7/23/2019 f2 s05 Guias Estudio Ondas Mecánicas

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DOCENTE

MOVIMIENTO OSCILATORIO

Si en una determinada región de pequeñas

dimensiones de un medio elástico como el agua, aire o

una barra metálica se provoca una deformación

momentánea que denominaremos perturbación, seobserva que debido a la elasticidad del material, la

perturbación no queda localizada en dicha región sino

que se propaga en todo el volumen del medio material

y aun es capaz de reflejarse en las superficies que

limitan a dicho medio.

Figura 1. Ondas en la superficie del agua

Las formaciones circulares de radio creciente en la

superficie del agua como consecuencia de una

deformación inicial en un punto que sirve de centro a

las circunferencias concéntricas o la propagación de un

pulso (deformación instantánea) a lo largo de unacuerda tensa, revelan que en este tipo de movimiento

denominado onda se cumple que:

1.  Las moléculas del medio oscilan en torno a su

posición de equilibrio.

2. 

No hay transporte de masa a lo largo del medio

material.

3. 

Lo que se trasmite o se transfiere es el

movimiento oscilatorio a puntos distantes respecto

de su localización inicial.

En consecuencia:

- Una onda es esencialmente la propagación de una

perturbación o la transferencia de la condición

dinámica.

- Toda onda es portadora de alguna forma de energía

El sonido constituye una onda longitudinal iniciado por

la vibración de un cuerpo dentro del aire u otro medio,

dicha vibración es trasmitida gracias a las propiedades

elásticas del medio. Sin embargo cierto tipo de ondas

también se trasmiten en ausencia de medio material,

en este caso la perturbación ocurre en los campos

eléctrico y magnético de los átomos o cargas eléctricas,

dando lugar a las ondas electromagnéticas tales comola luz, rayos gamma, rayos X, microondas etc.

1. VELOCIDAD DE PROPAGACION DE UNA ONDA

TRANSVERSAL

Consideremos una cuerda de diámetro uniforme con

una densidad de masa constante µ = masa/longitud,

sujeta en el extremo derecho en un punto fijo y

sostenida horizontalmente por una fuerza de tracción F

como se ve en la Figura (2a). Si en el extremo izquierdo

se genera un pulso (deformación de corta duración)

transversal se observará que dicho pulso viaja hacia la

derecha (Figura 2b) y luego hacia la izquierda después

de reflejarse en su extremo derecho; Figura (2c)

Figura 2 (a) cuerda tensa (b) pulso viajando (c) pulso

reflejado

Consideremos como en la Figura 3 una porción de

cuerda de masa m y longitud 2s, cuya forma es la de

un arco de circunferencia de radio r  y subtiende un

ángulo 2 en el centro de la circunferencia. La porción

de cuerda está sujeta a la tensión F por ambosextremos. Vemos en la Figura 3 que dichas fuerzas de

tensión F son tangentes a la circunferencia y dan una

resultante Fc dirigida hacia su centro.

a) F

 b) F

c) F

I c

c

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DOCENTE

Figura 3. Fuerzas sobre el fragmento de cuerda

vibrante

Esta fuerza es la fuerza recuperadora del medio

elástico que es la cuerda y puede considerase como

una fuerza centrípeta para un observador que viaja

 junto con el pulso, para tal observador la porción de

cuerda en estudio está realizando un movimiento

circular con una velocidad tangencial igual a lavelocidad de propagación del pulso (v = c). Luego la

ecuación de la fuerza centrípeta es:

Fc = mr 

c2

  (1)

donde Fc  = 2Fsen  y m = (2s) = (2r) que

sustituidos en la ecuación anterior y utilizando la

aproximación sen   da como resultado: F = c2  de

donde la velocidad de propagación de las ondas

transversales en una cuerda está dada por:

c = 

 F   (2)

2. VELOCIDAD DE PROPAGACION DE UNA

ONDA LONGITUDINAL

Consideremos ahora las perturbaciones en el seno de

un líquido o un gas debido a las variaciones de presión.

En este caso se encuentra que la dirección de vibración

de las moléculas del medio coincide con la dirección de

propagación de la perturbación. Tomemos para el caso

un cilindro abierto de gran longitud lleno de gas aire. Si

mediante un pistón de superficie S  realizamos una

rápida compresión incrementando localmente la

presión en dp; obsérvese la Figura (4) en el intervalo de

tiempo  el pistón avanza la distancia v comunicando

a las moléculas la velocidad v mientras que en el

mismo intervalo la perturbación avanzó la distancia c.

El impulso trasmitido por el pistón incrementa la

cantidad de movimiento de las moléculas. Si tal

incremento es mv, podemos escribir:

F. = mv (3)

siendo F = (dp)S la fuerza neta que actúa sobre el

volumen gaseoso. Desde que el módulo de

compresibilidad de una sustancia está dada por B =

Vodp/dV; se obtiene dp = (B.dV/Vo) y luego F =

(B.dV/Vo)S

De la Figura (4) se tiene que dV = S(v) y Vo  = S(c)

reemplazando estos valores

F = B (v/c)S

Figura 4 (a) Aire en reposo (b) La perturbación viaja a

la velocidad c mientras el pistón a la velocidad v

Si la densidad del medio es , la masa del volumen de

sustancia perturbada es:

m = Vo = .S.(c)

Sustituyendo este valor y el de la fuerza en la ecuación

(3) se obtiene la velocidad c para las ondas

longitudinales en un medio de compresibilidad B y

densidad .

  

 Bc     (4)

El mismo razonamiento se puede aplicar para

determinar la velocidad de las ondas en el interior de

2s

   

  

Fc

r

FF

F

Vo 

dV

vτ 

cτ 

aire

(a)

(b)

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DOCENTE

una barra metálica, puesto que la tracción o

compresión en el interior de la barra da lugar a una

perturbación longitudinal. El resultado es

  

Y c     (5)

donde Y es el módulo de Young del material donde se

propaga la onda.

En el seno de un líquido o en un gas sólo es posible

generar ondas longitudinales porque es imposible

producir en las capas de un fluido esfuerzos cortantes

que darían lugar a las ondas transversales, como

ocurre en los sólidos, en los que se puede generar y

transmitir ondas longitudinales, transversales,

torsionales, etc.

3. ECUACION DE ONDA 

Un tren de pulsos positivos y negativos generado de

modo continúo y viajando sin retorno forman las

ondas viajeras, su forma es similar a la que se muestra

en la Figura (5) visto en un instante dado en el plano

XY.

Figura 5. Onda viajera

La ecuación de ésta curva es una función armónica

senoidal y = f(x) dada por:

y = A sen kx (6)

donde A es la amplitud de la onda que no es sino laamplitud de las vibraciones de las moléculas del medio

y kx es la fase:

  = kx (7)

donde la constante k se denomina número de ondas y

se mide en inverso de metros: [k] = 1/m , [] = radian.

Como la función senoidal es una función periódica,

existe un período espacial denominado longitud de

onda y se representa con la letra griega lambda ( ). La

longitud de onda es la distancia que avanza la onda en

el tiempo de una oscilación completa (periodo T) de

una partícula del medio.

 = cT

Esto es, la longitud de onda es la mínima distancia

entre dos puntos con igual fase (puntos de abscisas x1 

y x2 en la Figura 5.

De la Ecuación (7) vemos que la diferencia de fase

entre dichos puntos es:  = k(x2  – x1)

Pero los puntos de igual fase son tales que  = 2; así

resulta:

2 = k. 

 

 2k    (8)

El vector cuyo módulo es el número de ondas se

denomina vector de propagación k, e indica la

dirección de propagación de la onda. Ahora bien,

supóngase que la onda de la Figura 5 se traslada hacia

la derecha una distancia h

Figura 6. Avance de la onda en el tiempo t

la ecuación que corresponde a esta nueva situación es:

y = A sen k(x –  h)

Esto es equivalente a una traslación del origen de

coordenadas hacia la izquierda una distancia h (Figura6); por consiguiente la ecuación dinámica de una onda

trasladándose hacia la derecha estará dada haciendo

h = ct donde c es la velocidad de la onda

y = A sen k(x – ct) (9)

 

x1x2

0

yc

 

x h

x

y

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DOCENTE

Esta ecuación denominada función de onda  es la

representación matemática de la onda.

La función de onda puede expresarse en otras formas

observando que:

c =T 

 

 

 2 =

T 

 2 =  

y = A sen(kx – t + φ)  (10)

donde φ es una constante denominada constante de

fase cuyo valor está relacionado con los valores

iniciales de x y/o de t. Y evidentemente la velocidad de

la onda también puede expresarse del siguiente modo:

k c      (11)

La velocidad de propagación calculada de esta manera

se denomina velocidad de fase.

TRANSPORTE DE ENERGIA EN EL MOVIMIENTO

ONDULATORIO

En las diferentes clases de ondas mencionadas en las

secciones anteriores se ha visto que son los átomos o

moléculas del medio a través de los cuales se propaga

la onda, pero los átomos se mantienen en promedio

en sus posiciones de equilibrio, por tanto no haytransporte de masa. Es el movimiento o el estado

dinámico que se trasmite de una región a otra. Es decir

en una onda son transmitidos o propagados la

energía y la cantidad de movimiento.

En el caso de la propagación de las ondas transversales

en una cuerda cada segmento de masa m = x se

encuentra en movimiento armónico simple, de modoque podemos aplicar la energía total de dicho segmento

con la ecuación:

E = ½ kA

2

  (12)

Siendo A la amplitud de las oscilaciones y k la

constante elástica (no confundir con la constante de

propagación) k = (m)2 = (x)

2. Esto es, la energía

de la onda en un segmento de cuerda de longitud x

es:

E = ½ (A)2x (13)

y como x = ct, la potencia media Pm  transmitida en

la dirección de propagación de la onda está dada por

Pm = t

E

 = [ ½ (A)2

]c (14)

 Figura 7- Cada segmento realiza movimiento armónico

 simple

Este resultado es de validez general, para el caso de las

ondas longitudinales la masa dm está relacionada con

la densidad del medio  y el elemento de volumen dV

del siguiente modo dm = dV, por tanto podemos

hacer el siguiente cambio:

 =d

dm =

d

dV  =

d

Sd.   = S (15)

Figura 8

Reemplazando este resultado en la ecuación (14), se

tiene la potencia media:

Pm = S[2

1  (A)2]c (15)

Las dimensiones de la cantidad que queda entre

corchetes son las de una densidad de energía (energía

por unidad de volumen). Por consiguiente

designaremos con  la densidad de energía media

 = ½  (A)² (16)

y

 

Fy

F

- Fy

m

x

d 

 S

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DOCENTE

Luego la potencia media está dada por:

Pm = .S.c (17)

La magnitud que define al flujo de energía a través de

una superficie es denominada intensidad   I de la onda,

Esto es:

área

tiempo/energíaI     (18)

S

PI   m  =

2

1  (A)2c (19)

I = .c (20)