1Filtros Activos, Conceptos Bsicos y DiseoJ.I.Huircn

AbstractSe revisan los conceptos bsicos de filtrosactivos, presentando procedimientos bsicos de imple-mentacin mediante Amplificadores Operacionales y distin-tas formas de diseo basado en los filtros clsicos Butter-worth y Chebyshev.Index TermsFiltros Activos

I. Introduction

Los filtros juegan un importante rol en la electrnica ac-tual, tanto en reas de comunicaciones y procesamiento deimgenes como control automtico. Estos se pueden clasi-ficar en filtros anlogos, digitales y de capacitor conmutado(hbrido, el cual contiene elementos anlogos y digitales).Un filtro es un dispositivo de dos puertas capaz de trans-

mitir una banda de frecuencias limitada. Estos pueden serpasivos o activos. Los primeros, estn construidos en basea resistencias, bobinas y condensadores, mientras los ac-tivos estn conformados por resistencias, condensadores yAmplificadores Operacionales, los que adems tienen lassiguientes caractersticas: Pequeo tamao y peso. Uso en el rango de las frecuencias de audio (20KHz) Valores de resistencias y condensadores razonables afrecuencias muy bajas.

Tiene elevadas caractersticas de aislamiento. Puede proveer ganancia si se requiere.A continuacin se dar un marco terico para los filtros

activos, sus especificaciones y diseo.

II. Tipos de Filtros y Especificaciones deRespuesta en Frecuencia

Los filtros se pueden representar mediante la funcin detransferencia H(s), la cual se expresa en trminos de suganancia o atenuacin, as se tiene

H(s) =Vo(s)Vi(s)

(1)

+H(s) V (s)oV (s)i _

+

_

Fig. 1. Red de dos puertas, filtro activo.

Donde Vi(s) es la entrada de filtro y Vo(s), la salida.La transmisin del filtro se encuentra evaluando

H(s)|s=j, as en trminos de magnitud y fase se tiene

H(j) = |H(j)| ej() (2)Documento preparado en el Departamento de Ingeniera Elctrica,

Universidad de La Frontera para la asignatura Circuitos ElectrnicosII. Versin Preliminar 2.1.

El espectro de la seal de salida ser obtenido por

|Vo(j)| = |H(j)| |Vi(j)| (3)De acuerdo al criterio de seleccin de frecuencia de paso

o de rechazo, existen cuatro tipos de filtros.

A. Pasa Bajos (BandPass Filter)

Son aquellos que tienen ganancia a frecuencias menoresque la frecuencia de corte c. As, la banda de paso estdada para 0 < < c, donde c se expresa en [rad/seg] oHertz y corresponde a la frecuencia en la cual la gananciaes dividida por

2 (cae en 3dB). La ganancia disminuye

a medida que se supera a dicha frecuencia, de acuerdo a laFig. 2, esta zona se conoce como banda de rechazo.

G2

[rad/seg]

H(j )

G

c

Fig. 2. Respuesta en frecuencia de un filtro pasabajos.

La funcin de transferencia para un filtro pasabajos deorden n de ganancia G es

H(s) =Gbo

sn + bn1sn1 + ..+ bo(4)

B. Pasa Altos (HighPass Filter)

Permite el paso de frecuencias superiores a c. Su fun-cin de transferencia se puede obtener a partir de (4) reem-plazando s = 1/s, es decir

H(s) =Gbo

sn + bn1sn1 + ..+ bo|s= 1s (5)

Luego se tiene

H(s) =Gsn

sn + an1sn1 + ..+ ao(6)

Donde bn = 1, ani= bibo , i = 1, 2, ..., n. La respuesta enfrecuencia se indica en la Fig. 3.

C. Pasa Banda (BandPass Filter)

Este filtro deja pasar las frecuencias que se encuentrandentro una de banda B (expresado en rad/seg o en Hertz),centrado en o, atenuando todas las otras frecuencias. LaFig. 4 muestra la respuesta en frecuencia del filtro centradoen o cuyo ancho de banda est definido por

B = 2 1 (7)

2G2

[rad/seg]

H(j )

G

c

Fig. 3. Respuesta en frecuencia de un filtro pasaaltos.

La funcin de transferencia se obtiene de (4) como

H(s) =Gbo

sn + bn1sn1 + ..+ bo|s=s2+2oBs

(8)

[rad/seg]

H(j )

o 21

GG

2

B

Fig. 4. Respuesta en frecuencia de un filtro pasabandas.

As, el orden del filtro pasabanda se incrementar aldoble. Se define el factor de calidad Q, (9) el cual midela selectividad del filtro (un Q muy alto indica que el filtroes muy selectivo con banda de paso muy pequea) como

Q =oB=

foB

(9)

La ganancia ser la amplitud de la funcin de transferen-cia a la frecuencia o =

2 1. Note que o corresponde

a la media geomtrica, pues est en escala logartmica.

D. Rechaza Banda (BandReject Filter)

Tambin llamado elimina banda y para algunas situa-ciones filtro Notch, deja pasar todas las frecuencias ex-cepto una nica banda, la cual est definida por B, comose indica en la Fig. 5.

[rad/seg]o1 2

GG2

H(j )

B

Fig. 5. Respuesta en frecuencia de un filtro rcehaza banda.

La funcin de transferencia se obtiene haciendo la susti-tucin indicada en (10) donde las caractersticas de bandason iguales al filtro pasabanda.

H(s) =Gbo

sn + bn1sn1 + ..+ bo|s=

Bss2+2o

(10)

III. Especificaciones de un Filtro

A. Respuesta en Frecuencia

La respuesta en frecuencia de un filtro se representa enescala lineal o logaritmica. Esta se expresa en funcin desu ganancia o atenuacin (dB en escala logaritmica) versusla frecuencia cuya escala est en dcadas u octavas (escalalogaritmica).

[rad/seg]

H(j )

0

c

G2

-3

[rad/seg]

H(j )

G

1

[dB]

Fig. 6. (a) Respuesta Normalizada en ganancia Logaritmica. (b)Representacin Lineal.

Si la ganancia se normaliza respecto de la ganancia mx-ima, se tiene una curva de ganancia 1 0 [dB]. La frecuen-cia de corte c, se establece para muchos anlisis igual 1[rad/seg], tambin como referencia para diseo.

B. Polos y Respuesta En La Regin De Transicin

En la prctica, la respuesta ideal del filtro no existe, puesaparece una zona llamada regin de transicin (banda detransicin). Para lograr una aproximacin que representeun filtro ideal, debe incrementarse el nmero de polos, sinembargo, esta cantidad no puede ser infinita dado que nopuede implementarse prcticamente. Cada polo de H (s)introduce una pendiente de 20 dB/Dcada o 6 dB/Octava,luego, si la H (s) tiene dos polos tendr una pendiente de40dB/Dcada en la regin de transicin, lo que determinael orden del filtro (Fig. 7).

[rad/seg]

H(j )

G

c

n=2

n=4n=8

1 c

2

G2

Banda de Paso

Banda de Rechazo

Banda de Transicin

Fig. 7. Polos en la regin de transicin.

C. Especificacin bsica de un filtro

En los filtros anlogos, las especificaciones estn dadaspor rangos de valores. Se tienen cinco parmetros basadosen las caractersticas de atenuacin (Sansen y Laker 1994)los cuales son mostrados en la Fig. 8: Mxima atenuacin en la banda de paso (APB) Ripple de la banda de paso o Ancho de ripple (RW ) Mnima atenuacin de la banda de rechazo (ASB) Frecuencia de esquina de la banda de paso (PB) Frecuencia de esquina de la banda de rechazo (SB)

FILTROS ACTIVOS, CONCEPTOS BSICOS Y DISEO 3

[rad/seg]

G(j )

0

-A

SB

PB

-ASB

ripple ( RW )

PBBanda de paso

Banda de rechazo

Atenuacin

[dB]

Fig. 8. Ventana de diseo para un filtro pasabajos.

Las respuestas pueden presentar una variacin G() G(), dado que los componentes siempre varan, lo queobliga a hablar de una ventana de especificacin o ventanade diseo. Cuando el diseo cae fuera de esta ventana,ste es descartado. Existe una gran cantidad de herramien-tas computacionales que permiten trasladar las especifica-ciones de la Fig. 8 a una funcin de transferencia H. Paradistintas especificaciones existen numerosas funciones quesatisfacen las respuestas de ganancia o fase, luego se debeconsiderar los objetivos de prestacin y costo para reducireste nmero de funciones a una.Un mtodo para obtener H es usar funciones prototi-

pos (tambin llamadas funciones de aproximacin), talescomo, Chebyshev (equal-ripple), Butterworth (mxima-nente plana) y elpticos. Estas funciones permiten deter-minarH(s)mediante una aproximacin en el dominio de lafrecuencia, para esto |H(j)| se aproxima a la caracters-tica de un filtro pasabajos ideal de acuerdo a un criteriode error predeterminado.

D. Funciones de Aproximacin

Las funciones de aproximacin en el dominio de la fre-cuencia pueden ser expresadas como

|H (j)| = 1p1 + 2S2n ()

(11)

Donde Sn() representa un clsico polinomio de ordenn, ya sea Butterworth o Chebyshev.

E. Escalamiento

Es fundamental para el diseo de filtros, debido a quepermite plantear los desarrollos en torno una frecuencia dereferencia, y luego trasladar el filtro y los componentes paraotros diseos. Esto se consigue haciendo s = p, donde p esla variable compleja de la funcin original y s es la variablede la nueva funcin. Sea Ho(p) la funcin de transferenciaoriginal, entonces la nueva funcin de transferencia ser

H (s) = Ho (p) |p= s = Ho s

(12)

Sea la red RC de la Fig. 9, donde su funcin de trans-ferencia est dada por (13) .

H (s) =1

1 + sRC(13)

V (s)i

R

sC

V (s)o1

Fig. 9. Filtro RC.

Si R = 1 [] y C = 1 [F ], se tiene que C = 1 [r/s] ,escalando para una nueva frecuencia C = 10 [r/s] ,se tieneque s = Cp

H (s) =1

1 + pRC|p= sC =

1

1 + sCRC

=1

1 + sRCC=

1

1 + s RCC=

1

1 + sR CC

Lo que implica dividir R o C por 10, lo cual asegura undesplazamiento de la frecuencia.

IV. Funciones Prototipos

A. Butterworth

Este filtro tiene una respuesta plana en la banda de paso(llamada mximamente plana), a expensas de la respuestaen la regin transicin, la cual es de 20 dB/Dcada porpolo. El mdulo de la respuesta en frecuencia del filtropasabajos, para ganancia G, y frecuencia de corte c estadado en (14).

|H (j)| = Gr1 +

c

2n (14)Donde n = 1, 2, ..., k. es el orden. La Fig. 10 indica

respuestas de este filtro para distintos n.

[rad/seg]

H(j )G

c

n=2

n=4n=8

G2

Fig. 10. Respuesta del Filtro Butterworth.

A.1 Propiedades del Filtro

Una respuesta mximamente plana tiene muchasderivadas que son cero en el origen, = 0. Para gananciaunitaria y una frecuencia = c, se tiene que

|H (j)| h 12

(15)

Tambin llamada 3[dB]. Para >> c, se tiene que

|H (j)| h 1n

(16)

4o

|H (j)|dB h 20 log1

n

= 20n log() (17)

As, la variacin ser de 20n [dB] por dcada, donde nes el orden del filtro.

A.2 Determinacin de las funciones de transferencia

Sea (14) con G = 1 y c = 1, haciendo s = j, entonces = s/j, reemplazando se tiene

|H (j)|2 = 11 +

sj

2n = 11 + (1)n s2n (18)Los polos de la funcin de transferencia se obtienen para

(1)n s2n = 1 (19)

Pero como ej(2k1) = 1, entonces

(1)n s2n = ej(2k1) (20)

As, los polos para k = 1, 2, ..., n, estarn dados por

sk = ej(2k+n1)

2n (21)

Los polinomios que se obtienen, son de la forma

H (s) =1

(s s1) (s s2) ...(s sn)(22)

Para n = 2 se tiene que s1 = ej34 y s2 = e

j54 , luego

H (s) =1

s e j34

s e j54 = 1

s2 +2s+ 1

(23)

El denominador de (23) corresponde a un polinomio deButterworth indicado en la Tabla I.

TABLE I

Polinomios de Butterworth en forma factorizada.

n Polinomios de Butterworth1 s+ 12 s2 +

2s+ 1

3s2 + s+ 1

(s+ 1)

4s2 + 0.7653s+ 1

s2 + 1.8477s+ 1

5

s2 + 0.6180s+ 1

s2 + 1.6180s+ 1

(s+ 1)

6s2 + 0.5176s+ 1

s2 +

2s+ 1

s2 + 1.9318s+ 1

De la misma forma son determinados los polinomios para

orden superior. Al determinar el mdulo de H(s) basadaen estos polinomios, se obtiene (14).

B. Chebyshev

Este filtro tiene una ondulacin (ripple) en la banda depaso. Mientras mayor es el orden, mayor es la pendiente enla regin de transicin, pero mayor es el ripple y el nmerode ondulaciones en la banda de paso. El mdulo de lafuncin de transferencia est dado por (24), donde K1 y ,son valores constantes y Cn(x) es el polinomio Chebyshev(en primera aproximacin) de grado n. La Fig. 11 muestrala respuesta en frecuencia para diferentes n y la tabla II,los polinomios correspondientes.

|H(j)| = K1q1 + 2C2n(

c)

(24)

Cn () est dados por

Cn () = cosn cos1 ()

0 1 (25)

Cn () = coshn cosh1 ()

> 1 (26)

De (25) se determina una ecuacin de recurrencia paraencontrar los polinomios.

Cn+1 () 2Cn () + Cn1 () = 0 (27)

Con C1 () = y C2 () = 22 1.

TABLE II

Polinomios de Chebyshev.

n Polinomios de Chebyshev1 2 22 14 84 82 + 16 326 484 + 182 1

[rad/seg]

H(j )k

k

2

c

n=2

n=4n=8

1

1

RW

Fig. 11. Respuesta del filtro Chebyshev Pasabajos.

RW ser la distancia 1 11+2

, tomando la diferenciarespecto de 0 [dB], queda

RW |dB = 20 logp1 + 2 (28)

As, el RW queda determinado por la eleccin de , elcual flucta entre 0 y 1. Si =1, entonces RW = 1 1

2,

es decir, 3 [dB] . En la Fig. 11, cuando = c la gananciano cae en 3 [dB] respecto del mximo, esto ocurrir slocuando RW = 3 [dB].

FILTROS ACTIVOS, CONCEPTOS BSICOS Y DISEO 5

B.1 Propiedades del filtro

Sea K1 = 1, para = c

|H(j)| = 1p1 + 2C2n(1)

=11 + 2

(29)

Como C2n(1) = 1 de acuerdo a la tabla II, la magnitud esigual al ancho del ripple. Para >> c 2C2n() >> 1,se tiene

|H(j)| w 1Cn()

(30)

o

|H(j)|dB = 20 log 20 logCn() (31)Para >> c, Cn() se puede aproximar a 2n1n, as

|H(j)|dB = 20 log 20 log2n1n

= 20 log 6 (n 1) 20 log (32)

De acuerdo a (32), la atenuacin para un mismo ordenen la regin de transicin es mayor que 20 [dB/Dec] , estodebido al trmino 20 log 6 (n 1). Como es menorque 1, el valor obtenido resulta ser negativo luego paracompensarlo, se puede escoger un valor de n ms grande.

B.2 Determinacin de funciones de transferencia

Como s = j, entonces = s/j,

|H(j)| = 1q1 + 2C2n(

sj )

(33)

Luego los polos de H (s) se obtienen haciendo

2C2n(sj) = 1 Cn(

sj) = j

(34)

Usando la forma trigonomtrica dada en (25)

cos(n arccos(skj)) = j

(35)

Donde sk son las raices buscadas. Sea pk = arccos( skj ) =uk + jvk, entonces, cos(npk) = cos(nuk + jnvk), as

cos(npk) = cos(nuk) cos(jnvk) sin(nuk) sin(jnvk)= cos(nuk) cosh(nvk) j sin(nuk) sinh(nvk)

Luego

cos(nuk) cosh(nvk) = 0 (36)

sin(nuk) sinh(nvk) = 1 (37)

Como cosh(nvk) 6= 0, entonces, cos(nuk) = 0, para todouk = 2n ,32n , ..., 2n(2k 1), por otro lado, sin(nuk) =1, as, vk = 1n arcsinh(1 ).

Los polinomios dependen de los valores de , as, paraun filtro de n = 2 y RW = 1 [dB], = 0.50884.

vk = 12 sinh1 1

0.50884

= 0.714

uk = 4 , 34cos2 cos1

s1j

= cos

24 + j0.714

cos2 cos1

s2j

= cos

234 + j0.714

De lo que se desprende que

cos1s1j

=

4+ j0.714

cos1s2j

=34+ j0.714

s1 = j cos4+ j0.714

s2 = j cos

34+ j0.714

Luego los polos de H (s) son s1 = 0.549+ j0.895 y s2 =0.549 j0.895, reemplazando en (22), queda

H (s) =1

(s+ 0.549 + j0.895) (s+ 0.549 j0.895)

=1

s2 + 1.098s+ 1.1024=

11.1024

0.907s2 + 0.995s+ 1

De esta forma es posible obtener la Tabla III.

TABLE III

Polinomios de Chebyshev.

n Polinomios de Chebyshev (1 dB)2 0.907s2 + 0.995s+ 14 (1.0137s2 + 0.2829s+ 1)

3.5792s2 + 2.4114s+ 1

6

1.0094s2 + 0.1256s+ 1

1.7731s2 + 0.6093s+ 1

8.0192s2 + 3.7209s+ 1

V. Implementacin de Filtros

La implementacin de los filtros requiere de un circuitoactivo que permite la construccin en forma prctica deuna funcin de transferencia. A partir de (4), (5), (6) y(7), se obtienen las funciones de 2o orden pasabajos (38),pasaaltos (39), pasabandas (40) y rechazabandas (41).

H(s) =G2c

s2 + cQ s+ 2c

(38)

H(s) =Gs2

s2 + cQ s+ 2c

(39)

H(s) =GoQ s

s2 + oQ s+ 2o

(40)

6H(s) =Gs2 + 2o

s2 + oQ s+

2o

(41)

Donde G representa la ganancia del filtro, Q, factor decalidad y c la frecuencia de corte inferior o superior y orepresenta la frecuencia central.

A. Implementacin con Amplificadores Operacionales

Las funciones de transferencia de 2o orden se implemen-tan con Amplificadores Operacionales, Resistores y Capac-itores, como lo indica Hilburn y Johnson (1975), Sedra ySmith (1998). Existen dos circuitos clsicos, el VCVS oSallen-Key (SK) y el de Mltiple Realimentacin (MFB),tambin llamada Rauch (Dede y Espi, 1983).

A.1 Circuitos Pasabajos

La Fig. 12 muestra los circuitos SK y MFB, donde (42)y (43) representan las funciones de transferencia.

_

+R R

C

RBRA

Cvo

vi1 2

1

2

_

+

R1 R

C

C

1

2

R

2vi

vo

(a)

(b)

Fig. 12. (a) Pasabajos SK. (b) Pasabajos MFB.

Para el filtro SK se tiene

H (s) =

RBRA

+ 1

1R1R2C1C2

s2 +n

1C1

1R1+ 1R2

1R2C2

RBRA

os+ 1R1R2C1C2

(42)Donde G = RBRA +1,

2c =

1R1R2C1C2

. Luego, para el filtroMFB, la funcin de transferencia ser

H (s) =

RR1

1

RR2C1C2

s2 +n

1C1

1R +

1R1+ 1R2

os+ 1RR2C1C2

(43)

Donde G = RR1 y 2c =

1RR2C1C2

. Note que la clula MFBtiene un desfase de 180o.

A.2 Circuitos Pasaaltos

Las estructuras SK y MFB se muestran en la Fig. 13,donde las funciones sern (44) y (45) respetivamente.

(a)

(b)

_

+

R

R

CC

RBRA

vivo

1

1

2

2

_

+R

C C

1

R

C 3

21 2

v ivo

Fig. 13. (a) Pasa alto SK. (b) Pasa alto MFB.

H (s) =

RBRA

+ 1s2

s2 +n

1R1

1C1+ 1C2

1R2C2

RBRA

os+ 1R1R2C1C2

(44)Donde G = RBRA + 1,

2c =

1R1R2C1C2

.

H (s) =C1C3 s

2

s2 + C1+C2+C3C2C3R2 s+1

R1R2C2C3

(45)

Donde G = C1C3 , 2c =

1R1R2C2C3

.

A.3 Circuitos Pasabandas

Las versiones SK y MFB se muestran en la Fig. 14 y lafuncin de transferencia SK est dada por (46) y la MFBpor (47).

(a)

(b)

_

+R

R

C

RBR A

Cvo

vi1

2

R 3

_

+

R1R

C

C

3

Rvo

vi2

Fig. 14. (a) Pasabanda SK. (b) Pasabanda MFB.

FILTROS ACTIVOS, CONCEPTOS BSICOS Y DISEO 7

H (s) =

RBRA

+ 1

1R1C

n1C

1R1+ 2R2

1R3

RBRA

os

s2 +n1C

1R1+ 2R2

1R3

RBRA

os+ 1R2C2

1R1+ 1R3

(46)

Donde G =RBRA

+ 1, B = 1C

1R1+ 2R2

1R3

RBRA

y

2o =1

R2C2

1R1+ 1R3

. Para el filtro MFB se tiene

H (s) =

R32R1

2

R3Cs

s2 + 2R3C s+1

R3C2

1R1+ 1R2

(47)Donde G =

R32R1

, B = 2R3C y

2o =

1R3C2

1R1+ 1R2

.

A.4 Circuitos Rechaza Banda

La Fig. 15 corresponde a un VCVS rechaza banda conganancia unitaria, donde R3 = R1||R2.

_

+

R

R

CCvi

vo

3

2R1

2C

Fig. 15. Filtro Rechaza Banda.

Luego su funcin de transferencia ser

H (s) =

s2 + 1R1R2C2

s2 + 2R2C s+

1R1R2C2

(48)

Donde, G = 1 y 2o =1

R1R2C2. La Fig.16 es una modifi-

cacin para G 6= 1, de alto Q.

_

+

R/2

R

CCvi

voR

2C

_

+

R

R

R21R

Fig. 16. Filtro Rechaza Banda de Alto Q.

H (s) =

R2R + 1

R1R + 1

s2 + 1R2C2

s2 + 2RC

1 R1R

s+ 1R2C2

(49)

Para esta situacin G =R2R + 1

R1R + 1

y 2o =

1R2C2

VI. Diseo Simple de Filtros Activos

Si los requerimientos no son tan exigentes es posible imple-mentar los filtros de 2o orden usando clulas SK y MFB.para lo cual se prescinde de las tablas.

A. Pasabajo y Pasaalto

El filtro equal component, pasabajo o pasaalto, usadopor Jung (1974) sugiere tomar la celda SK para R1 = R2 =R y C1 = C2 = C, as la funcin dada en (42) queda

H (s) =

RBRA

+ 1

1R2C2

s2 +

2RC

1RC

RBRA

s+ 1R2C2

(50)

Luego se desprende que

c =1

RC(51)

G =RBRA

+ 1

(52)

Finalmente, para c, G, C, RB dados se determina Ry RA. Esta situacin es vlida para el fitro pasaalto SK,considerando la igualacin de componentes.

B. Filtros Pasabanda

Usando el filtro pasabanda MFB de la Fig.14b, con-siderando un Q bajo que satisfaga los requerimientos deganancia, ancho de banda y frecuencia central, determi-

nando de (47) las expresiones o = 1C

r1R3

1R1+ 1R2

,

G = R32R1 yoQ =

2R3C

, se tiene que

R1 =R32G

=Q

oGC(53)

R3 =2QoC

(54)

Finalmente

R2 =Q

oC(2Q2 G)(55)

Considerando que se debe cumplir

Q >G2

12

(56)

Dados G, C, Q y o el diseo queda concluido.

C. Filtro Rechaza Banda

Para el diseo de filtros rechazabanda puede utilizarsela configuracin Notch, con la red doble-T.de frecuenciacentral o = 1RC y ganancia unitaria.

VII. Mtodo Propuesto por Steven W. Smith

Smith (1997), propone una tabla con los coeficientes deButterworth y Chebyshev junto con circuitos SK equal com-ponent, de ganancia distinta de uno. Se disean los mdu-los de segundo orden por separado y se conectan en cascadapara obtener filtros de orden superior.

8_

+vovi

R R

2C

C C

R 2

Fig. 17. Filtro Rechaza Banda.

A. Obteniendo las ecuaciones de diseo

Sea la funcin H(s) pasabajos equal component dada en(42), modificada de acuerdo a (57)

VoVi=

RBRA

+ 1

R2C2s2 +RC2 RBRA

s+ 1

(57)

La tabla para el diseo de filtros se obtiene haciendo

b2 = R2C2 (58)

b1 = RC2 RB

RA

(59)

bo = 1 (60)

Sea el polinomio de n = 2,s2 +

2s+ 1

, igualando los

coeficientes1 = R2C2 (61)

2 = RC

2 RB

RA

(62)

Como

c =1

RC(63)

Se obtieneRBRA

= 0.586 (64)

R =1

2fcC=0.1592fcC

(65)

Para el polinomio de n = 4, en su forma factorizada,s2 + 0.7653s+ 1

s2 + 1.8477s+ 1

, cada factor repre-

sentar una etapa, as, para la etapa 1 se tiene

1.8477 = RC2 RB

RA

(66)

RBRA

= 0.1523 (67)

Para la etapa 2

0.7653 = RC2 RB

RA

(68)

RBRA

= 1.2347 (69)

Se mantiene la misma relacin entre R y C dada en (65).Los clculos se repiten para orden 6 y 8. Finalmente, lasecuaciones para el diseo, dados RA, C y fc son

RB = k2RA (70)

R =k1fcC

(71)

TABLE IV

Coeficientes para Filtros de Butterworth y Chebyshev (6%

ripple).

Butterworth Chebyshev (6%)# polos k1 k2 k1 k22 etapa 1 0.159 0.586 0.1293 0.842

4 etapa 1 0.159 0.152 0.2666 0.582etapa 2 0.159 1.235 0.1544 1.660

6 etapa 1 0.159 0.068 0.4019 0.537etapa 2 0.159 0.586 0.2072 1.448etapa 3 0.159 1.483 0.1574 1.846

8 etapa 1 0.159 0.038 0.5359 0.522etapa 2 0.159 0.337 0.2657 1.379etapa 3 0.159 0.889 0.1848 1.711etapa 4 0.159 1.610 0.1582 1.913

B. Procedimiento de Diseo

Dados RA, C y fc, se tiene: Se determina el orden del filtro n Se escogen de la tabla IV los coeficientes k1 y k2 Con cada ki se calculan los RB y R usando (70) y (71)

VIII. Mtodo propuesto por Savant y Roden

Savant (1992) usa circuitos SK de 2o orden (pasa bajosy pasa altos) con ganancia unitaria, frecuencia de corte 1[r/s] y R1 = R2 = R = 1 [] , para el filtro pasabajos(C = C1 = C2 = 1 [F ], para el filtro pasaalto). Adems,una tabla con coeficientes Ci/C o Ri/R, asociados a lasrespuestas Butterworth y Chebyshev.

A. Determinacin del orden del filtro

Sea la ventana de diseo de la Fig. 8, se propone el usode PB, SB , APB y ASB, para filtros Butterworth

nB =log( 12 )

log( fPBfSB )(72)

donde 1 =100.1APB 1 y 2 =

100.1ASB 1 .

Donde nB es el orden del filtro a disear.Para filtros de Chebyshev se tiene

nC =log(2 12 )q2( fPBfSB 1)

(73)

FILTROS ACTIVOS, CONCEPTOS BSICOS Y DISEO 9

Donde nC , es el orden del filtro.

B. Determinacin de tablas

B.1 Coeficientes de para filtros Butterworth

Sea la funcin de transferencia SK de (42) con R = 1 []

H(s) =1

12C1C2

s2 + 21C1 s+1

12C1C2

=1

C1C2s2 + 2C2s+ 1(74)

Para n = 2,s2 +

2s+ 1

, igualando coeficientes

b2 = 1 = C1C2 (75)

b1 =2 = 2C2 (76)

De esta forma,

C2 =b12

(77)

C1 =b2C2

(78)

As C1 = 1.4142 y C2 = 0.7071.Para n = 4, se tienes2 + 0.7653s+ 1

s2 + 1.8477s+ 1

, se calcularn dos

pares de coeficientes, para el primer y segundo polinomio.As se tiene que C2 = 0.76532 = 2.613 y C1 =

1C2= 0.382,

luego C2 = 1.84772 = 1.082 y C1 =1C2

= 0.924. Con-siderando el polinomio de orden 6 y 8 se puede construirla tabla V.

TABLE V

Coeficientes para Filtros de Butterworth.

Butterworth# polos C1 = C o R1 = R C2 = C o R2 = R2 etapa 1 1.414 0.7071

4 etapa 1 1.082 0.9241etapa 2 2.613 0.3825

6 etapa 1 1.035 0.9660etapa 2 1.414 0.7071etapa 3 3.863 0.288

8 etapa 1 1.020 0.9809etapa 2 1.202 0.8313etapa 3 1.800 0.5557etapa 4 5.125 0.1950

Si la funcin es pasaalto, los coeficientes sern idnticos,esto tomando C = C1 = C2 = 1[F ]. Para esta situacin,los coeficientes son Ri/R.

TABLE VI

Coeficientes para Filtros de Chebyshev 1 dB.

Chebyshev (1dB)# polos C1 = C o R1 = R C2 = C o R2 = R2 etapa 1 2.218 0.6061

4 etapa 1 3.125 1.269etapa 2 7.546 0.1489

6 etapa 1 4.410 1.904etapa 2 6.024 0.3117etapa 3 16.46 0.06425

C. Ecuaciones de Diseo

Dado el orden n, se obtienen los coeficientes C1/C yC2/C respectivos. Como la Tabla V esta construida parafrecuencia 1 [r/s] y R = 1 [] , entonces para c 6= 1 [r/s]y R 6= 1 [], se debe escalar la frecuencia. As se haces = cp, se reemplaza en (42) y se igualan coeficientes,luego

b2 = R22cC1C2 (79)

b1 = 2RcC2 (80)

entonces

C2 =b12

1

Rc(81)

C1 =b2C2

1

R22c=2b2b1

1

Rc(82)

Para el polinomio de Butterworth de n = 2, se tieneC1 = 1.414 1Rc y C2 = 0.707

1Rc

. Lo mismo ocurrir paran = 4, se mantienen los coeficientes de la Tabla V, peroaparece un factor en funcin de R y c. Finalmente, loscapacitores para fc 6= 0 y R 6= 1 [] estarn dados por

Cn = Ci1

Rc= Ci

1

2fcR(83)

D. Procedimiento de Diseo

Para una frecuencia de corte dada fc y un R 6= 1 []: Se determina el orden del filtro n Se escogen de la tabla los coeficientes Ci/C o Ri/R Con cada coeficiente se calcula Cn o Rn usando (83)

IX. Diseo propuesto por Dede y Espi

El mtodo propuesto por Dede y Espi (1983) usa una tablade datos asociada a la respuesta del filtro y un circuitobsico. Usando los polinomios de Butterworth de orden par(2 a 6) en su forma factorizada, considerando el polinomiode la forma b2s2 + b1s+ bo, se elabora la Tabla VII. Cadapar de coeficientes representa una etapa de 2o orden. Loscoeficientes del filtro Chebyshev de la tabla III con ripplede 1 dB, se usan para la construccin de la Tabla VIII.

10

TABLE VII

Coeficientes de Butterworth.

n Celula 1 Celula 2 Celula 3b1 b2 b1 b2 b1 b2

2 1.4142 14 0.7654 1 1.8478 16 0.5176 1 1.4142 1 1.9319 1

TABLE VIII

Coeficientes de Chebyshev 1 dB.

n Celula 1 Celula 2 Celula 3b1 b2 b1 b2 b1 b2

2 0.9957 0.90704 0.2829 1.0137 2.4114 3.57926 0.1256 1.0094 0.6093 1.7731 3.7209 8.0192

A. Diseo de Filtros Pasabajos

Se usar un circuito SK de G = 1 en la banda de paso oel MFB (Rauch), para ganancias mayores que la unidad.

A.1 Usando Circuitos SK

Sea la clula SK de la Fig. 12a, haciendo R1 = R2 = Ry RA = y RB = 0 en (42), se obtiene

H(s) =1

R2C1C2s2 + 2RC2s+ 1(84)

A.1.a Obtencin de la ecuaciones de diseo. Para deter-minar las ecuaciones se debe reescalar para s = cp

H(s) =1

R2C1C2(cp)2 + 2RC2(cp) + 1(85)

Ajustando de acuerdo al polinomio b2s2 + b1s+ bo

b2 = R2C1C22c (86)

b1 = 2RC2c (87)

Para R dado se determinan los valores para C1 y C2.

C1 =b2

b1Rfc(88)

C2 =b1

4Rfc(89)

A.1.b Procedimiento de diseo. Para una frecuencia fc(Hertz) dada, para un filtro de ganancia unitaria: Determinar el tipo de filtro (Butterworth o Cheby-shev)

Determinar el orden del filtro (n). Obtener b1 y b2 de las Tablas VII y VIII. Elegir R y evaluar las ecuaciones (88) y (89)Si C1 y C2 son pequeas, se hace R, diez veces ms

pequeo. El criterio de eleccin para R considera la TablaIX para frecuencias prximas a fc.

TABLE IX

Valores de R y C para rangos de frecuencia.

fc R C100 [Hz] 100 [K] 100 [nF ]1 [KHz] 10 [K] 10 [nF ]10 [KHz] 1 [K] 1 [nF ]

A.2 Usando Circuitos Rauch

Sea la clula Rauch de la Fig. 12b, la funcin de trans-ferencia dada en (43).

H(s) = RR1

RR2C1C2s2 +RR2C1C2n

1C1

1R +

1R1+ 1R2

os+ 1

(90)

A.2.a Obtencin de las ecuaciones de diseo. Reesca-lando (90), haciendo s = cp

H(s) = RR1

RR2C1C2 (cp)2+RR2C2

1R +

1R1+ 1R2

cp+ 1(91)

De aqu se desprende que la ganancia

G =RR1

(92)

Ajustando respecto del polinomio de segundo orden, setiene

b2 = RR2C1C22c

(93)

b1 = RR2C2

1

R+1

R1+1

R2

c (94)

R = GR1 (95)

Luego, de (93), (94) y (95) se llega

C1 =b2

cb1GR1

(1 +G) +GR1

1

R2

(96)

C2 =b1

cGR1 {R2 (1 +G) +GR1} (97)

Considerando

R2 =R1G

10 (1 +G)(98)

Entonces

C1 =1.7507b2fcb1R1

(G+ 1)G

(99)

C2 =0.14468b1fcR1G

(100)

Ahora para R1 y G dados, el diseo est completo.

FILTROS ACTIVOS, CONCEPTOS BSICOS Y DISEO 11

A.2.b Procedimiento de diseo usando clulas Rauch.Para ganancia distinta de 1, sea sta A y n es el orden delfiltro, se calcula la ganancia de cada clula G de modo quela ganancia total Gn = A. Luego para una frecuencia decorte fc, se elige R1 de acuerdo usando la Tabla IX: Determinar el tipo de filtro (Butterworth o Cheby-shev)

Determinar el orden del filtro (n). Obtener b1 y b2 de las Tablas VII y VIII. Elegir R1 y evaluar (95), (98), (99) y (100)

B. Diseo de Filtros Pasa Alto

B.1 Usando Circuitos SK

Sea la funcin de transferencia con G = 1 (44) cuya Fig13a, haciendo C1 = C2 = C, se evalua

R1 =b1

4b2fcC(101)

R2 =1

b1fcC(102)

C se elige de acuerdo a la tabla IX

B.2 Usando Circuitos Rauch

En forma anloga al filtros pasabajos, sea el circuito dela Fig. 13b, luego

C1 =CG

(103)

C2 =10 (G+ 1)C

G(104)

R1 =Gb1

22b2Cfc(105)

R2 =G

5.712b1Cfc(106)

Para G, C y fc dados el diseo est completo.

C. Diseo de Filtros Pasa Banda y Rechaza Banda

C.1 Pasa Banda

Se usa un circuito resonador de banda angosta, conganancia G en la banda de paso, un Q > 5 y fo dado.Utilizando (9) para el encontrar B.

R =1

2foC(107)

R1 =1

foC(108)

R2 =1

2CB(109)

R3 =1

2CBG(110)

Para un C conocido el diseo queda completo.

_

+

_

+

R2

R3

R1

R

R

R R

C

C

vo

vi

Fig. 18. Filtro pasabanda Resonador.

C.2 Rechaza Banda

Usado el circuito de la Fig. 16, para o y G 6= 1 dado,eligiendo R, el diseo queda completo.

C =1

2Rfo(111)

R1 = R2Q 12Q

(112)

R2 = R2Q (G 2) + 1

4Q 1

(113)

X. Conclusiones

El diseo de filtros activos bsicamente se traduce enespecificar adecuadamente la respuesta deseada, posterior-mente en elegir la funcin aproximacin que satisface losrequerimientos y finalmente elegir el circuito activo quepermita en la forma ms simple la implementacin defin-itiva. Existen distintos mtodos para la implementacindel filtro, sin embargo la eleccin del mtodo depender dela precisin del filtro.

References[1] Savant, C., Roden, M., Carpenter, G. 1992 Diseo Electrnico

Circuitos y sistemas. Adisson-Wesley[2] Smith, S.W. 1997. The Scientist and Engineers Guide to Digital

Signal Processing.California Technical Publishing[3] Dede, E., Espi, J. .1983. Diseo de circuitos y sistemas Elec-

trnicos. Marcombo[4] Malik, R.1996. Circuitos Electrnicos. Anlisis, Diseo y Simu-

lacin. Prentice-Hall[5] Sedra, A. Smith, K.1998. Microelectronics Circuits. Oxford Press