UNIDAD 9

FIGURAS GEOMETRICAS PLANAS

Objetivo General

Al terminar esta Unidad entenderás y aplicaras los

conceptos generales de las figuras geométricas planas,

y resolverás ejercicios y problemas con figuras

geométricas planas.

Objetivos específicos:

1. Recordaras la definición de ángulos, los tipos de ángulos 2. Recordaras la definición de paralelismo y perpendicularidad 3. Recordaras la definición de triángulo, los tipos de triángulos 4. Entenderás la igualdad y semejanza de los triángulos 5. Recordaras la definición de bisectriz, mediatriz, mediana y altura. 6. Recordaras los cuadriláteros y paralelogramos 7. Recordaras los polígonos, su definición y clasificación 8. Recordaras la circunferencia, el círculo y sus características

O B

A

Figura 1

Objetivo 1. Recordaras la definición de ángulos y los tipos de ángulos Se denomina ángulo a la abertura entre dos rectas que se encuentran. Las dos rectas que

se encuentran se llaman lados del ángulo, y el punto en que se encuentran, vértice de

ángulo.

Un ángulo puede nombrarse por tres letras, una escrita en cada uno de los lados, y la

otra en el vértice. La del vértice se nombra entre las otras dos: ángulo AOB. (Fig. 1)

Medida de los ángulos:

La unidad de medida para los ángulos es 1/360 de un perígono y se llama grado.

Se divide en 60 minutos, y el minuto en 60 segundos. La notación 5˚,13’,12” significa

cinco grados, trece minutos, doce segundos.

Paralelismo:

Dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas cuando no se cortan y, por

tanto, las parejas de puntos más próximos de ambas guardan siempre la misma

distancia.

Dos planos son paralelos cuando no se cortan y, también, los puntos más

próximos de ambos guardan siempre la misma distancia.

Teorema:

Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos-internos

son iguales.

Teorema:

Si dos rectas situadas en un mismo plano forman con una recta transversal

ángulos alternos-internos iguales, esas dos rectas son paralelas

Teorema:

Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos correspondientes

son iguales. (Fig. 2).

Fig. 2

Perpendicularidad:

Sean a y b dos rectas que se cortan. Las semirrectas de estas rectas forman

cuatro ángulos. Sea α uno de estos ángulos. Cualquiera de los tres ángulos restantes será

entonces adyacente del ángulo α o vertical del ángulo α. De aquí se deducen que signo

de los ángulos es recto, también son rectos los demás ángulos. En este caso decimos que

las rectas se cortan en ángulo recto y las denominamos perpendiculares. (Fig. 3).

Fig. 3 Tipos de ángulos Clasificación de los ángulos según su medida Ángulo recto:

Un ángulo igual a 90 grados se llama recto. (Fig. 4).

Fig. 4

Ángulo llano:

Es el ángulo formado por dos semirrectas opuestas. Tiene sus lados en la misma

recta. Su amplitud es la mitad de un ángulo completo, es decir, de 180º. (Fig. 5).

Fig. 5

Ángulo Obtuso:

Es el ángulo que mide más de 90º pero menos de 180º. (Fig. 6).

Fig. 6 Ángulo agudo:

Es el que mide menos de 90º. (Fig. 7).

Fig. 7

Clasificación de los ángulos según su suma

Ángulos adyacentes:

Se llaman adyacentes si tienen un lado común y sus otros lados son semirrectas

complementarias. Los ángulos (a1b) y (a2b) son adyacentes. (Fig. 8).

B

O

A

A

O

B 90°

Fig. 8 Teorema:

La suma de ángulos adyacentes es igual a 180 grados, y se deduce que si dos ángulos son iguales, también son iguales sus ángulos adyacentes. Ángulos verticales:

Dos ángulos se llaman verticales si los lados de un ángulo son semirrectas complementarias de los lados del otro. Teorema:

Los ángulos verticales son iguales. Ángulos congruentes:

Dos ángulos son congruentes si sus medidas son iguales. (Fig. 9).

Fig. 9 Ángulos complementarios:

Dos ángulos son complementarios, y cada uno es complemento del otro, cuando

su suma es un ángulo recto. (Fig. 10).

Fig. 10 Ángulos suplementarios:

Dos ángulos son suplementarios, y cada uno es el suplemento del otro cuando su

suma es igual a dos ángulos rectos, es decir 180ْْ. (Fig. 11).

a1

A

a2

b

Fig. 11 Propiedades de los ángulos suplementarios 1.-La suma de dos ángulos adyacentes que una recta forma con otra es igual a dos rectas. 2.-Si la suma de dos ángulos adyacentes es igual a dos ángulos rectos, los lados no comunes están en línea recta. Ángulos opuestos por el vértice:

Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno son prolongaciones de los lados del otro.

Los ángulos x y z son opuestos por el vértice, y también los ángulos w e y. (Fig. 12).

Fig. 12 Ángulos formados por una transversal:

Si XY corta AB y CD los ángulos a, d, f, g se llaman ángulos internos; los b, c,

h, e, ángulos externos.

Tomados en pares, d y f, a y g, se llaman ángulos alternos-interno; b y h, c y e, alternos-externos; b y f, c y g, e y a, h y d, correspondientes. (Fig. 13).

Fig. 13

Ángulos correspondientes con lados paralelos o con lados perpendiculares Proporciones Teorema de Tales:

Si los segmentos determinados en una transversal por tres o más paralelas son

iguales, también son iguales los determinados en cualquier otra transversal por las mismas paralelas. (Fig. 14).

Fig. 14

Objetivo 2.Recordaras la definición de triángulo, los tipos de triángulos Definición de Triángulo:

Se llama triángulo al espacio delimitado por tres rectas que se cortan. Clasificación de los triángulos según sus lados Escaleno: Cuado sus tres lados son desiguales. (Fig. 15).

Fig. 15 Isósceles: Cuando dos de sus lados son iguales. (Fig. 16).

Fig. 16 Equilátero: cuando sus tres lados son iguales. (Fig. 17).

Fig. 17 Clasificación de los triángulos según sus ángulos Rectángulo: Cuando tiene un ángulo recto. (Fig. 18).

Fig. 18 Obtusángulo: Cuando tiene un ángulo obtuso. (Fig. 19).

Fig. 19 Acutángulo: Cuando sus tres ángulos son agudos. (Fig. 20).

Fig. 20 Oblicuángulo: Cuando no es rectángulo. En la siguiente imagen se forman dos triángulos oblicuángulos ABD y BCD. (Fig. 21).

Fig. 21 Equiángulo: Cuando sus ángulos son iguales. (Fig. 22).

Fig. 22 Ejemplos 1. Escribe el nombre de los siguientes triángulos de acuerdo a su clasificación por lados

a) b) c) a) Equilátero b) Isósceles c) Escaleno 2. Escribe el nombre de los siguientes triángulos de acuerdo a su clasificación por sus ángulos

a) b) c)

a) Rectángulo b) Obtusángulo c) Acutángulo

Objetivo 3.Entenderás la igualdad y semejanza de los triángulos

Semejanza de Triángulos

Se llaman triángulos semejantes a los triángulos que tienen sus ángulos respectivamente congruentes, y sus lados homólogos son proporcionales.

La relación de semejanza se denota con el símbolo ~, de esta manera la expresión ∆ABC~ ∆A´B´C se lee: “el triángulo es semejante al triángulo ABC es semejante al triángulo A prima, B prima, C prima”. (Fig. 23).

Fig. 23

Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes. Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido. Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales Teorema de Pitágoras:

El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo –rectángulo es equivalente a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos. (Fig. 24).

Fig. 24

Objetivo 4. Recordaras la definición de bisectriz, mediatriz, mediana y altura. Bisectriz:

La bisectriz de un ángulo en general y de un ángulo de un triángulo, es la semirrecta que biseca el ángulo, es decir, divide el ángulo en dos ángulos congruentes. (Fig. 25).

Fig. 25 Mediatriz:

La mediatriz de un lado de un triángulo (y en general de un segmento de recta), es la recta perpendicular a ese lado en su punto medio. (Fig. 26). Fig. 26 Mediana:

La mediana de un triángulo, es el segmento de la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. (Fig. 27).

Fig. 27 Altura:

La altura de un triángulo es el segmento de recta perpendicular que se traza desde un vértice al lado opuesto (o a la prolongación de éste). (Fig. 28).

Fig. 28 Circuncentro:

Se llama circuncentro al punto de intersección de las mediatrices de los lados de un triángulo. El circuncentro es el centro de la circunferencia que contiene a los tres vértices de triángulo. (Fig. 29). Fig. 29 Baricentro:

Se llama baricentro (gravicentro o centroide) al punto de intersección de las medianas de un triángulo. El baricentro es el centro de gravedad, es decir, el punto donde está aplicado todo el peso de un cuerpo de forma triangular cuya masa está uniformemente distribuida; de tal manera que el cuerpo estará en equilibrio si se apoya en el baricentro. (Fig. 30).

Fig. 30 Incentro:

Se llama incentro el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en un triángulo, es decir, la circunferencia interior que es tangente a los tres lados del triángulo. (Fig. 31).

Fig. 31 Ortocentro:

Se llama ortocentro al punto de intersección de la alturas (o de sus prolongaciones)de un triángulo. (Fig. 32).

Fig. 31 Área de un t r iángulo

*

2

b hA =

Ejemplo: Hal lar el área del siguiente tr iángulo:

211*738.5

2A cm= =

Área de un triángulo rectángulo El área de un t r iángulo rectángulo es igual al producto de los catetos part ido por 2.

*

2

b cA =

Ejemplo:

Hallar el área de l t r iángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm.

23*46

2A cm= =

Objetivo 5. Recordaras los cuadriláteros y paralelogramos

Cuadrilátero:

Es un polígono de cuatro lados. Una figura cerrada cuyos límites son cuatro rectas, llamadas lados del cuadrilátero. Clasificación de los cuadriláteros

Un cuadrilátero (Fig. 33) se llama trapecio (Fig. 34) si tiene dos lados paralelos Si cada lado de un cuadrilátero es igual a su opuesto, es un paralelogramo (Fig. 35) Fig. 33 Fig.34 Fig. 35

Un paralelogramo se llama rectángulo (Fig. 38) cuando sus cuatro ángulos son

rectos Un paralelogramo se llama rombo (Fig. 39) cuando sus cuatro lados son iguales.

Fig. 38 Fig. 39 Base:

Se denomina base de una figura rectilínea el lado sobre el que descansa, o se supone que descansa.

El termino base se emplea a veces en un sentido mas general. En el paralelogramo, dos lados opuestos se llaman también base.

En el triángulo isósceles, se llama generalmente base del lado desigual; y el vértice, del ángulo opuesto altura. Altura:

Llámese altura de un paralelogramo o trapecio la longitud de la perpendicular trazada de una base a la otra.

La altura de un triangulo es la longitud de la perpendicular bajada a la base desde el vértice opuesto. (Fig. 40) Fig. 40 Diagonal:

Se llama diagonal toda recta que une dos vértices no consecutivos de una figura rectilínea cerrada. (Fig. 41) Fig. 41 Teorema:

En todo paralelogramo, cada lado es igual a su opuesto Área de un paralelogramo:

El área de un paralelogramo es igual al producto de la base por la altura. (Fig. 42)

*A b h=

Fig. 42 Ejercicios Resueltos de Cuadriláteros. ¿Qué cuadrilátero tiene las dos diagonales iguales y sus lados son iguales dos a dos? Rectángulo Si los ángulos de un cuadrilátero miden, respectivamente, 80º, 110º y 70º, ¿Cuánto medirá el ángulo que falta? 100º ¿Cuál es el paralelogramo que tiene las diagonales perpendiculares? Rombo

Objetivo 6: Recordarás los polígonos su definición y su clasificación.

Cuerpo geométrico: Es toda porción limitada del espacio, esté o no ocupada por materia, pues, en los cuerpos geométricos sólo se atiende a la forma y se hace abstracción de la materia. Así, por ejemplo, un agujero es un cuerpo geométrico aunque esté vació de la materia que lo rodea. Definición:

Llámese polígono a una figura plana limitada por rectas que forman una línea quebrada cerrada.

En un polígono hay que considerar los lados, los ángulos, los vértices, las diagonales y el perímetro.

• Lados son las rectas que limitan el polígono (en la fig. 43 a, b, c, d).

• Ángulos son los formados por dos lados consecutivos en el interior del polígono (en la fig. 43 , , ,yα β σ )

• Vértices son los de los ángulos del polígono (en la fig. 43 A, B, C, D).

Fig. 43

• Ángulos exteriores son los formados por un lado cualquiera y la prolongación del lado adyacente (fig. 45 el ángulo a). Cada ángulo exterior es suplemento del ángulo interior adyacente.

• Diagonales son las rectas que unen dos vértices no consecutivos (la diagonal EC

de fig. 44).

Tipos de polígonos Atendiendo al número de lados o ángulos, los polígonos se clasifican en triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, etc., según el número de lados que tengan. Los demás polígonos no tienen nombre particular; así se dice polígono de 13 lados, polígono de 20 lados, etc. Clasificación dependiendo los ángulos: Polígono convexo es le que tiene todos sus ángulos menores que 180° (Fig. 46).

A B

E

D

C

E D

F

A B

C

Fig. 44 Fig. 45

a

α

α

Fig. 49

Polígono cóncavo es el que tiene uno o varios ángulos mayores a 180° (en la Fig. 47 el ángulo α ).

Polígono equilátero es el que tiene todos sus lados iguales (la Fig. 48 que es un paralelogramo). Polígono equiángulo es el que tiene todos sus ángulos iguales (Fig. 49).

Polígono regular es el que a la vez es equilátero y equiángulo (Fig. 50).

Fig. 46

Fig. 47

Fig. 48

α

α

Suma de los ángulos internos de un polígono. Teorema: La suma de los ángulos internos del polígono convexo es igual a (n-2)*180°, donde n es el número de lados del polígono. Ejemplos:

1) Calcule cuánto vale cada ángulo de un hexágono regular, dibújelo.

Si la suma de sus ángulos internos es (6-2)*(180°) = 720°, y como con ángulos

entonces cada uno mide 720

6

° = 120°.

2) Calcule el ángulo α (considere que se trata de un polígono regular de 11

lados).

Primero se calculará cuánto mide cada ángulo del polígono y después, aplicando el teorema de ángulo suplementario y mediante una resta se obtenga el valor de α , es decir. Si la suma de los ángulos internos es igual a (11-2)*(180°) = 1620°, por lo que

Fig. 50

cada ángulo interno vale 1620°

11 = 147° 16’ 21.82 ’’. Ahora α + 147°16’ 21.82’’ =

180°, obteniendo α =32° 43’ 38.18’’. 3) Hallar el número de lados de un polígono regular cuya suma de ángulos internos es de 20 ángulos llanos. Si la suma de los ángulos internos es de (n-2)*180° = 20*180, despejando n tenemos que n = 20 + 2 = 22. Consecuentemente se trata de un polígono de 22 lados. Suma de los ángulos externos de un polígono. Teorema: La suma de los ángulos externos del polígono es igual a 360°.

Demostración: n*180°-180*(n-2) = n*180°- n*180° + 360° = 360° :donde n es el número de lados del polígono.

Ejemplos: 1) Calcular el valor de un ángulo exterior de un dodecágono regular.

Sea 360° / n = 360° / 12 = 30°.

2) ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo exterior es igual a 45°? Si 360° / n = 45°, entonces n = 360° / 45° = 8 lados.

3) ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo exterior es igual a 22.5°? Si 360° / n = 22.5°, entonces n = 360° / 22.5° = 16 lados.

Diagonal: Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos.

Número de diagonales de un polígono.

Si n es el número de lados de un polígono entonces el número de diagonales es

n*(n-3)

2

Ejemplos: 1) Calcular el número de diagonales de un polígono de 25 lados.

Aplicando la fórmula n*(n-3)

2 , se tiene que numero de diagonales es 275.

2) ¿Cuántos lados tendrá un polígono de 54 diagonales?

Despejando en la formula a n, se tiene que n*(n-3) = 2*54, entonces se obtiene la ecuación n2-3n-108 = 0, donde n tiene un valor de 12. 3) Dibuje un eneánogo y sus diagonales, y aplicando la formula verifique el número de diagonales.

Donde el número de diagonales es = 27. Polígonos regulares Definición: Es aquel que tiene todos sus lados y sus ángulos iguales. Perímetro: Es la suma de la longitud de los lados del polígono. Ejemplos:

1) Calcule cuánto vale el perímetro de un dodecágono regular, se un lado mide

4.8 cm. Se tendría que P = 4.8 * 12 = 57.6 cm

9*(9-3)

2

2) ¿Cuánto vale el perímetro de un triángulo isósceles cuya altura es de 4 cm. y su base es de 6 cm.? Si h = = 4, entonces x = 5, y P = 3* 5 = 15. Apotema: Es la distancia entre el centro y cualquiera de los lados del polígono regular (Fig. 51).

Área de un polígono regular:

*

2

perimetro apotemaA =

Ejemplos: 1) Calcule el área del siguiente hexágono regular.

Aplicando la fórmula, se tiene que perímetro = 6*12 = 72, entonces

A = = 302.4cm2 2) ¿Cuánto vale la apotema de un pentágono regular cuya área es 30cm y un lado

mide 3cm? Despejando el la fórmula el valor de apotema se tiene que:

Apotema = = = 4cm

Fig. 51

22 6

2x

−

72*8.4

2

2* A

perimetro2*30

5*3

3) ¿Cuánto mide cada lado de un dodecágono si su área es igual a 28cm2 y su apotema mide 4cm? Si el perímetro = (número de lados) * (lado), y despejando en la fórmula se tiene: Lado = , donde n = número de lados, entonces cada lado mide: = cm. Polígonos inscritos Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están contenidos en ella ( el pentágono de la Fig.52 esta inscrito).

Todo polígono inscrito es regular. El centro de un polígono inscrito es el centro de la circunferencia circunscrita en él. El radio del polígono inscrito es el radio e la circunferencia circunscrita en él.

Polígonos circunscritos

Un polígono está circunscrito en una circunferencia, si todos sus lados son

tangentes a la circunferencia (Fig.53).

El polígono circunscrito toca en el punto medio de cada lado a la circunferencia inscrita.

El centro de la circunferencia inscrita equidista de todos los lados del polígono circunscrito.

La apotema del polígono circunscrito es el radio de la circunferencia inscrita.

Fig. 52

Fig. 53

2*

*

A

apotema n

2*28

4*127

6

Relación entre dos polígonos Dos polígonos son mutuamente equiángulos si los ángulos de uno son respectivamente iguales a los del otro, tomados en un mismo orden; son mutuamente equiláteros si los lados de uno son respectivamente iguales a los del otro, tomados en un mismo orden. Dos polígonos son iguales si son a la vez mutuamente equiángulos y mutuamente equiláteros, puesto que pueden hacerse coincidir en todas sus partes.

Objetivo 7: Recordarás la circunferencia, el círculo y sus características.

Circunferencia y círculo Círculo: Lámase círculo a una figura plana limitada por una curva cerrada cuyos puntos equidistan de un punto inferior llamado centro, dicha curva se llama circunferencia (Fig.54). Circunferencia:

La circunferencia de un círculo es la curva que lo limita; a su vez divide al plano

que lo contiene en 2 pares: una interior, que es el círculo, y otra exterior. Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano equidistantes de un punto fijo del plano al centro (Fig.55).

Interior

Exterior

Fig. 54

Fig. 55

Diámetro

Radio: Llamase a toda recta que va del centro a la circunferencia (Fig. 56).

Diámetro:

Es toda recta que pasa por el centro y termina en puntos opuestos de la circunferencia. Puesto que el diámetro es el doble del radio, todos los diámetros de una círculo o de círculos iguales son iguales (Fig. 57). Arco:

Es toda parte de la circunferencia. Llámase semicircunferencia o semicírculo la

mitad de la circunferencia; y cuadrante, la cuarta parte tanto del círculo como de la circunferencia (Fig.58). Cuerda: Toda recta que une los extremos de un arco (Fig. 59).

Ángulo central: Con respecto a un círculo cualquiera, ángulo central es todo ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo.

Fig. 56

Fig. 57

Fig.58

Fig. 59

cuerda

Radio

Arco

α

α A

Dícese que un ángulo central es subtendido por el arco de círculo comprendido entre sus lados, y que éstos interceptan ese arco (en la Fig. 60 el ángulo central es θ ).

Secantes y tangentes Secante: Es toda recta que corta la circunferencia (Fig. 61).

Tangente: Llámese tangente a un círculo, una recta de longitud ilimitada que tiene con la circunferencia un punto en común y sólo uno (Fig. 62). Teorema: Si de un punto exterior a un círculo se trazan dos tangentes al círculo, las tangentes son iguales (en la Fig. 63 son B) y forman ángulos iguales (en la Fig. 63 son α ) con la recta trazada del mismo punto al centro del círculo (en la Fig. 63 sea A).

B

B

r

r

Fig. 60

Fig. 61

Fig. 63

Fig. 62

Secante

Tangente

Ángulo inscrito:

Es aquel cuyo vértice está en una circunferencia y cuyos lados son cuerdas (en la

Fig. 64 α ).

Longitud de la circunferencia:

Es el menor de los números mayores que el perímetro de cualquier polígono

inscrito en la circunferencia (en la Fig. 65 es r).

Circunferencia: La circunferencia L del círculo esta dada por:

2L rπ= Área del círculo: El área del círculo es igual a A=2rπ (Fig. 66). Área del sector circular: Es la parte del círculo limitada por dos radios y su arco correspondiente (en la Fig. 67 lo sombreado de color amarillo).

Fig. 65

Fig. 64

Fig. 66

La fórmula por la cual está dada dicha área es la siguiente:

2

2

rA

α=

Donde r es el radio de la circunferencia y α el ángulo en el que está comprendido

el arco de circunferencia, expresado en radianes. o también:

2

360

r nA

π°=°

Donde n es igual a los grados que comprende α.

Ejemplos:

1) Calcula cuánto vale la longitud de la circunferencia si el radio vale 4.5 cm. Considerando que longitud de circunferencia es 2L rπ= , sustituyendo el valor de r, se tiene que L= 2π *(4.5) = 28.27433cm.

2) Si la longitud de circunferencia vale 11.8π cm., ¿Cuánto vale su respectivo radio?

De la formula de longitud de circunferencia se despeja a r, teniendo que:

2

Lr

π= = 1.878cm.

3) Calcular cuánto vale el área de un circulo que tiene como radio 3.8 cm.

Si A= 2rπ , entonces sustituyendo A= 2*(3.8)π , A = 45.364597

4) Sea 6.4cm2. el área de un círculo, diga cuánto vale su respectivo radio. Se despeja de la fórmula de área la constante r, teniendo:

Ar

π= =

6.4

π = 1.42729.

5) Determine cuándo vale el área del sector circular, si el radio es igual a 5cm.

y el ángulo que lo comprende es de 35°.

Fig. 67

Si 2

360

r nA

π°=°

, sustituyendo se tiene que 2(5) *(35 )*

360A

π°=°

, A= 7.6358cm2