Universidad de Santiago de Chile

Facultad de Ingeniería

Experiencia n°5

“Movimiento armónico simple y amortiguado”

Ricardo Araya ricardo.araya.j@usach.cl

Diego Figueroa diego.figueroa@usach.cl

Pablo Quiroz pablo.quiroz@usach.cl

Friedrich Siglreithmaier Friedrich.Siglreithmaier@usach.cl

Profesor: Néstor Gatica

Código: 10109-1-L-11

RE S U M EN

En el presente informe se analizará cómo se comporta un resorte, tanto en

movimiento armónico simple como en movimiento armónico amortiguado, esto

con el propósito de calcular la constante “k” de estiramiento (en el M.A.S.) cuyo

valor es: 12.61 N/m

Posteriormente se estudiara el Movimiento Armónico Amortiguado

(M.A.A.) que en comparación con el anterior, a este afecta la resistencia

de una placa de plumavit en el movimiento y por ende su oscilación no es

constante sino que decrece de una forma casi periódica. Y se obtienen

mediante las diferentes formulas obteniéndose la relación funcional para

el movimiento X ( t )=¿ 1.790e-0.039t cos (8.70t +0.127 ).

I N T RO D UC C I Ó N

El movimiento armónico simple, es el que describe una partícula sometida a una fuerza

restauradora proporcional a su desplazamiento, este tipo de movimiento es periódico por lo

tanto su función con respecto al tiempo se puede representar mediante las funciones seno y

coseno, las formulas para determinar su ecuación son las siguientes :

ω=√(k /m)

ω = Frecuencia angular ; k = constante del resorte ; m = masa del objeto

T = 2π *√(k /m)

T= Período del movimiento

x (t)=A∗cos (ω∗t +φ)

A = amplitud ; φ = ángulo de fase ; t = tiempo

El segundo tipo de movimiento con el que trabajaremos en esta experiencia es el movimiento

armónico amortiguado, el cual es similar al MAA, pero en este caso no solo está implicada la

fuerza elástica, sino que también está presente la fuerza de roce. El MAA de esta experiencia

es del tipo sub amortiguado, pues el roce que afecta al sistema es pequeño y se define según

las siguientes formulas:

X ( t )=A e− β t /m∗cos (ω∗t−φ)

X1 (t )=A e−β t

m

X2 (t )=cos (ω∗t−φ)

EXPERIMENTO I

Método Experimental

Materiales:

Resorte.

Barra.

Balanza digital.

Sensor de movimiento.

Masa.

Base magnética.

Soportes

Montaje 1.

Para realizar la primera experiencia se colocó una barra unida a la base magnética, la cual

estaba sobre una superficie plana, luego se une mediante un soporte una barra en el extremo

superior .Se colgó el resorte verticalmente el cual sostenía una masa ,se ubicó el sensor de

movimiento bajo el resorte apuntando hacia arriba, posteriormente, se procedió a estirar el

resorte hacia abajo, haciendo oscilar la masa reiteradas veces, de lo cual se obtuvo un gráfico

de posición v/s tiempo , por medio del software Data Studio.

Masa: 0.1667 kg

Periodo: 0.722 s

Altura máxima: 0.86 m

Altura mínima: 0.70 m

Velocidad inicial: 0.781 m/s

DATOS

Los resultados de la primera experiencia fueron tomados por el software Data Studio, el cual

nos arrojó el siguiente grafico :

Gráfico 1 : Distancia v/s Tiempo .

Con los datos entregados por el gráfico, se procede al despeje de variables, reemplazando los

datos:

Ecuación para despejar ω

ω=2∗π /T

ω=2∗π /0.722

ω=8.70 rad / s

Ecuación para despejar k.

ω=√(k /m) ¿()2

ω2=k /m

k=ω2∗m

k = 0.1667 *8.702= 12.61 N/m

Ecuación para despejar φ.

x (t)=A∗cos (ω∗t +φ) / derivamos para obtener la velocidad

V (t )=A∗ω∗−sin ¿

A=x (t)/cos (ω∗t+φ)

V (t )=[ x (t)∗ω∗−sin(ω∗t+φ)] /cos(ω∗t+φ)

Se considera t=0,con esto se obtiene como resultado :

V 0=[ x0∗ω∗−sin (φ)]/cos 〖(φ)〗

(−V 0 /x0)∗ω=tan(φ)

tan−1((−V 0/ x0)∗ω)=φ

tan−1((−0.781/0.70)∗8.70)=φ

φ=−0.127 radianes

Ecuación para despejar Amplitud

A=√x02+(V ¿¿0¿¿2/¿ω2)¿¿¿

A=√0.7022+(0.7812/¿8.7022)¿

A=0.708 m

Análisis de Resultados

Debido a que la masa oscila acercándose y alejándose del sensor de movimiento, se trata de

un movimiento con comportamiento periódico

Con la ayuda del ajuste sinusoidal se logro obtener las constaste de la ecuación de posición

para el (M.A.S)

Con las ecuaciones planteadas hemos llegado a los mismos valores que nos arrojó el ajuste

sinusoidal del gráfico posición v/s tiempo, algunos valores pueden variar debido a que se

desprecia el roce del aire, al no ser un valor dato significativo.

EXPERIMENTO II

Método Experimental

Materiales:

Resorte.

Barra.

Balanza digital.

Sensor de movimiento.

Masa.

Base magnética.

Placa de Plumavit

Soportes

Montaje 2.

.

Para realizar la segunda experiencia se colgó el resorte verticalmente el cual sostenía una

placa de plumavit y sobre esta placa, se ubicó una masa, se colocó el sensor de movimiento

bajo la placa apuntando hacia arriba, posteriormente, se procedió a estirar el resorte hacia

abajo, haciendo oscilar la placa reiteradas veces, cuidando que la placa no se moviera de

forma horizontal, con esto se obtuvo un gráfico de posición v/s tiempo , por medio del

software Data Studio.

DATOS

Para analizar el movimiento amortiguado, los resultados fueron tomados por el software

Data Studio, el cual nos arrojó el siguiente gráfico:

Gráfico 2: Posición v/s Tiempo

De este graficó se tomaron los puntos máximos y se generó la siguiente tabla:

Amplitud[m] Tiempo[s]

2.541 1.790

3.376 1.717

4.177 1.662

4.945 1.604

5.780 1.567

6.582 1.515

7.383 1.477

Con la ayuda de los datos presentados en la tabla se genera el siguiente gráfico:

Gráfico 3 : Amplitud v/s Tiempo

La ecuación generada al realizar el ajuste exponencial en el gráfico anterior es:

x (t )=1.970 e-0.039t

Como en el segundo experimento se ocupa el mismo resorte la constante de elasticidad (k) es

la misma:

k=12.61Nm

Finalmente siendo el valor de ω=8.70rad

s

La relación funcional del movimiento es:

X ( t )=¿ 1.790e-0.039t cos (8.70t +0.127 )

Análisis de Resultados

Como se muestra en el grafico a medida que pasa el tiempo la amplitud de la onda

disminuye , ya que la placa de plumavit amortigua el movimiento natural que ejerce el resorte

al oscilar, por ende en una instancia el movimiento del sistema va a cesar , todos estos

análisis se obtuvieron despreciando el roce con el aire .

Fue posible hallar la ecuación de itinerario gracias a la ayuda del gráfico que se obtuvo,

utilizando como datos los puntos máximos de este, y realizando un ajuste exponencial, la

función queda: X ( t )=¿ 1.790 e-0.039t cos (8.70t +0.127 )

CONCLUSIÓN

Una vez terminadas las experiencias pudimos concluir que:

Se cumplen los objetivos planteados ya que mediante la obtención del periodo, se pudo

calcular el resto de variables y constantes en un movimiento armónico simple y así poder

determinar la ecuación de itinerario presente en el sistema.

También se evidencia que en el sistema, la masa y el periodo se relacionan de forma

directamente proporcional, por ejemplo, una mayor masa va a provocar un movimiento

oscilatorio con una amplitud más grande, por lo que demorara un tiempo más largo en volver

a su posición original.

El gráfico que corresponde a este tipo de movimiento, representa una función del tipo

seno/coseno, dependiendo del punto de partida en que se encuentre, su aceleración y

velocidad son variables.

Del Movimiento Armónico Amortiguado se evidencia que a medida que avanza el tiempo la

amplitud de la oscilación se ve afectada de manera que decrece de forma periódica producto

de la resistencia producida por la placa de plumavit. Además mediante el grafico se pudo

construir la función que representa el movimiento la cual está representada a través de una

función exponencial que finaliza de forma constante cuando el sistema llega al equilibrio.

REFERENCIA

Guía Laboratorio de Física II