ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA

POR:RAFAEL ALVARADO

JOHAN MUÑOZ

ECUACION GENERAL

(x - h)² + (y - k)² = r²

Donde h y k representan el punto central de la circunferencia y r el radio y x y y representan cualquier punto de la circunferencia

ECUACION CANONICA

x² + y² = r²

La formula se simplifica debido a que el centro de la circunferencia se encuentra en las coordenadas 0,0

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIAECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA

Ahora vamos a suponer que queremos encontrar el lugar geométrico de los puntos que equidistan 5 unidades del punto Q(4, 3).

4

3

5

Vamos a llamar P(x, y) a uno de los puntos del lugar geométrico. Entonces, tenemos que la distancia de este punto a Q debe ser 5, es decir d(P, Q)=5

Que se escribe como

De donde, 2534 22 yx

Esta ecuación representa una circunferencia

La forma canónica o estándar de la circunferencia de radio r y con centro en C(h, k) es: 222 rkyhx

534, 22 yxQPd

C

r

h

k

x,y

Si desarrollamos el lado izquierdo de la ecuación anteriorx2-2xh+h2+y2-2yk+k2

=x2+y2+(-2h)x+(-2k)y+h2+k2

notamos que h2+k2=r2

Esta es la forma general de la ecuación de la circunferencia

Si D=-2h E=-2k F=h2+k2-r2

x2+y2+Dx+Ey+F=0

Ejemplo 1: Encontrar el centro y radio de la circunferencia cuya ecuación es

x2+y2-4x+10y+13=0

x2-4x+y2 +10y= -13

(x2-4x)+(y2 +10y)= -13

(x2-4x+4)+(y2 +10y+25)= -13+4+25

(x-2)2+(y+5)2=16

Entonces el centro es (2, -5) y el radio es 16=4

Ejemplo 2 Deducir una ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,1), (2,2), (-6,8). Resuelva de manera analítica y gráfica. Solución: Sabemos que la ecuación deseada tiene la forma siguiente: x2+y2+Dx+Ey+F=0Como los tres puntos dados satisfacen la ecuación de la circunferencia por estar en él, tenemos

1+1+D+1E+F=04+4+2D+2E+F=036+64-6D+8E+F=0

Es decir, D+E+F=-2

2D+2E+F=-8 -6D+8E+F=-100

Resolviendo el sistema tenemos,D=4, E=-10, F=4

Por lo tanto la ecuación del círculo es: x2+y2+4x-10y+4=0

El ejemplo anterior demuestra el empleo de la fórmula general para deducir la ecuación deseada.