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PPP...AAA...UUU... 222000111111---222000111222 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

OOOpppccciiióóónnn AAA 1 Sean las variables:

x=número de lotes tipo A y=número de lotes tipo B

Las condiciones límite del problema pueden expresarse de la siguiente forma: El número de surtidos de ibéricos no debe superar 180: 18043 yx

El número de botellas de vino no debe superar 120: 12023 yx

El número lotes tipo A no puede ser negativo: 0x

El número de surtidos tipo B no puede ser negativo: 0y .

Despejando y en cada una de ellas, surge el sistema de inecuaciones:

0

0

602

3

454

3

y

x

xy

xy

Cuya representación en el plano cartesiano conduce a la siguiente región factible:

Los vértices de esta región se calculan resolviendo los correspondientes sistemas de ecuaciones formados por las ecuaciones de las rectas que los determinan:

45;450·4

345

4

30

:1

yyxy

xP , luego P1(0,45)

x

y

602

3 xy

454

3 xy

0y

0x

2P

1P

3P

4P

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

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30,20;454

360

2

3

454

3

602

3

:2

yxxx

xy

xyP , luego P3(20,30)

40;60·2

30

602

30

:3

yx

xy

yP , luego P3(40,0)

0

0:2 y

xP , luego P4(0,0)

Para encontrar el beneficio máximo evaluamos la función beneficio yxyxB 2520),( en cada uno

de los vértices de la región factible, así: En P1: €112545·250·20)45,0( B

En P2: €115030·2520·20)30,20( B

En P3: €100040·250·20)40,0( B

En P4: €00·250·20)0,0( B

De donde se concluye que:

a) El máximo beneficio se alcanza cuando se venden 20 lotes tipo A y 30 lotes del tipo B b) El valor de dichos beneficios máximos es de 1150 €

2 a) Dado que cada bolso se vende a 90 € la función de ingresos tiene la forma xxI 90)( , y por

tanto la función de beneficios, puede calcularse según

2500502,090)()()( 2 xxxxCxIxB , con lo que resulta:

25001402,0)( 2 xxxB

b) Una función alcanza un valor extremo cuando su derivada se anula, luego los puntos críticos surgen de resolver la ecuación 0)( xB , es decir:

3504,0

140 ;01404,0 xx

Para ver si trata de un máximo, comprobamos que éste valor hace negativa la segunda derivada ( 4,0)( xB ), como efectivamente ocurre:

4,0)350( B

Por lo que para que los beneficios sean máximos la empresa debe vender 350 bolsos. c) Sustituyendo este valor en la función beneficios surge:

220002500350·140350·2,0)350( 2 B

Luego los beneficios máximos que puede alcanzar la empresa son de 22000 €

3 Sean los sucesos, y sus probabilidades calculadas por la definición de Laplace:

posibles casos de nº

favorables casos de nºSP

C: pago con tarjeta de crédito, con probabilidad 2,01100500400

400)(

CP

D: pago con tarjeta de débito, con probabilidad 25,02000

500)( DP

P.A.U. 2011-12

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M: pago en metálico, con probabilidad 55,02000

1100)( MP

X: compra superior a 200 € Y: compra inferior a 200 €

Teniendo en cuenta los datos del problema y que los sucesos )( iPXP y )( iPYP son

complementarios por quedar todas las compras pagadas (siendo Pi cada tipo de pago: C, D ó M):

)(1)( ii PXPPYP ,y la definición de probabilidad de Laplace para las compras en metálico:

11

3

1100

300

posibles casos de nº

favorables casos de nº

MYPMXP

MXPMXP

Podemos elaborar la siguiente tabla de contingencia, para las probabilidades condicionadas:

Pi

Vi C D M

X 0,6 0,4 3/11 14/11

Y 0,4 0,6 8/11 18/11

1 1 1 Donde cada celda representa a la probabilidad de que el valor de una compra sea Vi cuando se paga

en forma Pi , es decir, )( ii PVP

a) Utilizando la definición de Laplace:

424,06,04,04,06,011

811

3

4,06,0113

)(

XP

DYPDXPCYPCXPMYPMXP

DXPCXPMXPXP

Luego la probabilidad de que se trate de una compra superior a 200 € es del 42,4% b) Utilizando el teorema de Bayes:

635,0

25,0·6,02,0·4,055,0·118

55,0·118

···

·

DPDYPCPCYPMPMYP

MPMYPYMP

Luego la probabilidad de que una compra cualquiera de valor inferior a 200 € haya sido pagada en metálico es del 63,5%

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PPP...AAA...UUU... 222000111111---222000111222 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

OOOpppccciiióóónnn BBB 1 Realizando las operaciones indicadas:

·19

31·

681

3343

10

01

9

30

34

1·

21

3

10

01

9

30

3

41·

21

3

·

zy

xyx

z

yx

zy

x

ICBAt

t

Y teniendo en cuenta que dos matrices son iguales si siendo del mismo orden lo son elemento a elemento, surge el sistema de ecuaciones:

16

333

981

143

zy

xy

x

Que podemos resolver de forma sencilla, resultado: (x,y,z)=(1,0,5)

2 a) Dado que cada una de las ramas es continua en su intervalo de existencia por tratarse de

funciones polinómicas, para que P(x) sea continua debe cumplirse:

21)(lim)(lim2121

PxPxPxx

Así:

cb

cb

cbxxxx

21441

2121

limlim

2

21

2

21

Por otra parte sabemos que P(14)=2198, luego:

219814196

219814142

b

b

De donde extraemos:

14

1962198b 171

Que al sustituir en la condición de continuidad permite el cálculo de c: 171·21441c 3150

b) Luego nuestra función queda compuesta por una rama parabólica convexa ( ∩ ) con vértice en (-b/a, f(-b/a)), es decir en x=171, por lo que sólo veriamos parte del brazo donde es creciente y una constante que es una recta horizontal y=3150 de la forma:

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21 si3150

210 si171)(

2

x

xxxxf

Siendo su representación gráfica la siguiente:

3 a) Sean:

2000n , el tamaño de la muestra objeto de estudio

15,02000

300p , la proporción de familias de la muestra con acceso a Internet

85,01 pq , la proporción de familias de la muestra sin acceso a Internet

99,01 el nivel de confianza ( 01,0 )

Asumiendo la hipótesis de normalidad para la función de distribución de p sobre la población objeto de estudio, por ser grande el tamaño de la muestra: podemos inferir un intervalo de confianza para la proporción poblacional como:

szpCI ·%)99.(.

Siendo 576,201,0 z el valor de la variable x con probabilidad 99,0)( zxzP , qué podemos

extraer de la tabla correspondiente a la distribución )1,0(N y siendo

0080,02000

85,0·15,0

n

pqs la desviación típica muestral para dicha proporción. Luego:

0206,015,00080,0·576,215,0%)99.(.CI (0,129 , 0,171)

b) El valor del error absoluto máximo si damos como estimación puntual el punto central del

intervalo coincide con la mitad de la longitud del intervalo de confianza, es decir, sz · 0,0206,

que se corresponde con un error relativo 100·15,0

0206,013,71%

x

y

xxy 1712

3150y