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Electricidad y Magnetismo 2010/2011

Tema 5: Magnetostática - a 1

Magnetostática

• Definición.

• El potencial vector magnético. Medios indefinidos. Propiedades.

• Ley de Biot y Savart.

• Ley de Ampère.

• Campo en puntos alejados. Momento magnético.

– Comportamiento en el infinito.

– Corrientes ligadas.

• Energía Magnética.

– Relación con las corrientes. Formación e Interacción.

– Sistemas de corrientes filiformes.

– Coeficientes de inducción. Autoinducción.

– Coeficientes de autoinducción de corrientes volumétricas.

• Transporte de energía.

• Fuerzas magnéticas. Efecto Hall

EyM 5a-1J.L. Fernández Jambrina

Magnetostática: Definición

• Definición:

– No hay variación con el tiempo.

– Se admite el movimiento de cargas que respete la condición anterior.

– Dos juegos de ecuaciones:

» Corrientes estacionarias:

» Magnetostática:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

=⋅∇

=×∇=⋅∇

=×∇ρ=⋅∇

σ=µ=ε=

→ ≠

=∂∂

=∂

∂ρ+⋅∇

∂∂

+=×∇=⋅∇

∂∂

−=×∇ρ=⋅∇

σ=µ=ε=

0

0

00

0

0,

,

,,,0,

,,,,

,,,,,,

rJ

rJrHrB

rErrD

rErJrHrBrErD

Jt

t

trtrJ

t

trDtrJtrHtrB

t

trBtrEtrtrD

trEtrJtrHtrBtrEtrD

rr

rrrrrr

rrrrr

rrrrrrrrrrrr

r

rrr

rrrrrrrr

rrrrrrr

rrrrrrrrrrrr

00

=⋅∇σ=ρ=⋅∇

ε==×∇J

EJD

EDE rrrr

rrr

( ) ( ) HBBrJrHrrrrrrr

µ==⋅∇=×∇ 0




Campo Magnetostático

• Este capítulo se va a centrar en el campo magnetostático, puesto que el campo electrostático se puede estudiar independientemente, como ya se ha hecho.

• Conviene recordar que en la naturaleza no existen situaciones estacionarias, al igual que no existían situaciones estáticas. Lo que si existen son situaciones en que la velocidad de los fenómenos es lo suficientemente lenta como para que la aproximación de despreciar las variaciones con respecto al tiempo sea suficiente para conducir a buenos resultados.

• Ecuaciones:

» La ley de Ampère es la que liga las fuentes con el campo.

» La ecuación de la divergencia postula que las líneas de campo magnético son cerradas, o lo que es lo mismo, que no existen fuentes escalares.

» La ecuación de estado introduce el efecto de los medios.

0=⋅∇ Br

( ) JrHvrr

=×∇

HBrr

µ=


El Potencial Vector Magnetostático

• El que la divergencia de una rotacional sea siempre nula y que la divergencia del campo magnético sea siempre nula permite suponer que el campo magnético pueda proceder de un potencial vector:

– Esta definición del potencial vector deja un gran margen de libertad que será utilizado posteriormente definiendo su divergencia.

• Llevando esta definición a la ley de Ampère en un medio lineal, homogéneo e isótropo:

• Utilizando el grado de libertad se puede escoger:

• con ello se obtiene:

( ) ⇒

=×∇⋅∇

=⋅∇

0

0

A

Br

r

ABrr

×∇=

( ) AAABHJrrrrrr

∆−⋅∇∇=×∇×∇=×∇=µ×∇=µ

Av

JArr

µ−=∆

0=⋅∇ Ar Contraste de

Coulomb




• Trabajando en coordenadas cartesianas la ecuación se puede descomponer en ecuaciones similares a la ecuación de Poisson ya estudiada y resuelta para el caso de un medio homogéneo, lineal, isótropo e indefinido:

El Potencial Vector Magnetostático (2)

JArr

µ−=∆

( )

( )

( )

( )∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

′−

′′

πµ

=⇒

′−

′′

πµ

=⇒µ−=∆

′−

′′

πµ

=⇒µ−=∆

′−

′′

πµ

=⇒µ−=∆

⇒µ−=∆V

V

zzzz

V

y

yyy

V

xxxx

rr

VdrJA

rr

VdrJAJA

rr

VdrJAJA

rr

VdrJAJA

JA rr

rrr

rr

r

rr

r

rr

r

rr

4

4

4

4

( ) ( )∫∫∫ ′−

′′ρπε

=φ⇒ερ

−=φ∆V

rr

Vdrr rr

rv

4

1


• Análogamente se pueden obtener expresiones para corrientes superficiales y lineales:

– En la expresión para corrientes lineales el contenido vectorial de la corriente se ha transferido al diferencial de longitud, la integral se realiza en un contorno cerrado y la corriente es constante.

• Propiedades:

– La interpretación de su significado físico es difícil.

– Un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una contribución paralela a la dirección de la corriente.

– Las unidades del potencial vector son wb/m.

– En algunos casos es muy útil para calcular el flujo del campo magnético:

El Potencial Vector Magnetostático (3)

( )∫∫ ′−

′′

πµ

=S

S

rr

SdrJA rr

rrr

4 ∫ ′−

′

πµ

=C

rr

ldIA rr

rr

4

Adv

∫∫∫∫∫ ⋅=⋅×∇=⋅=ΦCSS

B ldASdASdBrrrrrr

Adv

Adv

Adv

Adv

Adv

Adv

Adv

Adv

ldI ˆ




• Sea una línea de corriente I0 que circula a lo largo del eje z en sentido positivo.

– La corriente sólo tiene componente z:

– Este problema es análogo al de una densidad de carga lineal sobre el eje z.

» La solución a este problema electrostático es:

– Por analogía:

– En este caso, al igual que en el problema electrostático, no se puede definir de forma unívoca el potencial vector.

– Esta indefinición no impide calcular el campo magnético:

Potencial Vector: Ejemplo

zAA zˆ=⇒

r

( ) Kr L +ρπε

ρ=Φ

1ln

2

r

( ) zKI

zArA zˆ

1ln

2ˆ 0

+

ρπµ

==rr

( ) ( ) ϕπρ

µ=

∂ρ∂

ϕ−∂ϕ∂

ρρ=×∇= ˆ

2ˆ

1ˆ

IoArArB z

rrrr

Z

I0

Z

ρρρρ LI= 0

~

ΦΦΦΦ = Az

εεεε µµµµ= 1


• Para obtener el campo a partir del potencial vector basta con aplicar la definición:

– Donde se ha invertido el orden de la integral y el rotacional.

– Considerando que y que puesto que el rotacional se aplica sobre :

– donde se ha aplicado:

– Invirtiendo el orden del producto vectorial se obtiene la expresión definitiva:

Campo Magnético a partir de A

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫′′

′

′

′−×∇

πµ

=′−

′′×∇

πµ

=×∇=VV

VdrJrrrr

VdrJrArB

rr

rrrr

rrrrrr 1

44

( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫′′

′′×′−

′−πµ

−=′′×

′−∇

πµ

=VV

VdrJrr

rrVdrJ

rrrB

rr

rr

rrrr

rrrr

34

1

4

VUVUVUrrr

×∇+×∇=×∇ ( ) 0=′×∇ rJrr

rr

( ) ( ) ( )∫∫∫

′

′′−

′−×′

πµ

=V

Vdrr

rrrJrB

34

rr

rrrrrr

3

1

rr

rr

rr ′−

′−−=

′−∇ rr

rr

rr

vA




Ley de Biot-Savart

• Adaptando para corrientes superficiales:

• Y para corrientes filiformes:

• Expresión que recibe el nombre de ley de Biot-Savart.

– Observe que nuevamente se ha transferido el contenido vectorial de la corriente al diferencial de longitud, que la corriente es constante y cerrada y el detalle poco formal de colocar el diferencial de longitud delante de parte de la expresión subintegral.

( ) ( ) ( )∫∫ ′

′−

′−×′

πµ

=S

S Sdrr

rrrJrB

34

rr

rrrrrr

( ) ( )∫ ′−

′−×′

πµ

=C rr

rrldIrB

34

rr

rrrrr


Campo Magnetostático creado por un elemento de corriente.

• Si se considera un elemento de corriente del tipo que sea:

su contribución al campo será:

– Perpendicular a la corriente.

– Perpendicular al vector que une el elemento de corriente y el punto donde se calcula el campo.

– Proporcional al seno del ángulo formado por la corriente y el vector del punto anterior.

» No hay campo en la línea definida por el elemento de corriente.

– Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

– Sentido según la regla del sacacorchos.

( )( )( )

( )

′′

′′

′′

=′

ldrI

SdrJ

VdrJ

rId Srr

rr

rr

rr

( )3

4 rr

rrIdBd

′−

′−×′

πµ

= rr

rrvr dI

rdBr

r rr r− ′




Espira Circular

• Sea la espira de la figura centrada en el eje z y contenida en

• Para calcular el campo en el eje z habrá que aplicar la ley de Biot-Savart:

• En este caso:

– Sustituyendo ....

a

I

z

0zz =

( ) ( )∫ ′−

′−×′=

C rr

rrldIrB

34

rr

rrrrr

πµ

( )

( )

( ) ( )[ ] ϕ′ρ′−+=′−×′⇒ϕ′ϕ′=′

−+=′−

−+ρ′−=′−⇒

+ρ′=′

=

adzzzarrldadld

zzarr

zzzarr

zzar

zzr

ˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

0

2

0

2

0

0

rrrr

rr

rr

r

r

z z= 0

Z

O

rr zz= $

′ =z z0

r′r $ ′ρρρρ

′$ϕϕϕϕ′ =ρρρρ a


Espira Circular (2)

• Sustituyendo:

• Y considerando que:

se cancelan las componentes radiales.

• Finalmente:

( ) ( )( )( )[ ] ( )[ ]

( )

ϕ′ρ′−+ϕ′

−+πµ

=ϕ′−+

ρ′−+π

µ= ∫∫∫

πππ 2

0

0

2

023

2

0

2

0

2

023

2

0

2

00 ˆˆ4

ˆˆ

4ˆ dzzdza

zza

aId

zza

azzzaIzzB

v

( ) 0ˆsenˆcosˆ

2

0

2

0

=ϕ′ϕ′+ϕ′=ϕ′ρ′ ∫∫ππ

dyxd

( )( )[ ]

z

zza

aIzzB ˆ

2ˆ

23

2

0

2

2

0

−+

µ=

v

1rrvv ′−

2Bdv

1Bdv

2rrvv ′−

1ldv

2ldv

21BdBdvv

+

1rv′2

rv′




Espira Circular (3)

• El aspecto de las líneas de campo es el siguiente:

– En todo el espacio:

-2a -a 0 a 2a

-a

-a/2

0

a/2

a

z

ρρρρ

I

( ) ( ) ( )zzBzBrB zˆ,ˆ, ρ+ρρ= ρ

vr


Solenoide Cilíndrico Finito

• Se trata de un apilamiento de espiras por las que circula la misma corriente I.

• Se define por el radio de las espiras, a, el número de espiras por unidad de altura, n, y su altura, h.

• Normalmente se construye enrollando un hilo sobre un núcleo y se desprecia el efecto del paso de arrollamiento y de los hilos de conexión.

• Si los hilos están muy juntos se puede suponer que la corriente está distribuida uniformemente sobre la superficie lateral.

– Así, suponiendo que el eje del solenoide es el eje z:

• Por todo ello se puede aplicar:

– También puede considerarse el solenoide como un apilamiento de espiras de radio a y corriente dI=nIdz´:

a

h

I

nhIdzJInIJJh

STS =ϕ⋅=⇒ϕ=ϕ= ∫ϕ ˆˆˆvv

( ) ( )∫∫ ′

′−

′−×′

πµ

=S

S Sdrr

rrrJB

34

vv

vvvvv

( )[ ]z

zza

aznIdBd ˆ

2 23

22

2

′−+

′µ=

v




Solenoide Cilíndrico Finito (2)

• Siguiendo el primer procedimiento y limitando el cálculo al eje z:

• Tomando el origen de coordenadas en el centro del solenoide:

• Integrando en ϕ’ considerando que:

( )

( )( ) ( ) ( )[ ]nIzzzarrrJ

zzarr

zzzarr

zzar

zzr

ρ′′−+=′−×′

′−+=′−

′−+ρ′−=′−⇒

′+ρ′=′

=

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

22

rrrv

rr

rr

r

r

( ) ( )( )[ ]∫ ∫−

π′ϕ′

′−+

ρ′′−+π

µ=

2

2

2

0 23

22

ˆˆ

4ˆ

h

hzdad

zza

zzzanIzzB

v

0ˆ2

0=ϕ′ρ′∫

πd

( )( )[ ]

z

zza

zdInazzB

h

hˆ

2ˆ

2

2 23

22

2

∫−−′+

′µ=

v Con el segundo procedimiento se plantea directamente esta ecuación:

Z

O

rr zz= $

′ =z z0

r′r $ ′ρρρρ

′$ϕϕϕϕ′ =ρρρρ a


• y aplicando: se obtiene finalmente:

• Si el solenoide estuviera centrado en :

• Donde los términos del corchete sepueden interpretar como los cosenos de los ángulos de la figura:


( )( ) ( ) ( )

zzha

zh

zha

zhnIz

zza

zznIzzB

h

h

ˆ2

2

2

2

2ˆ

2ˆ

2222

2

2

22

++

−−−

−+

−µ=

−′+

−′µ=

−

r

( ) 2222322 axa

x

ax

dx

+=

+∫

( )( ) ( )

zzzha

zhz

zzha

zhznIzB

c

c

c

c ˆ2

2

2

2

2 2222

−++

−−−

+−+

−+µ=

r

cz

( ) ( )znIzB ˆcoscos

2β−α

µ=

r

zc

αααα

ββββ

h

O

z

z h zc+ −2

z h zc− −2

a




• Es inmediato que si el solenoide es muy largo, el campoen un punto de su eje dentro de él tiende a:

• Mientras que el campo en el centro de sus extremostiende justo al valor mitad:


( ) ( ) znIznI

limzBlimhzzhzh

cc

ˆˆcoscos20

22

µ=β−αµ

=π→β

→α+<<−∞→

r

zc

αααα

ββββ h

O

z( ) ( )

( ) ( ) znI

znI

limhzBlim

znI

znI

limhzBlim

ch

ch

ˆ2

ˆcoscos22

ˆ2

ˆcoscos22

2

0

2

µ=β−α

µ=−

µ=β−α

µ=+

π=β→α∞→

π→β

π=α∞→

v

v

0 5 10 15 20

z

0

0.5

1

Resultado normalizado para a=1 y h=20

nI

Bz

µ



• Aspecto de las líneas de campo:

a02a 2a

-2a

-a

0

a

2a

a

( ) ( ) ( )zzBzBrB zˆ,ˆ, ρ+ρρ= ρ

vr




• Arrollando espiras sobre superficies con simetría de revolución entorno a un eje pueden formarse solenoides de distintos tipos como cónicos, esféricos, etc.

• La densidad de arrollamiento se expresa en número de espiras por unidad de longitud a lo largo de la generatriz.

Otros Tipos de Solenoides

I

I

I I


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