FC07_13_06_11

8/6/2019 FC07_13_06_11

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' .RfUNIVERSITARIO

CUR SO: FisICA COMUNPfDRO Df VALDIVIA

MATERIAL: FC-07

DINAMICA II

Joseph-Louis de Lagrange (Turin, 1736-Paris, 1813) Matematico frances de origen

italiano. Sus padres tuvieron 11 hijos de los cuales s610 el menor, Lagrange, IIeg6 a

sobrevivir. Estudi6 en su ciudad natal y hasta los diecisiete afios no mostr6 ninguna aptitud

especial para las rnaternatlcas. Sin embargo, la lectura de una obra del astr6nomo lnqles

Edmund Halley despert6 su lnteres y, tras un ana de incesante trabajo, era ya un

rnaternatlco consumado. Lagrange era de mediana altura, complexi6n debll, con ojos azul

claro y un color de piel pallda. Era de un caracter nervioso y timido, detest6 la controversia,

y al evitarla de buena gana permiti6 a otros tener credlto por cosas que el habia hecho.

Su actividad mental durante unos veinte afios que paso en Prusia fue asombrosa, no s610

por el hecho de producir su esplendida Mecanique analytique, sino por contribuir, con

doscientos trabajos, a las Academias de Berlin, Turin, y Paris. Algunos de estes realmente

son tratados, y todos, sin excepci6n, son de una extraordinaria calidad. Salvo un corto

tiempo cuando el estaba enfermo en que produjo aproximadamente un articulo por terrnlno

medio al meso

Fue uno de los rnaternatlcos mas importantes del siglo XVIII; cre6 el calculo de va riaciones,

sistematiz6 el campo de las ecuaciones diferenciales y trabaj6 en la teoria de nurneros.

Entre sus investigaciones en astronomia destacan los calculos de la libraci6n de la Luna y los

movimientos de los planetas. Su obra mas importante es Mecanica analitica (1788).

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PREUNIV£RSITARIO

PfDRO nt VALDIVIA

-+Cuando se golpea una pelota de golf en el campo de juego, una gran fuerza F actua sobre la

pelota durante un corto intervalo de tiempo M, haciendo que esta se acelere desde el reposo

hasta una velocidad final. Es en extremo dificil medir tanto la fuerza como la duraci6n de su-+

acci6n; pero el producto de ambas F . M puede calcularse en funci6n del cambio de

velocidad resultante de la pelota de golf. A partir de la segunda ley de Newton, sabemos que

-+ -+F = m· a

usando la definici6n de aceleraci6n-+ -+F = m . !1v

M

Multiplicando por M se obtiene:

de donde se tiene -+ -+-+F . i1 . t = m . Vf - m . Vi

A partir de esta relaci6n definiremos momentum lineal e impulso:

Momentum Lineal 0Cantidad de Movimiento se define mediante la siguiente expresi6n:

- -= m· v

-+E I momentum lineal p es una cantidad vectorial, de igual direcci6n y mismo sentido que el

vector velocidad V , como muestra la figura 1. Por la definici6n en el 51 la unidad de medida

del momentum lineal es Kg rn/s.

~ \i__~.~ jj ~~

mfig. 1

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PREUNIV£RSITARIO

PfDRO nt VALDIVIA

Impulso I se define mediante la expresi6n:

- -= F· M

-bservemos en la figura 2, que I es un vector que tiene la misma dlrecclon y el mismo-entido que F. Por la expresi6n anterior vemos que en el 51 la unidad de medida del

impulso es N . s.

-I

fig. 2

Relaclon entre Impulso y Momentum Lineal

En la figura 3 un cuerpo de masa m, se mueve con una velocidad V i ' 5i una fuerza 1,constante, actua sobre el cuerpo durante un intervalo de tiempo M, observaremos que

-u velocidad sufrira una variaci6n, pasando a ser V2 al final del intervalo.

- - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - -

fig. 3

A parti r de las defi niciones anteriores en la siguiente relaci6n:

- - -. M = m . V2 - m . Vi

se observa:

- -. M Representa el impulso I que recibi6 el cuerpo.

m .~ Representa la cantidad de movimiento del cuerpo, P 2 , al final del intervalo M.

m .~ Representa la cantidad de movimiento del cuerpo, P i, al inicio del intervalo M.

1 0 que implica

- - -= P2 - Pi

- -= Ap

Esta es la relaci6n que existe entre el impulso y el momentum, es decir, el impulso es el

responsable de la variaci6n del momentum del cuerpo.

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PREUNIV£RSITARIO

PfDRO nt VALDIVIA

Fuerzas internas y externas

Las fuerzas que actuan en un sistema de particulas se pueden clasificar en internas y

externas. Si una particula del sistema ejerce una fuerza sobre otra que tarnblen pertenece al

sistema, aquella sera una fuerza interna. Por otra parte, si la fuerza que actua sobre una

particula del sistema fuese ejercida por un agente que no pertenece al sistema, se trataraentonces de una fuerza externa.

Las fuerzas internas pueden producir variaciones en las cantidades de movimiento de las

particulas de un sistema, pero no producen variaci6n en la cantidad de movimiento del

sistema.

Choques en una dimension

Choques elastlcos e lnelastlcos: una colisi6n es elastica cuando los cuerpos que chocan

no sufren deformaciones permanentes durante el impacto 0 cuando se conserva su energia

clnetlca. Dos bolas de billar, por ejemplo, experimentan choques que se pueden considerar

elastlcos.

En caso contrario, si los cuerpos presentan deformaciones debido a la colisi6n estamos en

presencia de un choque lnelastlco y no se conserva la energia clnetlca del sistema. Por

ejemplo, si chocan dos autom6viles y se mueven pegados despues de la colisi6n, aunque en

el caso que los cuerpos contlnuan pegados, mas bien se habla de choque totalmente

lnelastlco.

Principio de conservaclon del momentum lineal en los choques

En los casos que no existen fuerzas externas que actuen sobre los cuerpos que chocan, la

cantidad de movimiento del sistema se conserva, si sobre el s610 actuan fuerzas internas.

Por 10 tanto la cantidad de movimiento de un sistema de cuerpos que chocan,

inmediatamente antes de la colisi6n, es igual a la cantidad de movimiento, inmediatamente

despues del choque.

En la figura 4 vemos un ejemplo de un choque elastlco, para explicar la conservaci6n de

momentum.

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PREUNIV£RSITARIO

PfDRO nt VALDIVIA

. . . . . . . .V1A V2A

~ t i l l

(ANTES)

@ e. . . . t i l l 6X5)DURANTE) F21. LU . . . .

~ F12· LU

. . . . . . . .VlD V2D

t i l l ~(DESPUES)

8 @

fig. 4

Consideremos una colisi6n directa entre las masas rn, Y mz. como 1 0 muestra la figura 4.

Suponga que las superficies estan libres de fricci6n. Indicamos sus velocidades antes del. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .impacto V1AY V2A ; Y despues del impacto como VlD Y V2D. E I impulso de la fuerza F12que

actua sobre la masa m2 es

'\ I " , \

I. . . .

En forma similar, el impulso de la fuerza F21sobre la masa rn, es

. . . . . . . . . . . .F2i • At = mi • ViD - mi • ViA

. . . . . . . .Durante el intervalo de tiempo LU, F12= -F21, de modo que

. . . . . . . .F12 • At = -F2i • At

o bien,

Y, finalmente, reagrupando los terrnlnos

. . . .P SISTEMA(ANTES)

. . . .PSISTEMA(DESPUES)

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PREUNIV£RSITARIO

PfDRO Df VALDIVIA

EJEMPLOS

1. Un m6vil cambia de posici6n en el tiempo, tal como 10muestra la figura 5. Si la masa

del m6vil es de 8 kg, entonces el momentum que posee a los 10 s, expresado en

unidades del 51, es

x(m)

t(s)

A) 2

B) 4

e) 10

D) 40

E) 200

fig. 5

2. Un mismo objeto es mostrado en tres situaciones distintas. En I se encuentra en

reposo, en II esta bajando por un plano inclinado con velocidad constante y en III estacayendo libremente. Respecto al cuerpo, es correcto decir que tendra un momentum

distinto de cero

I)II) _2j III)

A) s610en I.

B) s610en II.

e) s610en III.

D) s610en I y II.

E) s610en II y III.

3 . En los casos I, II Y III se muestran cuerpos con distinta masa y distinta velocidad, al

respecto se afirma que al comparar las cantidades de movimiento de los cuerpos es

correcto concluir que son iguales los casos

I)

DII) D-- III)

m = 2 kg

v = 12 rn/s

I m = 2 kg

t v = 12 rn/s

m = 4 kg

v = 6 rn/s

A) I Y II.

B) I Y III.

e) II y III.

D) I, II Y III.

E) ninguno de ellos.

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PREUNIV£RSITARIO

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PROBLEMAS DE SELECCION MULTIPLE

1. Un cuerpo avanza en linea recta de modo que su momentum es Po. EI mismo cuerpo a

partir de cierto momento reduce su masa a la mitad y cuadruplica su rapidez, por 1 0

tanto, ahora su momentum es

A) Po/4 .

B) Po/2 .

C) Po.

D) 2po.

E) 4po.

2. En el qraflco que muestra la figura 6, se observa como varia la cantidad de movimiento

versus la velocidad de una pelota, en base a el, se puede afirmar que la masa de la

pelota, expresada en kg, es

A) A· B

B) A I B

C) B I AD) A· B 12

E) 2· A . B

A

B vem/s)

P (kg· rn/s)

fig. 6

3. Un cuerpo de masa constante esta bajando por un plano inclinado, y el qraflco de la

figura 7 muestra c6mo se comporta su momentum en funci6n del tiempo. De la

observaci6n del qraflco, es verdadero concluir que el cuerpo

A) esta bajando con velocidad constante.

B) esta sometido a una fuerza neta mayor que cero.

C) no posee momentum.

D) experimenta una aceleraci6n constante mayor que cero.

E) esta aumentando su momentum.t

fig. 7

4. Dos cuerpos Ay B,son soltados desde los 20m y los 5m de altura, respectivamente.

Considerando que las respectivas masas de A y B son 2 kg y 4 kg, sera correcto afirmar

que al comparar sus cantidades de movimiento, PA y PB , cuando cada uno esta Ilegandoal suelo, se cumple que

A) PA = PB

B) PA = 2PB

C) PA = 4PB

D ) 4PA = PB

E ) 2PA = PB

A

,f- 2kg

20mL_

B

, J - 4 kg

loml___

fig. 8

7

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PREUNIV£RSITARIO

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5. Respecto a la cantidad de movimiento se afirma que

• es una magnitud vectorial.

• 5610depende de la velocidad.

• si se duplica la masa, el momentum disminuye a la mitad.

• la unidad de medida del momentum en el 51 es el kg . rn/s,

z.Cuantas afirmaciones son correctas?

A) aB) 1

e) 2D) 3

E) 4

6. Sl Z Y W representan, respectivamente, la velocidad y el momentum de un cuerpo, es

posible entonces que de las tres situaciones mostradas sea(n) correcta(s)

I)Z

l w

II) Z III) Z

W W

A) 5610I

B) 5610II.e) 5610III.

D) todas elias.

E) ninguna de elias.

7. Juan y Jose estan parados sobre patines en una pista de patinaje en hielo, Juan tiene

una masa de 80 kg y Jose de 60 kg. En cierto instante Juan empuja horizontalmente a

Jose y este adquiere una velocidad de 0,8 rn/s, Entonces, con respecto a Juan es

correcto decir que despues del empuj6n se

A) quedara quieto.

B) movere con sentido opuesto a Jose y rapidez de 0,4 rn/s.

e) movere con sentido opuesto a Jose y rapidez de 0,6 rn/s.

D) movere con sentido opuesto a Jose y rapidez de 0,8 rn/s.

E) movere con sentido opuesto a Jose y rapidez de 1,0 rn/s.

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PREUNIV£RSITARIO

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8. Dos carritos pueden moverse sobre rieles horizontales en el laboratorio. EI roce entre

los carritos y los rieles es despreciable. Inicialmente el carrito (1) esta en reposo y el

carrito (2) que se mueve con velocidad constante va a chocar con el (1). Considere T

el instante del choque. EI momentum total del sistema de carritos esta mejor

representado por el qraflco

A) p B) p C) p

t

,,,

-,,

T t T t

t

9. EI qraflco de la figura 9 muestra la variaclon del m6dulo del momentum de una

particula en funci6n del tiempo, entonces es correcto afirmar que

p (kg· rn/s)

10

t(s)

fig. 9

A) se mueve por un plano inclinado.

B) sobre el cuerpo actua la fuerza de roce.

C) la velocidad disminuye hasta parar.

D) sobre el cuerpo actua una fuerza variable.

E) el qraflco puede representar una caida libre.

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PREUNIV£RSITARIO

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10. Un cuerpo rectangular se mantiene en reposo en el espacio hasta que en cierto

momento, debido a una explosi6n que ocurre en su interior, se fracciona en dos partes

A y B, que salen disparadas hacia el espacio. Respecto a estas partes, se afirma

correctamente que

fig. 10

A) A Y B salen hacia el Sur.

B) A Y B salen hacia el Norte.

C) si A sale hacia el Sur, B sale hacia el Oeste.

D) si A sale hacie el Este, B sale hacia el Oeste.

E) los dos trozos pueden salir hacia el mismo lado 0 hacia lados distintos.

A) Es una magnitud vectorial.

B) Siempre produce una variaci6n en la cantidad de movimiento.

C) A I chocar dos particulas se ejercen impulsos iguales.

D) Tiene la misma direcci6n y sentido de la fuerza.

E) Mientras mayor sea el tiempo de aplicaci6n de la fuerza sobre un cuerpo, mayorsera el impulso sobre el.

11. LCual afirmaci6n es falsa respecto al impulso?

12. La figura 11 muestra un qraflco de fuerza versus tiempo, obtenida de un m6vil que

estaba siendo empujado. En base al qraflco, es correcto decir que el impulso ejercido

sobre el m6vil es

F (N)

A) 0,1 Ns 20

B) 0,2 NsC) 1,0 Ns

D) 2,0 Ns

E) 5,0 Ns

t(s)

fig. 11

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PREUNIV£RSITARIO

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CLAVES DE LOS EJEMPLOS

1 B 2 E 3E

DMONFC-07

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