Examen de Matematicas II (Modelo 2019)Selectividad-Opcion A

Tiempo: 90 minutos

Problema 1 (2,5 puntos) Para cada uno de los siguientes apartados, pro-ponga un ejemplo de matriz cuadrada A, de dimension 3×3, con todos susnumeros distintos de cero y con sus tres filas y columnas diferentes, quecumpla la condicion pedida.

a) (0,5 puntos) El determinante de A vale 0.

b) (0,5 puntos) El determinante de A vale 1.

c) (0,5 puntos) La matriz A coincide con su traspuesta.

d) (1 punto) Para una cierta matriz cuadrada C, distinta de la matriznula y de la identidad, se verifica que A · C = C · A. (Debe proponerejemplos concretos para las dos matrices A y C.)

Solucion:

a) Basta con que una fila o columna sea combinacion lineal de las otras

dos, por ejemplo: A =

1 2 13 −1 54 1 6

como F3 = F1 +F2 =⇒ |A| = 0

b) Dividiendo una fila o columna por el valor del determinate de esamatriz obtenemos una nueva matriz de determinate 1, por ejemplo:

B =

1 2 13 −1 52 1 5

, |B| = −15 =⇒ A = − 115

1 2 13 −1 52 1 5

= −1/15 −2/15 −1/153 −1 52 1 5

=⇒ |A| = 1

c) Bastarıa con que C = k · I, , ∀k ∈ R, una matriz proporcional a laidentidad: A · C = A · k · I = k · I · A = C · A, por ejemplo: A = 1 2 1

3 −1 52 1 5

y C =

5 0 00 5 00 0 5

A · C =

1 2 13 −1 52 1 5

· 5 0 0

0 5 00 0 5

=

5 10 1515 −5 2510 5 25

1

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et

C ·A =

5 0 00 5 00 0 5

· 1 2 1

3 −1 52 1 5

=

5 10 1515 −5 2510 5 25

Luego A · C = C ·A.

Problema 2 (2,5 puntos) La contaminacion por dioxido de nitrogeno,NO2,en cierta estacion de medicion de una ciudad, durante el pasado mes de abril,

se puede modelar por la funcion c(t) = 80 − 6t +23t2

20− t3

30mg/m3 donde

t ∈ [0, 30] representa el tiempo, expresado en dıas, transcurrido desde las0 horas del dıa 1 de abril.

a) (0,5 puntos) ¿Que nivel de NO2, habıa a las 12 horas del dıa 10 deabril?

b) (1,25 puntos) ¿En que momento se alcanzo el maximo nivel de NO2?,¿cual fue ese nivel maximo?

c) (0,75 puntos) Calcule, mediante1

30

∫ 30

0c(t)dt, el nivel promedio del

mes.

Solucion:

a) c(9, 5) = 98, 21mg/m3

b) c(0) = 80, c(30) = 35 y c′(t) = − t2

10+

23t

10− 6 = 0 =⇒ t = 3, t = 20

(0, 3) (3, 20) (20, 30)

c′(x) − + −c(x) decreciente creciente decreciente

Luego el maximo se da el dıa 20 con c(20) = 153, 33 mg/m3.

2

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et

c) X =1

30

∫ 30

0c(t)dt =

1

30

(80t− 3t2 +

23t3

60− t4

120

)]300

=3300

30= 110

Problema 3 (2,5 puntos) Dados los puntosA(1, 2,−3);B(1, 5, 0); C(5, 6,−1)y D(4,−1, 3), se pide:

a) (1,5 puntos) Calcular el plano π que contiene a los puntos A, B, C yla distancia del punto D a dicho plano.

b) (0,5 puntos) Calcular el volumen del tetraedro definido por los cuatropuntos dados.

c) (0,5 punto) Calcular el area del triangulo definido por A, B y C.

Solucion:

a) π :

−−→AB = (0, 3, 3)−→AC = (4, 4, 2)A(1, 2,−3)

=⇒ π :

∣∣∣∣∣∣x− 1 y − 2 z + 3

0 3 34 4 2

∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒

π : x− 2y + 2z + 9 = 0

d(D,π) =|4 + 2 + 6 + 9|√

1 + 4 + 4= 7 u

b)−−→AD = (3,−3, 6)

V =1

6|[−−→AB,−→AC,−−→AD]| = 1

6|

∣∣∣∣∣∣0 3 34 4 23 −3 6

∣∣∣∣∣∣ | = | − 126|6

= 21 u3

c)

S =1

2|−−→AB ×−→AC| = 1

2|

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

0 3 34 4 2

∣∣∣∣∣∣ | = 1

2|(−6, 12, 12)| = 9 u2

Problema 4 (2,5 puntos) El examen de oposicion a la Administracion Lo-cal de cierta ciudad consta de 300 preguntas, con respuesta verdadero o falso.Un opositor responde al azar todas las preguntas. Se considera la variablealeatoria X(”numero de respuestas acertadas”) y se pide:

a) (1,5 puntos) Justificar que la variable X se puede aproximar por unanormal y obtener los parametros correspondientes.

b) (1 punto) Utilizando la aproximacion por la normal, hallar la probabili-dad de que el opositor acierte a lo sumo 130 preguntas y la probabilidadde que acierte exactamente 160 preguntas.

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et

Solucion:

a) Se trata de una distribucion binomial B(300; 0, 5) con n = 300, p =0, 5 y q = 1 − p = 0, 5. Como np = 300 · 0, 5 = 150 > 5 y nq =300 · 0, 5 = 150 > 5 podemos aproximar esta binomial por una normalN(np,

√npq) = N(150; 8, 66).

b) La probabilidad de que acierte a lo sumo 130 aplicando la correcionpor continuidad de Yates serıa:

P (X ≤ 130, 5) = P

(Z ≤ 130, 5− 150

8, 66

)= P (Z ≤ −2, 25) =

1− P (Z ≤ 2, 25) = 1− 0, 9878 = 0, 0122

La probabilidad de que acierte exactamente 160 aplicando la correcionpor continuidad de Yates serıa:

P (159, 5 ≤ X ≤ 160, 5) = P

(159, 5− 150

8, 66≤ Z ≤ 160, 5− 150

8, 66

)=

P (1, 10 ≤ Z ≤ 1, 21) = P (Z ≤ 1, 21)− P (Z ≤ 1, 10) =

0, 8869− 0, 8643 = 0, 0226

Examen de Matematicas II (Modelo 2019)Selectividad-Opcion B

Tiempo: 90 minutos

Problema 1 (2,5 puntos) Dado el sistema de ecuacionesx −my− z = 0

mx− 4y+ (6− 2m)z = −8m−x+ 2y+ z = 6

se pide:

a) (2 puntos) Discutir el sistema en funcion de los valores del parametrom.

b) (0,5 puntos) Resolver el sistema en el caso m = 6.

Solucion:

a)

A =

1 −m −1 0m −4 6− 2m+ 1 −8m−1 2 1 6

|A| = −m2+8m−12 = 0 =⇒

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et

m = 2, m = 6

Si m 6= 2 y m 6= 6 =⇒Rango(A) = 3 =Rango(A) = no de incognitasy serıa un sistema compatible determinado.Si m = 2:

A =

1 −2 −1 02 −4 2 −16−1 2 1 6

=

F1

F2 − 2F1

F3 + F1

=

1 −2 −1 00 0 4 −160 0 0 6

=⇒

Sistema Incompatible

Si m = 6:

A =

1 −6 −1 06 −4 −6 −48−1 2 1 6

=

F1

F2 − 6F1

F3 + F1

=

1 −6 −1 00 32 0 −480 −4 0 6

=

F1

F2

8F3 + F2

=

1 −6 −1 00 32 0 −480 0 0 0

=⇒

Sistema Compatible Indeterminado

b) Si m = 6: {x− 6y − z = 02y = −3

=⇒

x = −9 + λy = −3/2z = λ

Problema 2 (2,5 puntos)

a) (1 punto) A partir de la siguiente grafica de la funcion f , determinelos valores de: f ′(−1), lım

x−→−2+f(x); lım

x−→−2−f(x); lım

x−→ 0f(x).

b) (1,5 puntos) Calcule

∫ π

−3g(x) dx, donde g(x) =

{x2 + 2x+ 1 si −3 ≤ x ≤ 0

1 + sinx si 0 < x ≤ 4

Solucion:

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et

a) En x = −1 hay un extremo luego f ′(−1) = 0, Por otra parte:lım

x−→−2+f(x) = 1

lımx−→−2−

f(x) = −∞

lımx−→ 0

f(x) = 1

b) La funcion es continua en x = 0, los lımites laterales coinciden y conel valor de la funcion en ese punto. Ahora resolvemos la integral:∫ π

−3g(x) dx =

∫ 0

−3(x2 + 2x+ 1) dx+

∫ π

0(1 + sinx) dx =

x3

3+ x2 + x

]0−3

+ x− cosx]π0 = 5 + π.

Problema 3 (2,5 puntos) Dadas las rectas r :

x = 2 + λy = 3 + λz = 1− λ

y s :

{x− y = 2y + z = 1

se pide:

a) (1 punto) Determinar la posicion relativa de r y s.

b) (1 punto) Obtener un plano que contenga a las dos rectas.

c) (0,5 puntos) Dado el punto A(3, 1, 0), de la recta s, obtener un puntoB, de la recta r, de modo que el vector

−−→AB sea perpendicular a la

recta r.

Solucion:

r :

{ −→ur = (1, 1,−1)Pr(2, 3, 1)

s :

{ −→us = (−1,−1, 1)Ps(3, 1, 0)

−−→PsPr = (−1, 2, 1)

a) [−−→PsPr,−→ur,−→us] =

∣∣∣∣∣∣−1 2 1

1 1 −1−1 −1 1

∣∣∣∣∣∣ = 0 y Rango(−−→PsPr,−→ur) = 2 y Rango(−→ur,−→us) =

1, luego las dos rectas son paralelas.

b) π :

−→ur = (1, 1,−1)−−→PsPr = (−1, 2, 1)Ps(3, 1, 0)

=⇒ π :

∣∣∣∣∣∣x− 3 y − 1 z

1 1 −1−1 2 1

∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒

π : x+ z − 3 = 0

c) B ∈ r =⇒ B(2 + λ, 3 + λ, 1 − λ) =⇒ −−→AB = (2 + λ, 3 + λ, 1 − λ) −

(3, 1, 0) = (−1 + λ, 2 + λ, 1− λ)−−→AB ⊥ r =⇒ −−→AB ⊥ −→ur = (1, 1,−1) =⇒ −−→AB · −→ur = 0 =⇒ −1 + λ+ 2 +λ− 1 + λ = 0 =⇒ λ = 0 =⇒ B(2, 3, 1)

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Problema 4 (2,5 puntos) El grupo de WhatsApp, formado por los alumnosde una escuela de idiomas, esta compuesto por un 60 % de mujeres y el restovarones. Se sabe que el 30 % del grupo estudia aleman y que la cuarta partede las mujeres estudia aleman. Se recibe un mensaje en el grupo. Se pide:

a) (1,25 puntos) Calcular la probabilidad de que lo haya enviado unamujer, si se sabe que el o la remitente estudia aleman.

b) (1,25 puntos) Si en el mensaje no hay ninguna informacion sobre elsexo y estudios del remitente, calcular la probabilidad de que sea varony estudie aleman.

Solucion:

a) P (M |A) =P (A|M)P (M)

P (A)=

0, 25 · 0, 60, 3

= 0, 5

b) P (A) = 0, 6 · 0, 25 + 0, 4 · x = 0, 3 =⇒ x = P (A|V ) = 0, 375

P (A ∩ V ) = P (A|V )P (V ) = 0, 375 · 0, 4 = 0, 15

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