ENSEÑANZA REVISTA MEXICANA DE FíSICA 47 (1) 87-92 FEBRERO 2001

El flujo potencial en presencia de un campo magnético

Angel Fierros Palaciosl"slilulO de lm'esligacio"es Eléclricas

Recibido el 21 de julio de 1999: aceptado el 21 de julio de 2000

A partir tie un formalismo lagrangiano. como el de la teoría clásica de campos. se obtienen las ecuaciones diferenciales de campo para lapropagación de un pequeño disturbio en un medio conduclor continuo y homogéneo que se mueve en presencia de un campo magnéticouniforme. Usando el mismo marco teórico se obtiene la ecuación de balance de energía. Se calcula la lagrangiana específica y se demuestraque la ecuación de movimiento es la ecuación en onda. Además. se obtiene la correspondiente ley de la conservación de la energía.

Descriptores: Ell1ujo potencial en la MUO

From [he lagrangian formalism as in classical field theory. che partial differential tield equalions for lhe prop;:lg<ltion01' a small perturbationin a continuous and homogeneus conducting media in a magnetic tield is obtained. The specifk lagrangian is calculated and it is shown chatlhe equntion of motion is the wave equation. Finally. (he law of energy conservation is obtained

K{'yU'ords: Thc potencial now in the MIID

PACS: 03.40.gC; 47.10.+G

1. 1ntroducciÍln

Considerese la propagación de un movimiento oscilatorio deamplitud pequeña en un medio conductor continuo y ho-mogénco que se mueve en presencia de un campo magnéticouniforme fio. Se supondrá que la viscosidad, la conductivi-dad térmica y la resistencia eléctrica del mcdio son tan pe-queñas que sus efectos sohre la perturbación dehidos a losprocesos de disipación de energía se puedcn despreciar enprimera aproximación 11]. En ese caso, el pequcño disturbiosc propagará como ondas amortiguadas [2).

Si se omiten todos los términos disipativos es posible es-cribir las ecuaciones fundamentales de la MHD [3J como si-

cs la velocidad del sonido en el medio [4]. Adcmás. y comouna condición adicional. se tiene la ecuación dc continuidad

~ IDvi 2-pT-d. =a').-D . +div(~.gradT)+--.2-(rotH)2. (8)

t .rJ 16" a

(9)

(7)~ + div (pü) = o.

La ecuación general de transfercncia dc calor 111

con s la entropía específica. T la temperatura. a~j las com-ponentes del tensor de esfuerzos viscosos. a la conductivi-dad eléctrica. e la velocidad de la luz y /"{ la conductividadtérmica. se reduce a la ecuación de conservación siguiente:

d.~- =0,di(1)di\' ji = 0,

gue:

olí -- = rot(iix H),Dt

D" 1 1 _ _- +W.grad)ii= --gradl'+ -(rotH) x H,Dt P 4,,1'

1'0- JfJ = - II . grad ,J

(2)

(3)

(4)

es decir. la condición para flujo adiahático. Si el medio nopcrturbado es homogéneo. tal condición significa que la en-tropía específica es constante tamhién en el medio perturba-do. En ese caso, el flujo cs tamhién isentr6pico y la ecuacióngeneral de transfcrencia de calor sc reduce a

.~= constante.de modo que en la ecuación térmica de estado [3] se tienc que Ahora. sean

C5Po _ ¡¡'l]J = --7t. grad J + -,

J 8" (5) ii = Jlo + ;;,

en donde p(:1!, t) es la densidad de masa, ])(£, t) la presión,,,(:1', t) el campo de velocidades y J(:I', t) el jacohiano de latransformación [4 J. Además.

donde el subíndice cero denota valores constantes de equili-hrio y h, pi, pi • .1' son las pequeñas variaciones en la onda.

('o=/a[ (ti)

]J=Po+¡/,

P = (Jo + pi,

.J = Jo + .J', ( 10)

ss ANGEL FIERROS PALACIOS

(21 )

(22)

(20)

rol (v x Ho) = (Ho' grad)" - Hodiv v- (". grad)Ho + vdiv Ho

= (Ho . grad)" - Ho div ,7; (23)

Ho Oh ¡lo -- . [rot (t, x Ho)]'

4iíPO . at - 4iíPO

Sin embargo,

o'1J c6 oJ' Ho ohDI' Jo Di- ']rrpo . Di'

Ahora. y de acuerdo con (2),

Si ahora se deriva esta última ecuación nuevamente con res-pecto al tiempo, se obtiene lo siguiente:

Si se integra esta ecuación y se considera a la constante deintegración corno cero, se ve que

(11 )

( 12)

( 13)

( 14)1 - -- --(Ho' grad)h.4íTPo

] , [C6J']--gradp = grad -¡-Po ' o

2 -.-0[J' = - CoPo J' + Ho . h.

Jo 4rr

Ahora,

en cuyo caso

y de acuerdo con (4) Y las relaciones (10)

1" = _Po J'Jo '

El campo de velocidades 6(55, t), que es una constante en lasituación de equilihrio, es tal que v = va + ti'; con Vo » ¡j'y liT'l « eo; donde ca es la velocidad del sonido en el medio.

Como el llujo es iscntrópico, los cambios en la presión yen la densidad del medio continuo conductor están relaciona-dos con el campo magnético externo de la manera siguiente:

I 2 I 110, hJ! = Col' + --¡;;:-;

Si se introduce (15) en (14) se tiene que

(Ho' grad)h = grad (Ho' h) - Ho x rol h. (15)

Entonces en la ecuación de movimiento (3) se obtiene lo si-guiente:

(24)

(25)

en donde \72 es el operador laplaciano y se ha usado la rela-ción (18). Así. en (21) se ve que

O'</; C6 oJ' H¿ ,----=-\7</;DI' Jo DI 4rrpo .

Considérese ahora la ecuación de continuidad (17) debida-mente lineal izada, es decir,

01" l' - ODI + Po' rv u = .

en donde se ha usado la Ec. (1). Sin embargo, el segun-do término del miembro derecho de (23) es proporcional aDp' /at, en tanto que el primero tiene la misma forma queel término (ilo grad)l!'. Sin cmbargo. (fío. grad)ii ::::::grad (Hov), en donde sc hizo una integración por partes yse usó la condición (1). Esto es de orden superior cn las apro-ximaciones por lo que se desprecia. En consecuencia, en (22)se tiene en primera aproximación

( 17).,-, ["J' H- '-]0/1..... _1 Co o' 1-;;- + (f'O . grad)v = grad --, - -4-- .uf ../0 7fpo

Por otra pane.

] , [C6J' Ho . h]--gradp = gracl -- - --Po Jo 4rrpo

Si la vorticidad es cero en todo el espacio ocupado por el flui-do el campo de velocidades es irrotacional, el !lujo es poten-cial y la descripción del comportamiento del sistema se puedehacer en términos de una función escalar de la posición y deltiempo 1J(.I', 1), tal que

1 - -+ --Ho x rolh. (16)4rrpo

i;'(:1', 1) = grad1J(:1',t). ( 18) En ese caso

A CS<l función se le conoce como el potencial de velocidades.Como el disturbio es pequeño, la perturbación en el cam-

po de velocidades i7 también lo es, de modo que el término(ii"o' grad)v' en (17) se puede despreciar en comparación con(Og' /01)(")

Si se lisa esta aproximación y la relación (18) en (17) seve que

Así, la ecuación de continuidad lineal izada toma la forma si-guiente:

(26)

(28)

(27)

01"DI

en donde se ha usado la relación (12). Además,

(19)[o1J Ho' h C6J']

grad Di + 4rrpo - 1; = o.

Rev. Mex. Fís. 47 (1) (2001) 87-92

EL FLUJO POTENCIAL EN PRESENCIA DE UN CAMPO MAGNÉTICO 89

Entonces en (25) se ve que con A la lagrangiana específica del sistema tal que.

1 O',p\J',p - '-O 2 = O;

al t(29) (38)

ésta es la ecuación de onda huscada. En ella

2 2 ')(1, = Co + V~, (30)

De acuerdo con la definición usual de las variaciones ge-ométricas JI = O para toda t, de modo que la variación dela función escalar ,p(x, t.) satisface la siguiente ecuación [4];

Adicionalmente, se considera la siguiente condición de fron-tera:

en donde

- Hov = ----a J47rpo

(31 )

J,p(;l', t) = grad, ,pJx'(t). (39)

es la velocidad de Alfvén [2]. Claramente,J:r'(t¡) = J;,'(t,) = O. (40)

es la velocidad de fase de una onda MHD longitudinal [2J.Nótese que esta onda se propaga con una velocidad que de-pende de la suma de las presiones hidrostática y magnética,aparte de factores del orden de la unidad [2).

Se puede demostrar [4J que la variación de la integral de ac-ción (35) sujeta a la condición (36) conduce a la siguienterelación:

al = (32)

"! {pJAdVdt=O.. ti ln (41 )

2. El principio de acción extremal tipo Hamil-ton y las ecuaciones diferenciales de campo

Para el caso de oscilaciones pequeñas en un medio conti-nuo conductor que se mueve en alguna región R del espacioeuclídeo tridimensional en donde existe un campo magnético,se define una densidad lagrangiana como una función conti-nua y con derivadas continuas hasta dc tercer orden en susargumentos 14]

( O,p)e = e grad,p; Ot ' (33)

Ahora. y de acuerdo con (38),

JA = O(~,p) {ou,)gratl,,pJx(t)J}

+ O(O~~Ot) {:t [grad, ,pJX(t)]} = O; (42)

en donde se usó la relación (39) y el hecho que los operado-res 15, grad, y D / Dt son independientes entre sí y se puedenintercambiar. Si se integra por partes en (42), se obtiene hastatérminos de primer orden que

tal que la integral de £ sobre la región R corresponde a lalagrangiana clásica

Como resultado de la invariancia de la acción se ohtienen lasecuaciones diferenciales de campo. Sea

L = h edV; (34)

El principio tipo Hamilton propone que la funcional deacción sea invariante frente a una variación geométrica con-tinua e infinitesimal, esto es que

Entonces, en (41) se tiene que

(44)O [ O ] O [ O~ ]r'J.z-' O(\J,,p) + Ot O(ONOt) = O,

Como las variaciones locales de x son arbitrarias y lineal-mente independientes entre sí y del mismo modo, tanto dVcomo dt son incrementos totalmente arbitrarios y en conse-cuencia distintos de cero. la Ec. (43) sólo se satisface si elintegrando es nulo, es decir, si

+0 [ OA ]} l' grad ~) J:ri dV dt = O. (43)Dt O(M/Ot) o < ,'!'

(L ({ou", [O(~,p)]

(36)

(35)

JIV = O.

"IV =1 {edV dt.ti } R

en donde dV es el elemento de volumen en esa región.Se dellne la acción corno es usual, es decir como

e = pA, (37)dehido a que (logradiq) :f. O. Estas son las ecuaciones dife-renciales de campo que satisface la lagrangiana específica.

Re\'. Mex. FIs. 47 (1) (2001) 87-92

90 ANGEL FIERROS PALACIOS

3. La Jagrangiana específica y ecuación de onda Además, de (12) Y(20) se puede ver que

Se sahe que la densidad lagrangiana para un medio continuoconductor que se mueve en presencia de un campo magnéticoexterno es [31

conH2

01=é+-8 '"1'

(45)

(46)

1" = _1'0 (O</» _ Ro' "c5 DI 47rC5 .

En ese caso, se puede demostrar que,

1'01" = ~ (O</» (Ro' ")P5 c5 DI 4rrc5'

y que

(56)

(57)

de tal manera que

(47)

en donde [ es la energía inlerna específica del medio conti-nuo. Al paso del disturbio la densidad lagrangiana cambia, demodo que

Entonces en (54) se tiene que,

£' = .; [(O</» 2 + (O</» (Ro' ,,)]C6 Of Of 2"1'0

(58)

(59)

f=fo+e', (48) de modo que la densidad de energía potencial es

con fa la densidad lagrangiana de equilibrio y e su variacióna entropía específica constante. Se puede demostrar que enprimera aproximación [4]

(60)

H2_ 1 2 o If - -I'ov -I'oéo - -8 -I'oé, (49)

2 "en donde se han usado las relaciones (19) y el hecho que

lIo »".Entonces es claro que

Por otra parte, la densidad de energía cinética está dada por

(61 )

En consecuencia, y dado que e = te - u, en primera aproxi-mación se tiene que

y

En estas últimas expresiones

(50)

(51 )

1 [ 2 1 (0</»2 1 (O</» (Ro' ,,)]f='2l'o Igrar1</>I-c~ 01 -c~ Of 2"1'0 (62)

Esta es la densidad lagrangiana para el caso de pequeñas os-cilaciones en un medio continuo conductor que se mueve enpresencia de un campo magnético externo, en tanto que deacuerdo con (37)

De la forma de Euler de la primera ley de la termodinámica yde la relación de Gibbs-Duhem [7], se puede demostrar queen primera aproximación [4]

(65)

(64)

I [a2</> Ro O"]=-- -+-_.-('~ Dt2 4rrpo DI

O [ 0.\] 2O;r' O(v,<P) = V</>

a [ 0.\ ]al a( a<p/ al)

Por otra parte, y de acuerdo con (24), se puede ver que

Además,

es la lagrangiana específica. Sí este último resultado se intro-duce en las ecuaciones diferenciales de campo (44) se tieneque

[2 (- -)]

1 . ." 1 O</> 1 O</> Ho . h.\=- Igrar1<pI--, (-) -, (-) - (63)

2 c6 01 Co Of 2" Po

(53)

(54)

(52)[' = E - £0

PoP' pi pié' = -2- + ----:r-.

Po 1'0

Por olra parte, de las relaciones (10) Y(5) se puede ver que

es la variación en la energía interna específica a entropía es-pecífica constante y [o su valor de equilibrio.

Si se hace el cálculo directamente, se puede demos-trar [4. G]que la densidad de energía potencial es igual a

u = -~e= Paf'.2 2

2 HgPo = CoPo + -.8" (55) (66)

Rev. Mex. Fú. 47 (1) (2(Xll) 87-92

EL FLUJO POTENCIAL EN PRESENCIA DE UN CAMPO MAGNÉTICO 91

es decir.

A,í Y de acuerdo con (64) Y (66) se ohtiene finalmente que

2 1 02</J'V </J - -, O 2 = O,a, t.

(77)

(76)rr = fr(v',P').

En ese caso, y de acucrdo con (37),

\' = Ap(v', P').

4, Las \'ariaciones lemporales y la ecuación dehalance de energía

Si a la funcional de acción para cualquier fluido se le sometea un proceso variacional con respecto al parámetro de evo-lución, se puede demostrar que es invariante frente a trans-formaciones temporales continuas. Sin embargo, y para estecaso, se usará una densidad lagrangiana totalmente equiva-lente a la anterior que depcmJc de v' y p', es decir,

(68)

que no es otra cosa más que la ecuación de onda (29).Por otra parte, y de acuerdo con (56) Y (1 1),

1 (O</J)' 1>"- c6 Dt :::: - P6C5y

dc modo que claramente

(69)

Considérese la integral de acción (35) para el caso pre-sente, pero sujeta a una variación temporal de modo que tantolas entidades cinellláticas como las funciones de campo con-tcnidas en ella expcrimenten cambios infinitesimales. Cornoconsecuencia de tal proceso se demuestra que la funcional deacción es una invariante [5}, es decir.

01J 1"01 (lo

(70) J+ll' = O. (78)

Por olra parte es claro que

Si se sustiluyen (70), (69) Y (68) en (63) se tiene que

(71 )

De acuerdo con la definición de variación temporal [4] se tic-ne que

Si se integra por partes el tercer término del integrando de(79) se ohtienen únicamcnte

(72)

= O. (79)

Estas son las ecuaciones diferenciales de campo en términosde las variaciones en el campo dc velocidades yen la presión.Si se sustituye (72) en (73) se tiene que

es la Iagrangiana específica en términos de la pequeña varia-ción en la presión. Además, y de acuerdo con (18) Y (70), esclaro que en las ecuaciones diferenciales de campo (44) seohlicnc lo siguiente

O [0\,,] O [ OAp' ]

Or' Ov' - 01 0(1"/(10) = o. (73)

["£ 1 /"'1fp -'--(6+I)dV di = - ('Der)J+I dV dt; (HO).11 . n dI, .11 R

en donde D es el opcrador diferencial de Reynolds [51.En (80) se ha omitido el segundo término que resulta de laintegración por partes Jehido a que se trata de la integral deuna derivada total con respecto al tiempo, que se cancela sise considera la siguicnte condición de frontera

(81)

1 0(1'= ---o (75)(lo 01

Por aIra parte, si se sustituye (80) en (79), se puede ver que

y

O [ 0\" ]01 0(1"/(1,,)

!!.- [0\,,] = div iiD.r:i Dv'

__ 2-.Q. [1" _ 110, h]- Po Dt ('6 41rC6

(74) df(' di\' ¡7 - Df = _---f!...P P dt

En ese caso, en (80) se ohtiene

¡"r [ de]" JR J+r,> - d: J+t d~'di = O.

(83)

(84)

De acuerdo con la funcionalidad de lp y tomando en cuentaque

Si se sustituye (74) y (75) en (73) se ohtiene la ecuación decontinuidad Iincalizada. Es evidente que si se usan las rela-ciones (18) Y (56) se puede demostrar que la ecuación de con-tinuidad linealizada y la de onda (29) son totalmente equiva-IClllcs, como era de esperarse H].

. du'15+ /1' = -ó+ t

dt (H5)

Re". Mex. FÍ>. 47 (1) (2(XJI) 87-92

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y En ese caso.

es la densidad hamiltoniana y se ha despreciado el términoir. gnul 'H l' por ser se segundo orden en las aproximaciones.Si se invoca a la arhitrariedad tanto de los incrementos dF ydi así como de la variación temporal 6+1. para que se cum-pla (R~nes necesario que

(95)

(94)

(170.h)"]-tireo

O 2'-O . (Cop v').rl

_0.[(, ¡¡o.h),]-- 1'---- vD.r' 4rr

., ,., (_ _) 2. 1 2 COP - 1 H o . hH = -POi} + -- - - ---

p 2 2¡J~ 2po 4rrco .

O [2 OAp ,]--O . PO-D VXl p'

La aplicación del principio variacionaltipo Hamilton al casodel llujo potencial en presencia de un campo magnético per-turbado, permite la ohtención de una solución completa delproblema. En efecto, mediante el uso de los métodos dc, lamecánica analítica se ohtuvieron las ecuaciones diferencia-les de campo. A continuación se propusieron las respectivasdensidades lagrangiana y lagrangiana específka para ohtencrla ecuación de onda y la ley de la conservación de la energíade las ondas MHD longitudinales [2). Además. se usó la co-rrespondiente ecuación térmica de estado.

[(, ¡¡o.h)_]+ di,' l' - -:¡;;:- " = O. (96)

5. Conclusiones

Esta es la ley de la conservación dc la energía de las ondasque se generan en un medio continuo conductor que se mue-ve en presencia de un <.:ampomagnético externo. Esta leyesválida para el flujo en cualquier instante.

O [1 ., C6P'" 1Of :=)Pov- + """"?T - -. -

- -Pü 21'0

Por otra parte,

en donde se ha usado la relación (11). Sí se sustilUYC (94) y(95) en (90) se tiene quc

(93)

(91 )

(92)

(90)

(~9)Of"_,IJi_fDl/1 p

[

., r''/ cól' -

1/- - --o - +P51r --PJI - 2 o

(00) 2

DI - cg--:r,.-"

de 11I0do que si se susliluye (91) Y (70) en (63) se Jiene quc

1 [2 '"5P'" ( ¡jo . h ) ']>. =- 1/ ---+JI 2 f'~ 47rPOciJ

Así y dc acuerdo con (37),

O;p _ di\" (P6 ~:, ¡;) = O.

Esta es la ecuación de halance de energía generalizada parapequeñas vihraciones en un medio continuo conductor que semueve en presencia dc un campo magnético externo.

Ahora. se puede demostrar que

,5+f = [~. ([)(PV') - !!.-.. ( 20APVi)] ,5+t. (~7)l' di fJvl D.rl Po fJp'

Si este rc~mllado se sustituye en (H4), se ohtiene

t!, [O;" - O:' (p~~>,)],5+tdVdt = O. (88)

en donde

se puede demostrar que en primera aproximación

(a \ En lo que sigue se escrihirá ti en vez de Vi para no arrastrar laprima a lo largo de todo el trahajo.

1. L.D. Lanuau and E.M. Lifshitz. E(cctmdynQmics ojColltillllO.\'Media. (Addison-Wesley Publishing eO .• lne. Oxford, LOlldon,Ncw York. París. 19(0).

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