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Revista NOOS Volumen 1 (2013) Pág. 43 – 49

Derechos Reservados

Facultad de Ciencias Exactas

Y Naturales

Revista NOOS, Vol. 1, No 8, febrero de 2013. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales. ISSN 2346-2779

ESTADOS CUASI-ESTACIONARIOS EN UN POZO

CUÁNTICO DE GaAs/Ga1-xAlxAs BAJO LA ACCIÓN DE UN

CAMPO ELÉCTRICO

Quasi-stationary states in GaAs/Ga1-xAlxAs SQW under the action of applied electric

fields

M. Schönhöbela, N. Porras-Montenegro

Universidad del Valle, Departamento de Física, 25360, Cali (Colombia)

Article Info

Article history: Received: 04 febrero 2013 Received in revised: 05 febrero 2013 Accepted: 08 febrero 2013 Available online: 13 febrero 2013

Keywords: GaAs/Ga1-xAlxAs, Simple Quantum Wells, Electric fields.th a modulated frequency and a fast frequency.

ABSTRACT: In the present work, we have studied

the effects of an applied electric field (in the growth

direction of the heterostructure) on the electron

quasi-stationary energy levels in semiconductor

GaAs/GaAlAs single quantum wells (SQW).

Theoretical calculations are performed by using the

Enderlein’s method [8, 9], with which we have

solved the Schrödinger equation exactly. Numerical

results are obtained as a function of the applied

electric field, Al concentration, and the structure

geometry as well. We have distinguished three

regions: confinement, resonant and pulsations;

quasistationary states (or confinement states)

become resonant states with increasing the electric

field, while the opposite happens with the

increasing the well width or the alu-minum

concentration. Above the energy barriers pulsations

are observed in the density of states, these pul-

sations are related with a modulated frequency and

a fast frequency

Revista NOOS Volumen 1 (2013) Pág. 44


RESUMEN: Se estudiaron los efectos de un campo eléctrico aplicado sobre los estados energéticos de un

electrón en un pozo cuántico simple (SQW) de GaAs/GaAlAs. Considerando la aproximación de masa efectiva y utilizando el cálculo analítico propuesto por Enderlein [8,9] se solucionó la

ecuación de Schrödiger exactamente. Los cálculos numéricos permitieron obtener la densidad de estados (DOS) como función de la energía para diferentes valores de campo eléctrico (F),

concentración de Al (x) y longitudes del pozo (L). El estudio mostró que energéticamente existen 3 regiones perfectamente diferenciables, una región de confinamiento, una resonante y otra de

pulsaciones. En algunos casos, al aumentar el campo estados cuasi-estacionarios de la región de confinamiento se tornan en estados resonantes y puede ocurrir lo contrario cuando se aumenta la

longitud o la concentración. Las pulsaciones en las DOS están caracterizadas por la frecuencia de modulación y la frecuencia rápida

PALABRAS CLAVE: GaAs/Ga1-xAlxAs, Pozos cuánticos, Campo eléctrico

1. Introducción

En las últimas cuatro décadas la

nanotecnología se ha convertido en uno de

los campos más activos y de mayor interés

para los físicos y químicos; los desarrollos

en esta área, junto con los de la materia

condensada, han permitido el estudio y

construccion de nanoestructuras entre

1−100 nm [1].

Una de las heteroestructuras más estudiadas

ha sido GaAs/Ga1-xAlxAs debido a su

potencial aplicación en la construcción de

dispositivos optoelectrónicos. En

Esta heteroestructura el GaAlAs es

utilizado como material de barrera y en

consecuencia la movilidad electrónica

queda confinada en el GaAs.

Existen múltiples trabajos sobre el

GaAs/GaAlAs. Uno de los primeros trabajos experimentales fue realizado en 1981 por R.C. Miller et al. [2], quienes,

utilizando el método de fotoluminiscencia,

midieron las energías 1s y 2s en funcion del ancho del pozo. Un año más

tarde G. Bastard et al. [3] desarrollaron cálculos variacionales para obtener la

energía de enlace fundamental en un SQW; ellos mismos, un año después publicarían resultados sobre el mismo sistema pero

esta vez bajo la acción de un campo eléctrico [4]. Ambos grupos hallaron las

energías para pozos con barreras infinitas, y Bastard et al. [4] hicieron los cálculos adicionales para barreras finitas. Más

adelante Ronald R. Greene et al. [5], además de hacer los cálculos para barreras

finitas e infinitas, calcularían las energías de enlace excitónicas para el estado 2p±.

Hasta entonces los trabajos donde se tuvo en cuenta la acción de un campo eléctrico

se hicieron bajo la suposición de que las funciones de onda en las barreras del pozo cuántico se comportaban en primera

aproximación como funciones exponenciales decrecientes, mientras que

dentro del pozo las soluciones estaban dadas por las funciones de Airy. Fue R. Enderlein et al. [8, 9] quienes plantearon la

solución exacta dentro y fuera del pozo cuántico para los electrones desde la

perspectiva de la densidad de estados.



Uno de los trabajos más recientes sobre el

tema, fue publicado por E. Reyes-Gómez et al. [7], utilizando la aproximación antes

mencionada, calcularon teóricamente las energías de enlace excitónicas bajo los efectos de presión hidrostática y un campo

eléctrico aplicado.

En el presente trabajo, se calculó teóricamente los efectos que tienen las dimensiones del pozo, la concentración de

Al (en las barreras de potencial) y el campo eléctrico sobre los primeros estados cuasi-

estacionarios del electrón en un SQW de GaAs/GaAlAs, dichos cálculos se basaron en la solución propuesta por Enderlein et

al. [8]

2. Marco Teórico

Cuando se aplica un campo eléctrico sobre

un SQW, el hamiltoniano H pasa a ser de naturaleza continua, y los autovalores

toman una forma compleja. La parte imaginaria puede entenderse como el tiempo de vida durante el cual la partícula

se encuentra dentro del potencial de confinamiento de la heteroestructura.

Estos autoestados se conocen como cuasi- estacionarios.

En contraste con los electrones que tienen un tiempo de vida infinito en estados

ligados, los electrones en estados cuasiligados tienen una probabilidad no nula de tunelar a través del potencial de

barrera; en consecuencia, sus tiempos de vida son finitos. Si consideramos que la

parte imaginaria de los autovalores es más pequeña que la parte real, tenemos que la ecuación de Schrödiger está dada por:

( ) ( ) ( )2 2

* 22

fin

deFz V z z E z

m dzj j

é ùê ú- + + =ê úë û

h

(1)

La anterior expresión se puede simplificar si se introducen las unidades naturales de

longitud z0, energía E0 y de campo F0 2

0

0 0 02, , ,

2

Ez L E F

eLmL= = =

h (2)

Con base en ellas se puede definir las respectivas variables adimensionales

( )0 0 0 0

( ), , , .

fin

fin

V zz E Ff

z E F Ex e u x= = = =

(3)

Así, la ec. (1) puede escribirse como

( ) ( )2

20

fin

df

dx e n x j x

x

é ùê ú- + - =ê úë û

(4)

La solución de la ecuación de Schrödinger son combinaciones lineales de las funciones de Airy Ai(x) y las funciones

complementarias Bi(x).

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

0

1 2 2

3 0 3 0

, / 2

, / 2 / 2

, / 2

A i z l

a A i b Bi l z l

a A i b Bi z l

h h

f x j x h h

h h h h

ìï + <ïïïï= = + - £ £íïïï + + + >ïïî

A

(5)

( ) 2/ 3 2/ 3

0 0 0 0 0/ , / , / .f f f V Eh x e h e e= - = = (6)

Para calcular las energías de los estados cuasi-estacionarios estacionarios bajo la acción de un campo eléctrico aplicado en la

direccion de crecimiento utilizamos el método propuesto por R. Enderlein [8, 9]

( )1/ 3 2 2

0 3 3

1( ) ,

E Lf a br e =

+

(7)



Donde a3 y b3 dependen de la energía y de

los parámetros estructurales del sistema. La función () posee picos estrechos

localizados cerca de los valores de E, por lo tanto el problema se reduce a encontrar los valores de E que maximizan la función ().

La masa efectiva del electrón y la

diferencia de bandgap para el sistema Ga1−xAlxAs están dados por H. Li [10]

( ) ( )* 2

00, 0665 0,1006 0, 0137 ,m x x x m= + + (8)

2

1( ) 1, 36 0,22

g x xE Ga A l A s x x

G

-D = + (9)

Donde m0 es la masa en reposo del

electrón. La altura de la barrera de conducción que se utilizó fue [11, 12]

0, 6 ( )e g

V E xG

= D (10)

3. Resultados y Discusión

Al aplicar un campo eléctrico al SQW

pudieron establecerse tres regiones energéticas perfectamente diferenciables

(figura 1), de confinamiento (Ea E Eb),

resonante ( Eb < E Eb’) y de pulsaciones

(E > Eb’). Adicionalmete, pudieron determinarse dos tipos de pozos, Tipo I donde la región de confinamiento tiene

forma de cuadrilátero, las longitudes de pozo y los campos eléctricos son pequeños

y tipo II donde la región de confinamiento tiene forma triangular, las longitudes de pozo y los campos eléctricos son grandes

(a) (b)

Fig. 1. (a) Tipo de pozo I (b) Tipo de pozo II

En la figura (2) la curva continua muestra el comportamiento de la DOS y las líneas punteadas marcan las energías

correspondientes a los vértices del pozo mostrado en la figura (1a). Entre las energías Ea y Eb se encuentran 4 picos muy

agudos que corresponden a los estados cuasi-estacionarios; el pico de más baja

energía corresponder a la energía fundamental y los siguientes corresponden a los estados cuasi-estacionarios excitados.

Entre la región comprendida entre Eb y Eb’ y en la proximidad de Eb es posible

notar la presencia de una ligera anomalía (poco notoria por la escala logarítmica), la cual se encuentra en la región resonante;

cuando en dicha zona las anomalías presentan un punto máximo, la energía

correspondiente a este máximo es la energía del estado resonante y la DOS de las energías cercanas a dicho punto no

presenta grandes diferencias con respecto a la DOS del punto máximo resonante.



Fig. 2. DOS para un pozo cuántico de GaAs/Ga0.7Al0.3As, L=20 nm y

F =100 kV/cm

(a) (b) (c)

Fig. 3. Estado fundamental y primeros estados excitados para variaciones de (a) campo eléctrico en un SQW de GaAs/Ga0.7Al0.3As y L=20nm (b)

longitud de pozo en un SQW de GaAs/Ga0.7Al0.3As y diferentes campos eléctricos. (c) concentración de Al en un SQW de GaAs/Ga1-xAlxAs con

L=10nm y diferentes campos eléctricos.

(a) (b) (c)

Fig. 4. Región de Pulsaciones. DOS como f unción de la energía para dif erentes v alores de (a) campo eléctrico en un SQW de

GaAs/Ga0.7Al0.3As, L=10nm (b) longitud de pozo en un SQW de GaAs/Ga0.7Al0.3As, F=100 kV/cm (c) concentración de Al para F=100 kV/cm y

L=10nm



El hecho de que en la zona de confinamiento, los picos sean fuertemente agudos indican que para dichas energías

los tiempos de permanencia de los portadores son más altos que para las

energías cercanas; por el contrario, el valor de DOS en los máximos que se presentan en la zona resonante son

cercanos a los de los estados vecinos y en consecuencia es de esperar que los

tiempos de permanencia de los portadores en esa región de energía también sean cercanos. Adicionalmente, es claro que los

tiempos de permanencia en los estados resonantes deberán ser muchísimo más

bajos que los tiempos en los estados cuasi-estacionarios.

La figura (3) muestra que si a medida se hace mayor la longitud de pozo o la

concentración de Al en las barreras aumenta el número de estados cuasi-estacionarios, lo contrario ocurre cuando

aumenta el campo eléctrico. En general, a medida que aumenta el campo eléctrico la

energía de los estados cuasi-estacionarios disminuye. La energía disminuye cuando crece la longitud de pozo; para pequñas

longitudes de pozo los estados cuasi-estacionarios disminuyen en una forma de

potencia mientras que para grandes longitudes los estados disminuyen en forma lineal. Exceptuando el nivel

fundamental, la energías de los estados cuasi-estacionarios no varían

significativamente cuando hay variaciones en la concentración de Al.

De la figura (3b) queda claro que para campos eléctricos diferentes de cero, al

aumentar la longitud del pozo hay estados que aparecen por encima del límite Eb, es decir estados que eran resonantes pasan a

ser estados cuasi-estacionarios. Ahora, si observamos un estado cuasi-estacionario y su variación con la concentración de Al

para una campo eléctrico (F0) y longitud de pozo dados como en la figura (3c),

veremos que cuando aumenta la concentración de Al estados que eran

resonantes pasan a ser confinados. Cuando examinamos más de cerca la

región donde aparecen las pulsaciones podemos darnos cuenta que en las

gráficas donde se varía el campo eléctrico, la longitud de pozo y la concentración de Al (ver fig. 4) pueden diferenciarse dos

tipos de frecuencia; la frecuencia rápida ΩE−r , que corresponde a la frecuencia de

oscilación de las ondas dentro de los vientres y la frecuencia de modulación, que determina el comportamiento de la

función envolvente. En las gráficas de la figura (4) puede

apreciarse que la frecuencia de modulación tiene un comportamiento exponencial decreciente. De acuerdo con lo anterior,

podemos afirmar que en primera aproximación, la función que caracteriza el

comportamiento energético de las pulsaciones estaría dada por

( ) ( )mod mod( ) , ( ).E

E

E E ráp E ráp Ef E e sen E sen E

b-

- - - -W W W > > W:

Igualmente puede notarse que la frecuencia

de modulación crece con la longitud del pozo y es independiente de la

concentración y el campo eléctrico. La frecuencia rápida de las pulsaciones decrece al aumentar el campo eléctrico y

no depende ni de la concentración ni de la longitud.



4. Conclusiones

Energéticamente el pozo cuántico

presenta 3 zonas importantes: una región de confinamiento, una resonante y otra región de pulsaciones.

El número de estados cuasi-estacionarios aumenta con la concentración

de Al en las barreras y la longitud, mientras que disminuye con el campo eléctrico. Al aumentar el campo eléctrico o la longitud

del pozo la energía disminuye. La variación en la concentración de Al no

modifica sustancialmente la energía de los estados cuasi-estacionarios y en primera aproximación puede decirse que la energía

permanece constante.

En algunos casos al aumentar el campo eléctrico estados cuasi-estacionarios se tornan en estados resonantes. Por otro lado,

es posible convertir estados resonantes en estados cuasi-estacionarios aumentando la

longitud o la concentración. Por encima de la energía del vértice superior del pozo, aparece en la DOS un comportamiento

de pulsaciones, caracterizable por dos frecuencias: la frecuencia de modulación y

una frecuencia rápida. Referencias

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[2] W. T. Sang, A. C. Gossard, R. C. Miller, D. A. Kleinman, Phys. Rev. B 24(2), 1981.

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[4] G. Bastard, E. E. Mendez, L. L. Chang and L. Esaki, Phys. Rev. B 28(6), 1983.

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Gossard, Phys. Rev. B 29, 1984. [12] W. Wang, E. E. Mendez, and F. Stern,

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http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.5/co/

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