Ficha 1 Poliedros Barros

Liceo de Barros Blancos n 2 3ro Matemtica y Diseo Ficha 1

Prof. Adriana Castillo Ao 2014 Pgina 1

Ficha n1: POLIEDROS

POLIEDROS CONVEXOS PARTICULARES

PIRMIDE: Se llama pirmide al poliedro en que una de las caras es un polgono cualquiera llamado base, y las otras son tringulos que tienen un lado en comn con la base, y un punto comn a todos los tringulos, llamado vrtice de la pirmide.

PIRMIDE REGULAR: Es toda pirmide cuya base es un polgono regular, y el vrtice se encuentra en la recta perpendicular al plano de la base, trazada desde el centro de la misma.

PRISMA: Es el poliedro limitado por dos caras iguales, incluidas en planos paralelos, (llamados bases), y cuyas caras laterales son paralelogramos, que tienen un par de lados opuestos en comn con los lados paralelos de las bases.

TETRAEDRO: Se llama tetraedro al poliedro en que la base es un tringulo, y las otras caras son tringulos que tienen un lado en comn con la base, y un punto comn a todos los tringulos, llamado vrtice del tetraedro.

PARALELEPPEDO: Prisma, cuyas bases son dos paralelogramos.

PRISMA RECTO: Prisma, cuyas aristas laterales son perpendiculares a los planos de las bases.

ORTOEDRO: Paraleleppedo recto de base rectangular.



POLIEDROS REGULARES CONVEXOS: Poliedros cuyas caras, son polgonos regulares iguales, y a cuyos vrtices, concurren el mismo nmero de aristas.

ALGUNOS POLIEDROS REGULARES

TETRAEDRO REGULAR: Definicin: Es el tetraedro cuyas caras son cuatro tringulos equilteros e iguales. Consta de cuatro vrtices y seis aristas. Lneas fundamentales: Arista (a): Es cada lado de los tringulos equilteros que componen las caras. Altura de cara (h): Es cada altura de los tringulos equilteros. Su nmero es doce. Altura del tetraedro (h*): Es cada segmento determinado por cada vrtice con el centro de la

cara que no contiene a ese vrtice. Son cuatro. Normal comn a dos aristas opuestas (n): Es cada segmento determinado por los puntos

medios de dos aristas opuestas (aristas sin vrtices comunes). Son tres.

Propiedades: 1) Existe un punto interior, punto de corte de las alturas del tetraedro, llamado centro del tetraedro (O), dicho punto equidista de todas las aristas, de todos los vrtices y de todas las caras. Sin embargo el centro no es centro de simetra del tetraedro. 2) El centro del tetraedro es punto medio del segmento

denominado normal comn. 3) La normal comn es perpendicular a las aristas que corta. 4) Las aristas opuestas son ortogonales. 5) Las alturas del tetraedro son perpendiculares al plano que contiene la cara opuesta al vrtice. 6) El centro del tetraedro divide a cada altura del mismo en dos segmentos tales que, si el punto I

es el centro de la cara ABC, entonces se cumplir que DIOI4

1 (anlogo para las dems)

Demostracin:



Construccin de las lneas fundamentales del tetraedro, conociendo una de ellas 1- CONOCIENDO LA ARISTA a 2- CONOCIENDO LA ALTURA DE CARA h



3- CONOCIENDO LA NORMAL COMN n 4- CONOCIENDO LA ALTURA DEL TETRAEDRO h*



Ejemplo: Se considera un tetraedro regular ABCD, con M punto medio de la arista AB y T punto medio de la altura del tetraedro DI. Construir las lneas fundamentales del tetraedro en verdadera magnitud, conociendo el segmento MT = x cm



HEXAEDRO REGULAR O CUBO: Definicin: Es el poliedro regular cuyas caras son seis cuadrados. Consta de ocho vrtices y doce aristas. Lneas fundamentales: Arista (a): Es cada lado de los cuadrados que constituyen

las caras. Diagonal de cara (d): Es cada diagonal de los cuadrados que

constituyen las caras. Diagonal del cubo (d*): Es cada segmento determinado por dos vrticesque no pertenecen a

caras comunes. Son cuatro.

Propiedades: 1) Las aristas que concurren a un vrtice son perpendiculares entre s. 2) A cada vrtice concurren tres aristas. 3) Las diagonales de una misma cara son perpendiculares entre s. 4) Existe un punto O que denominaremos centro del cubo, que equidista

de todas las aristas,de todos los vrtices y de todas las caras. Dicho puntoes centro de simetra.

5)El centro del cubo es punto medio delas diagonales del cubo. 6)Los planos que contienen caras consecutivas (caras con un lado en comn,) son

perpendiculares entre s. 7)El segmento que une dos centros de caras paralelas, tiene una longitud igual a la arista y su

punto medio es el centro del cubo. 8)Cada par de diagonales del cubo determina un rectngulo, llamado rectngulo diagonal, cuyos

lados son aristas y diagonales de cara. Demostracin:



Construccin de las lneas fundamentales del cubo, conociendo una de ellas 1- CONOCIENDO LA ARISTA a 2- CONOCIENDO LA DIAGONAL DE CARA d



3- CONOCIENDO LA DIAGONAL DEL CUBO d* Ejemplo: Se considera un cubo ABCDEFGH, con M punto medio de la arista AE y N es un punto de la arista CG tal que 4CN = CG. Construir las lneas fundamentales del cubo en verdadera magnitud, conociendo el segmento MN = x cm



OCTAEDRO REGULAR: Definicin: Es el tetraedro cuyas caras son ocho tringulos equilteros e iguales. Consta de seis vrtices y doce aristas. Lneas fundamentales: Arista (a): Es cada lado de los tringulos equilteros que

conforman las caras. Altura de cara (h): Es cada altura de los tringulos que

constituyen las caras. Su nmero es veinticuatro. Diagonal del octaedro (d): Es cada segmento determinado por dos vrtices que no pertenecen

a caras comunes. Son tres. Normal comn a dos aristas opuestas (n): Es cada segmento determinado por los centros de

dos caras opuestas (caras sin vrtices comunes). Son cuatro.

Propiedades: 1) A cada vrtice concurren cuatro aristas. 2) Las tres diagonales son perpendiculares entre s, dos a dos. 3) Existe un punto interior, llamado centro del octaedro (O), que equidista de todas las aristas,de todos los vrtices y de todas las caras. Dicho punto es centro de simetra del octaedro. 4) Cada diagonal es perpendicular al plano determinado por las otras dos. 5) El centro del octaedro es punto medio delas diagonales. 6) El centro del octaedro es punto medio de cada normal comn. 7) Lascaras opuestas son paralelas. 8) La normal comn es perpendicular a las caras que contienen sus extremos. 9) Cada par de diagonales determina un cuadrado, llamado cuadrado diagonal.



Demostracin:



Construccin de las lneas fundamentales del octaedro, conociendo una de ellas 1- CONOCIENDO LA ARISTA a 2- CONOCIENDO LA ALTURA DE CARA h



3- CONOCIENDO LA DIAGONAL DEL OCTAEDRO d 4- CONOCIENDO LA NORMAL COMN n



Ejemplo: Se considera un octaedro regular ABCDEF, con P punto medio de la arista AE y M punto medio de la arista BC. Construir las lneas fundamentales del octaedro en verdadera magnitud, conociendo el segmento PM = x cm



EJERCICIOS 1- Se considera un tetraedro regular ABCD. M es el punto medio de la arista AB y P es un punto

perteneciente a la altura del tetraedro correspondiente al vrtice D, tal que IDPD

3

2

, siendo I el centro de la cara ABC. Construir en verdadera magnitud todas las lneas fundamentales del tetraedro a partir de un segmento PM = 5cm. 2- En un tetraedro regular ABCD, I es el centro de la cara ABC, J es el centro de la cara BCD. Construir en verdadera magnitud la altura de cara del tetraedro partiendo de un segmento IJ = 4cm. 3- En un tetraedro regular ABCD, M es el punto medio de la arista AB y Q es un punto de la arista

CD tal que QDCQ

2

1

. Construir el segmento MQ en verdadera magnitud, si se sabe que la normal comn del tetraedro mide 5cm. 4- Se considera un cubo ABCDEFGH, y los puntos: P, centro de la cara ABCD, y Q centro de la cara CDHG, tal que PQ = 5cm. Hallar la diagonal de cubo. 5- En el cubo ABCDEFGH de centro O, M es el punto medio de AB y N el punto medio de OG. Hallar las lneas fundamentales del cubo, si MN = 4cm.

6- Dado el cubo ABCDEFGH, se considera el punto AGR , tal que 5

3

AG

AR

, y S es el centro de la cara BCGF. Construir el segmento RS en verdadera magnitud, a partir de una diagonal de cubo de 6cm. 7- Se considera un octaedro regular ABCDEF, y los puntos: I, centro de la cara ADE, y K centro de la cara ADF, tal que IK = 5cm. Hallar todas las lneas fundamentales del octaedro. 8- En un octaedro ABCDEF de centro O, M es el punto medio de AB y N el punto medio de MF. Hallar las lneas fundamentales del cubo, si ON = 4cm. 9- Los centros de las caras que constituyen un octaedro regular son los vrtices de un cubo inscripto dentro de un octaedro. Construir las lneas fundamentales del cubo, sabiendo que la altura de cara del octaedro mide 8cm. Bibliografa:

-Elementos de geometra descriptiva, Fernndez Val, Walter- Editorial Kapelusz -Geometra Mtrica. Plano y espacio, Fernndez Val, Walter- Editorial Kapelusz

Ficha 1 Poliedros Barros

Documents

Transcript of Ficha 1 Poliedros Barros