Capítulo cinco: Cosmología.

25) El tiempo

Si nos agrandan las perogrulladas podemos decir que el tiempo es la duración de las

transformaciones energéticas. Así la unidad natural de tiempo sería la duración de

la transformación de la partícula de masa máxima y se definiría de la siguiente

forma:

Al otro extremo de este pequeñísimo intervalo de tiempo encontramos el tiempo que

dura la transformación de la masa mínima, transformación muy lenta a causa del

poco contenido energético de esa partícula.

Cuyo valor se puede determinar con la expresión:

Como este número no depende sino de constantes adimensionales, se puede

concluir que el tiempo en si no es una dimensión. Sin embargo, estamos tratando de

eludir toda cuestión filosófica, sobre todo las que puedan herir la susceptibilidad de

alguien.

Determinado este valor por las leyes naturales, nos permite llegar al valor exacto de

G, la constante de gravitación. Partimos de:

Y como

Entonces

6

2/3

22

*2*7

**

*

cme

Planckmasah

Y como

G

chPlanckmasa

**2

*

Llegamos a

6

2/3

22

*2*7

**2

**

**

G

ch

cme

h

12

32

44

2 *2*7

**2

**

**

G

ch

cme

h

2

311

344

113

*10*674271938.6

**196*

*

segkgs

mets

cme

hG

Examinando las unidades de encontramos:

Por esta conexión de G con las unidades de tiempo es que tratamos esta constante

en el presente numeral dedicado al tiempo. Ahora, cualquiera puede consultar en

internet que el famoso proyecto WMAP de la NASA estimó la edad del universo en

unos 13.7*10^9 años, lo que corresponde a 4.32*10^17 segundos; nosotros fieles a

descubrir claves secretas en la estructura y funcionamiento de nuestro Cosmos que

revelen una mano inteligente y providente, nos atrevemos a emplear la relación de

unidades para estimar esa edad así:

26) Algo sobre cosmología

Ya que encontramos el valor de G supuestamente “correcto”, entremos a un tema

íntimamente ligado al valor de esta constante. Es decir, la cosmología. La primera

observación al respecto es que con la masa del universo comúnmente aceptada el

radio calculado por la expresión

Sería mucho menor que el cuanto de longitud. Es decir, el Universo no se comporta

como una sola partícula t, por ende, debe ser un conglomerado de partículas.

Para no incurrir en la aceptación de “singularidades” no necesarias, abandonamos la

pretensión de simular el universo con una de nuestras partículas. En cambio, la idea

de que el universo primigenio era un conjunto de masas de Planck divididas por ,

de modo que la suma de todas sus masa se igualaba a la masa del universo (ver la

figura siguiente) se acomoda bien a un punto de partida del tipo Big Bang para el

universo. Antes de este conglomerado nada sabemos; literalmente solo Dios sabe

que ocurriría antes.

Al no tener formas de transformación, la energía de las masas iniciaría un

desdoblamiento de partículas, disminuyendo la masa de las partículas originales.

Tanto las partículas creadas como las anteriores aumentarían el volumen del

universo y empezaría el proceso de expansión.

Veamos los cálculos para el universo inicial. Si M es la masa del universo, el número

de partículas iníciales es:

/Planckmasa

MNo

Conocemos el radio de la masa de Planck: sobre

/

10* 72

Planckmasa

eRadio

Calculamos su volumen

Por lo tanto, el universo inicial tendrá un volumen

Y denominando Ro el radio inicial del universo

De donde se concluye que el radio inicial del Universo es:

Más tarde abordaremos el caso de la entropía y estudiaremos desde ese aspecto la

escogencia de la masa del universo. Por ahora dejemos sorprender por el hecho

maravilloso de que si tomamos , el radio inicial del universo como el radio del

electrón, la partícula más estable, obtenemos para la masa del universo el valor:

Valor muy cercano a las mejores estimaciones actuales. En realidad, valor situado

en el centro de las estimaciones más serias y calificadas.

Sin aportar ninguna prueba nos quedaremos con este valor y continuaremos

nuestros cálculos. El valor del radio inicial del universo, para esa masa, es:

El número de partículas individuales de ese universo primigenio es:

Este número de partículas resulta muy útil para determinar teóricamente el número

de Avogadro:

, el número de partículas en el universo primigenio resultó entonces igual al cubo

de cuantos en el electrón:

Por último el número de cuantos en el universo resultó:

Lo que nos permite desarrollar la siguiente escala usando en número D básico

2110*040986773.2D

cuantomasaDelectrónmasa *

** electrónmasaDplanckmasa

cuantomasaDmedioplanetamasa *5.1

planckmasaDpromediaestrellamasa *2

PlanckmasaDgalaciamasa *2/5

cuantomasaDuniversomasa *3

Esta escala nos da una idea de cómo evolucionan los conglomerados de masa en el

cosmos.

27) Evolución del número de partículas en el universo

Aceptamos como inherente a la naturaleza de las partículas la tendencia a ganar

masa y contraerse, o a perder masa y expandirse, de acuerdo a condiciones diversa

aun no estudiadas. La velocidad de estos procesos siempre es proporcional a la

masa instantánea de la partícula.

Luego es lógico que asumamos que el número de partículas en el cosmos crece

como función de la masa de la partícula mayoritaria en el universo. Ahora, como el

número de partículas existente también incide en el número de partículas producido,

unimos los dos factores de crecimiento y aventuramos una relación con el tiempo:

bmNadt

Nd**

La función anterior se lee así:

El crecimiento de partícula en el tiempo es igual a una constante (representada por

a) multiplicada por el número de partículas actual (N) y por la masa de la partícula

(m) mayoritaria elevada a un exponente b.

Pero sabemos que:

Integrando entre las condiciones iniciales y las condiciones en cualquier tiempo

Para evaluar el exponente b consideremos dos tiempos, t1 y t2, para los cuales el

número de partículas haya superado ampliamente el número de partículas inicial:

Tendremos

111 *** ttparatMabN bb

y

222 *** ttparatMabN bb

Entonces

2

1

2

1

t

t

N

Nb

Pero

2

2

1

1m

MN

m

MN

De modo que hayamos

bbb

m

m

mM

mM

t

t

N

N

1

2

2

1

2

1

2

1

/

/

Ahora, relacionamos las masas de las partículas con la temperatura, para lo cual

consideramos

Con K la constante de Boltzman, y conseguimos

Suponemos una rápida expansión inicial de modo que transcurrido el tiempo de

Planck ya se cumplía la condición de que el número de partículas superaba con

mucho al valor inicial de partículas, de forma que podemos tomar

Además, estimamos que para el tiempo de Planck la temperatura era la de Planck,

. Para , aceptamos la correspondencia con el tiempo actual y tomamos

para ese tiempo actual el valor que habíamos previsto y que coincide con las

estimaciones más actuales y aceptadas

, ,

y para la temperatura la conocida de del fondo de radiación.

Remplazando en las expresiones anteriores:

b

actual kelvin

kelvin

segundos

segundos

t

tplanck

3217

44

10*416785565.1

73.2

10*135233.4

10*39124.5

919739.1

10*416785565.1

73.2ln

10*135233.4

10*39124.5ln

32

17

44

b

Ahora, si escogemos los valore límites nuestros

Obtenemos

02018.2

10*416785565.1

*73.2ln

*10*791.3

10*39124.5ln

32

17

44

b

Estos resultados nos permiten escoger como más plausible el valor de 2 para b.

Máxime cuando se trata de procesos cuánticos.

Con nos queda:

2

0

22 ***2 NtMaN

taNNM **2/2

0

22

Pasando a dividir M al término de la derecha:

taMNMN **2///12

0

2

Y como

2

0

2//1**2 MNmta

2

2

0

2

0

2

**2**2

1

**2

1

Ma

Nta

m

M

Nta

m

Y

2

2

0

2

0

242

**2**2***2

/

Ma

NtaK

cT

M

Nta

KcT

Volvemos a utilizar las parejas de valores:

PlanckTT

Plancktt 11 ;

kelvinTsegt actualactual 73.2;10*1352.4 17 ,

para estimar los últimos parámetros, obteniendo:

2/37

2/37

*7/*2*

*7/*2*

Plancktt

PlancktPlanckmm

A propósito de la expresión anterior, recuérdese que

6

2/3*2*7max

imot

es un viejo conocido desde el numeral 25, donde nos permitió calcular el valor

“exacto” de G, de modo que no debe extrañarnos la forma de la ecuación. Por

último, la temperatura queda

2/37

2/37

*7/*2*

*7/*2*

Plancktt

PlancktPlanckTT

28) Primeras fórmulas del universo

Vemos en forma tabulada las expresiones que podemos obtener hasta el momento

sobre el universo:

Cantidad Expresión Valor sobre unidad

partículas

inicialN0

partículas

6310*5020043.8

M masa del

universo

kgs

5510*5807045.1

abundante

más

partículala

demasam ,

Planckminicialm

kgs

actualmasa

4010*1851365.4

N número

de

partículas

en un

tiempo t, en

t=0 y en el

tiempo

actual

partículas

N

N

actual

94

63

0

10*776948.3

10*50200.8

volumen

del universo

En un

tiempo t, en

t inicial y en

el t actual

2

7

72/3

**2

**2**7*

Planckt

PlanckttelectrónVV

3

7910*650587.3

mts

V

VV

actual

electroninicial

, Radio

del universo

En un

tiempo t, en

t inicial y en

t actual

mts

R

RR

actual

electroninicial

2610*05790.2

Velocidad

de

expansión

en un

tiempo t, en

t inicial y en

t actual

segmts

v

v

actual

inicial

/

10*35436.3

10*06476.9

8

28

Parámetro

de Hubble

en el tiempo

t y en t

actual.

Solo adelantaremos por ahora, algunas explicaciones sobre los valores anteriores.

En primer lugar, hacemos caer en cuenta que el crecimiento del radio en el tiempo

no es equiparable a una velocidad, pues el concepto de velocidad se refiere al

fenómeno de atravesar un espacio pre existente, y lleno de energía, en un intervalo

de tiempo, y el crecimiento del espacio en si es otro fenómeno completamente

diferente. Entre los muchos ejemplos que se nos ocurre de espacio que crecen a

velocidades mayores que la de la velocidad de la luz, el más, a nuestro entender,

fácil de asimilar, es el crecimiento del espacio entre dos puntos de unión, o

encuentro de dos tijeras abriéndose simultáneamente, pues es bien conocido que

este punto de encuentro de las hojas puede “viajar” a velocidades muy superiores a

la de la luz.

En segundo lugar para calcular el parámetro de Hubble es incorrecto situarnos en el

“centro” del universo, aunque se puede hacer esa suposición para otros cálculos.

Pero en el caso presente la otra galaxia cuya distancia medimos respecto a la

nuestra no puede asumirse en la periferia del universo pues rompería la simetría del

problema. Lo más cuerdo es asumir nuestra galaxia y la otra como puntos

promedios homólogos del universo. Haciendo los cálculos relativistas.

Pero como

Con

Y

Obtenemos:

Recordando que un megaparsec son 3.0856*10^19 metros.

Sin embargo, debemos aclarar que el método para calcular el parámetro de Hubble

depende mucho de la forma como se interprete la geometría del universo, y por

ende, de cómo se interpreten las medidas de tiempo, distancia y velocidad entre

galaxias. Por el momento, nos basta con imaginarnos un universo esférico,

expandiéndose en un “no espacio” al que no prestamos atención mental, pues

resulta imposible. De otro lado, aunque el valor del parámetro de Hubble que

obtenemos es sorprendente coincidente con los valores experimentales actuales,

nuestro Universo parece que está desacelerando en su expansión, en clara

contradicción con las más recientes estimaciones de un Universo en “expansión”.

Creemos que nuestro enfoque es correcto y lo que se puede corregir es la edad

actual del mismo Universo que, como recordarán, tomamos como base para calcular

nuestros coeficientes desconocidos. No ahondaremos más al respecto y pasaremos

a otros cálculos interesantísimos.

29) La densidad del universo

Siguiendo con la imagen mental sencillísima del numeral anterior podemos calcular

la densidad del universo:

Si calculamos la densidad inicial del universo obtenemos

398 /106864248.1 mtKgelectrón

Mi

La densidad en cualquier momento sería

Pero resulta que la constante de gravitación es:

2

3

2

3

3

Re*4

*4

3Re

tpM

lectrón

tpM

lectrónG

)/(10674238856.6*4

3 2311

2Kgssgm

tpG

i

Lo que nos lleva a

Gtpi

2*4

*3

Y reemplazando en la expresión de la densidad:

2

2/3

73

13

*7

**2*492

**3

tplancktG

272/332

274

)27(

)2(

planckttelectrónelectrónm

plancktplanckmM

272/3

214

272/3

27

)27(

)2(

)27(

)2(

tplanckt

tplanckinicial

tplanckt

tplanckinicial

272/3

214

2)27(

)2(

4

3

tplanckt

tplanck

Gtp

2

2/3

722

13

**7

**21*2*493

*8

3

*8

t

tplanckt

G

Y con la conocida aproximación:

1*1)1(

1

nn

mnxparaxmm

x

t

tplanck

t

G

**7

**2*21

*493

*4

3

*82/3

7

22

14

tt

G 44

2

101014.41

218176.13

3

*8

Con esta ecuación calculamos la densidad actual obteniendo el valor

325 /10*4132.1 metroKgramos

Valor también bastante cercano a los estimados más actuales de ese parámetro

Tomando el parámetro de Hubble simplemente como:

tdt

dR

RH u

u

a*3

21

Ht

3

2 ,

Llegamos a: 3422 101168.4741.293

*8HH

G

Esta ecuación tiene una contrapartida en las ecuaciones de Friedmann:

2

22

3

*8

R

CKH

G u

Ecuación en la que Ku representa la curvatura gaussiana. Cuando el universo es

plano, Ku = 0, y la ecuación de Friedmann queda muy parecida a la nuestra, pues el

término en H3 es pequeñísimo comparado con el término en H2. En definitiva,

podemos resaltar que la densidad calculada por nosotros es unas treinta veces

mayor que la del correspondiente modelo relativista.

30) La constante gravitacional de Einstein.

Einstein introdujo en sus ecuaciones de Campo una constante X que se vincula con

la constante newtoniana de gravitación G, por la relación:

*8

* 2CXG

Como ahora sabemos que G está relacionada con la densidad inicial del universo y

con el cuanto de tiempo por la ecuación:

tpcuantotuniversoinicialG

i **4

3

*4

32

*8

*

*4

3 2

2

CX

tpG

i

Y podemos interpretar la constante Einsteniana así:

222

*

6*6

Tiempode

Cuanto

UniversodelEnergíade

InicialDensidadCtpX

i

Es tal la importancia de este parámetro, que vemos su significado como más

profundo y nos atrevemos a escribir:

22

2

**8

*

8

16

C

G

Universo

Edad

CUniversodelMasade

DensidadX

De donde despejamos

UniversoMasadeDensidadGUniversodelEdad

**64

6

Que coincide plenamente con la expresión para la edad del universo deducida de la

Relatividad General en muchos textos de Astrofísica:

Gt

*32

3

Pero logramos esta coincidencia añadiendo el factor 1/8. En síntesis, para muchos

autores que siguen la Relatividad, tenemos:

2

2

**4

3

**32

3*

)( cXGt

tTiempoelenUniversodel

MasadeDensidad

Para nosotros:

2

2

*

6

**4

3*

)( cXGt

tTiempoelenUniversodel

MasaDensidadde

Y llegamos a

)(*

6

**4

3* 22

tTiempoelenUniversodelMasadeDensidadXGtc

Relación del tipo que ya habíamos previsto en el primer numeral de este capítulo.

31) Distancia al Big – Bang

Según la Relatividad entre dos puntos del espacio – tiempo se cumple el invariante:

22

22

)*(

0)*(

xtc

tcx

Con x como la distancia entre dos eventos y t el tiempo entre esos eventos. Si

hacemos x igual a la distancia al centro del Big Bang y t el tiempo desde el mismo

Big Bang, dado por la ecuación última

3

*4*66)*(

322

uMXsoMasaUniverdeDensidadXtcx

uuuu R

C

MG

C

MGMXx

22*8

*8

*8

*

De modo que, aceptando esta interpretación relativista, para nosotros el universo

sería una especie de agujero negro; el tiempo no transcurriría para los

observadores situados en la periferia y el radio no cambiaría, permanecería

constante, como es de esperar para observadores con el tiempo detenido.

Para la cosmología relativista ocurre más o menos lo mismo:

XM

x

XM

x

XC

Cctx

33

2

222

38

466

8

1)(

22

**8**8

C

MG

C

MGx

Radio de agujero negro

Es decir, el universo no es un agujero negro, y, por lo tanto, en la periferia el tiempo

transcurre; pero el radio se mantiene constante y no existe el Big – Bang…Una

inconsistencia enorme. Los relativistas, en cambio, no ven inconveniente ninguno.

Solo queremos hacer ver que este modelo que presentamos engloba una versión,

como se dedujo en los primeros numerales de la Relatividad, que no presenta en

absoluto esas inconsistencias.

Habiendo trabajado demasiado en cosas intangibles, como el radio del universo y la

edad del mismo, es bueno un regreso a terrenos más familiares. Por eso iniciaremos

un estudio de nuestro Sistema Solar.

32) Sistemas orbitantes

Partimos de un concepto: energía es tendencia a la contracción o a la expansión. En

cierta forma puede mirarse esta tendencia como una absorción o una emisión de

espacio. Por ejemplo, imaginemos un conjunto de partículas aisladas en la “nada”, y

ocupando un espacio que es creado por ellas mismas. Podemos colocar una rejilla

coordenada fija, centrada en la partícula que ocupa el centro del conjunto. Cuando

esa partícula absorbe materia, es decir otras partículas que la rodean, disminuye el

espacio a su alrededor de acuerdo a nuestro postulado de que a mayor masa

corresponde menor radio. Entonces, podemos considerar que el “espacio” es la

rejilla coordenada, considerarlo fijo e imaginar la materia fluyendo en él hacía la

partícula central; incluso podemos considerar ese espacio como curvo y relacionar

esa curvatura con el movimiento de la materia como una caída en el embudo hacía

la partícula central, y decir que el movimiento es producido por la curvatura misma.

En otra concepción asumimos el sistema coordenado fijo a la materia y ahora

pensamos que la partícula engulle al mismo espacio que la rodea, pues el sistema

coordenado parece ser, y en efecto lo es, tragado por la partícula. Para que la

imagen sea más ilustrativa dibujamos la rejilla en forma de embudo centrado en la

partícula. Nuestro punto de vista es que el sistema coordenado, la rejilla, que nos

sirve para las medidas geométricas, es libre, depende de la inventiva del

investigador.. En este trabajo se usa con preferencia los sistemas de coordenadas

fijos, sobre los cuales se “mueve” la materia.

Usaremos ese sistema de coordenadas fijo para estudiar otro movimiento muy

frecuente. Se trata de una contracción seguida por una expansión que crea un

traslado neto de una partícula alrededor de otra. Estos movimientos los llamamos

orbitantes.

Estos traslados tan frecuentes en la naturaleza se pueden describir como

movimientos ondulatorios, con un periodo, una longitud de onda, etc. Trataremos de

estudiar las leyes que rigen esos movimientos.

33) Fuerza centrífuga

Aunque sabemos que en nuestro sistema se aceptan las leyes de la física clásica

casi sin modificación, también asumimos que esas leyes pueden deducirse del

principio de cuantización y del principio de mínima acción. Nuestro primer paso,

entonces, es lograr una expresión cuántica para la fuerza centrífuga. Para ello nos

tenemos que separar algo de nuestro propósito de solo emplear las matemáticas

más sencillas, y empleamos la sofisticada figura mostrada a continuación.

Se hacen las consideraciones comunes: los ángulos son pequeños, la velocidad

tangencial cambia muy poco, etc. Entonces, argumentamos:

La energía transformada por la fuerza radial en el trayecto desde el punto “a” hasta

el punto “b”, multiplicada por el tiempo que dura la transformación, Δt, tiene que ser

igual a un número entero, NR de cuantos de acción, h.

En forma de ecuación: hNtsenSF RR

2

Este número de cuantos de acción debe corresponder al número de cuantos de

acción que cambia la energía cinética de la partícula en sentido radial:

hNtmvmv RaRbR **2

1

2

1 22

Igualando los cuantos de acción obtenemos:

tvmtsenSFhN bRRR

**

2

1*

2**

2

De donde: 2

2

1

2* bRR mvtsenSF

Pero resulta, y el diagrama lo pone de manifiesto, que: 'RS

Como los ángulos son pequeños:

22

sen

Por lo cual: 2222)(*)*( vsenvv bR

En definitiva: 2

)(**

2*'**

22

vmRFR

'

* 2

R

vmFR

Esta es la famosa fuerza centrífuga. Obsérvese que no es una fuerza centrífuga

“ficticia”; es una fuerza completamente real, correspondiente a una transformación

efectiva y calculable de energía. La equivocada idea de que es una fuerza ficticia

proviene de considerar que una transformación de coordenadas o de sistemas de

referencia puede hacerla desaparecer, y los observadores en movimiento circular no

la podrán “percibir”. Pero esto requiere que se acepte el vacío absoluto y los

cuerpos, al moverse lo hagan sobre un sistema coordenado sustentado en la nada.

34) La fuerza tangencial

Cuando el movimiento orbital no es completamente circular la fuerza central tiene

componente radial y tiene componente tangencial (ver figura siguiente). El cambio

de energía en el sentido tangencial también debe cumplir el principio de mínima

acción.

hNtSF tt ***

Esta ecuación la dejaremos así. Es decir, no procederemos como en el caso de la

fuerza centrífuga, a igualar los cambios en los cuantos de acción, para poder

mantener en evidencia los efectos cuánticos en el movimiento orbital, pues nos

parecen demasiado obvios.

Llamando al ángulo entre la tangente y la fuerza central o radial podemos

escribir:

'

**

2

R

vmsenFFR

tS

hNFF t

t

*

*cos*

Estudiaremos los casos donde la fuerza central se puede expresar así:

22)tan(

)tan(

R

A

MymentreciadisR

teconsAF

De donde obtenemos:

'

**

2

2 R

vmsen

R

AFR

tS

hN

R

AF t

t

*

*cos*

2

'*

** 22

RA

vmRsen

tSA

hNR t

**

**cos

2

Entonces:

222

224

22

42422

**

**

)'(*

**1cos

tSA

hNR

RA

vmRsen t

Ahora, la relación de la distancia entre los cuerpos y el radio de curvatura está

afectada tanto por la relación de las masas como por la velocidad finita de

propagación de los cambios energéticos. Solo consideraremos el efecto de masas.

Tomando en cuenta los dos cuerpos girando alrededor de un centro común:

''**'**** 22

2RwMRwm

R

mMG

M

RmR

'*''

M

mRRRRR '*''''

M

MmRR

)'*(

Reemplazando en la ecuación de la fuerza:

22

4

2

22

222

2424

*

*

**

)(***1

tA

R

S

hN

MRA

MmvmR t

Como el arco recorrido depende de la velocidad y el Δt, podemos escribir: ΔS = v Δt,

y llegamos a la expresión:

2

422

222

2422 **

*

)(***1

A

Rv

S

hN

MA

MmvmR t

Ahora, consideremos una órbita estable. En esa órbita los procesos cuánticos deben

ser repetitivos e idénticos. Tomamos, por lo tanto, el término 2

*

S

hN t

como un

parámetro de la órbita y escribimos:

bS

hN t 2

*

2

422

22

2422 **

*

)(***1

A

Rvb

MA

MmvmR

Despejando:

0**

)(***22

2

22

22224

vb

A

Mb

MmvmRR

Resolviendo la cuadrática y tomando solo la raíz real

22

2

44

444

22

2222

***4

)(**

**2

)(**

vb

A

Mb

Mmvm

Mb

MmvmR

Pero una órbita estable se debe diferenciar de las demás en algún máximo o

mínimo. Por lo tanto, derivando respecto a v2:

0

***4

)(**

***4

)(***2

*2

1

**2

)(*

)(

)(

22

2

44

444

42

2

44

424

22

22

2

2

vb

A

Mb

Mmvm

vb

A

Mb

Mmvm

Mb

Mmm

vd

Rd

2

42

2

44

424

22

2

44

444

44

44

***2

)(**

***4

)(***

*

)(*

vb

A

Mb

Mmvm

vb

A

Mb

Mmvm

Mb

Mmm

464

4242

84

4

88

848

2244

424

88

848

**

)(***

***4

)(**

***

)(**

**4

)(**

Mbv

MmvmA

vb

A

Mb

Mmvm

vbMb

MmAm

Mb

Mmvm

84

4

462

442

***

)(***2

vb

A

Mbv

MmmA

44

4226

)(**2

**

Mmm

MbAv

Reemplazando en la expresión de R2:

68

64

64

2

68

616

68

62

2

66

68

64

44

66

68

68

44

68

68

62

68

64

64

22

222

***

*2*)(*2*

*)(*2***4

***)(*

)(**2

***

**2

)(*

MbAb

mMmA

mMmMb

MbAMmm

Mmm

MbA

Mb

MmmR

6

18

68

616

616

68

68

68

64

68

68

64

64

64

2 21***2

*)(*

**2

)(**

Mb

mMmA

Mb

MmmAR

3

2

223

23

43

4

32

32

32

2

**2

)(**2181*

**2

)(**

Mb

MmAm

Mb

MmmAR

En definitiva, tendremos para las órbitas estables:

31

22

2

*)(*2

**

mMm

MbAv

31

2**2

)(**

bM

MmmAR

35) Orbitas estables y la Ley de Kepler

Encontramos la relación entre v y R con el parámetro cuántico b para las órbitas

estables; tratemos de anular este parámetro haciendo el producto:

31

244

4222

**2

)(**

*)(*2

**

bM

MmmA

mMm

MbARv

31

333

332

*)(*2

**

mMm

MARv

mMm

MARv

*)(*2

**2

Este resultado requiere una explicación pues el 2 del denominador no aparece en

la expresión conocida universalmente como la ley de Kepler. Es fácil caer en cuenta

que la presencia del 2 se debe a la forma de obtener la velocidad media y la

distancia media al centro de fuerza. Es decir, se entiende la expresión como una

relación entre valores medios ponderados. Veamos un ejemplo ilustrativo al

respecto. Para no enredarnos con integrales elípticas, nos imaginamos la elipse

dividida en n trozos.

Entonces proponemos dos formas de interpretar la ley de Kepler.

La forma usual:

2

mínimamáxima

o

vvv

2

mínimamáxima

o

RRR

oo RvMG **2

Y la forma ponderada:

22***1*

1

2

*máximamínimamínimamáxima vRVRn

n

MG

Llamando: o

máxima

mínimaooB

vvv *

o

máxima

mínimaooB

RRR *

22

2

2

*****1*1

2

*oo

o

o

o

o

oo BNRv

RBnn

MG

o

o

o

ooo BBn

n

vRMG

2

2

2

*1**

2

*

Teniendo en cuenta que oo RvMG **2

, se obtiene:

2

*1

2

2

nBBn

o

o

o

o

Lo que nos permite despejar n:

22

2

2

1*

o

o

o

o

o

o Bn

BB

oo

ooo

ooo

oOooo

B

BB

B

BBn

*2

1***2

*2*

*2***223

222

Con esta expresión obtenemos dos límites:

1* oo B y oo B*22

Ahora, como 1o y 1oB , por definición, la primera desigualdad no tiene interés;

pero la segunda resulta muy diciente cuando hacemos Bo ≈ 1, pues resulta

22 o y, por lo mismo 1892.1 o . Ahora debemos ver si los sistemas

físicos si cumplen esas relaciones que hemos deducido. Pero antes debemos

estimar estos parámetros. No pudimos vislumbrar ninguna pista teórica sobre su

valor y nos vimos precisados a calcularlos por datos experimentales supremamente

tediosos y sin interés. Los valores que conseguimos fueron:

1895.1o y 0088.1oB

Lo que sigue es poner a prueba los resultados obtenidos en nuestro majestuoso

sistema Solar.