CRITERIO ECONOMICO PARA EL PROYECTO

DE CANALES REVESTIDOS

Hector Daniel Farias

INTRODUCCIÓN

Habitualmente, en la práctica ingenieril, el diseño de canales está fuertemente

condicionado por restricciones de índole económico. En particular, para el caso de los canales revestidos, los costos que involucran los materiales y mano de obra empleados para el revestimiento, pasan practicamente a gobernar las decisiones a tomar.

El objetivo de este apunte es el de demostrar que las restricciones económicas pueden

combinarse con las relaciones hidráulicas, para obtener un criterio racional que permita el diseño de canales revestidos, sin recurrir al empleo de gráficos empíricos ni tablas, sinó unicamente empleando herramientas analíticas.

RELACIONES HIDRÁULICAS

Para el caso de flujo permanente y uniforme en un canal prismático, las características

friccionales pueden expresarse a través de una fórmula para velocidad media del flujo, en función de un coeficiente de resistencia, el radio hidráulico y la pendiente longitudinal.

Habitualmente, se emplean tres ecuaciones típicas para la velocidad media, a saber:

• Ecuación de Chézy:

V = C R1/2 S1/2 ( 1)

• Ecuación de Darcy-Weisbach:

V = (8g/f)1/2 R1/2 S1/2 ( 2)

• Ecuación de Manning:

V = (1/n) R2/3 S1/2 ( 3)

m

m

k1

En ellas, V indica la velocidad media del flujo en la sección transversal, en m/s, g representa la aceleración de la gravedad (m/s2), S la pendiente longitudinal (adimensional), R el radio hidráulico (Area/Perímetro mojado) del flujo en mts., y C es el coeficiente de resistencia de Chézy (m1/2/s), f el factor de fricción de Darcy-Weisbach y n el coeficiente de rugosidad de Manning.

Como puede advertirse, todas las funciones de fricción pueden reducirse a un formato

generalizado, tal como el siguiente:

V = k0 R Sk2 ( 4) donde k0, k1 y k2 son constantes numéricas.

Sin embargo, la mayoría de los estudios actuales sobre hidráulica de canales han

adoptado como estándar para caracterizar la resistencia al escurrimiento a la Ecuación de Manning. Por esta razón, en adelante se empleará la ec. 3 para evaluar la velocidad media del flujo en un canal.

Combinando la fórmula de Manning con la ecuación de continuidad (Q=AV), el caudal

puede expresarse de la siguiente manera: Q = (1/n) A R2/3 S1/2 ( 5)

donde Q es el caudal en m2/s, n es el coeficiente de rugosidad que depende de la naturaleza de los contornos del canal, A el area de la sección transversal (m ), R el radio hidráulico (m) y S la pendiente longitudinal del canal. Un parámetro geométrico importante, que permitirá aligerar la notación en los desarrollos matemáticos que siguen, es el denominado factor de sección para flujo uniforme (Chow, 1959), el cual se define como sigue:

ZS = A R 2/3 = n Q / S 1/2 ( 6)

Por su parte, si la sección transversal del canal es trapecial (la geometría de diseño más

frecuentemente empleada en la práctica), las características de la sección (A, R y el perímetro mojado P) pueden expresarse en función del ancho de fondo b, la profundidad del flujo h y la inclinación de los taludes m (m horizontal : 1 vertical), mediante las siguientes relaciones (ver Fig. 1):

A = b h + m h2 ( 7)

P = b + 2 [1 + m2]1/2 h = b + 2 k h ( 8)

R = (b h + m h2)/(b + 2 k h) ( 9)

donde:

m

S

S m

k = [1 + m2]1/2 (10)

Teniendo en cuenta estas relaciones, el factor de sección queda expresado en la forma: Z = A5/3 P-2/3 = [b h + m h2]5/3

[b + 2 km h] -2/3 (11)

o bien:

Z = (b/h + m)5/3

(b/h + 2k )-2/3 h8/3 (12)

e introduciendo la razón de aspecto, definida como:

Γ = b/h (13) se obtiene:

5 2 1/3

8/3

ZS = [(Γ + m) /(Γ + 2km) ] h (14)

de la cual puede obtenerse el tirante h :

2 5 1/8

3/8

h = [(Γ + 2km) /(Γ + m) ] ZS (15)

o sea que se obtiene una ecuación para la profundidad del flujo del tipo:

h = ψ(m,Γ) [n Q / S1/2]3/8 (16) la cual, desde un punto de vista matemático, es implícita en h. Por lo tanto, se requiere una relación adicional para Γ con el fin de encontrar una solución al problema.

Un criterio clásico para la resolución del problema es el que se basa en el concepto de

"sección hidráulica óptima". Esta sección varía con el tipo de geometría adoptada (Chow, 1959; French, 1988). En particular, para sección trapecial se obtiene:

Sección Hidráulica Optima:

R = h/2 (17)

Γ = 2(km - m) (18)

2 5 1/8

1/2 3/8

1/2 3/8

h = [(4km - 2m) /(2km - m) ] [n Q / S ] = Ψ(m,Γ) [n Q / S ] (19)

Sin embargo, no siempre es posible adoptar esta sección como la sección para el diseño definitivo del canal. Las razones para ello son múltiples y variadas (Chow, 1959). Generalmente, el diseño hidráulico se debe compatibilizar con los materiales de cosntrucción disponibles y la metodología constructiva del canal. Ello implica, a su vez, una fuerte dependencia de los parámetros de diseño de una serie de factores económicos. Este estudio trata el caso de los canales revestidos, y en particular, los revestimientos convencionales, como hormigón y mampostería. En los paragrafos siguientes, se introducirán una serie de relaciones funcionales que permiten vislumbrar la interdependencia entre los factores puramente hidráulicos y aquellos ligados a los costos, en el diseño de canales revestidos.

RELACIONES ECONÓMICAS

Costo del Material de Fondo

El costo de los materiales a emplear en la construcción de aquella porción del contorno de

la sección transversal del canal correspondiente al fondo del mismo, puede estimarse con la siguiente expresión:

Cf = Uf ∀f /Lf (20)

en la que Cf es el costo volumétrico por unidad de longitud de desarrollo del canal (expresado en $/m u otra unidad conveniente), Lf es la longitud de solera correspondiente al tramo bajo consideración, ∀f el volumen de material contenido en la distancia Lf , y Uf el costo unitario (por unidad de volumen) de los materiales constitutivos del fondo del canal.

Teniendo en cuenta las dimensiones de la sección transversal indicadas en el esquema de

la Fig. 1, la ec. 20 puede transformarse en la siguiente: Cf = Uf ef (b + 2 w) (21)

pero, a su vez:

w = km et (22)

entonces:

Cf = Uf ef b + 2 Uf ef et km (23)

Con la única finalidad de aligerar las relaciones, esta ecuación puede re-escribirse de la

siguiente manera: Cf = αf b + βf (24)

la cual indica, en primera instancia, que para taludes dados, espesores establecidos, y costos unitarios volumétricos fijados, el costo de materiales del fondo guarda una relación lineal con el ancho de solera b.

Costo del Material de Taludes

De manera análoga al caso anterior, el costo de materiales de taludes puede escribirse

como sigue: Ct = Ut ∀t /Lt (25)

O bien:

Ct = Ut et 2 (lh + lr) (26) pero: lh = km h y lr = km r , luego:

Ct = Ut et 2 km (h + r) (27)

Finalmente:

Ct = 2 αt km (h + r) (28)

Costo Total:

El costo total, se obtiene sumando los costos indicados en la Ecs. 24 y 28. De esta

manera, se obtiene: CT = Cf + Ct = αf b + 2 αt km (h + r) + βf (29)

O sea que, para valores establecidos de los costos unitarios, la inclinación de los taludes

(que generalmente se fijan atendiendo a requerimientos geotécnicos) y la altura de libre bordo (revancha), la ecuación de costo total puede representarse matemáticamente como una relación funcional del ancho de fondo del canal y la profundidad normal del flujo. Es decir:

CT = ΦC (b,h) (30)

ANÁLISIS

Considerando el conjunto de relaciones anteriores, se presenta una situación en la que

necesario resolver un problema matemático de extremales condicionados. Es decir, se debe

minimizar el costo, sujeto al cumplimiento de la condición hidráulica fijada por la ecuación de fricción y de continuidad.

Simbólicamente:

CT = ΦC(b,h) → mínimo (31)

sujeto a:

[ZS - (n Q / S

1/2 )] = ΦH(b,h) = 0 (32) donde:

ΦC : función de costos

ΦH : función de variables hidráulicas

Para resolver este problema, puede emplearse el método de los multiplicadores indeterminados de Lagrange.

La Función lagrangiana será:

Φ(b,h) = ΦC + λ ΦH (33)

donde λ es un multiplicador de Lagrange. La condición de mínimo exige el cumplimiento de las relaciones funcionales siguientes:

∂Φ/∂b = 0 (34)

∂Φ/∂h = 0 (35) desarrollando:

(∂ΦC/∂b) + λ (∂ΦH/∂b) = 0 (36)

(∂ΦC/∂h) + λ (∂ΦH/∂h) = 0 (37)

Eliminando el multiplicador de Lagrange λ, se obtiene:

(∂ΦH/∂b)/(∂ΦH/∂h) = (∂ΦC/∂b)/(∂ΦC/∂h) (38)

H

H

m

m

1 m

2

La Ec. 38 establece la relación básica para encontrar las dimensiones óptimas del canal, bajo el criterio aqui establecido. Para ello, es necesario calcular cada una de las derivadas que aparecen en la E. 38.

Cálculo de las derivadas

• Φ (b,h) = A5/3

P-2/3 - (n Q / S 1/2)

Φ (b,h) = [b h + m h2]5/3 [b + 2 km h]

-2/3 - (n Q / S 1/2)

(∂ΦH/∂b) = (5/3) h R 2/3 - (2/3) R 5/3 (39)

(∂ΦH/∂h) = (5/3) (b + 2 m h) R 2/3 - (4/3) km R 5/3 (40)

• ΦC(b,h) = αf b + 2 αt km (h + r) + βf

(∂ΦC/∂b) = αf (41)

(∂ΦC/∂h) = 2 αt km (42)

Por su parte, la ecuación 38 puede escribirse de la siguiente manera:

(∂ΦH/∂b)(∂ΦC/∂h) - (∂ΦH/∂h)(∂ΦC/∂b) = 0 (43) o bien, desarrollando:

[(5/3) h R2/3 - (2/3) R5/3](2 α k ) - α [(5/3) (b + 2 m h) R2/3 - (4/3) k R5/3] = 0 (44) t m f m

Ahora bien, reemplazando el valor del radio hidráulico

R = (b h + m h2)/(b + 2 k h) (45)

y luego de un extenso desarrollo algebraico, se obtiene la siguiente ecuación:

[20 k 2

- 16 km m (αf/αt) - 4 km m] (h/b) + [6 km - 10 m (αf/αt) - 6 km (αf/αt)](h/b) - 5 (αf/αt) = 0 (46)

Con el objeto de simplificar la notación, pueden llevarse a cabo los siguientes reemplazos:

c = [20 k 2

- 16 km m (αf/αt) - 4 km m] (47) c2 = [6 km - 10 m (αf/αt) - 6 km (αf/αt)] (48)

1

2 2

2

2

c3 = [-5 (αf/αt)] (49)

η = h/b = 1/Γ (50)

De esta manera, se obtiene la ecuación cuadrática siguiente: c η2

+ c2 η + c3 = 0 (51) cuya solución es:

η = [-c + √(c 2

- 4 c1 c3)] / [2 c1] (52)

La Ec. 52 permite calcular directamente la recíproca de la razón de aspecto del canal como una función de la inclinación de los taludes y la relación de costos de revestimiento.

EJEMPLO DE DISEÑO

Se trata de dimensionar un canal de riego, revestido en hormigón, para conducir un

caudal líquido de 1 m3/s, con una pendiente longitudinal del 0.4 por mil. El mismo se excavará en un suelo de buenas condiciones geotécnicas, por lo que resulta factible asignarle a sus taludes una pendiente transversal de 45°. El estudio económico preliminar ha determinado un valor estimativo de 3 $/m2 para el costo de materiales del fondo y de 5 $/m2 para los materiales de los taludes.

Solución

Datos:

Q = 1 m3/s

S = 0.0004

n = 0.014 (estimado a partir de la información de revestimiento)

m = 1

Costo de materiales del fondo: αf = 3 $/m

Costo de materiales de taludes: αt = 5 $/m

Cálculo:

m

En primer término, se calcula el factor de sección para flujo uniforme:

[n Q / S1/2] = 0.7 m.8/3

La relación de costos es: αf/αt = 3/5 = 0.6

Además:

k = (1 + 1)0.5

= 1.4142 De donde pueden determinarse los coeficientes de la función económica:

c1 = 20.767

c2 = - 2.606

c3 = - 3.0

Resolviendo la ecuación cuadrática, se obtiene:

η = 0.448 , de donde: Γ = b/h = 2.232 Luego, las dimensiones finales del canal se obtienen con las relaciones hidráulicas. Es decir:

h = [(Γ + 2 k )2/(Γ + m)5]1/8

m Z 3/8 = 0.7205 · 0.7

S 3/8

b = Γ h = 1.406 m.

En la Fig. 2 se presenta un esquema del canal diseñado.

REFERENCIAS

Chow,V.T. Open Channel Hydraulics, McGraw-Hill Book Co., Inc., New York, N.Y., U.S.A., 1959. Flynn,L.E. & Mariño,M.A. "Canal Design: Optimal Cross Sections", Journal of Irrigation and Drainage Engineering, ASCE, Vol.113, No. 3, August 1987, pp._335-355. French,R.H. Hidráulica de Canales Abiertos, McGraw-Hill Interamericana S.A., Naucalpan de Juarez, Mexico, 1988. Kraatz,D.B. Irrigation Canal Lining, Irrigation and Drainage Paper No.2, Food and Agriculture Organization of the U.N., Rome, Italy, 1971.

Streeter,V.L. & Wylie,E.B. Mecánica de los Fluidos (8a.Ed.), McGraw-Hill Interamericana S.A., Naucalpan de Juarez, Mexico, 1987. Trout,T.J. "Channel Design to Minimize Lining Material Costs", Journal of the Irrigation and Drainage Division, ASCE, Vol.108, No. IR4, December 1982, pp. 242-249.

Figura 1.- Esquema de definición para las variables a considerar en un canal revestido de sección transversal trapecial.

Figura 2.- Esquema de definición para el ejemplo sobre diseño de un canal revestido, en base al criterio económico.