Curso Res Mat s05 Torsion

RESISTENCIA DE MATERIALES

Torsión

Resistencia de Materiales Ciclo 2012 - I Ing. Enrique Villa

Par de Torsión y Potencia

dFT ×= UNIDADES:

MÉTRICO: N·m

INGLÉS: lb·plg o lb·pie

nTP ×= UNIDADES: INGLÉS: Potencia: hp Velocidad de rotación: rev/min

MÉTRICO: Potencia: watt Velocidad de rotación: rad/seg


Unidades métricas e inglesas mNJjouleenergía ⋅⋅=⋅=⋅= 111

WwattsmN

sJ

segundojoule

tiempoenergíapotencia ==

⋅====

110472.010472.060min1

12

min11 −⋅==×

⋅

⋅×⋅=⋅ seg

segrad

segrevradrevrpm π

hpnT

segplbhp

revrad

segrevnplbTpotencia

36.63025lg6600

112

60min1)

min(lg)( ⋅

=⋅⋅

⋅×

⋅

⋅×

⋅×⋅×⋅=

π

hpnTpotencia63000⋅

≈

Métricas

Inglesas


Torsión – Sección circular


Fórmulas de torsión para una sección circular

JcT

MAX⋅

=τ

32

4DJ ⋅=π

cr

MAXττ =

r

R

c MAXττ


Condiciones para las fórmulas

n  Las fibras en la superficie externa experimentan la máxima deformación; por lo que el esfuerzo cortante máximo se produce en la superficie externa

n En el eje central no se produce deformación

n  La deformación varía linealmente entre el centro y los extremos, según r


Problema 71.- Calcule el esfuerzo cortante torsional máximo en la porción media, donde el diámetro es de 9.5 mm, de la extensión de la llave de cubo que se muestra. El par de torsión aplicado es de 10.0 n·m


Problema 72.- Calcule el esfuerzo cortante torsional máximo que se desarrollará en una flecha circular sólida de 1.25 plg de diámetro, si transmite 125 hp cuando gira a 525 rpm


Derivación de la fórmula de esfuerzo cortante torsional

r dr

dA

τ

dA: Área en la que actúa τ

en el radio r. Uniforme en todo el anillo

τ


Razonamiento

cr

MAXττ =

dAcrdAdF MAX ⋅=⋅= ττ

rdAcrrdFdT MAX ⋅⋅=⋅= τ

∫ ∫ ⋅=A A

MAX dAcrdT2

τ ∫=A

MAX dArc

T 2τ

cJT MAX ⋅=

τ

JcT

MAX⋅

=τ


Momento Polar de Inercia

∫=A

dArJ 2

drrdA ⋅⋅⋅= π2

∫∫ ∫⋅

=⋅⋅=⋅⋅==rr r rdrrdrrrdArJ0

43

0 0

22

422)2( π

ππ

322

)2(

2

444 DDrJ ⋅=

⋅=

⋅=

πππ


Torsión en secciones circulares huecas

r dr

dA

τMAXτ

MINτ

ri

re=c


Fórmulas para secciones circulares huecas

JcT

MAX⋅

=τcr

MAXττ =

∫∫ ∫⋅

−⋅

=⋅⋅=⋅⋅==e

i

e

i

e

i

r

r

ier

r

r

r

rrdrrdrrrdArJ

42

42

2)2(44

322 ππππ

)(323232

4444

ieie DDDD

J −=⋅

−⋅

=πππ

Cambia sólo el momento polar de inercia


Problema 73.- Calcule el esfuerzo torsional máximo cuando se transmite un par de torsión de 1.76 kN·m a través de un eje hueco de 60 mm de diámetro exterior y 40 mm de diámetro interior. Determine los esfuerzos en la superficie externa e interna.


Módulo de sección Polar

eP r

JZ =

162

32 3

4

DD

D

ZP⋅

=

⋅

=π

π

e

ie

e

ie

P DDD

D

DD

Z⋅

−⋅=

−⋅

=16

)(

2

32)(

44

44

ππ

Maciza

Hueca


Diseño por torsión n  Los factores de seguridad son los ya

estudiados

JcT

MAX⋅

=τP

MAX ZT

cJT

JcT

==⋅

=τ

DP

PDMAXD

TZZT

ττττ ≥⇒≥⇒≥

331616

D

P TDZDτππ ⋅

⋅≥⇒

⋅=

16

3DZP⋅

=π


Problema 74.- La transmisión de una transportadora que alimenta carbón a un carro de ferrocarril es un eje que se somete a torsión pura y que transmite un par de torsión de 800 N-m. Un diseño propuesto exige que la flecha tenga una sección sólida. Complete el diseño y especifique primero un acero conveniente y el diámetro


Problema 75.- Repita el análisis para un diseño alterno con un eje hueco, si se dispone de un tubo de 60 mm de diámetro externo, del mismo material que el diseño anterior; y se quiere que los esfuerzos sean los mismos en ambos casos. Compare ambas soluciones de acuerdo a su volumen y peso


Concentración de esfuerzos

)(P

tNOMtMAX ZTKK =⋅= ττ


Ejes con cuñeros


Factores de concentración de esfuerzos para cuñeros


Problema 76.- La figura muestra un segmento de un eje donde se va a montar un engranaje sobre el cuñero de la sección 3. Se apoyará contra el hombro de la sección 2 y se mantendrá en posición con un anillo de retención que se inserta en la ranura de la sección 4. Se aplica un par de torsión cíclico de 20 N-m a lo largo del eje. Calcule el esfuerzo cortante máximo en las secciones 1, 2, 3, 4, y 5. Especifique un acero idóneo para su fabricación.


Rigidez Torsional

n  La medida de la rigidez es el ángulo de deformación producido por efecto de la torsión

n  Una excesiva deformación por torsión puede provocar: ¨ Vibración ¨ Ruido ¨ Sincronización impropia de las piezas móviles

n  Se deben preferir los perfiles cerrados. Los perfiles abiertos tiene una rigidez torsional muy baja


Ángulo de torsión

LccABL ⋅

=⇒⋅==⋅θ

γθγ

γτγτ

⋅=⇒= GG

JcT

MAX⋅

=τ

JcT

LcG

JcTG ⋅

=⋅⋅

⇒⋅

=⋅θ

γGJLT⋅

⋅=θ


Módulos de elasticidad a cortante


Esfuerzo cortante y deflexión torsional recomendadas


Problema 77.- Determine el ángulo de torsión en grados entre dos secciones con una separación de 250 mm, en una varilla de acero de 10 mm de diámetro, cuando se aplica un par de torsión de 15 N·m. La figura ilustra la disposición del eje.


Problema 78.- Determine el diámetro conveniente de una flecha redonda de aleación de aluminio 6061-T6 si no se debe torcer más de 0.08 grados en un pie de longitud cuando se le aplica un par de torsión de 75 lb·plg


Torsión en secciones no circulares

n Son más rígidas cuando su forma se aproxima más a la de un círculo

n Un perfil largo, no cerrado, expuesto a torsión es muy débil y flexible a torsión


Comparación de distintas secciones

SECCIONES TORSIONALMENTE FLEXIBLES

SECCIONES TORSIONALMENTE RÍGIDAS

SECCIONES CON RIGIDEZ TORSIONAL SIMILAR PERO BAJA


Esfuerzos y deformaciones en elementos de sección no circular

QT

MAX =τ

Q es análogo al módulo de sección polar ZP

GKLT⋅

⋅=θ

K es análogo al momento Polar de inercia J


Problema 79.- Calcule el par de torsión que produciría un esfuerzo cortante torsional de 50 Mpa en una barra de acero cuadrada de 20mm de lado


Problema 80.- La figura muestra un segmento de un eje en el que se maquinó una ranura circular. Para un par de torsión de 4500 lb-plg calcule el esfuerzo cortante en las secciones 1 y 2


Problema 81.- La figura muestra una varilla de acero con tres discos montados en ella. La varilla tiene su extremo izquierdo fijo contra rotación, pero con el extremo derecho libre para girar sobre una chumacera. Cada disco es de 300 mm de diámetro. En las caras externas de los discos actúan fuerzas dirigidas hacia abajo de modo que la varilla se ve sometida a pares de torsión. Determine el ángulo de torsión de la sección A con respecto a la sección fija E


Problema 82.- Con una lámina de acero de 4.00 mm de espesor se forma un perfil circular de 90 mm de diámetro externo. El paso final es soldar la costura a lo largo del tubo. Las figuras ilustran el proceso. Realice los cálculos siguientes para comparar el comportamiento del tubo soldado, una vez cerrado, con el del tubo abierto. (a) Calcule el par de torsión que produciría un esfuerzo de 10 Mpa en el tubo cerrado soldado (b) Calcule el ángulo de torsión de un segmento de 1.0 m de longitud del tubo cerrado con el par de torsión del inciso (a) (c) Calcule el esfuerzo en el tubo abierto con el par de torsión del inciso (a) (d) Calcule el ángulo de torsión de un segmento de 1.0 m de longitud del tubo abierto con el par de torsión del inciso (a) (e) Compare el esfuerzo y la deflexión del tubo abierto con los del cerrado


Problema 83.- El eje motriz de una fresadora transmite 15.0 hp a una velocidad de 240 rpm. Calcule el esfuerzo cortante torsional en éste si es sólido, y de 1.44 plg de diámetro. ¿Sería seguro este eje si el par de torsión se aplica con impacto y si está hecho de acero AISI 4140 OQT 1300?


Problema 84.- La figura muestra un eje escalonado sometido a torsión. La sección de mayor diámetro tiene un agujero que la atraviesa de lado a lado. (a) Calcule el esfuerzo cortante máximo en el escalón cuando se le aplica un momento de torsión de 7500 lb·plg (b) Determine el agujero de mayor diámetro que se podría perforar en el eje de modo que continúe con el esfuerzo cerca del agujero a un valor igual o menor que el que se produce en el escalón


Problema 85.- Determine los diámetros interno y externo que se requieren para que una flecha hueca transmita un par de torsión de 1200 N·m con un esfuerzo cortante torsional máximo de 45 Mpa. Haga que la relación del diámetro externo al diámetro interno sea aproximadamente 1.25


Problema 86.- Calcule el ángulo de torsión del extremo libre con respecto al extremo fijo de la barra de acero que se muestra


Problema 87.- Un calibrador de par de torsión se vale del ángulo de torsión de un eje para medir el par de torsión. El eje tiene que ser de aleación de aluminio 6061-T6 y de 150 mm de longitud, Determine el diámetro requerido del eje si se desea que experimente un ángulo de torsión de 10.0 grados cuando se aplica un par de torsión de 5.0 N·m al calibrador. Para un eje con este diseño, calcule el esfuerzo cortante torsional y luego calcule el factor de diseño resultante para el mismo. ¿Es satisfactorio? Si no lo es ¿Qué haría Usted?


Problema 88.- Se muestra un segmento de eje de un equipo transmisor de potencia. Calcule el par de torsión cíclico máximo que se podría aplicar con seguridad si el material es AISI 1141 OQT 1100


Problema 89.- El segmento de un eje de acero que se muestra tiene un rebaje plano maquinado en un lado. Calcule el esfuerzo cortante torsional tanto en la sección circular como en la rebajada cuando se aplica un par de torsión de 850 lb·plg


Problema 90.- Calcule el par de torsión cíclico máximo que se podría aplicar con seguridad a este eje, si está hecho de acero AISI 1141 OQT 1100

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