Figuras geométricas y espacios dimensionales

7/21/2019 Figuras geométricas y espacios dimensionales

http://slidepdf.com/reader/full/figuras-geometricas-y-espacios-dimensionales 1/24

FIGURAS GEOMÉTRICAS REGULARES DE N DIMENSIONES

Su utilidad para la estadística aplicada

Martínez Rodríguez Ronald GerardoIIESES-UV,tornado278@hotmail. omSu!rez Guti"rrez ManuelIIESES-UV,man#uarez@u$.m%

Resumen

Se de&inen la# &igura# geom"tri a# de n dimen#ione# ' #e mue#tra #u e#tru tura matem!ti

(ara #u de# ri( i)n om(leta, al meno# al ni$el de #u &orma e%terior. Se generalizan la#

&)rmula# matem!ti a# orre#(ondiente# ha#ta el límite de n en in&inito. Se (ro ede a

mo#trar #u a(li a i)n (ara la e#tadí#ti a, ha iendo (rimero una de# ri( i)n geom"tri a del

te#era to omo la &igura *!#i a re(re#entati$a de la uarta dimen#i)n, aun+ue e#to no niega

la (o#i*ilidad de a(li a i)n en dimen#ione# #u(eriore#. En #egundo lugar, #e trata m!# en

on reto la utilidad del te#era to (ara &ine# de e#tadí#ti a de# ri(ti$a, #ugiriendo di$er#a#

inter(reta ione# gr!&i a# ilu#trati$a#.

A!stract

e de&ine the geometri &igure# in n dimen#ion#, ith their mathemati al #tru ture &or a

&ull de# ri(tion, at lea#t at it# outer #ha(e le$el. he orre#(onding mathemati al &ormula#

are generalized &rom the limit o& n to in&init'. e (ro eed to #ho the a((li ation to

mailto:[email protected]






#tati#ti #, *' &ir#t ma/ing a geometri de# ri(tion o& the te##era t a# the *a#i re(re#entati$e

&igure o& the &ourth dimen#ion, *ut thi# doe# not &or*id the (o##i*ilit' o& &uture a((li a

in higher dimen#ion#. Se ondl', e or/ in the #(e i&i u#e o& the te#era to in the onte%t

o& de# ri(ti$e #tati#ti #, #ugge#ting $ariou# illu#trati$e gra(hi al inter(retation#.

"ala!ras cla#ee#era to, hi(er u*o, gr!&i o#, e#tadí#ti a de# ri(ti$a, an!li#i# multidimen#ional.$e%&'rdse##era t, h'(er u*e, gra(hi #, de# ri(ti$e #tati#ti #, h'(erdimen#ional anal'#i#.

INTRODUCCI(N

0E# (o#i*le om(render toda# la# &igura# regulare# (o#i*le# de un uni$er#o +ue ontenga n

dimen#ione#1 0 )mo ello (uede a'udar en el onte%to de la e#tadí#ti a a(li ada1

3o# $amo# a mo$er de#de un mar o (uramente geom"tri o ' matem!ti o, ha ia #u#

im(li a ione# (ara la &orma i)n de &igura# de n dimen#ione# ' )mo ello (uede #er u#ado

en la e#tadí#ti a a(li ada. 4or lo general, #e #u(one +ue no e# (o#i*le $i#ualizar la uarta

dimen#i)n, in lu#i$e +ue imaginarla e# (#i ol)gi amente im(o#i*le. 3o o*#tante, a+uí

(artimo# de la hi()te#i# ontraria, utilizando una (er#(e ti$a original +ue no# (ermitir!

de# ri*ir en &orma #u&i ientemente lara la# &igura# regulare# de n dimen#ione#, rom(ien

on el e#+uema ha*itual.

En lo# li*ro# de te%to de e#tadí#ti a de# ri(ti$a #e no# di e (or lo general lo mi#mo, +ue

#e (ueden gra&i ar ha#ta 5 $aria*le# en una ho6a (lana, utilizando lo# e6e# %,',z , (ero no e

(o#i*le ir m!# all! (or+ue no #e (ueden 9$i#ualizar: uatro dimen#ione#, meno# in o o

#ei#. 3ue#tra (er#(e ti$a riti a tal en&o+ue de#de #u origen, mo#trando +ue la uarta



dimen#i)n e# (er&e tamente de&ini*le en &orma de e#(a io-tiem(o. ;a# analogía# +ue tal

(er#(e ti$a no# *rindan #ugieren in lu#o +ue #e (uede am(liar el en&o+ue a m!#

dimen#ione#.

3ue#tro (ro()#ito #er!, (or on#iguiente, realizar tal a*orda6e (artiendo de lo m!#

#im(le a lo m!# om(le6o, llegando *!#i amente a la uarta dimen#i)n en e#te (rimer

intento. M!# en on reto, el (ro()#ito #er! de&inir matem!ti amente la# &igura# ha#ta n

dimen#ione#, donde n tiende a in&inito, ' mo#trar la utilidad (r! ti a del te#era to omo un

e6em(lo +ue no# (ermitir! om(render gr!&i amente lo +ue #u ede a ni$el de < dimen#ione#

' )mo ello #e (uede u#ar de manera e&i az (ara analizar (ro*lema# de e#tadí#ti a a(li ada.

El ontenido re#(onde dire tamente a di ho e#+uema, em(ezando (or el (lanteamiento

matem!ti o de la ue#ti)n de la# &igura# geom"tri a# n dimen#ionale#, (ara luego de# ri*ir

de la me6or manera (o#i*le la geometría de un te#era to, ' (or &in, utilizarlo omo e6em(lo

de )mo #e (ueden $i#ualizar gr!&i o# en uarta dimen#i)n, ' utilizarlo# (ara la e#tadí#ti a

de# ri(ti$a, in lu#i$e a(untando ha ia an!li#i# m!# (ro&undo# en +ue #e in$olu ren ha#ta 8

$aria*le#.

METODOLOG)A

Se re urre a teoría de #erie# a(li ada (ara di#e=ar la geometría de la# &igura# n

dimen#ionale#, utiliz!ndola# en &orma #e uen ial, de tal &orma +ue la# &igura# regulare#

dimen#ione# in&eriore#, $an on#tru'endo la# de dimen#ione# #u(eriore#. Se utilizan

&)rmula# alge*rai a#, indu i)n matem!ti a ' la e%(an#i)n ha#ta el in&inito de la#

dimen#ione#.



En la #egunda (arte #e u#a geometría e#(a ial, analogía#, e%(li a ione# did! ti a# '

gr!&i o# (ara (ermitir al le tor la om(ren#i)n de la# &igura#, on "n&a#i# en el ni$el de la

uarta dimen#i)n (or medio del te#era to. >inalmente #e in or(oran elemento# de

e#tadí#ti a de# ri(ti$a ' analíti a (ara mo#trar la utilidad (r! ti a de la a(li a i)n? en e#te

ltimo (a#o #e in lu'e imagina i)n ' reati$idad.

RESULTADOS * DISCUSI(N

+ LA E,"LICACI(N DE LAS FIGURAS N DIMENSIONALES

Si *ien e%i#ten di&erente# &orma# de e%(li ar la on&orma i)n de uer(o# regulare# (ar

$aria# dimen#ione#, e#(e ialmente (ara la# dimen#ione# +ue e#t!n (or en ima de la# tre#

on#iderada# 9reale#:, no #e ha en ontrado ninguna manera #en illa de ha erlo +ue tenga

(ro(iedade# did! ti a#, ' +ue (ermita om(render di&erente# ti(o# de uer(o# geom"tri o#

regulare# (ara ual+uier dimen#i)n n. E#to e# lo +ue #e (ro(one de#arrollar a+uí, (ara ello

*a#tar! on u#ar teoría de #erie# ' alguna# e%(re#ione# alge*rai a# #im(le#.

El o*6eti$o ini ial, (ara u*i arno#, on#i#te en en ontrar lo# $alore# de una ta*la *!#i a

+ue ontiene en la# olumna# a la# dimen#ione# n, ' en la# &ila# a la# 9magnitude#: m. Se

utilizan 7 dimen#ione# (ara +ue la tarea #ea #en illa ' mane6a*le. En la# &ila# #e u*i an lo#

trazo#, &igura# o orte# e#(a iale# regulare# de tal manera +ue la letra m #e re&iere a ad

9magnitud:A +ue on&orma la &igura , e#to e#, #i no# re&erimo# a lo# (rimero# < ni$el

1 Se entiende por “magnitud” m, más precisamente, el número de “trazos,planos o cortes regulares” de la correspondiente magnitud que se deben usarpara conformar una gura perteneciente a la dimensión n de la columna a laque se re era. Por e emplo, se requiere de ! l"neas #magnitud 1$ para formarun cuadrado #dimensión %$, en tanto no se puede usar un cuadrado #magnitud%$ para formar una l"nea #dimensión 1$.



HA 2 C 22-A 2 2 C 8

HA 5 C 25-A 5 2 C 2J

HA < C 2<-A < 2 C <8

HA K C 2K-A K 2 C AA2

HA L C 2L-A L 2 C 2KL

El #igni&i ado e# el #iguienteB #e re+uieren A2 línea# (ara &ormar un u*o, 52 (ara &or

un te#era to o hi(er u*o, 8J (ara un (entera to, A 2 (ara un he%era to ' <<8 (ara un

he(tera to.

E#te #i#tema alge*rai o (are e darno# re#ultado# orre to#, a#í +ue (a#amo# a la #egunda

magnitud, e#to e#, la de lo# uadrado#, omo e%(an#i)n natural de la dimen#i)n lineal. ;a

&)rmula (ro(ue#ta e# la #iguienteB

S2 n C 2n nD2 n-A D<

En donde el #u*índi e 2 denota la #egunda dimen#i)n. Fe nue$o, de&inimo# la &)rmula

marginal omo H2 n C S2 n A meno# S2 n . El le tor (uede om(ro*ar &! ilmente +ueB

H2 n C 2n nD8 n 5

hora *ien, dado +ue S2 A C 2A AD2 A-A D< C J #e on lu'e +ue ha' J uadrado# en

la (rimera dimen#i)n, o di ho de otra manera, +ue lo# uadrado# no #e (ueden &ormar en tal

dimen#i)n. ontinuamo# on la #egunda dimen#i)n u#ando la &un i)n marginalB

H2 A C 2A AD8 A 5 C A



;o +ue #igni&i a +ue #e &orma un uadrado en la magnitud 2, de lo# uadrado#, en la

dimen#i)n 2 la dimen#i)n (lana . Si #e +uiere #a*er u!nto# uadrado# #e &ormar!n en la

dimen#i)n 5 #e al ula H 2 B

H2 2 C 22 2D8 2 5 C K

;o +ue #igni&i a +ue ha*r! L uadrado# en la dimen#i)n 5, e#to e#, la de lo# u*o#.

hora #e (uede (reguntar u!nto# uadrado# tiene un te#era to, e#to e#, el an!logo al u*o

en la uarta dimen#i)nB

H2 5 C 25 5D8 5 5 C 2<D8 L C A8

;o +ue #igni&i a +ue ha' 2< uadrado# en un te#era to. Se ontin a on el re#to de la#

dimen#ione#B

H2 < C 2< <D8 < 5 C KL

H2 K C 2K

KD8 K 5 C ALJ H2 L C 2L LD8 L 5 C <52

;a inter(reta i)n #e de6a al le tor.

ontinuamo# on la ter era magnitud m, e#to e#, la de lo# u*o#. ;a &un i)n (ro(ue#ta,

#iguiendo la #e uen ia, #eríaB

S5 n C 2n nD2 n-A D< n-2 DL

on #u &un i)n marginalB



H5 n C 2n nD<8 n-A n <

4or on#iguiente, #e (uede al ular &! ilmente el n mero de u*o# en la# (rimera# K

dimen#ione#, a#íB

H5 A C 2A AD<8 A-A A < C J

H5 2 C 22 2D<8 2-A 2 < C A

H5 5 C 25 5D<8 5-A 5 < C 7

H5 < C 2< <D<8 <-A < < C 52

E#to e#, un u*o #e &orma en la ter era dimen#i)n, #e re+uieren 8 u*o# (ara &ormar un

te#era to, ' ha' <J u*o# en un (entera to, el an!logo del te#era to en +uinta dimen#i)n, o

*ien, el hi(er u*o de la +uinta dimen#i)n. ontinuamo# on la# dimen#ione# #iguiente#B

H5 K C 2K KD<8 K-A K < C A2J

H5 L C 2L LD<8 L-A L < C <JJ

Si #e e#tira un u*o ha ia arri*a, #aliendo (or una de #u# ari#ta#, #e no# &ormar! la

$er#i)n a(lanada en la ter era dimen#i)n de un te#era to. on un (o o de imagina i)n #e

(odr! $i#ualizar +ue #e om(one de 8 u*o#, el ini ial, el &inal, ' lo# L +ue #e &orman

#aliendo (or ada uno de lo# lado# o uadrado# +ue on&orman la &igura. 4odemo# e#tudia

la# (rimera# 7 dimen#ione# del te#era to. omo ha*r!n imaginado la &)rmula ini ial #er!B

S< n C 2n nD2 n-A D< n-2 DL n-5 D8

Fonde el #u*índi e < denota la uarta magnitud m, e#to e#, la de lo# te#era to#. ;a

&un i)n marginal +ue #e deri$a de a+uí e#B



(rue*a al in&inito (odría #er re#uelta a tra$"# del límite de n ha#ta el in&inito en la

re#(e ti$a# &un ione#. Una manera #im(le de ilu#trar e#to e# re urrir a la 9&)rmula

generalizada: +ue #e de&ine omoB

Sm n C 2n nD2 n-A D< n-2 DL n-5 D8 ..... n- m-A D2m

Fonde m de*e #er ma'or +ue <, ' n ma'or +ue J.

;o# t"rmino# en m re(re#entan on#tante# +ue #e &i6an uando #e e# oge el ni$el de la

magnitud o trazo a on#iderar. on ello #on matem!ti amente generado# todo# lo# n mero#

entero# +ue a(are en en la &)rmula. hora *ien, #u(oniendo +ue m e# igual a n, (odemo#

#a*er u!nta# &igura# de la dimen#i)n orre#(ondiente a #u mi#ma magnitud e%i#ten (ara

todo# lo# hi(er u*o# de tama=o n ha#ta in&inito. l atar el #ím*olo m on el #ím*olo n

(odemo# de ir +ue, (ara todo m igual a n, e#to e#, en la diagonal de la matrizB

Sm n C 2n nD2 n-A D< n-2 DL n-5 D8 ..... n- n-A D2n

Sm n C 2n D 2n nDA n-A D2 n-2 D5 n-5 D< ..... ADn

O*#er$ando +ue la adena de 9ene#: de arri*a, e# id"nti a a la adena de 9ene#: de

a*a6o, tenemo# ne e#ariamenteB Sm n C 2n D 2n C A.

E#to #igni&i a, +ue #iem(re +ue m #ea igual a n, e# de ir, en el ni$el de la &igura

orre#(ondiente a la en"#ima dimen#i)n, #)lo $a a e%i#tir una &igura. En otra# (ala*ra#, #)lo

ha' un he%era to en la #e%ta dimen#i)n, #)lo ha' un he(tera to en la #"(tima dimen#i)n, '

a#í #u e#i$amente ha#ta llegar a in&inito. E# l)gi o adem!# +ue, en la matriz, de*a6o de la

diagonal de#de la dimen#i)n A ha#ta la n-A, no #e &orme ninguna &igura. 4ro*"mo#loB



Sm n-A C 2n-A n-A D2 n-2 D< n-5 DL n-< D8 ..... P n-A - m-A D2mQ

hora, re ordando +ue m e# un n mero &i6o +ue hemo# #u(ue#to igual a nB

Sm n-A C 2n-A n-A D2 n-2 D< n-5 DL n-< D8 ..... P n-A - n-A D2nQ

;o ual e# e$identemente J al re#tar n-A de #í mi#mo en el ltimo t"rmino. El re#to de

lo# !l ulo# (ara llenar una matriz ual+uiera m (or n #e realizaría a tra$"# de la &)rmula

generalizada, d!ndole lo# $alore# re#(e ti$o# a m ' a nB

Sm n C 2n

nD2 n-A D< n-2 DL n-5 D8 ..... n- m-A D2m

Una r!(ida in#(e i)n, 6unto on lo +ue 'a hemo# de# u*ierto #o*re #u# (ro(iedade#,

no# (ermite en ontrar la #iguiente &)rmula e+ui$alente, +ue al mi#mo tiem(o elimina la

mole#ta re#tri i)n de +ue / tenga +ue #er ma'or +ue <.

Sm n C 2n-/ n/

e# el #ím*olo ha*itual (ara la# om*ina ione# de n en /. Se re+uiere +ue n #ea ma'or

+ue J, ' ma'or o igual +ue /. E#ta ltima re#tri i)n e# ne e#aria (ara +ue #e (uedan

utilizar la# om*ina ione# , #in +ue +ueden inde&inida#.

Fi ha &)rmula &ue reada (or . S. M. o%eter (ara re#ol$er el (ro*lema de )mo

on#truir todo# lo# hi(er u*o# de dimen#i)n n, lo +ue #ir$e (ara $eri&i ar, (or una &uente

e%terna, lo# re#ultado# 'a o*tenido# o%eter, A <8 .

3o# +ueda, (or ltimo, el in&inito. #te #e u*i a en el e%tremo in&erior dere ho de una

matriz in&initamente grande, (or lo +ue (are e im(o#i*le de al ular. 4ero omo 'a



#a*emo# +ue la matriz tiene uno# en toda la diagonal, ' ero# de*a6o de la diagonal,

enton e#, #e (uede e#(e ular on *a#tante #eguridad, +ue el $alor u*i ado en el (unto n,m

uando n ' m tienden a in&inito e# de A. #í +ue #)lo ha' una &igura +ue um(le la#

ondi ione#. 4ue#to +ue tal &igura tiene, a(arentemente, in&inito n mero de toda# la# &igura

in&eriore#, #e (uede e#(e ular +ue #e trata de una e#&era n-dimen#ional. El )mo #e (ueda

alguien imaginar una e#&era n-dimen#ional #uena mi#terio#o, aun+ue (are e laro +ue no

tendría ninguna irregularidad, (ue#to +ue #ería (er&e tamente igual $i#ta de#de toda# la#

dire ione#, de &orma +ue #i #e le girara +uedaría e%a tamente igual ' no #e le (odrían $er

(rotu*eran ia#, $"rti e# o e#+uina# en ninguna (er#(e ti$a. #ta e#, en nue#tra o(ini)n, una

*uena imagen de una e#&era n-dimen#ional no on&undirla on una e#&era om n .

- LAS N DIMENSIONES EN LA ESTAD)STICA A"LICADA

- + DESCRI"CI(N DEL TESERACTO

En e#ta #egunda (arte no# o u(aremo# de la im(ortan ia de la# &igura# de n dimen#ione# en

la e#tadí#ti a a(li ada. 3o# entraremo# en el te#era to, aun+ue #e (uede ontinuar el

an!li#i# (or analogía a otro# ni$ele# dimen#ionale#.

4rimero, a#ignaremo# #ím*olo# e+ui$alente# a olore# a lo# o ho u*o# del te#era to.

El (rimer u*o o uarto #er! M morado , lo# #ei# +ue re(re#entan la# #alida# a lo# uarto#

ontiguo# (ara ada (ared #er!nB V $erde , m amarillo , azul , T *lan o , R ro6o '

3a naran6a . V e# la (are6a ontraria de , T e# la (are6a ontraria de m, ' R la (are6a

ontraria de 3a, e#to e#, $an en dire ione# o(ue#ta#. El ltimo u*o #er! el u*o de#tino 3

negro , #)lo a e#i*le de#de lo# L intermedio#.



a#ta la ter era dimen#i)n #e a o#tum*ra utilizar al e#(a io &í#i o omo una dire i)n

an!loga, e#to e#B dere ha-iz+uierda, arri*a-a*a6o, ' &rente-atr!#. ;o +ue orre#(onde a la#

dire ione# a o#tum*rada# en un gr!&i o tridimen#ional. a*e ad$ertir +ue e#to (odría #er

di#tinto, (ue#to +ue e# &a ti*le u#ar $aria# dire ione# tem(orale#. 3o o*#tante, (ara

mantenerno# en un onte%to ono ido, re#(etaremo# e#te orden ha*itual.

Introdu imo# al tiem(o omo la uarta dimen#i)n, de tal manera +ue el u*o M e#taría

en el tiem(o original, ' el u*o 3 en el tiem(o &inal >igura A . Fenotaremo# e#to (or el

tiem(o J ' el tiem(o A, o *ien, el tiem(o (re#ente ' el tiem(o &uturo. O*#"r$e#e +ue de#de

e#ta (er#(e ti$a no ha' limita ione# (ara regre#ar#e en el tiem(o (ue#to +ue #)lo e#tamo#

de# ri*iendo una &igura te)ri a, de tal manera +ue no tenemo# la# limita ione# ha*ituale#

del e#(a io-tiem(o de Ein#tein +ue #)lo &lu'e en a(arien ia en una dire i)n del (a#ado

al &uturo . 3o o*#tante, (or lo dem!#, el tiem(o &un iona de la manera u#ual, (ermitiendo

introdu ir el mo$imiento de lo# o*6eto# +ue #e en ontrarían en la uarta dimen#i)n.

Re u"rde#e +ue ha#ta la ter era dimen#i)n no (odría e%i#tir mo$imiento en a*#oluto (ue#to

+ue no ha*ría $aria*le tiem(o, #)lo tendríamo# o*6eto# 9 ongelado#:B (en#ar en o*6eto# +u

#e mue$en 9#)lo: en la# tre# (rimera# dimen#ione# de*e entender#e en t"rmino# #im(li#ta#.

>igura AFiagrama del te#era to $i#to de#de M ha ia 3



El u*o o uarto M re(re#enta la $aria*le (rin i(al en el tiem(o original. 4ara a'udar a

la om(ren#i)n $amo# a identi&i arlo on la $aria*le Ingre#o. En e#e uarto, on a'uda deuna (er#(e ti$a (lana o un #o&t are +ue no# di*u6e di ho uarto, (odemo# in luir toda la

e#tadí#ti a de# ri(ti$a *!#i a de di ha $aria*le. 4or e6em(lo #u hi#tograma, un diagrama

+ue no# mue#tre la nu*e de dato# (ara lo# di&erente# #u6eto# +ue tengan ingre#o (odem

imaginar +ue #on AJJ , u#ar gr!&i o# +ue no# mue#tren la $aria*ilidad, et ., de manera

an!loga a )mo lo ha emo# en una ho6a (lana. ;a $aria*le Ingre#o (odría aumentar en la

dire i)n +ue no# intere#e (ara ada (er#(e ti$a5. 3o ha' (ro*lema #i la $aria*le #e di*u6a

(or inter$alo# o de manera ontinua, e#to e#, (odemo# a6u#tar ur$a# de (ro*a*ilidad

te)ri a a lo# dato#, o *ien om(arar nue#tro# dato# on la normal.

;o mi#mo #e (uede ha er en el re#to de lo# uarto#, re ordando +ue el tiem(o original '

&inal e# el de&inido (or la $aria*le Ingre#o. Fe tal manera +ue, (or e6em(lo, en el uarto V,

+ue (odría orre#(onder a la $aria*le 9 i(o de Em(leo:, (odríamo# di*u6ar toda# la#

e#tadí#ti a# de# ri(ti$a# (ara el tiem(o J. am*i"n e# (o#i*le u#ar el tiem(o A, o un

* +ab"amos dic o que el ingreso se mide desde aba o ' acia arriba. Peroestando dentro del cubo - podemos cambiar libremente los e es, sin causarproblemas a la interpretación del teseracto.



(romedio de lo# do# tiem(o#, (ue#to +ue de a*a6o ha ia arri*a e#taríamo# midiendo el

tiem(o. 3o #e generaría ninguna on&u#i)n de $aria*le# #iem(re +ue #e tenga (re#ente +ue

en ada (ared una longitud (uede e#tar midiendo tanto la $aria*le in$olu rada omo el

tiem(o. Fe la mi#ma manera +ue lo (odemo# ha er en un gr!&i o *idimen#ional u#ual, en

donde la $erti al (uede medir #imult!neamente el tiem(o ' la &re uen ia de la $aria*le

in$olu rada, in lu#o on $ario# tiem(o# ' am*io# de e# ala en el mi#mo gr!&i o #iem(re

+ue #e e#(e i&i+ue el (atr)n o olor +ue orre#(onde a ada línea, trazo o ur$a. S)lo el

o ta$o u*o, denotado a+uí omo 3, #ería di&erente en el #entido de +ue tendría +ue

orre#(onder a la $aria*le Ingre#o en el tiem(o &inal A.

En uanto a la geometría, ha' +ue re ordar +ue del uarto original #e (uede #alir (or

ual+uiera de la# (arede# a ada una de la# L $aria*le# ad'a ente#, ' #i #e ontin a en la

mi#ma dire i)n, en el #iguiente (a#o #e llega ne e#ariamente al u*o 3 ' (or tanto al

tiem(o A (or #er el o(ue#to al u*o M. 4ue#to +ue arri*a ' a*a6o e#t!n lo# uarto# M ' 3,

(uede (are er +ue no ha' a e#o entre ello#, (ero e#o #e remedia am*iando de (er#(e ti$a

el te#era to. dem!#, #i #alimo# del uarto V ' ontinuamo# en la mi#ma dire i)n un (a#o

m!#, no# en ontraremo# en el uarto ontrario a V, en e#te a#o el , ' e#taremo#

e%a tamente en el mi#mo tiem(o +ue #e ha'a de&inido de a uerdo al (!rra&o anterior. E#to

e#, lo# L uarto# ad'a ente# e#t!n e%a tamente en el mi#mo tiem(o, o en 9re*anada# del

tiem(o J al tiem(o A: >igura 2 #i #e +uiere de ir de una manera m!# (re i#a. 4or &in, #i

ontinuamo# en la mi#ma dire i)n, regre#aremo# al uarto M, en el tiem(o J original.

>igura 2El e#era to $i#to de#de el uarto V



Otra (o#i*le de# ri( i)n geom"tri a, +ue de he ho (are e id"nti a, #e (uede ha er

imaginando +ue en ada mo$imiento de uarto a uarto el u*o #e de#(laza J grado# en la

mi#ma dire i)n. En el u*o original el tiem(o #e mide de a*a6o ha ia arri*a, ' tomando la

(er#(e ti$a orre ta, en lo# L u*o# ad'a ente# e#taríamo# $iendo el tiem(o 9re*anado:

de#de J ha#ta A. 4odemo# imaginar un relo6 +ue indi a el tiem(o en ada re*anada ' +ue del

tiem(o J al A (a#an AJ minuto#, enton e# en ada una de la# AJ re*anada# de lo# L u*o#

(odríamo# $er +ue el relo6 $a mar ando el minuto A, el minuto 2, ' a#í #u e#i$amente ha#ta

llegar a la ltima re*anada +ue mar aría el minuto AJ. Fe re(ente (uede (are er +ue no e#

a#í, (or+ue e$entualmente no# en ontraríamo# de a*eza, (ero el tru o e#t! en $ol$er#e a

olo ar en la (er#(e ti$a orre ta $iendo el tiem(o J en el (i#o, ' el tiem(o AJ en el te ho.

El u*o 3 e#tar! en A8J grado# ' (or tanto en AJ minuto# ' el u*o M en 5LJ grado# ' (or

tanto en el tiem(o J. E#to ilu#tra el u#o del tiem(o en el te#era to, a#í +ue no re+uerimo#

ono er lo# $alore# de la# $aria*le# en ada uno de lo# AJ minuto#, #ino +ue no# *a#tar! on

do# $alore# del Ingre#o o un #)lo $alor tem(oral en lo# L u*o# ad'a ente#.

- - UTILIDAD "ARA LA ESTAD)STICA A"LICADA



E#ta ue#ti)n #er! om(li ada (or+ue no# $eremo# o*ligado# a am*iar lo# gr!&i o# de

(er#(e ti$a. 4ero, en (rin i(io, tomada# la# de*ida# re#er$a#, la re(re#enta i)n (are e

(o#i*le ' e&i az.

a #a*emo# +ue el uarto ini ial M e#t! one tado on #u# #ei# ad'a ente#. omemo#,

(or e6em(lo, el amino $erde ' miremo# ha ia la (ared del olor re#(e ti$o. En tal (ared

(odríamo# olo ar, (ara em(ezar, el gr!&i o de di#(er#i)n entre M ' V en el a=o ini ial. Si

e#t!n orrela ionado# (o#iti$amente tendremo# una *onita imagen de la nu*e de (unto#

entre la# do# $aria*le#. E#to e# $!lido (ara toda# la# L (arede# (o#i*le#. am*i"n (odríamo#

in luir el oe&i iente de orrela i)n de 4ear#on (ara tener un $alor matem!ti o a#o iado,

o*$iamente R 2 medir! la alidad del a6u#te en t"rmino# del (or enta6e de la $arianza

e%(li ada. 4or analogía lo mi#mo #ería $!lido (ara el u*o negro en el tiem(o &inal.

am*i"n (odríamo# olo ar en la# (arede# lo# gr!&i o# de di#(er#i)n orre#(ondiente# (ara

el tiem(o (romedio, #iem(re +ue indi+uemo# on laridad lo +ue e#tamo# ha iendo. En &in,

la# (arede# (odrían u#ar#e omo (antalla# &le%i*le# +ue #e (ueden #u#tituir on el u#o de

#o&t are ade uado, #im(lemente olo ando un *ot)n o men +ue no# (ermitiera a eder al

gr!&i o +ue ne e#itamo#, re#(etando la geometría orre#(ondiente.

Si (a#amo# al ni$el en +ue e#t!n la# L $aria*le# inde(endiente#, ha*ría L (arede# en ada

uarto, (or e6em(lo el $erde, +ue no# mo#trarían arri*a ' a*a6o lo# mi#mo# diagrama# de

di#(er#i)n tem(orale# 'a men ionado#, ' en la# < (arede# re#tante# la# $aria*le# +ue e#t!n

dire tamente ad'a ente#. Fe nue$o, allí (odríamo# olo ar lo# gr!&i o# de di#(er#i)n

re#(e ti$o#, +ue ahora om(aran, ada uno, 2 $aria*le# inde(endiente#. ;a# $aria*le#

&altante# #e (ueden a eder dando 2 (a#o# en ual+uier dire i)n (ara llegar al uarto

o(ue#to, donde (odríamo# olo ar el gr!&i o de di#(er#i)n orre#(ondiente. 4ara el



#o&t are #e olo aría un *ot)n +ue no# indi aría +ue e#tamo# $iendo la one%i)n entre

uarto# o(ue#to#, +ue en realidad no #on ad'a ente#. on imagina i)n #eguramente #e

(odrían di#e=ar m!# gr!&i a#, re ordando +ue toda# la# L $aria*le# inde(endiente# e#t!n en

el mi#mo tiem(o o un (romedio del tiem(o ini ial ' &inal #i u#amo# ta#a# de re imiento .

emo# e#tado tra*a6ando on L $aria*le# inde(endiente#. hora re#ultar! m!# laro +ue,

en un e6em(lo ara terí#ti o, e# me6or tra*a6ar #)lo on 5, u#ando la# $aria*le# de lo#

uarto# o(ue#to# omo $aria*le# 9e#(e6o:, e#to e#, du(li !ndola#. on ello #eguiremo#

$i#ualizando al te#era to, on #u# 8 u*o# om(leto#, ' mantendremo# en toda# la# (arede#

lo# diagrama# de di#(er#i)n. 4or #u(ue#to +ue lo# gr!&i o# +ue e#t!n en lo# uarto# o(ue#to

en tiem(o# iguale# #er!n (unto# olo ado# en <K grado# #o*re la diagonal ' no tendr!n

#igni&i ado e#tadí#ti o alguno (or tratar#e de la mi#ma $aria*le, (ero en om(en#a i)n, no

rom(eremo# la e#tru tura de la &igura. l e%(erimentar on e#to notaremo# +ue a $e e# lo#

e6e# de lo# uarto# #e tienen +ue modi&i ar de dire i)n, e#to e#, #e tienen +ue (oner omo

re iente# o de re iente# #eg n on$enga (ara +ue #e (ueda a(re iar la &igura orre ta, (ero

e#to# #on (ro*lema# de (ura (er#(e ti$a, on lo# +ue #e re+uiere lidiar (ara rom(er on

nue#tra o#tum*re de $er #)lo gr!&i o# (lano#. Fe manera #imilar (odemo# tra*a6ar on 2, <

o K $aria*le# inde(endiente#, u#ando la# $aria*le# 9e#(e6o: omo relleno.

emo# $i#to +ue el tiem(o tran# urre de#de el u*o M ha ia el u*o 3, adem!# de +ue

hemo# e%(li ado (or +u" en (rin i(io #e tiene +ue u#ar #)lo un e6e de ar! ter tem(oral.

E#ta (er#(e ti$a e# mu' $enta6o#a (or+ue (odremo# $er la e$olu i)n de la $aria*le

de(endiente, en e#te a#o el ingre#o, no #)lo de#de #u re#(e ti$o uarto, #ino +ue uando

unamo# el uarto ini ial on el uarto &inal, (odremo# di*u6ar la tra'e toria de la nu*e de

dato# de la $aria*le ingre#o de#de el tiem(o ero ha#ta el tiem(o A de &orma an!loga al



tiem(o normal. Fe he ho, #i tu$i"ramo# lo# dato# ontinuo# de todo# lo# momento#

(odríamo# $er el mo$imiento de la $aria*le (a#o a (a#o, lo +ue olo ado en un e#(a io de

tre# dimen#ione#, e# el e+ui$alente a una (elí ula o li( de $ideo +ue (uede (er&e tamente

#er $i#ualizado on la a'uda de una om(utadora. 4or analogía, (odríamo# ha er lo mi#mo

on toda# la# dem!# $aria*le# im(li ada# en el (ro*lema. Una (re#enta i)n m!# #im(le #e

(odría ha er on ta#a# de re imiento, o on &le ha# +ue $in ulen el tiem(o original ' &inal.

hora *ien, no# hemo# on entrado en el e%terior del te#era to, (ero realmente, uando

lo# 8 u*o# del te#era to #e en$uel$en on&orman un e#(a io de < dimen#ione# +ue tam*i"n

(odemo# intentar $i#ualizar. En (rin i(io #ería im(o#i*le $er dire tamente todo lo +ue e#t!

#u ediendo dentro del te#era to (ero ello no im(ide +ue (odamo# ha erno# una *uena idea

de )mo utilizarlo (ara la e#tadí#ti a a(li ada. ;a $i#ualiza i)n de la# L $aria*le#

inde(endiente# e# (r! ti amente im(o#i*le, e% e(to +ue u#emo# t" ni a# de

9a(lanamiento: tal omo la de om(onente# (rin i(ale# (ara (oder redu ir la

dimen#ionalidad.

4ero en el a#o de 5 $aria*le# inde(endiente# (are e (o#i*le ha er la $i#ualiza i)n. En el

e#(a io interno del te#era to (odremo# $er )mo ada $aria*le #e de#(laza de#de el tiem(o

J ha#ta el tiem(o A dentro de un e#(a io tridimen#ional. Si no tenemo# dato# tem(orale#

ontinuo#, omo e# lo ha*itual, de todo# modo# (odremo# #imular la uarta dimen#i)n

on#iderando +ue la ta#a de re imiento e# on#tante, ' mo#trando el re orrido lineal +ue

ada gru(o de 5 $aria*le# ha e en el e#(a io tridimen#ional, de nue$o, a la manera de una

(elí ula o li( de $ideo. ada (unto orre#(onde on un $e tor de 5 dimen#ione# +ue

de&ine el e#(a io (re i#o orre#(ondiente (ara ual+uier #u6eto n dado, o*teniendo un (unto

(ara el $alor ini ial ' (ara el $alor &inal tem(oral, lo# uale# #e (ueden unir (ara mo#trar la



tra'e toria. Fe nue$o, #i #e +uiere mo#trar e#to de &orma m!# tri$ial #e (odría #im(lemente

gra&i ar (or ta#a# de re imiento, orre#(ondiendo ada ta#a a un (unto en 5 dimen#ione#,

+uedando la $aria*le tem(oral im(lí ita. ;o im(ortante e# tomar uenta de +ue #i

tu$i"ramo# todo# lo# dato# ne e#ario# (odríamo# $i#ualizar todo de una manera mu ho m!#

(re i#a en el e#(a io de < dimen#ione# del te#era to, +uedando *a#tante laro +ue la uarta

dimen#i)n tendría un ar! ter tem(oral +ue e%(li aría todo# lo# mo$imiento#, lo ual no era

tan e$idente en el (rin i(io del (re#ente en#a'o.

omo lo di ho en el (!rra&o anterior tam*i"n #e (uede ha er (ara la $aria*le

de(endiente, ' hemo# de&inido de manera on$eniente el tiem(o de#de a*a6o ' ha ia arri*a

del te#era to, (odríamo# olo ar en la mi#ma gr!&i a tridimen#ional al ingre#o ' #u

mo$imiento de#de el tiem(o ini ial ha#ta el tiem(o &inal. #í tendríamo# en el mi#mo

gr!&i o a la# $aria*le# inde(endiente# ' la# de(endiente#, #i *ien, ne e#itaríamo# alg n

a(o'o in#trumental adi ional (ara (oder $in ular ada o*#er$a i)n on #u #u6eto, #u# tre#

$aria*le# inde(endiente# en el e#(a io de tre# dimen#ione#, ' el ingre#o orre#(ondiente.

omo $imo# en el (!rra&o anterior e#to #e (uede $i#ualizar de &orma a(ro%imada en uarta

dimen#i)n (or medio del mo$imiento de la# $aria*le#, en u'o a#o (odríamo# utilizar

&ra ione# on$eniente# de tiem(o (ara mo$er #imult!neamente a la# 5 $aria*le#

inde(endiente# ' a la de(endiente >igura 5 .

>igura 5e#era to +ue de&ine el mo$imiento en la <ta dimen#i)n



E#to lo imaginamo# de &orma an!loga a un e&e to de ortina o (ro&undidad dentro de u

li( de $ideo, mo$i"ndo#e de iz+uierda a dere ha, introdu iendo la# o*#er$a ione# en un

orden (redeterminado, omo (odría #er (or tama=o a# endente del ingre#o. (are erían do#

(unto# (or ada o*#er$a i)n en el e#(a io tridimen#ional, uno (ara la# 5 $aria*le#

in$olu rada#, ' otro (ara la $aria*le de(endiente, (ara ada tiem(o. Se (uede in luir el

n mero de unidade# de tiem(o +ue #e de#ee #u(oniendo linealidad, o re urrir a una #erie de

tiem(o on 9t: o*#er$a ione#.

al $ez on ma'or imagina i)n ' reati$idad #e (uedan di#e=ar gr!&i o# me6ore#, una

$ez +ue hemo# om(rendido me6or la e#tru tura del (ro*lema. En a#o ne e#ario, #e (odría

#im(li&i ar utilizando ta#a# de re imiento en lugar de mo$imiento ' tiem(o, lo im(ortante

e# tomar on# ien ia de la naturaleza de mo$ilidad ' tem(oralidad de la# $aria*le#

in$olu rada#, +ue en $i#ta de nue#tra o#tum*re de gra&i ar e#ta# ue#tione# en t"rmino#

(lano# no (odíamo# en (rin i(io om(render.

CONCLUSI(N



;a &orma i)n de &igura# geom"tri a# de n dimen#ione# #e (uede entender en t"rmino# de

#erie# matem!ti a# +ue (ueden #er lle$ada# ha#ta el in&inito. E# (o#i*le e#(e i&i ar una

&)rmula, de*idamente $eri&i ada, +ue da uenta de )mo #e om(one ada &igura de la

dimen#i)n n on *a#e en &igura# de dimen#ione# in&eriore#, (ara toda# ' ada una de e#a

dimen#ione#. un+ue la de# ri( i)n no e# om(leta, (ue#to +ue &alta om(render #u

e#tru tura interna ' #igni&i ado (r! ti o, #e tiene una *uena *a#e (ara realizar tal

om(ren#i)n en ual+uier dimen#i)n n.

El e#tudio del te#era to en t"rmino# geom"tri o# en la uarta dimen#i)n, (ermite a(li ar

una analogía ontundente on 5 dimen#ione# e#(a iale# ' una dimen#i)n tem(oral. E#

(o#i*le om(render la &igura +ue #e o*tiene en t"rmino# #u&i ientemente riguro#o#, ' ello

no# *rinda una *a#e (ara realizar e#tadí#ti a de# ri(ti$a ' a(li ada a ni$el de 2 ha#ta 8

$aria*le#. ;a me6or analogía #e o*tiene uando ha' 5 $aria*le# inde(endiente# ' una

$aria*le de(endiente, #iendo (o#i*le agregar el tiem(o a la de# ri( i)n. Se mue#tra +ue e#

&a ti*le di#e=ar un (rograma de )m(uto +ue utili e lo# 8 u*o# e%terno# del te#era to

omo e+ui$alente# a ha*ita ione# o 9 uarto#:, de#de lo# uale# #e (ueden realizar

de#(lazamiento# ' am*io# de $aria*le +ue #on (oten ialmente tile# (ara la de# ri( i)n '

e%(li a i)n de $aria*le# reale#.

>inalmente, #e realiza un (rimer a er amiento a la om(ren#i)n del e#(a io-tiem(o de <

dimen#ione# +ue #e &orma dentro del te#era to ' )mo e#to #e rela iona on la# $aria*le# en

mo$imiento. Fe he ho, en ter era dimen#i)n no #ería (o#i*le ha*lar de mo$imiento en

#entido e#tri to, #)lo uando #e om(rende la uarta dimen#i)n di ho mo$imiento

9a(are e:. El tiem(o #e (uede u#ar de &orma mu' li*re en gr!&i o# tridimen#ionale# +ue

ontengan una #ola dire i)n tem(oral, adonde ada (unto e# de&inido (or tre# $aria*le#



inde(endiente# 'Do (or una $aria*le de(endiente, la a#o ia i)n entre tale# (unto# #e (uede

$i#ualizar a la manera de un li( de $ideo. am*i"n #e (ueden u#ar gr!&i o#

tridimen#ionale# +ue in lu'an &le ha# +ue a#o ien la# $aria*le#, (ero en tal a#o la

$i#ualiza i)n #e ha e m!# di&í il. ;a utiliza i)n de ta#a# de re imiento on#tante entre el

(eríodo ini ial ' &inal #im(li&i a el (ro*lema, aun+ue no lo re#uel$e, (or lo +ue el u#o del

te#era to (uede #er no #)lo til, #ino (arte integral de una $i#ualiza i)n aut"nti a.

REFERENCIAS

nder#on, . . A 8< . An introduction to Multivariate analisys . 3e or/, US B ile' Son#.

o%eter, . S. M. A <8 . Regular polytopes . ;ondre#, EnglandB Methuen ' o. ;td., (!g.

A2J.

Gardarin , G. A 87 . Bases de datos . Madrid, E#(a=aB 4aranin&o.

Gel&and, I. M. A < . Discriminants, resultants, and multidimensional analisys . 3e or/,

US B ile' Son#.

Wonathan, R. 2JA< . Multivariate methods for the statistical analysis of hyperdimensional

high-content screening data . Ma##a hu#ett#, US B Ma##a hu#ett# In#titute o&

e hnolog'.

Wone#, . R. et al. 2JJ8 . ell4ro ler nal'#tB data e%(loration and anal'#i# #o&t are &or

om(le% image-*a#ed # reen#. BMC Bioinformatics , , <82.

3orte# he a, . A 77 . Estadística teorica y aplicada . Turgo#, E#(a=aB S. Rodríguez.



Oli$i- ran 3. 2JJ . 3umeri al Stud' o& the nti&erromagneti I#ing Model in

'(erdimen#ion#. Adv. tudies !heor. "hys ., 5 A2 , <8A-<88.

S hmid, . >. A K< . #and$oo% of graphic presentation . 3e or/, US B Ronald 4re##.

Sri$a#ta$a, M. S. ' arter, E.M. A 85 . An introduction to applied multivariate statistics .

m#terdam, ollandB 3orth- olland.

Uni$er#idad de Valen ia,Contenedor hipermedia de estadística aplicada a las ciencias

econ&micas y sociales. Valen ia, E#(a=a, Fire i)n de internetB

htt(BDD .u$.e#D ea e#D.

Figuras geométricas y espacios dimensionales

Documents

Transcript of Figuras geométricas y espacios dimensionales