Factorización

Factor Factor comúncomún

Trinomio de Trinomio de cuadrado cuadrado perfectoperfecto

Trinomio de Trinomio de la forma: la forma: ax2+bx+cax2+bx+c

Trinomio de Trinomio de la forma: la forma: x2+bx+cx2+bx+c

Diferencia Diferencia de de

cuadradoscuadrados

FACTOR COMÚN MONOMIOFACTOR COMÚN MONOMIOab + ac + ad = a ( b + c + d )

Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un monomio.

Procedimiento para factorizar

1) Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el primer factor.

2) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor.

1) Factorizar a9 + 7aM.C.D. (1, 5) = 1Variable común con su menor exponente: aFactor común monomio: a

a9 + 7a

Luego se divide --------- = a8 + 7

a

Entonces: a9 + 7a = a(a8 + 7)

principal

2): Factorizar 4a10 + 8a3

M.C.D. (4, 8) = 4Variable común con su menor exponente: a3

Factor común monomio: 4a3

4a10 + 8a3

Luego se divide ------------ = a7 + 2

4a3

Entonces: 4a10 + 8a3 = 4a3(a7 + 2)

principal

FACTOR COMÚN POLINOMIOFACTOR COMÚN POLINOMIOc(a + b) + d(a + b) + e(a + b) = (a + b)( c + d + e )

Cuando el factor común que aparece es un polinomio.Procedimiento para factorizar

1) Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el primer factor.

2) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor.

1): Factorizar (2a - 3)(y + 1) - y - 1Arreglando = (2a - 3)(y + 1) - (y + 1)Factor común con su menor exponente: (y + 1)

(2a - 3)(y + 1) - (y + 1)

Luego se divide ----------------------------- = (2a - 3) - 1 = 2a - 3 - 1 = 2a - 4

(y + 1)

Entonces: (2a - 3)(y + 1) - y - 1 = (y + 1)(2a - 4)

3): Factorizar (a + 1)2(y + 1) - (a + 1)(y + 1)2

Factor común con su menor exponente: (a + 1)(y + 1)

(a + 1)2(y + 1) - (a + 1)(y + 1)2

Luego se divide --------------------------------------- = (a + 1) - (y + 1) = (a + 1 - y - 1) = (a - y)

(a + 1)(y + 1)

Entonces: (a + 1)2(y + 1) - (a + 1)(y + 1)2 = (a + 1)(y + 1)(a - y)

principal

FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOSDE TÉRMINOS

ax + bx + ay + by = (a + b )( x + y )

Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un polinomio.

Procedimiento para factorizar1. Se trata de agrupar con la finalidad de obtener en primer lugar un factor común monomio y como consecuencia un factor común polinomio.

2. Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor.

2): Factorizar 2x2 - 4xy + 4x - 8yAgrupamos ( 2x2 - 4xy ) + ( 4x - 8y )Factor común en cada binomio: 2x(x - 2y) + 4(x - 2y)Factor común polinomio: (x - 2y)

2x(x - 2y) + 4(x - 2y)

Luego se divide -------------------------- = 2x + 4

(x - 2y)

Entonces: 2x2 - 4xy + 4x - 8y = (x - 2y)(2x + 4)

3): Factorizar 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n Agrupamos ( 2m+n + 2m8m ) + ( 8m+n + 2n8n )Factor común en cada binomio: 2m( 2n + 8m ) + 8n( 8m + 2n )Factor común polinomio: ( 2n + 8m )

2m( 2n + 8m ) + 8n( 8m + 2n )

Luego se divide ------------------------------------ = 2m + 8n

( 2n + 8m )

Entonces: 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n = ( 2n + 8m )(2m + 8n)

principal

DIFERENCIA DE CUADRADOSDIFERENCIA DE CUADRADOS

En una diferencia de dos cuadrados perfectos.


1) Se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos.

2)Se forma un producto de la suma de las raíces multiplicada por la diferencia de ellas.

1) Factorizar 25x2 - 1La raíz cuadrada de : 25x2 es 5xLa raíz cuadrada de : 1 es 1

Luego 25x2 - 1 = (5x + 1)(5x - 1)

2) Factorizar 16x2 - 36y4

La raíz cuadrada de : 16x2 es 4xLa raíz cuadrada de : 36y4 es 6y2

Luego 16x2 - 36y4 = (4x + 6y2)(4x - 6y2)

3) Factorizar 121a2b4c8 - 144d10e14

La raíz cuadrada de : 121a2b4c8 es 11ab2c4

La raíz cuadrada de : 144d10e14 es 12d5e7

Luego 121a2b4c8 - 144d10e14 = (11ab2c4 + 12d5e7)(11ab2c4 - 12d5e7)

principal

TRINOMIO DE CUADRADO TRINOMIO DE CUADRADO PERFECTOPERFECTO

a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

a b

En un trinomio cuadrado perfecto.Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.

1) Un trinomio ordenado con relación a una letra

2) Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos

3) El segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.


1) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b.

2) Se forma un producto de dos factores binomios con la suma de estas raíces; entonces (a + b)(a + b).

3) Este producto es la expresión factorizada (a + b)2.

Si el ejercicio fuera así:

a2 - 2ab + b2 = (a - b) 2

a bProcedimiento para factorizar1) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b.

2) Se forma un producto de dos factores binomios con la diferencia de estas raíces; entonces

(a - b)(a - b).

3) Este producto es la expresión factorizada (a - b)2

Ejemplo 1: Factorizar x2 + 10x + 25La raíz cuadrada de : x2 es xLa raíz cuadrada de : 25 es 5El doble producto de las raíces: 2(x)(5) es 10x

Luego x2 + 10x + 25 = (x + 5)2

Ejemplo 2: Factorizar 49y2 + 14y + 1La raíz cuadrada de : 49y2 es 7yLa raíz cuadrada de : 1 es 1El doble producto de las raíces: 2(7y)(1) es 14y

Luego 49y2 + 14y + 1 = (7y + 1)2

Ejemplo 3: Factorizar 81z2 - 180z + 100La raíz cuadrada de : 81z2 es 9zLa raíz cúbica de : 100 es 10El doble producto de las raíces: 2(9z)(10) es 180z

Luego 81z2 - 180z + 100 = (9z - 10)2

principal

TRINOMIO DE LA FORMA: x2+bx+cTRINOMIO DE LA FORMA: x2+bx+c

x2 + bx + c = (x + d)(x + e) Procedimiento para factorizar

x x

d e

= =

dx ex

1) Se extrae la raíz cuadrada del 1er. término; aquí, x. 2) Dos números d, e, tales que multiplicados den "c".

bx 3) Sumados resulten "b" (d + e = b).

Regla para conocer si es un trinomio de la forma x2 + bx + c.

1. El coeficiente del primer término es 1.2. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

3. El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1° y 2° términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

Ejemplo 1: Factorizar

Luego x2 + 6x + 8 = (x + 4)(x + 2)

Ejemplo 2: Factorizar y2 - 13y + 40 = (y - 8)(y - 5)

y y

- 8 - 5

= =

- 8y - 5y

-13y

Luego y2 - 13y + 40 = (y - 8)(y - 5)

Ejemplo 5:Factorizar z2 - z - 272 = (z - 17)(z + 16) Descomponer 272 en sus factores primos

z z

- 17 + 16

= =

- 17z + 16z

- z

principal

TRINOMIO DE LA FORMA: ax2+bx+cTRINOMIO DE LA FORMA: ax2+bx+c

Procedimiento para factorizar1) Se traza un aspa entre los términos, ax2 y c.

2) Se descompone en los extremos del aspa los coeficientes a y c.

3)Se comprueba el término que falta con el producto es aspa, "b" (dg + ef = b).


Luego 6x2 + 13x + 6 =(3x + 2)(2x + 3)


Luego 20x2 - 2x - 6 =(4x + 2)(5x - 3)


Luego 10x2 - 11x + 3 = (5x - 3)(2x - 1)

Ejemplo 4:Factorizar

Luego 24x2 - 26x - 5 = (6x - 1)(4x + 5) principal

Factorización

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