FASÍCULO:

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Teorema.

Sea un espacio vectorial sobre y sea un producto interno en ; entonces,

:

i)

ii)

iii)

iv)

Ejemplo: Sean el espacio vectorial con el producto interno definido por

, y los vectores

Si son los ángulos entre los vectores y y los vectores y respectivamente.

Obtener .

*Solución.

- Condición de Ortogonalidad.

Con un producto interno complejo:

*No es ortogonal a pesar de que el producto interno dio 0. Esto sucedió debido a que sólo fue

tomada la parte real. Para que sea ortogonal debe dar 0 en la parte real e imaginaria.

Ejemplo:

Sea un espacio con producto interno complejo y tales que y .

Determinar

Elevando al cuadrado:

Norma de un vector.

Definición.

Sea un espacio vectorial sobre y sea un producto interno en . Se llama norma

de , y se representa con , al número real no negativo definido por

- Propiedades (Teorema)

Si es un espacio vectorial con producto interno, entonces y :

i)

ii)

iii)

iv)

Distancia entre dos vectores.

Definición.

Sea un espacio vectorial con producto interno, y sean . Se llama distancia de a

, y se representa con al número real definido por

- Propiedades

(Teorema).

Si es un espacio vectorial con producto interno, entonces :

i)

ii)

iii)

iv)

Ángulo entre vectores.

Definición.

Sea un espacio vectorial con producto interno real, y sean dos vectores no nulos de

. Se llama ángulo entre y al número real , en el intervalo , tal que

Ortogonalidad.

Definición.

Sea un espacio vectorial con producto interno. Dos vectores son ortogonales si

.

Teorema de Pitágoras (Teorema).

Sea un espacio vectorial con producto interno y sean . Si son ortogonales

entonces:

Definición.

Sea un espacio con producto interno y sea un conjunto de vectores

de . Se dice que es un conjunto ortogonal cuando

Si además , el conjunto es ortonormal.

Definición.

Sea un espacio con producto interno y sea una base ortogonal.

Entonces

, donde

En particular, si B es una base ortonormal

Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt.

Proyección vectorial

Proyección vectorial

Proyección vectorial

Proyección vectorial

Base ortogonal

Proyección vectorial

- Ejemplo. Sea el conjunto de vectores un generador de

. Determinar a partir de G:

a) Una base ortogonal

b) Una base ortonormal

Solución.

a) Base ortogonal

b) Base ortonormal.

- Proceso de ortogonalización de Gram (Teorema).

Sea un espacio con producto interno y sea un generador de . El

conjunto donde

Es un generador ortogonal de

- Ejemplo. Sea el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual

a 2 con coeficientes reales. una base de y el producto interno en

definido por

a) A partir de B, determinar una base ortogonal de .

Solución.

Sea el espacio vectorial real de polinomios de grado menor o igual a 2 con coeficientes

reales con producto interno definido por

Y sea un subespacio de que tiene como una de sus bases al conjunto

a) Determinar la proyección del vector sobre

b) Expresar al vector como una suma , donde y pertenece al

complemento ortogonal del espacio .

Teorema de Proyección.

Sea un espacio con producto interno y sea un subespacio de . Para cada vector

existe uno y sólo un vector tal que

Dicho vector es la proyección de sobre .

a)

Base ortogonal.

La base ya era ortogonal

Sea el producto interno en definido por

Y sea . Determinar el vector cuya distancia al

vector sea mínima.

Complemento ortogonal.

Para el producto interno usual en , obtenga el complemento ortogonal de cada uno

de los subespacios siguientes de y dar una interpretación geométrica de dichos

complementos.

a)

Solución.

b)

Solución.

Sea el espacio vectorial de las matrices de con elementos reales

un subespacio de y el producto interno en definido

por:

a) Determinar el complemento ortogonal de W

b) Expresar al vector como , donde y

PRODUCTO INTERNO USUAL Espacios

Espacios

Espacios

Matrices M x n

t

Ejemplo.- Verificar si el siguiente es un producto interno de :

Solución:

1.-

Se cumple

2.-

Factorizando II:

Comparando I y II:

Se cumple

3.-

4.-

Se cumple

Ejemplo.- Sea el espacio vectorial con el producto interno definido por:

Y los vectores Si son los ángulos entre los vectores y y los vectores y respectivamente. Obtener :

Ejemplo.- Sea V un espacio con producto interno complejo y tal que:

y , determinar:

Solución:

Entonces:

Ejemplo.- Sea el conjunto un generador de E2. Determinar a

partir de G: a) Una base ortogonal

b) Una base ortonormal

Ejemplo.- Sea el espacio vectorial real de polinomios de grado menor ó igual a 2 con

caracteres reales, una base de y el producto interno en definido por:

Ejemplo.- Para el producto interno usual en , determinar el complemento ortogonal de

cada uno de los subespacios siguientes de : a)

b)