7/30/2019 Factorizaci nLU

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FACTORIZACION LU

1 Eliminacion Gaussianna

Eliminacion Gaussiana. Es el metodo mas conocido para resolver sistemas de ecuaciones lineales

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2

......

......

...an1x1 + an2x2 + + annxn = bn

Ax = b .

Este metodo esta dividido en dos partes.

Primera parte. Se transforma el sistema de ecuaciones lineales Ax = b en un sistema triangularsuperior

u11x1 + u12x2 + + u1nxn = c10 + u22x2 + + u2nxn = c2...

......

......

0 + 0 + + unnxn = cn

U x = c .

equivalente al inicial (en el sentido que las soluciones de ambos sistemas son las mismas) mediantetransformaciones lineales sucesivas en las filas de A.

De manera mas precisa, este proceso es dividido en n 1 pasos: k = 1, 2, . . . , n 1. Sea A(0) = A.

En el paso k, se resta a cada una de las ecuaciones i = k + 1, k + 2, . . . , n un multiplo apropiado (por

m(k)i

= a(k1)ik

/a(k1)kk

) de la ecuacion k con el fin de eliminar la variable xk de las ecuacion i.

Luego de este paso, tendremos un sistema equivalente al original:

A(k)x = b(k) ,

donde,

A(k) =

a11 a12 a1k a1k+1 a1n

0 a(1)22 a

(1)2k a

(1)2k+1 a

(1)2n

......

. . ....

.... . .

...

0 0 a(k1)kk

a(k1)kk+1 a

(k1)kn

0 0 0 a(k)k+1k+1 a

(k)k+1n

......

. . ....

.... . .

...

0 0 0 a(k)nk+1 a

(k)nn

y b(k) =

b1

b(1)2..

.b(k1)k

b(k)k+1...

b(k)n

De este modo,obtenemos una secuencia de matrices A(1), . . . , A(n1) = U Knn y una secuencia devectores b(1), . . . , b(n1) = c Kn tales que el sistema original

Ax = b

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es equivalente al ultimo sistema (y tambien a los intermedios)

U x = A(n1)x = b(n1) = c ,

el cual es un sistema triangular superior.

Segunda parte. Se resuelve el sistema triangular superior U x = c calculando sucesivamente los

valores xn, xn1, . . . , x1 usando las ecuaciones de este sistema, desde la ultima (fila n) hasta la primera(fila 1).

Para que el metodo de eliminacion Gaussiana funcione es necesario y suficiente que los numeros

a(0)11 , a

(1)22 , . . . , a

(n1)nn

sean no nulos.

2 Descomposicion LU

Veremos en esta seccion que la primera parte del metodo de eliminacion gaussiana nos permite expresarla matriz A como producto de dos matrices triangulares.

Matriz triangular inferior normalizada. Es una matriz triangular inferior con todas las entradasde su diagonal principal iguales a 1.

Descomposicion LU. Una descomposicion LU de una matriz cuadrada A Knn es una factori-zacion de A,

A = LU ,

como producto de una matriz triangular inferior normalizada L y una matriz triangular superior U.

Matriz triangular inferior elemental. Es una matriz cuadrada cuyas entradas coinciden con lasde la matriz identidad, salvo tal vez aquellas que estan en una determinada columna y bajo la diagonal

principal. Es decir, de la forma

1 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0...

.... . .

......

......

......

0 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 00 0 0 xi+1 1 0 0... 0

......

......

. . ....

...0 0 0 xn1 0 1 00 0 0 xn 0 0 1

Note que si 1 i n y x = (0, . . . , 0, xi+1, . . . , xn)T Kn, entonces esta matriz esta dada por

Li(x) := I xeT

i .

Propiedades.

1. det Li(x) = 1.

2. Li(x) es invertible y Li(x)1 = Li(x).

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3. Si l1, . . . , ln son los vectores fila del producto Li(x)A y f1, . . . , f n son los vectores fila de A,entonces

lk =

fk , si k = 1, . . . , i ;

fk xkfi , si k = i + 1, . . . , n .

4. Si l1, . . . , ln son los vectores columna del producto ALi(x) y c1, . . . , cn son los vectores columna

de A, entonces

lk =

ck , si k = i ;

ci xi+1ci+1 xncn , si k = i .

Por la propiedad 3, la primera parte del metodo de eliminacion gaussiana puede interpretarse comomultiplicar sucesivamente por la izquierda a la matriz A por matrices triangulares inferiores elementalesLk = Lk

m(k)

, k = 1, . . . , n 1, hasta conseguir una matriz triangular superior U. Es decir,

Ln1Ln2 . . . L2L1A = U .

Luego, por la propiedad 2,

A = L1m(1)

L2m(2)

. . . Ln1

m(n1)

U

=

I+ m(1)eT1

I+ m(2)eT2

. . .

I+ m(n1)eTn+1

U

=

I+ m(1)eT1 + m(2)eT2 + + m

(n1)eTn1

U

= LU

Teorema 1. Sean A una matriz de orden n n y, para cada k = 1, . . . , n, Ak la submatriz de Agenerada por sus primeras k filas y sus primeras k columnas. Si det(Ak) = 0 para k = 1, . . . , n,entonces A posee una factorizacion LU.

Prueba. Por lo visto anteriormente, basta probar que los numeros a(0)11 , a(1)22 , . . . , a

(n1)nn son no nulos.

Procedamos por induccion. Para k = 1,

0 = det(A1) = a11 = a(0)11 .

Supongamos ahora que los numeros a(0)11 , a

(1)22 , . . . , a

(k1)kk

son no nulos. En ese caso, podemos efectuarlos pasos del 1 al k de la eliminacion Gaussiana y obtener la matriz A(k) (ver ecuacion (??)). Peroentonces

0 = det(Ak+1) = det(A(k)k+1) = a

(0)11 . . . a

(k1)kk

a(k)k+1k+1 ,

y luego a(k)k+1k+1 = 0. Esto completa nuestra induccion.

Teorema 2. Si la matriz invertible A posee una factorizacion LU, entonces esta es unica.

Prueba. Supongamos queA = L1U1 y A = L2U2

son dos descoposiciones LU de A. Las matrices L1 y L2 son invertibles. Ademas, como A es invertible,las matrices U1 y U2 tambien lo son y entonces

B = L12 L1 = U2U11 .

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Note ahora que, por un lado, B es el producto de dos matrices triangulares inferiores normalizadas,y entonces B tambien sera de este tipo; por otro lado, B tambien es el producto de dos matricestriangulares superiores, y luego B tambien es de este tipo. Con esto concluimos que B es la matrizidentidad, y que las dos factorizaciones LU iniciales son en realidad la misma.

Observaciones.

1. Una forma numericamente razonable de encontrar el determinante de una matriz A es primeroefectuar su factorizacion LU, y luego usar el calculo

det(A) = det(L)det(U) = u11u22 . . . unn .

2. Si se tiene una descomposicion LU de A, el sistema de ecuaciones lineales

LU x = Ax = b

puede ser resuelto en dos pasos. Primero resolvemos el sistema Ly = b y luego el sistema Ux = y.

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