Examen Electromagnetismo FI2002-2014 - Universidad de...

ExamenElectromagnetismo FI2002-2014

Prof. Marcel G. ClercAuxiliar: Rodrigo Chi & Susana Marquez

Tiempo: 3:00 Hrs. Todos sus argumentos deben claramente ser explicitados.

I. CAMPO MAGNETICO DE UNA HELICE

II. GENERADOR DE CORRIENTE

Considere un disco metalico de radio a, el cual giracon velocidad angular constante ω en torno al eje verti-cal. Por medio de cables verticales de resistencia R seforma un circuito como se ilustra en la figura. Si todo

FIG. 1. Generador de corriente.

el sistema esta bajo la influencia de un campo magnetico

vertical constante ~B (ver figura) se establece una corri-ente. Encuentre la corriente que circula sobre la resisten-cia.

III. LIQUIDO DIELECTRICO

Un capacitor de placas cuadradas paralelas de lado L yseparacion d es cargado de un potencial V y desconectadode la baterıa. El capacitor, ya cargado, es verticalmenteinsertado dentro de un gran recipiente lleno de un lıquidodielectrico de permitividad ε y densidad de masa ρ hastaque el lıquido llene el espacio dentro del capacitor comose muestra en la figura 2. Determine:

a) La capacitancia del sistema.

2.1) El campo electrico entre las placas.

2.2) La distribucion superficial de carga libre sobrelas placas.

2.3) Ahora considere que el capacitor nunca fue de-sconectado de la baterıa y fue insertado en el recipiente.¿Cual es la nueva altura alcanzada por el lıquido?

d

L2

r e

FIG. 2. Recipiente y capacitor dielectrico.

IV. BOBINA INDUCTORA

Un selenoide de N vueltas por unidad de largo estaenrollado a un cilindro infinito de permeabilidad µ y deseccion transversal circular A. El cilindro atraviesa uncircuito el posee una resistencia R como se muestra en laFigura 3.3.1) Si la corriente del solenoide cambia de I1 a I2

(I2 > I1), ¿cuanta carga pasa a traves de la resistenciadurante este cambio? ¿cual es el sentido en que se mueveesa carga?

3.2) Si la corriente en solenoide a traves del tiempo es

I(t) = I1e−t/τ + I2(1 − e−t/τ )

Determine la corriente que circula por la resistencia R.3.3) Se coloca un condensador, inicialmente descargado,en serie con la resistencia de tal forma que RC = τ (C ca-pacidad del condensador). Determine la carga en funciondel tiempo en el condensador si por el selenoide fluye lamisma corriente indicada en la parte anterior.

vueltas/largo=N

R

I(t)I(t)

a

b

FIG. 3. Solenoide y circuito.



Tiempo: 3:00 Hrs.

I. CAMPO MAGNETICO DE UNA HELICE

Considere un circuito en forma de helice circular consu eje en z. Por la helice circula una corriente I, y estacompuesta por 2N vueltas completas y tiene un paso p.La ecuacion parametrica de la helice es:

x = R cos θ

y = R sin θ

z =p

2πθ

(1)

Las vueltas de la helice estan repartidas desde la cotaz1 = −pN hasta la cota z2 = +pN .

FIG. 1. Helice

a) Determine la componente axiales del campomagnetico y del potencial magnetico en el origen,Bz(0) y Az(0).

b) Si la longitud del circuito helicoidal es L = 2pN ,muestre que Bz(0) puede ser escrita de la formaBz(0) = B0f(R,N, p) donde B0 es el campomagnetico creado con selenoide de longitud infinita.Encuentre el valor de f(R,N, p) cuando R L.¿Que relacion debe haber entre R y L para que elBz(0) sea un 99% del valor de B0?

II. CAMPO MAGNETICO DEL ATOMO DEHIDROGENO DE BOHR

Un modelo simple de atomo de hidrogeno, fue pro-puesto por Borh 1912, el cual esta compuesto por unnucleo cargado positivamente y un electron realizandouna orbita circular a una distancia R (radio de Bohr ∼10−10m)

Encuentre que forma que tiene el campo magnetico agrandes distancia.

III. ELECTRONES DENTRO DE UNCONDENSADOR

Considere dos cables coaxiales de radio a y b comomuestra la figura, cuyo espacio interior se encuentravacıo. El cable exterior esta conectado a una fuente demodo que la diferencia de potencial entre los cables seaV0. El sistema esta sometido a un campo magnetico ho-

mogeneo ~B = Bz. Desde el cilindro interior se liberanelectrones de carga −e y masa m. El objetivo del prob-

lema es encontrar el valor maximo de ~B de modo quelos electrones liberados no choquen con el cilindro exte-rior (alcancen a dar la vuelta perfectamente). Para elloproceda de la siguiente manera:

a) Encuentre el momentum angular del electrn enfuncion de carga q, el campo magnetico B, y ladistancia al eje del cilindro r y constantes.

b) Asumiendo que los electrones salen con un veloci-dad inicial v0 ≈ 0, encuentre la velocidad que tendren rmax, es decir en r = b.

c) Encuentre, mediante conservacion de energıa, otraexpresion para la velocidad recien calculada. A par-tir de este encuentre el valor que debera tener B,de modo que a los mas los electrones volviesen enr = b.

a

b

~B

FIG. 2. Condensador Cilindrico

Control IElectromagnetismo FI2002-2014


Tiempo: 3:00 Hrs.

I. PEQUENAS OSCILACIONES

Considere una esfera metalica de radio R que se en-cuentra conectada a una fuente a potencial V0. Frente aella se coloca un pendulo de largo ` atado a una murallaa distancia d del centro de la esfera. El pendulo lleva ensu extremo una carga puntual q de masa m que formaun angulo φ con respecto a la horizontal. Despreciandotodos los efectos de la gravedad.

+

Rf`

V0

q,m

d

FIG. 1. Esfera frente a un pendulo

a) Determine el modulo de la fuerza que siente la carga.b) Considere ahora que la fuente se apaga (V0 = 0).

Determine la frecuencia de pequenas oscilaciones delpendulo si es perturbado debilmente con respecto a lahorizontal.

II. CONDENSADORES ACOPLADOS

Considere un sistema formado por dos casquetesesfericos concentricos de radio a y b, respectivamente.Si el casque externo se conecta a un cilindro exterior dedos cilindros con eje azimutal comun de radios ρ1 y ρ2,y altura l (ver figura 2).

Encuentre la capacidad de este sistema, especifiqueclaramente todos sus supuesto. En caso de no explicitarsu hipotesis, su resultado sera interpretado incorrecto.

III. BLOQUE CONDUCTOR

Un bloque de material conductor con forma cubo delado a tiene una conductividad no uniforme dada por

b

a

ρ1

ρ2

l

FIG. 2. Conductores acoplados.

g(x) = g0(x + a)/a y una permitividad ε0, donde g0 esuna constante. Asuma que la corriente fluye a lo largodel eje x desde la cara S hasta la cara opuesta S ′.

Suponga que potencial electrico Φ dependiente solo dex, y que el valor del campo electrico en el borde es cono-

cido ~E(x = 0, y) = E0x.

a) Considerando que se ha alcanzado el regimen esta-cionario, encuentre una ecuacion diferencial que de-scriba el comportamiento del potencial dentro delcubo. Use lo anterior para determinar la diferencialde potencial entre las caras S y S ′.

b) Determine la resistencia y la corriente total que cir-cula entre S y S ′ . Encuentre en valor de la cargaQ que se acumula en el cubo.

xy

z

Sa

a a

S 0

FIG. 3. Cubo Conductor

EJERCICIO 12

ELECTROMAGNETISMO FI2002-2014-03

PROF. MARCEL G. CLERCAUXILIAR: RODRIGO CHI & SUSANA MARQUEZ

TIEMPO: 35 MINUTOS, JUSTIFIQUE CLARAMENTE SUS RESULTADOS!

Iman: Un iman se puede modelar como un cilindro que tiene un momentomagnetico ~µ

Figure 1. Iman.

Encuentre el en coordenadas esfericas el potencial y el campo magnetico, paradistancias suficientemente grandes.

Dificultad 3.0.

1

EJERCICIO 11




Toca disco cargado: Considere un disco de radio R y cargado con densidad decarga uniforme σ0. Si el disco gira con velocidad angular uniforme ω con respectoal eje azimutal (ver figura)

Figure 1. Modelo de materia.

Encuentre el campo magnetico sobre el eje de simetrıa. En el caso que useesto como modelo de la materia, como cambiara sus resultados para el potencialvectorial generado por un momento magnetico.

Dificultad 4.5.

1

EJERCICIO 10




Modelo de partıcula: Una casquete esferico de radio R y densidad de cargaconstante ρ0 gira con respecto al eje vertical con velocidad angular constante ~ω = ωz(ver figura)

ω

ρ0

R

Figure 1. Modelo de partıcula.

Encuentre el campo magnetico en el centro de la esfera.

Dificultad 4.0.

1

EJERCICIO 09




Pendulo de Lorentz: Considere un pendulo esferico ideal de largo l, masapuntual m y carga q, bajo la influencia del campo gravitatorio g y un campo

magnetico constante en la direccion vertical, ~B = Bz (ver figura).

Figure 1. Pendulo de Lorentz.

Muestre que el pendulo tiene una orbita circular como equilibrio.

Dificultad 4.0.

1

EJERCICIO 08




Resistencias: Considere dos casquetes esfericos concentricos conductores deradios a y b, como se muestra en la figura. Las mitades del espacio entre loscasquetes estan llenado por materiales conductores g1 y g2, respectivamente (verfigura).

Figure 1. Condensador radial.

Calcule la resistencia equivalente entre conductores, para esto suponga que elcasquete interior tiene una carga electrica q homogenea.

Dificultad 4.0.

1

EJERCICIO 07




Condensador radial: Considere dos placas conductoras cuadradas de lado a,las cuales forman un angulo α. Las placas estan a una distancia d del vertice comose ilustra la figura

Figure 1. Condensador radial.

Si entre la placa inferior y la superior hay una diferencia de potencial V 1, en-cuentre la capacidad de este sistema.

Dificultad 5.0.1Considere que la placa inferior tiene un potencial electrico nulo ϕ(θ = 0) = 0 y la superior

ϕ(θ = α) = V , donde θ da cuenta de la variable angular.

1

EJERCICIO 06




Laplace: Considere dos placas conductoras paralelas de dimension l y muylarga en la otra dimension, separadas por un material aislante en una distanciah. Los extremos horizontales del material aislante son sellados con un materialconductor—placas verticales—como se muestra en la figura.

Figure 1. Potencial.

Tanto la placa inferior y laterales son conectadas a tierra, la superior estasometida a una tension de la forma f(x) = a sin(πx/l), donde x da cuenta de lacoordenada horizontal. Encuentre la tension—potencial electrostatico—al interiordel materia aislante.

Dificultad 4.0.

1

EJERCICIO 05




Carga efectiva: Considere una esfera conductora de radio R, a una distanciad so coloca una carga puntual q (ver figura).

Figure 1. Piramide tetraedrica.

Usando el metodo de las imagenes, encuentra la carga efectiva y la densidad decarga sobre la superficie del conductor

Dificultad 5.0.

1

EJERCICIO 04




Flujo Electrico en la cara de una piramide tetraedrica: Un tetraedroes un poliedro de cuatro caras triangulares, encontrandose tres de ellas en cadavertice. Si las cuatro caras del tetraedro son triangulos equilateros, iguales entresı, el tetraedro se denomina regular (ver figura).

Figure 1. Piramide tetraedrica.

Si al interior de un tetraedro regular de segmento a, en el centro de la piramidetetraedrica se coloca una carga q, encuentre el flujo que este genera sobre la caraachurada.

Dificultad 2.5.

1

EJERCICIO 03




Campo electrico: Considere un cilindro infinito macizo de radio R con unadensidad de carga uniforme σ, con dos agujero esfericos de radio Ro, los cualesestan posicionados sobre el eje del cilindro, como se ilustra en la figura.

Figure 1. Cilindro con agujeros.

Encuentre el potencial electrico a una distancia ρ > R del cilindro y a una alturah del agujero inferior.

Dificultad 4.0.

1

EJERCICIO 02




Campo electrico: Considere un cilindro infinito macizo de radio R con unadensidad de carga uniforme σ, con un agujero esferico de radio Ro, el cual estaposicionado sobre el eje del cilindro, como se ilustra en la figura.

Figure 1. Cilindro con un agujero.

Encuentre el campo electrico a una distancia ρ > R del cilindro y a una alturah del agujero.

Dificultad 4.0.

1

EJERCICIO 01



TIEMPO: 30 MINUTOS, JUSTIFIQUE CLARAMENTE SUS RESULTADOS.

Punto de Equilibrio: Considere una barra infinita de densidad de carga linealλ. Sobre esta barra se cuelga un pendulo ideal de largo l y una masa puntual m ycarga q, bajo la influencia del campo gravitatorio como se ilustra en la figura.

Figure 1. Barra cargada.

Encuentre el angulo de equilibrio del pendulo. En el limite que la carga q creceel angulo de equilibrio tiende a que valor.

Dificultad 3.0.

1


Prof. Marcel G. ClercAuxiliar: Rodrigo Chi,

Tiempo: 3:00 Hrs.

I. PLANOS PARALELOS

Considere dos superficies infinitos paralelas con den-sidad de carga superficial σ y −σ, respectivamente, eti-quetados por S′ y S′′. Estos planos estan separados poruna distancia muy pequena d 1, como se ilustra en lafigura 1.

FIG. 1. configuracion de diplanos.

Encuentre el campo electrico ~E(r) y potencial elec-trostatico Φ(r) a una distancia muy lejana de las placasr, donde r d, en el lımite d→ 0, σ →∞ y σdds→ P ,donde ds es el elemento de superfie.

II. DENSIDAD DE CARGA DE UN ATOMOESFERICO

Un atomo de los elementos de los gases noblesestan caracterizado por tener una estructura electronicaisotropica, es decir, estos atomos tiene una estructuraelectronica esferica (ver figura 2). Por lo tanto, esta den-sidad de carga apantalla la carga del nucleo Z.

Si el potencial atomico efectivo (Coulomb efectivo)tiene la forma

φ(~r) =Zq

re−αr(1 + αr),

donde q da cuenta de la carga del electron y α da cuenta

del apantallamiento. Determine la densidad de cargaatomica.

FIG. 2. Representacion esquematica de un atomo.

III. FUERZA ELECTROMOTRIZ

Un disco metalico de radio a, el cual gira con velocidadangular constante ω en torno al eje vertical. Por mediode cables verticales de resistencia R se forma un circuitocomo se ilustra en la figura.

Si todo el sistema esta bajo la influencia de un campo

magnetico vertical constante ~B (ver figura) se estableceuna corriente. Encuentre la corriente que circula sobre laresistencia.

Control IIElectromagnetismo FI2002-2013


Tiempo: 3:00 Hrs.

I. ESFERA GIRATORIA

Considere una esfera de radio R, la cual esta cargadauniformemente con una densidad de carga volumetrica ρoconstante. La esfera gira entorno a uno de sus diametroscon una velocidad angular constante ωo, como se ilustraen la figura.

FIG. 1. Esfera cargada giratoria.

Encuentre el campo magnetico ~B(~r = 0) y potencialmagnetico vectorial A(~r = 0) en el centro de la esfera.

II. MONEDA IMANTADA

Considere un iman con forma de moneda de radio R yespesor d (ver figura 2). El campo magnetico generadopor este iman en el eje azimutal tiene la forma

~B = B0(1 + νz2)z,

donde z es la coordenada que describe el eje azimutal, B0

y ν parametros que caracterizan el campo magnetico.Considere que al interior del iman la componete angu-

lar del campo magnetico es cero ( ~B = 0φ)

2-1 Estime el campo magnetico radial cerca del eje.

2-2 Si el resultado anterior vale para todo r (coorde-nada radial), determine cual es la corriente necesaria alinterior del iman.

FIG. 2. Moneda imantada.

III. CAMPO MAGNETICO DE UNA ESPIRA

Considere una espira muy pequena de area S sobre lacual circula una corriente I, como se ilustra en la figura.

FIG. 3. Espira pequena.

3-1 Encuentre el potencial magnetico vectorial A(r)y el campo magnetico B(r) lejano. Indicacion considereque la espira es muy pequena y la corriente que circulasobre este es muy intensa.

Control IElectromagnetismo FI2002-2013


Tiempo: 3:00 Hrs.

I. CABLE PARALELOS

Considere dos cables infinitos paralelos con densidadde carga longitudinal λ y −λ, respectivamente, separadospor una distancia muy pequena l 1, como se ilustra enla figura 1.

! "!

l

r E,#

FIG. 1. Cables

Encuentre el campo electrico ~E(r) y potencial elec-trostatico Φ(r) a una distancia muy lejana de los cablesr, donde r l, en el lımite l→ 0, λ→∞ y λl→ Q.

II. CAMPO ELECTRICO

Considere una esfera conductora de radio R, la cuales sometida a un campo electrico externo horizontal con-

stante ~Eo(ver figura 2).

2-1 Calcule el potencial y campo electrico, fuera de laesfera, inducido por la presencia de la esfera conductoraen el campo uniforme.

2-2 Encuentre la densidad de carga en la superficie dela esfera.

III. CABLE EN UN VERTICE

Un cable infinito de densidad de carga lineal λ, esta enpresencia de un vertice conductor de angulo recto, comose ilustra en la figura 3. El cable es paralelo a ambosplanos conductores que forman el vertice y esta a unadistancia a y b respectivamente de los planos conductores

FIG. 2. Esfera conductora bajo la influencia de un campoconstante horizontal.

verticales y horizontales, ver la figura 3 que representa uncorte en el plano transversal al cable.

FIG. 3. Cable frente a un vertice conductor

3-1 Encuentre la densidad de carga inducida sobre elconductor3-2 Si el cable se suelta ¿hacia que superficie se mueve?

justifique el lugar de colision del cable y la pared.

EJERCICIO 10


PROF. MARCEL G. CLERCAUXILIAR: RODRIGO CHI

TIEMPO: 30 MINUTOS

vector magnetico ~A: Considere un cilindro hueco infinito de radio R sobre elcual circula una corriente homogenea I (ver figura).

Figure 1. Cilindro con corriente.

Encuentre en todo el espacio el vector magnetico ~A.

Dificultad .5 .

1

EJERCICIO 09



TIEMPO: 30 MINUTOS

Fuerza entre placas: Considere dos placas metalicas infinitas paralelas Π1 yΠ2, separadas por una distancia d, si en sus respectivas placas, fluyen corrientes endirecciones arbitrarias, las cuales tienen un angulo α entre ellas como se ilustra enla figura.

Figure 1. Fuerza de placas.

Encuentre la densidad de fuerza y fuerza entre las placas debido a estas corrientes.

Dificultad 3.5 .

1

EJERCICIO 08



TIEMPO: 30 MINUTOS

Campo Magnetico: Considere una espira circular de radio R sobre la cualcircula una corriente I en el sentido anti-horario (ver figura).

Figure 1. Campo de una espira.

Encuentre el campo magnetico, ~B(z), en un punto sobre el eje de la circunferenciaa una altura z (ver figura).

Dificultad 3.8 .

1

EJERCICIO 07



TIEMPO: 30 MINUTOS

Tension en una guıa de onda: Considere una guıa de onda, la cual es unatuberıa metalica de seccion rectangular de alto b y ancho a (ver figura).

Figure 1. Seccion transversal de guia de onda.

Si la placa inferior y laterales estan conectadas a tierra, es decir el potenciales cero en estas placas. La placa metalica superior tiene una tension periodica deperiodo 2πn/a (donde n es un numero entero), V (x, y = b) = A cos(2πnx/a), A dacuenta de la intensidad de la tension. Encuentre la tension al interior del canal,V (x, y).

Dificultad 4.8 .

1

EJERCICIO 06



TIEMPO: 30 MINUTOS

Circuito de condensadores: Considere dos condensadores formado por doscasquetes esfericos conductores concentricos de radios R1, R2, ρ1, ρ2, respectiva-mente. Cada conductor en su polo sur tiene una pequena perforacion para conectarel casquete inferior (ver figura).

Figure 1. Circuito de condensadores.

Si apropiadamente se conecta cables a los casquetes exteriores y a los interiores,como se ilustra en la figura, encuentre la capacitancia del condensador entre lospuntos A y C.

Dificultad 3.0 .

1

EJERCICIO 05



TIEMPO: 30 MINUTOS

Imagenes: Considere un casquete esferico cargado de radio R y con una den-sidad de carga uniforme σ. Si este casquete esferico se situa a una distancia hori-zontal y vertical a, b respectivamente a un vertice rectangular conductor infinito(ver figura).

Figure 1. Carga frente a un espejo.

Encuentre la expresion analıtica de la densidad de carga sobre el vertice ybosqueje su forma.

Dificultad 3.0 .

1

EJERCICIO 04



TIEMPO: 30 MINUTOS

Modelo dipolar: Un dipolo esta compuesto por dos cargas opuestas. Paramodelar un dipolo considere dos esferas macizas de radios R, de densidad de cargaconstante respectivamente ρ0 y −ρ0, las cuales estan conectadas en un punto (verfigura)

Figure 1. Dipolo.

i) Encuentre el campo electrico en todo el espacio,ii) Para distancias muy lejanas, que dependencia tiene el campo electrico con la

distancia.

Dificultad 4.0 .

1

EJERCICIO 03



TIEMPO: 30 MINUTOS

Modelo de nucleo: considere el siguiente modelo para un nucleo de un atomo:el nucleo esta compuesto por una esfera maciza de radio R, la cual tiene una densi-dad de carga volumetrica radial ρ(r) = ρ0(1 − r2/R2), donde ρ0 tiene dimensionesde C/m3 y r es la coordenada radial.

Figure 1. Representacion esquematica de un nucleo.

i) Cual es la carga total en el nucleo,ii) Encuentre el potencial y campo electrico en todo el espacio.

Dificultad 3.5 .

1

EJERCICIO 02



TIEMPO: 30 MINUTOS

Campo Electrico: Considere una esfera maciza de radio R, la cual tiene unhueco esferico de radio σ < R/2, la cual esta separada a una distancia d del centrodel cilindro macizo, com se ilustra la figura.

Figure 1. Cilindro perforado.

Si la esfera con el hueco tiene una densidad de carga constante ρ0. Encuentre elcampo electrico al exterior esfera hueca.

Dificultad 4.0 .

1

EJERCICIO 01



TIEMPO: 30 MINUTOS

Campo Electrico: Considere una barra infinita de radio transversal r0 el cualesta cargado con una densidad de carga uniforme σ, como se ilustra en la figura.

Figure 1. Barra cargada.

Encuentre el campo electrico al exterior de la barra y comente su resultado.

Dificultad 4.0 .

1


Profs. Jonathan Avila, Marcel G. Clerc, Enrique Cordaro & Claudio Romero,

P1.- Considere un disco metalico de radio a, el cualgira con velocidad angular constante ω en torno al ejevertical. Por medio de cables verticales de resistencia Rse forma un circuito como se ilustra en la figura.

Si todo el sistema esta bajo la influencia de un campomagnetico vertical constante ~B (ver figura) se estableceuna corriente. Encuentre la corriente que circula sobre laresistencia.

P2.- Sobre un cable co-axial fluye una corriente I enel cilindro interior de radio a y en el tubo exterior deradio exterior b e interior a de susceptibilidad magnetica

χm fluye una corriente opuesta de intensidad I, como seilustra en la figura.

Encuentre la energıa magnetica por unidad de largo.

P3 (PROBLEMA DE CONTROL 1 con mediadeplorable). Un cono macizo de altura h, angulo βtiene una densidad de carga volumetrica constante ρ (verfigura).

Si una carga puntual q es colocada en su eje de simetrıaa una distancia z de su vertice, como se ilustra en la figura2. Encuentre la diferencia de potencial electrostatico queaparece al trasladar la carga puntual al vertice del cono.

Control IIIElectromagnetismo FI2002-2010


(Alumnos seccion 1 deben responder problemas 1,2 & 3)Debe escoger y entregar tres problemas. Tiempo: 3:00 Hrs.

P1.- Un cilindro de seccion circular recta de radio Rinfinitamente largo es recorrido por una corriente I, cuyadensidad de corriente varıa espacialmente segun la ley~J = kr2z, para 0 < r 6 R siendo r la distancia al eje delcilindro y z a lo largo del eje del cilindro.

Encuentre el campo magnetico ( ~B) y potencial vecto-

rial ( ~A) en todo el espacio.

P2.- Una partıcula de masa m y carga q que estasometida a la influencia simultanea de un campo electricooscilatorio en la direccion vertical de la forma ~E =E0 cos(Ωt)z y un campo magnetico constante en la di-

reccion horizontal ~B = B0x, como se ilustra en la figura.

E=E0cos(Ωt)

B=B0

z

y

x

Sı la partıcula parte del origen en reposo,a) Encuentre las componentes x, y y z de la aceleracion

de la partıcula.b) Encuentre la velocidad en funcion del tiempo.c) Encuentre la trayectoria y discuta que ocurre cuando

la frecuencia es Ω = qB/m.

P3. Considere una espira conductora rectangular enforma de U tal como se ilustra en la figura. El circuitose completa mediante una barra conductora que puededeslizar. Cuando una corriente I circula por el circuito.

a) Calcule el campo magnetico creado por la corrienteen un punto cualquiera de la barra.

b) Calcule la fuerza sobre la barra (magnitud) y di-reccion.

P4. Un disco plastico (aislador) cuyo momento deinercia es I tiene adosadas sobre su superficie n cargaspositivas de magnitud q y distribuıdas sobre el perımetrode una circunferencia de radio a ( ver figura). En t = 0se conecta un campo magnetico uniforme, paralelo al ejeprincipal del disco y cuya magnitud varıa en un ciertointervalo de tiempo desde cero hasta que alcanza un valorfinal constante B.

a) Encuentre la componente azimutal del campoelectrico inducido. Exprese su resultado en funcionde ∂B/∂t.

b) Calcule la velocidad angular final del disco (mag-nitud y direccion) cuando el campo magnetico haalcanzado su valor final B.

Control IIElectromagnetismo FI2002-2010


Debe escoger y entregar tres problemas. Tiempo: 3:00 Hrs.

P1.-Un condensador de placas paralelas y area Atiene una lamina dielectrica de espesor t y permitividadelectrica ε adosada a una de sus placas. Un espacio vacıode ancho s separa al dielectrico de la otra placa conduc-tora. La superficie del dielectrico en contacto con el vacıoesta cargada con una densidad superficial de carga libre,uniforme, σ0. Esta carga no puede moverse. Las placasestan conectadas a traves de una resistencia R, tal comose indica en la figura. Desprecie efectos de borde.

a) Cuando ambas placas de condensador estan en re-poso, calcule la densidad de carga sobre cada placa con-ductora. Nota. Estas cargas no tienen la mismamagnitud.

b) Considere que la placa de la izquierda se acerca aldielectrico con velocidad constante v0. Calcule la difer-encia de potencial que se genera entre los extremos de laresistencia en funcion de la distancia s y el resto de losdatos del problema.

P2.-Considere dos placas conductoras cuadradas delado a, paralelas y separadas por el vacıo a una distanciad. Entre las placas se conecta una baterıa que mantieneuna diferencia de potencial constante V entre las placas,una vez que se ha cerrado el interruptor S y el sistemaha alcanzado el estado estacionario (ver figura).

En un extremo de las placas se introduce parcialmenteuna lamina dielectrica de espesor d y area A = a2, talcomo se indica en la figura. La permitividad electricade la lamina es ε y su masa es m. El dielectricopuede deslizar sin friccion entre las placas. Ademas, lalamina dielectrica esta conectada a un resorte de con-stante elastica κ que se encuentra inicialmente (t=0) en

su largo natural. En t > 0 se cierra el interruptor S.

Vκ

d

S

x0a)(5 ptos.) Encuentre la posicion de equilibrio del ex-

tremo derecho del dielectrico, medida desde la posicionen que el resorte esta relajado.b)(1 ptos.) Calcule la frecuencia con que el dielectrico

realiza pequenas oscilaciones en torno a la posicion deequilibrio.

P3.-El espacio entre dos cascarones esfericos de radiosa y b (a < b) esta dividido en dos por un plano que pasapor el centro del sistema. Las zonas tienen permitividasy conductividades ε1 , g1 y ε2, g2, respectivamente (verfigura). Los cascarones estan conectados a una baterıade modo que adquieren cargas Q y -Q.

a) Utilice la condicion de borde para la componentetangencial del campo electrico en la frontera entre las doszonas y concluya algo sobre la naturaleza de los camposen ambas zonas. Use la ley de Gauss para calcular elcampo electrico en todo el espacio entre los cascarones.NOTA. Si tiene dudas sobre sus conclusiones, recuerdeque el teorema de unicidad le permite verificar la cor-reccion de estas.

b) Calcule la diferencia de potencial entre los cas-carones esfericos.

2

c) Calcule la corriente I entre los dos cascarones en elestado estacionario. Recuerde que en un medio ohmico,J = g E.

d) Exprese la corriente en funcion de la diferencia depotencial, y encuentre la resistencia del sistema.

P4.-Considere un plano conductor en forma de letraele mayuscula (L), conectado a tierra. En un punto Psobre la bisectriz, ubicado a una distancia d de la arista,se coloca una carga q.

qd

a) Encuentre la fuerza que el plano ejerce sobre la cargaq.

b) ¿Cual es la carga inducida sobre el semiplano ver-tical y cual es la carga inducida sobre el semiplano hori-zontal?

Control I

Electromagnetismo FI2002-2010


El problema III y IV son electivos solo deben entregar uno. Tiempo: 3:00 Hrs.

I. CABLE PARALELOS

Considere dos cables infinitos paralelos con densidadde carga longitudinal λ y −λ, respectivamente, separadospor una distancia muy pequena l ≪ 1, como se ilustra enla figura 1.

λ −λ

l

r E,Φ

FIG. 1. Cables

Encuentre el campo electrico ( ~E(r)) y potencial elec-trostatico (Φ(r)) a una distancia muy lejana de los cablesr, donde r ≫ l, en el limite l → 0, λ → ∞ y λl → Q.

II. CONO CARGADO

Un cono macizo de altura h, angulo β tiene una den-sidad de carga volumetrica constante ρ (ver figura).

β

q

z

ρ

h

FIG. 2. Cono

Si una carga puntual q es colocada en su eje de simetrıaa una distancia z de su vertice, como se ilustra en la figura

2. Encuentre la diferencia de potencial electrostatico queaparece al trasladar la carga puntual al vertice del cono.

III. FRECUENCIA DE OSCILACION

Dos planos infinitos con densidad de carga superficialσ y −σ se interceptan formando un angulo α, uno delos planos es horizontal, es decir, es ortogonal al campogravitatorio (~g), como se muestra en al figura 3.

α

σ

−σ

m,l,q

g

FIG. 3. Pendulo

Si entre los planos es colgado con respecto a un pivotefijo un pendulo ideal de largo natural l, masa puntual my carga q.Encuentre la frecuencia de oscilacion del pendulo en-

torno a su equilibrio

IV. CONDUCTOR

Una densidad de carga uniforme ρ esferica de radio R,esta rodeada por un casquete conductor concentrico conella, de radio interior a y radio exterior b. El casqueteconductor no tiene carga neta.i) Encuentre las densidades de carga superficial en a y

en b.ii) Encuentre el potencial electrostatico en un punto

ubicado en r = R. Es decir, un punto al borde de ladistribucion de carga.iii) Ahora, el casquete exterior se conecta temporal-

mente a tierra y luego se desconecta de tierra, quedandoel sistema otra vez aislado. Indique como cambian susrespuestas en las partes a) y b) como resultado de laoperacion indicada.

2

β

q

z

ρ

h

FIG. 1. Cono

EJERCICIO 09


PROF. MARCEL G. CLERCAUXILIAR: IGNACIO ORTEGA

TIEMPO: 45 MINUTOS

Considere un circuito electrico formado por una resistencia (R), una capacitancia(C), una inductancia (L) y un generador de corriente alterna (V = V0sen(ωt)),como se ilustra en la figura.

Encuentre la ecuacion para la corriente y la solucion para parametros inicialesarbitrarios. Comente el caso que ω = 1/

√LC.

Dificultad 4.5 .

1

EJERCICIO 08



TIEMPO: 45 MINUTOS

Considere una placa plana infinita de hierro de espesor d, la cual tiene unamagnetizacion constante que a punta en la direccion ortogonal a la placa M = M0z,como se ilustra en la figura

M

M

d

Encuentre el campo magnetico en todo el espacio

Dificultad 4.0 .

1

EJERCICIO 08



TIEMPO: 30 MINUTOS

Considere una varilla metalica de masa λ, por la cual fluye una corriente I. Lavarilla cuelga de dos alambres verticales de largo l bajo la influencia de la fuerzade gravedad y un campo magnetico de intensidad B en la direccion opuesta a lagravedad.

I

B

g

Si la varilla parte vertical y en reposo, encuentre la trayectoria de movimientoque describe la varilla.

Dificultad 3.0 .

1

EJERCICIO 06



TIEMPO: 45 MINUTOS

Una casquete esferico de radio R y densidad de carga constante ρ0 gira conrespecto al eje vertical con velocidad angular constante ~ω = ωz (ver figura)

ω

ρ0

R

Encuentre el campo magnetico en el centro de la esfera.

Dificultad 4.5 .

1

EJERCICIO 05



TIEMPO: 45 MINUTOS

Un condensador de placas paralelas y area A tiene una lamina dielectrica deespesor t y permitividad electrica ε adosada a una de sus placas. Un espacio vacıo deancho s separa al dielectrico de la otra placa conductora. La superficie del dielectricoen contacto con el vacıo esta cargada con una densidad superficial de carga libre,uniforme, σ0. Esta carga no puede moverse. Las placas estan conectadas a travesde una resistencia R, tal como se indica en la figura. Desprecie efectos de borde.

a) Cuando ambas placas de condensador estan en reposo, calcule la densidad decarga sobre cada placa conductora. Nota. Estas cargas no tienen la mismamagnitud.

b) Considere que la placa de la izquierda se acerca al dielectrico con velocidadconstante v0. Calcule la diferencia de potencial que se genera entre los extremos dela resistencia en funcion de la distancia s y el resto de los datos del problema.

Dificultad 5.0 .

1

EJERCICIO 04


PROF. MARCEL G. CLERC

AUXILIAR: IGNACIO ORTEGA

TIEMPO: 45 MINUTOS

0.1. Problema 3. Un condensador de placas paralelas, el cual esta compuesto pordos placas cuadradas de lado L y separadas por una distancia d, y presenta unadiferencia de potencial V , el cual es mantenido por una bateria. El condensadorse sumerge verticalmente dentro de un gran recipiente lleno de un lquido dielctricohasta que ste llena la mitad del espacio entre ambas placas, tal como lo muestra lafigura ?? . El lquido est caracterizado por una constante dielctrica κ, una densidadρ y tensin de superficie despreciable.

d

g

V

Figure 1. Condensador variable

a) Cul es la capacidad del condensador?b) Cul es la intensidad del campo elctrico entre las dos placas del condensador?c) Cul es la distribucin de densidad de carga sobre las placas?d) Cul es la diferencia en la altura vertical del lquido contenido entre las placas delcondensador con respecto al nivel del resto del lquido en el recipiente?

Dificultad 5.0 .

1

EJERCICIO 03



TIEMPO: 45 MINUTOS

Esfera cargada y espejo: Considere una esfera de radio R0 con una densidadde carga superficial σ la cual esta a una distancia l del vertice de un espejo conforma de escuadra como se ilustra en la figura

l

σ,Ro

Encuentre la densidad de carga superficial en el espejo

Dificultad 4.5 .

1

EJERCICIO 02



TIEMPO: 45 MINUTOS

Esfera cargada: Considere una esfera de radio R con una densidad de carga

ρ(r) =

cos(kr)

r2 r ≤ R0 r > R,

donde r da cuenta de la coordenada radial y k un parametro con dimensiones deinverso de longitud.

Encuentre el campo electrico en todo el espacio y grafique que forma tiene elcampo electrico.

Dificultad 4.5 .

1

EJERCICIO 01



TIEMPO: 45 MINUTOS

Campo Electrico: Considere una barra de longitud L el cual esta cargadocon una densidad de carga uniforme λ, como se ilustra en la figura.

Ax

0 Lλ

Encuentre el campo electrico en el punto A que se ubica a una distancia h conrespecto al barra centro de la barra.

En el limite L es muy grande, cual es el valor del campo electrico.

Dificultad 4.7 .

1

Examen

Electromagnetismo FI2002-2009-01

Prof. Marcel G. Clerc

Auxiliares: Daphnea Iturra & Alejandro Jara

Tiempo: 3:00 Hrs.

PACS numbers:

I. DIELECTRICO LIQUIDO

Dos cilindros coaxiales metalicos (conductores) de ra-dios a, b (a < b) son sumergidos en forma perpendicu-lar a un lıquido dielectrico de desnsidad ρ, suceptibilidadelectrica χ, el cual esta bajo la influencia del campo grav-itatorio terrestre, como se ilustra en la figura.

FIG. 1: Cilindros sumergidos.

Si se aplica un voltaje de tension V entre los cilindros.1-a Encuentra la altura que se desplaza el lıquido

dielectrico.1-b Encuentre la densidad de carga en la superficie del

cilindro de radio ”a”.

II. CILINDRO PERFORADO

Considere un cilindro macizo de radio R, el cual tieneuna perforacion cilındrica de radio σ < R/2, la cual estaseparada a una distancia d del centro del cilindro macizo.

R

d

σ

FIG. 2: Cilindro perforado.

Si sobre el cilindro perforado fluye una corriente I uni-forme y el sistema esta inmerso en un medio magnetizablede suceptibilidad magnetica χ.

2-a Encuentre el Campo magnetico y la intensidadmagnetica en todo el espacio.

2-b Describa, de manera cualitativa que forma tendrıa,la corriente surperficial inducida (js) sobre la superficieperforada.

III. MOTOR LINEAL

Considere dos rieles paralelos ideales (conductores sinresistencia ni mecanica ni electrica ), en el cual se des-plaza una barra de largo L y resistencia R, que conectaestos rieles. Sobre los rieles se aplica una tension V .La barra es conectado a una masa m por medio de unacuerda ideal y una polea (ver figura). La masa esta bajola influencia de la fuerza de gravedad.

V

FIG. 3: Motor Lineal

Si todo el sistema esta bajo la influencia de un campomagnetico uniforme Bo. Encuentre la velocidad de labarra

Control II

Electromagnetismo FI2002-2009-01

Prof. Marcel G. Clerc

Auxiliares: Daphnea Iturra & Alejandro Jara

Tiempo: 3:00 Hrs.

PACS numbers:

I. CAPA DIPOLAR

Considere dos superficies arbitrarias paralelas cargadascon densidad de carga σ(r′) y −σ(r′), respectivamente.Las cuales estan etiquetadas por S′ y S′′, separadas pord(r′). Donde r′ es el vector que representa cada puntode la superficie S′. Ademas sea n el vector normal a lassuperficies (ver figura).

‘

FIG. 1: Capa dipolar.

1-a Encuentre la componente dominante del potencialelectrostatico ϕ(r − r′), cuando |r − r′| ≫ d(r′) .

1-b En el caso particular que las superficies son planasy estan uniformemente cargadas, que expresion toma lacomponente dominante del potencial electrostatico.

45

qd

ε

FIG. 2: Reflejo de carga

II. REFLEJO DE CARGA

Considere una carga puntual q, la cual es colocada enla bisectriz de dos conductores ideales planos que formanun angulo de 45 grados (ver figura).

Si la carga tiene una una distancia d (ver figura) a losconductores y el medio es un medio dielectrico isotropoy lineal caracterizado por una permeabilidad electrica ǫ,encuentre la forma del potencial electrostatico entre losconductores.

III. LIQUIDO DIELECTRICO

Un problema complejo es medir la constante dielectricade un fluido dielectrico. Para resolver esto considere untubo en ”U” de radio r bajo la influencia de la fuerza degravedad, el cual es llenado con un fluido dielectrico deconstante ǫ, como se muestra en la figura 3a

g -q q

ρ,r

,Αg

h=?

a) b)

FIG. 3: Fluido dielectrico

Si un extremo del tubo se coloca un condensador sufi-cientemente grande de placas paralelas de carga q y areaA (cf. figura 3b). Encuentre la altura de desnivel de losfluidos como consecuencia del condensador y comente larelacion entre la altura y constante dielectrica del fluido[1].

[1] Explicite cada uno de sus supuestos.

Control IElectromagnetismo FI2002-2009-01

Prof. Marcel G. ClercAuxiliares: Daphnea Iturra & Alejandro Jara

Tiempo: 3:00 Hrs.

PACS numbers:

I. CABLE COAXIAL

Considere un cable coaxial infinito y rectilıneo, el cualesta compuesto por un cilindro central y diferentes cas-quetes cilındricos, de radios R1, R2, R3 y R4 respecti-vamente, como se ilustra en la figura. Cada materialtiene respectivamente una densidad de carga volumetricaρ1, ρ2, ρ3 y ρ4 (Ver figura).

R1,ρ1=0

R2,ρ2R3,ρ3=0

R4,ρ4

R1 R2

R3

R4

FIG. 1: Cable coaxial.

En el caso que el cilindro y segundo casquete cilıdrico(de radio R3) tienen densidad de carga cero (ρ1 = ρ3 =0), Encuentre el campo electrico en todo el espacio.

FIG. 2: representacion de atomo

II. ATOMO

Un atomo esta caracterizado por tener una gran con-centracion de cargas positivas en un pequeno nucleo, elcual esta rodeado por una nube de cargas negativas.

Si la densidad de cargas tiene una distribucion radial–esferica–de la forma

ρ(r) = Zeαe−αr

4πr(1− αr),

donde r es la coordenada radial, Z es el numero atomico,e es la carga del electron, y α es parametro de apan-tallamiento. Encuentre el campo en todo el espacio.

III. OSCILACION

Un anillo de radio R0 tiene una carga Q positiva, lacual esta distribuida de manera uniforme sobre el anillo,como se ilustra en la figura.

Considere una carga puntual de carga negativa q (q <0) y masa m, la cual es depositada en reposo sobre eleje central del anillo cerca del centro representado por elpunto A, ademas la carga esta soldada a un resorte idealde constante elastica ko y largo natural cero con extremofijo en el punto A. Calcule la frecuencia de oscilacionpartıcula puntual q [1].

xA

Q

q

R0

B

k0

FIG. 3: Anillos cargado

[1] Indicacion Considere que la partıcula se mueve sobre el ejecentral del anillo.

EJERCICIO 13 & 14ELECTROMAGNETISMO FI2002-2009-01

PROF. MARCEL G. CLERCAUXILIARES: DAPHNEA ITURRA & ALEJANDRO JARA

TIEMPO: 60 MINUTOS

13-Interaccion de dos cables infinitos: Considere dos cables paralelos sepa-rados por una distancia d, sobre los cuales circula una corriente I e I ′, respecti-vamnte (ver figura 1a)

I I’

d

a) b)

Encuentre la fuerza por unidad de largo que un cable ejerce sobre el otro. Co-mente cual es la dependencia funcional de la fuerza como funcion de I, I ′, d y siesta es atractiva o repulsiva.

14-Bobina Helmholtz: Considere dos espiras circulares paralelas de radio R,sobre la cual circula una corriente I (ver figura 1b).

A que distancia ”a” deben ser separadas las expiras para que el campo magneticoen el eje de simetrıa de las espiras es lo mas uniforme posible.

Dificultad 3.5 & 4.7 .

1

EJERCICIO 15ELECTROMAGNETISMO FI2002-2009-01


TIEMPO: 40 MINUTOS

Medio magnetico: Considere un alambre cilındrico de radio transversal R ylargo infinito sobre el cual circula un flujo de corriente uniforme J (ver figura).

χJ

R

Si el cable esta sumergido en un medio magnetico uniforme e isotropo de su-ceptibilidad magnetica χ. Encuentre la intensidad magnetica en todo el espacio( ~H), Campo magnetico ( ~B), la magnetizacion ( ~M), corriente magnetica inducida(superficial y volumetrica) y la densidad inducida de monopolos (superficial y vol-umetrica).

Dificultad 2.9 .

1



TIEMPO: 30 MINUTOS

Cilindro cargado: Considere un casquete cilındrico infinito de radio R0, el cualtiene una densidad de carga uniforme superficial σ

B(r)?

ω

σ

Si el casquete esta girado con velocidad angular ω, encuentre el campo magneticoen todo el espacio.

Dificultad 3.5 .

1

EJERCICIO 10 & 11ELECTROMAGNETISMO FI2002-2009-01


TIEMPO: 60 MINUTOS

10-fuerza de Lorenz : Considere una partıcula puntual de masa m y carga q,bajo la influencia de un campo magnetico constante (ver figura A).

Si la partıcula inicialmente tiene una velocidad ~v, encuentre explıcitamente latrayectoria de la partıcula.

J0 B(r)?

a) b)

11-Cilindro conductor: considere un cilindro hueco conductor de espesor des-preciable, radio R, sobre el cual fluye una corriente uniforme de flujo de carga~J = J0z (ver figura B).

Usando la ley de Biot-Savart, encuentre el campo magnetico generado por estacorriente al interior y exterior del cilındro

Dificultad 4.0 & 4.7.

1



TIEMPO: 30 MINUTOS

Plano conductor : Considere un plano conductor de longitud L, ancho l yresistividad η. Si sobre el plano conductor se establece una corriente estacionaria yel potencial electrico satisface que en el segmento AB vale ϕ(AB) = 0 y en segmentoCD vale ϕ(CD) = ϕ0 .

A B

CD

l

L

Encuentre el campo electrico, el flujo de corriente y que valor debe tomar elpotencial en los otros segmentos 1.

Dificultad 4.0 .1Explıcite todos sus argumentos.

1



TIEMPO: 45 MINUTOS

Energıa configuracional : Considere dos cilindros metalicos concentricos deradios R1 y R2, respectivamente, y longitud L. Los cuales tienen densidad de cargasuperficial σ1 y σ2, respectivamente.

ε

εο

h

L

Figure 1. Condensador Variable

Si uno introduce un material dielectrico de permeabilidad ε entre los cilindros,el cual llena un porcion de los cilindros de manera que la mitad de la secciontransversal esta llena y en la direccion vertical esta llena hasta una altura h menorque L. Encuentre o estime la energıa ”electrica” de este sistema.

Dificultad 4.3 .

1



TIEMPO: 45 MINUTOS

Susceptibilidad anisotropica : Un modelo mecanico microscopico de un ma-terial anisotropico es considerar que las cargas de los atomos estan descrita por unacarga positiva y negativa e y −e respectivamente, donde la carga positiva y negativasolo se puede mover en el eje horizontal y vertical, respectivamente. Ademas cadacarga esta conectada a un resorte de constante elstica K1, K2 y largos naturalesceros, ver figura

K1

K2

-e

e

E

Figure 1. Modelo mecanico de atomo anisotropico

Si considera un gas de N atomos por unidad de volumen, encuentre la formulapara la susceptibilidad.

Dificultad 5.0 .

1

EJERCICIO 07



AUXILIARES: DAPHNEA ITURRA & ALEJANDRO JARA

TIEMPO: 40 MINUTOS

Susceptibilidad anisotropica : Un modelo mecanico microscopico de un ma-terial anisotropico es considerar que las cargas de los atomos estan descrita por unacarga positiva y negativa e y −e respectivamente, donde la carga positiva y negativasolo se puede mover en el eje horizontal y vertical respectivamente. Ademas cadacarga esta conectada a un resorte de constante elstica K1 y K2 y largo natural cero,ver figura

Encuentre la formula para la susceptibilidad.

Dificultad 3.0 .

1



TIEMPO: 45 MINUTOS

Espejismo: Un espejo esta compuesto por un pelıcula delgada de un materialconductor, es decir por un plano conductor. Considere un espejo plano muy grande–para efectos practicos es un plano conductor infinito–en frente de una carga puntualq a una distancia d (Ver figura)

qd

E(r)

Encuentre el campo electrico en la zona donde esta la carga.

Dificultad 3.5 .

1



TIEMPO: 45 MINUTOS

Cable de tension: Los cables de alta tension tıpicamente estan separadospor torres a distancias L del orden de los 400 metros a una altura h del ordende 15 metros con respecto al piso, como consecuencia del campo gravitatorio loscables se pandean (se curvan, ver figura). El radio de curvatura R0 de estas curvastıpicamente son del orden de un kilometro

Si la torre sustenta dos cables paralelos separados por una distancia l = 3 metrosy cada cable tiene una densidad de carga σ y −σ, respectivamente. Describa laforma que tiene el campo electrico y potential electrostatico ϕ(r) generado porestos cables en la superficie de la tierra

Dificultad 4.0 .

1



TIEMPO: 45 MINUTOS

Trayectoria: Considere dos planos infinitos–Π1 y Π2–con densidad de carga σo,los cuales forman un angulo α como se ilustra en la figura.

α

Π1

Π2q

vo

Si una carga electrica de magnitud q situada a una distancia muy lejana h (cf.Figura), es liberada con una velocidad vo vertical al plano Π1, encuentre la trayec-toria que describe esta partıcula.

Dificultad 4.0 .

1

EJERCICIO 02




TIEMPO: 45 MINUTOS

Anillo misterioso Un anillo de radio R0 tiene una carga Q positiva, la cualesta distribuida de manera uniforme sobre el anillo, como se ilustra en la figura.

x

A

Q

q

R0

B

2-1 Calcular el campo electrico generado por el anillo sobre en el eje central deeste representado por segmento AB (ver figura).

2-2 Considere una carga puntual de carga negativa q (q < 0), la cual es deposi-tada en reposo sobre el eje central del anillo cerca del centro representado por elpunto A. Describa el movimiento que exhibe la partıcula puntual.

Dificultad 5.0 .

1

EJERCICIO 01




TIEMPO: 45 MINUTOS

Electroscopio Un modelo mas realista de un electroscopio consiste en tresconductores de masa m. Uno de estos conductores esta adherido a una columnaaislante. Los otros dos conductores estan conectados por una cuerda conductoraideal de largo 2l (ver figura). Si al acercar una carga q, el conductor superior secarga con carga −q, y los dos inferiores con carga q/2, formando un vertice deangulo 2θ como se ilustra en la figura.

-q

q/2 q/2

l l

m m

θ θ

Encuentre la relacion explıcita que determina cual es el angulo θ como funcionde la carga.

Dificultad 4.5 .

1

Examen Electromagnetismo FI2002-2014 - Universidad de...

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