El campo magnético, , es una perturbación en el espacio que se genera porefecto de cargas eléctricas en movimiento, o bien, por corriente eléctricas.

La ley que describe la generación de un campos magnético es conocida como laley de Biot-Savart, la cual se expresa:

El término m0 es la permeabilidad magnética del vacio, m0 = 4px10–7 [Tm/A], q esla carga eléctrica cuya velocidad es . El término representa el vector posiciónque se obtiene a través de la resta que hemos manejado en ocasiones anteriores,

Fuente de campo magnético

𝐵

𝐵 =𝜇0

4𝜋

𝑞𝑣 × 𝑟

|𝑟|3

�⃗� 𝑟 que se obtiene a través de la resta que hemos manejado en ocasiones anteriores,“coordenadas en donde se mide la perturbación menos las coordenadas de lapartícula que genera la perturbación”. Dada la información anterior, podemosdecir que dimensionalmente el campo magnético se mide en tesla, [T].

La evidencia experimental que acompaña la formulación de la ley de Biot-Savartson primordialmente el experimento de Oersted y el experimento de Faraday.

Veamos rápidamente los experimentos mencionados para darle “sentido” a laecuación propuesta por Biot-Savart y entender la razón del producto cruz entreel vector velocidad y el vector posición.

1

El experimento de Hans C. Oersted consiste en colocar un alambre vertical muylargo que atraviesa una hoja horizontal. En la hoja se encuentran dibujadoscírculos cuyos centros coinciden con el punto en el que el alambre atraviesa lahoja. Una vez dibujados los círculos, se hace pasar una intensidad de corrienteeléctrica por el alambre.

Si se coloca una brújula en el perímetro del circulo, Oersted observó que la agujade la brújula siempre se alineaba de forma tangencial al perímetro del círculotrazado. En otras palabras, la perturbación que genera en el espacio el paso de laintensidad de corriente eléctrica es perpendicular al desplazamiento de laintensidad de corriente eléctrica y al radio del círculo… por eso usamos el

Fuente de campo magnético

intensidad de corriente eléctrica y al radio del círculo… por eso usamos elproducto cruz para describir el campo magnético.

En el experimento de Michael Faraday se coloca un conductor, en forma deespira, que no está conectado a ninguna fuente de corriente eléctrica. Si se “metey saca” en repetidas ocasiones un imán en el interior de la espira, entonces, segenera una intensidad de corriente eléctrica en el material conductor.

A la intensidad de corriente eléctrica que se genera en un material conductor porefecto del movimiento de un imán en su interior se le conoce como corrienteeléctrica inducida.

2

Dada la evidencia anterior y la comprensión que tenemos sobre la manipulaciónde vectores generados mediante la operación producto cruz, podemos realizar unpar de representaciones gráficas que nos ayudarán a entender la relación queexiste entre los vectores de velocidad, posición y campo magnético.

Supongamos que tenemos un alambre que cruza al plano de la pantalla con unaintensidad de corriente eléctrica que sale de la pantalla. La forma de representargráficamente que la intensidad de corriente eléctrica apunta hacia afuera de unplano es empleando un punto “gordo” ( ● ) pero si quisiéramos representar queapunta hacia adentro de un plano, entonces empleamos una equis ( × ). Estarepresentación es válida para cualquier cantidad física vectorial.

Fuente de campo magnético

representación es válida para cualquier cantidad física vectorial.

Pues bien, la intensidad de corriente eléctrica saldrá del plano de la pantalla yqueremos medir el campo magnético en un punto situado a una distancia a laderecha del alambre.

3

●

Para determinar gráficamente la dirección delcampo magnético emplearemos la mano derecha.• El dedo pulgar debe apuntar en la dirección de

la intensidad de corriente eléctrica.• El dedo índice debe apuntar al “punto” en el que

se desea medir el campo magnético.• La dirección en la que apunta el dedo medio

indicará la dirección del campo magnético.

●

𝐵

|𝑟| |𝑟|

|𝑟|

Lo anterior puede ser obtenido analíticamente cuando se coloca un espacioeuclidiano y se le asocian coordenadas a cada uno de los vectores.

Supongamos que el plano de la pantalla es el plano formado por los ejescartesianos x y y. Con el eje cartesiano x apuntando a la derecha y el ejecartesiano y apuntando hacia arriba. El eje cartesiano z es perpendicular alplano xy y apuntará hacia afuera de la pantalla.

Con el espacio euclidiano anterior, las coordenadas cartesianas asociadas a laintensidad de corriente eléctrica, o mejor dicho, a la velocidad de arrastre de laspartículas con carga eléctrica, serán (0, 0, ) mientras que las coordenadas

Fuente de campo magnético

|𝑣| partículas con carga eléctrica, serán (0, 0, ) mientras que las coordenadascartesianas asociadas al punto de medición serán ( , 0, 0).

Si realizamos el producto cruz entre el vector velocidad de arrastre y el vectorposición tendremos:

El vector campo magnético apunta en la dirección positiva del eje cartesiano y.4

𝐵~�⃗� × 𝑟 … 𝐵~(0, 0, |𝑣|) × (|𝑟|, 0, 0) … 𝐵~𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘

0 0 |�⃗�|

|𝑟| 0 0

𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘

0 0 |𝑣|

|𝑟| 0 0

= 𝑖̂ 0 |�⃗�|0 0

− 𝑗̂0 |𝑣|

|𝑟| 0+ 𝑘

0 0|𝑟| 0

= |�⃗�||𝑟|𝑗 ̂ … 𝐵~|𝑣||𝑟|𝑗̂

|𝑣| |𝑟|

●

𝐵

𝑟 x

y

Si extendemos la información anterior para toda distancia situada de formaradial al alambre, la dirección del vector campo magnético será:

Fuente de campo magnético|𝑟|

𝐵

●|𝑟|

𝐵

𝐵

𝐵

Intensidad de corriente eléctrica “saliente”

𝐵 ×|𝑟|

𝐵

𝐵

𝐵

Intensidad de corriente eléctrica “entrante”

Como se puede observar, independientemente de la dirección de la intensidad decorriente eléctrica o del vector velocidad asociado a los portadores de cargaeléctrica, el vector campo magnético se mantiene tangente al perímetro delcirculo de radio .

Aquí puedes aplicar nuevamente la mano derecha, si apuntas el dedo pulgar enla dirección de la intensidad de corriente eléctrica, tus otros cuatro dedos sedoblan en la dirección del campo magnético.

Este análisis nos permite explicar el experimento de Oersted empleando la ley deBiot-Savart.

5

|𝑟|

Ejercicio 1.Un electrón con velocidad constante (3.0x106, –1.0x106, 2.0x106) m/s pasa porun punto de coordenadas (2.0, 4.0, 6.0) mm. Determina, para ese instante deltiempo, el vector campo magnético y el vector campo eléctrico en el punto decoordenadas (–1.0, –4.0, 2.0)mm.

Para resolver el ejercicio recurriremos a la ley de Biot-Savart para determinar elvector campo magnético y a la ecuación del vector campo eléctrico derivada deltratamiento de la ley de Coulomb.

Fuente de campo magnético

𝐵 =𝜇0

4𝜋

𝑞𝑣 × 𝑟

|𝑟|3 𝐸 =

𝑘𝑞𝑟

|𝑟|3

En ambos vectores de campo es requerido determinar el vector de posición .Recuerda que las coordenadas de este vector se obtienen restando lascoordenadas en donde se mide la perturbación menos las coordenadas de lapartícula que genera la perturbación.

Ahora podemos determinar los vectores campo magnético y campo eléctrico.

6

𝐵 =𝜇0

4𝜋

𝑞𝑣 × 𝑟

|𝑟|3 𝐸 =

𝑘𝑞𝑟

|𝑟|3

𝑟

𝑟 = (−1.0, −4.0, 2.0) − (2.0, 4.0, 6.0) = (−3.0, −8.0, −4.0) mm

Para el vector campo magnético:

Lo primero que debe hacerse es resolver el producto cruz entre el vectorvelocidad y el vector posición:

Fuente de campo magnético

𝐵 =𝜇0

4𝜋

𝑞𝑣 × 𝑟

|𝑟|3

𝐵 =(4𝜋𝑥10−7)

4𝜋

(−1.6𝑥10−19)(3.0𝑥106, −1.0𝑥106, 2.0𝑥106) × (−3.0𝑥10−3, −8.0𝑥10−3, −4.0𝑥10−3)

[(−3.0𝑥10−3)2 + (−8.0𝑥10−3)2 + (−4.0𝑥10−3)2]3 2⁄

�⃗� × 𝑟 =𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘

3.0𝑥106 −1.0𝑥106 2.0𝑥106

−3.0𝑥10−3 −8.0𝑥10−3 −4.0𝑥10−3

= (2.0𝑥104, 6.0𝑥103, −2.7𝑥104)

Ahora podemos sustituir el resultado del producto cruz para finalizar el cálculodel vector campo magnético.

7

�⃗� × 𝑟 =𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘

3.0𝑥106 −1.0𝑥106 2.0𝑥106

−3.0𝑥10−3 −8.0𝑥10−3 −4.0𝑥10−3

= (2.0𝑥104, 6.0𝑥103, −2.7𝑥104)

𝐵 =(4𝜋𝑥10−7)

4𝜋

(−1.6𝑥10−19)(2.0𝑥104, 6.0𝑥103, −2.7𝑥104)

[(−3.0𝑥10−3)2 + (−8.0𝑥10−3)2 + (−4.0𝑥10−3)2]3 2⁄

𝐵(−3.8𝑥10−16, −1.1𝑥10−16, 5.1𝑥10−16) T

Para el vector campo eléctrico:

Una de las características principales que existe entre el campo magnético y elcampo eléctrico es que estas dos perturbaciones son perpendiculares; es decir,

Fuente de campo magnético

𝐸 =𝑘𝑞𝑟

|𝑟|3

𝐸 =(9𝑥109)(−1.6𝑥10−19)(−3.0𝑥10−3, −8.0𝑥10−3, −4.0𝑥10−3)

[(−3.0𝑥10−3)2 + (−8.0𝑥10−3)2 + (−4.0𝑥10−3)2]3 2⁄

𝐸(5.1𝑥10−6, 1.4𝑥10−5, 6.9𝑥10−6) N/C

campo eléctrico es que estas dos perturbaciones son perpendiculares; es decir,entre ellas forman un ángulo de 90.0 grados.

Una operación que nos permite corroborar la perpendicularidad entre estos dosvectores de campo es el producto punto, en el cual, si dos vectores cualquierason perpendiculares entre ellos, entonces, el producto punto será cero.

8

𝐵⦁𝐸 = (−3.8𝑥10−16, −1.1𝑥10−16, 5.1𝑥10−16) ⦁(5.1𝑥10−6, 1.4𝑥10−5, 6.9𝑥10−6)

𝐵⦁𝐸 = −1.9𝑥10−21 − 1.6𝑥10−21 + 3.5𝑥10−21 = 0 TN/C

Ahora pensemos en la situación de que la fuente generadora de campomagnético es una intensidad de corriente eléctrica que circula por un elementoconductor o un alambre.

La expresión de la ley de Biot-Savart está escrita en términos de la cargaeléctrica de los portadores de carga eléctrica, q, y la velocidad a la que estos semueven, , así que recurriremos a los conceptos de intensidad de corrienteeléctrica para poner la ley de Biot-Savart en términos de la intensidad decorriente eléctrica, I.

Con esta finalidad, multiplicaremos la ley de Biot-Savart por un término que

Fuente de campo magnético

𝑣

Con esta finalidad, multiplicaremos la ley de Biot-Savart por un término querepresente dimensionalmente un “uno conveniente” el cual está asociado con ladensidad volumétrica de portadores de carga eléctrica, n. Cuando se discutió lanaturaleza de la densidad volumétrica de portadores de carga eléctrica,mencionamos que esta densidad estaba multiplicada por el volumen delconductor que sirve de medio para transportar la intensidad de corrienteeléctrica. De esta forma, podemos decir que el “uno conveniente” queemplearemos será nAL. En donde n es la densidad volumétrica de carga eléctrica,L la longitud del alambre y A el área transversal del alambre.

9

𝐵 = 𝑛𝐴𝐿𝜇0

4𝜋

𝑞𝑣 × 𝑟

|𝑟|3

Otra forma de entender que la ecuación de la ley de Biot-Savart sea multiplicadapor el término nAL es el hecho de que el campo magnético obedece el principiode superposición, el cual fue discutido en clase cuando se analizó campoeléctrico. Lo que el principio de superposición refiere es que la perturbación decampo en un punto es el resultado de sumar todas las perturbaciones quegeneran N partículas con carga eléctrica.

Como la intensidad de corriente eléctrica puede expresarse como I = n q A,entonces, la ley de Biot-Savart puede escribirse como:

Fuente de campo magnético

𝐵 = 𝑛𝐴𝐿𝜇 0

4𝜋

𝑞𝑣×𝑟

|𝑟|3 … 𝐵 =𝜇 0

4𝜋

𝑛𝐴𝑞|𝑣|𝐿×𝑟

|𝑟|3 … 𝐵 =𝜇 0

4𝜋

𝐼𝐿×𝑟

|𝑟|3

|𝑣|

Observa que al realizar la sustitución para que la ecuación del vector campomagnético esté en función de la intensidad de corriente eléctrica, lacaracterística vectorial que antes estaba asociada al vector velocidad de losportadores de carga eléctrica ahora está asociada a su vector desplazamiento, .Esto es posible porque la dirección que tiene el vector velocidad de los portadoresde carga eléctrica es la misma que el vector desplazamiento que tienen losportadores de carga eléctrica en el alambre; es decir, representará la direcciónen la que se mueve la intensidad de corriente eléctrica.

Analicemos los efectos de la expresión de Biot-Savart encontrada en un par decasos: espira y alambre finito.

10

𝐵 = 𝑛𝐴𝐿𝜇 0

4𝜋

𝑞𝑣×𝑟

|𝑟|3 … 𝐵 =𝜇 0

4𝜋

𝑛𝐴𝑞|𝑣|𝐿×𝑟

|𝑟|3 … 𝐵 =𝜇 0

4𝜋

𝐼𝐿×𝑟

|𝑟|3

𝐿

𝐿

Alambre finito.

Consideremos un segmento de alambre recto de longitud L por el que circula unaintensidad de corriente eléctrica I.

Para determinar el campo magnético elegiremos un punto situado a unadistancia D sobre la bisectriz del alambre. Dado que la expresión de campomagnético es vectorial, requerimos de un espacio euclidiano para resolver.

Fuente de campo magnético

y

D

Debido al espacio euclidiano elegido, la intensidad de corriente eléctrica tendráasociado un vector desplazamiento en el eje cartesiano x y tendrá coordenadascartesianas (x, 0, 0) m, válidas entre –L/2 hasta L/2, mientras que el punto demedición estará situado en las coordenadas (0, D, 0) m.

Retomemos la ecuación de Biot-Savart en término de la intensidad de corrienteeléctrica:

11

xI

𝐵 =𝜇0

4𝜋

𝐼𝐿 × 𝑟

|𝑟|3

L

La ecuación está en términos del vector posición el cual está asociado con ladistancia que existe entre cualquier segmento del alambre al punto de medición.Debido a que se puede plantear más de una distancia entre los segmentos delalambre y el punto de medición, entonces, debemos plantear un vectordiferencial para dichos segmentos, . Como el alambre está en el eje cartesianox el vector diferencial puede reescribirse como (dx, 0, 0) m.

Fuente de campo magnético

x

y

I

D

𝑟

𝑟

𝑑𝑙

Dado lo anterior, la ecuación de la ley de Biot-Savart en su expresión diferencialserá:

Para resolver la ecuación anterior primero determinaremos las coordenadas delvector posición , mediante “coordenadas donde se mide menos coordenadasdonde se genera”. Recuerda medimos en (0, D, 0) m y generamos en (x, 0, 0) m.

12

x

𝑑𝐵 =𝜇0

4𝜋

𝐼𝑑𝑙 × 𝑟

|𝑟|3

𝑟

𝑟 = (0, 𝐷, 0) − (𝑥, 0, 0) = (−𝑥, 𝐷, 0)

Con el vector posición ahora podemos resolver el producto cruz.

Si cambiamos el resultado del producto cruz en la ecuación de la ley de Biot-Savart, tenemos:

Sustituyendo la magnitud del vector posición llegamos a:

Fuente de campo magnético

𝑑𝑙 × 𝑟 =𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘

𝑑𝑥 0 0−𝑥 𝐷 0

= (0, 0, 𝐷𝑑𝑥) = 𝐷𝑑𝑥𝑘

𝑑𝐵 =𝜇0

4𝜋

𝐼 𝐷 𝑑𝑥 𝑘

|𝑟|3

𝑑𝐵 =𝜇0

4𝜋

𝐼 𝐷 𝑑𝑥 𝑘

[𝑥2 + 𝐷2]3 2⁄

Resolviendo la integral empleando el método de sustitución trigonométrica:

13

𝑑𝐵 =𝜇0

4𝜋

𝐼 𝐷 𝑑𝑥 𝑘

[𝑥2 + 𝐷2]3 2⁄

𝐵 =  𝜇0 𝐼 𝐷

4𝜋

𝑥

𝐷2√𝑥2 + 𝐷2

𝐿/2

−𝐿 2⁄𝑘 𝐵 =

𝜇0 𝐼

4𝜋 𝐷

⎣⎢⎢⎡

𝐿

𝐿2

2

+ 𝐷2⎦⎥⎥⎤

𝑘

𝐵 =𝜇0 𝐼

2𝜋 𝐷

𝐿

√𝐿2 + 4𝐷2𝑘

Vector campo magnético generado por un alambre recto que transporta una

intensidad de corriente eléctrica I.

x

y

Ejercicio 2.Considera cuatro alambres, cada uno de 0.2 m de longitud, que forman unaespira cuadrada en el plano xy y determina la magnitud del campo magnéticoen el centro de la espira si la intensidad de la corriente eléctrica que setransporta en la espira es 5.0 A.

Fuente de campo magnético

I Para resolver el ejercicio es requerido elegir una dirección demovimiento para la intensidad de corriente eléctrica.Supongámosla horario en el plano xy.

Si empleamos la mano derecha para cada alambre, podemos

Como los cuatro vectores de campo magnético, uno por cada alambre, ingresanal plano xy y los cuatro alambres son equidistante al punto de análisis (centrode espira), entonces, bastará determinar la magnitud de un campo magnéticopara que al multiplicar por cuatro se de respuesta al ejercicio.

Por lo que la magnitud del vector campo magnético en el centro de la espiracuadrada es 2.83x10–5 T.

14

Si empleamos la mano derecha para cada alambre, podemosdeducir que la dirección del campo magnético es haciaadentro del plano xy.

𝐵 =𝜇0 𝐼

2𝜋 𝐷

𝐿

√𝐿2+4𝐷2 … 𝐵 =

4𝜋𝑥 10−7 (5.0)

2𝜋 (0.1)

(0.2)

(0.2)2+4(0.1)2= 7.07𝑥10−6 T

Extrapolando la ecuación de alambre finito para el caso de un alambre muy largoo infinito que transporta una intensidad de corriente eléctrica, en donde lacondición de alambre infinito es L >>> D tal que L2 + 4D2 ~L2, tenemos:

Si analizamos el vector campo magnético desde un punto de vista radial como enla diapositiva 5, tal que D es cambiado por R, entonces podemos escribir:

Fuente de campo magnético

𝐵 =𝜇0 𝐼

2𝜋 𝐷

𝐿

√𝐿2+4𝐷2𝑘 … 𝐵 =

𝜇 0 𝐼

2𝜋 𝐷

𝐿

√𝐿2𝑘 … 𝐵 =

𝜇0 𝐼

2𝜋 𝐷𝑘

Vector campo magnético generado por un alambre infinito que transporta una intensidad de

corriente eléctrica I.

𝐵 =𝜇 0 𝐼

2𝜋 𝐷𝑘 … 𝐵 =

𝜇0 𝐼

2𝜋 𝑅 … 𝐵 2𝜋 𝑅 = 𝜇0 𝐼

En donde el término 2pR representa el arco circular de análisis (análogo alexperimento de Oersted). Si quisiéramos regresar las características vectorialesal campo magnético entonces deberíamos realizar un producto punto con unvector asociado con el arco, pues el resultado es un escalar, m0 I; dicho vector seconoce como el diferencial del arco, .

Esta ecuación es conocida como la ley de Ampère.

15

𝐵 =𝜇 0 𝐼

2𝜋 𝐷𝑘 … 𝐵 =

𝜇0 𝐼

2𝜋 𝑅 … 𝐵 2𝜋 𝑅 = 𝜇0 𝐼

𝑑𝑠

𝐵 ⦁𝑑𝑠 = 𝜇0 𝐼

La ley de Ampère permite determinar de una forma más rápida la magnitud delvector campo magnético generado por una intensidad de corriente eléctricaaprovechando la simetría de los elementos que transportan dicha intensidad decorriente eléctrica.

De forma análoga a la ley de Gauss para campos eléctricos, en la ley de Ampèredebe de plantearse la existencia no de una superficie gaussiana que encierra lacarga eléctrica, sino de una curva cerrada, denominada espira amperiana, queencierra a la intensidad de corriente eléctrica.

La dirección del vector diferencial de arco, , asociado con la espira amperiana

Fuente de campo magnético

𝑑𝑠 La dirección del vector diferencial de arco, , asociado con la espira amperianaes la misma dirección que se utiliza para recorrer dicha espira. Supón que tienesun círculo y sigues, sobre su arco, una trayectoria horario, entonces, la direccióndel vector diferencial de arco, , será horario.

Ten presente que así como la ley de Gauss para campos eléctricos incluye a laley de Coulomb, la ley de Ampère incluye la ley de Biot-Savart. Estas dos leyes,ley de Gauss para campos eléctricos y ley de Ampère para campos magnéticos,forman parte de las ecuaciones de Maxwell que describen el electromagnetismoclásico.

16

𝑑𝑠

𝑑𝑠

Uno de los usos más comunes de la ley de Ampère es la determinación de lamagnitud del vector campo magnético en el interior de un solenoide y un toroide.Las cuales serán demostradas, sin mucho detalle, en esta presentación.

Solenoide.

Considerando un solenoide ideal en donde la magnitud del campo magnéticoafuera del solenoide vale 0 T, entonces, podemos plantear una espira amperiana

Fuente de campo magnético

afuera del solenoide vale 0 T, entonces, podemos plantear una espira amperianasiguiendo la trayectoria abcd, de forma que la ley de Ampère será:

De las cuatro integrales, la segunda y la cuarta vale cero debido a que el vectorcampo magnético y el diferencial de trayectoria son perpendiculares mientrasque la tercera integral es cero debido al que el campo magnético se asumió ceroafuera del solenoide.

17Imágenes tomadas de Sears Zemansky de Física Universitaria.

𝐵 ⦁𝑑𝑠 = 𝐵⦁𝑑𝑠𝑏

𝑎

+ 𝐵⦁𝑑𝑠𝑐

𝑏

+ 𝐵⦁𝑑𝑠𝑑

𝑐

+ 𝐵⦁𝑑𝑠𝑎

𝑑

Dado lo anterior, tenemos que:

Pero la intensidad de corriente eléctrica encerrada por la espira amperianadepende del número de alambres que están enrollados por cada longitud L, asíque definiremos una densidad lineal de devanado, n, tal que el número dealambres encerrados por la espira amperiana será nL, así que la intensidad decorriente eléctrica encerrada será InL.

Sustituyendo el valor de la intensidad de corriente eléctrica encerrada por la

Fuente de campo magnético

𝐵⦁𝑑𝑠𝑏

𝑎

= 𝜇𝑜 𝐼

Sustituyendo el valor de la intensidad de corriente eléctrica encerrada por laespira amperiana en la ley de Ampère y resolviendo el producto punto entre elcampo magnético, que es constante en el interior del solenoide, y la trayectoriade la espira amperiana, a→b, tenemos:

La ecuación anterior permite determinar la magnitud del campo magnético en elinterior de un solenoide.

18

∫ 𝐵⦁𝑑𝑠𝑏

𝑎= 𝜇𝑜 𝐼 … ∫ 𝐵 |𝑑𝑠|

𝑏

𝑎cos 𝜃 = 𝜇𝑜 𝐼 𝑛 𝐿 … 𝐵 𝐿 = 𝜇𝑜 𝐼 𝑛 𝐿

𝐵 = 𝜇𝑜 𝐼 𝑛

Toroide.

Un toroide puede pensarse como un solenoide que se dobla para formar una“dona” (Toroide). Debido a la simetría, el vector campo magnético en el interiordel toroide forma círculos concéntricos con el toroide.

En este caso elegiremos una espira amperiana circular (anillo amperiano),

Fuente de campo magnético

En este caso elegiremos una espira amperiana circular (anillo amperiano),situada en el interior del toroide, cuya trayectoria será igual que la dirección delcampo magnético. Dado que toda la intensidad de corriente eléctrica estáencerrada por el anillo amperiano, sólo resta multiplicar la intensidad decorriente eléctrica por el número de espiras, N, para determinar la magnitud delcampo magnético.

un

19Imágenes tomadas de Sears Zemansky de Física Universitaria y de Halliday, Resnick, Krane de Física vol. 2

∮ 𝐵 ⦁𝑑𝑠 = 𝜇0 𝐼 … ∮ 𝐵 |𝑑𝑠|𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝜇0 𝑁 𝐼 … 𝐵 2𝜋𝑅 = 𝜇0 𝑁 𝐼

𝐵 =𝜇0 𝑁 𝐼

2𝜋𝑅

Espira.

Retomando la ley de Biot-Savart, consideremos una espira circular de radio Rformada por un alambre en el que circula una intensidad de corriente eléctrica I.

Para determinar el vector campo magnético elegiremos un punto situado a unadistancia D del centro de la espira que sea equidistante a todos los segmentosque componen la espira. Dado que la expresión de campo magnético es vectorial,requerimos de un espacio euclidiano para resolver.

Fuente de campo magnético

z

Debido al espacio euclidiano elegido, la espira está en el plano xy y tendrácoordenadas cartesianas (Rcosq, Rsenq, 0) m, siendo q el ángulo que forma R,para cada segmento de la espira, naciente del eje cartesiano x y con validez en elintervalo 0 ≤ q ≤ 2p.

El punto de medición estará situado en las coordenadas (0, 0, D) m.

20

yI

D

x

R I

Para resolver la ecuación de la ley de Biot-Savart, primero debemos establecerlas coordenadas del vector posición el cual está asociado con la distancia queexiste desde cualquier segmento de la espira hasta el punto de medición.

Las coordenadas del vector serán (–Rcosq, –Rsenq, D) e independientemente delvalor de q, la distancia de separación entre la espira y el punto de medición serála misma. En este punto recurriremos a la operatividad de que la solución alproducto cruz entre dos vectores es el producto de la magnitud de los dosvectores por el seno del ángulo que forman, el cual es 90.0 grados.

Fuente de campo magnético

𝑟

𝑟

z

D I

De esta forma, el producto cruz será:

Sustituyendo este resultado en la ecuación de Biot-Savart obtenemos lamagnitud del vector diferencial de campo magnético:

21

𝑑𝑙 × 𝑟 = 𝑑𝑙 |𝑟|𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑑𝑙 |𝑟|

𝑟

yI

D

x

I

𝑑𝐵 =𝜇0

4𝜋

𝐼 𝑑𝑙 |𝑟|

|𝑟|3=

𝜇0

4𝜋

𝐼 𝑑𝑙

|𝑟|2

a

Para facilitar la resolución del ejercicio, realizaremos un análisis fenomenológicode los diferentes diferenciales de campo magnético que se generan por cadasegmento de la espira. Para ello, elegiremos dos segmentos de la espira que esténdiametralmente opuestos.

Fuente de campo magnético

𝑟1

y

z

I

D

x

R I

𝑑𝐵1

𝑟2

𝑑𝐵2

De la representación anterior, podemos concluir que las componentes en elplano xy del vector diferencial de campo magnético se cancelan y únicamente sesumarán las componentes cartesianas en el eje z. Dado lo anterior resolveremosla integral para determinar la componente Bz pues Bx = By = 0 T.

A la conclusión anterior se podía llegar empleando la mano derecha. Si doblaslos cuatro dedos de tu mano, excluyendo el dedo pulgar, en la dirección de laintensidad de corriente eléctrica, el dedo pulgar apuntará en la dirección delcampo magnético.

22

x

Para cambiar el diferencial del campo magnético por el diferencial del campomagnético únicamente en la componente en z, , emplearemos semejanza detriángulos.

Fuente de campo magnético

𝑟1

y

z

I

D

x

R I

𝑑𝐵1

𝑟2

𝑑𝐵2

𝑑𝐵

𝑑𝐵𝑧

f

R

|𝑟| D

𝑑𝐵 f 𝑑𝐵𝑧

𝑐𝑜𝑠𝜙 =𝑅

|𝑟|

𝑐𝑜𝑠𝜙 =𝑑𝐵𝑧

𝑑𝐵

𝑅

|𝑟|=

𝑑𝐵𝑧

𝑑𝐵

De la relación encontrada a partir de la semejanza de triángulos, podemosexpresar la ley de Biot-Savart en términos del diferencial del campo magnéticoúnicamente en su componente cartesiana z.

Ahora debemos cambiar el término por la variación angular que refiere a q.

23

𝑑𝐵𝑐𝑜𝑠𝜙 =

𝑑𝐵

𝑑𝐵

𝑑𝐵𝑧 = 𝑑𝐵𝑅

|𝑟|=

𝜇0

4𝜋

𝐼 𝑑𝑙

|𝑟|2

𝑅

|𝑟|=

𝜇0

4𝜋

𝐼 𝑅 𝑑𝑙

|𝑟|3

𝑑𝑙

Dado que representa a los segmentos de la espira que en su conjunto formanel arco circular, entonces, este diferencial puede ser expresado en términos de lavariación angular d q, tal que, . Si cambiamos el diferencial asociado conlos segmentos en la ecuación del campo magnético en la componente cartesianaz y resolvemos la integral tenemos:

La última ecuación nos permite determinar la componente cartesiana z del

Fuente de campo magnético

𝑑𝐵𝑧 =𝜇0

4𝜋

𝐼 𝑅 𝑑𝑙

|𝑟|3 … 𝑑𝐵𝑧 =𝜇0

4𝜋

𝐼 𝑅2𝑑𝜃

|𝑟|3 … ∫ 𝑑𝐵𝑧𝐵𝑧

0= ∫

𝜇0

4𝜋

𝐼 𝑅2𝑑𝜃

|𝑟|3

2𝜋

0

𝐵𝑧 =𝜇 0

4𝜋

𝐼 𝑅2

|𝑟|3 ∫ 𝑑𝜃2𝜋

0 … 𝐵𝑧 =

𝜇0

4𝜋

𝐼 𝑅2

|𝑟|3 (2𝜋) … 𝐵𝑧 =𝜇0

2

𝐼 𝑅2

|𝑟|3

𝑑𝑙

𝑑𝑙 = 𝑅𝑑𝜃

La última ecuación nos permite determinar la componente cartesiana z delvector campo magnético. Recuerda que las otras componentes cartesianas delvector campo magnético, Bx y By, son cero.

24

𝐵 =4𝜋 |𝑟|

∫ 𝑑𝜃0

𝐵 =4𝜋 |𝑟|

(2𝜋) 𝐵 =2 |𝑟|

Observa que sin importar el signo del valor delpunto de medición, el campo magnético serápositivo en el eje cartesiano z. Lo anterior es efectodirecto de la dirección de la corriente eléctrica.

y

z

I

x

I

𝐵

𝐵

𝐵

Para determinar el campo magnético en el centro de la espira, D = 0 m, así que alevaluar este punto en la ecuación del campo magnético tenemos:

𝑧𝜇 0

2

𝐼 𝑅2

|𝑟|3 … 𝑧𝜇0

2

𝐼 𝑅2

[𝑅2+𝐷2]3 2⁄ … 𝑧𝜇0

2

𝐼 𝑅2

𝑅3 … 𝑧𝜇0 𝐼

2 𝑅

Ejercicio 3.Considera dos espiras circulares paralelas que tienen radio de 0.2 m y distanciade separación entre sus centro de 0.2 m. Ambas espiras transportan igualintensidad de corriente eléctrica (I = 10.0 A) en la misma dirección. Determinala magnitud del campo magnético a la mitad de la distancia de separación de loscentros de la espira y en el centro de una espira.

Este dispositivo, dos espiras circulares de radio R distanciados sus centros unadistancia R, es conocida como bobina de Helmholtz.

Las espiras se considerarán paralelas al plano xy.

Fuente de campo magnético

Las espiras se considerarán paralelas al plano xy.

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y

z

I

x

R

R

I R

Para resolver el ejercicio es requerido elegir una direcciónde movimiento para la intensidad de corriente eléctrica.

Con la dirección de movimiento de la intensidad decorriente eléctrica podemos definir que la dirección delvector campo magnético será positivo en el eje cartesiano z.Observa que en ambas espiras las dirección del vectorcampo magnético es la misma.

Fuente de campo magnético

y

z

I

x

RI

R

I R

I

En el primer punto de análisis, a la mitad de la distancia de separación de loscentros de la espira, como ambas espiras son equidistantes al punto demedición bastará con determinar el campo magnético que genera una de ellas y

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medición bastará con determinar el campo magnético que genera una de ellas yse multiplicará por dos.

En el segundo punto determinaremos el campo magnético que genera cadaespira (una en el centro y otra a distancia D = 0.2 m) y se sumarán amboscampos magnéticos.

𝑧𝜇 0

2

𝐼 𝑅2

[𝑅2+𝐷2]3 2⁄ … 𝑧4𝜋𝑥10−7

2

(10.0)(0.2)2

[(0.2)2+(0.1)2]3 2⁄−5 T

𝑧𝜇 0 𝐼

2 𝑅 … 𝑧

4𝜋𝑥10−7 (10.0)

2 (0.2)−5 T

𝑧𝜇0

2

𝐼 𝑅2

[𝑅2+𝐷2]3 2⁄ … 𝑧4𝜋𝑥 10−7

2

(10.0)(0.2)2

[(0.2)2+(0.2)2]3 2⁄−5 T

𝑧−5 T

Si retomamos el análisis de la dirección del campo magnético sobre el ejecartesiano z como función de la dirección de la intensidad de corriente eléctricaen una espira, podemos imaginar que por arriba de la espira, el campomagnético está “saliendo” del plano xy pero por debajo de la espira está“entrando” al plano xy.

Fuente de campo magnético

I

I 𝐵 𝐵

Si ahora suponemos que tenemos una superficie gaussiana esférica yconcéntrica con el centro de la espira, las líneas de campo magnético entrarán ysaldrán de nuestra superficie, por lo que el flujo de campo magnético, FB es cero.

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I

I

Φ𝐵 = 𝐵 ⦁𝑑𝐴 = 0

Ley de Gauss para campos magnéticos

𝐵 𝐵

El comportamiento que acabamos de describir a través de la expresión de ley deGauss para campos magnéticos es una particularidad propia de los sistemasmagnéticos, como por ejemplo, los imanes.

En un imán, las líneas asociadas con el campo magnético “salen” del polo norte e“ingresan” por el polo sur.

Si un imán se rompe con la intención de separar el polo norte del polo sur, seráuna labor inútil pues ahora se tendrían dos imanes en donde cada uno de ellostendrá su polo norte y su polo sur. Es decir, no es posible separar los polosmagnéticos para generar los conocidos “monopolos magnéticos”.

Fuente de campo magnético

magnéticos para generar los conocidos “monopolos magnéticos”.

Cabe mencionar que en 1931 Paul Dirac propuso la existencia de estosmonopolos basándose en cuestiones de mecánica cuántica y simetría pero hastael día de hoy, la propuesta de Dirac es sólo una predicción teórica.

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I

I N

S

Ejercicio para resolver.

1) Una espira circular (R = 0.1 m) conduce una corrienteeléctrica de 2.0 A en el sentido de las manecillas del reloj. Siel centro de la espira está a una distancia de 0.2 m porarriba de un alambre recto y muy largo que transportacorriente de 3.0 A, ¿cuánto vale la magnitud del campomagnético en el centro de la espira?

2) Tres alambres muy largos se configuran de tal forma queforman un triángulo equilátero con tamaño de arista de unmetro. El alambre uno, A , transporta 10.0 A, el alambremetro. El alambre uno, A1, transporta 10.0 A, el alambredos, A2, transporta 20.0 A mientras que el alambre tres, A3,transporta 15.0 A. Determina la magnitud del campomagnético en el centro del triángulo. La dirección de laintensidad de la corriente eléctrica en cada alambre semuestra en la imagen.

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3) Una espira rectangular de dimensiones 20.0 cm y 40.0 cm, está situada en elplano yz y transporta una corriente eléctrica de 2.0 mA. Determina la magnituddel campo magnético que se genera en el centro de la espira.