Examenes Resueltos de Metodos Numericos

M�etodos Matem�aticos de Especialidad.

Especialidad de Construcci�on.

Ex�amenes cursos 06-07 hasta 10-11.

Enunciados y soluci�on

Luis Sanz

12 de septiembre de 2012

�Indice

1. Febrero 2007 3

2. Junio 2007 14

3. Septiembre 2007 21

4. Febrero 2008 30

5. Junio 2008 39


7. Febrero 2009 54

8. Junio 2009 63


10.Febrero 2010 82

11.Junio 2010 94

12.Julio 2010 108

13.Febrero 2011 120

14.Junio 2011 131

15.Julio 2011 139

16.Enero 2012 148

17.Junio 2012 156

1

18.Julio 2012 168

2

1. Febrero 2007

M�etodos Matem�aticos de Especialidad. Especialidad de Construcci�on. Curso 06-07Examen de Febrero: 06-02-07

M�ETODOS NUM�ERICOS: Teor��aDuraci�on: 75 minutos

APELLIDOS Y NOMBRE:.....................................................................................

N�umero de matr��cula: ..............................................................................................

Ejercicio 1. (4 ptos.) (Cada apartado vale 0.5 ptos)

� 1.1. Sup�ongase que se est�a empleando la t�ecnica isoparam�etrica para trabajar con un determinado ele-mento e. De�nir rigurosamente V

he y las funciones Ni y demostrar que estas �ultimas son linealmente

independientes.

Soluci�on: ver apuntes asignatura, tema 5.

� 1.2. Se tiene el rect�angulo bicuadr�atico est�andar e. >Se podr��a efectuar un cambio x = �(�) de formaque el elemento e resultante sea un cuadril�atero (de lados rectos) con v�ertices (xi; yi); i = 1; 2; 3; 4?En caso a�rmativo, >cu�al ser��a ese cambio? (no hace fata determinarlo expl��citamente)

Soluci�on: Si se consideran las funciones de base Ni(�; �); I = 1; 2; 3; 4 correspondientes al cuadril�aterobilineal est�andar, el cambio

(x; y) = �(�; �) =

= (x1; y1)N1(�; �) + (x2; y2)N2(�; �) + (x3; y3)N3(�; �) + (x4; y4)N4(�; �)

(que es un cambio subparam�etrico) transforma el elemento e en un cuadril�atero de lados rectos.Las funciones Ni(x; y) = Ni(�

�1(x; y)) no ser��an funciones polin�omicas pues ��1 no es polin�omi-ca. Obs�ervese que un cambio isoparam�etrico (es decir, utilizando funciones bicuadr�aticas en generaltransformar��a el rect�angulo est�andar en un \cuadril�atero curvo", aunque si los 3 nudos de cada la-do se eligieran alineados, el cambio degenerar��a en un cambio bilineal y el cuadril�atero ser��a recto.N�otese tambi�en que si se efectuase un cambio af��n no se podr��a obtener un cuadril�atero cualquierasino �unicamente un paralelogramo.

� 1.3. Consid�erese el problema de la barra axial est�atica con condiciones de frontera u(a) = ua yA(b)E(b)u0(b) = Fb. El problema se resuelve con el MEF tomando r(x) = ua. Explicar c�omo seconstruye el vector F a partir de �F . Sup�ongase que se ha resuelto el sistema Kd = F . Escribir laexpresi�on que permite calcular el desplazamiento en un punto c de la barra.

Soluci�on:

FP = L(NI) =

Z b

af(x)NI(x)dx+ FbNI(b)�

Z b

aEAr0(x)N 0

I(x)dx =

=

Z b

af(x)NI(x)dx+ FbNI(b)

3

pues r0(x) = 0. Por ello F es el resultado de eliminar de �F la primera �la. Si c 2 e,

u(c) = ua +

neXi=1

diNi(�c)

donde �c es la coordenada psi de c en el elemento e y se est�a utilizando numeraci�on local para losdesplazamientos y las funciones de base.

� 1.4. Se quiere calcular la soluci�on por el MEF para el problema de la barra axial est�atica. Razonar sicuando se re�na mucho la malla (longitud del elemento m�aximo del orden de 10�10) se obtiene unasoluci�on num�erica muy pr�oxima a la te�orica.

Soluci�on: Si se re�na mucho la malla el n�umero de condici�on de K ser�a muy elevado (del orden deh�2, es decir, del orden de 1020) Por ello, los errores de redondeo que se hayan cometido para calcularK y F har�an que la soluci�on num�erica que se obtiene en d est�e lejos (en t�erminos relativos) de laverdadera soluci�on.

� 1.5. Sea el problema de la barra axial est�atico. Se considera un mallado �jo, y un programa MEFconcreto que resuelve el problema. Sup�ongase que la fuerza distribuida f se cambia por una nuevafunci�on f . >Qu�e condici�on deber��a cumplir f para poder asegurar que la soluci�on proporcionada porel programa sea la misma que en el caso de f?

Soluci�on: la fuerza distribuida s�olo se usa en el MEF para evaluarla en los nudos x� := �(�a); � =1; :::;npi, donde los �� son los nudos de integraci�on en el elemento est�andar y � es el cambio que llevael elemento est�andar en el elemento real. Por tanto, si se cumple f(x�) = f(x�) para todos los �, elprograma no encontrar�a ninguna diferencia entre f y f .

� 1.6. Explicar brevemente por qu�e se introducen los espacios de Sobolev en el estudio de las EDPs.Soluci�on: ver apuntes asignatura.

� 1.7. Sea el problema d�ebil: encontrar v 2 V tal que 8w 2 V se cumple a(v; w) = L(w) donde a(�; �) esforma bilineal sim�etrica y L es forma lineal en V . Se supone que el problema anterior tiene soluci�on.Enunciar y demostrar un resultado que establezca condiciones para que dicho problema tenga soluci�on�unica o m�as de una soluci�on.

Soluci�on: En el caso en que a(�; �) es de�nida positiva existe soluci�on �unica y cuando es semide�nidapositiva (de haber soluci�on, como es este caso) existen in�nitas. Ver apuntes asignatura. Cap��tulo 2,apartado .Existencia e unicidad de soluci�on a los problemas fuerte y d�ebil".

4

� 1.8. Al aplicar el m�etodo de Crank-Nicholson al sistema de EDOs resultante del m�etodo de Galerkin,se obtienen en primera instancia las ecuaciones

dj+1 � h

2_dj+1 = dj +

h

2_dj

h

2M�1Kdj+1 +

�I +

h

2M�1C

�_dj+1 = �h

2M�1Kdj +

�I � h

2M�1C

�_dj +

h

2M�1 �F j+1 + F j�

Comentar las razones por las que estas ecuaciones no se utilizan en esta forma y obtener las ecuacionesque se utilizan en la pr�actica.

Soluci�on: ver apuntes tema 9 asignatura (resoluci�on num�erica de problemas de valor inicial en EDOs)

Ejercicio 2. (3 ptos.) Sea � R2 un recinto cuya frontera es una curva � de clase C1 a trozos que sepuede expresar como � = �1 [ �2 [ �3 donde las �i son disjuntas dos a dos. Se considera el problema

2Xj=1

div (kijruj) + fi = 0 en para i = 1; 2

ui = gi en �1 para i = 1; 2

2Xj=1

kij@uj@n

= hi en �2 para i = 1; 2

2Xj=1

kij@uj@n

+ �iui = si en �3 para i = 1; 2

donde:

� u = (u1(x1; x2); u2(x1; x2)) es la funci�on inc�ognita.� kij(x1; x2); i; j = 1; 2 son funciones de clase 1 y la matriz�

k11 k12k21 k22

�es de�nida positiva para todo x 2

� f = (f1; f2), g = (g1; g2), h = (h1; h2) y s = (s1; s2) son funciones de�nidas en , �1, �2 y �3respectivamente.

� �1 y �2 son constantes positivas.� n es el vector normal unitario a la curva � saliente a .

Se pide:

� 2.1. (1 pto.) Deducir la expresi�on del problema d�ebil asociado que debe cumplir u, dejando claroqui�enes son los espacios de test y de prueba. Sugerencia: razonar de manera an�aloga al problema dela elasticidad bidimensional.

� 2.2. (1 pto.) Sup�ongase que el problema se resuelve mediante el MEF. La malla tiene 15 nudos delos cuales f2; 3g 2 �1, f6; 7g 2 �2, f4; 5g 2 �3 y el resto pertenecen al interior de . Escribir laexpresi�on de la componente (3; 8) de la matriz de rigidez.

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� 2.3. (1 pto.) Sup�ongase en este apartado que �1 = ; y que �2 y �3 son no vac��as. >Es a(�; �)de�nida positiva en el espacio V de las funciones de test? Demostrarlo en caso a�rmativo y dar uncontraejemplo en caso negativo.

Soluci�on.

2.1. Como en el caso de la elasticidad bidimensional, se multiplica la ecuaci�on i-�esima por wi se integraen y se suma obteniendo

2Xi;j=1

Zdiv (kijruj)widx+

2Xi=1

Zfiwidx = 0

Usando que para funciones � y z suaves se cumpleZdiv (�rz) dx = �

Zr� � rzdx+

Z@

@z

@n�dl

se obtiene

2Xi;j=1

Zkijruj � rwidx =

2Xi=1

Zfiwidx+

2Xi;j=1

Z@kij@uj@n

widl

=2Xi=1

Zfiwidx+

2Xi=1

Z@wi

2Xj=1

kij@uj@n

dl =

Imponiendo que wi = 0 en �1 y usando las condiciones de frontera en �2 y �3 obtenemos

2Xi;j=1

Zkijruj � rwidx =

2Xi=1

Zfiwidx+

2Xi=1

Z�2

hiwidl �2Xi=1

�i

Z�3

uiwidl+

+2Xi=1

Z�3

siwidl

con lo que el problema d�ebil tiene la forma: encontrar u 2 S tal que 8w 2 V se cumpla

2Xi;j=1

Zkijruj � rwidx+

2Xi=1

�i

Z�3

uiwidl =

2Xi=1

Zfiwidx+

2Xi=1

Z�2

hiwidl+

+2Xi=1

Z�3

siwidl

donde

S =nu : ! R2, u 2

�H1()

�2; u = (g1; g2) en �1

oV =

nw : ! R2, w 2

�H1()

�2; w = (0; 0) en �1

o� 2.2. Los nudos inc�ognita son todos menos el 2 y el 3, es decir, f1; 4; 5; 6; 7; 8; :::g. Como estamos en unproblema bidimensional P = 3 corresponde (con la numeraci�on est�andar) al primer grado de libertaddel nudo 4 y P = 8 al segundo grado de libertad del nudo 6. Por ello

K3;8 = a(N4e1; N6e2) = a((N4; 0) ; (0; N6)) =

=

Zk12rN4 � rN6dx

pues el resto de los t�erminos se anulan.

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� 2.3. Trabajaremos en el espacio V � que en este caso, al ser �1 = ;, es el espacio defunciones C1t ().Demostraremos que a(�; �) es de�nida positiva en V �. En efecto,

a(v; v) =2X

i;j=1

ZrvTi kijrvjdx+

2Xi=1

�i

Z�3

vividl

que se puede expresar en la forma

a(v; v) =

Z

�rvT1 j rvT2

�� k11 k12k21 k22

��rv1rv2

�dx+

Z�3

(�1v21 + �2v

22)dl

Como la matriz

�k11 k12k21 k22

�es sim�etrica de�nida positiva entonces

�rvT1 j rvT2

�� k11 k12k21 k22

��rv1rv2

�� 0

y como el resto de los t�erminos son no negativos se tiene que a(v; v) � 0. Adem�as, si imponemosa(v; v) = 0 entonces:

� (a) por un lado, tiene que serZ

�rvT1 j rvT2

�� k11 k12k21 k22

��rv1rv2

�dx = 0

que, tras dividir en trozos e, obliga, al ser la funci�on subintegral no negativa y continua en cadatrozo, a que �

rvT1 j rvT2�� k11 k12

k21 k22

��rv1rv2

�= 0 en cada e

Al ser la matriz de�nida positiva esto implica que rv1 = 0 y rv2 = 0 en cada e es decir,v1 = Ke y v2 = Ce en cada e. Como v1 y v2 deben ser continuas v1 = K y v2 = K en .

� (b) forzosamente tiene que serR�3(�1v

21 + �2v

22)dl = 0 que fuerza a que v = (v1; v2) sea nula en

�3. Usando (a) se tiene que v1 = v2 = 0 en y por ello a(�; �) es de�nida positiva en V �.

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Ejercicio 3. (3 ptos).

� 3.1. (0.5 ptos.) De�nir con rigor el concepto de grado de precisi�on de una f�ormula de cuadraturanum�erica para aproximar el valor de

R ba f(x)dx. De�nir con rigor el concepto de f�ormula de cuadratura

interpolatoria. Mencionar c�omo se podr��a construir alguna f�ormula de integraci�on num�erica que teparezca razonable y que no sea una cuadratura interpolatoria.

� 3.2. (0.5 ptos.) Justi�car por qu�e una f�ormula de cuadratura interpolatoria con n nudos tiene precisi�onal menos n� 1.

� 3.3. (1 pto.) Demostrar rigurosamente que si una f�ormula de cuadratura con n nudos tiene precisi�onal menos n � 1, entonces forzosamente es una f�ormula de cuadratura interpolatoria (Sugerencia:plantear un cierto sistema de ecuaciones del cual se deduce que si, �jados n nudos, una f�ormula decuadratura tiene precisi�on al menos n � 1, entonces es la �unica f�ormula de cuadratura que cumpleesa condici�on)

� 3.4. (1 pto.) Razonar por qu�e no existe ninguna f�ormula de cuadratura con n nudos y precisi�on 2n.

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Soluci�on. ver apuntes asignatura para 3.1, 3.2 y 3.4. Para 3.3 imponemos queZ b

af(x)dx � J = �1f(x1) + � � �+ �nf(xn)

sea exacta para las funciones 1, x, � � � ; xn�1. Se llega as�� a un sistema lineal de n ecuaciones con ninc�ognitas en el que la matriz del sistema es

A =

0BBB@1 1 � � � 1x1 x2 � � � xn...

......

xn�11 xn�12 � � � xn�1n

1CCCAque es una matriz de Vandermonde. Como los xi son distintos dos a dos, la matriz tiene el rangom�aximo, es decir, n. Eso indica que el sistema tiene soluci�on �unica, es decir, dados los nudos x1,...,xns�olo hay una f�ormula de cuadratura (que denotaremos J) con precisi�on al menos n � 1. Como enel apartado anterior se ha visto que existe una f�ormula de cuadratura interpolatoria con n nudosy precisi�on al menos n � 1 que cumple dicha condici�on, se deduce que forzosamente la f�ormula decuadratura J debe ser dicha f�ormula de cuadratura interpolatoria.

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M�ETODOS NUM�ERICOS: Matlab (1/2)Duraci�on: 45 minutos



Ejercicio 1. (3 ptos.) Consid�erese un problema MEF para el problema din�amico de la barra axial. Sepide: Escribir la estructura del programa MEF que resuelve el problema.

Nota:

� Cada vez que se tenga que calcular una expresi�on integral (por ejemplo fei , meij, etc) se debe especi�car

cu�al es esta expresi�on (no es necesario pasar a la referencia est�andar)

� Se debe indicar c�omo se construir��an las matrices y vectores \reales" en t�erminos de sus an�alogos\ampliados".

� No hace falta almacenar las matrices y vectores de elemento.� No es preciso especi�car el postprocesado.� Los sistemas deben resolverse de manera e�caz en cuanto al n�umero de operaciones realizadas.� Se recuerda que para avanzar en el tiempo se utilizan las ecuaciones

dj+1 = dj +h

2_dj +

h

2_dj+1 (1)�

M +h

2C +

h2

4K

�_dj+1 = �hKdj +

�M � h

2C � h2

4

�_dj +

h

2

�F j+1 + F j

�(2)

Soluci�on: ver apuntes asignatura.

Ejercicio 2. (3.5 ptos.) Consid�erese el problema de la barra axial din�amica con secci�on constante iguala 1 (es decir, A(x) = 1). Escribir un conjunto de instrucciones que calcule y ensamble �K y �M (matrizde rigidez y de masas ampliadas)

� Los datos que se pueden utilizar para hacer el programa son:� Hay s elementos.� CON� tipelem� nudos� densidad (es un m-�le)� modelast (es un m-�le)

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� funbase1d (es un m-�le)� Los nudos �� de integraci�on en el intervalo est�andar est�an contenidos en el vector �la psint,mientras que los coe�cientes para la integraci�on est�an contenidos en el vector �la coe�nt.

� Nota:� No hace falta guardar las matrices de rigidez y de masas de cada elemento.� Para simpli�car, considerar que s�olo puede haber elementos lineales o cuadr�aticos.� Con el objetivo de simpli�car la programaci�on, no es preciso proceder por simetr��a para ensamblar�K y �M .

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M�ETODOS NUM�ERICOS: Matlab (2/2)(Duraci�on 30 minutos)



Ejercicio 3. (3.5 ptos.) Consid�erese el problema para la deformaci�on de una barra de longitud 1 concarga axial

� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)

�= f(x); x 2 (0; 1)

u(0) = u0; u(1) = u1

� 3.1. (0.5 ptos.) Consid�erense los siguientes datos de entrada:� malla=[0 0.25 0.57 0.8 0.9 0.95 1] donde los 2 primeros elementos son lineales, los dos siguientescuadr�aticos y los dos �ultimos c�ubicos.

� u(0) = �1;2 � 10�3, u(1) = 0;24 � 10�3� Hay dos fuerzas puntuales, una en x = 0;55 con magnitud 3 � 106 y otra en x = 0;3 con magnitud�1;4 � 106.

� A(x) = cte = 1 y E(x) = 109�1;2� x2

�� f(x) = 1;7 � 107

�x� 1

2

�2� Para integrar se utiliza la regla del trapecio con 300 nudos.

Se pide:K67, F2 y �(0;87) (dar la soluci�on en la forma x:yzvw � 10k)� Soluci�on:

�(0;87) = 4;4820e+ 004 ; K67 = �3;5694e+ 010 ; F2 = 2;6126e+ 006

� 3.2. (1 pto.) Se consideran los mismos datos que en 3.1. pero en las integrales se utiliza la regla deltrapecio con 2 nudos. Se pide F2.

� Soluci�on:F2 = 2;6167e+ 006

� 3.3. (1 pto.) Se consideran los mismos datos que en 3.1. (300 nudos de integraci�on) pero la EDO pasaa ser

� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)

�+ �u(x) = f(x); x 2 (0; 1)

con � = 3;2 � 1011. Calcular K67.

� Soluci�on: en este caso a(v; w) =R 10 EAv

0w0 + �R 10 vw. Por ello a la soluci�on obtenida en el

apartado 3.1 hay que sumarle la contribuci�on de este segundo t�ermino (que conduce a una matrizde masas) que vale 9.4272e+008. El resultado es

K67 = �3;5694e+ 010 + 9;4272e+ 008 = �3;4752e+ 010

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� 3.4. (1 pto.) Se consideran los mismos datos que en 3.1. (300 nudos de integraci�on) pero la condici�onde frontera en el extremo de la derecha pasa a ser Cu(1) + A(1)E(1)u0(1) = 0 con C = 2;5 � 1010.Calcular la �ultima componente de la diagonal de K.

� Soluci�on. Ahora el nudo de la derecha ser�a inc�ognita y K tendr�a dimensiones 12� 12. Por elloel programa se puede cambiar haciendo que el extremo de la derecha tenga condici�on natural (loque no afecta para nada a la matriz de rigidez). a(�; �) tiene la expresi�on

a(v; w) =

Z 1

0EAv0w0 + Cv(1)w(1)

Por ello

K12;12 =

Z 1

0EA

�N 012

�2dx+ CN12(1)

2 =

=

Z 1

0EA

�N 012

�2dx+ C =

= 2;5 � 1010 + 1;5645e+ 010 = 4;0645e+ 010

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2. Junio 2007

M�etodos Matem�aticos de Especialidad. Especialidad de Construcci�on. Curso 06-07Examen de Junio: 12-06-07




Ejercicio 1. (1 pto.) (Cada apartado vale 0.5 ptos)

� 1.1. Se considera el problema de interpolar los puntos (x1; y1), (x2; y2) por una funci�on de la familiasen(�x)+ e��x. >Qu�e se puede decir sobre la existencia de soluci�on a dicho problema? Idem si en vezde interpolar lo que se pretende es ajustar una funci�on de la familia por m��nimos cuadrados.

Soluci�on: Al plantear el problema de interpolaci�on se obtiene

sen(�x1) + e��x1 = y1

sen(�x2) + e��x2 = y2

que es un sistema no lineal de dos ecuaciones con dos inc�ognitas (� y �). Puesto que el sistema noes lineal, en principio (es decir, a falta de un an�alisis detallado y no trivial) no es posible decidir siexiste una, varias o ninguna soluci�on. El problema del ajuste ser��a: elegir � y � para que�

sen(�x1) + e��x1 � y1

�2+�sen(�x2) + e

��x2 � y2�2=

= m��nA;B2R

h�sen(Ax1) + e

�Bx1 � y1�2+�sen(Ax2) + e

�Bx2 � y2�2i

Como es un problema de minimizaci�on de una funci�on continua, si garantizamos que A y B se muevanen un compacto siempre tendr�a soluci�on (aunque no es posible en principio saber si tendr�a s�olo unao varias).

� 1.2. Enunciar con todo rigor el teorema que proporciona el error al interpolar la funci�on f(x) en lospuntos x1; :::; xn mediante un polinomio de grado n� 1.Soluci�on: ver apuntes de la asignatura

Ejercicio 2. (1 pto) Escribir (no hace falta deducirlas) las ecuaciones normales correspondientes alsistema Ax = b. Discutir razonadamente existencia y unicidad de soluci�on a las ecuaciones normales.

Soluci�on: ver apuntes de la asignatura

Ejercicio 3. (1.5 ptos) Def��nase con rigor el concepto de forma bilineal sim�etrica de�nida positiva enun espacio vectorial V . Demostrar que si la forma a(�; �) correspondiente a un problema d�ebil gen�ericoes de�nida positiva, la matriz de rigidez resultante de la aplicaci�on del problema de Galerkin es de�nidapositiva.


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Ejercicio 4. (1.5 ptos) Consid�erese la aplicaci�on del MEF al problema bidimensional de la transmisi�onde calor por conducci�on.

� 4.1. Explicar razonadamente (demostr�andolo en caso a�rmativo o dando un contraejemplo en casonegativo) si se podr��a utilizar una malla bidimensional formada por elementos tri�angulos c�ubicos conlos grados de libertad habituales.

� 4.2. Idem si se considera una malla formada por cuadril�ateros bilineales con los grados de libertadhabituales.

� 4.3. Idem si se considera una malla formada por tri�angulos lineales con los grados de libertad corre-spondientes al valor de la funci�on en el punto medio de cada lado.

Soluci�on: Para que el problema de Galerkin aplicado al problema en cuesti�on tenga validez, las fun-ciones utilizadas deben ser C1t (

�) y como se est�a trabajando con polinomios a trozos, �este es equiv-alente a que las funciones del espacio sean continuas en �. 4.1. S�� pues se respeta la continuidadinterelementos. Ver apuntes asignatura.

4.2. No, pues no se respeta la continuidad interelementos. Ver apuntes asignatura.

4.3. No, pues no se respeta la continuidad interelementos. Ver apuntes asignatura.

Ejercicio 5. (1.5 ptos) Se considera el problema de la barra axial en una viga de longitud L = 5

d

dx(EAu0(x)) + f(x) = 0; x 2 (0; 5)

u(0) = 4 � 10�6

u(5) = �5 � 10�6

El problema se resuelve aplicando el MEF con dos elementos. El primero es un elemento cuadr�atico queocupa el intervalo [0; 2] y el segundo es un elemento c�ubico que ocupa el intervalo [2; 5] (en ambos losnudos est�an equiespaciados). Al resolver el sistema Kd = F se obtiene como soluci�on el vector

d = 10�6 � (2;�1; 7; 3)T

Se pide calcular el desplazamiento aproximado uh en el punto x = 1=2.

Soluci�on. El vector �d de desplazamientos en todos los nudos es

�d = 10�6 � (4; 2;�1; 7; 3;�5)T

Como el punto x = 1=2 pertenece al primer elemento, al que pertenecen los nudos 1,2 y 3, se tiene

uh(1=2) = 4 � 10�6N1(1=2) + 2 � 10�6N2(1=2)� 1 � 10�6N3(1=2)

Ahora,

N1(x) =(x� 1) (x� 2)

2; N2(x) =

x (x� 2)�1 ; N3(x) =

x (x� 1)2

y operando se obtiene

uh(1=2) = 4 � 10�6 � 38+ 2 � 10�6 � 3

4� 1 � 10�6(�1

8) =

25

810�6

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Ejercicio 6. (1.5 ptos)Consid�erese el siguiente problema�EIu00

�00(x) = f(x) para x 2 (0; L) (3)

u(0) = u0; u0(0) = u00; EIu

00 jx=L=ML; (EIu00)0 jx=L ��u(L) = �

donde E e I son positivos y de clase 2 y donde � > 0.

Se pide:

� 1. Deducir el problema d�ebil, dejando claro qui�enes son los espacios S� y V �.� 2. Estudiar, demostr�andolo con todo rigor, el car�acter de la forma bilineal a(�; �) en V �.

Soluci�on: Encontrar u 2 S� tal que para todo w 2 V � se cumple

a(u;w) = L(w)

donde

a(u;w) =

Z L

0EIu00w00dx+ �u(L)w(L)

L(w) =

Z L

0fwdx� �w(L) +Mw0(L)

S� =�w : [0; L]! R, w 2 C2t [0; L]; w(0) = u0; w

0(0) = u00

V � =�w : [0; L]! R, w 2 C2t [0; L]; w(0) = 0; w0(0) = 0

Sea v 2 V �; a(v; v) =

R L0 EI (v

00)2 dx + �v2(L). Por ello a(v; v) � 0. Demostremos ahora que sia(v; v) = 0 entonces forzosamente v = 0 y entonces quedar�a demostrado que a es de�nida positiva.

Si suponemos a(v; v) = 0 entonces (al ser � > 0) forzosamente debe serR L0 EI (v

00)2 dx = 0 y v(L) = 0.De la primera relaci�on se obtiene, dividiendo en intervalos [xi; xi+1] de forma que v sea de clase 1 encada uno de ellos, que

R xi+1xi

EI (v00)2 dx = 0 para cada intervalo [xi; xi+1] y de aqu�� que v00 = 0 para

cada intervalo [xi; xi+1], es decir, v(x) = Aix+Bi en cada intervalo [xi; xi+1]. Imponiendo que v debeser de clase dos a trozos (con lo que en particular tiene que ser de clase 1 en todo [0; L]) se sigue que loscoe�cientes de cada intervalo tienen que ser los mismos, es decir, v(x) = Ax+B en [0; L]. Imponiendoahora que al pertenecer v a V � debe ser v(0) = v0(0) = 0 se sigue que v(x) = 0 en [0; L] y por elloa(�; �) es de�nida positiva.

Ejercicio 7. (1 pto.) Sea un sistema de EDOs

_z(t) = f(t; z(t)) z(0) = z0 2 Rm

El denominado m�etodo trapezoidal con � = 1=3 para resolver num�ericamente el problema anterior es:

yj+1 = yj +h

3f(tj+1; yj+1) +

2h

3f(tj ; yj) (4)

y0 = z0

Aplicar este m�etodo al sistema de EDOs resultante de la aplicaci�on del m�etodo de Galerkin al problemadel calor, obteniendo el sistema de ecuaciones que hay que resolver para avanzar en el tiempo.

16

Soluci�on: El problema a resolver es

M _d(t) +Kd(t) = F (t)

Md(0) = F 0

y por ellof(t; z(t)) =M�1F (t)�M�1Kd(t)

Aplicando (4) se obtiene�M +

h

3K

�yj+1 =

�M � 2h

3K

�yj + h

�F j+1

3+2F j

3

�Ejercicio 8. (1 pto) Demostrar que es posible elegir los nudos de integraci�on de forma que una f�ormulade cuadratura con n nudos tenga precisi�on 2n� 1, dejando claro qui�enes ser��an estos nudos.Soluci�on: ver apuntes asignatura.

17


M�ETODOS NUM�ERICOS: Programaci�on (1/2)Duraci�on: 40 minutos



Ejercicio 1. (1.5 ptos.) Consid�erese la aplicaci�on del MEF al siguiente problema din�amico de la barraaxial.

@

@x(AE

@u

@x) + f(x; t) = �

@2u

@2t; x 2 (a; b) := ; t 2 [0; T ] (5)

u(a; t) = ua(t); t 2 [0; T ]u(b; t) = ub(t); t 2 [0; T ]u(x; 0) = u0(x); x 2 [a; b]@u

@t(x; 0) = _u0(x); x 2 [a; b]

� Se pide:� 1. Dado un elemento e, se pretende calcular las contribuciones de ese elemento a �F (t) y �F �0 (vec-tores ampliados). Escribir las expresiones integrales exactas de dichas contribuciones y las expresionesaproximadas que �nalmente se programan en la pr�actica, suponiendo que se usa la cuadratura num�eri-ca Z 1

�1f �

npiX�=1

W�f(��)

� 2. Suponer que el n�umero total de nudos es n y que ya se han calculado �K, �M; �F (t) y �F �0 . Usando(5) explicar con claridad qu�e hay que hacer para obtener F (t) y F �0.

Soluci�on: La contribuci�on a �F �0 del nudo i de e es

f �0ei :=

Ze

�(x) _u0(x)Ni(x)dx =

=

Ze

�(�(�)) _u0(�(�))Ni(�)�0(�)d� � le

2

npiX�=1

W��(z�) _u0(z�)Ni(��)

donde le es la longitud del elemento, �(�) es el cambio af��n que transforma [�1; 1] en el elemento ey z� := �(��).

18

La contribuci�on a �F (t) del nudo i de e es

fei (t) :=

Ze

f(x; t)Ni(x)dx =

=

Ze

f(�(�); t)Ni(�)�0(�)d� � le

2

npiX�=1

W�f(z�; t)Ni(��)

El vector _F 0 se obtiene por el siguiente procedimiento: se resta de �F �0 la primera columna de �Mmultiplicada por _ua(0) y la columna n-�esima de �M multiplicada por _ub(0). Posteriormente del vectorresultante se eliminan las �las 1 y n.

El vector F (t) se obtiene por el siguiente procedimiento: se resta de �F (t) la primera columna de �Kmultiplicada por ua(t) y la columna n-�esima de �K multiplicada por ub(t). Posteriormente se resta la

primera columna de �M multiplicada por d2uadt2(t) y la columna n-�esima de �M multiplicada por d2ub

dt2(t).

Del vector resultante se eliminan las �las 1 y n.

Ejercicio 2. (1.5 ptos) Programar un function �le z=newtonescalar(fun,derfun,x0,eps) correspondienteal m�etodo de Newton para una ecuaci�on escalar. \z" es el valor al que converge el m�etodo, \fun" y\derfun" son m-�les correspondientes a f y a su derivada, y x0 es la estimaci�on inicial. Las iteracionesdeben parar cuando la distancia entre dos iteraciones sucesivas sea menor que eps.

Ejercicio 3. (3.5 ptos.) Consid�erese el problema de la barra axial din�amica con secci�on constante iguala 1 (es decir, A(x) = 1). Escribir un conjunto de instrucciones que calcule y ensamble �K (matriz derigidez ampliada)

� Los datos que se pueden utilizar para hacer el programa son:� Hay s elementos.� CON� tipelem� nudos� modelast (es un m-�le)� funbase1d (es un m-�le)� Los nudos �� de integraci�on en el intervalo est�andar est�an contenidos en el vector �la psint,mientras que los coe�cientes para la integraci�on est�an contenidos en el vector �la coe�nt.

� Nota:� No hace falta guardar las matrices de rigidez de cada elemento.� Para simpli�car, considerar que s�olo puede haber elementos lineales o cuadr�aticos.� Con el objetivo de simpli�car la programaci�on, no es obligatorio proceder por simetr��a paraensamblar �K.

19


M�ETODOS NUM�ERICOS: Programaci�on (2/2)(Duraci�on 20 minutos)




� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)

�= f(x); x 2 (0; 1)

u(0) = u0; u(1) = u1

� 4.1. (1.5 ptos) Consid�erense los siguientes datos de entrada:� malla=[0 0.2 0.58 0.8 0.9 0.95 1] donde los 2 primeros elementos son lineales, los dos siguientescuadr�aticos y los dos �ultimos c�ubicos.

� u0 = �1;5 � 10�3, u1 = 0;57 � 10�3

� Hay dos fuerzas puntuales, una en x = 0;5 con magnitud 3 � 106 y otra en x = 0;4 con magnitud�1;8 � 106.

� A(x) = cte = 1 y E(x) = 109�1;5� x2

�� f(x) = 1;3 � 107

�x� 1

2

�2� Para integrar se utiliza la regla del trapecio con 300 nudos.

Se pide:K67, F2 y �(0;87) (dar la soluci�on en la forma x:yzvw � 10k)� Soluci�on:

K67 = �6;4047e+ 010 ; F2 = 1;4470e+ 006 ; �(0;87) = 1;4511e+ 006

� 4.2. (1 pto.) Se consideran los mismos datos que en 4.1. pero en las integrales se utiliza la regla deSimpson con 3 nudos. Se pide F2.

� Soluci�on:F2 = 1;4493e+ 006

� 4.3. (1 pto.) Se consideran los mismos datos que en 4.1. (300 nudos de integraci�on) pero la EDO pasaa ser

� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)

�+ �(x)u(x) = f(x); x 2 (0; 1)

donde �(x) = 3;8 � 1011(1;8� x2). Calcular K67.

� Soluci�on:K67 = �6;4047e+ 010 + 1;1038e+ 009 = �6;2943e+ 010

20

3. Septiembre 2007

M�etodos Matem�aticos de Especialidad. Especialidad de Construcci�on. Curso 06-07Examen de Septiembre: 18-09-07




Ejercicio 1. (1 pto.)

� 1.1. Dar condiciones que garanticen que que una transformaci�on x = �(�) es inyectiva en un conjun-to compacto K. >En qu�e condiciones es inyectiva la transformaci�on para construir un cuadril�ateroisoparam�etrico bilineal?

� 1.2. Ventajas e inconvenientes de trabajar con la descomposici�on QR en vez de con la descomposici�onLU para resolver un sistema de ecuaciones lineales n � n. Enunciar el resultado que garantiza quetrabajar con la descomposici�on QR presenta ciertas ventajas frente a trabajar con la descomposici�onLU .

Soluci�on: ver apuntes.

Ejercicio 2. (1 pto.) Se considera la regla del trapecio extendida con 3 nudos en el intervalo [�1; 1].Estudiar razonadamente si dicha f�ormula es exacta al integrar las siguientes funciones

h(x) = x2 � 1

f(x) =

�x� 1; si � 1 � x � 01� 2x; si 0 < x � 1

�; g(x) =

�x� 1; si � 1 � x � 02x� 1; si 0 < x � 1

�Soluci�on: La f�ormula en cuesti�on se construye sumando el resultado de la regla del trapecio simplepara el intervalo [�1; 0] y para el intervalo [0; 1]. Puesto que la regla del trapecio simple es exacta parafunciones a�nes, la f�ormula del enunciado integrar�a de forma exacta funciones que sean a�nes en [�1; 0]y en [0; 1]. g cumple esta propiedad. Claramente h no la cumple. f no es continua en x = 0 con lo que nola cumple. Obs�ervese que el valor que la f�ormula emplea para f(0) = �1 no es el "valor correcto"parael intervalo de la derecha (deber��a ser �2). Por ello s�olo se integra de forma exacta la funci�on g.

Ejercicio 3. (1 pto.) Demostrar (sin plantear un sistema de ecuaciones) que de existir un polinomiode grado n � 1 que interpole los datos (xi; yi), i = 1; :::; n donde los xi son distintos dos a dos, �este es�unico. (Nota: no hace falta probar existencia, s�olo unicidad).

Soluci�on: Ver apuntes.

21

Ejercicio 4. (1 pto.) Demostrar que si al resolver mediante el MEF el problema de conducci�on del caloren r�egimen estacionario se supone que todos los grados de libertad del problema son de tipo Lagrange,entonces la suma de las �las de �K (matriz de conductividad .ampliada") es cero, es decir,

8I = 1; :::; n;nXJ=1

�KIJ = 0;

Utilizando lo anterior, estudiar razonadamente la existencia y unicidad de soluci�on al sistema �K �d = �F ,donde �F es el vector de carga t�ermica .ampliado".

Soluci�on: Sabemos que 8I; J = 1; :::; n

KIJ =

Z�(x)rNT

I (x)rNJ(x)dx;

luego sumando en J

nXJ=1

KIJ =

nXJ=1

Z�(x)rNT

I (x)rNJ(x)dx = (6)

=

Z�(x)rNT

I (x)nXJ=1

rNJ(x)dx

Sea V h� el espacio de trabajo (sin tener en cuenta las condiciones de trabajo). Sabemos que

f(x) 2 V ) f(x) =

nXJ=1

�JNJ(x)

donde, si todos los grados de libertad son de tipo Lagrange, �J = f(xJ), es decir,

f(x) =nXJ=1

f(xJ)NJ(x) (7)

Por tanto, como la funci�on f(x) = 1 pertenece a V se cumple, aplicando (7)

1 =

nXJ=1

NJ(x)

Ahora tomando el gradiente

0 =

nXJ=1

rNJ(x)

y entrando en (6) se obtienenPJ=1

KIJ = 0 para todo I. Esto implica (ver apuntes clase) que la matriz �K

es singular (y por ello no es de�nida positiva, s�olo semide�nida positiva). Por ello, en el caso gen�ericoel sistema �K �d = �F no tendr�a soluci�on (el rango de ( �K j �F ) ser�a mayor que el de �K).

Ejercicio 5. (1.5 ptos.) Se quiere utilizar un polinomio p para interpolar una funci�on f y sus dosprimeras derivadas en x = 0 y la funci�on y su primera derivada en x = 1. >Cu�al es el grado de p (enel caso gen�erico)? Escribir la expresi�on de p en t�erminos de f y de las funciones de base interpolatoria

22

correspondientes (no hace falta calcular dichas las funciones de base). Calc�ulese la funci�on que multiplicaa f 0(0) en dicha expresi�on.

Soluci�on: Se quieren imponer 5 condiciones, luego el grado del polinomio p ser�a 4. �Este ser�a

p(x) = f(0)�0(x) + f0(0)�00(x) + f

00(0)�000(x) + f(1)�1(x) + f0(1)�10(x)

donde las funciones � son las funciones de base interpolatoria (que son polinomios de grado 4). �00(x)debe veri�car las condiciones

�00(0) = 0 ; �000(0) = 1 ; �

0000(0) = 0

�00(1) = 0 ; �000(1) = 0

Para simpli�car los c�alculos utilizamos que como �00(x) tiene un cero doble en x = 1 ser�a

�00(x) = (x� 1)2�Ax2 +Bx+ C

�Imponiendo las 3 condiciones en x = 0 se obtiene un sencillo sistema de 3 ecuaciones con tres inc�ognitascuya soluci�on es A = 2; B = 1; C = 0. Por ello

�00(x) = (x� 1)2�2x2 + x

�= 2x4 � 3x3 + x

Ejercicio 6. (1 pto.) Consid�erese el problema

�d2u

dx2(x) = f(x); x 2 (0; 1)

u(0) = u0; u(1) = u1

(a) Sup�ongase que f(x) = ex. Razonar si, de�niendo un espacio adecuado V h de polinomios a trozos,la soluci�on te�orica proporcionada por el m�etodo de Galerkin puede ser exacta. En caso a�rmativo,especi�car cu�al es dicho espacio. En caso negativo, >se podr��a de�nir alg�un espacio V h de dimensi�on�nita (no necesariamente de polinomios a trozos) tal que la soluci�on del m�etodo de Galerkin fueseexacta?

(b) Idem si f(x) = �4x+ 3.Soluci�on: (a) La soluci�on al problema anterior es u(x) = �ex + Ax + B para unas ciertas A;B 2 R.El m�etodo de Galerkin (G) proporciona como soluci�on uh la mejor aproximaci�on a u por funciones deV h. Como ning�un espacio de polinomios a trozos contiene a esta funci�on, la soluci�on a (G) no puede serexacta si se utilizan polinomios a trozos. Sin embargo, si se de�ne el espacio V h = L fex; 1; xg claramentela soluci�on de (G) ser�a exacta. (b) En ese caso, u(x) es un polinomio de grado tres, por lo que basta contomar V h = P3 (obs�ervese que es un espacio de polinomios, es decir, polinomios a trozos �con un solotrozo") para que la soluci�on de (G) sea exacta.

Ejercicio 7. (3.5 ptos.) Sea � R2 abierto conexo con frontera C1 a trozos � = �1[�2[�3. Consid�ereseel siguiente problema de evoluci�on

�(x)@2u

@t2� divx (D(x)gradxu) + �(x)u = f(x; t) + �z(x)s(t) ; (x; t) 2 � (0;1)

u(x; t) = g(x; t) ; (x; t) 2 �1 � (0;1)(Dgradxu) � n(x) = h(x; t) ; (x; t) 2 �2 � (0;1)

(Dgradxu) � n(x) + c(x)u(x; t) = l(x; t) ; (x; t) 2 �3 � (0;1)u(x; 0) = u0(x) ; x 2 @u

@t(x; 0) = _u0(x) ; x 2

23

donde la funci�on escalar u(x; t) es la inc�ognita, D(x); (x); �(x) y c(x) son funciones regulares y estric-tamente positivas y n es el vector normal unitario saliente a �. z es un punto de y �z(x) denota ladelta de Dirac aplicada en el punto z, con lo que �z(x)s(t) es una fuente de valor s(t) concentrada en elpunto z. Se pide:

7.1. Plantear el problema d�ebil (en la forma en la que s�olo interviene el espacio de test), especi�candoclaramente qui�en es el espacio de test V con el que se trabaja y la dependencia en x y t de las distintasfunciones. (Nota: no hace falta especi�car todos los pasos de la deducci�on. No hace falta especi�car laregularidad de la soluci�on u respecto de la variable t).

7.2. Sup�ongase que se aplica el MEF con una malla en la que � es el conjunto de los nudos y �1; �2 y�3 los conjuntos de los nudos situados sobre �1;�2 y �3 respectivamente. Sean NI ; I 2 � las funcionesde base de los distintos nudos. Escribir qui�en es el espacio V h, la expresi�on de la funci�on auxiliar rh ydel sistema de EDOs que se obtiene, especi�cando la expresi�on de las componentes de cada una de lasmatrices y vectores que aparecen. (Nota: no hace falta especi�car todos los pasos de la deducci�on. No esnecesario dividir en elementos).

7.3. Sup�ongase que se ha ensamblado el vector �F . Explicar qu�e habr��a que hacer para obtener F .

Soluci�on: 7.1. SeaV =

�w : �! R : w 2 C1t (�); w = 0 en �1

Sea r : � � [0;1) ! R una funci�on "su�cientemente suave"que veri�ca las condiciones de frontera en�1. En concreto, r veri�ca:

� 1. Para todo x 2 , r(x; t) admite dos derivadas parciales respecto de t y esta derivada es continuaen �� [0;1).

� 2. Para todo t 2 [0;1), r(�; t) 2 V (r(�; t) denota la r como funci�on de x para t �jo)� 3. 8(x; t) 2 �1 � (0;1); r(x; t) = g(x; t)

Expresando u = r + v; multiplicando por una funci�on de test e integrando se obtiene que el problemad�ebil es: Encontrar v : �� [0;1)! R tal que:

� (1) Para todo x 2 , v(x; t) admite dos derivadas parciales respecto de t y esta derivada es continuaen �� [0;1).

� (2) Para todo t 2 [0;1), v(�; t) 2 V .� (3) Para todo w 2 V y para todo t 2 [0;1) se cumpleZ

��vwdx+

ZDrxv � rwdx+

Z�vwdx+

Z�3

cvwds =

=

Zfwdx+s(t)w(z)+

Z�2

hwds+

Z�3

lwds�Z��rwdx�

�ZDrxr � rwdx+

Z�rwdx+

Z�3

crwds

�que se puede representar en la forma �

��v; w

�+ a(v; w) = L(w)

24

donde

a(v; w) =

ZD(x)rxv(x; t) � rw(x)dx+

Z�(x)v(x; t)w(x)dx+

Z�3

c(x)v(x; t)w(x)ds

L(w) =

Zf(x; t)w(x)dx+ s(t)w(z) +

Z�2

h(x; t)w(x)ds+

Z�3

l(x; t)w(x)ds� a(r; w)��r; w

�=

=

Zf(x; t)w(x)dx+ s(t)w(z) +

Z�2

h(x; t)w(x)ds+

Z�3

l(x; t)w(x)ds�Z��rwdx

��ZD(x)rxr(x; t) � rw(x)dx+

Z�(x)r(x; t)w(x)dx+

Z�3

c(x)r(x; t)w(x)ds

�� (4) Se veri�can las condiciones iniciales

v(x; 0) = u0(x)� r(x; 0); x 2 _v(x; 0) = _u0(x)� _r(x; 0); x 2

7.2. V h = L fNI : I 2 � � �1g ; el problema de Galerkin es absolutamente an�alogo al problema d�ebilcambiando v por vh, V por V h y r por rh donde

rh(x; t) =XJ2�1

g(xJ ; t)NJ(x)

y cambiando las condiciones iniciales por��vh(x; 0); w

�=��u0(x); w

�� (�r(x; 0); w) ; 8w 2 V h�

� _vh(x; 0); w�=�� _u0(x); w

�� (� _r(x; 0); w) ; 8w 2 V h

Al entrar convh(x; t) =

XI2��1

d(t)NI(x)

en el problema de Galerkin se llega al sistema de EDOs

M��d(t) +Kd(t) = F (t)

Md(0) = F 0

M _d(0) = _F 0

25

donde, si se hace una numeraci�on P = ID(I); Q = ID(J) de los nudos I; J 2 � � �1;

KPQ = a(NI ; NJ) =

ZDrNI � rNJdx+

Z�NINJdx+

Z�3

cNINJds

MPQ =

Z�NINJdx

FP (t) = L(NI) =

Zf(x; t)NI(x)dx+ s(t)NI(z) +

Z�2

h(x; t)NI(x)ds+

Z�3

l(x; t)NI(x)ds�

�XJ2�1

g(xJ ; t)

�ZDrNI � rNJdx+

Z�NINJdx+

Z�3

cNINJds

��XJ2�1

��g(xJ ; t)

Z�NINJdx

F 0P =��u0(x); NI

��rh(x; 0); NI

�=

Z�u0NIdx�

XJ2�1

g(xJ ; 0)

�Z�NINJdx

�

F �0P =�� _u0(x); NI

�� _rh(x; 0); NI

�=

Z� _u0NIdx�

XJ2�1

_g(xJ ; 0)

�Z�NINJdx

�

7.3. De la expresi�on anterior para �FP se observa que para obtener F a partir de �F , hay que restar de�F las columnas de K correspondientes a nudos xJ de �1 multiplicadas por g(xJ ; t) y las columnas de M

correspondientes a nudos xJ de �1 multiplicadas por��g(xJ ; t). Finalmente hay que eliminar las �las de �F

correspondientes a los nudos xJ de �1.

26





Ejercicio 1. MEF para una placa plana. (3 ptos) Se considera el siguiente problema de una placasometida a un estado de tensi�on plana.

2Xj=1

@�ij(x)

@xj+ fi(x) = 0 ; i = 1; 2 x 2

u(x) = g(x) ; x 2 �1Tn = t(x) ; x 2 �2

donde T = T (x) denota la matriz de tensiones.

1.1. Al aplicar el MEF, en la pr�actica se ensamblan primero unas matrices y vectores ampliados �K y �F dedimensi�on 2n (siendo n el n�umero total de nudos). Escribir las expresiones integrales "por bloques"(quedenotamos keij y

�fei ) que proporcionan las contribuciones del elemento e a�K y �F respectivamente.

1.2. Explicar c�omo se calcula keij en la pr�actica. Escribir la expresi�on �nal que hay que programar para

calcular la matriz .auxiliar"que se usa en el c�alculo de keij .

1.3. Suponer que en el elemento e s�olo hay un lado, el segmento PQ, que pertenece a �2. Escribir laexpresi�on �nal que hay que programar para calcular �fei .

Notas:

� a. Se recuerda que la relaci�on entre los vectores desplazamiento v = (v1; v2)T y deformaci�on " =

("11; "22; 2"12)T para el estado de tensi�on plana es " = Bv donde

B =

264 @@x1

0

0 @@x2

@@x2

@@x1

375Asimismo, la relaci�on entre los vectores tensi�on � = (�11; �22; �12)

Ty deformaci�on es � = D" donde

D =

24 ��+ 2� �� 0�� + 2� 00 0 �

35� b. Las f�ormulas de cuadratura que se utilizar�an sonZ 1

�;1f �

lX�=1

S�f(c�) ;

Ze

g �kX�=1

W�g(��)

Soluci�on: ver apuntes teor��a

27

Ejercicio 2. (4 ptos) Consid�erese el problema de la barra axial con secci�on constante igual a 1 (es decir,A(x) = 1). Los siguientes 3 apartados pueden resolverse de forma independiente.

� 2.1. Escribir un conjunto de instrucciones que calcule y ensamble �K; �M y la contribuci�on de lasfuerzas distribuidas a �F .

� 2.2. Escribir un conjunto de instrucciones que ensamble la contribuci�on a �F de las fuerzas puntualesy las condiciones de frontera naturales.

� 2.3. Escribir un conjunto de instrucciones que obtenga F a partir de �F .

Los datos que se pueden utilizar para hacer el programa son:

� Hay s elementos.� elem� tipelem� nudos� malla� modelast (es un m-�le)� funbase1d (es un m-�le)� Los nudos �� de integraci�on en el intervalo est�andar est�an contenidos en el vector �la psint,mientras que los coe�cientes para la integraci�on est�an contenidos en el vector �la coe�nt.

� fuerzadist (es un m-�le)� densidad (es un m-�le)� H : matriz en la que se especi�can las fuerzas puntuales. Tiene dos columnas. Cada �la contienela coordenada en la que se aplica una fuerza y el valor de la misma.

� condfr : matriz 2� 2: la primera columna tiene como primera componente 0/1 si la condici�on enel extremo izquierdo es esencial/natural y como segunda componente el valor de dicha condici�onde frontera. Idem para la segunda columna pero referida al extremo de la derecha.

� busq: es un m-�le� Nota:

� No es necesario guardar las matrices de rigidez de cada elemento.� Para simpli�car, considerar que s�olo puede haber elementos lineales o cuadr�aticos.� Con el objetivo de simpli�car la programaci�on, no es obligatorio proceder por simetr��a paraensamblar �K y �M .

28





Ejercicio 3. (3 ptos.) Consid�erese el problema para la deformaci�on de una barra de longitud 1 concarga axial

� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)

�= f(x); x 2 (0; 1)

A(0)E(0)u(0) = F; u(1) = d

� 3.1. (1 pto) Consid�erense los siguientes datos de entrada:� malla=[0, 0.35, 0.55, 0.7, 0.95, 1] donde los 2 primeros elementos son cuadr�aticos y los tres �ultimosc�ubicos.

� d = 0;27 � 10�3, F = �1;5 � 106

� Hay dos fuerzas puntuales, una en x = 0;4 con magnitud �2;4 � 106 y otra en x = 0;6 conmagnitud 2 � 106.

� A(x) = cte = 1 y E(x) = 109�2;5� x2 + cos(15x

�+ e�x)

� f(x) = 1;45 � 107h�x� 1

2

�2+ 1

5sen(10x)i

� Para integrar se utiliza la regla del trapecio con 300 nudos.Se pide: K45, F6 y �(0;63) (dar la soluci�on en la forma x:yzvw � 10k)� Soluci�on:

K45 = �3;9375 � 1010 ; F6 = 1;9289 � 106 ; �(0;63) = 1;5136106

� 3.2. (1 pto.) Se consideran los mismos datos que en 3.1 y se sabe que la densidad es �(x) = 3;8 �1011(1;8� x2): Se pide M45.

� Soluci�on:M45 = 7;6159 � 109

� 3.3. (1 pto.) Se consideran los mismos datos que en 3.1. pero en las integrales en [�1; 1] se utiliza laf�ormula de Newton-Cotes simple con 4 nudos, para la que los coe�cientes son 1

4 ;34 ;34 ;14 . Se pide F6.

� Soluci�on:F6 = 1;9626 � 106

29

4. Febrero 2008





Ejercicio 1. (2 ptos.)

� 1.1. Sea un espacio vectorial E y un subespacio M del mismo. Se pretende calcular la mejor aproxi-maci�on a u 2 E por funciones de M en una determinada norma k�k : Sup�ongase que la norma derivade un producto escalar >Qu�e ventaja o inconveniente supone esto?

Soluci�on: Cuando la norma deriva de un producto escalar es posible emplear la proyecci�on ortogonalcomo mejor aproximaci�on, es decir, la mejor aproximaci�on a u por funciones de M es la proyecci�onortogonal de u sobre M con el producto escalar en cuesti�on.

� 1.2. Sean A 2 R7�9 y b 2 R7 En el caso "gen�erico", se considera el problema de determinar la o lassoluciones del sistema Ax = b que tienen su primera componente nula y su tercera componente iguala 1. Razonar si el problema anterior tiene soluci�on y si �esta es �unica.

Soluci�on: Ax = b representa un sistema de 7 ecuaciones con 9 inc�ognitas. Al incorporar las doscondiciones adicionales x1 = 0, x3 = 1 (que, n�otese, son ecuaciones lineales) se tiene un sistema de9 ecuaciones lineales con 9 inc�ognitas, que en el caso gen�erico tiene soluci�on �unica.

� 1.3. >C�omo se de�ne una norma matricial inducida? Enuncia todas las propiedades que cumple. De�neel concepto de n�umero de condici�on de una matriz A 2 Rn�n en una determinada norma.Soluci�on: ver apuntes asignatura

� 1.4. Sup�ongase una malla formada por tri�angulos cuadr�aticos. Demostrar que se cumplen los requisitosde regularidad global exigidos en el problema d�ebil de la conducci�on del calor.

Soluci�on: ver apuntes asignatura

� 1.5. Explicar brevemente cu�ales son las ideas fundamentales quemotivan el uso de la t�ecnica isoparam�etri-ca. (Nota: no se pide que se explique la t�ecnica isoparam�etrica).


Ejercicio 2. (1 pto.) Se considera el problema de la barra axial en una viga de longitud L = 5

d

dx(EAu0(x)) + f(x) = 0; x 2 (0; 5)

u(0) = 2 � 10�6

(EAu0)(5) = 3 � 107

donde E = 1010. El problema se resuelve aplicando el MEF con dos elementos. El primero es un elementocuadr�atico que ocupa el intervalo [0; 2] y el segundo es un elemento c�ubico que ocupa el intervalo [2; 5]

30

(en ambos los nudos est�an equiespaciados). Al resolver el sistema Kd = F se obtiene como soluci�on elvector

d = 10�6 � (3; 1; 1=2;�1;�3)T

Se pide calcular la tensi�on aproximada �h en el punto x = 1.

Soluci�on. El vector �d de desplazamientos en todos los nudos es

�d = 10�6 � (2; 3; 1; 1=2;�1;�3)T

Como el punto x = 1 pertenece al primer elemento, al que pertenecen los nudos 1,2 y 3 (con posiciones0, 1 y 2 respectivamente) se tiene

�h(1) = E�2 � 10�6N 0

1(1) + 3 � 10�6N 02(1) + 1 � 10�6N 0

3(1)�

Ahora,

N1(x) =(x� 1) (x� 2)

2; N2(x) =

x (x� 2)�1 ; N3(x) =

x (x� 1)2

Operando se obtieneN 01(1) = �1=2

Sin necesidad de operar, por simetr��a (basta con hacer un dibujo de las funciones de base para darsecuenta) se deduce que

N 02(1) = 0; N

03(1) = 1=2

y por tanto

�h(1) = 1010�2 � 10�6(�1

2) + 1 � 10�6 1

2

�= �5000 N

Obs�ervese que, puesto que estamos operando .a mano", no es necesario, ni siquiera recomendable, hacerel cambio para pasar a la referencia est�andar.

Ejercicio 3. (3.5 ptos) Sea � R2 abierto conexo con frontera C1 a trozos � = �1 [ �2 [ �3. Seconsidera el problema

�2Xi=1

2Xj=1

@

@xj

�aij(x)

@u

@xi

�+ d(x)

@u

@t= f(x; t) en

u(x; t) = �(x; t) en �12Xi=1

2Xj=1

aij(x)@u

@xinj(x) = �(x; t) en �2

2Xi=1

2Xj=1

aij(x)@u

@xinj(x) + c(x)u(x; t) = (x; t) en �3

u(x; 0) = u0(x)

donde u(x; t) es la inc�ognita, f , �; � y son funciones, c es una funci�on positiva en �3, d es una funci�onpositiva en ; las aij(x) son funciones de clase 1 en y para todo x 2 , A(x) = [aij(x)] es una matrizde�nida positiva. Se pide:

31

� 3.1. (2.5 ptos) Considerar el problema estacionario, es decir,

�2Xi=1

2Xj=1

@

@xj

�aij(x)

@u

@xi

�= f(x) en

u(x) = �(x) en �12Xi=1

2Xj=1

aij(x)@u

@xinj = �(x) en �2

2Xi=1

2Xj=1

aij(x)@u

@xinj + c(x)u(x) = (x) en �3

Se pide:

� a) (1 pto) Plantear el problema d�ebil (en cualquiera de sus formas) especi�cando claramente losespacios con los que se trabaja.

� b) (1 pto) Sup�ongase que �1 6= ;; �2 6= ;; �3 = ;. Estudiar, demostr�andolo con todo rigor, si laforma bilineal a(�; �) es o no de�nida positiva en el espacio V � correspondiente (se recuerda que

si x = (x1; x2) e y = (y1; y2) y A 2 R2�2, la expresi�on2Pi=1

2Pj=1

xiaijyj se puede escribir en la forma

xTAy)

� c) (0.5 ptos) Decidir (no hace falta demostrarlo) en qu�e casos (en lo que a condiciones de fronterase re�ere) la forma bilineal a(�; �) es s�olo semide�nida positiva.

� 3.2 (1 pto.) Volviendo al caso din�amico, sup�ongase que se aplica el MEF con una malla en la que� es el conjunto de los nudos y �1; �2 y �3 los conjuntos de los nudos situados sobre �1;�2 y �3respectivamente. Sean NI ; I 2 � las funciones de base de los distintos nudos. Escribir qui�en es elespacio V h, la expresi�on de la funci�on auxiliar rh y del sistema de EDOs que se obtiene, especi�candola expresi�on de las componentes de cada una de las matrices y vectores que aparecen. (Nota: no hacefalta llevar a cabo la deducci�on. No es necesario dividir en elementos).

Soluci�on:

3.1.a Multiplicando la EDP por una funci�on de test w(x) a la que pedimos que se anule en �1,integrando en y usando la f�ormula de integraci�on por partesZ

@b

@xi(x)c(x)dx =

Z@c(x)b(x)nids�

Z

@c

@xi(x)b(x)dx

v�alida para funciones b y c de clase 1 a trozos en , se llega al siguiente problema d�ebil:Encontrar u 2 S� tal que para toda w 2 V � se veri�que

a(u;w) = L(w)

donde:

a(u;w) =

Z

2Xi=1

2Xj=1

aij(x)@u

@xi(x)

@w

@xj(x)dx+

Z�3

c(x)u(x)w(x)ds

L(w) =

Zf(x)w(x)dx+

Z�2

�(x)w(x)ds+

Z�3

(x)w(x)ds

S� =�w 2 C1t (�) : w = � en �1

V � =

�w 2 C1t (�) : w = 0 en �1

32

3.1.b. En el caso �3 = ; se tiene que la forma a(�; �) en V � est�a dada por

a(v; w) =

Z

2Xi=1

2Xj=1

aij(x)@v

@xi(x)

@w

@xj(x)dx =

Zrv(x)TA(x)rw(x)dx

donde se ha usado la sugerencia del enunciado. Por tanto, si v 2 V �

a(v; v) =

Zrv(x)TA(x)rv(x)dx

Como A(x) es de�nida positiva para todo x se tiene que para todo x 2 , rv(x)TA(x)rv(x) � 0 y esoimplica que a(v; v) � 0. Supongamos ahora que a(v; v) = 0 y sean 1; :::;q trozos en los que v es declase 1. Dividiendo la integral se obtiene

a(v; v) =

qXi=1

Zi

rv(x)TA(x)rv(x)dx = 0

lo que implica, como todos los sumandos son no negativos, queRirv(x)TA(x)rv(x)dx = 0 en cada i

para i = 1; :::; q. Como la funci�on rv(x)TA(x)rv(x) es continua y no negativa en cada i se sigue quedebe ser rv(x)TA(x)rv(x) = 0 en cada i, de de donde se deduce, como A(x) es de�nida positiva paratodo x; que rv(x) = 0 para todo x 2 i; i = 1; :::; q. De aqu�� se sigue que v = Ci; en cada i; i = 1; :::; q.Ahora, como v debe ser continua, debe ser v = C en . Finalmente, como �1 6= ; y v se debe anular en�1 debe ser v = 0 en . Por ello se ha demostrado que a(�; �) es de�nida positiva en V �.

3.1.c. La �unica situaci�on en la que a(�; �) ser�a s�olo semide�nida positiva (y no de�nida positiva) escuando sea �1 = �2 = ; es decir, cuando no haya ni condiciones de Dirichlet ni de Robin.

3.2.

V h = L fNI : I 2 � � �1g

rh(x; t) =XJ2�1

�(xJ ; t)NJ(x)

El sistema de EDOs que se obtiene es

M _d(t) +Kd(t) = F (t)

Md(0) = F 0

donde, si se hace una numeraci�on P = ID(I); Q = ID(J) de los nudos I; J 2 � � �1, se tiene

KPQ = a(NI ; NJ) =

ZrNT

I ArNJdx+Z�3

cNINJdx

MPQ =

ZdNINJdx

FP (t) = L(NI) =

Zf(x; t)NI(x)dx+

Z�2

�(x; t)NI(x)ds+

Z�3

(x; t)NI(x)ds�

�XJ2�1

�(xJ ; t)

�ZrNT

I ArNJdx+Z�3

cNINJds

��XJ2�1

_�(xJ ; t)

ZdNINJdx

F 0P =�du0; NI

��drh(x; 0); NI

�=

Zdu0NIdx�

XJ2�1

�(xJ ; 0)

�ZdNINJdx

�

33

Ejercicio 4. (1 pto) Consid�erese el tri�angulo cuadr�atico est�andar (los v�ertices son (1; 0), (0; 1) y (0; 0))con la numeraci�on habitual. Se pide calcular las funciones de base (en coordenadas cartesianas) de todoslos nudos.


Ejercicio 5. (1.5 puntos) Consid�erese el problema

u00(x) + f(x) = 0 ; x 2 (0; 1)u(0) = 0 ; u0(1) = 2

donde f(x) es una cierta funci�on. Se sabe que la soluci�on de esta EDO es u(x) = x3�x. Sup�ongase quepara resolver de manera aproximada la EDO se aplica el m�etodo de Galerkin, tomando V h = L fsen�xg.Se pide calcular la soluci�on uh al problema de Galerkin, explicando el procedimiento seguido.

Nota:R 10 x

2 cos(�x)dx = � 2�2; cos2 x = 1+cos(2x)

2

Soluci�on: En primer lugar observamos que V h cumple las condiciones exigidas para aplicar el m�etodode Galerkin (subespacio de dimensi�on �nita [en este caso 1] del espacio V de las funciones de clase 1a trozos en [0; 1] que se anulan en x = 0). Como las condiciones esenciales son homog�eneas no hacefalta introducir la funci�on r(x) y por lo tanto uh(x) ser�a la proyecci�on ortogonal de u(x) sobre V h conel producto escalar h�; �ia de�nido por la forma a(�; �) correspondiente al problema d�ebil. Por tantonuestro problema se reduce a calcular dicha proyecci�on ortogonal. En este caso a(u; v) =

R 10 u

0(x)v0(x)dx.Puesto que uh 2 V h debe ser uh(x) = �sen�x para un cierto � 2 R e imponiendo la condici�on de que usea ortogonal a una base de V h;

0 =(x3 � x)� �sen�x; sen�x

�a

se obtienehsen�x; sen�xia � =

x3 � x; sen�x

�a

Usando la nota del enunciado

hsen�x; sen�xia = �2Z 1

0cos2(�x)dx =

�2

2+�2

2

Z 1

0cos(2�x)dx =

�2

2x3 � x; sen�x

�a= �

Z 1

0cos(�x)

�3x2 � 1

�dx = 3�

Z 1

0x2 cos(�x)dx� �

Z 1

0cos(�x)dx =

= �2 � 3��2

� 0 = �6�

Por tanto

uh(x) = �12�3sen�x

�

Ejercicio 6 (1 pto.) Se considera el problema

(EAu0)0(x) + f(x) = 0; x 2 (a; b)(EAu0)(a) = Fa

u(b) = ub

donde E y A son positivas y de clase 1 y f es continua. Enunciar y demostrar el resultado por el cual,bajo determinadas condiciones, si u es soluci�on del problema d�ebil tambi�en es soluci�on del problemafuerte.


34





Ejercicio 1. (2.5 ptos.) Sea un sistema de EDOs

_z(t) = f(t; z(t)) z(0) = z0 2 Rm


yj+1 = yj +h

4f(tj+1; yj+1) +

3h

4f(tj ; yj) (8)

y0 = z0

1.1. (1 pto) Obtener el sistema de ecuaciones que se obtiene al aplicar este m�etodo al sistema de EDOsresultante de la aplicaci�on del m�etodo de Galerkin al problema del calor.

1.2. (1.5 ptos) Sup�ongase que se conocen M , K; d0 (dcero) y una matriz Facum en la que la columnaj + 1 es el vector F (tj) desde j = 0 hasta j = 10 es decir, Facum=[F0 jF1 j � � � j F 10]. Escribir unasinstrucciones de Matlab que permitan avanzar en el tiempo desde t0 hasta t10 y que genere la matrizdacum=[d0 jd1 j � � � j d10].Nota: se deber�a minimizar el n�umero de operaciones a realizar.

Soluci�on: 1.1. El problema a resolver es

M _d(t) +Kd(t) = F (t)

Md(0) = F 0


Aplicando (8) se obtiene�M +

h

4K

�yj+1 =

�M � 3h

4K

�yj + h

�F j+1

4+3F j

4

�En cada paso de tiempo hay que resolver un sistema en el que var��a el t�ermino independiente, perola matriz M + h

4K es siempre la misma. Por ello (ver apuntes) con el �n de minimizar el n�umero deoperaciones, la factorizaci�on de dicha matriz se debe hacer fuera del bucle, y dentro del bucle se realizanla actualizaci�on y la soluci�on.

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Ejercicio 2. (3.5 ptos.) Consid�erese el problema de la barra axial din�amica.

� 2.1. (2 ptos.) Escribir un conjunto de instrucciones que calcule y ensamble �M y �F �0. Los nudos �� deintegraci�on en el intervalo est�andar est�an contenidos en el vector �la psint, mientras que los coe�cientespara la integraci�on est�an contenidos en el vector �la coe�nt.

� 2.2. (1.5 ptos.) Sup�ongase que se han calculado �M y �F �0. Escribir un conjunto de instrucciones quecalculen _d(0). Para simpli�car la programaci�on, se pueden usar los siguientes vectores: nudes contienela numeraci�on de los nudos esenciales, despnudes0 contiene los desplazamientos iniciales en dichosnudos y velocnudes0 contiene las velocidades iniciales en dichos nudos.

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Ejercicio 3. (1 pto). Calcular la funci�on de la familia

f(x) = Aex +Bsenx+ C

que mejor ajusta los datos (0; 2), (1;�1), (2;�3), (3; 2), (4;�7) por el criterio de m��nimos cuadrados yel error e que se comete en la norma dos.

Soluci�on: se impone f(xi) = yi, i = 1; 2; 3; 4; 5 obteni�endose un sistema lineal de 5 ecuaciones con 3inc�ognitas (A; B y C). Se resuelve por m��nimos cuadrados con Matlab, obteni�endose

A = �0;2170; B = �3;7573 ; C = 3;1771

siendo el errore = 4;1945


� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)

�= f(x); x 2 (0; 1)

u(0) = u0; u(1) = u1

� 4.1. (1 pto) Consid�erense los siguientes datos de entrada:� malla=[0 0.2 0.58 0.8 0.9 0.95 1] donde los 2 primeros elementos son lineales, los dos siguientescuadr�aticos y los dos �ultimos c�ubicos.

� u0 = �1;5 � 10�3, u1 = 0;57 � 10�3

� Hay dos fuerzas puntuales, una en x = 0;5 con magnitud 3 � 106 y otra en x = 0;4 con magnitud�1;8 � 106.

� A(x) = cte = 1 y E(x) = 109�1;5� x2

�� f(x) = 1;3 � 107

�x� 1

2

�2� Para integrar se utiliza la regla de Simpson con 5 nudos.

Se pide: K67, F2 y �(0;87) (dar la soluci�on en la forma x:yzvw � 10k)� Soluci�on:

K67 = �6;7931e+ 010; F2 = 1;4471e+ 006 ; �(0;87) = 1;4511e+ 006

37

� 4.2. (1 pto.) Se consideran los mismos datos que en 4.1, pero en las integrales en [�1; 1] se utiliza laf�ormula de Newton-Cotes simple con 4 nudos, para la que los coe�cientes son 1

4 ;34 ;34 ;14 . Se pide F6.

� Soluci�on:F2 = 4;7546e+ 004

� 4.3. (1 pto.) Se consideran los mismos datos que en 4.1. pero se utiliza la regla del trapecio con 6nudos de integraci�on y adem�as la EDO pasa a ser

� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)

�+ �(x)u(x) = f(x); x 2 (0; 1)

donde �(x) = 3;8 � 1011(1;8� x2). Calcular K67.

� Soluci�on:K67 = �8;5193e+ 010

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5. Junio 2008





Ejercicio 1. (1.5 ptos.) Responder de forma concisa a las siguientes preguntas:

� 1.1. Sea el problema

d

dx((1 + x2)u0(x)) + e�x

2sinx = 0; x 2 (0; 1)

u(0) = 2 � 10�6

u0(1) = 3 � 107

(a) Se quiere aplicar el m�etodo de Galerkin para resolverlo, tomando V h = L�1; x; x2

. Decidir

razonadamente si esto es posible.

(b) Idem si se toma el espacio V h = L fsinx; sin 2xg.Soluci�on: Consid�erese un problema d�ebil gen�erico: encontrar v 2 V � tal que para todo w 2 V �

se cumpla a(v; w) = L(w). Para poder aplicar el m�etodo de Galerkin a dicho problema, el es-pacio V h debe cumplir que sea de dimensi�on �nita y adem�as que V h � V �. En nuestro casoV � =

�w 2 C1t [0; 1] tal que w(0) = 0

. (a) V h es de dimensi�on �nita, pero sin embargo V h no est�a in-

cluido en V � pues las funciones de V h no se anulan en x = 0. Por ello no se puede aplicar el m�etodo.(b) V h es de dimensi�on �nita, y V h est�a incluido en V � por lo que s�� se puede aplicar el m�etodo.

� 1.2. Se considera la aplicaci�on del MEF al problema din�amico para la barra axial. Entre los datosest�an u0(x) y _u0(x) (desplazamiento y velocidad inicial de los puntos de la barra). >Por qu�e entonceshay que calcular d(0) y _d(0) mediante un determinado procedimiento en vez de hacerlo directamenteevaluando u0(x) y _u0(x) en los nudos?

Soluci�on: al plantear el problema de Galerkin, las condiciones iniciales u(x; 0) = u0(x) y _u(x; 0) =_u0(x) se "proyectan"sobre V h con el �-producto escalar pasando a ser (�u(x; 0); w(x)) = (�u0(x); w(x))y (� _u(x; 0); w(x)) = (� _u0(x); w(x)). De aqu�� vienen las ecuaciones Md0 = F 0 y M _d0 = _F 0 que hayque resolver. d0 no es el vecor con el desplazamiento inicial de la barra en los nudos, sino el vectorcon el valor en los nudos de la �-proyecci�on de u0 sobre V h (y algo an�alogo para _d0).

� 1.3. Dar condiciones que garanticen que una transformaci�on x = �(�) es inyectiva en un conjun-to compacto K. >En qu�e condiciones es inyectiva la transformaci�on para construir un cuadril�ateroisoparam�etrico bilineal?


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Ejercicio 2. (1.5 ptos.) Se consideran las ecuaciones normales correspondientes al sistema Ax = bdonde A 2 Rm�n.

� 1. Estudiar la existencia e unicidad de soluci�on a dichas ecuaciones normales.� 2. >Presenta su resoluci�on alg�un problema pr�actico? Describir el procedimiento pr�actico para resolvernum�ericamente un problema de m��nimos cuadrados (estudiar s�olo el caso en que m > n y rg(A) = n)


Ejercicio 3. (1.5 ptos.) Sea el problema

�div (�(x)ru(x)) = f(x); x 2 (P)

�(x)ru(x) � n(x) + �(x)u(x) = s(x); x 2 @

donde f , h; � y � son funciones de clase 1 y � y � son positivas. Suponer que existe soluci�on al problema(P) anterior y tambi�en a su problema d�ebil asociado (D).

� 1. Estudiar, demostr�andolo con todo rigor, si la soluci�on a (D) es �unica o pueden existir m�as soluciones.� 2. Razonar si la soluci�on al problema (P) es �unica.

Soluci�on: El problema d�ebil est�a planteado en el espacio

V � = C1t (�)

y la forma bilineal correspondiente es

a(v; w) =

Z�rvTrwdx+

Z@�vwds

Sabemos que si a(�; �) es de�nida positiva entonces la soluci�on v al problema d�ebil, de existir, es �unica.Por ello estudiemos el car�acter de a(�; �). Para todo v 2 V �

a(v; v) =

Z� krvk2 dx+

Z@�v2ds � 0

Supongamos ahora que a(v; v) = 0. TantoR � krvk

2 dx comoR@ �v

2ds son no negativos, luego debe

serR � krvk

2 dx = 0 yR@ �v

2ds = 0. De la primera integral se tiene, dividiendo en suma de integrales

extendidas a los distintos trozos i y usando que � es positiva y que � krvk2 es continua en cada trozo,que debe ser v = Ci = cte en cada i. Como v es continua en todas las constantes anteriores soniguales y por ello debe ser v = C en (i) De

R@ �v

2ds se deduce, usando que � > 0 y que �v2 escontinua en @, que v = 0 en @. Ahora usando (i) y el hecho de que v es continua en �, se tiene quev = 0 en , con lo que a(�; �) es de�nida positiva, y por ello la soluci�on al problema d�ebil es �unica.En cuanto al problema fuerte (P), la soluci�on al mismo debe ser �unica, pues todas las soluciones delproblema fuerte son soluciones del d�ebil y ya hemos probado que la soluci�on del d�ebil es �unica.

Ejercicio 4. (1.5 ptos.) Sea s(x) un polinomio a trozos, donde los trozos corresponden a los intervalos[�1; 0] y [0; 1]. Se sabe que los polinomios en cada intervalo son los de menor grado posible tales que secumple:

� (a) s 2 C1[�1; 1]

40

� (b) s(x) interpola a la funci�on f(x) = xex hasta orden dos en x = 1

Se pide: calcular s(�1).

Soluci�on: Sean s1(x) y s2(x) los polinomios en los intervalos [�1; 0] y [0; 1] respectivamente. Claramentes2(x) es el polinomio de Taylor de grado 2 de f(x) en x = 1, es decir,

s2(x) = f(1) + f 0(1)(x� 1) + f 00(1)

2(x� 1)2

Como s(x) es de clase 1, s1(x) debe coincidir hasta orden 1 con s2(x) en x = 0, es decir, s1(0) = s2(0),s01(0) = s02(0). Por tanto s1(x) ser�a una recta de ecuaciones

s1(x) = s2(0) + s02(0)x

y por tanto

s(�1) = s1(�1) = s2(0)� s02(0) =�f(1)� f 0(1) + 1

2f 00(1)

��f 0(1)� f 00(1)

�=

= f(1)� 2f 0(1) + 32f 00(1)

Como f 0(x) = (x+ 1)ex, f 00(x) = (x+ 2)ex se obtiene

s(�1) = 3e=2

Ejercicio 5. (1 pto) Deducir la expresi�on de la f�ormula de Newton-Cotes para el intervalo [�1; 1] con 4puntos. Como aplicaci�on, escribe la expresi�on por la que se calcular��a de forma aproximada la integralR 93 e

x2dx utilizando la f�ormula anterior.

Soluci�on: En las f�ormulas de Newton-Cotes los nudos est�an equiespaciados, con lo que �estos ser�an�1;�1=3; 1=3; 1. Por ello Z 1

�1f � �1f(�1) + �2f(�1=3) + �3f(1=3) + �4f(1)

Por la simetr��a del problema �4 = �1 y �3 = �2 es decirZ 1

�1f � �1f(�1) + �2f(�1=3) + �2f(1=3) + �1f(1)

La f�ormula tiene precisi�on 3. Imponiendo que sea exacta para las funciones 1, x, x2 y x3 se obtiene

1 : 2 = 2�1 + 2�2

x : 0 = 0

x2 : 2=3 = 2�1 + 2=9�2

x3 : 0 = 0

cuya soluci�on es �1 = 1=4, �2 = 3=4. Es decirZ 1

�1f � 1

4f(�1) + 3

4f(�1=3) + 3

4f(1=3) +

1

4f(1)

41

Para calcularR 93 e

x2dx hacemos una cambio af��n x = �(y) que transforme el [3; 9] (para las x) en el[�1; 1] (para las y), es decir, x = �(y) = 3y + 6. EntoncesZ 9

3ex

2dx =

Z 1

�1e�(y)

2�0(y)dy = 3

Z 1

�1e�(y)

2dy � 3

�1

4e�(�1)

2+3

4e�(�1=3)

2+3

4e�(1=3)

2+1

4e�(1)

2

�=

= 3

�1

4e9 +

3

4e25 +

3

4e49 +

1

4e81�

Ejercicio 6. MEF para una placa plana. (3 ptos) Se considera el siguiente problema de una placasometida a un estado de tensi�on plana.

2Xj=1

@�ij(x)

@xj+ fi(x) = 0 ; i = 1; 2 x 2

u(x) = g(x) ; x 2 �1T (x)n(x) = t(x) ; x 2 �2

donde T = T (x) denota la matriz de tensiones. Se sabe que el problema d�ebil reformulado es: encontrarv = (v1; v2) 2 V � tal que para todo w = (w1; w2) 2 V � se cumpla

a(v; w) = L(w)

donde V � es un cierto espacio de funciones y

a(v; w) :=

Z�(v) � "(w)dx

L(w) :=

Z�2

t � wds+Zf � wdx�

Z�(r) � "(w)dx

donde r es una funci�on que veri�ca las condiciones esenciales.

1. (0.5 ptos.) Enunciar la condici�on que se tiene que cumplir para que la forma bilineal sim�etrica a(�; �)sea de�nida positiva en V �.

2. (2.5 ptos.) A continuaci�on se pretende que el alumno desarrolle algunos pasos de la aplicaci�on delMEF al problema anterior.

� 2.1. Explicar de forma muy concisa c�omo se construye un subespacio V h de dimension �nita de V � yuna base del mismo.

� 2.2. Partiendo del problema de Galerkin obtener, llevando a cabo la deducci�on, el sistema de ecuacionesque se debe resolver y la expresi�on de las componentes de la matriz K y el vector F , dejando clarocu�ales son las inc�ognitas y cu�al es el procedimiento para numerar ecuaciones e inc�ognitas. No espreciso dividir en elementos.

� 2.3. Desarrollar las expresiones obtenidas en el apartado anterior para mostrar que se pueden obtenera partir de unas ciertas matrices 2� 2 y vectores 2� 1 asociados (que denotamos con super��ndice ^).Nota: se debe trabajar con la funci�on rh. No es preciso dividir en elementos.


42





Ejercicio 1. MEF para una placa plana. (2.5 ptos) Se considera el siguiente problema de una placasometida a un estado de tensi�on plana.

2Xj=1

@�ij(x)

@xj+ fi(x) = 0 ; i = 1; 2 x 2

u(x) = g(x) ; x 2 �1T (x)n(x) = t(x) ; x 2 �2


1.1. (0.5 ptos.) Al aplicar el MEF, en la pr�actica se ensamblan primero unas matrices y vectores am-pliados �K y �F de dimensi�on 2n (siendo n el n�umero total de nudos). Escribir las expresiones integrales"por bloques"(que denotamos keij y

�fei ) que proporcionan las contribuciones del elemento e a�K y �F

respectivamente.

1.2. (1 pto.) Explicar c�omo se calcula keij en la pr�actica. Escribir la expresi�on �nal que hay que programar

para calcular la matriz .auxiliar"que se usa en el c�alculo de keij .

1.3. (1 pto.) Suponer que en el elemento e s�olo hay un lado, el segmento PQ, que pertenece a �2.Escribir la expresi�on �nal que hay que programar para calcular �fei .

Notas:



B =

264 @@x1

0

0 @@x2

@@x2

@@x1



D =

24 ��+ 2� �� 0�� + 2� 00 0 �

3543

� b. Las f�ormulas de cuadratura que se utilizar�an sonZ 1

�;1f �

lX�=1

S�f(c�) ;

Ze

g �kX�=1

W�g(��)


Ejercicio 2. (4 puntos) Consid�erese el problema de la barra axial din�amica sin amortiguamiento. Parasimpli�car el problema, no se contempla el caso general en cuanto a tipo de condiciones de frontera,sino que se supondr�a que en el extremo de la izquierda hay condiciones de Neumann (y la fuerza endicho extremo se especi�ca como caso particular de fuerza puntual) y en el extremo de la derecha lascondiciones son de Dirichlet.

� Sup�ongase que se ha ejecutado la primera parte del programa y que se dispone de �M (Mb), �K (Kb),M (M), K (K), �d0 (dob), �d�0 (dprim0b), d0 (do) y d�0 (dprim0).

� El paso de tiempo es h y se quieren calcular desplazamientos y velocidades hasta el tiempo T = hq(es decir, se dan q pasos). Por ello los tiempos discretos tj son [0; t1; t2; :::; tq] 2 Rq+1 donde tj = hj.

� Se pide:Escribir un conjunto de instrucciones de Matlab que calculen las matrices unud y velnud, de dimen-siones n� (q+1) donde n es el n�umero total de nudos, forma que la columna j+1 de unud contengalos desplazamientos �d(tj) es decir

unud =[ �d0 j �d(t1) j �d(t2) j � � � j �d(tq)] 2 Rn�(q+1)

y an�alogamente para velnud con las velocidades.

� Nota:� Se pueden usar todas las variables y function-�les de entrada al programa de la barra axial,adem�as de elem y nudos.

� En todos los elementos se utiliza la misma f�ormula de cuadratura. Los nudos �� de integraci�onen el intervalo est�andar est�an contenidos en el vector �la psint, mientras que los coe�cientes parala integraci�on est�an contenidos en el vector �la coe�nt.

� Se recuerda que las ecuaciones que se utilizan para avanzar en el tiempo en el m�etodo de Crank-Nicholson sin amortiguamiento son�

M +h2

4K

�_dj+1 = �hKdj +

�M � h2

4K

�_dj +

h

2

�F j+1 + F j

�dj+1 = dj +

h

2_dj +

h

2_dj+1

� Los sistemas deben resolverse de manera e�caz en cuanto al n�umero de operaciones realizadas.

44



APELLIDOS Y NOMBRE:.....................................................................................N�umero de matr��cula: ..............................................................................................


� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)

�= f(x); x 2 (0; 1)

u(0) = u0; u(1) = u1

� 3.1. (1 pto) Consid�erense los siguientes datos de entrada:� malla=[0 0.3 0.58 0.7 0.9 0.95 1] donde los 2 primeros elementos son lineales, los dos siguientescuadr�aticos y los dos �ultimos c�ubicos.

� u0 = �1;3 � 10�3, u1 = 0;67 � 10�3� Hay dos fuerzas puntuales, una en x = 0;55 con magnitud 3;5 � 106 y otra en x = 0;43 conmagnitud �1;5 � 106.

� A(x) = cte = 1, E(x) = 109�2;5� x2

�y f(x) = 2;7 � 107

�x� 1

2

�2� Para integrar se utiliza integraci�on gaussiana con 3 nudos.


K67 = �1;5855e+ 011 ; F3 = 4;3891e+ 004 ; �(0;83) = 2;7532e+ 006

� 3.2. (0.5 ptos.) Mismos datos que en 3.1. Sea B la matriz resultante de calcular la ra��z cuadrada delvalor absoluto de los elementos de la matriz K. Calcular la suma de todos los elementos de la matrizB.

� Soluci�on:suma = 1;2038e+ 007

� 3.3. (1 pto.) Mismos datos que en 3.1. Sea A la matriz resultante de eliminar las columnas 1, 3 y 5de K. Sea b el vector resultante de hacer cero las posiciones de F que sean menores que 105. Hallarla norma 1 de la soluci�on �x por m��nimos cuadrados al sistema Ax = b.

� Soluci�on:k�xk1 = 3;6438e� 003

� 3.4. (1 pto.) Se consideran los mismos datos que en 3.1, pero la condici�on de contorno en el extremoa pasa a ser

2;1 � 109u(a)�A(a)E(a)u0(a) = 3;5 � 106

Hallar las componentes (1; 1) y (2; 2) de la matriz de rigidez

� Soluci�on:K11 = 1;8547e+ 010 ; K22 = 4;9680e+ 010

45

6. Septiembre 2008





Ejercicio 1. (2 ptos.) Responder de forma concisa a las siguientes preguntas:

� 1.1. >Qu�e inconveniente tiene resolver un sistema lineal de ecuaciones utilizando el algoritmo b�asicode factorizaci�on LU de la matriz? >C�omo se puede corregir esto?

Soluci�on: Posibilidad de que un pivote sea cero (aunque esto es improbable) y, sobre todo, que sise pivota sobre un elemento peque~no en valor absoluto el algoritmo puede ser inestable. Se corrigeincorporando pivoteo en el algoritmo. Ver apuntes de teor��a.

� 1.2. Def��nase el concepto de radio espectral de una matriz cuadrada. Describe un criterio adecuadopara determinar si una matriz cuadrada est�a cerca de la singularidad.

Soluci�on: ver apuntes teor��a.

� 1.3. Razonar si es posible construir un elemento cuadril�atero bidimensional utilizando funciones bilin-eales. Razonar si es posible aplicar el MEF al problema de la conducci�on del calor en dos dimensionesespaciales utilizando una malla de cuadril�ateros bilineales.

Soluci�on: la primera pregunta tiene respuesta a�rmativa. La segunda tiene respuesta negativa, puesno se garantizar��a la continuidad interelementos (a menos que los cuadril�ateros sean rect�angulos conlados paralelos a los ejes). Ver apuntes de teor��a.

� 1.4. Consid�erese el problema de la barra axial est�atica con condiciones de Dirichlet homog�eneas.Primero (caso A) el problema se resuelve mediante el MEF utilizando una malla de polinomios c�ubicosy como grados de libertad se toman 4 nudos equiespaciados en cada elemento. Posteriormente (caso B)el problema se resuelve mediante el MEF utilizando la misma malla y considerando en cada elementopolinomios c�ubicos, pero como grados de libertad se toman los de Hermite. Estudiar razonadamentesi K, F , �d y uh ser��an o no los mismos en los dos casos.

Soluci�on: puesto que las condiciones de frontera son de Dirichlet homog�eneas, uh = vh. Puesto queel mallado es el mismo y el espacio sobre cada elemento es el mismo en los dos casos se sigue que V h

es el mismo en los dos casos. Como vh es la proyecci�on ortogonal de v sobre V h con el a-productoescalar se tiene que vh debe ser la misma en los dos casos. Sin embargo como los grados de libertadson distintos en cada caso tambi�en lo ser�an las funciones de forma y por ello K, F y �d ser�an distintos.Dicho de otro modo, KA 6= KB, FA 6= FB, �dA 6= �dB pero

uhA =XI2�A

�dAI NAI = uhB =

XI2�B

�dBI NBI

46

� 1.5. Enum�erense y expl��quense brevemente todas las ventajas pr�acticas del MEF frente a otros m�etodosde Galerkin.

Soluci�on: Ver apuntes de teor��a. El MEF utiliza polinomios a trozos y las funciones de base son nonulas s�olo en un "peque~no n�umero"de elementos. Como consecuencia (a) las funciones que se usanson c�omodas (son polinomios), (b) la matriz de rigidez y el vector de fuerza puede ser ensambladosintegrando elemento a elemento y (c) la matriz de rigidez tiene un gran n�umero de ceros, lo quefacilita su almacenaje y la resoluci�on del sistema lineal Kd = F (o, en el caso din�amico, el sistema deEDOs)

Ejercicio 2. (1 pto.) Al aplicar el m�etodo de Crank-Nicholson al sistema de EDOs resultante del m�etodode Galerkin, se obtienen en primera instancia las ecuaciones

dj+1 � h

2_dj+1 = dj +

h

2_dj

h

2M�1Kdj+1 +

�I +

h

2M�1C

�_dj+1 = �h

2M�1Kdj +

�I � h

2M�1C

�_dj +

h

2M�1 �F j+1 + F j�

Comentar las razones por las que estas ecuaciones no se utilizan en esta forma y obtener las ecuacionesque se utilizan en la pr�actica.

Soluci�on: ver apuntes teor��a

Ejercicio 3. (1.5. ptos) Se resuelve el problema de la transmisi�on de calor por conducci�on

(F): � div (�gradu) = f ; x 2 u = g ; x 2 �D

(�gradu) � n = h ; x 2 �N� (�gradu) � n = � (u� ugas) ; x 2 �R

mediante el MEF utilizando la placa de la �gura

donde se especi�can condiciones de Dirichlet en los segmentos 15; 57 y 78, condiciones de Robin en elsegmento 12 y condiciones de Neumann en el resto de los segmentos de la frontera. A efectos del MEF,se considera que en los nudos 1; 5; 7 y 8 hay condiciones de Dirichlet, en el nudo 2 hay condiciones deRobin y en los nudos 3; 4; 6 y 9 hay condiciones de Neumann. Se pide:

47

� a) Expresi�on de K34 y F4 en funci�on de los keij y los

�fei , donde los�fei contemplan la contribuci�on

al vector de fuerzas de las fuentes de calor distribuidas, de las condiciones de Neumann y de lascondiciones de Robin. (NOTA: i y j se re�eren a la numeraci�on local)

� b) >Qu�e elementos de K son nulos?

Soluci�on:

� K34 = k313 + k413

� F4 = �f41 +�f63 +

�f33 +�f52 � k512g(x5)� k323g(x5)� k523g(x7)� k613g(x7)

� Son nulos los elementos de K correspondientes a los nudos no esenciales que no forman parte de unmismo elemento, es decir, K14; K15; K24; K25 y sus respectivos sim�etricos, K41; K51; K42; K52

Ejercicio 4. (1.5 ptos) Se considera el elemento e correspondiente al intervalo [�1; 1], los polinomiosP3 con grados de libertad funci�on en los extremos del intervalo y funci�on y derivada en el punto medio.Calcular la suma de las funciones de base del elemento, simpli�cando al m�aximo el resultado.

Sugerencia: es posible resolver el problema sin calcular todas las funciones de base.

Soluci�on: Denotemos mediante N�1(x); N1(x); N0(x) y N00(x) a las funciones de base del elemento. Sedebe calcular

S(x) := N�1(x) +N1(x) +N0(x) +N00(x)

Sabemos que si p 2 P3 entonces

p(x) = p(�1)N�1(x) + p(1)N1(x) + p(0)N0(x) + p0(0)N00(x)

Particularizando la expresi�on anterior para p(x) = 1 se obtiene

1 = N�1(x) +N1(x) +N0(x)

por lo queS(x) = 1 +N00(x)

y s�olo es preciso calcular N00(x), que debe tener la forma

N00(x) = �x(x+ 1)(x� 1) = �(x3 � x)

Imponiendo que N 000(0) = 1 se obtiene � = �1 y por ello N00(x) = x� x3 y

S(x) = 1 + x� x3

Ejercicio 5. (2.5 ptos.) Consid�erese el problema

u00(x) + f(x) = 0 ; x 2 (�1; 1)u(�1) = 0 ; u0(1) = ��

donde f(x) es una cierta funci�on. Se sabe que la soluci�on de esta EDO es u(x) =sen(�x). Sup�ongaseque para resolver de manera aproximada la EDO se aplica el m�etodo de Galerkin, tomando V h =L�x2 + x; x+ 1

. Se pide calcular la soluci�on uh al problema de Galerkin, explicando el procedimiento

seguido.

Soluci�on: En primer lugar observamos que V h cumple las condiciones exigidas para aplicar el m�etodode Galerkin (subespacio de dimensi�on �nita [en este caso 2] del espacio V de las funciones de clase

48

1 a trozos en [�1; 1] que se anulan en x = �1). Como las condiciones esenciales son homog�eneas nohace falta introducir la funci�on r(x) y por lo tanto uh(x) = vh(x) ser�a la proyecci�on ortogonal de u(x)sobre V h con el producto escalar h�; �ia de�nido por la forma a(�; �) correspondiente al problema d�ebil.Por tanto nuestro problema se reduce a calcular dicha proyecci�on ortogonal. En este caso a(u; v) =R 1�1 u

0(x)v0(x)dx. Puesto que uh 2 V h debe ser uh(x) = �(x2+x)+� (x+ 1) e imponiendo la condici�on

de que u� uh sea ortogonal a las funciones de la base�x2 + x; x+ 1

de V h se obtiene el sistema�

x2 + x; x2 + x�a

x2 + x; x+ 1

�a

x2 + x; x+ 1�a

hx+ 1; x+ 1ia

��

�=

� u; x2 + x

�a

hu; x+ 1ia

�Usando que la integral de una funci�on impar en un intervalo sim�etrico respecto del origen es nula, seobtiene

x2 + x; x2 + x�a=

Z 1

�1(2x+ 1)2 dx =

Z 1

�1

�4x2 + 4x+ 1

�dx = 8

Z 1

0x2dx+ 2 = 8=3 + 2 =

14

3x2 + x; x+ 1

�a=

Z 1

�1(2x+ 1) dx = 2

hx+ 1; x+ 1ia =Z 1

�11dx = 2

Por otro ladou; x2 + x

�a= �

Z 1

�1(2x+ 1) cos (�x) dx = 2�

Z 1

�1x cos (�x) dx+ �

Z 1

�1cos (�x) dx = 0 + 0 = 0

hu; x+ 1ia = �

Z 1

�1cos (�x) dx = 0

con lo que se obtiene el sistema �143 22 2

��

�=

�00

�cuya soluci�on es claramente la soluci�on trivial, � = 0, � = 0. Por tanto,

uh(x) = 0

Obs�ervese que aunque pueda parecer extra~no, en este caso particular la proyecci�on ortogonal de lasoluci�on u sobre V h es la funci�on nula.

�

Ejercicio 6 (1.5 ptos.) Consid�erese el problema

u00(x) + f(x) = 0; x 2 (a; b)u(a) + u0(a) = 1

u(b)� u0(b) = 2

donde f es una funci�on continua y 1 y 2 son constantes reales. Se pide:

� 6.1. Obtener el problema d�ebil (en la forma en que s�olo aparece el espacio de test)� 6.2. Estudiar con todo rigor el car�acter de la forma bilineal sim�etrica a(�; �) en funci�on de los valoresde 1 y 2.

49

� 6.3. Idem de 1 y 2 si las condiciones de contorno son

u(a)� u0(a) = 1

u(b) + u0(b) = 2

Soluci�on: 1. Multiplicando por una funci�on de test e integrando por partes se obtiene

�Z b

au0w0 + u0(b)w(b)� u0(a)w(a) +

Z b

afw = 0

y despejando en las condiciones de contorno el valor de u0(a) y u0(b) se tiene el siguiente problema:Encontrar v 2 V tal que para todo w 2 V se cumpla

a(v; w) = L(w)

donde

a(v; w) =

Z b

av0w0 � v(a)w(a)� v(b)w(b)

L(w) =

Z b

afw � 2w(b)� 1w(a)

V = C1t [a; b]

2. Puesto que

a(v; v) =

Z b

a

�v0�2 � v(a)2 � v(b)2

(que no depende de 1 y 2) se tiene que la forma bilineal a(�; �) es inde�nida para todo valor de 1 y 2: En efecto, si se toma una funci�on v 2 C1t [a; b] no constante y que se anule en a y en b (por ejemplouna par�abola que se anule en a y b) se obtiene a(v; v) =

R ba (v

0)2 > 0. Pero si se toma por ejemplov = cte 6= 0 entonces a(v; v) = �2cte2 < 0, con lo que en efecto la forma bilineal es inde�nida.3. En este caso

a(v; w) =

Z b

av0w0 + v(a)w(a) + v(b)w(b)

L(w) =

Z b

afw + 2w(b) + 1w(a)

V = C1t [a; b]

con lo que a(�; �) es de�nida positiva para todo valor de 1 y 2.

a(v; v) =

Z b

a

�v0�2+ v(a)2 + v(b)2

En efecto, claramente es a(v; v) � 0 para todo v 2 C1t [a; b] con lo que la forma es al menos semide�nidapositiva. Ahora, si para alg�un v 2 C1t [a; b] es a(v; v) = 0 entonces forzosamente debe ser

R ba (v

0)2 =

v(a) = v(b) = 0. Al serR ba (v

0)2 = 0 se obtiene (dividiendo la integral en suma de integrales sobreintervalos en los que la funci�on es C1, usando continuidad de la derivada en cada intervalo, la nonegatividad de la funci�on subintegral y la continuidad de la funci�on en [a; b]) que v = cte. Como porotro lado sabemos que v(a) = v(b) = 0 se sigue que v = 0 en [a; b] y por ello la forma a(�; �) esde�nida positiva.

50





Ejercicio 1. (2 ptos.) Programar un function �le z=newtonescalar(fun,derfun,x0,eps) para el m�etodode Newton en una ecuaci�on escalar. \z" es el valor al que converge el m�etodo, \fun" y \derfun" sonm-�les correspondientes a f y a su derivada, y x0 es la estimaci�on inicial. Las iteraciones deben pararcuando la la distancia entre dos iteraciones sea menor que eps.

Ejercicio 2. (4.5 ptos.) Consid�erese el problema de la barra axial din�amica sin amortiguamiento. Parasimpli�car el problema, no se contempla el caso general en cuanto al tipo de las condiciones de frontera,sino que se supondr�a que en el extremo de la izquierda hay condiciones de Neumann (y la fuerza endicho extremo se especi�ca como caso particular de fuerza puntual) y en el extremo de la derecha lascondiciones son de Dirichlet.

� 2.1. (3 ptos.)Sup�ongase que ya se ha ejecutado la primera parte del programa y que se dispone de �M(Mb), �K (Kb), M (M), K (K), �d0 (dob), �d�0 (dprim0b), d0 (do) y d�0 (dprim0). Adem�as, sup�ongaseque en el instante de tiempo tj (tj) se han calculado y ensamblado las contribuciones de las fuerzasdistribuidas al vector �F (tj) (Fbarratj).

Escribir un conjunto de instrucciones que calcule F j (Ftj ).

� 2.2. (1.5 pto.) Sup�ongase que se han obtenido los vectores �dj y �d�j (dbarratj y dpuntobarratj) corre-spondiente al instante tj. Escribir un conjunto de instrucciones que calculen los vectores tensxdatostjy velocxdatostj con el valor de la velocidad y la tensi�on en los puntos de xdatos en el instante tj .

� Nota:� Se pueden usar todas las variables y function-�les de entrada al programa de la barra axialdin�amica adem�as de CON y nudos.

� Los nudos �� de integraci�on en el intervalo est�andar est�an contenidos en el vector �la psint,mientras que los coe�cientes para la integraci�on est�an contenidos en el vector �la coe�nt.

51





� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)

�= f(x); x 2 (0; 1)

u(0) = u0; u(1) = u1

� 3.1. (1 pto) Consid�erense los siguientes datos de entrada:� malla=[0 0.3 0.58 0.7 0.9 0.95 1] donde los 2 primeros elementos son cuadr�aticos, los dos siguienteslineales y los dos �ultimos c�ubicos.

� u0 = 1;24 � 10�3, u1 = �0;63 � 10�3

� Hay dos fuerzas puntuales, una en x = 0;53 con magnitud �4;5 � 106 y otra en x = 0;4 conmagnitud 1;5 � 106.

� A(x) = cte = 1, E(x) = 109�2;1� x2

�y f(x) = 3;1 � 107

�x� 1

2

�2� Para integrar se utiliza integraci�on gaussiana con 3 nudos.


K67 = �1;2075e+ 011 ; F3 = �1;2192e+ 006 ; �(0;86) = �1;7650e+ 006

� 3.2. (0.5 ptos.) Mismos datos que en 3.1. Sea B la matriz resultante de calcular el seno del valorabsoluto de los elementos de la matriz K. Calcular la suma de todos los elementos de la matriz B.

� Soluci�on:suma = 4;5662

� 3.3. (1 pto.) Mismos datos que en 3.1. Sea A la matriz resultante de eliminar las columnas 3, 5 y 9de K. Sea b el vector resultante de hacer cero las posiciones de F que sean menores que 105. Hallarla norma 1 de la soluci�on �x por m��nimos cuadrados al sistema Ax = b.

� Soluci�on:k�xk1 = 1;7527e� 003

� 3.4. (1 pto.) Se consideran los mismos datos que en 3.1, pero la condici�on de contorno en el extremox = 0 pasa a ser

2;3 � 109u(0)�A(0)E(0)u0(0) = 3;7 � 106

Hallar las componentes (1; 1) y (2; 2) de la matriz de rigidez.

52

� Soluci�on: en este caso a(v; w) =R 10 EAv

0w0+2;3�109v(0)w(0) yK tendr�a dimensiones 12�12 puesel desplazamiento en x = 0 es ahora inc�ognita. EntoncesK11 = a(N1; N1) =

R 10 EA (N

01)2+2;3�109

y K22 = a(N2; N2) =R 10 EA (N

02)2 : Podemos hallar

R 10 EA (N

01)2 y

R 10 EA (N

02)2calculando K

como si en x = 0 hubiese una condici�on de Neumann, obteniendo 1.6273e+010 y 3;6693e+ 010.Por ello K11 =1.6273e+010+2;3 � 109 =1.8573e+010 y K22 = 3;6693e+ 010.

K11 = 1;8573e+ 010 ; K22 = 3;6693e+ 010

53

7. Febrero 2009





Ejercicio 1. (1.5 ptos.) Responder de forma concisa y precisa a las siguientes cuestiones:

� 1.1. Explicar c�omo se calculan en la pr�actica la inversa y el determinante de una matriz cuadrada.� 1.2. >Cu�al es la forma m�as e�ciente de saber si una matriz sim�etrica es de�nida positiva?� 1.3. Se considera el problema de la transmisi�on del calor por conducci�on en una placa en cuya fronterase especi�ca la temperatura. A dicho problema se le aplica el MEF. Razonar si las �las de K sumano no cero.

� 1.4. Diferencias fundamentales entre las f�ormulas de cuadratura de Newton-Cotes y las de integraci�ongaussiana.

Soluci�on: 1.3. Sabemos que en el caso del enunciado K es de�nida positiva y por ello regular. Por ello,sus �las no pueden sumar cero, ya que si lo hicieran K ser��a singular (como se vio en clase).

Resto de las preguntas, ver apuntes asignatura.

Ejercicio 2. (2.5 ptos.) Se considera el tri�angulo T de v�ertices 1 � (0; 0), 2 � (3; 0) y 3 � (1; 1).

� 2.1. (0.5 ptos.) Calcular la expresi�on de las coordenadas naturales del tri�angulo T en funci�on de x ey: Nota: el �area de un tri�angulo de v�ertices (x1; y1), (x2; y2) y (x3; y3) se puede calcular mediante

1

2

��1 x1 y11 x2 y21 x3 y3

�� 2.2. (0.5 ptos.) Se considera el elemento tri�angulo c�ubico correspondiente al tri�angulo T . Dibujar losnudos del mismo y calcular la funci�on de base del nudo 5 (como funci�on de x e y)

54

� 2.3. (1.5 ptos.) Se considera el problema de la elastost�atica en la placa de la �gura, en la que lostri�angulos son lineales y los cuadril�ateros bilineales isoparam�etricos

Sabiendo que al resolver Kd = F se obtiene el vector d = 10�3 (1;�1; 2; 0;�1; 3;�2; 1)T y que eldesplazamiento en el lado 15 est�a dado por g(x; y) = 10�3 (2 + xy; 3� x)T (x; y) 2 lado 15, y que enel resto de la frontera se tiene un esfuerzo normal a la frontera y de compresi�on con magnitud 3 � 106,se pide calcular uh(1; 1=2) y 2"h12(1; 1=2) (deformaci�on angular).

Soluci�on: 2.1. Usando la de�nici�on de las coordenadas naturales

r =1

3(3� x� 2y)

s =1

3(x� y)

t = 1� r � s = y

2.2. Ver apuntes para el dibujo

N5 =9

2sr (3s� 1) = 1

2(x� y) (3� x� 2y) (x� y � 1)

2.3. El punto (1; 1=2) pertenece al elemento 1, que resulta ser el tri�angulo T del primer apartado.Como es un tri�angulo lineal, las funciones de base ser�an

N1(x; y) = r =1

3(3� x� 2y)

N2(x; y) = s =1

3(x� y)

N3(x; y) = t = y

55

donde se est�a utilizando numeraci�on local, es decir,

num. local num. global1 52 63 3

El desplazamiento en los nudos de este elemento (usando la numeraci�on local) es

d1 = 10�3(2; 3)T se obtiene de la ecuaci�on de g haciendo x = y = 0

d2 = 10�3(�2; 1)T se obtiene de la expresi�on de d

d3 = 10�3(2; 0)T se obtiene de la expresi�on de d

Por ello

uh(1; 1=2) = N1(1; 1=2)d1 +N2(1; 1=2)d2 +N3(1; 1=2)d3 =

=1

310�3(2; 3)T +

1

610�3(�2; 1)T + 1

210�3(2; 0)T = 10�3

�4

3;7

6

�TVeamos

Bi(x; y) =

264@Ni@x 0

0 @Ni@y

@Ni@y

@Ni@x

375y por ello

"h(1; 1=2) = B1(1; 1=2)d1 +B2(1; 1=2)d2 +B3(1; 1=2)d3 =

= 10�3

24 �13 00 �2

3�23 �1

3

35� 23

�+ 10�3

24 13 00 �1

3�13

13

35� �21

�+ 10�3

24 0 00 01 0

35� 20

�Como " = ("11; "22; 2"12)

T s�olo nos interesa la tercera componente. Por ello

2"h12 = 10�3 � �2

3 �13

� � 23

�+ 10�3

��13

13

� � �21

�+ 10�3

�1 0

� � 20

�=2

310�3

Ejercicio 3. De exi�on de una membrana. (3 ptos.) Sea � R2 un abierto acotado medible Jordancon frontera C1 a trozos. Se tiene una membrana uniforme con densidad super�cial �(x) > 0 estirada contensi�on T (x) > 0, donde x = (x1; x2); sobre . Sobre la membrana act�ua una presi�on transversal p(x; t)y una fuerza puntual en el punto z 2 con intensidad (t): Sea u(x; t) la de exi�on de la membrana. Lamembrana se apoya en un medio el�astico con constante el�astica �(x) > 0. Al imponer unas determinadascondiciones de contorno e iniciales, el problema es:

div(Trxu(x; t))� �(x)u(x; t) + p(x) + �z(x) (t) = �@2u

@t2(x; t) , (x; t) 2 � (0; T )

u = g , x 2 �1; t 2 (0; T )

Tdu

dn= h , x 2 �2; t 2 (0; T )

Tdu

dn+ u = c ; x 2 �3; t 2 (0; T )

u(x; 0) = u0(x), x 2 @u

@t(x; 0) = _u0(x), x 2

56

donde @ = �1 [ �2 [ �3, g, h y c son funciones de (x; t) y es una funci�on positiva de x. Se pide:

� 3.1. (1.25 ptos.) Plantear el problema d�ebil en la forma en la que s�olo interviene el espacio de test.Nota: no hace falta especi�car los pasos de la deducci�on

� 3.2. (1.75 ptos) Suponiendo que se aplica el MEF con una malla en la que � es el conjunto de los nudosy �1; �2 y �3 los nudos situados sobre �1;�2 y �3 respectivamente, y trabajando con la funci�on r

h,escribir la expresi�on del sistema de EDOs que se obtiene, especi�cando la expresi�on de las componentesde cada una de las matrices y vectores que aparecen. (Nota: no hace falta especi�car los pasos de ladeducci�on)

Soluci�on: Sea r(x; t) tal que r admite dos derivadas respecto de t continuas, tal que respecto de la variablex es C1t (

�) y tal que r(x; t) = g(x; t) en �1. Sea V =�w : ! R; w 2 C1t (�) t.q. w = 0 en �1

. Sea

v = u� r.El problema d�ebil es: Encontrar v(x; t) tal que u admite dos derivadas respecto de t continuas, tal que8t 2 [0; T ] v(�; t) 2 V y tal que para toda w 2 V y para todo t 2 [0; T ] se cumpleZ��vwdx+

ZTrxv � rwdx+

Z�vwdx+

Z�3

vwds =

Zpwdx+ (t)w(z) +

Z�2

hwds+

Z�3

cwds�

��Z��rwdx+

ZTrxr � rwdx+

Z�rwdx+

Z�3

rwds

�y adem�as se veri�can las condiciones iniciales

v(x; 0) = u0(x)� r(x; 0) , x 2 @v

@t(x; 0) = _u0(x)� _r(x; 0), x 2

El sistema de EDOs es:

M��d(t) +Kd(t) = F (t)

Md(0) = Y 0 ; M _d(0) = _Y 0

donde, si se hace P = ID(I), Q = ID(J) ; I; J 2 � � �1

MPQ =

Z�NINJdx ; I; J 2 � � �1

KPQ =

ZTrNI � rNJdx+

Z�NINJdx+

Z�3

NINJds ; I; J 2 � � �1

FP (t) =

ZpNIdx+ (t)NI(z) +

Z�2

hNIds+

Z�3

cNIds�

�XJ2�1

��Z�NINJdx

��u(xJ ; t) +

�ZTrNI � rNJdx+

Z�NINJdx+

Z�3

NINJds

�u(xJ ; t)

�; I 2 � � �1

Al plantear el problema de Galerkin las condiciones iniciales se modi�can y pasan a ser

(�v(x; 0); w) =��(u0(x)� rh(x; 0)); w

��@u

@t(x; 0); w

�=��( _u0(x)� _rh(x; 0)); w

�

57

de donde se obtiene

Y 0P =

Z�u0NIdx�

XJ2�1

�Z�NINJdx

�u(xJ ; 0) ; I 2 � � �1

_Y 0P =

Z� _u0NIdx�

XJ2�1

�Z�NINJdx

�_u(xJ ; 0) ; I 2 � � �1

Ejercicio 4 (1 pto.) Se considera el problema

� d

dx(A(x)E(x)

du

dx(x)) = f(x) para x 2 (a; b) (F)

u(a) = ua ; Cu(b) +A(b)E(b)u0(b) = �;

donde A;E 2 C1[a; b], f 2 C[a; b], y C y � son constantes con C > 0. Su problema d�ebil asociado es:(D) Encontrar u 2 S tal que para toda w 2 V se cumpla queZ b

aAEu0w0 + Cu(b)w(b) =

Z b

afw + �w(b)

donde

S =�w 2 C1t [a; b] : w(a) = ua

V =

�w 2 C1t [a; b] : w(a) = 0

Se pide: Demostrar con todo rigor que si u 2 C2[a; b] es soluci�on al problema d�ebil tambi�en es soluci�onal problema fuerte.

Soluci�on: Sea u soluci�on de (D). Debemos demostrar que � ddx(A(x)E(x)

dudx(x)) = f(x) para x 2 (a; b) y

que Cu(b)+A(b)E(b)u0(b) = �, pues la condici�on u(a) = ua se satisface autom�aticamente al pertenecer

u a S. En (D) deshacemos la integraci�on por partes (usando que u 2 C2[a; b] y por elloR ba (AEu

0)0wtiene sentido) obteniendo que

Para toda w 2 V ,Z b

a

h�AEu0

�0+ f

iw +

��

�E(b)A(b)u0(b) + Cu(b)

��w(b) = 0

Llamamos g := (AEu0)0 + f y � := � � (E(b)A(b)u0(b) + Cu(b)) y demostramos que g = 0 en (a; b) yque � = 0 usando los mismos razonamientos que en los apuntes de la asignatura.

Ejercicio 5. (2 ptos.) Explicar la teor��a del elemento cuadril�atero bilineal isoparam�etrico.

58





Ejercicio 1. (3.5 ptos.)

1.1. (2 ptos.) Escribir la expresi�on del m�etodo de Euler impl��cito para resolver problemas de valor inicialy aplicarlo al problema de la elastodin�amica

M��d(t) + C _d(t) +Kd(t) = F (t)

Md(0) = Y 0 ; M _d(0) = _Y 0

obteniendo unas ecuaciones "�optimas"desde el punto de vista de su resoluci�on.

1.2. (1.5 ptos) Sup�ongase que se conocen M , K; d0 (dcero), _d0 (dprimcero) y una matriz Facum en laque la columna j + 1 es el vector F (tj) desde j = 0 hasta j = 10 es decir, Facum =[F 0 j F 1 j � � � j F 10].Escribir unas instrucciones de Matlab que permitan avanzar en el tiempo desde t0 = 0 hasta t10 = 10hy que generen la matriz dacum = [d0 j d1 j � � � j d10], minimizando el n�umero de operaciones realizadas.Nota: Las ecuaciones diferenciales en el problema de la elastodin�amica se pueden escribir en la forma

d

dt

�d(t)_d(t)

�=

�0m�m Im�M�1K �M�1C

��d(t)_d(t)

�+

�0m�1

M�1F (t)

�

Soluci�on. El m�etodo de Euler impl��cito tiene ecuaciones yj+1 = yj + hf(tj+1; yj+1) y en el caso de unproblema lineal _z = Az + g se tiene

(I � hA) yj+1 = yj + hg(tj+1)

por lo que haciendo

yj =

�dj

_dj

��d(tj)_d(tj)

�se obtiene ��

Im 00 Im

�� h

�0m�m Im�M�1K �M�1C

��dj+1

_dj+1

�=

=

�dj

_dj

�+ h

�0m

M�1F j+1

�

59

o bien, separando en dos grupos de ecuaciones y multiplicando el segundo grupo por M para no tenerque evaluar M�1,

dj+1 � h _dj+1 = dj

hKdj+1 + (M + hC) _dj+1 = _dj + hF j+1

Si estos dos grupos de ecuaciones se escriben en forma conjunta se obtiene un sistema en el que la matrizdel mismo ni siquiera es sim�etrica. Para intentar simpli�car la resoluci�on de las mismas multiplicamosel primer grupo por �hK y se lo sumamos al segundo grupo. As�� se obtiene

dj+1 � h _dj+1 = dj

(M + hC + h2K) _dj+1 =M _dj � hKdj + hF j+1

en el que el segundo grupo de ecuaciones est�a desacoplado del primero (pues no hay t�ermino en dj+1) yadem�as la matriz de este segundo grupo B :=M + hC + h2K es de�nida positiva, con lo que se puedeutilizar Cholesky para su resoluci�on. Por ello se debe resolver

(M + hC + h2K) _dj+1 =M _dj � hKdj + hF j+1

y con el resultado calcular dj+1 mediante

dj+1 = dj + h _dj+1

Ejercicio 2. (3 ptos.) Consid�erese el problema de la barra axial din�amica. Escribir un conjunto deinstrucciones que calcule y ensamble �M y �F �0. Los nudos �� de integraci�on en el intervalo est�andarest�an contenidos en el vector �la psint, mientras que los coe�cientes para la integraci�on est�an contenidosen el vector �la coe�nt.

60





� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)

�= f(x); x 2 (0; 1)

u(0) = u0; u(1) = u1

� 3.1. (1 pto) Consid�erense los siguientes datos de entrada:� malla=[0 0.2 0.43 0.73 0.9 0.95 1] donde los 2 primeros elementos son cuadr�aticos, los dos siguientesc�ubicos y los dos �ultimos lineales.

� u0 = 1;31 � 10�3, u1 = �0;57 � 10�3

� Hay dos fuerzas puntuales, una en x = 0;25 con magnitud 2;1�106 y otra en x = 0;8 con magnitud�1;2 � 106.

� A(x) = cte = 1, E(x) = 109�2;4� x2 � sen(�x)

�y f(x) = 2;4 � 107

�x� 1

2

�� Para integrar se utiliza integraci�on gaussiana con 3 nudos.


K67 = �1;7324e+010 ; F3 = 7;4831e+005 ; F6 = 4;5900e+005 ; �(0;64) = �2;5053e+006

� 3.2. (0.5 ptos.) Mismos datos que en 3.1. Dar una estimaci�on (con una precisi�on de 0.01) del punto xde la barra en el que el desplazamiento es nulo.

� Soluci�on:x � 0;765

� 3.3. (1 pto.) Mismos datos que en 3.1. Sea A la matriz resultante de eliminar las columnas 3, 5 y 9de K. Sea b el vector resultante de hacer cero las posiciones de F cuyo valor absoluto sea menor que5 � 105. Hallar la norma 1 de la soluci�on �x por m��nimos cuadrados al sistema Ax = b.

� Soluci�on:k�xk1 = 2;2015e� 003

61

� 3.4. (1 pto.) Sup�ongase que el problema a resolver pasa a ser

� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)

�+ (x)u(x) = f(x); x 2 (0; 1)

u(0) = u0; u(1) = u1

donde (x) = 109�1;3 + x2

�y el resto de los datos son iguales a los del apartado 3.1. Se pide calcular

K56.

Soluci�on: A la K56 hallada en 3.1. hay que a~nadirle la componente (5; 6) de la matriz correspondienteal t�ermino Z

uwdx

en el problema d�ebil, que no es m�as que la matriz de masas calculada con densidad igual a . As�� seobtiene

K56 = (K56)apdo. 3.1. +M56 = �2;7498e+ 010 + 7;7829e+ 006 == �2;7490e+ 010

62

8. Junio 2009





Ejercicio 1. (2 ptos.) Responder de forma precisa y concisa a las siguientes cuestiones.

� 1.1. Sea el problema

�(x)c(x)@u

@t(x; t)� divx (�(x)gradxu(x; t)) = f(x; t) ; x 2 ; t > 0 (9)

u(x; t) = g(x; t) ; x 2 ; t > 0u(x; 0) = u0(x) ; x 2

donde �; c; �; f y u0 son funciones de clase 1 y �, c y � son positivas en . Sup�ongase que se aplicael m�etodo de Galerkin usando un subespacio V h. Sea vh(x; t) la soluci�on al problema de Galerkin. Sepide: escribir la condici�on inicial que se le impone a vh(x; t) e interpretarla.

� 1.2. Enumera las distintas fuentes de error que se introducen al resolver un problema d�ebil medianteel MEF.

� 1.3. Plantea con precisi�on el problema de la mejor aproximaci�on de una funci�on g en el intervalo [a; b]y en la norma in�nito por funciones de una cierta familia F. Idem para el problema del ajuste de unafunci�on de una determinada familia F a unos datos (xi; yi); i = 1; 2; :::; n en la norma dos.

� 1.4. Calcula (si ello es posible) las primeras dos columnas de la matriz L correspondiente a la factor-izaci�on de Cholesky de la matriz

A =

0@ 1 �1 0�1 5 �40 �4 5

1Ade forma que L tenga sus elementos diagonales negativos.

� 1.5. Sea el sistema Ax = b con A 2 Rn�n regular, y sea k�k una norma en Rn. Deducir una cotapara la variaci�on relativa en la soluci�on del sistema anterior en t�erminos de la variaci�on relativa en elt�ermino independiente, cuando se perturba dicho t�ermino independiente.

Ejercicio 2. (1.5 ptos.) Explicar la t�ecnica isoparam�etrica, razonando por qu�e es �util.

63

Ejercicio 3. (2.5 ptos.) Se considera el problema

EIu(4(x) = f(x) para x 2 (0; L) (10)

u0(0) = u00; EIu000(0) = Q0; u(L) = uL; EIu

00(L) =ML

donde E e I son constantes. Se pide:

� 3.1. (0.5 ptos.) Construir el problema d�ebil asociado� 3.2. (2 ptos.) Se aplica el MEF dividiendo la barra en dos elementos [0; L1] y [L1; L]) de longitudes L1y L2 (de forma que L = L1+L2) cada uno de los cuales tiene 5 grados de libertad (valor de la funci�ony la derivada en los extremos y valor de la funci�on en el punto medio). Se pide: decidir qu�e grados delibertad son inc�ognita para el MEF y calcular K22 (para calcular la integral debe pasarse al elementoest�andar)

Ejercicio 4. (4 ptos.) Sea � R2 abierto conexo con frontera C1 a trozos � = �1 [ �2.4.1. Se considera el problema estacionario

�2Xi=1

2Xj=1

@

@xj

��ij(x)

@u

@xi

�= f(x) en

u(x) = g(x) en �12Xi=1

2Xj=1

�ij(x)@u

@xinj + �(x)u(x) = h(x) en �2

donde u : ! R es la inc�ognita, f , g; h son funciones, � es una funci�on positiva en �2, ' es una funci�onpositiva en ; las �ij son funciones de clase 1 en y para todo x 2 , K(x) = [�ij(x)] es una matrizde�nida positiva. Se pide:

� 4.1.1. (1 pto.) Plantear el problema d�ebil (en cualquiera de sus formas) especi�cando claramente losespacios con los que se trabaja.

� 4.1.2. (1.5 ptos.) Sup�ongase que �1 = ;. Estudiar con todo rigor, si la forma bilineal a(�; �) es o node�nida positiva en el espacio V � correspondiente. Nota: se recuerda que si x e y son vectores de R2

y A 2 R2�2, la expresi�on2Pi=1

2Pj=1

xiaijyj se puede escribir en la forma xTAy)

4.2. (1.5 pto.) Se considera ahora el problema de evoluci�on asociado al problema del apartado anterior

'(x)@u

@t�

2Xi=1

2Xj=1

@

@xj

��ij(x)

@u

@xi

�= f(x; t) para x 2 ; t > 0

u(x; t) = g(x; t) para x 2 �1; t > 02Xi=1

2Xj=1

�ij(x)@u

@xinj(x) + �(x)u(x; t) = h(x; t) para x 2 �2; t > 0

u(x; 0) = u0(x) para x 2

donde ' es una funci�on positiva en . Sup�ongase que se aplica el MEF con una malla en la que � esel conjunto de los nudos y �1 y �2 los conjuntos de los nudos situados sobre �1 y �2 respectivamente.

64

NI ; I 2 � son las funciones de base de los distintos nudos. Se pide: escribir la expresi�on del sistemade EDOs que se obtiene, especi�cando la expresi�on de las componentes de cada una de las matrices yvectores que aparecen.

Nota: hay que trabajar con la funci�on auxiliar rh. No hace falta llevar a cabo la deducci�on. No esnecesario dividir en elementos.

65

Soluci�on||||||||||||||||||||||||||||||||-PROBLEMA 1||||||||||||||||||||||||||||||||-1.1 La condici�on inicial es�

�cvh(x; 0); w�=��cu0(x); w

�� (�cg(x; 0); w) para todo w 2 V h

que se puede interpretar diciendo que vh(x; 0) debe ser la proyecci�on ortogonal de u0(x) � g(x; 0) sobreV h con el �c-producto escalar.

1.2. Ver apuntes1.3.

Encontrar f 2 F tal quekg � fk1 = m��n

h2Fkg � hk1

� Encontrar f 2 F tal quenXi=1

(f(xi)� yi)2 = m��nh2F

nXi=1

(h(xi)� yi)2

1.4.

L =

0@ �1 0 01 �2 00 2 �1

1A1.5. Ver apuntes.||||||||||||||||||||||||||||||||-PROBLEMA 2||||||||||||||||||||||||||||||||-Ver apuntes.||||||||||||||||||||||||||||||||-PROBLEMA 3||||||||||||||||||||||||||||||||-

3.1. Encontrar u 2 S tal que 8w 2 V se veri�ca

a(u;w) = L(w)

donde

a(u;w) = EI

Z L

0u00w00dx

L(w) =

Z L

0fwdx+Q0w(0) +MLw

0(L)

y

S =�w : [0; L]! R; w 2 C2t [0; L] : w0(0) = u00 ; w(L) = uL

V =

�w : [0; L]! R; w 2 C2t [0; L] : w0(0) = 0 ; w(L) = 0

66

2.2 Hay 8 grados de libertad en total

� = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8g

de los que�E = f2; 7g

y por ello las inc�ognitas son� � �E = f1; 3; 4; 5; 6; 8g

Por ello

K22 = a(N3; N3) = EI

Z L

0

�N 003

�2dx

N3=0 en 2= EI

Z1

�N 003

�2dx:

donde N3 viene dada por las condiciones

N3(0) = 0 ; N03(0) = 0

N3(L1) = 0 ; N03(L1) = 0

N3(L1=2) = 1

Haciendo el cambio x = �(�) = b�a2 �+ b+a

2 (donde [a; b] corresponde al elemento 1, es decir, [0; L1])se tiene

K22 = EI

Z 1

�1

�N 003 (�(�)

�)2�0(�)d�:

Ahora de�nimos N3(�) = N3(�(�)). Derivando dos veces y usando que �00(�) = 0 (pues � es af��n) se

obtiene N 003 (�(�)) = N 00

3 (�)=(�0(�))2 por lo que

K22 = EI

Z 1

�1

�N 003 (�)

�2(�0(�))3

d� = EI8

(L1)3

Z 1

�1

�N 003 (�)

�2d�

Calculemos N3(�), que viene de�nida por las condiciones

N3(�1) = N3(0) = 0 ; N03(�1) = N 0

3(0)�0(�1) = 0

N3(1) = N3(L1) = 0 ; N03(1) = N 0

3(L1)�0(1) = 0

N3(0) = 1

Sabemos que N3 es un polinomio de grado 4 y que N4 y su derivada se anulan en �1 y en 1. Por elloN3 tiene la forma

N3(�) = �(� � 1)2(� + 1)2 = �(�2 � 1)2

Imponiendo que N3(0) = 1 se obtiene � = 1 y por ello N3(�) = (�2 � 1)2. Por ello

K22 = EI8

(L1)3

Z 1

�1

�12�2 � 4

�2d� = EI

8 � 16(L1)

3

Z 1

�1

�3�2 � 1

�2d� = EI

8 � 16(L1)

3

Z 1

�1

�9�4 � 6�2 + 1

�d� =

= EI8 � 16 � 2(L1)

3

�9

5� 2 + 1

�=512

5

EI

(L1)3

67

||||||||||||||||||||||||||||||||-PROBLEMA 4||||||||||||||||||||||||||||||||-4.1.1. Multiplicando la EDP por una funci�on de test w(x) a la que pedimos que se anule en �1,

integrando en y usando la f�ormula de integraci�on por partesZ

@b

@xi(x)c(x)dx =

Z@c(x)b(x)nids�

Z

@c

@xi(x)b(x)dx

v�alida para funciones b y c de clase 1 a trozos en , se llega al siguiente problema d�ebil:Encontrar u 2 S� tal que para toda w 2 V � se veri�que

a(u;w) = L(w)

donde:

a(u;w) =

Z

2Xi=1

2Xj=1

�ij(x)@u

@xi(x)

@w

@xj(x)dx+

Z�2

�(x)u(x)w(x)ds

L(w) =

Zf(x)w(x)dx+

Z�2

h(x)w(x)ds

S� =�w 2 C1t (�) : w = g en �1

V � =

�w 2 C1t (�) : w = 0 en �1

4.1.2. La forma a(�; �) est�a dada por

a(v; w) =

Zrv(x)TK(x)rw(x)dx+

Z�2

�(x)u(x)w(x)ds

donde se ha usado la sugerencia del enunciado. Por tanto, si v 2 V �

a(v; v) =

Zrv(x)TK(x)rv(x)dx+

Z�2

�(x)v(x)2ds =

=

qXi=1

Zi

rv(x)TK(x)rv(x)dx+Z�2

�(x)v(x)2ds

donde 1; :::;q son conjuntos en los que v es de clase 1.Como K(x) es de�nida positiva para todo x 2 se tiene que para todo i = 1; :::; q, y para todo

x 2 i, rv(x)TK(x)rv(x) � 0 con lo queRrv(x)

TK(x)rv(x)dx � 0. Adem�as, como � es positiva en�3 se sigue que

R�3�(x)v(x)2ds � 0. Por ello, para toda v 2 V � es a(v; v) � 0. Supongamos ahora que

v 2 V � es tal que a(v; v) = 0 y sean 1; :::;q trozos en los que v es de clase 1. Por la no negatividad delas dos integrales en a(�; �) debe ser

qXi=1

Zi

rv(x)TK(x)rv(x)dx = 0 (11)

y Z�3

�(x)v(x)2ds = 0 (12)

De (11) se tiene, como todos los sumandos son no negativos, queRirv(x)TK(x)rv(x)dx = 0 en

cada i para i = 1; :::; q. Como la funci�on rv(x)TK(x)rv(x) es continua y no negativa en cada i se

68

sigue que debe ser rv(x)TK(x)rv(x) = 0 en cada i, de de donde se deduce, como K(x) es de�nidapositiva para todo x; que rv(x) = 0 para todo x 2 i; i = 1; :::; q. De aqu�� se sigue que v = Ci; en cadai; i = 1; :::; q. Ahora, como v debe ser continua (pues debe ser de clase 1 a trozos), se tiene que

v = C en (13)

De (12) se sigue, al ser �(x)v(x)2 una funci�on continua y no negativa, que �(x)v(x)2 = 0 en �2,es decir, v(x) = 0 en �2. Ahora, usando (13) y la continuidad de v; deducimos que v = 0 en �. Porconsiguiente a(�; �) es de�nida positiva en V �.

4.2.V h = L fNI : I 2 � � �1g

y el sistema de EDOs que se obtiene es

M _d(t) +Kd(t) = F (t)

Md(0) = Y 0

donde, si se hace una numeraci�on P = ID(I); Q = ID(J) de los nudos I; J 2 � � �1, se tiene

KPQ = a(NI ; NJ) =

ZrNT

I KrNJdx+Z�2

�NINJds

MPQ =

Z'NINJdx

FP (t) = L(NI) =

Zf(x; t)NI(x)dx+

Z�2

h(x; t)NI(x)ds�

�XJ2�1

g(xJ ; t)

�ZrNT

I KrNJdx+Z�2

�NINJds

��XJ2�1

_g(xJ ; t)

Z'NINJdx

Y 0P =�'u0; NI

��'rh(x; 0); NI

�=

Z'u0NIdx�

XJ2�1

g(xJ ; 0)

�Z'NINJdx

�

69





Ejercicio 1. (1 pto.) Sea A 2 Rm�n. Explicar brevemente qu�e es lo que calcula, y por qu�e m�etodo lohace, la instrucci�on de Matlab x = Anb.

Ejercicio 2. (1.5 ptos.) Se consideran unos datos (xi; yi); i = 1; :::; 30 contenidos en los vectoresxdat = (x1; ::::; x30) y ydat = (y1; ::::; y30). Se pide escribir unas instrucciones de Matlab que permitancalcular la funci�on de la familia


que mejor ajusta los datos (xi; yi) por el criterio de m��nimos cuadrados.

Ejercicio 3. (2 ptos.) Sea un sistema de EDOs

_z(t) = f(t; z(t)) z(0) = z0 2 Rm


yj+1 = yj +h

4f(tj+1; yj+1) +

3h

4f(tj ; yj) (14)

y0 = z0

3.1. (0.5 ptos) Obtener el sistema de ecuaciones que se obtiene al aplicar este m�etodo al sistema deEDOs resultante de la aplicaci�on del m�etodo de Galerkin al problema del calor.

3.2. (1.5 ptos) Sup�ongase que se conocen M , K; d0 (dcero) y una matriz Facum en la que la columnaj + 1 es el vector F (tj) desde j = 0 hasta j = 10 es decir, Facum=[F0 jF1 j � � � j F 10]. Escribir unasinstrucciones de Matlab que permitan avanzar en el tiempo desde t0 = 0 hasta t10 = 10h y que generela matriz dacum=[d0 jd1 j � � � j d10].Nota: se deber�a minimizar el n�umero de operaciones a realizar.

70

Ejercicio 4. (3 ptos.) Consid�erese el problema de la barra axial din�amica sin amortiguamiento. Parasimpli�car el problema, no se contempla el caso general en cuanto al tipo de las condiciones de frontera,sino que se supondr�a que en el extremo de la izquierda hay condiciones de Neumann (y la fuerza endicho extremo se especi�ca como caso particular de fuerza puntual) y en el extremo de la derecha lascondiciones son de Dirichlet.

Sup�ongase que ya se ha ejecutado la primera parte del programa y que se dispone de �M (Mb), �K (Kb),M (M), K (K), �d0 (dob), �d�0 (dprim0b), d0 (do) y d�0 (dprim0). Escribir un conjunto de instruccionesque calcule Facum =[F 0 j F 1 j � � � j F s] donde s es el n�umero de pasos de tiempo.Notas:

� No es necesario calcular dj y _dj

� En todos los elementos se utiliza la misma f�ormula de cuadratura y los nudos �� de integraci�on enel intervalo est�andar est�an contenidos en el vector �la psint, mientras que los coe�cientes para laintegraci�on est�an contenidos en el vector �la coe�nt.

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||-

SOLUCI�ON3.1. El problema a resolver es

M _d(t) +Kd(t) = F (t)

Md(0) = Y 0


Aplicando el m�etodo se obtiene�M +

h

4K

�yj+1 =

�M � 3h

4K

�yj + h

�F j+1

4+3F j

4

�En cada paso de tiempo hay que resolver un sistema en el que var��a el t�ermino independiente, pero

la matriz M + h4K, que es de�nida positiva, es siempre la misma. Por ello (ver apuntes) con el �n de

minimizar el n�umero de operaciones, la factorizaci�on de dicha matriz se debe hacer fuera del bucle, ydentro del bucle se realizan la actualizaci�on y la soluci�on.

71





� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)

�= f(x); x 2 (0; 1)

u(0) = u0; u(1) = u1

� 5.1. (1 pto) Consid�erense los siguientes datos de entrada:� malla=[0 0.35 0.45 0.75 0.9 0.95 1] donde los 2 primeros elementos son cuadr�aticos, los dossiguientes lineales y los dos �ultimos c�ubicos.

� u0 = 1;45 � 10�3, u1 = �0;36 � 10�3

� Hay dos fuerzas puntuales, una en x = 0;3 con magnitud 2;3�106 y otra en x = 0;85 con magnitud�1;4 � 106.

� A(x) = cte = 1, E(x) = 109�2;4� x2 � sen(�x)

�y f(x) = 2;4 � 107

�x� 1

2



K67 = �1;2181e+ 011 ; F3 = �1;6000e+ 005 ; �(0;6) = �2;4301e+ 006

� 5.2. (0.5 ptos.) Mismos datos que en 3.1. Dar una estimaci�on (con una precisi�on de 0.01) del punto xde la barra en el que el desplazamiento es nulo.


� 5.3. (1 pto.) Mismos datos que en 3.1. Sea A la matriz resultante de hacer igual a 109 las posicionesde K que son iguales a cero. Hallar la norma 1 de la soluci�on al sistema Ax = F .

� Soluci�on:kxk1 = 0;029163

72

9. Septiembre 2009





Ejercicio 1. (1 pto.) Responder de forma precisa y concisa a las siguientes cuestiones.

� 1.1. Sean A 2 R7�9 y b 2 R7�1. En el caso "general", se considera el problema de determinar la o lassoluciones del sistema Ax = b que tienen su primera componente nula y su tercera componente iguala 1. Razonar si el problema anterior tiene soluci�on y si �esta es �unica.

� 1.2. De�nir la noci�on de mejor aproximaci�on de un vector por un subespacio en un espacio vectorial.Idem para la proyecci�on ortogonal de un vector sobre un subespacio en un espacio vectorial dotadode un producto escalar.

Soluci�on: 1.1. En el caso gen�erico, el rango de A ser�a 7 y el rango de la matriz ampliada tambi�en ser�a 7,con lo que el sistema Ax = b es compatible indeterminado con dos grados de libertad (el n�ucleo de Atiene dimensi�on 2). Al imponer las dos condiciones x1 = 0 y x3 = 1 (que, obs�ervese, son ecuacioneslineales) se tienen en total 9 ecuaciones con 9 inc�ognitas, con lo que en el caso gen�erico el rango de lanueva matriz (y de la correspondiente matriz ampliada) ser��a 9 y se tendr��a una �unica soluci�on (sistemacompatible determinado).

1.2. Ver apuntes asignatura.

Ejercicio 2. (1 pto.) Enumerar (sin entrar en detalles) los distintos pasos del enfoque local, es decir,los pasos para construir V h y calcular K y F en los problemas de elementos �nitos.


Ejercicio 3. (1.5 pto.) Sea la funci�on G(u; v) de�nida por G(u; v) := F (�(u; v)) donde

�1(u; v) = u2 + v2

�2(u; v) = u+ v

Sabiendo que @G@u (0; 1) = �1 y

@G@v (0; 1) = 3 calcular

@F@x (1; 1) y

@F@y (1; 1).

Soluci�on: Nos est�an pidiendo el gradiente de F en el punto (1; 1). Aplicando la regla de la cadena, yteniendo en cuenta que la matriz jacobiana de un campo escalar es su gradiente (como vector �la), seobtiene

rGT (u; v) := rF T (�(u; v))�0(u; v)

73

y usando que �(0; 1) = (1; 1) tenemos

rGT (0; 1) := rF T (1; 1)�0(0; 1);

por lo que, despejando,rF T (1; 1) = rGT (0; 1)

��0(0; 1)

��1La matriz jacobiana de � es

�0(u; v) =

�2u 2v1 1

�luego

�0(0; 1) =

�0 21 1

�con lo que �

�0(0; 1)��1

=1

�2

�1 �2�1 0

�y por tanto

rF T (1; 1) = rGT (0; 1)��0(0; 1)

��1= [�1; 3] 1

2

��1 21 0

�= [2;�1]

con lo que @F@x (1; 1) = 2 y

@F@y (1; 1) = �1.

Ejercicio 4. (2.5 ptos.) Sea � R2 un recinto cuya frontera es una curva � de clase C1 a trozos que sepuede expresar como � = �1 [ �2 [ �3 donde las �i son disjuntas dos a dos. Se considera el problema

2Xj=1

div (aijruj) + fi = 0 en para i = 1; 2

ui = gi en �1 para i = 1; 2

2Xj=1

aij@uj@n

= ti en �2 para i = 1; 2

2Xj=1

aij@uj@n

+ qiui = di en �3 para i = 1; 2

donde:

� u(x) = (u1(x); u2(x)) es la funci�on inc�ognita, x 2 R2

� aij(x); i; j = 1; 2 son funciones de clase 1.� f = (f1; f2), g = (g1; g2), t = (t1; t2) son funciones de�nidas en , �1, �2 respectivamente y d =(d1; d2) y q = (q1; q2) son funciones de�nidas en �3.

� n es el vector normal unitario a la curva � saliente a .

Se pide:

� 5.1. (1.5 ptos.) Deducir la expresi�on del problema d�ebil asociado que debe cumplir u, dejando claroqui�enes son los espacios de test y de prueba. Sugerencia: razonar de manera an�aloga al problema dela elasticidad bidimensional.

74

� 5.2. (1 pto.) Sup�ongase que el problema se resuelve mediante el MEF. La malla tiene 15 nudos de loscuales f1; 3g 2 �1, f6; 7g 2 �2, f4; 5g 2 �3 y el resto pertenecen al interior de . Escribir la expresi�onsimpli�cada de la componente (5; 7) de la matriz de rigidez.

Soluci�on:

� 5.1. Obs�ervese que la inc�ognita u es bidimensional u = (u1; u2). Como en el caso de la elasticidadbidimensional, se multiplica la ecuaci�on i-�esima por wi se integra en y se suma obteniendo

2Xi;j=1

Zdiv (aijruj)widx+

2Xi=1

Zfiwidx = 0

Usando que para funciones � y z de clase 1 se cumpleZdiv (�rz) dx = �

Zr� � rzdx+

Z@

@z

@n�dl

se obtiene

2Xi;j=1

Zaijruj � rwidx =

2Xi=1

Zfiwidx+

2Xi;j=1

Z@kij@uj@n

widl

=

2Xi=1

Zfiwidx+

2Xi=1

Z@wi

2Xj=1

kij@uj@n

dl =

Imponiendo que wi = 0 en �1 y usando las condiciones de frontera en �2 y �3 obtenemos

2Xi;j=1

Zkijruj � rwidx =

2Xi=1

Zfiwidx+

2Xi=1

Z�2

tiwidl �2Xi=1

Z�3

qiuiwidl+

+2Xi=1

Z�3

diwidl

con lo que el problema d�ebil tiene la forma: encontrar u 2 S tal que 8w 2 V se cumplaZ

2Xi;j=1

aijruj � rwidx+Z�3

2Xi=1

qiuiwidl =

Z

2Xi=1

fiwidx+

Z�2

2Xi=1

tiwidl+

+

Z�3

2Xi=1

diwidl

donde

S =nu : ! R2, u 2

�H1()

�2; u = (g1; g2) en �1

oV =

nw : ! R2, w 2

�H1()

�2; w = (0; 0) en �1

o� 5.2. Los nudos inc�ognita son todos menos el 1 y el 3, es decir, f2; 4; 5; 6; 7; 8; :::g. Como estamos en unproblema bidimensional, cada nudo inc�ognita corresponde a dos grados de libertad y por ello P = 5

75

corresponde (con la numeraci�on est�andar) al primer grado de libertad del nudo 5 y Q = 7 al primergrado de libertad del nudo 6. Por ello

K5;7 = a(N5e1; N6e1) = a((N5; 0) ; (N6; 0)) =

=

Za11rN5 � rN6dx+

Z�3

q1N5N6dl

pues el resto de los sumandos se anulan. El nudo 6 no pertenece a �3 con lo cual \lo m�as probable"es que N6 sea nula sobre �3 y por ello el segundo sumando sea nulo. La �unica posibilidad para queeste sumando no fuese nulo es que el nudo 6 perteneciese a la intersecci�on de �2 y �3 y se hubieseelegido considerar dicho nudo como \natural".

Ejercicio 5 (2 ptos.) Se considera el siguiente m�etodo para resolver problemas de valor inicial

yj+1 = yj +1

3hf(tj+1; yj+1) +

2

3hf(tj ; yj)

Se pide aplicar este m�etodo al problema de la elastodin�amica

M��d(t) + C _d(t) +Kd(t) = F (t)

Md(0) = Y 0 ; M _d(0) = _Y 0

obteniendo unas ecuaciones "�optimas"desde el punto de vista de su resoluci�on.

Soluci�on. Procediendo y razonando como se hace en los apuntes de la asignatura para aplicar el m�etodode Crank-Nicholson al problema de la elastodin�amica se obtienen las ecuaciones�

M +h

3C +

h2

9K

�_dj+1 = �hKdj +

�M � 2h

3C � 2h

2

9K

�_dj +

h

3

�F j+1 + 2F j

�dj+1 = dj +

2h

3_dj +

h

3_dj+1

Ejercicio 6. (2 ptos.) Se considera el MEF aplicado al problema de la placa de la �gura, que est�a someti-da a un estado de tensi�on plana y en la que los tri�angulos son lineales y los cuadril�ateros bilinealesisoparam�etricos

76

Las condiciones de frontera son que en los lados 61 y 12 el desplazamiento est�a dado por g(x; y) =10�3 (2� x; y)T y que el resto de la frontera est�a sometido a un esfuerzo de tracci�on perpendicu-lar a la misma con magnitud 4 � 106. Al resolver el sistema Kd = F se obtiene el vector d =10�3 (2;�3; 2; 1; 0; 1; 0;�1)T . Se pide calcular el desplazamiento aproximado uh en el punto (2; 3=4).

Soluci�on: El punto (2; 3=4) pertenece al elemento 1, que es un cuadril�atero bilineal isoparam�etrico.Por tanto, si denotamos dI al vector columna que representa el desplazamiento en el nudo I se tiene

uh(2; 3=4) = d5N5(2; 3=4) + d6N6(2; 3=4) + d1N1(2; 3=4) + d4N4(2; 3=4)

Puesto que en los nudos 1, 2 y 6 se especi�can condiciones esenciales, el vector d tiene la forma

d =

0BB@d3d4d5d7

1CCAAdem�as, d6 = uh(2; 0) = 10�3 (2� 2; 0)T = (0; 0)T y d1 = uh(3; 1) = 10�3 (2� 3; 1)T = 10�3 (�1; 1)Tpor lo que

uh(2; 3=4) = 10�3�01

�N5(2; 3=4)+10

�3�00

�N6(2; 3=4)+10

�3��11

�N1(2; 3=4)+10

�3�

0�1

�N7(2; 3=4)

Como no es viable el c�alculo de las funciones de base NI (que, recu�erdese, en general no ser�an ni siquierapolinomios) trabajaremos en la referencia est�andar con las funciones NI(�; �) := NI(�(�; �)). De hecholas NI se de�nen en t�erminos de las NI a trav�es de NI(x; y) := NI(�

�1(x; y)): Por ello

uh(2; 3=4) = 10�3�01

�N5(�; �)+ 10

�3�00

�N6(�; �)+ 10

�3��11

�N1(�; �)+ 10

�3�

0�1

�N7(�; �)

donde (�; �) es el punto de la referencia est�andar que corresponde al (2; 3=4). Elegimos por ejemplo lanumeraci�on local de la �gura

77

y entonces

uh(2; 3=4) = 10�3�01

�N1(�; �)+ 10

�3�00

�N2(�; �)+ 10

�3��11

�N3(�; �)+ 10

�3�

0�1

�N4(�; �)

donde se est�a utilizando numeraci�on local. Construimos las funciones de base

N1(�; �) =1

4(1� �) (1� �) ; N2(�; �) =

1

4(1 + �) (1� �)

N3(�; �) =1

4(1 + x) (1 + y) ; N4(�; �) =

1

4(1� �) (1 + �)

y ahora s�olo resta determinar el punto (�; �) que corresponde al (2; 3=4) mediante el cambio bilinealisoparam�etrico�

xy

�= �(�; �) =

�00

�N1(�; �) +

�20

�N2(�; �) +

�31

�N3(�; �) +

�11

�N4(�; �)

Operando se obtiene que el cambio tiene la forma�xy

�=

�12 (3 + � + 2�)

12 (1 + �)

�Para comprobar que no nos hemos equivocado podemos veri�car que, como debe ser, los nudos (�1;�1)T ,(1;�1)T , (1; 1)T y (�1; 1)T se transforman en�

00

�,

�20

�,

�31

�y

�11

�respectivamente.

Obs�ervese que el cambio, que en principio era bilineal, ha resultado ser lineal (es decir, un cambiobilineal en el que el t�ermino en xy es nulo). Ahora debemos resolver el sistema

2 =1

2(3 + � + 2�)

3=4 =1

2(1 + �) ;

tarea sencilla al ser el sistema lineal (n�otese que en el caso en que � hubiera sido bilineal este sistemahubiera sido mucho m�as dif��cil de resolver). Se obtiene (�; �) = (0; 1=2) y por tanto

uh(2; 3=4) = 10�3�01

�N1(0; 1=2)+10

�3�00

�N2(0; 1=2)+10

�3��11

�N3(0; 1=2)+10

�3�

0�1

�N4(0; 1=2)

y operando se obtiene

uh(2; 3=4) = 10�3��3=81

�

78





Ejercicio 1. MEF para una placa plana. (3 ptos.) Se considera el siguiente problema de una placasometida a un estado de tensi�on plana.

2Xj=1

@�ij(x)

@xj+ fi(x) = 0 ; i = 1; 2 x 2

u(x) = g(x) ; x 2 �1T (x)n(x) = t(x) ; x 2 �2


1.1. (1 pto.) Al aplicar el MEF, en la pr�actica se ensamblan primero unas matrices y vectores ampli-ados �K y �F de dimensi�on 2n (siendo n el n�umero total de nudos). Escribir las expresiones integrales"por bloques"(que denotamos keij y

�fei ) que proporcionan las contribuciones del elemento e a�K y �F

respectivamente.

1.2. (1 pto.) Explicar c�omo se calcula keij en la pr�actica. Escribir la expresi�on �nal que habr��a que

programar para obtener la matriz .auxiliar"que se usa en el c�alculo de keij .

1.3. (1 pto.) Suponer que en el elemento e s�olo hay un lado, el segmento PQ, que pertenece a �2.Escribir la expresi�on �nal que hay que programar para calcular �fei .

Notas:



B =

264 @@x1

0

0 @@x2

@@x2

@@x1



D =

24 ��+ 2� �� 0�� + 2� 00 0 �

3579

� b. Las f�ormulas de cuadratura que se utilizar�an sonZ 1

�;1f �

lX�=1

S�f(c�) ;

Ze

g �kX�=1

W�g(��)

Ejercicio 2. (3 ptos.) Se considera el siguiente problema de una barra axial

�(A(x)E(x)u0(x))0 + �(x)u(x) = f(x)

�A(0)E(0)u0(0) + �u(0) = �

u(L) = uL

donde � es una funci�on y � y � son constantes. El problema d�ebil asociado al mismo es: Encontraru 2 S� tal que 8w 2 V � se veri�queZ L

0AEu0w0 + �(0)u(0)w(0)� �w(0) +

Z L

0�uw �

Z L

0fw = 0

donde

S� =�w 2 C1t [0; L]; w(L) = uL

V � =

�w 2 C1t [0; L]; w(L) = 0

Se pide: escribir un conjunto de instrucciones de Matlab que calculen la matriz de rigidez ampliada �K.

Nota:

� La funci�on � est�a almacenada en el m-�le capa.m� Los nudos �� de integraci�on en el intervalo est�andar est�an contenidos en el vector �la psint, mientrasque los coe�cientes para la integraci�on est�an contenidos en el vector �la coe�nt.

� Se pueden usar todas las variables y function-�les de entrada al programa de la barra axial adem�asde CON y nudos.

Ejercicio 3. (2 ptos.) Postprocesado en la barra din�amica. Consid�erese que se ha resuelto el problemade la barra axial din�amica utilizando el MEF y que se dispone de las matrices dacum=[d0 jd1 j � � � j d10] yvelacum=[ _d0 j _d1 j � � � j _d10] cuyas columnas son, respectivamente, los desplazamientos y las velocidadesen los nudos en los distintos instantes de tiempo. Escribir un conjunto de instrucciones que calculelas tensiones y las velocidades en los puntos del vector xdatos, y los almacenen en las matricestensxdatosdin=[tensxdatos0 jtensxdatos1 j � � � jtensxdatos10] y velxdatosdin=[velxdatos0 jvelxdatos1 j� � � jvelxdatos10].Nota: Se pueden usar todas las variables y function-�les de entrada al programa de la barra axialdin�amica adem�as de CON y nudos.

80





� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)

�= f(x); x 2 (0; 1)

u(0) = u0; u(1) = u1

� 4.1. (1 pto.) Consid�erense los siguientes datos de entrada:� malla=[0 0.37 0.45 0.7 0.9 0.95 1] donde los 2 primeros elementos son cuadr�aticos, los dos siguienteslineales y los dos �ultimos c�ubicos.

� u0 = 1;34 � 10�3, u1 = 0;4 � 10�3

� Hay dos fuerzas puntuales, una en x = 0;4 con magnitud 2;1�106 y otra en x = 0;85 con magnitud0;4 � 106.

� A(x) = cte = 1, E(x) = 109�2;1� x2 � cos(�x)

�y f(x) = 2;6 � 107

�x� 1

3


Se pide: K67, F3 y �(0;6) (dar la soluci�on en la forma x:yzvw � 10k)

Soluci�on:K67 = ; F3 = ; �(0;6) =

� 4.2. (1 pto.) Mismos datos que en 4.1. Sea A la matriz resultante de hacer igual a 109 las posicionesde K que son iguales a cero. Sea b el vector resultante de hacer nulas las posiciones de F cuyo valorabsoluto sea menor que 106. Hallar la norma 1 de la soluci�on al sistema Ax = b (dar la soluci�on enla forma x:yzvw � 10k)� Soluci�on:

k�xk1 =

81

10. Febrero 2010





Ejercicio 1. (2 ptos.) Responder de forma concisa y precisa a las siguientes cuestiones:

� 1.1. Ideas principales, ventajas e inconvenientes de los m�etodos impl��citos y expl��citos para resolverproblemas de valor inicial en EDOs

� 1.2. Sea el problema d�ebil: Encontrar v 2 V tal que para todo w 2 V se cumpla a(v; w) = L(w),donde a(�; �) es una forma bilineal de�nida positiva y L es una forma lineal. Enunciar y demostrarun resultado relativo a la unicidad de soluci�on de dicho problema.

� 1.3. Sup�ongase el MEF aplicado al problema de la transmisi�on del calor en un dominio � R2trabajando con tri�angulos lineales y cuadril�ateros bilineales isoparam�etricos. Sea x 2 y sea � dichopunto en el elemento est�andar correspondiente. Razonar si el obtener � a partir de x presenta algunadi�cultad.

� 1.4. Explicar las razones por las que en el c�alculo de las integrales en el MEF se lleva a cabo uncambio de variable.

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||-Soluci�on: 1.3. En el caso de que x pertenezca a un tri�angulo, la transformaci�on x = �(�) es af��n y por

ello su inversa es tambi�en af��n, con lo que no se presenta ninguna di�cultad. Sin embargo, si x pertenecea un cuadril�atero, la transformaci�on x = �(�) es bilineal y por ello su inversa n siquiera es polin�omica.Por tanto, para determinar � hay que recurrir a m�etodos num�ericos para sistemas no lineales, como porejemplo el m�etodo de Newton.

Resto: ver apuntes teor��a.||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Ejercicio 2. (2.5 ptos.) Al aplicar el m�etodo de Galerkin al problema de la elasticidad bidimensional,se obtiene el siguiente sistema lineal de ecuaciones

2X�=1

XJ2��E

a(NIe�; NJe�)dJ� = L(NIe�); I 2 � � �E ; � = 1; 2

Se pide: partiendo de esta expresi�on:

1) Deducir la expresi�on de cada componente de K y de F .

82

2) Deducir la expresi�on de keij y fei (no hace falta hacer el cambio al elemento est�andar ni aplicar

cuadratura. Hay que trabajar con rh)

3) Explicar c�omo habr��a que ensamblar keij en K (ojo, en K; no en �K)

Nota: Lo que se pide es exactamente la teor��a tal y como se explica en clase.

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||Soluci�on: ver apuntes teor��a.||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Ejercicio 3. (1.5 pto.) Utilizando el producto escalar est�andar en el espacio fv : [0; 1]! R tal que v es continuag,calcular la expresi�on de la mejor aproximaci�on a la funci�on f(x) = cos(�x) por funciones a�nes.

Nota: Se sabe queR �0 x cosxdx = �2

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Soluci�on: La mejor aproximaci�on h(x) buscada ser�a de la forma h(x) = � + �x para unos ciertos �y � que hay que calcular. El producto escalar en cuesti�on es hv; wi =

R 10 vw. Para calcular la mejor

aproximaci�on utilizamos la de�nici�on, por la cual f� (�+�x) debe ser perpendicular al espacio L f1; xgde las funciones a�nes, es decir, debe ser perpendicular a 1 y a x. Imponiendo esta condici�on se llega alsistema

h1; 1i�+ h1; xi� = hf; 1ihx; 1i�+ hx; xi� = hf; xi

Ahora

h1; 1i =Z 1

0dx = 1 ; h1; xi = hx; 1i =

Z 1

0xdx = 1=2 ; hx; xi =

Z 1

0x2dx = 1=3

hf; 1i =Z 1

0cos(�x)dx =

1

�sen(�x) j10= 0

hf; xi =Z 1

0x cos(�x)dx =

1

�xsen(�x) j10 �

1

�

Z 1

0sin(�x)dx = � 1

�

Z 1

0sin(�x)dx = � 2

�2

donde se ha usado integraci�on por partes. Alternativamente, se puede usar la sugerencia del enunciadoy entonces Z 1

0x cos(�x)dx

�x=y=

Z �

0

y

�cos y

1

�dy =

1

�2

Z �

0y cos ydy =

�2�2:

Se obtiene as�� el sistema

�+ �=2 = 0

�=2 + �=3 = � 2

�2

cuya soluci�on es � = 12�2, � = � 24

�2con lo que h(x) = 12

�2� 24

�2x.

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

83

Ejercicio 4. (4 ptos) Sea � R2 abierto conexo cuya frontera es una curva C1 a trozos � = �1[�2[�3.Consid�erese el siguiente problema

�(x)@2u

@t2(x; t)� divx (E(x)gradxu(x; t)) + b(x)u(x; t) = f(x; t) + �y(x) (t) ; (x; t) 2 � (0;1)

u(x; t) = g(x; t) ; (x; t) 2 �1 � (0;1)n(x)TE(x)gradxu(x; t) = h(x; t) ; (x; t) 2 �2 � (0;1)

n(x)TE(x)gradxu(x; t) + c(x)u(x; t) = l(x; t) ; (x; t) 2 �3 � (0;1)u(x; 0) = u0(x) ; x 2 @u

@t(x; 0) = _u0(x) ; x 2

donde la funci�on escalar u es la inc�ognita, E(x) 2 R2�2 es una matriz semide�nida positiva (no necesari-amente de�nida positiva) para todo x 2 , �; b y c son funciones continuas y estrictamente positivas,u0 y _u0 son funciones y n es el vector normal unitario saliente a �. y es un punto de y �y denota ladelta de Dirac aplicada en el punto y. Se pide:

4.1. (1.5 pto.) Plantear el problema d�ebil (en la forma en la que s�olo interviene el espacio de test),especi�cando claramente qui�en es el espacio de test V . (Nota: no hace falta especi�car todos los pasosde la deducci�on. No hace falta especi�car la regularidad de la soluci�on u respecto de la variable t).

4.2. (1 pto.) Sup�ongase (s�olo en este apartado) que �1 y �3 son vac��as. Estudiar con todo rigor si laforma bilineal a(�; �) asociada al problema d�ebil es, o no, de�nida positiva.4.3. (1.5 pto.) Sup�ongase que se aplica el MEF con una malla en la que � es el conjunto de todos losnudos y �1; �2 y �3 los conjuntos de los nudos situados sobre �1;�2 y �3 respectivamente. Sean NI ; I 2 �las funciones de base de los distintos nudos. Escribir qui�en es el espacio V h, la expresi�on de la funci�onauxiliar rh y del sistema de EDOs que se obtiene, especi�cando la expresi�on de las componentes decada una de las matrices y vectores que aparecen. (Nota: no hace falta especi�car todos los pasos de ladeducci�on. No es necesario dividir en elementos).

NOTA: los apartados 2 y 3 son independientes.

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Soluci�on: 4.1. SeaV � =

�w : �! R : w 2 C1t (�); w = 0 en �1

Sea r : �� [0;1)! R una funci�on \su�cientemente suave" que veri�ca las condiciones de frontera en�1. En concreto, r veri�ca:

� 1. Para todo x 2 , r(x; t) admite dos derivadas parciales respecto de t y esta derivada es continuaen �� [0;1).

� 2. Para todo t 2 [0;1), r(�; t) 2 V (nota: r(�; t) denota la r como funci�on de x para t �jo)� 3. 8(x; t) 2 �1 � [0;1); r(x; t) = g(x; t)

Expresando u = r + v; multiplicando por una funci�on de test, integrando y utilizando integraci�on(multidimensional) por partes se obtiene que el problema d�ebil es: Encontrar v : � � [0;1) ! R talque:

� (1) Para todo x 2 , v(�; t) admite dos derivadas parciales respecto de t y esta derivada es continuaen �� [0;1).

84

� (2) Para todo t 2 [0;1), v(�; t) 2 V �.� (3) Para todo w 2 V y para todo t 2 [0;1) se cumpleZ

�(x)

��v(x; t)w(x)dx+

ZrwT (x)E(x)rxv(x; t)dx+

Zb(x)v(x; t)w(x)dx+

Z�3

c(x)v(x; t)w(x)dl =

=

Zf(x; t)w(x)dx+ (t)w(y) +

Z�2

h(x; t)w(x)dl +

Z�3

l(x; t)w(x)dl �Z�(x)

��r(x; t)w(x)dx�

�Zrw(x)TE(x)rxr(x; t)dx�

Zb(x)r(x; t)w(x)dx�

Z�3

c(x)r(x; t)w(x)ds

que se puede representar en la forma ��v; w

�+ a(v; w) = L(w)

donde

a(v; w) =

ZrwTE(x)rxv(x; t)dx+

Zb(x)v(x; t)w(x)dx+

Z�3

c(x)v(x; t)w(x)dl

L(w) =


Z�2

h(x; t)w(x)dl +

Z�3

l(x; t)w(x)dl � a(r; w)��p��r; w

�=

=


Z�2

h(x; t)w(x)dl +

Z�3

l(x; t)w(x)dl �Z�(x)

��r(x; t)wdx

�Zrw(x)TE(x)rxr(x; t)dx�

Zb(x)r(x; t)w(x)dx�

Z�3

c(x)r(x; t)w(x)dl

Obs�ervese que:

� 1. a(�; �) no contiene el t�ermino Z�(x)

��v(x; t)w(x)dx;

pues �este contiene derivadas temporales de la soluci�on.

� 2. La expresi�onRErwrvdx no tiene sentido pues las matrices-vectores correspondientes no se

pueden multiplicar.

� (4) Se veri�can las condiciones iniciales

v(x; 0) = u0(x)� r(x; 0); x 2 _v(x; 0) = _u0(x)� _r(x; 0); x 2

4.2. Al ser �1 = ;, la forma a(�; �) est�a de�nida en

V � =�w : �! R : w 2 C1t (�)

y al ser �3 = ; tiene la expresi�on

a(v; w) =

ZrwTErvdx+

Zbvwdx

Sea v 2 V � y sean 1; :::;q una partici�on de tal que v es de clase 1 en cada i. Entonces

a(v; v) =

qXi=1

Zi

rvT (x)E(x)rv(x)dx+Zb(x)v(x)2dx

85

(n�otese que no es necesario partir la segunda integral en \trozos" puesto que v est�a de�nida y es continuaen todo ).

Como E(x) es semide�nida positiva para todo x 2 entonces rvT (x)E(x)rv(x) � 0 para todo x 2 y como b(x) � 0 se sigue que a(v; v) � 0 para todo x 2 con lo que a(�; �) es al menos semide�nidapositiva. Supongamos ahora que v 2 V � y a(v; v) = 0. En tal caso

qXi=1

Zi

rvT (x)E(x)rv(x)dx+Zb(x)v(x)2dx = 0

y como los dos sumandos son negativos se debe cumplir que forzosamente

qXi=1

Zi

rvT (x)E(x)rv(x)dx = 0Zb(x)v(x)2dx = 0

De esta segunda expresi�on se deduce, al ser b positiva en y tanto b como v continuas, que debe serv = 0 en con lo que se ha demostrado que a(�; �) es de�nida positiva (obs�ervese que no ha hecho faltautilizar la primera expresi�on).

4.3. V h = L fNI : I 2 � � �1g ; el problema de Galerkin es absolutamente an�alogo al problema d�ebilcambiando V por V h, v por

vh(x; t) =XJ2��1

g(xJ ; t)NJ(x);

y r por rh donde

rh(x; t) =XJ2�1

g(xJ ; t)NJ(x)

y cambiando las condiciones iniciales por��vh(x; 0); w

�=��u0(x); w

�� (�r(x; 0); w) ; 8w 2 V h�

� _vh(x; 0); w�=�� _u0(x); w

�� (� _r(x; 0); w) ; 8w 2 V h

Entonces, el problema de Galerkin conduce al sistema de EDOs

M��d(t) +Kd(t) = F (t)

Md(0) = Y 0

M _d(0) = _Y 0

86

donde, si se hace una numeraci�on P = ID(I); Q = ID(J) de los nudos I; J 2 � � �1;

KPQ = a(NI ; NJ) =

ZrNT

I ErNJdx+ZbNINJdx+

Z�3

cNINJdl

MPQ =

Z�NINJdx

FP (t) = L(NI) =

Zf(x; t)NI(x)dx+ (t)NI(y) +

Z�2

h(x; t)NI(x)dl +

Z�3

l(x; t)NI(x)dl�

�XJ2�1

g(xJ ; t)

�ZrNT

I ErNJdx+ZbNINJdx+

Z�3

cNINJds

��XJ2�1

��g(xJ ; t)

Z�NINJdx

Y 0P =��u0(x); NI

��rh(x; 0); NI

�=

Z�u0NIdx�

XJ2�1

g(xJ ; 0)

�Z�NINJdx

�

Y �0P =�� _u0(x); NI

�� _rh(x; 0); NI

�=

Z� _u0NIdx�

XJ2�1

_g(xJ ; 0)

�Z�NINJdx

�

87





Ejercicio 1. (1 pto.) Se consideran unos datos (xi; yi); i = 1; :::; 20 contenidos en los vectores x =(x1; :::; x20) y y = (y1; :::; y20). Se pide escribir unas instrucciones de Matlab que calculen la funci�on dela familia

g(x) = � cosx+ �e�x +

que mejor ajusta los datos (xi; yi) por el criterio de m��nimos cuadrados.

Ejercicio 2. (1 pto.) Sea A 2 R200�200 y b 2 R200�1. Sea c el vector resultante de eliminar lasposiciones de b cuyo valor absoluto sea menor que 4. Sea D la matriz resultante de eliminar las mismas�las de A que se eliminaron en b y, posteriormente, de eliminar las columnas impares de la matrizresultante. Escribir unas instrucciones de Matlab que proporcionen la soluci�on �x por m��nimos cuadradosal sistema Dx = c.

|||||||||||||||||||||||||||||Soluci�on: hay que tener en cuenta que las posiciones de b no se pueden quitar una a una (pues eso

har��a que al eliminar la segunda posici�on los ��ndices de las posiciones estuvieran desplazados) sino quehay que eliminarlas todas a la vez.

||||||||||||||||||||||||||||

Ejercicio 3. (4 ptos.) Se considera el siguiente problema

�(d(x)u0(x))0 + �(x)u(x) = h(x)

�d(0)u0(0) + au(0) = b

d(L)u0(L) =

donde d; � y h son funciones y a; b y son constantes. El problema d�ebil asociado al mismo es: Encontraru 2 V � tal que 8w 2 V � se veri�queZ L

0du0w0 + au(0)w(0)� bw(0)� w(L) +

Z L

0�uw �

Z L

0hw = 0

dondeV � =

�w 2 C1t [0; L]

Se pide: escribir un conjunto de instrucciones de Matlab que calculen la matriz de rigidez ampliada �Ky el vector de fuerzas ampliado �F .

Nota:

88

� El mallado, los elementos y los nudos est�an de�nidos por malla, tipelem, CON y nudos.

� Se puede usar funbase� Las funciones d, � y h y est�an almacenadas en los m-�les d.m, ro.m y h.m

� Los nudos �� de integraci�on en el intervalo est�andar est�an contenidos en el vector �la psint, mientrasque los coe�cientes para la integraci�on est�an contenidos en el vector �la coe�nt.

� No hace falta guardar las matrices y vectores de cada elemento.

Soluci�on: Claramente

a(v; w) =

Z L

0du0w0 +

Z L

0�uw + au(0)w(0)

L(v) =

Z L

0hw + bw(0) + w(L)

con lo que

�KIJ =

Z L

0dN 0

IN0J +

Z L

0�NINJ + aNI(0)NJ(0)

�FI =

Z L

0hNI + bNI(0) + NI(L)

Por ello,

La contribuci�on de los t�erminosR L0 dN

0IN

0J y

R L0 �NINJ a

�KIJ y la contribuci�on deR L0 hNI a

�FI seprograma de forma an�aloga al caso de la barra axial.

Como NI(0) = 0 salvo si I = 1 y NI(L) = 0 salvo si I = lenght(nudos), la contribuci�on de aNI(0)NJ(0)a �KIJ es sumar a en la posici�on (1; 1), la contribuci�on de bNI(0) a �FI es sumar b en la posici�on 1 y lacontribuci�on de NI(L) a �FI es sumar b en la posici�on lenght(nudos).

|||||||||||||||||||||||||||||||||||

Ejercicio 4. (2.5 ptos.) Se considera el MEF aplicado al problema de la conducci�on del calor portransmisi�on en una placa plana.

�div (�gradu) = f ; x 2 (15)

u = g ; x 2 �1(�gradu) � n = h ; x 2 �2

para el cual el problema d�ebil es

(D): Encontrar u 2 S� tal que para todo w 2 V �,Z�rwTrudx =

Zfwdx+

Z�2

hwdl

La malla est�a de�nida por

elem=

26666664

9 1 8 01 2 6 82 3 4 66 4 5 06 5 7 07 8 6 0

3777777589

nudos=

�0 1 3 4 3 2 1 �1 �20 1 �1 2 4 2 5 2 1

�donde los elementos con 3 nudos son tri�angulos lineales y los de 4 nudos son cuadril�ateros bilinealesisoparam�etricos. Cada columna de nudos denota la posici�on de un nudo.

Los nudos 1, 2 y 9 pertenecen a �1, los nudos 3, 4; 5 y 7 y 8 pertenecen a �2 y el nudo 6 est�a situadoen el interior.

Se pide: calcular las contribuciones del segmento formado por los nudos 4 y 5 al vector de fuerzas,se~nalando en qu�e posici�on se ensamblar��a cada una de ellas. Se sabe que h(x; y) = 107 (x+ y � 10)N=m. Para integrar se utilizar�a la regla de SimpsonZ 1

�1f � 1

3f(�1) + 4

3f(0) +

1

3f(1)

|||||||||||||||||||||||||||-Soluci�on: Sean P y Q dos nudos situados sobre �2 y unidos por el segmento S(P;Q). La contribuci�on

del segmento S(P;Q) al vector de fuerzas est�a dada porZS(P;Q)

hNidl ; i = 1; :::; ne

donde se est�a utilizando numeraci�on local y ne es el n�umero de grados de libertad del elemento e al quepertenece dicho segmento. Parametrizando el segmento en la forma

r(t) =

��!OQ+

��!OP

2+ t

��!OQ��!OP

2; t 2 [�1; 1]

y usando la regla de Simpson se tiene

ZS(P;Q)

hNidl =

Z 1

�1h(r(t))Ni(r(t))

��!OQ��!OP 2

dt �

�

��!PQ 2

�1

3h(P )Ni(P ) +

4

3h(P +Q

2)Ni(

P +Q

2) +

1

3h(Q)Ni(Q)

�=

=

��!PQ 2

�1

3h(P )Ni(�

�1(P )) +4

3h(P +Q

2)Ni(�

�1(P +Q

2)) +

1

3h(Q)Ni(�

�1(Q))

�donde i = 1; :::; ne.

Buscando en CON vemos que el segmento S(4; 5) pertenece al elemento 4, que resulta ser un tri�angulocon nudos

6 ��22

�; 4 �

�42

�; 5 �

�34

�:

Por ello hay que calcularZS(4;5)

hNidl =k(3; 4)� (4; 2)k

2

�1

3h(4; 2)Ni(�

�1(4; 2)) +4

3h(7=2; 3)Ni(�

�1(3;5; 3)) +1

3h(3; 4)Ni(�

�1(3; 4))

�para i = 1; 2; 3.

90

Ahora vamos a determinar ��1(P ) = ��1(4; 2), ��1(P+Q2 ) = ��1(7=2; 3) y ��1(Q) = ��1(3; 4). Como

las funciones de base Ni en la referencia local son N1(�; �) = �, N2(�; �) = �, N3(�; �) = 1 � � � �, elcambio isoparam�etrico es�

xy

�=

�x6y6

�N1(�; �) +

�x4y4

�N2(�; �) +

�x5y5

�N3(�; �) =

=

�22

�� +

�42

�� +

�34

�(1� � � �) =

�3� � + �4� 2� � 2�

�y por lo tanto para hallar ��1(4; 2), ��1(7=2; 3) y ��1(3; 4) basta con resolver los sistemas

42==

3� � + �4� 2� � 2� ;

7=23

==

3� � + �4� 2� � 2� ;

34==

3� � + �4� 2� � 2�

respectivamente.Un forma alternativa (m�as directa) de proceder es la siguiente. Mirando en CON vemos que el

segmento S(4; 5) es el segundo lado del elemento 4. Por ello la imagen inversa de dicho segmento es elsegundo lado del tri�angulo est�andar, es decir, el segmento que une los puntos (�; �) = (0; 1) y (�; �) = (0; 0)en el tri�angulo est�andar. Por ello el nudo 4 se transforma por ��1 en (�; �) = (0; 1), el nudo 4 se transformapor ��1 en (�; �) = (0; 0). Adem�as, como � es una transformaci�on af��n eso implica que el punto mediodel segmento S(4; 5) es la imagen del punto medio del segundo lado del tri�angulo est�andar, es decir, delpunto (�; �) = (0; 1=2). En de�nitiva hemos hallado

��1(4; 2) = (0; 1)

��1(7=2; 3) = (0; 1=2)

��1(3; 4) = (0; 0)

Por tanto ZS(4;5)

hNidl =

p5

2

�1

3h(4; 2)Ni(0; 1) +

4

3h(7=2; 3)Ni(0; 1=2) +

1

3h(3; 4)Ni(0; 0)

�y como

h(4; 2) = �4 � 107

h(7=2; 2) = �7=2 � 107

h(4; 2) = �3 � 107

tenemosZS(4;5)

hNidl =

p5

2

��43107Ni(0; 1) +

4

3

�72107Ni(0; 1=2) +

1

3(�3)107Ni(0; 0)

�; i = 1; 2; 3

Finalmente, como

N1(0; 1) = 0 N1(0; 1=2) = 0 ; N1(0; 0) = 0

N2(0; 1) = 1 N2(0; 1=2) = 1=2 ; N1(0; 0) = 0

N3(0; 1) = 0 N3(0; 1=2) = 1=2 ; N1(0; 0) = 1

91

tenemos ZS(4;5)

hN1dl =

p5

2

��43107 � 0 + 4

3

�72107 � 0 + 1

3(�3)107 � 0

�= 0Z

S(4;5)hN2dl =

p5

2

��43107 � 1 + 4

3

�72107 � 1

2+1

3(�3)107 � 0

�= �11 �

p5

6� 107Z

S(4;5)hN3dl =

p5

2

��43107 � 0 + 4

3

�72107 � 1

2+1

3(�3)107 � 1

�= �11 �

p5

6� 107

Ahora

CON(4; 1) = 6

CON(4; 2) = 4

CON(4; 3) = 5

y, teniendo en cuenta que los nudos 1; 2 y 9 son esenciales, F tendr�a 9� 3 = 6 componentes yZS(4;5)

hN1dl se ensambla en la posici�on 4 de FZS(4;5)

hN2dl se ensambla en la posici�on 2 de FZS(4;5)

hN3dl se ensambla en la posici�on 3 de F

Aunque cuando se programa el MEF se procede como se ha detallado anteriormente, otra posibilidadpara resolver el ejercicio \a mano" es usar las Ni(x; y) en vez de las Ni(�; �). As�� se tendr��a

ZS(P;Q)

hNidl =

Z 1

�1h(r(t))Ni(r(t))

��!PQ 2

dt �

�

��!PQ 2

�1

3h(P )Ni(P ) +

4

3h(P +Q

2)Ni(

P +Q

2) +

1

3h(Q)Ni(Q)

�=

=

p5

2

�1

3h(4; 2)Ni(4; 2) +

4

3h(7=2; 3)Ni(7=2; 3) +

1

3h(3; 4)Ni(3; 4)

�; i = 1; 2; 3

y las Ni(x; y) se podr��an calcular utilizando que son de la forma

Ni(x; y) = a+ bx+ cy;

imponiendo las condiciones

N1(2; 2) = 1 ; N1(4; 2) = 0 ; N1(3; 4) = 0

N1(2; 2) = 0 ; N1(4; 2) = 1 ; N1(3; 4) = 0

N1(2; 2) = 0 ; N1(4; 2) = 0 ; N1(3; 4) = 1

y resolviendo los 3 sistemas resultantes.

92





� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)

�= f(x); x 2 (0; 1)

u(0) = u0; u(1) = u1

� 5.1. (1 pto) Consid�erense los siguientes datos de entrada:� malla=[0 0.1 0.3 0.6 0.9 0.95 1] donde los 2 primeros elementos son cuadr�aticos, los dos siguientesc�ubicos y los dos �ultimos lineales.

� u0 = �0;3 � 10�3, u1 = �0;5 � 10�3


� A(x) = cte = 1, E(x) = 109�2;2� x2 � sen(�x2)

�y f(x) = 3 � 107

�x� 1

2



K67 = �1;6618e+ 010 ; F5 = �4;7250e+ 005

� Como x = 0;6 pertenece a la vez a los elementos 3 y 4, desde un punto de vista estrictamentematem�atico la tensi�on no est�a de�nida en el punto (pues la tensi�on es la derivada de una funci�on queen ese punto presenta un punto anguloso, es decir, las derivadas por la derecha y por la izquierda noson la misma). Desde el punto de vista ingenieril, tenemos

�(0;6) =1;0492e+ 006 es la \tensi�on por la izquierda" (trabajando con el elemento 3)9;9711e+ 005 es la \tensi�on por la derecha" (trabajando con el elemento 4)1;0236 e+ 006 es la \tensi�on promedio" (promedio de las dos anteriores)

Cualquiera de las repuestas anteriores se considera v�alida.

� 5.2. (0.5 ptos.) Mismos datos que en 4.1. Dar una estimaci�on (con una precisi�on de 0.01) de todos lospuntos x de la barra en los que el desplazamiento es nulo.

� Soluci�on:x � 0;597 y x � 0;854

93

11. Junio 2010






� 1.1 (1 pto.) Sea el sistema Ax = b con A 2 Rn�n regular, y sea k�k una norma en Rn. Sup�ongase queel t�ermino independiente se perturba. Deducir una cota C para la variaci�on relativa en la soluci�on delsistema en t�erminos de la variaci�on relativa en el t�ermino independiente.

Consid�erense las matrices A y B de�nidas por

A = (~a1 j ~a2) 2 R2�2

B =�~b1 j ~b2

�2 R2�2

donde ~a1; ~a2, ~b1 y ~b2 est�an representados en la �gura

Razonar para cu�al de las dos matrices es mayor la cota C.

Soluci�on: La soluci�on a la primera parte se puede encontrar en los apuntes de la asignatura. En cuantoa la segunda, sabemos que la cota C, denominada n�umero de condici�on de la matriz (en la norma enla que se est�e trabajando), mide lo cerca que est�a una matriz de la singularidad. En el caso de lasmatrices 2 � 2, la distancia a la singularidad tiene que ver con lo cerca que est�an las columnas dela matriz de ser linealmente dependientes. Por ello, la cota C ser�a mayor en el caso de B, pues suscolumnas son \casi" colineales, que en el de A, en que sus columnas est�an lejos de ser linealmentedependientes.

94

� 1.2 (0.5 ptos.) Ventajas e inconvenientes de trabajar con la descomposici�on QR en vez de con ladescomposici�on LU para resolver un sistema de ecuaciones lineales n� n. Enunciar el resultado quegarantiza que trabajar con la descomposici�on QR presenta ciertas ventajas frente a trabajar con ladescomposici�on LU .


Ejercicio 2. (1 pto.) Consid�erese la aplicaci�on del MEF al problema de la transmisi�on de calor porconducci�on en dos dimensiones espaciales:

� 2.1. Explicar razonadamente si se podr��a utilizar una malla formada por cuadril�ateros bilineales conlos grados de libertad habituales.

� 2.2. Idem, si se considera una malla formada por tri�angulos lineales con los grados de libertad corre-spondientes al valor de la funci�on en el punto medio de cada lado.

� 2.3. Idem, si se considera una malla formada por tri�angulos c�ubicos con los grados de libertad habit-uales.

Soluci�on. Para que el problema de Galerkin aplicado al problema en cuesti�on tenga validez, los elementosutilizados deben estar bien de�nidos (cada funci�on del espacio correspondiente debe quedar determinadade forma un��voca por los grados de libertad de�nidos en el elemento) y adem�as las funciones de V h

deben tener una cierta regularidad interelementos. En efecto, las funciones utilizadas deben ser C1t (�)y como se est�a trabajando con polinomios a trozos, esto es equivalente a que las funciones de V h seancontinuas en �. Por lo tanto:

2.1. Se cumple que cada funci�on bilineal queda un��vocamente determinada por sus valores en los v�erticesde un cuadril�atero. Sin embargo, y salvo en el caso particular en que los elementos sean rect�angulos delados paralelos a los ejes, al pegar elementos de este tipo las funciones no son continuas en la fronterainterelementos, pues la variaci�on a lo largo de �esta es cuadr�atica y s�olo hay dos nudos en el lado (verapuntes asignatura). Por ello no se pueden usar. De hecho, �esta es la raz�on por la que se utilizanelementos bilineales isoparam�etricos (en los que las funciones no son siquiera polinomios pero s�� severi�ca las continuidad interelementos)

2.2. Se cumple que cada funci�on lineal queda un��vocamente determinada por sus valores en los puntosmedios de los lados de un tri�angulo. Sin embargo, claramente no se respeta la continuidad interelementos(ver apuntes asignatura) pues las funciones tienen una variaci�on af��n en cada lado pero s�olo hay unnudo situado en dicho lado.

2.3. Se cumple que cada funci�on c�ubica queda un��vocamente determinada por sus valores en los 10nudos del tri�angulo. Adem�as (ver apuntes asignatura) se respeta la continuidad interelementos, pues lasfunciones var��an de forma c�ubica en cada lado y hay 4 nudos en dicho lado.

Ejercicio 3. (2 ptos.) Explicar con todo detalle las ideas principales de la interpolaci�on y la aproxi-maci�on (lo que se explica en clase como introducci�on al tema)


95

Ejercicio 4. (2.5 ptos.) Sea � R2 abierto conexo con frontera C1 a trozos � = �1 [ �2 [ �3.Se considera el problema estacionario

�2Xi=1

2Xj=1

@

@xj

�cij(x)

@u

@xi

�= f(x) en

u(x) = g(x) en �12Xi=1

2Xj=1

cij(x)@u

@xinj = h(x) en �2

2Xi=1

2Xj=1

cij(x)@u

@xinj + �(x)u(x) = z(x) en �3

donde u(x) es el campo escalar inc�ognita. Se sabe que las cij(x) son funciones de clase 1 en y que paratodo x 2 , la matriz C(x) := [cij(x)] 2 R2�2 es sim�etrica semide�nida positiva (no necesariamentede�nida positiva). Adem�as, � es una funci�on positiva en �3. Se pide:

4.1 (1 pto.) Deducir el problema d�ebil especi�cando claramente los espacios con los que se trabaja.

4.2 (1.5 ptos.) Sup�ongase en este apartado que �1 = ;; �2 6= ;; �3 6= ;. Estudiar, demostr�andolo contodo rigor, si la forma bilineal a(�; �) es o no de�nida positiva en el espacio V � correspondiente.Soluci�on:

4.1. Multiplicando la EDP por una funci�on de test w(x) a la que pedimos que se anule en �1, integrandoen y usando la f�ormula de integraci�on por partesZ

@v

@xi(x)w(x)dx =

Z@v(x)w(x)nidl �

Z

@w

@xi(x)v(x)dx

v�alida para funciones v y w de clase 1 a trozos en , se llega al siguiente problema d�ebil:Encontrar u 2 S� tal que para toda w 2 V � se veri�que

a(u;w) = L(w)

donde:

a(u;w) =

Z

2Xi=1

2Xj=1

cij(x)@u

@xi(x)

@w

@xj(x)dx+

Z�3

�(x)u(x)w(x)dl

L(w) =

Zf(x)w(x)dx+

Z�2

h(x)w(x)dl +

Z�3

z(x)w(x)dl

S� =�w 2 C1t (�) : w = g en �1

V � =

�w 2 C1t (�) : w = 0 en �1

4.2. Si A 2 R2�2 es una matriz y x; y 2 R2 vectores, se veri�ca que

xTAy =2Xi=1

2Xj=1

xiaijyj

96

Como ru =�@u@x1

; @u@x2

�Ty rw =

�@w@x1

; @w@x2

�Tse tiene que

2Xi=1

2Xj=1

@u

@xi(x)cij(x)

@w

@xj(x) = ru(x)TC(x)rw(x)

y por tanto podemos escribir a(�; �) en la forma

a(u;w) =

Zrw(x)TC(x)ru(x)dx+

Z�3

�(x)u(x)w(x)dl

NOTA: obs�ervese que expresiones como

rv(x)C(x)rvT (x)rv(x)C(x)rv(x)C(x)rv(x)rv(x)(rv)2

no tienen sentido, pues las matrices y vectores que aparecen no se pueden multiplicar entre s��. En par-ticular, un vector no puede elevarse al cuadrado.

Si v 2 V � = C1t (�) entonces

a(v; v) =

Zrv(x)TC(x)rv(x)dx+

Z�3

�(x)v2(x)dl

Como C(x) es de�nida positiva para todo x se tiene que para todo x 2 , rv(x)TC(x)rv(x) � 0 y portanto Z

rv(x)TC(x)rv(x)dx � 0

Adem�as, como para todo x 2 �3; �(x)v2(x) se sigue queZ�3

�(x)v2(x)dl � 0

En de�nitiva, se ha demostrado que para todo v 2 V � a(v; v) � 0 y por ello a(�; �) es al menossemide�nida positiva. Para estudiar si a(�; �) es de�nida positiva, intentemos ver si el hecho de quea(v; v) sea 0 para alguna v 2 V �, implica que v = 0. Sea v 2 V � tal que a(v; v) = 0. Puesto que la sumade dos n�umeros no negativos s�olo puede ser cero si ambos son cero se tiene que:Z

rv(x)TC(x)rv(x)dx = 0 (16)Z

�3

�(x)v2(x)dl = 0 (17)

Usando (17) tenemos que puesto que la funci�on �(x)v2(x) es no negativa y continua en �3, debe ser�(x)v2(x) = 0 en �3, es decir, v = 0 en �3 (ojo, no en todo ).

Trabajemos ahora con (16): sean 1; :::;q trozos en los que v es de clase 1. Dividiendo la integral ensuma de integrales sobre los i se obtiene

qXi=1

Zi

rv(x)TC(x)rv(x)dx = 0

97

lo que implica, como todos los sumandos son no negativos, queRirv(x)TC(x)rv(x)dx = 0 en cada

i para i = 1; :::; q. Como la funci�on rv(x)TC(x)rv(x) es continua y no negativa en cada i se sigueque debe ser rv(x)TC(x)rv(x) = 0 en cada i. Sin embargo, como C(x) no necesariamente es de�nidapositiva para todo x; no podemos asegurar que se cumpla que rv(x) = 0 para todo x 2 i; i = 1; :::; q.

Parece que no est�a claro que se pueda demostrar que a(�; �) es de�nida positiva. Veamos si podemosencontrar un contraejemplo, es decir, un caso en el que cumpli�endose las hip�otesis del enunciado, laforma a(�; �) sea s�olo semide�nida positiva. Si tomamos C(x) = 0 es decir, C es la matriz nula para todox se tiene que C es semide�nida positiva para todo x, con lo cual cumple las hip�otesis del enunciado.Entonces

a(v; v) =

Z�3

�(x)v2(x)dl

con lo que si v es cualquier funci�on C1t (�) que se anule en �3 (pero no necesariamente en el resto de �)tenemos que a(v; v) = 0. Conclusi�on: no se puede garantizar que a(�; �) sea de�nida positiva.

98

Ejercicio 5. (3 ptos.) Se considera el problema del MEF aplicado a la placa de la �gura, que est�a someti-da a un estado de tensi�on plana y en la que los tri�angulos son lineales y los cuadril�ateros son bilinealesisoparam�etricos

Se conocen los siguiente datos del problema:

� Sobre la placa hay una fuerza distribuida f(x; y).� En el punto c � (7=4; 1=4) hay aplicada una fuerza puntual Fc = 107 (4; 3)T .� En el lado 12 el desplazamiento es nulo.� En el lado 17 el desplazamiento est�a dado por g(x; y) = 10�3 (x; y)T :� El lado 57 est�a sometido a un esfuerzo de�nido por h(x; y) = 107(x� 2; y � 1):� El resto de la frontera no est�a sometida a solicitaciones.

Se pide:

5.1. Calcular el vector Fpunt 2 R8 que proporciona la contribuci�on al vector de fuerzas F de la fuerzapuntual aplicada en c.

5.2. Calcular el vector Fseg 2 R8 que proporciona la contribuci�on al vector de fuerzas F del segmento57 al vector de fuerzas. Se utilizar�a la regla de Simpson, dada porZ 1

�1f � 1

3f(�1) + 4

3f(0) +

1

3f(1):

Nota: los 2 apartados se pueden resolver de forma independiente.

Soluci�on: En los segmentos 12 y 17 se especi�can condiciones de Dirichlet, mientras que en el restode la frontera las condiciones son de Neumann. Por ello, los nudos esenciales son 1; 2; 7 y los nudos noesenciales son f3; 4; 5; 6g.

99

5.1. El punto c pertenece elemento 4, que es un cuadril�atero bilineal isoparam�etrico formado por losnudos 1; 6; 5; 7, de los que s�olo 5 y 6 son no esenciales. Por tanto, las contribuciones de la fuerza Fc alvector de fuerzas estar�an dadas por

FcNI(c); I = 5; 6

y cada contribuci�on se ensambla por bloques en la posici�on P de F dada por

I P5 36 4

es decirFpunt =

�~0 ~0 FcN5(c) FcN6(c)

�TN�otese que si nos pidieran las contribuciones a �F entonces s�� que habr��a que considerar las contribucionesde los 4 grados de libertad del elemento.

Puesto que los c�alculos no los haremos con el ordenador sino a mano, es m�as c�omodo utilizar siemprenumeraci�on global, incluso cuando trabajemos en la referencia est�andar.

Para calcular NI(c) hacemos NI(c) = NI(�c; �c) donde (�c; �c) = ��1(c) = ��1(7=4; 1=4); NI denotala funci�on de base en el dominio est�andar (recu�erdese que estamos utilizando numeraci�on global) y � esel cambio isoparam�etrico. La expresi�on del cambio es:�

xy

�=

�x1y1

�N1(�; �) +

�x6y6

�N6(�; �) +

�x5y5

�N5(�; �) +

�x7y7

�N7(�; �) =

=

�00

�N1(�; �) +

�20

�N6(�; �) +

�32

�N5(�; �) +

�12

�N7(�; �) =

=

�20

�N6(�; �) +

�32

�N5(�; �) +

�12

�N7(�; �)

Ahora, en el dominio est�andar

N6(�; �) =1

4(1 + �) (1� �)

N5(�; �) =1

4(1 + �) (1 + �)

N7(�; �) =1

4(1� �) (1 + �)

100

Por ello el cambio es�xy

�=

�20

�1

4(1 + �) (1� �) +

�32

�1

4(1 + �) (1 + �) +

�12

�1

4(1� �) (1 + �) =

= � � � =�

14 (6 + 4� + 2�)

1 + �

�es decir

x =1

4(6 + 4� + 2�)

y = 1 + �

Por ello, resolviendo el sistema

7

4=1

4(6 + 4� + 2�)

3

2= 1 + �

obtenemos

(�c; �c) = ��1(7

4;3

2) =

�5

8;�34

�Por tanto N5

�58 ;�

34

�= 13

16�8 y N6�58 ;�

34

�= 13�7

16�8 con lo que

FcN5(c) =13

16 � 8107 (4; 3)T

FcN6(c) =13 � 716 � 810

7 (4; 3)T

y �nalmente se tiene

Fpunt = 107�0 0 0 0 13

16�213�316�8

13�716�2

13�7�316�8

�T5.2. Puesto que el segmento S(5; 7) pertenece al cuadril�atero 4, las contribuciones del segmento S(5; 7)

al vector de fuerzas est�an dadas por ZS(5;7)

hNIdl ; I = 6; 5

donde se est�a utilizando numeraci�on global. Estas contribuciones se ensamblan en la posici�on por bloquesP de F .

Parametrizando el segmento PQ en la forma

~r(t) =

��!OQ+

��!OP

2+ t

��!OQ��!OP

2; t 2 [�1; 1]

y usando la regla de Simpson se tieneZS(P;Q)

hNIdl =

Z 1

�1h(~r(t))NI(r(t))

��!OQ��!OP 2

dt �

�

��!PQ 2

�1

3h(P )NI(P ) +

4

3h(P +Q

2)NI(

P +Q

2) +

1

3h(Q)NI(Q)

�=

=2

2

�1

3h(3; 2)NI(3; 2) +

4

3h(2; 2)NI(2; 2) +

1

3h(1; 2)NI(1; 2)

�; I = 1; 6; 5; 7

101

Puesto que N6 se anula sobre el lado 57 se tieneZS(5;7)

hN6dl = 0

Adem�as, por la propia de�nici�on de las funciones de forma (funciones del espacio en cuesti�on quevalen uno en un nudo y cero en los dem�as) se tiene que

N5(3; 2) = N5(nudo 5) = 1 ; N5(1; 7) = N5(nudo 7) = 0

Para calcular N5(2; 2) = N5(P+Q2 ), puesto que no tenemos la expresi�on de las funciones NI trabajamos

en el dominio est�andar. As��, resolviendo el sistema (2; 2) = �(�; �) es decir

2 =1

4(6 + 4� + 2�)

2 = 1 + �

obtenemos (�; �) = (1; 0) y por tanto

N5(2; 2) = N5(��1(2; 2)) = N5(1; 0) = 1=2

Veamos una forma alternativa, un poco m�as inmediata, de calcular N5(2; 2). De la teor��a se sabe quelas funciones de base correspondiente al cuadril�atero bilineal isoparam�etrico, aunque no son ni siquierapolinomios (son la composici�on de funciones bilineales y la funci�on ��1; que no es polin�omica) var��an deforma af��n en los lados del cuadril�atero. Por tanto, como N5 vale 1 en el nudo 5 y 0 en el nudo 7, en elpunto (2; 2), que es el intermedio entre los dos, debe valer (1 + 0)=2 = 1=2.

Finalmente hemos llegado aZS(5;7)

hN5dl =1

3h(3; 2)N5(3; 2) +

4

3h(2; 2)N5(2; 2) +

1

3h(1; 2)N5(1; 2) =

=1

3h(3; 2) +

4

3h(2; 2)

1

2= 107 (1=3; 1)T

En de�nitiva, el vector pedido es

Fpunt = 107�0 0 0 0 1=3 1 0 0

�T

102





Ejercicio 1 (7.5 ptos.) Se considera el siguiente problema

�(x) _u(x; t)� (�(x)u0(x; t))0 + �(x)u(x; t) = f(x; t)

��(0)u0(0; t) + z(t)u(0; t) = h(t)

u(L; t) = (t)

u(x; 0) = u0(x)

donde �, �; �, f , z; h y son funciones.

El problema d�ebil asociado al mismo es: Encontrar v(x; t) (de clase 1 como funci�on de t) tal que paratodo t > 0, v(�; t) 2 V � y tal que 8w 2 V � se veri�que que para todo t > 0Z L

0�(x) _v(x; t)w(x) +

Z L

0�(x)v0(x; t)w0(x) +

Z L

0�(x)v(x; t)w(x) + z(t)v(0; t)w(0) =

=

Z L

0f(x; t)w(x) + h(t)w(0)�

Z L

0�(x) _r(x; t)w(x)�

Z L

0�(x)r0(x; t)w0(x) +

Z L

0�(x)r(x)w(x)�

� z(t)r(0; t)w(0)

y adem�asv(x; 0) = u0(x)� r(x; 0)

dondeV � =

�w 2 C1t [0; L] : w(L) = 0

Al aplicar el MEF usando una malla con n nudos se obtiene el problema

M _d+Kd = F

Md(0) = Y 0

Se pide:

1.1. (1.5 ptos.) Escribir qui�en es rh y la expresi�on de cada componente delM ,K, F y Y 0. No es necesariodividir en elementos.

1.2. (0.5. ptos.) Explicar con precisi�on qu�e hay que hacer para obtener F (t) a partir de �F (t).

103

1.3. (5.5 ptos.) Sup�ongase que ya se ha ejecutado la primera parte del programa MEF y que se disponede �M (Mb), �K (Kb), M (M ), K (K ), �d0 (d0b) y d0 (d0 ).

Se pide: Escribir un conjunto de instrucciones de Matlab que calculen dbacum = [ �d0 j �d1 j � � � j �ds] dondes es el n�umero de pasos de tiempo que se dan.

Nota:

� El mallado, los elementos y los nudos est�an de�nidos por malla, tipelem, CON y nudos.

� Se pueden usar los m-�les funbase, nudos, CON, busq.� Las funciones �, �; �, f , z; h; y _ est�an almacenadas en los m-�les kappa.m, beta.m, ro.m, f.m,zeta.m, hache.m, gamma.m y gammaprim.m.

� En todos los elementos se utiliza la misma f�ormula de cuadratura y los nudos �� de integraci�on enel intervalo est�andar est�an contenidos en el vector �la psint, mientras que los coe�cientes para laintegraci�on est�an contenidos en el vector �la coe�nt.

� Para avanzar en el tiempo se usar�a el m�etodo de Crank-Nicholson, que para el problema anteriortiene la forma �

M +h

2K

�dj+1 =

�M � h

2K

�dj +

h

2

�F j+1 + F j

�Se deber�a programar de forma que se minimice el n�umero de operaciones a realizar.

� No hace falta guardar las matrices y vectores de cada elemento.

Soluci�on: 1.1. Como el �unico nudo en la frontera esencial es el �ultimo, es decir �E = fng y � � �E =f1; 2; :::; n� 1g, tenemos que

rh(x; t) =XJ2�E

u(xJ ; t)NJ(x) = u(xn; t)Nn(x) = (t)Nn(t)

Llevamos a cabo la numeraci�on de inc�ognitas P = ID(I); Q = ID(J) de los nudos I; J 2 � � �1, queen este caso, al ser xn el �unico nudo esencial, ser�a

I = P

J = Q

y entonces del problema de Galerkin se obtiene

MPQ =

Z L

0�(x)NI(x)NJ(x)dx

KPQ =

Z L

0�(x)N 0

I(x)N0J(x)dx+

Z L

0�(x)NI(x)NJ(x)dx+ z(t)NI(0)NJ(0)

FP =

Z L

0f(x; t)NI(x)dx+ h(t)NI(0)�

�Z L

0�(x)NI(x)NJ(x)dx

�_ (t)�

��Z L

0�(x)N 0

I(x)N0J(x)dx+

Z L

0�(x)NI(x)NJ(x)dx

� (t)� z(t)Nn(0) (t)NI(0) =

=

Z L

0f(x; t)NI(x)dx+ h(t)NI(0)�

�Z L

0�(x)NI(x)NJ(x)dx

�_ (t)�

��Z L

0�(x)N 0

I(x)N0J(x)dx+

Z L

0�(x)NI(x)NJ(x)dx

� (t)

104

donde, n�otese, el t�ermino z(t)Nn(0) (t)NI(0) es nulo al ser Nn(0) = 0.

Y 0P =��u0; NI

�� (�Nn; NI) (0) =

Z L

0�(x)u0(x)NI(x)dx�

�Z L

0�(x)Nn(x)NI(x)dx

� (0)

1.2. Para obtener F (t) a partir de �F (t) hay que restar de �F (t) la �ultima columna de �K multiplicadapor (t) y la �ultima columna de �M multiplicada por _ (t). Despu�es se elimina la �ultima �la del vectorresultante.

Alternativamente, se puede eliminar la �ultima �la de �F ; �K y �M y, si denotamos F 0; K 0 y M 0 a lo queresulta de esa eliminaci�on, se resta de F 0 la �ultima columna de K 0 multiplicada por (t) y la �ultimacolumna de M 0 multiplicada por _ (t).

105





� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)

�= f(x); x 2 (0; 1)

u(0) = u0; u(1) = u1

� 2.1. (1 pto) Consid�erense los siguientes datos de entrada:� malla=[0 0.2 0.5 0.9 1] donde los 2 primeros elementos son cuadr�aticos y los dos siguientes c�ubicos.� u0 = �0;6 � 10�3, u1 = 0;5 � 10�3


� A(x) = cte = 1, E(x) = 109�2;7� x2 � 1;3 � sen(�x2)

�y f(x) = 4 � 107

�x� 1

2


Se pide: �K67, (ojo, matriz ampliada) F5 y �(0;3) (dar la soluci�on en la forma x:yzvw � 10k)� Soluci�on:

�K67 = �1;8478e+ 010 ; F5 = 1;0988e+ 006 ; �(0;3) = 5;2324e+ 006

� 2.2. (0.5 ptos.) Mismos datos que en 2.1. Dar una estimaci�on (con una precisi�on de 0.01) de todos lospuntos x de la barra en los que la tensi�on � es nula.


Ejercicio 3. (1 pto.) Dados los puntos (�2; 25), (�1; 5), (0; 1), (1; 5), (2; 0), (3; 5), hallar cu�al de lasdos funciones siguientes ajusta mejor dichos datos en la norma 1

g(x) = e�1;5�x + 5sen(3x)

h(x) = e�1;7�x + 6sen(3x)

Soluci�on: Sea x = (�2;�1; 0; 1; 2; 3) y y = (25; 5; 1; 5; 0; 5). Sea �g := (g(�2); g(�1); g(0); g(1); g(�2)) y�h := (h(�2); h(�1); h(0); h(1); h(�2)). Calculamos

k�g � yk1 = 13;0882 �h� y 1= 15;1483

106

y por tanto g ajusta mejor que h los datos en la norma 1.

107

12. Julio 2010

M�etodos Matem�aticos de Especialidad. Especialidad de Construcci�on. Curso 09-10Examen de Julio: 16-07-10





� 1. Demostrar que si la forma a(�; �) correspondiente a un problema d�ebil gen�erico es de�nida positiva,la matriz de rigidez resultante de la aplicaci�on del problema de Galerkin es de�nida positiva.

Soluci�on: Ver apuntes asignatura.

� 2. >C�omo se de�ne una norma matricial inducida? >Qu�e propiedades cumple?Soluci�on: Ver apuntes asignatura.

� 3. Al aplicar el MEF al problema de la barra axial, se sabe que la matriz de rigidez de un ciertoelemento cuadr�atico es de la forma siguiente

ke = 109

24 � � �2�1 � �3� � �

35donde � indica componentes en principio desconocidas. Calcular dichas componentes.||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||-

Soluci�on: ke es sim�etrica por serlo a(�; �). Adem�as, en los problemas en los que todos los grados delibertad son de tipo Lagrange, se sabe que la suma de cada �la de ke vale cero, y lo mismo le sucedea las columnas. Por ello se tiene

ke = 109

24 3 �1 �2�1 4 �3�2 �3 5

35||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||-

� 4. Se aplica el MEF al problema de tensi�on plana en la placa de la �gura, donde los tri�angulosson cuadr�aticos. Sobre el segmento 53 se especi�ca que el desplazamiento vale g(x; y) y el resto de lafrontera est�a libre.

108

Se pide: especi�car exactamente cu�al es el espacio V h (ojo, V h; no V �) asociado a la malla.

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||-

Soluci�on: V h es el subespacio de V � =�v : �! R2 : v 2 C1t () y v = 0 en el lado 53

que corre-

sponde a las funciones que son cuadr�aticas en 1 y en 2. Por ello, Vh es el espacio formado por las

funciones v : �! R2 tales que:a) Son polinomios de grado menor o igual que dos en 1 y polinomios de grado menor o igual quedos en 2.

b) Son continuas en � (para que tengan regularidad C1t ())

c) Se anulan en el lado 53:

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||-

� 5. Sea � R2 un dominio cuya frontera @ es una curva de clase 1 a trozos. Deducir, de formamatem�atica, una condici�on necesaria para que exista soluci�on en el siguiente problema de la conducci�ondel calor

�div (�(x)ru(x)) = f(x); x 2 ��(x)ru(x) � n(x) = h(x); x 2 @

donde n es el vector normal unitario saliente. Interpretar f��sicamente dicha condici�on.

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||-

Soluci�on: El problema corresponde a la conducci�on del calor en r�egimen estacionario con condicionesde Neumann �unicamente. Integrando la primera ecuaci�on

�Zdiv (�(x)ru(x)) dx =

Zf(x)dx

y aplicando el teorema de Gauss se tiene

�Z@�(x)ru(x) � n dx =

Zf(x)dx

es decir, usando la segunda ecuaci�on, se obtieneZ@h(x) dx =

Zf(x)dx

que es la condici�on que se debe cumplir.

F��sicamente, para que exista soluci�on se deber�a cumplir conservaci�on de la energ��a, es decir, la cantidadde calor que entra en el sistema debe ser igual a la cantidad que sale. Si no se cumpliese esta condici�on,la temperatura ser��a una funci�on del tiempo, es decir, el problema ya no se podr��a formular como unproblema estacionario. El ujo saliente de calor por la frontera es

R@ h(x) dx y la cantidad de calor

que se genera en el interior del dominio esR f(x)dx, as�� que estas dos cantidades deben ser iguales.

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

109

Ejercicio 2. (2 ptos.) Sea � R2 abierto conexo con frontera C1 a trozos � = �1[�2[�3. Se considerael siguiente problema de evoluci�on

�(x)u(x; t) + s(x)@2u

@t2(x; t) = div (D(x)rxu(x; t)) + f(x; t) + �(t)�c(x) en

(D(x)rxu(x; t)) � n(x) = h(x; t) en �1

(D(x)rxu(x; t)) � n(x) + �(x)u(x; t) = z(x; t) en �2

u(x; t) = g(x; t) en �3

u(x; 0) = u0(x) en

@u

@t(x; 0) = _u0(x) en

donde u(x; t) es el campo escalar inc�ognita, D es una funci�on escalar y donde �c es la delta de Diracaplicada en el punto c 2 �. Se pide: deducir el problema d�ebil correspondiente, especi�cando claramentela dependencia de todas las funciones involucradas respecto de las variables y la regularidad de lasmismas.

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Soluci�on: Multiplicamos la EDP por una funci�on de test w(x) a la que pedimos que se anule en �3 (partede la frontera en la que hay condiciones esenciales) integrando en y usamos la f�ormula de integraci�onpor partes Z

div (�rv)wdx =

Z@�rv � ndl �

Z�rv � rwdx

v�alida para funciones v 2 C1t (�) y w 2 C1t (�). Adem�as, de�nimos una funci�on r : � � [0;1) ! R talque para todo x 2 � la funci�on r(x; �) (es decir, r como funci�on de t para x �jo) es de clase 2 en [0;1)para todo t � 0 la funci�on r(�; t) es C1t (�) y adem�as r(x; t) = g(x; t) para todo x 2 �3 y todo t � 0.Entonces de�nimos v := u� r y el problema d�ebil es:Encontrar v(x; t) : �� [0;1)! R tal que:

� a) Para todo x 2 � la funci�on v(x; �) es de clase 2 en [0;1).� b) Para todo t � 0 la funci�on v(�; t) 2 V �

� c) Para todo t � 0 se cumple que para todo w 2 V �Zs(x)

��v(x; t)w(x)dx+

ZD(x)rxv(x; t)�rw(x)dx+


Z�2

�(x)v(x; t)w(x)dl =

=

Zf(x; t)w(x)dx+

Z�1

h(x; t)w(x)dl +

Z�2

z(x; t)w(x)dl + �(t)w(c)�

��Zs(x)

��r(x; t)w(x)dx+

ZD(x)rxr(x; t) � rw(x)dx+

Z�(x)r(x; t)w(x)dx+

Z�2

�(x)r(x; t)w(x)dl

�donde

V � =�w 2 C1t (�) : w = 0 en �3

� d) Se cumple

v(x; 0) = u0(x)� r(x; 0)_v(x; 0) = _u0(x)� _r(x; 0)

110

Ejercicio 3. (2 ptos.) Explicar toda la teor��a del elemento cuadril�atero bilineal isoparam�etrico (lo quese pide es la teor��a que se explica en clase)

Ejercicio 4. (3.5 ptos.) Se considera el MEF para el problema de la conducci�on del calor en la placa dela �gura, donde los tri�angulos son elementos cuadr�aticos y los cuadril�ateros son elementos bicuadr�aticosisoparam�etricos

Los nudos tienen las siguientes coordenadas:

I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18x 0 1 2 3/2 1 1/2 -1/2 -2 -1 -5/2 -3 -5/2 -2 -1 -7/4 -1 0 0y 0 0 0 1 2 1 2 2 1 3/2 1 0 -1 -1/2 1/2 -3/2 -2 -1

Datos:

� Sobre la placa hay una fuente de calor de valor f(x; y) = x2 + y2.

� En el segmento S(3; 5) la temperatura vale h(x; y) = 10(x+ 3y):� En el segmento S(11; 13) la temperatura vale l(x; y) = 30 + 30y:� En el segmento S(1; 17) hay un ujo de calor normal a la frontera y entrante de valor g(x; y) =(3 + y) � 102:

� El resto de la frontera es adiab�atica ( ujo de calor nulo).

Se pide:

� 4.1. (0.5 ptos.) Se considera el elemento tri�angulo 1; de v�ertices 1 � (0; 0), 3 � (2; 0) y 5 � (1; 2).Calcular la expresi�on de las coordenadas naturales de dicho tri�angulo 1 en funci�on de x e y: Nota:el �area de un tri�angulo de v�ertices (x1; y1), (x2; y2) y (x3; y3) se puede calcular mediante

1

2det

0@ 1 x1 y11 x2 y21 x3 y3

1A(si los v�ertices (x1; y1), (x2; y2) y (x3; y3) se toman de forma que de uno se pase al siguiente en sentidocontrario a las agujas del reloj).

111

� 4.2. (1 pto.) Calcular las contribuciones del ujo de calor sobre el segmento S(~x1; ~x17) al vector F yespeci�car d�onde se ensamblan (ojo, en F , no en �F ). Se utilizar�a la regla de Simpson, dada porZ 1

�1f � 1

3f(�1) + 4

3f(0) +

1

3f(1)

� 4.3. (0.75 ptos) Sup�ongase que se conocen las keIJ y los �feI (que, recu�erdese, tienen en cuenta la fuentede calor distribuida y el ujo de calor en la frontera), donde I y J corresponden a la numeraci�onglobal. Calcular K16 y F3 en funci�on de las k

eIJ y los

�feI (ojo, no se pide K y F , s�olo K16 y F3).

� 4.4. (1.25 ptos.) Al resolverse el sistema Kd = F se obtiene el vector

d = (8; 4; 8;�1; 2; 1; 0;�1; 3; 4; 0; 7)T

Calcular la temperatura aproximada en el punto c = (1=2; 0) (ver �gura)

Nota: los 4 apartados anteriores son independientes entre s��.

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Soluci�on: 4.1. Si tomamos el nudo 1 como el correspondiente a r = 1, el nudo 3 como el correspondientea s = 1 y el nudo 5 como el correspondiente a t = 1; tenemos que

r =A1A; s =

A2A; t =

A3A

donde A es el �area del tri�angulo y A1; A2 y A3 tienen el signi�cado de la �gura.

(obs�ervese que el orden de los v�ertices es arbitrario, y por ejemplo tambi�en podr��amos haber tomado

s =A1A; r =

A2A; t =

A3A

en cuyo caso el nudo 3 corresponder��a a r = 1, el 1 a s = 1 y el 5 a t = 1)

Ahora

A =1

2det

0@ 1 0 01 2 01 1 2

1A =1

2j4j = 2 ; A1 =

1

2det

0@ 1 x y1 2 01 1 2

1A =1

2(4� y � 2x)

A2 =1

2det

0@ 1 0 01 x y1 1 2

1A =1

2(2x� y) ; A3 =

1

2det

0@ 1 0 01 2 01 x y

1A = y

y por ello

r =1

4(4� y � 2x) ; s =

1

4(2x� y) ; t = 1

2y (18)

112

N�otese que como se debe cumplir r + s+ t = 1, cualquiera de las tres letras se podr��a haber calculadoa partir de las otras dos.

4.2. Los nudos esenciales son�E = f3; 4; 5; 11; 12; 13g (19)

y los no esenciales son� � �E = f1; 2; 6; 7; 8; 9; 10; 14; 15; 16; 17; 18g

La numeraci�on P = ID(I) de los nudos no esenciales es

IP

1 2 6 7 8 9 10 14 15 16 17 18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Puesto que el segmento S(~x1; ~x17) pertenece al cuadril�atero 4, con nudos 1; 13; 14; 16; 17 y 18, lascontribuciones de dicho segmento al vector de fuerzas est�an dadas porZ

S(~x1;~x17)gNIdl ; I = 1; 13; 14; 16; 17; 18

donde se est�a utilizando numeraci�on global. Cada una de estas contribuciones se ensambla en la posici�onP = ID(I) de F . Parametrizando el segmento S(~x1; ~x17) en la forma

~r(t) =�!x17 +�!x1

2+ t�!x17 ��!x1

2; t 2 [�1; 1]

y usando la regla de Simpson se tieneZS(~x1;~x17)

gNIdl =

Z 1

�1g(~r(t))NI(~r(t))

k�!x17 ��!x1k2

dt �

� long segm

2

�1

3g(�!x1)NI(�!x1) +

4

3h(�!x17 +�!x1

2)NI(

�!x17 +�!x12

) +1

3h(�!x17)NI(�!x17)

�N�otese que �!x17 +�!x1

2= �!x18

Por la propia de�nici�on de las funciones de base, NI(�!x1) = 0 salvo si I = 1 en cuyo caso vale 1;

NI(�!x17) = 0 salvo si I = 17 en cuyo caso vale 1, y NI(�!x18) = 0 salvo si I = 18 en cuyo caso vale 1. Por

tanto, en el caso I = 13; 14; 16 las contribuciones son nulas (con lo que no hace falta ensamblarlas) y,como long segm = 2 tenemosZ

S(1;17)gN1dl =

1

3g(�!x1) = 102 y se ensambla en la posici�on 1 de FZ

S(1;17)gN17dl =

1

3g(�!x17) =

2

3� 102 y se ensambla en la posici�on 11 de FZ

S(1;17)gN18dl =

4

3g(�!x18) =

4

3� 102 y se ensambla en la posici�on 12 de F

Obs�ervese que, aunque en principio tendr��amos que haber calculado las funciones de baseNI del tri�angulocuadr�atico 4, como s�olo tenemos que evaluar las funciones en puntos que son nudos, no ha sido necesariollevar a cabo ese c�alculo.

113

4.3. Con la numeraci�on anterior,

K16 = a(N1; N9) = k219 + k319

F3 = �f16 +�f26 � k165h(~x5)� k164h(~x4)� k163h(~x3)

4.4. El punto c est�a situado el elemento 1, que es un tri�angulo cuadr�atico con 6 grados de libertad.Entonces

uh(c) = �d1N1(c) + �d2N2(c) + �d3N3(c) + �d4N4(c) + �d5N5(c) + �d6N6(c)

Obs�ervese que c est�a situado en el segmento S(~x1; ~x3), es decir, en un lado del tri�angulo. Como lasfunciones de base de los nudos que no est�en sobre el segmento S(~x1; ~x3) valen cero en dicho lado y cpertenece a dicho segmento S(~x1; ~x3), tenemos que

N4(c) = N5(c) = N6(c) = 0

con lo queuh(c) = �d1N1(c) + �d2N2(c) + �d3N3(c)

Ahora hay que calcular N1(c), N2(c) y N3(c). Para ello podemos utilizar dos procedimientos:

a) Usar la expresi�on de las coordenadas naturales de 1 calculadas en el apartado 1. Usando la mismaconvenci�on que en el apartado 4.1. (nudo 1 corresp. a r = 1, nudo 3 corresp. a s = 1 y nudo 5 corresp.a t = 1) la expresi�on de las funciones de forma de los nudos 4, 5 y 6 (en numeraci�on global) es

N1 = 2r(r � 1=2) ; N2 = 4rs ; N3 = 2s(s� 1=2)

Ahora, las coordenadas r, s y t del punto c son

r =1

4(4� 0� 1) = 3=4 ; s =

1

4(2 � 1=2� 0) = 1=4 ; t =

1

20 = 0

y por tantoN1(c) = 3=8 ; N2 = 3=4 ; N3 = �1=8

b) Usar la variaci�on cuadr�atica de las funciones sobre los lados. Sabemos que las funciones NI sonpolinomios cuadr�aticos en x; y. Por ello, sobre un lado tienen una variaci�on cuadr�atica, y podemos usareste hecho para calcular f�acilmente la funci�on en cualquier punto del lado. Por ejemplo, N1 es cuadr�aticasobre el lado, y como debe valer 1 en ~x1 y cero en ~x2 y ~x3, tenemos que si llamamos z a la distancia alnudo ~x1 sobre el lado en cuesti�on se tiene

N1 jlado (z) =(z � 1)(z � 2)

2

y por tanto

N1(c) = N1 jlado (1=2) =(1=2� 1)(1=2� 2)

2=3

8

An�alogamente

N2 jlado (z) =z(2� z)

2; N2(c) = N2 jlado (1=2) =

3

4y

N3 jlado (z) =z(z � 1)

2; N3(c) = N3 jlado (1=2) = �

1

8

114

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Ahora, como

�d = (8; 4; h(~x3); h(~x4); h(~x5); 8;�1; 2; 1; 0; l(~x11); l(~x12); l(~x13);�1; 3; 4; 0; 7)

se tiene que

uh(c) = �d1N1(c) + �d2N2(c) + �d3N3(c) = 8 �N1(c) + 4 �N2(c) + h(~x3) �N3(c) =

= 8 �N1(c) + 4 �N2(c) + 20 �N3(c) = 8 �3

8+ 4 � 3

4+ 20

�18=7

2

que es la respuesta pedida.

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

115





Ejercicio 1 (7.5 ptos.) Se considera el siguiente problema en una dimensi�on espacial

�(x)@2u

@t2(x; t)� (�(x)u0(x; t))0 + �(x)u(x; t) = f(x; t); x 2 [0; L]; t � 0

�(L)u0(L; t) + �u(L; t) = h(t); t � 0u(0; t) = (t); t � 0u(x; 0) = u0(x); x 2 [0; L]

@u

@t(x; 0) = _u0(x); x 2 [0; L]

donde �, �; �, f , h, q y son funciones y � es una constante positiva.

El problema d�ebil asociado al mismo es: Encontrar u(x; t), de clase 2 como funci�on de t, tal que paratodo t > 0 se cumpla que u(�; t) es de clase C1t [0; L], que u(0; t) = (t) y tal que para todo w 2 V � severi�que que para todo t > 0Z L

0�(x)

��u(x; t)w(x) +

Z L

0�(x)u0(x; t)w0(x) +

Z L

0�(x)u(x; t)w(x) + �u(L; t)w(L) =

=

Z L

0f(x; t)w(x) + h(t)w(L)

y adem�as

u(x; 0) = u0(x)

_u(x; 0) = _u0(x)

dondeV � =

�w 2 C1t [0; L] : w(0) = 0


M��d+Kd = F (t)

Md(0) = Y 0

M _d(0) = _Y 0

116

Se pide:

1.1. (1.5 ptos.) Escribir qui�en es rh y la expresi�on de cada componente del M , K, F (t) y _Y 0. No esnecesario dividir en elementos.

1.2. (0.5 ptos.) Explicar con precisi�on qu�e hay que hacer para obtener _Y 0 a partir de _Y 0

1.3. (5.5 ptos.) Escribir un conjunto de instrucciones de Matlab que calculen K,M , _Y 0 y F (0) (es decir,no hace falta calcular F para todos los tiempos, s�olo para el instante inicial)

Nota:

� El mallado, los elementos y los nudos est�an de�nidos por las variables malla, tipelem, CON y nudos.

� Se pueden usar los m-�les funbase y busq.� Las funciones �, �; �, f , h; , _ , �� , u0 y _u0est�an almacenadas en los m-�les kappa.m, beta.m, ro.m,f.m, hache.m, gamma.m, gammaprim.m, gammaseg.m, u0 y u0prim.

� En todos los elementos se utiliza la misma f�ormula de cuadratura. Los nudos �� de integraci�on enel intervalo est�andar est�an contenidos en el vector �la psint, mientras que los coe�cientes para laintegraci�on est�an contenidos en el vector �la coe�nt.

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Soluci�on: 1.1.rh(x; t) = (t)N1(x)

KPQ =

Z L

0�(x)NI

0(x)NJ0(x)dx+

Z L

0�(x)NI(x)NJ(x)dx+ �NI(L)NJ(L)

MPQ =

Z L

0�(x)NI(x)NJ(x)dx

FP (t) =

Z L

0f(x; t)NI(x)dx+ h(t)NI(L)�

�� (t)

Z L

0�(x)NI(x)N1(x)dx�

� (t)�Z L

0�(x)NI

0(x)N10(x)dx+

Z L

0�(x)NI(x)N1(x)dx+ �NI(L)N1(L)

�

Y 0P =

Z L

0�(x)u0(x)NI(x)dx� (0)

Z L

0�(x)N1(x)NI(x)dx

_Y 0P =

Z L

0�(x) _u0(x)NI(x)dx� _ (0)

Z L

0�(x)N1(x)NI(x)dx

1.2. Para obtener _Y 0 a partir de _Y 0 hay que restar de _Y 0 la primera columna de �M multiplicada por_ (0) y luego eliminar la primera �la del vector resultante. Alternativamente, se puede eliminar la primera

�la de _Y 0 y de �M y, si denotamos _Y 00 y M 0 a lo que resulta de esa eliminaci�on, se resta de _Y 00 la primeracolumna de M 0 multiplicada por _ (0).

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

117





� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)

�= f(x); x 2 (0; 1)

u(0) = u0; u(1) = u1

� 2.1. (1 pto.) Consid�erense los siguientes datos de entrada:� malla=[0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1] donde todos los elementos son c�ubicos.� u0 = �0;9 � 10�3, u1 = 0;7 � 10�3

� Hay dos fuerzas puntuales, una en x = 0;45 con magnitud 2; 8�106 y otra en x = 0;8 con magnitud1;4 � 106.

� A(x) = cte = 1, E(x) = 109�2;7� x2 � 1;3 � sen(�x2)

�y f(x) = 4 � 107

�x� 1

2


Se pide: �K67, (ojo, matriz ampliada) F5 y �(0;35) (dar la soluci�on en la forma x:yzvw � 10k)� Soluci�on:

�K67 = �1;1921e+ 011 ; F5 = �4;8000e+ 005 ; �(0;35) = 5;7908e+ 006

� 2.2. (0.75 ptos.) Mismos datos que en 2.1. Sea A la matriz resultante de hacer igual a 109 las posicionesde K que son iguales a cero y sea b el vector resultante de hacer iguales a cero las componentes deF cuyo valor absoluto es menor que 2 � 105 Calcular la norma 1 de la soluci�on al sistema Ax = b.

kxk1 = 0;0234

� 2.3. (0.75 ptos.) Mismos datos que en 2.1. Sean c y C el vector y la matriz resultantes de eliminarla �la 16 de F y de K respectivamente. Calcular la norma 1 de la soluci�on al sistema Cx = c quecumple que su tercera componente es nula

kxk1 = 0;0792

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||-

Soluci�on: Podemos resolverlo por dos procedimientos:

118

Procedimiento I. La matriz K tiene dimensiones 29 � 29 y es regular, por lo que C, de dimensiones28 � 29 tiene rango 28. El sistema Cx = c es por tanto compatible indeterminado con un grado delibertad, es decir, la soluci�on general del sistema es de la forma x = xP +�v donde xP es una soluci�onparticular del sistema, donde v es un vector del n�ucleo de C y donde � 2 R. Una soluci�on particularse puede obtener mediante xP = Cnc y v se obtiene mediante v = null(C). Por tanto, forzando a quex(3) = 0 se tiene

� = �xP (3)=v(3) = 0;0169

y por ellox = xP + 0;0169 � v

Calculando su norma 1 se obtiene kxk1 = 0;0792.Procedimiento II. A las ecuaciones del sistema Cx = c les a~nadimos la ecuaci�on x(3) = 0, es decir,

eT3 x = 0

donde e3 es el tercer vector can�onico, y resolvemos el sistema resultante�CeT3

�x =

�c0

�. Para ello podemos usar las siguiente instrucciones: z=zeros(1,29); z(3)=1; Cprim=[C;z]; cprim=[c;0];x=Cprimncprim; norm(x,1)||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

119

13. Febrero 2011





Ejercicio 1. (2 ptos.) Responder de forma breve y razonada a las siguientes cuestiones:

1.1. (0.5 ptos.) Describe brevemente todas las razones por las que el problema d�ebil es \m�as c�omodo"que el problema fuerte.

Soluci�on: el problema d�ebil generaliza al fuerte en dos sentidos: permite incorporar datos m�as generales(por ejemplo, los datos no tienen por qu�e ser continuos) y permite soluciones m�as generales (por ejemplo,en los problemas en los que la soluci�on fuerte debe ser de clase dos, basta con que la soluci�on al problemad�ebil sea de clase uno a trozos).

1.2. (0.5 ptos.) Se considera el problema de la transmisi�on del calor por conducci�on en una placa encuya frontera se especi�ca la temperatura. A dicho problema se le aplica el MEF. Razonar si las �las deK suman o no cero.

Soluci�on: sabemos que en el caso del enunciado K es de�nida positiva y por ello regular. Por ello, sus�las no pueden sumar cero, ya que si lo hicieran K ser��a singular (como se vio en clase).

1.3. (1 pto.) Sea el problema

u00(x) + x2 tanx = 0; x 2 (0; 1)u(0) = �2 � 10�3

u0(1) = 3 � 107

>Qu�e condiciones se deben cumplir para poder aplicar el m�etodo de Galerkin tomando un conjunto V h?Estudiar razonadamente si se puede aplicar el m�etodo de Galerkin en cada uno de los siguientes casos:

a. Se toma V h como el conjunto de las funciones de la forma �x+ � sinx, con �; � 2 Rb. Se toma V h como el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que dos.

c. Se toma V h = ffunciones w : [0; 1]! R de clase 1 a trozos tales que w(0) = 0g.Soluci�on: La condici�on que se debe cumplir para aplicar el m�etodo de Galerkin es que V h sea unsubespacio de V � de dimensi�on �nita. En nuestro caso,

V � =�funciones de C1t [0; 1] que se anulan en el punto x = 0

:

Por ello:

120

a. Se cumple porque V h es de dimensi�on �nita (concretamente 2), y sus funciones son de C1t [0; 1] y seanulan en x = 0, con lo que V h � V �.

b. No se cumple porque V h aunque es de dimensi�on �nita (concretamente 3) y sus funciones son deC1t [0; 1], dichas funciones no se anulan en x = 0, con lo que no es cierto que V

h est�e incluido en V �.

c. No se cumple porque V h = V �, con lo que V h es subespacio de V � (un espacio vectorial siempre essubespacio vectorial de s�� mismo) pero no es de dimensi�on �nita, pues no existe ninguna base de V � conun n�umero �nito de elementos.

Ejercicio 2. (1.5 ptos.) Se consideran las ecuaciones normales correspondientes al sistema Ax = bdonde A 2 Rm�n.

2.1. Estudiar razonadamente la existencia e unicidad de soluci�on a dichas ecuaciones normales (no sepide deducir las ecuaciones)

2.2. >Qu�e problema pr�actico presenta la resoluci�on de las ecuaciones normales? Describir el procedimien-to pr�actico para resolver num�ericamente un problema de m��nimos cuadrados (estudiar s�olo el caso enque m > n y rg(A) = n)

Soluci�on: Ver apuntes teor��a.

Ejercicio 3. (3 ptos.) Consid�erese el problema de evoluci�on para una placa plana con frontera � =�1 [ �2 sometida a un estado de tensi�on plana en el que la inc�ognita es el desplazamiento u = (u1; u2)

2Xj=1

@�ij(x; t)

@xj+ fi(x; t) = �(x)

@2ui(x; t)

@t2; x 2 ; t � 0 ; i = 1; 2

u(x; t) = g(x; t) ; x 2 �1; t � 02Xj=1

�ij(x; t)nj(x) = hi(x; t); i = 1; 2 ; x 2 �2; t � 0

u(x; 0) = u0(x) ; x 2 @u

@t(x; 0) = _u0(x) ; x 2

Se pide: deducir, dando todos los pasos y demostrando todas las f�ormulas que se usen, el problema d�ebil\reformulado".

Soluci�on: En primer lugar, para cada i = 1; 2 se eligen funciones wi de test de forma que wi 2 eV �,donde eV � := �w 2 C1t (�) : w = 0 en �1y de�nimos w = (w1; w2) con lo que entonces w 2 V � := eV � � eV �.

Multiplicamos la ecuaci�on i-�esima por wi 2 eV �, integramos en y sumamos en i obteniendo3X

i;j=1

Z

@�ij@xj

widx+3Xi=1

Zfiwidx =

3Xi=1

Z�@2ui@t2

widx (20)

Ahora utilizaremos la siguiente f�ormula de integraci�on por partes

3Xi;j=1

Z

@�ij(u)

@xjwidx =

3Xi;j=1

Z@�ij(u)winjdl �

3Xi;j=1

Z�ij(u)"ij(w)dx (21)

121

Para deducir (21) usamos la f�ormula de integraci�on por partes b�asicaZ

@�

@xi�dx =

Z@��nidl �

Z

@�

@xi�dx

y entonces3X

i;j=1

Z

@�ij(u)

@xjwidx =

3Xi;j=1


3Xi;j=1

Z

@wi@xj

�ij(u)dx

con lo que lo �unico que hay que hacer ahora es demostrar que

3Xi;j=1

Z�ij(u)"ij(w)dx =

3Xi;j=1

Z

@wi@xj

�ij(u)dx

Para ello, usamos que

"ij(w) =1

2

�@wi@xj

+@wj@xi

�y entonces

3Xi;j=1

Z�ij(u)"ij(w)dx =

1

2

3Xi;j=1

Z�ij(u)

@wi@xj

dx| {z }(1)

+1

2

3Xi;j=1

Z�ij(u)

@wj@xi

dx| {z }(2)

=3X

i;j=1

Z�ij(u)

@wi@xj

dx

donde en la �ultima igualdad se ha usado que, al sumarse en i y en j, los dos sumandos (1) y (2) valen lomismo. As��, se ha demostrado lo que se quer��a.

Entonces, usando (21), la expresi�on (20) tenemos

3Xi;j=1


3Xi;j=1

Z�ij(u)"ij(w)dx+

3Xi=1

Zfiwidx =

3Xi=1

Z�@2ui@t2

widx (22)

La integral curvil��nea sobre @ se descompone en suma de integrales sobre �1 y sobre �2. Usando lascondiciones naturales se obtiene

3Xi;j=1

Z�2

�ij(u)winjdl =3Xi=1

Z�2

wi

0@ 3Xj=1

�ij(u)nj

1A dl =3Xi=1

Z�2

wihidl

mientras que utilizando que las funciones de test wi se anulan sobre �1 se sigue que

3Xi;j=1

Z�1

�ij(u)winjdl = 0

por lo que (22) toma la forma

3Xi=1

Z�@2ui@t2

widx+3X

i;j=1

Z�ij(u)"ij(w)dx =

3Xi=1

Z�2

hiwidl +

3Xi=1

Zfiwidx

que podemos expresar en forma m�as compacta comoZ�@2u

@t2� wdx+

Z�ij(u) � "(w)dx =

Z�2

h � wdl +Zf � wdx

122

Para trabajar s�olo con espacios vectoriales, plantearemos directamente del denominado problema d�ebilreformulado". Para ello se de�ne una funci�on r : �� [0;1)! R2 tal que:

i. Para todo x 2 � la funci�on r(x; �) (es decir, r como funci�on de t para x �jo) es de clase 2 en [0;1)ii. Para todo t � 0 la funci�on r(�; t) pertenece a C1t (�)� C1t (�) y adem�as r(x; t) = g(x; t) para todo

x 2 �1 y todo t � 0.Entonces de�nimos v := u� r y el problema d�ebil reformulado es:(D) Encontrar v(x; t) : �� [0;1)! R tal que:a) Para todo x 2 � la funci�on v(x; �) es de clase 2 en [0;1).b) Para todo t � 0 la funci�on v(�; t) 2 V �c) Para todo t � 0 se cumple que para todo w 2 V �Z�@2v

@t2� wdx+

Z�ij(v) � "(w)dx =

Z�2

h � wdl +Zf � wdx�

�Z�@2r

@t2� wdx+

Z�ij(r) � "(w)dx

�(n�otese que los dos miembros de la igualdad son funciones del tiempo)

d) Se cumplen las condiciones iniciales

v(x; 0) = u0(x)� r(x; 0) ; x 2 @v

@t(x; 0) = _u0(x)� @r

@t(x; 0) ; x 2

Ejercicio 4 (3.5 ptos.) Se considera el MEF para el problema de la conducci�on del calor en la placa dela �gura, donde los tri�angulos son lineales y el cuadril�atero es bilineal

Datos:

La conductividad en la placa es constante e igual a �.

Sobre la placa hay una fuente de calor de valor f(x; y) = 102(x+ 2y2).

En el punto d = (1=2; 0) hay una fuente de calor de magnitud Q = 2 � 102.

En el segmento S(2; 3) la temperatura vale 0:

En el segmento S(3; 4) la temperatura vale l(x; y) = 30� 30y:

En el segmento S(6; 7) hay un ujo de calor normal a la frontera y entrante de valor g(x; y) = (y + 3x)�102:

El resto de la frontera es adiab�atica ( ujo de calor nulo).

123

Se pide:4.1. (0.5 ptos.) Calcular las contribuciones al vector F de la fuente puntual de calor aplicada en

d = (1=2; 0)T ; y especi�car en qu�e posiciones de F se deben ensamblar.4.2. (1 pto.) Calcular la contribuci�on del segmento que une los nudos 6 y 7, a F3 (tercera posici�on de

F ) usando la siguiente f�ormula de cuadraturaZ 1

�1f(x)dx � 1

4f(�1) + 3

4f(�1=3) + 3

4f(1=3) +

1

4f(1)

4.3. (1 pto.) Calcular de forma exacta (sin utilizar f�ormulas de cuadratura) k157 (donde se est�a uti-lizando numeraci�on global)

4.4. (1 pto.) Al resolver el sistema Kd = F se obtiene d = 102 (1; 5; 2; 6)T . Calcular la temperaturaaproximada en el punto c = (2;�1=3)T

Sugerencia: se recomienda trabajar en la referencia real (no trabajar en la referencia est�andar)Notas:i. Todos los apartados son independientes entre s��.ii. Se recuerda que el problema d�ebil correspondiente es: Encontrar u 2 S tal que para todo w 2 V se

cumple Z�ruTrwdx =

Zfwdx+

Z�2

gwdl +Qw(d)

Soluci�on: Los nudos no esenciales son � � �E = f1; 5; 6; 7g4. 1. Las contribuciones pedidas valen QNI(d) = 200NI(d) para I = 1; 5; 6 y 7. Como d est�a situado

sobre el lado S(5; 1) tenemos que N6(d) = N7(d) = 0 y por ello las �unicas contribuciones no nulas son200NI(d) para I = 1; 5.

Para calcular N1(d) y N5(d) se puede trabajar con dos enfoques:a) Sin calcular expl��tamente las NI . Como las funciones de base var��an de forma lineal sobre el lado

S(1; 5) y sabemos que N1(~x1) = 1, N1(~x5) = 0, N5(~x1) = 0 y N5(~x5) = 1, se deduce inmediatamente queN1(1=2; 0) = 1=4 y N5(1=2; 0) = 3=4.

b) Calculando expl��tamente las NI . Puesto que d pertenece a 1, y tambi�en a 4;para calcular N1(d)y N5(d) se puede trabajar con cualquiera de los dos elementos. Puesto que en los apartados posterioresnos piden cosas relacionadas con el elemento 1 podemos utilizar el elemento 1. Ahora, usando la teor��ade interpolaci�on en una malla rectangular, tenemos que

N5(x; y) =x� 2�2

y � 1�1 =

1

2(2� x) (1� y) (23)

N1(x; y) =x

2

y � 1�1 =

1

2x(1� y)

N7(x; y) =x

2y =

1

2xy

N6(x; y) =x� 2�2 y =

1

2(2� x) y

(las funciones N6 y N7, que por ahora no son necesarias, las calculamos por si las necesitamos m�asadelante) y sustituyendo tenemos las contribuciones

200N1(1

2; 0) = 200

1

4= 50 y se ensambla en la posici�on 1 de F

200N5(1

2; 0) = 200

3

4= 150 y se ensambla en la posici�on 2 de F

124

4. 2. Las contribuciones a F del segmento S(6; 7) sonZS(6;7)

gNIdl; I 2 � � �E

aunque, como las funciones N5 y N1 se anulan en los nudos 6 y 7, y por ello tambi�en en el segmento quelos une, las �unicas contribuciones no nulas sonZ

S(6;7)gNIdl; I = 6; 7

que se ensamblan en las posiciones 3 (cuando I = 6) y 4 (cuando I = 7) de F . Por ello, nos est�an pidiendoZS(6;7)

gN6dl

Parametrizando el segmento en la forma

~r(t) =~x7 � ~x62

t+~x7 + ~x62

(24)

con t 2 [�1; 1] tenemosZS(6;7)

gN6dl =

Z 1

�1g(~r(t))N6(~r(t))

~r0(t) dt = Z 1

�1g(~r(t))N6(~r(t))

~r0(t) dt ==k~x7 � ~x6k

2

Z 1

�1g(~r(t))N6(~r(t))dt �

� k~x7 � ~x6k2

�1

4g(~r(�1))N6(~r(�1)) +

3

4g(~r(�1=3))N6(~r(�1=3)) +

3

4g(~r(1=3))N6(~r(1=3)) +

1

4g(~r(1))N6(~r(1))

�Para calcular ~r(�1), ~r(�1=3), ~r(1=3) y ~r(1) podemos usar (24) o bien usar que (24) es una transformaci�onaf��n y que �estas conservan las proporciones, con lo que los puntos buscados son los extremos del segmentoS(6; 7) (nudos ~x6 y ~x7) y dos puntos equiespaciados, es decir,ZS(6;7)

gN6dl �k~x7 � ~x6k

2

�1

4g(~x6)N6(~x6) +

3

4g(2=3; 1)N6(2=3; 1) +

3

4g(4=3; 1)N6(4=3; 1) +

1

4g(~x7)N6(~x7)

�=

=k~x7 � ~x6k

2

�1

4g(~x6) +

3

4g(2=3; 1)N6(2=3; 1) +

3

4g(4=3; 1)N6(4=3; 1)

�donde se ha usado que N6(~x6) = 1 y N6(~x7) = 0. Ahora, para calcular N6(2=3; 1) y N6(4=3; 1) se puedeutilizar (23) o bien, de forma similar a la seguida en el primer apartado, usar la variaci�on lineal de N6sobre el lado S(6; 7). Sustituyendo obtenemosZ

S(6;7)gN6dl �

1

4g(~x6) +

3

4

2

3g(2=3; 1) +

3

4

1

3g(4=3; 1) =

1

4102 +

3

4

2

33 � 102 + 3

4

1

35 � 102 =

=1

4102 +

3

4

2

33 � 102 + 3

4

1

35 � 102 = 300

4.3. Se tiene que

k157 :=

Z Z1

�rNT5 rN7dxdy = �

Z Z1

rNT5 rN7dxdy

125

Ahora

rN5 =1

2(y � 1; x� 2)T

rN7 =1

2(y; x)T

Por ello

k157 = �

Z Z1

rNT5 rN7dxdy =

�

4

Z Z[0;2]�[0;1]

[y(y � 1) + x(x� 2)] dxdy =

=�

4

Z 2

0

�Z 1

0

�y2 � y + x2 � 2x

�dy

�dx =

�

4

Z 2

0

�1

3� 12+ x2 � 2x

�dx =

=�

4

Z 2

0

��16+ x2 � 2x

�dx =

�

4

��26+8

3� 4�=�

4

��53

�=�5�12

k157 se debe ensamblar en la posici�on (2; 4) de K.4.4. Sabemos que (d1; d5; d6; d7)

T = 102 (1; 5; 2; 6)T . Puesto que c pertenece a 3, tenemos que

uh(c) = d1N1(c) + d2N2(c) + d3N3(c)

y como, la temperatura sobre el lado S(2; 3) es nula, tenemos d2 = d3 = 0 y por ello

uh(c) = d1N1(c) = 100N1(c)

Para calcular N1 (sobre el elemento 3) usamos que N1 es af��n, N1(x; y) = �+�x+ y, y que N1(~x1) = 1y N1(~x2) = N1(~x3) = 0. Planteando el sistema de ecuaciones y resolvi�endolo, obtenemos

N1(x; y) = 2�1

2x+

3

2y

y por tanto

uh(c) = 100N1(2;�1=3) = 1001

2= 50

Nota: en el enunciado se recomienda trabajar en la referencia real, es decir, usar los elementos realese en vez de los elementos est�andar e. Esto es as�� porque estamos haciendo los c�alculos a mano yentonces suele ser m�as c�omodo trabajar en la referencia real. Al programar el MEF siempre es m�asc�omodo trabajar con los elementos est�andar.

126

M�etodos Matem�aticos de Especialidad. Especialidad de Construcci�on. Curso 10-11.Examen de Febrero: 10-01-2011




Ejercicio 1. (1 pto.) Sean A 2 Rm�n y b 2 Rm�1: Explicar brevemente qu�e es lo que calcula, y porqu�e m�etodo lo hace, la instrucci�on de Matlab x = Anb.Ejercicio 2. (1 pto.) Se consideran unos datos (xi; yi); i = 1; :::; 100 contenidos en los vectores

xdat = (x1; ::::; x100) y ydat = (y1; ::::; y100). Se pide escribir unas instrucciones de Matlab que calculenla funci�on de la familia


que mejor ajusta los datos (xi; yi) por el criterio de m��nimos cuadrados.Ejercicio 3 (6 ptos.) Se considera el siguiente problema en una dimensi�on espacial

�(x)��u(x; t)� u00(x; t) + �(x)u(x; t) = f(x; t) + C�c(x); x 2 [0; L]; t � 0

u0(0; t) + �u(0; t) = g(t); t � 0u(L; t) = �(t); t � 0u(x; 0) = u0(x); x 2 [0; L]_u(x; 0) = _u0(x); x 2 [0; L]

donde �, �, f , g y � son funciones, �c es la delta de Dirac aplicada en un punto c de la barra y C y �(alpha)son constantes.

El problema d�ebil asociado al mismo es: Encontrar u(x; t), de clase 2 como funci�on de t, tal quepara todo t > 0 se cumpla que u(�; t) es de clase C1t [0; L], que u(L; t) = �(t) y tal que para todo w 2 V �se veri�que que para todo t > 0Z L

0�(x)

��u(x; t)w(x) +

Z L

0u0(x; t)w0(x) +

Z L

0�(x)u(x; t)w(x) + �u(0; t)w(0) =

=

Z L

0f(x; t)w(x) + g(t)w(0) + Cw(c)

dondeV � =

�w 2 C1t [0; L] : w(L) = 0

y adem�as se cumpla

u(x; 0) = u0(x)

_u(x; 0) = _u0(x)

127


M��d+Kd = F (t)

Md(0) = Y 0

M _d(0) = _Y 0

Se pide:

3.1. (1.5 ptos.) Escribir qui�en es rh y la expresi�on de cada componente de M , K, F (t) y Y 0. No esnecesario dividir en elementos.

3.2. (0.5 ptos.) Explicar con precisi�on qu�e hay que hacer para obtener F (t) a partir de F (t)

3.3. (4 ptos.) Sup�ongase queM es conocida. Escribir un conjunto de instrucciones de Matlab que calculenK y F (0) (es decir, no hace falta calcular F para todos los tiempos, s�olo para el instante inicial)

Notas:

El mallado, los elementos y los nudos est�an de�nidos por las variables malla, tipelem, CON y nudos.

Se pueden usar los m-�les funbase y busq.

En todos los elementos se utiliza la misma f�ormula de cuadratura. Los nudos �� de integraci�on en elintervalo est�andar est�an contenidos en el vector �la psint, mientras que los coe�cientes para la integraci�onest�an contenidos en el vector �la coe�nt.

Las funciones �, �, f , g; �, _�,��, u0 y _u0est�an almacenadas en los m-�les eta.m, phi.m, f.m, g.m, beta.m,

betaprim.m, betaseg.m, u0 y uprim0.

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Soluci�on: 3.1. Tenemos que �E = fng, y por ello � � �E = f1; 2; :::; n� 1g. rh tiene la expresi�on

rh(x; t) = �(t)Nn(x)

Se hace una numeraci�on de los nudos no esenciales P = ID(I), Q = ID(J), I; J 2 � � �E y entonces

KPQ =

Z L

0NI

0(x)NJ0(x)dx+

Z L

0�(x)NI(x)NJ(x)dx+ �NI(0)NJ(0)

MPQ =

Z L

0�(x)NI(x)NJ(x)dx

FP (t) =

Z L

0f(x; t)NI(x)dx+ g(t)NI(0) + CNI(c)�

��(t)

Z L

0�(x)NI(x)Nn(x)dx�

� �(t)�Z L

0NI

0(x)Nn0(x)dx+

Z L

0�(x)NI(x)Nn(x)dx+ �NI(L)Nn(L)

�

Y 0P =

Z L

0�(x)u0(x)NI(x)dx� �(0)

Z L

0�(x)Nn(x)NI(x)dx

_Y 0P =

Z L

0�(x) _u0(x)NI(x)dx� _�(0)

Z L

0�(x)Nn(x)NI(x)dx

128

3.2. Para construir F (t) a partir de F (t) se procede as��: Primero se resta de �F (t) la �ultima columna

de �M multiplicada por��(t) y la �ultima columna de �K multiplicada por �(t). Posteriormente se elimina

la �ultima componente del vector resultante.||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

129

M�etodos Matem�aticos de Especialidad. Especialidad de Construcci�on. Curso 10-11.Examen de Febrero: 10-01-2011




� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)

�= f(x); x 2 (0; 1)

u(0) = u0; u(1) = u1

� 4.1. (1 pto.) Consid�erense los siguientes datos de entrada:� malla=[0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1] donde todos los elementos son c�ubicos.� u0 = �0;2 � 10�3, u1 = 0;7 � 10�3

� Hay dos fuerzas puntuales, una en x = 0;55 con magnitud 2; 5�106 y otra en x = 0;8 con magnitud1;2 � 106.

� A(x) = cte = 1, E(x) = 109�2;7� x2 � 1;3 � sen(�x2)

�y f(x) = 4 � 107

�x� 1

2


Se pide: �K67, (ojo, matriz ampliada) F5 y �(0;52) (dar la soluci�on en la forma x:yzvw � 10k conx 6= 0)� Soluci�on:

�K67 = �1;1921e+ 011 ; F5 = �1;5625e+ 005 ; �(0;52) = 4;5855e+ 006

� 4.2. (1 pto.) Mismos datos que en 4.1. Sea A la matriz resultante de hacer iguales a 1011 las com-ponentes de K que son mayores que 1011. Sea b el vector resultante de hacer iguales a cero lascomponentes impares de F . Calcular la norma in�nito de la soluci�on al sistema Ax = b.

kxk1 = 6;6602e� 004

130

14. Junio 2011

M�etodos Matem�aticos de Especialidad. Especialidad de Construcci�on. Curso 10-11

Examen de Junio: 06-06-2011M�ETODOS NUM�ERICOS: Teor��a

Duraci�on: 70 minutos



Ejercicio 1. (2 ptos.) Responder de forma concisa y precisa a las siguientes cuestiones:

1.1. >C�omo se de�ne una norma matricial inducida? >Qu�e propiedades cumple?

1.2. Sea el problema de la transmisi�on del calor por conducci�on en r�egimen estacionario

div(kru) + f = 0 en u = g en @

que se resuelve usando el MEF con un mallado concreto. Sup�ongase que la funci�on g se cambia porotra funci�on h. >Qu�e tendr��a que cumplirse para poder asegurar que la soluci�on proporcionada por elprograma sea la misma que en el caso de g?

1.3. Consid�erese el problema de la conducci�on del calor en una placa plana. Estudiar razonadamente sise puede aplicar el MEF en los siguientes casos:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Soluci�on:1.1. Ver apuntes asignatura.1.2. La funci�on g que de�ne las condiciones de frontera esenciales s�olo se usa en el MEF para evaluarla

en los nudos esenciales de la malla. Por ello, si g(xI) = h(xI) para todo I 2 �E , el programa noencontrar�a ninguna diferencia entre trabajar con g y trabajar con h.

1.3. Puesto que en los dos casos se trata de polinomios a trozos, simplemente debemos comprobarsi se cumple la condici�on de que las funciones sean de clase 1 a trozos en �, o lo que en este caso esequivalente, que se cumpla que las funciones sean continuas en las fronteras interelementos. En el caso 1,las funciones bilineales a0+a1x+a2y+a3xy var��an en los lados de los elementos cuadrados, de ecuaciones

131

x = cte o y = cte, de forma af��n. Puesto que las funciones a�nes tambi�en var��an de forma af��n sobre dichasfronteras, tenemos que s�� se cumplir�a la condici�on de continuidad interelementos. S�� se puede aplicar elMEF.

En el caso 2, las funciones bilineales var��an sobre los lados del elemento cuadril�atero, de ecuacionesy = �x + �, de manera cuadr�atica. Como las funciones a�nes lo hacen de manera af��n, en general nohabr�a continuidad interelementos. No se puede aplicar el MEF (de hecho, �esta es el raz�on principal porla que para trabajar con la t�ecnica isoparam�etrica usando cuadril�ateros bilineales isoparam�etricos)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 2. (3 ptos.) Se considera el polinomio p que interpola a la funci�on f y su derivada en elpunto x = �1 y a la funci�on y sus dos primeras derivadas en x = 0. Se pide:

2.1. Escribir la expresi�on de p en t�erminos de f y de las funciones de base interpolatoria correspon-dientes. Atenci�on: no se pide calcular las funciones de base.

2.2. Calc�ulese la funci�on que multiplica a f(�1) en dicha expresi�on.2.3. Demostrar que las funciones de base interpolatoria del apdo. 2.1 son linealmente independientes.

Nota: para resolverlo no es necesario calcular las funciones de base.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Soluci�on: 2.1. Se quieren imponer 5 condiciones, luego el grado del polinomio p ser�a 4. �Este tendr�a la

formap(x) = f(�1)��1(x) + f 0(�1)��10(x) + f(0)�0(x) + f 0(0)�00(x) + f 00(0)�000(x)

donde las funciones � son las funciones de base interpolatoria (que son polinomios de grado 4).2.2. ��1(x) debe veri�car las condiciones

��1(�1) = 1 ; �0�1(�1) = 0��1(0) = 0 ;�

0�1(0) = 1 ; �

00�1(0) = 0

Para simpli�car los c�alculos utilizamos que, como ��1(x) tiene un cero triple en x = 0; ser�a

��1(x) = (�x+ �)x3 = �x4 + �x3

Imponiendo las condiciones ��1(�1) = 1 ; �0�1(�1) = 0 se obtiene

�� = 1�4�+ 3� = 0

que es un sistema lineal de dos ecuaciones algebraicas con dos inc�ognitas cuya soluci�on es � = �3, � = �4.Por ello

��1(x) = �3x4 � 4x3

2.3. Debemos demostrar que si escribimos una combinaci�on lineal de las funciones igualada a cero, esdecir,

�1��1(x) + �2��10(x) + �3�0(x) + �4�00(x) + �5�000(x) = 0 (25)

de ah�� se deduce necesariamente que �1 = � � � = �5 = 0.Veamos: supongamos que se cumple (25). Entonces particularizando los dos miembros para x = 0

tenemos que, por la propia de�nici�on de las funciones de base interpolatoria, que todas se anulan enx = 0 salvo �0(x), que vale 1. Por ello tenemos

�10 + �20 + �31 + �40 + �50 = 0

132

es decir, �3 = 0. De forma similar, derivando en (25) y particularizando en x = 0 tenemos

�10 + �20 + �30 + �41 + �50 = 0;

es decir, �4 = 1. Ahora, derivando dos veces en (25) y particularizando en x = 0 tenemos

�10 + �20 + �30 + �40 + �51 = 0;

es decir, �5 = 1. Razonando de forma an�aloga pero para el punto x = �1 deducimos que �1 = �2 = 0con lo que, en de�nitiva, de (25) se sigue que �1 = � � � = �5 = 0 como se quer��a demostrar.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 3. (2 ptos.) Al aplicar el m�etodo de Galerkin al problema de la elasticidad bidimensional, seobtiene el siguiente sistema lineal de ecuaciones

2X�=1

XJ2��E


Partiendo de esta expresi�on se pide:3.1. Escribir la expresi�on de cada componente de K y de F .3.2. Deducir, dando todos los pasos, la expresi�on de keij y f

ei . Nota: no hace falta hacer el cambio al

elemento est�andar ni aplicar cuadratura. Hay que trabajar con rh.

Nota: Lo que se pide es la teor��a tal y como se explica en clase.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Soluci�on: Ver apuntes de la asignatura.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 4. (3 ptos.) Sea � R2 abierto conexo cuya frontera es una curva C1 a trozos � = �1 [ �2.Consid�erese el siguiente problema

�(x)@u

@t(x; t)� divx (D(x)gradxu(x; t)) + �(x)u(x; t) = f(x; t) + (t)�y(x) ; x 2 ; t 2 [0;1)

n(x)TD(x)gradxu(x; t) + c(x)u(x; t) = h(x; t) ; x 2 �1; t 2 [0;1)u(x; t) = g(x; t) ; x 2 �2; t 2 [0;1)

u(x; 0) = u0(x) ; x 2

donde la funci�on escalar u es la inc�ognita, D 2 R2�2 es una funci�on matricial, �; � y c son funcionescontinuas y estrictamente positivas, u0 es una funci�on y n es el vector normal unitario saliente a �. y esun punto de y �y denota la delta de Dirac aplicada en el punto y. Se pide:

4.1. (2 ptos.) Plantear el problema d�ebil (en la forma en la que s�olo interviene el espacio de test),especi�cando claramente qui�en es el espacio de test V . Nota: no hace falta especi�car todos los pasos dela deducci�on. No hace falta especi�car la regularidad de la soluci�on u respecto de la variable t.

4.2. (1 pto.) Consideremos la condici�on inicial en el problema de Galerkin asociado. Explicar razon-adamente por qu�e la condici�on inicial vh(x; 0) = u0(x)� r(x; 0) no es v�alida. Obtener la condici�on inicialque se emplea en la pr�actica e interpretarla.

Nota:(i) Los dos apartados son independientes.(ii) Todas las expresiones con matrices y vectores que se escriban deben tener sentido.

133

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Soluci�on: 4.1. Sea

V � =�w : �! R : w 2 C1t (�); w = 0 en �2

Sea r : �� [0;1)! R una funci�on que veri�ca:

1. Para todo x 2 , r(x; t) admite una derivada parcial respecto de t y esta derivada es continua en�� [0;1).

2. Para todo t 2 [0;1), r(�; t) 2 V � (nota: r(�; t) denota la r como funci�on de x para t �jo)

3. 8x 2 �1; 8t 2 [0;1); r(x; t) = g(x; t)

Expresando u = r + v; multiplicando por una funci�on de test, integrando en , utilizando integraci�on(multidimensional) por partes, imponiendo que las funciones de test se anulen en �2 e utilizando lascondiciones sobre �1 se obtiene que el problema d�ebil es: Encontrar v : �� [0;1)! R tal que:

(1) Para todo x 2 , v(�; t) admite una derivada parcial respecto de t y esta derivada es continua en�� [0;1).

(2) Para todo t 2 [0;1), v(�; t) 2 V �.

(3) Para todo w 2 V y para todo t 2 [0;1) se cumpleZ�(x) _v(x; t)w(x)dx+

ZrwT (x)D(x)rxv(x; t)dx+


Z�1

c(x)v(x; t)w(x)dh =

=


Z�1

h(x; t)w(x)dh�Z�(x) _r(x; t)w(x)dx�

�Zrw(x)TD(x)rxr(x; t)dx�

Z�(x)r(x; t)w(x)dx�

Z�1

c(x)r(x; t)w(x)ds

que se puede representar en la forma

(� _v; w) + a(v; w) = L(w)

donde

a(v; w) =

ZrwTD(x)rxv(x; t)dx+


Z�1

c(x)v(x; t)w(x)dl

L(w) =


Z�1

h(x; t)w(x)dl � a(r; w)� (p _r; w) =

=


Z�1

h(x; t)w(x)dl �Z�(x) _r(x; t)wdx



Z�1

c(x)r(x; t)w(x)dl

(4) Se veri�ca la condici�on inicial

v(x; 0) = u0(x)� r(x; 0); x 2

Obs�ervese que:

134

1. a(�; �) no contiene el t�ermino Z�(x) _v(x; t)w(x)dx;


2. La expresi�onRDrwrvdx no tiene sentido pues las matrices-vectores correspondientes no se pueden

multiplicar.

4.2. En el problema de Galerkin, la condici�on inicial no puede ser vh(x; 0) = u0(x)� r(x; 0) ; x 2 ,pues como vh 2 V h y V h es un subespacio de dimensi�on �nita, en general no hab��a ninguna vh tal quese cumpla la expresi�on, es decir, la condici�on s�olo se veri�car��a \de casualidad". La condici�on que se usaen la pr�actica es�

�(x)vh(x; 0); w(x)�=��(x)u0(x); w(x)

�� (�(x)r(x; 0); w(x)) para todo w 2 V h

que se puede interpretar as��: vh(x; 0) es la proyecci�on ortogonal de u0(x) � r(x; 0) sobre V h con el �-producto escalar.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

M�etodos Matem�aticos de Especialidad. Especialidad de Construcci�on. Curso 10-11.Examen de Junio: 06-06-2011




Ejercicio 1. (1.5 ptos.) Sea A 2 Rn�n sim�etrica de�nida positiva y sea B = [b1 j b2 j � � � j b10] 2 Rn�10:Escribir unas instrucciones de Matlab que resuelvan los sistemas

Axk = bk

y almacenen el resultado en la matriz T = [x1 j x2 j � � � j x10]. S�olo ser�a v�alida la respuesta si el programaminimiza el n�umero de operaciones a realizar.

Ejercicio 2 (6.5 ptos.) Se considera el siguiente problema en una dimensi�on espacial

(x) _u(x; t)� u00(x; t) + �(x)u(x; t) = f(x; t) + ��c(x); x 2 [0; L]; t � 0u0(L; t) + �u(L; t) = h(t); t � 0

u(0; t) = g(t); t � 0u(x; 0) = u0(x); x 2 [0; L]

donde , �, f , h y g son funciones, �c es la delta de Dirac aplicada en un punto c de la barra y � (landa)y � (alfa) son constantes.

El problema d�ebil asociado al mismo es: Encontrar u(x; t), de clase 1 como funci�on de t, tal quepara todo t > 0 se cumpla que u(�; t) es de clase C1t [0; L], que u(0; t) = g(t) y tal que para todo w 2 V �se veri�que que para todo t > 0Z L

0 (x) _u(x; t)w(x) +

Z L

0u0(x; t)w0(x) +

Z L

0�(x)u(x; t)w(x) + �u(L; t)w(L) =

=

Z L

0f(x; t)w(x) + h(t)w(L) + �w(c)

dondeV � =

�w 2 C1t [0; L] : w(0) = 0


u(x; 0) = u0(x)


M _d+Kd = F (t)

Md(0) = Y 0

Se pide:

136


2.2. (5 ptos.) Sup�ongase que M y �M son conocidas. Escribir un conjunto de instrucciones de Matlabque calculen K y F (0) (es decir, no hace falta calcular F para todos los tiempos, s�olo para el instanteinicial)

Indicaciones:




Las funciones , �, f , h; g, _g y u0 est�an almacenadas en los m-�les gamma.m, eta.m, f.m, hache.m,ge.m, geprim.m, y u0.m.

No hace falta almacenar las matrices y vectores de elemento keij y fei (t).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Soluci�on: 2.1. Tenemos que E = f1g, y por ello � E = f2; :::; n� 1g. rh tiene la expresi�on

rh(x; t) = g(t)N1(x)

Se hace una numeraci�on de los nudos no esenciales P = ID(I), Q = ID(J), I; J 2 � E y entonces

KPQ =

Z L

0NI

0(x)NJ0(x)dx+

Z L

0�(x)NI(x)NJ(x)dx+ �NI(L)NJ(L)

MPQ =

Z L

0 (x)NI(x)NJ(x)dx

FP (t) =

Z L

0f(x; t)NI(x)dx+ h(t)NI(L) + �NI(c)� _g(t)

Z L

0 (x)NI(x)N1(x)dx�

� g(t)�Z L

0NI

0(x)N10(x)dx+

Z L

0�(x)NI(x)N1(x)dx+ �NI(L)N1(L)

�donde el t�ermino �NI(L)N1(L) es nulo pues N1(L) = 0.

Y 0P =

Z L

0 (x)u0(x)NI(x)dx� g(0)

Z L

0 (x)N1(x)NI(x)dx

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137

M�etodos Matem�aticos de Especialidad. Especialidad de Construcci�on. Curso 10-11.Examen de Junio: 06-06-2011




� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)

�= f(x); x 2 (0; 1)

u(0) = u0; u(1) = u1

3.1. (1 pto.) Consid�erense los siguientes datos de entrada:

malla=[0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1] donde todos los elementos son c�ubicos.

u0 = �0;35 � 10�3, u1 = 0;9 � 10�3

Hay dos fuerzas puntuales, una en x = 0;65 con magnitud 2; 8 � 106 y otra en x = 0;8 con magnitud1;4 � 106.

A(x) = cte = 1, E(x) = 109�2;7� x2 � 1;3 � sen(�x2)

�y f(x) = 0.

Para integrar se utiliza integraci�on gaussiana con 3 nudos en todos los elementos.

Se pide: �K25;26, (ojo, matriz ampliada) F20 y �(0;65) (dar la soluci�on en la forma x:yzvw � 10k conx 6= 0)

Soluci�on:

�K25;26 = �4;2725e+ 010 ; F20 = 1;5750e+ 006 ; �(0;65) = 2;1662e+ 006

3.2. (1 pto.) Mismos datos que en 3.1. Sea b el vector resultante de eliminar las componentes deF que son nulas. Sea D la matriz resultante de eliminar las mismas �las de K que se eliminaron enF y, posteriormente, de eliminar las columnas impares de la matriz resultante. Escribir la primeracomponente de la soluci�on por m��nimos cuadrados al sistema Dx = b que proporciona Matlab

Soluci�on:x1 = 1;0209e� 004

138

15. Julio 2011

M�etodos Matem�aticos de Especialidad. Especialidad de Construcci�on. Curso 10-11

Examen de Julio. 11-07-2011M�ETODOS NUM�ERICOS: Teor��a

Duraci�on: 70 minutos



Ejercicio 1. (1.5 ptos.). Responder de forma concisa y precisa a las siguientes cuestiones:

1.1. >Cu�al es la forma m�as e�ciente de saber si una matriz sim�etrica es o no de�nida positiva?

1.2. De�nir la noci�on de mejor aproximaci�on de un vector por un subespacio en un espacio vectorial.Idem para la proyecci�on ortogonal de un vector sobre un subespacio en un espacio vectorial dotado deun producto escalar.

1.3. >Por qu�e se introducen los espacios de Sobolev en el estudio de las EDPs?

1.4. Sea el problema de la elastost�atica en una placa plana.

2Xj=1

@�ij@xj

+ fi = 0 en ; i = 1; 2 ; u = g en �E ;2Xj=1

�ijnj = ti en �N

Enunciar una condici�on necesaria y su�ciente para que la forma bilineal a(�; �) sea de�nida positiva.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Soluci�on: Ver apuntes asignatura.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 2. (1 pto.) Sea el sistema Ax = b con A 2 Rn�n regular, y sea k�k una norma en Rn. Deduciruna cota para la variaci�on relativa en la soluci�on del sistema anterior en t�erminos de la variaci�on relativaen el t�ermino independiente, cuando se perturba dicho t�ermino independiente, utilizando la norma k�k.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Soluci�on: Ver apuntes asignatura.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 3. (3 ptos.) Consid�erese el problema��u0�0+ f = 0; x 2 (0; 1)

�u(0)� �(0)u0(0) = 1

�u(1) + �(1)u0(1) = 2

donde f es una funci�on continua, � es una funci�on positiva de clase 1 y �, �; 1 y 2 son constantesreales. Se pide:

139

3.1. (0.75 ptos.) Obtener el problema d�ebil en la forma en que s�olo aparece el espacio de test.

3.2. (2.25 ptos.) Estudiar con todo rigor el car�acter de la forma bilineal sim�etrica a(�; �) en los siguientescasos:

(i) � = � = 0

(ii) �; � > 0

(iii) �; � < 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Soluci�on: 3.1. Multiplicando por una funci�on de test e integrando por partes se obtiene

�Z 1

0�u0w0 + �(1)u0(1)w(1)� �(0)u0(0)w(0) +

Z 1

0fw = 0

y despejando en las condiciones de contorno el valor de �(0)u0(0) y �(1)u0(1) se tiene el siguiente problema:Encontrar v 2 V tal que para todo w 2 V se cumpla

a(v; w) = L(w)

donde

a(v; w) =

Z b

a�v0w0 + �v(0)w(0) + �v(1)w(1)

L(w) =

Z b

afw + 1w(0) + 2w(1)

V = C1t [a; b]

3.2. Para cada v 2 V tenemos que

a(v; v) =

Z b

a�v02 + �v(0)2 + �v(1)2

(i) Caso � = � = 0.

a(v; v) =

Z b

a�v02

La forma bilineal es semide�nida positiva pero no es de�nida positiva. En efecto, como � es positivatenemos que para todo v 2 V , a(v; v) � 0, pues la integral de una funci�on no negativa es no negativa.Sin embargo, tomando v = cte, que pertenece a V , tenemos a(v; v) = 0, por lo que a(�; �) no es de�nidapositiva.

(ii) Caso �; � > 0. La forma bilineal es de�nida positiva. En efecto, como � es positiva tenemos quepara todo v 2 V , a(v; v) � 0, con lo que a(�; �) es al menos semide�nida positiva. Ahora supongamosque a(v; v) = 0, es decir, Z b

a�v02 + �v(0)2 + �v(1)2 = 0

Como los 3 sumandos son no negativos, esto implica que los tres deben ser cero, es decir,Z b

a�v02 = 0

�v(0)2 = 0

�v(1)2 = 0

140

De la primera expresi�on se deduce, dividiendo la integral en suma de integrales sobre intervalos en losque la funci�on es C1, usando continuidad de la derivada en cada intervalo, el hecho de que � es positiva,la no negatividad de la funci�on subintegral y la continuidad de la funci�on en [a; b], que v = cte (*). Dela segunda expresi�on se obtiene, al ser � 6= 0 que v(0) = 0. Por ello, de (*) se sigue que necesariamentev = 0 en [0; 1], y por ello a(�; �) es de�nida positiva.

(iii) Caso �; � < 0. La forma bilineal es inde�nida, es decir, existe un v 2 V tal que a(v; v) > 0y existe un v 2 V tal que a(v; v) < 0. Veamos: si tomamos cualquier funci�on v de clase 1 a trozos noconstante y que se anule en 0 y en 1, por ejemplo la funci�on de la siguiente �gura

tenemos queR ba �v

02 > 0 (pues �v02 es no negativa y no nula) y por tanto a(v; v) > 0. Consideremos ahorala funci�on v(x) = 1. Claramente v0 = 0 con lo que

a(v; v) =

Z b

a�v02 + �v(0)2 + �v(1)2 = �+ � < 0

pues � y � son negativas.As��, hemos demostrado que a(�; �) es inde�nida.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 4. (4.5. ptos) Sea el problema de la transmisi�on de calor por conducci�on

(F): � div (�gradu) = f ; x 2 u = g ; x 2 �D

(�gradu) � n = h ; x 2 �N� (�gradu) � n = � (u� ugas) ; x 2 �R

donde ugas y � son constantes.El problema d�ebil es: Encontrar u 2 S� tal que para todo w 2 V � se cumpla queZ

�ruTrwdx+ �

Z�R

uwdl =

Zfwdx+

Z�N

hwdl + �ugas

Z�R

wdl

141

El problema se resuelve mediante el MEF utilizando la placa de la �gura,

donde los tri�angulos son lineales y los cuadril�ateros bilineales isoparam�etricos y donde �D; �N y �R sonlas siguientes:

�D = segmentos 12; 23; 34

�N = segmentos 89; 9 10; 10 4

�R = segmentos 15; 57; 78

Se pide:

4.1 (1 pto.) Expresi�on de K25 y F1 en funci�on de los keij y los

�fei , donde los�fei contemplan la contribu-

ci�on al vector de fuerzas de las fuentes de calor distribuidas, de las condiciones de Neumann y de lascondiciones de Robin.

Nota: (i) i y j se re�eren a la numeraci�on local. (ii) No se pide K y F sino s�olo K25 y F1.

4.2. (0.5 ptos.) Dada una placa cualquiera, >c�omo se puede saber qu�e elementos de K son nulos?>Qu�e elementos de K (ojo, de K; no de �K) son nulos en la placa del enunciado?

4.3. (1.5 ptos.) Determinar la expresi�on �nal que hay que programar para calcular k7ij (para i; j seest�a utilizando numeraci�on local) si se utilizan las f�ormulas de cuadraturaZ

Tf(�)d� �

rX�=1

W�f(��)

y Z 1

0f(t)dt �

sX�=1

H�f(t�)

donde T es el tri�angulo est�andar, los W� y H� son los coe�cientes para la integraci�on y los �� y t�

son los nudos correspondientes. Nota: se deben especi�car las parametrizaciones de los segmentos queintervengan en las expresiones.

142

4.4. (1.5 ptos.) Sean (r; s; t) las coordenadas naturales del tri�angulo 7. Se sabe que

s = 2� x=2� y=2t = 2 + x=2� y=2

Se pide calcular k713 (para i; j se est�a utilizando numeraci�on local) de forma exacta suponiendo que �es constante.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Soluci�on:4.1. Los nudos esenciales son �E = f1; 2; 3; 4g mientras que los nudos no esenciales son

� � �E = f5; 6; 7; 8; 9; 10g

Por tantoI P

5 1

6 2

7 3

8 4

9 5

10 6

y tenemosK25 = k412 + k

623

F1 =��f23 � k232g(x1)� k231g(x2)

�+��f13 � k132g(x2)� k131g(x3)� k134g(x4)

�+��f32 � k321g(x4)

�+ �f51

4.2. Son nulos los elementos de K correspondientes a los nudos no esenciales que no forman parte deun mismo elemento, es decir, en la placa de la �gura

K14;K15;K16;K24;K26;K36;K46

y sus respectivos sim�etricos, es decir,

K41;K51;K61;K42;K62;K63;K64

4.3. Tenemos

k7ij =

Z7

�rNTi rNjdx+ �

Z�7R

NiNjdl

donde �7R denota la porci�on de �R que pertenece al elemento 7, es decir, el segmento 78. Ahora, haciendoel cambio isoparam�etrico

x = �(�) =

�04

�N1(�) +

��13

�N2(�) +

�13

�N3(�)

obtenemosZ7

�rNTi rNjdx =

ZT�(�(�))rNT

i (�(�))rNj(�(�)) jJ�(�)j d� =

=

ZT�(�(�))rNT

i (�)��0(�)

��1 ��0(�)

��T rNj(�) jJ�(�)j d� ��

rX�=1

W��(�(��))rNTi (�

�)��0(��)

��1 ��0(��)

��T rNj(��) jJ�(��)j143

En realidad, como se trata de un cambio af��n, la matriz jacobiana es constante. Si la denotamos mediante�0 podemos escribirZ

7

�rNTi rNjdx �

rX�=1

W��(�(��))rNTi (�

�)��0��1 �

�0��T rNj(��) jJ�j

En cuanto al t�ermino �R�7RNiNjdl = �

R78NiNjdl, parametrizamos el segmento 78 en la forma

(x; y) = ~r(t) = O7 + t�O8�O7

�; t 2 [0; 1] (26)

donde O � (0; 0) tenemos

�

Z78NiNjdl = �

Z 1

0Ni(~r(t))Nj(~r(t))

O8�O7 dt = � long(78)

Z 1

0Ni(�

�1(~r(t)))Nj(��1(~r(t)))dt �

� � long(78)

sX�=1

H�Ni(��1(~r(t�)))Nj(�

�1(~r(t�)))

Por tanto,

k7ij �rX

�=1

W��(�(��))rNTi (�

�)��0��1 �

�0��T rNj(��) jJ�j+� long(78) sX

�=1

H�Ni(��1(~r(t�)))Nj(�

�1(~r(t�)))

4.4. A diferencia del apartado anterior, como en �este apartado se trata de calcular a mano y nohaciendo uso del ordenador, es preferible trabajar en la referencia real y no en la est�andar (obs�ervese queel trabajar s�olo en la referencia real no ser��a posible con el elemento 1, pues al ser un elemento bilinealisoparam�etrico las funciones de base se construyen partiendo de la referencia est�andar). Tenemos

k713 = �

Z7

rNT1 rN3dx+ �

Z78N1N3dl

Sabemos que r + s+ t = 1, por lo que

r = 1� s� t = 1� (2� x=2� y=2)� (2 + x=2� y=2) = �3 + yAdem�as, para el tri�angulo lineal sabemos que

N1 = r = �3 + yN3 = t = 2 + x=2� y=2

Por ello

�

Z7

rNT1 rN3dx = �

Z7

(0; 1)T (1=2;�1=2) dx = ��2

Z7

dx = ��2�Area (7) = �

�

2

1

22 = ��

2

Ahora, parametrizando el segmento 78 mediante

(x; y) = ~r(t) = (1; 3) + t [(0; 4)� (1; 3)] = (1� t; 3 + t) ; t 2 [0; 1]tenemos

�

Z78N1N3dl = �

Z 1

0N1 (~r(t))N3 (~r(t)) long(78)dt =

p2�

Z 1

0N1 (~r(t))N3 (~r(t)) dt =

=p2�

Z 1

0t (1� t) dt =

p2�

�1

2� 13

�=

p2�

6

En de�nitiva, hemos obtenido

k713 = ��

2+

p2�

6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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M�etodos Matem�aticos de Especialidad. Especialidad de Construcci�on. Curso 10-11.Examen de Julio. 11-07-2011




Ejercicio 1. (2 ptos.) Deducir las ecuaciones del m�etodo de Newton para una ecuaci�on escalar yprogramar un function �le z=newtonescalar(fun,derfun,x0,eps) para dicho m�etodo. \z" es el valor alque converge el m�etodo, \fun" y \derfun" son m-�les correspondientes a f y a su derivada, y x0 es laestimaci�on inicial. Las iteraciones deben parar cuando la distancia entre dos iteraciones sucesivas seamenor que eps.

Ejercicio 2 (6 ptos.) Se considera el siguiente problema en una dimensi�on espacial

�(x) _u(x; t)� u00(x; t) + h(x)u(x; t) = f(x; t) + Z�c(x); x 2 [0; L]; t � 0u0(L; t) + �u(L; t) = g(t); t � 0

u(0; t) = s(t); t � 0u(x; 0) = u0(x); x 2 [0; L]

donde �, h, f , g y s son funciones, �c es la delta de Dirac aplicada en un punto c de la barra y Z (zeta)y � (beta) son constantes.

El problema d�ebil asociado al mismo es: Encontrar u(x; t), de clase 1 como funci�on de t, tal quepara todo t > 0 se cumpla que u(�; t) es de clase C1t [0; L], que u(0; t) = s(t) y tal que para todo w 2 V �se veri�que que para todo t > 0Z L

0�(x) _u(x; t)w(x) +

Z L

0u0(x; t)w0(x) +

Z L

0h(x)u(x; t)w(x) + �u(L; t)w(L) =

=

Z L

0f(x; t)w(x) + g(t)w(L) + Zw(c)

dondeV � =

�w 2 C1t [0; L] : w(0) = 0


u(x; 0) = u0(x)


M _d+Kd = F (t)

Md(0) = Y 0

Se pide:

145


2.2. (5 ptos.) Sup�ongase que M y �M son conocidas. Escribir un conjunto de instrucciones de Matlabque calculen K y F (0) (es decir, no hace falta calcular F para todos los tiempos, s�olo para el instanteinicial)

Indicaciones:



No est�a permitido utilizar �E o nudes como dato conocido. Si se quieren uilizar se tienen que de�nir.


Las funciones �, h, f , g; s, _s y u0 est�an almacenadas en los m-�les kappa.m, hache.m, f.m, ge.m, ese.m,eseprim.m, y u0.m.

No hace falta almacenar las matrices y vectores de elemento keij y fei (t).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Soluci�on: 2.1. Tenemos que �E = f1g, y por ello � � �E = f2; :::; n� 1g. rh tiene la expresi�on

rh(x; t) = s(t)N1(x)

Se hace una numeraci�on de los nudos no esenciales P = ID(I), Q = ID(J), I; J 2 � � �E y entonces

KPQ =

Z L

0NI

0(x)NJ0(x)dx+

Z L

0ho(x)NI(x)NJ(x)dx+ �NI(L)NJ(L)

MPQ =

Z L

0�(x)NI(x)NJ(x)dx

FP (t) =

Z L

0f(x; t)NI(x)dx+ g(t)NI(L) + ZNI(c)� _s(t)

Z L

0�(x)NI(x)N1(x)dx�

� s(t)�Z L

0NI

0(x)N10(x)dx+

Z L

0!(x)NI(x)N1(x)dx+ �NI(L)N1(L)

�donde el t�ermino �NI(L)N1(L) es nulo pues N1(L) = 0.

Y 0P =

Z L

0�(x)u0(x)NI(x)dx� s(0)

Z L

0�(x)N1(x)NI(x)dx

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)

�= f(x); x 2 (0; 1)

u(0) = u0; u(1) = u1

3.1. (1 pto.) Consid�erense los siguientes datos de entrada:

� malla=[0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1] donde todos los elementos son c�ubicos.� u0 = �0;47 � 10�3, u1 = 0;54 � 10�3

� Hay dos fuerzas puntuales, una en x = 0;58 con magnitud 2 � 106 y otra en x = 0;8 con magnitud1;16 � 106.

� A(x) = cte = 1, E(x) = 109�2;7� 1;3 � sen(�x2)

�y f(x) = 0.

� Para integrar se utiliza integraci�on gaussiana con 3 nudos.

Se pide: �K6;7, (ojo, matriz ampliada) F16 y �(0;56) (dar la soluci�on en la forma x:yzvw �10k con x 6= 0)Soluci�on:

�K6;7 = �1;2085e+ 011 ; F16 = �5;7600e+ 005 ; �(0;56) = 2;9902e+ 006

3.2. (1 pto.) Mismos datos que en 3.1. Sea b el vector resultante de (i) eliminar las componentes deF que son nulas y luego (ii) invertir el orden del vector resultante. Sea D la matriz resultante deeliminar las mismas �las de K que se eliminaron en F . Escribir la primera componente de la soluci�onpor m��nimos cuadrados al sistema Dx = b que proporciona Matlab

Soluci�on:x1 = 3;8694e� 004

147

16. Enero 2012

M�etodos Matem�aticos de Especialidad. Especialidad de Construcci�on. Curso 11-12Examen de Enero. 9-01-2012




Ejercicio 1. (3 ptos.). Responder de forma breve y precisa a las siguientes cuestiones:

1.1. Sup�ongase que en el MEF se est�a trabajando con un cuadril�atero bicuadr�atico isoparam�etrico.>Qu�e condiciones deben cumplirse para que el cambio isoparam�etrico sea inyectivo? >C�omo se sabe enla pr�actica si se cumplen estas condiciones?

1.2. Explicar brevemente c�omo se obtienen las matrices P , L y U en la factorizaci�on LU con pivoteo.

1.3. Estudiar si se puede emplear la siguiente malla en el MEF

CON =

0@ 1 2 3 03 4 1 02 5 6 4

1A

donde los tri�angulos son lineales y el cuadril�atero es bilineal isoparam�etrico.

1.4. Se considera el siguiente elemento tri�angulo cuadr�atico donde

los nudos sobre los lados est�an situados a una distancia de un tercio de la longitud del lado respecto delnudo m�as cercano. Se pide calcular, utilizando las coordenadas naturales, la funci�on de base del nudo 1.

1.5. Describir brevemente las ventajas y los inconvenientes de los m�etodos impl��citos y de los m�etodosexpl��citos para resolver problemas de valor inicial en EDOs.

Soluci�on:1.1. Ver los apuntes de la asignatura.

148

1.2. Ver los apuntes de la asignatura.1.3. La malla de la �gura no se puede emplear, pues no hay continuidad interelementos. En efecto, lasfunciones de 3 var��an de forma af��n sobre el lado que une los nudos 2 y 4. Las funciones de 1 var��ande forma af��n en el lado que une los nudos 2 y 3. Como el nudo 3 y el 4 son distintos, las funciones a�nesa ambos lados de la frontera no tienen que ser las mismas. El problema es que el nudo 3 est�a en mediodel lado. Se dice que el nudo 3 queda \suelto". S�� se podr��a utilizar cualquiera de las mallas que muestrala siguiente �gura

1.4. Razonando como en los apuntes de la asignatura, la funci�on N1 debe ser cuadr�atica en r; s; t ycomo debe anularse en todos los nudos salvo el 1 debe tener la forma N1 = Cr (r � 2=3) para unacierta constante C. Imponiendo que N1 valga 1 en el nudo 1 (de coordenadas naturales (1; 0; 0)) tenemos�nalmente N1 = r(3r � 2).1.5. Ver los apuntes de la asignatura.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 2. (1.5 ptos.) Sea Pn el espacio de los polinomios de grado menor o igual que n. Seanx0; x1; :::; xn unos ciertos puntos (distintos dos a dos). En Pn de�nimos unos ciertos polinomios qi; i =0; ::::; n de la siguiente forma: para cada i = 0; :::; n; qi es el �unico polinomio que cumple las condiciones:

(i) qi 2 Pn(ii) qi(xj) = �ij para todo j = 0; :::; n:

Se pide:2.1. (1 pto.) Demostrar que el sistema fq0; :::; qng es libre.2.2. (0.5 ptos.) Demostrar que el sistema fq0; :::; qng es una base de Pn.Soluci�on: Las 3 cuestiones est�an abordadas en los apuntes del cap��tulo 2 de la asignatura, sin m�as quesustituir Pn por V

h, los xi por los nudos de la malla y los qi por las funciones de base Ni. A pesar deello, reproduzcamos de nuevo el razonamiento:

2.1. Por de�nici�on de independencia lineal de una familia de vectores en un espacio vectorial, queremosdemostrar que si suponemos que se cumple �0q0(x) + �1q1(x) + � � � + �nqn(x) = 0 para todo x 2 R,entonces todos los �i tienen que ser necesariamente nulos. Sea j 2 f0; ::::; ng. Como sabemos que laigualdad anterior es cierta para todo x 2 R, particulariz�andola para el punto xj tenemos, usando queqi(xj) = �ij , que �jqj(xj) = 0 es decir �j = 0. Como j era gen�erico, tenemos que todos los �i son nulosy por ello hemos probado lo que se quer��a.

2.2. Como tenemos n + 1 vectores (funciones) linealmente independientes en un espacio (es espacioPn) de dimensi�on n+ 1, necesariamente deben ser tambi�en sistema generador y por ello base.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 3. (1 pto.) Supongamos que A 2 Rn�n es cuadrada y singular y que b se elige \aleato-riamente". Estudiar razonadamente la existencia e unicidad de soluci�on y de pseudosoluci�on (porm��nimos cuadrados) al sistema Ax = b.

149

Soluci�on: Como A es singular entonces r(A) < n y por ello si b se elige aleatoriamente lo m�as probablees que b no sea combinaci�on lineal de las columnas de A y por ello r(A j b) > r(A) con lo que el sistemaser�a incompatible, es decir, no hay soluci�on. En cuanto a las pseudosoluciones, sabemos que siempreexiste al menos una pseudosoluci�on por m��nimos cuadrados. El conjunto de dichas pseudosoluciones esxp +N (A) donde N (A) es el n�ucleo de A. Como r(A) < n la dimensi�on del n�ucleo, que es n� r(A), esal menos 1. Por ello N (A) tiene in�nitos elementos y, en de�nitiva, existen in�nitas pseudosoluciones.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 4. (2 ptos.) Al aplicar el m�etodo de Galerkin al problema de la elasticidad bidimensionalestacionaria, se obtiene el siguiente sistema lineal de ecuaciones

2X�=1

XJ2��E


que, utilizando una numeraci�on P = ID(I; �); Q = ID(J; �), se puede escribir en la forma Kd = F . Sepide deducir, dando todos los pasos, las expresiones a partir de las cuales se razona que K y F se puedenconstruir por bloques. Comentarios:(i) Lo que se pide es la teor��a tal y como se explica en clase.(ii) Contestar s�olo a lo que se est�a pidiendo.(iii) Se recuerda que el principio de los trabajos virtuales es: Encontrar u 2 S� tal que para todo w 2 V �se cumple Z

�(u) � "(w)dx =

Z�N

t � wds+Zf � wdx

donde �(u) = D"(u) y "(u) = Bu.Soluci�on: Ver los apuntes de la asignatura.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ejercicio 5. (2.5 ptos.) Sea � R2 abierto conexo cuya frontera es una curva C1 a trozos � = �1[�2.Consid�erese el siguiente problema

�(x)@u

@t(x; t)� divx (s(x)gradxu(x; t)) = f(x; t) + �(t)�c(x) ; x 2 ; t 2 [0;1)

s(x)gradxu(x; t) � n(x) + �(x)u(x; t) = g(x; t) ; x 2 �1; t 2 [0;1)u(x; t) = h(x; t) ; x 2 �2; t 2 [0;1)u(x; 0) = q(x) ; x 2

donde la funci�on escalar u es la inc�ognita, s; �; � son funciones de clase 1 y estrictamente positivas, �es una funci�on del tiempo y n es el vector normal unitario saliente a �. c es un punto de y �c denotala delta de Dirac aplicada en dicho punto. Se pide plantear el problema d�ebil (en la forma en la que s�olointerviene el espacio de test), especi�cando claramente qui�en es el espacio de test V �. Comentarios:(i) No hace falta especi�car los pasos de la deducci�on.(ii) Hay que especi�car la regularidad de las funciones respecto del tiempo.(iii) En todas las integrales hay que especi�car el recinto en el que se est�a integrando.

Soluci�on: SeaV � =

�w : �! R : w 2 C1t (�); w = 0 en �2



150

2. Para todo t 2 [0;1), r(�; t) 2 C1t (�) (nota: r(�; t) denota la funci�on r como funci�on de x para t �jo)

3. 8x 2 �1; 8t 2 [0;1); r(x; t) = h(x; t)

De�niendo v = u � r; multiplicando por una funci�on de test, integrando en , utilizando integraci�on(multidimensional) por partes,Z

div (srxu)wdx =

Z��rxu � nwds�

ZsrwTrxudx

imponiendo que las funciones de test se anulen en �2 e utilizando las condiciones de frontera sobre �1se obtiene que el problema d�ebil es:

(D) Encontrar v : �� [0;1)! R tal que:


(2) Para todo t 2 [0;1), v(�; t) 2 V �.


Zs(x)rwT (x)rxv(x; t)dx+

Z�1

�(x)v(x; t)w(x)dl =

=

Zf(x; t)w(x)dx+ �(t)w(c) +

Z�1

g(x; t)w(x)dl �Z�(x) _r(x; t)w(x)dl�

�Zs(x)rw(x)Trxr(x; t)dx�

Z�1

�(x)r(x; t)w(x)dl

Si se quiere expresr de forma compacta (aunque no es necesario) esto se puede representar en la forma

(� _v; w) + a(v; w) = L(w)

donde (�; �) denota el producto escalar est�andar en V � y

a(v; w) =

Zs(x)rwT (x)rxv(x; t)dx+

Z�1

�(x)v(x; t)w(x)dl

L(w) =


Z�1

g(x; t)w(x)dl � a(r; w)� (� _r; w) =

=


Z�1

g(x; t)w(x)dl �Z�(x) _r(x; t)w(x)dx

�Zs(x)rw(x)Trxr(x; t)dx�

Z�1

�(x)r(x; t)w(x)dl

Obs�ervese que a(�; �) no contiene el t�ermino

(� _v; w) =

Z�(x) _v(x; t)w(x)dx;



v(x; 0) = u0(x)� r(x; 0); x 2

151





Ejercicio 1. (2.5 ptos.) Se considera el ejercicio 5 de la primera parte del examen pero en r�egimenestacionario y con un t�ermino �(x)u(x) adicional en la ecuaci�on diferencial, es decir,

�div (s(x) gradu(x)) + �(x)u(x) = f(x) + ��c(x) ; x 2 s(x) gradu(x) � n(x) + �(x)u(x) = g(x) ; x 2 �1

u(x) = h(x) ; x 2 �2

El problema d�ebil para el mismo es: (D) Encontrar u 2 S� tal que para todo v 2 V � se cumpleZs(x)rwT (x)ru(x)dx+

Z�(x)u(x)w(x)dx+

Z�1

�(x)u(x)w(x)dl =

Zf(x)w(x)dx+

Z�1

g(x)w(x)dl+�w(c)

donde

S� =�w : �! R tal que w 2 C1t () y w = h en �2

; V � =

�w : �! R tal que w 2 C1t () y w = 0 en �2


CON =

0BBBBBBBBBB@

5 6 7 05 1 2 03 2 5 44 5 6 06 9 4 06 9 7 09 10 4 09 7 8 0

1CCCCCCCCCCA; nudos =

0BBBBBBBBBBBBBB@

6 35 24 00 02 20 21 30 4-1 3-2 1

1CCCCCCCCCCCCCCAdonde los tri�angulos son lineales y los cuadril�ateros son bilineales isoparam�etricos. �1 corresponde a lal��nea continua y �2 a la l��nea discontinua. El punto c tiene de coordenadas (1,1.5).

Para hacer las integrales se utilizan las f�ormulas de cuadraturaZTf(�)d� �

�TXz=1

W zf(�z) ;

ZCf(�)d� �

�CXz=1

Y zf(�z) ;

Z 1

�1f(t)dt �

�SXz=1

Hzf(� z)

donde T es el tri�angulo est�andar, C es el rect�angulo est�andar, los W z; Y z y Hz son los coe�cientes parala integraci�on y los �z; �z; y � z son los nudos correspondientes.

152

Se pide: Determinar la expresi�on �nal que hay que programar para calcular k3ij (para i; jse est�a utilizando numeraci�on local).Comentarios:(i) Se supone que las funciones de base en los elementos est�andar son conocidas. Por ello, nohay que calcularlas.(ii) Se debe especi�car la expresi�on de los cambios y de las parametrizaciones que se utilicen.(iii) En todas las integrales hay que especi�car el recinto en el que se est�a integrando.

Soluci�on: Sabemos que

a(v; w) =

Zs(x)rwT (x)rv(x)dx+

Z�(x)v(x)w(x)dx+

Z�1

�(x)v(x)w(x)dl

El elemento 3 es un cuadril�atero bilineal isoparam�etrico. Entonces, para cada i; j = 1; 2; 3; 4;

k3ij := a(N3i ; N

3j )3 =

Z3

s(x)�rN3

i (x)�T rN3

j (x)dx| {z }I

+

Z3

�(x)N3i (x)N

3j (x)dx| {z }

II

+

ZS(3;4)

�(x)N3i (x)N

3j (x)dl| {z }

III

;

donde S(3; 4) denota el segmento que une los nudos 3 y 4. Por simplicidad de notaci�on, a partir de ahorasuprimiremos el super��ndices en las funciones de base.

Para calcular los dos primeros sumandos hacemos el cambio isoparam�etrico

x = �(�) =

�40

�N1(�) +

�52

�N2(�) +

�22

�N3(�) +

�00

�N4(�);

donde las Ni son las funciones de base del rect�angulo bilineal est�andar C. Este cambio transforma Cen 3. Haciendo el cambio de variable en los dos t�erminos de la integral y denotando �

0(�) a la matrizjacobiana del cambio obtenemos

I + II =

ZCs(�(�))rNT

i (�(�))rNj(�(�)) jJ�(�)j d� +ZC�(�(�))Ni(�(�))Nj(�(�)) jJ�(�)j d� =

=

ZCs(�(�))rNT

i (�)��0(�)

��1 ��0(�)

��T rNj(�) jJ�(�)j d� + ZC�(�(�))Ni(�)Nj(�) jJ�(�)j d�

Ahora, usando la f�ormula de cuadratura para el rect�angulo est�andar tenemos

I+II ��CXz=1

Y zs(�(�z))rNTi (�

z)��0(�z)

��1 ��0(�z)

��T rNj(�z) jJ�(�z)j+ �CXz=1

Y z�(�(�z))Ni(�z)Nj(�

z) jJ�(�z)j

Para calcular la integral curvil��nea de III, y puesto que disponemos de una f�ormula de cuadraturapara el intervalo [�1; 1], parametrizamos el segmento S(3; 4) en la forma

(x; y) = ~r(t) =O4�O3

2t+

O4 +O3

2; t 2 [�1; 1]

donde O � (0; 0). As�� tenemos

III =

ZS(3;4)

�(x)Ni(x)Nj(x)dl =

Z 1

�1� (~r(t))Ni(~r(t))Nj(~r(t))

O4�O3 2

dt =

=long(S(3; 4))

2

Z 1

�1� (~r(t)) Ni(�

�1(~r(t)))Nj(��1(~r(t)))dt � long(S(3; 4))

2

�SXz=1

Hz� (~r(� z)) Ni(��1(~r(� z)))Nj(�

�1(~r(� z)))

153

Por tanto

k3ij ��CXz=1

Y zs(�(�z))rNTi (�

z)��0(�z)

��1 ��0(�z)

��T rNj(�z) jJ�(�z)j+ �CXz=1

Y z�(�(�z))Ni(�z)Nj(�

z) jJ�(�z)j+

+long(S(3; 4))

2

�SXz=1

Hz� (~r(� z)) Ni(��1(~r(� z)))Nj(�

�1(~r(� z)))

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 2. (5.5 ptos.) Se considera el siguiente problema en una dimensi�on espacial

(x) _u(x; t)��(x)u0(x; t)

�0+ �(x)u(x; t) = g(x; t) + Z�c(x); x 2 [0; L]; t � 0

(�u)0 (L; t) + Cu(L; t) = f(t); u(0; t) = �(t); t � 0u(x; 0) = u0(x); x 2 [0; L]

donde , �, �, g, f; u0 y � son funciones, �c es la delta de Dirac aplicada en un punto c y Z (zeta) y C(C) son constantes. El problema d�ebil asociado al mismo es: Encontrar u(x; t), de clase 1 como funci�onde t, tal que para todo t > 0 se cumpla que u(�; t) es de clase C1t [0; L], que u(0; t) = �(t) y tal que paratodo w 2 V � se veri�que que para todo t > 0Z L

0 _uw +

Z L

0�u0w0 +

Z L

0�uw + Cu(L; t)w(L) =

Z L

0gw + f(t)w(L) + Zw(c)

dondeV � =

�w 2 C1t [0; L] : w(0) = 0


u(x; 0) = u0(x)


M _d+Kd = F (t)

Md(0) = Y 0

Se pide:2.1. (1 pto.) Escribir qui�en es rh y la expresi�on de cada componente de F (t) y Y 0. No es necesario dividiren elementos.2.2. (4.5 ptos.) Sup�ongase que M y �M son conocidas. Escribir un conjunto de instrucciones de Matlabque calculen K y F (0) (es decir, no hace falta calcular F para todos los tiempos, s�olo para el instanteinicial).Comentarios:

- El programa pedido no tiene por que resolver el problemas en el caso general, sino s�olo para el casoparticular de las condiciones de frontera que se dan en el enunciado.

- El mallado, los elementos y los nudos est�an de�nidos por las variables malla, tipelem, CON y nudos.- Se pueden usar los m-�les funbase y busq.- En todos los elementos se utiliza la misma f�ormula de cuadratura. Los nudos �� de integraci�on en el

intervalo est�andar est�an contenidos en el vector �la psint, mientras que los coe�cientes para la integraci�onest�an contenidos en el vector �la coe�nt.

- Las funciones , �, �, g; f; u0, � y _� est�an est�an almacenadas en los m-�les gamma.m, alpha.m,beta.m, ge.m, efe.m, ucero.m, eta.m, y etaprim.m.

- No hace falta almacenar las matrices y vectores de elemento keij y fei (t).

154





� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)

�= f(x) + fuerzas puntuales; x 2 (0; 1)

u(0) = u0; Cu(1) +A(1)E(1)u0(1) = �;

3.1. Consid�erense los siguientes datos de entrada:

malla=[0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1] donde todos los elementos son c�ubicos.

u0 = 0;35 � 10�3.

C = 2;7412 � 109.

� = �1;1234 � 106:

Hay una fuerza puntual en x = 0;9 con magnitud �1;4 � 106.

A(x) = cte = 1, E(x) = cte = 1;2 � 109 y f(x) = 4;2 � 107�x� 1

2

�:

Para integrar se utiliza integraci�on gaussiana con 3 nudos.

Se pide: �K16;16 (ojo, matriz ampliada), F15 y �(0;86) (dar la soluci�on en la forma x:yzvw � 10k conx 6= 0)Soluci�on:

�K16;16 = 2;4941e+ 010 ; F15 = �5;3890e+ 005 ; �(0;86) = �7;8374e+ 005

Ejercicio 4. (1 pto.) Ejec�utese las instrucciones:

rand('state', 1)A=rand(30);b=rand(30,1);

Sea c el vector resultante de (i) hacer iguales a 1 las componentes de b que sean mayores de 0.7 yluego (ii) eliminar las componentes del vector resultante que sean menores que 0.3. Sea D la matrizresultante de eliminar las mismas �las de A que se eliminaron en b. Escribir la primera componente dela soluci�on por m��nimos cuadrados al sistema Dx = c que proporciona Matlab.

Soluci�on:

x1 = 8;6708e� 001

155

17. Junio 2012

M�etodos Matem�aticos de Especialidad. Especialidad de Construcci�on. Curso 11-12Examen de Junio. 28-05-2012




Ejercicio 1. (1.5 ptos.). Responder de forma breve y precisa a las siguientes cuestiones:

1.1. Se considera el problema de la barra axial en el caso en que en los dos extremos se especi�ca eldesplazamiento. Sup�ongase que a dicho problema se le aplica el MEF. Se pide razonar si las columnasde K suman o no cero.

1.2. >Cu�ales son las ventajas e inconvenientes de trabajar con la descomposici�on QR en vez de con ladescomposici�on LU para resolver un sistema de ecuaciones lineales n � n? Enunciar el resultado quegarantiza que trabajar con la descomposici�on QR presenta ciertas ventajas frente a trabajar con ladescomposici�on LU .

1.3. Consid�erese el problema de la conducci�on del calor en una placa plana. Estudiar razonadamente sise puede aplicar el MEF en los siguientes casos:

Soluci�on:1.1. Como ya sabemos, en este caso la forma bilineal a(�; �) es de�nida positiva, con lo que tambi�en

lo ser�a la matriz K. En particular K debe ser regular. Por tanto, las columnas de K no pueden sumarcero, pues en ese caso K ser��a singular. Atenci�on: si las �las (o las columnas) de una matriz suman ceroentonces la matriz es singular, pero el rec��proco no es cierto, es decir, si una matriz es singular las �las(o las columnas) no tienen por qu�e sumar cero. Un ejemplo: la matriz

A =

�1 22 4

�es singular y sin embargo ni sus �las ni sus columnas suman cero.

1.2. Ver los apuntes de la asignatura.1.3. Puesto que en los dos casos se trata de polinomios a trozos, simplemente debemos comprobar

si se cumple la condici�on de que las funciones sean de clase 1 a trozos en �, o lo que en este caso es

156

equivalente, que se cumpla que las funciones sean continuas en las fronteras interelementos. En el caso B,las funciones bilineales a0+a1x+a2y+a3xy var��an en los lados de los elementos cuadrados, de ecuacionesx = cte o y = cte, de forma af��n. Puesto que las funciones a�nes tambi�en var��an de forma af��n sobre dichasfronteras, tenemos que s�� se cumplir�a la condici�on de continuidad interelementos. S�� se puede aplicar elMEF.

En el caso A, las funciones bilineales var��an sobre los lados del elemento cuadril�atero, de ecuacionesy = �x + �, de manera cuadr�atica. Como las funciones a�nes lo hacen de manera af��n, en general nohabr�a continuidad interelementos y por ello no se puede aplicar el MEF. De hecho, �esta es el raz�on princi-pal por la que para trabajar con la t�ecnica isoparam�etrica usando cuadril�ateros bilineales isoparam�etricos.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 2. (1 pto.) Sea el siguiente problema fuerte: Encontrar u 2 C2[a; b] tal que se cumpla

� d

dx(A(x)E(x)

du

dx(x)) = f(x) para x 2 (a; b) (F)

Cu(a)�A(a)E(a)u0(a) = �; A(b)E(b)u0(b) = Fb

Razonar por qu�e el siguiente problema d�ebil no se usa en la pr�actica: Encontrar u 2 S� tal que para todow 2 V � se cumpla Z b

aAEu0w0 =

Z b

afw + Fbw(b)

donde

V � =�w 2 C1t [a; b] : w(a) = 0

S� =

�v 2 C1t [a; b] : Cv(a)�A(a)E(a)v0(a) = �;

Soluci�on: el problema d�ebil del enunciado presenta la di�cultad de que, al construir el problema d�ebil

modi�cado, hay que elegir una funci�on r 2 S�. Esto signi�ca que la funci�on r, adem�as de ser C1 atrozos, debe cumplir que Cr(a)�A(a)E(a)r0(a) = �. Encontrar una funci�on que cumpla es ta condici�ones complicado en la pr�actica (ver los apuntes de la asignatura) y por ello no se usa esta formulaci�ondel problema d�ebil sino ue las condiciones de Robin se incluyen directamente en el problema d�ebil y seconvierten en contribuciones a a(�; �) y a L(�).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 3. (1.5 ptos.) Sea el sistema Ax = b con A 2 Rn�n regular, y sea k�k una norma enRn. Sup�ongase que el t�ermino independiente se perturba.

3.1. Deducir una cota C para la variaci�on relativa en la soluci�on del sistema en t�erminos de la variaci�onrelativa en el t�ermino independiente.

3.2. Consid�erense las matrices

A =

�1 2100 201

�; B =

�2 4100 1000

�Razonar para cu�al de las dos matrices es mayor la cota C.

Soluci�on: 3.1. La soluci�on se puede encontrar en los apuntes de la asignatura.3.2. Sabemos que la cota C, denominada n�umero de condici�on de la matriz (en la norma en la que

se est�e trabajando), mide lo cerca que est�a una matriz de la singularidad, de forma que un n�umero decondici�on muy alto indica que la matriz est�a muy cerca la singularidad y viceversa. En el caso de trabajarcon matrices 2� 2, la distancia a la singularidad tiene que ver con lo cerca que est�an las columnas (o las�las) de la matriz de ser linealmente dependientes. Por ello, la cota C ser�a mayor en el caso de A, pues

157

sus columnas son \casi" colineales, que en el de B, en que sus columnas est�an lejos de ser linealmentedependientes.

Otra forma de llegar a la misma conclusi�on es llevar a cabo expl��citamente los c�alculos del n�umero decondici�on. Veamos

A�1 =

�201 �2�100 1

�; B�1 =

�58 � 1

400� 116

1800

�Si utilizamos la norma matricial 1 (es decir, la norma matricial inducida por la norma vectorial 1)

tenemos

�1 (A) = kAk1 A�1

1= m�ax f101; 203gm�ax f301; 3g = 101 � 301 = 30401

�1 (B) = kBk1 B�1

1= m�ax f102; 1004gm�ax

�5

8+1

16;1

400+

1

800

�= 1004 � 11

16=2761

4= 690;25

con lo que, en efecto, �1 (A) � �1 (B). Si hubi�esemos elegido otra norma matricial (por ejemplo la norma1 o la norma 1) el resultado ser��a an�alogo.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 4 (1.5 ptos.) Se considera un cuadril�atero bilineal isoparam�etrico con v�ertices 1 � (0; 0),2 � (1; 0), 3 � (3; 2) y 4 � (0; 1). Se pide calcular @N1@x

�54 ;98

�y @N1

@y

�54 ;98

�.

Para simpli�car la resoluci�on del ejercicio, se proporcionan los siguientes datos adicionales:(i) Las funciones de base en el cuadril�atero bilineal est�andar son:

N1(�; �) =1

4(1� �) (1� �) ; N2(�; �) =

1

4(1 + �) (1� �)

N3(�; �) =1

4(1 + �) (1 + �) ; N4(�; �) =

1

4(1� �) (1 + �)

(ii) La matriz inversa de la matriz A =

�a bc d

�de tama~no 2� 2 es

A�1 =1

detA

�d �b�c a

�Soluci�on. Nos est�an pidiendo el gradiente de N1 en el punto (x0; y0) =

�54 ;98

�. Sea (�0; �0) la imagen

inversa del punto (x0; y0) por el cambio isoparam�etrico (x; y) = � (�; �), es decir, (�0; �0) = ��1 (x0; y0).Puesto que N1 se de�ne a partir de las Ni tendremos que trabajar con dichas funciones. La funci�on

N1 se de�ne a trav�es deN1 (�; �) = N1 (� (�; �))

con lo que, usando la regla de la cadena, se obtiene

rN1 (�; �)T = rNT1 (� (�; �))�

0 (�; �)

es decir,rNT

1 (� (�; �)) = rN1 (�; �)T �0 (�; �)�1

Por tantorNT

1 (x0; y0) = rN1 (�0; �0)T �0 (�0; �0)

�1

158

El cambio isoparam�etrico es�xy

�=

�x1y1

�N1 (�; �) +

�x2y2

�N1 (�; �) +

�x3y3

�N3 (�; �) +

�x4y4

�N4 (�; �) =

=

�10

�N1 (�; �) +

�32

�N3 (�; �) +

�01

�N4 (�; �) = � � � =

�14 (1 + �) (4 + 2�)14 (3 + �) (1 + �)

�es decir

x =1

4(1 + �) (4 + 2�)

y =1

4(3 + �) (1 + �)

Haciendo x = 54 ; y =

98 tenemos, resolviendo el sistema, que (�0; �0) = (0; 1=2).

Por ello tenemos

rNT1

�5

4;9

8

�= rNT

1 (0; 1=2)�0 (0; 1=2)�1

Derivando en la expresi�on de N1 tenemos

rNT1 (�; �)

T =1

4(� � 1; � � 1)

con lo que

rNT1 (0; 1=2) =

1

4

��12;�1

�= �1

8(1; 2)

Para obtener �0 (�; �) derivamos en la expresi�on del cambio

�0 (�; �) =

�2� + 4 2� + 2� + 1 � + 3

�con lo que

�0 (0; 1=2) =1

8

�10 43 6

�cuya inversa es

�0 (0; 1=2)�1 =1

48

�6 �4�3 10

�En de�nitiva

rNT1

�5

4;9

8

�= �1

8(1; 2)

1

48

�6 �4�3 10

�=

�0;� 1

24

�con lo que la respuesta pedida es

@N1@x

�5

4;9

8

�= 0

@N1@y

�5

4;9

8

�= � 1

24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 5 (1.5 ptos.)

159

5.1. (0.25 ptos.) Escribir la expresi�on del m�etodo de Euler impl��cito para resolver problemas devalor inicial _z(t) = f(t; z(t)); z(0) = z0.

5.2. (1.25 ptos.) El oscilador simple modela el movimiento horizontal de una masa unida a un muellesin rozamiento. Sus ecuaciones son

m��x(t) + Cx(t) = f(t)

x(0) = x0 ; _x(0) = _x0

donde m es la masa y C es la rigidez del muelle.Se pide: aplicar el m�etodo de Euler impl��cito al problema del movimiento del oscilador simple, obte-

niendo las ecuaciones �nales simpli�cadas que hay que programar. Nota: se recuerda que en este problemam y C son escalares.

Soluci�on: 5.1. Ver los apuntes de la asignatura.5.2. Operando (ver apuntes asignatura) se obtienen las ecuaciones �nales�

1 + h2C

m

�_xj+1 = �C

mhxj + _xj +

hff+1

m

xj+1 = xj + h _xj+1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 6. (3 ptos.) Sea � R2 abierto conexo cuya frontera es una curva C1 a trozos � = �1 [ �2.Consid�erese el siguiente problema

�(x)@u

@t(x; t)� divx (D(x)gradxu(x; t)) + �(x)u(x; t) = f(x; t) + (t)�y(x) ; x 2 ; t � 0

n(x)TD(x)gradxu(x; t) + c(x)u(x; t) = h(x; t) ; x 2 �1; t � 0u(x; t) = g(x; t) ; x 2 �2; t 2 [0;1)

u(x; 0) = u0(x) ; x 2

donde la funci�on escalar u es la inc�ognita, D 2 R2�2 es una funci�on matricial, �; � y c son funcionescontinuas y estrictamente positivas, u0 es una funci�on y n es el vector normal unitario saliente a �. y esun punto de y �y denota la delta de Dirac aplicada en el punto y. Se pide:

6.1. (2.5 ptos.) Plantear el problema d�ebil (en la forma en la que s�olo interviene el espacio de test),especi�cando claramente qui�en es el espacio de test V �.

Comentarios:(i) No hace falta especi�car todos los pasos de la deducci�on.(ii) Hay que especi�car la regularidad de las funciones respecto del tiempo.(iii) En todas las integrales hay que especi�car el recinto en el que se est�a integrando.(iii) Todas las expresiones con matrices y vectores que se escriban deben tener sentido.

6.2. (0.5 ptos.) Supongamos que al problema se el aplica el m�etodo de Galerkin, usando un ciertoespacio V h. Consideremos la condici�on inicial en el problema de Galerkin asociado. Explicar razonada-mente por qu�e la condici�on inicial vh(x; 0) = u0(x)� r(x; 0) no es v�alida. Obtener la condici�on inicial quese emplea en la pr�actica e interpretarla.

Nota: Los dos apartados son independientes.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Soluci�on: 6.1. Sea

V � =�w : �! R : w 2 C1t (�); w = 0 en �2


160


2. Para todo t 2 [0;1), r(�; t) 2 V � (nota: r(�; t) denota la r como funci�on de x para t �jo)

3. 8x 2 �2; 8t 2 [0;1); r(x; t) = g(x; t)

Expresando u = r + v; multiplicando por una funci�on de test, integrando en , utilizando integraci�on(multidimensional) por partes, imponiendo que las funciones de test se anulen en �2 e utilizando lascondiciones sobre �1 se obtiene que el problema d�ebil es: Encontrar v : �� [0;1)! R tal que:


(2) Para todo t 2 [0;1), v(�; t) 2 V �.


ZrwT (x)D(x)rxv(x; t)dx+


Z�1

c(x)v(x; t)w(x)dh =

=


Z�1

h(x; t)w(x)dh�Z�(x) _r(x; t)w(x)dx�



Z�1

c(x)r(x; t)w(x)ds

que se puede representar en la forma

(� _v; w) + a(v; w) = L(w)

donde

a(v; w) =

ZrwTD(x)rxv(x; t)dx+


Z�1

c(x)v(x; t)w(x)dl

L(w) =


Z�1

h(x; t)w(x)dl � a(r; w)� (p _r; w) =

=


Z�1

h(x; t)w(x)dl �Z�(x) _r(x; t)wdx



Z�1

c(x)r(x; t)w(x)dl


v(x; 0) = u0(x)� r(x; 0); x 2

Obs�ervese que:

1. a(�; �) no contiene el t�ermino Z�(x) _v(x; t)w(x)dx;


161

2. Una expresi�on del tipoRDrwrvdx no tiene sentido pues las matrices-vectores correspondientes no

se pueden multiplicar.

4.2. En el problema de Galerkin, la condici�on inicial no puede ser vh(x; 0) = u0(x)� r(x; 0) ; x 2 ,pues como vh 2 V h y V h es un subespacio de dimensi�on �nita, en general no hab��a ninguna vh tal quese cumpla la expresi�on, es decir, la condici�on s�olo se veri�car��a \de casualidad". La condici�on que se usaen la pr�actica es�

�(x)vh(x; 0); w(x)�=��(x)u0(x); w(x)

�� (�(x)r(x; 0); w(x)) para todo w 2 V h (27)

Puesto que la funci�on � es continua y positiva, la aplicaci�on

(�u; v) =

Z�uv

de�ne un producto escalar, el denominado �-producto escalar. Por lo tanto, la condici�on (27) se puedeinterpretar as��: vh(x; 0) es la proyecci�on ortogonal de u0(x)� r(x; 0) sobre V h con el �-producto escalar.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162





Ejercicio 1. (2.5 ptos.) Se considera el problema

�div (s(x)gradu(x)) + �(x)u(x) = f(x) + ��c(x) ; x 2 s(x)gradu(x) � n(x) + �(x)u(x) = g(x) ; x 2 �1

u(x) = h(x) ; x 2 �2

donde es un recinto de R2. El problema d�ebil para el mismo es: (D) Encontrar u 2 S� tal que paratodo v 2 V � se cumpleZs(x)rwT (x)ru(x)dx+

Z�(x)u(x)w(x)dx+

Z�1

�(x)u(x)w(x)dl =

Zf(x)w(x)dx+

Z�1

g(x)w(x)dl+�w(c)

donde

S� =�w : �! R tal que w 2 C1t () y w = h en �2

; V � =

�w : �! R tal que w 2 C1t () y w = 0 en �2


CON =

0BBBBBBBBBB@

5 6 7 05 1 2 03 2 5 44 5 6 06 9 4 06 9 7 09 10 4 09 7 8 0

1CCCCCCCCCCA; nudos =

0BBBBBBBBBBBBBB@

6 35 24 00 02 20 21 30 4-1 3-2 1

1CCCCCCCCCCCCCCAdonde los tri�angulos son lineales y los cuadril�ateros son bilineales isoparam�etricos. �1 corresponde a lal��nea continua y �2 a la l��nea discontinua.

Para hacer las integrales se utilizan las f�ormulas de cuadraturaZTf(�)d� �

�TXz=1

W zf(�z) ;

ZCf(�)d� �

�CXz=1

Y zf(�z) ;

Z 1

�1f(t)dt �

�SXz=1

Hzf(� z)

donde T es el tri�angulo est�andar, C es el rect�angulo est�andar, los W z; Y z y Hz son los coe�cientes parala integraci�on y los �z; �z; y � z son los nudos correspondientes.

163

Se pide:1.1. (0.25 ptos.) >Cu�al es el tama~no de la matriz K?1.2. (2.25 ptos.) Sup�ongase que las keij son conocidas. Determinar la expresi�on �nal que habr��a

que programar para calcular �f1i y f1i , donde para i se est�a utilizando numeraci�on local.

Comentarios:(i) Se supone que las funciones de base en los elementos est�andar son conocidas. Por ello, nohay que calcularlas.(ii) Se debe especi�car la expresi�on de los cambios y de las parametrizaciones que se utilicen.(iii) En todas las integrales hay que especi�car el recinto en el que se est�a integrando.

Soluci�on: 1.1. La inc�ognita es unidimensional (la temperatura). En total hay 10 nudos, en cada uno de loscu�ales hay un grado de libertad. Como hay 4 nudos esenciales tenemos que la matrizK tendr�a dimensiones6� 6. Si se estuviese trabajando con el problema de una placa con estado de tensi�on plana y la inc�ognitafuese el desplazamiento, tendr��amos una inc�ognita bidimensional y por ello en cada nudo de la placahabr��a dos grados de libertad, con lo que el tama~no de K ser��a 12� 12.

1.2. Del enunciado sabemos que

�L (w) =

Zf(x)w(x)dx+

Z�1

g(x)w(x)dl + �w(c)

es decir, �L incorpora todas las contribuciones al vector de fuerzas salvo las correspondientes a las condi-ciones de frontera esenciales. Adem�as,

L(w) = �L (w)� a�rh; w

�donde

rh(x) = u(x1)N1(x) + u(x3)N3(x) + u(x4)N4(x) + u(x5)N5(x)

El elemento 1 es un tri�angulo lineal isoparam�etrico (que es lo mismo que decir un tri�angulo lineal).Entonces, para cada i = 1; 2; 3;

�f1i := �L(N1i )1 =

Z1

f(x)N1i (x)dx| {z }

I

+

Z�1

g(x)N1i (x)dl| {z }

II

+ �N3i (c)| {z }III

;

donde S(5; 7) denota el segmento que une los nudos 5 y 7. Por simplicidad de notaci�on, a partir de ahorasuprimiremos el super��ndice en las funciones de base.

Para calcular el primer sumando hacemos el cambio isoparam�etrico

x = �(�) =

�22

�N1(�) +

�02

�N2(�) +

�13

�N3(�);

donde las Ni son las funciones de base del tri�angulo est�andar T . Este cambio transforma T en 1. Haciendoel cambio de variable en la integral y denotando �0(�) a la matriz jacobiana del cambio obtenemos

I =

Z1

f(x)N1i (x)dx =

Z1

f(�(�))N1i (�(�)) jJ�(�)j d�

y usando la f�ormula de cuadratura para el tri�angulo est�andar tenemos

I ��TXz=1

W zf(�(�z))Ni(�z) jJ�(�z)j

164

Para calcular la integral curvil��nea de II, y puesto que disponemos de una f�ormula de cuadraturapara el intervalo [�1; 1], parametrizamos el segmento S(5; 7) en la forma

(x; y) = ~r(t) =O7�O5

2t+

O7 +O5

2=(�1; 1)2

t+(3; 5)

2; t 2 [�1; 1]

As�� tenemos

II =

ZS(5;7)

g(x)Ni(x)dl =

Z 1

�1g (~r(t))Ni(~r(t))

O7�O5 2

dt =

=long(S(5; 7))

2

Z 1

�1g (~r(t)) Ni(�

�1(~r(t)))dt �p2

2

�SXz=1

Hzg (~r(� z)) Ni(��1(~r(� z)))

El t�ermino III se calcula de la siguiente forma

III = �Ni(c) = �Ni(��1(c)) = �Ni(�

�1(2; 2;5))

En de�nitiva, para calcular �f1i tenemos que programar

�f1i ��TXz=1

W zf(�(�z))Ni(�z) jJ�(�z)j+ long(S(5; 7))

2

�SXz=1

Hzg (~r(� z)) Ni(��1(~r(� z))) + �Ni(�

�1(2; 2;5))

Una vez calculado �f1i , f1i se obtiene sin m�as que hacer

f1i =�f1i � k1i1h(x5) = �f1i � k1i1h(2; 2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 2. (5.5 ptos.) Se considera el siguiente problema en una dimensi�on espacial

(x) _u(x; t)��(x)u0(x; t)

�0+ �(x)u(x; t) = g(x; t) + Z�c(x); x 2 [0; L]; t � 0

(�u)0 (0; t) + Cu(0; t) = f(t); u(L; t) = �(t); t � 0u(x; 0) = u0(x); x 2 [0; L]

donde , �, �, g, f; u0 y � son funciones, �c es la delta de Dirac aplicada en un punto c y Z (zeta) y C(C) son constantes. El problema d�ebil asociado al mismo es: Encontrar u(x; t), de clase 1 como funci�onde t, tal que para todo t > 0 se cumpla que u(�; t) es de clase C1t [0; L], que u(L; t) = �(t) y tal que paratodo w 2 V � se veri�que que para todo t > 0Z L

0 _uw +

Z L

0�u0w0 +

Z L

0�uw + Cu(0; t)w(0) =

Z L

0gw + f(t)w(0) + Zw(c)

dondeV � =

�w 2 C1t [0; L] : w(L) = 0


u(x; 0) = u0(x)


M _d+Kd = F (t)

Md(0) = Y 0

165

Se pide:2.1. (1 pto.) Escribir qui�en es rh y la expresi�on de cada componente de F (t) y Y 0. No es necesario dividirlas integrales en suma de integrales sobre los elementos.2.2. (4.5 ptos.) Sup�ongase que M y �M son conocidas. Escribir un conjunto de instrucciones de Matlabque calculen K y Y 0.Comentarios:

- El programa pedido no tiene por qu�e resolver el problemas en el caso general, sino s�olo para el casoparticular de las condiciones de frontera que se dan en el enunciado.

- El mallado, los elementos y los nudos est�an de�nidos por las variables malla, tipelem, elem y nudos.- Se pueden usar los m-�les funbase y busq.- En todos los elementos se utiliza la misma f�ormula de cuadratura. Los nudos �� de integraci�on en el


- Las funciones , �, �, g; f; u0, � y _� est�an est�an almacenadas en los m-�les gamma.m, alpha.m,beta.m, ge.m, efe.m, ucero.m, eta.m, y etaprim.m.

- No hace falta almacenar las matrices y vectores de elemento keij y y0ei .

2.1.rh(x; t) = �(t)Nn(x)

FP (t) =

Z L

0g(x; t)NI(x)dx+ f(t)NI(0) + ZNI(c)�

��_�(t)

Z L

0 NINndx+ �(t)

Z L

0�N 0

IN0n + �(t)

Z L

0�NINn + C�(t)NI(0)Nn(0)

�

Y 0P =

Z L

0u0(x)NI(x)dx� �(0)

Z L

0Nn(x)NI(x)dx

donde P = ID(I) y I = 1; ::::; n� 1.Aunque no se pide la expresi�on de las componentes de K tendremos que

KPQ =

Z L

0�N 0

IN0J +

Z L

0�NINJ + CNI(0)NJ(0)

donde P = ID(I), Q = ID(J) y I; J = 1; ::::; n� 1.

166





� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)


u(0) = u0; Cu(1) +A(1)E(1)u0(1) = �;



u0 = 0;25 � 10�3.

C = 2;8402 � 109.

� = �1;4213 � 106:


A(x) = cte = 1, E(x) = cte = 1;2 � 109 y f(x) = 4;4 � 107�x� 1

2

�:


Se pide: �K16;16 (ojo, matriz ampliada), F15 y �(0;88) (dar la soluci�on en la forma x:yzvw � 10k conx 6= 0)

Soluci�on:

�K16;16 = 2;5040e+ 010 ; F15 = �7;9876e+ 005 ; �(0;88) = �9;1567e+ 005

Ejercicio 4. (1 pto.) Ejecutense las instrucciones:


Sea c el vector resultante de (i) hacer iguales a 1 las componentes de b que sean mayores de 0.6 yluego (ii) eliminar las componentes del vector resultante que sean menores que 0.2. Sea D la matrizresultante de eliminar las mismas �las de A que se eliminaron en b. Escribir la segunda componente dela soluci�on por m��nimos cuadrados al sistema Dx = c que proporciona Matlab.

Soluci�on:x2 = 1;0578

167

18. Julio 2012

M�etodos Matem�aticos de Especialidad. Especialidad de Construcci�on. Curso 11-12Examen de Julio. 02-07-2012




Ejercicio 1. (2.5 ptos.) Responder de forma breve y precisa a las siguientes cuestiones:

1.1. Explica con precisi�on qu�e signi�ca demostrar un enunciado del tipo p) q.

1.2. Al trabajar con cuadril�ateros bicuadr�aticos isoparam�etricos, >c�omo se sabe en la pr�actica si elcambio es inyectivo?

1.3. De�ne la noci�on de norma matricial inducida. Enuncia las 6 propiedades que cumple.

1.4. Explica cu�ales son las ideas principales de los m�etodos impl��citos y expl��citos para resolver problemasde valor inicial en EDOs. Asimismo, explica brevemente las ventajas e inconvenientes de ambos tiposde m�etodos.

1.5. Def��nase con rigor el concepto de forma bilineal sim�etrica de�nida positiva en un espacio vectorialV .

Soluci�on: ver los apuntes de la asignatura.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ejercicio 2. (2 ptos.) Sea el problema

�div (�(x)ru(x)) = f(x); x 2 (P)

�(x)ru(x) � n(x) + �(x)u(x) = s(x); x 2 @

donde f , h; � y � son funciones de clase 1 y � y � son positivas. Suponemos que existe soluci�on alproblema (P) anterior y tambi�en a su problema d�ebil asociado (D), que tiene la forma:(D) Encontrar u 2 S� tal que para todo w 2 V � se veri�caZ

�ruTrwdx+

Z@�uwdl =

Zfwdx+

Z@swdl

donde S� y V � son respectivamente el espacio de test y el espacio de prueba.Se pide:

2.1. Estudiar, demostr�andolo con todo rigor, si la soluci�on a (D) es �unica o pueden existir m�as soluciones.Se deben explicar con cuidado todos los pasos del razonamiento.

2.2. Estudiar razonadamente si la soluci�on al problema (P) es �unica.

168

Soluci�on: 2.1. Los espacios de prueba y de test son

S� = V � = C1t (�)

La forma bilineal correspondiente es

a(v; w) =

Z�rvTrwdx+

Z@�vwdl

Sabemos, por un resultado de la signatura, que si a(�; �) es de�nida positiva entonces la soluci�on v alproblema d�ebil, de existir, es �unica. Por ello estudiemos el car�acter de a(�; �). Para todo v 2 V �

a(v; v) =

Z� krvk2 dx+

Z@�v2dl � 0 (28)

con lo que a(�; �) es al menos semide�nida positiva.Supongamos ahora que a(v; v) = 0 para un cierto v 2 V �. Si logr�asemos demostrar que eso implica

que v = 0 entonces habr��amos demostrado que a(�; �) es de�nida positiva. Veamos:Supongamos que v 2 V � y que a(v; v) = 0. Tanto

R � krvk

2 dx comoR@ �v

2dl son no nega-tivos, luego de (28) la �unica forma de que su suma sea cero es que ambos sean cero, es decir, debeser

R � krvk

2 dx = 0 yR@ �v

2dl = 0.Sabemos que v es de clase 1 a trozos en . Por ello deben existir porciones 1; :::;s de tales que

v es de clase 1 en cada uno de esos trozos. DeR � krvk

2 dx = 0 tenemos, dividiendo la integral sobre en suma de integrales extendidas a los distintos trozos e, queZ

1

� krvk2 dx+ � � �+Zs

� krvk2 dx = 0

Al ser la funci�on subintegral positiva cada sumando es no negativo, con lo que la �unica forma de que lasuma valga cero es que todos los sumandos valgan cero, es decir, tenemos queZ

e

� krvk2 dx = 0 para todo e = 1; :::; s (29)

Como � krvk2 es no negativa y continua en cada trozo, de (29) se deduce que para todo e = 1; :::; s,� krvk2 = 0 en e. Como � es positiva y la norma de un vector s�olo es nulo cuando el vector es nulo,esto implica que para todo e = 1; :::; s; la funci�on rv es nula en e. Esto a su vez implica que debe serv = Ce = cte en cada e.

Como v es una funci�on de C1t (�) en particular debe ser continua en , con lo que todas las constantesanteriores son iguales y por ello debe ser v = C en . En de�nitiva, hasta ahora hemos demostrado que sia(v; v) = 0 entonces v es constante en (*). Sin embargo, todav��a no hemos alcanzado nuestro objetivo�nal, que ser��a demostrar que v = 0 en .

Utilicemos ahora queR@ �v

2dl = 0. De aqu�� deducimos, usando que � > 0 y que �v2 es continua en@, que v = 0 en @. Ahora usando (*) y el hecho de que v es continua en �, llegamos a la conclusi�onde que v = 0 en .

Por tanto hemos demostrado que a(�; �) es de�nida positiva en V � y, como consecuencia, que la lasoluci�on al problema d�ebil es �unica.2.2. En cuanto al problema fuerte (P), la soluci�on al mismo es �unica, pues todas las soluciones delproblema fuerte son soluciones del d�ebil y ya hemos probado que la soluci�on del d�ebil es �unica.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ejercicio 3. (2.5 ptos.) Sea � R2 un abierto acotado medible Jordan con frontera C1 a trozos. Sobre se tiene una membrana uniforme con densidad super�cial �(x) > 0 estirada con tensi�on T (x) > 0,

169

donde x = (x1; x2). Sobre la membrana act�ua una presi�on transversal p(x; t) y una fuerza puntual en elpunto z 2 con intensidad (t): Sea u(x; t) la de exi�on de la membrana. La membrana se apoya en unmedio el�astico con constante el�astica �(x) > 0. Al imponer unas determinadas condiciones de contornoe iniciales, el problema es:

div(T (x)rxu(x; t))� �(x)u(x; t) + p(x; t) + �z(x) (t) = �@2u

@t2(x; t) , x 2 ; t � 0

u = g(x; t) , x 2 �1; t � 0

T (x)du

dn= h(x; t) , x 2 �2; t � 0

T (x)du

dn+ (x)u = c(x; t) ; x 2 �3; t � 0

u(x; 0) = u0(x), x 2 @u

@t(x; 0) = _u0(x), x 2

donde @ = �1 [ �2 [ �3 y es una funci�on positiva de x. Se pide: plantear el problema d�ebil (en laforma en la que s�olo interviene el espacio de test), especi�cando claramente qui�en es el espacio de testV �.

Comentarios:(i) No hace falta especi�car todos los pasos de la deducci�on.(ii) Hay que especi�car la regularidad de las funciones respecto del tiempo.(iii) En todas las integrales hay que especi�car el recinto en el que se est�a integrando.(iii) Todas las expresiones con matrices y vectores que se escriban deben tener sentido.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Soluci�on: El espacio de test es

V � =�w : �! R : w 2 C1t (�); w = 0 en �1


1. Para todo x 2 , r(x; t) admite dos derivadas parciales respecto de t y estas derivadas son continuasen �� [0;1).

2. Para todo t 2 [0;1), r(�; t) 2 C1t (�) (nota: r(�; t) denota la r como funci�on de x para t �jo)

3. 8x 2 �1; 8t 2 [0;1); r(x; t) = g(x; t).

Expresando u = r + v; multiplicando por una funci�on de test, integrando en , utilizando integraci�on(multidimensional) por partes, imponiendo que las funciones de test se anulen en �1 e utilizando lascondiciones sobre �2 y sobre �3 se obtiene que el problema d�ebil es:

(D) Encontrar v : �� [0;1)! R tal que:

(1) Para todo x 2 , v(�; t) admite dos derivadas parciales respecto de t y estas derivadas son continuasen �� [0;1).

(2) Para todo t 2 [0;1), v(�; t) 2 V �.

170

(3) Para todo w 2 V y para todo t 2 [0;1) se cumpleZ��vwdx+

ZTrxv � rwdx+

Z�vwdx+

Z�3

vwdl =

Zpwdx+ (t)w(z) +

Z�2

hwdl +

Z�3

cwdl�

��Z��rwdx+

ZTrxr � rwdx+

Z�rwdx+

Z�3

rwdl

�que se puede representar en la forma �

��v; w

�+ a(v; w) = L(w)

donde

a(v; w) =

ZTrxv � rwdx+

Z�vwdx+

Z�3

vwdl

L(w) =

Zpwdx+ (t)w(z) +

Z�2

hwdl +

Z�3

cwdl�

��Z��rwdx+

ZTrxr � rwdx+

Z�rwdx+

Z�3

rwdl

��v; w

�=

Z��vwdx

(4) Se veri�can las condiciones iniciales

v(x; 0) = u0(x)� r(x; 0); x 2 _v(x; 0) = _u0(x)� _r(x; 0); x 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 4. (1.5 ptos.) Enumerar (sin entrar en detalles) las etapas del enfoque local, es decir, los 11pasos para construir V h y calcular K y F en los problemas de elementos �nitos.

Soluci�on: ver los apuntes de la asignatura.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 5. (1.5 ptos.) Sea f(x; y) la funci�on bilineal que vale z1 en el punto (1; 0), z2 en el punto (2; 0),z3 en el punto (2; 1) y z4 en el punto (1; 1). Se pide calcular (sin resolver ning�un sistema) el valor de fen el punto (3=2; 1=3):

Soluci�on: Una posible forma de resolver el problema, de no ser porque lo prohibe expresamente elenunciado, es resolviendo un sistema de ecuaciones. En efecto, la funci�on f se puede escribir en la forma

f(x; y) = A+Bx+ Cy +Dxy

Si ahora imponemos las 4 condiciones

f(1; 0) = z1 ; f(2; 0) = z2 ; f(2; 1) = z3 ; f(1; 1) = z4

obtenemos

A+B = z1

A+ 2B = z2

A+ 2B + C + 2D = z3

A+B + C +D = z4

171

que es un sistema de 4 ecuaciones para las cuatro inc�ognitas A, B, C y D. Resolviendo el sistema (queen este caso concreto no es muy laborioso pero que s�� lo ser��a si se hubiesen dado condiciones en puntoscuya coordenadas no valiesen cero) obtenemos A, B, C y D y entrando con el punto (3=2; 1=3) tenemos

f(3=2; 1=3) =1

6[2z1 + 2z2 + z3 + z4]

Resolvamos ahora el problema sin hacer uso de ning�un sistema de ecuaciones. El espacio de lasfunciones bilineales (en R2) tiene dimensi�on 4. Obtengamos la base formada por las funciones de basenodal asociadas a los puntos (1; 0), (2; 0), (2; 1) y (1; 1), que est�an dispuestos seg�un una malla rectangular,con lo que su c�alculo es sencillo: As�� tenemos

N(1;0) (x; y) =x� 2�1

y � 1�1 = (x� 2) (y � 1)

N(2;0) (x; y) =x� 11

y � 1�1 = (x� 1) (1� y)

N(2;1) (x; y) =x� 11

y � 01

= (x� 1) y

N(1;1) (x; y) =x� 2�1

y

1= (2� x) y

Entonces ahora tenemos que si f es una funci�on bilineal se debe cumplir

f (x; y) = f(1; 0)N(1;0) (x; y) + f(2; 0)N(2;0) (x; y) + f(2; 1)N(2;1) (x; y) + f(1; 1)N(1;1) (x; y)

es decirf (x; y) = z1N(1;0) (x; y) + z2N(2;0) (x; y) + z3N(2;1) (x; y) + z4N(1;1) (x; y)

Por ello,

f(3=2; 1=3) = z1N(1;0)(3=2; 1=3) + z2N(2;0)(3=2; 1=3) + z3N(2;1)(3=2; 1=3) + z4N(1;1)(3=2; 1=3) =

=z13+z23+z36+z46

Comentario: el problema tambi�en se puede resolver haciendo un cambio isoparam�etrico y pasando alcuadril�atero bilineal est�andar, pero el proceso es m�as largo. Sin embargo ya sabemos que a la hora deprogramar el MEF es ese el camino que se sigue. Lo que habr��a que hacer es:

1. Calcular las funciones de base N(�1;�1)(�; �); N(�1;1)(�; �); N(1;1)(�; �) y N(�1;1)(�; �) correspondientesal cuadril�atero estandar.

2. De�nir el cambio isoparam�etrico (x; y) = �(�; �) para pasar del cuadril�atero estandar al cuadril�atero(1; 0), (2; 0), (2; 1) y (1; 1)�

xy

�=

�10

�N(�1;�1)(�; �) +

�20

�N(�1;1)(�; �) +

�21

�N(1;1)(�; �) +

�11

�N(�1;1)(�; �)

3. Calcular el punto (�0; �0) que corresponde al punto (x0; y0) = (3=2; 1=3), es decir, (�0; �0) = ��1(3=2; 1=3).

4. Entonces

f(3=2; 1=3) = z1N(1;0) (x; y) + z2N(2;0) (x; y) + z3N(2;1) (x; y) + z4N(1;1) (x; y) =

= z1N(�1;�1)(�0; �0) + z2N(�1;1)(�0; �0) + z3N(1;1)(�0; �0) + z4N(�1;1)(�0; �0)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

172





Ejercicio 1. (2 ptos.) Sea un sistema de EDOs

_z(t) = f(t; z(t)) z(0) = z0 2 Rm


yj+1 = yj +h

4f(tj+1; yj+1) +

3h

4f(tj ; yj) (30)

y0 = z0

Consid�erese el problema de la transmisi�on del calor por conducci�on. Al usar el MEF para discretizar enel tiempo y despu�es aplicar (30) se obtienen las ecuaciones�

M +h

4K

�dj+1 =

�M � 3h

4K

�dj + h

�F j+1

4+3F j

4

�donde h es el paso de tiempo.

Sup�ongase que se conocen M , K; d0 (dcero) y una matriz Facum en la que la columna j + 1 es elvector F (tj) desde j = 0 hasta j = 10 es decir, Facum=[F 0 j F 1 j � � � j F 10]. Escribir unas instruccionesde Matlab que permitan avanzar en el tiempo desde t0 = 0 hasta t10 = 10h y que genere la matrizdacum=[d0 j d1 j � � � j d10].Nota: se deber�a minimizar el n�umero de operaciones a realizar.

173

Ejercicio 2. (6 ptos.) Se considera el siguiente problema en una dimensi�on espacial

(x) _u(x; t)��(x)u0(x; t)

�0+ �(x)u(x; t) = g(x; t) + Z(t)�c(x); x 2 [0; L]; t � 0

(�(x)u)0 (L; t) + Cu(L; t) = f(t); u(0; t) = �(t); t � 0u(x; 0) = u0(x); x 2 [0; L]

donde Z, , �, �, g, f; u0 y � son funciones, �c es la delta de Dirac aplicada en un punto c y C (C) esuna constante. El problema d�ebil asociado al mismo es:(D) Encontrar u(x; t), de clase 1 como funci�on de t, tal que para todo t > 0 se cumpla que u(�; t) es declase C1t [0; L], que u(0; t) = �(t) y tal que para todo w 2 V � se veri�que que para todo t > 0Z L

0 _uw +

Z L

0�u0w0 +

Z L

0�uw + Cu(L; t)w(L) =

Z L

0gw + f(t)w(L) + Z(t)w(c)

dondeV � =

�w 2 C1t [0; L] : w(0) = 0


u(x; 0) = u0(x)


M _d+Kd = F (t)

Md(0) = Y 0

Se pide:2.1. (1 pto.) Escribir qui�en es rh y la expresi�on de cada componente de F (t) y Y 0. No es necesario dividirlas integrales en suma de integrales sobre los elementos.2.2. (5 ptos.) Sup�ongase que M y �M son conocidas. Escribir un conjunto de instrucciones de Matlab quecalculen K y los vectores F 0; F 1; :::; F k donde k es el n�umero de pasos de tiempo.Comentarios:

- El programa pedido no tiene por que resolver el problemas en el caso general, sino s�olo para el casoparticular de las condiciones de frontera que se dan en el enunciado.

- El mallado, los elementos y los nudos est�an de�nidos por las variables malla, tipelem, CON y nudos.- Se pueden usar los m-�les funbase y busq.- En todos los elementos se utiliza la misma f�ormula de cuadratura. Los nudos �� de integraci�on en el


- Las funciones Z, , �, �, g; f; u0, � y _� est�an est�an almacenadas en los m-�les zeta.m, gamma.m,alpha.m, beta.m, ge.m, efe.m, ucero.m, eta.m, y etaprim.m.

- No hace falta almacenar las matrices y vectores de elemento keij y fei (t).

Soluci�on: 2.1.Z L

0 _uw +

Z L

0�u0w0 +

Z L

0�uw + Cu(L; t)w(L) =

Z L

0gw + f(t)w(L) + Zw(c)

rh(x; t) = �(t)N1(x)

174

FP (t) =

Z L

0g(x; t)NI(x)dx+ f(t)NI(L) + ZNI(c)�

��_�(t)

Z L

0 NIN1dx+ �(t)

Z L

0�N 0

IN01 + �(t)

Z L

0�NIN1 + C�(t)NI(L)N1(L)

�

Y 0P =

Z L

0u0(x)NI(x)dx� �(0)

Z L

0N1(x)NI(x)dx

donde P = ID(I) y I = 2; ::::; n.Aunque no se pide la expresi�on de las componentes de K su expresi�on es

KPQ =

Z L

0�N 0

IN0J +

Z L

0�NINJ + CNI(L)NJ(L)

donde P = ID(I), Q = ID(J) y I; J = 2; ::::; n.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

175





� d

dx

�A(x)E(x)

du

dx(x)


u(0) = u0; Cu(1) +A(1)E(1)u0(1) = �;



u0 = 0;15 � 10�3.

C = 2;67 � 109.

� = �1;14 � 106:


A(x) = cte = 1, E(x) = cte = 1;2 � 109 y f(x) = 4;4 � 107�x� 1

2

�:


Se pide: �K16;16 (ojo, matriz ampliada), F15 y �(0;85) (dar la soluci�on en la forma x:yzvw � 10k conx 6= 0)

Soluci�on:

�K16;16 = 2;4870e+ 010 ; F15 = �7;2995e+ 005 ; �(0;85) = 2;9441e+ 005

Ejercicio 4. (1 pto.) Ejec�utense las instrucciones:


Sean c y C el vector y la matriz resultantes de eliminar la �la 21 de b y de A respectivamente. Calcularla norma 1 de la soluci�on al sistema Cx = c que cumple que su tercera componente es nula.

Soluci�on:kxk1 = 44;6747

176

Examenes Resueltos de Metodos Numericos

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