Introducción Modelo Conceptual Modelo Matemático Simulación Numérica Conclusiones Referencias

SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FLUJO MONOFÁSICO EN MEDIOSPOROELÁSTICOS ISÓTROPOS A ESCALA DE LABORATORIO

Fernando Aguilar Gastelum

Instituto Mexicano del Petróleofaguilar@imp.mx

En colaboración con: M. Díaz-Viera, M. Coronado, M. Vadillo-Sáenz

Museo de Geología del IG-UNAM, Ciudad de México27-28 de febrero 2020

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Contenido

1 Introducción

2 Modelo Conceptual

3 Modelo MatemáticoEcuaciones de balanceModelo NuméricoModelo Computacional

4 Simulación NuméricaExperimento de Jones and Smart (2002)Sistema Matriz-fractura

5 Conclusiones

6 Referencias

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Importancia de los Efectos Geomecánicos[6]

Desacoplado: sin efectos de la geomecánica

Acoplamiento 1: porosidad y permeabilidad absoluta como parametros deacoplamiento

Acoplamiento 2: porosidad, permeabilidad absoluta, y permeabilidadesrelativas como parametros de acoplamiento

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Objetivos e Importancia de los Efectos Geomecánicos

Acoplar el efecto de la geomecánica a la hidrodinámica de flujo en un medioporoso deformable homogéneo y/o fracturado

Modelar el efecto del estado de esfuerzos sobre las propiedades mecánicas delas rocas:

Permeabilidad absoluta de la matrizPorosidad de la matriz

En sistemas fracturados, el analizar el efecto de los esfuerzos mecánicos sobre laapertura o cierre de las fractura puede tener un efecto importante sobre lahidrodinámica de flujo en el medio poroso.

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Modelo Conceptual

Se tienen dos fases, una fluida (f ) y una sólida (s), cada una formada por unasola componente.

La fase sólida es un medio poroso isótropo homogéneo deformable y puedecontener vugulos o fracturas explícitas en su interior, los cuales se modelan comosubdominios inmersos con propiedades distintas.

El medio poroso está completamente saturado por el fluido.

El fluido es Newtoniano, y se considera flujo Darciano.

El sólido tiene un comportamiento elástico lineal, es decir, deformacionesinfinitesimales o pequenas y relaciones lineales entre esfuerzo y deformación.

El sistema es isotérmico.

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Modelo Matemático

Balance de Masa del Fluido

Sε∂p

∂t+ αB

∂∇ ·w∂t︸ ︷︷ ︸

Acoplamiento

+∇ ·[k

µf· (∇p+ ρfγg∇z)

]= q

′f︸︷︷︸

Término fuente

(1)

donde

Sε =1

M=αB − φKs

+ φcf , (2)

M - Módulo de Biot, αB = 1− Kd

Ks- Coeficiente de Biot-Willis (0 ≤ αB ≤ 1) y

qf = gf/ρf término fuente/sumidero.

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Modelo Matemático

Equilibrio de Fuerzas del sólido

∇ ·

[2µε (w) + λ∇ ·wI︸ ︷︷ ︸

Esfuerzo efectivo

− αBpI︸ ︷︷ ︸Presión de poro

]︸ ︷︷ ︸

Esfuerzo total

= [φρf + (1− φ)ρs] γg∇z︸ ︷︷ ︸Fuerzas de cuerpo

(3)donde

σe = 2µε+ λtr (ε) I ε (w) =∇w + (∇w)T

2(4)

σe - tensor de esfuerzo efectivo y ε - tensor de deformación.

Aquí se considera la convención de signos de la mecánica de solidos, lo cual significaque los esfuerzos de compresión son < 0 y los esfuerzos de de tensión son > 0.

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Acoplamiento de los Efectos Geomecánicos

Porosidad[5]

φ = φ0 + αB(εv − εv0) + cs(αB − φ0)(p− p0) (5)

donde

φ0 - porosidad inicial, εv0 - deformación volumétrica inicial, p0 - presión inicial y cs- compresibilidad del grano de la roca.

Permeabilidad absoluta [4],[7]

k = k0 exp

(caφ0εv

)(6)

donde

k0 - permeabilidad absoluta inicial y ca - constante de ajuste de la permeabilidadabsoluta, siendo en este trabajo ca = 12.

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Condiciones Iniciales y de Frontera

Condiciones iniciales

p(x, t0) = p0(x), ∀x ∈ Ω (7)

w(x, t0) = w0(x), ∀x ∈ Ω (8)

Condiciones de Frontera

w(x, t) = w∂(x, t), ∀x ∈ ∂wDΩ, ∀t > t0 (9)

σ(x, t) · n = T∂(x, t), ∀x ∈ ∂wNΩ, ∀t > t0 (10)

p(x, t) = p∂(x, t), ∀x ∈ ∂pDΩ, ∀t > t0 (11)

u(x, t) · n = u∂(x, t) · n, ∀x ∈ ∂pNΩ, ∀t > t0 (12)

donde w∂ - desplazamiento, p∂ - presión del fluido, T∂ - tracciones y u∂ - velocidad delfluido en la frontera.

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Modelo Numérico

Para la solución numérica se aplican los siguientes metodos:

Discretización mediante diferencias finitas hacia atrás en el tiempo (Esquematotalmente implícito)

Método de elemento finito para la discretización en espacio

Malla no estructurada de tetrahedros para sistemas en 3D

Método de Newton-Raphson

Método directo LU para matrices no simétricas y ralas (MUMPS).

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Modelo Computacional

El modelo es implementado en la plataforma computacional:

COMSOL Multiphysicsr Modeling Software (https://www.comsol.com/[1])

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Descripción del problema: experimento de Jones and Smart (2002)[3]

Se tiene un núcleo de arenisca Locharbrigg de 38 mm de diametro y 76 mm delongitud. El núcleo se somete a un esfuerzo de confinamiento contante y una cargaaxial variable. Durante el proceso se inyecta una salmuera a una razón contante de400 ml/h y se produce a una presión constante.

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Descripción del problema: experimento de Jones and Smart (2002)

El sistema se somete a las siguientes condiciones en la etapa 1:

En las fronteras lateral e inferior del dominio se aplica un esfuerzo deconfinamiento hidrostático (σ1 = σ2) de 21 MPa (3000 psi).

En la frontera superior se restringen los desplazamientos, es decir: wx = 0,wy = 0, wz = 0.

Todas las fronteras en el sistema son impermeables al flujo (no flujo).

En la etapa 2 se aplican las siguientes condiciones:

En la frontera inferior se incrementa linealmente la carga axial aplicada σ1, esto auna razón de 5E − 6 s−1, y hasta alcanzar la falla de la muestra.

En la frontera superior se mantiene la restricción de los desplazamientos w = 0, yen la frontera lateral la del esfuerzo de confinamiento constante σ2 .

La frontera inferior y la frontera superior son abiertas al flujo, inyectando a unarazón de 400 ml/h a través de la frontera superior y produciendo a través de lafrontera inferior a una presión constante de 1 atm.

La frontera lateral se mantiene impermeable al flujo (no flujo).

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Datos del experimento simulado: basado en Jones and Smart (2002)

Parámetro Valor UnidadMódulo de Young (E) 14.0 GPaRalción de Poisson de drenado (νd) 0.20 -Coeficiente de Biot (αB) 0.79 -Compresibilidad del grano sólido (cs) 2.7E-11 1/PaCompresibilidad del fluido (cf ) 4.0E-10 1/PaDensidad del sólido (ρs) 2000 kg/m3

Densidad del fluido (ρf ) 1000 kg/m3

Porosidad de la roca (φ) 0.222 -Permeabilidad de la roca (k) 362.0 mDViscosidad dinámica del fluido (µf ) 1.0E-3 Pa·sPresión de producción (pout) 0.0 PaPresió inicial (p0) 0.0 PaFlujo volumétrico de inyección (Qin) 400 ml/hEsfuerzo hidrostático inicial (σ0) 3000 psiRazón de incremento del esfuerzo axial 5.0E-6 s−1

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Malla numérica implementada.

Malla no estructurada de tetrahedros de 6,318 elementos.

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Este trabajo vs. Jones and Smart (2002)

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Este trabajo vs. Jones and Smart (2002)

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Este trabajo vs. Jones and Smart (2002)

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Sistema Matriz-Fractura

Incremento en Tr a una razón de 5,0E − 6 s−1.Tz se mantiene constante.

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Datos de la simulación

Parámetro Valor UnidadMódulo de Young de la matriz (Em) 14.0 GPaMódulo de Young de la fractura (Ef ) 0.14 GPaRelación de Poisson de la matriz (νm) 0.20 -Relación de Poisson de la fractura (νf ) 0 -Coeficiente de Biot de la matriz (αB) 0.79 -Coeficiente de Biot de la fractura (αB) 0 -Compresibilidad del grano sólido (cs) 2.7E-11 1/PaCompresibilidad del fluido (cf ) 4.0E-10 1/PaDensidad del sólido (ρs) 2000 kg/m3

Densidad del fluido (ρf ) 1000 kg/m3

Porosidad de la matriz (φm) 0.222 -Porosidad de la fractura (φf ) 1.0 -Permeabilidad de la matriz (km) 362.0 mDPermeabilidad de la fractura (kf ) 362.0E4 mDViscosidad dinámica del fluido (µf ) 1.0E-3 Pa·sPresión de producción (pout) 0.0 PaPresió inicial (p0) 0.0 PaEsfuerzo hidrostático inicial (σ0) 3000 psi

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Dimensiones del dominio y malla numérica

El sistema matriz-fractura tiene las siguientes dimensiones:

Matriz:Radio del núcleo: 19 mmLongitud del núcleo: 76 mm

Fractura:Longitud de la fractura: 12.66 mmAltura de la fractura: 50.66 mmAncho de la fractura: 0.5 mm

Malla numérica:Malla de tetrahedros de 36,086elementosGrados de libertad: 195,956

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Sistema Matriz-fractura: Perfiles de desplazamiento

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Sistema Matriz-fractura: Perfiles de presión

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Sistema Matriz-fractura: Vectores de velocidad

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Conclusiones

Los perfiles de esfuerzo diferencial vs deformación axial, de deformaciónvolumétrica vs deformación axial y de permeabilidad absoluta vs deformaciónaxial, obtenidos mediante la simulación del experimento de Jones and Smart(2002), se sobreponen a los respectivos datos experimentales reportados por losautores. Esto válida el correcto planteamiento y solución numérica del modelonumérico implementado.

El modelo implementado es capaz de modelar únicamente la región decomportamiento elástico del medio poroso.

Conforme el módulo de Young de un material es de menor orden, este resultamás ductil, y por consecuente al ser sometido a esfuerzos de tracción ocompresión se originan mayores desplazamientos en este.

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Conclusiones

El acoplar los efectos geomecánicos a la hidrodinámica de flujo implica que laspropiedades petrofísicas de la matriz pueden cambiar conforme el dominio sedeforma, y por consecuente aumentar o disminuir la porosidad y permeabilidadabsoluta en el sistema, incrementando o disminuyendo a su vez la presión deporo.

Los vectores de la velocidad del fluido muestran como las partículas del fluidocirculan preferentemente a través del subdominio de mayor permeabilidad, lo cualen la industria petrolera es una condición indeseable, dado que el desplazamientode la fase oleica no ocurre de manera uniforme.

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Referencias

1.- COMSOL Multiphysics, Comsol multiphysics reference manual, version 5.4, COMSOL AB, USA, (2018).

2.- Díaz-Viera, F. Aguilar-Gastelum, M. Coronado-Gallardo, M.E. Vadillo-Sáenz and E. Wilson-Garcia, Modelo Matemático, Númerico y

Computacional de Elasticidad, In Reporte final, Instituto Mexicano del Petróleo, Ciudad de México, México, (2019).

3.- C. Jones and B. Smart, Stress induced changes in two-phase permeability, In SPE/ISRM Rock Mechanics Conference held in Irving, Texas,

20-23 October, number SPE/ISRM 78155. Society of Petroleum Engineers, (2002).

4.- P. Li, R. Chalaturnyk and M. Polikar, Issues with reservoir geomechanical simulation of the sagd process. Journal of Canadian Petroleum

Technology, 43(1):1-11, (2004).

5.- M. Mainguy and P. Longuemare, Coupling Fluid flow and rock mechanics: Formulation of the partial coupling between reservoir and

geomechanical simulators. Oil and Gas Science and Technology, 57(4):355-367, (2002).

6.- S. Ojagbohunmi, R. Chalaturnyk and J. Leung, Coupling of Stress Dependent Relative Permeability and Reservoir Simulation. SPE Improved Oil

Recovery Symposium held in Tulsa, Oklahoma, USA, 154083, (2012).

7.- W. Tortike and S. F.Ali, Reservoir simulation integrated with geomechanics. Journal of Canadian Petroleum Technology, 32(5):28-37, (1993).

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Gracias por su atención

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