figurasgeometricaso2

Todos los objetos tienen una forma y ocupan un lugaren el espacio que podemos medir por medio de laGeometría. Así, Geo (tierra) y Metron (medida),vocablos griegos, originan la palabra Geometría,considerada la rama de la Matemática que estudia lasformas y sus relaciones.

Galileo Galilei (1564-1642)Matemático, físico y astrónomo italiano

Óvalo Polar, obra cinética de Jesús Soto, uno delos máximos exponentes del arte cinético universal.Nació en el estado Bolívar (1923- ), donde hayun Museo que lleva su nombre. Ha realizadoexposiciones en Venezuela, Francia, EstadosUnidos, Italia y muchos otros países. La obraengalana la sala de entrada del edificio FundaciónPolar en Caracas.

Fotografía: Sabina Caula

El Universo está escrito en ellenguaje de la matemática y suscaracteres son triángulos, círculosy otras figuras geométricas, sin lascuales es humanamente imposibleentender una palabra de él

018 Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 2 - El mundo de las formas - GEOMETRÍA 1

Johannes Kepler (1571-1630)Astrónomo y matemático alemán

Enla

natu

rale

zase

encu

entra

n muchas formas y otras son hechaspor

laspersonas

Estas son redondas por todas partes, esdecir, tienen forma esférica.

Observa que todas lascaras de estos tresobjetos son planas.

Otras formas tienen partescurvas y partes planas.Las latas de atún y los dosvasos son ejemplos de esto.

Estas partes son planas

Estas partes son curvas

Completa el patrón

Descubriendo el mundo de las formas

Fot

ogra

fías:

R. C

hove

t

019Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 2 - El mundo de las formas - GEOMETRÍA 1

Circunferencia y círculo

INTERESANTESi consideramos una varilla de longitud R,fijada en un extremo C y la movemoslibremente en el espacio, el otro extremodescribe un esfera de radio R. Esto significaque la distancia de cualquier punto P de laesfera a su centro no varía y esta distanciaes igual al radio R.

RC

P1

P

P2Loscuerpos que

observas son redondospor todas partes pero de

ellos sólo visualizamos susuperficie, que es de forma

esférica y la denominamos esfera(superficie esférica). La esferaconjuntamente con la regióndel espacio encerrada por

ella la llamamos esferasólida (˝bola˝).

El corte o intersección de un plano con una

esfera es una circunferencia.

Esta es una propiedad característica de la

esfera.

Si el plano pasa por el centro de la esfera,

resulta una circunferencia máxima (su radio

es igual al radio R de la esfera). Al considerar

la esfera sólida y el corte con un plano se

obtiene el círculo. Si el plano pasa por el

centro C, resulta un círculo máximo.

Al hacer un corte a una esfera con un plano, por ejemplo un limón

o una cebolla de forma esférica cortada con un cuchillo, resulta

una circunferencia sobre la esfera, en la concha del limón. El

círculo es la circunferencia junto con la región del plano encerrada

por ella.

Del espacio al plano

C

PR

Plano

Circunferencia

Circunferenciamáxima

INTERESANTEPara construir una circunferencia tomamos unatachuela o un clavo que fijamos a una hoja depapel. Amarramos una cuerda en la tachuela oclavo y en el otro extremo un lápiz que movemospara trazar la circunferencia sobre el papel. Ladistancia de un punto P de la circunferencia asu centro C no varía y esta distancia es igual alradio R.

R

C

PDiám

etro

Lápiz

TachuelaRad

io

Formas completamente redondas


BaseE

je

Base

Su

per

fici

e ci

línd

rica

(es

la s

up

erfi

cie

late

ral)

Seg

men

tos

vert

ical

es

Circunferencia C

Formas con partes planas y superficies curvasCilindro

INTERESANTEPara construir un cilindro, primero debes recortardos bases circulares del mismo radio hechascon cartón, luego pasas hilos de la mismalongitud por agujeros en el borde de éstas, entreuna base y la otra. Colocas una varilla resistentecomo eje (en el centro de las bases) de modoque los hilos estén paralelos y permanezcantensos.

Todos estos cuerpos tienen partes planas y superficiescurvas, a este tipo de formas se les llama cilindro.Si levantamos segmentos verticales en los puntos deuna circunferencia C (son segmentos perpendicularesal plano que la contiene) y que tengan una mismalongitud, obtenemos una superficie cilíndrica.El círculo limitado por la circunferencia C es una base.El cilindro es el sólido definido por la superficie cilíndrica,las dos bases de ésta y la región del espacio encerradapor ellas.

OBSERVA

Dos tipos de cilindros, según que su ejesea o no perpendicular a las bases.

90°

Eje

Base

Base

Cilindro recto es aquél quetiene su eje perpendicular alas bases.

Cilindro oblicuo esaquél que no tiene sueje perpendicular a lasbases.

Al hacer un corte en un cilindro rectocon un plano paralelo a las bases(esto es, perpendicular al eje) resultaun círculo.Si el corte se hace con un planoparalelo al eje, entonces resulta unrectángulo.

Repite el patrón


Base

Base

Hilos

Varilla

Eje

Base

Base

Johnson and SonCompany

Wisconsin, Estados Unidos



ConoEl cono es otro cuerpo de base plana y de superficie lateral curva. Siunimos con segmentos los puntos de una circunferencia C con otropunto V situado fuera del plano de esa circunferencia, obtendremos unasuperficie cónica.El cono esta formado por la superficie cónica, la base circular de éstay la región del espacio encerrada por ellas.

INTERESANTEPara construir un cono, primero debesrecortar una base circular en cartón,luego pasas hilos de la misma longitudpor agujeros en el borde y los unes enel otro extremo. Colocas una varillaresistente como eje (desde la base hastael nudo de los hilos) de modo que loshilos permanezcan tensos.

Círculo

Superficie cónica(es la superficie lateral)

Circunferencia C

Eje

Cono oblicuo es aquélque no tiene su ejeperpendicular a su base.

Base circular

Eje

Base circular= 90°

Al cortar un cono recto con un plano paraleloa la base (esto es, perpendicular al eje),

resulta un círculo.El sólido obtenido al quitar la parte que

contiene al vértice es un cono truncado o tronco de cono.

Cono recto es aquél quetiene su eje perpendiculara su base.

Hilos

Base

Nudo

Varilla

Las ruedas más antiguas se construyeron en Sumeria, entre los años ¿3500 y 3000 a.C.? La forma

original de esas ruedas era la de un disco de madera fijado a un eje mediante espigas de madera.

Los egipcios utilizaron troncos de árboles para transportar grandes piedras. Se supone que la

primera rueda fue un trozo de tronco de árbol cortado en forma parecida a la de un cilindro.

Los incas, la cultura más desarrollada en América del Sur antes de la llegada de los españoles,

no conocieron la rueda y como hacían grandes construcciones en piedra utilizaban rodillos de

madera para transportar esas piedras, parecido a lo que hacían los egipcios.

Vértice V Vértice V

Corte de JusticiaLondres, Inglaterra

Fot

ogra

fías:

R. C

hove

t

Formas con partes planas y superficies curvas


Los griegos fueron los primeros en considerar la esfera como unobjeto matemático y la definieron como la superficie obtenida algirar una circunferencia alrededor de uno de sus diámetros.

Del plano al espacio(los cuerpos o sólidos de revolución)

Templo de DelfosUno de los raros edificios circulares

de la arquitectura griega.

El cilindro y el cono también se obtienen por rotación.

• Toma una tira de papel de 5 cm de ancho por 20

cm de largo y pégala a una varilla de cualquier

longitud. Al rotar la varilla visualizarás un cilindro.

• Toma un triángulo rectángulo ABV de hipotenusa

AV y ángulo recto en el vértice B. Al girar la

hipotenusa alrededor del cateto VB visualizarás el

cono.Eje de rotación

A

B

V

90°

Eje de rotación

5 cm

20 cm

Completa la sucesión

¿Qué se obtiene al girar una semicircunferenciaalrededor de su diámetro?

¿Qué se obtiene al girar un círculo alrededor de unode sus diámetros?

¿Qué se obtiene si giras un rectángulo alrededor deuno de sus lados?

¿Qué se obtiene si en la construcción que hiciste deun cilindro con hilos, tuerces (giras) media vueltalos discos, uno hacia la derecha y otro hacia laizquierda?

¿Qué se obtiene al hacer un corte en un cono rectocon un plano que contiene al eje? F

otog

rafía

s: R

. Cho

vet

VNúmero

de vértices

6

Formas con todas sus caras planas


Leonhard Euler (matemático suizo 1707-1783) fue uno de los más prolíficos matemáticos. Publicó

más de 850 obras en vida y dejó muchísimos trabajos sin publicar. Desde 1771, cuando quedó

totalmente ciego, dictaba a sus asistentes o escribía en un largo pizarrón las fórmulas para ellos.

En geometría es conocido por la Recta de Euler y por la Fórmula de Euler.

La «Recta de Euler» es la recta determinada por el ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un

triángulo. La «Fórmula de Euler» relaciona el número de caras, vértices y aristas en un poliedro.

Poliedros

VERIFICACiÓN

Observa algunos poliedros y sus nombres de acuerdo al número de caras.

Poliedros

CNúmerode caras

Octaedro 8

Sus caras son polígonos: triángulos, rectángulos,paralelogramos que no son rectángulos, trapecios,pentágonos, etc. Un poliedro es convexo si alcolocar dos dedos sobre el mismo, los cualesdeterminan los puntos A y B, todo el segmento ABasí determinado está dentro del poliedro. Tambiénse dice que un poliedro es convexo si está situadoen un mismo lado de uno cualquiera de sus planosde apoyo (plano que contiene una cara). Todoslos poliedros arriba representados son convexos.

Si contamos las caras, los vértices y las aristas del octaedro convexose cumple con la Fórmula de Euler V-A+C = 2.

Construye una tabla como la de al lado y verifica la Fórmula de Euler.

Muchas de las edificaciones construidas por loshumanos y algunos cuerpos de la naturaleza, tienenforma de poliedros. Los poliedros son cuerposlimitados por un número finito de superficies planas.Las superficies planas son polígonos que recibenel nombre de caras del poliedro. La intersecciónde dos caras es una arista y el punto de intersecciónde más de dos caras es un vértice.

Poliedro de CaracasUna edificación donde su cobertura es una suma depoliedros colocados de tal manera que asemeja una

superficie curva.

Octaedro8 caras

Pentaedro5 caras

Nonaedro9 caras

Dodecaedro12 caras

Hexaedro6 caras

Hexaedro6 caras

Heptaedro7 caras

Vértice

Arista

Cara

ANúmero

de aristas

12

A ti, mar de los sueños angulares, flor de cincoformas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro

Rafael Alberti (Poeta español, 1902-1999;Premio Cervantes 1983)

A

B

Convexo

Observa loscinco poliedros

regulares, las carasidénticas que se

encuentran en cadavértice y el elemento

que representan.

Tetraedro(fuego)

Icos

aedr

o(a

gua)

Dodecaedro

(universo

) Octaedro

(aire)

Cubo

(tierra)


Poliedros regulares son aquellos poliedros convexos en los que todas sus caras son polígonos

regulares congruentes y en cada vértice concurre el mismo número de caras. Los poliedros

regulares han intrigado a los matemáticos por miles de años. La existencia de sólo cinco tipos

de poliedros regulares figuran en la explicación que dio Platón a ciertos fenómenos en su

famoso diálogo Timeo. Estos poliedros se asocian a los cuatros elementos (Fuego, Tierra,

Aire, Agua) y al Universo. Los cinco poliedros regulares son llamados Poliedros Platónicos.

Los pitagóricos (siglo VI a.C.) pensaban que los planetas se movían en superficies esféricas cuyo centro era la Tierra.Dichos movimientos producían sonidos armónicos a los que llamaron “la música de las esferas”. Así explicaban el universocon esta teoría de “Armonía celeste”. Muchos siglos después, en 1595, el astrónomo y matemático Johannes Kepler (1571-1630), en sus consideraciones acerca de la armonía matemática del Universo, formuló una teoría en relación con lasdistancias entre los planetas para lo cual se valió de los cinco poliedros regulares metidos dentro de esferas: seis esferasque correspondían a los seis planetas conocidos en su tiempo (Saturno, Júpiter, Marte, Tierra, Venus y Mercurio) separados(en ese orden) por el cubo, el tetraedro, el dodecaedro, el octaedro y el icosaedro. Kepler intentó encontrar las razonesde por qué solamente existían seis planetas y cinco poliedros regulares. Su teoría fue posteriormente desechada con eldescubrimiento de Urano en 1781.

PlatónFilósofo griego (428-347 a.C.)

Poliedros platónicos

La Armonía de lasesferassegún Kepler

Descubriendo las formas con todas sus caras planas

CompendiumJulio Pacheco RivasPintor venezolano (1953- )Galería de Arte Nacional

La palabra pirámide evoca uno de los monumentos construidos por los antiguosegipcios. Los más grandes sólidos geométricos hechos por el hombre se construyeroncerca de 2600 años a.C. Uno de estos sólidos es la Gran Pirámide de Egipto, en lafoto, la única de las siete maravillas del mundo todavía en existencia. Esta pirámidese realizó colocando más de dos millones de bloques de piedra, pesando entre 2 y150 toneladas cada una. La Gran Pirámide pertenece a los poliedros llamadospirámides.

Otros poliedros: Pirámides


Entre las culturas antiguas de México destacan lateotihuacana, la maya y la azteca. En Teotihuacán estabanlas pirámides del Sol y la Luna. La civilización Maya (s. III-XVI) tuvo su desarrollo en México y Centroamérica. Hicierongrandes construcciones utilizando la piedra. Entre éstasdestacan los templos elevados a una gran altura como lascinco pirámides de Tikal. También los aztecas (en México),en la gran ciudad de Tenochtitlán, una de las mayores delmundo para la época de la llegada de los españoles, hicierongrandes construcciones, algunas de ellas de forma piramidal.

Pirámide cuadrada Pirámide triangular Pirámide pentagonal Pirámide hexagonal

Aunque los egipcios y los mayas escogieron la forma cuadrada para la base de sus pirámides, otrospolígonos también pueden ser utilizados como base. Observa:

Las caras laterales de una pirámideson triángulos que tienen un puntocomún. Este punto común recibe elnombre de vértice de la pirámide.

Vértice V

Caras lateralestriángulos

Del espacio al planoToma una esfera, un cubo, una pirámide o un cono y haz incidir

una luz sobre ellos para que genere una sombra sobre la pared.

¿Cómo es la sombra de cada uno de ellos?

Uno de los tipos más comunes de poliedros lo constituyen los prismas ocajas. Observa algunos prismas:

Prismas

Liceo del FuturoPoitiers, Francia

Descubriendo las formas con todas sus caras planas


La Casa de Piedra en los valles de Aragua, de la etapa precolombina, fue construida con grandes piedras o lajas que sesostenían entre sí. Su entrada era de forma “prismática”, con dos piedras de 3,5 m de largo cuyos lados constituían lasparedes del estrecho zaguán, apoyándose en el suelo y con separación de 1,5 m. Sobre esas dos lajas se situaba otrade 4 m de largo con un saliente de 1,5 m a manera de porche. No se localizó, pero se tiene referencia de ella por unamemoria de la Dirección General de Estadísticas de Venezuela de 1873.Fuente: E. Arcila Farías, Historia de la Ingeniería en Venezuela, 1961.

Repite la secuencia

Prisma rectangular o caja Prisma triangular Prisma hexagonal

Bases rectangulares Bases triangularesBaseshexagonales

Prisma

Paralelogramos

Paralelo-gramos

Un prisma es un poliedro en el que dos de sus caras son paralelas (caras opuestas) y congruentes, llamadasbases del prisma. Los prismas se nombran por la forma de sus bases.

En un prisma, las caras que no son bases se denominan caras laterales.Los prismas cuyas caras laterales son rectángulos, se llaman prismasrectos; de otra forma son llamados prismas oblicuos. Los prismas rec-tangulares rectos o “cajas” también son llamados paralelepípedos.Uno de los paralelepípedos más utilizado es el cubo.

RETO

Con 36 cubos formamos el prisma de la

derecha (3 x 3 x 4).

¿Cuántos prismas diferentes podemos

formar con los treinta y seis cubos?

Relaciones espaciales

Un cubo se puededividir exactamenteen tres pirámides.Una de ellas es lapirámide cuadrada devértices E, F, G, H yC. Nombra los cincovértices de las otrasdos pirámides quedividen el cubo.

La pirámide FHACdivide al cubo en 5pirámidestriangulares. Señalalos otros cuatrovértices de las otrascuatro pirámidestriangulares.


Tengo que pensarloDibuja en los

cuadros vacíoslas figuras que

faltan

¿Puedes construir un cubocon tres bandas iguales depapel de diferentes colores,de forma tal que las carasopuestas sean del mismocolor?

Escuela de Atenas (Detalle)Principal sitio de reunión de pensadores griegosRealizada por Rafael Sanzio (1483-1520)

El dibujocorresponde a unaestructura metálica.Una persona quiereir del punto A al B,sin retroceder nisubir.¿Cuántas rutaspuede elegir?

¿Cuántas esferasnecesitarás para construir

esta pirámide de basecuadrada?

¿Y si su base es untriángulo equilátero?

Con

110 esferas se

construyen 3 pirámi-

des de base cuadrada

¿Cuáles serán sus

bases y el número

de pisos?

A

B

B

A

C

D

E

F

G

H

B

A

D

E

F

G

H

C


Geometría y tecnologíaMaqueta del transbordadorNASA, Cabo Kennedy, EE.UU.

En el lanzamiento de untransbordador espacial se

utiliza un cohete a los finesde colocarlo en órbita. La

ilustración muestra laconfiguración de los tanquesde combustible de oxígenolíquido, de hidrógeno líquidoy el intertanque que es unconector mecánico entre los

otros tanques.

Utilizando las dimensiones de las partes de loscomponentes del transbordador se puede calcular

aproximadamente el volumen total de los tres tanques.Para ello hay que considerar que:

la forma del tanque de hidrógeno es cilíndrica con tapas,el tanque de oxígeno es la combinación de un cono, un

cilindroy una media esfera.

Geometría y ciencia¿Has visto un panal de abejas? Visto de frente se parece a un piso cubierto demosaicos hexagonales. Pero su forma tridimensional es la de prismas rectoshexagonales. Entre el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular,este último tiene el menor perímetro para un área establecida. Esto significaque en los panales de abejas en forma de prisma hexagonal se usa menos cerapara su construcción.

Las abejas y la geometría

El prisma y la luz

El prisma es utilizado para producir el espectro de colores desde el rojohasta el violeta. La luz blanca que incide en una de las caras laterales deun prisma triangular cambia de curso cuando pasa a través del prisma yda origen al espectro de colores, según muestra la figura.

Luz blanca

Fot

ogra

fías:

R. C

hove

t


Geometría y arteMuseo del Louvre

París, Francia

La presencia de la matemática en el arte se manifiesta desde tiemposremotos. Los griegos utilizaron la geometría en la construcción desus monumentos. Los artistas del Renacimiento (s. XV), entre loscuales mencionaremos a Rafael Sanzio y Leonardo Da Vinci, crearonla perspectiva para representar la profundidad. La Última Cena,obra cumbre del equilibrio y de estudio de caracteres, donde semanifiesta un uso acentuado de la perspectiva, marcó una nuevaetapa en la pintura. Además, los árabes (s. XII-XV) en la región deAndalucía, decoraron sus palacios mediante un espléndido artegeométrico. En el siglo XX muchos artistas han utilizado figurasgeométricas en sus obras: Jesús Soto, Cruz Diez, Maurits Escher,Pablo Picasso, Vasili Kandinsky, Salvador Dalí, Piet Mondrian, RenéMagritte, para mencionar algunos.

Algunas obras artísticas com-binan las formas geométricas,como la mostrada a continuación,Reptiles (1943) del pintor y gra-bador holandés Maurits Escher(1898-1972). Sus obras tienenun gran componente geométrico.

A partir del mundo plano(bidimensional) se creaun mundo espacial(tridimensional).

Los reptiles salen delpapel donde están dibu-jados, saltan al libro debiología, pasan por laescuadra para llegar aldodecaedro, caen en untronco de cono y por úl-timo regresan al planode donde salieron.

Vibración,Cuadrado 2

Jesús Soto

Construcción 2Carlos Cruz Diez

En el Paseo de Euclides(1953), de René Magritte

(belga, 1898-1967)observamos un techo enforma de cono montado

sobre una torre cilíndrica yuna calle en perspectiva

extendida al infinito con unefecto visual de “parecerse”

a otro cono.

Ventana didácticaEstrategias sugeridas al docente


Poliedro con floresMaurits Escher

Hoy se considera una necesidad desde un punto de vista didáctico, científico, históricoy cultural, recuperar el contenido espacial e intuitivo de la Geometría, el cual se puedelograr desde los primeros años de edad mediante un cierto componente lúdico, posponiendolas formalizaciones para cursos posteriores. Así, debe comenzarse por incentivar a losniños a descubrir propiedades de los objetos que los rodean mediante observaciones,manipulaciones, establecimiento de relaciones. Inducirlos a reconocer el espacio medianterecorridos, trayectorias, distancias... Entrenarlos a visualizar formas para luegorepresentarlas, analizar las diferencias entre realidad y representación, espacio y plano.De esta manera puede darse cuenta de que en el espacio un objeto se puede manipularpero la representación del mismo objeto en un plano, por ejemplo, no se puede manipular.Pensemos en una fotografía, a pesar de "ver" que es idéntica a la realidad no deja deser más que una representación de la realidad. A continuación se presenta una experienciaen la cual se pueden seguir los diferentes pasos que conducen a una aproximación a laforma de trabajar la Geometría en Educación Básica.

Construir un tetraedro

Fase exploratoriaSe presenta un conjunto de sólidos (cubo, cono, cilindro, tetraedro,paralelepípedo). Los alumnos señalarán sus diferencias y semejanzas.

Una vez determinadas sus semejanzas y diferencias, el docente realizarápreguntas como las siguientes: ¿cuáles poseen cuatro caras? ¿Quéformas tienen las caras? ¿Cuáles de estos sólidos tienen todas suscaras con formas de triángulo isósceles? Con lo que identificarán altetraedro no regular.

Fase de construcciónEl docente ha preparado figuras triangulares cuyas caras son triángulosisósceles de 6 cm de base y 6 cm de altura. Ha dividido al grupo dealumnos en equipos y entrega un modelo a cada uno de los equiposdiciendo que deben representar cuatro figuras con las mismas medidasque las entregadas por el docente, usando para ello el compás y laregla.

Fase de planeamiento del problemaEl docente pedirá a los alumnos que ensamblen las cuatro figuras cuyascaras son triángulos isósceles (que han sido construidas por ellos) paraobtener un modelo de tetraedro. Por ensayo y error los alumnos llegarána comprender que pueden obtener la solución por varias vías.

Se darán cuenta de que con un patrón como el indicado en rojo no podrán alcanzar la solución:

Se realizará una discusión colectiva con todos los equipos y se revisarán los conceptos de cara, aristas, vértices, triángulosisósceles, etc....La sesión finalizará con una actividad creativa por parte de los alumnos construyendo una nueva figura con todos lostetraedros de los diferentes equipos.

Construir un tetraedro (no regular)

Estrellas (xilografía), 1948M.C. Escher

Información actualizada


Páginas webTIMSS. Ejemplos: Geometríawww.ince.mec.es/timss/geom.htm

The Geometry Center: www.geom.umn.edu

Mega Mathemathics: www.c3.lanl.gov/mega-math

Riverdeep: www.riverdeep.net

Math resources inc: www.mathresources.com

Quiz Lab: www.funbrain.com

Teacher created materials: www.teachercreated.com

Meridian Creative Group: www.meridiancg.com

Miguel de Guzmán Ozámiz:www.mat.ucm.es/depots/am/guzman

VideosEspace en fête. Centre National de DivulgationPedagogique (CNDP), París, Francia.

Cordes a jouer: CNDP, París, Francia.

Geometría en la Educación Básica: Centro Nacionalpara el Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia-CENAMEC-, Venezuela.

La armonía de los mundos: Serie Cosmos de CarlSagan, Vol. III. Turner Home Entertainment (1994).

M.C. Escher. Geometría y mundos imposibles.Audiovisuales Mare Nostrum. Madrid, España.

BibliografíaBaena Ruiz, Julián y otros (1998), La esfera, Edit.Síntesis, Madrid, España.

De Guzmán, Miguel (1994) Para pensar mejor, PirámideS.A., Madrid, España.

Memorias (1998) III Congreso Iberoamericano deEducación Matemática, Caracas, Venezuela.

National Principles and Standard for SchoolMathematics (NCTM-2000).

ICMI Study Perspectives on the teaching of geometryfor the 21st century. Editado por C. Mammana y VinicioVillani (1998). Kluwer Academics Publishers, Holanda.

RevistasCurriculum Administrator. EE.UU.

Education Enfantine Nathan. Francia.

Emma, Investigación e Innovación en EducaciónMatemática, Bogotá. Colombia.

Grand N IREM, Grenoble. Francia.

Enseñanza de la Matemática, Sociedad Venezolana deEducación Matemática. Venezuela.

Mathemathics Teachers. EE.UU.

Recherches en Didactique des Mathématiques. Francia.

The Elementary School Journal. EE.UU.

Resultados

Con110 esferas seconstruyen una

piramide de base 6,una de base 3 y otra

de base 2

Necesitamos 30 esferas para generaresta piramide con base cuadrada y

sólo se requieren 20 esferas para lade base triángulo equilátero.

Esta es una de las soluciones

Miguel Méndez

La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”*Nació en Altagracia de Orituco, estado

Guárico, en 1955. Realizó sus estudiosde matemáticas en la Universidad Central

de Venezuela, donde obtuvo lalicenciatura en 1978. Posteriormente, en

la misma universidad, completó suformación obteniendo el título de Doctoren Ciencias, mención matemáticas, en1989, y realizó estudios postdoctorales

en el Instituto Tecnológico deMassachusetts (MIT), en el período 1991-92. El doctor Méndez es un reconocido

especialista en Análisis Combinatorio,área en la que ha realizado contribuciones

muy destacadas. Han sidoparticularmente significativos sus trabajos

sobre especies de Moebius, especiestensoriales y funciones simétricas. Con

el primero de ellos obtuvo en 1991 elpremio al Mejor Trabajo en Matemáticasotorgado por el CONICIT. Con su trabajo

sobre funciones simétricas obtuvonuevamente, en 1996, el referido premio.Ha sido profesor visitante de prestigiosasinstituciones académicas en el exterior yha publicado más de veinte trabajos en

algunas de las mejores revistas dematemáticas. Es actualmente investigadorasociado titular del IVIC, profesor titularde la UCV, es miembro del Sistema de

Promoción al Investigador y colabora conla Asociación Venezolana de

Competencias Matemáticas en lapreparación de jóvenes que participan

en olimpíadas internacionales dematemáticas. Obtuvo el Premio “LorenzoMendoza Fleury” de Fundación Polar en

el año 1993.

Fotografía: F. Fernández

Muchos problemas de conteo de arreglos de objetos han sido estudiados desde laantigüedad hasta nuestros días. Por ejemplo: número de combinaciones de n cosastomando k de ellas cada vez. Este tipo de problemas se puede considerar con repeticiónde los objetos que aparecen en los arreglos o sin ella, por ejemplo, contar la cantidadde banderas diferentes, con tres franjas de distintos colores, que se pueden hacer conlos colores amarillo, azul y rojo, es un ejemplo muy sencillo de conteo sin repeticiones,pero si lo que queremos es contar el número de placas de automóvil que se puedenhacer con la nomenclatura que actualmente tenemos en Venezuela, tres letras y tresnúmeros, entonces hay que contar las posibles repeticiones, pues por ejemplo XDK 332es una placa y aquí el 3 aparece dos veces. Por cierto, ¿cuántas placas se puedenhacer? Otros problemas interesantes son los siguientes: contar el número de palabrasde una cierta longitud que pueden formarse usando un cierto número de letras. Decuántas formas se pueden distribuir los números del 1 al 9 en un cuadrado con nuevecasillas, cuyas filas, columnas y diagonales tienen la misma suma (cuadrados mágicos).¿Con 16 o 25 casillas? Un ejemplo muy importante que relaciona la Combinatoria conla Geometría se menciona en este fascículo: si tomamos un poliedro convexo (la definiciónaparece en la página 023 de este fascículo) e indicamos con V el número de vértices,A el número de aristas o lados y C el número de caras y calculamos V-A+C, siempreobtendremos 2, teniendo así la famosa fórmula de Euler V-A+C=2, la cual forma partede un grupo de resultados muy interesantes que hoy en día se estudian en diversasramas de la matemática, como son la Geometría, la Topología y el Álgebra.

La resolución de problemas como los mencionados en el párrafo anterior ha cobradogran importancia en los últimos años debido a sus aplicaciones en muchas áreas,particularmente en las ciencias de la computación. Las técnicas creadas para resolverdichos problemas han sido sistematizadas en lo que hoy se conoce como combinatoriaenumerativa, un área de la matemática que está en pleno desarrollo.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad yproductividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores yen el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González,el biólogo José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 2 - El mundo de las formas - GEOMETRÍA 1 Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 2 - El mundo de las formas - GEOMETRÍA 1

Material

Un cartón o papel como el situado aquí abajo, donde se colocarán

un cubo, un prisma de base hexagonal, un cono, una pirámide

de base triangular, una esfera, una pirámide de base cuadrada,

un cilindro, un prisma de base triangular y un prisma de base

rectangular.

¿Cuál es el sólido?

¿Cómo jugar?Uno de los jugadores, seleccionado para conducir

el juego, escribe en un papel el nombre de uno

de los sólidos, a escondidas de los otros

jugadores.

Cada uno de los otros jugadores tiene derecho

en su turno, a hacer una pregunta cuya respuesta

le dé pistas para llegar a saber ¿Cuál es el

sólido?

Las preguntas deben ser hechas de tal manera

que las respuestas sean SÍ o NO, por ejemplo:

¿Su base es cuadrada? ¿Todas las caras se

encuentran en un punto?

El jugador que haga una pregunta clave para

saber ¿Cuál es el sólido? luego de recibir la

respuesta, puede descubrirlo y debe explicar

cómo llegó a esa conclusión.

En cada ronda habrá un ganador, al final del

juego gana quien haya descubierto la mayor

cantidad de sólidos.

Plantillas para construir algunos sólidosPega estas dos páginas en papel de cartulina para que puedas recortarlasy armarlas luego.

¿Cuál es el sólido?Antes de armar la figura trata de adivinar ¿cuál es?

¡A jugar!

La esfera deberá ser

representada con

una metra grande u

otro objeto esférico.

figurasgeometricaso2

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