suelen reducirse en su poder adquisitivo de forma tal que terminan por ser insuficientes para mantener el costo de vida.Por otra parte, la disminución del valor del dinero actúa en perjuicio de los acreedores, favoreciendo a los deudores, ya que estos últimos al cancelar sus deudas devuelven sólo una parte del poder adquisitivo que se les prestó. En el caso de hiperinflaciones, el patrimonio de los acreedores se afecta considerablemente y puede incluso desaparecer en corto tiempo.Asimismo, la inflación desalienta la inversión productiva y favorece la especulación. La Asimismo, la inflación desalienta la inversión productiva y favorece la especulación. La inflación tiene una incidencia apreciable sobre las tasas de interés y el tipo de cambio inflación tiene una incidencia apreciable sobre las tasas de interés y el tipo de cambio influyendo sobre las diversas fuentes que las empresas multinacionales eligen para financiar influyendo sobre las diversas fuentes que las empresas multinacionales eligen para financiar sus inversiones afectando notablemente sus costos de capital y por lo tanto, su rentabilidad.sus inversiones afectando notablemente sus costos de capital y por lo tanto, su rentabilidad.Por ello, al reducir la inflación, el BCR crea condiciones necesarias para el crecimiento sostenido de la economía. Incrementos rápidos de la oferta monetaria pueden generar altas Incrementos rápidos de la oferta monetaria pueden generar altas tasas de inflación que desestabilizan una economía. Por lo que, controlar la oferta monetaria tasas de inflación que desestabilizan una economía. Por lo que, controlar la oferta monetaria es una tarea crucial del BCRes una tarea crucial del BCR..

Índice de precios

En períodos de inflación, los precios de los diversos bienes o servicios no varían en una misma proporción; por esta razón, se utiliza el costo de vida como una medida de la desvalorización de la moneda; este costo se expresa por medio de un coeficiente numérico que se denomina índice de precios. El índice del costo de vida se expresa por comparación con un valor índice básico 100 que corresponde a determinado período. Por ejemplo, si para cierto año con relación al período básico el índice In es igual a 115, esto quiere decir que el costo de vida aumentó en un 15%.



Tasa de inflación Mide el aumento porcentual del nivel general de precios en un período específico (un mes, un año, Mide el aumento porcentual del nivel general de precios en un período específico (un mes, un año, etc.), normalmente medido a través del Índice de Precios al Consumidor (IPC).etc.), normalmente medido a través del Índice de Precios al Consumidor (IPC).

La tasa de inflación es una tasa compuesta, ya que se calcula sobre el precio inmediatamente anterior y por esta razón opera como una tasa de interés compuesta: [ (1 + ) n – 1 ]

Por lo tanto, para calcular la inflación acumulada de varios períodos se aplica la fórmula siguiente:

1-n = [ (1 + 1) (1 + 2) (1 + 3) . . . . . . (1 + n) – 1 ] * 100

Por ejemplo si la tasa de inflación en el mes de enero fue de 1.19%, en febrero de 2.5% y en marzo 2.8%, la inflación acumulada de los tres meses es:

3meses = [ (1 + 0.0119) (1 + 0.0250) (1 + 0.0280) – 1 ] * 100 = 6.623903%

Por otro lado, si se desea calcular la inflación promedio mensual teniendo como dato la inflación acumulada del último año (supongamos 12%), entonces la fórmula a utilizar es:

= [ (1 + 0.12)1/12 – 1 ] * 100 = 0.95%

Finalmente, asumamos que durante la primera semana del mes, la inflación ha sido del 0.25%, entonces, la inflación acumulada del mes será:

= [ (1 + 0.0025)4 – 1 ] * 100 = 1.0038% Mg. Vladimir Rodríguez Cairo


(A)FÓRMULAS

CONVENCIONALES



A.1) Interés SimpleS = C (1 + N j)

I = C N j

C = S (1 + Nj)

A.2) Interés CompuestoS = C (1 + j) N

I = C [(1 + j) N – 1]

C = S (1 + j) N

(B)FÓRMULAS CON

PÉRDIDA DE PODER ADQUISITIVO

A.1) Interés SimpleS = C (1 + N j) (1 + ) N

I = C N j (1 + ) N

C = S (1 + Nj) (1 + ) N

A.2) Interés CompuestoS = C (1 + j) N

(1 + )I = C [(1 + j) N – 1] (1 + ) N

C = S [ (1 + j) (1 + ) ] N

(C)FÓRMULAS EN UNIDADES DE

VALOR CONSTANTE

A.1) Interés SimpleS = C (1 + N j) (1 + ) N

I = C N j (1 + ) N

C = S (1 + ) N

(1 + Nj)

A.2) Interés CompuestoS = C [ (1 + j)(1 + ) ] N

I = C [(1 + j) N – 1] (1 + ) N

C = S (1 + ) N

(1 + j)

Ejemplo: Una institución financiera otorga un crédito de S/. 10,000 nuevos soles a la tasa de interés del 2% mensual durante un período de 15 meses.Supongamos que durante ese período, la tasa de inflación promedio será del 3% mensual. Se pide determinar el monto (S), los intereses (I) mediante interés simple y compuesto, haciendo uso de las fórmulas convencionales, con pérdida de poder adquisitivo y en unidades de valor constante.



Fórmulas

Interés simple Interés compuesto

Monto (S) Intereses (I) Monto (S) Intereses (I)

Convencionales

Pérdida de poder adquisitivo

Unidad de valor constante

El tipo de cambio es el precio de una moneda (extranjera) expresado en términos de otra (local). Se expresa como el número de unidades de la moneda nacional (por ejemplo soles) por unidad de moneda extranjera (dólar). Así por ejemplo, cuando en un medio de comunicación (diario) se expresa que el tipo de cambio del día es 3.5, se refiere a que un dólar se está cotizando a 3.5 nuevos soles.Se considera una depreciación (devaluación) del tipo de cambio cuando el precio de la moneda extranjera ha experimentado un incremento en términos de la moneda nacional. En tal sentido, una depreciación de 10% significa que la cotización del dólar ha subido en 0.35 nuevos soles. En caso contrario, cuando disminuye la cotización de la moneda extranjera, la moneda local se aprecia o revalúa (aumenta de valor).Por lo tanto, cuando aumenta el precio del dólar o tipo de cambio, se requiere más unidades de Por lo tanto, cuando aumenta el precio del dólar o tipo de cambio, se requiere más unidades de moneda nacional para adquirir una unidad monetaria extranjera. Entonces, la moneda nacional se moneda nacional para adquirir una unidad monetaria extranjera. Entonces, la moneda nacional se desvaloriza, a ello se denomina devaluación o depreciación dependiendo del agente que lo lleve desvaloriza, a ello se denomina devaluación o depreciación dependiendo del agente que lo lleve a cabo. Por eso, en muchas oportunidades los agentes económicos compran dólares y ahorran a cabo. Por eso, en muchas oportunidades los agentes económicos compran dólares y ahorran para protegerse de la inflación esperando que la tasa de depreciación o devaluación sea mayor para protegerse de la inflación esperando que la tasa de depreciación o devaluación sea mayor que la tasa de inflación.que la tasa de inflación.

LA DEPRECIACIÓN





Años Cotización del mercado libre Variación porcentual (%)

199119921993199419951996199719981999200020012002

0.971.642.162.192.322.602.733.163.503.533.453.52

87,069,131,71,45,912,15,015,810,81,0-2,42,3

TIPO DE CAMBIO (Soles por US $ dólar)

En el año 2002 el tipo de cambio registró un incremento nominal de 2.3%, cerrando el año en S/. 3.52 por dólar de Estados Unidos. El nuevo sol fue la moneda con la menor tasa de depreciación durante el año 2002 en América Latina.La tasa de depreciación nominal del sol respecto al dólar fue de 2.3% en el 2002, la que fue contrarrestada por la inflación doméstica de 1.5%.

El tipo de cambio es doble, puesto que existe un precio para el comprador y otro para el vendedor. Los dos participantes asumen una posición bivalente, pudiéndose considerar a la vez compradores y vendedores (venden su moneda y compran otra). Debido a esta posible confusión y dado que los precios o tipos de cambio son fijados por las instituciones financieras, las cotizaciones se expresan desde su punto de vista.El precio de compra es siempre menor que el de venta, pues la diferencia es lo que posibilita el beneficio del intermediario.



Sistemas de tipos de cambio: flexibles, fijos y mixtosSistemas de tipos de cambio: flexibles, fijos y mixtosSistema de tipos de cambio flexibles.- los mercados de divisas fijan el valor de una moneda en términos de otra libremente, es decir, sin intervención alguna. Bajo este sistema cambiario, las variaciones en el tipo de cambio absorben los déficit o superávit de la balanza de pagos, es decir, entran tantas divisas como sales y por lo tanto, la partida de variación neta de divisas de la balanza de pagos es nula.Se conoce como flotación limpia, cuando el tipo de cambio se determina libremente por las fuerzas de la oferta y la demanda.La flotación sucia o dirigida se da cuando los gobiernos intervienen para tratar de alterarlos en una determinada dirección dentro de ciertos límites (banda de fluctuación).Sistema de tipos de cambio fijos.- el Banco Central determina o fija un valor para su moneda con relación a otra moneda. Sistema de tipos de cambio mixtos.- es una combinación de los sistemas flexibles y fijos. El tipo de cambio fluctúa libremente dentro de los límites fijados. Son los denominados crawling-peg, zonas objetivo o régimen cooperativo. Muchos países de América Latina han mantenido este sistema. En este sistema se fija un tipo de cambio, pero éste se ajusta frecuentemente en función de determinados indicadores. Sistemas de Tipos de CambioSistemas de Tipos de Cambio

Gobierno: Devalúa Devalúa - Revalúa Revalúa 1) Tipo de cambio fijo: el gobierno determina el valor

de la ME.Mercado : Deprecia Deprecia - Aprecia Aprecia 2) Tipo de cambio flexible:

a) Flotación sucia:a) Flotación sucia: interviene el BCR

TC TC b) Flotación limpia:b) Flotación limpia: libre oferta y MN MN demanda

Depreciación vs. Devaluación

Depreciación.- es la disminución del valor de una moneda (el sol), en comparación con otra u otras (generalmente el dólar), en los mercados libres de divisas (es decir, un aumento en el tipo de cambio se llama depreciación), cuando por el predominio de los cambios flotantes no funciona el sistema de la devaluación formal. La depreciación de una moneda tiene lugar bajo un sistema de tipo de cambio flexible.

Devaluación.- es la pérdida del valor de una moneda, esto es, reducción en el valor de la cotización de la moneda de un país frente a las monedas extranjeras, es decir, a partir de la devaluación habrá que pagar más unidades monetarias nacionales para adquirir una unidad monetaria extranjera (sube el tipo de cambio). Es el proceso de reducir oficialmente el valor de la moneda de un país (nuevo sol) con relación al de otra divisa, generalmente el dólar de los Estados Unidos. Los efectos de una devaluación son similares a los producidos por una depreciación. Lo que diferencia a ambas operaciones es el agente que las lleva a cabo: el mercado deprecia, el gobierno devalúa. La devaluación tiene lugar bajo un sistema de tipo de cambio fijo.





Deterioro del tipo de cambio realDeterioro del tipo de cambio realSignifica que la depreciación o devaluación de la moneda nacional (sol) ha sido más lenta que la inflación (el tipo de cambio sube pero en menor proporción que la inflación) y al depreciarse más lentamente que la inflación, el tipo de cambio se retrasa (el poder adquisitivo interno queda por debajo de su cotización internacional), es decir, los productos nacionales se vuelven más caros que los importados y las exportaciones se vuelven menos competitivas. Por tanto, el atraso cambiario contribuye a aumentar las importaciones y dificulta las exportaciones. A continuación se presenta la comparación entre la inflación y la devaluación.

Años Inflación (%)

Depreciación(%)

19861987198819891990199119921993199419951996199719981999200020012002

63115

1 7222 7757 639139,056,739,515,410,211,86,56,03,73,7

-0,131,52

43126684

1 1183 75087,069,131,71,45,912,15,015,810,81,0-2,42,3

Principales causas del deterioro del Tipo de Principales causas del deterioro del Tipo de Cambio RealCambio Real1) El flujo de capitales golondrinos que ingresan al país en cuestión por la diferencia existente entre las tasas de interés externas y las nacionales. Estos capitales entran al país con el único objetivo de ganar intereses, ya que las tasas de interés local o nacional están muy altas comparativamente con las de los niveles internacionales. 2) El ingreso de dólares al país en cuestión por actividades ilegales como el narcotráfico, lo cual genera una sobre oferta de dólares y consiguientemente, el precio de la moneda extranjera tiende a mantenerse a niveles bajos.



Tasa de depreciación de la moneda de un país respecto a otra moneda (d)Tasa de depreciación de la moneda de un país respecto a otra moneda (d)Mide la pérdida de valor de la unidad monetaria nacional (nuevo sol) frente a otra moneda Mide la pérdida de valor de la unidad monetaria nacional (nuevo sol) frente a otra moneda extranjera (por ejemplo, el dólar norteamericano).extranjera (por ejemplo, el dólar norteamericano). La tasa de depreciación de una moneda con relación a otra representa el incremento porcentual en el tipo de cambio y se obtiene de la manera siguiente:

d = (TC1 – TC0) / TC0

d = (TC1 / TC0) – 1Donde “d” es la tasa de depreciación o devaluación, “TC1” es el tipo de cambio de contado al final del período y “TC0” es el tipo de cambio de contado al inicio del período. Por ejemploPor ejemplo, si el tipo de cambio sol/dólar al 31/12/2001 es S/. 3,70 soles por dólar y luego, por razones de mercado el tipo de cambio se incrementa a S/. 3,85 soles (al 01/012003), entonces nuestra moneda nacional (el nuevo sol) se ha depreciado en 4.05405% en un año. Es importante, tener en cuenta que dependiendo del agente que lleve a cabo las operaciones (ya sea el mercado o el gobierno) se habla de depreciación o devaluación, respectivamente.

FORMULA 1 + iMN = (1 + iME) (1 + d)

Donde:iMN = tasa en moneda nacional.iME = tasa en moneda extranjera.d = tasa de depreciación



Un capital de 10000 dólares se convierte en 12500 dólares a la tasa del 25% anual.

10000 12500

Expresando los dólares en soles a los tipos de cambio indicados anteriormente, se tiene que:

37000 48125

Entonces, la tasa en soles es 48125 - 1 = 0. 30067568 37000

También se obtiene: 1 + iMN = (1 + iME) (1 + d)

1 + 0.30067568 = (1 + 0.25) (1 + 0.0405405)

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