UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS(Universidad del Per, DECANA DE AMERICA)

Escuela Acadmica Profesional de

INGENIERA DE MINAS

TEMALey de Ampere, ley de Biot Savart

CURSO: FISICA

PROFESOR:

ALUMNOS: CRDENAS HUALLPA, SAID SERGIO A.13160044

INGA AGUILAR, WILMER ROY13160120

Mayo del 2014, Ciudad Universitaria

Introduccin:

En fsica sabemos que una carga elctrica da lugar a un campo elctrico y una carga mvil da lugar a una corriente elctrica constante, que a su vez genera un campo magntico.

Las interacciones elctricas y magnticas se considera con un nombre ms general denominado interaccin electromagntica.

Sea una carga positiva q, que se mueve con una velocidad v y si acta una fuerza lateral F sobre la carga que se mueve, entonces diremos que en esa regin existe un campo magntico B.

Cuando un alambre lleva una corriente I, usando la ley de Ampere, podemos hallar el campo magntico producido por I, bajo ciertas condiciones. Ahora ya sabemos que con la ley de Ampere se puede usar para calcular campos magnticos solamente si la simetra de la distribucin de corriente es suficientemente completa para que sea fcil evaluar la integral. Esta condicin limita la utilidad de esta ley en los problemas prcticos. En cambio la ley de Biot-Savart, nos sirve para hallar el campo B producido por corrientes en un punto cualquiera debido a una distribucin arbitraria de corrientes.

Este informe tiene como objetivo central la demostracin de estas leyes. Al mismo tiempo, tambin se demostrar que las corrientes elctricas generan campos magnticos, fenmeno descubierto por Hans Oersted, y que se oponen al cambio, en este caso, del flujo magntico, vindose sus efectos, comprobando de esta manera la Ley de Lenz.

Resea histrica:

Laley de Biot-Savart, que data de 1820 y es llamado as en honor de los fsicos francesesJean-Baptiste BiotyFlix Savart indica elcampo magnticocreado porcorrientes elctricas estacionarias. Es una de las leyes fundamentales de la magnetosttica, tanto como laley de Coulomblo es enelectrosttica.De muchas experiencias, se lleg a la conclusin de que los campos magnticos son producidos por carga en movimiento, esto es, por corrientes elctricas. Los cientficos Biot y Savart dedujeron una relacin matemtica que permite conocer el campo magntico dB en un punto P debido a un elemento d corriente dS que conduce una intensidad de corriente I es:

El fsico Jean Biot dedujo en 1820 una ecuacin que permite calcular el campo magntico Bcreado por un circuito de formas cualesquiera recorrido por una corriente de intensidadi.La ley de Biot-Savart, relaciona loscampos magnticoscon lascorrientes que los crean. De una manera similar a como laley de Coulombrelaciona loscampos elctricoscon las cargas puntuales que las crean. La obtencin del campo magntico resultante de una distribucin de corrientes, implica unproducto vectorial, y cuando la distancia desde la corriente al punto del campo est variando continuamente, se convierte inherentemente en un problema de clculo diferencial.De muchas experiencias, se lleg a la conclusin de que los campos magnticos son producidos por carga en movimiento, esto es, por corrientes elctricas. Los cientficos Biot y Savart dedujeron una relacin matemtica que permite conocer el campo magntico dB en un punto P debido a un elemento d corriente dS que conduce una intensidad de corriente I es:

Marco terico:

Ley de ampere:

Cuando un alambre lleva una corriente I, usando la ley de ampere, podemos hallar el campo magntico producido por I, bajo ciertas condiciones.

Sea una corriente I, que est en el eje Z. consideramos una trayectoria cerrada C que encierra a la corriente, como se muestra en la Fig.

Dividimos la trayectoria cerrada en segmentos diferenciales dl y efectuemos el producto escalar con el campo magntico B:

Sumemos estos productos, es decir integremos, es lo que se llama circulacin del campo magntico: tal como se hizo con el campo elctrico definimos diferencia de potencial, entre dos puntos, fue necesario previamente definir la integral curvilnea del campo E.

Luego:

Segn el grafico:

Se sabe que el campo magntico creado por una corriente I a una distancia r es:

De (2) en (1):

Esta ltima expresin se conoce como la ley de Ampere y dice: La circulacin del campo magntico es proporcional a la corriente I, encerrada por la trayectoria C

Esta ley es til para cierta simetra de las lneas el campo y (B*dl) sean fciles de evaluar.

Si la corriente I, est fuera de la trayectoria cerrada C* se tiene lo siguiente:

Esto quiere decir que as corrientes que no estn encerradas por la trayectoria C*, no contribuyen a la integral.

Campo magntico producido por un conductor rectilneo en el que circula una corriente elctrica

De los experimentos de Ampere, en los que encontr que dos conductores que transportan corrientes elctricas interactan con fuerzas atractivas o repulsivas, dependiendo de los sentidos relativos de las corrientes, se introdujo el concepto de campo magntico, creado por los conductores, y que les permite interaccionar entre s.La ley de Biot-Savart permite calcular el campo magnticoque produce un conductor en el que circula corriente elctrica. Posteriormente se demostr que ese campo magnticocumple con una propiedad, que ahora se le llama la ley circuital de Ampere, que lo relaciona con la corriente que circula en el conductor.

(1)Aplicando la ley circuital de Ampere, se demuestra que el campo magntico, producido por un conductor rectilneo e infinito en el que circula la corriente de intensidad , en un punto colocado a una distanciadel conductor, tiene las siguientes propiedades:

Figura 5.9a) Su magnitud est dada por:,(2)Dondees una constante cuyo valor en el S.I. de unidades es:

.(3)b)Su direccin es tangente a la circunferencia de radiocentrada en el conductor, en el plano perpendicular al conductor.

Figura 5.10Su direccin la determina la regla de la mano derecha.Esta regla establece que:Se toma el conductor con la mano derecha, el dedo pulgar se dirige en la direccin de circulacin de la corriente y los dems dedos de la mano indicarn la direccin de las lneas del campo magntico.

Fuerza que se ejercen dos conductores rectilneos y paralelos en los que circulan corrientes elctricas.

Consideremos dos conductores rectilneos, infinitos y paralelos, en los que circulan las corrientese , como se muestra en la figura 5.11

Figura 5.11

El campo magnticoproducido poren los puntos donde se encuentra, tiene una magnitud dada por:

(5.4.2.1)La magnitud el campo magnticoproducido poren los puntos donde se colocaes:. (5.4.2.2)

La direccin y sentido deyes como se muestra en la figura 5.12.

Figura 5.12

La fuerza queejerza sobre un tramo de longituddees de magnitud:

.(5.4.2.3)

La fuerza queejerce sobre un tramo de longitudde, tiene magnitud dada por: .(5.4.2.4)La direccin y sentido deF12yF21son como se muestran en la figura 5.12, por lo tanto:.(5.4.2.5)Observar que si se invierte el sentido de alguna de las corrientes, el sentido de las fuerzasF12yF21tambin se invierten.Entonces se tiene que:Dos conductores rectilneos, infinitos y paralelos, en los que circulan las corrientesI1eI2, interactan con las fuerzas, por unidad de longitud, de magnitud igual a:,(5.4.2.6)

Donde d es la separacin entre los conductores. Las fuerzas de interaccin son atractivas si las corrientes tienen el mismo sentido, y repulsivas en el otro caso.

Ley de Biot-Savart.

Campo magntico generado por un conductor que transporta una corriente elctrica.

Se han descrito las fuerzas sobre corrientes y cargas dentro del espacio donde hay un campo magntico externo. En esa descripcin no se consider el campo magntico propio producido por las corrientes y/o cargas mviles. Centrndonos solo en la comprensin de la fuerza que produca el campo de induccin magntica externo. Para el campo magntico, producido por corrientes constantes, la situacin es completamente similar al caso electrosttico. De esta manera es como se encuentra la Ley de Biot-Savart, que determina el campo magntico generado por la corriente que circula en un conductor. Esta ley expresa que un elemento del campo de induccin, asociado con una corriente, en un segmento dado por el elemento de longitud, del conductor, cumple las siguientes condiciones: Su direccin es perpendicular tanto al elementocomo al vector de posicinque localiza al punto P, donde se mide el campo, como se muestra en la figura 5.3 Es directamente proporcional a la longituddel elemento de conductor y a la corriente que conduce. En magnitud es inversamente proporcional al cuadrado de la distanciaentre el elemento de corriente y el punto P. Es proporcional al seno del nguloformado por los vectoresy.De manera simblica esta ley queda establecida, como se muestra, en la figura 5.8:

Fig. 5.8

,(5.3.1)

Dondees un vector unitario en la direccin del vector. La expresin anterior comprende todos las condiciones antes mencionadas, ya que indica quees perpendicular tanto acomo a, y que su magnitud es proporcional a

.(5.3.2)Anteriormente se hizo referencia a que las fuerzas magnticas presentan una dependencia en razn inversa al cuadrado de la distancia, como las fuerzas Coulombianas lo hacen entre cargas elctricas. Claramente (5.3.2) indica lo anterior. La constante de proporcionalidad en (5.3.1) se expresa como, por razones similares a las expresadas para la constante de la Ley de Coulomb. De esta manera (5.3.1) queda expresada como:

,(5.3.3)

Donde, el vector unitario, se puede obtener del vector(), y se encuentra que (5.3.3) toma la forma:

.(5.3.4)La constantees una medida fundamental de la intensidad del magnetismo asociado con el flujo de carga elctrica; y se conoce comopermeabilidad magntica del vaco. Su valor numrico depende del sistema de unidades con las que se expresan las cantidades en (5.3.4). En el SI su valor es:

.(5.3.5)

La ley de Biot-Savart (5.3.4), solamente determina el elemento de induccin magntica en un punto dado, debido a un segmento de conductor. Para encontrar la induccin magntica debida a todo el conductor, debe integrarse la expresin (5.3.4) sobre todos los elementos de longitud, que constituyen dicho conductor. Entonces la induccin magntica total se puede escribir como la integral

.(5.3.6)

Esta expresin se utiliza para determinar los campos de induccin magntica generados por conductores con diversas formas geomtricas simples: como alambres rectos, espiras circulares, bobinas, etc.

Principio de Superposicin del Campo magntico.

Los campos magnticos producidos por diferentes conductores pueden sumarse o superponerse para obtener el campo resultante, como suceda en el caso del campo elctrico generado por sistemas de cargas elctricas puntuales. Por lo tanto si se tiene un sistema de conductores de corrientes elctricas, las cuales son generadoras de campos de induccin magntica,; de acuerdo con la ley de Biot-Savart (5.3.6), el vector induccin magntica total, puede expresarse como la suma vectorial de los campos de induccin magntica individuales, lo cual nos permite escribir:

, (5.3.7)Donde cada uno de los campos individuales est relacionado con su propia corriente generatriz, por medio de

.(5.3.8)En esta ecuacinson los elementos de longitud de los diferentes conductores, donde se transportan las diferentes corrientes elctricasdel sistema, mientras quees el vector que va desde el elemento de longitudhasta el puntoP, donde se determina el campo. Al superponer los campos de induccin magntica, es importante que se sumen como vectores, como se indica en (5.3.7), porque deben cumplir las leyes de la adicin vectorial.Como ejemplo de los rdenes de magnitud, para campos magnticos conocidos, se realizan las siguientes comparaciones, del campo magntico terrestre, con el de un imn permanente y el de un poderoso electroimn:

Aplicaciones:

P.1El conductor en forma de cigeal tiene una longituda=1cm en el tramo corto vertical y una longitud 2b=2cm en el tramo corto horizontal. Por el condcutor circula una corrienteI=8A. El tramo ms largo que est alineado con el puntoPdonde queremos calcular el campo magntico no produce ninguna contribucin al campo enPdebido al producto vectorial en la definicin de: el elemento diferencial de longitudde este tramo ms largo es paralelo al vector de posicinque va desdehasta el puntoP.El campoenPva hacia dentro de la pgina y es la suma de las contribuciones de cada uno de los tramos cortos. El tramo vertical produce un campo enPigual a. Y el horizontal. La suma de las contribuciones de los tramos cortos es por tanto(48)

que es tambin el campo creado enPpor todo el conductor.

P.2El tramo circular tiene un radioR=20cm y por todo el conductor circula una corrienteI=15A. Este problema es ms sencillo que el anterior ya que cada elemento diferencial de longitud en el tramo circular es perpendicular al vector de posicinque va desde ese elemento aP. Como en el problema anterior, el tramo largo alineado conPno produce ningn campo enP. ste es igual a(49)

y va hacia dentro de la pgina.

P.3Supongamos que la corriente circula por el arco exterior en sentido antihorario. El campo creado por el arco exterior enPva hacia fuera mientras que el creado por el arco interior. Puesto que los dos tramos cortos horizontales alineados conPno producen nada de campo magntico enP, y ya que los radios de cada uno de los arcos es conocido, aplicando el resultado (49) del problema anterior obtenemos(50)

siendo la direccin del campo magntico enPhacia dentro de la pgina.

P.4La espira circular tiene un radioR=10cm y el campo creado por ella en su centroPtiene un mdulo

y una direccin hacia dentro de la pgina. El conductor infinito horizontal tambin crea un campo enPya que esta vezPno est sobre la lnea del conductor como en los tres casos anteriores. El campo creado por el conductor horizontal enPes

y va en direccin hacia fuera de la pgina. La frmula anterior tambin se puede obtener aplicando la Ley de Ampere. El campo total creado enPpor todo el conductor viene dado por(51)

con direccin hacia dentro de la pgina. Y por tanto, el valor derbuscado es.

P.5Slo el tramo horizontal de longitud 2acrea campo magntico en el puntoP, mientras que los dos tramos inclinados no lo hacen ya quePest sobre cada una de las lneas prolongacin de los tramos inclinados. La contribucin del tramo horizontal viene dada por

con direccin hacia dentro. Por tanto el campo magntico creado por un polgono cerrado fromado porNlados de longitud 2acada lado en su centroPserNveces el resultado anterior

dondeC=N2aes el permetro del polgono. Si ahora tomamos el lmitemanteniendo el permetroN2afinito, o sea, convertimos el polgono en una circunferencia, entonces en el resultado anterior obtendremos(52)

donde el permetro del polgono es ahora el permetrode la circunferencia resultante. El resultado que se obtiene es el campo magntico creado por una espira de radioRen su centro.

Problemas de aplicacin de la Ley de Ampere:

P.1La simetra del campo magntico en este problema es la siguiente: puesto que para puntos alejados de los extremos podemos considerar al cable como infinito, entoncesse ``enrolla'' en circunferencias alrededor del cable coaxial, dependiendo su intensidad en un puntoPslo de la distancia que separa a dicho punto del eje del cable. Esto nos permite utilizar la Ley de Ampre, integrandoa lo largo de una circunferenciaCde radiorque est puesta perpendicularmente al cable y con centro en el cable. De esta forma, y por lo dicho para la simetra depara este problema, podemos escribir

y aplicando la Ley de Ampre a este caso(53)

En el caso en que estemos integrando sobre puntos entre el centro y la corteza, la corriente que queda dentro del crculoCes la intensidadque circula por el cable del centro. Para el caso de que los puntos del camino de integracinCestn fuera del cable, la intensidad que atraviesa el rea deCes cero, ya que tenemos laque circula por el cable del centro menos la intensidadque circula por la corteza.

P.2La simetra del campo magnticoes la misma que en el problema anterior y por tanto podemos seguir utilizando el resultado anterior. Paraningn punto en el interior deCes atravesado por corriente y por tanto. Parala fraccin de corriente que atraviesa el interior deCes igual ay por tanto. Y para, es decir, en el exterior de la corteza, es toda la intensidadla que atraviesaC. As(54)

es el campo magntico para los tres casos. En todos ellos, el sentido dees ``retorcindose'' en circunferencias alrededor del cable.

P.3Es la prctica de laboratorio de medir el campo magntico terrestre. El campo creado porNespiras de radioRen su centro es igual a

y puesto que est orientado perpendicularmente al campo magntico terrestre entonces(55)

De donde se despeja.

Conclusiones:

A veces el clculo del campo magntico B a travs de la Ley de Biot-Savart puede ser muy complicado. La ley de Ampere nos permite obtener dicho campo de una forma ms simple.

La circulacin de un campo magntico a lo largo de una lnea cerrada es igual al producto de 0 por la intensidad neta que atraviesa el rea limitada por la trayectoria.

La direccin del campo en un punto P, es perpendicular al plano determinado por la corriente y el punto.

El campo magntico B es tangente a la circunferencia de radio r, paralelo al vector dl.

El mdulo del campo magntico B tiene el mismo valor en todos los puntos de dicha circunferencia.