Curso propedéutico 2015

Expresiones algebraicas

Elementos de una expresión algebraica

Números de cualquier tipo

Letras

Signos de operación: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones

Ejemplos

a + 1 21a + 4b 2x − 6y + z

Valor numérico de una expresión algebraica

El valor numérico de una expresión algébrica depende de los valores concretos que reciban las letras.

Por ejemplo, el valor numérico de la expresión algebraica

4x – 2y + 6, cuando x = 5 e y = 2,

es 4 · 5 – 2 · 2 + 6 = 22.

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U t i l i d a d de una expresión algebraica

Simplificar una situación real en la que se han de realizar operaciones entre cantidades conocidas y cantidades desconocidas.

1. 5x – 5y + 3, cuando x = 2 e y = 1,

2. 4x + y + 1, cuando x = 7 e y = 1,

3. 6x - y + 3y, cuando x = 3 e y = 9,

6. y + x, cuando x = 3 e y = 5/15,

8. 3x + 4y + 1, cuando x = 7 e y = 1,

7. 4x + y + 1, cuando x = 5/6 e y = 1/12,

5. x + y + 1, cuando x = 4/5 e y = 2/5,

10. -x + -y + -9, cuando x = 3 e y = 18,

4. 34x - 9y + 5, cuando x = 1/6 e y = 2/3,

9. y -4x + -1, cuando x = -7 e y = -1/1,

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I g u a l d a d entre expresiones algebraicas

Elementos de una igualdad

Ejemplos

Tipos de igualdades

Dos expresiones algebraicas, denominadas miembros.

Un signo igual, =, interpuesto entre ambas.

2a + 3 = 3

3a-2b = a-c +2

Verdadera: si la expresión algebraica del miembro de la izquierda puede convertirse en la del de la derecha, aplicando las propiedades de las operaciones. Por ejemplo:

a – 4b – 2a + 5a – b = 4a – 5b

Falsa: si la expresión algebraica del miembro de la izquierda no puede convertirse en la del de la derecha. Por ejemplo:

4a – 5b + 2 = 4a – 5b + 7

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Ecuaciones

Definición

Solución de

una ecuación

Ecuaciones equivalentes

Igualdades entre expresiones algebraicas, especialmente aquellas cuya falsedad o certeza no pueden establecerse fácilmente.

Valores numéricos que transforman la ecuación en una igualdad entre expresiones numéricas verdadera. Por ejemplo, si se sustituyen las incógnitas de

2x + 4y – 5 = 4x – 5y,

por 2 en el caso de la x, y por 1 en el caso de la y, obtendremos

2 · 2 + 4 · 1 – 5 = 4 · 2 – 5 · 1, y ambos miembros resultan 3.

Ecuaciones que tienen exactamente las mismas soluciones.

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Propiedades de las expresiones algebraicas

Propiedades de la suma

Propiedad conmutativa

El resultado de sumar dos números en cualquier orden es siempre el mismo:

a+b=b+a

Propiedad asociativa

Si se suman tres números cualquiera, pueden agruparse como se desee:

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) Elemento neutro de la suma

El elemento neutro de la suma de números es el 0, ya que si se suma este número a cualquier otro número, el resultado es el mismo número:

a + 0 = a

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Propiedades de la multiplicación

Propiedad conmutativa

Propiedad asociativa

Elemento neutro de la multiplicación

Elemento inverso

Dos números pueden multiplicarse en cualquier orden, y el resultado siempre es el mismo:

a · b = b · a

Si se multiplican tres números cualquiera, se pueden agrupar como se desee, porque el resultado siempre es el mismo:

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)

que si se multiplica cualquier número por 1, el resultado siempre es el mismo número inicial:

a · 1 = a

El elemento inverso de un número cualquiera (que no sea 0) es aquel número que multiplicado con éste da 1 (el elemento neutro de la multiplicación):

el elemento inverso de c es (1/c), ya que c · (1/c) = = 1

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Propiedad distributiva de la suma respecto del producto a · (b + c) = a · b + a · c

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La resta y la división

Las propiedades de la resta son semejantes a las de la suma, sólo debe recordarse que la resta es la suma con el opuesto:

a – b = a + (–b)

Las propiedades de la división son semejantes a las de la multiplicación; sólo debe recordarse que la división es una multiplicación por el inverso (siendo b ≠ 0):

𝒂

𝒃= 𝒂 𝒙

𝟏

𝒃

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Utilidad Se utilizan para simplificar expresiones algebraicas.

Ejemplo Aplicando las propiedades de las operaciones, puede llegarse a la conclusión de que:

a − 4b − 2a + 5a −b es igual a 4a − 5b

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¿Cómo se aplican las propiedades para simplificar una expresión algebraica?

a − 4b − 3a + 5a −b

distributiva

−b− 4b − 3a + 5a + a

(−b − 4b) +(− 3a + 5a + a)

(−1 − 4)b +(− 3 + 5 + 1)a

-5b +3a

conmutativa

Elemento neutro

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¿Qué son las igualdades entre expresiones numéricas y las igualdades entre expresiones algebraicas, y cómo puede saberse si son verdaderas o falsas?

Una igualdad numérica es verdadera si el resultado del miembro de la izquierda es igual al resultado del miembro de la derecha.

3 · 4 – 5 = 38 – 15 · 2 – 1

Una igualdad numérica es falsa si el resultado del miembro de la izquierda no es igual al resultado del miembro de la derecha.

4 · (–2) + 8 = 3 – 7 · 11

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Una igualdad algebraica es verdadera si la expresión algebraica del miembro de la izquierda puede convertirse en la del de la derecha aplicando las propiedades de las operaciones.

a – 4b – 2a + 5a – b = 4a – 5b

Una igualdad algebraica es falsa si la expresión algebraica del miembro de la izquierda no puede convertirse en la del de la derecha.

3a – 5b + 2 = 3a – 5b + 7

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¿Qué es una ecuación y qué es una solución de una ecuación?

4a – 2b + c = 3a – 6b + 7 2x + 2y +8 = 2x + 7

Una igualdad entre expresiones algebraicas

también puede denominarse ecuación.

incógnitas

término

coeficiente

término numérico

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¿Qué son las ecuaciones equivalentes, y cómo pueden hallarse ecuaciones equivalentes a una dada?

7x – 3 = 6x – 4 14x – 6 = 12x – 8

x = –1

Sumando, multiplicando o dividiendo ambas expresiones por los mismos valores

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Ecuaciones de primer y segundo grado Ecuaciones de primer grado

con una incógnita

3x – 5 = x + 5

es una ecuación porque es una igualdad entre expresiones algebraicas.

tiene una incógnita,

que es la x.

es de primer grado porque la incógnita x no se multiplica nunca por otra incógnita, incluida ella misma.

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Elementos de una ecuación

Término

cada uno de los sumandos de la ecuación.

Coeficiente de la incógnita el número que multiplica a la incógnita.

Término numérico

término que no contiene incógnita.

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Resolución de 3x – 5 = x + 5

1. Agrupar términos numéricos

2. Agrupar términos con incógnita

3. Eliminar el coeficiente de la incógnita

3x = x + 5 + 5

3x – x = 10

x = 10/2 = 5

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Forma normal de una ecuación de primer grado con una incógnita

Ecuación equivalente cuyo miembro de la derecha es cero, y el de la izquierda está completamente simplificado. Ejemplo: la forma normal de

3x - 5 = 2x + 4

X – 9 = 0

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Solución de una ecuación de primer grado en forma normal

Si ax + b = 0 es la ecuación en forma

normal, la solución es x = -b/a

Si el coeficiente de la incógnita es igual a 0, y el término numérico no es 0: a = 0, b ≠ 0.

No existe

Si el coeficiente de la incógnita es diferente de 0: a ≠ 0, existe una sola x = b/a

Si a = 0 y b = 0, cualquier número es solución de la ecuación.

Existe

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Las ecuaciones de segundo grado con una incógnita

Concepto

3x2 + 3x – 5 = 2x2 – 7

La forma normal de la ecuación anterior es:

x2 + 3x + 2= 0

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