MTODOS NUMRICOSExamen FinalFebrero 19961Se considera una matriz simtrica A cuyos menores principales son todos no nulos. Demostrar que, en la factorizacinLUde A, cada columna de L es mltiplo de la correspondiente la de U. Explicar en qu puede facilitar esto el clculode la factorizacin LU de una matriz simtrica.2Sea A una matriz de diagonal estrictamente dominante.a) Se considera la descomposicin A = M N con M y N vericandomii = aiiy[mii[ >n

j=1j=i([mij[ +[nij[)para i = 1, 2, . . . , n. Probar que el mtodo iterativo asociado a esta descomposicin M N es convergente.b) Demostrar, a partir de a), la convergencia de los mtodos de Jacobi y GaussSeidel por bloques para matrices dediagonal estrictamente dominante.c) ProbarquetodamatrizdediagonalestrictamentedominanteadmiteunadescomposicinM Ncomoena)vericando, adems, que los elementos mij y nij son no nulos cuando i ,= j en el caso de que aij ,= 0.3Se considera la ecuacin x21 sen x = 0.a) Probar que dicha ecuacin tiene, al menos, una raz positiva.b) Encontrar un intervalo en el que la iteracinxn =_1 + sen xn1, n Nconverja, para cualquier valor inicialx0de dicho intervalo, a una raz positiva de la ecuacin anterior. Cuntospasos deben darse, a partir de x0 =2, para obtener una aproximacin de la raz con un error inferior a la milsima?c) Hallar un intervalo en el que se pueda aplicar el Mtodo de Newton para aproximar dicha raz (comprobando lashiptesis de convergencia) y calcular el valor de x1.4Dados dos nmeros, a > 0 y b R, se considera el polinomioP(x) = x3bx2+ ax ab.a) Encontrar una relacin entre a y b que garantice que la sucesin de Sturmde P tenga slo tres trminos P0(x), P1(x), P2(x).b) Decidir, en el caso en quea yb veriquen la relacin anterior, el nmero de races reales y distintas deP. Sonsimples?MTODOS NUMRICOSExamen FinalSeptiembre 19961Sea A una matriz de diagonal estrictamente dominante. Probar que A admite factorizacin LU.2Sea A una matriz hermtica denida positiva y A = D E Funa descomposicin D E Fpor bloques de A.a) Demostrar que el mtodo de Jacobi por bloques para A est bien denido.b) Probar que si B = 2D A es denida positiva, el mtodo de Jacobi por bloques para A es convergente.3Sea A una matriz de diagonal estrictamente dominante. Se considera la descomposicin A = MN con M= DFyN=E, siendoA=D E Fla descomposicinD E Fpor puntos de la matrizA. Probar que el mtodoiterativo asociado a esta descomposicin M N de A es convergente.4Se considera la ecuacin x3+ 4x210 = 0.a) Probar que dicha ecuacin tiene, en el intervalo [1, 2], una nica raz.b) Encontrar un intervalo en el que la iteracinxn =12_10 x3n1, n Nconverja, para cualquier valor inicial x0 de dicho intervalo, a la raz del apartado anterior.5Se considera la ecuacinx5+ 2x4+ 3x3+ 4x2+ 5x + 6 = 0.a) Separar, en intervalos de longitud uno, todas las races reales de la ecuacin anterior.b) Hallar un intervalo en el que se pueda aplicar el mtodo de Newton para aproximar una raz real de dicha ecuacin(comprobando las hiptesis de convergencia) y calcular el valor de x1.MTODOS NUMRICOSExamen FinalFebrero 19971a) Hallar el valor de la aproximacin que se obtiene al calcular_44[x 2[3(1 sen x)dxmediante la frmula de Simpson cerrada compuesta para 4 subintervalos.b) Determinar los valores de las constantes , y que hacen que la frmula de integracin_3h0f(x)dx f(0) + f(h) + f(3h) (h > 0)sea exacta para polinomios del mayor grado posible. Cul es ste?.2Sea A una matriz de diagonal estrictamente dominante y A = DE Fsu descomposicin DE Fpor puntos.Se considera 0 w 1, M= D wE wFy N= M A.a) Demostrar que el mtodo asociado a la descomposicin Mx = Nx + b est bien denido.b) Probar que dicho mtodo es convergente.c) Deducir la convergencia del mtodo de Jacobi para matrices de diagonal estrictamente dominante.3Consideremos el polinomioP(x) = 9x3+ 9x2+ 9x + donde R.a) Estudiar, en funcin del parmetro , el nmero de races (reales y complejas) de la ecuacin P(x) = 0.b) Para qu valores de las races de Pson mltiples?. Hallar todas las races de Ppara esos valores de .c) Fijado = 3 encontrar un intervalo donde pueda aplicarse el mtodo de Newton para calcular una raz negativade P. Determinar los dos primeros trminos de la sucesin denida por dicho mtodo.MTODOS NUMRICOSExamen FinalJunio 19971[3 puntos] a) Hallar el valor que se obtiene al aplicar la frmula de Simpson cerrada compuesta param=1001subintervalos a la integral_10011001[xcos x[3dx.b) Si Tk(x) denota el polinomio de Tchebychev de orden k N 0, probar queT20 (T5(7)) = T100(7).(Ind: demostrar que, de hecho, para todo n, m N 0 se vericaTn (Tm(x)) = Tnm(x) x R).2[3 puntos] Sea A una matriz de diagonal estrictamente dominante y A = DE Fsu descomposicin DE Fpor puntos. Se consideran , [0, 1], M= D E Fy N= M A.a) Demostrar que el mtodo asociado a la descomposicin Mx = Nx + b est bien denido.b) Probar que dicho mtodo es convergente y deducir la convergencia de los mtodos de GaussSeidel y Jacobi porpuntos para matrices de diagonal estrictamente dominante.c) Demostrar que el mtodo tambin es convergente si se considera la descomposicin DE Fpor bloques de A.3[1 punto] Demostrar que la factorizacin LU de una matriz tambin es nica si se impone que los elementos diagonalesde U valgan uno.4[3 puntos] Consideremos el polinomioP(x) = x3+6x2+ 2x + donde > 0.a) Estudiar, en funcin del parmetro , el nmero de races (reales y complejas) de la ecuacin P(x) = 0.b) Para qu valores de las races de Pson mltiples? Hallar todas las races de Ppara esos valores de .c) Fijado = 1 encontrar un intervalo donde pueda aplicarse el mtodo de Newton para calcular una raz negativa deP. Determinar los dos primeros trminos de la sucesin denida por dicho mtodo.MTODOS NUMRICOSExamen FinalSeptiembre 19971[15 puntos] Sean f, g : [a, b] R y x0, x1, . . . , xn puntos distintos del intervalo [a, b]. Si Py Q son, respectiva-mente, los polinomios de interpolacin de f y g en los puntos x0, x1, . . . , xna) es P + Q (, R) el polinomio de interpolacin de f + g en los puntos x0, x1, . . . , xn?b) es PQ el polinomio de interpolacin de fg en los puntos x0, x1, . . . , xn?2[25 puntos] Aplicar la frmula de Simpson cerrada compuesta a la integral_x1dttpara obtener una aproximacin del logaritmo neperiano de 2 determinando el nmero m de subintervalos necesario paraque el error cometido en esa aproximacin sea inferior a 103. (Indicacin: el error en la frmula de Simpson compuestaviene dado porE(a,b)(f) = (b a)h4180fiv)() =(b a)52880m4fiv)()).3[3 puntos] a) Dada una matriz tridiagonalA =_______b1c1a2b2c2.........an1bn1cn1anbn_______,sea k el menor principal de orden k de A (k = 1, 2, . . . , n) donde 0 = 1. Probar que1 = b1y k = bkk1akck1k2, k = 2, 3, . . . , n.b) Consideremos, en particular, la matrizA =_______2 + 111 2 + 21.........1 2 + n111 2 + n_______donde 1, 2, . . . , n R.1) Probar que si i> 0, i = 1, 2, . . . , n, entonces el mtodo de Jacobi por puntos para A es convergente.2) Demostrar que si i 0, i = 1, 2, . . . , n, entonces el mtodo de relajacin para A es convergente. (Indicacin:utilizar el apartado a) para probar quek> k1>> 0, k = 1, 2, . . . , n).4[3 puntos] a) Aplicar el Teorema del Punto Fijo para aproximar una raz de la ecuacinx2+ sen x21 = 0en el intervalo [0,2] demostrando las hiptesis de convergencia del mtodo y determinar una sucesin xnn que converjaa .b) Qu trminos de la sucesin anterior distan de una cantidad inferior a 103?.MTODOS NUMRICOSExamen FinalFebrero 19981[1 punto] Determinar la constante A R y los puntos x1, x2 [1, 1] para que la frmula de integracin_11f(x)dx = A(f(x1) + f(0) + f(x2))sea exacta para polinomios del mayor grado posible. Cul es ste?.2[2 puntos]a) Probar que toda matriz de diagonal estrictamente dominante admite factorizacin LU.b) Demostrar que toda matriz simtrica A = (aij)ni,j=1 /n de diagonal estrictamente dominante vericandoaii> 0, i = 1, 2, . . . , nadmite factorizacin de Cholesky.3[2 puntos] Se considera una matrizA =_a11a12a21a22_ /2vericandoa11 ,= 0ya22 ,= 0.a) Demostrar que los mtodos de Jacobi y GaussSeidel para A convergen o divergen simultneamente. (Indicacin:considerar los autovalores de las matrices de los mtodos).b) Encontrar una condicin necesaria y suciente sobre los elementos de la matriz A para que ambos converjan. Cullo hace ms rpidamente?.4[25 puntos] Se considera la ecuacin(x + 1) tan(x) 1 = 0.a) Probar que la ecuacin anterior tiene innitas races positivas y determinar intervalos que contengan a cada una deellas.b) Si es la menor raz positiva, demostrar que se puede aproximar mediante el mtodo del punto jo.c) Comenzando en x0 = 0 construir una sucesin xnn que converja a . Determinar un valor de n N a partir delcual todos los trminos de la sucesin distan de una cantidad inferior a 104. Justicar la respuesta.5[25 puntos] Dada la ecuacin algebraica:x5+ x4+ 5x3+ 2x213x 10 = 0a) Determinar el nmero de races positivas.b) Encontrar una raz racional negativa.c) Hallar el nmero de races reales y complejas de la ecuacin anterior.d) Determinar un intervalo donde se pueda aplicar el mtodo de Newton para aproximar la raz positiva ms pequea,as como los dos primeros trminos de la sucesin xnn=0 que determina dicho mtodo.MTODOS NUMRICOSExamen FinalJunio 19981[2 puntos] Determinar los valores de las constantesA, B y de los puntosx0, x1 [1, 1] para que la frmula deintegracin_11f(x)dx Af(x0) + Bf(x1)sea exacta para polinomios del mayor grado posible. Cul es ste?.2[3 puntos] Sea A /n escrita en la forma A = M N siendo M /n una matriz inversible y sea B = M1N.Dado R1 se denen las matricesM = (1 + )M, N = MAyB = M1N.a) Demostrar queB =11 + (B + I).b) Probar que sp(B) + 1 + sp(B)(Indicacin: probar que y + 1 + tienen asociados los mismos autovectores).c) Si los autovalores 1, 2, . . . , n de B verican1 2 . . . n< 1,determinar para qu valores de > 0 el mtodo iterativo denido por la matriz B es convergente.3[25 puntos] Dado > 0 se considera la sucesinxn =_ + xn1, n N.a) Encontrar un intervalo I en el que la sucesin xnn sea convergente para cualquier dato inicial x0 I y calcularlmn+xn.b) Hallar el valor de_6 +_6 +6 +4[25 puntos] Dados , > 0 se considera el polinomioP(x) = x3+ x2+23x + .a) Hallar la secuencia de Sturm para el polinomio P(x) distinguiendo los diversos casos que pueden presentarse enfuncin del valor de los parmetros y .b) Determinar, en funcin de y , el tipo de races (reales y complejas) que tiene P(x).c) Encontrar intervalos y valores iniciales en los que se pueda aplicar el mtodo de Newton para aproximar las racesreales de la ecuacinx3+ 3x2+ 3x + 3 = 0determinando los dos primeros trminos de la sucesin que dene dicho mtodo.MTODOS NUMRICOSExamen FinalSeptiembre 19981[2 puntos] a) Determinar los valores de y para queS(x) =_x(x2+ 1), 0 x 1x3+ x25x + 1, 1 x 2sea una funcin spline cbica.b) Con los valores de y obtenidos en el apartado anterior, puede ser S una funcin spline cbica de interpolacinde la funcinf(x) = x2, 0 x 2respecto de la particin = 0, 1, 2?.2[2 puntos] SeaA /nuna matriz con todos sus menores principales no nulos. Demostrar que existen matricesB /n triangular inferior y C = (cij)ni,j=1 /n triangular superior concii = 1, i = 1, 2, . . . , ntales que A = BC. Es nica la factorizacin anterior?.3[2 puntos] Sea A /n una matriz simtrica denida positiva y la descomposicin A = DEF por puntos de A.Demostrar que si la matriz 2D A es denida positiva entonces el mtodo de Jacobi por puntos para A es convergente.4[2 puntos] a) Demostrar que la ecuacinx43x32x23x 4 = 0tiene una nica raz positiva.b) Encontrar un intervalo y un valor inicial en el que se pueda aplicar el mtodo de Newton para aproximar la razpositiva de la ecuacin anterior determinando los dos primeros trminos de la sucesin que dene dicho mtodo.5[2 puntos] Aplicar el Mtodo del Punto Fijo para aproximar la menor raz positiva de la ecuacincos x + 3x26x = 0determinando una sucesin que converja a dicha raz y justicando las hiptesis de convergencia.MTODOS NUMRICOSExamen FinalFebrero 19991[1 punto] Determinar las constantes A, B R y el punto [0, 2] para que la frmula de integracin_20f(x)dx A(f(0) + f(2)) + Bf()sea exacta para polinomios del mayor grado posible. Cul es ste?.2[35 puntos] Se considera una matriz A /n descompuesta en bloques de la formaA =_A1A2A3A4_(1)donde las matrices A1 y A4 son inversibles.a) Demostrar quedet A = det A1 det_A4A3A11A2_.(Indicacin: utilizar el mtodo de eliminacin gaussiana por bloques para anular el bloque ocupado por A3).b) Utilizar el apartado a) para probar que para todo C0 se verica quedet_2A1A22A32A4_= det_2A1A2A32A4_.c) Se considera la descomposicinD E Fpor bloques de la matrizA asociada a la descomposicin (1) y losmtodos de Jacobi y GaussSeidel por bloques correspondientes. Demostrar que para todo C0 se verica quendet(D)PJ() = det(E D)PL1(2)donde PJy PL1 son, respectivamente, los polinomios caractersticos de las matrices de los mtodos de Jacobi y GaussSeidel.d) Encontrar la relacin existente entre () y (L1). Deducir que ambos mtodos convergen o divergen simultnea-mente.e) Si la matrizA es, adems, hermtica y denida positiva, demostrar que los mtodos de Jacobi y GaussSeidelasociados a esta descomposicin por bloques son convergentes. Cul lo hace ms rpidamente?.3[35 puntos] Se considera la ecuacinx3+ x 1 = 0. (2)a) Probar que la ecuacin anterior tiene una nica raz real.b) Encontrar un intervalo en el que se pueda aplicar el mtodo de Newton para aproximar dicha raz y determinar losdos primeros trminos de la sucesin que dene ese mtodo.c) Comprobar que la ecuacin (2) puede escribirse de forma equivalente como f(x) = x siendof(x) =11 + x2.Probar que f: [0, 1] [0, 1] y que para cualquier valor inicial x0 [0, 1] la sucesin denida comoxn =11 + x2n1, n N (3)es convergente.d) Si tomamos x0 = 1 y denotamos por.= lmn+xndeterminar qu trminos xn de la sucesin anterior distan de una cantidad inferior a 104.e) Demostrar que la sucesin denida en (3) tambin converge a para cualquier valor inicial x0 R.4[2 puntos] Determinar de forma exacta todas las races de la ecuacin algebraica2x332x +23= 0.MTODOS NUMRICOSExamen FinalJunio 19991[2 puntos] Sea A una matriz nn inversible y que tiene una factorizacin A = LU con L triangular inferior y lii = 1para i = 1, 2, . . . , n, y U triangular superior.a) Probar que A admite una factorizacin A =LUconL triangular inferior yUtriangular superior y uii= 1 parai = 1, 2, . . . , n. Es nica tal factorizacin?b) Demostrar que si adems A es simtrica entonces las columnas de L son mltiplos de las las de U.2[3 puntos] Dado el sistema Au = b con A = (aij)ni,j=1 /n, a partir de un vector u0 V se considera el mtodoiterativo asociadouk= Buk1+ b, k Ndonde B = I A.a) Demostrar que si [[[B[[[ < 1 para alguna norma matricial subordinada, entonces se tiene la siguiente cota del erroruku[[[B[[[k1 [[[B[[[u1u0.b) Probar que si A verica queaii = 1 >n

j=1i=j[aij[ o ajj = 1 >n

i=1i=j[aij[,entonces el mtodo es convergente.c) Aplicar si es posible los resultados anteriores al sistema10u1 + 5u2= 65u1 + 10u24u3= 254u2 + 8u3u4= 11u3 + 5u4= 11para determinar el nmero de iteraciones necesario para aproximar la solucin con un error inferior a 104(usar[[[[ y tomar u0= 0).3[3 puntos]a) Dada la frmula de cuadratura_52f(x)dx A(f(x0) + f(x1)) ,calcular A, x0 y x1 para que sea exacta para polinomios del mayor grado posible. Cul es dicho grado? Corres-ponde esta frmula con alguna de las estudiadas?b) Aplicar la frmula obtenida para estimar_521ln xdx. (4)c) Determinar el nmero de subintervalos necesarios para que el error cometido en el clculo de (4) por la frmulacompuesta de NewtonCtes abierta de 2 puntos sea inferior a 103.4[2 puntos] Dado R se considera la funcin f: [0, 1] R dada porf(x) = x(1 x).a) Probar que si 0 4, f transforma el intervalo [0, 1] en s mismo.b) Demostrar que si 0 1, la sucesin xn+1 = f(xn) converge a = 0 para cualquier valor inicial x0 [0, 1].MTODOS NUMRICOSExamen FinalSeptiembre 19991[1 punto] Se considera la funcin f(x) = sen x x y los nodos_0, 12, 1_.a) Hallar el polinomio de interpolacin P(x) de la funcin f(x) en dichos nodos.b) Determinar el error que se comete cuando se aproxima_10f(x)dxmediante la frmula de Simpson (cerrada).2[3 puntos] SeaA /n una matriz que admite factorizacinLUykel menor principal de ordenk de la matrizA, k = 1, 2, . . . , n.a) Si A es inversible demostrar quek ,= 0, k = 1, 2, . . . , n. (5)Probar con un contraejemplo de una matriz 22 que (5) no se verica, en general, si A no admite factorizacinLU.b) Si A no es inversible probar que existe k0 1, 2, . . . , n tal quek = 0, k = k0, k0 + 1, . . . , n.3[3 puntos] Se considera el sistema lineal Ax = d para una matriz tridiagonalA =_______b1c1a2b2c2.........an1bn1cn1anbn_______de diagonal estrictamente dominante. Demostrar los siguientes resultados:a) [[x[[ c(A) [[d[[ siendoc(A) =max1in_1[bi[ [ai[ [ci[_(a1 = cn = 0).b) (L1) max1in_[ci[[bi[ [ai[_donde L1 es la matriz del mtodo de GaussSeidel.4[3 puntos] Se considera la ecuacin3x(1 + x)3= 4_(1 + x)31_.a) Probar que la ecuacin anterior tiene una nica raz real positiva .b) Encontrar un intervalo y un valor inicial donde el mtodo de Newton sea convergente a la raz , justicando lashiptesis de convergencia.c) Determinar un intervalo en el que se pueda aplicar el teorema del Punto Fijo para aproximar dicha raz e indicar elnmero de iteraciones necesario para que el error cometido sea inferior a 104.MTODOS NUMRICOSExamen FinalFebrero 20001[15 puntos]a) Determinar el valor que se obtiene al aproximar la integral_10000esen xdx (6)mediante la frmula de NewtonCtes cerrada de 1001 puntos.b) Determinar un nmero m de subintervalos para que el error cometido al aproximar la integral (6) mediante la reglade los trapecios (frmula del trapecio cerrada compuesta) sea inferior a la dcima.2[3 puntos] Dado C0 se consideran las matrices tridiagonalesA =_______b1c1a2b2c2.........an1bn1cn1anbn_______yA() =___________b1c1a2b2c2.........an1bn1cn1anbn___________.a) Llamando 0 = 1 y k al menor principal de orden k de A, k = 1, 2, . . . , n, probar quek = bkk1akck1k2, k = 2, 3, . . . , n.b) Demostrar quedet(A()) = det(A).Para ello probar que, si se denota por 0() = 1 y k() al menor principal de orden k de A() para k = 1, 2, . . . , n,se tiene que k() = k para k = 1, 2, . . . , n.c) Se considera la descomposicin D E Fpor puntos de la matriz A. Demostrar que para todo C0 severica quendet(D)PJ() = det(E D)PL1(2)donde PJy PL1son, respectivamente, los polinomios caractersticos de las matrices de los mtodos de Jacobi yGaussSeidel (por puntos).d) Encontrar la relacin existente entre () y (L1). Deducir que ambos mtodos convergen o divergen simultnea-mente. En caso de que converjan, cul lo hace ms rpidamente?3[1 punto] Sea A /n una matriz inversible que admite factorizacin de Cholesky de la forma A=BBTsiendoB /n una matriz real triangular inferior. Demostrar que A es simtrica y denida positiva.4[3 puntos] Se considera la ecuacintan x ex= 0. (7)a) Determinar el nmero de races reales de (7).b) Encontrar una funcin y un intervalo con los que se pueda aplicar el teorema del Punto Fijo para aproximar lamenor raz positiva de (7) e indicar un nmero de iteraciones suciente para que el error cometido sea inferior a lamilsima.5[15 puntos] Se considera el polinomioP(x) = x3+ 7x2+ 3.a) Determinar el nmero de races (reales y complejas) de P.b) Encontrar un intervalo donde se pueda aplicar el mtodo de Newton para aproximar una raz real de P, justicandolas hiptesis de convergencia y determinando los dos primeros trminos de la sucesin.MTODOS NUMRICOSExamen FinalJunio 20001[25 puntos] Se considera el sistema de 2n ecuaciones con 2n incgnitas_x + Sy = bSTx + y = cdonde b, c Rn, x = (x1, . . . , xn)T, y = (y1, . . . , yn)Ty S /n.a) Escribir el sistema en formaA_xy_=_bc_donde A /2n es una matriz por bloques n + n.b) Se consideran los mtodos de Jacobi y GaussSeidel por bloques asociados a la descomposicin por bloques de Adada en a). Probar que(J2) = (L1) = (STS)y deducir que ambos mtodos convergen o divergen a la vez.c) Demostrar que si [[[S[[[2< 1 ambos mtodos son convergentes. Cul converge ms rpidamente?2[2 puntos] Sea A /n una matriz de diagonal estrictamente dominante. Se considera la descomposicin A = MNdonde M= D E (1 )Fcon 0 < 1.a) Justicar que el mtodo asociado a esta descomposicin est bien denido.b) Probar que el mtodo es convergente y deducir de ello la convergencia del mtodo de GaussSeidel (Indicacin:utilizar que si [[ 1 y 0 < 1 entonces1+ 1).3[25 puntos] Sea f (2([a, b]). Dada la frmula de cuadratura_baf(x)dx = Af(x0) + kf

()con [a, b] se pide:a) Obtener A y x0 para que sea exacta para polinomios de grado menor o igual que 1 y dar una interpretacin geom-trica del resultado.b) Aplicando la frmula a f(x) = x2determinar el valor de k en el trmino de error.c) Aproximar el valor de la integral_0sen xdxaplicando la frmula anterior compuesta para 4 subintervalos, acotando el error cometido y comparndolo con elerror real.4[3 puntos] Dada la ecuacin x3+ 4x210 = 0 se pide:a) Determinar el nmero de races positivas y negativas.b) Hallar un intervalo en el que se puede aplicar el mtodo de Newton para aproximar la raz positiva ms pequea.c) Dada la funcing(x) =_104 + xestudiar si se puede aplicar al teorema del Punto Fijo para aproximar la raz anterior. Calcular los dos primerostrminos de la sucesin.MTODOS NUMRICOSExamen FinalSeptiembre 20001[15 puntos] Encontrar los valores de A, B, C y D para que la frmula de cuadratura_10f(x)dx Af(0) + Bf(1) + Cf

(0) + Df

(1)sea exacta para polinomios del mayor grado posible. Cul es ste?2[2 puntos] Se considera una matriz A /n simtrica y denida positiva escrita en la formaA =_An1aaT_siendo An1 /n1, a Rn1y R.a) Demostrar que siAn1 = Ln1Dn1(Ln1)Tcon Ln1 /n1 triangular inferior con unos en la diagonal y Dn1 /n1 diagonal con elementos diagonalespositivos entonces existen x Rn1y d R tales queA =_Ln10xT1__Dn100 d__(Ln1)Tx0 1_.Deducir que, en este caso, d > 0.b) Demostrar, por induccin sobre la dimensin de la matriz, que si Aes simtrica denida positiva entonces existen Ltriangular inferior con unos en la diagonal y D diagonal con elementos diagonales positivos tales que A = LDLT.3[3 puntos]a) Dada una matriz tridiagonalA =_______b1c1a2b2c2.........an1bn1cn1anbn_______,sea k el menor principal de orden k de A (k = 1, 2, . . . , n) y 0 = 1. Probar que1 = b1yk = bkk1akck1k2, k = 2, 3, . . . , n.b) Consideremos, en particular, la matrizA =_______2 + 111 2 + 21.........1 2 + n111 2 + n_______donde i 0, i = 1, 2, . . . , n.i ) Demostrar por induccin que para cada k 1, 2, . . . , n se verica quek> k1>> 0.Deducir que la matriz A es denida positiva.ii ) Para cada 0 se considera la descomposicin A = M N dondeN = diag ( 1, 2, . . . , n) .Encontrar valores del parmetro para los cuales el mtodo iterativo asociado a esta descomposicin MNde A sea convergente.4[35 puntos] Se considera la funcin F(x) = x ex2.a) Probar que la ecuacin F(x) = 0 tiene, exactamente, dos races reales.b) Encontrar sendos intervalos donde se pueda aplicar el mtodo de Newton para aproximar cada una de ellas.c) Estudiar si se puede aplicar el Teorema del Punto Fijo a la funcinf(x) = 2 + ln xpara aproximar las races de F.MTODOS NUMRICOSExamen FinalFebrero 20011[2 puntos] Consideremos una matriz M /2n simtrica y denida positiva escrita en la formaM=_P QQTR_donde P, Q, R /n.a) Tomando w = P1Qv comprobar que_wTvT __P QQTR__wv_= vTSvsiendo S = R QTP1Q. Deducir que la matriz S es tambin simtrica denida positiva.b) Suponiendo conocidas las factorizaciones de Cholesky de P= BBTy de S = CCTdeterminar, a partir de ellas,la factorizacin de Cholesky de la matriz M.2[3 puntos] Se considera el sistema linealAu=b y =D1(E + F) la matriz del mtodo de Jacobi por puntosasociada a A.a) Si [[[[[[ es una norma matricial subordinada a la norma vectorial [[[[ , demostrar:i ) [[u[[ [[[[[[ [[u[[ +D1[[b[[ .ii ) Si [[[[[[ < 1 y se toma u0= 0, entoncesuku[[[[[[k1 [[[[[[D1[[b[[ , k N.b) Probar que si A es de diagonal estrictamente dominante se verica que [[[[[[< 1.c) SeanA =______5 1 1 1 11 5 1 1 11 1 5 1 11 1 1 5 11 1 1 1 5______yb =______11111______.Determinar un nmero k de iteraciones para que el error en norma innito cometido en la resolucin del sistemaAu = b mediante el mtodo de Jacobi por puntos a partir de u0= 0 sea inferior a la milsima.3[2 puntos] Aplicar la regla del trapecio abierta compuesta a la integral_x0dt1 + t2paraobtenerunaaproximacindearctan12determinandoelnmeromdesubintervalosnecesarioparaqueelerrorcometido en esa aproximacin sea inferior a 103. (Indicacin: el error en la regla del trapecio abierta simple viene dadoporR(a,b)(f) =(b a)336f

()).4[3 puntos] Se considera la funcin F(x) = 1 2(1 + x)ex.a) Demostrar que la ecuacin F(x) = 0 tiene una nica raz positiva.b) Determinar un intervalo donde se pueda aplicar el mtodo de Newton para dar una aproximacin de , as como lasdos primeras iteraciones del mtodo.c) Se considera la funcin(x) = 1 x 2ex.Supuesto conocido el valor de, encontrar el valor de>0 que hace que la funcin tenga una raz positivadoble.MTODOS NUMRICOSExamen FinalJunio 20011[2 puntos] Sea C /n(R) una matriz inversible y A, B /n(R) matrices simtricas denidas positivas. Probarque las matrices A1, A + B, CTAC y la submatriz_a11a1nan1ann_de A son tambin denidas positivas.2[3 puntos] Se considera el mtodo iterativo de Jacobi por puntos para resolver el sistema lineal Ax =b partiendo dex0= 0, para una matriz A = (aij)ni,j=1 /n vericando[aii[ > n

j=1j=i[aij[, i = 1, 2, . . . , ndonde > 1 y[aii[ > > 0, i = 1, 2, . . . , n.a) Demostrar que [[[[ 0. El tiempo de impacto del proyectil con el suelo se calcula resolviendo la ecuacin y(t) = 0.Encontrar un intervalo en el que se pueda aproximar dicho tiempo de impacto mediante el mtodo de Newton.5[2 puntos] Obtener la secuencia de Sturm del polinomio P(x) = x3+5x2+3x9 y encontrar, a partir de ella, todaslas races de P.MTODOS NUMRICOSExamen FinalFebrero 20031 a) Se considera una matriz A /n escrita en la formaA =_An1baT_siendo An1 /n1, a, b Rn1y R. Demostrar que si An1 es inversible y admite factorizacin LUAn1 = Ln1Un1entonces existen x, y Rn1y R tales queA =_Ln10xT1__Un1y0 _.b) Demostrar, por induccin sobre la dimensin de la matriz, que si todos los menores principales de la matriz A sonno nulos entonces existen L triangular inferior con unos en la diagonal y U triangular superior tales que A = LU.2Se considera la matrizA =__1 1 1__donde R.a) Dar una condicin suciente que garantice la convergencia del mtodo de Jacobi asociado a la matriz A.b) Dar una condicin necesaria y suciente para que dicho mtodo sea convergente.c) Encontrar valores de para los cuales el mtodo de relajacin de parmetro 0 0, hallar un intervalo I R de forma que la sucesin (8) converja para cualquier x0 I.d) Si 0 < rn< 1 para todo n N0, comprobar que13(r4n4r3n + 6r2n) > r2n.Deducir cul de los dos mtodos, (8) o (9), converge ms rpidamente.3Se considera la frmula de derivacin aproximadaf

(x) 112h (f(x 2h) 8f(x h) + 8f(x + h) f(x + 2h)) .a) Usando desarrollos en serie, calcular el orden de aproximacin del error, en funcin de h.b) Para f(x) =11 + x, hallar la aproximacin de f

(2) cuando se toma h =110 y calcular el error cometido.4La sucesin de Sturm del polinomio P(x) = x3+ 2x2+ 10x 20 es_P0(x) = P(x), P1(x) = P

(x), P2(x) = x + 5013, P3(x) = 1_.a) Determinar el nmero de races reales de P(x) y, para cada una de ellas, un intervalo que la contenga.b) Hallar la primera aproximacin de la raz ms cercana a 1, por el mtodo de las cuerdas, cuando se toma como valorinicial x0 = 1.MTODOS NUMRICOSExamen FinalSeptiembre 20031[3 puntos] Dada una matrizA /n simtrica denida positiva, se considera la descomposicinD E Fporbloques de A.a) Demostrar que las matricesi ) D ii ) Acon > 0 iii ) D E Fcon0 1son, tambin, simtricas denidas positivas.b) Si A se escribe en la forma A = M N, con Minversible, siendo M= D E F, determinar un rango devalores , R para que el mtodo iterativo asociado a la descomposicin anterior es convergente.c) Se deduce del apartado b) la convergencia del mtodo de Jacobi? Y la del mtodo de GaussSeidel?2[3 puntos]a) Teniendo en cuenta que el error en la frmula del trapecio (cerrada) viene dado por la expresinR(a,b)(f) = (b a)312f

()con (a, b), deducir la regla de los trapecios (o frmula del trapecio compuesta cerrada) con m subintervalos,obteniendo la expresin del error de dos formas:i ) Sumando los errores cometidos en cada subintervalo.ii ) Aplicando a lo anterior el Teorema de los Valores Intermedios.b) Dado n N, aplicar el apartado a) con m =n 1 subintervalos a la funcin f(x) = ln x en el intervalo [1, n].Escribir los trminos de error en las formas a)i ) y a)ii ).c) Sabiendo que

i=11i2=26y1n

i=n1i2 1n 1,acotar las dos expresiones del error obtenidas en el apartado b). Cul de las dos cotas es mejor?d) Teniendo en cuenta que_ln xdx = x(ln x 1),utilizar los apartados b) y c) para aproximar la cantidadln n! = ln 1 + ln 2 + + ln n.3[2 puntos] Sea a>0 y f:[a, a] R una funcin par. Dado n N, se consideran una particin equiespaciadadel intervalo [a, a] de n + 1 puntos y Pn el polinomio de interpolacin de f en dichos puntos. Justicar la veracidad ofalsedad de las siguientes armaciones:a) P2 tiene grado exactamente 2.b) P3 tiene grado menor o igual que 2.c) P2 = P3.4[2 puntos] Utilizar el mtodo de Newton, justicando las hiptesis de convergencia, para aproximar el valor dexque en la grca y=x2produce el punto ms cercano a (1, 0), determinando el valor de las dos primeras iteraciones.(Indicacin: Minimizar la distancia al cuadrado del punto (1, 0) a un punto genrico de la curva).MTODOS NUMRICOSExamen FinalFebrero 20041Nos gustara tener una cuenta de ahorros con un saldo de 100.000 euros en el momento de comprar una casa dentro de5 aos y podemos depositar 6.000 euros anuales. El inters anual x que deber proporcionarnos la cuenta de ahorros essolucin de la ecuacin:100,000x = 6,000((1 + x)51).1. Probar que esta ecuacin posee una solucin estrictamente positiva.2. Determinar un intervalo en el que aplicar el mtodo de Newton para calcularla.2Se desea aproximar el valor de la integral _0ex2dx con un error menor que 102. Para ello seguimos el procesosiguiente:1. Calculamos un valor L 1 para el cual_Lex2dx 1022. Comprobar que podemos elegir L = 6. (Indicacin:se puede usar la desigualdad ex2 exsi x 1 y tener en cuenta que ln(200) 5,2983).2. A continuacin, determnese el nmero de intervalos necesarios para calcular_60ex2dx con un error menor que1022mediante la frmula del trapecio cerrada compuesta usando la frmula del error:R(a,b)(f) = (b a)h212f

(), (a, b), h =b am.3Utilizamos el mtodo iterativo__1 1 10 1 10 0 1__uk+1+__0 0 0 0 0 0__uk= b, u0 R3para resolver el sistema de ecuaciones:__1 1 1 1 1 1__u = b, b R3,siendo , , constantes reales.1. Encontrar todos los valores de , , para los que, sean cuales sean u0y b, la sucesin_uk_converge.2. Supongamos = = = 1. Encontrar vectores u0y b para los que_uk_NO converge.3. Supongamos ahora = = 0. Es cierto que en este caso el mtodo siempre permite encontrar la solucin exactaenunnmeronitodeiteraciones?Encasoarmativo,encontrardichonmero;encualquiercaso,razonarlarespuesta.4Se considera el sistema lineal Ax = y para una matriz tridiagonal:A =____a1b 0 0c a2b 00 c a3b0 0 c a4____1. Usar el mtodo de eliminacin gaussiana para triangularizar la matriz A.2. Probar queA=LU, siendoL una matriz triangular inferior con unos en su diagonal yUuna matriz triangularsuperior, calculando los elementos de las matrices L y U directamente a partir de los elementos de la matriz A.5Sea el error de redondeo unitario de la mquina, i.e.fl(x y) = [fl(x) fl(y)](1 + ) =[x y](1

), [[, [

[ < .Sean ahorax,y vectores columna cuyas componentes son nmeros mquina. Seanz1=fl(x1y1) yzk+1=fl(zk +xk+1yk+1). Supongamos que n < 1/3. Sean i tales quefl_n

i=1xiyi_=n

i=1xiyi(1 + i).1. Demuestra por induccin sobre n que [i[ (1 + )n+2i1.2. Sabiendo que n < 1/3, demuestra que(1 + )k1 k1 12k 0, cul es la menor constante c(k) para la que se verica__uku__ c (k)__u0u__para todos los vectores u0 R2? Nuevamente, estudiar el comportamiento de c (k) cuando vara.3[1.5 puntos] Se considera la funcin f(x) = exy n N.a) Hallar los puntos x0, x1, . . . , xn [1, 1] para que el error en la interpolacin polinomial de la funcin f en dichointervalo, relativa a dichos puntos, sea mnimo.b) Encontrar el menor n N para el que dicho error es menor que 106.4[3 puntos] Sea la funcin F(x) = (x + 1) tan x 1.a) Demostrar que en el intervalo [0,2] existe una nica raz, , de F.b) Demostrar que se puede aproximar por un mtodo de punto jo en dicho intervalo. Decidir si k= 0,51 es unaposible constante de contractividad para dicho mtodo. (Indicacin: arctan(2+2) est entre 0,3 y 0,4).c) Comenzando con x0 = 0, determinar una sucesin xn : n N que converja a . Hallar el trmino x1 y el mnimon tal que [xn[ < 104.MTODOS NUMRICOSExamen FinalFebrero 20051[25 puntos] Se pretende calcular numricamente la raz cuadrada de un nmero real a > 0.(i) Considrese la siguiente frmula recursiva:___x0 R dado,xn+1 =12(xn +axn).(10)Demustrese que si la sucesin (xn) es convergente entonces necesariamente su lmite esa. (Indicacin: puedeser ltil comprobar que (10) se obtiene como las iteraciones del mtodo de Newton aplicado a cierta ecuacinf (x) = 0).(ii) Prubese que sixn> a para todon 0 entonces el mtodo denido por (10) converge cuadrticamente, esdecir:lmna xn+1(a xn)2existe y es un nmero real.(iii) Consideramos ahora el siguiente mtodo:___x0 R dado,xn+1 =xn(x2n + 3a)3x2n + a.Suponiendo que xn>a para todo n 0, prubese que el orden de convergencia del mtodo es cbico, es decir:lmna xn+1(a xn)3existe y es un nmero real.2[25 puntos] Dedzcase la expresin de la frmula de Simpson y de su trmino de error del siguiente modo. Suponemosque existe una regla que satisface, dados x0< x2 y f una funcin cuatro veces derivable en el intervalo (x0, x2):_x2x0f (x) dx = 0f (x0) + 1f (x1) + 2f (x2) + Kf(iv)() , (11)siendo x1 := (x0 + x2) /2 y (x0, x2) un punto que depende eventualmente de f.(i) Calclense los coecientes 0, 1 y 2 aplicando la frmula anterior a polinomios de grado 0, 1, 2.(ii) Una vez hecho esto, obtngase a partir de (11) el valor del coeciente K.3[25 puntos] Se pretende utilizar el mtodo iterativo:__1 0 01 1 01 1 2__ uk+1+__0 4(1 ) 130 0 1 0 0 0__ uk= bpara resolver el sistema de ecuaciones:__1 4(1 ) 131 1 1 1 1 2__ u = b,siendo R, ,= 1, y b R3.(i) Determinar para qu valores de el mtodo es convergente.(ii) Raznese si la siguiente armacin es verdadera o falsa: Sea ,= 1 y u R3la solucin exacta del sistema.Entonces existe una iteracin inicialu0R3con la propiedad de que la sucesin _uk_ converge aucuandok .4[25 puntos] Sea A una matriz n n real, simtrica y denida positiva.(i) Demustrese que es posible encontrar Ltriangular y D diagonal con dii> 0, i = 0, ..., n, tales que A = DLLT.Ms an, demustrese que D L es invertible.(ii) Se considera la matrizBg:=(D L)1 LTasociada al mtodo de Gauss-Seidel. Comprubese la siguienteidentidad:Bg = Id (D L)1 A.(iii) Sea P:= ABTgA Bg. Comprubese que Pes simtrica.(iv) Sea Q := (D L)1 A. Demustrese queP= QT DQy conclyase que Pes denida positiva.(v) Utilcese que Pes simtrica y denida positiva para probar que (Bg)< 1 y, por tanto, que el mtodo de Gauss-Seidel aplicado a A es convergente.MTODOS NUMRICOSExamen FinalJunio 20051[25 puntos]a) Sea A una matriz de diagonal estrictamente dominante. Se considera la descomposicin A =M Ncon M=DFy N= E, siendo A = DE Fla descomposicin DE Fpor puntos de la matriz A. Probar que elmtodo iterativo asociado a esta descomposicin M N de A es convergente.b) Demostrar que si A verica[ajj[ >n

i=1i=j[aij[, j = 1, . . . , nel mtodo de Gauss-Seidel por puntos para A es convergente. (Indicacin: Utilizar a)).c) Demostrar resultados anlogos a a) y b) cuando se toma una descomposicin D E Fpor bloques.2[25 puntos]a) Se considera una matriz A /n descompuesta en bloques de la formaA =_A1A2A3A4_donde la matriz A1 es inversible. Demostrar que det A = det A1 det_A4A3A11A2_. (Indicacin: Utilizar elmtodo de eliminacin gaussiana por bloques para anular el bloque ocupado por A3).b) Se considera una matriz A /n simtrica escrita en la formaA =_An1aaT_con An1 /n1 inversible, a Rn1y R. Probar que si A no es inversible entonces = aT(An1)1a.c) Sea A simtrica con sus n 1 primeros menores principales positivos y con det(A) = 0. Demostrar que A admitefactorizacin de Cholesky y se tiene que bnn = 0.3[1 punto] Decidir si existen nmeros reales a, b, c y d tales que la funcinS(x) =_1 + 2x x3si x [0, 1]a + b(x 1) + c(x 1)2+ d(x 1)3si x [1, 2]sea una funcin spline cbica con condiciones de tipo I (condiciones naturales).4[1 punto] Encontrar el valor de x1> 0 que hace que la frmula_11f(x) dx 19_2f(1) + 6f(x1) + 10f(x1)_sea exacta para polinomios del mayor grado posible. Cul es ste?5[3 puntos] Se considera la ecuacin x3x210x + 1 = 0.a) Hallar el nmero de races reales y complejas de dicha ecuacin, separando, mediante el mtodo de Sturm, las racesreales en intervalos que contengan una nica raz.b) Encontrar un intervalo donde se pueda aplicar el mtodo de Newton para aproximar la menor raz real, demostrandola convergencia del mtodo y dando los dos primeros trminos de la sucesin.MTODOS NUMRICOSExamen FinalSeptiembre 20051[25 puntos] Dado t R, se considera la matrizA =__1 t 15 t2+ 6 05 2t + 9 5__a) Decidir para qu valores de t la matriz A no admite factorizacin LU.b) Para cada uno de los valores de t hallados en el apartado anterior, encontrar una matriz de permutaciones Ptal quela matriz PA s admita factorizacin LU.2[25 puntos] Para cada nmero natural n 2 se considera la matriz An /n que tiene por elementos(An)ij =_1 si i ,= j2isi i = j.a) Calcular la matriz de Jacobi por puntos asociada a An. Demostrar que el mtodo de Jacobi por puntos para An esconvergente.b) Demostrar que el mtodo de Gauss-Seidel por bloques asociado a A3 es convergente.3[15 puntos] Determinar nmeros reales a, b, c, d de modo que la frmula de integracin numrica:_11f (x) dx af (1) + bf (1) + cf

(1) + df

(1) ,sea exacta para polinomios del mayor grado posible. Cul es ste?4[35 puntos] Se considera la ecuacin:x3+ 2x2+ 10x = 20,y los esquemas equivalentes de punto jo:(a) x =20 2x2x310; (b) x =20x2+ 2x + 10.(i) Probar que la ecuacin de partida tiene una nica raz en el intervalo (1, 2).(ii) Estudiar la convergencia a dicha raz de las iteraciones de punto jo correspondientes a (a) y (b) con x0 [1, 2].(iii) Suponiendo que se parte de x0 = 1, determnese, para las iteraciones que sean convergentes, un nmero natural n0de forma que, si n n0, el error correspondiente a la iteracin xn sea menor que 104.MTODOS NUMRICOSExamen FinalFebrero 20061Se quiere resolver el sistema lineal,_ 3 x y = 1x + 3 y = 2o sea Au = b con A =_ 3 11 3_usando el mtodo SOR:_1DE_uk+1=_1 D+F_uk+ bSiendo:D =_ 3 00 3_, F =_0 10 0_y E =_0 01 0_Se pide hallar el valor de ' ptimo.2Sea Auna matriz denida positiva y simtrica. Supongamos que Atiene las factorizaciones A = L1Lt1 y A = L2DLt2,siendo D una matriz diagonal con elementos diagonales positivos d1, ..., dn. Si D1/2= (d1, ...,dn):1. Demostrar que D = D12D12.2. Demostrar que A = L2D12(L2D12)t.3Consideramos el polinomio de Laguerre de cuarto grado:L(x) = 1 4x + 3x2 23x3+124x4La ecuacin L(x) = 0 tiene al menos una raz positiva. Se pide:a) Hallar un intervalo adecuado para poder emplear el mtodo de Newton cuando se quiera aproximar el valor de la razms pequea.b) Demostrar que todas las races son reales positivas.c) Demostrar que todas son simples.4Se desea calcular C =_10f(x)dx cuando f(x) =12x. Consideramos frmulas de Newton-Ctes de tipo trapecio.1. Elegiras una frmula del trapecio abierta o cerrada? Por qu?2. Calcula la aproximacin que se obtiene empleando la frmula del trapecio abierta.3. Calcular el error exacto cometido. La estimacin terica del error en la frmula del trapecio abierta viene dada por3h34f

(), (0, 1). Es til esta estimacin?4. Nos planteamos a continuacin el uso de una frmula del trapecio cerrada para calcular_10,01f(x)dx. Comparar elresultado obtenido con el valor exacto de esta integral y con la aproximacin obtenida en el segundo apartado.5. Reemplazamos la integral anterior por _10,1f(x)dx. Comparar el resultado obtenido con el valor exacto de estaintegral y con la aproximacin obtenida en el segundo apartado.6. La estimacin terica del error en este caso es h312f

(), (, 1),= 0,1,= 0,01. Qu cota da para el error?7. Qu conclusin sacas de estos resultados?MTODOS NUMRICOSExamen FinalJunio 20061[25 puntos] Sea A /n inversible.a) Probar que si A admite factorizacin LU entonces todos sus menores principales son no nulos.b) Demostrar que si A admite factorizacin de Cholesky entonces es simtrica y denida positiva.2[35 puntos] Dada una matriz A /n se considera su descomposicin D E Fpor puntos y, a partir de ella, sedenen las matrices M= D E (1 )Fy N= M A, para R de forma que M sea inversible.a) Demostrarquesi AeshermticadenidapositivaelmtodoasociadoataldescomposicinM NdeAesconvergente.b) Probarquesi Aesunamatrizdediagonalestrictamentedominantey [0, 1]entonceselmtodoiterativoasociado a tal descomposicin M Nde A es convergente. (Indicacin: Demostrar que si [[ 1 y [0, 1]entonces[1 + [[[ 1 y[ + [[[ 1 )c) Se deduce de los apartados anteriores la convergencia del mtodo de Jacobi por bloques para algn tipo de matri-ces? Y la del mtodo de GaussSeidel?3[1 punto] Determinar el nmero de subintervalos que deben tomarse para que el error cometido al aproximar_11ex2dxmediantelaregladelostrapecios(ofrmuladeltrapeciocerradacompuesta)seainferioralamilsima. Escribirlaexpresin que toma la regla de los trapecios para este caso concreto y con el nmero de subintervalos hallado.4[3 puntos] Consideremos el polinomioP(x) = x3+3x2+ x + donde > 0.a) Estudiar, en funcin del parmetro , el nmero de races (reales y complejas) de la ecuacin P(x) = 0. Para quvalores de las races de Pson mltiples? Hallar todas las races de Ppara esos valores de .b) Fijado = 1 encontrar un intervalo donde pueda aplicarse el mtodo de Newton para calcular una raz negativa deP. Determinar los dos primeros trminos de la sucesin denida por dicho mtodo.MTODOS NUMRICOSExamen FinalSeptiembre 20061[25 puntos] Se considera una matriz A simtrica no inversible cuyos n 1 primeros menores principales son todospositivos, escrita en la forma A =_An1aaT_siendo An1 /n1, a Rn1y R,a) Demostrar que aT(An1)1a = 0. (Indicacin: aplicar el mtodo de Gauss por bloques para anular el bloqueocupado por aT).b) Demostrar que An1 admite factorizacin de Cholesky.c) Si An1 = Bn1(Bn1)Tes la factorizacin de Cholesky de An1 cmo deben elegirse x Rn1y R paraqueA =_Bn10xT__BTn1x0 _?Probar que tal eleccin de x y es posible.d) Deducir que A admite factorizacin de Cholesky A = BBTy se tiene que bnn = 0.2[25 puntos] Consideramos el sistema lineal Ax = b, con b R3y A =__4 2 02 1 10 1 1__.a) Hallar la matriz del mtodo de relajacin por puntos.b) Demostrar que el mtodo de Gauss-Seidel es ptimo.3[25 puntos] Se desea calcular I =_10exx dx mediante la regla de Simpson compuesta. La funcin a integrar, f(x) =exx, no est denida en cero. Por ello, se reescribe la integral como:I =_10exxdx =_10exp(x)xdx +_10p(x)xdx.donde p(x) = 1 + x +x22+x36+x424es el polinomio de Taylor de exde orden 4. Sea g(x) =exp(x)x. Se pide:a) Demostrar que g(0) =lmx0g(x) = 0.b) Aproximar_10g(x)dx mediante la regla de Simpson compuesta con h = 0,25 y dos subintervalos (m=2).c) Calcular el valor exacto de_10p(x)xdx.d) Cul es el valor aproximado de I que se obtiene con esta estrategia? Se obtendra una aproximacin mejor o peorusando un polinomio de Taylor de orden menor?4[25 puntos] Se desea calcular321 mediante la iteracin siguiente:_x0 = 2xn = g(xn1) n Ncon g(x) =121_20x + 21x2_. Se pide:a) Encontrar un intervalo [a, b] que contenga a 2 en el que se pueda aplicar el teorema del punto jo para garantizar laconvergencia de la iteracin.b) Concluir que la iteracin sugerida converge a un valor, que es precisamente321.c) Determinar el nmero de iteraciones para que el error cometido sea menor que 103.