Estudio del régimen sinusoidal permanente.

Método de los fasores

José R. Solera Ureña Depto. Ingeniería Electrónica y Comunicaciones

Universidad de Zaragoza

Versión 2.0

25-06-2006 Índice: 0H1 REGIMEN SINUSOIDAL PERMANENTE: FASORES ............................................................. 23H2

1H1.1 REPRESENTACIÓN FASORIAL DE SEÑALES SINUSOIDALES........................................................... 24H2 2H1.2 PROPIEDADES DE LOS FASORES .................................................................................................. 25H3 3H1.3 EJEMPLOS................................................................................................................................... 26H3

4H1.3.1 Fasor de la derivada de una señal........................................................................................ 27H3 5H1.3.2 Fasor de la primitiva (integral indefinida) de una señal...................................................... 28H4

6H1.4 JUSTIFICACIÓN MATEMÁTICA DEL EMPLEO DE FASORES............................................................. 29H4 7H1.5 RELACIONES VOLTAJE–CORRIENTE CON FASORES: DEFINICIÓN DE IMPEDANCIA ....................... 30H5 8H1.6 PROPIEDADES DE LA IMPEDANCIA .............................................................................................. 31H6 9H1.7 ANÁLISIS DE CIRCUITOS MEDIANTE FASORES ............................................................................. 32H7

10H1.7.1 Asociación de impedancias................................................................................................... 33H8 11H1.7.2 Leyes de Kirchoff con fasores............................................................................................... 34H8 12H1.7.3 Divisor de voltaje ................................................................................................................. 35H8 13H1.7.4 Divisor de corriente.............................................................................................................. 36H9

14H2 EJEMPLO PRÁCTICO: CIRCUITO RC SERIE......................................................................... 37H9 15H2.1 RESOLUCIÓN DE LA RESPUESTA FORZADA (RÉGIMEN PERMANENTE) EN EL DOMINIO DEL TIEMPO 38H9 16H2.2 RESOLUCIÓN DE LA RESPUESTA FORZADA (RÉGIMEN PERMANENTE) MEDIANTE FASORES ....... 39H10 17H2.3 FILTROS EN FRECUENCIA.......................................................................................................... 40H11 18H2.4 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA / RESPUESTA EN FRECUENCIA .................................................... 41H12

19H3 EJEMPLO PRÁCTICO: CIRCUITO RLC SERIE.................................................................... 42H13 20H3.1 DIAGRAMA DE FASORES EN EL CIRCUITO RLC......................................................................... 43H13 21H3.2 RESONANCIA, FACTOR DE CALIDAD Y ANCHO DE BANDA ......................................................... 44H14

22H4 EJEMPLO: EXAMEN DE T.C. II, JUNIO DE 2006. C.P.S., U. DE ZARAGOZA.................. 45H16

1 REGIMEN SINUSOIDAL PERMANENTE: FASORES

1.1 Representación fasorial de señales sinusoidales Consideremos voltajes e intensidades de corriente de tipo sinusoidal:

)cos()()cos()(

0

0

i

v

tItitVtv

θωθω

+=+=

Ec. 1

θv y θi son la fase inicial de la tensión y la corriente, respectivamente, tomando en ambos

casos la función coseno como referencia. Cuando una de estas magnitudes, v(t) o i(t), se exprese como función coseno y la otra como función seno, se tendrá en cuenta la relación trigonométrica: sen(φ) = cos(φ – π/2), que indica que la gráfica de la función seno está retrasada π/2 radianes, o 90º, o un cuarto de onda, con respecto a la de la función coseno.

El tratamiento teórico y práctico del régimen permanente sinusoidal se simplifica mucho

haciendo una transformación de las funciones seno y coseno reales a la función exponencial de variable compleja. El “puente” para dicha transformación lo proporciona la identidad de Euler:

)()cos()exp( ϕϕϕ jsenj += , Ec. 2

de forma que para recuperar el coseno sólo hay que tomar la parte real de la exponencial compleja:

)exp(Re)cos( ϕϕ j= Ec. 3

El argumento φ puede ser una constante o, como en nuestro caso, una variable real

dependiente del tiempo 0)( ϕωϕ += tt . Así, obtenemos:

)exp()exp(Re)](exp[Re)cos()(

)exp()exp(Re)](exp[Re)cos()(

000

000

tjjItjItItitjjVtjVtVtv

iii

vvv

ωθθωθωωθθωθω

⋅=+=+=⋅=+=+=

Ec. 4

Las expresiones complejas )exp()exp(0 tjjV v ωθ ⋅ e )exp()exp(0 tjjI i ωθ ⋅ contienen

toda la información acerca de la tensión y la corriente: • V0 e I0 son las amplitudes (voltios/amperios de pico/eficaces). • θv y θi son las fases iniciales. • ω [rad/s] es la frecuencia angular o pulsación. La frecuencia en Hz: f = ω/2π. Más aún: puesto que ω [rad/s] –o, f [Hz]– es común al voltaje y a la corriente, podemos

omitir, por sobreentendido, el factor exponencial )exp( tjω y operar con las magnitudes simplificadas resultantes:

Fasor de voltaje: )exp(0 vjV θ=V Ec. 5

Fasor de corriente: )exp(0 ijI θ=I Ec. 6 (Recordar que un circuito lineal no puede crear frecuencias que no estén presentes en la

señal de entrada.)

Los números complejos V e I se denominan fasores0F0F

1 y permiten agilizar notablemente los cálculos y formalizar más concisamente la teoría del régimen permanente sinusoidal.

La relación entre el fasor de corriente o voltaje y la correspondiente expresión en el dominio del tiempo, i(t) o v(t), se obtiene sustituyendo la ecuación 5 en la ecuación 4:

Paso del fasor a la señal en el tiempo:

)exp(Re)(

)exp(Re)(tjtitjtv

ωω

IV

==

Ec. 7

1.2 Propiedades de los fasores

1. El empleo de fasores sólo es válido para señales sinusoidales. 2. El fasor es un número complejo independiente del tiempo. 3. V0 e I0 son las amplitudes de señal. 4. θv y θi son las fases iniciales. 5. La representación gráfica y las operaciones con fasores son idénticas a las de los

números complejos. 6. Los cálculos del régimen sinusoidal permanente se realizarán con fasores y

únicamente cuando sea necesario obtener la expresión en función del tiempo de las corrientes y voltajes se aplicarán las ecuaciones 5 y 6.

7. Los fasores no sirven para analizar el régimen transitorio (ver el ejercicio propuesto en el examen de junio de 2006).

1.3 Ejemplos

Señal Fasor

)3/cos(5)( πω += ttv 35,2)3/()3/cos(5)3/exp(5 jjsenV +=+== πππ

)6/cos(5)2/3/cos(5

)3/(5)(

πωππω

πω

−=−+=

+=

tttsenti

5,23)6/()6/cos(5)6/exp(5 jjsenI −=−=−= πππ

Observar que primero se transforma la función seno en una función coseno.

1.3.1 Fasor de la derivada de una señal

Dada )exp()exp(Re)](exp[Re)cos()( 000 tjjVtjVtVtv vvv ωθθωθω ⋅=+=+= , su fasor es )exp(0 vjV θ=V . Derivemos:

)exp()exp(Re

)exp()2/exp()exp(Re)exp()]2/(exp[Re

)2/cos()()(

0

0

0

00

tjjVjtjjjV

tjjV

tVtsenVdt

tdv

v

v

v

vv

ωθωωπθω

ωπθω

πθωωθωω

⋅=⋅=

⋅+=

++=+−=

Ec. 8

Obtenemos:

1 En estas notas, se escriben en negrita los fasores para resaltarlos evitar confusión con otras magnitudes, aunque no es práctica generalizada.

)()( tvFASORjdt

tdvFASOR ⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ω Ec. 9

A este resultado se llega aún más rápidamente así:

[ ]

[ ]

)exp()exp(Re

)](exp[Re

)](exp[Re

)](exp[Re)(

0

0

0

0

tjjVjtjVj

tjVdtd

tjVdtd

dttdv

v

v

v

v

ωθωθωω

θω

θω

⋅=+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +=

+=

Ec. 10

1.3.2 Fasor de la primitiva (integral indefinida) de una señal

Si dt

tdxtvdttvtx )()()()( =⇒= ∫ ; luego, aplicando la regla del fasor de una derivada:

ωj

tvFASORdttvFASOR )()( =∫ Ec. 11

N.B.: Observar que no hablamos de la derivada o la integral de un fasor: este concepto

carece de sentido porque los fasores no dependen del tiempo. Por el contrario, hablamos del fasor de la señal derivada o integral (indefinida) de una señal dada.

1.4 Justificación matemática del empleo de fasores

La ecuación más general que rige el comportamiento de un circuito lineal en el régimen sinusoidal permanente es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden con coeficientes constantes del tipo:

)()()()cos( 212

2

0 tvadt

tdvadt

tvdatV gg ++=+ϕω Ec. 12

Hemos supuesto, para fijar las ideas, que la respuesta que nos interesa, v(t), es un voltaje.

Observemos lo siguiente: • Sabemos que la forma funcional de la respuesta forzada del circuito está

determinada por la señal de entrada. Por ello, en el régimen permanente sinusoidal la respuesta forzada será del tipo )cos()( ϕω += tVtv .

• V y ϕ (amplitud máxima y fase inicial) son los parámetros que hemos de calcular. • Hemos puesto la misma frecuencia angular que tiene la señal de entrada, ya que un

circuito lineal no puede crear frecuencias que no estén presentes en la señal de entrada.

• Los coeficientes ai dependen de los componentes R, L y C del circuito. Para justificar matemáticamente el uso de los fasores, escribimos la ecuación anterior así:

)exp()exp(Re

)exp()exp(Re

)exp()exp(Re)exp()exp(Re

2

1

2

2

0

tjjVadt

tjjVda

dttjjVdatjjV gg

ωϕ

ωϕ

ωϕωϕ

+

+

=

Ec. 13

Ahora podemos intercambiar el orden de la derivación con respecto al tiempo, d()/dt, y la

extracción de la parte real, Re; además, tenemos en cuenta que la parte real de una suma de complejos es la suma de sus partes reales y obtenemos:

)exp()exp()]exp()exp([)]exp()exp([Re

)exp(Re)exp()exp(Re

212

2

0 tjjVadt

tjjVdadt

tjjVda

tjtjjV gg

ωϕωϕωϕ

ωωϕ

++=

= gV

Ec. 14 Ahora derivamos y escribimos los fasores conocidos:

)exp()exp()exp()(Re

)exp()exp()exp()exp()exp()exp()(Re

)exp(Re)exp()exp(Re

212

0

212

0

tjatjjatjja

tjjVatjjVjatjjVja

tjtjjV gg

ωωωωω

ωϕωϕωωϕω

ωωϕ

VVV

Vg

++=

++=

=

Ec. 15

Notar que volvemos a obtener la regla: .)()( Vωω jtvFASORjdt

tdvFASOR =⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Hemos obtenido la igualdad de las partes reales de los dos miembros de la ecuación. La igualdad de partes reales de dos números complejos no implica, obviamente, la igualdad de los complejos (ya que pueden diferir sus partes imaginarias). Trasponiendo todos los términos al primer miembro, resulta:

0)exp()])(([Re

)]exp()exp()exp()([)exp(Re

212

0

212

0

=++−=

++−

tjajaja

tjatjjatjjatj

ωωω

ωωωωωω

VVVV

VVVV

g

gEc. 16

Para que la última igualdad se verifique en todos los instantes de tiempo es necesario que:

V

VVVVg

])([

)(

212

0

212

0

ajaja

ajaja

++=

++=

ωω

ωω Ec. 17

Esta ecuación es la que resulta al utilizar fasores en el análisis del circuito y ejemplifica

su principal ventaja: la transformación de una ecuación diferencial en otra algebraica equivalente. El fasor del voltaje de respuesta se despeja inmediatamente de la ecuación anterior.

1.5 Relaciones voltaje–corriente con fasores: Definición de Impedancia

A continuación estudiaremos las relaciones entre el fasor de voltaje y el fasor de corriente en resistencias, condensadores y bobinas; como veremos, el fasor de voltaje es proporcional al fasor de corriente, siendo el factor de proporcionalidad, en general, una función de la frecuencia angular ω, que llamamos impedancia, Z(jω). Así obtendremos una generalización de la ley de Ohm para señales sinusoidales y elementos R, L y C.

Resistencia. La corriente y el voltaje en una resistencia están relacionados por la ley de

Ohm:

)exp()exp(Re)](exp[Re)()( 00 tjjRItjRItRitv iiRR ωθθω ⋅=+== Por tanto, la relación de fasores de voltaje y corriente en la resistencia es:

RR

R =IV

Ec. 18

El voltaje en la resistencia está en fase con la intensidad. Los fasores de corriente y

voltaje están relacionados mediante la ley de Ohm Bobina. La ecuación que relaciona voltaje y corriente en una bobina es:

dttdi

Ltv LL

)()( = Ec. 19

Por tanto, aplicando la regla del fasor de una derivada, obtenemos:

LjLjL

LLL ωω =⇒=

IVIV Ec. 20

La corriente en la bobina presenta un desfase de –π/2 radianes (retraso) con respecto al

voltaje, resultado de dividir el fasor V por la unidad imaginaria j; dicho retraso representa cuantitativamente la oposición de la bobina al cambio de la corriente que la atraviesa.

Condensador. De forma análoga, aplicando su ecuación característica:

dttdv

Cti CC

)()( = Ec.21

obtenemos:

CjCj

C

CCC ω

ω 1=⇒=

IV

VI Ec. 22

La tensión en el condensador presenta un desfase (retraso) de –π/2 radianes con respecto

a la corriente, resultado de dividir el fasor I por la unidad imaginaria j; dicho retraso representa cuantitativamente la oposición del condensador al cambio de tensión en sus terminales.

En los elementos de circuito R, L y C se obtiene que el fasor de corriente y el de voltaje son proporcionales. Se define la razón del fasor de voltaje al fasor de corriente como la impedancia del elemento, Z(jω):

Impedancia de los elementos de circuito:

Cj

CjZLjZRZ CLR ωω

ω 11;; −==== Ec. 23

1.6 Propiedades de la impedancia

1. Podemos generalizar la ley de Ohm, v(t) = Ri(t), para la representación fasorial de

señales sinusoidales en régimen permanente1F1F

2. En forma fasorial, la ley de Ohm es:

2 En realidad, la generalización es válida para las señales de tipo exponencial Aexp(s0t), donde s0 es un número complejo: s0 = σ0 + jω0; las señales sinusoidales son combinaciones lineales de exponenciales complejas: Acos(ω0t) = ½A[exp(jω0) + exp(–jω0)], Asen(ω0t) = (½j)A[exp(jω0) – exp(–jω0)].

Impedancia. Ley de Ohm generalizada a fasores:

corriente deFasor voltajedeFasor )( == ωjZ

IV

Ec. 24

El inverso de la impedancia es la generalización a fasores de la conductancia: Admitancia:

voltajedeFasor corriente deFasor

)(1)( ===ω

ωjZ

jYVI

Ec. 25

2. La impedancia Z(jω) es una magnitud compleja, independiente del tiempo pero

dependiente de la frecuencia, que constituye una generalización de la resistencia para señales de tipo sinusoidal en régimen permanente. Observar que la corriente continua es un caso límite de la corriente alterna sinusoidal cuando ω = 0 rad/s ( f = 0 Hz).

3. La impedancia de un componente resistivo es real y constante con la frecuencia2F2F

3 y equivale a su resistencia en ohmios.

4. La impedancia de una bobina es imaginaria pura y aumenta con la frecuencia. En régimen permanente: • la bobina se comporta como un cortocircuito (Z = 0) para la corriente continua; • la bobina se comporta como un circuito abierto para las frecuencias elevadas.

5. La impedancia de un condensador es imaginaria pura y disminuye con la frecuencia. En régimen permanente: • el condensador se comporta como un circuito abierto (Z→∞) para la corriente

continua; • el condensador se comporta como un cortocircuito para las frecuencias elevadas.

6. La unidad de impedancia, como la de resistencia, es el ohmio (Ω). 7. Las impedancias de los elementos de un circuito se asocian según las reglas vistas

para las combinaciones de resistencias en serie y paralelo. Por tanto, de modo general, la impedancia entre dos puntos de un circuito se define como el cociente entre el fasor de voltaje y el fasor de corriente en los puntos considerados.

Escrita como número complejo en forma rectangular, la impedancia se denota en general

por Z(jω) = R + jX, donde: R = Re(Z) es la componente resistiva o resistencia. X = Im(Z) es la componente reactiva o reactancia. Tanto R como X son, en general, funciones reales de la frecuencia.

1.7 Análisis de circuitos mediante fasores Hemos visto las siguientes formas equivalentes de representar voltajes y corrientes

sinusoidales: 1. La señal sinusoidal propiamente dicha. 2. La señal exponencial compleja. 3. El fasor (suponemos conocida la frecuencia).

3 La resistencia de un resistor es constante con la frecuencia dentro de ciertos límites. En otro tipo de circuitos, como las líneas de transmisión metálicas, la resistencia aumenta con la frecuencia. Ejemplos de línea de transmisión son el cableado Ethernet de una red de área local (LAN) o el bucle de acceso digital de alta velocidad (ADSL).

Esquemáticamente, el paso de una a otra puede representarse así:

)exp()](exp[)cos()()exp()](exp[)cos()(

000

000

iii

vvv

jItjItItijVtjVtVtvθθωθωθθωθω

↔+↔+=↔+↔+=

Ec. 26

1.7.1 Asociación de impedancias

Las reglas de asociación de impedancias son las ya conocidas para resistencias:

∑= )()( ωω jZjZ kSERIE Ec. 27

∑= )(1

)(1

ωω jZjZ kPARALELO

Ec. 28

Ejemplo: Condensadores en serie.

∑∑∑ =⇒=⇒=kSERIEkSERIE

kSERIE CCCjCjjZjZ 1111)()(

ωωωω . Se obtiene la

regla de asociación de condensadores ya conocida. Ejemplo: Condensadores en paralelo.

∑∑∑ =⇒=⇒= kPARALELOkPARALELOkPARALELO

CCCjCjjZjZ

ωωωω )(

1)(

1, la

regla de asociación de condensadores ya conocida.

1.7.2 Leyes de Kirchoff con fasores Apliquemos la a ley de Kirchoff de voltajes en el dominio del tiempo al caso de señales

sinusoidales:

[ ] 0)exp(Re

0)exp(Re0)exp(Re0)(

=⇔

=⇔=⇔=

∑∑∑∑

tj

tjtjtv

k

kkk

ω

ωω

V

VV Ec. 29

La última igualdad es válida en todo instante de tiempo solamente si:

∑ = 0)(tkV (ley de Kirchoff de voltajes con fasores) Ec. 30

Análogamente obtenemos:

∑ = 0)(tkI (ley de Kirchoff de corrientes con fasores) Ec. 31

1.7.3 Divisor de voltaje

En una malla, la ecuación de Kirchoff de voltaje con fasores se escribe:

∑∑ == IVV jjMALLA Z

y resulta que el voltaje en una impedancia Zj0 de la malla es proporcional a dicha impedancia:

∑=

j

jMALLAj Z

Z 00 VV Ec. 32

1.7.4 Divisor de corriente

Sean INUDO el fasor de la corriente entrante a un nudo (que está al potencial VNUDO con respecto al potencial de referencia) y Zj, la impedancia de las ramas de salida entre dicho nudo y el nudo del potencial de referencia, o bien, Yj su admitancia. Entonces, la ley de Kirchoff de corrientes en dicho nudo se escribe:

∑∑ == jNUDOjNUDO Z/VII

y resulta que la corriente en la rama j es directamente proporcional a la admitancia de la rama:

∑∑==

k

j

k

jj Z

ZY

Y1

1I Ec. 33

2 Ejemplo práctico: Circuito RC serie En esta sección empezamos comparando dos métodos de resolución de circuitos:

mediante la resolución directa de la ecuación diferencial del circuito y, después, mediante el uso de fasores.

2.1 Resolución de la respuesta forzada (régimen permanente) en el dominio del

tiempo Tomando el voltaje en el condensador como señal de salida, la ecuación de la malla

resulta:

)()()cos()cos(

)cos()()(

tsensenVtV

tVtvdt

tdvRC

gggg

ggCC

ωϕωϕ

ϕω

−=

+=+ Ec. 34

Por tanto, como respuesta forzada ensayamos una solución que sea combinación lineal de

sen(ωt) y cos(ωt):

)cos()()( tBtAsentvC ωω += Ec. 35

y operamos en la ecuación anterior:

)()()cos()cos()()()cos()(

)cos()()]()cos([

tsensenVtVtsenRCBAtBRCA

tBtAsentBsentARC

gggg ωϕωϕωωωω

ωωωωω

−=−++=

++− Ec. 36

Igualamos los coeficientes de sen(ωt) y cos(ωt) en ambos miembros para garantizar que

la igualdad se cumple en todo instante de tiempo; así podemos despejar los coeficientes A y B:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+

+=

+

−=

⇔⎪⎭

⎪⎬⎫

−=−

=+

2

2

)(1cos

)(1cos

cos

RCRCsen

VB

RCsenRC

VA

senVRCBA

VBRCA

ggg

ggg

gg

gg

ωϕωϕ

ωϕϕω

ϕω

ϕω Ec. 37

Es conveniente expresar A y B de la siguiente forma:

⎩⎨⎧

=−=

CC

CC

VBsenVAθθ

cos Ec. 38

pues entonces resulta:

)cos()cos(cos)(

)cos()()(

CC

CCCC

C

tVtVtsensenV

tBtAsentv

θωωθωθ

ωω

+=+−=

+= Ec. 39

Para determinar VC y θC, operamos como sigue:

)(1

coscos

)(1 2

22

RCarctgRCtg

tgRCarctg

RCsensenRC

arctgBAarctg

RC

VVBAV

gg

g

gg

ggCC

gCC

ωϕϕωϕω

ϕωϕϕϕω

θθ

ω

−=+

−−=

+

−−=⇒−=

+=⇒+=

Ec. 40

Por tanto, la solución final (respuesta forzada) es:

)](cos[)(1

)(2

RCarctgtRC

Vtv g

gC ωϕω

ω−+

+= Ec. 41

Este ejemplo ilustra la laboriosidad del cálculo en el dominio del tiempo. Una vez

justificado matemáticamente el uso de los fasores, vamos a comprobar, en el siguiente apartado, las ventajas de cálculo que ofrecen.

2.2 Resolución de la respuesta forzada (régimen permanente) mediante fasores

En términos de fasores, la ecuación de un circuito RC serie excitado por VG = Vgexp(θg) es, según la ley de Kirchoff de voltajes:

IC

jRCj

IRIVVV CRG ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+=+=

ωω1

Ec. 42

Por tanto, la impedancia del circuito RC serie es:

CjRZZ

IVV

IV

jZ CRCRG

ωω 1)( +=+=

+==

Ec. 43

Despejando el fasor de la intensidad de corriente que atraviesa el circuito queda y multiplicándola por la impedancia del condensador, resulta el fasor de voltaje en el condensador:

( )CRjV

CjR

VCj

V

CjR

VI GG

CG

ωω

ωω

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=11

11

Ec. 44

que, expresado en forma de módulo y fase, es:

))]((exp[)(1

)exp(2

RCarctgjRC

VjVV g

gCCC ωθ

ωθ −

+==

Ec. 45

Para obtener la expresión temporal del voltaje en el condensador se multiplica el fasor por

el término exp(jωt) y se toma la parte real:

)](cos[)(1

)exp())]((exp[)(1

Re)(

2

2

RCarctgtRC

V

tjRCarctgjRC

Vtv

gg

gg

C

ωθωω

ωωθω

−++

=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+

=

Ec. 46

Observaciones: a) La respuesta forzada a una entrada sinusoidal es otra señal sinusoidal de la misma

frecuencia, pero cuya amplitud y ángulo de fase dependen de la frecuencia. Recordar que la respuesta forzada está gobernada por la señal de entrada y corresponde al régimen estacionario o permanente del circuito.

b) Comparemos la sencillez del método de resolución con fasores con la laboriosidad que requiere resolver la ecuación diferencial del circuito.

2.3 Filtros en frecuencia

El módulo del fasor de tensión en el condensador corresponde a la amplitud de la señal sinusoidal en el tiempo 3F3F

4 y depende de la frecuencia:

2)(1)(

RC

VV g

Cω

ω+

=

Ec. 47

Mientras que su fase (argumento) indica la fase del voltaje sinusoidal en el condensador:

)()](arg[ RCarctgV gC ωθω −=

Ec. 48 Con respecto a la amplitud del voltaje en el condensador podemos observar lo siguiente: 1. Para frecuencias suficientemente elevadas, la amplitud del voltaje en el conden-

sador se hace muy pequeña.

4 Se trata de la amplitud de pico o del valor eficaz, según se hayan tomado corrientes y tensiones para el cálculo.

2. Para frecuencias suficientemente bajas, la amplitud es aproximadamente constante y cercana a la del generador de señal.

Por tanto, tomando el voltaje en los terminales del condensador como señal de salida, el

circuito se comporta como un filtro “paso-bajo” RC, que “deja pasar con poca atenuación” las bajas frecuencias y atenúa considerablemente las frecuencias elevadas. No hay una transición brusca, sino gradual, entre ambas regiones de frecuencia. Por ello, es útil definir, convencionalmente, una frecuencia de corte, fc, para delimitar ambas regiones de frecuencia o bandas del filtro. Un criterio muy usual es tomar la siguiente frecuencia de corte:

][2

1][1 1 HzRC

fsradRC cc π

ω =⇒= − (frecuencia de corte filtro RC) Ec. 49

Las frecuencias inferiores a la de corte constituyen la banda de paso o de transmisión;

las superiores constituyen la banda de corte o de atenuación.

2.4 Función de transferencia / respuesta en frecuencia La relación SALIDA/ENTRADA de un sistema lineal se denomina función de

transferencia del sistema, y es una magnitud que depende de la frecuencia. Normalmente, la función de transferencia se expresa en función de la frecuencia compleja s, relacionada con la transformación de Laplace. En el estudio del régimen sinusoidal permanente a la frecuencia ω, tenemos s = jω. En este caso, a la función de transferencia se la denomina respuesta en frecuencia. En este documento utilizaremos indistintamente ambos términos.

La función de transferencia del filtro paso-bajo RC, en módulo y fase, es: Función de transferencia, filtro RC:

)()(

1

1

)(1

1)()(

)(22

RCarctgH

ffRCV

VH

V

c

G

CV

ωω

ωωω

ω

−=∠

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+

==

Ec. 50

Observar que, a la frecuencia de corte:

4)(,

21)( πωω −=∠= cVcV HH

Ec. 51

Es decir: la amplitud de la señal se ha reducido al 70% de su valor máximo, aproximadamente.

Observar que, en este caso particular, la función de transferencia representa la atenuación de voltaje en el circuito, αV(ω): (VOLTAJE DE SALIDA)/(VOLTAJE DE ENTRADA). La atenuación se suele expresar en decibelios (dB). Ver el apéndice.

][])(1[log10)(log10)( 2

102

10 dBRCHVV ωωωα +=−=

Ec. 52 El signo menos delante del logaritmo se pone para que la atenuación en dB resulte ≥ 0. A la frecuencia de corte, la atenuación es

dBH cVcV 3]2[log10)(log10)( 102

10 ≈=−= ωωα

Ec. 53 Se habla así del ancho de banda a 3 dB, que es B = fc Hz.

3 Ejemplo práctico: Circuito RLC serie La ecuación del circuito RLC serie, en el análisis por mallas, se obtiene de la ley de

Kirchhoff de voltajes:

IC

LjRCj

ILIjRIVVVV CLR ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=++=++=

ωω

ωω 1

Ec. 54

Por tanto, la impedancia del circuito RLC serie es:

ωωωωω

ωω

ω

ωω

ω

))((1

1

)(

002

20 +−

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

++=++

==

jLRLjR

CLjR

ZZRI

VVVIVjZ CL

CLR

Ec. 55

La frecuencia angular LC10 =ω anula la parte imaginaria de la impedancia y su papel

será discutido más adelante. En forma módulo-argumental, la impedancia es:

)exp(1

)exp()()(2

2Z

Z

jC

LR

jjZjZ

ϕω

ω

ϕωω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

=

Ec. 56

3.1 Diagrama de fasores en el circuito RLC

Recordar que la parte imaginaria de la impedancia, X(jω), se llama reactancia y depende de la frecuencia. Discutiremos su significado después de calcular la corriente en el circuito. El fasor de corriente es:

)](exp[1 2

2

ZggG j

CLR

VZ

VI ϕθ

ωω

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

==

Ec. 57

La corriente en función del tiempo resulta:

)cos(1

)(2

2

Zgg t

CLR

Vti ϕθω

ωω

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=

Ec. 58

Conocida la corriente y la impedancia de cada elemento, calculamos el fasor de voltaje en

cada elemento aplicando la ley de Ohm generalizada:

)](exp[1 2

2

ZggR j

CLR

RVRIV ϕθ

ωω

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

==

Ec. 59

)](exp[1

222

πϕθ

ωω

ωω +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

== ZggL j

CLR

LVLIjV

Ec. 60

)](exp[1

122

2

πϕθ

ωωω

ω−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

== ZggC j

CLRC

VCj

IV

Ec. 61

En el diagrama fasorial de la figura 1, las longitudes de los fasores representan las

magnitudes de los voltajes (o de la corriente) en cada elemento y los ángulos los desfases relativos.

3.2 Resonancia, factor de calidad y ancho de banda Existe una frecuencia, f0, a la que la impedancia del circuito es mínima, RfZ =)( 0 : Frecuencia de resonancia del circuito RLC serie:

LCf

π21

0 =

Ec. 62

En consecuencia, la corriente es máxima y está en fase con el voltaje del generador. Esta es la situación física de resonancia en el circuito RLC serie.

Es inmediato comprobar que, a la frecuencia de resonancia, los voltajes en la bobina y el condensador tienen la misma amplitud pero están en oposición de fase (desfasados π rad, o 180º):

VR

VC

VL

ϕZ

VG = VR + VL + VC

Fig. 1

I 90º 90º

CZggZggL VjVRC

jVR

LV −=+−=+−= )](exp[1)](exp[ 2

02

0 ππ ϕθω

ϕθω

Ec. 63

Definimos el factor de calidad del circuito como sigue: Factor del calidad del circuito RLC serie:

RCL

RCRL

Q ===0

0 1ω

ω

Ec. 64

Observar que, en resonancia, el voltaje máximo en la bobina y el condensador es igual, en

amplitud, al voltaje del generador amplificado por el factor de calidad. El factor de calida tiene otra interpretación, que veremos a continuación:

Podemos estudiar el circuito RLC serie también como un filtro. Tomando como señal de salida el voltaje en la resistencia, tenemos la siguiente función de transferencia:

22 1

)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

==

CLR

RVV

jHG

RV

ωω

ω

Ec. 65

Así elegida la salida, el sistema constituye un filtro “paso-banda”, que “deja pasar” la

banda de frecuencias centrada entorno a ω0, denominada frecuencia central o de resonancia. La banda de paso esta definida por el intervalo comprendido entre las frecuencias angulares ω1 y ω2 donde la amplitud del voltaje de salida está atenuado en 1/√2 ≈ 71% = 3 dB, con respecto a la amplitud del voltaje de salida máximo (ver la fig. 2). Por esta razón, el ancho de la banda de paso, B3dB = (ω2 – ω1)/2π = f2 – f1 [Hz] recibe el nombre de ancho de banda a 3 dB.

IMÁX 0,7IMÁX

ω

ω1 ω0 ω2

Fig. 2

Aplicando la definición del ancho de banda a 3 dB, es fácil obtener la siguiente relación

entre frecuencia de resonancia, ancho de banda y factor de calidad:

][03 Hz

Qf

B dB =

Ec. 66

Observemos el papel del factor de calidad Q en la selectividad de frecuencias del

circuito: un factor de calidad elevado produce un filtro con una banda de paso estrecha (filtro

selectivo) y, por tanto, un “pico de resonancia” agudo, así como voltajes elevados en la bobina y el condensador. Para frecuencias próximas a la de resonancia:

2

321

0

2

0

0 1

1

21

1)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

≈=

dB

G

RV

BffQ

VV

jH

ωωω

ω

Ec. 67

4 Ejemplo: Examen de T.C. II, junio de 2006. C.P.S., U. de Zaragoza PROBLEMA 2 (3,5 puntos). El siguiente circuito se encuentra funcionando en régimen permanente sinusoidal a la frecuencia angular ω rad/s con el interruptor cerrado. El fasor de voltaje del generador tiene amplitud Vg (Vpico) y fase 0 rad.

R1

CR

L

Vg

Int

Se pide:

a) Calcular la impedancia del circuito, Z(jω), vista hacia la derecha del generador. b) Calcular el fasor de voltaje en el condensador, VC, suponiendo que la frecuencia angular del

generador es ω = 1/(LC)1/2 rad/s. c) Calcular la expresión del voltaje en el condensador, vC(t), a partir de su fasor VC. d) Calcular el fasor de voltaje en la resistencia, VR, a partir del fasor VC calculado previamente.

Se abre el interruptor en un instante de tiempo (que no se pide calcular) en que la corriente por la bobina es iL = 0 y el voltaje en el condensador es vC = vC0 ≠ 0 (no se pide calcular este valor). Tomando dicho instante de tiempo como nuevo origen de tiempos (t = 0), estudiamos el régimen transitorio del circuito:

e) Escribir la ecuación diferencial de la corriente en la malla RLC, i(t), en t ≥ 0. f) Calcular i(t) en función de R, L y C suponiendo que R < 2(L/C)1/2 (es decir, que el factor de

amortiguamiento ξ < 1) y representarla gráficamente. ¿A qué tipo de amortiguamiento corresponde esta situación?

Si R = 100 Ω, L = 1 mH y C = 0,1 μF: g) Obtener la expresión numérica del voltaje en la resistencia en t ≥ 0. h) Estimar la duración del transitorio.

a) Impedancia del circuito, Z(jω), vista hacia la derecha del generador.

( )

( ) ][1

||1||

)(

211

1

Ω+−

++=++=

++=

=

RCjLCLjRRLjR

CjR

ZZZRI

VjZ

LRC

G

ωωωω

ω

ω

Ec. 68

b) Calcular el fasor de voltaje en el condensador, VC, suponiendo que la frecuencia

angular del generador es ω = 1/(LC)1/2 rad/s.

( )

ZRZ

VZ

ZZZVV G

LRCGC

1|| −=

+=

Ec. 69

Si ω = 1/(LC)1/2 rad/s, la impedancia Z(jω) se simplifica:

][,

)(

00

20

1

11

Ω=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

++=

CLZjZ

RZ

R

CLj

RCLR

RCjLjRRjZ

ωωω

Ec. 70

Así:

0

20

1

0

20

1

jZR

ZR

jZR

Z

VZ

RZVV GGC

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

−=

Ec. 71

En los apartados c) y d) se ilustra la interpretación de una relación entre fasores como la

anterior. c) Calcular la expresión del voltaje en el condensador, vC(t), a partir de su fasor VC.

)cos()](exp[Re

)exp()exp(Re)exp(Re)(

CCCC

CCCC

tVtjV

tjjVtjVtv

ϕωϕω

ωϕω

+=+=

==

Módulo de VC:

20

220

1

20

220

0

20

1

0

20

ZR

ZR

ZR

Z

VjZ

RZ

R

jZR

Z

VV GGC

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

Fase de VC:

RZ

R

Zarctg

ZRarctg

jZR

ZRjZ

RZ

V

G

GC

20

1

0

0

0

20

10

20

0+

+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∠−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∠+∠=ϕ

(recordar que la fase de VG = 0, dato del problema) d) Calcular el fasor de voltaje en la resistencia, VR, a partir del fasor VC calculado

previamente.

Aplicando la regla del divisor del voltaje a los fasores:

LjRRVV CR ω+

=

Ec. 72

Esta expresión indica que existen las siguientes relaciones de módulo y fase entre los

fasores de voltaje:

22 )( LR

RVVLjR

RVV CRCRωω +

==+

=

Ec. 73

RLarctgV

LjRRVV

C

CR

ωω

−+∠=

+∠−∠+∠=∠

0

)(

Ec. 74

Por tanto, concluimos que:

• El módulo del fasor de voltaje en la resistencia es menor que el módulo del fasor de voltaje en el condensador. Observar que la regla del divisor de tensión no se aplica con los módulos de los fasores y de las impedancias. Es decir:

LjRR

VV CR ω+≠

Ec. 75

La relación entre el módulo de los fasores es también la relación entre las amplitudes máximas de los voltajes en el dominio del tiempo.

• El fasor de voltaje en la resistencia está retrasado un ángulo arctg(ωL/R) con respecto al fasor de voltaje del condensador. Los voltajes en el dominio del tiempo tienen el mismo retraso relativo.

N.B.: En los siguientes apartados se pide estudiar el régimen transitorio al abrir el interruptor en el circuito. El método de fasores no es aplicable en este caso, sino solamente en el régimen permanente sinusoidal.

e) Escribir la ecuación diferencial de la corriente en la malla RLC, i(t), en t ≥ 0. La ley de Kirchoff de voltajes aplicada a la malla da:

0)()()(1

0

00 =+++

=++

∫ tRidt

tdiLdiC

v

VVVt

C

RLC

ττ

Derivando y reordenando términos:

0)(1)()(0)()()(12

2

2

2

=++⇒=++ tiLCdt

tdiLR

dttid

dttdiR

dttidLti

C Ec. 76

f) Calcular i(t) en función de R, L y C suponiendo que R < 2(L/C)1/2 (es decir, que el

factor de amortiguamiento ξ < 1) y representarla gráficamente. ¿A qué tipo de amortiguamiento corresponde esta situación?

Se trata de una ecuación diferencial lineal homogénea de 2.º orden. Ensayamos una solución general de tipo Aexp(st), donde s es una constante compleja que deberemos determinar. Sustituimos Aexp(st), en la ecuación y obtenemos que, para que Aexp(st) sea una solución de la ecuación dada,

LCLR

LRs

LCs

LRs 1

2201 2

2,12 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±−=⇔=++

Ec. 77

El enunciado del ejercicio indica que:

012

22

<−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒<

LCLR

CLR

Entonces resulta:

0

2

2,1 21

2ωα j

LR

LCj

LRs ±−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−±−=

Ec. 78

Las dimensiones de α (coeficiente de atenuación) son s– 1 y las de ω0 (frecuencia angular) rad s– 1. La diferencia formal de unidades (“formal” porque el radián es adimensional) radica en la j que multiplica a ω0. Razonar el porqué.

Por tanto, la solución general de la ecuación de la corriente es:

)]exp()exp()[exp(])exp[(])exp[(

)exp()exp()(

00

00

21

tjBtjAttjBtjA

tsBtsAti

ωωαωαωα

+−−=+−+−−=

+= Ec. 79

Esta expresión tiene dos constantes indeterminadas, como corresponde a una ecuación lineal de 2.º orden. Para calcular dichas constantes aplicaremos las condiciones auxiliares del problema. Podemos prever que, para que i(t) tome siempre valores reales, deberá ser B = A*. Entonces resulta:

)exp(Re2)exp()]exp(*)exp()[exp()(

0

00

tjAttjAtjAtti

ωαωωα

−×−=+−−=

Ec. 80

Condición auxiliar de corriente en la bobina:

Im0Re0Re2)0(0)0( AjAAAiiL =⇒=⇒==⇒=

Ec. 81 Condición auxiliar de voltaje en el condensador:

000

)()0()0(=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=−⇒=

tCCC dt

tdiLRivvv

Ec. 82

)(2

)(2)Im(2)Im()Re(2Re2)(

)()(

)()0(

0

0

0001

**11

**11

*0

0

Ljv

A

ALjALAjjLAsLLAsAs

LAsAsRAA

dttdiLRiv

C

tC

ω

ωωωα

=⇒

−==−−==+=

+++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=−

=

Sustituyendo A en la ecuación 80, obtenemos, finalmente:

0,)()exp(

)]()[cos(Re)exp(

)exp(Re)exp(

)exp(Re2)exp()(

00

0

000

0

00

0

0

≥−−=

−×−=

−×−=

−×−=

ttsentL

v

tjsentLj

vt

tjLj

vt

tjAtti

C

c

c

ωαω

ωωω

α

ωω

α

ωα

Ec. 83

N.B.: Comprobamos que este resultado no podría haberse obtenido aplicando un análisis de fasores. El método de fasores no puede aplicarse en el régimen transitorio.

g) Obtener la expresión numérica del voltaje en la resistencia en t ≥ 0.

0,)()( ≥= ttRitvR

h) Estimar la duración del transitorio. La corriente en la malla es de tipo sinusoidal amortiguado. El amortiguamiento es debido

al término exponencial decreciente. Por tanto, la constante de tiempo será:

ατ 1= Ec. 84

Y la duración aproximada del transitorio, 5 veces la constante de tiempo. Con los valores

numéricos de R y L dados, resulta ser 0,1 ms.