Examenes Parciales de Cdi-II-2012 Solucionados

8/14/2019 Examenes Parciales de Cdi-II-2012 Solucionados

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NOLAN JARA J

1

1) Una partcula se desplaza sobre la curva C:

rrrrrg 4,24,42

3

2)( 2

3con una

rapidez constante de 4m/seg. Si la partcula parte del reposo del punto (0,8,-4) Hallar el vector

velocidad y las componentes tangencial y normal de la aceleracin en el instante en que cruza a

la curva C2 descrita por:

rrrrh 1020,2,3

4

)(

.Desde que la partcula parte del reposo

cunto demora hasta cruzar C2?

Solucin:

C: , parte del reposo de (0, 8,-4) Hallar el vector y las componentes tangencial y normal del vector cuando se intercepta conC2: Dom ; ;

Derivamos ambos miembros con respecto a t.

Sea es decir

si y solo si: (a) (b) .(c)

Entonces


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2

(0) ;Donde

;

(0) (0) = Recorre de t = 0 hasta t = 2; 2) Sea C:

3

1

2 ln

0; 0; C R

xy

z x

x z

Si unapartcula se desplaza sobre la curva C con una rapidez de t en el tiempo t, en t = 0 lapartcula se encuentra en el punto (1, a, b) y adems la partcula se desplaza por debajo delplano z = 0.

i) Halle la funcin vectorial que describe la trayectoria de la partcula en funcin del tiempo t.ii) Halle la velocidad de la partcula en el tiempo t = 1 y la distancia que ha recorrido lapartcula desde t = 0 hasta t = 2.Solucin:

i) y =x

1; x = u > 0

* C: 10);ln2,1

,()( uuu

uuh

* Punto: P = )0(f

= (1, a, b) = )1(h

= (1, 1, 0)

u0= 1 ; t0= 0

11

)(2

,1

,1)(22

uuh

uuuh

uu

vv

dvv

S

u

v

u

v

111

1

11

2

)...(1

11

11

1

2

1

2 u

udv

vdv

vS

u

vuv

)...(2

0;2

)('22

t

SCCt

SttS

De () y (): 2u2+ t

2u2 = 0

u =4

1642 tt

C: )(tf

)

4

16ln(2,

16

4,

4

16 42

42

42 tt

tt

tt


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NOLAN JARA J

3

ii)

)1622

)(16

4(2),

)16(

16(8,

1622)(

4

3

42242

4

3

4

3

t

tt

tttt

t

tt

t

tttf

24,171,171172

1)1(

f

3) La ecuacin xlnz + y2zz

23 = 0, define implcitamente una funcin real de dos variables

z = f(x,y). Se pide:

a) Hallar la curva de nivel correspondiente a z = e , Graficarla.b) Hallar el vector gradiente de la funcin z = f(x,y) en el punto P(3,2,1).c) Hallar las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la superficie z=f(x,y) enel punto P.

d) Calcular el valor de Px

z2

2

e) Calcular el valor de Pyx

z

2

f) Estimar, mediante la diferencial, el incremento de la funcin, al pasar del punto (3,2)de su dominio, al punto (3.01, 1.99).Solucin.E(x,y,z) = xlnz + y

2zz

23

a) Hallar la curva de nivel correspondiente a z = e , Graficarla.:

Cx + y

2

e e2

3 = 0.Parbola hacia la izquierda.b) Hallar el vector gradiente de la funcin ),( yxfz en el punto P(3,2,1)

y

f

x

fyxz ,),(

Ahora debemos derivar implcitamente

zyz

x

z

z

Ex

E

x

z

2

ln

2

zyz

x

yz

z

E

y

E

y

z

2

2

2

Por lo que

zyz

x

yz

zyz

x

zyxz

2

2,

2

ln),(

22

5

4,0)2,3(z

Donde z(3,2)=1


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NOLAN JARA J

4

c) Hallar las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la superficie ),( yxz en el punto

P (3, 2,1).Para hallar la ecuacin el plano tangente y de la recta normal a la superficie en el punto P (3,2,1) necesitamos un vector paralelo a la normal.

1,,//

y

z

x

zN

De los datos obtenidos anteriormente

1,

5

4,01,,

x

z

y

zPara el punto (3, 2,1)

Adems 5,4,0//1,5

4,0

0)1,2,3(),,(.5,4,0: zyxPt 01354: zyPt

)5,4,0()1,2,3(: kPLn k;

d) Calcular el valor de2

2 )(

x

Pz

Para ello primero hallemos

22

22

2

2

2

2

ln

2

ln),(),(

zzyx

zz

xzy

z

x

z

xx

f

xx

yxf

x

yxz

Considerando z = z(x,y)

2

22

222

2

41ln.2.ln.

zzyx

zzzyzzzzyxzzz xxxx

.

De donde por los datos obtenidos

x = 3, y = 2, z = 1 , xz = 0

Operando se obtiene:2

2 )(

x

Pz

=0

e) Calcular el valor deyx

Pz

)(2

22

2

2

22

22

22),(),(

zzyxyz

xzy

z

xyz

xyf

xyxyxf

yxyxz

222

2222

2

4122.2

zzyx

zzzyzzzyxzzy xxx

De donde por los datos obtenidos: x = 3, y = 2, z =1 , xz =0

25

4)(2

yx

Pz

f)125

1

100

1,

100

1

5

4,0),)(2,3(

dydxzdz


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5

4) Sea f(x,y)= 2 2

1( ) ( ); ( , ) (0,0)

0; .........( , ) (0,0)

x y sen si x yx y

si x y

nsi0,0y0,0:

x

f

x

fCalcule

Es f continua en (0,0)? Justifique su respuesta.

Solucin.

1) Para que sea contina en (0,0): = f (0,0)=0Calculamos el lmite de

por coordenadas polares:

, , = = = 0(Por el Teorema del sndwich)

Entonces 2)

xsen

x

xxsen

x

fxf

x

fxxx

1lim

1

lim)0,0()0,(

lim0,0000

No Existe

y

seny

y

ysen

yfyf

yf

yyy1lim

1

lim)0,0(),0(lim0,0000

No Existe

5)


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6

2 2

2 2

arctan arctan ; si: 0Sea: ,

0 ; si: 0

0,0 0,0Calcular: ;

0,0

Solucin:

si

i

l mx

y xx y xy

f x y x y

xy

f f

x y y x

f

x

0

0 0 0

0

0 0 0

,0 0,0 ,0 0 lim lim 0

0,0 0, 0,0 0, 0 lim lim lim 0

0,0Entonces: 0 0,0 0

0,0 0 0,0 0

x x

y y y

y

x

f x f f x

x x x

f f y f f y

y y y y

ff

y

ff

x

0

2

0 0

0

0 0

2 2 2

0 0

0,0 ,0 0,0 ,00,0

lim lim

, ,0 ,,0 lim lim

arctan a

P

rctan arcta

lim lim

rimera Parte:

y y y y

x x

yy x

y y

f f x f f xf

x y x x x

f x y f x f x yf x

y y

y xx y x

x y

y

0

2

1

2

0

n

arctan

arctan

lim arctan .1 0.2

,00,0 lim lim

y

y

x x

y

xxy

y y

y

xxx y x x

y y

x

f xf

x y x

0 1

x

x


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7

0

2

0 0

Obs: La derivada parcial de en ( , ) con respecto a es:

, , ,

Segunda Parte

lim

.

0,0 0,0 0, 0,0 0, lim lim

:

xx a

x x x x

y y

f a b x

f x b f a bf a b

x a

f f f y f f

y x y x

0

0 0

2 2 2

0 0

0

, 0, ,0, lim lim

arctan arctan arctan

lim lim arctan

lim arctan

xx x

x x

x

y

y

f x y f y f x yf y

x x

y x xx y y

x y yyxx x x

yx

x

2

1

2

0 0

arctan

0. .12

0,0,0 lim lim 1

2 arctan ; si: 0,

Por lo tanto

:

y

y y

x

yy y y

x

y

f yf y

y x y y

yx y xyf x y

xx

y

; si: 0,0

2 arctan ; si: 0,

; si: 0,0

.

xy

xy x xyf x y

yy

x xy

6)


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NOLAN JARA J

8

3 3

Hallar la longitud del arco de la curva definida por la funcin vectorial:

cos , , cos2 desde el punto de 0 hast

La longitud del arco est determinado por:

'

En

:

a 2

Soluci

f t dt

f t t sen t t f

n

f

2 2

2 2

2

0

2 2

0 0

tonces:

' 3cos . , 3 .cos , 2 2

' 25 .cos

' 5 .cos

Reemplazando:

'

5 .cos

5 .cos

Analazando la Integral:

.cos .cos

f t t sen t sen t t sen t

f t sen t t

f t sen t t

f t dt

sen t t dt

sen t t dt

sen t t dt sen t t dt se

3 2 2

2 3 2

2 3 2 2

0 2 3 2

.cos .cos .cos

cos 2 cos 2 cos 2 cos 2

4 4 4 4

n t t dt sen t t dt sen t t dt

t t t t

2

0

2

1 1 1 1 1

4 2 2 2

2

Reemplazando en :

5 .cos

5 2

10

sen t t dt


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9


10/35


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11


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12


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13

=x (a1) (a2)

=-y (b1) (b2)

11) La ecuacin de onda:

, donde a es una constante, describe el movimiento deuna onda, que puede ser una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo deuna cuerda vibrante. Si f y g son funciones de una sola variable dos veces derivable, compruebeque satisface la ecuacin de onda, la funcin.


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NOLAN JARA J

14

Solucin:

Para a: Calculamos la segunda derivada parcial respecto a x, tRespecto a t:

Volvemos a derivar respecto a t:

(1)Respecto a x: Volvemos a derivar respecto a x:

(2)Multiplicamos a (2) x a2:

Para b: Calculamos la segunda derivada parcial respecto a x, tRespecto a t:


. (1)Respecto a x:


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15

Volvemos a derivar respecto a x:

.. (2)

Multiplicamos a (2) x a2:

Para c: Calculamos la segunda derivada parcial respecto a x, tRespecto a t:


. (1)Respecto a x:

Volvemos a derivar respecto a x:

.. (2)Multiplicamos a (2) x a

2:

12) Supongamos que satisface la ecuacin de la Laplace. Probar que tambin lo satisfacesea Probaremos si

Por formula:


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NOLAN JARA J

16

Reemplazando Lo mismo para

, decimos entonces

Remplazando Sumamos

Por la ecuacin (I) tenemos Entonces

13)Reparametrizar la curva C:3 3

( ) (cos ;sen ;cos 2 )f t t t t con respecto a la longitud dearco medida desde el punto donde t = 0 en la direccin en que se incrementa t.

Considerar los valores de tubicados entre 0 y /2, ambos incluidos. Hallar k en s=5/4

Solucin.

Para un cierto valor t, la longitud de arco medida desde el 0 ser:


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17

2 2 2 2 2

0 0

4 2 4 2 2

0

2 2 2 2 2 2

0

2 2 2 15 22 5

0 0

( ) ( ) (3cos sen ) (3sen cos ) (2sen 2 )

9cos sen 9sen cos (4sen cos )

9cos sen (cos sen ) 16cos sen

25cos sen 5cos sen sen sen

t t

t

t

t t

s l t f r dr r r r r r dr

r r r r r r dr

r r r r r rdr

r rdr r rdr t t

s

De esta manera, podemos expresar la trayectoria en trminos de s, la longitud de arco,reemplazando tpor su expresin en trminos des:

3 1 3 1 12 2 25 5 5

3/2 3/22 2 45 5 5

( ) cos sen ,sen sen ,cos 2 sen

( ) 1 , ,1

f t s s s

g s s s s

1/2 1/2 1/2 1/22 2 4 2 2 45 5 5 5 5 5

1/2 1/22 25 5

25

3 2 3 2 3 3 ( ) 1 ( ), ( ), 1 , ,

2 5 2 5 5 5

1 3 2 1 3 2 ( ) ( ) 1 ( ), ( ),0

2 5 5 2 5 5

3 1 3 5 5 6 ( ) , ,0 ( ) ( ) .

25 25 4 2521

g s s s s s

g s s s

g s k s kss

14)Hallar la ecuacin de la recta Tangente y del plano Normal de la curva C que resulta dela interseccin de las superficies xy + z=0, x

2+ y

2+ z

2=9, en el punto P0 = (2, 1,-

2).

Solucin.

C:

)...(0

)...(9

iizxy

izyx Po= (2, 1,-2)

Z= - xy en (i) x + y + xy = 9 11

10

xy ; z = -x 1

1

10

x

C:

11

10

....11

10.................

ttz

ty

tx

Po= (2, 1,-2); t = 2

110

1

10

rtr

t

C: ()( rg 110

r

, )10

11,1r

rr ; Po= g(2) ; r = 2

13 4 1/2 4 5 3 1/22

1 1 ( ) 5(10 ) , ( 1) , ( 10)(11 10 )

2 2g r r r r r r r r

1

(2) 5, 4,38g

LT: P= (2, 1,-2)+h (5,-4,3); hR


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NOLAN JARA J

18

PN: (x-2, y-1, z+2) (5,-4,3)=05x-4y+3z=0

15) Un excursionista se encuentra en una montaa cuya superficie, en los alrededores del puntoP en que est situado el excursionista y en un sistema de coordenadas cartesianas elegido

convenientemente, puede ser descrita mediante la ecuacin: yxarctgx

yz

22

1ln . El

punto P, en el mapa que utiliza el excursionista referido al sistema de coordenadas elegido, tienepor coordenadas (0,1)a) A qu altura se encuentra ubicado el excursionista?Solucin.

1

( , ) ln ln 1 ln 2 ln 12 2

yz f x y arctg x y y x arctg x y

x

2Si P (0,1) x 0, y 1 Z 1n arctg (1)= 1n (1) arctg (1) /4

2

b) En qu direccin del punto P deber empezar a caminar si quiere iniciar una trayectoria

llana?Cunto vale la derivada direccional?

Solucin.

2 2

(0,1). 0 (0,1)

1 1 1 1, ,

1 11 1

1(0,1) ,

2

u

u

f u f u

f ff

x x x yx y x y

f

Para que inicie una trayectoria llana se debe seguir la direccion del vector tal que:

D f(0,1) 0

2, 11

5u

En qu direccin del punto P deber empezar a caminar si quiere descender lo ms

rpidamente posible?Cunto vale la derivada direccional?Solucin.

1, 21 5(0,1) , 1 (0,1)

2 25 u

f u f

Si desea descender lo ms rpido posible, debe seguir en direccin del vector

D f(0,1)

En qu direccin del punto P deber empezar a caminar si quiere ascender lo ms rpidamenteposible?Cunto vale la derivada direccional?Solucin.

1,21 5(0,1) ,1 (0,1)

2 25 u

f u f

Si desea ascender lo ms rpido posible, debe seguir en direccin del vector

D f(0,1)

c) Qu direcciones desde el punto P le supondran que si las toma ascendera por lamontaa?

Para que asciende por al montaa, se debe seguir la direccin del vector unitario u tal que:


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NOLAN JARA J

19

1

(0,1). 0 ,1 . cos , 0; cos ,2

1 1cos 0

2 2

12

u f u sen u sen

sen tg

D f(0,1) >0

As si ( arctg ( ), /2) se asciende por la montaa.

16)Sea f(x,y)=

)0,0(),(;2

)0,0(),(;22

yxsi

yxsiyx

xyee yx

Es f continua en (0,0)? (0,0)encontinuasson,);0,0(,y

f

x

fen

y

f

x

f

? Es f

diferenciable en (0,0)?Solucin.

f ( 0,0 ) = 2Sea

2

2 2, 0,0 0 0

0 0

0

, /

5lim ( , ) lim ( , ) lim( ) 2

2

en (0,0)

f no es diferenciable en (0,0)

(0,0) ( ,0) (0,0) 1lim lim 1

(0,0) (0, )lim

x x

x y x x

x

x x

y

S x y R y x

xxf x y f x x e e

x x

Entonces f no es continua

f f x f e

x x x

f f y

y

0

(0,0) 1lim 1

y

y

f e

y y

17) Ver si el punto )0,52,2(Q pertenece a la circunferencia de curvatura de la curva C3R descrita por x = f(t), en el punto f(0)= (1, 2, 0), si se sabe que f (0) = (0, 3, 0) y

que f (t) = 3tT(t) -)2(

32t R (t), donde R (t)=(t22, 2t,-2t) es un vector paralelo para cada

t al vector normal principal N (t).18) Viajamos por el plano partiendo del origen (0, 0). Y lo hacemos siguiendo la traza de la

curva g: [0, 1)

R (parametrizada por la funcin longitud de arco) que cumple con lascondiciones siguientes:

g(0) = (0, 0);

g (0) = (1, 0);

Su curvatura es (s) =1

1 spara cadas [0, 1).

Tras recorrer una unidad de longitud (en metros), abandonamos la curva para seguir laDireccin de la tangente a la curva en el punto de escape. Recorremos as otros 3 metros. Aqu distancia (en metros) del punto original (0, 0) nos encontraremos?

19) Sea C:

3 2 1

( ) 1, , ln 4

t t t

f t t e

y C1:1

( ) ,4 1, lng t t tt

. Hallar la

curvatura de la curva C en el punto de interseccin de estas curvas.


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NOLAN JARA J

20

20) Sea C una curva en R descrita por la funcin vectorial x = f(t), t > 0 si

1 1 1

( ) , ( ) 1, 1,1 1 2

tf t B t

t t t

para t > 0, y la torsin )(t en cada punto

f(t)C es positiva, determinar)(t

. A medida que t crece, la curva C se tuerce ms o

menos? Justifique su respuesta.

21) Dada la curva C: 3 3( ) (cos ;sen ;cos 2 )f t t t t Hallar el centro de la circunferencia decurvatura cuando t = /4 y el valor de la torsin cuando t = /4

Solucin.

Despejamos: cost y cos2t:

Reemplazando en la funcin obtendremos : Ahora se determina K(s):

=


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NOLAN JARA J

21

22) Dibuje la curva C: ( ) (1 cos )(cos , ); 0,2f t t t sent t

.

Y calcule su longitud.Solucin.

2

2 2

2

( ) (cos cos , cos ) ; 0,2

( ) ( 2 cos ,cos os )

( ) ( 2 ,cos os 2 )

( ) 2 2 2 2cos cos 2 2 2 cos 4 22 2

( ) 22

f t t t sent sent t t

f t sent sent t t c t sen t

f t sent sen t t c t

t tf t sentsen t t t t sen sen

tf t sen

2 2 2

00 0 0 0

( ) 2 2 2(2) 4 2cos2 2 2 2

8 0 1 8

C

C

t t t t L f t dt sen dt sen dt sen dt

L u


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NOLAN JARA J

22

23) Sea f(x,y)=ln 4 yx ;graficar las curvas de nivel de f , graficar f, analice lacontinuidad de f en su dominio.Solucin.

Dominio de f.

2

ln 4 4 0 4

0 4 0 < 4

Dom(f):(x,y) R / 0 < 4

z x y R x y x y

x y x y

x y

Rango de f.

ln4,ln3,ln 2,ln1 0z Curvas de Nivel.

ln 4 ln ; 1,2,3,4

4 4

1: 3 3


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NOLAN JARA J

23

Grafico de f:

24) Hallar la ecuacin del plano tangente al elipsoide x + 2y + z = 1, de tal modo que seaparalelo al plano xy + 2z = 0.Solucin.

x + 2y + z -1= 0SE(x,y,z) = x + 2y + z - 1

: 2 0 (1, 1,2)P

T PT P

P x y z N

P P N N

( , , ) 2 ,4 ,2 (1, 1,2);( , , )... de tangencia.

,2 , (1, 1,2)2

2

PTN E a b c a b c a b c punto

a r

ra b c b

c r


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NOLAN JARA J

24

2 2

22 2( , , ) , , 2 2 2 1 5 12 2 2

2

11

2 1 2 2( , , ) , ,

11 2 11 11

2 1 2 2: (1, 1,2). , , 0

11 2 11 11

11: 2 0 2 2 2 2 11 0

2

T

T

T

T

r r ra b c r r S P r r r

r

a b c P

P x y z

P x y z x y z

25) La ecuacin xlnz + xy + y2zyz212 = 0, define implcitamente una funcin real de dos

variables z = f(x,y). Se pide:a) Hallar el vector gradiente de la funcin z = f(x,y) en el punto P(2,3,1).Solucin.

( , ) ,z z

z x yx y

Ahora debemos derivar implcitamente

2

ln

2

E

z z yxE xx

y yzz z

2

2

2

2

Ez z yz xy

E xyy yz

z z

Por lo que

2

2 2

ln 2( , ) ,

2 2

z y z yz xz x y

x xy yz y yz

z z

3 7(2,3) ,5 5z

Donde z(2,3)=1

b) Hallar las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la superficie z =f(x,y) en el punto P.Solucin.

1,,//

x

z

y

zN

= 3 7 1

, , 1 3,7,55 5 5

// 3,7,5N

: 3,7,5 . ( , , ) (2,3,1) 0tP x y z

: 3 7 5 32 0t

P x y z

(2,3,1) (3,7,5)nL k k


25/35

NOLAN JARA J

25

c) Calcular el valor de Px

z2

2

Para ello primero hallemos

2

2 2 22

2 2 2

2 2 2

( , ) ln ln; ( )

22

(2 ) ln ln 4 1...( )

(2 )

x x x x x

z x y z z y z z yzz z x

xx x x xx yz y z xy yz

z

yz y z x z z z yz z z yz yzz y za

yz y z x

De donde por los datos obtenidos

x=2, y=3, z=1 , xz =3

5

Operando

a se obtiene:

22 2 2

2

2 2

3 9 36 27 12 58(6 9 2) 3 1 ( 1) 3

( ) 5 5 5 5 5 5

(6 9 2) ( 1)

12 168 12 168

( ) 5 5 5 536

1(6 9 2)

z P

x

z P

x

d) Calcular el valor deyx

Pz

)(2

2 2

2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

( , ) ( , ) ln

2

ln; ( )

2

(2 ) ln ln 2 4 2

(2 )

y y y x y

z x y z x y z z y

xx y y x y x yy yz

z

z z yzz z y

y yz y z x

yz y z x z z z z yz z z yz z yzz yz y z

yz y z x

De donde por los datos obtenidos: x=2, y=3, z=1 , yz =7

5

22

7 21 84 63( 1) 1 3 2 6

( ) 23 123 1465 5 5 5

5 5 5( 1)

z P

x y

2 146

5

zP

x y

26)Encontrar la longitud de la curva definida por :


26/35

NOLAN JARA J

26

0 0

cos( ) , , 4

t tu senu

f t du du tu u

entre t=1 y t = t1 , sabiendo que 1( )f t es el punto

donde 1( )f t es paralelo al plano YZ (1 < t1 < 2).

Solucin.

2 2

1

1 1

cos 2 5( ) , , ( )

cos 2( ) , , es paralelo al plano YZ:x = 0

cos 50 ( ) 2 5 1

2 2

t sentf t f t

t t t t

t sentf t

t t t

tt t L f t dt dt

t t

27)Sea C: 3 2 1( ) 1, , ln4

t t tf t t e

y C1:

tt

t

tg ln,14,1

)( .

Hallar la torsin de la curva C en el punto de interseccin de estas curvas.

Solucin.

1

3

1

2 2

1

1

11 .................................................................( )

1 : 4 1.........................................................( )

1 1 1 1ln ln ; 0, 1

2 2

t

t at

C C e t b

t tt t

t t

1

22

1

...( )

1( ) en ( ) : 1 1 4( 1)

2

1( 1)( 3) 0 3; ; satisfacen ( b )

4

1 4,1, ln(4) (3)

c

ta c t t t

t t t t tambien

C C f

2

(f (3)xf (3)). (3)(3) ...(*)

f (3)xf (3)

f


27/35

NOLAN JARA J

27

3

3

2

3

3

2 1 ( ) 1, , (3) 1, 1,

1 2

2 1 ( ) 0, , (3) 0,1,

8( 1)

3 1 1 74 (3) (3) , ,1 3,1,8 (3) (3)

8 8 8 8

4 ( ) 0, ,

( 1)

t

t

t

f t e ft

f t e ft

f x f f x f

f t et

2

1 (3) 0, 1,

16

1 1 1 (3) (3 . (3) ( )

8 2 16

1

4 216(*) (3)74 3774

8

f

f x f f

en

28)Sea f(x,y)=

)0,0(),.........(;0

)0,0(),();1

()(22

22

yxsi

yxsiyx

senyx

Es f continua en (0,0)? (0,0)encontinuasson,);0,0(,y

f

x

fen

y

f

x

f

? Es f

diferenciable en (0,0)? Justifique sus respuestas.Solucin.


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NOLAN JARA J

28

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 12 ( ) cos( ); ( , ) (0,0)

( , )

0; ...............................................................; ( , ) (0,0)

1 1

2 ( ) cos( ); ( , ) (0,0)( , )

0; .

x

y

xxsen si x y

f x y x y x y x y

si si x y

y

ysen si x yf x y x y x y x y

si

2

( , ) (0,0) 0 02 2 2

02 2

..............................................................; ( , ) (0,0)

( , ) /

1 1lim ( , ) lim ( , ) lim 2 ( ) cos( )

2 2 2

1lim 2 ( ) c

2 2

x y x xx x

x

si x y

S x y R y x

xf x y f x x xsen

x x x

xxsen

x x

2 2

1 1 1os( ) 0 cos( )... existe

22 2

( , ) no es continua en (0,0)

log ( , ) no es continua en (0,0)x

y

xno

xx x

f x y

ana amente f x y

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

12 2

22 2

1( ) ( ); ( , ) (0,0)

0; .........( , ) (0,0)

1(0,0) ( , ) ( ) ( ); ,

1 1

(0,0) ( ) ( )

1( ) 0 ( , ) (0,0)

1( ) 0

x y sen si x yx y

si x y

f f h k h k sen h x k yh k

f hsen h ksen kh k h k

hsen cuando h k h k

ksen cuandoh k

( , ) (0,0)

f es diferenciable en (0,0).

h k

29)

es continua en

Sea Hallar A,B y C tal que sea continua en t = 0.Solucin:


29/35

NOLAN JARA J

29

Por lo tanto (A,B,C)=( , , 1)30)Hallar los vectores

Solucin:

a1= ; dividimos numerador y denominador entre t2

=

Hacemos un Cambio de variable:t 1t

=z; 1- 1t2

dt ; Reemplazando en la integral:

=

Cambio de variable: t =

; dt

Reemplazando:


30/35

NOLAN JARA J

30

Cambio de variable: =

; d

;

Reemplazando:

=

=

2=

= Integracin por partes: t dt dt v Reemplazando:

=

Cambio de variable:

;

,

Reemplazando:

= = Regresando a trminos de t

= =

=

= = Cambio de variable: ; ; = = = =

Por lo tanto


31/35

NOLAN JARA J

31

=

=

Cambio de variable: t= ; dt ; ;

Cambio de variable: r = tg

Al operar las fracciones parciales tenemos: Igualando los trminos, y resolviendo las ecuaciones tenemos:

Reemplazando en la integral:


32/35

NOLAN JARA J

32

=

= Cambio de variable: ; ; Reemplazando:


33/35


34/35

NOLAN JARA J

34

Reemplazando en la funcin obtendremos 33) Reparametrizar la curva C: con respecto a la longitud de arcomedida desde el punto donde t=0 en la direccin en que se incrementa t. Considerar los valoresde t ubicados entre 0 y /2, ambos incluidos. Hallar k(5/4) si existe.Solucin:

Despejamos: cost y cos2t: Reemplazando en la funcin obtendremos :

Ahora se determina K(s):


35/35

NOLAN JARA J

=

Examenes Parciales de Cdi-II-2012 Solucionados

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