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Instituto  Politécnico  Nacional  CICATA  Unidad  Legaria  Programa  de  Matemática  Educativa                                            

EXAMEN  DE  HABILIDADES  MATEMÁTICAS      Observaciones:    

• Deberás  resolver  únicamente  cinco  ejercicios,  en  el  orden  que  tú  elijas.  

• Es  admisible  el  uso  de  calculadora,  software  e  instrumentos  geométricos.  

• Se  solicita  escribir  todo  el  proceso  de  solución  de  cada  uno  de  los  ejercicios,  

debido  a  que  tenemos  especial  interés  en  conocer  tus  argumentos  y  

justificación  de  las  soluciones.  

• Te  solicitamos  escribas  tu  nombre  a  todas  las  hojas  que  utilices  en  la  solución  

del  examen.  

       Datos  del  aspirante:  Nombre  Completo:  

Correo  electrónico:  

Nivel  educativo  e  institución  de  procedencia:    

Ciudad  y  país:  

 

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Problema  1  ¿Cuántos  cuadrados  existen  en  la  siguiente  figura?  

   Problema  2  En  esta  suma  cada  letra  representa  una  cifra.  ¿Cuál  es  el  valor  de  AGUA?  

GOTA  GOTA  

                                                                                                                                               +    GOTA  GOTA  GOTA  AGUA  

 

Problema  3  

Si  la  tiene,  ¿cuál  es  la  solución  al  siguiente  sistema  de  ecuaciones?  Argumente  por  qué.    

                                   

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 Problema  4  

Determina  ecuación  de  la  asíntota  oblicua  de  la  siguiente  función     f (x) = 9x2 + 2x + 32(x + 2)  

 Problema  5  

a)  Si  α  y  β    son  las  raíces  de  x2  +  px  +  q  encuentra  el  valor  de  α2  +  β2  sin  resolver  la  ecuación.      b)  Formar  la  ecuación  cuyas  raíces  sean  α2  y  β2  expresando  los  coeficientes  en  términos  de  p  y  q.    c)  Mostrar  que  cada  raíz  de  la  ecuación,  x2  +  x  +  1  es  el  cuadrado  de  la  otra  raíz.    

Problema  6  Una  cuadrilla  de  trabajadores  debía  de  segar  dos  prados,  uno  tenía  doble  superficie  que  el  otro.  Durante  medio  día  trabajó  todo  el  personal  de   la  cuadrilla  en  el  prado  grande;   después   de   la   comida,   una   mitad   de   los   trabajadores   quedó   en   el   prado  grande   y   la   otra   mitad   trabajó   en   el   prado   pequeño.   Durante   esa   tarde   fueron  terminados   los  dos  prados,   a  excepción  de  un  reducido  sector  del  prado  pequeño,  cuya   siega   ocupó   el   día   siguiente   completo   a   un   solo   segador.   ¿Con   cuántos  trabajadores   contaba   la   cuadrilla?   Resuelve   el   problema   exclusivamente   con  argumentos  aritméticos.      Problema  7  Demuestre   que   el   área   de   un   triángulo   es   igual   a 2

3mambsenα .   Donde  ma  y mb son  medianas  y  α  el  ángulo  entre  ellas.      Problema  8  Contesta  los  incisos  (i)  a  (xi)  ,  resaltados  en  color:    Tenemos  las  funciones  ax  y  bx  con  a  y  b  números  reales  [i)  ¿Qué  significa  que      sean  números  reales,  o  bien  que  se  quiere  decir  con  esto?]  que  cumplen  la  propiedad        [ii)  Bosquejar  con  el  mayor  detalle  posible  en  un  mismo  plano  cartesiano      las  gráficas  de   y     ].  

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       Los  límites  :                   [ iii)  ¿Por  qué  se  pueden   extraer    y    de  la  operación  de  límite?        iv)  Dichos  límites  ¿qué  información  nos  proporcionan  sobre  las  curvas?].    De  nuestros  cursos  de  Cálculo  sabemos  que   [  v)  Quiere  decir  esto  que    

el         .  Dar  una  explicación  o  justificación  de  ese  hecho.    vi)  Comenta  lo      que  sepas  sobre  el  número  e  ]    Es  posible  escribir   y     [  vii)  Justifica  este  hecho].    A  partir  de  lo  dicho  anteriormente,  [  viii)  Justifica  las  siguientes  igualdades:  

         

ix)  Indica  si  ya  es  posible  decir  cuál  es  el  valor  de  los  límites        

y     en  iii)    ].    

 [  x)  Agrega  en  el  plano  trazado  en  ii),  el  bosquejo  de     .    xi)  Traza      además  la  tangente  a  las  tres  funciones  para  x=0,  e  indica  el  valor  de  las  pendientes  de  las  tangentes  en  ese  punto  para  cada  función].    

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Problema  9  

¿Es  posible  que  exista  una  transformación  lineal  que  convierta  los  vectores  de  la  Figura  1  en  los  vectores  de  la  Figura  2?  ¿Por  qué?      

                                                                         Figura  1                                                                                                                                    Figura  2        

 

Problema  10  

Tomando  en  cuenta  la  siguiente  figura,  encuentra  el  radio  de  la  circunferencia.