Variedades diferenciables - Centro de Ciencias …ferran/GeoDif.pdf4 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES...

CAPITULO 1

Variedades diferenciables

1. Definiciones basicas

En este capıtulo daremos las definiciones de los objetos con los que vamos atrabajar. El primero es el de variedad topologica.

Definicion 1. Todo espacio topologico M Hausdorff y segundo numerable quesea localmente homeomorfo al espacio euclidiano Rn se llama variedad topologica dedimension n.

Ejercicio 1. Las dos primeras condiciones en la definicion anterior se hacenpor practicidad. Encuentre ejemplos de espacios topologicos que no sean Hausdorffo segundo numerables. Un espacio topologico X se denomina localmente Hausdorffsi y solo si todo punto x ∈ X admite una vecindad U que sea Hausdorff cuando se leotorga la topologıa de subespacio. Encuentre un ejemplo de un espacio topologicoque sea localmente Hausdorff pero no Hausdorff.

La nocion de variedad topologica nos permite definir a las cartas de una variedadtopologica. Se puede pensar cada carta como una imagen local de la variedad, comouna foto satelital de nuestro vecindario.

Definicion 2. Una carta en una variedad M es una pareja de la forma (ϕ,U)donde U ⊂M es abierto y ϕ : U → Rn es un homeomorfismo.

Consideremos ahora dos cartas (U1, ϕ1) y (U2, ϕ2) para las cuales U1 ∩ U2 6= ∅.Por simplicidad pensemos que los abiertos Vi = ϕi(Ui) estan en diferentes copias deRn. Entonces

ϕ12 := ϕ1 (ϕ2)−1 : ϕ2(U1 ∩ U2)→ ϕ1(U1 ∩ U2)

yϕ21 := ϕ2 (ϕ1)

−1 : ϕ1(U1 ∩ U2)→ ϕ2(U1 ∩ U2)

son ambas biyecciones y ϕ12 ϕ21 = Id|U1∩U2 .

Ejercicio 2. Pruebe que las biyecciones ϕ12 y ϕ21 son homeomorfismos. Dichasfunciones se llaman cambios de coordenadas o funciones de transicion.

Definicion 3. Llamaremos atlas topologico o de clase C0 de la variedad M atoda coleccıon de cartas A = (ϕi, Ui)|i ∈ I que cubra a M . Es decir, tal que

1

2 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES

M =⋃i∈I Ui. Un atlas topologico A es de clase Ck, k ∈ N ∪ ∞ o analıtico

cuando toda funcion de transicion definida por dos cartas del atlas sea de clase Ck,k ∈ N ∪ ∞ o analıtica. Cuando M admite un atlas de clase C∞ diremos que Mes una variedad suave o diferenciable.

Ejemplo 1. El primer ejemplo no trivial de una variedad diferenciable es S1 =(x, y) ∈ R2|x2 + y2 = 1. Las cartas coordenadas sugeridas son UN := S1 \ (1, 0)y US := S1 \ (−1, 0) junto con las funciones ϕN : UN 3 (x, y) → y

1−x y ϕS :US 3 (x, y)→ y

1+xrespectivamente. Ejercicio: pruebe que en efecto esto define un

atlas y generalice esta idea para la esfera de dimension n. Pruebe que para n = 2la esfera correspondiente admite funciones de transicion holomorfas. En este casodecimos que la esfera admite una estructura de superficie de Riemann, por lo quedicha esfera tambien se conoce como esfera de Riemann .

Geometricamente, las funciones ϕN y ϕS del ejemplo anterior corresponden aproyecciones de S1 a R desde dos puntos antıpodas que pueden pensarse como elpolo norte y el polo sur. Sin embargo esta asignacion fue arbitraria. Bien pudimoshaber definido un atlas de la misma manera usando proyecciones desde otro par depuntos antıpodas. Nos gustarıa que la nocion de atlas no dependiera del par depuntos antıpodas que escogemos. Esto nos lleva refinar la definicion de atlas en lossiguientes parrafos para llegar a la nocion de atlas maximal.

Definicion 4. Diremos que dos cartas (U1, ϕ1), (U2, ϕ2) en una variedad topologicaM son suavemente (o Ck o analıticamente) equivalentes si las funciones de transicionϕ12 y ϕ21 que estas definen son suaves (respectivamente Ck o analıticamente). Dire-mos que un atlas A de una variedad M es maximal si cada carta de (U,ϕ) que seacompatible con todas las cartas de A esta contenida en A.

En la definicion anterior, convenimos que dos cartas en una variedad topologicaque no se intersecten seran equivalentes.

Ejercicio 3. Sea A un atlas suave de una variedad diferenciable M de di-mension m. Definamos M como en conjunto de todas las cartas (U,ϕ) de M queson compatibles con todas las cartas de A. Pruebe que:

(1) El conjunto M es un atlas maximal suave para M que contiene a A.(2) Si N es un atlas maximal que contiene a A entonces N esta contenido enM.

Con esto se concluye que A esta contenido en un unico atlas maximal.

Definicion 5. Llamaremos variedad diferenciable a una variedad topologica Mjunto con un atlas maximal diferenciable A.

Ejemplo 2. El cubriente universal del cırculo de radio a puede visualizarse comola traza de la curva

γ(t) = (a cos t, a sin t, t), t ∈ R

1. DEFINICIONES BASICAS 3

Ejercicio 4. ¿ Es la traza de la curva γ(t) = (t3−4t, t2−4) una variedad suavede dimension 1 ?

Ejemplo 3. El espacio proyectivo real de dimension dos. Definimos RP2 comoel espacio topologico cociente de R3 \ 0 bajo la accion por homotecias de R∗.Otorguemos coordenadas x = (x0, x1, x2) a R3. Entonces los abiertos Ui := xi 6= 0junto con las funciones ϕi : Ui → R2 definidas como x→ 1

xix excluyendo la i-esima

coordenada ayudan a definir un atlas diferenciable para RP2.

Ejemplo 4. Origamis. Son los cubrientes finitos del toro. Explicar como lesdamos estructura de superficie de translacion si quitamos la fibra sobre el punto deramificacion.

Ejercicio 5. Basandose en el ejemplo anterior, defina el espacio proyectivoreal de dimension n, demuestre que admite una estructura de variedad suave y queademas es una variedad compacta. Trate de definir el espacio proyectivo complejode dimension 2 (o n si se siente motivado) y de otorgarle una estructura de variedadcompleja.

Ejemplo 5. El grupo lineal GL(n,R) es una variedad suave. Esto es facil de verpues es un abierto de un espacio euclidiano afın. El grupo especial lineal SL(n,R)y el grupo de rotaciones respecto al origen en R3:

SO(3) := M ∈M3×3(R)|M t = M−1 y det(M) = 1tambien son variedades suaves. Sugerencia para SO(3). Considera Sπ la bola deradio π en R3 centrada en el origen. Para cada x ∈ Sπ definamos φ(x) ∈ SO(3) comola rotacion de angulo ||x|| y eje Rx. Describe los puntos donde φ no es inyectiva.Describe los puntos donde es biyeccion. Demuestra que φ es suprayectiva.

Producto cartesiano de variedades. Los ingredientes en este caso son M y N dosvariedades suaves de dimensiones m y n respectivamente. Escribamos a los atlascorrespondientes AM = (ϕi, Ui) y AN = (ψj, Vj). Entonces no es difıcil verificarque AM×N = (ϕi × ψj, Ui × Vj) es un atlas que da a M ×N la estructura de unavariedad diferenciable.

El concepto de subvariedad. Un subconjunto A de una variedad diferencia-ble M de dimension n se denomina subvariedad si y solo para todo punto a ∈ Aexiste una carta (ϕ,U) de M con a ∈ U tal que U ∩ A = ϕ−1(Rk × 0), donde0 ≤ k < n es fija. Si suponemos que x1, . . . , xn son las variables de ϕ(U) ⊂ Rn

entonces Rk ⊂ Rn corresponde a xk+1 = xk+2 = . . . = xn = 0.

Variedades con frontera.(Como proyecto para que alguien lo exponga).


1.1. Funciones diferenciables. En esta seccion presentamos el concepto defuncion diferenciable. Consideremos una variedad diferenciable M . Una funcionf : M → Rn, n ≥ 1 es diferenciable en un punto p ∈ M si existe una carta (ϕ,U)de M tal que p ∈ U y f ϕ−1 es diferenciable en ϕ(p). Observemos que esto nodepende de la carta que nos escogimos. En efecto, si (ψ, V ) es una carta suavementecompatible con (ϕ,U) entonces:

f ψ−1 = (f ϕ−1) (ϕ ψ−1)y del lado derecho de esta igualdad tenemos la composicion de dos funciones difer-enciables en φ(p). Pasemos de lo puntual a lo local. La funcion f es diferenciableen un abierto U ⊂ M cuando es diferenciable en cada punto de U . Y globalmentediremos que f es diferenciable en M cuando es diferenciable en todos los abiertosdominio de cartas de uno de los atlas A que da a M su estructura.

Definicion 6. Una funcion f : M → N entre dos variedades diferenciables dedimensiones m y n se dice diferenciable en un punto p ∈ M si es continua en p yexisten cartas (ϕ,U) y (ψ, V ) de p y f(p) tales que

ψ f ϕ−1 : ϕ(U ∩ ψ−1(V ))→ Rn

es una funcion diferenciable en ϕ(p)

Como lo hicimos anteriormente, podemos extender la definicion de diferencia-bilidad a abiertos U ⊂ M . De la misma manera, el hecho de ser diferenciable nodepende de las cartas que nos escojamos.

Definicion 7. Una funcion f : M → N se dice diferenciable en un punto p ∈Msi f es continua en p y existen cartas (ϕ,U) y (ψ, V ) centradas en p y f(p) tales queψ f ϕ−1 sea diferenciable en ϕ(p).

Notacion. Al conjunto de todas las funciones diferenciables entre dos variedadesM y N se le denota usualmente por C∞(M,N). Este conjunto admite una estructurade R-algebra. Los mismo sucede para otros conjuntos de funciones entre variedadestales como Ck(M,N) o Cω(M,N).

Definicion 8. Una funcion f ∈ C∞(M,N) se llama difeomorfismo si y solo sif es un homeomorfismo diferenciable con inversa diferenciable.

Ejercicio 6. ¿Es la inversa de todo homemorfismo diferenciable entre var-iedades una funcion diferenciable ?

Ejemplo 6. Algunos ejemplos de funciones diferenciables entre variedades in-cluyen:


(1) La proyecciones R→ R/Z y R2 → R2/Z× Z.(2) La translacion por la izquierda en el grupo lineal. Fijemos A ∈ GL(n,R) y

definamos TA : GL(n,R)×GL(n,R)→ GL(n,R) como TA(M) = AM .(3) Todos los elementos de SO(3) definen difeomorfismos de la bola unitaria en

C2. ¿Son estos todos ?(4) Toda matriz A en el grupo modular SL(2,Z) define un difeomorfismo del

toro R2/Z× Z. Describa el difemomorfismo definido por la matriz(2 11 1

)Acciones de grupos. Sea M una variedad diferenciable y G un grupo que

actua suavemente, libremente y de manera propia y discontinua sobre M . Entoncesexiste una unica estructura de variedad diferenciable sobre M/G.

Ejercicio 7. De los conceptos subrayados en el parrafo anterior, investiga losque no entiendas y ejemplifica en el caso de las acciones de Z y Z × Z sobre R2

por translacion. Otro ejemplo clasico en esta direccion es el de los espacios lente.Estos espacios son cocientes de la esfera S3 por un grupo finito. Mas precisamente,consideremos a S3 como la esfera unitaria en C2 y fijemos un numero primo p(digamos p = 3). El grupo de p-raıces de la unidad actua por homotecias en laesfera. Al cociente correspondiente lo denotamos por L(1, p) y se le llama espaciolente.

1.2. Curvas en el plano y el espacio. Esta seccion esta inspirada en laprimera seccion del libro de DoCarmo [dC76].

Definicion 9. Llamaremos curva diferenciable a una funcion diferenciableγ : (a, b)→ Rn. A la imagen de la funcion γ se le llama traza de la curva.

Una curva diferenciable es una funcion. Se permite que a = −∞ o b = ∞.Podemos otorgar a la traza de γ la topologıa de subespacio de Rn y preguntarnossi respecto a dicha topologıa toda curva diferenciable admite una estructura devariedad diferenciable. La inyectividad de γ salta enseguida como una condicionnecesaria y no es difıcil probar que no es suficiente.

Ejercicio 8. Describa la diferencia entre las curvas (cos t, sin t, t) y (cos 2t, sin 2t, 2t),t ∈ R.

Llamaremos a una curva γ(t) regular si su tangente esta bien definida para cadat en su dominio. Diremos que una curva esta parametrizada por longitud de arco siγ′(t) tiene norma uno para toda t en su dominio. Es posible probar que toda curvaregular acepta una reparametrizacion por longitud de arco. Las curvas heredan laorientacion del orden estandar de los reales, pero siempre podemos reparametrizar


e invertir la orientacion.De ahora en adelante trabajaremos solo con curvas regulares parametrizadas por

longitud de arco.

Definicion 10. Al numero |γ′′(t)| le llamamos la curvatura de γ en t.

Como la velocidad de recorrido de la curva es uno, la curvatura mide el cambioinfinitesimal en la direccion. De la ecuacion |α′(t)| = 1 se deduce facilmente que lasegunda derivada de γ en t define un vector perpendicular al vector tangente γ′(t).Al vector (unitario) n(t) que resuelve la ecuacion γ′′(t) = k(t)n(t) se le llama (porrazones obvias) vector normal a γ en t. Al plano generado por los vectores normaly tangente (y trasladado al punto γ(t)) se le llama el plano osculador.

Para proseguir supondremos de ahora en adelante que la curva tiene como imagenR3, γ′′(t) 6= 0 para todo t en su dominio y escribimos T = γ′. Ası, el vector binomial :

(1) b(t) = T (t) ∧ n(t)

es distinto de cero para todo t. Diferenciando la ecuacion anterior se prueba queb′(t) es normal a T (t) y por tanto para todo para todo t en el dominio tendremosque existe un numero real τ(t) que satisface la ecuacion b′(t) = τ(t)n(t).

Definicion 11. Al numero τ(t) definido en el parrafo anterior se le llama latorsion de γ en el punto t.

Ejercicio 9. Muestra que tanto la curvatura como la torsion son numeros queno dependen de la orientacion de la curva. Muestra que la torsion de una curvaplana es cero.

El triedro de Jean Frederic Frenet. Es la tiedro en cada punto γ(t) formado porla base ortonormal de vectores unitarios t, n, b. Recordemos que t′ = kn y b′ = τn.De n = b∧ t se deduce que n′ = −τb− kt. Es decir, el triedro de Frenet satisface laecuacion diferencial lineal:

(2)t′ = knn′ = −kt− τbb′ = τn

misma que se conoce tambien como las formulas de Frenet.

Teorema 1. La curvatura y la torsion caracterizan a una curva en el espaciomodulo movimientos rıgidos.

La prueba de este teorema usa el teorema de existencia y unicidad para ecua-ciones diferenciales. Esta prueba podrıa ser tema para una exposicion en clase. Unpoco de nomenclatura clasica: al plano tb se le llama plano rectificador , al nb planonormal. A las lıneas que contienen a n(s) y b(s) y que pasan por γ(s) se les llamala normal principal y la binormal. Al numero R = 1

kse le llama radio de curvatura.


1.2.1. El espacio tangente a una variedad diferenciable. Definicion geometrica.Esta es la definicion mas intuitiva. Se definen clases de equivalencia de curvas. Doscurvas γi : (−ε, ε) → M , i = 1, 2 que coinciden en la imagen del cero se dicenequivalentes si existe una carta (U, φ) tal que

(3) (φ γ1)′(0) = (φ γ2)′(0).

Es facil ver que la relacion definida no depende de la carta y que esta es una relacionde equivalencia. Definimos TpM como el espacio de clases de equivalencia correspon-diente. A cada clase de equivalencia se le llama vector tangente en p.

Ejercicio 10. Demuestre que TpM tiene estructura de R-espacio vectorial.

Definicion algebraica. Esta definicion esta motivada por las derivadas direc-cionales. Una derivada direccional es la derivacion definida por un vector (∇f · v).

Definicion 12. Consideremos p punto en una variedad diferenciable M . Con-sideremos el conjunto de funciones real valuadas y diferenciables definidas en algunavecindad de p. Sobre este conjunto definimos la siguiente relacion de equivalencia:(U, f) es equivalente a (V, g) si y solo si existe W vecindad abierta de p donde f yg coinciden. Denotamos el conjunto de clases de equivalencia correspondiente GpMy llamamos a cada clase un germen de funcion en p.

Observese que GpM tiene estructura de R-algebra1. Si f : (M, p) → (N, q) esun germen de funcion entre variedades (definicion analoga a la anterior) entoncesf ∗ : GqM → GpM definida como g → g f es un homomorfismo de R-algebras

que satisface Id∗ = Id y (g f)∗ = f∗ g∗. Con eso no es difıcil probar que

GpM es isomorfo al algebra de germenes de funciones diferenciables definidas enuna vecindad del origen en Rn.

Definicion 13. [Vector tangente] Un vector tangente en p ∈M es una funcionlineal v : GpM → R que satisface la regla de Leibniz

(4) v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f)

Definimos entonces el espacio tangente TpM como el conjunto de vectores tangentes aM en p segun la definicion anterior. Notese que por definicion, TpM tiene estructurade R-espacio vectorial.

Lema 1. Las derivaciones ∂∂xi

, i = 1, . . . , n forman una base para el espaciotangente a Rn en el origen.

Prueba. Si∑n

i=1 ai∂∂xi

= 0 entonces ai = 0 para toda i pues aj = ( ∂∂xi

)(xj),donde xj es el j-esimo germen de funcion coordenada.

1Es un R-espacio vectorial donde podemos multiplicar los vectores y esta multiplicacion sedistribuye por derecha e izquierda ademas de ser compatible con la multiplicacion por escalares.


Para ver que generan tomemos v ∈ T0(Rn). Definimos ai := v(xi) y Y = X −∑n

i=1 ai∂∂xi

. Basta probar que Y (f) = 0 para todo germen. Notese que podemos

encontrar n germenes de funcion diferenciable fi en T0Rn que satisfacen:

(5) f(x) = f(0) +n∑i=1

xif(xi)

En efecto,

f(x)− f(0) =

∫ 1

0

∂

∂tf(tx1, . . . , txn)dt =

n∑i=1

xi

∫ 1

0

∂f

∂xj(tx1, . . . , txn)dt

Luego si evaluamos Y en la expresion (??) y usamos el hecho de que la derivacionevaluada en un germen de funcion constante vale cero, obtenemos que Y (f) esidenticamente cero.

Corolario 1. El espacio tangente a una variedad M en un punto p tiene di-mension n.

Para pasar de la definicion algebraica a la geometrica hacemos lo siguiente. Sea[γ] una vector tangente (en el sentido geometrico) a M en p. A [γ] le asociamos laderivacion vγ(f) = ∂

∂tf γ(0).

Ejercicio 11. Pruebe que [γ]→ vγ define una biyeccion entre el espacio de vec-tores tangentes en el sentido geometrico y el correspondiente en sentido algebraico.Ası, podemos definir naturalmente una estructura de R espacio vectorial sobre elespacio tangente “geometrico”.

El haz tangente. Hay varias maneras de definir al haz tangente a una variedaddiferenciable M . La mas comun es la siguiente. El haz tangente es la union disjuntade los espacios tangentes a cada punto de M . En sımbolos:

(6) TM :=⋃p∈M

TpM

Ejercicio 12. Demuestra que el haz tangente admite una estructura de variedaddiferenciable. Sugerencia: considera la definicion algebraica de espacio tangente yA el atlas que define la estructura de variedad diferenciable de M . Si (U,ϕ) ∈ A,definamos

TU =⋃p∈U

TpM

Cada punto de TU es una derivacion sobre TpM con p ∈ U . Denotemos entoncesvp a cualquier derivacion en TpM . La imagen de ϕ esta en Rn y por tanto podemosdenotar por ui la i-esima funcion coordenada en Rn. Denotemos por xi el germen


de funcion diferenciable en TpM definido por la composicion ϕ ui. Ası, podemosdefinir una carta Tφ : TU → U ×Rn:

(7) vp → (ϕ(p),n∑i=1

vp(xi)ei)

donde e1, . . . , en denota la base estandar de Rn. El ejercicio se reduce entonces aprobar que (7) define un atlas diferenciable. ¿Cual es la dimension de TM ?

Hay una manera mas economica de definir el espacio tangente (d’apres Hirsch).Tomemos una variedad diferenciable M con un atlas A = (Ui, ϕi)i∈I . El haztangente se define como el cociente del producto cartesiano M × I × Rn por lasiguiente relacion de equivalencia. Decimos que (x, i, v) es equivalente a (y, j, w) siy solo si x = y y D(ϕjϕi)(ϕ(x))v = w. Es decir, si los “puntos base” de los vectorescoinciden y la diferencial del cambio de coordenadas manda v en w. Al cociente queresulta de esta relacion de equivalencia la denotamos tambien TM .

El haz tangente ası definido tiene una estructura natural de variedad diferenciableque hereda de A. En efecto, notemos primero que la funcion que a cada clase [x, i, v]le asocia el “punto base” x esta bien definida. Denotemos esta funcion por:

(8) π : TM →M

Para cada carta (Ui, ϕi) ∈ A definimos TUi := π−1(Ui). Luego la funcion

(9) Tϕi : TUi → ϕi(Ui)×Rn ⊂ Rn ×Rn

definida como Tϕi[x, i, v] := (ϕi(x), v) es una biyeccion. Ademas, para cada par desubındices i 6= j donde Ui∩Uj 6= ∅ tenemos que (Tϕj)(Tϕi)

−1(ξ, v) = (ϕjϕ−1i (ξ), D(ϕjϕi)v)

es un difeomorfismo. Entonces, si damos a TM la topologıa inicial2, las cartas(Tϕi, TUi)i∈I definen una estructura de variedad diferenciable sobre TM . Observe-mos que si definimos TpM := π−1(p) entonces (x, v)→ v ∈ Rn define una biyeccionentre TxM y Rn. Ası, podemos darle a cada espacio tangente una estructura deR-espacio vectorial de dimension n. Como veremos mas adelante, podemos decirincluso mas: TM tiene estructura de haz vectorial.

Ejercicio 13. Demuestre que todas las definiciones que hemos dado de espaciostangentes son compatibles. Es decir, que definen la misma variedad diferenciableTM modulo difeomorfismo.

Ejemplo 7. El haz tangente a S1. Notemos que

TS1 = (z, w) | |z| = 1, w = itz, t ∈ RSea i → C∗×C la inclusion canonica de S1 en C∗×C y ϕ : C∗×C→ C∗×C definidacomo ϕ(z, w) := (z, w

iz). Notese que ϕ es un biholomorfismo y ϕ i(TS1) = S1×R.

2I.e. la topologıa con menos abiertos que hace continua a p


Ergo TS1 es un haz trivial. ¿Que sucede con TS2?

Ejemplo 8 (El haz tangente a S3). Existen diversas maneras de representar ala esfera de dimension 3: pueden ser los vectores unitarios en R4, o bien

S3 = (z1, z2) | |z1|2 + |z2|2 = 1o bien como los cuaterniones de norma uno.Recuerdese que los cuaterniones son unaextension de los numeros reales de la forma:

H := t0 + t1i+ t2j + t3k | ti ∈ R, ∀idonde i2 = j2 = k2 = ijk = −1. Como con los numeros complejos, en los cuater-niones esta definida una conjugacion

t0 + t1i+ t2j + t3k := t0 − t1i− t2j − t3kEntonces S3 := q ∈ H | qq = 1. No es difıcil convencerse que los vectores tangentesa S3 en un punto q estan dados por q(t1i + t2j + t3k) donde ti ∈ R, ∀i. Podemosentonces definir la funcion f : S3 ×R3 → TS3 definida como

f(q, (t1, t2, t3)) := (q, q(t1i+ t2j + t3k))

El ejercicio aquı es probar que f es un difeomorfismo. Observese que con la inter-pretacion cuaternionica S3 tiene una estructura de grupo. De hecho, es un grupode Lie compacto no abeliano, normalmente denotado por Sp(1).

Ejercicio 14. ¿ Es posible dar una descripcion del haz tangente a S7 usandolos octoniones? Si es el caso describa dicho haz tangente. ¿ Es S7 entonces tambienun grupo de Lie ?

1.3. La diferencial de una funcion diferenciable. Desde el punto de vistaalgebraico podemos definir la diferencial de la siguiente manera. Sean f : M → Nuna funcion diferenciable. Definimos Dfp : TpM → Tf(p)N como

(10) Dfp(v)(g) := v(g f)

donde v ∈ Tf(p)N y g ∈ Gf(p)N . Notese que es una definicion puntual. Desde elpunto de vista geometrico definimos la diferencial de f de la siguiente manera. Si[α] ∈ TpM es vector (clase de curva diferenciable), entonces Dfp[α] := [f α]. Desdeel punto de vista ”Hirschiano“ definimos la diferencial de una funcion usando cartas.Tomemos entonces dos cartas (Ui, ϕi) y (Vj, ψj) del atlas A y B que define la estruc-tura de M y N respectivamente. Suponemos sin perdida de generalidad que es unpar adaptado a f , es decir, que f(Ui) ⊂ Vj. Entonces definimos Df : TUi → TVjcomo [x, i, v]→ [f(x), j,D(ψjfϕ

−1i )v], donde D(ψjfϕ

−1i ) es la diferencial en el sen-

tido clasico (Rn). La ventaja de esta definicion sobre las anteriores es que resultamas sencillo probar que la diferencial de f define una funcion diferenciable entre


TM y TN .

Ejercicio 15. Demuestre usando cualquiera de las definiciones anteriores que ladiferencial de una funcion diferenciable f : M → N define una funcion diferenciableDf : TM → TN .

Proposicion 1. La funcion Dfp : TpM → Tf(p)N es una transformacion linealy la derivada de una funcion constante es cero

Prueba. La prueba es inmediata, deje correr el lapiz.

Representacion matricial de la diferencial de una funcion. Primero calculemosuna representacion en coordenadas locales de cualquier vector tangente. Sea p ∈My (U,ϕ) una carta para p. La imagen de ϕ esta en Rn donde fijamos las funcionescoordenadas ui, i = 1, . . . , n. Suponemos sin perdida de generalidad que φ(p) = 0.Definimos entonces xi := ϕ ui para i = 1, . . . , n. Aplicando (5) a la funcionf ϕ−1(u) obtenemos:

(11) f ϕ−1(u) = f ϕ−1(0) +∑

uigi(u)

para ciertas funciones real valuadas gi definidas en una vecindad del origen en Rn.Ergo,

(12) f = f(p) +∑

xi · (gi ϕ)

Germificando y aplicando v de ambos lados de la igualdad anterior obtenemos:

v(f) =∑v(xi)(gi ϕ)(p) +

∑xi(p)v(gi ϕ)

=∑v(xi)

∂∂ui

(f ϕ−1)(0)

=∑v(xi)(

∂∂xi

)p(f)

Donde ( ∂∂xi

)p el i-esimo generador “ estandar” de TpM . Dicho de otra manera, el

vector (v(x1), . . . , v(xn)) representa a la derivacion v en la base ∂∂xi

3. Ahora, paraobtener la representacion matricial de la derivada de f en el punto p ∈ M consid-eramos una carta (V, ψ) adaptada a f(p) = q. Suponiendo que N esta modeladaen Rm y que hemos escogido en dicho espacio euclidiano las funciones coordenadas

3Recuerdese que dicha derivacion se define como ∂∂xi p

f := ∂∂ui

(f ϕ−1)(ϕ(p)) para la opcion

de coordenadas ui.


(v1, . . . , vm), definimos yj = vj ψ. Por la discusion anterior vemos que:

(13)

Dfp(∂∂xi

)p(yj) = ( ∂∂xi

)p(yj f)

= ∂∂ui

(yj f ϕ−1)(ϕ(p))

de donde se deduce que:

(14) Dfp(∂

∂xi)p =

∑ ∂

∂ui(yj f ϕ−1)(ϕ(p))(

∂

∂yj)f(p)

Compare esta representacion matricial con la representacion matricial deD(ψ f ϕ−1)(ϕ(p)) con respecto a las coordenadas xi y yj.

1.4. Variedades con frontera. Tema para exposicion de alumno en clase.

2. Propiedades de las funciones diferenciables

En esta seccion veremos que algunas propiedades locales de una funcion difer-enciable entre variedades f : M → N estan completamente determinadas por sudiferencial. La idea es hacer calculo diferencial pero en variedades. Recordemos

Teorema 2 (De la funcion inversa en Rn). Sea f : Rn → Rn una funciondiferenciable de clase Ck. Supongamos que existe un punto p ∈ Rn donde la ma-triz Df(p) es invertible. Entonces existe una vecindad U de p tal que f|U es undifeomorfismo de clase Ck.

La version de este teorema para variedades es la siguiente.

Teorema 3. Sea f : M → N diferenciable y p ∈M tal que Df(p) es invertible.Entonces existen cartas (U,ϕ) y (V, ψ) de p y f(p) tales que ψfϕ−1 es la identidad.

Prueba. De las hipotesis del teorema tenemos que existen (U,ϕ) y (V, ψ) cartasde p y f(p) tales que g = ψ f ϕ−1 : Rn → Rn satisface las hipotesis del teoremade la funcion inversa. Basta entonces considerar las cartas (U,ϕ) y (V, g−1 ψ)

Para seguir con la discusion necesitamos de algunas definiciones.

Definicion 14. Sea f : M → N una funcion diferenciable. El rango de f enun punto p ∈M es el rango de la transformacion lineal Dfp. Notacion: rang(Dfp).Diremos que f es:

• una inmersion en p ∈M si y solo si Dfp es inyectiva,• una submersion en p ∈M si y solo si Dfp es sobreyectiva.

Si f es inmersion o submersion en cada p ∈ M entonces diremos simplementeque f es inmersion o submersion. Si f es inmersion y f(M), con la topologıa desubespacio, es homeomorfa a M (vıa f), entonces llamamos a f un encaje.

2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DIFERENCIABLES 13

Recordemos el siguiente teorema de algebra lineal (eliminacion de Gauss-Jordan):

Teorema 4. Sea A ∈ Mm×n(R). Entonces el rango de A es k ≥ 1 si y solosi existen matrices invertibles B y C tales que BAC ∈ Mn×n es una matriz de laforma:

(15)

(Idk×k 0

0 0

)Corolario 2. La funcion rangDpf es semicontinua en p.

Prueba. En otras palabras, localmente rangDpf no decrece. Es decir, paratoda p ∈ M existe una vecindad p ∈ U tal que rangDqf ≥ rangDpf , ∀q ∈ U . Enefecto, esto se sigue de la continuidad de las operaciones del metodo de eliminacionde Jordan-Gauss y del determinante en las matrices de k × k.

Teorema 5 (Teorema del rango). Sea f : M → N diferenciable, dondedim(M) = m y dim(N) = n. Supongamos que existe una vecindad U de un puntop ∈ M donde el rango de f es constante k ≤ n. Entonces existen cartas adaptadasa p y f(p) donde la representacion local de f es de la forma:

(16) (x1, . . . , xm)→ (x1, . . . , xk, 0, . . . , 0)

Prueba. Sin perdida de generalidad podemos suponer que existen cartas (U,ϕ)y (V, ψ) para las cuales la matriz(

∂fi∂xj

)1≤,i,j≤k

(x) ∈ GL(k,R)

donde x ∈ ϕ(U). Abusaremos de la notacion escribiendo de ahora en adelante f enlugar de ψ f ϕ−1. Definimos entonces

h(x1, . . . , xm) := (f1(x), . . . , fk(x), xr+1, . . . , xm)

Usando el teorema de la funcion inversa vemos que h es un cambio de coordenadas.Definimos entonces

g(zq, . . . , zm) := f h−1(z1, . . . , zm) = (z1, . . . , zm, gr+1(z), . . . , gn(z))

Observemos que (Idk×k 0

? ∂gi∂zj

(z)

)pero como el rango de f es k en una vecindad de p tenemos que las derivadasparciales ∂gi

∂zj(z) se anulan para r + 1 ≤ i ≤ n y r + 1 ≤ j ≤ m. Definimos entonces

k(y1, . . . , yn) = (y1, . . . , yk, yk+1 − g(y1, . . . , yr, 0 . . . , 0),. . . , yn − gn(y1, . . . , yr, 0 . . . , 0))


Observese que la matriz Dky es invertible para toda y en la vecindad donde k estadefinida. Ademas,

k g(z) = k f h−1(z) = (z1, . . . , zk, gk+1(z)− gk+1(z1, . . . , zk, . . . , 0),. . . , gn(z)− gn(z1, . . . , zk, . . . , 0))

Usando el teorema del valor medio4 y el hecho de que las derivadas parciales ∂gi∂zj

(z)

se anulan obtenemos que

gi(z)− gi(z1, . . . , zk, 0, . . . , 0) = 0

para i ∈ k + 1, . . . , n. Ası

k f h−1(z1, . . . , zn) = (z1, . . . , zk, 0, . . . , 0).

para toda z en una vecindad de ϕ(U).

Ejercicio 16. Supongamos que f : M → N es una inmersion. ¿ Es f(M) unasubvariedad de N ¿ Que sucede si f es una inmersion inyectiva ?

El siguiente teorema responde a la pregunta ¿ Cuando es la imagen de unainmersion inyectiva una subvariedad?

Teorema 6. Sea N una variedad diferenciable. Un subconjunto A ⊂ N es unasubvariedad si y solo si A es la imagen de un encaje f : M → N .

Prueba. Si A es una subvariedad de N , entonces la estructura inducida por Nhace de la inclusion A → N un encaje. Supongamos entonces que f : M → Nes un encaje y sea f(M) = A. Hagamos primero el caso “facil” (o local). Supon-dremos que M = U ⊂ Rm es abierto, N = Rn. Como f es encaje, es de rangoconstante. El teorema del rango implica que, modulo un cambio de coordenadasdiferenciable existen cartas (U,ϕ) y (V, ψ) en las cuales h = ψ f ϕ−1 es de laforma h(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xm, 0, . . . , 0). Entonces, h−1 define el atlas de sub-variedad de f(M).Para el caso general observese que la propiedad “A es subvariedad de N” es local.Es decir A ⊂ N es subvariedad si y solo si Ai ⊂ Ni es subvariedad, donde Aii∈Ies una cubierta abierta de A y Ni es abierto en N y dominio de una carta. Ademas,dicha propiedad es invariante bajo difeomorfismos. Ası, tomemos

ψi : Ni → Rn

familia de cartas que cubre a A y

ϕi : Mi → Rm

4Si f ∈ C0[a, b] ∩ C1(a, b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = f(b)−f(a)b−a


familia de cartas de M tales que f(Mi) = Ni ∩ A. Si ϕi(Mi) = Ui entonces, por laspropiedades antes mencionadas, basta probar que

fi := ψi f ϕ−1i : Ui → Rn

tiene como imagen una subvariedad de Rn. Notese que este es exactamente el caso“facil” realizado al inicio de la prueba.

Definicion 15. Supongamos que n ≤ m. Al mapeo Rm → Rn definido como

(x1, . . . , xm)→ (x1, . . . , xn)

le llamaremos la “submersion estandar” de Rm en Rn.

El siguiente teorema nos dice que si f : M → N es submersion en un punto p,entonces existen cartas alrededor de p y f(p) para las cuales la representacion delocal f es la submersion estandar.

Teorema 7 (Forma normal de las submersiones). Sea f : Mm → Nn unasubmersion en un punto p ∈M . Entonces existen cartas (U,ϕ) y (V, ψ) de p y f(p)tales que ψ f ϕ−1 es de la forma

(17) (x1, . . . , xm)→ (x1, . . . , xn)

Prueba. Sin perdida de generalidad supondremos que existen cartas (U,ϕ) y(V, ψ) de p y f(p) tales que ϕ(p) = ψ(f(p)) = 0 y denotemos g := ψ f ϕ−1. ComoDg(0) es sobre, modulo un cambio de coordenadas lineal, podemos suponer que

Dg(0) = (Idn×n 0).

Definimos entonces G : W → Rm como G(x) = (g(x), xn+1, . . . , xm), donde x =(x1, . . . , xm). Por definicion DG(0) = Idm×m, ergo, por el teorema de la funcioninversa para variedades, G−1 : W ′ → W existe. Observese que por construccion

g G−1(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xn)

Corolario 3. Si f : M → N es submersion en p ∈ M , entonces lo es en unavecindad de p.

Ejercicio 17. ¿Se desprende este el corolario anterior de la semicontinuidad delrango de la funcion f?

2.1. Valores regulares y el teorema fundamental del algebra. Comen-zamos esta seccion con la definicion de valor regular.

Definicion 16. Sea f : M → N una funcion diferenciable. Un punto q ∈ N sellama valor regular de f si y solo si f es submersion en todos los puntos de f−1(q).De otra manera decimos que q es un valor crıtico.


La importancia de los valores regulares se desprende del siguiente (util) teorema.

Teorema 8. Si q ∈ N es un valor regular de f : Mm → Nn, entonces f−1(q) esuna subvariedad de M y dim(f−1(q)) = dim(M)− dim(N).

Prueba. Tomemos p ∈ f−1(q). Por el teorema de la forma estandar de sub-mersiones sabemos que existen coordenadas locales para las cuales f es de la forma(17). Sin perdida de generalidad supondremos que en dichas coordenadas p = 0y f(p) = 0. Entonces, en las coordenadas locales correspondientes f−1(q) es de laforma x1 = x2 = 0 = . . . = xn.

Observacion. Supongamos que q ∈ N es un valor regular de f : M → N yque Z := f−1(q) no es vacıo. Como f| : Z → N es constante, se tiene que Dfp|TpZes identicamente cero para todo p ∈ Z. Por otro lado, Dfp es sobre pues estamosen f−1(q). Entonces

dim(KerDfp) = dimTpM − dimTqN = m− n = dimZ.

De donde se concluye que

(18) TpZ = KerDfp

Ejercicio 18. Muestra que el grupo ortogonal O(n) es una subvariedad de

dimension n(n−1)2

del espacio de matrices Mn×n(R). Sugerencia: denotemos por

Sym(n) := A ∈Mn×n(R) | At = Aal conjunto de las matrices simetricas. Considera a la funcion

f :Mn×n(R)→ Sym(n)

definida como f(A) = AAt. Calcula la derivada de esta funcion DfB y demuestraque Id es un valor regular.

Supongamos ahora que M es una variedad compacta y que dim(M) = dim(N).Tomemos en este marco q ∈ N un valor regular de f : M → N . Entonces f−1(q) es alo mas un conjunto finito de puntos. En efecto, f−1(q) es un subconjunto compactopor ser cerrado en M . Luego, como las dimensiones de ambas variedades coinciden,f es un difeomorfismo local en toda vecindad de un punto en f−1(q). En particulares una biyeccion, ergo f−1(q) es un subconjunto discreto de M , por tanto finito.Ası, podemos definir #f−1(q) como la cardinalidad de la fibra f−1(q).

Lema 2. La funcion #f−1(q) es constante en una vecindad de un valor regularq ∈ N

Proof. Sean p1, . . . , pk = f−1(q). Entonces exiten Ui vecindad de pi dondef|Ui es difeomorfismo, i = 1, . . . , k. Basta entonces considerar, si Vi := f(Ui),

q ∈ V := (∩ki=1Vi) \ f(M \ (∪ki=1Ui))


Como aplicacion de estas ideas obtenemos el teorema fundamental del algebra

Teorema 9 (Gauss). Todo polinomio P ∈ C[z] no constante tiene por lo menosun cero.

Prueba. Asumimos primero que P : C → C define una funcion diferenciablede la esfera de Riemann f : C ∪ ∞ → C ∪ ∞ tal que f(∞) = ∞. Como Pno es constante, solo tiene un numero finito de puntos crıticos (i.e. donde ∂P

∂zse

anula). Ergo el conjunto de valores regulares de f es igual a C∪∞\y1, . . . , yk,que es conexo. Por tanto #f−1(y) es constante en C ∪ ∞ \ y1, . . . , yk perono puede ser igual a cero. Se deduce que f es sobre y entonces P debe tenerun cero. Veamos ahora que P : C → C define una funcion diferenciable de laesfera de Riemann f : C ∪ ∞ → C ∪ ∞ tal que f(∞) = ∞. Para estoveamos primero que C ∪ ∞ admite una estructura de superficie de Riemann5.Denotemos por simplicidad P1 := C∪ ∞. Definimos dos abiertos U1 = P1 \ ∞y U2 = P1 \ 0 = C∗ ∪ ∞. Las cartas para ϕi : Ui → C, i = 1, 2 se definen comosigue. La carta ϕ1 = IdC. La carta ϕ2(z) = 1

zsi z ∈ C∗ y ϕ2(z) = 0 si z = ∞.

Claramente ϕ2 ϕ1 : C∗ → C∗ esta dada por z → 1z, que es una involucion. Ası, un

calculo elemental muestra que Q(w) := P (w = 1z) es holomorfa en una vecindad del

cero y satisface Q(0) = 0.

Otros usos para los valores regulares. La idea aquı es dar condiciones en terminosde los valores regulares de una funcion diferenciable para que el conjunto de ceroscomunes de un conjunto de funciones diferenciables

(19) gi : M → Rli, l ≤ dim(M)

sea una subvariedad diferenciable. Con este conjunto podemos definir g : M → Rl

dada por g(p) = (g1(p), . . . , gl(p)). Ası, los ceros comunes del conjunto (19) song−1(0). Si tomamos p ∈ g−1(0) tendremos que Dgp es sobreyectiva si y solo si losvectores ∇gi(p), i = 1, . . . , l son linealmente independientes. En este caso diremosque las funciones (19) son independientes. Entonces, los ceros comunes de (19) for-man una subvariedad de M cuando dichas funciones son independientes en todopunto de g−1(0).

Teoremas de Sard y Whitney. Dos teoremas clasicos que mencionaremos en estaseccion pero cuya prueba omitimos son el teorema de Sard-Brown (y su versiongeneral Morse-Sard) y el teorema de Whitney.

Teorema 10 (Sard). Sea f : U ⊂ Rm → Rn una funcion diferenciable y

C := x ∈ U | rangDfx < n.Entonces f(C) tiene medida de Lebesgue cero.

5I.e. donde los cambios de coordenadas son funciones holomorfas.


Relectura. Hay dos casos (i) n ≤ m y (ii) m < n. Para el segundo caso el teo-rema nos dice que f(C) es de medida de Lebesgue cero. Al conjunto C se le llama elconjunto de los puntos crıticos de f . Observese que Rn \ f(C) es el conjunto de val-ores regulares de f , mismo que resulta ser un abierto denso de Rn. Tomemos ahoraf : M → N diferenciable. Como toda variedad es segundo numerable deducimos elsiguiente

Corolario 4 (Brown). El conjunto de valores regulares de una funcion f :M → N diferenciable es denso en N.

Teorema 11 (Whitney). Toda variedad diferenciable M de dimension m puedeser encajada (diferenciablemente) en R2m.

Por ejemplo, RP(2) no puede encajarse diferenciablemente en R3. En generalRP(n) no puede encajarse en R2m. La prueba del teorema utiliza fuertemente el queuna variedad es un espacio topologico Hausdorff y segundo numerable (existenciade particiones de la unidad).

2.2. Orientabilidad. Todos hemos escuchado que la banda de Moebius, adiferencia de la esfera, solo tiene un lado. El concepto de orientacion formalizaesto y puede definirse para variedades de dimension arbitraria. Luego retomaremoseste concepto para haces vectoriales.

Definicion 17. Sea V un R-espacio vectorial de dimension n > 0. Dos basesβ = vini=1 y β′ = wini=1 son equivalentes si la transformacion lineal T que mandauna base en la otra, i.e. T (vi) = wi, ∀i, por ejemplo, tiene determinante positivo.Una orientacion para V es una clase de equivalencia de bases para la relacion aquıdefinida.

Notese que V admite solo dos orientaciones. Sea [β] una orientacion para V yconsideremos un isomorfismo T : V → V . Diremos que T preserva la orientacionde V si [T (β)] = [β] y que la invierte en caso contrario. Ahora extrapolemos lasnociones anteriores al haz tangente de una variedad.

Definicion 18. Sea M una variedad diferenciable con un atlas (maximal) A.Diremos que M es orientable si existe un atlas A′ ⊂ A tal que para cualquier parde cartas (U,ϕ), (V, ψ) ∈ A′, donde el cambio de coordenadas ψ ϕ−1 este definido,se tiene que

(20) det(D(ψ ϕ−1)(ϕ(p))) > 0, ∀p ∈ U ∩ VEn el caso contrario, diremos que M es no orientable.

Sea M una variedad diferenciable y p ∈ M . Denotemos por (TUi, Tϕi) unacarta de TM que contiene al espacio tangente TpM . Como TUi es homeomorfaa Ui × Rm y la restriccion a q × Rm es un isomorfismo lineal, para cualquier


q ∈ Ui, podemos escoger una orientacion [β] para Rm y asignarla a cada espaciotangente TqM , q ∈ Ui. Si la variedad M es orientable y conexa, entonces podemosrepetir este proceso con cada carta (TVj, Tϕj) del espacio tangente TM y, como ladiferencial de los cambios de coordenadas D(ϕj ϕi) son los cambios de coordenadasde las cartas de TM a nivel de los espacios tangentes, entonces podemos asignar lamisma orientacion a cada espacio tangente. Notese que la orientacion con la quecomenzamos puede escogerse de dos maneras distintas. A cada una de estas manerasse le llama una orientacion para la variedad M . Es decir si M es orientable y conexa,entonces existen exactamente dos orientaciones distintas de M .

Ejercicio 19. (En clase) Sean f : M → M un difeomorfismo. Demuestre queM es orientable si y solo si N es orientable. Si adicionalmente ambas variedadesson conexas, el difeomorfismo f induce una orientacion en M . Descrıbala. Dichaorientacion puede o no coincidir con la orientacion original de M . En el primer casodecimos que f preserva la orientacion y en segundo que invierte la orientacion.

Ejemplo 9. Si M es una variedad que se puede cubrir con dos cartas y lainterseccion de los dominios de estas es conexo, entonces M es orientable. En efecto,el cambio de coordenadas tiene una diferencial con determinante de signo fijo. Sifuera negativo, basta cambiar el signo de uno de las funciones coordenadas.

Ejemplo 10. La esfera Sn es orientable. Usese el ejemplo anterior. Considereseel mapeo antipodal f(x) = −x. Demuestre que dicho mapeo invierta la orientacionsi n es par y la preserva en el resto de los casos.

Ejercicio 20. Suponga que M puede cubrirse con un numero finito de cartas yque la diferencial de cada cambio de coordenadas tiene determinante negativo. ¿Esentonces M una variedad orientable?

2.3. Campos vectoriales. Comencemos recordando la definicion de campovectorial diferenciable en Rn. Se trata de una funcion X que a cada punto p ∈ Rn

le asocia un vector X(p) ∈ Rn. En realidad el vector X(p) vive en TpRn. El adjetivo

diferenciable quiere decir que la funcion X(p), vista como funcion de Rn a Rn varıade manera diferenciable. Para definir este concepto en variedades diferenciables,denotemos por π : TM → M la proyeccion que asocia a cada vector tangente supunto base.

Definicion 19. Un campo diferenciable vectorial en M es una funcion difere-ciable X : M → TM tal que π X(p) = p para todo p ∈M .

Representacion local. Consideremos una carta (U,ϕ) ∈ A atlas de Mm y es-cojamos funciones coordenadas ui : Rm → R, i = 1, . . . ,m. Con estas funcionescoordenadas podemos definir como antes los germenes xi := ui ϕ. Entonces, lascoordenadas para un campo X en M en estan dadas por

(21) U 3 p→ (Xp(x1), . . . , Xp(xm))


Ejercicio 21. Muestra que las funciones p → Xp(xi) son diferenciables paratodo i = 1, . . . ,m.

Ejercicio 22. (El campo vectorial como un operador lineal) Denotemos porC∞(M) el conjunto de las funciones diferenciables f : M → R. Todo campo vectorialdiferenciable X en M define una apliacion LX : C∞(M) → C∞(M) de la siguientemanera

LX(f)(p) := Xp(f)

donde f ∈ GpM es el germen de funcion en p definido por f . Demuestra que LX esuna aplicacion lineal que satisface la regla de Leibniz:

LX(fg) = fLX(g) + gLX(f)

Prueba que en coordenadas locales LX =∑Xi

∂∂xi

, donde Xi son las “funciones

coordenadas” del campo. Demuestra que la funcion X(f) es diferenciable.

El siguiente teorema se desprende del teorema de existencia y unicidad para lasecuaciones diferenciales ordinarias en Rm.

Teorema 12 (Existencia y unicidad. Flujo local). SeaX un campo diferenciableen una variedad Mm, p0 ∈M y t0 ∈ R. Entonces

(1) Existe un intervalo t0 ∈ I y una unica curva diferenciable γp0 = γ : I →Mque satisface (1.1) γ(t0) = p0 y (1.2) el vector tangente Dγ(t)(1) = X(γ(t))para todo t ∈ I.

(2) Para cada p ∈M denotemos por Imax(p) el intervalo maximo de definicionde la curva γ en el inciso anterior. Para cada abierto U ⊂ M dominio decarta definimos el conjunto

(22) Ω = (p, t) ∈ U ×R | t ∈ Imax(p)Entonces Ω es un conjunto abierto y el flujo local

(23) g : Ω→ X

definido como g(p, t) = gt(p) := γp(t) es una funcion diferenciable.(3) Si se satisfacen dos de las condiciones t ∈ Imax(p), t + s ∈ Imax(p) o s ∈

Imax(gt(p)) entonces se satisface la tercera y en ese caso gt+s(p) = gt(gs(p)).

El siguiente teorema nos dice que en una variedad diferenciable compacta el flujolocal en realidad es un flujo global.

Teorema 13. Sea M una variedad diferenciable compacta. Entonces, para todocampo vectorial X en M se tiene que Imax(p) = R para todo punto p ∈M

Prueba. Por el teorema de existencia y unicidad, podemos asegurar que paratodo p ∈ M existen un abierto p ∈ Up y un intervalo 0 ∈ Ip tales que Up × Ip ⊂ Ω,donde Ω es el abierto definido en (22). Usando la compacidad de M obtenemos una


cubierta finita Upiki=1. Supongamos sin perdida de generalidad que el intervalode menor longitud es (−ε, ε). Definimos entonces, para cada t ∈ R las funcionesn(t) = [2t

ε] y s(t) = t− n(t) ε

2. Denotemos, para cada k ∈ Z, por gk la composicion

de k veces la funcion g ε2, donde gt es el flujo asociado al campo vectorial. Entonces

basta notar que |s(t)| < ε2

y que gt = gs(t) gk para toda t ∈ R.

Sea f : M → N un difeomorfismo. Entonces, para todo campo X en M podemosdefinir el campo f∗(X)(q) = Df(f−1(q))(X(f−1(q))) en N . A este campo se le llamael pushforward del campo X. Notese que si f no es difeomorfismo, el pushforward deun campo puede no estar bien definido. Por ejemplo, f podrıa no ser sobreyectiva.La sobreyectividad tampoco nos garantiza nada, pues f podrıa no ser inyectiva yDf(X(q)) 6= Df(X(p)) para dos puntos p, q ∈ f−1(x).Recıprocamente, si Y es un campo en N podemos definir en M el campo f ∗(Y )(p) =

Df−1(Y (f(p))). Este es llamado el pullback de Y . Demuestra que estas dos asigna-ciones se comportan bien respecto a la composicion de funciones.

Ejercicio 23. Calcula el pushforward y pullback de un campo constante denorma 1 en S1 con respecto a la apliacion “antipodal” x→ −x.

Ejercicio 24. Demuestra que en S2 no hay campos constantes no nulos.

Nota Bene. El teorema de la caja de flujo para ecuaciones diferenciales ordinar-ias en Rn implica que todo campo vectorial diferenciable X en Mm es localmenteequivalente al campo constante ∂

∂x1en una vecindad de todo punto p no singular,

i.e., tal que X(p) 6= 0. Esto es, existe una carta (U,ϕ) con p ∈ U para la cualϕ∗X = ∂

∂x1. A esta carta a veces se le llama carta rectificadora de X.

CAPITULO 2

Haces vectoriales

Los haces vectoriales son la generalizacion natural del haz tangente TM a unavariedad diferenciable M .

Ejemplo 11. El espacio tangente al cırculo unitario TS1 es S1×R. La proyeccion(diferenciable) p : S1 ×R→ R satisface la siguiente propiedad de trivializacion lo-cal. Para todo punto t ∈ R existe un abierto I que contiene a t tal que p−1(I) eshomeomorfo a I ×R. Ademas, p−1(t) = R para cualquier t ∈ S1.

Ejemplo 12. Denotemos por I = [0, 1] y E el espacio cociente de I × R porla relacion de equivalencia (0, t) ∼ (1,−t). Notese que la proyeccion I × R → Rinduce una proyeccion p : E → S1 que satisface tambien la propiedad de trivilizacionlocal discutida en el ejemplo anterior. Sin embargo, E no es difeomorfo al espaciotangente de S1 pues es una variedad no orientable.

Definicion 20 (Haz vectorial). Un haz vectorial (real) de rango n es una funcioncontinua p : E → B tal que:

(1) Para cada b ∈ B, p−1(b) esta dotado de una estructura de R-espacio vecto-rial.

(2) Existe una cubierta Uii∈I de B y una familia de homeomorfismos

(24) hi : p−1(Ui)→ Ui ×Rn

para los cuales la restriccion hi : p−1(b) → b ×Rn es un isomorfismo deR-espacios vectoriales.

A las parejas (Ui, hi) les llamamos cartas trivializadoras o trivializaciones locales.El espacio B se llama la base del haz y E el espacio total. A los espacios p−1(b) seles llama fibras de la proyeccion.

Si reemplazamos en la definicion anterior R por C obtenemos la definicion dehaz vectorial complejo. Podemos llamar a la coleccion (Ui, hi)i∈I atlas del hazvectorial. Observemos si Uij := Ui ∩ Uj 6= ∅ entonces la funcion

hj h−1i : Uij ×Rn → Uij ×Rn

define una asignacion hij : Uij → GL(n,R)

23

24 2. HACES VECTORIALES

Definicion 21. Sea U = Uii∈I una cubierta abierta para un espacio topologicoB. Una coleccion de funciones continuas

(25) hij : Uij → GL(n,R)

se llama cociclo para la cubierta U si y solo si se tiene que:

• hii = Id,• hijhjk = hik siempre que Ui ∩ Uj ∩ Uk 6= ∅.

Todo haz vectorial define un cociclo. La siguiente proposicion nos dice que elrecıproco tambien es cierto:

Proposicion 2. Todo cociclo hij de una cubierta Uii∈I de espacio topologicoB define un haz vectorial.

Prueba. Sea E = B ×Rn × I. Decimos que dos puntos (b, v, i) y (b′, v′, j) en

E son equivalentes si y solo si b = b′ y hij(v) = v′. Definimos E como el cocientecorrespondiente y π([b, v, i]) = b. Observese que

π−1(Ui) = [b, v, i] | p ∈ Ui, v ∈ Rn.

Se deja al lector probar que los datos anteriores definen un haz vectorial (E, π,B).

Dos cartas trivializadoras (no necesariamente formando parte del mismo atlas) sedicen equivalentes si definen una asignacion de matrices invertibles. Con esta nocionde equivalencia podemos, imitando a lo que se hizo con variedades, demostrar quetodo haz vectorial admite un atlas maximal. A dicho atlas maximal se le llamaraestructura del haz vectorial.

Definicion 22. Un haz vectorial se dice diferenciable si:

(1) La funcion p : E → B es diferenciable.(2) Las cartas trivializadoras son difeomorfismos.

Notese que un haz diferenciable solo tiene sentido entre variedades diferencia-bles. Ademas, el cociclo asociado a un haz vectorial esta formado por funcionesdiferenciables hij : Uij → GL(n,R).

Ejercicio 25. Supongamos que p : E → B es un haz vectorial diferenciable.Denotemos por A = (Ui, ϕi)i∈I el atlas de la base B de un haz vectorial que tienecomo cartas trivializadoras a las funciones (p−1(Ui), hi)i∈I . Entonces

(26) (p−1(Ui), ((ϕi Id)× hi))

define un atlas de variedad diferenciable sobre E. Muestre que atlas es compatiblecon el atlas “original” de E.

2. HACES VECTORIALES 25

0.4. Ejemplos de haces vectoriales.

Ejemplo 13. El haz tangente a una variedad diferenciable M . Este haz estadefinido por los cociclos que resultan de considerar las diferenciales de los cambiosde coordenadas en el atlas de M . Para ver esto recordemos la definicion de haztangente que da Hirsch. Tomemos una variedad diferenciable M con un atlas A =(Ui, ϕi)i∈I . El espacio total TM del haz tangente se define como el cociente delproducto cartesiano M × I ×Rn por la siguiente relacion de equivalencia. Decimosque (x, i, v) es equivalente a (y, j, w) si y solo si x = y y D(ϕjϕ

−1i )(ϕ(x))v = w. Es

decir, si los “puntos base” de los vectores coinciden y la diferencial del cambio decoordenadas manda v en w.

Notemos ahora que la funcion que a cada clase [x, i, v] le asocia el “punto base”x:

(27) π : TM →M

esta bien definida y sera la proyeccion del espacio total en el espacio base B = M .Veamos ahora las cartas trivializadoras. Para cada carta (Ui, ϕi) ∈ A tenemos lafuncion:

(28) Tϕi : TUi → ϕi(Ui)×Rn ⊂ Rn ×Rn

definida como Tϕi[x, i, v] := (ϕi(x), v). Esta funcion define un homeomorfismo conUi×Rn lineal en fibras. Ademas, para cada par de subındices i 6= j donde Ui∩Uj 6=∅ tenemos que (Tϕj)(Tϕi)

−1(ξ, v) = (ϕjϕ−1i (ξ), D(ϕjϕ

−1i )v) es un difeomorfismo.

Dicho de otra manera, el cociclo que define al haz TM esta dado por:

(29) hji := D(ϕjϕ−1i ).

Ejemplo 14. Los haces tangente y normal a Sn. Comenzamos con una de-scripcion del haz tangente a la esfera Sn. El espacio total de este haz es:

(30) E := (x, v) ∈ Sn ×Rn+1 | x ⊥ v.En este contexto hay que pensar que el vector v vive en el plano perpendicular alvector x y trasladado a dicho punto. La proyeccion se define como p(x, v) = x. Lascartas trivializadoras se dan de la siguiente manera. Para cada x ∈ Sn denotamospor Ux el hemisferio de la esfera que contiene a x y esta delimitado por el plano Pxortogonal a x que pasa por el origen. Las cartas trivializadoras:

hx : p−1(Ux)→ Ux ×Rn

estan definidas como hx(y, v) = (y, πx(v)) donde πx : π−1(y) → Px es la proyeccionortogonal, que en este caso es un isomorfismo de espacios vectoriales.

Ahora describamos el haz normal de Sn. Este es un haz de lıneas. El espaciototal esta formado por todos los pares (x, v) ∈ Sn ×Rn+1 para los cuales el vectorv es ortogonal al plano tangente a Sn que pasa por x. En otras palabras v = xt


para algun t ∈ R. La proyeccion p se define como en el caso del haz tangente.Los dominios de cartas trivializadoras son tambien los mismos que en caso del haztangente y las cartas trivializadoras se definen usando la proyeccion ortogonal de lalınea p−1(y) en la lınea p−1(x) para cualquier y ∈ Ux.

Ejemplo 15. El haz lineal canonico (o tautologico) y su complemento ortogonal.El haz lineal canonico tiene como espacio total:

(l, v) ∈ RPn ×Rn+1 | v ∈ l.

La proyeccion esta dada por p(l, v) = l. Las trivializaciones locales pueden darseconsiderando abiertos de la esfera Sn sin pares de puntos antıpodas y proyeccionesortogonales como las usadas para definir el haz normal a Sn. El espacio total delcomplemento ortogonal del haz canonico tiene como espacio total:

(l, v) ∈ RPn ×Rn+1 | v ⊥ l

Se deja al lector el definir la proyecciıon a RPn y las cartas de haz. Como ejercicioy preparacion para la nocion de morfismo entre haces se puede probar que el hazlineal canonico sobre RP1 y la banda de Moebius infinita son el mismo objeto.

Ejemplo 16. Tomemos un haz vectorial E → B de rango n. El haz dualE∗ → B de E → B se define de la siguiente manera. Como espacio total tenemos

E∗ = ∪b∈BE∗bdonde E∗b denota el dual del espacio vectorial (fibra) Eb := p−1(b). La proyeccionp∗ : E∗ → B se define como p∗(b, T ) = b para todo (b, T ) ∈ E∗b . Cada cartatrivializadora (Ui, hi) de E → B define una carta trivializadora de E∗πB de lasiguiente manera. El homeomorfismo hi : p−1(Ui) → Ui × Rn esta definido enla segunda coordenada por una familia de isomorfismos lineales hi(p). Definimosentonces h∗i : p∗−1 : Ui → Rn en su segunda coordenada como (hi(p)

t)−1. De estamanera, si

hji(p) = hj(p)hi(p)−1

es el cociclo que define a E → B, entonces el cociclo que define a E∗ → B esta dadopor:

h∗ji(p) = (htj(p))−1(hi(p)

t).

Como ejercicio podemos dar de manera explıcita el espacio cotangente del hazdiferenciable a una variedad en terminos de las diferenciales de los cambios decoordenadas. Digamos, si ∂

∂xini=1 es una base para TpM podemos denotar por

dxj ∈ (TpM)∗ el elemento que satisface dxj(∂∂xi

) = δij. Entonces no es difıcil ver que

dxjnj=1 es una base para (TpM)∗. Se deja al lector como ejercicio escribir el restode los detalles.


Ejemplo 17. El haz universal sobre la variedad Grassmanniana. Primero definire-mos la variedad Grassmaniana. Consideremos 0 < n ≤ k dos enteros positivos ydefinamos Gn(Rk) como el conjunto de subespacios de Rk de dimension n. Esteconjunto admite una estructura de variedad diferenciable. En efecto, consideremosVn(Rk) el conjunto de n-marcos1 ortonormales en Rn. Este es un subconjunto com-pacto de (Sn−1)k pues la ortogonalidad entre cualesquiera dos vectores se expresamediante una ecuacion algebraica. Podemos entonces definir una funcion sobreyec-tiva

f : Vn(Rk)→ Gn(Rk)

de manera natural: a cada n-marco le asociamos el subespacio que dicho marcogenera. Ası, damos a Gn(Rk) la topologıa que hace de f una funcion continua. Deesta manera, Gn(Rk) es un espacio topologico compacto y Hausdorff. Para ver estoultimo definamos, para cualquier x ∈ Rn la funcion dx(P ) que asocia a cada P ∈Gn(Rk) la distancia entre x y P . Esta es una funcion continua. Luego, si P 6= Q sonpuntos distintos en Gn(Rk), basta tomar x ∈ Q\P y considerar la funcion dx. Ahoradefinamos un atlas para Gn(Rk) que haga de esta una variedad diferenciable dedimension nk. Para cada P ∈ Gn(Rk) consideremos la descomposicion Rn = P⊕P⊥y denotemos por πP : Rn → P la proyeccion sobre el primer factor. Definimosentonces U ⊂ Gn(Rk) como el conjunto formado por todos los subespacios Q talesque πP |Q es sobreyectiva. Se deja como ejercicio al lector demostrar que:

(1) El conjunto U es un subconjunto abierto de Gn(Rk).(2) Cada Q ∈ U se puede ver como la grafica de una transformacion lineal en

TQ ∈ Hom(P, P⊥) ' Rnk. La funcion Q→ TQ es un difeomorfismo.

Definimos ahora un haz sobre la variedad Grassmanniana, conocido como el hazuniversal. En cierto sentido, este haz es una generalizacion del haz lineal canonico.El espacio total de dicho haz es

(31) E = (P, v) ∈ Gn(Rk)×Rn | v ∈ P

La topologıa sobre E es la inducida por el espacio ambiente y la proyeccion sedefine como π(P, v) = P . Las cartas trivializadoras se definen como sigue. DadoP ∈ Gn(Rk), definimos U como el conjunto de todos los Q tales que πP (Q) = P .La carta del haz h : π−1(U)→ U × P queda definida como h(Q, v) = (q, πP (v)).

Ejemplos abstractos: Haces1 al final.

0.5. Morfismos entre haces vectoriales. Secciones. Un homomorfismoentre dos haces p : E → B y p′ : E ′ → B′ haces es una pareja de aplicacionescontinuas F : E → E ′ y f : B → B′ tales que:

1Recuerdese que un n-marco ortonormal en Rk es un conjunto formado k vectores unitarios yortogonales .


(1) El siguiente diagrama conmuta:

E E ′

B B′

F

p f p′

(2) Para simplificar la notacion denotaremos a la fibra Eb := p−1(b). Entoncespara cada b ∈ B la transformacion:

(32) F| : Eb → E ′f(b)

debe ser lineal. En otras palabras, pedimos que F mande fibras en fibrasde manera lineal.

Definicion 23. Dos haces vectoriales (E, π,B) y (E ′, π′, B′) se dicen equiva-lentes si existe un morfismo (F, f) entre ellos tal que f es homeomorfismo y F| en(32) es un isomorfismo para toda b ∈ B. Si ademas de ser equivalentes, f = Id,entonces decimos que los respectivos haces son isomorfos.

Ejercicio 26. Demuestre que si los haces (E, π,B) y (E ′, π′, B′) son isomorfosentonces la funcion F es un homeomorfismo.

Definicion 24. Un haz vectorial p : E → B de rango n se dice trivial si esisomorfo al haz p′ : B × Rn → B, donde p′ denota la proyeccion sobre el primerfactor.

Ejemplo 18. El haz (de lıneas) normal a la esfera Sn, visto como subvariedadde Rn+1 es trivial. En este caso f = Id y F (x, tx) = (x, t). Se deja al lector probarque estas funciones definen un isomorfismo de haces.

Definicion 25. Una seccion de un haz vectorial p : E → B es una funcioncontinua s : B → E tal que s(b) ∈ p−1(b) para todo b ∈ B. Es decir, si p s = IdB.Decimos que la funcion es diferenciable, si la funcion s lo es. Al conjunto de seccionesde un haz p : E →M normalmente se le denota por Γ(E).

Observemos que la seccion nula (o seccion cero )s0(b) = 0 siempre existe y quep| : s0(B)→ B es un homeomorfismo. Ademas, si F : E1 → E2 es un homomorfismoentre dos haces vectoriales (s.p.d.g. sobre la misma base), entonces F manda laseccion cero de E1 en la seccion cero de E2. Esto implica que los complementos delas secciones nulas de dos haces vectoriales del mismo rango deben ser homeomorfos.Con este razonamiento se puede probar facilmente que el haz vectorial tangente deS1 y la banda de Moebius infinita no son isomorfos. El siguiente lema muestracomo la existencia de secciones nunca nulas tambien es importante para determinarla topologıa de un haz vectorial.


Lema 3. Un haz vectorial E → B de rango n es trivial si existen s1, . . . , snsecciones tales que si(b)ni=1 es linealmente independiente para toda b ∈ B.

Prueba. Que la condicion necesaria implica la suficiente es trivial. Definamos

(33) F : B ×Rn → E

como F (b, x1, . . . , xn) = (b,∑n

i=1 xisi(b)). La funcion F restringida a cada fibraes un isomorfismo y es continua pues al componerla con una carta trivializadoraobtenemos una funcion continua.

Como consecuencia de este resultado tenemos que si (Ui, hi) es una carta trivial-izadora del haz E → B de rango n, entonces existen sini=1 ⊂ Γ(p−1(Ui)) seccioneslinealmente independientes. A la familia sini=1 normalmente se le llama un marcomovil.

En las siguiente definicion redefinimos lo que es un campo vectorial en el lenguajede secciones e introducimos el concepto de 1-forma.

Definicion 26. Un campo vectorial en M diferenciable es una seccion diferen-ciable de Γ(TM). Una 1-forma en M es una seccion de Ω1(M) = Γ(TM∗).

Definicion 27. Una variedad diferenciable se dice paralelizable si y solo si TMes un haz trivial.

Ejemplo 19. Recordemos que el haz tangente a S1 puede expresarse como:

TS1 = (z, w) | |z| = 1, w = itz, t ∈ RSea i → C∗ ×C la inclusion canonica de TS1 en C∗ ×C y ϕ : C∗ ×C → C∗ ×Cdefinida como ϕ(z, w) := (z, w

iz). Notese que ϕ es un biholomorfismo y ϕ i(TS1) =

S1 ×R. Ergo TS1 es un haz trivial.

Recordemos que sobre S2 no existen campos vectoriales sin ceros. Esto en par-ticular implica que TS2 no es trivial.

Por otro lado, recordemos que S3 := q ∈ H | qq = 1. No es difıcil convencerse quelos vectores tangentes a S3 en un punto q estan dados por q(t1i + t2j + t3k) dondeti ∈ R, ∀i. Podemos definir entonces tres secciones:

q → iq,

q → jq,

q → kq.

O si se prefiere en coordenadas cartesianas:

(x1, x2, x3, x4)→ (−x2, x1,−x4, x3),


(x1, x2, x3, x4)→ (−x3, x4, x1,−x2),(x1, x2, x3, x4)→ (−x4,−x3, x2, x1).

Podemos entonces definir la funcion f : S3 ×R3 → TS3 definida como

f(q, (t1, t2, t3)) := (q, q(t1i+ t2j + t3k)).

Dejamos al lector probar que estas secciones son linealmente independientes y portanto S3 es una variedad paralelizable.

Ejercicio 27. Use los octoniones de Cayley para probar que S7 es paralelizable.

Un resultado famoso de R. Bott y J. Milnor nos dice que Sn−1 es paralelizablesi y solo si n = 1, 2, 4, 8. Vease [Bot58].

Ejercicio 28. Demuestre que el toro T n = S1 × · · · × S1 es una variedadparalelizable. Sugerencia: considere la diferencial de la funcion f : Rn → Cn dadapor

f(x1, . . . , xn) = (eix1 , . . . , eixn),

para definir si(p) := Df(p)ei donde ei es el i-esimo basico estandar de Rn.

CAPITULO 3

Superficies regulares en R3

La idea de este capıtulo es aterrizar las nociones de los capıtulos anteriores enel contexto de las superficies regulares en R3 y abordar los conceptos basicos dela geometrıa diferencial en esta clase de superficies. La referencia que seguiremosprincipalmente es el libro de M.P. DoCarmo [dC76].

0.6. Superficies regulares en R3. Una superficie regular es un conjunto S ⊂R3 que podemos parametrizar de manera diferenciable con abiertos del plano. Masprecisamente, se pide que para todo p ∈ S existan abiertos p ∈ V en R3 y U ⊂ R2

junto con un difeomorfismo:

(34) x : U → S ∩ VA la funcion x se le llama una parametrizacion o sistema de coordenadas locales deuna vecindad de p ∈ S. En otras palabras, una superficie regular es un subcon-junto de R3 que con la topologıa inducida es localmente difeomorfo al plano. De ladefinicion es claro que (S ∩ V,x−1) define un atlas de variedad diferenciable parala superficie regular S.

Nota Bene. En el libro de DoCarmo la primera definicion de superficie regularque se presenta es distinta a la anterior. Mas precisamente, a priori solo se le pidea la funcion f que sea un homeomorfismo y que sea una inmersion. Sin embargo,se puede probar que estas condiciones implican que x debe ser difeomorfismo (ver[dC76], §2-3).

Ejemplo 20. Revisitemos la esfera desde la perspectiva de las superficies regu-lares. En el plano consideramos el conjunto:

V = (θ1, θ2) | 0 < θ1 < π, 0 < θ2 < 2π,y definimos x(θ1, θ2) = (sin(θ1)cos(θ2), sin(θ1)sin(θ2), cos(θ1)). Notemos que θ1puede pensarse como el parametro de la latitud y θ2 como la longitud. Dejamoscomo ejercicio probar que x define un difeomorfismo de un abierto de S2 en V .Dicho abierto no es toda la esfera. Se deja tambien como ejercicio el completar elatlas de superficie regular para S2.

31

32 3. SUPERFICIES REGULARES EN R3

Ejercicio 29. Pruebe que S es una superficie regular si y solo si para todop ∈ S existe un abierto p ∈ V de R3 tal que S ∩ V es superficie regular.

En general probar que algo es una superficie regular a pie puede ser fastidioso.Sin embargo, justo como para variedades, tenemos una serie de resultados utiles quenos ahorran un poco de trabajo.

Proposicion 3. Sea U ⊂ R2 abierto y f : U → R una funcion diferenciable.Entonces la grafica de f es una superficie regular.

Prueba. Basta tomar x : U → R3 definida como x(u, v) := (u, v, f(u, v)).Claramente x es una inmersion. Por otro lado x−1 es continua por ser la restriccionde la proyeccion (continua) (u, v, w)→ (u, v).

Proposicion 4. Sea U ⊂ R3 abierto y f : U → R una funcion diferenciable.Si a ∈ f(U) es un valor regular, entonces f−1(a) es una superficie regular.

Prueba. Tomemos p ∈ f−1(a) y supongamos s.p.d.g. que ∂f∂z

(p) 6= 0. Entoncesla funcion

F (x, y, z) = (x, y, f(x, y, z)) = (u, v, t)

es invertible en una vecindad de F (p). Denotemos a dicha inversa por:

F−1(u, v, t) = (u, v, g(u, v, t))

Luego, f−1(a)∩U es difeomorfo a la grafica de la funcion (u, v)→ g(u, v, a). Por laproposicion anterior, dicha grafica es una superficie regular.

Proposicion 5. Toda superficie regular es localmente la grafica de una funciondiferenciable f : U ⊂ R2 → R.

Prueba. Tomemos x(u, v) = (x1(u, v),x2(u, v),x3(u, v)) una parametrizacionde S en un punto p. Como x es una inmersion podemos suponer s.p.d.g. que lamatriz: (

∂x1

∂u∂x1

∂v∂x2

∂u∂x2

∂v

)es invertible. Entonces, si π(x1, x2, x3) = (x1, x2), la funcion π x es invertible.Luego S puede representarse localmente como la grafica de la funcion que resultade componer (π x) con x3.

Con estos elementos no es difıcil probar que los siguientes conjuntos son super-ficies regulares:

z2 = 1 + x2 + y2

el hiperboloide de dos hojas, o bien

x2

a+y2

b+z2

c= 1

3. SUPERFICIES REGULARES EN R3 33

un elipsoide. Tambien la imagen inversa del cuadrado de r > a bajo la funcion

f(x, y, z) = z2 + (√x2 + y2 − a)2

el toro.

0.7. Nociones basicas revisitadas. En esta seccion revisitaremos nocionesque fueron definidas en general para variedades diferenciables.

El plano tangente. Sea p ∈ S y tomemos una parametrizacion x : U → S ∩ V .Sea q ∈ U y β = e1, e2 base canonica de R2 y u, v las coordendas para U . En-tonces, dx(p)(R2) es el plano tangente a S en p (y no depende de la parametrizacionx). Ademas, la derivada de la parametrizacion envıa la base del espacio tangenteR2 = TqR

2 en una base del espacio tangente Tx(q)S. La derivada de x(u, v) =(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) esta dada por la matriz:

(35) Dx(u, v) =

∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∂z∂u

∂z∂v

(u, v)

Ergo, las columnas de esta matriz forman una base para el espacio tangente a Sen p. Para simplificar la notacion, reescribimos Dx = (xu xv). Entonces el planotangente TpS queda descrito por la siguiente parametrizacion:

(36) (u, v)→ p+ uxu + vxv

donde ahora los valores (u, v) varıan en todo R2. Imaginemos ahora que la superficieS esta dada por la imagen inversa de cero, valor regular de una funcion F : R3 → R.Ahora supongamos que xU → F−1(0) es una parametrizacion local con x(0, 0) = p.Derivando (u, v)→ F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0 obtenemos:

∂F

∂u= ∇F · xu = 0

y∂F

∂v= ∇F · xv = 0

de donde se deduce que, si p = (p1, p2, p3), podemos expresar a TpS por medio de laecuacion:

(37) ((x− p1), (y − p2), (z − p3)) · ∇F (p) = 0

Observemos que como x es una inmersion entonces xu ∧ xv 6= 0. El vector xu ∧ xves normal al plano generado por xu,xv y lo llamamos el vector normal a S en elpunto x(u, v).


La derivada de una funcion entre superficies. Consideremos

(38) f : S1 → S2

una funcion diferenciable entre dos superficies regulares. Es decir, si x y y sonparametrizaciones para p ∈ S1 y f(p), entonces g = (g1, g2) = y−1 f x es unafuncion diferenciable, para todo p ∈ S1. Luego, si u, v con las coordenadas deldominio de x, con x(0, 0) = p tenemos que la matriz que representa a la derivadade f en una vecindad de p esta dada por

(39) Df(p) =

∂g1∂u

∂g1∂v

∂g2∂u

∂g2∂v

(0, 0)

Ejercicio 30. Calcule la derivada de una rotacion de S2 por un angulo de θrespecto al eje x.

0.8. La primera forma fundamental. Denotemos por <,> el producto in-terno en R3. Este producto define una forma cuadratica

(40) I(x) =< x, x >

no degenerada. Como el espacio tangente de una superficie regular S ⊂ R3 en unpunto p es un subespacio de R3, el producto interno de R3 induce un productointerno en TpS que denotaremos por <,>p. De igual manera, la forma cuadratica(40) induce una forma cuadratica en TpS que denotaremos por Ip.

Definicion 28. A la forma cuadratica Ip la llamamos la primera forma funda-mental de la superficie regular S en el punto p.

Calculo de la primera forma fundamental. Tomemos una parametrizacion x parauna vecindad de p ∈ S. Sin perdida de generalidad supondremos que el origen formaparte del dominio de x y x(0, 0) = p. Ahora consideraremos la version geometrica delespacio tangente a S en p para calcular en terminos de la parametrizacion la primeraforma fundamental. Sea γ(t) = (u(t), v(t)) : (−ε, ε) → U una curva diferenciablecon γ(0) = (0, 0). Entonces α := x γ : (−ε, ε) → S es una curva diferenciable yα′(0) ∈ TpS. Entonces,

(41)

Ip(α′(0)) = < α′(0), α′(0) >p

= < xuu′ + xvv

′,xuu′ + xvv

′ >p

= < xu.xv >p (u′)2 + 2 < xu,xv >p u′v′+ < xv,xv >p (v′)2


donde xu = xu(0, 0), xv = xv(0, 0), u′ = u′(0) y v′ = v′(0). Podemos entoncesdefinir, si p = x(u, v) las funciones diferenciables1

(42)E(u, v) = < xu(u, v),xu(u, v) >p

F (u, v) = < xu(u, v), xv(u, v) >p

G(u, v) = < xv(u, v),xv(u, v) >p

Ası, podemos expresar a la primera forma fundamental Ip aplicada al vector tangente(u′, v′)

(43) Ip(u′, v′) = E(u, v)(u′)2 + 2F (u, v)u′v′ +G(u, v)(v′)2

para todo (u, v) en el dominio de una parametrizacion x. Observemos que pode-mos calcular entonces Ip aplicada a un vector tangente con tan solo conocer laparametrizacion local x.

Ejercicio 31. ¿Como cambian las expresiones anteriores cuando reparametrizamosx (i.e. efectuamos un cambio de variables (u, v)→ (u′, v′))? Por ejemplo calcule laprimera forma fundamental para el plano xy parametrizado por coordenadas carte-sianas o por coordenadas polares.¿ Cambia Ip si consideramos una parametrizacion y 6= x de S?

Con la primera forma fundamental podemos definir:

(1) La longitud de una curva parametrizada. Supongamos que

α(t) = x(u(t), v(t)) : (0, 1)→ S

es una curva que esta contenida en la imagen de una parametrizacion x :U → S. Entonces la longitud de arco de α se define como:

(44)s(t) =

∫ t0

√Iα(t)(α′(t))dt

=∫ t0

√E(u′)2 + F (u′v′) +G(v′)2dt

Es facil ver que esta definicion no depende de la parametrizacion x.

(2) El angulo de interseccion de dos curvas en S. Si α.β : I → S son doscurvas diferenciables que se intersectan en un punto α(t0) = β(t0), entoncesel angulo θ en el que se intersectan se define como

(45) cos θ =< α′(t0), α

′(t0) >α(t0)

|α′(t0)||α′(t0)|.

Claramente cada uno de los factores en la parte derecha de la igualdadanterior se pueden expresar en terminos de E, F y G.

1Notacion original de Gauss.


Ejercicio 32. Sea x : U → S una parametrizacion. Calcule el angulode interseccion de las curvas x(u, 0) y x(v.0) en terminos de los coeficientesde la primera forma fundamental. Cuando dicho angulo es π/2, decimosque la parametrizacion x es ortogonal. Demuestre que una parametrizacionx es ortogonal si y solo si F (u, v) = 0 para todo (u, v) ∈ U domino de laparametrizacion.

(3) El area de una region acotada en S. Tomemos una parametrizacion x :U → S y R = x(Q) la imagen de una region Q ⊂ R2. Definimos el area deR como:

(46) A(R) =

∫ ∫Q

|xu ∧ xv|dudv

Como |xu∧xv|+ < xu,xv >2= |xu|2|xv|2 podemos escribir el integrando en

(46) como√EG− F 2.

Ejercicio 33. Demuestre que A(R) no depende de la parametrizacionx.

Ejercicio 34. Los siguientes ejercicios se realizaran en clase. Calcule la primeraforma fundamental para:

(1) El plano x(u, v) = p+ uv0 + vw0.

(2) El cilindro x(u, v) = (cosu, senu, v), donde u ∈ [0, 2π] y v ∈ R.

(3) El helicoide x(u, v) = (vcosu, vsinu, au) donde a > 0 esta fijo, u ∈ [0, 2π] yv ∈ R.

0.9. El mapeo de Gauss y la segunda forma fundamental. El mapeode Gauss es una funcion que se define solo para superficies orientables. Antes dedefinirlo propiamente, vamos a revisitar el concepto de orientabilidad.

La restriccion del haz tangente TR3 a una superficie regular S define un haz vecto-rial sobre S de rango 3 que denotaremos por p : HS → S. El producto interno deR3 define una producto interno <,>x sobre cada una de las fibras p−1(x) de estahaz. Diremos que una seccion continua s ∈ Γ(HS) define un campo normal unitariosobre S si y solo si < s(x), v >x= 0 y < s(x), s(x) >x= 1 para todo x ∈ S, v ∈ TxS.

Definicion 29. Una superficie regular S ⊂ R3 se dice orientable si y solo siexiste un campo normal unitario (continuo) sobre S.


Notemos que si S es orientable y s es campo normal unitario, entonces −stambien es campo normal unitario. Ademas, una superficie orientable admite exac-tamente dos campos normales unitarios. A cada uno de estos campos lo llamaremosuna orientacion para S.

Ejercicio 35. Demuestre que una superficie regular es orientable si y solo sies orientable en tanto variedad diferenciable de dimension 2. Sugerencia: supongala existencia de un campo normal a S y que la superficie S tiene un par de cartas(Ui, ϕi) tales que el determinante de D(ϕ−1i ϕj) es negativo en el dominio del cambiode coordenadas ϕ−1i ϕj.

Ejercicio 36. Muestre que toda superficie regular es localmente orientable.

Ejemplo 21. Los siguientes son ejemplos de superficies regulares orientables:

(1) Todo plano es orientable.(2) Toda esfera es orientable.(3) Si S es la grafica de una funcion diferenciable, entonces S es orientable.(4) El caso (2) es consecuencia de un hecho mas general: la imagen inversa

de un valor regular es orientable. Para ver esto recordemos que si S =f−1(a) entonces TpS = Ker(Df(p)). Por otro lado Df(p)v es por definicion∇f(p) · v. Ergo v ∈ TpS si y solo si v es ortogonal a ∇f(p). Luego, comop esta en la imagen inversa de un valor regular |∇f(p)| 6= 0 y entonces

podemos normalizar para definir el campo normal unitario s(p) := ∇f(p)|∇f(p)| .

Ejemplo 22. Una superficie regular no orientable: la banda de Moebius. Defini-mos la banda de Moebius abierta como sigue. Tomemos el cırculo de radio 2 centradoen el origen y contenido en el plano xy en R3. Esta cırculo esta parametrizado porla funcion:

c(u) = 2(sen(u), cos(u), 0), u ∈ [0, 2π]

Ahora consideremos la familia de vectores en R3 dada por

v(u) =

cos(u) sen(u) 0−sin(u) cos(u) 0

0 0 1

1 0 00 cosu

2−senu

20 senu

2cosu

2

001

es decir

v(u) = −

−sen(u)senu2

−cos(u)senu2

cosu2

De esto deducimos que c(u) + tv(u) con u ∈ [0, 2π] y t ∈ (−1, 1), parametriza lo quellamaremos la banda de Moebius abierta. Siendo mas precisos:

F (u, v) = ((2− tsenu2

)sen(u), (2− tsenu2

)cos(u), tcosu

2)


describe una parametrizacion de la banda de Moebius abierta. Ahora consideremosla curva γ(s) = F (s, 0) y la funcion diferenciable:

N(s) := (Fu ∧ Fv)(γ(s)), s ∈ [0, 2π]

Es decir, N(s) se define como el producto cruz de los vectores Fu y Fv en el puntoγ(s). Si la banda de Moebius abierta fuera orientable, entonces necesariamenteN(0) = N(2π). Sin embargo, se deja al lector verificar que en este caso N(0) =−N(2π). Por lo tanto la banda de Moebius no es orientable.

En el resto de esta seccion el termino superficie equivale a superficie regular ori-entable.

El mapeo de Gauss. Sea S una superficie y N un campo normal (unitario) sobre Sentonces podemos pensar a N como una aplicacion diferenciable:

(47) N : S → S2

que asocia a cada p ∈ S el vector unitario N(p). La aplicacion (47) se llama apli-cacion o mapeo de Gauss.

Observemos que, como TpS y el plano tangente a S2 en N(p) son paralelos, podemospensar a DNp como un endomorfismo de TpS. Como endomorfismo lineal, tiene dosinvariantes asociados. Su determinante:

(48) K(p) := det(DNp)

y su traza:

(49) H(p) = −1

2tr(DNp)

Definicion 30. A los numeros K(p) y H(p) definidos anteriomente se les llamala curvatura Gaussiana y media de S en el punto p.

Ejercicio 37. Pruebe que, como estamos en dimension par, la curvatura Gaus-siana no depende de la orientacion. Por otro lado la curvatura media cambia designo cuando cambiamos la orientacion.

Definicion 31. La forma bilineal σp : TpS × TpS → R definida como

(50) σp(v, w) := −〈DNpv, w〉pse llama la segunda forma fundamental de S en el punto p. Tambien utilizaremosla notacion IIp(, ) = σp(, ).

Algunos autores llaman a la forma cuadratica σp(v, v) la segunda forma funda-mental de S en p. Notese que por definicion la matriz que representa a la segundaforma fundamental es la derivada del mapeo de Gauss (multiplicada por −1).


Ejemplo 23. Veamos algunos ejemplos de la aplicacion de Gauss.

• Si P es el plano dado por la ecuacion ax + by + cz + d = 0 entonces

N(x, y, z) = (a,b,c)√a2+b2+c2

define un campo normal unitario. Luego DNp = 0

para todo p ∈ P .• Si S = S2 entonces N1(p) = p y N2(p) = −N1(p) son campos normales.

Como son aplicaciones lineales,estas funciones coinciden con sus diferen-ciales. Si en lugar de la S2 consideramos la esfera centrada en el origen deradio r, entonces N(p) = p

r. De nuevo, esta es una funcion lineal, por lo

que DNpv = vr

y ası la segunda forma fundamental en este caso esta dadapor:

σp(v, w) = −1

r〈v, w〉p

En esta caso podemos calcular explıcitamente las curvaturas Gaussiana ymedia de la esfera en el punto p. En efecto K(p) = 1

r2y H(p) = −1

rpara

todo p en la esfera de radio r.• Consideremos el cilindro

S = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 = r2

Entonces N(x, y, z) = 1r(x, y, 0) y −N definen las dos orientaciones del

cilindro. Como se trata de funciones lineales, de nuevo los campos coincidencon sus diferenciales, ergo:

DNx,y,z(v1, v2, v3) =1

r(v1, v2, 0)

de donde se deduce que:

IIx,y,z((v1, v2, v3), (w1, w2, w3)) = −1

r(v1w1 + v2w2)

Un calculo sencillo muestra que en este caso:

K(x, y, z) = 0 H(x, y, z) = − 1

2r

para todo punto (x, y, z) ∈ S3.• Consideremos S el paraboloide hiperbolico dado por la ecuacion z = y2−x2.

Notemos que S = f−1(0), donde f(x, y, z) = y2−x2−z y 0 es valor regular.Ademas x(x, y) = (x, y, y2 − x2) es parametrizacion. Un calculo sencillomuestra que Tx(x,y)S es generado por los vectores:

xx = (1, 0,−2x) xy = (0, 1, 2y)


y que N(x(x, y)) = (−2x,2y,−1)√4(x2+y2)+1

. Observese que en el punto x(0, 0) =

(0, 0, 0) el plano T(0,0,0)S es paralelo al plano de parametros y los vec-tores xx y xy definen la base estandard. Esto implica que si consider-amos una curva α(t) = x(x(t), y(y)) con (x′(0), y′(0)) = (0, 0) entoncesα′(0) = (x′(0), y′(0), 0). Ergo la curva N(t) := (N α)(t) satisface

N ′(0) = (2x′(0),−2y′(0), 0)

Como la eleccion de α fue arbitraria concluimos que

DN(0,0,0)(v1, v2, 0) = (2v1,−2v2, 0)

para todo vector tangente en T(0,0,0)S. Se deduce que la curvatura Gaussianadel parabolide hiperbolico es negativa en el origen. ¿Que podemos decir dela forma cuadratica dada por la segunda forma fundamental ?

0.9.1. Interpretacion geometrica de la primera forma fundamental. Sea S unasuperficie regular (orientable) con N una orientacion fija. En esta seccion γ :(−ε, ε) → S denota una curva regular parametrizada por longitud de arco. De-notemos por γ(0) = p ∈ S. Si la segunda derivada de la curva γ no sea anula,tenemos en este punto dos vectores unitarios bien definidos: el vector normal de la

curva n = γ′′(0)|γ′′(0)| y N(p). Denotemos por cos(θ) = 〈n,N(p)〉 y k(p) la curvatura de

γ en p.

Definicion 32. Al numero

kn(p) = k(p)cos(θ)

se le llama la curvatura normal de γ en p.

En otras palabras, el valor absoluto de la curvatura normal de γ en p mide eltamano de la proyeccion del vector normal de γ en p sobre la recta que contiene alvector N(p).

Ejercicio 38. ¿ Tiene sentido hablar de curvatura normal de una curva γ(t)cuando γ′′(t) = 0 ? De ser el caso, ¿que valor le corresponderıa a dicha curvatura ?

Denotemos por N(t) = (N γ)(t). Observemos ahora que si derivamos conrespecto a t la expresion:

〈N(t), γ′(t)〉 = 0

obtenemos

〈N(t), γ′′(t)〉 = −〈N ′(t), γ′(t)〉.


Luego

IIp(γ′(0)) = −〈DNpγ

′(0), γ′(0)〉

= −〈N ′(0), γ′(0)〉

= 〈N(0), γ′′(0)〉

= 〈N, kn〉(p)

= kn(p)

Es decir, la segunda forma fundamental evaluada el vector tangente γ′(0) mide,modulo cambio de signo, el tamano de la proyeccion del vector normal de γ en psobre la recta que contiene al vector N(p).

Corolario 5. (J.B Meusnier, 1776) Todas las curvas en una superficie regu-lar que en un punto p tienen la misma tangente, tienen en dicho punto la mismacurvatura normal.

Secciones normales. Sea S una superficie regular con orientacion N . Fijemosp ∈ S. Para cada vector v ∈ TpS denotamos por Pv el plano generado por losvectores N(p) y v, y que contiene al punto p. Al variar el vector v obtenemos unafamilia de planos Pvv∈TpS. A dicha familia se le conoce como el lapiz de planoscuyo eje es la recta por p paralela al vector N(p). Por construccion, cada familia enuno de estos planos intersecta a S transversalmente. En otras palabras la normal aPv y a S en p no son vectores paralelos. Por resultados generales de transversalidad,se tiene que en una vecindad en S de p la interseccion S ∩ Pv es la traza una curvadiferenciable para todo v ∈ TpS.

Definicion 33. A la interseccion S ∩ Pv se le llama una seccion normal de lasuperficie S en el punto p.

Por construccion, la normal a una seccion normal γ : (−ε, ε) → S por el puntoγ(0) = p pertence al conjunto 0,−N(p), N(p). Recordando que

IIp(γ′(0)) = 〈N, kn〉(p)

donde k y n son la curvatura y la normal a γ en p, se deduce que el valor absolutode IIp(γ

′(0)) es igual a la curvatura de la seccion normal γ en p.

Ejemplo 24. En la esfera S2 tomemos p = (0, 0, 1). Las secciones normales aS2 por p son todas circunferencias, ergo de curvatura constante 1. Esto se confirmapues en el caso de la esfera IIp(v) = 1 para todo vector v de norma 1.


Ejemplo 25. En el cilindro de base el cırculo unitario vemos que la familia desecciones normales en un punto p esta formada en sus “extremos” por una rectaparalela al eje del cilindro y un cırculo paralelo a la base. Entre estos dos extremosencontramos una familia de elipses cuyas curvaturas en p estan en correspondenciabiunıvoca con puntos en el intervalo (0.1). Por otro lado, vimos en un ejemploanterior que los valores absolutos de los valores propios de la matriz DNp eran 0 y1.

Lo que sugiere los ejemplos vistos es que las curvaturas de las secciones normalesno son numeros arbitrarios sino que corresponden a valores en un intervalo cuyosextremos estan determinados por los valores propios de la matriz DNp. En losparrafos siguientes daremos los elementos para probar que en general tal es el caso.

Lema 4. La transformacion lineal DNp : TpS → TpS es autoadjunta2.

Prueba. Basta probar que exite una base w1, w2 de TpS tal que 〈DNpw1, w2〉 =〈w1, DNpw2〉 para todo par de puntos v, w ∈ TpS. Sea x(u, v) una parametrizacionde una vecindad de p ∈ S y xu,xv la correspondiente base de TpS. Ahoratomemos una curva α(t) = x(u(t), v(t)) con α(0) = p. Claramente DNp(α

′(0)) =ddtN(u(t), v(t))|t=0 = Nuu

′(0)+Nvv′(0). Denotemos porDNp(xu) = Nu yDNp(xv) =

Nv. Entonces basta probar que:

〈Nu,xv〉 = 〈xu, Nv〉Para obtener esta igualdad derivamos 〈N,xu〉 = 0 y 〈N,xv〉 = 0 con respecto a v yu respectivamente. Luego, usese que xuv = xvu.

Omitiremos la prueba del siguiente resultado

Proposicion 6. Sea A : R2 → R2 una matriz autoadjunta. Entonces existeuna base ortonormal e1, e2 de R2 tal que Aei = kiei, i = 1, 2. Supondremosque k1 ≤ k2. Dichos valores son el maximo y el mınimo de la forma cuadraticaQ(v) = 〈Av, v〉.

Denotemos por k1(p) ≤ k2(p) los valores propios de la matriz autoadjunta−DNp.Dichos valores se llaman las curvaturas principales de S en p. Asociados a k1 y k2tenemos dos subespacios propios de TpS que se llaman las direcciones principales aS en p. Por el lema anterior, dichas direcciones deben ser ortogonales.

Ahora sı, podemos afirmar que la curvatura de una seccion normal es un numeroen el intervalo que determinan los valores absolutos de las curvaturas principalesy recıprocamente todo numero en dicho intervalo correponde a la curvatura de unaseccion normal.

2Es una matriz que es igual la matriz conjugada de su transpuesta.


Ejemplo 26. Sea S la superficie de revolucion obtenida al hacer girar la curvaz = y4 alrededor del eje z. La curva z = y4 tiene curvatura cero en el punto(0, 0, 0). Por construccion, para cualquier eleccion de orientacion N de S, tenemosque el vector N(0, 0, 0) esta contenido en el eje z. Por construcciıon, las seccionesnormales al cilindro en el origen son las distintas curvas que se obtienen de rotarz = y4. Dado que la curvatura de dicha curva en el origen es cero, se tiene que lacurvatura de cualquier seccion normal a S en (0, 0, 0) es cero. Entonces DN(0,0,0) esidenticamente cero.

Notese que como el polinomio caracterıstico de una matriz A de 2× 2 esta dadopor

t2 − tr(A)t+ det(A)

tenemos las siguientes relaciones entre las curvaturas Gaussiana, media y principales.

(51) K = k1k2 H = 12(k1 + k2) k2i − 2Hki +K = 0, i = 1, 2

ademas, como el discriminante del polinomio caracterıstico deDNp debe ser positivo,obtenemos:

(52) K ≤ H2, ∀p ∈ SLa igualdad sucede si y solo si las curvaturas principales coinciden.

Definicion 34. Una curva diferenciable regular γ : I → S se llama lınea decurvatura si y solo si γ′(t) esta contenido en una direccion principal para todo t ∈ I.

Teorema de Euler. Para determinar la curvatura normal de una curva γ : I → Sen un punto p = γ(t0) basta determinar las curvaturas principales de S en p. Enefecto, fijemos una orientacion N para S. Luego, todo vector unitario v ∈ TpSse escribe como v = e1cos(θ) + e2sen(θ) donde e1, e2 es una base ortogonal devectores propios de DNp. Luego

IIp(v) = −〈DNp(e1cos(θ) + e2sen(θ)), e1cos(θ) + e2sen(θ)〉

= 〈e1k1cos(θ) + e2k2sen(θ), e1cos(θ) + e2sen(θ)〉

= k1cos2(θ) + k2sen

2(θ)

La expresion IIp(v) = k1cos2(θ) +k2sen

2(θ) se conoce como el teorema o formula deEuler.

Definicion 35. Un punto p ∈ S de una superficie orientable se llama:

• Elıptico, si K(p) > 0.• Hiperbolico si K(p) < 0.• Parabolico si K(p) = 0 pero DNp 6= 0.• Plano si DNp = 0.


Notese que la definicion anterior no depende de la orientacion de S. En lospuntos elıpticos las curvaturas principales tienen el mismo signo. En los puntoshiperbolicos, las curvaturas principales tienen signos opuestos.

Indicatrices de Dupin. Las indicatrices de (Charles) Dupin justifican la nomen-clatura introducida en la definicion anterior (35).

Definicion 36. Sea p ∈ S. Llamamos indicatriz de Dupin al conjunto devectores v ∈ TpS tales que IIp(v) = ±1.

En este parrafo deduciremos las ecuaciones en coordenadas cartesianas de la in-dicatriz de Dupin utilizando el teorema de Euler. Sean v = (x, y) = ρ(cos(θ), sen(θ))coordenadas cartesianas y polares para TpS. Por la formula de Euler tenemos que

IIp(v) = ρ2(k1cos2(θ) + k2sen

2(θ))

= k1x2 + k2y

2

Es decir, las ecuaciones en las coordenadas cartesianas para la indicatriz de Dupinson

(53) k1x2 + k2y

2 = ±1

Observemos que:

• En un punto elıptico la indicatriz de Dupin es un par de elipses.

• En un punto hiperbolico la indicatriz de Dupin esta formada por un doshiperbolas que comparten direcciones asintoticas. Observese que toda curvaen S por p cuya tangente este contenida en una de las direcciones asintoticastiene curvatura normal cero.

• En un punto parabolico la indicatriz de Dupin esta formada por dos rectasparalelas. Observese que toda curva en S por p cuya tangente este contenidaen una recta paralela a la indicatriz de Dupin tiene curvatura normal cero.

Definicion 37. Sea p ∈ S. Una direccion asintotica de S en p es una direccionen TpS a lo largo de la cual la curvatura normal vale cero. Una curva sintoticaγ : I → S es una curva diferenciable para la cual γ′ siempre esta contenida en unadireccion asintotica.

Una interpretacion geometrica de la curvatura Gaussiana. Consideremosγ : I → S una curva diferenciable en S superficie orientable en la que hemos fijadouna orientacion N . Tomemos un punto p0 = γ(t0) y definamos la funcion:

f(t) = 〈γ(t)− γ(t0), N(p0)〉γ(t)


Esta funcion es diferenciable y satisface f(t0) = f ′(t0) = 0. La funcion s calculala proyeccion del vector γ(s) − γ(t0) sobre la recta que contiene al vector normalN(p0). Notemos que

(54) f ′′(t0) = 〈γ′′(t0), N(p)〉 = IIp(γ′(t0))

Ergo, si la segunda forma fundamental de S evaluada en el vector γ′(t0) es distintade cero entonces la funcion f tiene un valor extremo (maximo o mınimo ) en t = t0.Esto implica la traza de la curva γ intersecta al plano TpS solo en el punto p si nosrestringimos a una vecindad suficientemente pequena de t = t0. En otras palabras,la traza curva γ queda contenida en uno de los semiespacios determinados por elplano tangente TpS. Este analisis local nos permite concluir que:

• Si p ∈ S es un punto elıptico, entonces existe una vecindad de S centradaen p que se queda completamente contenida (al remover p) en uno de lossemiespacios determinados por el plano TpS.• Si p es un punto hiperbolico, entonces toda vecindad de S centrada en p se

intersecta a los dos subespacios que determina el plano tangente TpS.

De interes son entonces aquellos puntos en donde las curvaturas principales valen lomismo.

Definicion 38. Un punto p ∈ S se llama umbilical si en el se tiene que k1(p) =k2(p).

En los puntos umbilicales todas las secciones normales tienen la misma curvatura.Ademas, en todo punto umbilical la primera y segunda forma fundamental sonproporcionales y DNp es un multiplo de la identidad. Una superficie en la que todoslos puntos son umbilicales se llama superficie totalmente umbilical. Claramente,tanto el plano como al esfera son superficies umbilicales. El siguiente resultado nosdice que estas son las unicas superficies conexas cerradas (en R3) umbilicales.

Teorema 14 ((Clasificacion de superficies totalmente umbilicales)). Las unicassuperficies regulares totalmente umbilicales conexas son subconjuntos abiertos deesferas o planos.

Prueba. Primero probaremos el teorema localmente. Es decir, sea x(u, v) unaparametrizacion de S y V la imagen de v. Probaremos que V es un subconjuntoabierto conexo de una esfera o un plano. Fijemos entonces N una orientacion paraS. Como S es totalmente umbilica tenemos que, para todo p ∈ S y v ∈ TpS existeuna funcion diferenciable λ : V → R que satiface:

DNp(v) = λpv

Escribamos v = axu + bxv. Entonces

DNp(v) = Nua+Nvb = λ(p)(axu + xvb)


Haciendo a = 0 y luego b = 0 obtenemos que

(55) Nu = λ(p)xu Nv = λ(p)xv

Derivando en la ecuacion anterior la igualdad de la izquiera con respecto a v, luegola de la derecha con respecto a u y restando el resultado se llega a

λuxv − λvxu = 0

Como los vectores xu y xv forman una base de TpS necesariamente λu = λv = 0para todo p ∈ V . Ergo λ es una funcion constante. Consideremos dos casos:

• Caso λ = 0. En este caso de las ecuaciones anteriores se deduce que Nu =Nv = 0, entonces N = N0 en V . Esto implica que V es un subconjunto deun plano.• Caso λ 6= 0. La ecuacion (55)

(x− N

λ)u = (x− N

λ)v = 0

ergo (x − Nλ

)(u, v) = (u0, v0). De esto se deduce que V es un subconjunto

de la esfera de radio 1|λ| con centro en (u0, v0).

Para terminar la prueba tomemos un punto q ∈ S que no este en V . Como S es unasuperficie conexa podemos asegurar la existencia de una curva γ : [0, 1] → S quetenga un extremo en V y otro en q. Usando argumentos de compacidad, podemosasegurar la existencia de una cubierta finita Uini=1 por abiertos de S de la trazade esta curva. Supongamos que el abierto U0 cubre a la extremidad de la curvaque intersecta a V . Si este es un abierto del plano, entonces todos los abiertos dela cubierta que lo intersecten seran tambien abiertos del plano. Este argumentonos permite propagar la propiedad ser abierto del plano desde V hasta q. Como laeleccion de q fue arbitraria, entonces S es un subconjunto del plano. Analogamentese procede si U0 es un subconjunto de una esfera.

Las ecuaciones de Weingarten. A lo largo de esta seccion fijaremos p ∈ S, x(u, v) parametrizacion de S es una vecindad de p y N una orientacion para S.Supondremos ademas que la parametrizacion x es compatible con la orientacion, esdecir:

N(p) =xu ∧ xv|xu ∧ xv|

(p)

para todo p en la imagen de x. Las ecuaciones de (Julius) Weingarten permiten cal-cular la matriz DNp en terminos de los vectores N , xuu, xuv, xvv y los coeficientes dela primera forma fundamental de S en p. En los siguientes parrafos haremos partede dichos calculos explıcitamente.

Consideremos una curva α(t) = x(u(t), v(t)) con α(0) = p. El vector tangentea α en p esta dado por α′ = xuu

′ + xvv′ (omitimos la valuacion para simplificar


la notacion). Es decir, en la base xu,xv el vector α′ tiene coordenadas (u′, v′).Ahora calculemos en dicha base la matriz que representa a DNp. Denotemos porNu := DNpxu y Nv := DNpxv. Como estamos pensando que la diferencial DNp esun endomorfismo de TpS, entonces Nu, Nv ⊂ TpS y por tanto podemos escribirdichos vectores como

(56)Nu = a11xu + a21xvNv = a12xu + a22xv

Esto implica que la matriz que representa DNp en la base xu,xv es

(57) DNp

(u′

v′

)=

(a11 a12a21 a22

)(u′

v′

)Por otro lado tenemos que la segunda forma fundamental en coordenadas locales seescribe como:

(58)

IIp(α′) = −〈DNpα

′, α′〉 = 〈DNpxu +DNpxv,xuu′ + xvv

′〉

= 〈Nuu′ +Nvv

′,xuu′ + xvv

′〉

= e(u′)2 + 2fu′v′ + g(v′)2

donde, como 〈N,xu〉 = 〈N,xv〉 = 0, podemos deducir que:

〈Nu, Xv〉+ 〈N,Xvu〉 = 〈Nv, Xu〉+ 〈N,Xvu〉

de donde se tiene que 〈Nu, Xv〉 = 〈Nv, Xu〉 y entonces:

(59)

e = −〈Nu,xu〉 = 〈N,xuu〉,

f = −〈Nv,xu〉 = 〈N,xuv〉= 〈N,xvu〉 = −〈Nu,xv〉,

g = −〈Nv,xv〉 = 〈N,xvv〉

Usando la ecuacion (56) y las expresiones en coordenadas locales para los coeficientesde la primera forma fundamental obtenemos que:

(60) −(e ff g

)=

(a11 a21a12 a22

)(E FF G

).


Despejando para cada coeficiente de la matriz

(61)

a11 = fF−eGEG−F 2

a12 = gF−fGEG−F 2

a21 = eF−fEEG−F 2

a22 = fF−gEEG−F 2

Ejercicio 39. Muestre que (EG− F 2)(p) 6= 0 para todo p ∈ S.

Las ecuaciones anteriores se denominan ecuaciones de Weingarten. Estas ecua-ciones nos permiten deducir formulas explıcitas para las curvaturas principales, me-dia y Gaussiana:

(62) K =eg − f 2

EG− F 2

(63) H =1

2

eG− 2fF + gE

EG− F 2

(64) k = H ±√H2 −K

En particular, de esta ultima ecuacion deducimos que las curvaturas principales sonfunciones diferenciables en S excepto quizas en los puntos umbilicales de S, pues enestos puntos es donde H2 = K y la raız cuadrada no es diferenciable en cero.

Aplicaciones de las ecuaciones de Weingarten. En esta seccion veremos algu-nas de las aplicaciones que tienen las ecuaciones de Weingarten para el estudio deciertos tipos de superficies regulares.

Ejemplo 27. Como primera aplicacion de las ecuaciones de Weingarten de-scribiremos los puntos del toro que son elıpticos, parabolicos, planos o hiperbolicos.La funcion

x(u, v) = ((a+ r cos(u)) cos(v), (a+ r cos(u))sen(v), r sen(u))

con a > r, 0 < u < 2π y 0 < v < 2π parametriza un abierto del toro que resultade girar un cırculo de radio r alrededor de una recta (eje z) que se encuentra adistancia r del centro del cırculo. Los coeficientes de la primera forma fundamentalestan dados por E = r2, F = 0 y G = (a + r cos(u))2. Usando N = xu∧xv

|xu∧xv |(p) y


que e = 〈 xu∧xv|xu∧xv | , xuu〉 = det(xu,xv ,xuu)√

EG−F 2 , calculos directos muestran que e = r, f = 0 y

g = cos(u)(a+ r cos(u)). De la ecuacion (62) se deduce que

K =cosu

r(a+ r cos(u))

Usando esta ultima expresion los puntos del toro en la imagen de x quedan clasifi-cados de la siguiente manera:

• Los paralelos u = π2

y u = 3π2

estan formados por puntos parabolicos.

• La region delimitada por π2< u < 3π

2esta formada por puntos hiperbolicos.

• Las regiones delimitadas por 0 < u < π2

y 3π2< u < 2π esta formada por

puntos elıpticos.

Ejercicio 40. Compare la clasificacion de los puntos del toro obtenida en elejemplo anterior con la interpretacion geometrica de la curvatura Gaussiana hechaanteriormente. Determine el valor de la curvatura Gaussiana en los puntos del toroque no pertenecen a la imagen de la parametrizacion x dada en el ejemplo anterior.

Ejemplo 28. Este ejemplo tiene como proposito mostrar que en un punto planola superficie puede intersectar de maneras muy distintas a su plano tangente. Con-sideremos la superficie de revolucion S1 generada al girar la curva z = y4 alrededordel eje z y la superficie S2 dada por la grafica de la funcion f(x, y) = x3− 3y2x. Enambos casos el origen es un punto plano y en este punto el plano tangente es el planoz = 0. Sin embargo, S1 se queda contenida en uno de los semiespacios determinadospor el plano z = 0 y S2 intersecta a ambos subespacios.

Ejemplo 29. (Superficies de revolucion). Considere una curva simple (x(t), 0, z(t))parametrizada por longitud de arco donde t ∈ I = [0, 1] y x(t) > 0 para todo t ∈ I.Entonces la funcion:

(65) x(u, v) = (x(v) cos(u), x(v) sin(u), z(v)),

donde 0 < u < 2π, v en el interior del intervalo I, parametriza un abierto de lasuperficie de revolucion que resulta de girar la curva alrededor del eje z. Como lacurva esta parametrizada por longitud de arco, los coeficientes de la primera formafundamental son E = x2, F = 0 y G = 1. Calculos directos nos permiten concluir

que e = 〈 xu∧xv|xu∧xv | ,xuu〉 = det(xu,xv ,xuu)√

EG−F 2 = −xz′, f = 0 y g = z′x′′ − z′′x′. Como la

curva que genera a la superficie esta parametrizada por longitud de arco, al derivar(x′)2 + (z′)2 = 1 obtenemos que x′x′′ = −z′z′′. Usando esta relacion, podemossimplificar:

K =eg − f 2

EG− F 2=z′(z′x′′ − z′′x′)

x

y obtener que la curvatura Gaussiana de S esta dada por K = −x′′

x. Como habıamos

supuesto que x(v) > 0 para todo v ∈ I, se tiene que la naturaleza de los puntos de


S esta determinada por los valores de x′′(v).Calculemos ahora las curvaturas principales. Por la discusion anterior, en el caso deuna superficie de revolucion se tiene que F = f = 0, lo cual simplifica las expresionespara las curvaturas media y Gaussiana:

K =eg

EGH =

1

2

eG+ gE

EG

Luego, usando que K es el producto de las curvaturas principales y H su sumaconcluimos que las curvaturas principales estan dadas por e

Ey g

G. Empujando los

calculos un poco mas llegamos a la expresion para dichas curvaturas y la curvaturamedia en terminos de las funciones que parametrizan la curva que genera a S:

e

E= −z

′

x

g

G= z′x′′ − z′′x′

y

H =−z′ + x(z′x′′ − z′′x′)

2x

Ejemplo 30. Consideramos superficies regulares que estan dadas por graficasde funciones diferenciables. Considerar este tipo de ejemplos es importante pues,como hemos visto antes, toda superficie regular puede verse localmente como graficade una funcion diferenciable. Ası, sin perdida de generalidad supongamos que

(66) x(x, y) = (x, y, h(x, y))

es una parametrizacion para la superficie regular S, donde x, y pertenecen a unabierto U del plano xy. Luego:

xx = (1, 0, hx), xy = (0, 1, hy), xxx = (0, 0, hxx)

xxy = (0, 0, hxy) xxx = (0, 0, hyy)

Escogemos como orientacion:

N(x, y) =(−hx,−hy, 1)

(1 + h2x + h2y)12

Luego, calculos directos nos llevan a las siguientes expresiones para los coeficientesde la segunda forma fundamental:

e =hxx

(1 + h2x + h2y)12

f =hxy

(1 + h2x + h2y)12

g =hyy

(1 + h2x + h2y)12


Entonces, sustituyendo en ls formulas de Weingarten obtenidas con anterioridadencontramos las siguientes expresiones para las curvaturas Gaussiana y media:

K =hxxhyy − h2xy

(1 + h2x + h2y)12

2H =(1− h2x)hyy − 2hxhyhxy + (1 + h2y)hxx

(1 + h2x + h2y)32

Las formulas anteriores se pueden simplificar. En efecto, como vimos que una su-perficie regular se puede siempre escribir localmente como grafica de una funcion,podemos suponer, modulo un cambio de variables lineal, que (66) es parametrizaciony que ademas el punto alrededor del cual se hace el analisis es p = (0, 0, 0) =(0, 0, h(0, 0)). Esto implica que el espacio tangente a la superficie en p es el planoxy y por tanto hx(0, 0) = hy(0, 0) = 0. Ası, las ecuaciones anteriores implican quee(p) = hxx(0, 0), f(p) = hxy(0, 0) y g(p) = hyy(0, 0). Ergo, la matriz que representala segunda forma fundamental en p es la matriz hessiana de h.

Para terminar esta seccion veremos como se relacionan las ecuaciones de Wein-garten con el estudio de las direcciones asintoticas y principales.

Curvas asintoticas. Tomemos x = x(u, v) una parametrizacion para la superficieS en una vecindad de un punto p. Recordemos que una curva γ(t) = x(u(t), v(t)) esasintotica si y solo si IIγ(t)(γ

′(t)) = 0 para toda t ∈ I. Esta ecuacion es equivalentea la ecuacion (58)

(67) e(u′)2 + 2fu′v′ + g(v′)2 = 0

donde estamos pensando que e = e(u, v), f = f(u, v) y g = g(u, v). En otraspalabras, si (u(t), v(t)) es solucion para (67) con condiciones iniciales apropiadas, lacurva α = x(u(t), v(t)) es asintotica. A esta ecuacion se le conoce como la ecuaciondiferencial de curvas asintoticas.

Lema 5. Sea p ∈ S un punto hiperbolico (i.e. eg−f 2 < 0) y x(u, t) parametrizacionde una vecindad de p. Entonces las curvas coordenadas

(68) γ1(t) := x(t, t0) γ2(t) := x(t0, t), t ∈ (−ε, ε)

son asintoticas si y solo si e = g = 0.

Prueba. Si γ1(t) es asintotica entonces la curva (u(t), v(t)) = (t, t0) es soluciona la ecuacion diferencial de curvas asintoticas. Es facil observar que entonces e = 0.Analogamente concluimos que g = 0 si γ2(t) es asintotica. Conversamente, si e =g = 0, como estamos en un punto hiperbolico entonces f 6= 0 en una vecindad deu = v = 0. Claramente en este caso cualquier curva coordenada es solucion.


Lıneas de curvatura. Tomemos x = x(u, v) una parametrizacion para lasuperficie S en una vecindad de un punto p. Recordemos que una curva γ(t) =x(u(t), v(t)) es llamada lınea de curvatura si y solo si su tangente en cada puntoesta contenida en una direccion principal, es decir,

(69) dN(α′(t)) = λ(t)α′(t)

Usando las ecuaciones de Weingarten y el hecho que α′ en la base xu,xv se escribecomo (u′v′) la ecuacion anterior define el siguiente sistema de ecuaciones:

(70)fF − eGEG− F 2

u′ +gF − fGEG− F 2

v′ = λu′

(71)eF − fEEG− F 2

u′ +fF − gEEG− F 2

v′ = λv′

eliminando λ de este sistema obtenemos:

(72) (fE − eF )(u′)2 + (gE − eG)u′v′ + (gF − fG)(v′)2 = 0

misma que se reescribe de manera compacta como:

(73) det

(v′)2 −u′v′ (u′)2

E F Ge f g

= 0

Ejercicio 41. Sea p ∈ S un punto no umbılico y x(u, t) parametrizacion deuna vecindad de p. Entonces las curvas coordenadas

(74) γ1(t) := x(t, t0) γ2(t) := x(t0, t), t ∈ (−ε, ε)son lıneas de curvatura si y solo si F = f = 0.

CAPITULO 4

Geometrıa intrınseca de superficies.

1. Teorema Egregium.

En esta seccion probaremos el famoso Teorema Egregium de Gauss. Este teoremanos dice que la curvatura Gaussiana es invariante bajo isometrıas (locales) de lasuperficie en cuestion. En otras palabras, la curvatura Gaussiana es un invarianteintrınseco.

1.1. Isometrıas y mapeos conformes. La idea de esta seccion es intro-ducir la clase de transformaciones de una superficie que generalizan las transfor-maciones rıgidas. Recordemos entonces primero que una transformacion rıgida esuna isometrıa de Rn de la forma:

(75) T (x) = Ax+ b

donde A ∈ O(n), es decir, A es una matriz de n × n tal que AAt = Id, y b ∈ Rn

es un vector fijo (factor de translacion). Si det(A) = 1 decimos que T es unatransformacion rıgida directa y en el resto de los casos decimos que es transfor-macion rıgida inversa. No es difıcil ver que las transformaciones rıgidas forman ungrupo, llamado comunmente el grupo euclidiano y denotado por E(n) o ISO(n).

Luego dimR(E(n)) = n(n+1)2

. Las isometrıas directas e inversas forman subgruposISO+(n) < ISO(n) y ISO−(n) < ISO(n).

Ahora, tomemos una transformacion rıgida T : R3 → R3 de la forma (75) yuna superficie regular S. Es facil convencerse de que S ′ = T (S) tambien es unasuperficie regular y que la funcion

f = T|S : S → S ′

es un difeomorfismo. Notemos que:

(Df)pv = (DT|S)pv = (DT )pv = Av

para todo p ∈ S y v ∈ TpS. Como la matriz A es ortogonal, preserva el productoescalar en R3, es decir:

〈Av,Aw〉 = 〈v, w〉para cualquier par de vectores v, w en R3. Esto implica que la primera forma funda-mental de S en p y la primera forma fundamental de S ′ en T (p), coinciden. En otras

53

54 4. GEOMETRIA INTRINSECA DE SUPERFICIES.

palabras, la primera forma fundamental de una superficie regular es invariante bajotransformaciones rıgidas.

Ahora, si N : S → S2 denota una eleccion del mapeo de Gauss para S, la funcionN ′ = A N T−1 es el mapeo de Gauss para la orientacion en S ′ inducida por T .Como T es afın, tenemos que:

(76) (DN ′)T (p)A = A(DNp)

para todo p ∈ S. Denotemos entonces por IIp y II′p las segundas formas fundamen-tales en S y S ′ respectivamente. Observemos que si v, w son dos vectores en TpStenemos que:

(77)

II′T (p)(Av,Aw) = 〈(DN ′)T (p)Av,Aw〉

= 〈A(DNp)v, Aw〉

= 〈DNpv, w〉

= IIp(v, w)

En otras palabras, la segunda forma fundamental de una superficie regular es invari-ante bajo transformaciones rıgidas. En particularlas curvaturas media, Gaussianay principales son invariantes bajo transformaciones rıgidas. Mas precisamente:

(78)H ′ T = H

K ′ T = K

Definicion 39. Sea f : S → S ′ un difeomorfismo entre superficies regulares, Nuna orientacion para N y N ′ la orientacion inducida sobre S ′ por f . Decimos que:

(A) El difeomorfismo f preserva la primera forma fundamental si:

〈(Df)pv, (Df)pw〉f(p) = 〈v, w〉p

para todo p ∈ S, v, w ∈ TpS.

(B) El difeomorfismo f preserva la segunda forma fundamental si:

〈(DN ′)p(Df)pv, (Df)pw〉f(p) = 〈DNpv, w〉p

para todo p ∈ S, v, w ∈ TpS.

Definicion 40. Una isometrıa local es una funcion diferenciable f : S → S ′

que preserva la primera forma fundamental.

1. TEOREMA EGREGIUM. 55

En otras palabras, una isometrıa local es una funcion diferenciable para la cualse cumple la propiedad (A) en de la definicion 39. Observese que si f cumple lapropiedad (A) entonces:

(79) 〈(Df)pv, (Df)pv〉f(p) = 〈v, v〉pes decir, f preserva la forma cuadradica definida por la primera forma fundamental.Conversamente, supongamos que (79) se satisface. Entonces notese que escribimosIp(v) := 〈v, v〉p entonces:

(80)

2〈v, w〉 = Ip(v + w)− Ip(v)− Ip(w)

= If(p)(Dfp(v + w)) + If(p)(Dfp(v)) + If(p)(Dfp(w))

= 2〈Dfp(v), Dfp(w)〉es decir, f preserva la forma bilineal. La siguiente proposicion justifica la nomen-clatura isometrıa local.

Proposicion 7. Sea f : S → S ′ una funcion diferenciable. Entonces f es unaisometrıa local si y solo si f preserva la longitud de cualquier curva diferenciableγ : I → S.

Prueba. Supongamos que f es isometrıa local y probemos que preserva la lon-gitud de cualquier curva diferenciable γ : I → S. Es decir, si I = [a, b] debe sucederque

(81)

∫ b

a

|(f γ)′(t)|dt =

∫ b

a

|(γ)′(t)|dt

Por la regla de la cadena tenemos que |(f γ)′(t)| = |(Df)γ(t)γ′(t)| para todo t ∈ I.

Luego, como f es una isometrıa local tenemos que |(Df)γ(t)γ′(t)| = |γ′(t)| para todo

t ∈ I, lo que implica que la ecuacion (81). Ahora supongamos que f satisface laecuacion (81) para cualquier curva diferenciable γ : I → S. S.p.d.g. supongamosque [0, t] ⊂ [a, b] y llamemos v = γ′(0). Entonces, podemos derivar:∫ t

0

|(f γ)′(s)|ds =

∫ t

0

|(γ)′(s)|ds

con respecto a t y evaluar en t = 0. Por el teorema fundamental del calculo obten-emos que:

|(Df)γ(0)=pγ′(0)| = |(Df)γ(0)=pv| = |γ′(0)| = v.

Como la eleccion de v fue arbitraria obtenemos que f preserva el producto escalary por tanto la primera forma fundamental (el producto escalar). .

Observese que una isometrıa local es necesariamente un difeomorfismo local.


Definicion 41. Una isometrıa local f : S → S ′ que ademas es un difeomorfismoglobal se llama una isometrıa.

Observese que el conjunto de isometrıas de una variedad forman un grupo quedenotaremos Isom(S) o ISO(S).

Ejemplo 31. Consideremos dos parametrizaciones x : U → S y x′ : U → S ′

que deteminen los mismos coeficientes de la primera forma fundamental. Es decirE = E ′, F = F ′ y G = G′. Definamos f : x(U)→ S ′ como f = x′ x−1. Afirmamosque f es una isometrıa local. En efecto, tomemos una curva γ(t) = x(u(t), v(t)) convector tangente γ′(0) = v en γ(0) = p. Por ser composicion de difeomorfismos, fes un difeomorfismo local. Ademas, por definicion de la derivada de una funcion,tenemos que el vector Dfpv es el vector tangente a x′(γ(t)) en t = 0. Luego,

v = xuu′ + xvv

′

Dfp(v) = x′uu′ + x′vv

′

Como se tiene que E = E ′, F = F ′ y G = G′, obtenemos que Ip(v) = If(p)(Dfp(v)).Como la eleccion de v fue arbitraria concluimos que f es una isometrıa local.

Ejercicio 42. El ejercicio anterior nos proporciona un criterio util para sabercuando dos superficies son localmente isometricas. Consideremos entonces dos su-perficies y demostremos que son localmente isometricas. Primero, consideraremosla superficie de revolucion que genera la catenaria. Una parametrizacion para dichasuperficie es:

(82) x(u, v) = (a cosh v cosu, a cosh v sinu, av)

donde a > 0, 0 < u < 2π y v ∈ R. Por otro lado consideremos la parametrizaciondel helicoide:

(83) x′(u, v) = (a sinh v cosu, a sinh v sinu, av)

Basta entonces probar que E = E ′, F = F ′ y G = G′ lo cual se deja al lector.

Ejercicio 43. (En clase) Consideremos el plano P en R3 dado por la ecuacionz = 0 y sea C el cilindro dado por la ecuacion x2 + y2 = 1. Muestre que la funcionf(x, y, 0) = (cos(x), sen(x), y) es una isometrıa local.

La funcion f : P → C del ejercicio anterior no es un difemorfismo pues el planoy el cilindro no son espacios homeomorfos. Sin embargo, el ejercicio anterior implicaque exiten abiertos U y V del plano y del cilindro que son isometricos. Notese quela correspondiente isometrıa f : U → V no puede ser la restriccion de una trans-formacion rıgida de R3, pues dichas transformaciones envıan planos en planos. Elsiguiente teorema, que enunciaremos sin demostracion, da un criterio para saber


cuando una isometrıa local entre superficies regulares es la restriccion de una tran-formacion rıgida.

Teorema 15 (Teorema fundamental de la teorıa local de superficies). Sean S yS ′ dos superficies regulares con orientaciones N y N ′. Si f : S → S ′ es una isometrıalocal que preserva la segunda forma fundamental, entonces existe una transformacionrıgida T ∈ ISO(3) tal que T|S = f .

Ejercicio 44. Demuestra que una isometrıa local entre dos planos siempre esrestriccion de un elemento de ISO(3). Demuestra lo mismo para una isometrıa localentre dos esferas del mismo radio. Prueba que la isometrıa del ejercicio (43) no esrestriccion de un elemento en ISO(3) (da una prueba usando el teorema anterior).

Mapeos conformes. Para terminar esta seccion presentaremos una clase demapeos fundamentales para la geometrıa diferencial, los llamados mapeos conformes.A las isometrıas locales les pedimos preservar la longitud de curvas, a los mapeosconformes les pediremos preservar los angulos.

Definicion 42. Una funcion diferenciable f : S → S ′ se dice conforme en p siexiste una vecindad U de p tal que:

(84) 〈Dfqv,Dfqw〉 = λ2(q)〈v, w〉, ∀q ∈ Udonde λ2 es una funcion diferenciable nunca nula.

Una funcion que es conforme en cada uno de los puntos de su dominio se llamaun mapeo conforme. Dos superficies S y S ′ se dicen localmente conformes si paracada par de puntos p ∈ S y q ∈ S ′ existen vecindades p ∈ U y q ∈ V y un mapeoconforme f : U → V .

Ejercicio 45 (En clase). Sea f : S → S ′ un mapeo conforme en p. Considere-mos dos curvas diferenciables γi : I → S tales que γi(0) = p, i = 1, 2. Definimos elangulo de interseccion de ambas curvas en p como:

(85) cos(θ) =〈γ′1(0), γ′2(0)〉|γ′1(0)||γ′2(0)|

Pruebe que el angulo de interseccion de las curvas δi := f γ en t = 0 es el mismoque el angulo de interseccion de las curvas γ1 en t = 0, i = 1, 2.

Ejercicio 46. Sean x : U → S y x′ : U → S ′ dos parametrizaciones. Supong-amos que existe una funcion diferenciable nunca nula λ2 : U → R tal que E = λ2E ′,F = λ2F ′ y G = λ2EG. Demuestre que entonces la funcion f := x′x−1 : x(U)→ S ′

es un mapeo conforme en todo punto.

En siguiente teorema, cuya demostracion omitimos, es un hecho fundamental delas superficies regulares:


Teorema 16. Sean S y S ′ superficies regulares. Entonces S y S ′ son localmenteconformes.

1.2. Sımbolos de Christoffel. En esta seccion probaremos el Teorema Egregiumde Gauss:

Teorema 17 (Egregium, Gauss). La curvatura Gaussiana es invariante bajoisometrıas locales.

En otras palabras, si tenemos dos superficies regulares S, S ′ con orientaciones Ny N ′ y f : S → S ′ es una isometrıa local entonces K ′(f(p)) = K(p) para todo p ∈ S.

La idea de la prueba de este teorema es sencilla: basta expresar la curvatura Gaus-siana de S como una funcion en las variables E, F y G, coeficientes de la primeraforma fundamental y sus derivadas de orden superior. Luego, como toda isometrıalocal preserva dichas variables, la curvatura Gaussiana es invariante.

De ahora en adelante entonces fijaremos la supercie S, N una orientacion y x :U → S una parametrizacion. Recordemos entonces que para todo p ∈ x(S) elconjunto xu(p),xv(p), N(p) forma una base ortonormal para TpR

3. Como hemosvisto en este capıtulo, la curvatura Gaussiana K de S es una funcion de las variablesE,F,G y e, f, g coeficientes de la primera y segunda forma fundamentales respecti-vamente. Los coeficientes e, f y g a su vez son funcion de las variables las derivadashasta segundo orden de la parametrizacion x, Nu y Nv. Ahora bien, todas estasvariables, cuando se evaluan en un punto p, son vectores en TpR

3, ergo las podemosescribir como combinaciones lineales de elementos de la base xu(p),xv(p), N(p).Mas precisamente (omitimos la valuacion por simplicidad):

(86)

xuu = Γ111xu + Γ2

11xv + L1N

xuv = Γ112xu + Γ2

12xv + L2N

xvu = Γ121xu + Γ2

21xv + L2N

xvv = Γ122xu + Γ2

22xv + L3N

Nu = a11xu + a21xv

Nv = a12xu + a22xv

Por el momento de las ecuaciones precedentes solo hemos determinado los valoresde aij, i, j = 1, 2. Si realizamos el producto interno la primera de las ecuacionesanteriores con el vector N obtenemos:

e = 〈N, xuu〉 = 〈L1N,N〉 = L1


Es decir, L1 = e. Analogamente, si realizamos el producto interno de la segunda,tercera y cuarta de las ecuaciones en (86) con N obtenemos L2 = L2 = f y L3 = g.Quedan por determinar entonces los coeficientes Γkij, con i, j, k = 1, 2. A dichoscoeficientes se les conoce como los sımbolos de Christoffel. No determinaremos com-plementa dichos valores, pero encontraremos ecuaciones que nos permitan calcularlosen casos particulares.

Primero notemos que, como xuv = xvu, tenemos que Γ112 = Γ1

21 y Γ212 = Γ2

21.Ahora, hagamos el producto interno de las primeras cuatro ecuaciones en (86)primero con xu y luego con xv. El resultado son 8 ecuaciones que agrupamos enpares de la siguiente manera:

(87)Γ111E + Γ2

11F = 〈xuu,xu〉 = 12Eu,

Γ111F + Γ2

11G = 〈xuu,xv〉 = Fu − 12Ev,

(88)Γ112E + Γ2

12F = 〈xuv,xu〉 = 12Ev,

Γ112F + Γ2

12G = 〈xuv,xv〉 = 12Gu,

(89)Γ122E + Γ2

22F = 〈xvv,xu〉 = Fv − 12Gu,

Γ122F + Γ2

22G = 〈xvv,xv〉 = 12Gv

Observese que cada uno de los sistemas de ecuaciones anteriores es lineal y puederesolverse para los correspondientes sımbolos de Christoffel pues EG− F 2 6= 0. Esdecir:

Los simbolos de Christoffel se pueden expresar como funcion de las variablesE,F,G y sus derivadas de primer orden. Ergo, todo invariante de S que sepueda expresar en terminos de los sımbolos de Christoffel es invariante bajo

isometrıas locales.

Prueba, teorema Egregium. Dado que las funciones x y N son diferenciables,tenemos las ecuaciones:

(90)

(xuu)v = (xuu)v

(xvv)u = (xvu)v

Nuv = Nvu


Si sustituimos los valores que tenemos en las ecuaciones (86) en la ecuacion anteriorobtenemos un sistema de la forma:

(91)

A1xu +B1xv + C1N = 0



donde los coeficientes Ai, Bi y Ci, i =, 1, 2, 3 son funciones de los coeficientes de lasformas fundamentales y sus respectivas derivadas. Como los vectores xu, xv y N sonlinealmente independientes, tenemos que Ai = Bi = Ci = 0, i =, 1, 2, 3. Calculemosahora las ecuaciones correspondientes a A1 = B1 = C1 = 0. Esto conlleva a sustituirlos valores de (86) en la primera de las ecuaciones en (91), obteniendo ası:

(92)Γ111xuv + Γ2

11xvv + eNv + (Γ111)vxu + (Γ2

11)vxv + evN

= Γ212xuu + Γ2

12xvu + fNu + (Γ112)uxu + (Γ2

12)uxv + fuN

Volvemos a sustituir los valores para las derivadas parciales de x de la ecuacion (86)en la ecuacion anterior. Esto nos produce una expresion larga, pero si nos fijamosen los coeficientes que carga xv obtenemos:

(93)Γ111Γ

212 + Γ2

11Γ222 + ea22 + (Γ2

11)v

= Γ112Γ

211 + Γ2

12Γ212 + fa21 + (Γ2

12)u

Ahora, sustituimos los valores de a22 y a21 que calculamos en las secciones anteriorespara obtener finalmente:

(94)(Γ2

12)u − (Γ211)v + Γ1

12Γ211 + Γ2

12Γ212 − Γ2

11Γ222 − Γ1

11Γ212 = −E eg−f2

EG−F 2

= −EK.Es decir, podemos expresar la curvatura Gaussiana de S como funcion de los sımbolosde Christoffel y el coeficiente E, todos invariantes bajo isometrıas.

Corolario 6. Ningun abierto de la esfera puede ser isometrico a un abierto delplano.

Bibliography

[dC76] Manfredo P. do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall Inc.,Englewood Cliffs, N.J., 1976. Translated from the Portuguese.

[Bot58] R. and Milnor Bott J., On the parallelizability of the spheres, Bull. Amer. Math. Soc. 64(1958), 87–89.

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