Exámenes 2009-2010

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Apellidos Nombre DNI

TEORA DEL CONTROL AUTOMTICO .Ingeniera de Telecomunicacin1er Parcial. Tercer Curso. Curso 2009-2010. 15 de enero de 2010

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Cuestin 1 (1,50 puntos)

a) Dibuje un esquema de un sistema de control realimentado y defina las seales y elementos bsicos

(0,50 puntos)

b) Determine las funciones de transferencia del sistema que se muestra en la Figura C-1(1 punto)

A(s) Gc(s) Gm(s) G(s)

H(s)

V(s) R(s) E(s) U(s) F(s) C(s)

Q(s)

P(s)

+ +

-

-

B(s)

Figura C-1. Sistema de control realimentado

( ) ( )

( )sVsC

sM =

( ) ( )

( )sPsC

sM =

SOLUCIN: Consultar a la Profesora Laura Roa

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Cuestin 2 (2 puntos)

Para el sistema representado en la figura C-2, donde G(s)= 1/(s+1)

P(s)

C(s)+

+

Gc(s)R(s)+

-

G(s)

Figura C-2. Sistema de control realimentado

Determinar:

a) El controlador Gc(s) para que el sistema en bucle cerrado tenga un error en rgimen permanente nulo

ante una entrada escaln unitario, r(t), sea crticamente amortiguado, y la constante de tiempo sea

menor o igual a 0,1 s. (0,50 puntos)

b) Calcular analticamente la respuesta del sistema en bucle cerrado ante una entrada escaln unitario,

con p(t)=0 (0,50 puntos)

c)

Sobrepasa c(t), en algn instante de tiempo, el valor alcanzado en rgimen permanente? Calcular y

razonar la respuesta. (0,50 puntos)

d)

Calcular analticamente la respuesta del sistema a una perturbacin, p(t), a un escaln unitario

(0,50 puntos)

SOLUCIN: Consultar a la Profesora Laura Roa

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Cuestin 3 (3 puntos)Una empresa de dispositivos electrnicos ha

desarrollado un sistema de posicionamientoutilizando como actuador un electroimn. El

sistema en cuestin se puede modelar como

un cuerpo de masa m de 0.1 kg unido albastidor mediante un muelle de constante

elsticaK=10 N/m y elongacin natural lnde

0.05 m y un amortiguador de constante de

friccinB=0.2 N/(m/s). Verticalmente sobre

el cuerpo a una distancia del bastidorLde 0.2

m se sita el electroimn que se excita con

una intensidad i(t)que se puede manipular. El

sistema est dotado de un sensor de distancialser que transmite la posicin del cuerpo respecto al bastidorx(t) .

El modelo del sistema viene dado por la siguiente ecuacin diferencial

Se sabe adems que cuando se excita la bobina con una intensidad de 1 amperio, el objeto permanece en

equilibrio en la elongacin natural del muelle.

El sistema de control debe regular la posicin entorno a 0.1 m. Se pide:

1.

Calcular el punto de funcionamiento del sistema. (0.4 puntos)

2.

Obtener un modelo lineal aproximado que permita el diseo de controladores lineales y determinar si

es estable. (0.8 puntos)3. Si el sistema se desea controlar con un controlador proporcional de ganancia Kc, determinar el rango

de valores de dicha ganancia que garantizan la estabilidad del sistema realimentado. (0.6 puntos)

4.

Trazar en la figura adjunta la respuesta del sistema en bucle cerrado del apartado anterior cuando la

ganancia del controlador toma un valor de Kc=10 y el valor de la referencia en la posicin cambia

sbitamente del valor en el punto de funcionamiento a un valor un 10% mayor. Indique claramente

las escalas de los ejes coordenados e identifique los puntos significativos de la respuesta (0.6

puntos)

5.

Partiendo del caso anterior, deducir y justificar qu efecto tendr un aumento de la ganancia Kcsobre los valores caractersticos de la respuesta del sistema realimentado (0.6 puntos)

SO

ts

tp

te

xrp

tiempo (s)

posicin(m)

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Cuestin 4 (1.5 puntos)

Dibujar el Bode asinttico del sistema lineal descrito por la funcin de transferencia G(s).

Calcular con precisin el valor de la fase para los valores de frecuencia representativos correspondientes a

los polos y ceros.

Usando el Bode asinttico calcular la frecuencia wcque debera tener una seal senoide de entrada para quela seal de salida tuviera la misma amplitud. Calcular la salida del sistema en rgimen permanente frente a la

seal de entrada u(t)=sin(wc*t).

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Dado el sistema descrito por el siguiente esquema de realimentacin, se pide

1.

Dibujar el lugar de las races para K>0, sabiendo que las soluciones para la ecuacin d(s)n(s)-

n(s)d(s)=0 son: -2.24, -0.4628, -8.64+14.64j, -8.64+14.64j. (Es necesario hacer el resto de los

clculos para dibujar el lugar de las races lo ms exacto posible). (1 punto)

2.

Determinar los valores de K>0 que hacen el sistema estable (0.5 puntos)

3.

Indicar el rango de valores de K para los que el sistema no presenta sobreoscilacin.(0.5 puntos)

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PRIMER EXAMEN PARCIAL DE TEORIA DEL CONTROL AUTOMATICO. 3er

CURSOIngeniera de Telecomunicacion

SOLUCION

Solucion cuestion 3

Una empresa de dispositivos electronicos ha desarrollado un sistema de posicionamiento utilizando comoactuador un electroiman. El sistema en cuestion se puede modelar como un cuerpo de masa m de 0.1kg unido al bastidor mediante un muelle de constante elastica K=10 N/m y elongacion natural ln de0.05 m y un amortiguador de constante de friccion B=0.2 N/(m/s). Verticalmente sobre el cuerpo a unadistancia del bastidor L de 0.2 m se situa el electroiman que se excita con una intensidad i(t) que sepuede manipular. El sistema esta dotado de un sensor de distancia laser que transmite la posicion delcuerpo respecto al bastidor x(t) . El modelo del sistema viene dado por la siguiente ecuacion diferencial

m(d2x)/(dt2) +Bdx/dt+K(x

ln) +mg

A

i2

(L x)2

= 0

Se sabe ademas que cuando se excita la bobina con una intensidad de 1 amperio, el objeto permanece enequilibrio en la elongacion natural del muelle. El sistema de control debe regular la posicion en torno a0.1 m. Se pide:

1. Calcular el punto de funcionamiento del sistema

El punto de funcionamiento es el punto de equilibrio en torno al que normalmente opera el sistema.En este caso, se indica que el sistema de control debe operar en torno a 0.1 m, luego la posici on delpunto de funcionamiento sera xpf = 0.1 m.

Para caracterizar el punto de funcionamiento se debe conocer el valor de la entrada ipfpara la que

el punto de equilibrio es xpf. Por lo tanto se puede calcular a partir de la caracterstica estaticadel sistema. Esta se puede obtener de forma experimental o bien a partir del modelo del sistemaimponiendo la condicion de punto de equilibrio x= 0, x= 0. As se tiene que

K(xpf ln) +mg Ai2pf

(L x)2 = 0

De esta ecuacion se observa que el parametro A no es dato del problema, por lo que habra quecalcularlo. Para ello se puede usar el dato de que cuando al sistema se le aplica una intensidadconstante i0 = 1 amperio, la posicion de equilbrio es x0 = ln = 0.05. Como este es un punto deequilibrio debe verificar la caracterstica estatica, por lo que

mg

A i20

(L x0)2 =0

De aqu se obtiene que A = 0.0221.

Una vez conocida A, se puede despejaripf de la caracterstica estatica, que resulta ser ipf = 0.8191amperios.

2. Obtener un modelo lineal aproximado que permita el diseno de controladores linealesy determinar si es estable.

La ecuacion del modelo se puede expresar de la siguiente forma:

f(x, x ,x,i) = 0

Si se definen las variables z(t) =x(t) xpf y v(t) = i(t) ipf, resulta que la ecuacion diferencialdel modelo linealizada entorno a (xpf, ipf) es de la forma

a1z+a2z+a3z+a4v= 0

1

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siendo

a1 = f

x

pf

=m = 0.1

a2 =

f

xpf =B = 0.2

a3 = f

x

pf

=K 2A i2pf

(L xpf)3 = 19.62

a4 = f

i

pf

= 2A ipf(L xpf)2 = 3.616

La funcion de transferencia del sistema sera

G(s) = 3.616

0.1s2 +0.2s 19.62

Es claro que, dado que el denominador de la funcion de transferencia tiene un coeficiente negativo,por el criterio de Routh se deduce que el sistema es inestable.

3. 3. Si el sistema se desea controlar con un controlador proporcional de ganancia Kc,determinar el rango de valores de dicha ganancia que garantizan la estabilidad delsistema realimentado.

Si el sistema se controla con una ley de control proporcional i(t) = Kc(x(t) xpf) +ipf, el sis-tema realimentado linealizado en torno al punto de funcionamiento vendra dado por la funcion detransferencia

Gbc(s) = KcG(s)

1 +KcG(s)=

3.616

0.1s2 + 0.2s 19.62 + 3.616KcLos valores de Kc que hagan este sistema estable, haran estable al sistema no lineal en torno al

punto de funcionamiento. El calculo de este rango de valores de Kc se puede abordar de formasencilla usando el metodo de Routh al polinomio

dbc(s) =s2 + 2s 196.2 + 36.16Kc

Calculando la tabla de Routh, se obtiene

2 1 196.2 + 36.16Kc1 20 196.2 + 36.16Kc

De donde se deduce que para que el sistema sea estable debe cumplirse que 196.2 + 3 6.16Kc > 0,por lo que el sistema controlado sera estable para toda ganancia

Kc > 5.4258

.

4. 4. Trazar en la figura adjunta la respuesta del sistema en bucle cerrado del apartadoanterior cuando la ganancia del controlador toma un valor de Kc =10 y el valor de lareferencia en la posicion cambia subitamente del valor en el punto de funcionamientoa un valor un 10% mayor. Indique el rango en los ejes coordenados e identifique lospuntos significativos de la respuesta

Al controlar el sistema con un controlador proporcional de gananacia Kc = 10, la dinamica delsistema en torno al punto de funcionamiento viene fijada por la siguiente funci on de transferencia

Gbc(s) =

3.616

0.1s2 + 0.2s 19.62 + 3.616Kc = 3.616

0.1s2 + 0.2s+ 16.54

. Como se puede observar esta dinamica es estable y responde a un sistema de segundo ordendeterminado por los siguientes parametros:

2

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Ganancia Estatica: Ke = 3.61616.54 = 2.1862.

Frecuencia propia no amortiguada: n =

16.540.1 = 12.861

Factor de amortiguamiento: = 0.2/0.12n

= 0.0778.

El escalon en la referencia sera el siguiente r(t) = 0.1 t

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Valor maximo: Un aumento deKcproduce una disminucion deny por lo tanto una disminucionde. Al dismunuiraumenta la sobreoscilacion, por lo que aumentarazmax y en consecuenciaxmax.

Tiempo de subida: Este viene dado por ts= d

. Se puede deducir facilmente que la parte realdel polo = n permanece constante ante un aumento de Kc, mientras n aumenta. Enconsecuencia el angulo aumenta y al igual que la parte imaginaria del polo d. Esto supone

una disminucion del tiempo de subida.

Tiempo de pico: Este viene dado portp = d

. Del razonamiento anterior se deduce que tambiendisminuye.

Tiempo de establecimiento al 5%: Este viene dado porte = 3 . Como la parte real del polo

es constante, el tiempo de establecimiento no se ve afectado por el aumento del Kc.

4

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Solucion cuestion 4

Para dibujar el diagrama de Bode asintotico primero expresamos G(s) en forma de Bode.

G(s) = 600s+ 180

s3 + 37s2 + 210s = 0.857

s0.3

+ 1

s( s

7

+ 1)( s

30

+ 1)

Para dibujar el Bode asintotico analizamos desde w = 0 hasta w = .

w [0, 0.3] A ba ja frecuencia tan solo aportan modulo el polo en cero y la ganancia del sistema. Elresultado es una recta de pendiente20dB/decque pasara por 20 log 0.857 = 1.34dB en w = 1.Enw = 0.3 el cero del sistema empieza a aportar modulo provocando un cambio de pendiente.

w [0.3, 7] En este intervalo aportan modulo el polo en cero, la ganancia del sistema y el cero en0.3. El resultado es una recta de pendiente 0dB/decque pasa por AdB enw = 0.3. Para calcularel valor de A aplicamos la ecuacion de la recta del tramo anterior.

A= 1.34 20log0.31

= 9.11

w [7, 30] En este intervalo aportan modulo el polo en cero, la ganancia del sistema, el cero en0.3 y el polo en7. El resultado es una recta de pendiente20dB/dec que pasa por BdB enw= 7. Para calcular el valor de B aplicamos la ecuacion de la recta del tramo anterior.

B= A = 9.11

w [30,] En este intervalo aportan modulo el polo en cero, la ganancia del sistema, el cero en0.3 y los polos en7 y30. El resultado es una recta de pendiente40dB/dec que pasa porCdB enw= 30. Para calcular el valor de C aplicamos la ecuacion de la recta del tramo anterior.

C= B 20log307

= 3.52

Para calcular la fase en el valor de la fase para los valores representativos correspondientes a los polos ylos ceros usamos la siguiente formula basada en las propiedades de los numeros complejos:

arg G(jw) = 90o + arctan w0.3 arctanw

7 arctan w

30

Los valores de la fase en las frecuencias representativas son:

arg G(j0) = 90oarg G(j0.3) = 48o

arg G(j7) = 60o

arg G(j30) = 122oarg G(j) = 180o

Para calcular wc usando el Bode asintotico tenemos que encontrar la frecuencia a la que el m odulo deG(jw) vale 0dB, es decir, tiene modulo unidad. Teniendo en cuenta que el sistema tiene polos estables yun integrador, la respuesta frente a una senoide de esa frecuencia sera otra senoide de la misma frecuenciay amplitud pero desfasada. Segun el Bode asintotico,wc [7, 30] por que el valor del Bode asintotico enw = 7 es 9.11dB y en w = 30 es de3.52dB. Para calcular el valor dewc aplicamos la ecuacion de larecta correspondiente:

0 = 9.11dB 20logwc7 wc= 7 10 9.1120 = 20rad/s

Para calcular el desfase evaluamos arg G(j20) usando la formula anterior.

arg G(j0) = 105o = 1.83rad

5

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La respuesta del sistema en regimen permanente frente a u(t) = sen 20t es

yrp(t) = sen (20t 1.83)

101

100

101

102

mdulo asinttico de G(w*j)

101

100

101

102

Fase de G(w*j)

6

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Solucion cuestion 5

Dado el sistema descrito por el siguiente esquema de realimentacion, se pide:

1. Dibujar el lugar de las races paraK >0, sabiendo que las soluciones para la ecuaciond(s)n(s) n(s)d(s) = 0 son: 2.24,0.4628,8.64 + 14.64j,8.64 + 14.64j. (Es necesariohacer el resto de los calculos para dibujar el lugar de las races lo mas exacto posible).

En primer lugar debemos determinar la funcion de transferencia del sistema. Tenemos un elementoen la realimentacion

)(sG

)(sH

por lo que la funcion de transferencia en bucle cerrado queda:

Gbc(s) = G(s)

1 +G(s)H(s)

La forma de proceder es por lo tanto como un Lugar de las Races Generalizado donde la funcionde transferencia a usar como fr bucle abierto es G(s)H(s).

G(s) =G(s)H(s) =K0.01s2 + 0.1s+ 1

0.1s

3

(s+ 1)(s+ 3)5 = 15K

0.1s2 +s+ 10

s(s+ 1)(s+ 3)

Ahora podremos aplicar las reglas para el trazado del lugar de las races para K >0:

(a) Ubicar polos y ceros de bucle abierto sobre el plano complejo

Los polos son s = 0, s = 1 y s = 3. Los ceros son s = 5 53j(b) Dibujar el lugar de las races sobre el eje real

Para k >0 es aquel que deja a la derecha un numero impar de polos y ceros reales.

7 6 5 4 3 2 1 0 1

Lugar de las races sobre el eje real

Real Axis

7

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(c) Puntos de separacion e ingreso.

Atendiendo al enunciado las soluciones para la ecuaciond(s)n(s) n(s)d(s) = 0 son:2.24,0.4628,8.64 + 14.64j,8.64 + 14.64j, por lo que estos valores de s son posibles puntosde separacion o ingreso, la otra condicion que deben cumplir es que pertenezcan al lugar delas races. Observando la figura del lugar de las races sobre el eje real puede verse que elvalors =

0.4638 pertenece a dicho lugar y que al estar entre dos polos debe ser un punto de

separacion.(d) Asntotas y centroide

El sistema tiene 3 polos y 2 ceros por lo que s olo existe una asntota con angulo

=180o + 360o 0

1 = 180o

y el centroide no es necesario calcularlo pues no es relevante.

(e) Puntos de corte con el eje imaginario

El denominador de la funcion de transferencia en bucle cerrado es:

d(s) +Kn(s) = 0 (s3 + 4s2 + 3s) +K15(0.1s2 +s+ 10) = 0

Agrupando terminos en potencias de s la ecuacion caracterstica del sistema es:

s3 + (4 + 1.5K)s2 + (3 + 15k)s+ 150K= 0

Los puntos de corte con el eje imaginario se corresponderan con las soluciones de la ecuacioncaracterstica que tengan parte real cero. Pueden calcularse usando la tabla de Routh:

s3 1 3 + 15Ks2 4 + 1.5K 150K

s1 (4+1.5K)(3+15K)+150K4+1.5Ks0 150K

Lassoluciones con parte real cero se corresponden con filas de ceros en la tabla de Routh. Deacuerdo con esto hay dos posibles filas que pueden hacerse cero para K >0, la correspondientea s1 y la correspondiente a s0.

La condicion para que la fila correspondiente a s1 sea cero es que:

(4 + 1.5K)(3 + 15K) + 150K

4 + 1.5K = 0 22K2 + 85.5K+ 12 = 0

que tiene como soluciones K = 3.654 y K = 0.146. Los puntos correspondientes a dichosvalores de Kpueden calcularse sustituyendolos en la ecuacion subsidiaria construida a partirde la fila inmediatamente superior, es decir, la de s2.

(4 + 15K)s2 + 150K

cuyas soluciones son:

K= 3.654 s= 7.6jK= 0.146 s= 2.27j

As pues el lugar de las races tiene 4 cortes con el eje imaginario

(f) Angulos de entrada a los ceros complejos

Todo punto del lugar de las races debe cumplir el criterio del angulo, el angulo de entrada alcero complejoc se pude calcular aplicando dicho criterio

donde

1 = 180o arctan5

3

5 = 120o

2 = 180o arctan534

= 114.8o

3 = 180o arctan5

3

5 = 103o

8

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15/35

7 6 5 4 3 2 1 0 1Real Axis

1

2

3

c

90

As pues el angulo entrada al cero sera el resultado de despejar c de la ecuacion del criteriodel angulo

ci

pi = 180

o c = 180o 90o +1+2+3= 427.8o = 67.8o

As pues el lugar de las races del sistemas es:

7 6 5 4 3 2 1 0 1

Lugar de las races del sistema

Real Axis

2. Determinar los valores de K >0 que hacen el sistema estable

Para que un sistema sea estable todos sus polos deben tener parte real negativa. Viendo el lugarde las races del sistema obtener la condicion de estabilidad es inmediato. El sistema sera establepara:

0< K 3.65

9

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3. Indicar el rango de valores de K para los que el sistema no presenta sobreoscilacion.

El sistema no tendra sobreoscilacion cuando todos sus polos sean reales. De acuerdo con los calculosrealizados en el primer apartado los polos seran reales desde K = 0 hasta que lleguen al puntode separacion en s =0.4628. Podemos calcular el valor de K correspondiente a dicho puntosustituyendo el valor de sen la ecuacion caracterstica del sistema y despejando K.

d(s)+Kn(s) = 0 (s3+4s2+3s)+K15(0.1s2+s+10) = 0 K= (s3 + 4s2 + 3s)

15(0.1s2 +s+ 10)|s=0.4628= 0.0043

As pues el sistema no tendra sobreoscilacion para 0< K

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SEGUNDO PARCIAL DE TEORIA DEL CONTROL AUTOMATICO

3er curso Ingeniero de Telecomunicacion16 de junio de 2010

1. Cuestion 1

Dado el siguiente sistema:

G(s) = s+ 2

s2 0,35s+ 5

1. Disene, mediante el metodo del lugar de las races, el controlador mas sencillo quepermita conseguir que el sistema en bucle cerrado posea error nulo en regimenpermanente ante referencia en escalon y que tenga un par de polos situados en

p1,2= 3 5j.

2. Son estos polos dominantes?

Nota: Si el controlador propuesto no es el correcto, la cuestion se dara por invalida.

Cuestion 2

A un sistema con funcion de transferencia

G(s) =(s+ 1)2

s3

se le aplica un controlador proporcional de ganancia K > 0. Analice la estabilidad delsistema completo en funcion de Kmediante el criterio de Nyquist.

Cuestion 3

Se desea controlar un sistema con funcion de transferencia

G(s) = s+ 1

s(s+ 10)(s+ 2)

de manera que se cumplan las siguientes especificaciones:

Error en regimen permanente ante una entrada en rampa unitaria menor o igualque uno.

Sobreoscilacion menor o igual que 30 %.

Tiempo de subida menor o igual que 0.0015 segundos.

1

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Se pide, utilizando metodos frecuenciales:

1. Determinar si es posible satisfacer todas las especificaciones mediante un controladorproporcional. En caso contrario, calcule la ganancia que cumple el maximo numerode especificaciones con el orden de prioridad dado por la ordenacion anterior.

2. Disenar una red de avance de manera que se cumplan todas las especificaciones.

Cuestion 4

Considerese el sistema: e5s

1 + 10s

1. Disene un controlador en tiempo discreto por metodo directo (metodo de Truxal-

Ragazzini), especificando los polos para conseguir un tiempo de subida en torno a 10segundos y una sobreoscilacion de un 5 %. Ademas se desea que el error en regimenpermanente ante entrada escalon sea nulo.

2. Realice un nuevo diseno, pero intentando satisfacer ademas que el error en regimenpermanente ante entrada en rampa sea del 10 %.

En ambos casos puede emplearse un periodo de muestreo de 2 ,5 segundos.

Cuestion 5

Los diagramas mostrados en la figura 1 representan respectivamente el modelo de unsistema que se pretende controlar y el correspondiente a dicho sistema con el regulador.

Se pide:

1. Cual es la funcion de transferencia del regulador introducido? Justifique la respues-

ta.

2. Obtener una estimacion, basada en la respuesta en frecuencia, de la sobreoscilacion,el tiempo de subida y el error en regimen permanente ante una entrada escalonunitario cuando se cierra su bucle de realimentacion

del sistema a controlar

del sistema controlado (controlador + sistema a controlar)

Tiempo: 3 horas y 30 minutos.

2

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19/35

-100

-50

0

50

M

agn

itu

de

(dB)

10-2

10-1

100

101

102

103

-180

-135

-90

-45

0

Phase

(deg

)

-101.1-107.5

G(s)

R(s)G(s)

Figura 1: Diagrama de Bode de la cuestion 5

Formulario

Fase para un polo real:Frecuencia relativa al polo s=-1/ 0.01 0.1 0.3 1 3 10 100

Separacion del valor central (en grados) 45 40 30 0 -25 -40 -45

ts= arccos()n

12 ; ts

2c

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100Relacin Margen de Fase y Sobreoscilacin

SO(%)Mf()

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

/T

0.9/T

0.8/T

0.7/T

0.6/T0.5/T

0.4/T

0.3/T

0.2/T

0.1/T

/T

0.9/T

0.8/T

0.7/T

0.6/T0.5/T

0.4/T

0.3/T

0.2/T

0.1/T

3

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Nombre:

Tome 5 por division para la fase.

4

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1

TEORA DE CONTROL AUTOMTICOIngeniera de Telecomunicacin

Convocatoria Ordinaria. Primer Parcial. 8 de julio de 2010

Nombre:

Cuestin 1(2 puntos)

Para el sistema de control representado en la figura C-1

P(s)

R(s) + + + C(s)

-

Figura C- 1 . Sistema de control.

a) Determinar el controlador G(s) para que el sistema en bucle cerrado cumpla las especificaciones

siguientes:

1) Error nulo en rgimen permanente ante una entrada escaln de posicin unitaria

2) Factor de amortiguamiento igual a uno

3) Frecuencia natural no amortiguada igual a 2 rd/sg ( 0.75 punto)

b) Calcular el error en rgimen permanente ante una entrada rampa unitaria [ r(t)=t , t0]

considerando nula la sealp(t).

( 0,50 puntos)

G(s) 1/(s+3)

0,1

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2

Nombre:

c) Calcular analticamente la respuesta del sistema a una perturbacin en escaln unitario [ p(t)= 1 , t0]

considerando nula la seal r(t). (0.75 puntos)


Sea un sistema dinmica dado por el modelo )(44 trxxx siendo r(t)=0.2 [sen(t)+

0.33sen(3t)+0.2sen(5t)+0.14sen( 7t)+] Qu trminos de esta seal contribuyen de formasignificativa a la salidax(t)en rgimen permanente? Razone la respuesta. (0,75 puntos)

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3


En una planta de depuracin de aguas residuales el objetivo de uno de los

bucles de control es fijar la altura de uno de los depsitos de almacenamiento

de aguas tratadas. El sistema a controlar se muestra en la figura adjunta y

est formado por dos depsitos conectados en serie y una vlvula que regulael caudal de entrada al primero de los depsitos

La vlvula de control isoporcentual regula el caudal de agua a un depsito

abierto a la atmsfera (depsito 1) que a su vez descarga en otro depsito de

las mismas caractersticas del anterior (depsito 2), cuyo nivel de agua

queremos regular, y que tambin cuenta con un desage que est siempre

abierto. Los depsitos tienen una altura de 10 metros. El caudal

proporcionado por la vlvula isoporcentual viene dado por)1)((

25)( tx

mQtq m3/min, siendo x(t)el grado de apertura de la vlvula

(en tanto por uno), y Qmel caudal mximo que proporciona la vlvula cuando

est completamente abierta (x=1). Los dos depsitos son iguales en forma y tamao y ambos tienen el

mismo orificio de desage. El volumen de lquido contenido en los depsitos es )(3

1)( 3 thtV ii m

3.

Las ecuaciones que gobiernan el sistema son las siguientes

)()()(

)()()(

212

11

thkthkdt

tdV

thktqdt

tdV

Se han identificado los parmetros del sistema, obtenindose los siguientes valores: Qm=3 m3/min y

k=0.5 m2.5

/min.

Se desea controlar el nivel del depsito 2 en torno a 1 m de forma quea) Partiendo del punto de funcionamiento, ante un escaln en la referencia de nivel de un 5%, el error

en rgimen permanente debe ser inferior a 1 cm.

b)

La sobreoscilacin no debe superar el 20%.

Se pide

1.- Determinar la caracterstica esttica del sistema y el punto de funcionamiento del sistema. (0.5p)

2.- Determinar la funcin de transferencia del modelo linealizado del sistema en torno al punto de

funcionamiento. (0.75 p)

(Nota: )ln()(

aadx

ad xx

)

3.- Se desea controlar el sistema con un controlador proporcional de gananciaKc.Determinar si es

posible satisfacer las especificaciones del sistema de control. (1p)

4.- Se desea controlar el sistema con un controlador PI de gananciaKc y tiempo integral Ti=1. Se podra

hacer el sistema controlado inestable para algn valor positivo de la ganancia del controlador? Razone la

respuesta. (0.75p)

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4


a) Dibujar en la plantilla semilogartmica adjunta el diagrama de Bode asinttico del sistema lineal

descrito por la funcin de transferencia G(s). Trazar la fase cada uno de los factores utilizando

las plantilla de la fase proporcionada en el formulario.

b)

Usando el diagrama de Bode anterior calcular:

1)

La frecuencia w1que debera tener una seal senoidal de entrada para que la seal de

salida en rgimen permanente tuviera la misma amplitud

2)

La frecuencia w2que debera tener una seal senoidal de entrada para que la seal de

salida en rgimen permanente tuviera un desfase de 90 grados.


Lugar de las races, criterio del mdulo y criterio del argumento (NO se pide describir el mtodo de

dibujo). Es posible utilizar el mtodo del lugar de las races para estudiar como varan los polos de unsistema en bucle cerrado con un controlador PI al modificar el valor del tiempo integral? Razone la

respuesta.


Dibujar el lugar de las races del sistema G(s) en bucle cerrado con un controlador proporcional para

K>0.

Nota: El lugar de las races no tiene ningn punto de separacin o de ingreso.

Formulario

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TEORA DE CONTROL AUTOMTICOIngeniera de Telecomunicacin

Convocatoria Ordinaria. Primer Parcial. 8 de julio de 2010


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EXAMEN FINAL DE TEORIA DEL CONTROL AUTOMATICO

3er curso Ingeniero de Telecomunicacion8 de julio de 2010

SEGUNDA PARTE

Cuestion 1

Sea un sistema modelado por la siguiente funcion de transferencia

G(s) = 2

s(s+ 0,1)(s+ 5)

Se desea controlarlo de manera que el sistema en bucle cerrado cumpla:

Error en regimen permanente ante una entrada en rampa menor de 0,1 %.

Sobreoscilacion menor o igual del 30 %.

Tiempo de subida menor o igual a 1,5 segundos.

Se pide, utilizando el lugar de las races:

1. Analizar si se pueden conseguir estos objetivos utilizando un controlador proporcio-nal (en este apartado se pueden despreciar los polos no dominantes).

2. En caso contrario, analizar si es posible conseguirlo utilizando una red de avance.

3. En caso contrario, disenar una red mixta.

Cuestion 2

Se desea controlar un sistema con funcion de transferencia

G(s) = 20

(1 + 10s)(1 +s)(1 + 0,1s)

de manera que se cumplan las siguientes especificaciones:

Sobreoscilacion en torno al 20 %

Error en regimen permanente ante entrada en escalon menor o igual a 0.1 %

Tiempo de subida menor que 0.27 segundos

Se pide, utilizando metodos frecuenciales:

1

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1. Disenar un controlador PID que cumpla dichas especificaciones.

2. Sera suficiente un control PI? Justifique la respuesta y, en caso afirmativo, diseneel controlador.

Cuestion 3

Se desea controlar mediante un microcontrolador la temperatura de un horno electrico.La temperatura Ty la tension aplicada u se relacionan mediante la ecuacion

dT(t)

dt = T(t) +u(t)

Para medir la temperatura se dispone de un sensor con una caracterstica lineal de 2 VoC yrespuesta considerada instantanea.

1. Obtener la funcion de transferencia de un controlador PI con aproximacion bilineal(Tustin), que situe las races de la ecuacion caracterstica en lazo cerrado en z =0,5 j0,6. Elegir convenientemente el tiempo de muestreo

2. Calcular los errores estaticos de posicion y velocidad

Tiempo: 2 horas 30 minutos.

2

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Nombre:


3

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Mr = 1

212 ; r = n

1 22; SO = 100e

12 ; tp =

n12 ; ts =

arccos()n

12 ;

te= 3n

; ts 2c ; tp= d .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100Relacin Margen de Fase y Sobreoscilacin

SO(%)Mf()

4

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Ingeniera de TelecomunicacinTEORA DE CONTROL AUTOMTICO

2 Convocatoria Ordinaria. 7 de septiembre de 2010Primera parte

Nombre:


En la Fig. C-1 se representa el control PI de la velocidad angular de un motor de

corriente continua controlado por armadura.

0.027 Gc(s) 5 G1(s)

0.027

R(s) E(s) V(s)

0,199

P(s)

+ +

--

G2(s)26.9-

T(s)

+Ia(s)

(s)

Figura C-1. Sistema de control de la velocidad de un motor de continua.

Donde : Gc(s)= Kp + KI/s = 1,123+47,37/s

G1(s)= 1/( Ls+R) considerar L= 0 henrios y R= 0,43 ohmios

G2(s) = 1/( Is+c) = 1/( 0,1s+ 0,07)

a) Calcular la funcin de transferencia entre la velocidad de salida,(s), y la velocidad

de referencia, R(s).

La cuestin 1 contina en el reverso.

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Continuacin cuestin 1.

b) Determinar el factor de amortiguamiento y las races caractersticas del sistema en

bucle cerrado (cadena cerrada) Se podra considerar alguna raz como dominante?

Razonar la respuesta.

c) Calcular analticamente la respuesta del sistema bucle cerrado (cadena cerrada) a una

entrada R (s) = 1/s, considerando P(s) =0.

La cuestin 1 contina en la pgina siguiente.

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2 Convocatoria Ordinaria. 7 de septiembre de 2010Primera parte

Nombre:

Continuacin cuestin 1.

d) Calcular la funcin de transferencia entre la velocidad de salida, (s), y la

perturbacin P(s), considerando R(s) =0.

e) Calcular el efecto en rgimen permanente sobre (s) de una perturbacin P(s) = 1/s,considerando R(s) = 0.

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Cuestin 2

Se dispone de un sistema e

caractersticas fsicas obten

donde a = 1, b = 2, c = 10

salida, u(t) es la entrada y

1- Obtener un modelo line

respuesta del sistema cuan

funcionamiento a un valor

2- Obtener un modelo line

respuesta del sistema cuan

funcionamiento a un valor

3- Es posible regular el si

4- Para el modelo calculad

de un controlador proporci

cerrado utilizando el mtod

5- Dibujar el diagrama de

referencia r(t) proporciona

ectromecnico que ha sido modelado atendi

indose el siguiente modelo:

M = 160 son parmetros fsicos del sistema,

(t) es una variable intermedia.

l aproximado del sistema en torno a y(t) = 0.

o la entrada u(t) cambia sbitamente del val

n 10% mayor.

l aproximado del sistema en torno a y(t) = 2.

o la entrada u(t) cambia sbitamente del val

n 10% mayor.

tema en torno a y(t) =5? Razone la respuesta

en el apartado 2 determine el rango de gana

nal que garantizan la estabilidad del sistema

o de Routh-Hurtwitz.

loques del sistema de control teniendo en cu

el valor deseado de y(t).

(2,5 puntos)

ndo a sus

y(t) es la

5. Trazar la

r en el punto de

Trazar la

r en el punto de

.

ncias positivas

en bucle

nta que la

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2 Convocatoria Ordinaria. 7 de septiembre de 2010Segunda parte

Cuestin 3 (2,5 puntos)Sea un sistema modelado por la siguiente funcin de transferencia

2

( ) ( 0 1)( 5)G s

s s s=

+ . +

Se desea controlarlo de manera que el sistema en bucle cerrado cumpla:

Error en rgimen permanente ante una entrada en rampa menor de 0 1%. .

Sobreoscilacin menor o igual del 30% .

Tiempo de subida menor o igual a 1 5. segundos.

Se pide, utilizando el lugar de las races:

1.

Analizar si se pueden conseguir estos objetivos utilizando un controlador

proporcional (en este apartado se pueden despreciar los polos no dominantes).

2.

En caso contrario, analizar si es posible conseguirlo utilizando PD.

3. En caso contrario, disear un PID.

4.

Discutir el grado de cumplimiento de las especificaciones con elcontrolador diseado.


Sea el sistema cuya funcin de transferencia es)6)(2(

24)(

++=

ssssG

1.

Disear una red de atraso, mediante mtodos frecuenciales, para conseguir las

siguientes especificaciones:

a.

Error estacionario ante rampa con pendiente 2 rad/s, menor o igual a

10

rad

b. Margen de fase igual a 545

c. Frecuencia de corte 1C

rad/s

2. Discretizar el controlador obtenido, usando la aproximacin Tustin (bilinear) y

obtener el programa de control en pseudocdigo.

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