FACULTAD DE CIENCIAS F ISICAS Y MATEMATICAS …

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE MATEMATICAS

ECUACIONES DE SAINT – VENANT PARA SIMULAR

FLUJOS EN CANALES ABIERTOS

INFORME FINAL DE LA PRACTICA PRE-PROFESIONAL

PARA OPTAR AL TITULO DE:

LICENCIADO EN MATEMATICAS

AUTOR: Br. RODIAK NICOLAI FIGUEROA LOPEZ

ASESOR: Dr. OBIDIO RUBIO MERCEDES

Trujillo - Peru

2017

Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT

Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/

BIBLIOTECA DE CIENCIAS F

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Y MATEMÁTICAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE MATEMATICAS

ECUACIONES DE SAINT – VENANT PARA SIMULAR

FLUJOS EN CANALES ABIERTOS

INFORME FINAL DE LA PRACTICA PRE-PROFESIONAL

PARA OPTAR AL TITULO DE:

LICENCIADO EN MATEMATICAS

Autor:

Br. Rodiak Nicolai Figueroa Lopez

Asesor:

Dr. Obidio Rubio Mercedes

Trujillo - Peru

2017




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Jurado

Dr. Jose Olivencia Quinones

Presidente

Dr. Ulices Zavaleta Calderon

Secretario

M.Sc. Ronald Wiston Leon Navarro

Vocal




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Dedicatoria

Dedicado a mis papas, Manuel y Felisa,

a mis queridas hermanas, Milenka y Tatiana,

a mi tıa Carmela y a mi abuelita Yolita.




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Agradecimiento

En primer lugar, quiero agradecer a Dios, por todas las alegrıas y oportunidades

maravillosas para ser feliz.

Mis agradecimientos con todo carino y amor para mi familia, mis papas, Manuel

y Felisa, a mis hermanas, Milenka y Tatiana, a mis tıas, Carmelita y Nelly, y a

mi novia Rebecca por ser siempre mi apoyo, fuerza, inspiracion y alegrıa en este

caminar de la vida. A mi abuelita, Yolita (In Memorian), por todas las ensenanzas

y amor recibido.

Quiero agradecer igualmente a mi asesor Dr. Obidio Rubio Mercedes por la

orientacion, paciencia, amistad y por todos los conocimientos transmitidos. Tambien

a mi co-asesor M.Sc. Orlando Hernandez Bracamonte por toda la ayuda y las largas

conversaciones matematicas.

Me gustarıa agradecer de igual modo a los miembros del jurado, los profesores:

Dr. Jose Olivencia Quinones, Dr. Ulices Zavaleta Calderon y M.Sc. Ronald Leon

Navarro, por la disponibilidad y las excelentes sugerencias para mejorar esta inves-

tigacion.

Gracias tambien al profesor Dr. Enrique Domingo Fernandez Nieto de Universi-

dad de Sevilla por la ayuda e incentivo para desarrollar esta investigacion y tambien

enviandome su tesis doctoral. Asimismo, agradecer a la profesora Dra. Maria Elena

Vazquez Cendon de la Universidad de Santiago de Compostela por el envıo de su

tesis doctoral.

A mis amigos, que siempre me apoyaron e incentivaron en todo este tiempo y

por su paciencia en mis malos ratos.




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A todas las personas, que de alguna forma contribuyeron a la conclusion de esta

investigacion.




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Presentacion

Senores miembros del jurado:

En cumplimiento a lo estipulado en el reglamento de Grados y Tıtulos de la

Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas de la Universidad Nacional de Trujillo,

es un honor presentar a vuestra consideracion el presente trabajo titulado:

ECUACIONES DE SAINT – VENANT PARA SIMULAR FLUJOS

EN CANALES ABIERTOS.

Con el proposito de obtener el Tıtulo Profesional de Licenciado en Matematicas.

Agradezco anticipadamente sus opiniones y crıticas, pues me serviran como

estımulo para continuar mejorando.

El Autor




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Indice general

Resumen XIV

Abstract XVI

INTRODUCCION XIX

I. FLUIDOS Y FLUJOS 1

1.1. Mecanica de Fluidos, Hidrostatica e Hidrodinamica . . . . . . . . . . 1

1.2. Fluido y Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Propiedades de los Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4. Conceptos Basicos del Flujo de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1. Tipos de flujos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.2. Ecuacion de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.3. Ecuacion de cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.4. Enfoque Euleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.5. Descripcion del movimiento de fluidos . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.6. Ecuacion general de conservacion de masa en un volumen de

control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.7. Cinematica de flujos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

II. HIDRAULICA DE LOS CANALES 23

2.1. Flujo en Canales Abiertos y su Clasificacion . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1. Descripcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23




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Y MATEMÁTICAS

xii INDICE GENERAL

2.1.2. Tipos de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.3. Estado del flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2. Canales Abiertos y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.1. Tipos de canales abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.2. Geometrıa del canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.3. Elementos geometricos de la seccion del canal . . . . . . . . . 29

2.2.4. Distribucion de velocidad en la seccion de un canal . . . . . . 31

2.2.5. Distribucion de presion en la seccion de un canal . . . . . . . 32

2.2.6. Efecto de la pendiente sobre la distribucion de presion . . . . 33

2.2.7. Propagacion de la onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

III. ESQUEMA DE DIFERENCIAS FINITAS 41

3.1. Esquema de Diferencias Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.1. Discretizacion del dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.2. Discretizacion de la variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.3. Discretizacion de la ecuacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2. Convergencia, Consistencia y Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.1. La condicion de Courant-Friedrichs-Lewy . . . . . . . . . . . . 48

3.2.2. Analisis de estabilidad de Von Neumann . . . . . . . . . . . . 51

3.3. Metodo de Solucion de Double - Sweep . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3.1. Condicion de Frontera del tipo Dirichlet: un+1J conocido. . . . 62

IV. LAS ECUACIONES DE SAINT - VENANT 63

4.1. Sistema Natural de Coordenadas e Hipotesis Basicas . . . . . . . . . 63

4.2. Modelo Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3. Ecuacion de Conservacion de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4. Ecuacion de Conservacion de Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4.1. Componente del peso en la direccion x . . . . . . . . . . . . . 68

4.4.2. Fuerza de presion en la direccion x . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.5. Fuerza de la resistencia en la direccion x . . . . . . . . . . . . . . . . 72




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INDICE GENERAL xiii

4.6. Caso Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.6.1. Geometrıa del canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.6.2. Conservacion de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.6.3. Conservacion de momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

V. ESQUEMA DE DIFERENCIAS FINITAS DE ABBOTT - IONES-

CU 77

5.1. Algunas soluciones particulares para las ecuaciones de Saint – Venant 78

5.2. Caso homogeneo del esquema de Abbott – Ionescu . . . . . . . . . . . 81

5.2.1. Consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2.2. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2.3. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2.4. Solucion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3. Caso no homogeneo del esquema de Abbott – Ionescu . . . . . . . . . 93

5.3.1. Consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3.2. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.3.3. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3.4. Solucion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Conclusiones 102

Sugerencias 103

Bibliografia 107




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xiv INDICE GENERAL




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Resumen

En la presente investigacion estudiamos las Ecuaciones de Saint–Venant (ESV)

unidimensionales como un modelo matematico para canales abiertos rectangulares

con condiciones de frontera del tipo Dirichlet y el esquema de diferencias finitas

implıcito de Abbott–Ionescu que aproxima las soluciones de las (ESV). El analisis

de convergencia de las soluciones aproximadas es hecho mediante el uso del Teorema

de Equivalencia de Lax–Richtmyer; es decir, analizamos la consistencia y estabilidad

del esquema de Abbott–Ionescu.

Palabras claves: Ecuaciones de Saint–Venant, Esquema de Abbott–Ionescu,

Metodo de doble barrido, Teorema de Lax–Richtmyer.




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xvi INDICE GENERAL




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Abstract

In the present investigation we study the one–dimensional Saint–Venant equa-

tions (ESV) as a mathematical model for rectangular open channels with boun-

dary conditions of the Dirichlet type and the implicit finite difference scheme of

Abbott–Ionescu which approximate the solutions of the (ESV). The convergence

analysis of the approximate solutions is done by using the Equivalence Theorem of

Lax–Richtmyer; that is, we analyze the consistency and stability of Abbott–Ionescu

scheme.

Key words: Saint–Venant equations, Abbott–Ionescu scheme, Double–Sweep

method, Theorem of Lax–Richtmyer.




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Y MATEMÁTICAS

xviii INDICE GENERAL




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Y MATEMÁTICAS

INTRODUCCION

La investigacion de los flujos de agua en canales abiertos es motivada debido a la

existencia de sistemas de regadıo y alcantarillado en nuestra region. Actualmente la

simulacion matematica de tales flujos es empleada para el estudio de prefactibilidad

en la construccion de canales abiertos. De allı su gran importancia para estudiar

y analizar los flujos de fluido en canales abiertos con cierta seccion transversal,

empleando los modelos de la fısica–matematica.

El presente trabajo tiene por objetivos estudiar el modelo matematico de las

ecuaciones de Saint–Venant unidimensionales que describen el fenomeno del flujo

en canales abiertos inclinados con seccion transversal rectangular [10], realizar el

analisis de convergencia del esquema de diferencias finitas de Abbott–Ionescu [3]

que aproxima las soluciones de las ecuaciones de Saint–Venant y usar el metodo de

Double–Sweep para hallar las soluciones de la matriz tridiagonal asociada al esquema

de diferencias finitas de Abbott–Ionescu [2].

Las ecuaciones de Saint–Venant son dados por:

∂h

∂t+ u

∂h

∂x+ h

∂u

∂x= 0, (x, t) ∈ [0, L]× R+,

∂u

∂t+ g

∂h

∂x+ u

∂u

∂x= gS0 − gSf , (x, t) ∈ [0, L]× R+,

h(x, 0) = 0, u(x, 0) = 0, x ∈ [0, L],

h(0, t) = 0, u(0, t) = 0, t > 0,

(ESV)

donde u es la velocidad del flujo, h es la altura del fluido, L es la longitud del canal,

S0 es la pendiente del lecho del canal, Sf es la pendiente de la friccion.

En el primer capıtulo, introducimos las definiciones y conceptos basicos de fluido,




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Y MATEMÁTICAS

xx INDICE GENERAL

flujo, propiedades, tipos, ecuacion de continuidad, ecuacion de movimiento, volumen

de control.

En el segundo capıtulo, describimos algunos comportamientos del flujo dentro de

un canal abierto y algunas de sus propiedades basicas, la geometrıa de los canales,

la definicion del numero de Froude y de un campo de presion hidrostatica.

En el tercer capıtulo, definiremos los conceptos matematicos a seran usados en el

analisis del esquema de diferencias finitas de Abbott–Ionescu empleado para solucio-

nar numericamente las ecuaciones de Saint–Venant (ESV), definimos los esquemas

de diferencias finitas, convergencia, estabilidad y consistencia de los esquemas de

diferencias finitas, el Teorema de equivalencia de Lax–Richtmyer, el analisis de Von

Neumann y el metodo de Double - Sweep.

En el cuarto capıtulo, utilizaremos el enfoque euleriano para estudiar el diagrama

de cuerpo libre y obtener el modelo matematico de las ecuaciones de Saint–Venant

(ESV), a traves de las leyes basicas de la mecanica de fluidos: Ley de conservacion

de la masa y ley de conservacion de momento.

En el quinto capıtulo, las soluciones de las ecuaciones de Saint–Venant (ESV)

seran aproximadas por medio del esquema de diferencias finitas implıcito de Abbot–

Ionescu, dicho esquema tiene asociado un sistema tridiagonal general. Para resolver

este sistema tridiagonal haremos uso del metodo de Double–Sweep. El estudio se

centrara en encontrar las soluciones de la altura “h” y la velocidad “u” en ciertos

puntos de la malla y tendiendo en cuenta que el flujo puede subcrıtico o supercrıtico.

Tambien haremos un estudio detallado del analisis de la convergencia del esquema

de Abbot–Ionescu, usando del Teorema de Equivalencia de Lax–Richtmyer junto

con el criterio de Von Neumann para la estabilidad empleando la linealizacion de

las ecuaciones de Saint–Venant.




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Capıtulo I

FLUIDOS Y FLUJOS

Comenzamos este capıtulo com algunos conceptos y definiciones que nos dan las

nociones necesarias para entender los fenomenos del flujo de un fluido.

Para este capıtulo hemos utilizado basicamente las referencias [26] y [23], para

lecturas complementarias se puede ver [12] y [21].

1.1. Mecanica de Fluidos, Hidrostatica e Hidrodi-

namica

La mecanica de fluidos es la rama de la fısica que se ocupa de la accion de

los fluidos en reposo o en movimiento, ası como de las aplicaciones y mecanismos

de ingenierıa que utilizan fluidos. Es fundamental en areas tan diversas como la ae-

ronautica, la ingenierıa quımica, civil e industrial, la meteorologıa, las construcciones

navales y la oceanografıa. Puede dividirse en dos campos principales: la estatica de

fluidos o hidrostatica y la dinamica de fluidos o hidrodinamica.

La hidrostatica es la rama de la mecanica de fluidos que estudia los fluidos en

reposo. Se ha establecido que no existen esfuerzos tangenciales o rasantes entre

las partıculas de un fluido en reposo. En la hidrostatica, todas las fuerzas actuan

normalmente a una superficie de contorno y son independientes de la viscosidad.

Como resultado, las leyes que rigen son relativamente simples y el analisis se basa




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en una aplicacion directa de los principios mecanicos de fuerzas y momentos. Las

soluciones son exactas y no hay necesidad de recurrir a la experimentacion.

La hidrodinamica es la rama de la mecanica de fluidos que se ocupa de las leyes

de los fluidos en movimiento; estas leyes son enormemente complejas debido a la

influencia de la viscosidad, que produce tensiones rasantes o de rozamiento entre

las partıculas del fluido en movimiento y el contorno que lo rodea. El movimiento

relativo que puede existir entre diferentes elementos del cuerpo fluido, hace que la

presion y las tensiones rasantes puedan variar considerablemente de un punto a otro

de acuerdo con las condiciones del fluido.

1.2. Fluido y Continuo

Fluido: es una sustancia que cambia su forma continuamente siempre que este

sometida a un esfuerzo cortante o rasante, sin importar que tan pequeno sea, carece

de forma, es ligeramente compresible, tiene superficie libre cuando esta contenido en

un recipiente abierto y posee volumen determinado; poca cohesion (atraccion) entre

sus moleculas. Los fluidos pueden dividirse en lıquidos y gases.

Continuo: es la distribucion continua hipotetica de la materia, es decir; el estu-

dio de la materia se centra en las manifestaciones promedio medibles del conjunto de

moleculas en cada parte del recorrido, en lugar de las manifestaciones del conglome-

rado real complejo de la moleculas discretas, en otras palabras, no existen rupturas

o discontinuidades.

1.3. Propiedades de los Fluidos

Debido a la hipotesis del “Continuo” para los fluidos, se definen los siguientes

conceptos:

-Masa (m) de un fluido: es la cantidad de materia que contiene un fluido, esto

es, inercia que el ofrece al movimiento o al reposo.




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1.3 Propiedades de los Fluidos 3

-Peso (W ) de un fluido: es la accion que ejerce la fuerza de la gravedad sobre

un cuerpo.

Observacion 1.1 Segun la segunda ley de Newton y dado que la fuerza de la

gravedad (g) es practicamente constante, tendremos

W = m.g. (1.1)

-Densidad (ρ) de un fluido: es la relacion de la masa m por unidad de volumen

V ; es decir,

ρ =m

V. (1.2)

-Peso especıfico (γ) de un fluido: es la relacion del peso W por unidad de

volumen V ; es decir,

γ =W

V. (1.3)

Observacion 1.2 El Peso Especıfico, la Densidad y la gravedad (g) se relacionan

de la siguiente manera

γ = ρ.g. (1.4)

-Compresibilidad de un fluido: es la medida del cambio de volumen de un

fluido sometido a fuerzas externas, cuando desaparecidas dichas fuerzas vuelve a su

volumen original y se expresa por el Modulo de Elasticidad (K).

En la practica, los lıquidos pueden considerarse incompresibles. Sin embargo,

hay casos, como el flujo variable en tuberıas, en los que hay que tener en cuenta la

compresibilidad.

-Presion atmosferica (Pa): es la presion que ejerce la atmosfera sobre la su-

perficie terrestre, se mide por medio del barometro. La mayorıa de las presiones

que encontramos en la hidraulica estan por encima de la atmosferica y se miden

con instrumentos de medida relativa, por lo tanto, es conveniente tomar la presion

atmosferica como origen. En este caso, se denominan presiones manometricas

cuando estan por encima de la atmosferica y presiones de vacıo cuando estan




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Y MATEMÁTICAS

4

por debajo de ella. Si se toma como origen la verdadera presion cero, se dice que las

presiones son absolutas.

-Presion (P): es la fuerza F normal o perpendicular que actua sobre cada unidad

de superficie A; es decir,

P =F

A. (1.5)

En el caso de un lıquido incompresible en contacto con la atmosfera (ver figura

1.1), la sobrepresion (o presion manometrica), Pm, equivale a

Pm = γ.η, (1.6)

donde γ es el peso especıfico y η es la profundidad bajo la superficie libre.

Figura 1.1: Fuerzas de presion sobre una lamina horizontal sumergida.

Este ultimo termino es la Cota de Presion y generalmente se expresa en al-

tura de columna lıquida. La forma de la ecuacion muestra que la presion aumenta

linealmente con la profundidad. Como la gravedad es la ley fısica que rige estos

fenomenos, la superficie libre de un lıquido en reposo es siempre horizontal y la pre-

sion es la misma en todos los puntos de un plano horizontal dentro de la masa del

lıquido. Mas aun, se demuestra que la presion sobre cualquier partıcula elemental

es la misma en todas direcciones e independiente del angulo de inclinacion de la

superficie elemental.

-El Modulo de elasticidad (K): es dada por

K =∆P

∆V/V, (1.7)




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Y MATEMÁTICAS

1.3 Propiedades de los Fluidos 5

donde ∆P es el aumento de presion que aplicado a un volumen V provoca una

variacion del mismo ∆V . La disminucion del volumen se asocia a un aumento pro-

porcional de la densidad, ası; la expresion (1.5) se puede enunciar tambien como:

K =∆P

∆ρ/ρ. (1.8)

La compresibilidad del agua es despreciable, salvo en algunos estudios especıficos

como los de transmision de ondas elasticas, golpe de ariete, entre otros, se considera

como incomprensible y este es nuestro caso a estudiar.

Cuando los incrementos o aumentos tienden a cero (∆ρ→ 0), tendremos que el

modulo de elasticidad se puede expresar como

K = ρdPdρ, (1.9)

donde P es la presion.

-Velocidad de propagacion (cP): es la variacion de la presion en un fluido, se

mide por

cP =

√K

ρ. (1.10)

-Viscosidad (µ): es la medida de resistencia de un fluido a los esfuerzos tangen-

ciales o rasantes. Dicha resistencia nace de la interaccion y cohesion de las moleculas

del fluido. Todos los fluidos reales tienen viscosidad, aunque en distinto grado. La

tension rasante en un fluido es proporcional a la variacion de este esfuerzo. Se com-

prende que no puede haber tensiones rasantes en un fluido en reposo. Consideramos

un fluido comprendido entre dos placas situadas a muy corta distancia η (Figura

1.2). La placa inferior permanece en reposo, mientras que la superior se mueve con

una velocidad υ.

Se estima que el movimiento del fluido tiene lugar en una serie de capas o lami-

nas infinitamente delgadas, libres para deslizar unas sobre otras. No existe flujo

transversal ni turbulencia. La capa adyacente a la placa estacionaria permanece en

reposo, mientras que la adyacente a la placa en movimiento tiene una velocidad υ.

El ındice de variacion del esfuerzo o gradiente de la velocidad es dυdη

. La viscosidad,




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Y MATEMÁTICAS

6

Figura 1.2: Deformacion debida a la viscosidad.

se define como

µ =tension rasante

gradiente de velocidad=

τdυdη

, (1.11)

de donde

τ = µdυ

dη. (1.12)

Esta expresion para la tension viscosa fue establecida por Newton y se conoce como

Ecuacion de la Viscosidad de Newton. Casi todos los fluidos tienen un coeficiente

de proporcionalidad µ constante, denominandose entonces fluidos Newtonianos.

Observacion 1.3 En muchos problemas concernientes al movimiento de fluidos,

la viscosidad aparece con la densidad en la forma

ν =µ

ρ, (1.13)

donde ν es llamado como Viscosidad Cinematica.

-Fluido ideal o perfecto: es aquel en el que no existen tensiones tangenciales o

rasantes entre las partıculas del fluido. Las fuerzas siempre actuan normalmente a la

seccion y se limitan a fuerzas de presion o de aceleracion. Ningun fluido real cumple

completamente estas condiciones, ya que en todos los fluidos en movimiento existen

tensiones tangenciales que producen un efecto amortiguador en el movimiento. Sin

embargo, el agua, se encuentra proximo al fluido ideal y esta hipotesis simplifica-

dora permite adoptar metodos matematicos o graficos en la resolucion de ciertos

problemas de flujo.




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Y MATEMÁTICAS

1.4 Conceptos Basicos del Flujo de Fluidos 7

Figura 1.3: Relacion entre la tension y gradiente de velocidad.

La figura 1.3 es una representacion grafica de la ecuacion (1.12) y muestra el

diferente comportamiento de solidos y lıquidos bajo tension rasante.

-Caudal (Q): es la velocidad υ por unidad de area de la seccion transversal A,

en el cual el flujo es perpendicular a la direccion de este; es decir,

Q = υ.A. (1.14)

1.4. Conceptos Basicos del Flujo de Fluidos

El movimiento de los fluidos ocasionado por la accion de alguna fuerza (gene-

ralmente la gravedad) se le denomina “Flujo”. Cuando se considera un fluido en

movimiento, el problema de un analisis global se hace mucho mas complejo. No solo

se debe tener en cuenta la magnitud y direccion de la velocidad de las partıculas,

sino que tambien debemos considerar la viscosidad, que produce tensiones rasantes

entre las partıculas del fluido en movimiento.

El analisis matematico aplicado al flujo de fluidos no es aplicable en todos los

casos, debido a las complejidades asociadas al fenomeno del flujo, por este moti-

vo para una manera de facilitar una solucion teorica es la adopcion de hipotesis

simplificadoras o mediante la experimentacion.

La hipotesis simplificadora mas comun es que el fluido sea ideal o perfecto, elimi-

nando ası los complicados efectos de la viscosidad. Esta es la base de la hidrodinamica




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Y MATEMÁTICAS

8

clasica, una rama de la matematica aplicada. Debido a que el agua tiene una visco-

sidad relativamente baja, se encuentra que su comportamiento es en muchos casos

el de un fluido ideal.

La presente seccion esta dedicada a la dinamica fundamental del movimiento

de los fluidos y sirve de introduccion basica con los problemas mas especıficos que

plantea la hidraulica. Las ecuaciones basicas del movimiento de fluidos son: “Ecua-

cion de Continuidad” y “Ecuacion de la Cantidad de Movimiento”; seran deducidas

y se explicara su significado. A todos los efectos, se considerara que el fluido es

incompresible.

1.4.1. Tipos de flujos

-Flujo turbulento: es el regimen en donde la estructura del flujo se caracteriza

por una velocidad variable y fluctuante, superpuesta a una velocidad media; es decir,

el avance de las partıculas es irregular; estas estan sujetas a velocidades transver-

sales fluctuantes con lo que el movimiento resulta mas bien revuelto y sinuoso que

rectilıneo (ver figura 1.4).

-Flujo laminar: es el regimen en donde las partıculas fluidas discurren segun

filetes paralelos, no existiendo componente transversal de la velocidad. El avance

ordenado es tal que cada partıcula sigue exactamente el camino de la partıcula

precedente sin ninguna desviacion. Este flujo esta asociado a bajas velocidades y

fluidos viscosos (ver figura 1.4).

Figura 1.4: Flujo laminar y turbulento.




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Y MATEMÁTICAS


-Flujo permanente: es cuando las propiedades y caracterısticas del flujo en

cualquier punto son constantes con respecto al tiempo, tambien es llamado flujo

estacionario o constante.

-Flujo no permanente: es cuando las propiedades y caracterısticas del flujo

varıan respecto al tiempo. Este fenomeno es tambien conocido como no estacionario,

transitorio o variable.

-Flujo uniforme: es cuando no hay variacion en la magnitud y direccion del

vector velocidad de un punto a otro punto del camino seguido por el flujo. Para

cumplir esta definicion, tanto la superficie atravesada por el flujo como la velocidad

deben ser las mismas en cualquier seccion.

-Flujo no uniforme: es cuando el vector velocidad varıa en magnitud y direc-

cion de un punto a otro punto del camino seguido por el flujo.

1.4.2. Ecuacion de continuidad

El tubo de flujo elemental de la figura 1.5 esta constituido por lıneas de corriente

envolventes. Si no existe flujo a traves de las lıneas de corriente, el fluido tiene que

entrar y salir del tubo unicamente a traves de las secciones externas. Suponiendo

que las superficies de las secciones extremas son dA1 y dA2 y las correspondientes

velocidades supuestas uniformes, son υ1 y υ2. Es evidente que el Caudal elemental

dQ esta dado por

dQ = υ1.dA1 = υ2.dA2. (1.15)

Integrando para el Caudal Total Q, obtenemos

Q = V1.A1 = V2.A2, (1.16)

donde V1 y V2 son las velocidades medias en las secciones extremas de las areas A1

y A2 respectivamente. La Ecuacion General de Continuidad puede expresarse de la

forma

Q = V A = constante. (1.17)




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Y MATEMÁTICAS

10

Figura 1.5: Tubo de flujo elemental.

1.4.3. Ecuacion de cantidad de movimiento

Analogamente a la mecanica de los cuerpos solidos existe tambien el principio de

cantidad de movimiento aplicada a los fluidos, diferenciandose unicamente en que la

accion del flujo del fluido en el primer caso se realiza de forma constante. El fluido

que esta dentro del tubo representado en la figura 1.6, se considera en equilibrio y

sus coordenadas estan ubicadas en los ejes x, y, z. Asumiendo que dt es el tiempo

necesario para que un elemento de fluido recorra el tubo de flujo entonces la masa

(dm) del fluido sera ρdQdt.

La tercera ley de Newton dice que si, las presiones internas se equilibran, la

variacion de la cantidad de movimiento de la masa total, es posible calcularla solo

con el cambio del vector velocidad a la entrada y salida. De acuerdo con esto y con la

segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracion), entonces la fuerza resultante

en la direccion x esta dada por:

dFx = ρdQdtdυxdt

; (1.18)

es decir,

dFx = ρdQ(υx)2 − (υx)1. (1.19)

Suponiendo una distribucion uniforme de velocidades en la secciones de entrada




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Figura 1.6: Diagrama para la ecuacion de cantidad de movimiento.

y de salida, se tiene que la totalidad del flujo es

Fx = ρQ(Vx)2 − (Vx)1, (1.20)

donde Q es el Caudal Total y (Vx)1, (Vx)2 son las respectivas componentes de la

velocidad. Analogamente:

Fy = ρQ(Vy)2 − (Vy)1 (1.21)

y

Fz = ρQ(Vz)2 − (Vz)1, (1.22)

estas son las tres ecuaciones del balance de Cantidad de Movimiento. La ecuacion

establece que una componente de la resultante que actua sobre una masa libre de

fluido, es igual a la diferencia entre las componentes correspondientes de la cantidad

de movimiento en las secciones de entrada y salida.

1.4.4. Enfoque Euleriano

El enfoque Euleriano se adopta en la mayorıa de los analisis hechos para el flujo

de un fluido. Considerando un Volumen de Control o un punto fijo en el espacio,

se deducen las ecuaciones para expresar cambios en la masa, momentum y energıa a

medida que el fluido pasa a traves o cerca del volumen de control o punto fijo. En este




ÍSICAS

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12

caso, la frontera es la Superficie de Control; el tamano y la forma del volumen

de control son completamente arbitrarios, pero frecuentemente se hacen coincidir

con las fronteras solidas, en otros casos se dibujan perpendiculares a la direccion

del flujo para simplificar el problema y generalmente conduce a una descripcion de

sistema abierto.

1.4.5. Descripcion del movimiento de fluidos

Aplicando algunos conceptos geometricos como: Lınea de Corriente, Lınea

de Trayectoria y Lınea de Filamento, es posible representar de forma analıtica y

visual los patrones de flujo. Tomando la velocidad del fluido en el enfoque euleriano,

entonces el vector velocidad se define como

v(x, y, z, t) = ui + vj + wk, (1.23)

donde u, v y w son las velocidades en las direcciones x, y y z, respectivamente y cada

una de ellas puede variar en el tiempo o espacio.

-Lınea de corriente: es una lınea continua que se dibuja en el fluido, de tal

manera que tenga la direccion del vector velocidad v en cada punto; debido a que

una partıcula se mueve en la direccion de la lınea de corriente, en cualquier instante,

su desplazamiento esta definido como δs, con componentes δx, δy y δz, tiene la

direccion del vector velocidad v con componentes u, v y w en las direcciones x, y y

z, respectivamente. Entonces

δx

u=δy

v=δz

w. (1.24)

La ecuacion (1.24), establece que las componentes correspondientes son proporcio-

nales y por consiguiente, que δs y v tienen la misma direccion. Al expresar los

desplazamientos en forma

dx

u=dy

v=dz

w, (1.25)

se obtiene la Ecuacion Diferencial de la Lınea de Corriente. Cualquier lınea continua

que satisfaga la ecuacion (1.25), es una lınea de corriente.




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En flujo permanente, ya que no existe cambio en la direccion del vector velocidad

en ningun punto, la lınea de corriente tiene una inclinacion fija en cada punto y, por

consiguiente, esta fija en el espacio. Una partıcula se mueve tangente a la lınea de

corriente; por lo tanto, en flujo permanente, la trayectoria de una partıcula es

una lınea de corriente. En flujo no permanente, debido a que la direccion del vector

velocidad en cualquier punto puede cambiar con el tiempo, una lınea de corriente

puede moverse en el espacio de un instante a otro. Luego, una partıcula sigue una

lınea de corriente en un instante, otra en el instante siguiente y ası sucesivamente,

de tal manera que la trayectoria de la partıcula puede no parecerse a ninguna lınea

de corriente en un instante dado.

-Lınea de trayectoria: es la que describe una partıcula en el flujo. Si R indica

la posicion de la partıcula, su velocidad es

dR

dt= v(x, y, z, t). (1.26)

De la solucion de esta ecuacion se obtienen las ecuaciones parametricas de las lıneas

de trayectoria.

-Lınea de filamento: es el rastro resultante de la tinta o del humo esparcidos

experimentalmente en el fluido con el fin de seguir su movimiento.

Observacion 1.4 En flujo permanente, una lınea de filamento es una lınea de

corriente y una trayectoria de la partıcula.

El metodo para determinar las ecuaciones de las lıneas de corriente se muestra

en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.1 Dado el campo de velocidad bidimensional, v(x, y, z, t) = xi− (y+

t)j. Calcule las ecuaciones de

a. La lınea de corriente en t=0 que pasa por (1,1).

b. La lınea de trayectoria de la partıcula que tiene posicion (1,1) en t=0.

c. La lınea de filamento cuando t=0 de las partıculas que pasaron por (1,1).




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14

La soluciones son las siguientes:

a. De la ecuacion (1.25), se tiene que:

dx

x= − dy

(y + t)

⇒ lnx = −ln(y + t) + lnc

⇒ x = c(y + t)−1 .

Para (1, 1) y t = 0, tenemos c = 1. Entonces,

x(y + t) = 1,

es la ecuacion de la lınea de corriente.

b. De la ecuacion (1.26), se establece:

dx

dt= x,

dy

dt= −(y + t).

La solucion es

x(t) = c1et, y(t) = c2e

−t + t− 1, (1.27)

para (1, 1) y t = 0 tenemos que: c1 = 1 y c2 = 2.

De donde las ecuaciones parametricas de la lınea de trayectoria son

x(t) = et, y(t) = 2e−t + t− 1.

Eliminando t se obtiene la ecuacion de esta lınea:

y =2

x+ lnx− 1

c. Las ecuaciones de (1.27), representan la posicion de una partıcula. Conside-

remos la posicion de las partıculas que han pasado por (1, 1) cuando t = ζ (ζ

es una variable que depende de cada partıcula).

Sustituyendo estas condiciones en las ecuaciones (1.27) , se obtiene

c1 = e−ζ , c2 = (2− ζ)eζ .




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Las ecuaciones parametricas de la lıneas de filamento para un tiempo t son:

x(t) = et−ζ , y(t) = (2− ζ)eζ−t + t− 1.

Para t=0, tienen la forma:

x = e−ζ , y = (2− ζ)eζ − 1

Eliminando ζ se obtiene la ecuacion de la lınea de filamento y =2 + lnx

x− 1.

Puede observarse que las tres lıneas de flujo son distintas; pero para el caso de

flujo permanente son iguales.

1.4.6. Ecuacion general de conservacion de masa en un vo-

lumen de control

Sin importar su naturaleza, todas las situaciones de flujo estan sujetas a las

siguientes relaciones, las cuales pueden expresarse en forma analıtica:

1. Las leyes de movimiento de Newton, las cuales deben cumplirse para cualquier

partıcula en cualquier instante.

2. La relacion de continuidad, es decir, la ley de conservacion de la masa (dmdt

= 0).

3. La conservacion de masa aplicada a mezclas de componentes dentro del fluido.

4. La primera y segunda ley de la termodinamica.

5. Las condiciones de frontera: declaraciones analıticas, por ejemplo, un fluido

real tiene velocidad cero con respecto a una frontera o los fluidos sin friccion

no pueden penetrar una frontera.

Tambien es posible aplicar otras relaciones y ecuaciones, tales como una ecuacion

de estado o la ley de viscosidad de Newton. En la siguiente deduccion, el concepto

de volumen de control se relaciona con sistema (masa fija definida de un material)

en terminos de una propiedad general del mismo.




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16

Para establecer la relacion entre las ecuaciones que se aplican a un sistema y

aquellas que se aplican a un volumen de control, se consideran algunas situaciones

generales de flujo, ver figura 1.7, en las cuales la velocidad de un fluido esta dada

con respecto a un sistema coordenado xyz. En el tiempo t considere una cantidad de

masa de un fluido contenida dentro de un sistema, el cual tiene las fronteras de lınea

punteadas. Tambien considere un volumen de control, fijo con relacion a los ejes

xyz, que coincide exactamente con el sistema en el tiempo t. En t+ δt el sistema se

ha movido un poco, debido a que cada partıcula de masa se mueve a una velocidad

asociada con su posicion.

Sea N la cantidad total de alguna propiedad (masa, energıa o momentum) dentro

del sistema en el tiempo t y sea η la cantidad de esta propiedad, por unidad de masa,

a traves del fluido. La tasa temporal de incremento de N para el sistema se formula

en terminos del volumen de control.

En t+δt de la figura 1.7(b), el sistema comprende los volumenes II y III, mientras

que en el tiempo t este ocupa el volumen II, en la figura 1.7(a). El incremento en la

propiedad N en el sistema en el tiempo δt esta dado por:

NSistemat+δt −NSistemat =

∫II

ηρdV +

∫III

ηρdV

t+δt

−

∫II

ηρdV

t

, (1.28)

en donde dV es el elemento del volumen.

Reordenando, se tiene

NSistemat+δt −NSistemat

δt=

(∫IIηρdV +

∫IηρdV

)t+δt−(∫

IIηρdV

)t

δt

+

(∫III

ηρdV)t+δt

δt−(∫

IηρdV

)t+δt

δt.

(1.29)

El termino de la izquierda es la tasa temporal promedio de incremento de N dentro

del sistema durante el tiempo δt. En el lımite cuando δt se aproxima a cero, este se

convierte en dNdt

. Entonces, en el primer termino del lado derecho de la ecuacion, las

primeras dos integrales son la cantidad de N dentro del volumen de control en t+ δt

y la tercera integral es la cantidad de N en el volumen de control en el tiempo t.




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Figura 1.7: Sistema con volumen de control identico en el tiempo t en un campo de

velocidad.

El lımite es∂

∂t

∫vc

ηρdV,

utiliza derivadas parciales debido a que el tamano del volumen se mantiene constante

a medida que δt→ 0.

El siguiente termino es la tasa temporal del flujo de N hacia fuera del volumen

de control en el lımite y puede escribirse como

lımδ→0

(∫III

ηρdV )t+δt

δt=

∫area del flujo de salida

ηρv.dA =

∫ηρvcosαdA, (1.30)

en la cual dA, de la figura 1.7(c), es el vector que representa un elemento de area




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18

superficial en el volumen de control, siendo positivo hacia fuera y α es el angulo

entre el vector velocidad y el vector de area elemental.

Similarmente, el ultimo termino de la ecuacion (1.29), el cual es la tasa de flujo

de N hacia adentro del volumen de control, es en el lımite, igual a

lımδ→0

(∫IηρdV )t+δt

δt= −

∫area del flujo de entrada

ηρv.dA = −∫ηρvcosαdA. (1.31)

El signo negativo es necesario debido a que v.dA (o cosα) es negativo para el flujo

de entrada, de la figura 1.7(d). Los dos ultimos terminos de la ecuacion (1.29), dados

por las ecuaciones (1.30) y (1.31), pueden combinarse en un termino unico que es

una integral sobre toda la superficie del volumen de control, denotada por (sc), ası

obtenemos

lımδ→0

((∫III

ηρdV )t+δt

δt−

(∫IηρdV )t+δt

δt

)= −

∫sc

ηρv.dA = −∫sc

ηρvcosαdA. (1.32)

En donde no exista flujo de entrada o de salida v.dA = 0; por consiguiente, la ecua-

cion puede evaluarse sobre toda la superficie de control. Reuniendo y reorganizando

los terminos de la ecuacion (1.29) nos lleva a:

dN

dt=

∂

∂t

∫vc

ηρdV +

∫sc

ηρv.dA. (1.33)

En palabras, la ecuacion (1.33) establece que la tasa temporal de incremento de N

dentro de un sistema es exactamente igual a la tasa temporal de incremento de la

propiedad N dentro del volumen de control (fijo respecto a xyz) mas la tasa neta

de flujo de N a traves de la frontera del volumen de control.

1.4.7. Cinematica de flujos

El uso del enfoque euleriano en el analisis de fluidos requiere una descripcion mas

cuidadosa del movimiento de un paquete de fluidos y la distribucion de paquetes

resultante del movimiento. En esta seccion se presentan metodos para describir la

velocidad y la aceleracion de paquetes de fluido.




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Aceleracion de un punto

Considere, en la figura 1.8, un paquete de fluido moviendose desde el punto 1 al

punto 2 durante el tiempo dt. El vector posicion R, se define como

R = x(t)i + y(t)j + z(t)k. (1.34)

La tasa temporal de cambio de R se encuentra con la diferenciacion total de la

ecuacion (1.34)

dR

dt=dx

dti +

dy

dtj +

dz

dtk. (1.35)

Vector velocidad total v de un punto se define notando que la componente

de velocidad del paquete de fluido en la direccion x es dxdt

= u, en la direccion y es

dydt

= v y en la direccion z es dzdt

= w, entonces

v(x, y, z, t) =dR

dt= ui + vj + wk. (1.36)

Se debe notar que el vector velocidad es una funcion de la posicion y del tiempo.

Figura 1.8: Definiciones de coordenadas y de velocidad.

Vector aceleracion se define mediante el siguiente procedimiento

a(x, y, z, t) =dv

dt=du

dti +

dv

dtj +

dw

dtk. (1.37)




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20

Mirando la componente x, la regla de la cadena obtiene:

ax =du

dt(x, y, z, t)

=∂u

∂t

dt

dt+∂u

∂x

dx

dt+∂u

∂y

dy

dt+∂u

∂z

dz

dt,

la cual puede ser escrita

ax =du

dt=∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z. (1.38)

Se pueden encontrar expresiones similares para ay y az:

ay =dv

dt=∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z, (1.39)

az =dw

dt=∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z. (1.40)

Escribimos las ecuaciones (1.38), (1.39) y (1.40) en forma vectorial, se obtiene

a =∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z=∂v

∂t+ (v.∇)v. (1.41)

Aquı v.∇ es un operador vectorial de la forma

(v.∇)() = u∂()

∂x+ v

∂()

∂y+ w

∂()

∂z.

Ejemplo 1.2 Para un vector posicion dado por

R = (5xyt2 + zt)i + (−2,5y2t2 + zt+ 3yt)j + (−3zt+x

2t2)k

encontrar las funciones de velocidad y aceleracion.

Para hallar la velocidad usamos la ecuacion (1.35), obtenemos

v =dR

dt=

[d

dt(5xyt2 + zt)

]i +

[d

dt(−2,5y2t2 + zt+ 3yt)

]j +

[d

dt(−3zt+

x

2t2)

]k.

Entonces

v = (10xyt+ z)i + (−5y2t+ z + 3y)j + (−3z + xt)k.

Utilizando la ecuacion (1.41), se encuentra el vector aceleracion

a =∂v

∂t+ (10xyt+ z)

∂v

∂x+ (−5y2t+ z + 3y)

∂v

∂y+ (−3z + xt)

∂v

∂z.




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Examinando individualmente las derivadas parciales, podemos ver

∂v

∂t= 10xyi− 5y2j + xk ,

∂v

∂x= 10yti + 0j + tk ,

∂v

∂y= 10xti + (−10yt+ 3)j + 0k ,

∂v

∂z= 1i + 1j− 3k

y recogiendo todos los terminos se obtiene:

a = 50xy2t2 + 10xzt+ 10yzt+ 10xy + 30xyt− 3z + xt)i

+ (50y3t2 − 30y2t− 20y2 − 10yzt+ 3xt+ 9y)j

+ (10xyt2 + zt− 3xt+ x+ 9z)k.

La inspeccion de las ecuaciones (1.38), (1.39), (1.40) y (1.41) revela que la aceleracion

esta compuesta por dos clases generales de terminos, la aceleracion temporal, es

decir, los gradientes temporales del vector velocidad y la aceleracion inercial que

incluye los terminos de los productos de la velocidad y los gradientes espaciales

de flujo. El hecho de que los terminos que incluyen los gradientes espaciales sean

llamados aceleraciones es uno de los resultados de la aproximacion euleriana.




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Capıtulo II

HIDRAULICA DE LOS

CANALES

En este capıtulo vamos a describir y clasificar los comportamientos del flujo

dentro de un canal abierto y sus fenomenos.

Este capıtulo fue basado casi enteramente en la referencia [7], para complementar

algunos conceptos usamos las referencias [6], [8], [17], [23] y [26].

2.1. Flujo en Canales Abiertos y su Clasificacion

2.1.1. Descripcion

El escurrimiento o flujo de agua en un conducto puede ser a traves de canales

abiertos o tuberıas.

-Superficie Libre: es cuando la interfaz entre el aire y la capa superior del flujo,

esta expuesta a la presion atmosferica.

-Canal Abierto: es un conducto que se caracteriza por la presencia de una

superficie libre.

Ejemplo 2.1 Rıos, lagos y mares.




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24

-Tuberıa: es cuando el flujo no tiene superficie libre; es decir, es un conduc-

to cerrado, el fluido debe llenar el conducto totalmente y no se ejerce la presion

atmosferica directa sino la presion hidraulica.

Ejemplo 2.2 Canerıas, tubos plasticos.

En la figura 2.1 se comparan las dos clases de flujo. En la parte izquierda se indica

el flujo en canerıa. Dos tubos piezometricos se han instalado en la canerıa en las sec-

ciones 1 y 2. Los niveles del agua en los tubos se mantiene por la presion en la canerıa

a elevaciones representadas por la denominada pendiente o gradiente hidraulica.

La presion ejercida por el agua en cada seccion de la canerıa se indica en el tubo

correspondiente por la altura “y” de la columna de agua sobre la lınea central de la

canerıa.

Figura 2.1: Comparacion entre flujo en canerıa y en canal abierto.

La energıa total en el flujo de la seccion correspondiente a la lınea de referencia

es la suma de la eleccion “z” de la lınea central de la canerıa, la altura piezometrica

“y” y la altura o carga debida a la velocidad υ2/2g, en donde υ es la velocidad

media del flujo (uniforme). La energıa esta representada en la figura por lo que se

llama pendiente o lınea de energıa. La perdida de energıa que resulta cuando

el agua fluye desde la seccion 1 a la seccion 2, esta representada por hf . En el




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2.1 Flujo en Canales Abiertos y su Clasificacion 25

lado derecho de la figura 2.1, se indica un diagrama similar para flujo en canales

abiertos. Por simplicidad, se ha supuesto que el flujo es paralelo y tiene distribucion

de velocidad uniforme y que la pendiente del canal es pequena. En este caso, la

superficie del agua es la pendiente hidraulica y la profundidad del agua corresponde

a la altura piezometrica. No obstante, la similitud entre los dos tipos de flujo, para

resolver problemas de flujo en canales abiertos es mucho mas difıcil que en canerıas

a presion. Las condiciones de flujo en canales abiertos son complicadas por el hecho

de que la posicion de la superficie libre cambie en funcion del tiempo, espacio y

porque la profundidad del flujo, el canal y las pendientes del fondo del canal y de la

superficie libre son interdependientes.

2.1.2. Tipos de flujo

El flujo en un canal abierto puede clasificarse de muchos tipos y puede ser descrito

en diferentes formas. La siguiente clasificacion se ha hecho de acuerdo al cambio de

la profundidad del flujo en funcion del tiempo y el espacio.

-Flujo permanente y no permanente: el tiempo es el criterio. El flujo en

un canal abierto se dice que es permanente si la profundidad del flujo no cambia

o se supone constante durante el intervalo de tiempo considerado. El flujo es no

permanente si la profundidad cambia con el tiempo.

-Flujo uniforme y variado: el espacio es el criterio. El flujo en canal abierto

se dice que es uniforme si la profundidad del flujo es la misma en cada seccion del

canal. El flujo es variado si la profundidad del flujo cambia a lo largo del canal.

-Flujo rapidamente y gradualmente variado: el flujo variado puede ser cla-

sificado como rapidamente o gradualmente variado. El flujo es rapidamente variado

si la profundidad cambia abruptamente en una distancia comparativamente corta y

si ası no fuera, es gradualmente variado.

El problema del flujo no permanente y mas comunmente encontrado en canales

abiertos, son las olas traslatorias. La onda traslatoria es una onda de gravedad

que se propaga en un canal abierto y resulta de un desplazamiento apreciable de las




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26

partıculas de agua en una direccion paralela al flujo.

-Flujo no permanente gradualmente variado: es cuando la curvatura del

perfil de la ola es moderada y el cambio en profundidad es gradual. La componente

vertical de la aceleracion de las partıculas de agua, es despreciable en comparacion

con la aceleracion total, mientras que el efecto de la friccion del canal es usualmente

apreciable y deberıa tomarse en cuenta en un analisis cuidadoso.

-Flujo no permanente rapidamente variado: es cuando la curvatura del per-

fil de la ola es muy grande y ası la superficie del perfil puede hacerse virtualmente

discontinua. La componente vertical de la aceleracion, desempena un papel impor-

tante en el fenomeno, mientras que el efecto de la friccion del canal es practicamente

despreciable en comparacion con el efecto dinamico del flujo.

2.1.3. Estado del flujo

El estado o comportamiento del flujo en canal abierto es gobernado basicamente

por los efectos de viscosidad y gravedad relativa a las fuerzas de inercia del flujo.

Dependiendo del efecto de la viscosidad relativa a la inercia, el flujo puede ser

laminar, turbulento o de transicion.

-Flujo laminar: es cuando las fuerzas viscosas son tan fuertes comparadas con

las fuerzas de inercia. En este caso las partıculas de agua parecen moverse en reco-

rridos calmados definidos, en lıneas de corriente y las capas son infinitesimalmente

delgadas que parecen deslizarse sobre las capas adyacentes.

-Flujo turbulento: es cuando las fuerzas viscosas son debiles comparadas con la

fuerzas de inercia. En este caso las partıculas del agua se mueven en recorridos irre-

gulares, los cuales no son ni calmados ni determinados pero en su conjunto todavıa

representan el movimientos hacia adelante de la corriente total.

-Flujo de transicion: es cuando entre los estados laminar y turbulento hay uno

mixto o estado de transicion.

El efecto de viscosidad relativa al de inercia puede representarse por el Numero




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2.1 Flujo en Canales Abiertos y su Clasificacion 27

de Reynolds, definido por

Re =υL

ν, (2.1)

donde υ es la velocidad del flujo, L es la longitud caracterıstica, considerada aquı

al radio hidraulico R de un conducto y ν es la viscosidad cinematica del fluido. Un

flujo en canal abierto es laminar si el numero de Reynolds Re es menor de 2100 y

es turbulento si Re es mayor que 4000.

El efecto de la gravedad sobre el estado del flujo se representa por una relacion de

las fuerzas inerciales y las fuerzas de gravedad. Esta relacion se da por el Numero

de Froude, definido por

Fr =υ√gL, (2.2)

donde υ es la velocidad media del flujo, g es la aceleracion de la gravedad y L es

la longitud caracterıstica. Para flujos en canales abiertos, la longitud caracterıstica

se hace igual a la profundidad hidraulica D, la cual es definida como el area de

la seccion transversal del agua, normal a la direccion del flujo en el canal, dividida

por el ancho de la superficie libre. Para canales rectangulares esto es igual a la

profundidad de la seccion del flujo.

Cuando Fr es igual a la unidad, la ecuacion (2.2) resulta

υ =√

gD (2.3)

y el flujo se dice que esta en estado Crıtico.

Si Fr es menor que la unidad o υ <√

gD, el flujo es Subcrıtico. En este estado el

papel jugado por las fuerzas de gravedad es mas pronunciado, entonces el flujo tiene

baja velocidad y se describe a menudo como tranquilo y lento.

Si Fr es mayor que la unidad o υ >√

gD, el flujo es Supercrıtico. En este estado,

las fuerzas de inercia se hacen dominantes, entonces el flujo tiene una gran velocidad

y se describe normalmente como rapido o torrentoso.

En la mecanica de las ondas de agua, la velocidad crıtica

c =√

gD, (2.4)




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Y MATEMÁTICAS

28

se identifica como la Celeridad de las pequenas ondas de gravedad que ocurren

en aguas bajas en los canales como resultado de un cambio momentaneo en la

profundidad local del agua.

2.2. Canales Abiertos y Propiedades

El canal es normalmente un trazado largo y de pendiente suave construida en la

tierra y puede ser revestido o no con hormigon, cemento, madera, entre otros.

2.2.1. Tipos de canales abiertos

Los canales se pueden clasificar de acuerdo a su origen, en canal natural o arti-

ficial.

-Canal natural: son todos los cursos de agua que existen naturalmente sobre

la tierra, variando en tamano desde pequenos arroyos o corrientes, rıos pequenos y

grandes hasta estuarios de mareas. Las corrientes subterraneas que lleven agua con

superficie libre se consideran tambien canales abiertos. Las propiedades hidraulicas

de los canales naturales son generalmente irregulares.

-Canal artificial: son aquellos canales construidos o desarrollados por el esfuer-

zo humano, ası como canales modelos que son construidos en el laboratorio para

propositos experimentales. Las propiedades hidraulicas de tales canales pueden ser

controladas en la extension deseada o proyectada para cumplir requerimientos es-

tablecidos. La aplicacion de las teorıas hidraulicas a canales artificiales produciran

resultados aproximados a las condiciones actuales y por lo tanto, razonablemente

seguros para propositos de diseno practico.

2.2.2. Geometrıa del canal

-Seccion transversal: es la seccion de un canal tomada perpendicularmente a

la direccion del flujo.




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2.2 Canales Abiertos y Propiedades 29

-Canal prismatico: es un canal construido con seccion transversal y pendiente

del fondo constantes.

-Seccion regular: es cuando la seccion transversal del canal no varıa su forma

geometrica a lo largo del canal.

-Seccion irregular: es cuando la seccion transversal experimenta cambios de

geometrıa a lo largo del canal.

Las secciones transversales de los canales naturales son en general muy irregu-

lares, variando normalmente de una parabola a un trapezoide aproximadamente.

Lo canales artificiales se proyectan usualmente con seccion de formas geometricas

regulares.

2.2.3. Elementos geometricos de la seccion del canal

Son las propiedades de una seccion del canal que puede ser definida enteramente

por la geometrıa del canal y la profundidad del flujo.

-Profundidad del flujo (y): es la distancia vertical del punto mas bajo de la

seccion transversal de un canal a la superficie; este termino se usa a menudo indis-

tintamente con la profundidad de la seccion transversal del flujo d. Estrictamente

hablando, la profundidad de la seccion transversal del flujo es la profundidad del

flujo normal a la direccion del flujo o la altura de la seccion del canal conteniendo el

agua. Para un canal con una pendiente longitudinal de angulo θ, se puede ver que la

profundidad del flujo es igual a la profundidad de la seccion transversal dividida por

cosθ (ver figura 2.2). En el caso de canales con grandes pendientes, los dos terminos

deberıan usarse adecuadamente distintamente.

-Cota: es la elevacion o distancia vertical de la superficie libre sobre una re-

ferencia dada. Si el punto mas bajo de la seccion del canal se ha elegido como la

referencia, la cota es identica con la profundidad del flujo.

-Ancho superior (T ): es el ancho de la seccion del canal en la superficie libre

(ver figura 2.3).

-Area mojada (A): es el area de la seccion transversal del flujo normal a la




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30

Figura 2.2: Canal con pendiente.

Figura 2.3: Elementos de una seccion transversal.

direccion del flujo (ver figura 2.3).

-Perımetro mojado (P ): es la longitud de la lınea de interseccion de la super-

ficie mojada del canal con el plano de la seccion transversal normal a la direccion

del flujo (ver figura 2.3).

-Radio Hidraulico (Rh): es la relacion del area mojada a su perımetro mojado,

ası

Rh =A

P. (2.5)

-Profundidad hidraulica (D): es la relacion del area mojada del ancho supe-

rior, o

D =A

T. (2.6)




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-Factor de la seccion (Z): es el producto del area mojada por la raız cuadrada

de la profundidad hidraulica, o

Z = A√D. (2.7)

En la figura 2.4, se muestran dos formas geometricas que tienen uso frecuente en

el diseno de canales abiertos.

Figura 2.4: Elementos geometricos de las secciones del canal.

2.2.4. Distribucion de velocidad en la seccion de un canal

Debido a la presencia de una superficie libre y a la friccion a lo largo de las pare-

des del canal, las velocidades en un canal no estan uniformemente distribuidas en la

seccion del canal. La velocidad maxima medida en canales comunes, normalmente

parece ocurrir debajo de la superficie libre a una distancia de 0,05 a 0,25 de la pro-

fundidad. La distribucion de la velocidad en una seccion del canal depende tambien

de otros factores como la forma poco comun de la seccion, la rugosidad del canal y la

presencia de codos o curvas, entre otros. En un curso de agua ancha, baja y rapida o

en un canal muy liso, la velocidad maxima se puede encontrar muy a menudo en la

superficie libre. La rugosidad del canal causara el incremento de la curvatura de la

curva que relaciona la profundidad con la distribucion de la velocidad (figura 2.5).




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32

Figura 2.5: Efecto de la rugosidad en la distribucion de velocidades en un canal

abierto.

2.2.5. Distribucion de presion en la seccion de un canal

La presion en cualquier punto de una seccion transversal del flujo en un canal de

pendiente pequena, se puede medir por la altura de la columna de agua en un tubo

piezometrico (altura piezometrica h) (figura 2.6). Eliminando disturbios menores

debido a la turbulencia, es evidente que la columna de agua deberıa alzarse desde el

punto de medida hasta la lınea del gradiente hidraulico o la superficie del agua. De

este modo, la presion en cada punto de la seccion, es directamente proporcional a la

profundidad del punto debajo de la superficie libre e igual a la presion hidrostatica

(altura hidrostatica hs) correspondiente a esta profundidad. En otras palabras, la

distribucion de presion sobre la seccion transversal del canal es la misma que la

distribucion de presion hidrostatica; es decir, la distribucion es lineal y puede ser

representada por una lınea recta AB. Esto se conoce como: Ley Hidrostatica de

la Distribucion de Presion.

Estrictamente hablando, la aplicacion de la ley hidrostatica a la distribucion de

presion en la seccion transversal de un canal es valida solamente si los filamentos

del flujo no tienen componentes de la aceleracion en el plano de la seccion trans-

versal. Este tipo de flujo es conocido como flujo paralelo; es decir, que las lıneas

de corriente no tienen curvatura sustancial ni divergencia. Consecuentemente, no




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Figura 2.6: Distribucion de presion en canales (Flujo Paralelo).

hay componentes apreciables a la aceleracion normales a la direccion del flujo que

podrıan deformar la distribucion hidrostatica de la presion en la seccion transversal

del flujo paralelo.

Actualmente, el flujo uniforme es practicamente flujo paralelo. Flujo gradualmente

variado puede ser tambien considerado como flujo paralelo, ya que el cambio en

profundidad del flujo es tan suave que las lıneas de corriente no tienen curvatura

apreciable ni divergencia; es decir, la curvatura y divergencia son tan pequenas que

el efecto de las componentes de la aceleracion en el plano de la seccion transversal

es despreciable. Por lo tanto, para propositos practicos, la ley hidrostatica de distri-

bucion de presion es aplicable al flujo gradualmente variado y al flujo uniforme.

2.2.6. Efecto de la pendiente sobre la distribucion de presion

Con referencia a un canal inclinado recto de ancho unitario y angulo de pendiente

θ (figura 2.7), el peso del elemento de agua sombreado de longitud dL es igual a

γy cos θdL. La presion debida a este peso es γy cos2 θdL.

La presion unitaria es igual a γy cos2 θ y la altura es

h = y cos2 θ (2.8)

o tambien

h = d cos θ, (2.9)




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34

Figura 2.7: Distribucion de presiones en un flujo paralelo en canales de pendiente

alta.

donde d = y cos θ, es la profundidad media perpendicularmente desde la superficie

del agua. Se debe destacar de la geometrıa (figura 2.8) que la ecuacion (2.8) no

se aplica estrictamente al flujo variado particularmente cuando θ es muy grande,

mientras que la ecuacion (2.9) es posible aplicarla para este tipo de flujo. La ecuacion

(2.8) establece que la altura de presion en cualquier profundidad vertical es igual

a esta profundidad multiplicada por un factor de correccion cos2 θ. Obviamente, si

el angulo θ es pequeno, este no diferira mucho de la unidad. En efecto, el factor de

correccion tiende a disminuir la altura de presion por una cantidad menor al 1 %

en tanto θ sea menor que 6o, o sea, una pendiente de alrededor de 1 en 10. Como

la pendiente de los canales comunes es mucho menor que 1 en 10, la correccion por

efecto de la pendiente puede ignorarse.

-Fuerza tractiva (τ0): es cuando el agua fluye en un canal, se desarrolla una

fuerza que actua sobre el lecho de este en la direccion del flujo, esta fuerza, la cual

es simplemente el empuje del agua sobre el area mojada, se conoce como fuerza

tractiva.




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Figura 2.8: Deduccion de la ecuacion del flujo gradualmente variado.

En un flujo uniforme la fuerza tractiva es aparentemente igual a la componente

efectiva de la fuerza de gravedad actuando sobre el cuerpo de agua, paralela al

fondo del canal e igual a γA∆LSf donde γ es el peso especıfico del agua, A es el

area mojada, ∆L es la longitud del tramo del canal y Sf es la pendiente de la lınea

de energıa (siguiendo las hipotesis de la ecuacion de Chezy). Luego, el valor medio

de la fuerza tractiva por unidad de area mojada es conocida como fuerza tractiva

unitaria τ0, es igual a γA∆LSf/P∆L = γRSf , donde P es el perımetro mojado y

R es el radio hidraulico; es decir

τ0 = γRSf . (2.10)




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36

En un canal abierto ancho, el radio hidraulico es igual es igual a la profundidad

del flujo y; por consiguiente τ0 = γ ySf .

-Resistencia a la direccion del flujo: es igual al producto de la fuerza de

friccion, por la superficie mojada de contacto con el fluido agua, ası tenemos

Resistencia = τ0P∆L, (2.11)

donde τ0 es la fuerza de friccion (tractiva), ∆L longitud del tramo del canal, P

perımetro mojado, teniendo en cuenta la direccion (signo) de la fuerza de friccion

para el balance de fuerzas.

2.2.7. Propagacion de la onda

Para discutir la propagacion de onda de gravedad en canales, considere una

forma simple de onda de gravedad, conocida como la onda Solitaria. La onda

solitaria tiene una forma simple, que en su totalidad consta de una elevacion sin

ninguna depresion o valle asociado. La onda se localiza por completo por encima

de la superficie normal del agua, se mueve suave y tranquilamente sin turbulencia

en cualquier lugar de su perfil. En un canal sin friccion, la onda puede viajar una

distancia infinita sin cambiar de forma y su velocidad; pero en un canal abierto, la

altura de la onda esta gradualmente reducida por los efectos de la friccion.

Figura 2.9: Generacion de una onda solitaria: (a) Flujo no permanente; (b) flujo que

aparece como permanente.

Considere una onda solitaria, viajando a la derecha en un canal rectangular, con




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celeridad c (figura 2.9(a)). Un observador que en la orilla corre con la cresta de la

onda con una velocidad igual a la celeridad notara una imagen de flujo permanente

(Figura 2.9(b)) en la cual la onda parece permanecer quieta en tanto que el flujo se

mueve con una velocidad igual a c en magnitud. Despreciando la friccion y supo-

niendo una pendiente pequena, la ecuacion de energıa entre la seccion normal del

flujo y la seccion en la cresta de la onda puede escribirse como

y +c2

2g= y + h+

c2

2g

(y

y + h

)2

. (2.12)

Resolviendo para c, se obtiene

c =

√2g(y + h)2

2y + h, (2.13)

donde h es la altura de la onda sobre la superficie normal del agua. Para ondas de

altura moderada, la ecuacion (2.13) puede aproximarse por:

c =

√g y

(1 +

3h

2y

)≈ √g y

(1 +

3h

4y

). (2.14)

La ecuacion (2.14) es conocida comunmente como la ecuacion de la celeridad de

Saint – Venant. Para ondas de pequena altura, h es despreciable. Luego,

c =√

g y, (2.15)

esta es la ecuacion para la propagacion de ondas pequenas en canales rectangula-

res. Comunmente se conoce como la ecuacion de celeridad de Lagrange. Del

mismo modo puede demostrarse que la celeridad de ondas pequenas en canales no

rectangulares es

c =√

gD, (2.16)

donde D es la profundidad hidraulica.

En el analisis anterior no se consideran el efecto de la fuerza centrıfuga sobre la

curvatura de la onda ni la componente vertical de la aceleracion de las partıculas de

agua. De acuerdo a observaciones de campo hechas por Rusell y con experimentos




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38

hechos por Bazin (ver [7]), una ecuacion mas apropiada para la celeridad de una

onda solitaria en un canal rectangular es

c =√

g(y + h). (2.17)

De acuerdo con el analisis completo por Lamb (ver [7]), una ecuacion mas exacta

para las ondas gravitacionales en general; pero aun suponiendo pequenas alturas, es

c =

√gλ

2πtanh

2πy

λ, (2.18)

donde λ es la longitud de onda de cresta a cresta. Por lo general esta se conoce

ecuacion de celeridad de Airy. En aguas profundas, donde y es muy grande

comparado con λ, anterior ecuacion se convierte en c =√

gλ2π

. Para pequenas alturas

de onda, λ es muy grande comparada con h y tanh 2πyλ

puede reemplazarse por 2πyλ

.

Luego la ecuacion (2.18) se convierte en la ecuacion (2.15).

La ecuacion para la celeridad, ya sea la ecuacion (2.15) o (2.16), puede utilizarse

para estudiar la propagacion de ondas de gravedad. Si se deja caer un canto rodado en

agua quieta, el patron de onda puede representarse mediante cırculos concentricos

como los que se muestran en la figura 2.10(a). Las ondas viajan alejandose de la

fuente de la perturbacion en todas las direcciones con una velocidad o celeridad

igual a c.

Figura 2.10: Patrones de onda creados por perturbaciones: (a) Agua quieta, υ=0;

(b) flujo subcrıtico, υ < c; (c) flujo crıtico, υ = c y (d) flujo supercrıtico, υ > c.




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Si el agua fluye, el patron de ondas introducido por una perturbacion se des-

plazara en la direccion del flujo. Cuando la velocidad υ del agua es menor que la

celeridad, el patron se muestra en la figura 2.10(b). Como la velocidad del flujo es

menor que la celeridad, es posible que el frente de onda viaje hacia aguas arriba con

una velocidad igual a

υw = c− υ. (2.19)

La onda que viaja hacia aguas abajo se encuentra en la direccion del flujo. Su

velocidad se incrementa a

υw = c+ υ. (2.20)

Notese que la celeridad representada mediante la ecuacion (2.16) es identica a la

velocidad crıtica del flujo (ecuacion (2.2)). Por consiguiente, el flujo en consideracion

es subcrıtico.

Cuando la velocidad del agua es igual a la celeridad, los frentes de onda en la

direccion hacia aguas arriba son estacionarios, o sea υw = 0 y aquellos en la direccion

hacia aguas abajo tienen una velocidad igual a υw = 2c. Este tipo de onda se ve en

la figura 2.10(c). Vemos que el flujo es crıtico.

Cuando la velocidad del agua es mas grande que la celeridad, las ondas viajaran

solamente hacia aguas abajo. Este esquema de onda se muestra en la figura 2.10(d).

Podemos ver que el flujo es supercrıtico. Las lıneas tangentes a los frentes de onda

se localizan en un angulo con respecto a la direccion original del flujo. Llamaremos

β el angulo de la onda y su magnitud esta dada por

senβ =c

υ=

√gD

υ=

1

Fr, (2.21)

en donde Fr es el numero de Froude.

La celeridad c debe distinguirse con claridad de la velocidad absoluta de la onda

υw. La celeridad es la velocidad de una onda relativa a la velocidad del flujo. Cuando

la onda se propaga a traves de agua quieta, la celeridad es identica a la velocidad

absoluta y en canales abiertos, esta es la velocidad de la onda relativa a una cierta

seccion fija del canal. Puede escribirse una ecuacion general que expresa la velocidad




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absoluta de la onda como la suma vectorial de la celeridad y de la velocidad υ no

perturbada del agua a traves de la cual la onda se propaga; es decir

υw = υ + c. (2.22)

Como regla general, estos vectores son paralelos al eje del canal; luego la ecuacion

(2.22), se puede reducir a una simple suma algebraica

υw = υ ± c, (2.23)

donde las velocidades se consideran positivas en la direccion hacia aguas abajo y

negativas en el sentido contrario. El flujo inicial de agua en el canal se supone que

ocurre en la direccion hacia aguas abajo.




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Capıtulo III

ESQUEMA DE DIFERENCIAS

FINITAS

Este capıtulo presentamos los resultados matematicos con algunas demostracio-

nes que van a ser utilizados para el desarrollo de nuestra investigacion.

Este capıtulo esta basado en las siguientes referencias [24], [22], [19], [18] y [9].

3.1. Esquema de Diferencias Finitas

El Esquema de Diferencias Finitas (EDF) se utiliza para aproximar la solucion

analıtica de una ecuacion diferencial tanto parcial como ordinaria, consiste en el uso

de la aproximacion de la serie de Taylor para las derivadas de la ecuacion y mediante

operaciones recursivas obtener la solucion aproximada.

Considere el sistema como un problema de valor inicial escalar, con Ω = R×R+ ⊂

R2, luego P (x, t, ∂t, ∂x)u = f(x, t), x ∈ R, t > 0

u(x, 0) = u0(x), x ∈ R,(PVI)

donde P = P (ξ1, ξ2, ξ3, ξ4) es un polinomio en las variables ξ1, ξ2, ξ3 y ξ4, P es un

operador que puede ser lineal o no.

La discretizacion del (PVI) se hace en tres pasos:




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42

3.1.1. Discretizacion del dominio

El dominio Ω es dividido en un numero finito de subintervalos igualmente espa-

ciados de longitud ∆x para el caso de las abscisas y ∆t para el caso de las ordenadas,

estos son llamados la diferencia finita, los cuales son numeros positivos (ver figura

3.1).

Figura 3.1: Dominio discretizado.

Definicion 3.1 (Malla) Sean h y k numeros positivos, una malla en el dominio

Ω es un conjunto de puntos τ = (xj, tn) = (jh, nk)/j, n ∈ Z ⊂ Ω, tal que cada

(xj, tn) esta en el interior o en la frontera de un subdominio de la subdivision del

dominio Ω y satisface

xj+1 = xj + ∆x , (3.1)

tn+1 = tn + ∆t ; (3.2)

es decir, se cumple ∆x = xj+1 − xj y ∆t = tn+1 − tn, estos puntos son conocidos

como nodos (ver figura 3.2).




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3.1 Esquema de Diferencias Finitas 43

Figura 3.2: Malla computacional.

3.1.2. Discretizacion de la variable

Definicion 3.2 Una funcion discreta u es aquella que esta definida sobre la ma-

lla, tal que a cada punto (xj, tn) le asocia un valor ujn. Una funcion continua u(x, t)

definida en Ω, puede ser discretizada sobre la malla, definiendo

unj = u(xj, tn). (3.3)

3.1.3. Discretizacion de la ecuacion

Para discretizar la ecuacion del sistema, se utiliza la funcion discreta unj que

aproxima la solucion u(x, t) en el punto (xj, tn), los operadores diferenciales son

aproximados por diferencias finitas empleando la serie de Taylor, en el problema

de valor inicial (PVI) para obtener el problema de valor inicial discreto (PVID),

siguiente P∆x,∆tunj = f(j∆x, n∆t), j ∈ Z, n ∈ Z+,

u0j = u0(j∆x), j ∈ Z.

(PVID)

Entonces el problema (PVI) ha sido sustituido por (PVID) para puntos discretos

xj = j∆x y tn = n∆t , con j ∈ Z , n ∈ Z+ . Dependiendo de la forma del operador




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44

discreto se determina un esquema de diferencias finitas. La manera de conseguir

estos esquemas es aproximando las derivadas por diferencias finitas, en este caso es

fundamental la serie de Taylor.

Observacion 3.1 En muchos textos h y k representan ∆x y ∆t, respectivamente.

Para este capıtulo adoptaremos este notacion.

Ejemplo 3.1 Utilizando las derivadas de u en (x, t) con respecto a x, tenemos

las siguientes aproximaciones en los puntos de la malla

∂u

∂x(jh, nk) ' u((j + 1)h, nk)− u(jh, nk)

h, (3.4a)

∂u

∂x(jh, nk) ' u((j + 1)h, nk)− u((j − 1)h, nk)

2h. (3.4b)

Consideremos la siguiente ecuacion

ut + aux = 0, (3.5)

donde a 6= 0.

Podemos encontrar varios esquema de diferencias finitas para discretizar la ecua-

cion (3.5), enunciaremos los esquemas mas usados

1. Forward-Time Forward-Space (FTFS):

un+1j − unjk

+ aunj+1 − unj

h= 0. (3.6)

2. Forward-Time Backward-Space (FTBS):

un+1j − unjk

+ aunj − unj−1

h= 0. (3.7)

3. Forward-Time Central-Space (FTCS):

un+1j − unjk

+ aunj+1 − unj−1

2h= 0. (3.8)

4. Leapfrog:un+1j − un−1

j

2k+ a

unj+1 − unj−1

2h= 0. (3.9)




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3.2 Convergencia, Consistencia y Estabilidad 45

5. Lax-Friedrichs:

un+1j − 1

2(unj+1 + unj−1)

k+ a

unj+1 − unj−1

2h= 0. (3.10)

Ejemplo 3.2 Sea el problema de valor inicial y de contornout + ux = 0, (x, t) ∈ [−2, 3]× [0,∞)

u(x, 0) = u0(x) :=

1− |x| , si |x| ≤ 1,

0 , si |x| ≥ 1.

(3.11)

Con la frontera u(−2, t) = 0. El primer paso es elegir el esquema a usar, en este

caso emplearemos el esquema de Lax-Friedrichs (3.10) con λ := kh

= 0,8 y h = 0,1.

En el lado derecho de la frontera usamos la condicion un+1J = un+1

J−1 donde xJ = 3 y J

simboliza el ultimo termino de la discretizacion en x. Para el dato inicial tomamos

u0j = u0(xj). Para proceder al calculos de las soluciones, podemos ver que (3.10) se

puede transformar en la formula

un+1j =

1

2(unj+1 + unj−1) +

1

2λ(unj+1 − unj−1). (3.12)

Ahora solo es calcular los valores de un+1j para todos los puntos excepto en los puntos

finales del intervalo. El grafico de la solucion en el punto t =1.6 es mostrado en la

figura (3.3), donde la solucion exacta es dada por la linea solida y la solucion dada

por el esquema esta con pequenos cırculos.

3.2. Convergencia, Consistencia y Estabilidad

Definicion 3.3 (Convergencia) Un esquema de diferencias finitas de un solo

paso de aproximacion de una ecuacion diferencial parcial es un esquema convergente

si para cualquier solucion del (PVI), u(x, t), y una solucion del (PVID), unj , tal que

u0j converge para u0(x) cuando jh converge para x, entonces unj converge para u(x, t)

cuando (jh, nk) converge para (x, t) cuando h, k converge para 0.




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46

Figura 3.3: Solucion del esquema de Lax - Friedrichs.

Demostrar que un esquema de diferencias finitas es convergente no es facil en

general, si queremos mostrar de manera directa. Sin embargo, hay dos conceptos

que son faciles de comprobar: la consistencia y la estabilidad ([24], pagina 24).

Definicion 3.4 (Consistencia) Dada la ecuacion diferencial parcial, Pu = f

y el esquema de diferencia finita, Ph,kυ = f , decimos que el esquema de diferencias

finitas es Consistente con la ecuacion diferencial parcial si para culaquier funcion

suave φ(x, t), se cumple

Pφ− Ph,kφ→ 0, cuando h, k → 0 , (3.13)

donde la convergencia es puntual, en cada punto (x, t).

Definicion 3.5 Sean F y G funciones de algun parametro α:

Decimos que F = O(G) cuando α → 0, si∣∣∣FG ∣∣∣ ≤ K, para algun K y todo α

suficientemente pequeno.

Decimos que F = o(G) cuando α→ 0, si FG→ 0 cuando α→ 0.

En particular, una cantidad es O(hr) si esta acotada por una constante multiplo de

hr para h pequeno. Una cantidad es o(1) si esta converge para 0 en una tasa no

determinada.




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Ejemplo 3.3 Vamos a analizar la consistencia del esquema Forward-Time Forward-

Space. Para la ecuacion de la onda (3.5), donde Pφ = ∂φ∂t

+ a∂φ∂x

. Para el esquema

(FTFS) (3.6), el operador Ph,k es dado por

Ph,kφ =φn+1j − φnjk

+ aφnj+1 − φnj

h, (3.14)

donde φnj = φ(jh, nk).

Damos la serie de Taylor de la funcion φ alrededor de (xj, tn), tenemos

φn+1j = φnj + kφt +

k2

2φtt +O(k3), (3.15a)

φnj+1 = φnj + hφx +h2

2φxx +O(h3), (3.15b)

donde las derivadas en el lado derecho son todas evaluadas en (xj, tn) y

Ph,kφ = φt + aφx +k

2φtt +

ah

2φxx +O(k2) +O(h2). (3.16)

Luego

Pφ− Ph,kφ = −k2φtt −

ah

2φxx +O(k2) +O(h2)

h,k→0−−−→ 0. (3.17)

Por lo tanto, este esquema es consistente.

La consistencia implica que la solucion de la ecuacion diferencial parcial, si es sua-

ve, es una solucion aproximada del esquema de diferencias finitas. Del mismo modo,

la convergencia significa que la solucion del esquema de diferencias finitas aproxima

a la solucion (analıtica, exacta) de la diferencia parcial ecuacion. Es natural conside-

rar si la consistencia es suficiente para un esquema ser convergentes. La consistencia

es ciertamente necesario para la convergencia, pero como muestra el ejemplo 1.4.3

([24], pagina 27), un esquema puede ser consistente, pero no convergente.

Definicion 3.6 (Estabilidad) Un (EDF) Pk,hunj = 0 para una ecuacion de pri-

mer orden es estable en la region de estabilidad Λ si existe un entero N tal que para

todo tiempo positivo T , existe una constante CT tal que

h

∞∑j=−∞

|unj |2 ≤ CThN∑i=0

∞∑j=−∞

|uij|2, (3.18)

para 0 ≤ nk ≤ T , con (h, k) ∈ Λ.




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48

Observacion 3.2 Podemos escribir (3.18) en funcion de la norma de L2(Z), es

decir ‖un‖2h := h

∑∞j=−∞ |unj |2, ası tenemos

‖un‖h ≤

(CT

N∑i=0

‖ui‖2h

)1/2

. (3.19)

Ejemplo 3.4 Una condicion suficiente para la estabilidad del esquema (FTFS)

(3.6), que puede ser considerado en la forma

un+1j = αunj + βunj+1,

es que |α|+ |β| ≤ 1 (ver [24], pagina 30).

Definicion 3.7 (Problema Bien Puesto) El problema de valor inicial para la

ecuacion diferencial parcial de primer orden Pu = 0 es bien puesto si para cualquier

tiempo T > 0, existe una constante CT tal que toda solucion u(x, t) satisface

∞∫−∞

|u(x, t)|2dx ≤ CT

∞∫−∞

|u(x, 0)|2dx, (3.20)

para 0 ≤ t ≤ T .

Teorema 3.1 (Equivalencia de Lax - Richtmyer) Un (EDF) consistente pa-

ra una ecuacion diferencial parcial, para el cual el (PVI) es bien puesto, es conver-

gente si y solamente si es estable.

Demostracion: Ver [24], pagina 263. 2

3.2.1. La condicion de Courant-Friedrichs-Lewy

Definicion 3.8 Un (EDF) Explıcito es cualquier esquema que puede ser escrito

en la forma

un+1j = suma finita de un

′

j′ , con n′ ≤ n. (3.21)

Diremos (EDF) Implıcito es un esquema que no es explıcito.




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Teorema 3.2 Para un esquema explıcito de la ecuacion hiperbolica (3.5) de la

forma un+1j = αunj−1 + βunj + γunj+1 con λ = k/h una constante, una condicion

necesaria para la estabilidad es la condicion de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL),

|aλ| ≤ 1. (3.22)

Para sistemas de ecuaciones ut + Aux = 0, donde u es un vector y α, β y γ son

matrices, debemos tener |aiλ| ≤ 1, para todo autovalor ai de la matriz A.

Demostracion: Ver [24], pagina 34. 2

Observacion 3.3 En el caso donde no hay restricciones sobre la relacion entre h

y k para la estabilidad, decimos que el esquema es estable o incondicionalmente

estable. Caso contrario, decimos que el esquema es condicionalmente estable.

Un argumento analogo puede ser usado para mostrar que no existe un esque-

ma explıcito, consistente para ecuaciones diferenciales parciales hiperbolicas que es

estable para todos los valores de λ (con λ constante cuando h, k → 0).

Teorema 3.3 No existe (EDF) explıcito, incondicionalmente estable, consistente

para sistemas hiperbolicos de ecuaciones diferenciales parciales.

Demostracion: Ver [9]. 2

Presentamos dos esquemas implıcitos para la ecuacion de la onda (3.5). Estos

esquemas son consistentes y estables para todos los valores de λ y ası ilustramos

que el Teorema 3.3 no se extiende a los esquemas implıcitos. Los esquemas son:

Backward-time Central-space (BTCS)

un+1j − unjk

+ aun+1j+1 − un+1

j−1

h= 0 (3.23)

y Backward-time Backward-space (BTBS)

un+1j − unjk

+ aun+1j − un+1

j−1

h= 0 (3.24)

para a positivo (ver [24], pagina 36).




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50

Definicion 3.9 (Orden de precision) Un esquema Ph,ku = Rh,kf que es con-

sistente con la ecuacion diferencial Pu = f es de orden de precision p en el tiempo

y orden q en el espacio si para cualquier funcion suave φ(x, t), se tiene

Pk,hφ−Rk,hPφ = O(kp) +O(hq). (3.25)

Decimos que tal esquema tiene orden de precision (p, q).

Observacion 3.4 La cantidad Ph,kφ−Rh,kPφ es llamada error de truncamiento

del esquema.

Ejemplo 3.5 Usamos la definicion anterior para mostrar que el esquema de Lax

- Wendroff

un+1j − unjk

+ aunj+1 − unj−1

2h−a

2k

2

(unj+1 − 2unj − unj−1)

h2

=1

2(fn+1j + fnj )− ak

4h(fnj+1 − fnj−1) (3.26)

para la ecuacion de la onda no homogenea ut + aux = f , tiene orden de precision

(2, 2).

Vemos de (3.26), se tiene

Ph,kφ =φn+1j − φnjk

+ aφnj+1 − φnj−1

2h− a2k

2

(φnj+1 − 2φnj − φnj−1)

h2(3.27)

y

Rh,kf =1

2(fn+1j + fnj )− ak

4h(fnj+1 − fnj−1). (3.28)

Usamos la serie de Taylor para (3.27) evaluada en (xj, tn) para obtener

Ph,kφ = φt + aφx +k

2φtt −

a2k

2φxx +O(k2) +O(h2). (3.29)

Para una funcion suave f(x, t), (3.28) se torna

Rh,kf = f +k

2ft −

ak

2fx +O(k2) +O(h2), (3.30)

y si f = φt + aφx = Pφ, esto es,

Rh,kPφ = φt + aφx +k

2φtt +

k

2aφxt −

ak

2φxt −

a2k

2φxx +O(k2) +O(h2)

= φt + aφx +k

2φtt −

a2k

2φxx +O(k2) +O(h2). (3.31)




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Substituyendo (3.29) en (3.31), tenemos que Ph,kφ − Rh,kPφ = O(k2) + O(h2). De

esto, el esquema de Lax - Wendroff tiene orden de precision (2, 2).

3.2.2. Analisis de estabilidad de Von Neumann

Una aplicacion del analisis de Fourier muy importante es el analisis de Von

Neumann de la estabilidad del (EDF), por medio de este analisis podemos dar

condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad del (EDF). A continuacion

presentamos un ejemplo de lo antes mencionado, haciendo uso de la transformada

de Fourier para analizar la estabilidad del esquema Forward-Time Backward-Space

(FTBS):

un+1j − unjk

+ aunj − unj−1

h= 0, (3.32)

podemos reescribirlo como

un+1j = (1− aλ)unj + aλunj−1, (3.33)

donde λ = k/h. Usando a formula de inversion de Fourier (ver [24, ecuacion (2.1.6)])

para unj , tenemos

unj =1√2π

π/h∫−π/h

eijhξun(ξ)dξ. (3.34)

Sustituyendo (3.34) en (3.33) para unj y unj−1, obtenemos

un+1j =

1√2π

π/h∫−π/h

eijhξ[(1− aλ) + aλe−ihξ]un(ξ)dξ. (3.35)

Comparando la ecuacion (3.35) con la formula de inversion de Fourier para unj ,

tenemos

un+1j =

1√2π

π/h∫−π/h

eijhξun+1(ξ)dξ, (3.36)




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52

y usando, el hecho de que la transformada de Fourier es unica, deducimos de la

expresion (3.36), lo siguiente

un+1(ξ) = [(1− aλ) + aλe−ihξ]un(ξ)

= g(hξ)un(ξ), (3.37)

donde

g(hξ) = (1− aλ) + aλe−ihξ.

A formula (3.37) muestra que adelantando la solucion del esquema por un paso en

el tiempo es equivalente a multiplicar la transformada de Fourier de la solucion por

el factor de amplificacion g(hξ). El factor de amplificacion es llamado ası, por que

su magnitud es la cantidad que la amplitud de cada frecuencia en la solucion, dadas

por un(ξ), es amplificada en la solucion adelantada un paso en el tiempo. De la

expresion (3.37), obtenemos la siguiente formula

un(ξ) = g(hξ)nu0(ξ). (3.38)

Note que el superındice de u es el nivel del tiempo, mientras sobre g es una potencia.

Ahora usaremos la ecuacion (3.38) para el estudio de la estabilidad del esquema

(3.32). Para la transformada de Fourier, tenemos la siguiente relacion

‖u‖2h =

π/h∫−π/h

|u(ξ)|2dξ =∞∑

j=−∞

|uj|2h = ‖u‖2h, (3.39)

esta es llamada relacion de Parseval. Utilizando las relaciones (3.38) y (3.39), resulta

∞∑j=−∞

|unj |2h =

π/h∫−π/h

|un(ξ)|2dξ =

π/h∫−π/h

|g(hξ)|2n|u0(ξ)|2dξ. (3.40)

Vemos entonces que la desigualdad de estabilidad (3.18) se cumple, con N = 0, si

|g(hξ)|2n esta acotada adecuadamente. Colocando θ = hξ, tenemos

g(θ) = (1− aλ) + aλe−iθ

= (1− aλ) + aλ cos θ + aλ sin θ. (3.41)




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Ahora, aplicando el modulo en (3.41), obtenemos

|g(θ)|2 = (1− aλ+ aλ cos θ)2 + a2λ2 sin2 θ

= (1− 2aλ sin2 θ

2)2 + 4a2λ2 sin2 θ

2cos2 θ

2

= 1− 4aλ sin2 θ

2+ 4a2λ2 sin4 θ

2+ 4a2λ2 sin2 θ

2cos2 θ

2

= 1− 4aλ(1− aλ) sin2 θ

2. (3.42)

De la expresion (3.42), tenemos que |g(θ)| es acotada por 1 si 0 ≤ aλ ≤ 1, ası por

(3.38), resulta

h∞∑

j=−∞

|unj |2 ≤π/h∫

−π/h

|u0(ξ)|2dξ = h∞∑

j=−∞

|u0j(ξ)|2, (3.43)

y el esquema es estable por la Definicion 3.6.

Teorema 3.4 Un (EDF ) de un paso con coeficientes constantes es estable en

una region de estabilidad Λ si y solamente si existe una constante Σ (independiente

de θ, k y h) tal que

|g(θ, k, h)| ≤ 1 + Σk (3.44)

con (k, h) ∈ Λ. Si g(θ, k, h) es independiente de h y k, la condicion de estabilidad

de (3.44) puede ser reemplazada con la condicion de estabilidad restringida

|g(θ)| ≤ 1. (3.45)

Demostracion: [⇐] Por la relacion de Parseval y la definicion de g resulta

‖un‖2h =

π/h∫−π/h

|g(hξ, k, h)|2n|u0(ξ)|2dξ. (3.46)

Si |g(hξ, k, h)| ≤ 1 + Σk, para (k, h) ∈ Λ, tenemos

‖un‖2h ≤

π/h∫−π/h

(1 + Σk)2n|u0(ξ)|2dξ

= (1 + Σk)2n‖u0‖2h. (3.47)




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54

Ahora n ≤ T/k, ası

(1 + Σk)n ≤ (1 + Σk)T/k ≤ eΣT .

Por lo tanto, ‖un‖h ≤ eΣT‖u0‖h, que satisface la condicion (3.18) y ası el esquema

es estable en Λ.

[⇒] Probaremos ahora que si la desigualdad (3.44) puede no ser satisfecha para

(k, h) ∈ Λ para cualquier valor de Σ, entonces el esquema no es estable en Λ.

Hacer esto muestra que podemos conseguir cualquier cantidad de crecimiento en la

solucion, es decir, muestra que la desigualdad de estabilidad (3.18) puede no ser

cumplida.

Si para algun valor positivo C existe un intervalo de θ, θ ∈ [θ1, θ2] y (k, h) ∈ Λ

con |g(θ, k, h)| > 1 + Ck, entonces construimos una funcion u0j como

u0(ξ) =

0 , sihξ 6∈ [θ1, θ2],√h(θ2 − θ1)−1 , sihξ ∈ [θ1, θ2].

Vemos que

‖u0‖2h =

π/h∫−π/h

|u0(ξ)|2dξ =

θ2/h∫θ1/h

h(θ2 − θ1)−1dξ = 1.

Entonces

‖un‖2h =

π/h∫−π/h

|g(hξ, k, h)|2n|u0(ξ)|2dξ

=

θ2∫θ1

|g(hξ, k, h)|2n h

θ2 − θ1

dξ

≥ (1 + Ck)2n

≥ 1

2e2TC‖u0‖2

h,

para n cerca de T/k. Esto muestra que el esquema es inestable si C es arbitrariamente

grande. Ası, el esquema es inestable si no existe una region en la cual g(hξ, k, h)

pueda ser limitada como en (3.44). La prueba de la condicion (3.45) es similar a la

demostracion do Teorema (3.6). 2




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Definicion 3.10 (Von Neumann) La estabilidad de Von Neumann esta basa-

do en que el (EDF ) del (PVI) tiene una solucion de la forma, unj = gneiθj, esta

se reemplaza en el (EDF ) y se obtiene el factor de amplificacion g = g(θ), luego el

Teorema 3.4 indica si el esquema es estable o no.

Observacion 3.5 El analisis de estabilidad de Von Neumann, tambien se puede

aplicar para sistemas de ecuaciones, en ese caso encontramos una matriz de amplifi-

cacion G(θ) = (gij) (ver [1], [22], [24]), despues de reemplazar unm,j = gnmeiθj, donde

m es el numero de soluciones.

Definicion 3.11 El (EDF) Un+1 = QUn con Q una matriz de orden p × p,

Un = (un1 , . . . , unp ) y p ∈ N, satisface la Condicion de Von Neumann si existe una

constante C independiente de h, k, n y θ tal que

σ(G(θ)) ≤ 1 + Ck,

donde G(θ) es la matriz de amplificacion de orden p × p con autovalores λi(θ),

i = 1, . . . , p y el radio espectral σ(G(θ)) = max1≤i≤p |λi(θ)|.

Teorema 3.5 La condicion de Von Neumann es necesaria para la estabilidad del

(EDF) en la norma `2.

Demostracion: Ver [22, Teorema 2.2]. 2

Ejemplo 3.6 Usando el esquema forward-time forward-space (3.6) y la ecuacion

(3.37), obtenemos

|g(θ)|2 = 1 + 4aλ(1 + aλ) sin2 θ

2, (3.48)

donde a es positiva. Si λ es constante, entonces podemos usar la condicion (3.45),

vemos que |g| ≥ 1 para θ 6= 0, y por lo tanto este esquema es inestable. Recordemos

el Ejemplo 1.4.3 ([24], pagina 27), sabemos que este esquema no es convergente.

Si a es negativo, entonces el esquema forward-time forward-space es estable para

−1 ≤ aλ ≤ 0.




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56

Ejemplo 3.7 Consideremos el esquema modificado de Lax - Friedrichs para

ut + aux − u = 0, (3.49)

dado porun+1j − 1

2(unj+1 + unj−1)

k+ a

unj+1 − unj−1

2h− unj = 0. (3.50)

Este esquema tiene el factor de amplificacion

g(θ, k, h) = cos θ − iaλ sin θ + k, (3.51)

y obtenemos

|g(θ, k, h)|2 = (cos θ + k)2 + a2λ2 sin2 θ

≤ (1 + k)2, (3.52)

si |aλ| ≤ 1.

Corolario 3.1 Si un esquema como en el Teorema 3.4 se modifica de forma

que el unico resultado de las modificaciones es la adicion al factor de amplificacion

de terminos que son O(k) uniformemente en ξ, entonces el esquema modificado es

estable si y solo si el esquema original es estable.

Demostracion: Si g es el factor de amplificacion para el esquema y satisface

|g| ≤ 1+Σk, entonces el factor de amplificacion del esquema modificado, g, satisface

|g| = |g +O(k)| ≤ 1 + Σk + Ck = 1 + Σk.

Por lo tanto, el esquema modificado es estable si el esquema original es estable y

viceversa. 2

Teorema 3.6 Un esquema de un solo paso consistente para la ecuacion

ut + aux + bu = 0

es estable si y solo si es estable para esta ecuacion cuando b es igual a 0. Ademas,

cuando k = λh y λ es una constante, la condicion de estabilidad sobre g(hξ, k, h) es

|g(θ, 0, 0)| ≤ 1. (3.53)




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Demostracion: Debido a la consistencia, es facil ver que el termino de orden

inferior bu contribuye a la expresion de g solamente terminos que son proporcionales

a k. Por el Corolario 3.1 la supresion de estos terminos no afectara la estabilidad

del esquema. Para mostrar el otro resultado, usamos la serie de Taylor en k y h,

tenemos

g(θ, k, h) = g(θ, 0, 0) +O(h) +O(k),

y si h = λ−1k, entonces los terminos que son O(h) tambien son O(k). Ademas,

como θ es restricta al conjunto compacto [−π, π], los terminos O(k) son acotados

uniformemente. De este modo, por el Corolario 3.1 la condicion de estabilidad es

g(θ, 0, 0) ≤ 1 + Σk,

para alguna constante Σ. Pero, el lado izquierdo de esta relacion es independiente

de k y la desigualdad deberıa cumplirse para todo valor positivo pequeno de k.

Tenemos, por lo tanto, que la estimacion anterior se cumple si y solamente si

g(θ, 0, 0) ≤ 1.

Este mismo razonamiento demuestra la ultima afirmacion del Teorema 3.4. 2

Observacion 3.6 El Teorema 3.6 es valido tambien para sistemas de ecuaciones,

es decir, cuando la ecuacion es de la forma: Ut + AUx + BU = 0, donde U es

un vector, A y B son matrices. Esto es, debido que en la demostracion, de este

teorema fue usado el Corolario 3.1 ıntegramente, gracias al Ejercicio 7.1.5 de [24],

nos dice que este corolario puede ser extendido para sistemas de ecuaciones, con esto

generalizamos el Teorema 3.6.

Ejemplo 3.8 Presentamos el analisis de Von Neumann para el esquema de Lax

- Friedrichs del Ejemplo 3.7. El esquema es estable si y solamente si el esquema es

estable sin el termino sin derivadas. Para este caso

g(θ) = cos θ − iaλ sin θ (3.54)




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58

y tenemos

|g(θ)|2 = cos2 θ + a2λ2 sin2 θ. (3.55)

Vemos que |g(θ)| ≤ 1 si y solo si |aλ| ≤ 1. Ası, el esquema de Lax - Friedrichs con

constante λ es estable si y solamente si |aλ| ≤ 1.

Definicion 3.12 (Expansion de Taylor) Si la funcion f tiene mas de una va-

riable independiente, digamos, f = f(x, y), la expansion de Taylor en el punto (a, b),

se expresa

f(x, y) = f(a, b) + (x− a)∂f

∂x+ (y − b)∂f

∂x

+1

2!

[(x− a)2∂

2f

∂x2+ 2(x− a)(y − b) ∂

2f

∂x∂y+ (y − b)2∂

2f

∂y2

]

+1

3!

[(x− a)3∂

3f

∂x3+ 3(x− a)2(y − b) ∂3f

∂x2∂y

+ 3(x− a)(y − b)2 ∂3f

∂x∂y2+ (y − b)3∂

3f

∂y3

]+ . . . , (3.56)

con todas las derivadas evaluadas en el punto (a, b). Usando αjt = xj−xj0, podemos

escribir la expansion de Taylor para m variables independientes en la forma simbolica

f(x1, . . . , xm) =∞∑n=0

tn

n!

(m∑i=1

αi∂

∂xi

)n

f(x1, . . . , xm)

∣∣∣∣∣(xk=xk0 , k=1,...,m)

. (3.57)

Ahora mostraremos una extension importante de la regla de Leibniz. Suponga-

mos que f : R ⊂ R2 → R, donde R = (x, t) : a ≤ x ≤ b, c ≤ t ≤ d, denotemos

I = x : a ≤ x ≤ b y J = t : c ≤ t ≤ d y sean h0, h1 : I → J . Suponga que

F : I → R es definido por

F (x) =

h1(x)∫h0(x)

f(x, t)dt. (3.58)

Consideremos una funcion φ : R3 → R definido por

φ(x, y, z) =

z∫y

f(x, t)dt. (3.59)




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3.3 Metodo de Solucion de Double - Sweep 59

Teorema 3.7 Suponga que f y ∂f∂x

son continuas en R y φ es definida como en

(3.59) con x ∈ I y y, z ∈ J . Entonces

φx(x, y, z) =

z∫y

∂f(x, t)

∂xdt, φy = −f(x, y), φz = f(x, z). (3.60)

Demostracion: La primera formula en (3.60) es resultado de usar la Regla de

Leibniz (ver [18, Teorema 9.1]). La segunda y tercera formula se cumplen debido al

teorema fundamental del calculo. 2

Teorema 3.8 (Regla de Leibnitz General) Suponga que f y ∂f∂x

son conti-

nuas en R y h0, h1 : I → J son funciones de clase C1. Si F : I → R es definido

como en (3.58), entonces

∂F (x)

∂x= f(x, h1(x))h′1(x)− f(x, h0(x))h′0(x) +

h1(x)∫h0(x)

∂f(x, t)

∂xdt. (3.61)

Demostracion: Usamos φ definido en (3.59), vemos que F (x) = φ(x, h0(x), h1(x)).

Aplicamos la regla de la cadena para F ′, obtenemos

F ′(x) = φx + φyh′0(x) + φzh

′1(x). (3.62)

Ahora, colocamos los valores de φx, φy y φz de (3.60) en la formula arriba con

y = h0(x) y z = h1(x), obtenemos la regla de Leibniz general (3.61). 2

3.3. Metodo de Solucion de Double - Sweep

El algoritmo de Double - Sweep (doble barrido), es una tecnica de solucion que

esta basada en un caso especial de la eliminacion Gaussiana. Esta tecnica es usada

para cualquier esquema implıcito de diferencias finitas que puede ser representado

en la forma tridiagonal general

Ajun+1j+1 +Bju

n+1j + Cju

n+1j−1 = Dj. (3.63)




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60

Para solucionar (3.63) para todo j = 1, . . . , J−1, usamos el Algoritmo de Thomas

(ver [2], pagina 117), introducimos 2 variables independientes Ej y Fj tal que

un+1j+1 = Eju

n+1j + Fj, (3.64)

de forma que una relacion lineal es asumida existe entre uj+1 y uj en el siguiente

nivel de tiempo. Substituyendo (3.64) en (3.63), se obtiene

(AjEj +Bj)un+1j + Cju

n+1j−1 = Dj − AjFj. (3.65)

Dividiendo (3.65) por (AjEj +Bj), resulta

un+1j =

(−Cj

AjEj +Bj

)un+1j−1 +

(Dj − AjFjAjEj +Bj

). (3.66)

Ası, podemos identificar que

Ej−1 =−Cj

AjEj +Bj

(3.67a)

Fj−1 =Dj − AjFjAjEj +Bj

. (3.67b)

Podemos repetir el proceso de indexar en forma descendente para valores sucesivos

de j (J − 2, J − 3, etc.) y entonces vemos que cada par sucesivo de valores Ej−1 y

Fj−1 pueden ser calculado facilmente del par adyacente de valores Ej y Fj, usando

(3.67a) y (3.67b). De esta manera (3.67a) y (3.67b) se tornan las relaciones de

recurrencias para calcular el conjunto de Ej, Fj de j = J (usualmente la frontera

del lado derecho) a j = 1. Estas variables adicionales estan entonces usadas en un

segundo conjunto de calculos sucesivos de un+1j+1 = Eju

n+1j + Fj, para calcular todos

los valores de la solucion, comenzamos en j = 1 donde un+11 es una condicion de

frontera conocida.

La tecnica es esquematizada en la figura 3.4. Calculamos primero EJ y FJ para

comenzar y entonces usamos (3.67a) y (3.67b) recursivamente y barriendo hacia

adelante (sweep forward) para calcular E y F para todos los puntos de la malla

j = J − 1 a 1. Entonces, usando esto almacenamos la informacion de E − F y

(3.64), barriendo hacia atras (sweep back), calculamos un+1j para todos los puntos




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3.3 Metodo de Solucion de Double - Sweep 61

de la malla de j = 2 a J − 1: de ahı el nombre de metodo (algoritmo) de Double

- Sweep. En otras palabras, tomamos la informacion de frontera del lado derecho

para el izquierdo, de tal modo que acondicionamos la solucion para el uso de esta

informacion en los valores de E − F y entonces procedemos en la direccion inversa,

transferimos los datos de la frontera del lado izquierdo para el derecho a fin de

determinar la solucion completa.

Figura 3.4: Esquematizacion del algoritmo de double - sweep.




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62

3.3.1. Condicion de Frontera del tipo Dirichlet: un+1J cono-

cido.

Dado un+1J y reescribiendo (3.64), tenemos

un+1J = EJ−1u

n+1J−1 + FJ−1 (3.68)

y deberıamos establecer EJ−1 y FJ−1 (valores de arranque) que son independientes

de un+1J−1. El proceso es simple tomando

EJ−1 = 0 (3.69)

ası que

FJ−1 = un+1J . (3.70)

Las ecuaciones (3.69) y (3.70) son los valores de arranque del barrido E − F .

Observacion 3.7 Para el caso con la condicion de frontera del tipo de Neumann

podemos ver [2], pagina 119.

Observacion 3.8 (Estabilidad del Algoritmo de Thomas) Para el algorit-

mo de Thomas estar bien condicionado o estable, debe cumplir

|Ej| ≤ 1 (3.71)

La condicion (3.71) es satisfecha sii el esquema tridiagonal (3.63) satisface |−Cj| ≤

|Aj|+ |Bj| (ver [24], pagina 90).




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Capıtulo IV

LAS ECUACIONES DE SAINT -

VENANT

En el presente capıtulo se presenta una deduccion de las ecuaciones de Saint –

Venant unidimensional (1-D) en la forma diferencial usando hipotesis que simplifican

su deduccion mediante el uso del diagrama de cuerpo libre de un volumen de control,

donde se aprecia el fenomeno a estudiar. El modelo hidraulico original de las ecua-

ciones de Saint – Venant fue presentado en [20]. Las ecuaciones de Saint – Venant

son deducidas a partir de las leyes basicas de la mecanica de fluidos que gobiernan

el flujo de la superficie libre: conservacion de masa y conservacion de momento. En

este caso vamos a hacer una adaptacion de lo que fue estudiado en [10].

4.1. Sistema Natural de Coordenadas e Hipotesis

Basicas

Un canal abierto inclinado es aquel donde el flujo del fluido sucede primordial-

mente por accion directa de la gravedad a traves de la accion de la componente del

peso del agua, en direccion del declive, en una analogıa directa con lo que ocurre en

los rıos. Ası, tenemos que el flujo de un canal inclinado, presenta un unico sentido

de movimiento: aguas arriba (upstream, montante), para aguas abajo (downstream,




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64

jusante). Sin embargo, esto no implica que no ocurra el flujo contrario en otras

estructuras.

El sistema de coordenadas mas adecuado, para determinar las ecuaciones de

Saint – Venant, debe tener el eje x sobrepuesto al lecho (fondo) del canal, siendo

inclinado en relacion a la horizontal, de forma que la componente de la velocidad de

mayor interes tenga la misma direccion de x. Por otro lado, si el eje x fuese colocado

horizontal, surgirıa una componente vertical de la velocidad, causando una dificultad

extra a las ecuaciones. Entonces, el sistema de coordenadas utilizado es concebido

como natural por tener el declive del propio canal, una vez que el eje x (longitudinal)

sigue el eje del canal y presenta una inclinacion α en relacion con la horizontal. El

origen del eje x es colocado en la desembocadura, entendida como punto de partida

del cual no se observa inversion del flujo, admitiendose que el sentido positivo del

eje sea siguiendo la direccion x y que el eje z sea ortogonal a x como muestra la

figura 4.1.

Figura 4.1: Vista de la seccion longitudinal del canal.

Habiendo definido las caracterısticas basicas de la geometrıa del problema, ahora

vamos a establecer las demas hipotesis necesarias para deducir las ecuaciones de

Saint – Venant, como sigue:




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

4.2 Modelo Unidimensional 65

1. Flujo Isocorico, implicando un valor constante para la densidad.

2. Campo de Presion Hidrostatico, en el balance de fuerzas en la direccion per-

pendicular al movimiento, las aceleraciones verticales son despreciadas en pre-

sencia de la componente del peso.

3. Pendiente del declive pequena.

4. Declive constante.

4.2. Modelo Unidimensional

Usando las hipotesis anteriores podemos deducir las ecuaciones de Saint – Ve-

nant en su forma unidimensional. En coordenadas rectangulares, consideramos un

volumen de control, con un ancho (∆x), en donde el flujo se procesa de la seccion 1

para la 2, conforme ilustra la figura 4.2.

Figura 4.2: Volumen de control.

Consideramos tambien el area (A) de cada una de las secciones transversales del

volumen de control. En cada seccion transversal, el area depende de la altura de la

lınea de agua (h), definida como altura hidraulica, tomada perpendicularmente al

eje del canal. Esta altura depende del tiempo (t) y de la variable espacial (x) como




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

66

se observa en la figura 4.3. De la hipotesis de inclinacion pequena del canal es posible

despreciar la parte aleatoria admitiendo apenas la componente media de la velocidad.

Por tanto, las caracterısticas del flujo permiten una aproximacion unidimensional

de las ecuaciones que lo determinan. Ası, podemos considerar−→U = u

−→i , donde u

representa la velocidad media en la seccion transversal.

Figura 4.3: Seccion transversal del volumen de control.

4.3. Ecuacion de Conservacion de Masa

Consideremos un volumen de control de un canal inclinado abierto entre la sec-

cion aguas arriba 1 y la seccion aguas abajo 2, como muestra la figura 4.4. La masa

presente en el volumen de control es ρA∆x (ver [17], pagina 11).

Figura 4.4: Diagrama de flujo.




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

4.4 Ecuacion de Conservacion de Momento 67

Principio de Conservacion de Masa: el flujo neto a traves del volumen de control

en un intervalo ∆t debe ser igual al cambio en volumen del volumen de control en

el mismo intervalo.

Usando este principio en relacion al diagrama de fuerzas 4.4, vemos que el flujo

neto es la diferencia de los flujos, entre la seccion 1 y 2 que estan en funcion del

caudal (Q), obtenemos[ρ(Q− ∂Q

∂x

∆x

2

)− ρ(Q+

∂Q

∂x

∆x

2

)]∆t =

∂(ρA∆x)

∂t∆t. (4.1)

Haciendo algunos calculos simples, tenemos

∂A

∂t+∂Q

∂x= 0, (4.2)

donde (∂A∂t

) representa la tasa de acumulacion de masa en el interior del volumen de

control y (∂Q∂x

) representa el balance del flujo de masa en el volumen de control (ver

[10], pagina 9).

4.4. Ecuacion de Conservacion de Momento

Consideramos un volumen de control de un canal abierto entre una seccion aguas

arriba 1 y la seccion aguas abajo 2, como muestra la figura 4.5.

Ley de Conservacion de Momento: la velocidad de cambio del momento acu-

mulado a traves del volumen de control debe ser igual a la tasa neta del momento

trasferido dentro del volumen de control, mas la suma de fuerzas externas en la

direccion del flujo (ver [17], pagina 12).

Siguiendo esta ley en relacion al diagrama de fuerzas 4.5, tenemos

ρ∂Q

∂t∆x =

[ρQ2

A− ρ

(Q2

A+

∂

∂x

(Q2

A

)∆x

)]+∑

Fx. (4.3)

Mediante operaciones simples llegamos a obtener

∂Q

∂tρ∆x+

∂

∂x

(Q2

A

)ρ∆x =

∑Fx. (4.4)




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

68

Figura 4.5: Diagrama de fuerzas.

De la figura 4.5, se observan que existen fuerzas que resta establecer para reemplazar

en la ecuacion (4.4), estas son las componentes de las fuerzas en la direccion x,

actuando en el volumen de control, las cuales son: la componente del peso en el

sentido del flujo, las fuerzas de presion en las paredes del canal y la fuerza de

friccion en el fondo del canal (ver [10], pagina 11).

Para mejor entendimiento de cada una de estas fuerzas, vamos a estudiarlas por

separado, observando su definicion y geometrıa dentro del canal inclinado.

4.4.1. Componente del peso en la direccion x

Vamos a denotar a la componente de la aceleracion de la gravedad en la direccion

x por gx y la componente de la fuerza del peso en la misma direccion por Wx y usando

(1.1), tenemos

Wx = m.gx. (4.5)

Sea m, la masa del agua en el volumen de control de la figura 4.6, donde el eje z es

perpendicular al eje x, empleando la formula (1.2), obtenemos

m = ρA∆x. (4.6)




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS


Por la hipotesis del declive constante, resulta

gx = g sen(α). (4.7)

Sustituyendo las ecuaciones (4.6) y (4.7) en (4.5), llegamos a

Wx = ρg sen(α)A∆x. (4.8)

El fenomeno ocurrido en el volumen de control puede ser descrito como indica la

figura 4.6.

Figura 4.6: Vista lateral del volumen de control.

4.4.2. Fuerza de presion en la direccion x

Para observar las fuerzas de presion en la direccion x actuando en el volumen de

control, podemos ver la figura 4.7. Recordemos que una de nuestras hipotesis es que

el campo de presiones es hidrostatico.

La fuerza de desbalance de presion en la direccion x (FPx), es la resultante

de la fuerza hidrostatica en la seccion 1 del volumen de control (FP1), la fuerza

hidrostatica en la seccion 2 del volumen de control (FP2) y la fuerza de presion




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

70

Figura 4.7: Vista de planta del volumen de control.

hidrostatica ejercida en la frontera lateral del volumen de control (FPb) (ver Figura

4.7), ası tenemos

FPx = FP1 − FP2 + FPb. (4.9)

Como podemos apreciar en la figura 4.8 y 4.6, un elemento del fluido de espesor dz

con una elevacion z medida desde el fondo del canal esta sumergido a la profundidad

h−z, luego la presion hidrostatica en el elemento es ρgz(h−z) y la fuerza hidrostatica

es ρgz(h− z)bdz, donde b representa el ancho del elemento a traves del canal.

Figura 4.8: Vista lateral del volumen diferencial de altura dz.

Por tanto la fuerza hidrostatica total en la seccion 1 del volumen de control es

FP1 =

h∫0

ρgz(h− z)bdz. (4.10)

La fuerza hidrostatica en la seccion 2 del volumen de control es

FP2 =

(FP1 +

∂(FP1)

∂x∆x

). (4.11)




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS


La fuerza ejercida en la frontera lateral del canal se relaciona con la tasa de cambio

en el ancho del canal ( ∂b∂x

), a traves del elemento ∆x como

FPb =

[ h∫0

ρgz(h− z)∂b

∂xdz

]∆x. (4.12)

Sustituyendo las ecuaciones (4.10), (4.11) y (4.12) en (4.9), resulta

FPx = − ∂

∂x

h∫0

ρgz(h− z)bdz

∆x+

h∫0

ρgz(h− z)∂b

∂xdz

∆x. (4.13)

Aplicando el Teorema 3.8, en la ecuacion (4.13), se obtiene

FPx =−

h∫0

∂

∂x

[ρgz(h− z)b

]dz + ρgz(h− h)b

∂h

∂x− ρgzhb

∂0

∂x

∆x+ ∆x

h∫0

ρgz(h− z)∂b

∂xdz

=−

h∫0

b∂

∂x

[ρgz(h− z)

]dz +

h∫0

ρgz(h− z)∂b

∂xdz −

h∫0

ρgz(h− z)∂b

∂xdz

∆x.

(4.14)

Simplificando la ecuacion (4.14), se tiene

FPx = −

h∫0

∂

∂x[ρgz(h− z)]bdz

∆x. (4.15)

Visto que h(x, t) y ρ son independientes de la variacion de z, despreciando la varia-

cion de gz, a lo largo de la direccion z, la ecuacion (4.15), puede ser escrita como

FPx = −

∂

∂x(ρgzh)

h∫0

bdz

∆x, (4.16)

en donde A =∫ h

0bdz. Por lo tanto la ecuacion (4.16), se transforma en

FPx = −ρgzA∂h

∂x∆x. (4.17)

Conforme indica la figura 4.6, podemos ver que gz = g cosα. Ası, la ecuacion (4.17),

puede ser reescrita como

FPx = −ρgA cosα∂h

∂x∆x. (4.18)




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

72

4.5. Fuerza de la resistencia en la direccion x

Resta calcular las fuerzas de resistencia provenientes del contacto del agua con

el fondo y las paredes del canal, una vez que la accion del viento es despreciada.

Por tanto, es necesario determinar la fuerza de friccion τ que se distribuye a lo largo

de toda la superficie lateral del volumen de control como se muestra en la figura

4.6. Expresando la fuerza de friccion media en toda la seccion por τ0, la fuerza de

resistencia (2.11) en la direccion x sera escrita

FRx = −τ0P∆x, (4.19)

donde P es el perımetro mojado. Siendo

τ0 = ρgRhSf , (4.20)

donde Rh es el radio hidraulico y Sf es la pendiente o gradiente de friccion.

Reemplazando (4.20) y (2.5) en (4.19), se tiene

FRx = −ρgASf∆x. (4.21)

Finalmente, podemos reescribir la ecuacion (4.4), sustituyendo en el lado derecho

las ecuaciones (4.8), (4.18), (4.21) y haciendo algunos calculos se llega a la siguiente

expresion∂Q

∂t+

∂

∂x

(Q2

A

)= gA sinα− gA cosα

∂h

∂x− gASf . (4.22)

Usando la hipotesis de que el declive es pequeno, se tiene

cosα ≈ 1, (4.23)

sinα ≈ tanα = S0, (4.24)

donde S0 es la pendiente o gradiente del fondo (lecho) del canal.

Empleando (4.23) y (4.24) en (4.22), se obtiene

∂Q

∂t+

∂

∂x

(Q2

A

)+ gA

∂h

∂x= gAS0 − gASf , (4.25)




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

4.6 Caso Particular 73

donde ∂Q∂t

es la aceleracion local, que describe el cambio de momento debido a cam-

bios de la velocidad con respecto al tiempo, ∂∂x

(Q2

A

)es la aceleracion convectiva, que

describe el cambio de momento debido a los cambios espaciales de la velocidad, g∂h∂x

el termino de la fuerza de presion, proporcional a la variacion de la profundidad del

agua en el canal, gSf es la fuerza de friccion, proporcional a la pendiente de friccion

y gS0 es la fuerza de la gravedad, proporcional a la pendiente del lecho (ver [10],

pagina 17).

Las ecuaciones (4.2) y (4.25) constituyen las ecuaciones de Saint – Venant,

utilizadas para describir flujos en canales abiertos inclinados.

4.6. Caso Particular

En esta seccion vamos a estudiar una forma particular de las ecuaciones de Saint

– Venant, que sera usada en lo restante del trabajo. Por lo tanto, es necesario tomar

algunas hipotesis mas:

e) Ancho del canal constante, tornando las ecuaciones independientes.

f) Canal rectangular.

4.6.1. Geometrıa del canal

Como se menciono anteriormente, el canal tiene una area transversal, la cual

tiene diversas formas geometricas como: canales, alcantarillado; pero en otros no

tine forma definida, como: rıos, lagos y mares. Este trabajo se basa en un canal con

area transversal con la forma geometrica rectangular (ver figura 4.9); es decir,

A = b.h. (4.26)

4.6.2. Conservacion de la masa

Sustituyendo la ecuacion (1.14) en la ecuacion (4.2), resulta

∂A

∂t+∂(uA)

∂x= 0, (4.27)




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

74

Figura 4.9: Seccion transversal rectangular.

donde u es la velocidad media.

Usando las hipotesis (e) y (f), tenemos que A = b.h(x, t), donde (h) es la altura

de la linea de agua y (b) es el ancho del canal que es un valor fijo. Empleando este

resultado en la ecuacion (4.27), se tiene

∂(bh)

∂t+∂(ubh)

∂x= 0. (4.28)

Como b es una constante, la ecuacion (4.28) puede ser transformada en

b∂h

∂t+ b

∂(uh)

∂x= 0. (4.29)

Dividiendo la ecuacion (4.29) por b y operando, se obtiene

∂h

∂t+ h

∂u

∂x+ u

∂h

∂x= 0. (4.30)

4.6.3. Conservacion de momento

En la ecuacion (4.25) substituimos la ecuacion (1.14), se tiene

∂(uA)

∂t+∂(u2A)

∂x+ gA

∂h

∂x= gAS0 − gASf . (4.31)

Como A = A(x, t) y u = u(x, t), calculando las derivadas de la ecuacion (4.31),

resulta

A∂u

∂t+ uA

∂u

∂x+

(u∂A

∂t+ uA

∂u

∂x+ u2∂A

∂x

)+ gA

∂h

∂x= gAS0 − gASf . (4.32)




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

4.6 Caso Particular 75

De la ecuacion (4.27), se puede obtener

∂A

∂t= −∂(uA)

∂x. (4.33)

Reemplazando la ecuacion (4.33) en la ecuacion (4.32), se encuentra

A∂u

∂t+ uA

∂u

∂x+

(− u∂(uA)

∂x+ uA

∂u

∂x+ u2∂A

∂x

)+ gA

∂h

∂x= gAS0 − gASf . (4.34)

Calculando la derivada de ∂(uA)∂x

en la ecuacion (4.34), se verifica

A∂u

∂t+ uA

∂u

∂x+ gA

∂h

∂x= gAS0 − gASf . (4.35)

Dividiendo la ecuacion (4.35) por A, se obtiene

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ g

∂h

∂x= gS0 − gSf . (4.36)

Las ecuaciones (4.30) y (4.36), constituyen la version unidimensional de las ecuacio-

nes de Saint – Venant que sera utilizada en este trabajo.




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

76




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

Capıtulo V

ESQUEMA DE DIFERENCIAS

FINITAS DE ABBOTT -

IONESCU

En este capıtulo, vamos a utilizar el esquema de Abbott – Ionescu para encontrar

una solucion aproximada para las ecuaciones de Saint – Venant (ecuaciones (4.30)

y (4.36)). De esta manera, buscar resolver el problema numericamente, empleando

un esquema de diferencias finitas y analizar tambien si el esquema usado es conver-

gente, mediante el teorema de equivalencia de Lax – Richtmyer; es decir, probar la

consistencia y estabilidad del esquema de diferencias finitas.

Presentamos las ecuaciones de Saint – Venant en su forma completa colocando

las ecuaciones (4.30) y (4.36) en forma de sistema, como sigue

∂h

∂t+ u

∂h

∂x+ h

∂u

∂x= 0, (x, t) ∈ [0, L]× R+,

∂u

∂t+ g

∂h

∂x+ u

∂u

∂x= gS0 − gSf , (x, t) ∈ [0, L]× R+,

h(x, 0) = 0, u(x, 0) = 0, x ∈ [0, L],

h(0, t) = 0, u(0, t) = 0, t > 0,

(5.1)

donde L es la longitud del canal.




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

78

Este sistema puede ser escrito en la forma vectorial conservativa

Ut + F (U)x = S, (5.2)

donde U = [h, u]T , F (U) =[uh, u

2

2+ gh

]Ty S = [0, g(S0 − Sf )]T .

El jacobiano de F , es dado por

A(U) =∂F (U)

∂x=

u h

g u

. (5.3)

Los autovalores de A(U) son dados por

a1 = u− c, (5.4)

a2 = u+ c, (5.5)

y los autovectores son

v1 = [h,−c]T , (5.6)

v2 = [h, c]T , (5.7)

donde c =√

gh es la celeridad y es expresada por (2.4). Consecuentemente A(U)

tiene 2 autovalores reales y 2 autovectores linealmente independientes si c 6= 0. El

sistema (5.2) es por definicion es hiperbolico, pues tiene la forma

Ut + A(U)Ux = S, (5.8)

y tambien, como los autovalores son distintos, el sistema es estrictamente hiperbolico

(ver [15], pagina 58). Ademas, este sistema (5.1) tiene un termino no lineal en

la ecuacion de momento, debido a esto, se torna complicada la forma de resolver

analıticamente; por esta razon vamos a emplear los metodos numericos. En este caso,

emplearemos un esquema de diferencias finitas como mencionamos anteriormente.

5.1. Algunas soluciones particulares para las ecua-

ciones de Saint – Venant

En esta seccion, vamos a estudiar la referencia [5] donde podemos encontrar

algunas soluciones analıticas particulares del sistema (5.1) con condiciones iniciales




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

5.1 Algunas soluciones particulares para las ecuaciones de Saint – Venant 79

y de contorno particulares. Este sistema es dado por

∂h

∂t+ u

∂h

∂x+ h

∂u

∂x= 0, (x, t) ∈ [0, L]× R+,

∂u

∂t+ g

∂h

∂x+ u

∂u

∂x= gS0 − F (h, u), (x, t) ∈ [0, L]× R+,

h(x, 0) = 0, u(x, 0) = 0, x ∈ [0, L],

h(0, t) = 0, u(0, t) = 0, t > 0,

(5.9)

donde L es la longitud del flujo y F (h, u) = g u2

C2fh

. Suponiendo que la solucion del

sistema (5.9), sea de la forma

h(x, t) = a(t)x+ b(t),

u(x, t) = c(t)x+ d(t).(5.10)

Podemos ver que F (h, u) = r u2

h, donde r = g

C2f

es una constante. Sin perdida de

generalidad podemos suponer que r = 1, simplemente ahora es encontrar cuales son

los coeficientes de (5.10), para los siguientes casos:

i) Si F (h, u) = 0, los coeficientes son:

a(t) = p2(t+ p1)−2, (5.11)

b(t) =−gp2

2[1 + ln(t+ p1)] + p2p3 + p4(t+ p1)

t+ p1

, (5.12)

c(t) = (t+ p1)−1, (5.13)

d(t) =−gp2 ln(t+ p1) + p3

t+ p1

, (5.14)

donde p1, p2, p3 y p4 son constantes de integracion.

ii) Si F (h, u) = 0 y h = Θ(u), tenemos que

h = Θ(u) =1

2

(u√2g

+ p1

), (5.15)

u =2x3

+ p2

t+ p3

, (5.16)

donde p1, p2 y p3 son constantes de integracion.




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

80

iii) Si F (h, u) = u, los coeficientes son:

a(t) = p2(1 + p1et)−2, (5.17)

b(t) =1

1 + p1et

[∫d(s)(1 + p1e

t)ds+ p2

], (5.18)

c(t) = p2et(t+ p1e

t)−1, (5.19)

d(t) =−gp2e

t

t+ p1et[p3 − e−t + p1 ln(p1 + e−t)], (5.20)

donde p1, p2 y p3 son constantes de integracion.

iv) Si F (h, u) = u2, los coeficientes son:

a(t) = p1, (5.21)

b(t) = −p1

∫d(s)ds+ p3, (5.22)

c(t) = 0, (5.23)

d(t) =

√−gp1tg[

√−gp1(t+ p2)], si p1 < 0,

−(t+ p2)−1, si p1 = 0,

√gp1(1 + z)/(1− z), si p1 > 0,

(5.24)

donde p1, p2 y p3 son constantes de integracion y z = e2√

gp1(t+p2).

Para el caso que F (h, u) = g u2

C2fh

no existe solucion de la forma (5.10) para el sistema

(5.9) ([5], pagina 3), de este resultado, vemos la necesidad de buscar una solucion

aproximada.

A continuacion, se va a estudiar los dos casos del sistema (5.1), tanto el ho-

mogeneo como no homogeneo y emplearemos el esquema implıcito de diferencias

finitas de Abbott – Ionescu (ver [1], [2] o [3]). Para analizar la convergencia de di-

chas soluciones aproximadas con las soluciones analıticas, sera hecho por medio del

estudio de la consistencia y estabilidad del esquemas de diferencias finitas y por

ultimo desarrollaremos el algoritmo de la solucion numerica.




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Y MATEMÁTICAS

5.2 Caso homogeneo del esquema de Abbott – Ionescu 81

5.2. Caso homogeneo del esquema de Abbott –

Ionescu

En esta seccion, se va a estudiar el caso donde S0 = Sf ; es decir, el flujo estudiado

es uniforme y permanente. Este es el caso original de las ecuaciones de Saint – Venant

(1850) para flujos en un canal con superficie libre casi horizontal (ver [2, pagina 30] y

[13, pagina 111]). Entonces el sistema (5.1) queda expresado de la siguiente manera:

∂h

∂t+ u

∂h

∂x+ h

∂u

∂x= 0, (x, t) ∈ [0, L]× R+,

∂u

∂t+ g

∂h

∂x+ u

∂u

∂x= 0, (x, t) ∈ [0, L]× R+,

h(x, 0) = 0, u(x, 0) = 0, x ∈ [0, L],

h(0, t) = 0, u(0, t) = 0, t > 0,

(5.25)

donde las soluciones del problema (5.25) son las funciones u = u(x, t) y h = h(x, t).

Graficamente se puede interpretar como muestra la figura 5.1

Figura 5.1: Flujo unidimensional con superficie libre casi horizontal.

Escribimos el problema (5.25) en su forma matricial h

u

t

+

u h

g u

h

u

x

=

0

0

. (5.26)




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

82

Ahora reescribimos la ecuacion matricial (5.26) en su forma conservativa

Ut +A(U)Ux = 0, (5.27)

donde U =

h

u

y A := A(U) =

u h

g u

.

Para poder aplicar la inversa de la matriz A a la ecuacion (5.27), debemos supo-

ner que el tipo de flujo a estudiar debe ser: subcrıtico o supercrıtico; ası, tendrıamos

que Fr < 1 o Fr > 1, respectivamente. Despues de esta suposicion, se obtiene

A−1Ut + Ux = 0, (5.28)

donde A−1 = 1u2−gh

u −h

−g u

.

Colocando la ecuacion (5.28) en su forma no conservativa, se tiene

P (h, u) := h∂u

∂t− u∂h

∂t− (u2 − gh)

∂h

∂x= 0, (5.29a)

P (h, u) := g∂h

∂t− u∂u

∂t− (u2 − gh)

∂u

∂x= 0, (5.29b)

donde P, P : R2 → R son operadores no lineales asociados a las ecuaciones (5.29a) y

(5.29b), respectivamente. Ahora presentamos el esquema diferencias finitas implıcito

de 6 puntos formulado por Abbott – Ionescu (ver [1, pagina 171], [2, pagina 261],

[3]), donde discretiza el sistema de ecuaciones (5.29) de la siguiente manera

h∗

(un+1j − unj

∆t

)− u∗

2

(hn+1j+1 − hnj+1

∆t+hn+1j−1 − hnj−1

∆t

)

−[u2∗ − gh∗

]4

(hn+1j+1 − hn+1

j−1

∆x+hnj+1 − hnj−1

∆x

)= 0, (5.30a)

g

(hn+1j − hnj

∆t

)− u∗

2

(un+1j+1 − unj+1

∆t+un+1j−1 − unj−1

∆t

)

−[u2∗ − gh∗

]4

(un+1j+1 − un+1

j−1

∆x+unj+1 − unj−1

∆x

)= 0. (5.30b)




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS


Observacion 5.1 Debemos entender que los terminos u∗ y h∗ que aparecen en

la ecuaciones (5.30a) y (5.30b) son considerados como terminos congelados o de-

jados fijos. Estos elementos son calculados un paso anterior; es decir, se busca las

soluciones u y h en el nivel n+ 1, mientras que u∗ y h∗ estan el nivel n, los cuales

son conocidos. Por este motivo no afecta en el analisis de consistencia y estabilidad;

pero para el calculo computacional estos elementos son unj y hnj .

El esquema de Abbott – Ionescu es descrito esquematicamente en la figura (5.2)

para cada ecuacion, pero sobre una malla escalonada basica, de manera que u y h

son calculados en lugares alternados de la malla.

Figura 5.2: Diagrama del esquema escalonado de Abbott – Ionescu.

5.2.1. Consistencia

Para analizar la consistencia de las ecuaciones discretizadas (5.30) utilizamos

dos funciones ϕ y φ suficientemente suaves, empleamos la expansion de Taylor en

dos dimensiones (la ecuacion (3.56) en la Definicion 3.12) en el punto (xj, tn+1/2)

(ver figura 5.3) que por simplicidad denotamos este punto por (x, t) y escribimos los




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

84

valores de:

φnj−1 = φ(xj−1, tn+1/2 −∆t/2) = φ(x, t)−∆xφx(x, t)−∆t

2φt(x, t) +

(∆x)2

2!φxx(x, t)

+∆x∆t

2φxt(x, t) +

(∆t/2)2

2!φtt(x, t)−

(∆x)3

3!φxxx(x, t)−

(∆x)2(∆t/2)

2!φxxt(x, t)

− ∆x(∆t/2)2

2!φxtt(x, t)−

(∆t/2)3

3!φttt(x, t) +O((∆x)4) +O((∆x)3∆t)

+O((∆x)2(∆t)2) +O(∆x(∆t)3) +O((∆t)4).

φn+1j−1 = φ(xj−1, tn+1/2 + ∆t/2) = φ(x, t)−∆xφx(x, t) +

∆t

2φt(x, t) +

(∆x)2

2!φxx(x, t)

− ∆x∆t

2φxt(x, t) +

(∆t/2)2

2!φtt(x, t)−

(∆x)3

3!φxxx(x, t) +

(∆x)2(∆t/2)

2!φxxt(x, t)

− ∆x(∆t/2)2

2!φxtt(x, t)−

(∆t/2)3

3!φttt(x, t) +O((∆x)4) +O((∆x)3∆t)

+O((∆x)2(∆t)2) +O(∆x(∆t)3) +O((∆t)4).

φnj = φ(xj, tn+1/2 −∆t/2) = φ(x, t)− ∆t

2φt(x, t) +

(∆t/2)2

2!φtt(x, t)

− (∆t/2)3

3!φttt(x, t) +O((∆t)4).

φn+1j = φ(xj, tn+1/2 + ∆t/2) = φ(x, t) +

∆t

2φt(x, t) +

(∆t/2)2

2!φtt(x, t)

+(∆t/2)3

3!φttt(x, t) +O((∆t)4).

φn+1j+1 = φ(xj+1, tn+1/2 + ∆t/2) = φ(x, t) + ∆xφx(x, t) +

∆t

2φt(x, t) +

(∆x)2

2!φxx(x, t)

+∆x∆t

2φxt(x, t) +

(∆t/2)2

2!φtt(x, t) +

(∆x)3

3!φxxx(x, t) +

(∆x)2(∆t/2)

2!φxxt(x, t)

+∆x(∆t/2)2

2!φxtt(x, t) +

(∆t/2)3

3!φttt(x, t) +O((∆x)4) +O((∆x)3∆t)

+O((∆x)2(∆t)2) +O(∆x(∆t)3) +O((∆t)4).

Analogamente para ϕnj−1, ϕn+1j−1 , ϕnj , ϕn+1

j , ϕn+1j+1 .

Los operadores diferenciales discretos P∆t,∆x y P∆t,∆x para las ecuaciones (5.30a)




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS


Figura 5.3: Esquema de discretizacion.

y (5.30b), respectivamente, son dados por

P∆t,∆x(ϕ, φ) = ϕ

(φn+1j − φnj

∆t

)− φ

2

(ϕn+1j+1 − ϕnj+1

∆t+ϕn+1j−1 − ϕnj−1

∆t

)

−[φ2 − gϕ

]4

(ϕn+1j+1 − ϕn+1

j−1

∆x+ϕnj+1 − ϕnj−1

∆x

), (5.31a)

P∆t,∆x(ϕ, φ) = g

(ϕn+1j − ϕnj

∆t

)− φ

2

(φn+1j+1 − φnj+1

∆t+φn+1j−1 − φnj−1

∆t

)

−[φ2 − gϕ

]4

(φn+1j+1 − φn+1

j−1

∆x+φnj+1 − φnj−1

∆x

). (5.31b)

Reemplazando las expansiones de Taylor de ϕ y φ en las ecuaciones (5.31a) y (5.31b),

se obtiene

P∆t,∆x(ϕ, φ) =ϕ(φt + o(∆t2)

)− φ

2

[(ϕt −∆xϕxt + o(∆x2) + o(∆t2))

+ (ϕt + ∆xϕxt + o(∆x2) + o(∆t2))]−[φ2 − gϕ

]4

[(2ϕx + ∆tϕxt

+ o(∆x2) + o(∆t2)) + (2ϕx −∆tϕxt + o(∆x2) + o(∆t2))], (5.32a)

P∆t,∆x(ϕ, φ) =g(φt + o(∆t2)

)− φ

2

[(φt −∆xφxt + o(∆x2) + o(∆t2))

+ (φt + ∆xφxt + o(∆x2) + o(∆t2))]−[φ2 − gϕ

]4

[(2φx + ∆tφxt

+ o(∆x2) + o(∆t2)) + (2φx −∆tφxt + o(∆x2) + o(∆t2))]. (5.32b)




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

86

Luego, haciendo unos calculos en (5.32), resulta

P∆t,∆x(ϕ, φ) = ϕφt − φϕt − (φ2 − gϕ)ϕx + o(∆x2) + o(∆t2)

= P (ϕ, φ) + o(∆x2) + o(∆t2), (5.33a)

P∆t,∆x(ϕ, φ) = gφt − φφt − (φ2 − gϕ)φx + o(∆x2) + o(∆t2)

= P (ϕ, φ) + o(∆x2) + o(∆t2). (5.33b)

Finalmente, se obtiene

P∆t,∆x(ϕ, φ)− P (ϕ, φ)∆x,∆t→0−−−−−→ 0, (5.34a)

P∆t,∆x(ϕ, φ)− P (ϕ, φ)∆x,∆t→0−−−−−→ 0. (5.34b)

Por lo tanto de los limites (5.34a) y (5.34b), se deduce que esquema de Abbott -

Ionescu es consistente y de orden de precision (2, 2).

5.2.2. Estabilidad

En esta seccion vamos a mostrar que el esquema de Abbott – Ionescu dado en

(5.30) es estable.

Comenzamos este estudio aplicando el analisis de Von Neumann. Es decir, vamos

a substituir los terminos hnj = Hneijθ y unj = ξneijθ en las ecuaciones (5.30a) y

(5.30b), de donde se obtiene

h∗

(ξn+1eijθ − ξneijθ

∆t

)− u∗

2

(Hn+1ei(j+1)θ −Hnei(j+1)θ

∆t+Hn+1ei(j−1)θ −Hnei(j−1)θ

∆t

)

−[u2∗ − gh∗

]4

(Hn+1ei(j+1)θ −Hn+1ei(j−1)θ

∆x+Hnei(j+1)θ −Hnei(j−1)θ

∆x

)= 0,

(5.35a)

g

(Hn+1eijθ −Hneijθ

∆t

)− u∗

2

(ξn+1ei(j+1)θ − ξnei(j+1)θ

∆t+ξn+1ei(j−1)θ − ξnei(j−1)θ

∆t

)

−[u2∗ − gh∗

]4

(ξn+1ei(j+1)θ − ξn+1ei(j−1)θ

∆x+ξnei(j+1)θ − ξnei(j−1)θ

∆x

)= 0.

(5.35b)




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS


Factorizando los terminos comunes en las ecuaciones (5.35a) y (5.35b), se obtiene

h∗

(ξn+1 − ξn

∆t

)eijθ − u∗

2

[(Hn+1 −Hn

)ei(j+1)θ

∆t+

(Hn+1 −Hn

)ei(j−1)θ

∆t

]

−[u2∗ − gh∗

]4

[Hn+1

(ei(j+1)θ − ei(j−1)θ

)∆x

+Hn(ei(j+1)θ − ei(j−1)θ

)∆x

]= 0, (5.36a)

g

(Hn+1 −Hn

∆t

)eijθ − u∗

2

[(ξn+1 − ξn

)ei(j+1)θ

∆t+

(ξn+1 − ξn

)ei(j−1)θ

∆t

]

−[u2∗ − gh∗

]4

[ξn+1

(ei(j+1)θ − ei(j−1)θ

)∆x

+ξn(ei(j+1)θ − ei(j−1)θ

)∆x

]= 0. (5.36b)

Dividiendo las ecuaciones (5.36a) y (5.36b) por el termino eijθ y haciendo algunas

operaciones, (5.36a) y (5.36b) se puede escribir como

h∗(ξn+1 − ξn

)− u∗

2

(Hn+1 −Hn

)(eiθ + e−iθ

)−[u2∗ − gh∗

]4

(Hn+1 +Hn

)(eiθ − e−iθ

)∆t

∆x= 0, (5.37a)

g(Hn+1 −Hn

)− u∗

2

(ξn+1 − ξn

)(eiθ + e−iθ

)−[u2∗ − gh∗

]4

(ξn+1 + ξn

)(eiθ − e−iθ

)∆t

∆x= 0. (5.37b)

Usando las identidades del sen θ = eiθ−e−iθ2i

y cos θ = eiθ+e−iθ

2de los numeros comple-

jos, en las ecuaciones (5.37a) y (5.37b), se tiene

h∗(ξn+1 − ξn

)− u∗ cos θ

(Hn+1 −Hn

)−(u2∗ − gh∗

)∆t

2∆xsin θ

(Hn+1 +Hn

)i = 0,

(5.38a)

g(Hn+1 −Hn

)− u∗ cos θ

(ξn+1 − ξn

)−(u2∗ − gh∗

)∆t

2∆xsin θ

(ξn+1 + ξn

)i = 0.

(5.38b)

Ordenando los terminos comunes de las ecuaciones (5.38a) y (5.38b), resulta

(a+ ib)Hn+1 + h∗ξn+1 = (a− ib)Hn + h∗ξ

n, (5.39a)

gHn+1 + (a+ ib)ξn+1 = gHn + (a− ib)ξn, (5.39b)




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

88

donde a = −u∗ cos θ y b = − (u2∗−gh∗)∆t2∆x

sin θ.

Escribiendo las ecuaciones (5.39a) y (5.39b) en forma matricial, se tiene a+ ib h∗

g a+ ib

Hn+1

ξn+1

=

a− ib h∗

g a− ib

Hn

ξn

. (5.40)

Aplicando la inversa de la matriz del lado izquierdo de la ecuacion matricial (5.40),

se obtiene Hn+1

ξn+1

=1

(a+ ib)2 − gh∗

a+ ib −h∗−g a+ ib

a− ib h∗

g a− ib

Hn

ξn

=

1

a2 − b2 − gh∗ + 2abi

a2 + b2 − gh∗ 2bh∗i

2bgi a2 + b2 − gh∗

Hn

ξn

.

(5.41)

Luego la ecuacion matricial (5.41), se transforma Hn+1

ξn+1

= G

Hn

ξn

, (5.42)

donde la matriz de amplificacion G := 1Ξ

a2 + b2 − gh∗ 2bh∗i

2bgi a2 + b2 − gh∗

y Ξ :=

a2 − b2 − gh∗ + 2abi.

Encontrando los autovalores de la matriz G; es decir, det(G− µI) = 0, se obtiene(a2 + b2 − gh∗Ξ

− µ)2

+4b2gh∗

Ξ= 0. (5.43)

Haciendo los calculos respectivos en la ecuacion (5.43) para hallar µ, se encuentra

µ± =a2 + b2 − c2 ± 2bci

a2 − b2 − c2 + 2abi, (5.44)

donde c =√

gh∗. Calculando el modulo de µ± de (5.44), resulta

|µ±| =√a4 + b4 + c4 + 2a2b2 − 2a2c2 − 2b2c2 + 4b2c2

√a4 + b4 + c4 − 2a2b2 − 2a2c2 + 2b2c2 + 4a2b2

= 1.

Por lo tanto, el esquema (5.30) es estable segun el criterio de Von Neumann (ver

Teorema 3.5).




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS


5.2.3. Convergencia

De lo visto en las secciones anterioes vemos que el esquema de Abbott – Ionescu

dada por las ecuaciones (5.30a) y (5.30b) son consistentes y estables, luego usan-

do el Teorema 3.1, tenemos que las soluciones discretas convergen a las soluciones

analıticas. Por lo tanto, el esquema empleado es adecuado.

5.2.4. Solucion numerica

Las ecuaciones (5.30a) y (5.30b) puede ser escritas en la forma

[− u∗

2∆t− (u2

∗ − gh∗)

4∆x

]hn+1j+1 +

(h∗∆t

)un+1j +

[− u∗

2∆t+

(u2∗ − gh∗)

4∆x

]hn+1j−1

=

[− u∗

2∆t+

(u2∗ − gh∗)

4∆x

]hnj+1 +

(h∗∆t

)unj +

[− u∗

2∆t− (u2

∗ − gh∗)

4∆x

]hnj−1, (5.45a)[

− u∗2∆t− (u2

∗ − gh∗)

4∆x

]un+1j+1 +

(g

∆t

)hn+1j +

[− u∗

2∆t+

(u2∗ − gh∗)

4∆x

]un+1j−1

=

[− u∗

2∆t+

(u2∗ − gh∗)

4∆x

]unj+1 +

(g

∆t

)hnj +

[− u∗

2∆t− (u2

∗ − gh∗)

4∆x

]unj−1. (5.45b)

Colocando las ecuaciones (5.45a) y (5.45b) de una manera mas simplificada, resulta

Ajhn+1j+1 +Bju

n+1j + Cjh

n+1j−1 = Dj, (5.46a)

Ajun+1j+1 +B∗jh

n+1j + Cju

n+1j−1 = D∗j , (5.46b)




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

90

donde

Aj = − u∗2∆t− (u2

∗ − gh∗)

4∆x, (5.47a)

Bj =h∗∆t, (5.47b)

Cj = − u∗2∆t

+(u2∗ − gh∗)

4∆x, (5.47c)

Dj = Cjhnj+1 +Bju

nj + Ajh

nj−1, (5.47d)

B∗j =

(g

∆t

), (5.47e)

D∗j = Cjunj+1 +B∗jh

nj + Aju

nj−1. (5.47f)

Para solucionar el sistema (5.46) vamos a usar el metodo Double – Sweep (ver

Seccion 3.3). Usando el algoritmo de Thomas, tenemos que un+1j y hn+1

j , se pueden

relacionar mediante las expresiones

hn+1j+1 = Eju

n+1j + Fj, (5.48a)

un+1j+1 = E∗jh

n+1j + F ∗j . (5.48b)

Luego, substituyendo las ecuaciones (5.48a) y (5.48b) en las ecuaciones (5.46a) y

(5.46b), respectivamente; resultan las siguientes ecuaciones

AjEjun+1j +Bju

n+1j + Cjh

n+1j−1 = Dj − AjFj, (5.49a)

AjE∗jh

n+1j +B∗jh

n+1j + Cju

n+1j−1 = D∗j − AjF ∗j . (5.49b)

Estas ecuaciones (5.49a) y (5.49b), se pueden escribir tambien como

un+1j =

(−Cj

AjEj +Bj

)hn+1j−1 +

(Dj − AjFjAjEj +Bj

), (5.50a)

hn+1j =

(−Cj

AjE∗j +B∗j

)un+1j−1 +

(D∗j − AjF ∗jAjE∗j +B∗j

). (5.50b)

Comparando las ecuaciones (5.48a) y (5.48b) con las ecuaciones (5.50b) y (5.50a),

se puede identificar

Ej−1 =−Cj

AjE∗j +B∗j, Fj−1 =

D∗j − AjF ∗jAjE∗j +B∗j

(5.51a)

E∗j−1 =−Cj

AjEj +Bj

, F ∗j−1 =Dj − AjFjAjEj +Bj

. (5.51b)




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Y MATEMÁTICAS


Si el algoritmo es iniciado en una de las condiciones de frontera; es decir, un+1J o hn+1

J

es dado donde xJ = J∆x, entonces la ecuacion (5.46b) y (5.46a), respectivamente,

nos proporcionan

AJ−1un+1J +B∗J−1h

n+1J−1 + CJ−1u

n+1J−2 = D∗J−1, (5.52a)

AJ−1hn+1J +BJ−1u

n+1J−1 + CJ−1h

n+1J−2 = DJ−1. (5.52b)

Las ecuaciones (5.52a) y (5.52b), se pueden reescribir

hn+1J−1 =

(− CJ−1

B∗J−1

)un+1J−2 +

(D∗J−1 − AJ−1u

n+1J

B∗J−1

), (5.53a)

un+1J−1 =

(− CJ−1

BJ−1

)hn+1J−2 +

(DJ−1 − AJ−1h

n+1J

BJ−1

). (5.53b)

Comparando las ecuaciones (5.53a) y (5.53b) con las ecuaciones (5.48a) y (5.48b),

respectivamente; se identifica

EJ−2 = −CJ−1

B∗J−1

, FJ−2 =D∗J−1 − AJ−1u

n+1J

B∗J−1

. (5.54a)

E∗J−2 = −CJ−1

BJ−1

, F ∗J−2 =DJ−1 − AJ−1h

n+1J

BJ−1

. (5.54b)

Nuevamente comparando las ecuaciones (5.54a) y (5.54b) con las ecuaciones (5.51a)

y (5.51b), respectivamente; se aprecia

E∗J−1 = 0 , F ∗J−1 = un+1J , (5.55a)

EJ−1 = 0 , FJ−1 = hn+1J . (5.55b)

Por lo visto anteriormente, para el caso que un+1J sea conocido, se tiene la condicion

(5.55a). Ahora los EJ−2 y FJ−2 pueden ser obtenidos usando la ecuacion (5.51a) y

AJ−1, B∗J−1, CJ−1 con valores en el tiempo n∆t, pues D∗J−1 depende tambien de

AJ−1, B∗J−1, CJ−1 de la relaciones (5.47). Con EJ−2 y FJ−2 determinados, E∗J−3 y

F ∗J−3 son encontrados de la expresion (5.51b) y ası sucesivamente hasta llegar a E0,

F0 o E∗0 , F ∗0 segun la naturaleza de las otras condiciones finales. De esta manera,

si hn+1J es dado como condicion de frontera, la malla es escogida tal que E∗0 y F ∗0

son hallados por ultimo. Entonces, un+11 es determinado de la ecuacion (5.48b), hn+1

2




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

92

Figura 5.4: Esquema implıcito de Abbott - Ionescu.

de (5.48a) y ası sucesivamente hasta llegar a un+1J . A malla usada en este caso es

descrita por la figura 5.4. Refiriendose a esta malla y a la correspondiente estructura

del dato de la frontera es visto que las suposiciones (5.48a) y (5.48b), corresponden

a la hipotesis del flujo ser subcrıtico; es decir, solo necesitamos un dato en la frontera

aguas abajo, puede ser el un+1J o hn+1

J .

Observacion 5.2 Si el flujo fuese supercrıtico, entonces dos datos deberıan ser

dados en la frontera aguas arriba y las ecuaciones (5.46a) y (5.46a) podrıan ser

solucionadas directamente a traves de las relaciones de recurrencia

hn+1j+1 = − 1

Aj

(Bju

n+1j + Cjh

n+1j−1 −Dj

),

un+1j+1 = − 1

Aj

(B∗jh

n+1j + Cju

n+1j−1 −D∗j

),

(5.56)

cuando el flujo esta en la direccion positiva de x, o

hn+1j−1 = − 1

Cj

(Ajh

n+1j+1 +Bju

n+1j −Dj

),

un+1j−1 = − 1

Cj

(Aju

n+1j+1 +B∗jh

n+1j −D∗j

),

(5.57)

cuando el flujo esta en la direccion negativa de x (ver [1], pagina 173).

Para la estabilidad del algoritmo de Thomas sabemos de la Observacion 3.8 que

|Ej|, |E∗j | ≤ 1, para todo j. De esta manera, podemos ver que para |Ej−1| ≤ 1,




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

5.3 Caso no homogeneo del esquema de Abbott – Ionescu 93

tenemos

| − Cj| ≤ |AjE∗j +B∗j | ≤ |Aj|+ |B∗j |,

luego

| − Cj| − |Aj| ≤ |B∗j |.

En el caso donde

|Cj| − |Aj| ≤ 0, (5.58)

esto serıa suficiente para el cumplimiento de la condicion (3.71). De este analisis,

vemos que el esquema tridiagonal (5.46) es estable.

5.3. Caso no homogeneo del esquema de Abbott

– Ionescu

Finalmente vamos estudiar el sistema de ecuaciones (5.1) completo, nuevamente

haremos uso del esquema de Abbott – Ionescu para este caso adicionando la dis-

cretizacion para los terminos restantes, tambien analizaremos a convergencia de las

soluciones discretas, tal como fue hecho para el caso homogeneo.

El problema (5.1), mas las hipotesis que el ancho del canal es mucho mayor que

la altura del agua (Rh ≈ h) y que el flujo es turbulento, entonces Sf = |u|uC2fh

, donde

|.| depende de la direccion del flujo, luego (5.1) se puede escribir

∂h

∂t+ u

∂h

∂x+ h

∂u

∂x= 0, (5.59a)

∂u

∂t+ g

∂h

∂x+ u

∂u

∂x= gS0 − g

|u|uC2fh, (5.59b)

donde Cf es el coeficiente de Chezy (ver [10, pagina 15]).

Escribimos el problema (5.59) en su forma matricial h

u

t

+

u h

g u

h

u

x

=

0

gS0 − g |u|uC2fh

. (5.60)




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

94

Observacion 5.3 Como nuestro trabajo esta orientado al movimiento del flujo

en un canal inclinado, el movimiento es positivo, es decir, el valor absoluto es sim-

plemente el mismo elemento; pero vamos a trabajar con el, en la parte del analisis

de consistencia. Luego para el estudio de la estabilidad prescindimos de el.

Ahora, la ecuacion matricial (5.60) en su forma conservativa

Ut +A(U)Ux = S(U), (5.61)

donde U =

h

u

, A := A(U) =

u h

g u

y S := S(U) =

0

gS0 − g |u|uC2fh

.

Como antes para aplicar la inversa de la matriz A a la ecuacion (5.61), debemos

suponer que el tipo de flujo a estudiar debe ser: subcrıtico o supercrıtico. Despues

de esta suposicion, se obtiene

A−1Ut + Ux = A−1S, (5.62)

donde A−1 = 1Λ

u −h

−g u

, donde Λ = u2 − gh.

Colocando la ecuacion (5.62) en su forma no conservativa, se tiene

P(h, u) := h∂u

∂t− u∂h

∂t− (u2 − gh)

∂h

∂x− ghS0 + g

|u|uC2f

= 0, (5.63a)

P(h, u) := g∂h

∂t− u∂u

∂t− (u2 − gh)

∂u

∂x+ guS0 − gu

|u|uC2fh

= 0, (5.63b)

donde P , P : R2 → R son operadores no lineales asociados a la ecuacion (5.63a) y

(5.63b), respectivamente.

Presentamos el esquema implıcito de diferencias finitas de Abbott – Ionescu

para el caso no homogeneo (ver [13, pagina 119]), la discretizacion del sistema de




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS


ecuaciones (5.63) es como sigue

h∗

(un+1j − unj

∆t

)− u∗

2

(hn+1j+1 − hnj+1

∆t+hn+1j−1 − hnj−1

∆t

)

−[u2∗ − gh∗

]4

(hn+1j+1 − hn+1

j−1

∆x+hnj+1 − hnj−1

∆x

)− gh∗S0 + g

|unj |un+1j

C2f

= 0, (5.64a)

g

(hn+1j − hnj

∆t

)− u∗

2

(un+1j+1 − unj+1

∆t+un+1j−1 − unj−1

∆t

)−[u2∗ − gh∗

]4

(un+1j+1 − un+1

j−1

∆x

+unj+1 − unj−1

∆x

)+ gu∗S0 − g

u∗C2fh∗

(|unj−1|un+1

j−1 + |unj+1|un+1j+1

2

)= 0, (5.64b)

donde h∗ y u∗ son los mismos definidos anteriormente en la observacion 5.1.

5.3.1. Consistencia

Para analizar la consistencia del sistema (5.64), se procede de manera analo-

ga como fue hecho para el caso homogeneo. Definimos los operadores diferenciales

discretos P∆t,∆x(ϕ, φ) y P∆t,∆x(ϕ, φ) para las ecuaciones (5.64a) y (5.64b), respec-

tivamente y son dados por

P∆t,∆x(ϕ, φ) = ϕ

(φn+1j − φnj

∆t

)− φ

2

(ϕn+1j+1 − ϕnj+1

∆t+ϕn+1j−1 − ϕnj−1

∆t

)

−[φ2 − gϕ

]4

(ϕn+1j+1 − ϕn+1

j−1

∆x+ϕnj+1 − ϕnj−1

∆x

)− gϕS0 + g

|φnj |φn+1j

C2f

,

(5.65a)

P∆t,∆x(ϕ, φ) = g

(ϕn+1j − ϕnj

∆t

)− φ

2

(φn+1j+1 − φnj+1

∆t+φn+1j−1 − φnj−1

∆t

)−[φ2 − gh

]4

(φn+1j+1 − φn+1

j−1

∆x

+φnj+1 − φnj−1

∆x

)+ gφS0 − g

φ

C2fϕ

(|φnj−1|φn+1

j−1 + |φnj+1|φn+1j+1

2

). (5.65b)




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Y MATEMÁTICAS

96

Reemplazando las expansiones de Taylor para ϕ y φ dadas en la Seccion 5.2.1, en

las ecuaciones (5.65a) y (5.65b), se obtiene

P∆t,∆x(ϕ, φ) =ϕ[φt + o(∆t2)

]− φ

2

[(ϕt −∆xϕxt + o(∆x2) + o(∆t2))

+ (ϕt + ∆xϕxt + o(∆x2) + o(∆t2))]−[φ2 − gϕ

]4

[(2ϕx + ∆tϕxt

+ o(∆x2) + o(∆t2)) + (2ϕx −∆tϕxt + o(∆x2) + o(∆t2))]

− gϕS0 + g[|φ|φ+ o(∆t2)]

C2f

, (5.66a)

P∆t,∆x(ϕ, φ) =g(φt + o(∆t2)

)− φ

2

[(φt −∆xφxt + o(∆x2) + o(∆t2))

+ (φt + ∆xφxt + o(∆x2) + o(∆t2))]−[φ2 − gϕ

]4

[(2φx + ∆tφxt

+ o(∆x2) + o(∆t2)) + (2φx −∆tφxt + o(∆x2) + o(∆t2))]

+ gφS0 − gφ

C2fϕ

(|φ|φ+ |φ|φ+ o(∆x2) + o(∆t2)

2

). (5.66b)

Luego de las ecuaciones (5.66), resulta

P∆t,∆x(ϕ, φ) = ϕφt − φϕt − (φ2 − gϕ)ϕx − gϕS0 + g|φ|φC2f

+ o(∆x2) + o(∆t2)

= P(ϕ, φ) + o(∆x2) + o(∆t2), (5.67a)

P∆t,∆x(ϕ, φ) = gφt − φφt − (φ2 − gϕ)φx + gφS0 − gφ|φ|φC2fϕ

+ o(∆x2) + o(∆t2)

= P(ϕ, φ) + o(∆x2) + o(∆t2). (5.67b)

Finalmente, se obtiene

P∆t,∆x(ϕ, φ)− P(ϕ, φ)∆x,∆t→0−−−−−→ 0, (5.68a)

P∆t,∆x(ϕ, φ)− P(ϕ, φ)∆x,∆t→0−−−−−→ 0. (5.68b)

Por lo tanto de los limites (5.68a) y (5.68b), se deduce que esquema de Abbott -

Ionescu es consistente y de orden de precision (2, 2).




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Y MATEMÁTICAS


5.3.2. Estabilidad

Vamos a probar la estabilidad del esquema de diferencias finitas dadas por las

ecuaciones (5.64a) y (5.64b). Para hacer esto, primero vamos a linealizar el sistema

(5.59), donde llegamos a una ecuacion del tipo: Ut+AUx+BU = 0, donde U = (H,U)

(H y U son dados en (5.70)), A y B son matrices constantes 2 × 2. Ahora usando

el Teorema 3.6 generalizado (Observacion 3.6), tenemos que analizar la estabilidad

del sistema: Ut +AUx +BU = 0 es equivalente a analizar la estabilidad del sistema:

Ut + AUx = 0, que no es mas que la ecuacion (5.59) homogenea, la cual, sabemos

que es estable.

Comenzaremos por mostrar la forma linealizada del sistema de ecuaciones de

Saint - Venant no homogeneas (5.59), que esta basada en [16] (donde hacen lineali-

zacion del sistema formado por las ecuaciones (4.2) y (4.25)) y los resultados de esta

linealizacion para un modelo de canal abierto de seccion rectangular e inclinacion

de fondo constante son corroborados en [4]. Las ecuaciones de Saint – Venant no

homogeneas son linealizadas alrededor de un punto de equilibrio (estado estable) en

(h∗, u∗), es decir; es un estado constante h∗ y u∗ que satisface la relacion

Sf (h∗, u∗) = S0 o S0C

2fh∗ = (u∗)2. (5.69)

Con la finalidad de linealizar este modelo, definimos las traslaciones de estado h(x, t)

y u(x, t) con respecto al estado estable h∗ y u∗, como

H = H(x, t) = h(x, t)− h∗, (5.70a)

U = U(x, t) = u(x, t)− u∗. (5.70b)

Para un determinado termino Φ(h, u), su expansion de Taylor alrededor del punto

de equilibrio (h∗, u∗), puede ser escrita como

Φ(h, u)− Φ(h∗, u∗) = Φh(h∗, u∗)H(x, t) + Φu(h

∗, u∗)U(x, t) + T.O.S., (5.71)

donde T.O.S. representa los terminos de orden superior en la expansion de Taylor,

Φh, Φu son las derivadas parciales de Φ con respecto a h y u, respectivamente. Como




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

98

queremos buscar aproximaciones lineales, suponemos que T.O.S. es despreciable

([16], pagina 17).

Pasamos a linealizar la ecuacion (5.59a), identificando que Φ(h, u) = hu y susti-

tuyendola en (5.71), se tiene

hu− h∗u∗ = u∗H + h∗U. (5.72)

Luego, derivando (5.72) con respecto a x, resulta

(hu)x = u∗Hx + h∗Ux. (5.73)

Como dhdt

= dHdt

junto con (5.73), obtenemos la linealizacion de (5.59a), como

∂H

∂t+ u∗

∂H

∂x+ h∗

∂U

∂x= 0. (5.74)

Para la ecuacion (5.59b), como dudt

= dUdt

y dhdx

= dHdx

, solo restan dos terminos

para linealizar, los cuales seran analizados por separado.

Para esto, identificamos Φ(h, u) = u2

2, luego aplicando (5.71), se obtiene

u2

2− (u∗)2

2= u∗U. (5.75)

Derivando con respecto a x, se tiene(u2

2

)x

= u∗Ux. (5.76)

Considerando Φ(h, u) = g

(u2

C2fh− S0

)y empleando (5.71), se obtiene

g

(u2

C2fh− S0

)− g

((u∗)2

C2fh∗ − S0

)= g

(− (u∗)2

C2f (h∗)2

)H + g

(2u∗

C2fh∗

)U. (5.77)

Recordando que S0 en el punto (h∗, u∗) es dado por (5.69), podemos ver que (5.77)

puede expresarse como

g

(u2

C2fh− S0

)=

(− g

S0

h∗

)H +

(2gS0

u∗

)U. (5.78)




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Y MATEMÁTICAS


Luego reemplazando (5.76) y (5.78) en (5.59b), tenemos

∂U

∂t+ g

∂H

∂x+ u∗

∂U

∂x−

(gS0

h∗

)H +

(2gS0

u∗

)U = 0. (5.79)

Juntando las ecuaciones (5.74) y (5.79), obtenemos el sistema

∂H

∂t+ u∗

∂H

∂x+ h∗

∂U

∂x= 0, (5.80a)

∂U

∂t+ g

∂H

∂x+ u∗

∂u

∂x−

(gS0

h∗

)H +

(2gS0

u∗

)U = 0. (5.80b)

El sistema (5.80) puede ser escrito en la forma

Ut +AUx + BU = 0, (5.81)

donde U =

H

U

, A =

u∗ h∗

g u∗

y B =

0 0

−gS0

h∗2gS0

u∗

. Luego, aplicando

la Observacion 3.6 tenemos que para un esquema de un solo paso en el tiempo,

analizar la estabilidad del sistema (5.81) es equivalente a analizar este esquema con

B = 0; es decir, solo necesitamos analizar el sistema (5.27) que ya fue analizado

anteriormente.

Por lo tanto deducimos que el esquema de Abbot – Ionescu para el caso no

homogeneo, representado por el esquema (5.64), es estable.

5.3.3. Convergencia

Como vimos anteriormente los esquemas (5.64a) y (5.64b) son consistentes y

estables, usando el Teorema 3.1, tenemos que los esquemas son convergentes. Con-

secuentemente, las soluciones discretas convergen a las soluciones analıticas.




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Y MATEMÁTICAS

100

5.3.4. Solucion numerica

Las ecuaciones (5.64a) y (5.64b) puede ser escritas en la forma[− u∗

2∆t− (u2

∗ − gh∗)

4∆x

]hn+1j+1 +

(h∗∆t

+ g|unj |C2f

)un+1j +

[− u∗

2∆t+

(u2∗ − gh∗)

4∆x

]hn+1j−1

= gh∗S0 +

[− u∗

2∆t+

(u2∗ − gh∗)

4∆x

]hnj+1 +

(h∗∆t

)unj +

[− u∗

2∆t− (u2

∗ − gh∗)

4∆x

]hnj−1,

(5.82a)[− u∗

2∆t− (u2

∗ − gh∗)

4∆x− g

u∗|unj+1|2hC2

f

]un+1j+1 +

(g

∆t

)hn+1j +

[− u∗

2∆t+

(u2∗ − gh∗)

4∆x− g

u∗|unj−1|2hC2

f

]un+1j−1

= −gu∗S0 +

[− u∗

2∆t+

(u2∗ − gh∗)

4∆x

]unj+1 +

(g

∆t

)hnj +

[− u∗

2∆t− (u2

∗ − gh∗)

4∆x

]unj−1.

(5.82b)

Colocando las ecuaciones (5.82a) y (5.82b) de una manera mas simplificada, resulta

Ajhn+1j+1 + Bjun+1

j + Cjhn+1j−1 = Dj, (5.83a)

Ajun+1j+1 +B∗jh

n+1j + Cjun+1

j−1 = D∗j , (5.83b)

donde

Bj =h∗∆t

+ g|unj |C2f

, (5.84)

Dj = gh∗S0 +

[− u∗

2∆t+

(u2∗ − gh∗)

4∆x

]hnj+1 +

(h∗∆t

)unj +

[− u∗

2∆t− (u2

∗ − gh∗)

4∆x

]hnj−1,

(5.85)

Aj = − u∗2∆t− (u2

∗ − gh∗)

4∆x− g

u∗|unj+1|2hC2

f

, (5.86)

Cj = − u∗2∆t

+(u2∗ − gh∗)

4∆x− g

u∗|unj−1|2hC2

f

, (5.87)

D∗j = −gu∗S0 +

[− u∗

2∆t+

(u2∗ − gh∗)

4∆x

]unj+1 +

(g

∆t

)hnj +

[− u∗

2∆t− (u2

∗ − gh∗)

4∆x

]unj−1.

(5.88)




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Vemos que las ecuaciones (5.83a) y (5.83b) estan en la misma forma como se estudio

en la parte homogenea, ası; que simplemente se aplica el mismo metodo, teniendo

en cuenta los cambios de los coeficientes.




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102




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Conclusiones

Del estudio y analisis efectuado anteriormente llegamos a las siguientes conclu-

siones:

1. El esquema de diferencias finitas implıcito de Abbott – Ionescu es un optimo

metodo para encontrar soluciones aproximadas para las ecuaciones de Saint –

Venant, tanto homogenea como no homogenea, debido a su orden de precision

(2, 2).

2. Las soluciones aproximadas de las ecuaciones de Saint – Venant usando el

esquema de diferencias finitas implıcito de Abbott – Ionescu son convergentes

a las soluciones analıticas de las ecuaciones de Saint – Venant. Este es un hecho

de mucha relevancia.

3. El esquema de Abbott – Ionescu sera un metodo de gran ayuda para el estudio

de prefactibilidad en la construccion de canales abiertos inclinados con seccion

rectangular.




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104




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Sugerencias

Para una futura investigacion que consistirıa en encontrar las soluciones de las

ecuaciones de Saint – Venant bidimensionales con termino fuente o tambien conoci-

das como ecuaciones de aguas poco profundas, mediante el uso de volumenes finitos

sugiero seguir las referencias [11] y [25].




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Bibliografıa

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bao, Espana, 1969.




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Br. Rodiak Nicolai Figueroa Lopez

Autor

Dr. Obidio Rubio Mercedes

Asesor




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