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Extremos de funciones de varias variables

U. D. de Matemticas de la ETSITGC Asignatura: Mtodos Matemticos 1

1.- Se va a construir un almacn de 500 m3 de volumen con forma de paraleleppedo. El aire caliente que produzca su sistema de calefaccin ascender, lo que supondr una prdida de calor por unidad de techo igual a 5 veces la que se produzca por el suelo. Si la prdida de calor a travs de las 4 paredes laterales es, por unidad de rea, triple que en el suelo, determinar las dimensiones del almacn que minimizan las prdidas de calor y en consecuencia el coste de calefaccin.

2.- Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto 1,2,3P0 y que corta a los semiejes coordenados OY ,OX y OZ determinando un tetraedro de volumen mnimo.

3.- Hallar, si existen, los valores mximo y mnimo absolutos en 2R de la funcin: 1y2yxxy,xf 22

4.- Consideremos una placa circular de radio 22 y centro en el origen. La temperatura en cada punto P(x, y) de la placa viene dada por xyyxyxT 3, 33 ; localizar el punto ms caliente y el punto ms fro de la placa.

5.- Un cuerpo est limitado por la superficie 1zyx 222 . La densidad del cuerpo depende de cada punto: yzxzxyzyx6z,y,xD . Hallar los puntos del cuerpo en los cuales es mxima o mnima la densidad as como el valor de sta en ellos.

6.- Sea c la curva interseccin de las dos superficies: 1zyxyx 222 , 1yx 22 . Hallar los puntos de c que estn ms prximos al origen.

7.- Hallar el mximo de la funcin y2x3y,xf en la regin

0y ,0x/Ry,xS 2 bajo la restriccin xy + x + y = 5.

8.- Estudiar los valores extremos de la funcin x12y9x2z 23 sometidos a la condicin x + y = 0.

9.- Usar multiplicadores de Lagrange para calcular las dimensiones de un depsito cilndrico circular recto de volumen 8 m3 y rea mnima.

10.- Encontrar los puntos donde la funcin f(x, y) = x2 + y2- xy - x - y alcanza sus valores mximo y mnimo absolutos en el recinto: A = 3y x,0y ,0x/Ry,x 2 .

11.- Consideremos la funcin 2222),( yxeyxyxf para 0 , se pide:

a) Para =1, = 2, representarla con Derive e identificar sus extremos y puntos de silla.

b) Lo mismo para =-1, = 2



c) Lo mismo para y cualesquiera (que cumplan la condicin)

12.- Se ha de construir una conduccin de agua desde P hasta S. La construccin tiene coste diferente segn la zona (ver figura 1). Usar multiplicadores de Lagrange para hallar x, y, z tales que el coste C sea mnimo, supuesto que el coste por km es 300 entre P y Q, 200 entre Q y R y 100 entre R y S

13.- Usar multiplicadores de Lagrange para calcular: a) Las dimensiones r, h de un depsito cilndrico circular recto de volumen 100 m3 y rea mnima. b) Las dimensiones r, h de un depsito como el de la figura 1, de volumen 100 m3 y rea mnima. c) Comenta los resultados anteriores

14.- Hallar los puntos crticos de la funcin 2222 41 yxxyz y estudiarlos concluyendo cules corresponden a extremos relativos y cules son puntos de silla.

15.- Una seccin cnica C se obtiene mediante la interseccin del cono z2 =x2+ y2 con el plano z= 1+x+y. Hallar los puntos de la cnica C que estn ms prximos y ms lejanos del origen.

16.- A continuacin se dan las derivadas de segundo orden de una funcin z = f(x,y) diferenciable que verifica el teorema de Swartz. Se supone que en (x0, y0) las derivadas parciales se anulan, decidir, en cada caso, si en (x0, y0) hay un mximo relativo, un mnimo relativo, un punto de silla o si la informacin es insuficiente.

a) 5y,xf 00xx , xy 0 0f x , y 5 , yy 0 0f x , y 4 b) 9y,xf 00xx , 5y,xf 00xy , yy 0 0f x , y 6 c) 4y,xf 00xx , 7y,xf 00xy , 16y,xf 00yy d) xx 0 0f x , y 9 , xy 0 0f x , y 6 , yy 0 0f x , y 4

17.- Una empresa fabrica dos productos. Los ingresos por la venta de x unidades del primer producto y de y unidades del segundo producto son R(x, y)= - 5x2- 8y2- 2xy + 42x +102y Hallar el nmero de unidades x e y que debe vender para que los ingresos obtenidos sean mximos.

18.- Usar multiplicadores de Lagrange para calcular la distancia mnima del punto P(2,1,1):

a) a la superficie z2 = x2 + y2 b) al plano x + y + z = 1

Figura 1

2km

1km

x y z

10 km

P

Q

R S



19.- Un contenedor (sin tapa) en forma de paraleleppedo ha de tener un volumen de 18m3. Se pide determinar, usando multiplicadores de Lagrange, las dimensiones que hacen mnimo su coste, sabiendo que la base cuestan 5 el m2, y los laterales 3 el m2

20.- Una empresa fabrica dos productos. Los ingresos por la venta de x unidades del primer producto y de y unidades del segundo producto son R(x, y)= - 5x2- 8y2- 2xy + 42x +102y. Hallar el nmero de unidades x e y que debe vender para que los ingresos obtenidos sean mximos.


a) a la superficie z = x2 + y2 b) al plano 4x + 4y + z = 1

22.- El material de la base de una caja abierta cuesta 1,5 m2 y el de los laterales 1 m2. Se pide determinar, usando multiplicadores de Lagrange, las dimensiones de la caja de mayor volumen que puede construirse para un coste C=100

23.- a) Razonar, sin hacer clculos, si la funcin f(x, y) = 22 yx alcanza sus valores mximo y mnimo absolutos en la regin R limitada por el tringulo de vrtices P1 (-1, 0), P2 (1,0) y P3 (0,1), incluyendo los lados del tringulo. b) Calcular dichos valores extremos, caso de que existan, as como los puntos en donde se alcanzan.

24.- Una compaa petrolfera va a construir un oleoducto desde la plataforma petrolfera A, situada 4 millas mar adentro, hasta la refinera B, 2 millas tierra adentro, adems entre la lnea de playa y la lnea de la refinera hay una zona de dunas (ver figura) y la distancia entre A y B son 10 millas. Cada milla de oleoducto por el mar cuesta tres millones de euros, por la zona de dunas 5 millones y por la tierra 2 millones. Por tanto, el coste del oleoducto depende de los puntos P y R elegidos. Se pide:

a) Hallar la ruta que hace mnimo el coste de construccin. b) Calcular dicho coste.

25.- Estudiar los valores mximos y mnimos relativos y absolutos de la funcin xyy,xf 2 , en el crculo cerrado de centro (0, 0) y radio 2.

B

A

P

R

4 millas

2 millas

x y z

8 millas

C



26.- Sea k una constante real y sea la superficie de ecuacin 22 kyxy3x)y,x(f Se pide:

a) Probar que, para cualquier valor de k, el origen (0,0) es un punto crtico de f. b) Hallar los valores de k para los que f presenta un mnimo relativo en (0,0).

27.- a) Consideremos la funcin g(,,) =cos cos cos , sujeta a la restriccin de que ,, son los tres ngulos de un tringulo plano. Aplicar multiplicadores de Lagrange para hallar los valores de ,, que hacen mximo el valor de g. b) Hallar los puntos crticos de la funcin 2222 41 yxxyz y estudiarlos concluyendo cules corresponden a extremos relativos y cules son puntos de silla.

28.- Una canaleta de desage con seccin transversal en forma de trapecio se hace doblando hacia arriba las orillas de una hoja de aluminio de 60 cm de ancho. Hallar la seccin transversal de mayor rea.

29.- Estudiar los valores mximos y mnimos relativos y absolutos de la funcin xyy,xf 2 , 2Ry,x .

30.- Aplicar el mtodo de los multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias mxima y mnima de un punto de la elipse x2 + 4y2 = 4 a la recta x + y = 4.

31.- Hallar las dimensiones del recipiente de embalaje abierto por arriba ms econmico de 96 metros cbicos de capacidad, sabiendo que la base cuesta 30 cntimos por metro cuadrado y los laterales 10 cntimos por metro cuadrado. Nota: se supone que el embalaje tiene forma de prisma recto.

32.- Se considera la funcin y3x2xyy,xf definida en la regin

x2y0 4,x0Ry,xS 2 / . Se pide: a) Razonar si f alcanza sus valores mximo y mnimo absolutos en S. b) Calcular cules son esos valores, indicando tambin en qu puntos se alcanzan.

33.- Calcular el volumen de la caja rectangular ms grande situada en el primer octante con tres de sus caras en los planos coordenados y un vrtice en el plano x+2y+3z = 6.

34.- Se considera la funcin f x, y xy 4x y .

a) Estudiar la existencia de mximos y mnimos relativos de f en R2. b) Estudiar la existencia de mximos y mnimos absolutos de f en R2. c) Sea la regin 2S x, y R / 0 x 4, 0 y 5 x . Se pide:

i.Razonar si f alcanza sus valores mximo y mnimo absolutos en S. ii.Calcular cules son esos valores, indicando tambin en qu puntos se alcanzan.



35.- Se quiere fabricar un depsito de almacenamiento con el menor coste posible. a) Hallar las dimensiones que ha de tener el depsito si se quiere que su

capacidad sea de 1000 metros cbicos, sabiendo que el material para construir el suelo cuesta 40 euros por metro cuadrado y el de las paredes 10 euros por metro cuadrado.

b) Hallar dicho coste mnimo. Nota: se supone que el depsito tiene forma de prisma recto sin tapa.

36.- Sea z = f(x, y) una funcin definida en una regin D del plano con derivadas parciales continuas hasta el orden 2. Sea 0P un punto del interior de la regin. Para cada una de las afirmaciones siguientes, decir si son verdaderas o falsas:

a) Si f tiene en 0P un mximo o mnimo relativo, entonces, 0x Pf = 0y Pf = 0. b) Si f tiene en 0P un mximo o mnimo relativo, entonces necesariamente el

Hessiano de f en 0P es H( 0P ) 0 . c) Si f alcanza su mnimo absoluto m en un punto Q de la frontera de D,

entonces Qfx = Qf y = 0 d) Si la regin D es cerrada y acotada, entonces, f alcanza sus valores mximo y

mnimo absolutos en la regin.

37.- Se considera la funcin y3x2xyy,xf definida en la regin:

3xy0 ,0x3 / Ry,xS 2 a) Razonar si f alcanza sus valores mximo y mnimo absolutos en S. b) Calcular cules son esos valores, indicando tambin en qu puntos se alcanzan.

38.- La temperatura en un punto (x, y) de una lmina metlica es 22 yx

x3)y,x(T . a) Hallar la curva de nivel (isoterma) que pasa por el punto P(2, -1). b) Hallar la direccin de mximo crecimiento de la temperatura en P. c) Hallar el coeficiente de variacin de la temperatura en P en la direccin de

la bisectriz del primer cuadrante. d) Hallar, usando la regla de la cadena, el coeficiente de variacin de la

temperatura a lo largo de la curva

tcosysent 2x

.

e) Si la cota de error en la medida de x es de %1 y en la de y es de %2 , hallar el mximo error propagado de T en P.

39.- Calcular y clasificar los puntos crticos de la funcin z = x3 +3xy2 3x + 1.

40.- Estudiar los mximos y mnimos relativos de la funcin 3 2f (x, y) x 3x (y 1)

41.- Hallar los extremos relativos de 2 22 2 1 x yz x 2y e



42.- Sea la funcin real 3 3f (x, y) x y 2xy . Hallar los extremos relativos de f en el plano.

43.- Sea la ecuacin 3 3 32z x y 6xy 2z 4 0 . Hallar los extremos relativos de la funcin F(x,y,z)=0 definida por la ecuacin dada.

44.- Hallar el volumen mximo de un ortoedro sabiendo que la suma de las longitudes de sus aristas es 12.

45.- Hallar los extremos absolutos de la funcin f(x,y) = 2 2 2 2x ye x 2y en la regin

2 2x y 4

46.- Hallar los extremos absolutos de la funcin 1y1x xy4)y,x(f 22 en la regin 1yx , 0y , 0x /Ry,xR 222

47.- Encontrar el mximo de la funcin f(x, y, z)=x+2y+3z sobre la curva interseccin del plano x y + z = 1 y el cilindro x2+y2=1

48. Calcular los mximos y mnimos de : z = x2 2xy2 + y4 y5



1.- Se va a construir un almacn de 500 m3 de volumen con forma de paraleleppedo. El aire caliente que produzca su sistema de calefaccin ascender, lo que supondr una prdida de calor por unidad de techo igual a 5 veces la que se produzca por el suelo. Si la prdida de calor a travs de las 4 paredes laterales es, por unidad de rea, triple que en el suelo, determinar las dimensiones del almacn que minimizan las prdidas de calor y en consecuencia el coste de calefaccin. Solucin: Llamemos x, y, z a las dimensiones del almacn (ancho, largo y alto, respectivamente), y p la prdida de calor por unidad de suelo. La prdida de calor del almacn f(x, y, z) ser la suma de la prdida de calor por el suelo ms prdida de calor por el techo ms prdida de calor por las paredes: #1: f(x, y, z) pxy + 5pxy + 6pz(x + y) Como el volumen es 500 = x y z, sustituimos z por 500/xy: 2 2 6p(x y + 500x + 500y) #2: f(x, y, z) xy 2 2 d 6p(x y + 500x + 500y) #3: dx xy 2 6p(x y - 500) #4: 2 x 2 2 d 6p(x y + 500x + 500y) #5: dy xy 2 6p(xy - 500) #6: 2 y 2 2 6p(x y - 500) 6p(xy - 500) #7: SOLVE, , [x, y] 2 2 x y Considerando slo la solucin real se obtiene: 2/3 2/3 #8: x = 52 y = 52

y

x z



Segundo mtodo, con multiplicadores de Lagrange: #10: H(x, y, z, ) f(x, y, z) - (xyz - 500) #11: H(x, y, z, ) x(6pz - y(z - 6p)) + 6pyz + 500 d #12: (x(6pz - y(z - 6p)) + 6pyz + 500) dx #13: y(6p - z) + 6pz d #14: (x(6pz - y(z - 6p)) + 6pyz + 500) dy #15: x(6p - z) + 6pz d #16: (x(6pz - y(z - 6p)) + 6pyz + 500) dz #17: x(6p - y) + 6py d #18: (x(6pz - y(z - 6p)) + 6pyz + 500) d #19: 500 - xyz #20: SOLVE([y(6p - z) + 6pz, x(6p - z) + 6pz, x(6p - y) + 6py, 500 - xyz], [y, z, x, ]) Considerando slo la solucin real se obtiene: 1/3 2/3 2/3 2/3 62 p #21: y = 52 z = 52 x = 52 = 5



2.- Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto 1,2,3P0 y que corta a los semiejes coordenados OY ,OX y OZ determinando un tetraedro de volumen mnimo. Solucin:

cb2a3d0dcb2a31,2,3P

0dczbyax

0

0cb2a3czbyax .

Corte con OX :

0,0,a

cb2a3Ma

cb2a3x0cb2a3ax

0z0y

Corte con OY :

0,b

cb2a3,0Nb

cb2a3y0cb2a3by

0z0x

Corte con OZ:

ccb2a3,0,0P

ccb2a3z

0cb2a3cz0z0y

El volumen pedido es:

hA 31V base

ONOM 21AA OMNbase

OPh

3cb2a3abc61

ccb2a3

bcb2a3

acb2a3

61OPONOM

21

31V

0a

cb2a6abc6

cb2a3a1cb2a33cb2a33

a1

bc61

aV 2

232

0b

cb4a3abc6

cb2a3b1cb2a32cb2a33

b1

ac61

bV 2

232

0c

c2b2a3abc6

cb2a3c1cb2a31cb2a33

c1

ab61

cV 2

232

Como 0cb2a3 (en caso contrario, sera V = 0), ha de ser:

b2cbb

b32a

0c2b2a30cb4a3

0cb2a6

Haciendo, por ejemplo, b = 3, se obtiene: a = 2, c = -6, cb2a3d = -18. La ecuacin del plano pedido es: 018z6y3x2 .

O M (9,0,0)

P (0,0,-3) OX

OY

OZ

N (0,6,0)



3.- Hallar, si existen, los valores mximo y mnimo absolutos en 2R de la funcin: 1y2yxxy,xf 22 Solucin:

1- ,21P-1y ,

21x

02y2y f

01x2 xf

. 411 ,

21f

2 x

f 2

2

, 0 xy f 2

,

2y f 2

2

0420

021 ,

21H

Luego, 0P x

f 2

2

y 0PH . Por tanto, f tiene un mximo relativo en P. Es tambin mximo absoluto? Completando cuadrados en la expresin de f, queda:

Pf41

411y

21xy,xf 2

2

Luego, efectivamente f posee mximo absoluto en P y vale 41 .

Tiene f mnimo absoluto? 1y2yy,0f 2 que tiende a cuando y . En consecuencia, no existe mnimo absoluto de la funcin f.



4.- Consideremos una placa circular de radio 22 y centro en el origen. La temperatura en cada punto P(x, y) de la placa viene dada por xyyxyxT 3, 33 ; localizar el punto ms caliente y el punto ms fro de la placa. Solucin: Extremos relativos en el interior:

1,1P ,0,0P0x3y3

y f

0y3x3 xf

212

2

Ambas soluciones (puntos crticos) son vlidas por encontrarse en el interior del crculo de radio 22 . Extremos de f en la frontera (circunferencia de radio 22 ):

8yxxy3yx),y,x(H 2233

08yxH

0y2x3y3H

0x2y3x3H

22

2y

2x

13 ,13Py 13- ,13P ,2,2P ,2 ,2P 6543 .

26Pfy 26Pf ,4Pf ,28Pf ,1Pf ,0Pf 654321 . Por tanto, el valor mximo absoluto de f en C es 28 y lo alcanza en el punto 2 ,2P3 , mientras que valor mnimo absoluto de f en C es 26 y lo alcanza en los puntos 13 ,13Py 13- ,13P 65 .



5.- Un cuerpo est limitado por la superficie 1zyx 222 . La densidad del cuerpo depende de cada punto: yzxzxyzyx6z,y,xD . Hallar los puntos del cuerpo en los cuales es mxima o mnima la densidad as como el valor de sta en ellos. Solucin: Mximos y mnimos de D en el interior del cuerpo:

21,

21,

21P

0yx1z D

0zx1y D

0zy1 xD

1 es el nico punto crtico de D.

Este punto est en el interior del cuerpo por ser 143

21

21

21 222

Extremos de f en la frontera (superficie esfrica de radio1):

01zyxH

0z2yx1H

0y2zx1H0x2zy1H

1zyxyzxzxyzyx6

1zyxz,y,xD),z,y,x(H

222

y

y

x

222

222

,31

32,

32P,

32

32,

31P,0,0,1P,1,0,0P 5432

, ,

33

33,

33P6 , ,

33

33,

33P7 , y P(x,y,z) tal que 1zyx , 0zz)1z(yy 22 , que

adems han de cumplir la condicin 1zyx 222 . La densidad en uno de estos puntos es D(P) = 5, ya que:

5112116zyxzyx

21zyx6PD 22222

En el resto de los puntos candidatos, la densidad vale:

5.337Pfy 8.737PD 2,...,5,i 5,PD 5.25,421PD 76i1 .

Por tanto, el valor mximo de la densidad en este cuerpo es 37 y lo alcanza en el punto

33,

33,

33P6 , mientras que la densidad mnima es 5 y se alcanza en los puntos

2,...,5i ,Pi y P(x,y,z) tal que 1zyx , 0zz)1z(yy 22 , 1zyx 222 .



6.- Sea c la curva interseccin de las dos superficies: 1zyxyx 222 , 1yx 22 . Hallar los puntos de c que estn ms prximos al origen. Solucin: Se trata de minimizar la funcin distancia de un punto (x, y, z) al origen (0,0,0), o bien la distancia al cuadrado: 2222 zyx0,0,0,z,y,xd)z,y,x(f Con la condicin de que el punto (x, y, z) pertenezca a la curva c, es decir, verifique las ecuaciones de las dos superficies (tenemos, entonces, dos restricciones). La funcin lagrangiana es: 1yx1zyxyxzyx),,z,y,x(H 22222222 d #3: H(x, y, z, , ) dx #4: y - 2x( + - 1) d #5: H(x, y, z, , ) dy #6: x - 2y( + - 1) d #7: H(x, y, z, , ) dz #8: 2z( + 1) d #9: H(x, y, z, , ) d 2 2 2 #10: - x + xy - y + z + 1 d #11: H(x, y, z, , ) d 2 2 #12: - x - y + 1 #13: SOLVE(y - 2x( + - 1), x - 2y( + - 1), 2z( + 1), 2 2 2 2 2 - x + xy - y + z + 1, - x - y + 1, [x, y, z, , ]) Considerando slo las soluciones reales, se obtiene:



#15: x = 0 y = 1 z = 0 = 0 = 1, x = 0 y = -1 z = 0 = 0 = 1, x = 1 y = 0 z = 0 = 0 = 1, x = -1 y = 2 2 2 0 z = 0 = 0 = 1, x = y = - z = 2 2 2 5 2 2 2 = -1 = , x = y = - z = - = -1 2 2 2 2 5 2 2 2 5 = , x = - y = z = = -1 = , x = 2 2 2 2 2 2 2 2 5 - y = z = - = -1 = 2 2 2 2 Que corresponden a los puntos: #24: P [0, 1, 0], P [0, -1, 0], P [1, 0, 0], P [-1, 0, 0], 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 P , - , , P , - , - , 5 2 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 P := - , , , P - , , - 7 2 2 2 8 2 2 2 f(P ) = f(P ) = f(P ) = f(P ) = 1 #29: 1 2 3 4 3 f(P ) = f(P ) = f(P ) = f(P ) = --- > 1 #30: 5 6 7 8 2 La mnima distancia se alcanza en los puntos P1, P2, P3 y P4, y dicha distancia vale 1.



7.- Hallar el mximo de la funcin y2x3y,xf en la regin 0y ,0x/Ry,xS 2 bajo la restriccin xy + x + y = 5.

Solucin: La ecuacin xy + x + y = 5 corresponde a una curva que, restringida al primer cuadrante S, constituye un conjunto cerrado y acotado del plano. Por tanto puede asegurarse que f alcanza sus valores mximo y mnimo en dicho arco de curva por ser continua en l. Funcin lagrangiana: 5yxxyy2x3),y,x(H

05yxxyH

0x2H0y3H

y

x

4,3P ,2 ,1P 21 . Solamente el punto 1P se encuentra en la regin S. Valor de f en dicho punto: 7Pf 1 . Parece que el valor mximo pedido fuera 7, al no obtener ningn otro resultado; sin embargo, f(0, 5) = 10 > 7 y (0, 5) cumple la condicin y pertenece a S. Luego, 1P (1, 2) NO proporciona el mximo buscado.

La grfica de la restriccin es: Los puntos 0,5P3 y 5,0P4 estn en la frontera de S y, por tanto, no tenan porqu aparecer entre los puntos crticos de la funcin lagrangiana; pero, son tambin candidatos a estudiar: 15Pf 3 , 10Pf 4 Luego, el mximo de la funcin y2x3y,xf en la regin

0y ,0x/Ry,xS 2 bajo la restriccin xy + x + y = 5 es 15 y se alcanza en el punto 0,5P3 .



8.- Estudiar los valores extremos de la funcin x12y9x2z 23 sometidos a la condicin x + y = 0. Solucin: Funcin lagrangiana:

0yxH

0y18H012x6H

yxx12y9x2),y,x(H y

2x

23

2,2P ,1 ,1P 21 ; 4Pf ,5Pf 21 Podra pensarse que en 1P se alcanza el mnimo y en 2P el mximo de f sobre la recta

0yx , pero, esto no es as ya que, sobre la recta, la funcin toma los valores: 12x9x2xx12x9x2x,xfxy0yx 223

12x9x2xlimx,xflim 2xx 12x9x2xlimx,xflim 2xx

Y, en consecuencia, puede afirmarse que la funcin no posee mximo ni mnimo sobre la recta x + y = 0. Hay que observar que la recta x + y = 0 no es un conjunto compacto (cerrado y acotado) del plano y, por tanto, aunque f es continua, no poda asegurarse que la funcin fuera a alcanzar valores extremos en dicha recta.



9.- Usar multiplicadores de Lagrange para calcular las dimensiones de un depsito cilndrico circular recto de volumen 8 m3 y rea mnima. Solucin:

V = volumen, A = rea, BA = rea de la base, LA = rea lateral x = radio de la base, y = altura La funcin a minimizar es y,xfxy2xAAA 2LB , con la condicin V = 8y xyA 2B , es decir, 08y x 2 .

Funcin lagrangiana:

12Pf ;2,2P

08yxH

0xx2H

0xy2x2y2H

8yxxxy2),y,x(H2

2y

x22

Realmente 12 es el valor del rea mnima? Tiene sentido la pregunta, pues la hiprbola 08yx 2 , en su rama x > 0, y > 0, no es un conjunto compacto del plano.

Analicemos cunto vale la funcin en los puntos de la hiprbola:

xx16

x8x2x

x8,xf

x8y

3

22

22

xx16lim

3

0x, x

x16lim3

x

Luego, efectivamente, 12 es el valor del rea mnima.

x

y



10.- Encontrar los puntos donde la funcin f(x, y) = x2 + y2- xy - x - y alcanza sus valores mximo y mnimo absolutos en el recinto: A = 3y x,0y ,0x/Ry,x 2 . Solucin:

Como f es continua en A, y ste es un conjunto compacto del plano, f alcanza sus valores extremos absolutos en A. Puede alcanzarlos en el interior o en la frontera. Extremos relativos en el interior de A:

1,1P01xy2

y f

01yx2 xf

1

es el nico punto crtico de f en el

interior de A; 1Pf 1 . Extremos de f en la frontera (los tres lados del tringulo):

1) En el lado sobre el eje OX: 3x0 ,0y / Ry,xL 21 Reduzcamos el problema al caso de una variable: Si 1Ly,x , f(x, y) = xf1 = x2 x, 3,0x . Se trata de buscar los extremos absolutos de esta funcin de una variable en el compacto [0, 3].

Puntos crticos en el interior (0, 3):

0,21P

21x01x2x'f 21 ; 4

1Pf21f 21

En los puntos frontera 3 ,0 : 0,0P3 , 0,3P4 0Pf0f 31 ; 6Pf3f 41

2) En el lado sobre el eje OY: 3y0 ,0x / Ry,xL 22

Reduzcamos el problema al caso de una variable: Si 2Ly,x , f(x, y) = yf2 = y2 y, 3,0y . Procedamos como en el lado anterior.

Puntos crticos en el interior (0, 3):

21,0P

21y01y2y'f 52 ; 4

1Pf21f 52

En los puntos frontera 3 ,0 : 0,0P3 , 3,0P6 0Pf0f 32 ; 6Pf3f 62

3) En el lado 3yx,0y,0x / Ry,xL 23 Podra analizarse como en los dos lados anteriores, reduciendo el problema al caso de una variable, o bien, utilizando multiplicadores de Lagrange. Emplearemos este ltimo mtodo. Funcin lagrangiana:



3yxyxxyyx),y,x(H 22

03yxH

01xy2H01yx2H

y

x

23,

23P7 ; 4

3Pf 7 . Los puntos frontera de este lado ya estn considerados antes: 0,3P4 , 3,0P6 .

Por tanto, el valor mximo absoluto de f en A es mx 643 ,6 ,0 ,

41 ,1

y lo alcanza

en dos puntos de la frontera del recinto 0,3P4 y 3,0P6 , mientras que el valor mnimo absoluto de f en A es mn 1

43 ,6 ,0 ,

41 ,1

y lo alcanza en el punto

1,1P1 del interior del recinto.



11.- Consideremos la funcin 2222),( yxeyxyxf para 0 , se pide: a) Para =1, = 2, representarla con Derive e identificar sus extremos y puntos de silla. b) Lo mismo para =-1, = 2 c)Lo mismo para y cualesquiera (que cumplan la condicin) Solucin:

a) 2222 2),( yxeyxyxf f es una funcin diferenciable por ser producto de un polinomio y una exponencial, ambos funciones diferenciables, luego los extremos han de ser puntos crticos de f:

122 2222 yxxexf yx = 0 222 2222 yxyeyf yx = 0

Resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones se obtienen los puntos:

(0, 0), (0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0) Para discernir cules de ellos son extremos o puntos de silla aplicamos el criterio de la derivada segunda. Hallamos las derivadas de segundo orden de f:

Construimos el hessiano de f

2

22

2

2

2

yf

yxf

xyf

xf

Hessf

y hallamos su valor en cada punto crtico

Hessf(0,0) = 8> 0 y 22

xf

(0,0) = 2> 0, luego f presenta en (0,0) un mnimo relativo

cuyo valor es f(0,0)= 0 (es mnimo absoluto pues f(x, y) 0 para cq ((x, y) R2). Hessf(0,1) = 2

16e

> 0 y 22

xf

(0,1) =

e2 < 0, luego f presenta en (0,1) un mximo

relativo cuyo valor es f(0,1)= e2 .



Hessf(0,-1) = 216e

> 0 y 22

xf

(0,-1) =

e2 < 0, luego f presenta en (0,-1) un mximo

relativo cuyo valor es f(0,-1)= e2 .

Hessf(1,0) = 28

e < 0, luego f presenta en (1,0) un punto de silla y f(0,0)=

e1 .

Hessf(-1,0) = 28

e < 0, luego f presenta en (-1,0) un punto de silla y f(0,0)=

e1 .

b) 2222 2),( yxeyxyxf y, al igual que en el apartado anterior, f es una funcin diferenciable por ser producto de un polinomio y una exponencial, ambos funciones

diferenciables, luego los extremos han de ser puntos crticos de f: 122 2222 yxxexf yx = 0 222 2222 yxyeyf yx = 0 Resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones se obtienen los puntos: (0, 0), (0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0) que comprobamos son

los mismos que en el apartado a) Siguiendo el mismo proceso hallamos las derivadas de segundo orden de f , construimos el

hessiano de f

2

22

2

2

2

yf

yxf

xyf

xf

Hessf


Hessf(0,0) = -8< 0 luego f presenta en (1,0) un punto de silla y f(0,0)= 0. Hessf(0,1) = 2

48e

> 0 y 22

xf

(0,1) =

e6 < 0, luego f presenta en (0,1) un mximo


Hessf(0,-1) = 248e

> 0 y 22

xf

(0,-1) =

e6 < 0, luego f presenta en (0,-1) un mximo

relativo cuyo valor es f(0,-1)= e2 .

Hessf(1,0) = 224e

>0, y 22

xf

(1,0) =

e4 > 0, luego f presenta en (1,0) un mnimo


Hessf(-1,0) = 224e

>0, y 22

xf

(-1,0) =

e4 > 0, luego f presenta en (-1,0) un mnimo

relativo cuyo valor es f(-1,0)= e1 .



c) Para y tales que 0 , 2222),( yxeyxyxf sigue siendo una funcin diferenciable por ser producto de un polinomio y una exponencial, ambos funciones diferenciables, y los puntos crticos de f:

Resolviendo el sistema y eliminando aqullas soluciones que contemplan =0, o bien, =0, o bien =, quedan como puntos crticos exactamente los mismos que los apartados anteriores

(0, 0), (0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0) y aplicando el criterio de la derivada segunda identificaramos los extremos igual que en los apartados a) y b)



12.- Se ha de construir una conduccin de agua desde P hasta S. La construccin tiene coste diferente segn la zona (ver figura 1). Usar multiplicadores de Lagrange para hallar x, y, z tales que el coste C sea mnimo, supuesto que el coste por km es 300 entre P y Q, 200 entre Q y R y 100 entre R y S Solucin: La funcin que proporciona el coste de la construccin entre P y Q es:

C(x, y, z) = zyx 10012004300 22 , adems x, y, z tienen la restriccin x + y + z = 10, luego la funcin lagrangiana es:

)10(-10012004300),,( 22 zyxzyxyxH

Aproximando estos valores se obtiene: x 0,70711 km= 707,11m, y 0,57735 km= 577,35m, z 8,71554 km= 8715,4 m.

2km

1km

x y z

10 km

P

Q

R S



13.- Usar multiplicadores de Lagrange para calcular: a) Las dimensiones r, h de un depsito cilndrico circular recto de volumen 100 m3 y rea mnima. b) Las dimensiones r, h de un depsito como el de la figura 1, de volumen 100 m3 y rea mnima. c) Comenta los resultados anteriores Solucin:

a) El rea total del depsito es rhrAAA LB 22 , y su volumen V= 100 2 hrhAB La funcin a minimizar es, por tanto, rhrhrf 2),( 2 , sujeta a la restriccin 0100 2 hr La funcin lagrangiana es 1002),,( 22 hrrrhhrH

0100

02

0222

2

2

hrH

rrH

rhrhH

h

r

tomando solo la solucin con valores reales se obtiene

r = h = 3100 m 3,169m, y para estos valores el rea es A =

3 10 30 m2 94,66 m2. Nota: al no ser la curva 0100 2 hr un conjunto compacto del plano (dibjala con Derive) podemos preguntarnos realmente el valor obtenido corresponde a un mnimo absoluto? Respuesta: No podemos asegurar que es el mnimo absoluto pero s que es un mnimo relativo. Si utilizamos, para resolver el ejercicio, el procedimiento clsico, despejando la

variable y en la ecuacin de la condicin 0100 2 hr 2100 r

h

rr

rrr

rrf

3

22

22001002100,

Los puntos crticos de esta funcin son

00)('

rrf

0

02002 2

rr

r

0

1003

r

r y para

estos valores

2

23

m 0

m 10 30

A

A, luego r= 0 no es vlido en el contexto del problema.

Por otro lado, la segunda derivada en estos puntos 2400)('' 3rrf no est definida en r=0 y toma valor positivo en el valor que habamos obtenido con el procedimiento de Lagrange.

r

h

Figura 1



b) La superficie de un depsito como el de la figura tiene por rea A= 242 rrh Su volumen es V = 32

34 rhr

La funcin a minimizar es, por tanto, 242),( rrhhrf , sujeta a la restriccin 32

34 rhr = 100

La funcin lagrangiana es

1003442),,( 322 rhrrrhhrH

010034

02

04282

32

2

2

rhrH

rrH

rrhrhH

h

r

tomando solo la solucin con valores reales se

obtiene

h= 0, r = 375 m 2,88m, y para estos valores el rea es A =

3 45 20 m2 104,19 m2.

c) En el apartado a) se obtiene que el depsito de menor rea es el de seccin cuadrada y en el apartado b) el depsito de menor rea es aquel en que la parte cilndrica es nula quedando solo la esfera que como todos sabemos, y en este apartado se comprueba, es el cuerpo de mayor volumen con menor rea. En consecuencia, si a pesar de todo queremos construir un depsito con la forma de la figura 1 con cilindro y 2 semiesferas, hemos de tomar r = h en el volumen

3234 rrr = 100,

despejando r se obtiene r = 314700

71

y el rea sera

A= 3 630 7

60 107,62 m2.

Figura 1



14.- Hallar los puntos crticos de la funcin 2222 41 yxxyz y estudiarlos concluyendo cules corresponden a extremos relativos y cules son puntos de silla. Solucin: Dada 2222 41 yxxyz , sus puntos crticos son aquellos donde sus derivadas parciales se anulan o no existen. En este caso, por tratarse de una funcin polinmica, z es diferenciable en todo R2, y sus derivadas tambin son funciones polinmicas (diferenciables en R2).

2 22 2 2 2

1 2 32 22 2 2

y x 1 x y 4 4x y 4y 8 2y 01x P 0,0 ; P 1, 4 ; P , 22y x 1 x y 4 2 2x y 2 2xy y 0

y

Tomando nicamente las soluciones reales, se obtienen los siguientes puntos crticos:

P1(0,0), P2(1,-4), P3(1/2,-2) Para estudiar cules corresponder a extremos y cules a puntos de silla aplicamos el criterio de la segunda derivada.

22 22 2 2

2

22 22 2

22 22 2

22 22 2 2

2

y x 1 x y 4 4 y 4y 8x

y x 1 x y 4 4 2x y 2 yy x

y x 1 x y 4 4 2x y 2 yx y

y x 1 x y 4 2 2x 2x 1y

2

2

4 y 4x 8 4 2x y 2 yH(x, y)

4 2x y 2 y 2 2x 2x 1

2

2

4 0 40 8 4 20 0 2 0 32 0H(0,0) 64

0 24 20 0 2 0 2 20 20 1

2

2

4 ( 4) 4( 4) 8 4 21 4 2 4 32 0H(1, 4) 64

0 24 21 4 2 4 2 21 21 1

2

2

14 ( 2) 4( 2) 8 4 2 2 2 22 16 81H( , 2) 48

8 12 1 1 14 2 2 2 2 2 2 2 12 2 2



Observando el valor del hessiano y de 22

xz

en cada punto deducimos que:

Hess(P1)=64>0, 1

2

2

Pxz

=32 > 0 en P1(0,0) la funcin presenta un mnimo relativo cuyo

valor es f(0,0)=0

Hess(P2)=64>0,1

2

2

Pxz

=32 > 0 en P2(1,-4) la funcin presenta un mnimo relativo cuyo

valor es f(1,-4)=0 Hess(P3)= - 48 < 0, en P3(1/2,-2) la funcin presenta un punto de silla cuyo valor es

22,21

f



15.- Una seccin cnica C se obtiene mediante la interseccin del cono z2 =x2+ y2 con el plano z= 1+x+y. Hallar los puntos de la cnica C que estn ms prximos y ms lejanos del origen. Solucin: Aplicando el mtodo de los Multiplicadores de Lagrange, se trata de hallar los extremos de la distancia de un punto (x,y,z) al origen sujeto a dos condiciones: pertenecer al cono y al plano Como funcin a minimizar usamos el cuadrado de la distancia al origen: x^2+y^2+z^2 2 2 2 2 2 2 #59: x + y + z - (z - x - y ) - (x + y - z + 1) d 2 2 2 2 2 2 (x + y + z - (z - x - y ) - (x + y - z + 1)) = 2x( + 1) - dx d 2 2 2 2 2 2 (x + y + z - (z - x - y ) - (x + y - z + 1)) = 2y( + 1) - dy d 2 2 2 2 2 2 (x + y + z - (z - x - y ) - (x + y - z + 1)) = 2z(1 - )+ dz d 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (x + y + z - (z - x - y ) - (x + y - z + 1)) = x + y - z d d 2 2 2 2 2 2 (x + y + z - (z - x - y ) - (x + y - z + 1)) = -x - y+ z - 1 d 2 2 #65: SOLVE(2x( + 1) - , 2y( + 1) - , 2z(1 - ) + , x + y 2 - z , -x - y + z - 1, [x, y, z, , ]) 2 2 2 2 #66: - 1, - 1, 2 - 1 - - 1, - - 1, - 2 - 1 2 2 2 2 sustituimos en la funcin a minimizar 2 2 2 2 2 #67: - 1 + - 1 + (2 - 1) = 6 - 42 = 0.3431457505 2 2 2 2 2 2 2 #68: - - 1 + - - 1 + (- 2 - 1) = 42 + 6 = 11.65685424 2 2 Luego el punto (2/2 - 1, 2/2 - 1, 2 1) es el ms prximo al origen y (- 2/2 - 1, - 2/2 - 1, - 2 1) es el ms alejado.



16.- A continuacin se dan las derivadas de segundo orden de una funcin z = f(x,y) diferenciable que verifica el teorema de Swartz. Se supone que en (x0, y0) las derivadas parciales se anulan, decidir, en cada caso, si en (x0, y0) hay un mximo relativo, un mnimo relativo, un punto de silla o si la informacin es insuficiente.

a) 5y,xf 00xx , xy 0 0f x , y 5 , yy 0 0f x , y 4 b) 9y,xf 00xx , 5y,xf 00xy , yy 0 0f x , y 6

c) 4y,xf 00xx , 7y,xf 00xy , 16y,xf 00yy d) xx 0 0f x , y 9 , xy 0 0f x , y 6 , yy 0 0f x , y 4

Solucin:

Construimos el hessiano de f

2

22

2

2

2

yf

yxf

xyf

xf

Hessf


a) 5 5 #1: DET = -5 5 4 Luego f presenta en dicho punto un punto de silla b) 9 -5 #2: DET = 29 -5 6 Luego f presenta en dicho punto un mnimo relativo c) -4 7 #3: DET = 15 7 -16 Luego f presenta en dicho punto un mximo relativo d) -9 6 #4: DET = 0 6 -4 La informacin es insuficiente



17.- Una industria fabrica un determinado producto en dos factoras. El coste de produccin de x unidades en la primera factora es C1(x)=0.02x2+4x+500 mientras que el coste de produccin de y unidades en la segunda factora es C2(y)=0.05y2+4y+275. El producto se vende a 15 la unidad y el beneficio producido viene dado por la funcin

P(x,y)=15(x+y) - C1(x) - C2(y) Se pide hallar las cantidades x, y que debe producir cada factora con el fin de que el beneficio obtenido sea mximo. Solucin: La funcin a maximizar es los ingresos obtenidos menos los costes de produccin: hallamos los puntos crticos y comprobamos cul es el mximo 2 2 #4: 15(x + y) - 0.02x - 4x - 500 - 0.05y - 4y - 275 d 2 2 #5: (15(x + y) - 0.02x - 4x - 500 - 0.05y - 4y - 275) dx 275 - x #6: 25 d 2 2 #7: (15(x + y) - 0.02x - 4x - 500 - 0.05y - 4y - 275) dy 110 - y #8: 10 110 - y 275 - x #9: SOLVE, , [x, y] 10 25 #10: [x = 275 y = 110] d 275 - x 1 #11: = - dx 25 25 d 275 - x #12: = 0 dy 25 d 110 - y 1 #13: = - dy 10 10 1 - 0 25 1 #14: DET = 1 250 0 - 10 Luego efectivamente para x=275, y=110 unidades producidas en cada factora, se produce un beneficio mximo



18.- Usar multiplicadores de Lagrange para calcular la distancia mnima del punto P(2,1,1): a) a la superficie z2 = x2 + y2 b) al plano x + y + z = 1 Solucin: La funcin a minimizar es la distancia entre dos puntos (o mejor su cuadradado) con la condicin de que el punto desconocido pertenezca a la superficie dada a) 2 2 2 2 2 2 #15: (x - 2) + (y - 1) + (z - 1) - (x + y - z ) d 2 2 2 2 2 2 #16: ((x - 2) + (y - 1) + (z - 1) - (x + y - z )) = dx = 2x(1 - ) - 4 d 2 2 2 2 2 2 #17: ((x - 2) + (y - 1) + (z - 1) - (x + y - z )) = dy =2y(1 - ) - 2 d 2 2 2 2 2 2 #18: ((x - 2) + (y - 1) + (z - 1) - (x + y - z )) = dz = 2z( + 1) - 2 d 2 2 2 2 2 2 #19: ((x - 2) + (y - 1) + (z - 1) - (x + y - z )) = d 2 2 2 = - x - y + z 2 #20: SOLVE(2x(1 - ) - 4, 2y(1 - ) - 2, 2z( + 1) - 2, - x - 2 2 y + z , [x, y, z, ]) 5 5 1 5 1 5 3 #21: x = + 1 y = + z = + = - , 5 10 2 2 2 2 2 5 1 5 1 5 5 3 x = 1 - y = - z = - = - - 5 2 10 2 2 2 2 5 2 5 1 2 5 1 2 #22: + 1 - 2 + + - 1 + + - 1 = 5 10 2 2 2 10 2 - = 0.8740320488 2 2 5 2 1 5 2 1 5 2 #23: 1 - - 2 + - - 1 + - - 1 = 5 2 10 2 2



10 2 + = 2.288245611 2 2 Luego la distancia mnima se obtiene para el primer punto obtenido y vale, aproximadamente, 0,847 unidades de longitud b) El razonamiento para el apartado b es anlogo 2 2 2 #24: (x - 2) + (y - 1) + (z - 1) - (x + y + z - 1) d 2 2 2 #25: ((x - 2) + (y - 1) + (z - 1) - (x + y + z - 1)) = 2x - dx - 4 d 2 2 2 #26: ((x - 2) + (y - 1) + (z - 1) - (x + y + z - 1)) = 2y - -2 dy d 2 2 2 #27: ((x - 2) + (y - 1) + (z - 1) - (x + y + z - 1)) = 2z - - 2 dz d 2 2 2 #28: ((x - 2) + (y - 1) + (z - 1) - (x + y + z - 1)) = -x - y - d z + 1 #29: SOLVE([2x - - 4, 2y - - 2, 2z - - 2, -x - y - z + 1], [x, y, z, ]) #30: [x = 1 y = 0 z = 0 = -2] La distancia mnima a la superficie es, aproximadamente 3 unidades de longitud como indica el clculo siguiente 2 2 2 #31: ((1 - 2) + (0 - 1) + (0 - 1) ) = 3



19.- Un contenedor (sin tapa) en forma de paraleleppedo ha de tener un volumen de 18m3. Se pide determinar, usando multiplicadores de Lagrange, las dimensiones que hacen mnimo su coste, sabiendo que la base cuestan 5 el m2, y los laterales 3 el m2. Solucin: La funcin a minimizar es es la funcin coste (5xy + 6xz + 6yz) y la condicin es el volumen de la caja (18= xyz), luego la funcin de Lagrange es: #32: 5xy + 6yz + 6xz - (xyz - 18) d #33: (5xy + 6yz + 6xz - (xyz - 18)) = y(5 - z) + 6z dx d #34: (5xy + 6yz + 6xz - (xyz - 18)) = x(5 - z) + 6z dy d #35: (5xy + 6yz + 6xz - (xyz - 18)) = x(6 - y) + 6y dz d #36: (5xy + 6yz + 6xz - (xyz - 18)) = 18 - xyz d #37: SOLVE([y(5 - z) + 6z, x(5 - z) + 6z, x(6 - y) + 6y, 18 - xyz], [x, y, z, ]) 2/3 2/3 2/3 310 310 10 1/3 #38: x = y = z = = 210 , x = - 5 5 2 2/3 2/3 2/3 2/3 310 3310 i 310 3310 i + y = - + 10 10 10 10 2/3 2/3 10 310 i 1/3 1/3 z = - + = - 10 - 310 i, x = - 4 4 2/3 2/3 2/3 2/3 310 3310 i 310 3310 i - y = - - 10 10 10 10 2/3 2/3 10 310 i 1/3 1/3 z = - - = - 10 + 310 i 4 4 Solo es vlida la solucin real 2/3 2/3 2/3 310 310 10 1/3 #39: x = y = z = = 210 5 5 2 #40: x = 2.7849533 y = 2.7849533 z = 2.320794416



20.- Una empresa fabrica dos productos. Los ingresos por la venta de x unidades del primer producto y de y unidades del segundo producto son R(x, y)= - 5x2- 8y2- 2xy + 42x +102y Hallar el nmero de unidades x e y que debe vender para que los ingresos obtenidos sean mximos. Solucin: 2 2 #44: - 5x - 8y - 2xy + 42x + 102y d 2 2 #45: (- 5x - 8y - 2xy + 42x + 102y) = - 10x - 2y + 42 dx d 2 2 #46: (- 5x - 8y - 2xy + 42x + 102y) = - 2x - 16y + 102 dy #47: SOLVE([- 10x - 2y + 42, - 2x - 16y + 102], [x, y]) #48: [x = 3 y = 6] Solo hemos obtenido un punto crtico, comprobamos que se trata de un mximo relativo d #49: (- 10x - 2y + 42) = -10 dx d #50: (- 10x - 2y + 42) = -2 dy d #51: (- 2x - 16y + 102) = -16 dy -10 -2 #52: DET = 156 -2 -16 Luego efectivamente es un mximo relativo

x = 3 y = 6




a) la superficie z = x2 + y2 b) al plano 4x + 4y + z = 1

Solucin: a) 2 2 2 2 2 #53: (x - 2) + (y - 2) + (z - 0) - (x + y - z) d 2 2 2 2 2 #54: ((x - 2) + (y - 2) + (z - 0) - (x + y - z)) = 2x(1 - dx ) - 4 d 2 2 2 2 2 #55: ((x - 2) + (y - 2) + (z - 0) - (x + y - z)) = 2y(1 - dy ) - 4 d 2 2 2 2 2 #56: ((x - 2) + (y - 2) + (z - 0) - (x + y - z)) = 2z + dz d 2 2 2 2 2 2 2 #57: ((x - 2) + (y - 2) + (z - 0) - (x + y - z)) = - x - y + z d 2 2 #58: SOLVE(2x(1 - ) - 4, 2y(1 - ) - 4, 2z + , - x - y + z, [x, y, z, ]) 1/3 1/3 (3327 + 54) (3327 - 54) #59: x = - y = 6 6 1/3 1/3 (3327 + 54) (3327 - 54) - z = 6 6 1/3 1/3 (217 - 12327) (12327 + 217) 1 + - = - 6 6 3 1/3 1/3 (217 - 12327) (12327 + 217) 2 - + , x = 3 3 3 1/3 1/3 1/3 (3327 - 54) (3327 + 54) (109 - 63) - + i 12 12 4 1/3 1/3 (109 + 63) (3327 - 54) + y = - 4 12 1/3 1/3 1/3 (3327 + 54) (109 - 63) (109 + 63) + i + 12 4 4



1/3 1/3 (217 - 12327) (12327 + 217) 1 z = - - - + 12 12 3 1/3 1/3 (6513 - 108109) (108109 + 6513) i - = 12 12 1/3 1/3 (217 - 12327) (12327 + 217) 2 + + + 6 6 3 1/3 1/3 (108109 + 6513) (6513 - 108109) i - , x = 6 6 1/3 1/3 1/3 (3327 - 54) (3327 + 54) (109 - 63) - - i 12 12 4 1/3 1/3 (109 + 63) (3327 - 54) + y = - 4 12 1/3 1/3 1/3 (3327 + 54) (109 - 63) (109 + 63) - i + 12 4 4 1/3 1/3 (217 - 12327) (12327 + 217) 1 z = - - - + 12 12 3 1/3 1/3 (108109 + 6513) (6513 - 108109) i - = 12 12 1/3 1/3 (217 - 12327) (12327 + 217) 2 + + + 6 6 3 1/3 1/3 (6513 - 108109) (108109 + 6513) i - 6 6 #60: [x = 0.68939835 y = 0.68939835 z = 0.9505401713 = -1.901080342, x = -0.344699175 + 0.7787506428i y = -0.344699175 + 0.7787506428i z = -0.9752700856 - 1.073738816i = 1.950540171 + 2.147477632i, x = -0.344699175 - 0.7787506428i y = -0.344699175 - 0.7787506428i z = -0.9752700856 + 1.073738816i = 1.950540171 - 2.147477632i] La distancia mnima a la superficie es, aproximadamente 1,6485 unidades de longitud como indica el clculo siguiente 2 2 2 #61:((0.68939835 - 2) + (0.68939835 - 1) + 0.9505401713 ) = 1.64853774



b) Con un razonamiento anlogo, la funcin de Lagrange es: 2 2 2 #62: (x - 2) + (y - 2) + z - (4x + 4y + z - 1) d 2 2 2 #63: ((x - 2) + (y - 2) + z - (4x + 4y + z - 1)) = 2x - 4 dx - 4 d 2 2 2 #64: ((x - 2) + (y - 2) + z - (4x + 4y + z - 1)) = 2y - 4 -4 dy d 2 2 2 #65: ((x - 2) + (y - 2) + z - (4x + 4y + z - 1)) = 2z - dz d 2 2 2 #66: ((x - 2) + (y - 2) + z - (4x + 4y + z - 1)) = - 4x - d 4y - z + 1 #67: SOLVE([2x - 4 - 4, 2y - 4 - 4, 2z - , - 4x - 4y - z + 1], [x, y, z, ]) 2 2 5 10 #68: x = y = z = - = - 11 11 11 11 2 2 2 2 5 2 533 #69: - 2 + - 2 + - = = 2.611164839 11 11 11 11 La distancia mnima al plano es, aproximadamente 1,9149 unidades de longitud como indica el clculo siguiente 2 2 1 2 1 2 33 #70: - 2 + - - 1 + - = = 1.914854215 3 3 3 3



22.- El material de la base de una caja abierta cuesta 1,5 m2 y el de los laterales 1 m2. Se pide determinar, usando multiplicadores de Lagrange, las dimensiones de la caja de mayor volumen que puede construirse para un coste C=100

Solucin: La funcin a maximizar es el volumen de la caja (V= xyz) y la condicin es la funcin coste (1.5xy + 2xz + 2yz - 100), luego la funcin de Lagrange es: #71: xyz - (1.5xy + 2xz + 2yz - 100) d #72: (xyz - (1.5xy + 2xz + 2yz - 100)) = dx y(2z - 3) - 4z 2 d #73: (xyz - (1.5xy + 2xz + 2yz - 100)) = dy x(2z - 3) - 4z 2 d #74: (xyz - (1.5xy + 2xz + 2yz - 100)) = x(y - 2) - dz 2y d #75: (xyz - (1.5xy + 2xz + 2yz - 100)) = - d x(3y + 4z) + 4yz - 200 2 y(2z - 3) - 4z x(2z - 3) - 4z #76: SOLVE, , x(y - 2 2 x(3y + 4z) + 4yz - 200 2) - 2y, - , [x, y, z, ] 2 102 102 52 52 #77: x = y = z = = , x = - 3 3 2 6 102 102 52 52 y = - z = - = - 3 3 2 6 Solo es vlida la solucin donde x,y,z presentan valores positivos pues han de ser metros lineales. 102 102 52 #78: x = y = z = 3 3 2



23.- a) Razonar, sin hacer clculos, si la funcin f(x, y) = 22 yx alcanza sus valores mximo y mnimo absolutos en la regin R limitada por el tringulo de vrtices P1 (-1, 0), P2 (1,0) y P3 (0,1), incluyendo los lados del tringulo. b) Calcular dichos valores extremos, caso de que existan, as como los puntos en donde se alcanzan.

Solucin: a) Como R es una regin cerrada y acotada del plano y f es una funcin continua, f

alcanza sus valores mximo y mnimo absolutos en la regin.

b) Estudio en el interior:

0y2f0x2f

y

x O (0, 0) es el nico punto crtico,

pero, no est en el interior de la regin. En la frontera (lados del tringulo):

En la base del tringulo: y = 0, )0,0(O0x0x2)x('gx)x(g)0,x(f]1,1[x 2 Hay que considerar tambin los puntos frontera de la base: x = - 1 )0,1(P1 , x =1

)0,1(P2 . En el lado izquierdo: Es el segmento de la recta que pasa por los puntos )0,1(P1 y )1,0(P3 : y = x + 1, ]0,1[x

21x02x4)x('h1x2x2)1x(x)x(h)1x,x(f 222

21,

21P

211

21y 4

Los puntos frontera de este lado son: )0,1(P1 y )1,0(P3 . En el lado derecho, empleamos, para variar, el mtodo de los multiplicadores de Lagrange: Es el trozo de recta que pasa por los puntos )0,1(P2 y )1,0(P3 : y = -x + 1, es decir y + x 1 = 0, ]1,0[x H(x, y, ) = f(x, y) - g(x, y) = 22 yx - (y + x 1)

21,

21P

21y ,

21x

01yxH

0y2H0x2H

5y

x

Los extremos de este lado ya han aparecido antes. Calculamos el valor de f en cada uno de los puntos:

00,0f , 1Pf 1 , 1Pf 2 , 1Pf 3 , 21Pf 4 , 21Pf 5 Por tanto, el valor mximo absoluto de f en la regin R es 1 y se alcanza en los puntos )0,1(P1 , )0,1(P2 y )1,0(P3 . Y el valor mnimo absoluto de f en la regin R es 0 y se alcanza en O(0, 0)

-1 1

1

R P1 P2

P3

P4 P5



24.- Una compaa petrolfera va a construir un oleoducto desde la plataforma petrolfera A, situada 4 millas mar adentro, hasta la refinera B, 2 millas tierra adentro, adems entre la lnea de playa y la lnea de la refinera hay una zona de dunas (ver figura) y la distancia entre A y B son 10 millas. Cada milla de oleoducto por el mar cuesta tres millones de euros, por la zona de dunas 5 millones y por la tierra 2 millones. Por tanto, el coste del oleoducto depende de los puntos P y R elegidos. Se pide: a) Hallar la ruta que hace mnimo el coste de construccin. b) Calcular dicho coste.

Solucin

a) Se trata de un problema de optimizacin (hallar los valores de las variables de una funcin para obtener un mnimo de la misma) para cuya solucin podemos aplicar el mtodo de los multiplicadores de Lagrange. La funcin a minimizar es el coste de construccin zyxC ,, :

zyxzyxC 245163,, 22 La condicin es que 8 zyx La funcin Lagrangiana es:

8245163,,, 22 zyxzyxzyxH Resolviendo el sistema:

0H0H

0H0H

z

y

x

, se obtiene: 5

58x , 21

214y , 85

5821

214z millas.

b) Sustituyendo estos valores en la funcin coste: c = 1654212 34.11 millones de euros.

B

A

P

R

4 millas

2 millas

x y z

8 millas

C



25.- Estudiar los valores mximos y mnimos relativos y absolutos de la funcin xyy,xf 2 , en el crculo cerrado de centro (0, 0) y radio 2. Solucin: Por ser el crculo cerrado unidad una regin cerrada y acotada del plano, y ser f una funcin continua, est garantizada la existencia de mximo y mnimo absolutos en la regin. Estos valores extremos pueden alcanzarse en el interior del crculo o en la circunferencia frontera.

a) En el interior

0y 0x0yx2f

0y0yf

y

2x , luego, todos los puntos de la forma P(x, 0) son puntos

crticos, para 2 ,2x .

0

x2000

)P(H

x2f

0)P(fy2f0f

yy

xyxy

xx

El criterio de la derivada segunda no decide

si hay valor extremo en P. Hay que estudiar cmo es la funcin en un entorno del punto P(x,0). Por la definicin de f, es f (x, 0)=0

Si x = 0 P(0, 0) A lo largo de la recta y = x, f(x, x) =

0 x si 00 xsi 0

x3

Luego (0, 0) es un punto de silla. Si 0 < x < 2, existe un entorno E de P(x, 0) tal que E)y,x( es x > 0.

E)y,x( se verifica que f(x, y)= 0xy2 = f (x, 0). Luego f presenta un mnimo relativo en los puntos (x, 0), con 0 < x < 2; el valor del mnimo relativo es 0.

Si 2 < x < 0, existe un entorno E de P(x, 0) tal que E)y,x( es x < 0. E)y,x( se verifica que f(x, y)= 0xy2 = f (x, 0).

Luego f presenta un mximo relativo en los puntos (x, 0), con 2 < x < 0; el valor del mximo relativo es 0.

b) En la frontera: La ecuacin de la circunferencia de centro el origen y radio 2 es: x2 + y2 = 4. Aplicamos multiplicadores de Lagrange: 2 2 2 #1: y x - (x + y - 4) d 2 2 2 #2: (y x - (x + y - 4)) dx 2 #3: y - 2x d 2 2 2 #4: (y x - (x + y - 4)) dy #5: 2y(x - ) d 2 2 2 #6: (y x - (x + y - 4)) d



2 2 #7: - x - y + 4 2 2 2 #8: SOLVE(y - 2x, 2y(x - ), - x - y + 4, [x, y, ]) 23 #9: x = 2 y = 0 = 0, x = -2 y = 0 = 0, x = y = 3 26 23 23 26 23 = , x = y = - = , x = 3 3 3 3 3 23 26 23 23 - y = = - , x = - y = - 3 3 3 3 26 23 = - 3 3 2 #10: f(x, y) y x #11: f(0, 0) #12: 0 #13: f(x, 0) #14: 0 23 26 #15: f, 3 3 163 #16: 9 23 26 #18: f, - 3 3 163 #19: 9 23 26 #20: f- , 3 3 163 #21: - 9 23 26 #22: f- , - 3 3 163 #23: - 9 Mximo absoluto en la regin: 163/9, lo alcanza en los puntos: (23/3, 26/3) y (23/3,-26/3). Mnimo absoluto en la regin: -163/9, lo alcanza en los puntos: (-23/3, 26/3) y (-23/3,-26/3).



26.- Sea k una constante real y sea la superficie de ecuacin 22 kyxy3x)y,x(f Se pide: a) Probar que, para cualquier valor de k, el origen (0,0) es un punto crtico de f. b) Hallar los valores de k para los que f presenta un mnimo relativo en (0,0). Solucin:

a) El origen es punto crtico de f:

2 2

2 2

x 3xy ky 2x 3y 0x x 0; y 0

x 3xy ky 3x 2ky 0y

b) Valores de k para los que f presenta un mnimo relativo en (0, 0):

22 2

2

22 2

2

2 22 2

x 3xy ky 2x

x 3xy ky 2ky

x 3xy ky 3x y x y

El valor del Hessiano es 2 3H f x, y 4k 93 2k

Si 4k 9 > 0 k > 9/4 H(f(x, y)) > 0 y fxx > 0 f(x, y) para k > 9/4, presenta un mnimo relativo.

Si 4k 9 = 0 k > 9/4 2

2 2 2 29 3f (x, y) x 3xy ky x 3xy y x y 04 2

Luego, por ser f(0, 0) = 0 f(x, y) tambin para k=9/4, f presenta un mnimo relativo por definicin (en realidad, es mnimo absoluto).



27.- a) Consideremos la funcin g(,,) =cos cos cos , sujeta a la restriccin de que , , son los tres ngulos de un tringulo plano. Aplicar multiplicadores de Lagrange para hallar los valores de , , que hacen mximo el valor de g. b) Hallar los puntos crticos de la funcin 2222 41 yxxyz y estudiarlos concluyendo cules corresponden a extremos relativos y cules son puntos de silla. Solucin: a) g(,,) =cos cos cos , es la funcin a maximizar y + + = es la condicin, luego la funcin de Lagrange es, en este caso: coscoscos),,,(H

0

0coscos

0coscos

0coscos

H

senH

senH

senH

Despejando en las 3 primeras ecuaciones e igualando las

2 primeras ecuaciones y la primera con la tercera se obtiene el siguiente sistema equivalente al anterior:

tgtgtgtg

sensensensen

0coscoscoscos

coscoscoscos

Ahora bien, las tangentes son iguales cuando los ngulos son iguales o se diferencian en , es decir,

, la segunda posibilidad no puede darse pues los ngulos de un tringulo

plano son menores de 180 (tambin esto sucede en tringulos esfricos), por lo que ha de suceder:

3

b) Dada 2222 41 yxxyz , sus puntos crticos son aquellos donde sus derivadas parciales se anulan o no existen. En este caso, por tratarse de una funcin polinmica, z es diferenciable en todo R2, y sus derivadas tambin son funciones polinmicas (diferenciables en R2).

Tomando nicamente las soluciones reales, se obtienen los siguientes puntos crticos:



P1(0,0), P2(1,-4), P3(1/2,-2) Para estudiar cules corresponder a extremos y cules a puntos de silla aplicamos el criterio de la segunda derivada.

Observando el valor del hessiano y de 22

xz

en cada punto deducimos que:

Hess(P1)=64>0, 1

2

2

Pxz

=32>0 en P1(0,0) la funcin presenta un mnimo relativo cuyo

valor es f(0,0)=0

Hess(P2)=64>0,1

2

2

Pxz

=32>0 en P2(1,-4) la funcin presenta un mnimo relativo cuyo

valor es f(1,-4)=0 Hess(P3)= - 48>0, en P3(1/2,-2) la funcin presenta un punto de silla cuyo valor es

22,21

f



28.- Una canaleta de desage con seccin transversal en forma de trapecio se hace doblando hacia arriba las orillas de una hoja de aluminio de 60 cm de ancho. Hallar la seccin transversal de mayor rea. Solucin:

Longitud de la hoja: 60 = b + 2 a rea de la seccin transversal: A = b h + 2 (x h / 2) = (b + x) h = (60 2 a + a cos ) a sen Tenemos as expresada el rea en funcin de las variables a (trozo de hoja que se dobla hacia arriba en cada lado) y (ngulo que se eleva el trozo a).

Se trata entonces de maximizar esta funcin de dos variables. Realizando los clculos con DERIVE, se tiene que:

0 cos 2a4a-60

) 0, (pues absurdo 00) cos 2a4a-(60 sen

a A

0 sen acos a cos a2 cos 60a A 22

Resolviendo el sistema:

0 sen acos a cos a2 cos 600 cos 2a4a-60

22

Se obtiene: a = 20 cm, = 603

b

h

a

x

20 60

20 20



29.- Estudiar los valores mximos y mnimos relativos y absolutos de la funcin xyy,xf 2 , 2Ry,x . Solucin:

Extremos relativos

0y 0x0yx2f

0y0yf

y

2x , luego, todos los puntos de la forma P(x, 0) son puntos

crticos.

0

x2000

)P(H

x2f

0)P(fy2f0f

yy

xyxy

xx

El criterio de la derivada segunda no decide si hay valor extremo en P. Hay que estudiar cmo es la funcin en un entorno del punto P(x, 0). Por la definicin de f, es f (x, 0)=0

Si x = 0 P(0, 0) A lo largo de la recta y = x, f(x, x) =

0 x si 00 xsi 0

x 3

Luego (0, 0) es un punto de silla.

Si x > 0, existe un entorno E de P(x, 0) tal que E)y,x( es x > 0. E)y,x( se verifica que f(x, y)= 0xy2 = f (x, 0).

Luego f presenta un mnimo relativo en los puntos (x, 0), con x > 0; el valor del mnimo relativo es 0.

Si x < 0, existe un entorno E de P(x, 0) tal que E)y,x( es x < 0. E)y,x( se verifica que f(x, y)= 0xy2 = f (x, 0).

Luego f presenta un mximo relativo en los puntos (x, 0), con x < 0; el valor del mximo relativo es 0.

Extremos absolutos f(x, y) xy2 puede hacerse tan grande tan pequeo como se quiera (por ejemplo, a lo largo de la recta y = x, f(x, y) =

xsi xsi

x 3 )

Luego, f no posee extremos absolutos.



30.- Aplicar el mtodo de los multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias mxima y mnima de un punto de la elipse x2 + 4y2 = 4 a la recta x + y = 4. Solucin: 2 (x + y - 4) 2 2 #1: - (x + 4y - 4) 2 2 d (x + y - 4) 2 2 #2: - (x + 4y - 4) dx 2 #3: x(1 - 2) + y - 4 2 d (x + y - 4) 2 2 #4: - (x + 4y - 4) dy 2 #5: x + y(1 - 8) - 4 2 d (x + y - 4) 2 2 #6: - (x + 4y - 4) d 2 2 2 #7: - x - 4y + 4 #8: SOLVE( - x2 - 4y2 + 4, x(1 - 2) + y - 4, x + y(1 - 8) - 4, [x, y, ]) 45 5 5 5 45 5 #9: x = y = = - , x = - y = - 5 5 8 2 5 5 5 5 16 211i 4 211i = + , x = + y = - = 0, 2 8 5 5 5 5 16 211i 4 211i x = - y = + = 0 5 5 5 5 45 5 #10: , 5 5 45 5 #11: - , - 5 5 2 (x + y - 4) #12: 2 Distancia mnima: 10 #13: 22 - 2 Distancia mxima: 10 #14: + 22 2 Al ser f(x,y) (distancia al cuadrado) una funcin continua en la elipse que es un conjunto cerrado y acotado, podemos asegurar que esas distancias obtenidas son las buscadas.



31.- Hallar las dimensiones del recipiente de embalaje abierto por arriba ms econmico de 96 metros cbicos de capacidad, sabiendo que la base cuesta 30 cntimos por metro cuadrado y los laterales 10 cntimos por metro cuadrado. Nota: se supone que el embalaje tiene forma de prisma recto. Solucin: Sean x, y, z las medidas del ancho, largo y alto del recipiente.

Superficie total = superficie base + superficie lateral = xy + 2xz + 2yz Coste = superficie x precio = 30 x y + 10 (2xz +2yz) = f( x, y, z) La capacidad del recipiente viene dada por su volumen: xyz = 96, es decir, xyz 96 = 0. Se trata, por tanto, de minimizar la funcin )z,y,x(f , bajo la condicin xyz 96 = 0 ,z,y,xH 30 x y + 10 (2xz +2yz) - ( xyz 96)

6z ,4y ,4x

0xyz96H0y20y20xH

0z20z30xH0z20z30yH

z

y

x

Luego, el ms econmico es un recipiente de base cuadrada de lado 4m y altura 6m.

x y

z



32.- Se considera la funcin y3x2xyy,xf definida en la regin x2y0 4,x0Ry,xS 2 / . Se pide:

a) Razonar si f alcanza sus valores mximo y mnimo absolutos en S. b) Calcular cules son esos valores, indicando tambin en qu puntos se alcanzan. Solucin:

a) La funcin f es continua en la regin S que es un conjunto compacto (cerrado y acotado), luego f alcanza sus valores mximo y mnimo absolutos en S.

b) Puntos crticos en el interior de S: x

y

f y 2 0f x 3 0

1P (3,2)

que est dentro de S.

En la frontera de S (formada por los tres lados del tringulo): En el lado y = 2x, 4,0x :

2z f x, y f x,2x 2x 8x z ' 4x 8 0 x 2 y 4 2P 2, 4 Adems, los dos puntos de los extremos del lado: )0,0(P3 y 8,4P4 . En el lado y = 0, 4,0x :

02'zx20,xfy,xfz ; y el punto extremo del lado 0,4P5 , pues el otro punto extremo ya est considerado antes ( es el origen). En el lado x = 4, 8,0y :

01'z8yy,4fy,xfz ; los dos puntos extremos de este lado ya estn considerados antes. 6Pf 1 , 8Pf 2 , 0Pf 3 , 0Pf 4 , y 8Pf 5 Luego, el mximo de f en S es 0 y se alcanza en 3P y 4P . El mnimo de f en S es -8 y se alcanza en 2P y 5P .

4

8

0

x=4

y=0

y=2x

S

x

y



33.- Calcular el volumen de la caja rectangular ms grande situada en el primer octante con tres de sus caras en los planos coordenados y un vrtice en el plano x+2y+3z = 6. Solucin: #1: x + 2y + 3z - 6 = 0 #2: SOLVE(x + 2y + 3z - 6 = 0, z) x + 2y - 6 #3: z = - 3 #4: xyz x + 2y - 6 #5: xy- 3 xy(x + 2y - 6) #6: - 3 d xy(x + 2y - 6) #7: - dx 3 2y(x + y - 3) #8: - 3 d xy(x + 2y - 6) #9: - dy 3 x(x + 4y - 6) #10: - 3 2y(x + y - 3) x(x + 4y - 6) #11: SOLVE- = 0, - = 0, [x, y] 3 3 #12: [x = 0 y = 0, x = 0 y = 3, x = 2 y = 1, x = 6 y = 0] 2 #13: z = 3 Sustituyendo en el volumen: #14: xyz = 2 . 1 . 2/3 = 4/3 es el volumen mximo.



34.- Se considera la funcin , 4f x y xy x y . a) Estudiar la existencia de mximos y mnimos relativos de f en R2. b) Estudiar la existencia de mximos y mnimos absolutos de f en R2. c) Sea la regin 2, / 0 4, 0 y 5 xS x y R x . Se pide:

i) Razonar si f alcanza sus valores mximo y mnimo absolutos en S. ii) Calcular cules son esos valores, indicando tambin en qu puntos se alcanzan.

Solucin: #1: f(x, y) xy - 4x - y #2: 0 x 4 0 y 5x

a) Extremos relativos de f en todo el plano R2: d #3: (xy - 4x - y) dx #4: y - 4 d #5: (xy - 4x - y) dy #6: x - 1 #7: SOLVE([y - 4 = 0, x - 1 = 0], [x, y]) #8: [x = 1 y = 4] d 2 #9: (xy - 4x - y) dx #10: 0 d 2 #11: (xy - 4x - y) dy #12: 0 d d #13: (xy - 4x - y) dy dx #14: 1 Hessiano en P1 (1,4) 0

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