UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL PARANÁ ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 EXÁMENES FINALES RESUELTOS AÑO 2009 EXAMEN 1

Ej 1) Dado

a) Determinar las zonas de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos.

b) Determinar las ecuaciones de las asintotas verticales, horizontales y

oblicuas. c) Graficar y determinar el dominio y rango .

Resolución:

a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento y máximos y mínimos relativos. Para hallar los puntos críticos debemos encontrar:

1. Los ceros de 2. Los puntos donde no existe y’.(Para este caso y’ existe para todo x)

1. Los ceros de y’ se encuentran resolviendo

Con estos puntos críticos (PC) quedan determinados los siguientes intervalos: I1 I2 I3 -1/3 1

Intervalo

Punto de prueba Signo de y’ Conclusión

I1=(-∞ ,-1/3) x = -1 y’(-1)>0 creciente

I2 = (-1/3,1) x = 0 y’(0) <0 decreciente

I3 = (1, ∞) x = 2 y’(2) >0 creciente -1/3 1 Máximo relativo: Mr ( -1/3 ; 1,2034 ) Mínimo relativo: mr (1 ; 0,36788 )

b) Asintotas horizontales

Asintota horizontal: y = 0 Asintota vertical y oblicua: no existen

c) Representación gráfica. Dominio y rango de la función

D = {x / x ∈ ℜ } ; R = { y / y > 0 }

Ej 2) a) Dado , calcular

Debemos aplicar derivación logarítmica:

derivando en forma implícita nos queda la fórmula:

Aplicada a nuestro ejercicio da como resultado:

b) Dado calcular dy y Δy en x = π / 2 con Δx = 0,01 Cálculo de Δy

Cálculo de dy

;

Ej 3) Dada la región del plano R, limitada por f(x) = cosh(x-3) y por la recta que pasa por los puntos P1 [0 ; f (0) ] y P2 [4 ; f (4)].

a) Representar gráficamente b) Calcular el área A de la región R c) Calcular el volumen generado al girar R alrededor del eje x.

a)

La ecuación de la recta que pasa por P1 y P2 es:

b) Área de la región R

c) Volumen generado al girar R alrededor del eje x.

V= 105,70552 π udv

Ej 4) Calcular:

Planteo de la descomposición en fracciones simples:

Para hallar la coordenada y de los puntos por donde pasa la recta evaluamos la coordenada de x en y = cosh ( x – 3) f ( 0 ) = cosh(-3) = 10,065 f ( 4 ) = cosh ( 1 ) = 1,543 P1 (0 ; 10,068) P2 (4 ; 1,543)

Si x = 1

- 3 = A2 (2) ⇒ A2 =

Si x = 0

- 4 = A1 ( -1 ) - .( 1 ) + c.( 1 ) ; - 4 = - A1 + C

= - A1 + C

Si x = 2

0 = A1 ( 1 ) . ( 5 ) - . ( 5 ) + ( 2 B + C ) ; = 5 . A1 + 2 B + C

Si x = -1

-3 = A1 ( -2 ) . ( 2 ) - . ( 2 ) + ( C- B ) . 4 ; 0 = - 4 . A1+ 4 C- 4 B

Resolviendo el sistema obtenemos las constantes 0 = - 4 . A1+ 4 C- 4 B

= 5 . A1 + 2 B + C A1 = ; B = ; C = 0

= - A1 + C

Finalmente integramos:

Ej 5) Dada la función y = f ( x )

a) Representación gráfica

D = {x/x ∈ ℜ ∧ x ≠ 0 ∧ x ≠ 4 } ; R = { y/y ≥ - ½ ∨ y = - 1}

b) Discontinuidades Discontinuidad en x = -7

a) f ( -7 ) = 6 b)

LD = LI =

a) Realizar la representación gráfica. Determinar dominio y rango.

b) Determinar los puntos de discontinuidad y clasificar las discontinuidades.

c) Si hay discontinuidades evitables levantarlas y redefinir la función.

b) Existe una discontinuidad evitable en x = -7 que se levanta haciendo f( -7 ) = 3,5

Discontinuidad en x = - 4

a) f ( -4 ) = 2 b)

∃

c) Existe una discontinuidad inevitable de 1º especie con salto finito S = -

1,2212 en x = - 4 Discontinuidad en x = 0

a) ∃ f ( 0 ) b)

∃

c) Existe una discontinuidad inevitable de 1º especie con salto infinito en x = 0.

Discontinuidad en x = 2

a) f ( 2 ) = = 1,6487 b)

∃

c) Existe una disc. inevitable de 1º especie con salto finito s = 2,6487 en x= 2.

Discontinuidad en x = 4

a) ∃ f ( 4 )

b)

∃

d) Existe una discontinuidad inevitable de 1º especie con salto finito S = 2 en x

= 4.

EXAMEN 2 Ej 1.- Resolver las siguientes integrales:

a) Aplicamos integración por partes

b)

t6 + 0 t5 + 0 t4 + 2 t3 + 0 t2 + 0 t + 0 -t6 - t5 t5 - t4 + t3 + t2 - t +1 - t5

t5 + t4 t4 + 2 t3 -t4 - t3 t3 - t3 - t2 - t2 t2 + t t - t - 1 -1

t+1

Ej. 2.-

a) Determinar las ecuaciones de ambas parábolas. b) Calcular el área A de la región R. c) Plantear la o las integrales que permiten calcular el

perímetro de R. d) Plantear la o las integrales que permiten calcular el

volumen generado al girar R alrededor del eje x. Resolución: a) y = A (x – 1) (x – 3) ; Reemplazando el punto P(0;5) en la ecuación factorizada: 5 = A ( -1) (-3) ⇒ A = 5/3 y = 5/3 (x – 1) (x – 3) y = 5/3 x2 – 20/3 x +5 y = B (x + 1) (x – 3) ; Reemplazando el punto P(0;5) en la ecuación factorizada: 5 = B (-3) ⇒ B = − 5/3 y = – 5/3 (x – 1) (x – 3) y = −5/3 x2 + 10/3 x +5

b)

c)

d)

Ej. 3.-

Dado

a) Ceros x =1, x = -1

Asintotas verticales: x = 2, x = 3

Asintota Horizontal: ; y = 1

Máximos y mínimos relativos: Calculamos la derivada primera de la función:

Para hallar lo máximos y mínimos relativos, buscamos los valores donde y’ = 0

x1 = 0.42 → y1= - 0.20 x2 = 2.3798 → y2 = -19.8

a) Realizar el estudio de la función racional fraccionaria, determinando ceros, asintotas verticales y horizontales y Máximos y mínimos relativos.

b) Realizar la gráfica indicando dominio y rango.

Mr → P1 (2.3798;-19.8) Ampliando la zona del origen, vemos el mínimo relativo: mr → P2 (0.42; -0.2)

D ={x/x ≠ 2 ∧ x ≠ 3} R = {y/y ≥ - 0.2 ∨ y ≤ -19.8}

Ej. 4.-

Dado determinar el dominio de convergencia de la serie.

Ej. 5.- Dado:

a1)

b)